การคำนวณลิมิตเมื่อ x มีแนวโน้มเป็นอนันต์ ข้อจำกัดที่น่าทึ่ง ตัวอย่างการแก้ปัญหา
เรายังคงวิเคราะห์คำตอบสำเร็จรูปสำหรับทฤษฎีขีดจำกัดต่อไป และวันนี้เราจะเน้นเฉพาะกรณีที่ตัวแปรในฟังก์ชันหรือตัวเลขในลำดับมีแนวโน้มเป็นอนันต์เท่านั้น คำแนะนำในการคำนวณขีดจำกัดของตัวแปรที่มีระยะอนันต์มีให้ไว้ก่อนหน้านี้ เราจะเน้นเฉพาะที่นี่เท่านั้น ในบางกรณีซึ่งไม่ได้ชัดเจนและง่ายสำหรับทุกคน
ตัวอย่างที่ 35 เรามีลำดับในรูปของเศษส่วน โดยที่ตัวเศษและตัวส่วนประกอบด้วยฟังก์ชันรูต
เราจำเป็นต้องค้นหาขีดจำกัดเมื่อตัวเลขมีแนวโน้มเป็นอนันต์
ที่นี่ไม่จำเป็นต้องเปิดเผยความไร้เหตุผลในตัวเศษ แต่เพียงวิเคราะห์รากอย่างระมัดระวังและค้นหาว่าพลังที่สูงกว่าของตัวเลขอยู่ที่ใด
ประการแรก รากของตัวเศษคือตัวคูณ n^4 นั่นคือ n^2 สามารถออกจากวงเล็บได้
ลองทำตัวส่วนแบบเดียวกัน.
ต่อไป เราจะประเมินความหมายของสำนวนที่ต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิงเมื่อผ่านไปถึงขีดจำกัด
เรามีการหารด้วยศูนย์ซึ่งไม่ถูกต้องในหลักสูตรของโรงเรียน แต่เมื่อผ่านไปจนถึงขีด จำกัด ก็ยอมรับได้
เฉพาะกับการแก้ไข “เพื่อประเมินว่าฟังก์ชันกำลังมุ่งหน้าไปที่ใด”
ดังนั้น ไม่ใช่ครูทุกคนที่สามารถตีความสัญกรณ์ข้างต้นว่าถูกต้อง แม้ว่าพวกเขาจะเข้าใจว่าผลลัพธ์ที่ได้จะไม่เปลี่ยนแปลงก็ตาม
มาดูคำตอบที่รวบรวมตามความต้องการของอาจารย์ตามทฤษฎีกัน
เพื่อให้ง่ายขึ้น เราจะประเมินเฉพาะส่วนเสริมหลักภายใต้รูทเท่านั้น 
นอกจากนี้ ในตัวเศษ กำลังจะเท่ากับ 2 ในตัวส่วน 2/3 ดังนั้นตัวเศษจะโตเร็วขึ้น ซึ่งหมายความว่าลิมิตมีแนวโน้มที่จะไม่สิ้นสุด
เครื่องหมายขึ้นอยู่กับปัจจัยของ n^2, n^(2/3) จึงเป็นบวก
ตัวอย่างที่ 36 ลองพิจารณาตัวอย่างขีดจำกัดการหาร ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง. มีตัวอย่างที่เป็นประโยชน์อยู่บ้างในลักษณะนี้ ดังนั้นนักเรียนทุกคนจึงไม่สามารถเข้าใจได้ง่ายว่าจะเปิดเผยความไม่แน่นอนที่เกิดขึ้นได้อย่างไร
ตัวประกอบสูงสุดของตัวเศษและส่วนคือ 8^n และเราจัดรูปให้ง่ายขึ้น 
ต่อไป เราจะประเมินการมีส่วนร่วมของแต่ละเทอม
เทอม 3/8 มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์เมื่อตัวแปรไปสู่อนันต์ ตั้งแต่ 3/8<1
(свойство степенно-показательной функции).
ตัวอย่างที่ 37 ขีดจำกัดของลำดับที่มีแฟกทอเรียลเปิดเผยโดยการเขียนแฟกทอเรียลให้เป็นตัวประกอบร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดสำหรับตัวเศษและส่วน
ต่อไปเราลดและประเมินขีด จำกัด ตามค่าของตัวบ่งชี้ตัวเลขในตัวเศษและส่วน
ในตัวอย่างของเรา ตัวส่วนจะโตเร็วขึ้น ดังนั้นขีดจำกัดจึงเป็นศูนย์ 
ต่อไปนี้จะใช้ที่นี่
คุณสมบัติแฟกทอเรียล
ตัวอย่างที่ 38 โดยไม่ต้องใช้กฎของโลปิตาล เราจะเปรียบเทียบตัวบ่งชี้สูงสุดของตัวแปรในตัวเศษและส่วนของเศษส่วน
เนื่องจากตัวส่วนมีเลขชี้กำลังสูงสุดของตัวแปร 4>2 จึงขยายเร็วขึ้น
จากนี้เราสรุปได้ว่าขีดจำกัดของฟังก์ชันมีแนวโน้มเป็นศูนย์
ตัวอย่างที่ 39 เราเปิดเผยลักษณะเฉพาะของรูปแบบอนันต์หารด้วยอนันต์โดยการลบ x^4 ออกจากตัวเศษและส่วนของเศษส่วน
เมื่อผ่านพ้นขีดจำกัด เราก็จะได้อนันต์
ตัวอย่างที่ 40 เรามีการแบ่งพหุนาม เราจำเป็นต้องกำหนดขีดจำกัดเนื่องจากตัวแปรมีแนวโน้มจะไม่มีที่สิ้นสุด
ระดับสูงสุดของตัวแปรในตัวเศษและส่วนเท่ากับ 3 ซึ่งหมายความว่ามีขอบเขตอยู่และเท่ากับขอบเขตปัจจุบัน
ลองเอา x^3 ออกมาแล้วทำเนื้อเรื่องให้ถึงขีดจำกัดกัน
ตัวอย่างที่ 41 เรามีเอกภาวะประเภทที่ 1 ยกกำลังอนันต์
ซึ่งหมายความว่านิพจน์ในวงเล็บและตัวบ่งชี้จะต้องอยู่ภายใต้ขอบเขตสำคัญที่สอง
ลองเขียนตัวเศษเพื่อเน้นนิพจน์ที่เหมือนกับตัวส่วนในนั้น.
