การแปลงข้อผิดพลาดสัมบูรณ์เป็นข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์และข้อผิดพลาดในการคำนวณ

ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์และสัมพัทธ์ของตัวเลข

เนื่องจากคุณลักษณะของความแม่นยำของปริมาณโดยประมาณของแหล่งกำเนิดใดๆ จึงมีการนำแนวคิดเกี่ยวกับข้อผิดพลาดสัมบูรณ์และข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ของปริมาณเหล่านี้มาใช้

ให้เราแสดงด้วยการประมาณค่า A ที่แน่นอน

กำหนด. ปริมาณเรียกว่าข้อผิดพลาดของตัวเลขโดยประมาณก

คำนิยาม. ข้อผิดพลาดแน่นอน จำนวนโดยประมาณ a เรียกว่าปริมาณ
.

โดยปกติแล้วจะไม่ทราบจำนวน A ที่แน่นอนในทางปฏิบัติ แต่เราสามารถระบุขีดจำกัดที่ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์จะแตกต่างกันไปได้เสมอ

คำนิยาม. ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์สูงสุด จำนวนโดยประมาณ a เรียกว่าค่าที่น้อยที่สุดของขอบเขตบนของปริมาณ ซึ่งสามารถพบได้โดยใช้วิธีการรับตัวเลขนี้

ในทางปฏิบัติ เช่น เลือกหนึ่งในขอบเขตบนสำหรับ ค่อนข้างใกล้เคียงกับที่เล็กที่สุด

เพราะว่า
, ที่
. บางครั้งพวกเขาก็เขียนว่า:
.

ข้อผิดพลาดแน่นอนคือความแตกต่างระหว่างผลการวัด

และคุณค่าที่แท้จริง (จริง) ปริมาณที่วัดได้

ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์และข้อผิดพลาดสัมบูรณ์สูงสุดไม่เพียงพอที่จะระบุลักษณะความแม่นยำของการวัดหรือการคำนวณ ในเชิงคุณภาพ ขนาดของข้อผิดพลาดสัมพัทธ์มีความสำคัญมากกว่า

คำนิยาม. ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ เราเรียกตัวเลขโดยประมาณว่าปริมาณ:

คำนิยาม. ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์สูงสุด จำนวนโดยประมาณ a ลองเรียกปริมาณดู

เพราะ
.

ดังนั้น ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์จึงเป็นตัวกำหนดขนาดของข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ต่อหน่วยของตัวเลขโดยประมาณ a ที่วัดหรือคำนวณได้

ตัวอย่าง.พิจารณาการปัดเศษตัวเลข A ให้เป็นเลขนัยสำคัญสามตัว

ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ D และสัมพัทธ์ของค่าประมาณที่ได้รับ

ที่ให้ไว้:

หา:

∆-ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์

δ – ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์

สารละลาย:

=|-13.327-(-13.3)|=0.027

,ก 0

*100%=0.203%

คำตอบ:=0.027; δ=0.203%

2. สัญกรณ์ทศนิยมของตัวเลขโดยประมาณ ตัวเลขที่สำคัญ. หลักที่ถูกต้องของตัวเลข (คำจำกัดความของหลักที่ถูกต้องและมีนัยสำคัญ ตัวอย่าง ทฤษฎีความสัมพันธ์ระหว่างข้อผิดพลาดสัมพัทธ์กับจำนวนหลักที่ถูกต้อง)

ป้ายตัวเลขที่ถูกต้อง

คำนิยาม. เลขนัยสำคัญของตัวเลขโดยประมาณ a คือตัวเลขใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ และจะเป็นศูนย์หากอยู่ระหว่างเลขนัยสำคัญหรือเป็นตัวแทนของตำแหน่งทศนิยมที่เก็บไว้

เช่น ในตัวเลข 0.00507 =
เรามีเลขนัยสำคัญ 3 ตัว และอยู่ในจำนวน 0.005070=
ตัวเลขที่มีนัยสำคัญ เช่น ศูนย์ทางด้านขวาซึ่งรักษาตำแหน่งทศนิยมไว้มีความสำคัญ

จากนี้ไป ให้เราตกลงที่จะเขียนศูนย์ทางด้านขวาถ้าเพียงแต่มีค่านัยสำคัญเท่านั้น จากนั้นอีกนัยหนึ่งคือ

ตัวเลขทั้งหมดของ a มีความสำคัญ ยกเว้นศูนย์ทางด้านซ้าย

ในระบบเลขทศนิยม จำนวนใดๆ a สามารถแสดงเป็นผลรวมจำกัดหรืออนันต์ (เศษส่วนทศนิยม):

ที่ไหน
,
- เลขนัยสำคัญตัวแรก m - จำนวนเต็มเรียกว่าทศนิยมที่มีนัยสำคัญที่สุดของตัวเลข a

ตัวอย่างเช่น 518.3 =, m=2

การใช้สัญกรณ์นี้ เราแนะนำแนวคิดเกี่ยวกับตำแหน่งทศนิยมที่ถูกต้อง (เป็นตัวเลขที่มีนัยสำคัญ) ประมาณ -

ในวันที่ 1

คำนิยาม. ว่ากันว่าในจำนวนโดยประมาณ a ในรูปแบบ n เป็นเลขนัยสำคัญตัวแรก ,

โดยที่ i= m, m-1,..., m-n+1 ถูกต้องหากค่าผิดพลาดสัมบูรณ์ของจำนวนนี้ไม่เกินครึ่งหน่วยของหลักแสดงด้วยเลขนัยสำคัญที่ n:

ไม่งั้นก็เลขสุดท้าย
เรียกว่าน่าสงสัย..

ในการเขียนตัวเลขโดยประมาณโดยไม่แสดงข้อผิดพลาด จะต้องเขียนตัวเลขทั้งหมด

มีความซื่อสัตย์ ข้อกำหนดนี้เป็นไปตามตารางทางคณิตศาสตร์ทั้งหมด

คำว่า "n หลักที่ถูกต้อง" เป็นเพียงระดับความแม่นยำของตัวเลขโดยประมาณและไม่ควรเข้าใจว่าหมายถึงว่าตัวเลขนัยสำคัญ n หลักแรกของตัวเลขโดยประมาณนั้นตรงกับตัวเลขที่สอดคล้องกันของตัวเลข A ที่แน่นอน ตัวอย่างเช่น ตัวเลข A = 10, a = 9.997 เลขนัยสำคัญต่างกันทั้งหมด แต่เลข a มีเลขนัยสำคัญที่ถูกต้อง 3 หลัก อันที่จริงที่นี่ m=0 และ n=3 (เราพบได้จากการเลือก)

ในยุคของเรา มนุษย์ได้คิดค้นและใช้เครื่องมือวัดทุกประเภทอย่างหลากหลาย แต่ไม่ว่าเทคโนโลยีในการผลิตจะสมบูรณ์แบบเพียงใด ล้วนมีข้อผิดพลาดไม่มากก็น้อย ตามกฎแล้วพารามิเตอร์นี้จะระบุไว้บนตัวเครื่องมือ และเพื่อประเมินความแม่นยำของค่าที่กำหนด คุณจะต้องสามารถเข้าใจความหมายของตัวเลขที่ระบุบนเครื่องหมายได้ นอกจากนี้ ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์และข้อผิดพลาดสัมบูรณ์เกิดขึ้นอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ระหว่างการคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อน มีการใช้กันอย่างแพร่หลายในด้านสถิติ อุตสาหกรรม (การควบคุมคุณภาพ) และในด้านอื่นๆ จำนวนหนึ่ง วิธีคำนวณค่านี้และวิธีตีความค่า - นี่คือสิ่งที่จะกล่าวถึงในบทความนี้

ข้อผิดพลาดแน่นอน

ให้เราแสดงด้วย x ซึ่งเป็นค่าโดยประมาณของปริมาณที่ได้รับ เช่น ผ่านการวัดครั้งเดียว และ x 0 เป็นค่าที่แน่นอน ทีนี้ลองคำนวณขนาดของความแตกต่างระหว่างตัวเลขสองตัวนี้กัน ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์คือค่าที่เราได้รับจากการดำเนินการอย่างง่ายนี้ ในภาษาของสูตร คำจำกัดความนี้สามารถเขียนได้ในรูปแบบนี้: Δ x = | x - x 0 |.

ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์

การเบี่ยงเบนสัมบูรณ์มีข้อเสียเปรียบที่สำคัญประการหนึ่ง - ไม่อนุญาตให้ประเมินระดับความสำคัญของข้อผิดพลาด ตัวอย่างเช่นเราซื้อมันฝรั่ง 5 กิโลกรัมที่ตลาดและผู้ขายที่ไร้ยางอายเมื่อวัดน้ำหนักก็ทำผิดพลาด 50 กรัมเพื่อประโยชน์ของเขา นั่นคือข้อผิดพลาดสัมบูรณ์คือ 50 กรัม สำหรับเรา การกำกับดูแลดังกล่าวจะเป็นเพียงเรื่องเล็กและเราจะไม่ใส่ใจกับมันด้วยซ้ำ ลองนึกภาพว่าจะเกิดอะไรขึ้นหากเกิดข้อผิดพลาดที่คล้ายกันขณะเตรียมยา? ที่นี่ทุกอย่างจะจริงจังกว่านี้มาก และเมื่อบรรทุกบรรทุกสินค้า ค่าเบี่ยงเบนมีแนวโน้มที่จะเกิดขึ้นมากกว่าค่านี้มาก ดังนั้นข้อผิดพลาดที่แท้จริงจึงไม่ได้ให้ข้อมูลมากนัก นอกจากนี้บ่อยครั้งที่พวกเขาคำนวณค่าเบี่ยงเบนสัมพัทธ์เพิ่มเติมซึ่งเท่ากับอัตราส่วนของข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ต่อค่าที่แน่นอนของตัวเลข เขียนโดยสูตรต่อไปนี้: δ = Δ x / x 0 .

คุณสมบัติข้อผิดพลาด

สมมติว่าเรามีปริมาณอิสระสองปริมาณ: x และ y เราจำเป็นต้องคำนวณค่าเบี่ยงเบนของมูลค่าโดยประมาณของผลรวม ในกรณีนี้ เราสามารถคำนวณข้อผิดพลาดสัมบูรณ์เป็นผลรวมของค่าเบี่ยงเบนสัมบูรณ์ที่คำนวณไว้ล่วงหน้าของแต่ละค่าความคลาดเคลื่อน ในการวัดบางอย่างอาจเกิดขึ้นได้ว่าข้อผิดพลาดในการกำหนดค่า x และ y ถูกยกเลิกซึ่งกันและกัน หรืออาจเกิดขึ้นได้ว่าผลจากการบวกทำให้ความเบี่ยงเบนรุนแรงขึ้นสูงสุด ดังนั้น เมื่อมีการคำนวณข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ทั้งหมด จะต้องพิจารณาสถานการณ์กรณีที่เลวร้ายที่สุดด้วย เช่นเดียวกับความแตกต่างระหว่างข้อผิดพลาดของปริมาณต่างๆ คุณสมบัตินี้เป็นลักษณะเฉพาะของข้อผิดพลาดสัมบูรณ์เท่านั้น และไม่สามารถใช้กับการเบี่ยงเบนสัมพัทธ์ได้ เนื่องจากจะนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้องอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ ลองดูสถานการณ์นี้โดยใช้ตัวอย่างต่อไปนี้

สมมติว่าการวัดภายในกระบอกสูบแสดงว่ารัศมีภายใน (R 1) เท่ากับ 97 มม. และรัศมีภายนอก (R 2) เท่ากับ 100 มม. จำเป็นต้องกำหนดความหนาของผนัง ก่อนอื่น มาหาความแตกต่าง: h = R 2 - R 1 = 3 มม. หากปัญหาไม่ได้ระบุว่าข้อผิดพลาดสัมบูรณ์คืออะไร ให้ถือว่าปัญหาดังกล่าวเป็นครึ่งหนึ่งของการแบ่งสเกลของอุปกรณ์ตรวจวัด ดังนั้น Δ(R 2) = Δ(R 1) = 0.5 มม. ความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ทั้งหมดคือ: Δ(h) = Δ(R 2) + Δ(R 1) = 1 มม. ทีนี้มาคำนวณค่าเบี่ยงเบนสัมพัทธ์ของค่าทั้งหมดกัน:

δ(R 1) = 0.5/100 = 0.005,

δ(R 1) = 0.5/97 data 0.0052,

δ(h) = Δ(h)/h = 1/3 data 0.3333>> δ(R 1)

อย่างที่คุณเห็น ข้อผิดพลาดในการวัดรัศมีทั้งสองไม่เกิน 5.2% และข้อผิดพลาดในการคำนวณความแตกต่าง - ความหนาของผนังกระบอกสูบ - มีมากถึง 33.(3)%!

