ตัวชี้วัดเชิงลบ ปริญญาและคุณสมบัติของมัน คู่มือฉบับสมบูรณ์ (2019)

สูตรปริญญาใช้ในกระบวนการลดและลดความซับซ้อนของนิพจน์ที่ซับซ้อนในการแก้สมการและอสมการ

ตัวเลข คเป็น n- กำลังของตัวเลข กเมื่อไร:

การดำเนินงานที่มีองศา

1. โดยการคูณองศาด้วยฐานเดียวกัน ตัวบ่งชี้จะถูกเพิ่ม:

เช้า·a n = a m + n

2. เมื่อหารองศาด้วยฐานเดียวกัน เลขยกกำลังจะถูกลบออก:

3. กำลังของผลคูณ 2 หรือ มากกว่าปัจจัยเท่ากับผลคูณของกำลังของปัจจัยเหล่านี้:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. ระดับของเศษส่วนเท่ากับอัตราส่วนของระดับของเงินปันผลและตัวหาร:

(ก/ข) n = n /b n

5. การยกกำลังให้เป็นกำลัง เลขชี้กำลังจะถูกคูณ:

(ก) n = ก ม n .

แต่ละสูตรข้างต้นเป็นจริงในทิศทางจากซ้ายไปขวาและในทางกลับกัน

ตัวอย่างเช่น. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

การดำเนินการที่มีราก

1. รากของผลคูณของปัจจัยหลายประการเท่ากับผลคูณของรากของปัจจัยเหล่านี้:

2. รากของอัตราส่วนเท่ากับอัตราส่วนของเงินปันผลและตัวหารของราก:

3. เมื่อยกรากเป็นกำลัง ก็เพียงพอที่จะเพิ่มจำนวนรากเป็นกำลังนี้:

4. หากเพิ่มระดับรากเข้าไป nครั้งหนึ่งและในเวลาเดียวกันก็สร้างเป็น nยกกำลังเป็นเลขราก ดังนั้นค่าของรากจะไม่เปลี่ยนแปลง:

5.ถ้าลดระดับรากลง nแยกรากไปพร้อมๆ กัน n- กำลังของจำนวนราก ดังนั้นค่าของรากจะไม่เปลี่ยนแปลง:

องศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบกำลังของจำนวนหนึ่งที่มีเลขชี้กำลังที่ไม่ใช่ค่าบวก (จำนวนเต็ม) ถูกกำหนดให้เป็นค่าที่หารด้วยกำลังของจำนวนเดียวกัน โดยมีเลขชี้กำลังเท่ากับค่าสัมบูรณ์ของเลขชี้กำลังที่ไม่ใช่ค่าบวก:

สูตร เช้า:a n =a ม - nสามารถใช้ได้ไม่เพียงแต่สำหรับ ม> nแต่ยังมี ม< n.

ตัวอย่างเช่น. ก4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

ให้เป็นสูตร เช้า:a n =a ม - nกลายเป็นเรื่องยุติธรรมเมื่อ ม.=นจำเป็นต้องมีระดับศูนย์

องศาที่มีดัชนีเป็นศูนย์กำลังของจำนวนใดๆ ที่ไม่เท่ากับศูนย์โดยมีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากับหนึ่ง

ตัวอย่างเช่น. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

องศาที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนเพื่อเพิ่มจำนวนจริง กในระดับ ม./นคุณต้องแยกรากออก nระดับของ ม- ยกกำลังของเลขนี้ ก.

ระดับแรก

ปริญญาและคุณสมบัติของมัน คู่มือที่ครอบคลุม (2019)

เหตุใดจึงต้องมีวุฒิการศึกษา? คุณต้องการมันที่ไหน? เหตุใดคุณจึงควรสละเวลาศึกษาสิ่งเหล่านี้?

เพื่อเรียนรู้ทุกอย่างเกี่ยวกับปริญญา มีไว้เพื่ออะไร วิธีใช้ความรู้ของคุณ ชีวิตประจำวันอ่านบทความนี้

และแน่นอนว่าความรู้ด้านปริญญาจะทำให้คุณเข้าใกล้ความสำเร็จในการผ่านการสอบ Unified State หรือ Unified State และการเข้ามหาวิทยาลัยในฝันของคุณ

ไปกันเถอะ... (ไปกันเถอะ!)

โน๊ตสำคัญ! หากคุณเห็น gobbledygook แทนที่จะเป็นสูตร ให้ล้างแคชของคุณ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้กด CTRL+F5 (บน Windows) หรือ Cmd+R (บน Mac)

ระดับแรก

การยกกำลังเป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เหมือนกับการบวก ลบ คูณ หาร

ตอนนี้ฉันจะอธิบายทุกอย่างเป็นภาษามนุษย์อย่างมาก ตัวอย่างง่ายๆ. ระวัง. ตัวอย่างเป็นเพียงเรื่องเบื้องต้นแต่อธิบายเรื่องสำคัญได้

เริ่มต้นด้วยการเพิ่ม

ไม่มีอะไรจะอธิบายที่นี่ คุณรู้ทุกอย่างแล้ว: มีพวกเราแปดคน ทุกคนมีโคล่าสองขวด โคล่ามีเท่าไหร่? ถูกต้อง - 16 ขวด

ตอนนี้การคูณ

ตัวอย่างเดียวกันกับ cola สามารถเขียนได้แตกต่างกัน: . นักคณิตศาสตร์เป็นคนฉลาดและขี้เกียจ ก่อนอื่นพวกเขาจะสังเกตเห็นรูปแบบบางอย่าง จากนั้นจึงหาวิธี "นับ" พวกมันให้เร็วขึ้น ในกรณีของเรา พวกเขาสังเกตเห็นว่าคนทั้งแปดคนมีจำนวนขวดโคล่าเท่ากัน จึงเกิดเทคนิคที่เรียกว่าการคูณ เห็นด้วยถือว่าง่ายและเร็วกว่า

ดังนั้นหากต้องการนับเร็วขึ้น ง่ายขึ้น และไม่มีข้อผิดพลาด คุณเพียงแค่ต้องจำไว้ ตารางสูตรคูณ. แน่นอนว่าคุณสามารถทำทุกอย่างให้ช้าลง ยากขึ้น และมีข้อผิดพลาดได้! แต่…

นี่คือตารางสูตรคูณ ทำซ้ำ.

และอีกอย่างที่สวยงามกว่า:

นักคณิตศาสตร์ขี้เกียจมีเทคนิคการนับอันชาญฉลาดอะไรอีกบ้าง? ขวา - การยกจำนวนให้เป็นกำลัง.

การยกจำนวนให้เป็นกำลัง

หากคุณต้องการคูณตัวเลขด้วยตัวมันเองห้าครั้ง นักคณิตศาสตร์บอกว่าคุณต้องเพิ่มจำนวนนั้นให้เป็นกำลังห้า ตัวอย่างเช่น, . นักคณิตศาสตร์จำได้ว่ากำลังสองกำลังห้าคือ... และพวกเขาก็แก้ไขปัญหาในหัวได้ - เร็วขึ้น ง่ายขึ้น และไม่มีข้อผิดพลาด

สิ่งที่คุณต้องทำคือ จำสิ่งที่เน้นด้วยสีในตารางเลขยกกำลัง. เชื่อฉันสิสิ่งนี้จะทำให้ชีวิตของคุณง่ายขึ้นมาก

เหตุใดจึงเรียกว่าระดับที่สอง? สี่เหลี่ยมตัวเลขและอันที่สาม - ลูกบาศก์? มันหมายความว่าอะไร? มาก คำถามที่ดี. ตอนนี้คุณจะมีทั้งสี่เหลี่ยมและลูกบาศก์

ตัวอย่างชีวิตจริง #1

เริ่มจากกำลังสองหรือกำลังสองของตัวเลขกันก่อน

ลองนึกภาพสระน้ำสี่เหลี่ยมขนาดหนึ่งเมตรคูณหนึ่งเมตร สระว่ายน้ำอยู่ที่เดชาของคุณ ร้อนแล้วอยากเล่นน้ำจังเลย แต่... สระไม่มีก้น! คุณต้องปูกระเบื้องด้านล่างของสระ คุณต้องการกระเบื้องกี่แผ่น? เพื่อระบุสิ่งนี้คุณจำเป็นต้องทราบพื้นที่ด้านล่างของสระ

คุณสามารถคำนวณได้ง่ายๆ ด้วยการชี้นิ้วว่าก้นสระประกอบด้วยลูกบาศก์เมตรต่อลูกบาศก์เมตร หากคุณมีกระเบื้องขนาด 1 เมตร x 1 เมตร คุณจะต้องใช้กระเบื้องเป็นชิ้นๆ ง่ายนิดเดียว...แต่เคยเห็นกระเบื้องแบบนี้ที่ไหน? กระเบื้องน่าจะเป็นซม. ต่อซม. แล้วคุณจะถูกทรมานด้วยการ "นับนิ้ว" จากนั้นคุณต้องคูณ ดังนั้นด้านหนึ่งของก้นสระเราจะใส่กระเบื้อง (ชิ้น) และอีกด้านหนึ่งก็ใส่กระเบื้องด้วย คูณด้วยแล้วคุณจะได้ไทล์ ()

คุณสังเกตไหมว่าในการกำหนดพื้นที่ก้นสระเราคูณจำนวนเดียวกันด้วยตัวมันเอง? มันหมายความว่าอะไร? เนื่องจากเรากำลังคูณจำนวนเดียวกัน เราจึงใช้เทคนิค "การยกกำลัง" ได้ (แน่นอนว่าเมื่อคุณมีตัวเลขเพียงสองตัวคุณยังต้องคูณหรือยกกำลัง แต่ถ้าคุณมีจำนวนมาก การยกกำลังจะง่ายกว่ามากและยังมีข้อผิดพลาดในการคำนวณน้อยกว่าด้วย . สำหรับการสอบ Unified State นี่สำคัญมาก)
ดังนั้น ยกกำลังสามสิบสองจะเป็น () หรือเราบอกได้ว่า 30 กำลังสองจะเป็น. กล่าวอีกนัยหนึ่ง กำลังสองของตัวเลขสามารถแสดงเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้เสมอ และในทางกลับกัน หากคุณเห็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส มันจะเป็นกำลังสองของจำนวนใดจำนวนหนึ่งเสมอ สี่เหลี่ยมจัตุรัสคือภาพกำลังสองของตัวเลข

ตัวอย่างชีวิตจริง #2

นี่คืองานสำหรับคุณ: นับจำนวนสี่เหลี่ยมบนกระดานหมากรุกโดยใช้กำลังสองของตัวเลข... ที่ด้านหนึ่งของเซลล์และอีกด้านหนึ่งด้วย ในการคำนวณจำนวนนั้น คุณต้องคูณแปดด้วยแปด หรือ... หากคุณสังเกตเห็นว่ากระดานหมากรุกเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน คุณก็ยกกำลังสองได้แปด คุณจะได้รับเซลล์ () ดังนั้น?