ต่อไป เราจะไปยังนิพจน์ที่มีหนึ่งบวกคำหนึ่ง
ระดับจะต้องแยกความแตกต่างด้วยปัจจัย 1/(ภาคเรียน)
ดังนั้นเราจึงได้เลขยกกำลังของขีดจำกัดของฟังก์ชันเศษส่วน 
ในการประเมินภาวะเอกฐาน เราใช้ขีดจำกัดที่สอง: 
ตัวอย่างที่ 42 เรามีเอกภาวะประเภทที่ 1 ยกกำลังอนันต์
หากต้องการเปิดเผย เราควรลดฟังก์ชันลงเหลือขีดจำกัดที่สองที่น่าทึ่ง
วิธีการทำเช่นนี้แสดงรายละเอียดไว้ในสูตรต่อไปนี้ 
คุณจะพบปัญหาที่คล้ายกันมากมาย สาระสำคัญของพวกเขาคือการได้รับระดับที่ต้องการในเลขชี้กำลังและจะเท่ากับค่าผกผันของคำในวงเล็บที่หนึ่ง
เมื่อใช้วิธีนี้เราจะได้เลขชี้กำลัง การคำนวณเพิ่มเติมจะลดลงเหลือเพียงการคำนวณขีดจำกัดของระดับเลขชี้กำลัง
ที่นี่ ฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีแนวโน้มเป็นอนันต์ เนื่องจากค่ามากกว่า 1 e=2.72>1
ตัวอย่างที่ 43 ในตัวส่วนของเศษส่วน เรามีความไม่แน่นอนประเภทอนันต์ลบอนันต์ อันที่จริง เท่ากับการแบ่งเป็นศูนย์
ในการกำจัดราก เราจะคูณด้วยนิพจน์คอนจูเกต จากนั้นใช้สูตรสำหรับผลต่างของกำลังสองเพื่อเขียนตัวส่วนใหม่
เราได้ความไม่แน่นอนของอนันต์หารด้วยอนันต์ ดังนั้นเราจึงนำตัวแปรออกมาให้มากที่สุดแล้วลดมันลง
ต่อไป เราจะประเมินการมีส่วนร่วมของแต่ละเทอมและค้นหาขีดจำกัดของฟังก์ชันที่ค่าอนันต์ 
การทำงานย = ฉ (เอ็กซ์)คือกฎ (กฎ) ที่แต่ละองค์ประกอบ x ของเซต X เชื่อมโยงกับองค์ประกอบ y เพียงองค์ประกอบเดียวของเซต Y
องค์ประกอบ x ∈ เอ็กซ์เรียกว่า อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันหรือ ตัวแปรอิสระ.
องค์ประกอบ ย ∈ ยเรียกว่า ค่าฟังก์ชันหรือ ตัวแปรตาม.
เซต X เรียกว่า โดเมนของฟังก์ชัน.
เซตขององค์ประกอบ y ∈ ยซึ่งมีภาพล่วงหน้าในชุด X เรียกว่า พื้นที่หรือชุดของค่าฟังก์ชัน.
ฟังก์ชันจริงเรียกว่า จำกัดจากด้านบน (จากด้านล่าง)หากมีตัวเลข M ที่ทำให้ความไม่เท่าเทียมกันคงอยู่สำหรับทุกคน:
.
ฟังก์ชันตัวเลขเรียกว่า ถูก จำกัดถ้ามีตัวเลข M เช่นนั้นสำหรับทั้งหมด:
.
ขอบบนหรือ ขอบเขตบนที่แน่นอนฟังก์ชันจริงเรียกว่าจำนวนที่น้อยที่สุดซึ่งจำกัดช่วงของค่าจากด้านบน นั่นคือนี่คือตัวเลข s ซึ่งสำหรับทุกคนและสำหรับทุกคนมีข้อโต้แย้งที่มีค่าฟังก์ชันเกิน s′: .
ขอบเขตบนของฟังก์ชันสามารถแสดงได้ดังนี้:
.
ตามลำดับ ขอบด้านล่างหรือ ขีดจำกัดล่างที่แน่นอนฟังก์ชันจริงเรียกว่าจำนวนที่มากที่สุดซึ่งจำกัดช่วงของค่าจากด้านล่าง นั่นคือนี่คือตัวเลข i ซึ่งสำหรับทุกคนและทุกคนมีข้อโต้แย้งที่มีค่าฟังก์ชันน้อยกว่า i′:
ค่าต่ำสุดของฟังก์ชันสามารถแสดงได้ดังนี้:
.
การกำหนดขีดจำกัดของฟังก์ชัน
การกำหนดขีดจำกัดของฟังก์ชันตาม Cauchy
ขีดจำกัดจำกัดของฟังก์ชันที่จุดสิ้นสุด
ปล่อยให้ฟังก์ชันถูกกำหนดไว้ในพื้นที่ใกล้เคียงของจุดสิ้นสุด ยกเว้นจุดที่เป็นไปได้นั้นเอง ณ จุดหนึ่งหากมีสิ่งนั้นอยู่ ขึ้นอยู่กับ ว่าสำหรับ x ทั้งหมดซึ่ง ความไม่เท่าเทียมกันคงอยู่
.
ขีดจำกัดของฟังก์ชันจะแสดงดังนี้:
.
หรือที่.
การใช้สัญลักษณ์เชิงตรรกะของการดำรงอยู่และความเป็นสากล นิยามของขีดจำกัดของฟังก์ชันสามารถเขียนได้ดังนี้
.
ข้อจำกัดด้านเดียว
ขีดจำกัดด้านซ้ายที่จุด (ขีดจำกัดด้านซ้าย):
.