สถานะคุณสมบัติต่อไปนี้: ค่าเบี่ยงเบนสัมพัทธ์ของผลิตภัณฑ์ของตัวเลขหลายจำนวนจะเท่ากับผลรวมของการเบี่ยงเบนสัมพัทธ์ของแต่ละปัจจัยโดยประมาณ:

δ(xy) ➤ δ(x) + δ(y)

นอกจากนี้กฎนี้ใช้ได้โดยไม่คำนึงถึงจำนวนค่าที่ได้รับการประเมิน คุณสมบัติที่สามและสุดท้ายของข้อผิดพลาดสัมพัทธ์คือการประมาณค่าสัมพัทธ์ของตัวเลข ระดับ kประมาณใน | เค | คูณความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ของตัวเลขเดิม

ในหัวข้อนี้ ฉันจะเขียนบางอย่าง เช่น แผ่นโกงสั้นๆ เกี่ยวกับข้อผิดพลาด ขอย้ำอีกครั้งว่าข้อความนี้ไม่ได้เป็นทางการแต่อย่างใด และไม่สามารถอ้างอิงถึงข้อความนี้ได้ ฉันจะขอบคุณสำหรับการแก้ไขข้อผิดพลาดหรือความไม่ถูกต้องใด ๆ ที่อาจมีอยู่ในข้อความนี้

ข้อผิดพลาดคืออะไร?

การบันทึกผลลัพธ์ของการทดลองในรูปแบบ () หมายความว่าหากเราทำการทดลองที่เหมือนกันจำนวนมาก ผลลัพธ์ที่ได้จะอยู่ในช่วง 70% และจะไม่อยู่ในช่วงเวลา 30%

หรือที่เหมือนกันคือถ้าเราทำการทดลองซ้ำ ผลลัพธ์ใหม่จะตกอยู่ในช่วงความเชื่อมั่นโดยมีความน่าจะเป็นเท่ากับความน่าจะเป็นของความเชื่อมั่น

จะปัดเศษข้อผิดพลาดและผลลัพธ์ได้อย่างไร

ข้อผิดพลาดจะถูกปัดเศษ ถึงเลขนัยสำคัญตัวแรกถ้ามันไม่ใช่อย่างใดอย่างหนึ่ง ถ้าหนึ่ง - ก็มากถึงสอง โดยที่ ตัวเลขที่สำคัญเรียกตัวเลขใดๆ ของผลลัพธ์ยกเว้นเลขศูนย์นำหน้า

ปัดเศษเป็นหรือหรือแต่ ไม่ว่าในกรณีใดก็ตาม หรือ เนื่องจากมีเลขนัยสำคัญ 2 ตัว - 2 และ 0 หลังทั้งสอง

ปัดเศษขึ้นหรือ

ปัดเศษขึ้นหรือ หรือ

เราปัดเศษผลลัพธ์เพื่อให้เลขนัยสำคัญสุดท้ายของผลลัพธ์สอดคล้องกับเลขนัยสำคัญสุดท้ายของข้อผิดพลาด

ตัวอย่าง รายการที่ถูกต้อง:

มม

อืม เราจะเก็บข้อผิดพลาดไว้ตรงนี้เป็นเลขนัยสำคัญ 2 หลัก เพราะเลขนัยสำคัญตัวแรกในข้อผิดพลาดคือหนึ่ง

มม

ตัวอย่าง รายการไม่ถูกต้อง:

มม. ที่นี่ ส่งผลให้มีสัญญาณพิเศษ. มม.จะถูกต้อง

มม. ที่นี่ เครื่องหมายพิเศษทั้งผิดพลาดและเป็นผลตามมา มม.จะถูกต้อง

ในงานของฉัน ฉันใช้ค่าที่มอบให้ฉันเป็นเพียงตัวเลข เช่น มวลของตุ้มน้ำหนัก ขอบของข้อผิดพลาดคืออะไร?

หากไม่ได้ระบุข้อผิดพลาดไว้อย่างชัดเจน คุณสามารถใช้หนึ่งในหลักสุดท้ายได้ นั่นคือถ้าเขียน m = 1.35 g ข้อผิดพลาดควรถือเป็น 0.01 g

มีฟังก์ชันของปริมาณหลายค่า แต่ละปริมาณเหล่านี้มีข้อผิดพลาดในตัวเอง ในการค้นหาข้อผิดพลาดของฟังก์ชันคุณต้องทำดังต่อไปนี้:

สัญลักษณ์หมายถึงอนุพันธ์ย่อยของ f เทียบกับ x อ่านเพิ่มเติมเกี่ยวกับอนุพันธ์บางส่วน

สมมติว่าคุณวัดปริมาณเท่ากัน xหลายครั้ง (n) เราได้รับชุดค่านิยม . คุณต้องคำนวณข้อผิดพลาดแบบกระจาย คำนวณข้อผิดพลาดของเครื่องมือ และเพิ่มเข้าด้วยกัน

จุดต่างๆ

1. เราคำนวณข้อผิดพลาดของสเปรด

หากค่าทั้งหมดตรงกัน คุณจะไม่มีสเปรด มิฉะนั้น จะเกิดข้อผิดพลาดแบบกระจายที่ต้องคำนวณ เริ่มต้นด้วยการคำนวณค่าคลาดเคลื่อนกำลังสองเฉลี่ยรูทของค่าเฉลี่ย:

ในที่นี้หมายถึงค่าเฉลี่ยโดยรวม
ข้อผิดพลาดแบบกระจายได้มาจากการคูณค่าคลาดเคลื่อนกำลังสองค่าเฉลี่ยรากของค่าเฉลี่ยด้วยค่าสัมประสิทธิ์นักเรียน ซึ่งขึ้นอยู่กับความน่าจะเป็นความเชื่อมั่นที่คุณเลือกและจำนวนการวัด n:

เรานำค่าสัมประสิทธิ์ของนักเรียนจากตารางด้านล่าง ความน่าจะเป็นของความเชื่อมั่นจะถูกสร้างขึ้นตามจำนวนการวัด nเราก็รู้เช่นกัน

2. เราพิจารณาข้อผิดพลาดของเครื่องมือโดยเฉลี่ย

หากข้อผิดพลาดของจุดต่างกันต่างกันไปตามสูตร

โดยธรรมชาติแล้ว ความน่าจะเป็นของความเชื่อมั่นของทุกคนควรจะเท่ากัน

3. เพิ่มค่าเฉลี่ยด้วยสเปรด

ข้อผิดพลาดจะรวมกันเป็นรากของกำลังสองเสมอ:

ในกรณีนี้ คุณต้องตรวจสอบให้แน่ใจว่าความน่าจะเป็นของความเชื่อมั่นที่คำนวณและตรงกัน

จะทราบข้อผิดพลาดของเครื่องมือของค่าเฉลี่ยจากกราฟได้อย่างไร นั่นคือการใช้วิธีจุดคู่หรือวิธีกำลังสองน้อยที่สุด เราจะพบข้อผิดพลาดในการแพร่กระจายของแนวต้านเฉลี่ย จะค้นหาข้อผิดพลาดของเครื่องมือของความต้านทานเฉลี่ยได้อย่างไร?

ทั้งวิธีกำลังสองน้อยที่สุดและวิธีจุดคู่สามารถให้คำตอบที่ชัดเจนสำหรับคำถามนี้ได้ สำหรับฟอรัมกำลังสองน้อยที่สุดใน Svetozarov จะมี ("พื้นฐาน ... " ส่วนเกี่ยวกับวิธีการกำลังสองน้อยที่สุด) และสำหรับคะแนนที่จับคู่สิ่งแรกที่นึกถึง (ตามที่พวกเขาพูดในหน้าผาก) คือการคำนวณเครื่องมือ ความคลาดเคลื่อนของสัมประสิทธิ์เชิงมุมแต่ละอัน ต่อไปในทุกประเด็น...

หากคุณไม่อยากทนทุกข์ทรมาน ก็มีวิธีง่ายๆ ในหนังสือแล็บ การประเมินข้อผิดพลาดของเครื่องมือของค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมคือจาก MNC ต่อไปนี้ (ตัวอย่างเช่นก่อนการทำงาน 1 ในหนังสือห้องปฏิบัติการ "เครื่องมือวัดทางไฟฟ้า .... " หน้าสุดท้ายของคำแนะนำระเบียบวิธี)

โดยที่ค่าเบี่ยงเบนสูงสุดตามแกน Y ของจุดที่มีข้อผิดพลาดจากเส้นตรงที่วาดและตัวส่วนคือความกว้างของพื้นที่กราฟของเราตามแนวแกน Y ในทำนองเดียวกันสำหรับแกน X

ระดับความแม่นยำเขียนอยู่บนแม็กกาซีนความต้านทาน: 0.05/4*10^-6? จะค้นหาข้อผิดพลาดของเครื่องมือจากสิ่งนี้ได้อย่างไร?