ตัวอย่างชีวิตจริง #3

ทีนี้ลูกบาศก์หรือกำลังสามของตัวเลข สระเดียวกัน. แต่ตอนนี้คุณต้องค้นหาว่าจะต้องเทน้ำลงในสระนี้มากแค่ไหน คุณต้องคำนวณปริมาตร (โดยวิธีการวัดปริมาตรและของเหลว ลูกบาศก์เมตร. ไม่คาดคิดใช่ไหม?) วาดสระน้ำ: ก้นวัดหนึ่งเมตรและลึกหนึ่งเมตรแล้วลองนับจำนวนลูกบาศก์ที่วัดหนึ่งเมตรต่อหนึ่งเมตรจะพอดีกับสระของคุณ

เพียงชี้นิ้วของคุณแล้วนับ! หนึ่ง สอง สาม สี่...ยี่สิบสอง ยี่สิบสาม...คุณได้มากี่อัน? ไม่หาย? นิ้วนับยากไหม? ดังนั้น! นำตัวอย่างจากนักคณิตศาสตร์ พวกเขาขี้เกียจ ดังนั้นพวกเขาจึงสังเกตว่าในการคำนวณปริมาตรของสระ คุณต้องคูณความยาว ความกว้าง และความสูงเข้าด้วยกัน ในกรณีของเรา ปริมาตรสระจะเท่ากับลูกบาศก์... ง่ายกว่าใช่ไหม?

ลองจินตนาการดูว่านักคณิตศาสตร์ที่ขี้เกียจและมีไหวพริบจะเป็นอย่างไรหากพวกเขาทำให้มันง่ายขึ้นเช่นกัน เราลดทุกอย่างลงเป็นการกระทำเดียว พวกเขาสังเกตเห็นว่าความยาว ความกว้าง และความสูงเท่ากัน และจำนวนเท่ากันก็คูณด้วยตัวมันเอง... หมายความว่าอย่างไร? ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถใช้ประโยชน์จากปริญญาได้ ดังนั้น สิ่งที่คุณเคยนับด้วยนิ้วของคุณ มันทำในการกระทำเดียว: สามลูกบาศก์มีค่าเท่ากัน มันเขียนไว้แบบนี้: .

สิ่งที่เหลืออยู่ก็คือ จำตารางองศา. เว้นแต่คุณจะขี้เกียจและมีไหวพริบเหมือนนักคณิตศาสตร์ หากคุณชอบทำงานหนักและทำผิดพลาด คุณสามารถนับนิ้วต่อไปได้

ในที่สุดเพื่อโน้มน้าวคุณว่าปริญญานั้นถูกคิดค้นโดยผู้เลิกบุหรี่และคนที่มีไหวพริบเพื่อแก้ไขปัญหาของตนเอง ปัญหาชีวิตและไม่สร้างปัญหาให้กับคุณ นี่คือตัวอย่างเพิ่มเติมจากชีวิต

ตัวอย่างชีวิตจริง #4

คุณมีเงินหนึ่งล้านรูเบิล ในช่วงต้นปี ทุก ๆ ล้านที่คุณทำได้ คุณก็ทำได้อีกล้าน นั่นคือทุก ๆ ล้านที่คุณมีสองเท่าในช่วงต้นปี คุณจะมีเงินเท่าไหร่ในปี? หากคุณกำลังนั่ง "นับนิ้ว" อยู่ตอนนี้ แสดงว่าคุณเป็นคนที่ทำงานหนักมากและ... โง่เขลา แต่ส่วนใหญ่แล้วคุณจะให้คำตอบภายในไม่กี่วินาทีเพราะคุณฉลาด! ดังนั้น ในปีแรก - สองคูณสอง... ในปีที่สอง - เกิดอะไรขึ้น อีกสองในปีที่สาม... หยุด! คุณสังเกตเห็นว่าจำนวนนั้นคูณด้วยตัวมันเองคูณด้วยตัวมันเอง ดังนั้นสองยกกำลังห้าจึงเป็นล้าน! ทีนี้ลองจินตนาการว่าคุณมีการแข่งขันและคนที่นับได้เร็วที่สุดก็จะได้รับเงินล้านเหล่านี้... มันคุ้มค่าที่จะจดจำพลังของตัวเลขใช่ไหม?

ตัวอย่างชีวิตจริง #5

คุณมีเงินเป็นล้าน ในช่วงต้นปี ทุก ๆ 1 ล้านที่คุณทำ คุณจะได้รับเพิ่มอีก 2 เท่า เยี่ยมมากใช่ไหม? ทุกล้านเป็นสามเท่า คุณจะมีเงินเท่าไหร่ในหนึ่งปี? มานับกัน ปีแรก - คูณด้วยแล้วผลลัพธ์ด้วยอีกปี... มันน่าเบื่ออยู่แล้วเพราะคุณเข้าใจทุกอย่างแล้ว: สามคูณด้วยตัวมันเองคูณด้วยตัวมันเอง ดังนั้นยกกำลังสี่จึงเท่ากับหนึ่งล้าน. คุณแค่ต้องจำไว้ว่าสามยกกำลังสี่คือหรือ

ตอนนี้คุณรู้แล้วว่าการเพิ่มตัวเลขให้มีพลังจะทำให้ชีวิตของคุณง่ายขึ้นมาก เรามาดูกันดีกว่าว่าคุณสามารถทำอะไรได้บ้างกับปริญญาและสิ่งที่คุณต้องรู้เกี่ยวกับปริญญาเหล่านั้น

เงื่อนไขและแนวคิด...เพื่อไม่ให้สับสน

ก่อนอื่น เรามากำหนดแนวคิดกันก่อน คุณคิดอย่างไร, เลขชี้กำลังคืออะไร? ง่ายมาก - มันคือตัวเลขที่ "อยู่ด้านบน" ของเลขยกกำลัง ไม่ใช่วิทยาศาสตร์ แต่ชัดเจนและจำง่าย...

ในขณะเดียวกันอะไร พื้นฐานการศึกษาระดับปริญญาดังกล่าว? ง่ายกว่านั้นคือตัวเลขที่อยู่ด้านล่างที่ฐาน

นี่คือภาพวาดเพื่อการวัดที่ดี

ก็เข้า. ปริทัศน์เพื่อเป็นการสรุปและจดจำได้ดีขึ้น... ดีกรีที่มีฐาน “ ” และเลขชี้กำลัง “ ” อ่านว่า “ถึงดีกรี” และเขียนได้ดังนี้

กำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ

คุณอาจเดาได้แล้ว: เพราะเลขชี้กำลังคือ จำนวนธรรมชาติ. ใช่ แต่มันคืออะไร จำนวนธรรมชาติ? ประถมศึกษา! ตัวเลขธรรมชาติคือตัวเลขที่ใช้ในการนับเมื่อแสดงรายการวัตถุ: หนึ่ง สอง สาม... เมื่อเรานับวัตถุ เราจะไม่พูดว่า: "ลบห้า" "ลบหก" "ลบเจ็ด" เราไม่พูดว่า: "หนึ่งในสาม" หรือ "ศูนย์จุดห้า" พวกนี้ไม่ใช่จำนวนธรรมชาติ คุณคิดว่านี่คือตัวเลขอะไร?

ตัวเลขเช่น "ลบห้า", "ลบหก", "ลบเจ็ด" หมายถึง จำนวนทั้งหมด.โดยทั่วไป จำนวนเต็มประกอบด้วยจำนวนธรรมชาติทั้งหมด จำนวนที่อยู่ตรงข้ามกับจำนวนธรรมชาติ (นั่นคือ ใช้เครื่องหมายลบ) และจำนวน Zero เป็นเรื่องง่ายที่จะเข้าใจ - คือเมื่อไม่มีอะไรเลย ตัวเลขติดลบ (“ลบ”) หมายถึงอะไร? แต่พวกเขาถูกประดิษฐ์ขึ้นเพื่อระบุหนี้เป็นหลัก: หากคุณมียอดคงเหลือในโทรศัพท์เป็นรูเบิลแสดงว่าคุณเป็นหนี้รูเบิลของผู้ให้บริการ

เศษส่วนทั้งหมดเป็น สรุปตัวเลข. คุณคิดว่าพวกเขาเกิดขึ้นได้อย่างไร? ง่ายมาก. เมื่อหลายพันปีก่อน บรรพบุรุษของเราค้นพบว่าพวกเขาขาดตัวเลขธรรมชาติในการวัดความยาว น้ำหนัก พื้นที่ ฯลฯ และพวกเขาก็คิดขึ้นมาด้วย สรุปตัวเลข... น่าสนใจใช่ไหมล่ะ?

นอกจากนี้ยังมีจำนวนอตรรกยะ ตัวเลขเหล่านี้คืออะไร? กล่าวโดยสรุป มันคือเศษส่วนทศนิยมอนันต์ ตัวอย่างเช่น หากคุณหารเส้นรอบวงของวงกลมด้วยเส้นผ่านศูนย์กลาง คุณจะได้จำนวนอตรรกยะ

สรุป:

ให้เรานิยามแนวคิดของระดับที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ (เช่น จำนวนเต็มและบวก)

1. จำนวนใดๆ ที่กำลังยกกำลังแรกจะเท่ากับตัวมันเอง:
2. การยกกำลังสองหมายถึงการคูณด้วยตัวมันเอง:
3. การยกกำลังสามหมายถึงการคูณด้วยตัวมันเองสามครั้ง:

คำนิยาม.การเพิ่มจำนวนให้เป็นพลังธรรมชาติหมายถึงการคูณจำนวนด้วยตัวมันเองด้วย:
.

คุณสมบัติขององศา

คุณสมบัติเหล่านี้มาจากไหน? ฉันจะแสดงให้คุณดูตอนนี้

มาดูกันว่ามันคืออะไร และ ?