ขีดจำกัดขวาที่จุด (ขีดจำกัดทางขวา):
.
ขีด จำกัด ด้านซ้ายและขวามักแสดงดังนี้:
;
.
ขีดจำกัดจำกัดของฟังก์ชันที่จุดที่อนันต์
ขีดจำกัดที่จุดที่อนันต์ถูกกำหนดในลักษณะเดียวกัน
.
.
.
พวกเขามักเรียกกันว่า:
;
;
.
การใช้แนวคิดเรื่องบริเวณใกล้เคียงของจุด
ถ้าเราแนะนำแนวคิดของย่านที่เจาะทะลุของจุดหนึ่งๆ เราก็สามารถให้คำจำกัดความแบบรวมของขีดจำกัดอันจำกัดของฟังก์ชันที่จุดที่จำกัดและอยู่ห่างจากจุดนั้นได้เป็นอนันต์:
.
ที่นี่สำหรับจุดสิ้นสุด
;
;
.
บริเวณใกล้เคียงของจุดที่ไม่มีที่สิ้นสุดจะถูกเจาะ:
;
;
.
ขีดจำกัดฟังก์ชันอนันต์
คำนิยาม
ปล่อยให้ฟังก์ชันถูกกำหนดในพื้นที่ใกล้เคียงที่เจาะทะลุของจุด (จำกัด หรือที่อนันต์) ขีดจำกัดของฟังก์ชัน f (เอ็กซ์)เป็น x → x 0
เท่ากับอนันต์หากเพื่อใครก็ตามโดยพลการ จำนวนมากม > 0
มีตัวเลข δ M > 0
ขึ้นอยู่กับ M ว่าสำหรับ x ทั้งหมดที่เป็นของ δ M ที่เจาะทะลุ - ย่านใกล้เคียงของจุด: ความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้ถือเป็น:
.
ขีดจำกัดอนันต์แสดงดังนี้:
.
หรือที่.
การใช้สัญลักษณ์เชิงตรรกะของการดำรงอยู่และความเป็นสากล นิยามของขีดจำกัดอนันต์ของฟังก์ชันสามารถเขียนได้ดังนี้
.
คุณยังสามารถแนะนำคำจำกัดความของขีดจำกัดอนันต์ของสัญญาณบางอย่างที่เท่ากับ และ :
.
.
คำจำกัดความสากลของขีดจำกัดของฟังก์ชัน
ด้วยการใช้แนวคิดเรื่องบริเวณใกล้เคียงของจุด เราสามารถให้คำจำกัดความสากลของขีดจำกัดอันจำกัดและไม่จำกัดของฟังก์ชัน ซึ่งใช้ได้กับทั้งจุดจำกัด (สองด้านและด้านเดียว) และจุดที่ห่างไกลอย่างไม่สิ้นสุด:
.
การกำหนดขีดจำกัดของฟังก์ชันตามแนวคิดของ Heine
ให้นิยามฟังก์ชันนี้กับบางเซ็ต X:
ตัวเลข a เรียกว่าลิมิตของฟังก์ชันณ จุด:
,
ถ้าลำดับใดๆ มาบรรจบกันที่ x 0
:
,
ซึ่งมีองค์ประกอบอยู่ในเซต X: ,
.
ให้เราเขียนคำจำกัดความนี้โดยใช้สัญลักษณ์เชิงตรรกะของการดำรงอยู่และความเป็นสากล:
.
หากเราหาย่านทางซ้ายของจุด x เป็นเซต X 0 จากนั้นเราจะได้คำจำกัดความของขีดจำกัดด้านซ้าย หากเป็นคนถนัดขวา เราจะได้คำจำกัดความของขีดจำกัดที่ถูกต้อง หากเราหาย่านใกล้เคียงของจุดที่อนันต์เป็นเซต X เราจะได้คำจำกัดความของลิมิตของฟังก์ชันที่อนันต์
ทฤษฎีบท
คำจำกัดความของขีดจำกัดของฟังก์ชันของ Cauchy และ Heine นั้นเทียบเท่ากัน
การพิสูจน์
คุณสมบัติและทฤษฎีบทของขีดจำกัดของฟังก์ชัน
นอกจากนี้ เราถือว่าฟังก์ชันที่กำลังพิจารณาถูกกำหนดไว้ในย่านใกล้เคียงที่สอดคล้องกันของจุด ซึ่งเป็นจำนวนจำกัดหรือหนึ่งในสัญลักษณ์: นอกจากนี้ยังสามารถเป็นจุดจำกัดด้านเดียว กล่าวคือ มีแบบฟอร์ม หรือ พื้นที่ใกล้เคียงเป็นแบบสองด้านสำหรับขีดจำกัดสองด้าน และด้านเดียวสำหรับขีดจำกัดด้านเดียว
คุณสมบัติพื้นฐาน
ถ้าค่าของฟังก์ชัน f (เอ็กซ์)เปลี่ยน (หรือทำให้ไม่ได้กำหนด) จำนวนจุด x ที่จำกัด 1, x 2, x 3, ... x นจากนั้นการเปลี่ยนแปลงนี้จะไม่ส่งผลกระทบต่อการมีอยู่และความคุ้มค่าของขีด จำกัด ของฟังก์ชันที่จุดใดก็ได้ x 0 .
หากมีขีดจำกัดจำกัด ก็แสดงว่ามีย่านที่เจาะทะลุของจุด x 0
ซึ่งฟังก์ชัน f (เอ็กซ์)ถูก จำกัด:
.
ให้ฟังก์ชันมีที่จุด x 0
ขีดจำกัดที่ไม่ใช่ศูนย์อันจำกัด:
.
จากนั้น สำหรับจำนวน c ใดๆ จากช่วงเวลา จะมีย่านใกล้เคียงที่เจาะทะลุของจุด x 0
, เพื่ออะไร ,
, ถ้า ;
, ถ้า .
ถ้าในบริเวณใกล้จุดที่ถูกเจาะทะลุของจุด , มีค่าคงที่ แล้ว
หากมีขีดจำกัดจำกัด และและในบริเวณที่เจาะทะลุของจุด x 0
,
ที่ .
ถ้า และในบางพื้นที่ใกล้เคียงของจุด
,
ที่ .
โดยเฉพาะหากอยู่ในละแวกใกล้เคียงจุดใดจุดหนึ่ง
,
แล้วถ้า แล้ว และ ;
ถ้า แล้ว และ .
ถ้าในพื้นที่ใกล้เคียงจุด x ทะลุ 0
:
,
และมีขีดจำกัดที่เท่ากัน (หรืออนันต์ของเครื่องหมายบางตัว):
, ที่
.
หลักฐานคุณสมบัติหลักจะได้รับในหน้า
"คุณสมบัติพื้นฐานของขีดจำกัดของฟังก์ชัน"
คุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ของขีดจำกัดของฟังก์ชัน
ให้ฟังก์ชันและถูกกำหนดไว้ในพื้นที่ใกล้เคียงที่เจาะทะลุของจุด และให้มีขอบเขตอันจำกัด:
และ .
และให้ C เป็นค่าคงที่ นั่นคือจำนวนที่กำหนด แล้ว
;
;
;
, ถ้า .
ถ้าอย่างนั้น.
มีการพิสูจน์คุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ในหน้านั้น
"คุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ของขีดจำกัดของฟังก์ชัน"
เกณฑ์ Cauchy สำหรับการมีอยู่ของขีดจำกัดของฟังก์ชัน
ทฤษฎีบท
เพื่อให้ฟังก์ชันที่กำหนดไว้ในพื้นที่ใกล้เคียงที่ถูกเจาะทะลุของจุดจำกัดหรือที่จุดอนันต์ x 0
มีขีดจำกัดจำกัด ณ จุดนี้ มันจำเป็นและเพียงพอสำหรับ ε ใดๆ > 0
มีบริเวณที่เจาะทะลุของจุด x 0
สำหรับจุดใดๆ และจากย่านนี้ ความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้ถือเป็น:
.
ขีดจำกัดของฟังก์ชันที่ซับซ้อน
ทฤษฎีบทขีดจำกัด ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน
ปล่อยให้ฟังก์ชันมีขีดจำกัดและแมปย่านใกล้เคียงที่มีการเจาะทะลุของจุดหนึ่งๆ ไปยังย่านใกล้เคียงที่มีการเจาะทะลุของจุดหนึ่งๆ ปล่อยให้ฟังก์ชันถูกกำหนดในย่านนี้และมีขีดจำกัด
นี่คือจุดสุดท้ายหรือจุดที่อยู่ห่างไกลอย่างไม่สิ้นสุด: . บริเวณใกล้เคียงและขีดจำกัดที่สอดคล้องกันสามารถเป็นได้ทั้งแบบสองด้านหรือด้านเดียว
ฟังก์ชันที่ซับซ้อนจะมีขีดจำกัดและมีค่าเท่ากับ:
.
ทฤษฎีบทขีดจำกัดของฟังก์ชันเชิงซ้อนจะถูกนำไปใช้เมื่อฟังก์ชันไม่ได้ถูกกำหนดไว้ที่จุดใดจุดหนึ่งหรือมีค่าแตกต่างจากขีดจำกัด ในการใช้ทฤษฎีบทนี้ จะต้องมีย่านใกล้เคียงที่ถูกเจาะทะลุของจุดที่ชุดของค่าของฟังก์ชันไม่มีจุด:
.
ถ้าฟังก์ชันมีความต่อเนื่องที่จุด แสดงว่าเครื่องหมายจำกัดสามารถนำไปใช้กับอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันต่อเนื่องได้:
.
ต่อไปนี้เป็นทฤษฎีบทที่สอดคล้องกับกรณีนี้
ทฤษฎีบทเกี่ยวกับขีดจำกัดของฟังก์ชันต่อเนื่องของฟังก์ชัน
ให้มีลิมิตของฟังก์ชัน g (เสื้อ)เป็น เสื้อ → เสื้อ 0
และมันเท่ากับ x 0
:
.
นี่คือจุด T 0
อาจมีขอบเขตจำกัดหรือห่างไกลได้ไม่จำกัด: .
และปล่อยให้ฟังก์ชัน f (เอ็กซ์)มีความต่อเนื่องที่จุด x 0
.
แล้วก็มีลิมิตของฟังก์ชันเชิงซ้อน f (ก(ท))และมันเท่ากับ f (x0):
.
มีการให้ข้อพิสูจน์ทฤษฎีบทไว้ในหน้านี้
"ขีดจำกัดและความต่อเนื่องของฟังก์ชันที่ซับซ้อน"
ฟังก์ชันที่เล็กและใหญ่อย่างไม่สิ้นสุด
ฟังก์ชันที่ไม่มีที่สิ้นสุด
คำนิยาม
ฟังก์ชันเรียกว่า infinitesim if
.
ผลรวม ความแตกต่าง และผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชันจำนวนจำกัดที่ คือฟังก์ชันจำนวนจำกัดที่
ผลคูณของฟังก์ชันที่มีขอบเขตในพื้นที่ใกล้เคียงที่ถูกเจาะทะลุของจุด จนถึงค่าที่น้อยที่สุดที่คือฟังก์ชันที่น้อยที่สุดที่
เพื่อให้ฟังก์ชันมีขีดจำกัดจำกัด จำเป็นและเพียงพอแล้ว
,
โดยที่ฟังก์ชันเล็ก ๆ ของ .
"คุณสมบัติของฟังก์ชันอนันต์".
ฟังก์ชั่นขนาดใหญ่อนันต์
คำนิยาม
ฟังก์ชันจะบอกว่าถ้ามีขนาดใหญ่เป็นอนันต์
.
ผลรวมหรือความแตกต่าง ฟังก์ชั่นจำกัดในพื้นที่ใกล้เคียงที่ถูกเจาะทะลุของจุด และฟังก์ชันขนาดใหญ่เป็นอนันต์ at คือฟังก์ชันขนาดใหญ่เป็นอนันต์ที่
หากฟังก์ชันมีขนาดใหญ่อย่างไม่สิ้นสุดสำหรับ และฟังก์ชันนั้นถูกผูกไว้ในพื้นที่ใกล้เคียงที่ถูกเจาะทะลุของจุด ดังนั้น
.
หากฟังก์ชัน ในพื้นที่ใกล้เคียงที่ถูกเจาะทะลุของจุด เป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน:
,
และฟังก์ชันจะมีค่าน้อยมากที่:
และ (บริเวณจุดเจาะทะลุบางแห่ง) จากนั้น
.
หลักฐานคุณสมบัติแสดงอยู่ในส่วน
"คุณสมบัติของฟังก์ชันที่มีขนาดใหญ่อนันต์"
ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันที่มีขนาดใหญ่เป็นอนันต์และฟังก์ชันที่เล็กเป็นอนันต์
จากคุณสมบัติทั้งสองก่อนหน้านี้มีความเชื่อมโยงระหว่างฟังก์ชันที่มีขนาดใหญ่เป็นอนันต์และฟังก์ชันที่เล็กที่สุด
ถ้าฟังก์ชันมีขนาดใหญ่เป็นอนันต์ที่ แสดงว่าฟังก์ชันจะมีขนาดไม่สิ้นสุดที่
ถ้าฟังก์ชันมีค่าน้อยมากสำหรับ และ แสดงว่าฟังก์ชันนั้นมีขนาดใหญ่ไม่สิ้นสุดสำหรับ
ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันขนาดเล็กและฟังก์ชันที่มีขนาดใหญ่เป็นอนันต์สามารถแสดงเป็นสัญลักษณ์ได้:
,
.
ถ้าฟังก์ชันที่เล็กที่สุดมีเครื่องหมายที่แน่นอนที่ นั่นคือ มันเป็นค่าบวก (หรือลบ) ในพื้นที่ใกล้เคียงที่ถูกเจาะทะลุของจุด ข้อเท็จจริงนี้สามารถแสดงได้ดังนี้:
.
ในทำนองเดียวกัน หากฟังก์ชันที่มีขนาดใหญ่เป็นอนันต์มีเครื่องหมายที่แน่นอน ฟังก์ชันนั้นจะเขียนว่า:
.
จากนั้นการเชื่อมโยงเชิงสัญลักษณ์ระหว่างฟังก์ชันขนาดเล็กและใหญ่อย่างไม่สิ้นสุดสามารถเสริมด้วยความสัมพันธ์ต่อไปนี้:
,
,
,
.
สามารถดูสูตรเพิ่มเติมเกี่ยวกับสัญลักษณ์อนันต์ได้ที่หน้านี้
"จุดที่ไม่มีที่สิ้นสุดและคุณสมบัติของมัน"
ขีดจำกัดของฟังก์ชันโมโนโทนิก
คำนิยาม
มีการเรียกฟังก์ชันที่กำหนดให้กับจำนวนจริง X บางชุด เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดหากทั้งหมดนั้นมีความไม่เท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:
.
ตามนั้นสำหรับ ลดลงอย่างเคร่งครัดทำหน้าที่รักษาความไม่เท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:
.
สำหรับ ไม่ลดลง:
.
สำหรับ ไม่เพิ่มขึ้น:
.
ตามมาว่าฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดก็ไม่ลดลงเช่นกัน ฟังก์ชันที่ลดลงอย่างเคร่งครัดก็ไม่เพิ่มขึ้นเช่นกัน
ฟังก์ชันนี้เรียกว่า ซ้ำซากจำเจถ้ามันไม่ลดลงหรือไม่เพิ่มขึ้น
ทฤษฎีบท
ปล่อยให้ฟังก์ชันไม่ลดลงตามช่วงเวลาที่ .
หากถูกผูกไว้ด้านบนด้วยตัวเลข M: แสดงว่ามีจำนวนจำกัด หากไม่ได้จำกัดจากด้านบนแล้ว .
หากจำกัดจากด้านล่างด้วยตัวเลข m แสดงว่ามีขีดจำกัดจำกัด หากไม่จำกัดจากด้านล่างแล้ว .
หากจุด a และ b อยู่ที่อนันต์ ดังนั้นในนิพจน์ เครื่องหมายขีด จำกัด จะหมายความว่า
ทฤษฎีบทนี้สามารถกำหนดได้กระชับยิ่งขึ้น
ปล่อยให้ฟังก์ชันไม่ลดลงตามช่วงเวลาที่ . จากนั้นมีขีดจำกัดด้านเดียวที่จุด a และ b:
;
.
ทฤษฎีบทที่คล้ายกันสำหรับฟังก์ชันไม่เพิ่มขึ้น
ปล่อยให้ฟังก์ชันไม่เพิ่มขึ้นตามช่วงเวลาที่ . แล้วมีข้อจำกัดด้านเดียว:
;
.
การพิสูจน์ทฤษฎีบทแสดงอยู่ในหน้านี้
"ขีดจำกัดของฟังก์ชันโมโนโทนิก"
อ้างอิง:
แอล.ดี. คุดรยาฟต์เซฟ. หลักสูตรการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เล่มที่ 1 มอสโก 2546
ซม. นิโคลสกี้. หลักสูตรการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เล่มที่ 1 มอสโก 2526
ทฤษฎีขีดจำกัดเป็นหนึ่งในสาขาหนึ่งของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ คำถามในการแก้ไขขีดจำกัดนั้นค่อนข้างกว้างขวาง เนื่องจากมีหลายวิธีในการแก้ไขขีดจำกัด หลากหลายชนิด. มีความแตกต่างและลูกเล่นมากมายที่ช่วยให้คุณสามารถแก้ไขข้อ จำกัด นี้หรือข้อนั้นได้ อย่างไรก็ตาม เราจะยังคงพยายามทำความเข้าใจข้อจำกัดประเภทหลักๆ ที่พบบ่อยที่สุดในทางปฏิบัติ
เริ่มจากแนวคิดเรื่องขีดจำกัดกันก่อน แต่ก่อนอื่น ภูมิหลังทางประวัติศาสตร์โดยย่อ ในศตวรรษที่ 19 ชาวฝรั่งเศสชื่อ Augustin Louis Cauchy เป็นผู้วางรากฐานของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์และให้คำจำกัดความที่เข้มงวด โดยเฉพาะคำจำกัดความของขีดจำกัด ต้องบอกว่า Cauchy คนเดียวกันนี้เคยเป็นและจะอยู่ในฝันร้ายของนักเรียนฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ทุกคนเนื่องจากเขาได้พิสูจน์ทฤษฎีบทการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์จำนวนมากและแต่ละทฤษฎีก็น่าขยะแขยงมากกว่าทฤษฎีอื่น ในเรื่องนี้ เราจะไม่พิจารณาคำจำกัดความที่เข้มงวดของขีดจำกัด แต่จะพยายามทำสองสิ่ง:
1. ทำความเข้าใจว่าขีดจำกัดคืออะไร
2. เรียนรู้ที่จะแก้ไขขีดจำกัดประเภทหลักๆ
ฉันขอโทษสำหรับคำอธิบายที่ไม่เป็นไปตามหลักวิทยาศาสตร์ สิ่งสำคัญคือวัสดุนั้นสามารถเข้าใจได้แม้กระทั่งกับกาน้ำชา ซึ่งอันที่จริงแล้วเป็นงานของโครงการ
แล้วขีดจำกัดคืออะไรล่ะ?
และเป็นเพียงตัวอย่างว่าทำไมคุณย่าขนดก....
ขีดจำกัดใด ๆ ประกอบด้วยสามส่วน:
1) ไอคอนขีดจำกัดที่รู้จักกันดี
2) รายการภายใต้ไอคอนขีดจำกัด ในกรณีนี้ ข้อความเขียนว่า “X มีแนวโน้มเป็นหนึ่ง” บ่อยที่สุด - แน่นอนแม้ว่าในทางปฏิบัติแทนที่จะเป็น "X" จะมีตัวแปรอื่นอยู่ก็ตาม ในทางปฏิบัติ สถานที่หนึ่งสามารถเป็นตัวเลขใดๆ ก็ได้ รวมถึงค่าอนันต์ ()
3) ฟังก์ชั่นภายใต้เครื่องหมายจำกัด ในกรณีนี้
การบันทึกนั้นเอง 
อ่านได้ดังนี้: “ขีดจำกัดของฟังก์ชันเมื่อ x มีแนวโน้มที่จะรวมเป็นหนึ่งเดียว”
มาดูอันถัดไปกัน คำถามสำคัญ– สำนวน “x” หมายถึงอะไร? มุ่งมั่นถึงหนึ่ง"? และคำว่า “มุ่งมั่น” หมายความว่าอย่างไร?
แนวคิดเรื่องขีดจำกัดก็คือแนวคิด กล่าวคือ พลวัต. มาสร้างลำดับกัน: อันดับแรก จากนั้น , , …, 
, ….
นั่นก็คือ สำนวน “x” มุ่งมั่นหนึ่ง” ควรเข้าใจดังนี้: “x” รับค่าอย่างสม่ำเสมอ ซึ่งเข้าใกล้ความสามัคคีอย่างไม่สิ้นสุดและเกือบจะเกิดขึ้นพร้อมๆ กัน.
จะแก้ตัวอย่างข้างต้นได้อย่างไร? จากที่กล่าวมาข้างต้น คุณเพียงแค่ต้องแทนที่อันใดอันหนึ่งลงในฟังก์ชันใต้เครื่องหมายจำกัด:
ดังนั้นกฎข้อแรก: เมื่อได้รับขีดจำกัดใดๆ ขั้นแรกเราเพียงพยายามแทนตัวเลขเข้ากับฟังก์ชัน.
เราได้พิจารณาขีดจำกัดที่ง่ายที่สุดแล้ว แต่สิ่งเหล่านี้ก็เกิดขึ้นในทางปฏิบัติเช่นกัน และไม่บ่อยนัก!
ตัวอย่างที่มีอนันต์:
ลองคิดดูว่ามันคืออะไร? นี่เป็นกรณีที่มันเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขีดจำกัด กล่าวคือ อันดับแรก จากนั้น จากนั้น ต่อไป และอื่นๆ ไม่มีที่สิ้นสุด
เกิดอะไรขึ้นกับฟังก์ชั่นในเวลานี้?
, , 
, …
ดังนั้น: ถ้า ฟังก์ชันนี้มีแนวโน้มที่จะลบอนันต์:
พูดคร่าวๆ ตามกฎข้อแรกของเรา แทนที่จะเป็น "X" เราจะแทนที่ค่าอนันต์ในฟังก์ชันแล้วได้คำตอบ
อีกตัวอย่างหนึ่งที่มีอนันต์:
อีกครั้งเราเริ่มเพิ่มขึ้นเป็นอนันต์ และดูที่พฤติกรรมของฟังก์ชัน: 
สรุป: เมื่อฟังก์ชันเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขีดจำกัด:
และอีกตัวอย่างหนึ่ง:
โปรดลองวิเคราะห์สิ่งต่อไปนี้ด้วยตนเองและจดจำประเภทขีดจำกัดที่ง่ายที่สุด:
, , , , 
, , , , 
,
หากมีข้อสงสัยตรงไหนก็สามารถหยิบเครื่องคิดเลขมาฝึกเล่นได้นิดหน่อย
ในกรณีที่ ให้ลองสร้างลำดับ , , . ถ้า แล้ว , , .
หมายเหตุ: พูดอย่างเคร่งครัด วิธีการสร้างลำดับของตัวเลขหลายจำนวนนี้ไม่ถูกต้อง แต่สำหรับการทำความเข้าใจตัวอย่างที่ง่ายที่สุดก็ค่อนข้างเหมาะสม
ให้ความสนใจกับสิ่งต่อไปนี้ด้วย แม้ว่าจะได้รับขีดจำกัดด้วยก็ตาม จำนวนมากที่ด้านบนแม้จะมีเป็นล้าน: มันก็เหมือนกันหมด 
เนื่องจากไม่ช้าก็เร็ว "X" จะได้รับค่าขนาดมหึมาซึ่งเมื่อเปรียบเทียบกับพวกมันแล้วนับล้านจะกลายเป็นจุลินทรีย์จริง
สิ่งที่คุณต้องจำและทำความเข้าใจจากข้างต้น?
1) เมื่อกำหนดขีดจำกัดใดๆ ขั้นแรกเราเพียงพยายามแทนที่ตัวเลขลงในฟังก์ชัน
2) คุณต้องเข้าใจและแก้ไขขีดจำกัดที่ง่ายที่สุดทันที เช่น 
, , ฯลฯ
ตอนนี้เราจะพิจารณากลุ่มของขีดจำกัดเมื่อ และฟังก์ชันเป็นเศษส่วนที่ตัวเศษและตัวส่วนประกอบด้วยพหุนาม
ตัวอย่าง:
คำนวณขีดจำกัด 
ตามกฎของเรา เราจะพยายามแทนที่ค่าอนันต์ในฟังก์ชัน เราได้อะไรจากด้านบน? อินฟินิตี้. และเกิดอะไรขึ้นด้านล่าง? อนันต์อีกด้วย ดังนั้นเราจึงมีสิ่งที่เรียกว่าความไม่แน่นอนของสายพันธุ์ บางคนอาจคิดว่า และคำตอบก็พร้อมแล้ว แต่ในกรณีทั่วไป มันไม่ได้เป็นเช่นนั้นเลย และจำเป็นต้องใช้เทคนิคการแก้ปัญหาบางอย่าง ซึ่งเราจะพิจารณาในตอนนี้
จะแก้ข้อจำกัดประเภทนี้ได้อย่างไร?
ขั้นแรกเราดูที่ตัวเศษและค้นหากำลังสูงสุด: 
กำลังนำในตัวเศษคือสอง
ตอนนี้เราดูที่ตัวส่วนและพบว่ามันมีพลังสูงสุดด้วย: 
ระดับสูงสุดของตัวส่วนคือสอง
จากนั้นเราเลือกกำลังสูงสุดของตัวเศษและส่วน: เข้า ในตัวอย่างนี้มันตรงกันและเท่ากับสอง
ดังนั้น วิธีการแก้มีดังนี้ เพื่อที่จะเปิดเผยความไม่แน่นอนจึงจำเป็นต้องหารทั้งเศษและส่วนด้วยกำลังสูงสุด
นี่คือคำตอบ ไม่ใช่อนันต์เลย
อะไรคือสิ่งสำคัญขั้นพื้นฐานในการออกแบบการตัดสินใจ?
ขั้นแรก เราระบุถึงความไม่แน่นอน (ถ้ามี)
ประการที่สอง ขอแนะนำให้ขัดจังหวะการแก้ปัญหาเพื่อขอคำอธิบายระดับกลาง ฉันมักจะใช้เครื่องหมายนี้ มันไม่มีความหมายทางคณิตศาสตร์ แต่หมายความว่าการแก้ปัญหาถูกขัดจังหวะเพื่อขอคำอธิบายระดับกลาง
ประการที่สาม แนะนำให้ทำเครื่องหมายสิ่งที่กำลังดำเนินไปในขอบเขตจำกัด เมื่อวาดรูปด้วยมือจะสะดวกกว่าถ้าทำเช่นนี้: 
ควรใช้ดินสอธรรมดาสำหรับจดบันทึก
แน่นอนว่าคุณไม่จำเป็นต้องทำอะไรเลย แต่บางทีครูอาจชี้ให้เห็นข้อบกพร่องในการแก้ปัญหาหรือเริ่มถามคำถามเพิ่มเติมเกี่ยวกับงานที่ได้รับมอบหมาย คุณต้องการมันไหม?
ตัวอย่างที่ 2
ค้นหาขีดจำกัด 
อีกครั้งในตัวเศษและส่วนที่เราพบในระดับสูงสุด: 
ระดับสูงสุดในตัวเศษ: 3
ระดับสูงสุดในตัวส่วน: 4
เลือก ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดค่าในกรณีนี้คือสี่
ตามอัลกอริทึมของเรา เพื่อเปิดเผยความไม่แน่นอน เราจะหารทั้งเศษและส่วนด้วย
งานที่สมบูรณ์อาจมีลักษณะดังนี้:
หารทั้งเศษและส่วนด้วย
ตัวอย่างที่ 3
ค้นหาขีดจำกัด 
ระดับสูงสุดของ “X” ในตัวเศษ: 2
ระดับสูงสุดของ “X” ในตัวส่วน: 1 (เขียนเป็นได้)
เพื่อเปิดเผยความไม่แน่นอน จำเป็นต้องหารทั้งเศษและส่วนด้วย วิธีแก้ปัญหาสุดท้ายอาจมีลักษณะดังนี้:
หารทั้งเศษและส่วนด้วย
สัญกรณ์ไม่ได้หมายถึงการหารด้วยศูนย์ (คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้) แต่เป็นการหารด้วยจำนวนที่น้อยมาก
ดังนั้นด้วยการเปิดเผยความไม่แน่นอนของสายพันธุ์ เราอาจสามารถทำได้ หมายเลขสุดท้าย, ศูนย์หรืออนันต์
ขีดจำกัดด้วยความไม่แน่นอนของประเภทและวิธีการแก้ไข
ขีดจำกัดกลุ่มถัดไปค่อนข้างคล้ายกับขีดจำกัดที่เพิ่งพิจารณา: ตัวเศษและตัวส่วนประกอบด้วยพหุนาม แต่ "x" ไม่มีแนวโน้มที่จะเป็นอนันต์อีกต่อไป แต่ จำนวนจำกัด.
ตัวอย่างที่ 4
แก้ขีดจำกัด 
ก่อนอื่น เรามาลองแทน -1 ลงในเศษส่วนกันก่อน: 
ในกรณีนี้จะได้รับสิ่งที่เรียกว่าความไม่แน่นอน
กฎทั่วไป : ถ้าตัวเศษและส่วนมีพหุนามและมีรูปแบบไม่แน่นอนก็ให้เปิดเผย คุณต้องแยกตัวประกอบทั้งเศษและส่วน.
ในการทำเช่นนี้คุณต้องตัดสินใจบ่อยที่สุด สมการกำลังสองและ/หรือใช้สูตรคูณแบบย่อ หากสิ่งเหล่านี้ถูกลืมไปเยี่ยมชมเพจ สูตรทางคณิตศาสตร์และตารางและเช็คเอาท์ วัสดุวิธีการ สูตรร้อน หลักสูตรของโรงเรียนนักคณิตศาสตร์. อย่างไรก็ตาม วิธีที่ดีที่สุดคือพิมพ์ออกมาซึ่งต้องใช้บ่อยมากและข้อมูลจะถูกดูดซึมจากกระดาษได้ดีกว่า
เอาล่ะ มาแก้ขีดจำกัดของเรากันดีกว่า 
แยกตัวประกอบทั้งเศษและส่วน
ในการที่จะแยกตัวเศษออกจากตัวเศษ คุณต้องแก้สมการกำลังสอง: 
ขั้นแรกเราค้นหาผู้เลือกปฏิบัติ:
และรากที่สองของมัน: .
ถ้าค่าแยกแยะมีขนาดใหญ่ เช่น 361 เราจะใช้เครื่องคิดเลข ฟังก์ชันการแยก รากที่สองมีอยู่ในเครื่องคิดเลขที่ง่ายที่สุด
! หากถอนรากไม่หมด (ปรากฎว่า จำนวนเศษส่วนด้วยเครื่องหมายจุลภาค) มีโอกาสมากที่การคำนวณการเลือกปฏิบัติไม่ถูกต้องหรือมีการพิมพ์ผิดในงาน
ต่อไปเราจะค้นหาราก: 
ดังนั้น:
ทั้งหมด. ตัวเศษจะถูกแยกตัวประกอบ
ตัวส่วน ตัวส่วนเป็นปัจจัยที่ง่ายที่สุดอยู่แล้ว และไม่มีวิธีใดที่จะทำให้มันง่ายขึ้นได้
เห็นได้ชัดว่าสามารถย่อเป็น:
ตอนนี้เราแทน -1 ลงในนิพจน์ที่ยังอยู่ใต้เครื่องหมายจำกัด:
โดยธรรมชาติแล้วใน ทดสอบงานในระหว่างการทดสอบหรือการสอบ วิธีแก้ปัญหาจะไม่ถูกเขียนรายละเอียดดังกล่าว ในเวอร์ชันสุดท้าย การออกแบบควรมีลักษณะดังนี้:
ลองแยกตัวประกอบตัวเศษ. 
ตัวอย่างที่ 5
คำนวณขีดจำกัด 
ขั้นแรก เวอร์ชัน "เสร็จสิ้น" ของโซลูชัน
ลองแยกตัวเศษและส่วนออก.
เศษ:
ตัวส่วน: 
, 
สิ่งสำคัญในตัวอย่างนี้คืออะไร?
ประการแรก คุณต้องมีความเข้าใจเป็นอย่างดีว่าตัวเศษถูกเปิดเผยได้อย่างไร ขั้นแรกเราเอา 2 ตัวออกจากวงเล็บ แล้วจึงใช้สูตรสำหรับผลต่างของกำลังสอง นี่คือสูตรที่คุณต้องรู้และดู
ในทางคณิตศาสตร์มีสิ่งหนึ่งที่เป็นขีดจำกัดของฟังก์ชัน เพื่อให้เข้าใจถึงวิธีค้นหาขีด จำกัด คุณต้องจำคำจำกัดความของขีด จำกัด ของฟังก์ชัน: ฟังก์ชัน f (x) มีขีด จำกัด L ที่จุด x = a ถ้าสำหรับแต่ละลำดับของค่าของ x ที่บรรจบกันที่จุด a ลำดับของค่าของ y เข้าใกล้:
- แอล ลิม ฉ(x) = ล
แนวคิดและคุณสมบัติของขีดจำกัด
คุณสามารถเข้าใจขีดจำกัดได้จากตัวอย่าง สมมติว่าเรามีฟังก์ชัน y=1/x หากเราเพิ่มค่าของ x อย่างต่อเนื่องและดูว่า y เท่ากับเท่าใด เราจะได้ค่าที่ลดลงมากขึ้น: ที่ x=10000 y=1/10000; ที่ x=1000000 y=1/1000000 เหล่านั้น. ยิ่ง x มาก y ก็จะยิ่งน้อยลง ถ้า x=∞ y จะมีค่าน้อยมากจนถือว่าเท่ากับ 0 ดังนั้น ลิมิตของฟังก์ชัน y=1/x เมื่อ x มีแนวโน้มที่จะ ∞ เท่ากับ 0 ซึ่งเขียนไว้ดังนี้:
- lim1/х=0
ขีดจำกัดของฟังก์ชันมีคุณสมบัติหลายประการที่คุณต้องจำ: สิ่งนี้จะช่วยแก้ปัญหาในการค้นหาขีดจำกัดได้อย่างมาก:
- ขีดจำกัดผลรวมเท่ากับผลรวมของขีดจำกัด: lim(x+y)=lim x+lim y
- ขีดจำกัดของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลคูณของขีดจำกัด: lim(xy)=lim x*lim y
- ขีดจำกัดของผลหารเท่ากับผลหารของขีดจำกัด: lim(x/y)=lim x/lim y
- ตัวประกอบคงที่ถูกนำออกจากเครื่องหมายขีดจำกัด: lim(Cx)=C lim x
ฟังก์ชัน y=1/x โดยที่ x →∞ มีขีดจำกัดเท่ากับศูนย์ สำหรับ x→0 ขีดจำกัดจะเท่ากับ ∞
- ลิม (บาป x)/x=1 x→0