ซึ่งหมายความว่าข้อผิดพลาดสัมพัทธ์สูงสุดของอุปกรณ์ (เป็นเปอร์เซ็นต์) มีรูปแบบ:
, ที่ไหน
- มูลค่าสูงสุดความต้านทานสะสม a คือค่าระบุของความต้านทานที่รวมอยู่
เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าเทอมที่สองมีความสำคัญเมื่อเราทำงานที่แนวต้านที่ต่ำมาก

รายละเอียดเพิ่มเติมสามารถพบได้ในหนังสือเดินทางของอุปกรณ์ สามารถดูหนังสือเดินทางได้บนอินเทอร์เน็ตโดยพิมพ์แบรนด์ของอุปกรณ์ลงใน Google

วรรณกรรมเกี่ยวกับข้อผิดพลาด

ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้สามารถพบได้ในหนังสือที่แนะนำสำหรับนักศึกษา:
วี.วี. Svetozarov "การประมวลผลผลการวัดเบื้องต้น"

สำหรับวรรณกรรมเพิ่มเติม (สำหรับนักศึกษาใหม่เพิ่มเติม) เราสามารถแนะนำได้:
V.V. Svetozarov "พื้นฐานของการประมวลผลทางสถิติของผลการวัด"

และผู้ที่ต้องการเข้าใจทุกสิ่งในที่สุดควรดูที่นี่:
เจ. เทย์เลอร์. “ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับทฤษฎีข้อผิดพลาด”

ขอขอบคุณสำหรับการค้นหาและโพสต์หนังสือที่ยอดเยี่ยมเหล่านี้บนเว็บไซต์ของคุณ

ความหมายที่แท้จริง ปริมาณทางกายภาพแทบจะเป็นไปไม่ได้เลยที่จะระบุได้อย่างแม่นยำอย่างแน่นอนเพราะว่า การดำเนินการวัดใดๆ เกี่ยวข้องกับข้อผิดพลาดจำนวนหนึ่งหรืออีกนัยหนึ่งคือความไม่ถูกต้อง สาเหตุของข้อผิดพลาดอาจแตกต่างกันมาก การเกิดขึ้นอาจเกี่ยวข้องกับความไม่ถูกต้องในการผลิตและการปรับอุปกรณ์วัดเนื่องจากลักษณะทางกายภาพของวัตถุที่กำลังศึกษา (เช่น เมื่อวัดเส้นผ่านศูนย์กลางของเส้นลวดที่มีความหนาไม่สม่ำเสมอ ผลลัพธ์จะสุ่มขึ้นอยู่กับ การเลือกสถานที่วัด) เหตุผลแบบสุ่ม ฯลฯ

หน้าที่ของผู้ทดลองคือลดอิทธิพลที่มีต่อผลลัพธ์ และยังระบุด้วยว่าผลลัพธ์ที่ได้นั้นใกล้เคียงกับผลลัพธ์จริงเพียงใด

มีแนวคิดเกี่ยวกับข้อผิดพลาดสัมบูรณ์และข้อผิดพลาดสัมพัทธ์

ภายใต้ ข้อผิดพลาดแน่นอนการวัดจะเข้าใจความแตกต่างระหว่างผลการวัดและมูลค่าที่แท้จริงของปริมาณที่วัดได้:

∆x ผม =x ผม -x และ (2)

โดยที่ ∆x i คือความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ของการวัดครั้งที่ i, x i _ คือผลลัพธ์ของการวัดครั้งที่ i, x และเป็นค่าที่แท้จริงของค่าที่วัดได้

ผลลัพธ์ของการวัดทางกายภาพมักจะเขียนอยู่ในรูปแบบ:

โดยที่ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่วัดได้ ซึ่งใกล้เคียงกับค่าจริงมากที่สุด (ความถูกต้องของ x และ µ จะแสดงอยู่ด้านล่าง) คือค่าความผิดพลาดในการวัดสัมบูรณ์

ควรเข้าใจความเท่าเทียมกัน (3) ในลักษณะที่ว่าค่าที่แท้จริงของปริมาณที่วัดได้นั้นอยู่ในช่วง [ - , + ]

ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์คือปริมาณมิติซึ่งมีมิติเดียวกันกับปริมาณที่วัดได้

ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ไม่ได้ระบุถึงความแม่นยำของการวัดที่ทำไปอย่างสมบูรณ์ ในความเป็นจริง ถ้าเราวัดส่วนที่ยาว 1 ม. และ 5 มม. โดยมีข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ ± 1 มม. เท่ากัน ความแม่นยำของการวัดจะไม่มีใครเทียบได้ ดังนั้น นอกจากข้อผิดพลาดในการวัดสัมบูรณ์แล้ว ยังมีการคำนวณข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ด้วย

ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์การวัดคืออัตราส่วนของข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ต่อค่าที่วัดได้เอง:

ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์เป็นปริมาณที่ไม่มีมิติ แสดงเป็นเปอร์เซ็นต์:

ในตัวอย่างข้างต้น ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์คือ 0.1% และ 20% ถึงแม้จะมีความแตกต่างกันอย่างเห็นได้ชัดก็ตาม ค่าสัมบูรณ์เหมือนกัน. ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ให้ข้อมูลเกี่ยวกับความถูกต้อง

ข้อผิดพลาดในการวัด

ตามลักษณะของการสำแดงและสาเหตุของการเกิดข้อผิดพลาด พวกเขาสามารถแบ่งออกเป็นประเภทต่อไปนี้: เครื่องมือ, เป็นระบบ, สุ่มและพลาด (ข้อผิดพลาดขั้นต้น)

ข้อผิดพลาดเกิดจากความผิดปกติของอุปกรณ์หรือการละเมิดวิธีการหรือเงื่อนไขการทดลองหรือมีลักษณะเป็นส่วนตัว ในทางปฏิบัติ สิ่งเหล่านี้ถูกกำหนดให้เป็นผลลัพธ์ที่แตกต่างจากผู้อื่นอย่างมาก เพื่อกำจัดเหตุการณ์ดังกล่าวจำเป็นต้องระมัดระวังและถี่ถ้วนเมื่อทำงานกับอุปกรณ์ ผลลัพธ์ที่มีข้อผิดพลาดจะต้องถูกแยกออกจากการพิจารณา (ละทิ้ง)

ข้อผิดพลาดของเครื่องมือ หากอุปกรณ์วัดอยู่ในสภาพการทำงานที่ดีและมีการปรับเปลี่ยน การวัดสามารถทำได้ด้วยความแม่นยำจำกัดซึ่งพิจารณาจากประเภทของอุปกรณ์ เป็นเรื่องปกติที่จะต้องพิจารณาข้อผิดพลาดของเครื่องมือของเครื่องมือชี้ให้เท่ากับครึ่งหนึ่งของส่วนที่เล็กที่สุดของสเกล ในเครื่องมือที่มีการอ่านข้อมูลแบบดิจิทัล ข้อผิดพลาดของเครื่องมือจะเท่ากับค่าของตัวเลขที่เล็กที่สุดหนึ่งหลักจากมาตราส่วนของเครื่องมือ

ข้อผิดพลาดที่เป็นระบบคือข้อผิดพลาดที่มีขนาดและเครื่องหมายคงที่สำหรับการวัดทั้งชุดที่ดำเนินการโดยวิธีการเดียวกันและใช้เครื่องมือวัดเดียวกัน

เมื่อทำการวัด สิ่งสำคัญไม่เพียงแต่จะต้องคำนึงถึงข้อผิดพลาดที่เป็นระบบเท่านั้น แต่ยังจำเป็นต้องตรวจสอบให้แน่ใจด้วยว่าได้กำจัดออกไปแล้ว

ข้อผิดพลาดที่เป็นระบบแบ่งออกเป็นสี่กลุ่มตามอัตภาพ:

1) ข้อผิดพลาดซึ่งทราบธรรมชาติและสามารถกำหนดขนาดได้อย่างแม่นยำ ข้อผิดพลาดดังกล่าวได้แก่ การเปลี่ยนแปลงมวลที่วัดได้ในอากาศ ซึ่งขึ้นอยู่กับอุณหภูมิ ความชื้น ความกดอากาศ เป็นต้น

2) ข้อผิดพลาด ซึ่งทราบลักษณะของข้อผิดพลาด แต่ไม่ทราบขนาดของข้อผิดพลาด ข้อผิดพลาดดังกล่าวรวมถึงข้อผิดพลาดที่เกิดจากอุปกรณ์วัด: ความผิดปกติของอุปกรณ์เอง สเกลที่ไม่สอดคล้องกับค่าศูนย์ หรือระดับความแม่นยำของอุปกรณ์

3) ข้อผิดพลาด การมีอยู่ของสิ่งนั้นอาจไม่น่าสงสัย แต่ขนาดของข้อผิดพลาดมักมีนัยสำคัญ ข้อผิดพลาดดังกล่าวเกิดขึ้นบ่อยที่สุดในการวัดที่ซับซ้อน ตัวอย่างง่ายๆข้อผิดพลาดดังกล่าวคือการวัดความหนาแน่นของตัวอย่างบางส่วนที่มีช่องอยู่ภายใน

4) ข้อผิดพลาดที่เกิดจากลักษณะของวัตถุการวัดนั้นเอง ตัวอย่างเช่น เมื่อทำการวัดค่าการนำไฟฟ้าของโลหะ จะมีการดึงลวดเส้นหนึ่งมาจากชิ้นหลัง ข้อผิดพลาดอาจเกิดขึ้นได้หากมีข้อบกพร่องในวัสดุ - รอยแตก, ความหนาของเส้นลวดหรือความไม่เป็นเนื้อเดียวกันซึ่งเปลี่ยนความต้านทาน

ข้อผิดพลาดแบบสุ่มคือข้อผิดพลาดที่เปลี่ยนแปลงแบบสุ่มทั้งเครื่องหมายและขนาดภายใต้เงื่อนไขที่เหมือนกันของการวัดซ้ำในปริมาณเดียวกัน

ข้อมูลที่เกี่ยวข้อง.

ในการใช้งานจริงของกระบวนการวัดโดยไม่คำนึงถึงความแม่นยำของเครื่องมือวัด ความถูกต้องของวิธีการและความทั่วถึง
ทำการวัดผลการวัดจะแตกต่างไปจาก ความหมายที่แท้จริงปริมาณที่วัดได้เช่น ข้อผิดพลาดในการวัดเป็นสิ่งที่หลีกเลี่ยงไม่ได้ เมื่อประเมินข้อผิดพลาด ระบบจะใช้มูลค่าจริงแทนมูลค่าจริง ดังนั้นจึงสามารถให้ค่าประมาณโดยประมาณของข้อผิดพลาดในการวัดได้เท่านั้น การประเมินความน่าเชื่อถือของผลการวัด เช่น การระบุข้อผิดพลาดในการวัดถือเป็นหนึ่งในงานหลักของมาตรวิทยา
ข้อผิดพลาดคือการเบี่ยงเบนของผลการวัดจากค่าที่แท้จริงของค่าที่วัดได้ ข้อผิดพลาดสามารถแบ่งคร่าวๆ ได้เป็นข้อผิดพลาดของเครื่องมือวัดและข้อผิดพลาดของผลการวัด
ข้อผิดพลาดของเครื่องมือวัดถูกกล่าวถึงในบทที่ 3
ผลการวัดผิดพลาดคือตัวเลขที่ระบุขีดจำกัดที่เป็นไปได้ของความไม่แน่นอนในค่าของปริมาณที่วัดได้
ด้านล่างเราจะจำแนกประเภทและพิจารณาข้อผิดพลาดของผลการวัด
โดยวิธีนิพจน์เชิงตัวเลขแตกต่าง ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์และข้อผิดพลาดสัมพัทธ์
ขึ้นอยู่กับแหล่งที่มาของเหตุการณ์มีข้อผิดพลาด เครื่องมือ วิธีการ การนับและการติดตั้ง
ตามรูปแบบที่แสดงออกข้อผิดพลาดในการวัดจะถูกหารด้วย เป็นระบบ ก้าวหน้า สุ่ม และขั้นต้น
ให้เราพิจารณาข้อผิดพลาดในการวัดเหล่านี้โดยละเอียด