A-ไพรเออรี่:

มีตัวคูณทั้งหมดกี่ตัว?

ง่ายมาก: เราบวกตัวคูณเข้ากับปัจจัย และผลลัพธ์ก็คือตัวคูณ

แต่ตามคำจำกัดความแล้ว นี่คือกำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลัง ซึ่งก็คือ: ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

ตัวอย่าง: ลดความซับซ้อนของนิพจน์

สารละลาย:

ตัวอย่าง:ลดความซับซ้อนของนิพจน์

สารละลาย:สิ่งสำคัญคือต้องทราบว่าในกฎของเรา อย่างจำเป็นมันคงจะมีเหตุผลเดียวกันสิ!
ดังนั้นเราจึงรวมพลังเข้ากับฐาน แต่ยังคงเป็นปัจจัยที่แยกจากกัน:

เพื่อผลผลิตแห่งพลังเท่านั้น!

คุณไม่สามารถเขียนสิ่งนั้นได้ไม่ว่าในกรณีใด

2. แค่นั้นแหละ กำลังของตัวเลข

เช่นเดียวกับคุณสมบัติก่อนหน้านี้ ให้เรามาดูคำจำกัดความของระดับ:

ปรากฎว่านิพจน์นั้นคูณด้วยตัวมันเองด้วยตัวมันเอง นั่นคือตามคำจำกัดความ นี่คือกำลังที่ th ของตัวเลข:

โดยพื้นฐานแล้ว สิ่งนี้สามารถเรียกได้ว่าเป็น "การเอาตัวบ่งชี้ออกจากวงเล็บ" แต่คุณไม่สามารถทำสิ่งนี้ได้ทั้งหมด:

จำสูตรคูณแบบย่อ: เราต้องการเขียนกี่ครั้ง?

แต่นี่ไม่เป็นความจริงเลย

กำลังที่มีฐานลบ

ถึงจุดนี้ เราได้พูดคุยกันเพียงว่าเลขชี้กำลังควรเป็นเท่าใด

แต่อะไรควรเป็นพื้นฐาน?

อยู่ในอำนาจของ ตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติพื้นฐานอาจเป็นได้ หมายเลขใดก็ได้. อันที่จริง เราสามารถคูณตัวเลขใดๆ เข้าด้วยกันได้ ไม่ว่าจะเป็นค่าบวก ลบ หรือเลขคู่

ลองคิดดูว่าเครื่องหมายใด ("" หรือ "") จะมีระดับของจำนวนบวกและลบ?

เช่น จำนวนเป็นค่าบวกหรือค่าลบ? เอ? ? อย่างแรกทุกอย่างชัดเจน: ไม่ว่าเราจะคูณจำนวนบวกจำนวนเท่าใดผลลัพธ์ก็จะเป็นบวก

แต่สิ่งที่เป็นลบนั้นน่าสนใจกว่าเล็กน้อย เราจำกฎง่ายๆ จากชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 ได้: “ลบสำหรับลบให้บวก” นั่นก็คือหรือ. แต่ถ้าเราคูณด้วย มันก็ได้ผล.

พิจารณาด้วยตัวคุณเองว่าสำนวนต่อไปนี้จะมีเครื่องหมายอะไร:

คุณจัดการหรือไม่?

นี่คือคำตอบ: ในสี่ตัวอย่างแรก ฉันหวังว่าทุกอย่างชัดเจน? เราเพียงแค่ดูที่ฐานและเลขชี้กำลังแล้วใช้กฎที่เหมาะสม

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

ในตัวอย่างที่ 5) ทุกอย่างก็ไม่น่ากลัวเท่าที่ควร: ท้ายที่สุดแล้วไม่สำคัญว่าฐานจะเท่ากับอะไร - ระดับเป็นเลขคู่ซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์จะเป็นค่าบวกเสมอ

ยกเว้นเมื่อฐานเป็นศูนย์ ฐานไม่เท่ากันใช่ไหม? ไม่แน่นอน เนื่องจาก (เพราะ)

ตัวอย่างที่ 6) ไม่ง่ายอีกต่อไป!

6 ตัวอย่างที่ต้องฝึกฝน

การวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหา 6 ตัวอย่าง

ถ้าเราละเลยยกกำลังที่แปด เราเห็นอะไรตรงนี้? เรามาจำโปรแกรมชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 กันเถอะ แล้วคุณจำได้ไหม? นี่คือสูตรการคูณแบบย่อ นั่นคือผลต่างของกำลังสอง! เราได้รับ:

ลองดูตัวส่วนอย่างละเอียด มันดูเหมือนตัวเศษตัวหนึ่งมาก แต่เกิดอะไรขึ้น? ลำดับของเงื่อนไขไม่ถูกต้อง หากกลับรายการ กฎก็สามารถนำไปใช้ได้

แต่จะทำอย่างไร? ปรากฎว่ามันง่ายมาก: ระดับเลขคู่ของตัวส่วนช่วยเราได้

เงื่อนไขเปลี่ยนสถานที่อย่างน่าอัศจรรย์ “ปรากฏการณ์” นี้ใช้กับการแสดงออกใดๆ ในระดับที่เท่ากัน: เราสามารถเปลี่ยนเครื่องหมายในวงเล็บได้อย่างง่ายดาย

แต่สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่า: สัญญาณทั้งหมดเปลี่ยนแปลงไปพร้อมๆ กัน!

กลับไปที่ตัวอย่าง:

และอีกครั้งด้วยสูตร:

ทั้งหมดเราเรียกจำนวนธรรมชาติ จำนวนตรงข้าม (นั่นคือ ใช้เครื่องหมาย " ") และจำนวน

จำนวนเต็มบวกและไม่ต่างจากธรรมชาติเลยทุกอย่างก็ดูเหมือนในส่วนที่แล้วทุกประการ

ตอนนี้เรามาดูกรณีใหม่กัน เริ่มจากตัวบ่งชี้ที่เท่ากับ

จำนวนใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากับหนึ่ง:

เช่นเคย ขอให้เราถามตัวเองว่า ทำไมจึงเป็นเช่นนั้น?

พิจารณาระดับหนึ่งด้วยฐาน ยกตัวอย่างและคูณด้วย:

เราก็คูณตัวเลขด้วย เราก็ได้เหมือนเดิม - . คุณควรคูณเลขอะไรเพื่อไม่ให้มีการเปลี่ยนแปลง? ถูกต้องแล้ว วิธี.

เราสามารถทำเช่นเดียวกันกับหมายเลขใดก็ได้:

ทำซ้ำกฎ:

จำนวนใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากับหนึ่ง

แต่มีข้อยกเว้นสำหรับกฎหลายข้อ และนี่ก็อยู่ตรงนั้นด้วย - นี่คือตัวเลข (เป็นฐาน)

ในด้านหนึ่ง มันจะต้องเท่ากับระดับใดๆ ก็ตาม ไม่ว่าคุณจะคูณศูนย์ด้วยตัวมันเองมากแค่ไหน คุณก็ยังจะได้ศูนย์ นี่ก็ชัดเจน แต่ในทางกลับกัน เช่นเดียวกับเลขยกกำลังศูนย์ ก็ต้องเท่ากัน แล้วเรื่องนี้จริงมากแค่ไหน? นักคณิตศาสตร์ตัดสินใจว่าจะไม่เข้าไปยุ่งและปฏิเสธที่จะเพิ่มศูนย์เป็นศูนย์ นั่นคือตอนนี้เราไม่สามารถหารด้วยศูนย์เท่านั้น แต่ยังเพิ่มเป็นศูนย์ด้วย

เดินหน้าต่อไป นอกจากจำนวนธรรมชาติและตัวเลขแล้ว จำนวนเต็มยังรวมถึงจำนวนลบด้วย เพื่อให้เข้าใจว่าระดับลบคืออะไร ลองทำเหมือนครั้งก่อน: คูณจำนวนปกติด้วยจำนวนเดียวกัน ระดับลบ:

จากที่นี่ การแสดงสิ่งที่คุณกำลังมองหาเป็นเรื่องง่าย:

ทีนี้ลองขยายกฎผลลัพธ์ไปสู่ระดับที่ต้องการ:

เรามาตั้งกฎกัน:

จำนวนที่มีกำลังเป็นลบคือส่วนกลับของจำนวนเดียวกันที่มีกำลังเป็นบวก แต่ในขณะเดียวกัน ฐานต้องไม่เป็นค่าว่าง:(เพราะคุณไม่สามารถหารด้วย)

สรุป:

I. สำนวนไม่ได้ถูกกำหนดไว้ในกรณีนี้ ถ้าอย่างนั้น.

ครั้งที่สอง จำนวนใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากับหนึ่ง:

สาม. จำนวนที่ไม่เท่ากับศูนย์ยกกำลังลบ คือค่าผกผันของจำนวนเดียวกันยกกำลังบวก:

งานสำหรับโซลูชันอิสระ:

ตามปกติแล้ว ตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ:

การวิเคราะห์ปัญหาเพื่อการแก้ปัญหาอย่างอิสระ:

ฉันรู้ ฉันรู้ว่าตัวเลขนั้นน่ากลัว แต่ในการสอบ Unified State คุณต้องเตรียมตัวให้พร้อมสำหรับทุกสิ่ง! แก้ไขตัวอย่างเหล่านี้หรือวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาหากคุณแก้ไม่ได้ แล้วคุณจะได้เรียนรู้ที่จะรับมือกับตัวอย่างเหล่านี้ได้อย่างง่ายดายในการสอบ!

มาขยายขอบเขตของตัวเลขที่ “เหมาะสม” เป็นเลขชี้กำลังต่อไป

ทีนี้ลองมาพิจารณากัน สรุปตัวเลข.ตัวเลขใดเรียกว่าตรรกยะ?

คำตอบ: ทุกอย่างที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วน โดยที่ และ เป็นจำนวนเต็ม และ

เพื่อทำความเข้าใจว่ามันคืออะไร "ระดับเศษส่วน"ให้พิจารณาเศษส่วน:

ลองยกสมการทั้งสองข้างให้เป็นกำลัง:

ตอนนี้เรามาจำกฎเกี่ยวกับ "ระดับต่อระดับ":

ต้องยกเลขอะไรถึงยกกำลังถึงจะได้?

สูตรนี้เป็นคำจำกัดความของรากของระดับที่

ฉันขอเตือนคุณว่า รากของเลขยกกำลัง th () คือตัวเลขที่เมื่อยกกำลังแล้วจะเท่ากับ

นั่นคือรากของกำลัง th คือการดำเนินการผกผันของการยกกำลัง:

ปรากฎว่า เห็นได้ชัดว่าสิ่งนี้ กรณีพิเศษสามารถขยายได้: .

ตอนนี้เราเพิ่มตัวเศษ: มันคืออะไร? คำตอบนั้นหาได้ง่ายโดยใช้กฎกำลังต่อกำลัง:

แต่ฐานสามารถเป็นตัวเลขใดๆ ได้หรือไม่? ท้ายที่สุดแล้ว ไม่สามารถแยกรูทออกจากตัวเลขทั้งหมดได้

ไม่มี!

ขอให้เราจำกฎนี้ไว้: จำนวนใดๆ ที่ถูกยกกำลังเป็นคู่จะเป็นจำนวนบวก นั่นคือมันเป็นไปไม่ได้ที่จะแยกรากออกจากจำนวนลบ!

ซึ่งหมายความว่าไม่สามารถยกตัวเลขดังกล่าวได้ พลังเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็นคู่ กล่าวคือ สำนวนนี้ไม่สมเหตุสมผล

แล้วการแสดงออกล่ะ?

แต่ที่นี่มีปัญหาเกิดขึ้น

ตัวเลขสามารถแสดงในรูปของเศษส่วนอื่นๆ ที่ลดได้ เช่น หรือ

และปรากฎว่ามันมีอยู่ แต่ไม่มีอยู่จริง แต่นี่เป็นเพียงสองเท่านั้น รายการที่แตกต่างกันหมายเลขเดียวกัน

หรืออีกตัวอย่างหนึ่ง: ครั้งหนึ่ง คุณก็สามารถจดมันลงไปได้ แต่ถ้าเราเขียนตัวบ่งชี้ต่างออกไป เราก็จะประสบปัญหาอีกครั้ง: (นั่นคือ เราได้ผลลัพธ์ที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง!)

เพื่อหลีกเลี่ยงความขัดแย้งดังกล่าว เราจึงพิจารณา เลขชี้กำลังฐานบวกเท่านั้นที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน.

ดังนั้นหาก:

• - จำนวนธรรมชาติ
• - จำนวนเต็ม;

ตัวอย่าง:

องศาด้วย ตัวบ่งชี้ที่มีเหตุผลมีประโยชน์มากสำหรับการแปลงนิพจน์ด้วยราก เช่น:

5 ตัวอย่างที่ต้องฝึกฝน

วิเคราะห์ 5 ตัวอย่างสำหรับการฝึกอบรม

ตอนนี้มาถึงส่วนที่ยากที่สุดแล้ว ตอนนี้เราจะคิดออก องศาที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว.

กฎและคุณสมบัติทั้งหมดขององศาในที่นี้เหมือนกับองศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะทุกประการ ยกเว้น

ตามคำจำกัดความแล้ว จำนวนอตรรกยะคือตัวเลขที่ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ โดยที่ และ เป็นจำนวนเต็ม (นั่นคือ จำนวนอตรรกยะคือจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้นจำนวนตรรกยะ)

เมื่อศึกษาระดับปริญญาด้วยเลขชี้กำลังธรรมชาติ จำนวนเต็ม และตรรกยะ ทุกครั้งที่เราสร้าง "ภาพ" "การเปรียบเทียบ" หรือคำอธิบายบางอย่างในรูปแบบที่คุ้นเคยมากขึ้น

ตัวอย่างเช่น ระดับที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติคือตัวเลขคูณด้วยตัวมันเองหลายครั้ง

...ตัวเลขยกกำลังศูนย์- นี่คือจำนวนที่คูณด้วยตัวมันเองครั้งหนึ่งนั่นคือยังไม่ได้เริ่มคูณซึ่งหมายความว่าจำนวนนั้นยังไม่ปรากฏด้วยซ้ำ - ดังนั้นผลลัพธ์จึงเป็นเพียง "ตัวเลขว่าง" บางตัวเท่านั้น คือตัวเลข

...ระดับจำนวนเต็มลบ- ราวกับว่ามี "กระบวนการย้อนกลับ" เกิดขึ้นนั่นคือจำนวนนั้นไม่ได้คูณด้วยตัวมันเอง แต่ถูกหาร

อย่างไรก็ตามในทางวิทยาศาสตร์มักใช้ระดับที่มีเลขชี้กำลังเชิงซ้อนนั่นคือเลขชี้กำลังไม่ใช่จำนวนจริงด้วยซ้ำ

แต่ที่โรงเรียน เราไม่คิดถึงความยากลำบากดังกล่าว คุณจะมีโอกาสเข้าใจแนวคิดใหม่เหล่านี้ที่สถาบัน

เรามั่นใจว่าคุณจะไปที่ไหน! (ถ้าคุณเรียนรู้ที่จะแก้ตัวอย่างดังกล่าว :))

ตัวอย่างเช่น:

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

การวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหา:

1. เริ่มจากกฎปกติในการเพิ่มพลังเป็นพลัง:

ตอนนี้ดูที่ตัวบ่งชี้ เขาไม่เตือนคุณถึงอะไรเลยเหรอ? ให้เรานึกถึงสูตรการคูณผลต่างกำลังสองแบบย่อ:

ในกรณีนี้,

ปรากฎว่า:

คำตอบ: .

2. เราลดเศษส่วนในเลขชี้กำลังให้อยู่ในรูปแบบเดียวกัน: ทั้งทศนิยมหรือทั้งสองสามัญ เราได้รับตัวอย่าง:

คำตอบ: 16

3. ไม่มีอะไรพิเศษ เราใช้คุณสมบัติปกติขององศา:

ระดับสูง

การกำหนดระดับ

ปริญญาคือการแสดงออกของรูปแบบ: โดยที่:

• — ฐานระดับ;
• - เลขชี้กำลัง

องศาที่มีตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติ (n = 1, 2, 3,...)

การเพิ่มจำนวนให้เป็นพลังธรรมชาติ n หมายถึงการคูณจำนวนด้วยตัวมันเองด้วย:

องศาที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม (0, ±1, ±2,...)

หากเป็นเลขชี้กำลัง จำนวนเต็มบวกตัวเลข:

การก่อสร้าง ถึงระดับศูนย์:

สำนวนนี้ไม่มีกำหนด เพราะในด้านหนึ่ง ระดับใดๆ ก็เป็นเช่นนี้ และอีกด้านหนึ่ง จำนวนใดๆ ที่อยู่ในระดับ th ก็เป็นเช่นนี้

หากเป็นเลขชี้กำลัง จำนวนเต็มลบตัวเลข:

(เพราะคุณไม่สามารถหารด้วย)

อีกครั้งเกี่ยวกับศูนย์: นิพจน์ไม่ได้ถูกกำหนดไว้ในกรณีนี้ ถ้าอย่างนั้น.

ตัวอย่าง:

กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ

• - จำนวนธรรมชาติ
• - จำนวนเต็ม;

ตัวอย่าง:

คุณสมบัติขององศา

เพื่อให้ง่ายต่อการแก้ปัญหา เรามาลองทำความเข้าใจกันดีกว่าว่าคุณสมบัติเหล่านี้มาจากไหน? มาพิสูจน์กันเถอะ

มาดูกันว่าคืออะไรและ?

A-ไพรเออรี่:

ทางด้านขวาของนิพจน์นี้ เราจะได้ผลลัพธ์ดังนี้:

แต่ตามคำจำกัดความแล้ว มันคือกำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลัง นั่นคือ:

Q.E.D.

ตัวอย่าง : ลดความซับซ้อนของนิพจน์

สารละลาย : .

ตัวอย่าง : ลดความซับซ้อนของนิพจน์

สารละลาย : สิ่งสำคัญคือต้องทราบว่าในกฎของเรา อย่างจำเป็นจะต้องมีเหตุผลเดียวกัน ดังนั้นเราจึงรวมพลังเข้ากับฐาน แต่ยังคงเป็นปัจจัยที่แยกจากกัน:

หมายเหตุสำคัญอีกประการหนึ่ง: กฎนี้ - เพื่อผลผลิตแห่งอำนาจเท่านั้น!

คุณไม่สามารถเขียนสิ่งนั้นได้ไม่ว่าในกรณีใด

เช่นเดียวกับคุณสมบัติก่อนหน้านี้ ให้เรามาดูคำจำกัดความของระดับ:

มาจัดกลุ่มงานนี้ใหม่ดังนี้:

ปรากฎว่านิพจน์นั้นคูณด้วยตัวมันเองด้วยตัวมันเอง นั่นคือตามคำจำกัดความ นี่คือกำลังที่ th ของตัวเลข:

โดยพื้นฐานแล้ว สิ่งนี้สามารถเรียกได้ว่าเป็น "การเอาตัวบ่งชี้ออกจากวงเล็บ" แต่คุณไม่สามารถทำสิ่งนี้ได้ทั้งหมด: !

จำสูตรคูณแบบย่อ: เราต้องการเขียนกี่ครั้ง? แต่นี่ไม่เป็นความจริงเลย

กำลังที่มีฐานเป็นลบ

ถึงจุดนี้เราได้พูดคุยกันเพียงว่าควรเป็นอย่างไร ดัชนีองศา แต่อะไรควรเป็นพื้นฐาน? อยู่ในอำนาจของ เป็นธรรมชาติ ตัวบ่งชี้ พื้นฐานอาจเป็นได้ หมายเลขใดก็ได้ .

อันที่จริง เราสามารถคูณตัวเลขใดๆ เข้าด้วยกันได้ ไม่ว่าจะเป็นค่าบวก ลบ หรือเลขคู่ ลองคิดดูว่าเครื่องหมายใด ("" หรือ "") จะมีระดับของจำนวนบวกและลบ?

เช่น จำนวนเป็นค่าบวกหรือค่าลบ? เอ? ?