4.1. ข้อผิดพลาดที่แน่นอนและสัมพันธ์กัน

ข้อผิดพลาดแน่นอน D คือความแตกต่างระหว่าง X ที่วัดได้กับ X จริงและค่าของปริมาณที่วัดได้ ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์แสดงเป็นหน่วยของค่าที่วัดได้: D = X - Chi
เนื่องจากไม่สามารถระบุมูลค่าที่แท้จริงของปริมาณที่วัดได้ ในทางปฏิบัติจึงใช้ค่าที่แท้จริงของปริมาณที่วัดได้ Xd แทน ค่าที่แท้จริงพบได้จากการทดลองโดยใช้วิธีการและเครื่องมือวัดที่แม่นยำพอสมควร มันแตกต่างเพียงเล็กน้อยจากมูลค่าที่แท้จริงและสามารถนำมาใช้แทนในการแก้ปัญหาได้ ในระหว่างการตรวจสอบ โดยปกติการอ่านค่าของเครื่องมือวัดมาตรฐานจะถือเป็นค่าจริง ดังนั้นในทางปฏิบัติจึงพบข้อผิดพลาดสัมบูรณ์โดยใช้สูตร D » X - Xd ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ d คืออัตราส่วนของข้อผิดพลาดในการวัดสัมบูรณ์ต่อค่าจริง (จริง) ของปริมาณที่วัดได้ (โดยปกติจะแสดงเป็นเปอร์เซ็นต์):

4.2. ข้อผิดพลาดด้านเครื่องมือและระเบียบวิธี
การนับและการตั้งค่า

เครื่องดนตรีข้อผิดพลาด (เครื่องมือหรือฮาร์ดแวร์) เป็นข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้น เครื่องมือนี้การวัดสามารถกำหนดได้ในระหว่างการทดสอบและป้อนลงในหนังสือเดินทาง
ข้อผิดพลาดเหล่านี้เกิดจากข้อบกพร่องด้านการออกแบบและเทคโนโลยีของเครื่องมือวัด รวมถึงผลของการสึกหรอ อายุ หรือการทำงานผิดปกติ ข้อผิดพลาดของเครื่องมือที่เกิดจากข้อผิดพลาดของเครื่องมือวัดที่ใช้ ได้ถูกกล่าวถึงในบทที่ 3
อย่างไรก็ตาม นอกเหนือจากข้อผิดพลาดเกี่ยวกับเครื่องมือแล้ว ในระหว่างการวัดยังมีข้อผิดพลาดที่ไม่สามารถนำมาประกอบกับอุปกรณ์ที่กำหนด ไม่สามารถระบุในหนังสือเดินทางและถูกเรียก มีระเบียบแบบแผนเหล่านั้น. ไม่เกี่ยวข้องกับอุปกรณ์ แต่เกี่ยวข้องกับวิธีการใช้งาน
ข้อผิดพลาดด้านระเบียบวิธีอาจเกิดขึ้นเนื่องจากการพัฒนาที่ไม่สมบูรณ์ของทฤษฎีปรากฏการณ์ที่เป็นรากฐานของวิธีการวัด ความไม่ถูกต้องของความสัมพันธ์ที่ใช้ในการค้นหาการประมาณค่าที่วัดได้ ตลอดจนเนื่องจากความแตกต่างระหว่างค่าที่วัดได้และแบบจำลองของมัน
ลองพิจารณาตัวอย่างที่แสดงให้เห็นข้อผิดพลาดในการวัดตามระเบียบวิธี
วัตถุประสงค์ของการศึกษาคือแหล่งกำเนิดแรงดันไฟฟ้ากระแสสลับซึ่งมีค่าแอมพลิจูด อืมจำเป็นต้องวัด จากการศึกษาเบื้องต้นของวัตถุวิจัย ได้มีการนำเครื่องกำเนิดแรงดันไฟฟ้าแบบไซนูซอยด์มาเป็นแบบจำลอง การใช้โวลต์มิเตอร์ที่ออกแบบมาเพื่อวัดค่าประสิทธิผลของแรงดันไฟฟ้ากระแสสลับและการทราบความสัมพันธ์ระหว่างค่าประสิทธิผลและค่าแอมพลิจูดของแรงดันไซน์ซอยด์ทำให้เราได้ผลลัพธ์การวัดในรูปแบบ เอิ่ม = × ยูวีที่ไหน ยูวี-การอ่านโวลต์มิเตอร์ การศึกษาวัตถุอย่างละเอียดมากขึ้นอาจเผยให้เห็นว่ารูปร่างของแรงดันไฟฟ้าที่วัดได้แตกต่างจากไซน์ซอยด์ และมีความสัมพันธ์ที่ถูกต้องมากขึ้นระหว่างค่าของปริมาณที่วัดได้กับค่าที่อ่านได้ของโวลต์มิเตอร์ เอิ่ม =เค× ยูวี,ที่ไหน เค¹ . ดังนั้น ความไม่สมบูรณ์ของแบบจำลองที่นำมาใช้ของวัตถุวิจัยทำให้เกิดข้อผิดพลาดในการวัดระเบียบวิธี ดียู = × ยูวี-เค× ยูวี
ข้อผิดพลาดนี้สามารถลดลงได้โดยการคำนวณค่า เคโดยอาศัยการวิเคราะห์รูปร่างของเส้นโค้งแรงดันไฟฟ้าที่วัดได้หรือโดยการเปลี่ยนเครื่องมือวัดโดยใช้โวลต์มิเตอร์ที่ออกแบบมาเพื่อวัดค่าแอมพลิจูดของแรงดันไฟฟ้ากระแสสลับ
สาเหตุที่พบบ่อยมากสำหรับการเกิดข้อผิดพลาดด้านระเบียบวิธีคือข้อเท็จจริงที่ว่าเมื่อจัดระเบียบการวัด เราถูกบังคับให้วัด (หรือวัดอย่างมีสติ) ไม่ใช่ค่าที่ควรวัด แต่เป็นค่าอื่นที่ใกล้เคียงกัน แต่ไม่เท่ากับค่านั้น .

ตัวอย่างของข้อผิดพลาดด้านระเบียบวิธีดังกล่าวคือข้อผิดพลาดในการวัดแรงดันไฟฟ้าด้วยโวลต์มิเตอร์ที่มีความต้านทานจำกัด (รูปที่ 4.1)
เนื่องจากโวลต์มิเตอร์แบ่งส่วนของวงจรที่วัดแรงดันไฟฟ้าจึงปรากฏว่าน้อยกว่าก่อนเชื่อมต่อโวลต์มิเตอร์ อันที่จริงแรงดันไฟฟ้าที่โวลต์มิเตอร์จะแสดงนั้นถูกกำหนดโดยการแสดงออก ยู = ฉัน×รโวลต์. โดยพิจารณาว่ากระแสในวงจร ฉัน =อี/(รี+รถบ้าน),ที่
< .
ดังนั้นสำหรับโวลต์มิเตอร์เดียวกันซึ่งเชื่อมต่อสลับกับส่วนต่าง ๆ ของวงจรที่กำลังศึกษาอยู่ ข้อผิดพลาดนี้จะแตกต่างกัน: ในส่วนที่มีความต้านทานต่ำนั้นไม่สำคัญ แต่ในส่วนที่มีความต้านทานสูงอาจมีขนาดใหญ่มาก ข้อผิดพลาดนี้สามารถกำจัดได้หากโวลต์มิเตอร์เชื่อมต่ออยู่กับส่วนนี้ของวงจรตลอดเวลาตลอดเวลาที่อุปกรณ์ทำงาน (เช่นเดียวกับบนแผงสวิตช์ของโรงไฟฟ้า) แต่สิ่งนี้ไม่ได้ประโยชน์ด้วยเหตุผลหลายประการ
มักมีกรณีที่โดยทั่วไปเป็นเรื่องยากที่จะระบุวิธีการวัดที่ไม่รวมถึงข้อผิดพลาดด้านระเบียบวิธี ตัวอย่างเช่น ให้วัดอุณหภูมิของแท่งโลหะร้อนที่มาจากเตาเผาไปยังโรงรีด คำถามคือ จะวางเซ็นเซอร์อุณหภูมิไว้ที่ไหน (เช่น เทอร์โมคัปเปิล): ไว้ใต้ช่องว่าง ด้านข้าง หรือเหนือช่องว่าง ไม่ว่าเราจะวางไว้ที่ใดเราจะไม่วัดอุณหภูมิภายในตัวของช่องว่างนั่นคือ เราจะมีข้อผิดพลาดด้านระเบียบวิธีที่สำคัญ เนื่องจากเราไม่ได้วัดสิ่งที่จำเป็น แต่เป็นสิ่งที่ง่ายกว่า (เป็นไปไม่ได้ที่จะเจาะช่องในแต่ละช่องว่างเพื่อวางเทอร์โมคัปเปิลไว้ตรงกลาง)
ดังนั้นหลัก คุณสมบัติที่โดดเด่นข้อผิดพลาดด้านระเบียบวิธีคือความจริงที่ว่าไม่สามารถระบุได้ในหนังสือเดินทางของเครื่องมือ แต่ต้องได้รับการประเมินโดยผู้ทดลองเองเมื่อจัดเทคนิคการวัดที่เลือก ดังนั้นเขาจึงต้องแยกแยะความแตกต่างระหว่างข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้นจริงอย่างชัดเจน วัดได้พวกเขามีขนาดเท่ากับ ขึ้นอยู่กับการวัด
ข้อผิดพลาดในการอ่านเกิดขึ้นเนื่องจากการอ่านที่แม่นยำไม่เพียงพอ เป็นเพราะลักษณะส่วนตัวของผู้สังเกตการณ์ (เช่น ข้อผิดพลาดในการประมาณค่า เช่น การอ่านเศษส่วนที่ไม่ถูกต้องบนสเกลเครื่องมือ) และประเภทของอุปกรณ์อ่าน (เช่น ข้อผิดพลาดพารัลแลกซ์) ไม่มีข้อผิดพลาดในการอ่านเมื่อใช้เครื่องมือวัดแบบดิจิทัล ซึ่งเป็นเหตุผลหนึ่งที่ทำให้เกิดแนวโน้มในภายหลัง
ข้อผิดพลาดในการติดตั้งเกิดจากการเบี่ยงเบนเงื่อนไขการวัดไปจากปกติ เช่น เงื่อนไขในการสอบเทียบและทวนสอบเครื่องมือวัด ซึ่งรวมถึงข้อผิดพลาดจากการติดตั้งอุปกรณ์ในพื้นที่หรือตัวชี้ไม่ถูกต้อง เครื่องหมายศูนย์จากการเปลี่ยนแปลงของอุณหภูมิ แรงดันไฟจ่าย และปริมาณที่มีอิทธิพลอื่นๆ
ประเภทของข้อผิดพลาดที่พิจารณามีความเหมาะสมเท่าเทียมกันในการกำหนดลักษณะความแม่นยำของทั้งผลการวัดแต่ละรายการและเครื่องมือวัด

4.3. ข้อผิดพลาดที่เป็นระบบ ก้าวหน้า สุ่ม และร้ายแรง

ข้อผิดพลาดในการวัดอย่างเป็นระบบ Dc เป็นองค์ประกอบของข้อผิดพลาดในการวัดที่คงที่หรือเปลี่ยนแปลงตามธรรมชาติด้วยการวัดซ้ำในปริมาณเดียวกัน
สาเหตุของข้อผิดพลาดที่เป็นระบบมักจะสามารถเกิดขึ้นได้ในระหว่างการเตรียมและการดำเนินการวัด เหตุผลเหล่านี้มีความหลากหลายมาก: ความไม่สมบูรณ์ของเครื่องมือวัดและวิธีการที่ใช้ การติดตั้งเครื่องมือวัดที่ไม่ถูกต้อง อิทธิพล ปัจจัยภายนอก(ปริมาณที่มีอิทธิพลต่อ) ต่อพารามิเตอร์ของเครื่องมือวัดและบนวัตถุการวัดเอง ข้อบกพร่องของวิธีการวัด (ข้อผิดพลาดของระเบียบวิธี) ลักษณะเฉพาะของผู้ปฏิบัติงาน (ข้อผิดพลาดเชิงอัตนัย) เป็นต้น ตามลักษณะของการสำแดงข้อผิดพลาดอย่างเป็นระบบแบ่งออกเป็นค่าคงที่และตัวแปร ค่าคงที่ได้แก่ ข้อผิดพลาดที่เกิดจากการปรับค่าการวัดที่ไม่ถูกต้อง การสอบเทียบมาตราส่วนของเครื่องมือที่ไม่ถูกต้อง การติดตั้งเครื่องมือที่ไม่ถูกต้องสัมพันธ์กับทิศทางของสนามแม่เหล็ก เป็นต้น ข้อผิดพลาดเชิงระบบแบบแปรผันเกิดจากอิทธิพลของปริมาณที่มีอิทธิพลต่อกระบวนการวัดและอาจเกิดขึ้นได้เช่นเมื่อเปลี่ยนแรงดันไฟฟ้าของแหล่งจ่ายไฟของอุปกรณ์ สนามแม่เหล็กภายนอก ความถี่ของแรงดันไฟฟ้ากระแสสลับที่วัดได้ เป็นต้น คุณสมบัติหลักของ ข้อผิดพลาดที่เป็นระบบคือการพึ่งพาปริมาณที่มีอิทธิพลนั้นอยู่ภายใต้กฎหมายบางประการ สามารถศึกษากฎหมายนี้ได้และสามารถชี้แจงผลการวัดได้โดยการแนะนำการแก้ไขหากกำหนดค่าตัวเลขของข้อผิดพลาดเหล่านี้ อีกวิธีหนึ่งในการลดอิทธิพลของข้อผิดพลาดที่เป็นระบบคือการใช้วิธีการวัดที่ทำให้สามารถกำจัดอิทธิพลของข้อผิดพลาดที่เป็นระบบได้โดยไม่ต้องกำหนดค่า (เช่นวิธีการทดแทน)
ผลลัพธ์ของการวัดคือยิ่งใกล้กับค่าที่แท้จริงของค่าที่วัดได้มากเท่าใด ข้อผิดพลาดเชิงระบบที่ไม่ถูกแยกที่เหลืออยู่ก็จะยิ่งน้อยลงเท่านั้น การมีอยู่ของข้อผิดพลาดที่เป็นระบบที่แยกออกจะเป็นตัวกำหนดความแม่นยำของการวัด คุณภาพที่สะท้อนถึงความใกล้เคียงกับศูนย์ของข้อผิดพลาดที่เป็นระบบ ผลการวัดจะแม่นยำเท่าที่ไม่ถูกบิดเบือนจากข้อผิดพลาดที่เป็นระบบ และยิ่งข้อผิดพลาดเหล่านี้น้อยลงเท่าใดก็ยิ่งถูกต้องมากขึ้นเท่านั้น
ความก้าวหน้า(หรือการดริฟท์) คือข้อผิดพลาดที่คาดเดาไม่ได้ซึ่งเปลี่ยนแปลงอย่างช้าๆ เมื่อเวลาผ่านไป ตามกฎแล้วข้อผิดพลาดเหล่านี้เกิดจากกระบวนการเสื่อมสภาพของบางส่วนของอุปกรณ์ (การคายประจุของแหล่งจ่ายไฟ, การเสื่อมสภาพของตัวต้านทาน, ตัวเก็บประจุ, การเสียรูปของชิ้นส่วนเครื่องจักรกล, การหดตัวของเทปกระดาษในเครื่องบันทึก ฯลฯ ) คุณลักษณะของข้อผิดพลาดแบบก้าวหน้าคือสามารถแก้ไขได้โดยทำการแก้ไข ณ จุดที่กำหนดเท่านั้น แล้วจึงเพิ่มขึ้นอีกครั้งอย่างไม่อาจคาดเดาได้ ดังนั้น ซึ่งแตกต่างจากข้อผิดพลาดที่เป็นระบบซึ่งสามารถแก้ไขได้โดยการแก้ไขที่พบเพียงครั้งเดียวตลอดอายุการใช้งานทั้งหมดของอุปกรณ์ ข้อผิดพลาดแบบก้าวหน้าจำเป็นต้องแก้ไขซ้ำอย่างต่อเนื่อง และยิ่งบ่อยครั้งค่าคงเหลือก็จะน้อยลงเท่านั้น คุณลักษณะอีกประการหนึ่งของข้อผิดพลาดแบบก้าวหน้าคือการเปลี่ยนแปลงเมื่อเวลาผ่านไปเป็นกระบวนการสุ่มที่ไม่คงที่ ดังนั้นภายในกรอบของทฤษฎีกระบวนการสุ่มแบบคงที่ที่ได้รับการพัฒนามาอย่างดี จึงสามารถอธิบายได้โดยต้องมีการจองเท่านั้น
ข้อผิดพลาดในการวัดแบบสุ่ม— องค์ประกอบของข้อผิดพลาดในการวัดที่เปลี่ยนแปลงแบบสุ่มระหว่างการวัดซ้ำในปริมาณเดียวกัน ไม่สามารถระบุค่าและสัญญาณของข้อผิดพลาดแบบสุ่มได้ เนื่องจากไม่สามารถนำมาพิจารณาได้โดยตรงเนื่องจากการเปลี่ยนแปลงที่วุ่นวายซึ่งเกิดจากอิทธิพลของปัจจัยต่างๆ ที่เกิดขึ้นพร้อมกันโดยไม่ขึ้นอยู่กับปัจจัยอื่นๆ ต่อผลการวัด ข้อผิดพลาดแบบสุ่มจะถูกตรวจพบในระหว่างการวัดซ้ำๆ ในปริมาณเดียวกัน (การวัดแต่ละครั้งในกรณีนี้เรียกว่าการสังเกต) โดยใช้เครื่องมือวัดเดียวกันภายใต้สภาวะเดียวกันโดยผู้สังเกตการณ์คนเดียวกัน กล่าวคือ สำหรับการวัดที่มีความแม่นยำเท่ากัน (กระจายตัวเท่ากัน) อิทธิพลของข้อผิดพลาดแบบสุ่มต่อผลการวัดจะถูกนำมาพิจารณาโดยวิธีสถิติทางคณิตศาสตร์และทฤษฎีความน่าจะเป็น
ข้อผิดพลาดในการวัดรวม -ข้อผิดพลาดในการวัดแบบสุ่มซึ่งเกินกว่าข้อผิดพลาดที่คาดไว้อย่างมากภายใต้เงื่อนไขที่กำหนด
ข้อผิดพลาดโดยรวม (พลาด) มักเกิดจากการอ่านค่าที่ไม่ถูกต้องจากเครื่องมือ ข้อผิดพลาดในการบันทึกการสังเกต การมีอยู่ของปริมาณที่มีอิทธิพลอย่างมาก การทำงานผิดปกติของเครื่องมือวัด และสาเหตุอื่นๆ ตามกฎแล้ว ผลการวัดที่มีข้อผิดพลาดรวมจะไม่ถูกนำมาพิจารณา ดังนั้นข้อผิดพลาดรวมจึงมีผลกระทบเพียงเล็กน้อยต่อความแม่นยำของการวัด การตรวจจับข้อผิดพลาดไม่ใช่เรื่องง่ายเสมอไป โดยเฉพาะอย่างยิ่งจากการวัดเพียงครั้งเดียว บ่อยครั้งเป็นการยากที่จะแยกแยะข้อผิดพลาดโดยรวมจากข้อผิดพลาดแบบสุ่มขนาดใหญ่ หากข้อผิดพลาดร้ายแรงเกิดขึ้นบ่อยครั้ง เราจะตั้งคำถามกับผลลัพธ์การวัดทั้งหมด ดังนั้นข้อผิดพลาดโดยรวมจึงส่งผลต่อความถูกต้องของการวัด
ในการสรุปการแบ่งข้อผิดพลาดของเครื่องมือและผลการวัดที่อธิบายไว้เป็นองค์ประกอบแบบสุ่มก้าวหน้าและเป็นระบบจำเป็นต้องให้ความสนใจกับความจริงที่ว่าการแบ่งดังกล่าวเป็นวิธีการวิเคราะห์ที่ง่ายมาก ดังนั้น เราควรจำไว้เสมอว่าในความเป็นจริง องค์ประกอบข้อผิดพลาดเหล่านี้จะปรากฏขึ้นพร้อมกันและก่อให้เกิดกระบวนการสุ่มที่ไม่คงที่เพียงกระบวนการเดียว ข้อผิดพลาดของผลการวัดสามารถแสดงในรูปแบบของผลรวมของข้อผิดพลาดแบบสุ่มและเป็นระบบDс: D = Dс + ข้อผิดพลาดในการวัดรวมถึงองค์ประกอบแบบสุ่ม ดังนั้นจึงควรถือเป็นตัวแปรสุ่ม
เมื่อพิจารณาถึงลักษณะของการแสดงข้อผิดพลาดในการวัดแสดงให้เราเห็นว่าเท่านั้น ทางที่ถูกทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์ช่วยให้เราสามารถประมาณค่าความผิดพลาดได้

4.4. แนวทางความน่าจะเป็นในการอธิบายข้อผิดพลาด

กฎการกระจายข้อผิดพลาดแบบสุ่มข้อผิดพลาดแบบสุ่มจะถูกตรวจพบเมื่อมีการวัดจำนวนหนึ่งที่มีปริมาณเท่ากัน ตามกฎแล้วผลลัพธ์ของการวัดจะไม่ตรงกันเนื่องจากเนื่องจากอิทธิพลรวมของปัจจัยต่าง ๆ มากมายที่ไม่สามารถนำมาพิจารณาได้ การวัดใหม่แต่ละครั้งยังให้ค่าสุ่มใหม่ของปริมาณที่วัดได้ หากดำเนินการวัดอย่างถูกต้องมีจำนวนเพียงพอและไม่รวมข้อผิดพลาดและข้อผิดพลาดอย่างเป็นระบบอาจเป็นที่ถกเถียงกันอยู่ว่าค่าที่แท้จริงของปริมาณที่วัดได้นั้นไม่เกินค่าที่ได้รับจากการวัดเหล่านี้ ยังไม่ทราบจนกว่าจะทราบค่าที่เป็นไปได้ตามทฤษฎีของข้อผิดพลาดแบบสุ่ม
ให้วัดปริมาณ A ปครั้งและสังเกตค่า a1, a2, a3,...,a ฉัน,...,หนึ่ง. ความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์แบบสุ่มของการวัดครั้งเดียวถูกกำหนดโดยความแตกต่าง
ดิ = ไอ - เอ (4.1)
โดยกราฟิก ผลลัพธ์ของการวัดแต่ละรายการจะแสดงไว้ในรูปที่ 1 4.2.
เมื่อเพียงพอ จำนวนมาก ปข้อผิดพลาดเดียวกันหากมีค่าไม่ต่อเนื่องกันจำนวนหนึ่ง จะถูกทำซ้ำ ดังนั้น จึงเป็นไปได้ที่จะสร้างความถี่สัมพัทธ์ (ความถี่) ของการเกิดขึ้น เช่น อัตราส่วนของจำนวนข้อมูลที่เหมือนกันที่ได้รับ ไมล์ถึง จำนวนทั้งหมดการวัดที่ดำเนินการ ป.เมื่อทำการวัดค่าต่อไป กความถี่นี้จะไม่เปลี่ยนแปลง ดังนั้นจึงถือว่าความน่าจะเป็นของข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้นในการวัดเหล่านี้: พี(AI) = ไมล์ / n.