อย่างแรกทุกอย่างชัดเจน: ไม่ว่าเราจะคูณจำนวนบวกจำนวนเท่าใดผลลัพธ์ก็จะเป็นบวก

แต่สิ่งที่เป็นลบนั้นน่าสนใจกว่าเล็กน้อย เราจำกฎง่ายๆ จากชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 ได้: “ลบสำหรับลบให้บวก” นั่นก็คือหรือ. แต่ถ้าเราคูณด้วย () เราจะได้ -

และไม่มีที่สิ้นสุด: ด้วยการคูณแต่ละครั้งเครื่องหมายจะเปลี่ยนไป เราสามารถกำหนดได้ดังต่อไปนี้ กฎง่ายๆ:

1. สม่ำเสมอองศา - หมายเลข เชิงบวก.
2. จำนวนลบยกขึ้นเป็น แปลกองศา - หมายเลข เชิงลบ.
3. จำนวนบวกทุกระดับจะเป็นจำนวนบวก
4. ศูนย์กำลังใดๆ มีค่าเท่ากับศูนย์

พิจารณาด้วยตัวคุณเองว่าสำนวนต่อไปนี้จะมีเครื่องหมายอะไร:

คุณจัดการหรือไม่? นี่คือคำตอบ:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

ในสี่ตัวอย่างแรกฉันหวังว่าทุกอย่างชัดเจน? เราเพียงแค่ดูที่ฐานและเลขชี้กำลังแล้วใช้กฎที่เหมาะสม

ในตัวอย่างที่ 5) ทุกอย่างก็ไม่น่ากลัวเท่าที่ควร: ท้ายที่สุดแล้วไม่สำคัญว่าฐานจะเท่ากับอะไร - ระดับเป็นเลขคู่ซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์จะเป็นค่าบวกเสมอ ยกเว้นเมื่อฐานเป็นศูนย์ ฐานไม่เท่ากันใช่ไหม? ไม่แน่นอน เนื่องจาก (เพราะ)

ตัวอย่างที่ 6) ไม่ใช่เรื่องง่ายอีกต่อไป ที่นี่คุณต้องค้นหาว่าอันไหนน้อยกว่า: หรือ? ถ้าเราจำได้ ก็จะชัดเจนว่า ซึ่งหมายความว่าฐานมีค่าน้อยกว่าศูนย์ นั่นคือเราใช้กฎข้อที่ 2: ผลลัพธ์จะเป็นลบ

และอีกครั้งที่เราใช้คำจำกัดความของระดับ:

ทุกอย่างเป็นไปตามปกติ - เราเขียนคำจำกัดความขององศาแล้วหารซึ่งกันและกันแบ่งเป็นคู่แล้วรับ:

ก่อนที่เราจะดูกฎข้อสุดท้าย เรามาแก้ตัวอย่างกันก่อน

คำนวณนิพจน์:

โซลูชั่น :

ถ้าเราละเลยยกกำลังที่แปด เราเห็นอะไรตรงนี้? เรามาจำโปรแกรมชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 กันเถอะ แล้วคุณจำได้ไหม? นี่คือสูตรการคูณแบบย่อ นั่นคือผลต่างของกำลังสอง!

เราได้รับ:

ลองดูตัวส่วนอย่างละเอียด มันดูเหมือนตัวเศษตัวหนึ่งมาก แต่เกิดอะไรขึ้น? ลำดับของเงื่อนไขไม่ถูกต้อง หากกลับกันก็สามารถใช้กฎข้อ 3 ได้ แต่อย่างไร? ปรากฎว่ามันง่ายมาก: ระดับเลขคู่ของตัวส่วนช่วยเราได้

ถ้าคูณมันไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลงใช่ไหม? แต่ตอนนี้ปรากฎดังนี้:

เงื่อนไขเปลี่ยนสถานที่อย่างน่าอัศจรรย์ “ปรากฏการณ์” นี้ใช้กับการแสดงออกใดๆ ในระดับที่เท่ากัน: เราสามารถเปลี่ยนเครื่องหมายในวงเล็บได้อย่างง่ายดาย แต่สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่า: สัญญาณทั้งหมดเปลี่ยนไปพร้อมๆ กัน!คุณไม่สามารถแทนที่ด้วยการเปลี่ยนข้อเสียเดียวที่เราไม่ชอบได้!

กลับไปที่ตัวอย่าง:

และอีกครั้งด้วยสูตร:

ตอนนี้กฎข้อสุดท้าย:

เราจะพิสูจน์ได้อย่างไร? แน่นอน เหมือนเช่นเคย มาขยายแนวคิดเรื่องปริญญาและทำให้ง่ายขึ้น:

ทีนี้มาเปิดวงเล็บกันดีกว่า มีตัวอักษรทั้งหมดกี่ตัว? คูณด้วยคูณ - สิ่งนี้ทำให้คุณนึกถึงอะไร? นี่ไม่ใช่อะไรมากไปกว่าคำจำกัดความของการดำเนินการ การคูณ: ที่นั่นมีแต่ตัวคูณเท่านั้น ตามคำจำกัดความแล้ว นั่นคือกำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลัง:

ตัวอย่าง:

องศาที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว

นอกจากข้อมูลเกี่ยวกับองศาสำหรับระดับเฉลี่ยแล้ว เราจะวิเคราะห์ระดับด้วยเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว กฎและคุณสมบัติทั้งหมดขององศาในที่นี้เหมือนกันทุกประการกับดีกรีที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ ยกเว้นว่า ตามคำจำกัดความแล้ว จำนวนอตรรกยะคือตัวเลขที่ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ โดยที่ และ เป็นจำนวนเต็ม (นั่นคือ จำนวนอตรรกยะคือจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้นจำนวนตรรกยะ)

เมื่อศึกษาระดับปริญญาด้วยเลขชี้กำลังธรรมชาติ จำนวนเต็ม และตรรกยะ ทุกครั้งที่เราสร้าง "ภาพ" "การเปรียบเทียบ" หรือคำอธิบายบางอย่างในรูปแบบที่คุ้นเคยมากขึ้น ตัวอย่างเช่น ระดับที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติคือตัวเลขคูณด้วยตัวมันเองหลายครั้ง จำนวนยกกำลัง 0 เหมือนเดิมคือจำนวนคูณด้วยตัวมันเองหนึ่งครั้ง นั่นคือ ยังไม่ได้เริ่มคูณ ซึ่งหมายความว่าจำนวนนั้นยังไม่ปรากฏด้วยซ้ำ ดังนั้น ผลลัพธ์จึงเป็นเพียงค่าที่แน่นอนเท่านั้น “หมายเลขว่าง” คือตัวเลข ระดับที่มีเลขชี้กำลังลบจำนวนเต็ม - ราวกับว่ามี "กระบวนการย้อนกลับ" เกิดขึ้นนั่นคือจำนวนนั้นไม่ได้คูณด้วยตัวมันเอง แต่ถูกหาร

เป็นเรื่องยากมากที่จะจินตนาการถึงระดับหนึ่งด้วยเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว (เช่นเดียวกับที่เป็นการยากที่จะจินตนาการถึงปริภูมิ 4 มิติ) มันค่อนข้างเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ล้วนๆ ที่นักคณิตศาสตร์สร้างขึ้นเพื่อขยายแนวคิดเรื่ององศาให้ครอบคลุมพื้นที่ทั้งหมดของตัวเลข

อย่างไรก็ตามในทางวิทยาศาสตร์มักใช้ระดับที่มีเลขชี้กำลังเชิงซ้อนนั่นคือเลขชี้กำลังไม่ใช่จำนวนจริงด้วยซ้ำ แต่ที่โรงเรียน เราไม่คิดถึงความยากลำบากดังกล่าว คุณจะมีโอกาสเข้าใจแนวคิดใหม่เหล่านี้ที่สถาบัน

แล้วเราจะทำอย่างไรถ้าเราเห็นเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว? เราพยายามอย่างดีที่สุดเพื่อกำจัดมัน! :)

ตัวอย่างเช่น:

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

คำตอบ:

1. มาจำความแตกต่างของสูตรกำลังสองกันดีกว่า คำตอบ: .
2. เราลดเศษส่วนให้อยู่ในรูปแบบเดียวกัน: ทั้งทศนิยมหรือทั้งสองสามัญ เราได้รับตัวอย่าง: .
3. ไม่มีอะไรพิเศษ เราใช้คุณสมบัติปกติขององศา:

สรุปส่วนและสูตรพื้นฐาน

ระดับเรียกว่าการแสดงออกของแบบฟอร์ม: โดยที่:

ปริญญาที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม

ระดับที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ (เช่น จำนวนเต็มและบวก)

กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ

องศา ซึ่งมีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนลบและเศษส่วน

องศาที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว

ระดับที่เลขชี้กำลังเป็นเศษส่วนหรือรากทศนิยมอนันต์

คุณสมบัติขององศา

คุณสมบัติขององศา

• จำนวนลบยกขึ้นเป็น สม่ำเสมอองศา - หมายเลข เชิงบวก.
• จำนวนลบยกขึ้นเป็น แปลกองศา - หมายเลข เชิงลบ.
• จำนวนบวกทุกระดับจะเป็นจำนวนบวก
• ศูนย์เท่ากับกำลังใดๆ
• จำนวนใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากัน

ตอนนี้คุณมีคำว่า...

คุณชอบบทความนี้อย่างไร? เขียนความคิดเห็นด้านล่างไม่ว่าคุณจะชอบหรือไม่

บอกเราเกี่ยวกับประสบการณ์ของคุณในการใช้คุณสมบัติระดับ

บางทีคุณอาจมีคำถาม หรือข้อเสนอแนะ

เขียนในความคิดเห็น

และขอให้โชคดีในการสอบ!

ลักษณะสำคัญอย่างหนึ่งในพีชคณิตและในคณิตศาสตร์ทั้งหมดก็คือปริญญา แน่นอนว่าในศตวรรษที่ 21 การคำนวณทั้งหมดสามารถทำได้ด้วยเครื่องคิดเลขออนไลน์ แต่การพัฒนาสมองจะดีกว่าหากเรียนรู้วิธีทำด้วยตัวเอง

ในบทความนี้เราจะดูมากที่สุด คำถามสำคัญเกี่ยวข้องกับคำจำกัดความนี้ กล่าวคือ มาทำความเข้าใจกันดีกว่าว่ามันคืออะไรโดยทั่วไป และหน้าที่หลักของมันคืออะไร มีคุณสมบัติใดบ้างในคณิตศาสตร์

เรามาดูตัวอย่างว่าการคำนวณมีลักษณะอย่างไรและมีสูตรพื้นฐานอะไรบ้าง มาดูประเภทปริมาณหลักๆ และความแตกต่างจากฟังก์ชันอื่นๆ กัน

ให้เราเข้าใจวิธีแก้ปัญหาต่าง ๆ โดยใช้ปริมาณนี้ เราจะแสดงพร้อมตัวอย่างวิธีการยกกำลังเป็นศูนย์ การไม่มีเหตุผล ลบ ฯลฯ

เครื่องคำนวณเลขยกกำลังออนไลน์

เลขยกกำลังคืออะไร

นิพจน์ "ยกกำลังจำนวน" หมายถึงอะไร?