การพึ่งพาทางสถิติของความน่าจะเป็นของการเกิดข้อผิดพลาดแบบสุ่มกับค่านั้นเรียกว่า กฎแห่งการกระจายข้อผิดพลาดหรือ กฎการกระจายความน่าจะเป็น. กฎหมายฉบับนี้กำหนดลักษณะของลักษณะที่ปรากฏของผลลัพธ์ต่างๆ ของการวัดแต่ละรายการ คำอธิบายของกฎหมายการกระจายสินค้ามีสองประเภท: บูรณาการและ ส่วนต่าง.
กฎหมายบูรณาการ, หรือ ฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นฉ(ดี ) ข้อผิดพลาดแบบสุ่ม Di วีฉันประสบการณ์ เรียกใช้ฟังก์ชันที่มีค่าสำหรับแต่ละ D คือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ร(ง)ซึ่งประกอบด้วยความจริงที่ว่าข้อผิดพลาดแบบสุ่ม Di รับค่าน้อยกว่าค่า D ที่แน่นอนนั่นคือ การทำงาน ฉ(ดี ) = พี[ดิ < ดี ]. เมื่อ D เปลี่ยนจาก -¥ เป็น +¥ ฟังก์ชันนี้รับค่าจาก 0 เป็น 1 และไม่ลดลง มีอยู่สำหรับตัวแปรสุ่มทั้งหมด ทั้งแบบไม่ต่อเนื่องและต่อเนื่อง (รูปที่ 4.3 ก)
ถ้า ฉ(ง)สมมาตรเกี่ยวกับจุด เอ,ความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกันคือ 0.5 จากนั้นการกระจายตัวของผลลัพธ์การสังเกตจะสมมาตรสัมพันธ์กับค่าจริง ก.ในกรณีนี้จะแนะนำให้เลือก ฉ(ง)เลื่อนไปตามแกน x ด้วยค่า DA เช่น กำจัดข้อผิดพลาดอย่างเป็นระบบ (ดา =ดซ)และรับฟังก์ชันการกระจายขององค์ประกอบสุ่มของข้อผิดพลาด ด=(รูปที่ 4.3 ข) ฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นของข้อผิดพลาด ดีแตกต่างจากฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นขององค์ประกอบสุ่มของข้อผิดพลาดโดยการเลื่อนไปตามแกน x ด้วยค่าขององค์ประกอบที่เป็นระบบของข้อผิดพลาด กระแสตรง.
กฎหมายที่แตกต่าง การแจกแจงความน่าจะเป็นสำหรับข้อผิดพลาดแบบสุ่มพร้อมฟังก์ชันการแจกแจงแบบต่อเนื่องและหาอนุพันธ์ได้ ฉ(ง)เรียกใช้ฟังก์ชัน . การพึ่งพาอาศัยกันนี้มีอยู่ ความหนาแน่นของการแจกแจงความน่าจะเป็นแผนภาพความหนาแน่นของความน่าจะเป็นอาจมี รูปร่างที่แตกต่างกันขึ้นอยู่กับกฎหมายการกระจายข้อผิดพลาด สำหรับ ฉ(ง)ดังแสดงในรูป 4.3 ข เส้นโค้งการกระจาย ฉ(ง)มีรูปร่างใกล้เคียงกับระฆัง (รูปที่ 4.3 ค)
ความน่าจะเป็นของข้อผิดพลาดแบบสุ่มถูกกำหนดโดยพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง ฉ(ง)หรือบางส่วนและแกน abscissa (รูปที่ 4.3 c) ขึ้นอยู่กับช่วงข้อผิดพลาดที่พิจารณา .

ความหมาย ฉ(ง)งดีมีองค์ประกอบของความน่าจะเป็น เท่ากับพื้นที่สี่เหลี่ยมพร้อมฐาน งดีและแอบซิสซา D1,D2,เรียกว่าควอไทล์ เพราะ เอฟ(+¥)= 1 แล้วความเท่าเทียมกันเป็นจริง ,
เหล่านั้น. พื้นที่ใต้เส้นโค้ง ฉ(ง)ตามกฎการทำให้เป็นมาตรฐานจะเท่ากับหนึ่งและสะท้อนถึงความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด
ในทางปฏิบัติของการวัดทางไฟฟ้า กฎการกระจายข้อผิดพลาดแบบสุ่มที่พบบ่อยที่สุดประการหนึ่งคือ กฎหมายปกติ(เกาส์).
นิพจน์ทางคณิตศาสตร์กฎหมายปกติมีรูปแบบ
,
ที่ไหน ฉ(ง)- ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของข้อผิดพลาดแบบสุ่ม ด = กฉัน-ก; s - ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสามารถแสดงในรูปของการเบี่ยงเบนแบบสุ่มของผลการสังเกต Di (ดูสูตร (4.1)):
.
ธรรมชาติของเส้นโค้งที่อธิบายโดยสมการนี้สำหรับสองค่าของ s แสดงในรูปที่ 1 4.4. จากเส้นโค้งเหล่านี้ เห็นได้ชัดว่าค่า s ที่น้อยกว่า ข้อผิดพลาดแบบสุ่มเล็กๆ น้อยๆ มักจะเกิดขึ้น เช่น ยิ่งการวัดมีความแม่นยำมากขึ้นเท่านั้น ในการปฏิบัติงานด้านการวัด มีกฎการกระจายอื่นๆ ที่สามารถกำหนดได้บนพื้นฐานของการประมวลผลทางสถิติ

ข้อมูลการทดลอง กฎหมายการกระจายทั่วไปบางฉบับมีระบุไว้ใน GOST 8.011-84 "ตัวบ่งชี้ความแม่นยำในการวัดและรูปแบบของการนำเสนอผลการวัด"
ลักษณะสำคัญของกฎหมายการจำหน่ายคือ มูลค่าที่คาดหวังและ การกระจายตัว.
ความคาดหวังของตัวแปรสุ่ม- นี่คือค่าของมันซึ่งจัดกลุ่มผลลัพธ์ของการสังเกตแต่ละรายการ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง ม[X]หมายถึงผลรวมของผลคูณของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มด้วยความน่าจะเป็นของค่าเหล่านี้ .
สำหรับตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง เราต้องใช้วิธีอินทิเกรต ซึ่งจำเป็นต้องทราบการขึ้นต่อกันของความหนาแน่นของความน่าจะเป็น เอ็กซ์,เช่น. ฉ(x)ที่ไหน x=ดี.แล้ว .
นิพจน์นี้หมายความว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์จำนวนมากอย่างไม่สิ้นสุดของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์สู่พื้นที่อันไม่สิ้นสุด ฉ(x)ดีเอ็กซ์,ที่ไหน ฉ(เอ็กซ์) -กำหนดไว้สำหรับแต่ละคน เอ็กซ์,ก ดีเอ็กซ์ -ส่วนเบื้องต้นของแกนแอบซิสซา
หากสังเกตการแจกแจงข้อผิดพลาดแบบสุ่มตามปกติ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของข้อผิดพลาดแบบสุ่มจะเป็นศูนย์ (รูปที่ 4.4) หากเราพิจารณาการกระจายผลลัพธ์ตามปกติ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จะสอดคล้องกับค่าที่แท้จริงของค่าที่วัดได้ ซึ่งเราแสดงโดย ก.
ข้อผิดพลาดอย่างเป็นระบบคือการเบี่ยงเบนของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลลัพธ์การสังเกตจากค่าที่แท้จริง กปริมาณที่วัดได้: กระแสตรง = ม[เอ็กซ์]-กและข้อผิดพลาดแบบสุ่มคือความแตกต่างระหว่างผลลัพธ์ของการสังเกตครั้งเดียวและความคาดหวังทางคณิตศาสตร์: .
การกระจายตัวของการสังเกตจำนวนหนึ่งแสดงถึงระดับของการกระจาย (กระจาย) ของผลลัพธ์ของการสังเกตแต่ละรายการรอบความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:
ด[เอ็กซ์] =ดีเอ็กซ์=ม[(AI-ม.x)2].
ยิ่งการกระจายตัวน้อยลง การกระจัดกระจายของผลลัพธ์แต่ละรายการก็จะยิ่งน้อยลง การวัดก็ยิ่งมีความแม่นยำมากขึ้น อย่างไรก็ตาม การกระจายจะแสดงเป็นหน่วยกำลังสองของค่าที่วัดได้ ดังนั้น ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน (MSD) ซึ่งเท่ากับรากที่สองของความแปรปรวนจึงมักถูกใช้เพื่อระบุลักษณะความแม่นยำของการสังเกตชุดหนึ่ง: .
การแจกแจงแบบปกติที่พิจารณาของตัวแปรสุ่ม รวมถึงข้อผิดพลาดแบบสุ่มนั้นเป็นไปตามทฤษฎี ดังนั้นการแจกแจงแบบปกติที่อธิบายไว้จึงควรพิจารณาว่าเป็น "อุดมคติ" กล่าวคือ พื้นฐานทางทฤษฎีเพื่อศึกษาข้อผิดพลาดแบบสุ่มและอิทธิพลที่มีต่อผลการวัด
ข้อมูลต่อไปนี้จะอธิบายวิธีการใช้การแจกแจงนี้ในทางปฏิบัติโดยมีระดับการประมาณที่แตกต่างกัน การกระจายแบบอื่น (การกระจายตัวของนักเรียน) ซึ่งใช้สำหรับการสังเกตจำนวนน้อยก็ได้รับการพิจารณาเช่นกัน
การประมาณค่าความผิดพลาดในผลลัพธ์ของการวัดโดยตรงให้มันดำเนินการ ปการวัดโดยตรงของปริมาณเดียวกัน โดยทั่วไปในการวัดแต่ละครั้ง ข้อผิดพลาดจะแตกต่างกัน:
ดีฉัน =AI-เอ,
โดยที่ Di คือข้อผิดพลาดของการวัด i-th AI-ผลลัพธ์ของการวัดครั้งที่ i
เนื่องจากมูลค่าที่แท้จริงของปริมาณที่วัดได้ กไม่ทราบ ไม่สามารถคำนวณข้อผิดพลาดสัมบูรณ์แบบสุ่มได้โดยตรง ในการคำนวณเชิงปฏิบัติแทน กใช้การประเมินของเขา โดยปกติจะสันนิษฐานว่ามูลค่าที่แท้จริงคือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของการวัดจำนวนหนึ่ง:
. (4.2)
ที่ไหน กฉัน-ผลการวัดรายบุคคล พี -จำนวนการวัด
ตอนนี้ในทำนองเดียวกันกับนิพจน์ (4.1) เราสามารถกำหนดความเบี่ยงเบนของผลลัพธ์ของการวัดแต่ละครั้งจากค่าเฉลี่ย :
(4.3)
ที่ไหน โวลต์ ฉัน- ส่วนเบี่ยงเบนของผลลัพธ์ของการวัดครั้งเดียวจากค่าเฉลี่ย ควรจำไว้ว่าผลรวมของการเบี่ยงเบนของผลการวัดจากค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และผลรวมของกำลังสองมีค่าน้อยที่สุดเช่น
และขั้นต่ำ
คุณสมบัติเหล่านี้ใช้ในการประมวลผลผลการวัดเพื่อควบคุมความถูกต้องของการคำนวณ
จากนั้นจึงคำนวณมูลค่าโดยประมาณ หมายถึงค่าคลาดเคลื่อนกำลังสองสำหรับชุดการวัดที่กำหนด

. (4.4)
ตามทฤษฎีความน่าจะเป็น ด้วยการวัดจำนวนมากเพียงพอและมีข้อผิดพลาดแบบสุ่มที่เป็นอิสระ การประมาณค่า สมาบรรจบกันด้วยความน่าจะเป็น ส.ดังนั้น,

. (4.5)
เนื่องจากค่าเฉลี่ยเลขคณิต ก็เป็นตัวแปรสุ่มเช่นกัน แนวคิดเรื่องค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของค่าเฉลี่ยเลขคณิตก็สมเหตุสมผลดี เราแสดงค่านี้ด้วยสัญลักษณ์ sav มันสามารถแสดงให้เห็นได้ว่าสำหรับข้อผิดพลาดที่เป็นอิสระ
. (4.6)
ค่า sр แสดงถึงระดับของการกระจาย . ตามที่ระบุไว้ข้างต้น, ทำหน้าที่เป็นการประมาณมูลค่าที่แท้จริงของปริมาณที่วัดได้ เช่น คือผลลัพธ์สุดท้ายของการวัดที่ดำเนินการ ดังนั้น sр จึงเรียกอีกอย่างว่าค่าคลาดเคลื่อนกำลังสองเฉลี่ยของผลการวัด
ในทางปฏิบัติค่า s ซึ่งคำนวณโดยใช้สูตร (4.5) จะถูกใช้หากจำเป็นต้องระบุลักษณะความแม่นยำของวิธีการวัดที่ใช้: หากวิธีการนั้นแม่นยำ การกระจายของผลลัพธ์ของการวัดแต่ละรายการจะมีน้อย เช่น ค่าน้อยs . ค่าของอาร์ , คำนวณตาม (4.6) ใช้เพื่อกำหนดลักษณะความแม่นยำของผลการวัดของปริมาณที่แน่นอน เช่น ผลลัพธ์ที่ได้จากการประมวลผลทางคณิตศาสตร์ของผลลัพธ์ของการวัดโดยตรงแต่ละรายการ
เมื่อประเมินผลการวัด บางครั้งจะใช้แนวคิดนี้ ขีดสุดหรือ ข้อผิดพลาดที่อนุญาตสูงสุดค่าที่กำหนดเป็นเศษส่วน s หรือ S ปัจจุบัน มีเกณฑ์ที่แตกต่างกันสำหรับการสร้างข้อผิดพลาดสูงสุด เช่น ขีดจำกัดของฟิลด์พิกัดความเผื่อ ±D ซึ่งข้อผิดพลาดแบบสุ่มจะต้องพอดี คำจำกัดความที่ยอมรับโดยทั่วไปสำหรับข้อผิดพลาดสูงสุดคือ D = 3s (หรือ 3 ส). ใน เมื่อเร็วๆ นี้ตามทฤษฎีสารสนเทศของการวัด ศาสตราจารย์ P. V. Novitsky แนะนำให้ใช้ค่า D = 2s
ตอนนี้เราขอแนะนำแนวคิดที่สำคัญ ความน่าจะเป็นของความมั่นใจและ ช่วงความมั่นใจตามที่กล่าวไว้ข้างต้นค่าเฉลี่ยเลขคณิต , ที่ได้รับจากการวัดชุดหนึ่งเป็นการประมาณมูลค่าที่แท้จริง กและตามกฎแล้วไม่ตรงกับมัน แต่จะแตกต่างกันตามค่าความผิดพลาด อนุญาต ถมีความเป็นไปได้ที่ แตกต่างจาก กไม่เกิน D คือ ร(-ดี< ก< + ดี)=รด. ความน่าจะเป็น ถเรียกว่า ความน่าจะเป็นของความมั่นใจและช่วงค่าของปริมาณที่วัดได้จาก - ดีถึง + ด- ช่วงความมั่นใจ
อสมการข้างต้นหมายความว่ามีความน่าจะเป็น ถช่วงความเชื่อมั่นจาก - ดีถึง + D มีความหมายที่แท้จริง ก. ดังนั้น เพื่อที่จะระบุลักษณะของข้อผิดพลาดแบบสุ่มได้อย่างสมบูรณ์ จำเป็นต้องมีตัวเลขสองตัว ได้แก่ ความน่าจะเป็นของความเชื่อมั่นและช่วงความเชื่อมั่นที่สอดคล้องกัน หากทราบกฎการแจกแจงความน่าจะเป็นของข้อผิดพลาด ช่วงความเชื่อมั่นสามารถกำหนดได้จากความน่าจะเป็นของความเชื่อมั่นที่กำหนด โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อมีการวัดจำนวนมากเพียงพอ จึงมักจะมีเหตุผลที่จะใช้กฎปกติในขณะที่มีการวัดจำนวนน้อย (ป< 20) ผลลัพธ์ที่เป็นของการแจกแจงแบบปกติควรใช้การแจกแจงของนักเรียน การแจกแจงนี้มีความหนาแน่นของความน่าจะเป็นซึ่งแทบจะเกิดขึ้นพร้อมกันกับการแจกแจงแบบปกติโดยรวม พีแต่แตกต่างอย่างมากจากปกติในระดับเล็กน้อย ป.
ในตาราง 4.1 แสดงสิ่งที่เรียกว่าควอนไทล์ของการแจกแจงของนักเรียน ½ เสื้อ(น)½ ถสำหรับจำนวนการวัด ป= 2 - 20 และความน่าจะเป็นของความเชื่อมั่น ร = 0,5 - 0,999.
อย่างไรก็ตาม เราชี้ให้เห็นว่าโดยปกติแล้วตารางการแจกแจงของนักเรียนจะไม่ได้รับสำหรับค่าต่างๆ ปและ ถ.และสำหรับค่านิยม ม =n-1และ ก =1 - Рд,สิ่งที่ควรคำนึงถึงเมื่อใช้งาน เพื่อกำหนดช่วงความเชื่อมั่น จำเป็นสำหรับข้อมูล ปและ ถหา 1/2 ควอไทล์ เสื้อ(น)½Рд และคำนวณค่าต่างๆ หนึ่ง = - ซีเนียร์× ½ เสื้อ(น)½รดี อ = + ซีเนียร์× ½ เสื้อ(น)½Рд ซึ่งจะเป็นขีดจำกัดล่างและบนของช่วงความเชื่อมั่น

หลังจากหาช่วงความเชื่อมั่นสำหรับความน่าจะเป็นของความเชื่อมั่นที่กำหนดตามวิธีการข้างต้นแล้ว ให้บันทึกผลการวัดไว้ในแบบฟอร์ม ; ด=ดน¸ Dv; ถ,
ที่ไหน - การประเมินมูลค่าที่แท้จริงของผลการวัดเป็นหน่วยของค่าที่วัดได้ D - ข้อผิดพลาดในการวัด; Dv = + ซีเนียร์× ½ เสื้อ(น)½Рд และ Dн = - ซีเนียร์× ½ เสื้อ(น)½Рд - ขีดจำกัดบนและล่างของข้อผิดพลาดการวัด Рд - ความน่าจะเป็นของความเชื่อมั่น.

ตารางที่ 4.1

การประมาณค่าข้อผิดพลาดในผลลัพธ์ของการวัดทางอ้อมในการวัดทางอ้อมปริมาณที่ต้องการ กเกี่ยวข้องเชิงหน้าที่กับปริมาณที่วัดโดยตรงหนึ่งหรือหลายปริมาณ: เอ็กซ์,ย,..., ที. ลองพิจารณาดู กรณีที่ง่ายที่สุดกำหนดข้อผิดพลาดสำหรับตัวแปรตัวหนึ่งเมื่อใด ก= เอฟ(x). ต้องกำหนดความคลาดเคลื่อนในการวัดสัมบูรณ์ของปริมาณ เอ็กซ์ผ่าน ±Dx เราได้ เอ+ดี ก= ฉ(x±ดี x)
การขยายทางด้านขวามือของค่าเท่ากันนี้เป็นอนุกรม Taylor และละเลยเงื่อนไขของการขยายที่มี Dx ไปสู่กำลังที่สูงกว่าครั้งแรก เราได้รับ
A+DA » F(x) ± Dx หรือ DA » ± Dx
ข้อผิดพลาดในการวัดสัมพัทธ์ของฟังก์ชันถูกกำหนดจากนิพจน์
.
หากเป็นปริมาณที่วัดได้ กเป็นฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว: ก=ฉ(เอ็กซ์,ใช่...,เสื้อ)จากนั้นข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ของผลลัพธ์ของการวัดทางอ้อม
.
ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์บางส่วนของการวัดทางอ้อมถูกกำหนดโดยสูตร ; ฯลฯ ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ของผลการวัด
.
ให้เราอาศัยคุณสมบัติของการประเมินผลลัพธ์ของการวัดทางอ้อมเมื่อมีข้อผิดพลาดแบบสุ่ม
เพื่อประเมินความคลาดเคลื่อนแบบสุ่มของผลลัพธ์การวัดทางอ้อมของปริมาณ กเราจะถือว่าข้อผิดพลาดที่เป็นระบบในการวัดปริมาณ x, y,…, ตจะถูกแยกออก และข้อผิดพลาดแบบสุ่มในการวัดปริมาณเดียวกันจะไม่ขึ้นอยู่กับกัน
ในการวัดทางอ้อม ค่าของปริมาณที่วัดได้จะพบได้โดยใช้สูตร ,
โดยที่ค่าเฉลี่ยหรือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของปริมาณ x, y,…, ต.
เพื่อคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของค่าที่วัดได้ กขอแนะนำให้ใช้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ได้จากการวัด x, y,…, ต.
ใน ปริทัศน์เพื่อกำหนดค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของการวัดทางอ้อม ให้ใช้สูตรต่อไปนี้:
, (4.7)
ที่ไหน ดีเอ็กซ์ ;ดี้ ;…;ดต—สิ่งที่เรียกว่าข้อผิดพลาดบางส่วนของการวัดทางอ้อม ; ; …; ; ; ; … ; — อนุพันธ์บางส่วน กโดย x, y,…, เสื้อ ;sx; สใช่ ,…,เซนต์ , …-ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของผลการวัด x, y,…, ต.
ขอให้เราพิจารณากรณีพิเศษบางกรณีของการประยุกต์สมการ (4.7) เมื่อสูตรแสดงความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างปริมาณที่วัดทางอ้อมและทางตรงได้ ก=เค× xก× ยข× zกรัมที่ไหน เค-ค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลข (ไม่มีมิติ)
ในกรณีนี้ สูตร (4.7) จะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:
.
ถ้า ก =ข =ก. = 1และ ก=เค× x× ย× z,จากนั้นสูตรข้อผิดพลาดสัมพัทธ์จะลดความซับซ้อนลงในแบบฟอร์ม .
สูตรนี้ใช้เป็นตัวอย่างในการคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของผลการวัดปริมาตรจากผลการวัดความสูง ความกว้าง และความลึกของถังที่มีรูปร่างคล้ายสี่เหลี่ยมด้านขนาน