กำลัง n ของจำนวนเป็นผลคูณของปัจจัยที่มีขนาด n ครั้งติดต่อกัน

ในทางคณิตศาสตร์ดูเหมือนว่านี้:

n = a * a * a * …a n

ตัวอย่างเช่น:

• 2 3 = 2 ในระดับที่สาม = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 เพื่อก้าว สอง = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 ก้าว สี่ = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 = 10 ใน 5 ขั้นตอน = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100,000;
• 10 4 = 10 ใน 4 ขั้นตอน = 10 * 10 * 10 * 10 = 10,000

ด้านล่างเป็นตารางสี่เหลี่ยมและลูกบาศก์ตั้งแต่ 1 ถึง 10

ตารางองศาตั้งแต่ 1 ถึง 10

ด้านล่างนี้คือผลลัพธ์ของการเพิ่มจำนวนธรรมชาติเป็นค่าบวก - “ตั้งแต่ 1 ถึง 100”

คุณสมบัติขององศา

คุณลักษณะของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ดังกล่าวคืออะไร? มาดูคุณสมบัติพื้นฐานกัน

นักวิทยาศาสตร์ได้กำหนดไว้ดังต่อไปนี้ ลักษณะสัญญาณของทุกองศา:

• n * a m = (a) (n+m) ;
• n: a m = (a) (n-m) ;
• (ก) ม. =(ก) (ข*ม.) .

ลองตรวจสอบด้วยตัวอย่าง:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32 ในทางกลับกัน 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32

ในทำนองเดียวกัน: 2 3: 2 2 = 8/4 =2 มิฉะนั้น 2 3-2 = 2 1 =2

(2 3) 2 = 8 2 = 64 จะเป็นอย่างไรหากแตกต่าง? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64

อย่างที่คุณเห็นกฎทำงาน

แต่แล้วยังไงล่ะ ด้วยการบวกและการลบ? มันง่ายมาก การยกกำลังจะดำเนินการก่อน จากนั้นจึงบวกและลบ

ลองดูตัวอย่าง:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16 โปรดทราบ: กฎจะไม่ถือเป็นผลหากคุณลบออกก่อน: (5 – 3) 2 = 2 2 = 4

แต่ในกรณีนี้ คุณต้องคำนวณการบวกก่อน เนื่องจากมีการดำเนินการในวงเล็บ: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512

วิธีการผลิต การคำนวณเพิ่มเติม กรณีที่ยากลำบาก ? คำสั่งซื้อเหมือนกัน:

• หากมีวงเล็บเหลี่ยมคุณต้องเริ่มต้นด้วยวงเล็บเหล่านั้น
• แล้วยกกำลัง;
• จากนั้นจึงดำเนินการการคูณและการหาร
• หลังจากบวกลบ

มีคุณสมบัติเฉพาะที่ไม่มีลักษณะเฉพาะของทุกองศา:

1. รากที่ n ของตัวเลข a ถึงระดับ m จะถูกเขียนเป็น: a m / n
2. เมื่อเพิ่มเศษส่วนเป็นกำลัง: ทั้งตัวเศษและตัวส่วนจะต้องปฏิบัติตามขั้นตอนนี้
3. เมื่อสร้างงาน ตัวเลขที่แตกต่างกันนิพจน์จะสอดคล้องกับผลคูณของตัวเลขเหล่านี้กับกำลังที่กำหนด นั่นคือ: (a * b) n = a n * bn
4. เมื่อเพิ่มจำนวนเป็นลบ คุณต้องหาร 1 ด้วยตัวเลขในศตวรรษเดียวกัน แต่มีเครื่องหมาย "+"
5. หากตัวส่วนของเศษส่วนเป็นกำลังลบ นิพจน์นี้จะเท่ากับผลคูณของตัวเศษและตัวส่วนเป็นกำลังบวก
6. จำนวนใดๆ ยกกำลัง 0 = 1 และยกกำลัง 1 = เพื่อตัวคุณเอง

กฎเกณฑ์เหล่านี้มีความสำคัญค่ะ ในบางกรณีเราจะพิจารณารายละเอียดเพิ่มเติมด้านล่างนี้

องศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบ

จะทำอย่างไรกับระดับลบ เช่น เมื่อตัวบ่งชี้เป็นลบ?

ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติ 4 และ 5(ดูจุดด้านบน) ปรากฎว่า:

A (- n) = 1 / A n, 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25

และในทางกลับกัน:

1 / A (- n) = A n, 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8

เกิดอะไรขึ้นถ้ามันเป็นเศษส่วน?

(A / B) (- n) = (B / A) n, (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9

องศาที่มีตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติ

เป็นที่เข้าใจกันว่าเป็นระดับที่มีเลขชี้กำลังเท่ากับจำนวนเต็ม

สิ่งที่ต้องจำ:

0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3.15 0 = 1; (-4) 0 = 1...ฯลฯ

ก 1 = ก, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3...ฯลฯ

นอกจากนี้ หาก (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2...ผลลัพธ์จะมีเครื่องหมาย “+” หากจำนวนลบยกกำลังคี่ ก็จะกลับกัน

คุณสมบัติทั่วไปและคุณสมบัติเฉพาะทั้งหมดที่อธิบายไว้ข้างต้นก็เป็นลักษณะเฉพาะเช่นกัน

ระดับเศษส่วน

ประเภทนี้สามารถเขียนเป็นรูปแบบ: A m / n อ่านว่า: รากที่ n ของเลข A ยกกำลัง m

คุณสามารถทำอะไรก็ได้ที่คุณต้องการด้วยตัวบ่งชี้เศษส่วน เช่น ลดขนาด แบ่งออกเป็นส่วน ๆ เพิ่มเป็นกำลังอื่น ฯลฯ

องศาที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว

ให้ α เป็นจำนวนอตรรกยะ และ A ˃ 0

เพื่อทำความเข้าใจแก่นแท้ของปริญญาด้วยตัวบ่งชี้ดังกล่าว ลองดูกรณีต่างๆ ที่เป็นไปได้:

• A = 1 ผลลัพธ์จะเท่ากับ 1 เนื่องจากมีสัจพจน์ - 1 ในทุกกำลังมีค่าเท่ากับหนึ่ง

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 – จำนวนตรรกยะ;

• 0˂А˂1.

ในกรณีนี้ เป็นอีกทางหนึ่ง: A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 ภายใต้เงื่อนไขเดียวกันกับในย่อหน้าที่สอง

ตัวอย่างเช่น เลขชี้กำลังคือตัวเลข πมันมีเหตุผล

r 1 – ในกรณีนี้เท่ากับ 3;

r 2 – จะเท่ากับ 4

จากนั้น สำหรับ A = 1, 1 π = 1

A = 2 แล้วก็ 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16

A = 1/2 จากนั้น (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8

องศาดังกล่าวมีลักษณะเฉพาะด้วยการดำเนินการทางคณิตศาสตร์และคุณสมบัติเฉพาะที่อธิบายไว้ข้างต้น

บทสรุป

สรุป - ปริมาณเหล่านี้จำเป็นสำหรับอะไร ข้อดีของฟังก์ชันดังกล่าวคืออะไร? แน่นอนว่าก่อนอื่น พวกเขาทำให้ชีวิตของนักคณิตศาสตร์และโปรแกรมเมอร์ง่ายขึ้นเมื่อแก้ไขตัวอย่าง เนื่องจากช่วยให้พวกเขาสามารถลดการคำนวณ ลดขั้นตอนอัลกอริธึม จัดระบบข้อมูล และอื่นๆ อีกมากมาย

ความรู้นี้จะมีประโยชน์ที่ไหนอีก? ในการทำงานเฉพาะด้าน: การแพทย์ เภสัชวิทยา ทันตกรรม การก่อสร้าง เทคโนโลยี วิศวกรรม การออกแบบ ฯลฯ

ในเนื้อหานี้ เราจะดูว่ากำลังของตัวเลขคืออะไร นอกจากคำจำกัดความพื้นฐานแล้ว เราจะกำหนดว่ากำลังใดที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ จำนวนเต็ม ตรรกยะ และอตรรกยะ เช่นเคย แนวคิดทั้งหมดจะแสดงพร้อมตัวอย่างปัญหา

ยานเดกซ์RTB R-A-339285-1

อันดับแรก เรามากำหนดนิยามพื้นฐานของระดับด้วยเลขชี้กำลังธรรมชาติกันดีกว่า เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราต้องจำกฎพื้นฐานของการคูณ ให้เราชี้แจงล่วงหน้าว่าในตอนนี้เราจะใช้จำนวนจริงเป็นฐาน (แสดงด้วยตัวอักษร a) และจำนวนธรรมชาติเป็นตัวบ่งชี้ (แสดงด้วยตัวอักษร n)

คำจำกัดความ 1

กำลังของตัวเลข a ที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ n คือผลคูณของตัวประกอบจำนวนที่ n ซึ่งแต่ละตัวจะเท่ากับตัวเลข a ปริญญาเขียนดังนี้: หนึ่งและในรูปแบบของสูตรสามารถแสดงองค์ประกอบได้ดังนี้:

ตัวอย่างเช่น ถ้าเลขชี้กำลังคือ 1 และฐานคือ a ดังนั้นกำลังแรกของ a จะเขียนเป็น 1. เมื่อพิจารณาว่า a คือค่าของตัวประกอบ และ 1 คือจำนวนตัวประกอบ เราสามารถสรุปได้ว่า 1 = ก.

โดยทั่วไป เราสามารถพูดได้ว่าปริญญาเป็นรูปแบบที่สะดวกในการเขียนตัวประกอบจำนวนมากที่เท่ากัน ดังนั้นการบันทึกแบบฟอร์ม 8 8 8 8สามารถย่อให้สั้นลงได้ 8 4 . ในทำนองเดียวกัน งานช่วยเราหลีกเลี่ยงการบันทึก จำนวนมากเงื่อนไข (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4) ; เราได้พูดคุยเรื่องนี้ไปแล้วในบทความเกี่ยวกับการคูณจำนวนธรรมชาติ

จะอ่านการรับปริญญาอย่างถูกต้องได้อย่างไร? ตัวเลือกที่ยอมรับโดยทั่วไปคือ “a กำลังของ n” หรือคุณสามารถพูดว่า "พลังที่ n ของ" หรือ "พลังมด" ถ้าในตัวอย่างเราพบรายการ 8 12 เราสามารถอ่านได้ว่า "8 ยกกำลัง 12", "8 ยกกำลัง 12" หรือ "ยกกำลัง 12 ของ 8"

กำลังสองและสามของตัวเลขมีชื่อของตัวเอง: สี่เหลี่ยมจัตุรัสและลูกบาศก์ หากเราเห็นกำลังสอง เช่น เลข 7 (7 2) เราก็สามารถพูดว่า "7 กำลังสอง" หรือ "กำลังสองของเลข 7" ในทำนองเดียวกันระดับที่สามจะอ่านดังนี้: 5 3 - นี่คือ "ลูกบาศก์ของเลข 5" หรือ "5 ลูกบาศก์" อย่างไรก็ตาม คุณยังสามารถใช้สูตรมาตรฐาน "ยกกำลัง 2/3" ได้ ซึ่งจะไม่ถือเป็นข้อผิดพลาด

ตัวอย่างที่ 1

ลองดูตัวอย่างระดับที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ: for 5 7 ห้าจะเป็นฐาน และเจ็ดจะเป็นเลขชี้กำลัง

ฐานไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเต็ม: สำหรับระดับ (4 , 32) 9 ฐานจะเป็นเศษส่วน 4, 32 และเลขชี้กำลังจะเป็นเก้า ให้ความสนใจกับวงเล็บ: สัญกรณ์นี้สร้างขึ้นสำหรับเลขยกกำลังทั้งหมดที่มีฐานแตกต่างจากจำนวนธรรมชาติ

ตัวอย่างเช่น: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

วงเล็บมีไว้เพื่ออะไร? ช่วยหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดในการคำนวณ สมมติว่าเรามีสองรายการ: (− 2) 3 และ − 2 3 . ตัวแรกหมายถึงจำนวนลบลบด้วย 2 ยกกำลังโดยมีเลขชี้กำลังธรรมชาติเป็น 3 ที่สองคือตัวเลขที่สอดคล้องกับค่าตรงข้ามของระดับ 2 3 .

บางครั้งในหนังสือคุณจะพบการสะกดเลขยกกำลังที่แตกต่างกันเล็กน้อย - เป็น^n(โดยที่ a เป็นฐาน และ n เป็นเลขชี้กำลัง) นั่นคือ 4^9 เหมือนกับ 4 9 . ถ้า n เป็นตัวเลขหลายหลัก จะอยู่ในวงเล็บ ตัวอย่างเช่น 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . แต่เราจะใช้สัญกรณ์ หนึ่งเป็นเรื่องธรรมดามากขึ้น

เป็นเรื่องง่ายที่จะคาดเดาวิธีคำนวณค่าของเลขชี้กำลังด้วยเลขชี้กำลังธรรมชาติจากคำจำกัดความ: คุณเพียงแค่ต้องคูณจำนวนครั้งที่ n เราเขียนเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้ในบทความอื่น

แนวคิดเรื่องดีกรีเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับแนวคิดทางคณิตศาสตร์อื่น - รากของตัวเลข ถ้าเรารู้ค่าของกำลังและเลขชี้กำลัง เราก็จะสามารถคำนวณฐานของมันได้ ปริญญามีคุณสมบัติเฉพาะบางอย่างที่เป็นประโยชน์ในการแก้ปัญหา ซึ่งเราได้พูดคุยกันในเนื้อหาแยกต่างหาก

เลขชี้กำลังสามารถรวมถึงไม่เพียง แต่จำนวนธรรมชาติเท่านั้น แต่ยังรวมไปถึงค่าจำนวนเต็มใด ๆ โดยทั่วไปรวมถึงค่าลบและศูนย์ด้วยเพราะมันอยู่ในชุดของจำนวนเต็มด้วย

คำจำกัดความ 2

กำลังของตัวเลขกับจำนวนเต็ม ตัวบ่งชี้ที่เป็นบวกสามารถแสดงเป็นสูตรได้: .

ในกรณีนี้ n คือจำนวนเต็มบวกใดๆ

มาทำความเข้าใจแนวคิดของระดับศูนย์กันดีกว่า ในการทำเช่นนี้ เราใช้วิธีการพิจารณาคุณสมบัติผลหารของกำลังที่มีฐานเท่ากัน มีการกำหนดไว้ดังนี้:

คำจำกัดความ 3

ความเท่าเทียมกัน a m: a n = a m − nจะเป็นจริงภายใต้เงื่อนไขต่อไปนี้: m และ n เป็นจำนวนธรรมชาติ m< n , a ≠ 0 .

เงื่อนไขสุดท้ายมีความสำคัญเนื่องจากจะหลีกเลี่ยงการหารด้วยศูนย์ หากค่าของ m และ n เท่ากัน เราจะได้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้: n: n = n − n = 0

แต่ในขณะเดียวกัน a n: a n = 1 คือผลหาร ตัวเลขเท่ากัน หนึ่งและก. ปรากฎว่ากำลังศูนย์ของจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์มีค่าเท่ากับหนึ่ง

อย่างไรก็ตาม การพิสูจน์ดังกล่าวใช้ไม่ได้กับศูนย์ยกกำลังศูนย์ ในการทำเช่นนี้ เราต้องมีคุณสมบัติอื่นของกำลัง - คุณสมบัติของผลคูณของกำลังที่มีฐานเท่ากัน ดูเหมือนว่านี้: เป็น ม · n = เป็น ม + n .

ถ้า n เท่ากับ 0 แล้ว เป็นม. · 0 = เป็นม(ความเท่าเทียมกันนี้พิสูจน์ให้เราเห็นว่า 0 = 1). แต่ถ้า และ เท่ากับศูนย์ด้วย ความเท่าเทียมกันของเราก็จะอยู่ในรูป 0 ม. · 0 0 = 0 มมันจะเป็นจริงสำหรับค่าธรรมชาติใดๆ ของ n และไม่สำคัญว่าค่าของดีกรีจะเท่ากับเท่าใด 0 0 นั่นคือสามารถเท่ากับตัวเลขใดๆ ก็ได้ และจะไม่ส่งผลต่อความถูกต้องของความเท่าเทียมกัน ดังนั้นสัญกรณ์ของแบบฟอร์ม 0 0 ไม่มีความหมายพิเศษในตัวเอง และเราจะไม่ถือว่ามีความหมายเช่นนั้น

หากต้องการก็ตรวจสอบได้ง่าย 0 = 1มาบรรจบกับคุณสมบัติระดับ (ม) n = มนโดยมีเงื่อนไขว่าฐานของดีกรีไม่เป็นศูนย์ ดังนั้น กำลังของจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ ที่มีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์จะเป็นหนึ่ง

ตัวอย่างที่ 2

ลองดูตัวอย่างที่มีตัวเลขเฉพาะ: ดังนั้น 5 0 - หน่วย, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 และค่า 0 0 ไม่ได้กำหนด.

หลังจากระดับศูนย์ เราแค่ต้องหาว่าระดับลบคืออะไร ในการทำเช่นนี้ เราจำเป็นต้องมีคุณสมบัติของผลคูณของกำลังที่มีฐานเท่ากันที่เราใช้ไปแล้วข้างต้น: a m · a n = a m + n

ให้เราแนะนำเงื่อนไข: m = − n ดังนั้น a ไม่ควรเท่ากับศูนย์ มันเป็นไปตามนั้น a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1. ปรากฎว่า a n และ ไม่ใช่เรามีตัวเลขซึ่งกันและกัน

ผลก็คือ a กำลังลบทั้งหมดนั้นไม่มีอะไรมากไปกว่าเศษส่วน 1 a n

สูตรนี้ยืนยันว่าสำหรับดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบจำนวนเต็ม คุณสมบัติเดียวกันทั้งหมดจะถือว่าดีกรีที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติมี (โดยมีเงื่อนไขว่าฐานไม่เท่ากับศูนย์)

ตัวอย่างที่ 3

กำลัง a ที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็มลบ n สามารถแสดงเป็นเศษส่วน 1 a n ได้ ดังนั้น a - n = 1 a n อยู่ภายใต้ ก ≠ 0และ n คือจำนวนธรรมชาติใดๆ

ให้เราแสดงแนวคิดของเราด้วยตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง:

ตัวอย่างที่ 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

ในส่วนสุดท้ายของย่อหน้า เราจะพยายามอธิบายทุกสิ่งที่กล่าวไว้อย่างชัดเจนในสูตรเดียว:

คำจำกัดความที่ 4

กำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ z คือ: a z = a z, e กับ l และ z - จำนวนเต็มบวก 1, z = 0 และ a ≠ 0, (สำหรับ z = 0 และ a = 0 ผลลัพธ์คือ 0 0, ค่าของนิพจน์ 0 0 ไม่ได้ถูกกำหนดไว้) 1 a z ถ้า และ z เป็นจำนวนเต็มลบและ ≠ 0 ( ถ้า z เป็นจำนวนเต็มลบและ a = 0 คุณจะได้ 0 z, egoz ค่าไม่ได้ถูกกำหนดไว้)

เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะคืออะไร?