4.5. กฎสำหรับการสรุปข้อผิดพลาดแบบสุ่มและเป็นระบบ
ข้อผิดพลาดของเครื่องมือวัดที่ซับซ้อนขึ้นอยู่กับข้อผิดพลาดของส่วนประกอบแต่ละชิ้น (บล็อก) ข้อผิดพลาดจะถูกสรุปตามกฎบางประการ
ยกตัวอย่างอุปกรณ์วัดประกอบด้วย มบล็อก ซึ่งแต่ละบล็อกมีข้อผิดพลาดแบบสุ่มซึ่งเป็นอิสระจากกัน ในกรณีนี้คือค่าสัมบูรณ์ของค่าเฉลี่ยกำลังสอง sk หรือค่าสูงสุด มเคข้อผิดพลาดของแต่ละบล็อก
ผลรวมทางคณิตศาสตร์หรือให้ข้อผิดพลาดสูงสุดของอุปกรณ์ซึ่งมีความน่าจะเป็นเพียงเล็กน้อยดังนั้นจึงไม่ค่อยได้ใช้เพื่อประเมินความแม่นยำของอุปกรณ์โดยรวม ตามทฤษฎีข้อผิดพลาด ผลลัพธ์ข้อผิดพลาดและ เมเรซกำหนดโดยการบวกตามกฎกำลังสอง หรือ .
ข้อผิดพลาดในการวัดสัมพัทธ์ที่เกิดขึ้นจะถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน: . (4.8)
สามารถใช้สมการ (4.8) เพื่อกำหนดข้อผิดพลาดที่อนุญาตของแต่ละหน่วยของอุปกรณ์ที่กำลังพัฒนาโดยมีข้อผิดพลาดในการวัดรวมที่กำหนด เมื่อออกแบบอุปกรณ์มักจะระบุข้อผิดพลาดที่เท่ากันสำหรับแต่ละบล็อกที่รวมอยู่ในนั้น หากมีแหล่งที่มาของข้อผิดพลาดหลายประการที่ส่งผลต่อผลการวัดขั้นสุดท้ายแตกต่างกัน (หรืออุปกรณ์ประกอบด้วยหลายบล็อกที่มีข้อผิดพลาดต่างกัน) ควรใส่ค่าสัมประสิทธิ์การถ่วงน้ำหนักในสูตร (4.8) คิ :
, (4.9)
โดยที่ d1, d2, …, dm คือข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ของแต่ละหน่วย (บล็อก) ของอุปกรณ์วัด k1,k2, … ,กม- ค่าสัมประสิทธิ์ที่คำนึงถึงระดับอิทธิพลของข้อผิดพลาดแบบสุ่มของบล็อกที่กำหนดต่อผลการวัด
หากอุปกรณ์ตรวจวัด (หรือหน่วย) มีข้อผิดพลาดอย่างเป็นระบบด้วย ข้อผิดพลาดทั้งหมดจะถูกกำหนดโดยผลรวม: แนวทางเดียวกันนี้ใช้ได้กับ มากกว่าส่วนประกอบ
เมื่อประเมินอิทธิพลของข้อผิดพลาดเฉพาะ ควรคำนึงว่าความแม่นยำของการวัดส่วนใหญ่ขึ้นอยู่กับข้อผิดพลาดที่มีค่าสัมบูรณ์สูงและข้อผิดพลาดที่เล็กที่สุดบางส่วนไม่สามารถนำมาพิจารณาได้เลย ข้อผิดพลาดบางส่วนประมาณตามสิ่งที่เรียกว่า เกณฑ์ของข้อผิดพลาดเล็กน้อยซึ่งมีดังต่อไปนี้ ให้เราสมมติว่าค่าความผิดพลาดทั้งหมดถูกกำหนดโดยสูตร (4.8) โดยคำนึงถึงทั้งหมด มข้อผิดพลาดส่วนตัว ซึ่งข้อผิดพลาดบางอย่างมีความสำคัญเล็กน้อย หากข้อผิดพลาดทั้งหมด d¢res คำนวณโดยไม่คำนึงถึงข้อผิดพลาด di แตกต่างจาก dres ไม่เกิน 5% เช่น เดรซ-d¢เรซ< 0,05×dрез или 0,95×dрезในทางปฏิบัติการคำนวณทางเทคนิคมักใช้เกณฑ์ที่เข้มงวดน้อยกว่า - มีการใช้ค่าสัมประสิทธิ์ 0.4 ในสูตรเหล่านี้

4.6. แบบฟอร์มนำเสนอผลการตรวจวัด

ผลการวัดจะมีค่าก็ต่อเมื่อสามารถประมาณช่วงความไม่แน่นอนได้เท่านั้น เช่น ระดับความมั่นใจ ดังนั้นผลการวัดจะต้องมีค่าของปริมาณที่วัดได้และลักษณะความแม่นยำของค่านี้ซึ่งเป็นข้อผิดพลาดที่เป็นระบบและสุ่ม ตัวบ่งชี้เชิงปริมาณของข้อผิดพลาดวิธีการแสดงออกตลอดจนรูปแบบของการนำเสนอผลการวัดได้รับการควบคุมโดย GOST 8.011-72 "ตัวบ่งชี้ความแม่นยำในการวัดและรูปแบบการนำเสนอผลการวัด" พิจารณารูปแบบหลักในการนำเสนอผลการวัด
ข้อผิดพลาดของผลลัพธ์ของการวัดโดยตรงเพียงครั้งเดียวนั้นขึ้นอยู่กับหลายปัจจัย แต่จะถูกกำหนดโดยข้อผิดพลาดของเครื่องมือวัดที่ใช้เป็นหลัก ดังนั้นในการประมาณค่าครั้งแรกจึงสามารถนำความคลาดเคลื่อนของผลการวัดมาได้เท่ากับ
ข้อผิดพลาดที่เป็นลักษณะของเครื่องมือวัดที่ใช้ในจุดที่กำหนดในช่วงการวัด
ข้อผิดพลาดของเครื่องมือวัดจะแตกต่างกันไปตามช่วงการวัด ดังนั้นในแต่ละกรณี สำหรับการวัดแต่ละครั้ง จำเป็นต้องคำนวณข้อผิดพลาดของผลการวัดโดยใช้สูตร (3.19) - (3.21) เพื่อปรับข้อผิดพลาดของเครื่องมือวัดที่เกี่ยวข้องให้เป็นมาตรฐาน ต้องคำนวณทั้งข้อผิดพลาดสัมบูรณ์และข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ของผลการวัดเนื่องจากข้อผิดพลาดแรกจำเป็นต้องปัดเศษผลลัพธ์และบันทึกอย่างถูกต้องและข้อผิดพลาดที่สอง - สำหรับคำอธิบายเปรียบเทียบที่ชัดเจนของความแม่นยำ
สำหรับคุณลักษณะการปรับมาตรฐานที่แตกต่างกันของข้อผิดพลาด SI การคำนวณเหล่านี้จะดำเนินการแตกต่างกัน ดังนั้นเราจะพิจารณากรณีทั่วไปสามกรณี
1. คลาสอุปกรณ์จะแสดงเป็นตัวเลขเดียว ถามล้อมรอบเป็นวงกลม จากนั้นข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ของผลลัพธ์ (เป็นเปอร์เซ็นต์) g = ถามและข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ D x=ถาม× เอ็กซ์/ 100.
2. คลาสอุปกรณ์ระบุด้วยหมายเลขเดียว พี(ไม่มีวงกลม) จากนั้นข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ของผลการวัด D x=พี× เอ็กซ์เค/ 100 ที่ไหน xเคคือขีดจำกัดการวัดที่ดำเนินการ และสูตรพบข้อผิดพลาดในการวัดสัมพัทธ์ (เป็นเปอร์เซ็นต์) ,
กล่าวคือ ในกรณีนี้ เมื่อทำการวัด นอกเหนือจากการอ่านค่าที่วัดได้ เอ็กซ์ต้องกำหนดขีดจำกัดการวัดด้วย xเคมิฉะนั้นจะเป็นไปไม่ได้ที่จะคำนวณข้อผิดพลาดของผลลัพธ์ในภายหลัง
3. ระดับของอุปกรณ์ระบุด้วยตัวเลขสองตัวในแบบฟอร์ม ซีดี. ในกรณีนี้ จะสะดวกกว่าในการคำนวณข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ งผลลัพธ์โดยใช้สูตร (3.21) จากนั้นจึงค้นหาข้อผิดพลาดสัมบูรณ์เป็น ดีx=ง× x/100.
หลังจากคำนวณข้อผิดพลาดแล้ว ให้ใช้รูปแบบใดรูปแบบหนึ่งในการเสนอผลการวัดตามรูปแบบต่อไปนี้ เอ็กซ์;± ดีและ ง, ที่ไหน เอ็กซ์- ค่าที่วัดได้; ดี- ข้อผิดพลาดในการวัดสัมบูรณ์ ง- ข้อผิดพลาดในการวัดสัมพัทธ์ ตัวอย่างเช่น มีการสร้างรายการต่อไปนี้: “การวัดเกิดขึ้นโดยมีข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ ง= …%. ค่าที่วัดได้ x = (ก± ง), ที่ไหน ก- ผลการวัด”
อย่างไรก็ตาม จะชัดเจนกว่าหากระบุขีดจำกัดของช่วงความไม่แน่นอนของค่าที่วัดได้ในรูปแบบ: x = (เอ-ง)¸(เอ+ง)หรือ (เอ-ง)< х < (เอ+ง)บ่งบอกถึงหน่วยวัด
การนำเสนอผลการวัดอีกรูปแบบหนึ่งมีดังต่อไปนี้ เอ็กซ์; ดีจาก ดนก่อน Dv; อาร์ที่ไหน เอ็กซ์- ผลการวัดเป็นหน่วยของปริมาณที่วัดได้ ดีดีเอ็นดว- ตามลำดับ ข้อผิดพลาดในการวัดโดยมีขอบเขตล่างและบนในหน่วยเดียวกัน ร- ความน่าจะเป็นที่ข้อผิดพลาดในการวัดจะอยู่ภายในขีดจำกัดเหล่านี้
GOST 8.011-72 อนุญาตให้นำเสนอผลการวัดในรูปแบบอื่นที่แตกต่างจากรูปแบบที่กำหนดโดยระบุแยกคุณสมบัติขององค์ประกอบที่เป็นระบบและแบบสุ่มของข้อผิดพลาดในการวัด ในเวลาเดียวกันสำหรับข้อผิดพลาดที่เป็นระบบจะมีการระบุลักษณะความน่าจะเป็นของมัน ในกรณีนี้ ลักษณะสำคัญของข้อผิดพลาดอย่างเป็นระบบคือความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ M [ ดีเอ็กซ์ซี], ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน s[ ดีเอ็กซ์ซี] และช่วงความเชื่อมั่น แนะนำให้แยกองค์ประกอบข้อผิดพลาดอย่างเป็นระบบและแบบสุ่มหากจะใช้ผลการวัดในการประมวลผลข้อมูลเพิ่มเติม เช่น เมื่อพิจารณาผลลัพธ์ของการวัดทางอ้อมและประเมินความแม่นยำ เมื่อสรุปข้อผิดพลาด เป็นต้น

รูปแบบการนำเสนอผลการวัดใด ๆ ที่กำหนดโดย GOST 8.011-72 จะต้องมีข้อมูลที่จำเป็นบนพื้นฐานของช่วงความเชื่อมั่นสำหรับข้อผิดพลาดของผลการวัดที่สามารถกำหนดได้ โดยทั่วไปสามารถกำหนดช่วงความเชื่อมั่นได้หากทราบประเภทของกฎการกระจายข้อผิดพลาดและลักษณะตัวเลขหลักของกฎนี้