เราตรวจสอบกรณีที่เลขชี้กำลังมีจำนวนเต็ม อย่างไรก็ตาม คุณสามารถเพิ่มตัวเลขยกกำลังได้แม้ว่าเลขยกกำลังจะมีจำนวนเศษส่วนก็ตาม สิ่งนี้เรียกว่ากำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ ในส่วนนี้ เราจะพิสูจน์ว่ามันมีคุณสมบัติเหมือนกับกำลังอื่นๆ

จำนวนตรรกยะคืออะไร? ชุดประกอบด้วยทั้งจำนวนเต็มและจำนวนเศษส่วน และจำนวนเศษส่วนสามารถแสดงเป็นเศษส่วนสามัญ (ทั้งบวกและลบ) ขอให้เรากำหนดนิยามของกำลังของตัวเลข a ด้วยเลขชี้กำลังเศษส่วน m / n โดยที่ n คือจำนวนธรรมชาติและ m เป็นจำนวนเต็ม

เรามีดีกรีระดับหนึ่งพร้อมเลขชี้กำลังเศษส่วน a m n . เพื่อให้อำนาจในการขับเคลื่อนทรัพย์สินคงอยู่ ความเท่าเทียมกัน a m n = a m n · n = a m จะต้องเป็นจริง

เมื่อพิจารณาจากคำจำกัดความของรูตที่ n และ a m n = a m เราสามารถยอมรับเงื่อนไข a m n = a m n ได้ถ้า m n สมเหตุสมผลสำหรับค่าที่กำหนดของ m, n และ a

คุณสมบัติข้างต้นของระดับที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็มจะเป็นจริงภายใต้เงื่อนไข a mn = a mn

ข้อสรุปหลักจากการให้เหตุผลของเราคือ: กำลังของจำนวน a บางตัวที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน m / n คือรากที่ n ของจำนวน a ถึงกำลัง m สิ่งนี้จะเกิดขึ้นหากสำหรับค่าที่กำหนดของ m, n และ a นิพจน์ a mn ยังคงมีความหมาย

1. เราสามารถจำกัดค่าของฐานของดีกรีได้: ลองใช้ a ซึ่งสำหรับค่าบวกของ m จะมากกว่าหรือเท่ากับ 0 และสำหรับค่าลบ - น้อยกว่าอย่างเคร่งครัด (เนื่องจากสำหรับ m ≤ 0 เราได้รับ 0 มแต่ไม่ได้กำหนดระดับดังกล่าวไว้) ในกรณีนี้ คำจำกัดความของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วนจะมีลักษณะดังนี้:

กำลังที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน m/n สำหรับจำนวนบวก a บางตัว คือรากที่ n ของค่ายกกำลัง m สิ่งนี้สามารถแสดงเป็นสูตร:

สำหรับกำลังที่มีฐานเป็นศูนย์ ข้อกำหนดนี้ก็เหมาะสมเช่นกัน แต่เฉพาะในกรณีที่เลขชี้กำลังเป็นจำนวนบวกเท่านั้น

กำลังที่มีฐานเป็นศูนย์และเลขชี้กำลังบวกที่เป็นเศษส่วน m/n สามารถแสดงเป็นได้

0 m n = 0 m n = 0 โดยที่ m เป็นจำนวนเต็มบวก และ n เป็นจำนวนธรรมชาติ

สำหรับอัตราส่วนลบ mn< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

สังเกตจุดหนึ่ง เนื่องจากเราแนะนำเงื่อนไขที่ว่า a มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ เราจึงละทิ้งบางกรณีไป

การแสดงออก a mn บางครั้งยังคงสมเหตุสมผลสำหรับค่าลบบางค่าของ a และ m บางค่า ดังนั้น ค่าที่ถูกต้องคือ (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4 โดยที่ฐานเป็นลบ

2. วิธีที่สองคือพิจารณาแยกราก a mn ด้วยเลขชี้กำลังเลขคู่และเลขคี่ จากนั้นเราจะต้องแนะนำเงื่อนไขอีกอย่างหนึ่ง: ระดับ a ในเลขชี้กำลังซึ่งมีเศษส่วนสามัญที่ลดได้นั้นถือเป็นระดับ a ในเลขชี้กำลังซึ่งมีเศษส่วนที่ลดไม่ได้ที่สอดคล้องกัน ต่อไปเราจะอธิบายว่าทำไมเราจึงต้องมีเงื่อนไขนี้ และเหตุใดจึงสำคัญมาก ดังนั้น หากเรามีสัญลักษณ์ a m · k n · k เราก็สามารถลดมันลงเหลือ a m n และทำให้การคำนวณง่ายขึ้น

ถ้าไม่มี – เลขคี่และค่าของ m เป็นค่าบวก a เป็นจำนวนใดๆ ที่ไม่เป็นลบ ดังนั้น m n ก็สมเหตุสมผล เงื่อนไขสำหรับ a ไม่เป็นลบเป็นสิ่งจำเป็น เนื่องจากไม่สามารถแยกรากของดีกรีคู่ออกจากจำนวนลบได้ ถ้าค่า m เป็นบวก แล้ว a อาจเป็นได้ทั้งลบและศูนย์ เพราะ รากคี่สามารถหาได้จากจำนวนจริงใดๆ

มารวมคำจำกัดความข้างต้นทั้งหมดไว้ในรายการเดียว:

โดยที่ m/n หมายถึงเศษส่วนที่ลดไม่ได้ m คือจำนวนเต็มใดๆ และ n คือจำนวนธรรมชาติใดๆ

คำจำกัดความที่ 5

สำหรับเศษส่วนที่ลดได้ธรรมดา m · k n · k องศาสามารถถูกแทนที่ด้วย a m n

กำลังของตัวเลข a ที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนที่ลดไม่ได้ m / n – สามารถแสดงเป็น m n ใน กรณีต่อไปนี้: - สำหรับจำนวนจริง a, จำนวนเต็มใดๆ ค่าบวก m และค่าธรรมชาติคี่ n ตัวอย่าง: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

สำหรับ a จริงที่ไม่ใช่ศูนย์ ค่าจำนวนเต็มลบของ m และค่าคี่ของ n เช่น 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

สำหรับ a ที่ไม่เป็นลบใดๆ จำนวนเต็มบวก m และคู่ n เช่น 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18

สำหรับค่าบวก a ใดๆ จำนวนเต็มลบ m และจำนวนคู่ n เช่น 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3,

ในกรณีของค่าอื่น จะไม่ได้กำหนดระดับที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน ตัวอย่างขององศาดังกล่าว: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5

ตอนนี้ เรามาอธิบายความสำคัญของเงื่อนไขที่กล่าวไว้ข้างต้น: ทำไมจึงแทนที่เศษส่วนด้วยเลขชี้กำลังที่ลดได้ด้วยเศษส่วนด้วยเลขชี้กำลังที่ลดไม่ได้ หากเราไม่ทำ เราจะได้สถานการณ์ดังนี้ 6/10 = 3/5 จากนั้นมันควรจะเป็นจริง (- 1) 6 10 = - 1 3 5 แต่ - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 และ (- 1) 3 5 = (- 1 ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

คำจำกัดความของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนซึ่งเรานำเสนอก่อนนั้นสะดวกต่อการใช้งานในทางปฏิบัติมากกว่าตัวที่สอง ดังนั้นเราจะใช้มันต่อไป

คำนิยาม 6

ดังนั้น กำลังของจำนวนบวก a ที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน m/n จึงถูกกำหนดเป็น 0 m n = 0 m n = 0 ในกรณีที่เป็นลบ กสัญกรณ์ a mn ไม่สมเหตุสมผล กำลังของศูนย์สำหรับเลขชี้กำลังเศษส่วนที่เป็นบวก ม./นถูกกำหนดให้เป็น 0 m n = 0 m n = 0 สำหรับเลขชี้กำลังเศษส่วนที่เป็นลบ เราไม่ได้กำหนดดีกรีของศูนย์

โดยสรุป เราทราบว่าตัวบ่งชี้เศษส่วนใดๆ สามารถเขียนในรูปแบบได้ หมายเลขผสมและในรูปของเศษส่วนทศนิยม: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7

เมื่อคำนวณควรแทนที่เลขชี้กำลังจะดีกว่า เศษส่วนสามัญและใช้นิยามของดีกรีกับเลขชี้กำลังเศษส่วนต่อไป สำหรับตัวอย่างข้างต้น เราได้รับ:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

พลังที่มีเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัวและเป็นจำนวนจริงคืออะไร?

จำนวนจริงคืออะไร? ชุดของพวกเขามีทั้งจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ ดังนั้น เพื่อที่จะเข้าใจว่าดีกรีที่มีเลขชี้กำลังจริงคืออะไร เราต้องกำหนดองศาด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะและอตรรกยะ เราได้กล่าวถึงเหตุผลที่สมเหตุสมผลข้างต้นแล้ว มาจัดการกับตัวบ่งชี้ที่ไม่ลงตัวกันทีละขั้นตอน

ตัวอย่างที่ 5

สมมติว่าเรามีจำนวนอตรรกยะ a และลำดับของการประมาณทศนิยม a 0 , a 1 , a 2 , . . . ตัวอย่างเช่น ลองหาค่า a = 1.67175331 . . , แล้ว

0 = 1, 6, 1 = 1, 67, 2 = 1, 671, . . , 0 = 1.67, 1 = 1.6717, 2 = 1.671753, . .

เราสามารถเชื่อมโยงลำดับของการประมาณกับลำดับขององศา a a 0 , a 1 , a a 2 , . . . หากเราจำสิ่งที่เราพูดไว้ก่อนหน้านี้เกี่ยวกับการเพิ่มจำนวนให้เป็นพลังตรรกยะ เราก็สามารถคำนวณค่าของพลังเหล่านี้ได้ด้วยตัวเอง

ลองมาเป็นตัวอย่าง ก = 3จากนั้น a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753, . . ฯลฯ

ลำดับของกำลังสามารถลดลงเป็นตัวเลข ซึ่งจะเป็นค่าของกำลังที่มีฐาน a และเลขชี้กำลังไม่ลงตัว a ผลลัพธ์: ระดับที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัวของแบบฟอร์ม 3 1, 67175331 . สามารถลดเหลือเลข 6, 27 ได้

คำนิยาม 7

กำลังของจำนวนบวก a ที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว a เขียนเป็น a ค่าของมันคือขีดจำกัดของลำดับ a a 0 , a 1 , a a 2 , . . โดยที่ 0 , 1 , 2 , . . เป็นการประมาณทศนิยมต่อเนื่องกันของจำนวนอตรรกยะ a องศาที่มีฐานเป็นศูนย์สามารถกำหนดให้กับเลขชี้กำลังบวกแบบไม่มีเหตุผลได้ โดยที่ 0 a = 0 ดังนั้น 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0 แต่สิ่งนี้ไม่สามารถทำได้สำหรับค่าลบเนื่องจากตัวอย่างเช่นไม่ได้กำหนดค่า 0 - 5, 0 - 2 π หน่วยที่ยกกำลังไม่ลงตัวใดๆ ก็ยังคงเป็นหน่วย เช่น 1 2, 1 5 ใน 2 และ 1 - 5 จะเท่ากับ 1

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter