ส่วน. ประเภทของส่วน การก่อสร้างส่วนต่างๆ การประยุกต์ใช้โปรแกรม GeoGebra เพื่อสร้างส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมในบทเรียนเรขาคณิตสำหรับนักเรียนของสถาบันการศึกษาระดับประถมศึกษาอาชีวศึกษา

เป้าหมายของงาน:
การพัฒนาแนวคิดเชิงพื้นที่
งาน:
1. แนะนำกฎเกณฑ์สำหรับการสร้างส่วนต่างๆ
2. พัฒนาทักษะในการก่อสร้างส่วนต่างๆ
จัตุรมุขและขนานกันต่างกัน
กรณีกำหนดระนาบการตัด
3. พัฒนาความสามารถในการใช้กฎเกณฑ์
การสร้างส่วนต่างๆเมื่อแก้ไขปัญหา
หัวข้อ "รูปทรงหลายเหลี่ยม"

แนวคิดของระนาบการตัด

แนวคิดของส่วนรูปทรงหลายเหลี่ยม

การทำงานจากการวาดภาพ

กฎสำหรับการก่อสร้างส่วนต่างๆ

กฎสำหรับการก่อสร้างส่วนต่างๆ

10. การก่อสร้างส่วนจัตุรมุข

11.

12.

13. ผ่านจุด M ขนานกับ ABC

14.

15.

16.

17.

18. การสร้างส่วนขนาน

19.

20. สร้างส่วนของเส้นขนานที่มีระนาบผ่านจุด X ขนานกับระนาบ (OSV)

21.

22. สร้างส่วนของเส้นขนานที่มีระนาบผ่านจุด M, K, T

23. ทำงานให้เสร็จด้วยตัวเอง

24. ทรัพยากรที่ใช้

ดังที่คุณทราบ ข้อสอบคณิตศาสตร์ใดๆ ก็ตามมีการแก้ปัญหาเป็นส่วนหลัก ความสามารถในการแก้ปัญหาเป็นตัวบ่งชี้หลักของระดับการพัฒนาทางคณิตศาสตร์

บ่อยครั้งในการสอบของโรงเรียนตลอดจนการสอบที่จัดขึ้นที่มหาวิทยาลัยและโรงเรียนเทคนิคมีหลายกรณีที่นักเรียนแสดง ผลลัพธ์ดีในสาขาทฤษฎีผู้ที่รู้คำจำกัดความและทฤษฎีบทที่จำเป็นทั้งหมดจะสับสนเมื่อแก้ไขปัญหาง่ายๆ

ตลอดหลายปีที่ผ่านมาของการศึกษา นักเรียนแต่ละคนสามารถแก้ปัญหาจำนวนมากได้ แต่ในขณะเดียวกัน นักเรียนทุกคนก็มีงานเดียวกัน และหากนักเรียนบางคนได้เรียนรู้ กฎทั่วไปและวิธีการแก้ปัญหา บ้างก็เจอปัญหาแบบที่ไม่คุ้นเคยก็ไม่รู้ด้วยซ้ำว่าจะแก้ไขอย่างไร

สาเหตุหนึ่งของสถานการณ์นี้คือหากนักเรียนบางคนเจาะลึกถึงกระบวนการแก้ไขปัญหาและพยายามตระหนักและเข้าใจ เทคนิคทั่วไปและวิธีการแก้ไข คนอื่นไม่คิด แต่จะพยายามแก้ไขปัญหาที่เสนอให้เร็วที่สุด

นักเรียนจำนวนมากไม่ได้วิเคราะห์ปัญหาที่กำลังแก้ไข และไม่ได้ระบุเทคนิคทั่วไปและวิธีการแก้ไขปัญหาเหล่านั้น ในกรณีเช่นนี้ ปัญหาจะได้รับการแก้ไขเพื่อให้ได้คำตอบที่ต้องการเท่านั้น

ตัวอย่างเช่น นักเรียนหลายคนไม่รู้ด้วยซ้ำว่าสาระสำคัญของการแก้ปัญหาการก่อสร้างคืออะไร แต่ งานก่อสร้างเป็นงานบังคับในหลักสูตร Stereometry ปัญหาเหล่านี้ไม่เพียงแต่สวยงามและเป็นต้นฉบับในวิธีการแก้ปัญหาเท่านั้น แต่ยังมีคุณค่าในทางปฏิบัติอีกด้วย

ต้องขอบคุณงานก่อสร้างที่ทำให้ความสามารถในการจินตนาการทางจิตใจพัฒนาขึ้น รูปทรงเรขาคณิต, การคิดเชิงพื้นที่พัฒนาขึ้น การคิดอย่างมีตรรกะเช่นเดียวกับสัญชาตญาณทางเรขาคณิต ปัญหาการก่อสร้างจะพัฒนาทักษะการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติ

ปัญหาการก่อสร้างไม่ใช่เรื่องง่าย เนื่องจากไม่มีกฎหรืออัลกอริธึมเดียวในการแก้ปัญหา งานใหม่แต่ละงานมีเอกลักษณ์และจำเป็นต้องมี แนวทางของแต่ละบุคคลเพื่อการตัดสินใจ

กระบวนการแก้ไขปัญหาการก่อสร้างเป็นลำดับของการก่อสร้างระดับกลางบางส่วนที่นำไปสู่เป้าหมาย

การก่อสร้างส่วนต่าง ๆ ของรูปทรงหลายเหลี่ยมขึ้นอยู่กับสัจพจน์ต่อไปนี้:

1) หากจุดสองจุดของเส้นตรงอยู่ในระนาบใดระนาบหนึ่ง เส้นทั้งหมดก็จะอยู่ในระนาบนี้

2) หากระนาบสองลำมีจุดร่วมกัน ระนาบทั้งสองจะตัดกันเป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดนี้

ทฤษฎีบท:หากระนาบขนานสองระนาบตัดกันด้วยระนาบที่สาม เส้นตรงของจุดตัดจะขนานกัน

สร้างส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมโดยมีระนาบที่ผ่านจุด A, B และ C ลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้

วิธีการติดตาม

ฉัน.สร้าง ส่วนตัดขวางของปริซึมระนาบที่ผ่านเส้นตรงที่กำหนด g (ร่องรอย) บนระนาบของฐานหนึ่งของปริซึมและจุด A

กรณีที่ 1

จุด A เป็นของฐานอีกฐานหนึ่งของปริซึม (หรือหน้าขนานกับเส้น g) - ระนาบตัดตัดฐาน (หน้า) นี้ไปตามส่วน BC ขนานกับเส้น g .

กรณีที่ 2

จุด A อยู่ที่ด้านข้างของปริซึม:

ส่วน BC ของ AD เส้นตรงคือจุดตัดของด้านนี้กับระนาบการตัด

กรณีที่ 3

การสร้างส่วนของปริซึมสี่เหลี่ยมโดยมีระนาบผ่านเส้นตรง g ในระนาบฐานล่างของปริซึมและจุด A บนขอบด้านข้างด้านใดด้านหนึ่ง

ครั้งที่สองสร้าง ภาพตัดขวางของปิรามิดระนาบที่วิ่งผ่านเส้นตรงที่กำหนด g (ร่องรอย) บนระนาบฐานของปิรามิดและจุด A

ในการสร้างส่วนของปิรามิดด้วยระนาบ ก็เพียงพอที่จะสร้างจุดตัดของใบหน้าด้านข้างด้วยระนาบการตัด

กรณีที่ 1

หากจุด A เป็นของหน้าขนานกับเส้นตรง g ระนาบการตัดจะตัดใบหน้านี้ไปตามส่วน BC ขนานกับรอยของ g

กรณีที่ 2

หากจุด A ที่เป็นของส่วนนั้นตั้งอยู่บนใบหน้าที่ไม่ขนานกับใบหน้าของร่องรอย g ดังนั้น:

1) จุด D ถูกสร้างขึ้นโดยที่ระนาบของใบหน้าตัดกับร่องรอยที่กำหนด g

2) ลากเส้นตรงผ่านจุด A และ D

ส่วน BC ของ AD เส้นตรงคือจุดตัดของด้านนี้กับระนาบการตัด

ส่วนปลายของส่วน BC ก็เป็นของใบหน้าข้างเคียงด้วย ดังนั้น เมื่อใช้วิธีการที่อธิบายไว้ จึงสามารถสร้างจุดตัดของพื้นผิวเหล่านี้ด้วยระนาบการตัดได้ ฯลฯ

กรณีที่ 3

การก่อสร้างส่วน ปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมเครื่องบินที่ผ่านด้านข้างของฐานและจุด A ที่ขอบด้านข้างด้านใดด้านหนึ่ง

ปัญหาเกี่ยวกับการสร้างส่วนต่างๆ ผ่านจุดบนใบหน้า

1. สร้างส่วนของจัตุรมุข ABCD โดยระนาบที่ผ่านจุดยอด C และจุด M และ N บนใบหน้า ACD และ ABC ตามลำดับ

จุด C และ M อยู่บนใบหน้า ACD ซึ่งหมายความว่าเส้นตรง CM อยู่ในระนาบของใบหน้านี้ (รูปที่ 1)

ให้ P เป็นจุดตัดของเส้นตรง CM และ AD ในทำนองเดียวกัน จุด C และ N อยู่ที่หน้า ACB ซึ่งหมายความว่าเส้นตรง CN อยู่ในระนาบของใบหน้านี้ ให้ Q เป็นจุดตัดของเส้น CN และ AB จุด P และ Q เป็นของทั้งระนาบหน้าตัดและหน้า ABD ดังนั้น PQ ของส่วนคือด้านข้างของส่วน ดังนั้น CPQ ของสามเหลี่ยมจึงเป็นส่วนที่จำเป็น

2. สร้างส่วนของจัตุรมุข ABCD โดยระนาบ MPN โดยที่จุด M, N, P อยู่ตามลำดับบนขอบ AD ในหน้า BCD และในหน้า ABC และ MN ไม่ขนานกับระนาบของหน้า ABC (รูปที่ 2).

ยังมีคำถามอยู่ใช่ไหม? ไม่ทราบวิธีสร้างภาพตัดขวางของรูปทรงหลายเหลี่ยมใช่หรือไม่
หากต้องการความช่วยเหลือจากครูสอนพิเศษ ให้ลงทะเบียน
บทเรียนแรกฟรี!

เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

สัจพจน์ของระนาบ:

ในตำราเรียนต่างๆ คุณสมบัติของเส้นและระนาบสามารถนำเสนอได้หลายวิธี ในรูปแบบของสัจพจน์ ข้อพิสูจน์จากมัน ทฤษฎีบท บทแทรก ฯลฯ พิจารณาตำราเรียนของ Pogorelov A.V.

เส้นตรงแบ่งระนาบออกเป็นสองระนาบครึ่ง

0

จากเส้นครึ่งเส้นใดๆ มุมที่มีค่าองศาที่กำหนดน้อยกว่า 180 สามารถพล็อตลงในระนาบครึ่งที่กำหนดได้ 0 และมีเพียงอันเดียวเท่านั้น

ไม่ว่าสามเหลี่ยมจะเป็นอะไรก็ตาม จะมีสามเหลี่ยมเท่ากันในตำแหน่งที่กำหนดสัมพันธ์กับเส้นครึ่งเส้นที่กำหนด

ผ่านจุดที่ไม่อยู่บนเส้นที่กำหนด เป็นไปได้ที่จะวาดบนเครื่องบินด้วยเส้นตรงขนานกับเส้นที่กำหนดมากที่สุดหนึ่งเส้น

สัจพจน์ของ Stereometry:

ไม่ว่าจะเป็นระนาบใดก็ตาม ก็มีจุดที่ไม่ได้อยู่ในระนาบนี้ จุดที่ไม่ได้เป็นของระนาบนี้ และจุดที่ไม่ได้เป็นของระนาบนี้

หากระนาบสองระนาบที่แตกต่างกันมีจุดเดียวกัน ระนาบทั้งสองจะตัดกันเป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดนี้

หากเส้นตรงสองเส้นมีจุดเดียวกัน ก็สามารถลากระนาบผ่านเส้นเหล่านั้นได้เพียงเส้นเดียวเท่านั้น

ไม่ว่าจะเป็นเส้นไหนก็มีจุดที่เป็นของเส้นนี้และจุดที่ไม่ได้เป็นของเส้นนั้น

คุณสามารถวาดเส้นตรงผ่านจุดสองจุดใดก็ได้และมีเพียงจุดเดียวเท่านั้น

จากสามจุดบนเส้น มีหนึ่งจุดเท่านั้นที่อยู่ระหว่างอีกสองจุด

แต่ละส่วนมีความยาวมากกว่าศูนย์ ความยาวของเซ็กเมนต์เท่ากับผลรวมของความยาวของส่วนต่างๆ ที่ถูกหารด้วยจุดใดๆ

เส้นตรงของเครื่องบินแบ่งระนาบนี้ออกเป็นสองระนาบครึ่ง

แต่ละมุมมีการวัดระดับหนึ่งที่มากกว่าศูนย์ มุมตรงคือ 180 0 . การวัดระดับของมุมจะเท่ากับผลรวมของการวัดระดับของมุมที่มุมนั้นถูกหารด้วยรังสีใดๆ ที่ผ่านระหว่างด้านของมัน

ในครึ่งบรรทัดใดๆ จากจุดเริ่มต้น คุณสามารถพล็อตส่วนของความยาวที่กำหนดได้เพียงส่วนเดียวเท่านั้น

จากเส้นครึ่งเส้นบนระนาบที่บรรจุมุมนั้น มุมที่มีระดับองศาที่กำหนดน้อยกว่า 180 สามารถพล็อตลงในระนาบครึ่งที่กำหนดได้ 0 และมีเพียงอันเดียวเท่านั้น

ไม่ว่าสามเหลี่ยมจะเป็นอะไรก็ตาม จะมีสามเหลี่ยมเท่ากันในระนาบที่กำหนดในตำแหน่งที่กำหนดสัมพันธ์กับเส้นครึ่งเส้นที่กำหนดในระนาบนั้น

บนเครื่องบิน ผ่านจุดที่กำหนดซึ่งไม่อยู่บนเส้นที่กำหนด คุณสามารถวาดเส้นตรงขนานกับเส้นที่กำหนดได้มากที่สุดเพียงเส้นเดียว

ส่วน

ในอวกาศมีร่างสองร่าง ในกรณีของเรา เครื่องบินและรูปทรงหลายเหลี่ยมอาจมีสิ่งต่อไปนี้ การจัดการร่วมกัน: อย่าตัดกัน, ตัดกันที่จุดใดจุดหนึ่ง, ตัดกันเป็นเส้นตรงและเครื่องบินตัดกับรูปทรงหลายเหลี่ยมตามด้านใน (รูปที่ 1) และในเวลาเดียวกันก็สร้างตัวเลขต่อไปนี้:

ก) รูปทรงว่าง (อย่าตัดกัน)

ข) จุด

c) ส่วน

ง) รูปหลายเหลี่ยม

หากมีรูปหลายเหลี่ยมที่จุดตัดของรูปทรงหลายเหลี่ยมกับระนาบ ให้เป็นรูปหลายเหลี่ยมนี้เรียกว่า ส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีระนาบ .

รูปที่ 1

คำนิยาม. ส่วน ร่างกายเชิงพื้นที่ (เช่น รูปทรงหลายเหลี่ยม) เป็นตัวเลขที่เกิดจากจุดตัดของร่างกายกับระนาบ

เครื่องบินตัด รูปทรงหลายเหลี่ยม ลองเรียกระนาบใดๆ ทั้งสองข้างซึ่งมีจุดของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่กำหนด

เราจะพิจารณาเฉพาะกรณีที่เครื่องบินตัดกับรูปทรงหลายเหลี่ยมตามด้านใน ในกรณีนี้ จุดตัดของระนาบนี้กับแต่ละด้านของรูปทรงหลายเหลี่ยมจะเป็นส่วนหนึ่ง

หากระนาบตัดกันเป็นเส้นตรง ก็จะเรียกว่าเส้นตรงตามเครื่องบินลำหนึ่งไปยังอีกลำหนึ่ง

โดยทั่วไป ระนาบการตัดของรูปทรงหลายเหลี่ยมจะตัดกับระนาบของหน้าแต่ละด้าน (เช่นเดียวกับระนาบการตัดอื่นๆ ของรูปทรงหลายเหลี่ยมนี้) นอกจากนี้ยังตัดแต่ละเส้นที่ขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยมอยู่ด้วย

เส้นตรงที่ระนาบการตัดตัดกับระนาบของใบหน้าใด ๆ ของรูปทรงหลายเหลี่ยมเรียกว่าตามระนาบการตัด บนระนาบของใบหน้านี้ และจุดที่ระนาบการตัดตัดกับเส้นที่มีขอบใดๆ ของรูปทรงหลายเหลี่ยมเรียกว่าตามระนาบการตัด บนเส้นตรงนี้ จุดนี้เป็นรอยเส้นบนระนาบการตัดด้วย หากระนาบการตัดตัดกับใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมโดยตรง เราก็สามารถพูดถึงร่องรอยของระนาบการตัดบนใบหน้าได้ และในทำนองเดียวกัน เกี่ยวกับร่องรอยของระนาบการตัดบนขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยม นั่นคือเกี่ยวกับร่องรอยของขอบบนระนาบการตัด

เนื่องจากเส้นตรงถูกกำหนดโดยจุดสองจุดโดยเฉพาะ เพื่อค้นหาร่องรอยของระนาบการตัดบนระนาบอื่น และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง บนระนาบของหน้าใดๆ ของรูปทรงหลายเหลี่ยม การสร้างจุดร่วมสองจุดของระนาบก็เพียงพอแล้ว

ในการสร้างร่องรอยของระนาบการตัด รวมถึงการสร้างส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมด้วยระนาบนี้ ไม่เพียงแต่รูปทรงหลายเหลี่ยมเท่านั้น แต่ยังต้องระบุระนาบการตัดด้วย และการสร้างระนาบหน้าตัดนั้นขึ้นอยู่กับข้อกำหนดของระนาบนี้ วิธีหลักในการกำหนดระนาบ และโดยเฉพาะระนาบการตัด มีดังนี้:

สามแต้มไม่อยู่ในแนวเดียวกัน

เส้นตรงและจุดที่ไม่วางอยู่บนนั้น

เส้นขนานสองเส้น

เส้นตัดกันสองเส้น

จุดและเส้นตัดกันสองเส้น

นอกจากนี้ยังสามารถใช้วิธีอื่นในการระบุระนาบการตัดได้อีกด้วย

ดังนั้นวิธีการทั้งหมดในการสร้างส่วนต่าง ๆ ของรูปทรงหลายเหลี่ยมจึงสามารถแบ่งออกเป็นวิธีได้

วิธีการก่อสร้างส่วนต่างๆ ของรูปทรงหลายเหลี่ยม

วิธีการตัดส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมในสามมิติถูกนำมาใช้ในปัญหาการก่อสร้าง ขึ้นอยู่กับความสามารถในการสร้างส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมและกำหนดประเภทของส่วน

มีสามวิธีหลักในการสร้างส่วนต่างๆ ของรูปทรงหลายเหลี่ยม:

วิธีการตามสัจพจน์:

วิธีการติดตาม

วิธีผสมผสาน.

วิธีการประสานงาน

บันทึก ว่าวิธีการติดตามและวิธีการส่วนเสริมนั้นมีหลากหลายวิธีการเชิงสัจพจน์สำหรับการสร้างส่วนต่างๆ

คุณยังสามารถเน้นได้ วิธีการดังต่อไปนี้การสร้างส่วนต่างๆ ของรูปทรงหลายเหลี่ยม:

การสร้างส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมโดยมีระนาบผ่านไป จุดที่กำหนดให้ขนานกับระนาบที่กำหนด

การสร้างส่วนที่ผ่านเส้นที่กำหนดขนานกับเส้นที่กำหนดอีกเส้นหนึ่ง

การสร้างส่วนที่ผ่านจุดที่กำหนดขนานกับเส้นตัดกันสองเส้นที่กำหนด

การสร้างส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมโดยมีระนาบผ่านเส้นที่กำหนดตั้งฉากกับระนาบที่กำหนด

การสร้างส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมโดยมีระนาบผ่านจุดที่กำหนดซึ่งตั้งฉากกับเส้นตรงที่กำหนด

การกระทำหลักที่ประกอบขึ้นเป็นวิธีการสร้างส่วนต่าง ๆ คือการค้นหาจุดตัดของเส้นกับระนาบ การสร้างเส้นตัดของระนาบสองระนาบ การสร้างเส้นตรงขนานกับระนาบตั้งฉากกับระนาบ ในการสร้างเส้นตัดกันของระนาบสองระนาบ มักจะพบจุดสองจุดและลากเส้นผ่านจุดเหล่านั้น ในการสร้างจุดตัดกันของเส้นตรงและระนาบ ให้หาเส้นในระนาบที่ตัดกันเส้นที่กำหนด จากนั้นจะได้จุดที่ต้องการที่จุดตัดของเส้นที่พบกับจุดที่กำหนด

ให้เราพิจารณาแยกสิ่งที่เราระบุไว้วิธีการก่อสร้างส่วนต่าง ๆ ของรูปทรงหลายเหลี่ยม:

วิธีการติดตาม

วิธีการติดตาม ขึ้นอยู่กับ (ตาม) สัจพจน์ของ Stereometry สาระสำคัญของวิธีการนี้คือการสร้างเส้นเสริมซึ่งเป็นภาพของเส้นตัดของระนาบการตัดกับระนาบของใบหน้าใด ๆ ของรูป วิธีที่สะดวกที่สุดในการสร้างภาพเส้นตัดของระนาบการตัดกับระนาบของฐานด้านล่าง เส้นนี้เรียกว่าร่องรอยหลักของระนาบการตัด . การใช้การติดตามทำให้ง่ายต่อการสร้างภาพจุดของระนาบการตัดที่อยู่ที่ขอบด้านข้างหรือใบหน้าของภาพ การเชื่อมต่อภาพของจุดเหล่านี้อย่างต่อเนื่องทำให้เราได้ภาพของส่วนที่ต้องการ

โปรดทราบว่า ว่าเมื่อสร้างเส้นทางหลักของระนาบการตัด จะใช้ข้อความต่อไปนี้

หากจุดเป็นของระนาบการตัดและไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเดียวกันและการฉายภาพ (กลางหรือขนาน) ลงบนระนาบที่เลือกเป็นระนาบหลัก จุดต่างๆ จะเป็นตามลำดับ จากนั้นจุดตัดของเส้นที่เกี่ยวข้องนั่นคือจุดและอยู่บนเส้นเดียวกัน (รูปที่ 1, a, b)

รูปที่.1.a รูปที่.1.b

เส้นตรงนี้เป็นเส้นหลักของระนาบการตัด เนื่องจากจุดต่างๆ อยู่บนร่องรอยหลัก การสร้างจุดนั้นก็เพียงพอแล้วที่จะหาจุดสองจุดจากจุดทั้งสามนี้

วิธีการส่วนเสริม

วิธีการสร้างส่วนต่างๆ ของรูปทรงหลายเหลี่ยมนี้ค่อนข้างเป็นสากล ในกรณีที่ร่องรอย (หรือร่องรอย) ของระนาบการตัดที่ต้องการอยู่นอกภาพวาด วิธีการนี้ยังมีข้อดีบางประการอีกด้วย ในขณะเดียวกันก็ควรคำนึงว่าการก่อสร้างที่ดำเนินการด้วยวิธีนี้มักจะกลายเป็น "แออัด" อย่างไรก็ตามในบางกรณีวิธีการส่วนเสริมกลายเป็นเหตุผลมากที่สุด

วิธีผสมผสาน

สาระสำคัญของวิธีการรวมสำหรับการสร้างส่วนต่าง ๆ ของรูปทรงหลายเหลี่ยมคือการประยุกต์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับความขนานของเส้นและระนาบในอวกาศร่วมกับวิธีสัจพจน์

วิธีการประสานงานในการก่อสร้างส่วนต่างๆ

สาระสำคัญของวิธีการพิกัดคือการคำนวณพิกัดของจุดตัดของขอบหรือรูปทรงหลายเหลี่ยมด้วยระนาบการตัดซึ่งระบุโดยสมการของระนาบ สมการระนาบการตัดคำนวณตามเงื่อนไขของปัญหา

บันทึก ว่าวิธีการสร้างส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมนี้เป็นที่ยอมรับสำหรับคอมพิวเตอร์ เนื่องจากมีความเกี่ยวข้องกับการคำนวณจำนวนมาก ดังนั้นจึงแนะนำให้ใช้วิธีนี้โดยใช้คอมพิวเตอร์

ภารกิจหลักของเราคือการสร้างส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมด้วยระนาบนั่นคือ ในการสร้างจุดตัดกันของทั้งสองชุดนี้

การก่อสร้างส่วนต่างๆ ของรูปทรงหลายเหลี่ยม

ประการแรก เราสังเกตว่าส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนเป็นรูปหลายเหลี่ยมแบนนูน ซึ่งจุดยอดซึ่งในกรณีทั่วไปคือจุดตัดของระนาบการตัดกับขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยมและด้านข้างด้วย ใบหน้า

ตัวอย่างการสร้างส่วนต่างๆ:

วิธีการกำหนดส่วนนั้นมีความหลากหลายมาก วิธีที่พบบ่อยที่สุดคือวิธีการกำหนดระนาบการตัดด้วยจุดสามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

ตัวอย่างที่ 1 สำหรับ ABCDA แบบขนาน 1 บี 1 ค 1 ดี 1 . สร้างส่วนที่ผ่านจุด M, N, L.

สารละลาย:

เชื่อมต่อจุด M และ L ที่อยู่ในระนาบ AA 1 ดี 1 ดี.

ให้เราตัดเส้น ML (ที่เป็นของส่วน) กับขอบ A 1 ดี 1 1 ดี 1 D. รับจุด X 1 .

จุด X1 อยู่บนขอบ A 1 ดี 1 และด้วยเหตุนี้เครื่องบิน A 1 บี 1 ค 1 ดี 1 เราเชื่อมต่อมันด้วยตะเข็บ N ที่อยู่ในระนาบเดียวกัน

เอ็กซ์ 1 N ตัดกับขอบ A 1 บี 1 ที่จุด K

เชื่อมต่อจุด K และ M ที่อยู่ในระนาบ AA เดียวกัน 1 บี 1 บี.

ลองหาเส้นตรงของจุดตัดของระนาบส่วนกับระนาบ DD 1 ค 1 ค:

ให้เราตัดเส้น ML (ที่เป็นของส่วน) กับขอบ DD 1 พวกมันอยู่ในระนาบ AA เดียวกัน 1 ดี 1 D เราได้จุด X 2 .

ให้เราตัดเส้น KN (เป็นของส่วน) กับขอบ D 1 ค 1 พวกมันอยู่ในระนาบเดียวกัน A 1 บี 1 ค 1 ดี 1 เราได้จุด X3;

จุด X2 และ X3 อยู่ในระนาบ DD 1 ค 1 ค. ลากเส้นตรง X 2 เอ็กซ์ 3 ซึ่งตัดกับขอบ C 1 C ที่จุด T และขอบ DC ที่จุด P และเชื่อมต่อจุด L และ P ที่อยู่ในระนาบ ABCD

ดังนั้นปัญหาจะถือว่าได้รับการแก้ไขหากพบส่วนทั้งหมดที่เครื่องบินตัดกับใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมซึ่งเป็นสิ่งที่เราทำ MKNTPL - ส่วนที่จำเป็น

บันทึก. ปัญหาเดียวกันในการสร้างส่วนนี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้คุณสมบัติของระนาบขนาน

จากข้างต้น คุณสามารถสร้างอัลกอริทึม (กฎ) สำหรับการแก้ปัญหาประเภทนี้ได้

กฎสำหรับการสร้างส่วนต่างๆของรูปทรงหลายเหลี่ยม:

1. ลากเส้นตรงผ่านจุดที่อยู่ในระนาบเดียวกัน

   เรากำลังมองหาจุดตัดตรงของระนาบส่วนกับใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมเพื่อสิ่งนี้:

ตัวอย่างที่ 2 ดีล, ม

เรามาแก้โดยใช้วิธีสัจพจน์:

มาวาดระนาบเสริมกันดีเคเอ็มซึ่งตัดขอบ AB และ BC ที่จุด E และเอฟ(ความคืบหน้าของการแก้ปัญหาในรูปที่ 2.) เรามาสร้าง "ร่องรอย" ของ CM ของระนาบส่วนบนระนาบเสริมนี้กัน ค้นหาจุดตัดของ CM และ Eเอฟ– จุด P จุด P เช่นลอยู่ในระนาบ ABC และเป็นไปได้ที่จะวาดเส้นตรงโดยที่ระนาบส่วนตัดกับระนาบ ABC (“ร่องรอย” ของส่วนในระนาบ ABC)

ตัวอย่างที่ 3 บนขอบ AB และ AD ของปิรามิด MABCD เรากำหนดจุด P และ Q ตามลำดับ ซึ่งเป็นจุดกึ่งกลางของขอบเหล่านี้ และบนขอบ MC เรากำหนดจุด R ให้เราสร้างส่วนของปิรามิดโดยมีระนาบผ่านไป จุด P, Q และ R

เราจะดำเนินการแก้ไขปัญหาโดยใช้วิธีการรวม:

1) เห็นได้ชัดว่าร่องรอยหลักของระนาบ PQR คือ PQ เส้นตรง

2). ให้เราหาจุด K ที่ระนาบ MAC ตัดกับเส้นตรง PQ คะแนน K และ R เป็นของทั้งระนาบ PQR และระนาบ MAC ดังนั้นโดยการวาดเส้นตรง KR เราจะได้เส้นตัดของระนาบเหล่านี้

3). มาหาจุด N=AC BD ลากเส้นตรง MN แล้วหาจุด F=KR MN

4) จุด F คือจุดร่วมของระนาบ PQR และ MDB นั่นคือระนาบเหล่านี้ตัดกันเป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด F ในเวลาเดียวกัน เนื่องจาก PQ เป็นจุดกึ่งกลางของสามเหลี่ยม ABD ดังนั้น PQ จึงขนานกับ BD นั่นคือเส้น PQ ขนานกับระนาบ MDB จากนั้นระนาบ PQR ที่ผ่านเส้นตรง PQ จะตัดระนาบ MDB ตามแนวเส้นตรงขนานกับเส้นตรง PQ นั่นคือขนานกับเส้นตรง BD ดังนั้นในระนาบ MDB ถึงจุด F เราจึงวาดเส้นขนานกับเส้น BD

5). โครงสร้างเพิ่มเติมชัดเจนจากรูป เป็นผลให้เราได้รูปหลายเหลี่ยม PQD"RB" - ส่วนที่ต้องการ

ลองพิจารณาภาคตัดขวางของปริซึมดู เพื่อความเรียบง่าย นั่นคือ ความสะดวกในการคิดเชิงตรรกะ ลองพิจารณาส่วนของลูกบาศก์ (รูปที่ 3.a):

ข้าว. 3.ก

ส่วนของปริซึมที่มีระนาบขนานกับขอบด้านข้างจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน โดยเฉพาะรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ ส่วนในแนวทแยง(รูปที่ 4)

Def. ส่วนแนวทแยง ปริซึมถูกตัดโดยระนาบที่ผ่านขอบสองด้านซึ่งไม่ได้อยู่ด้านเดียวกัน

รูปหลายเหลี่ยมที่เกิดจากส่วนทแยงของปริซึมจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ถามเรื่องจำนวนหน้าตัดทแยงมุมnปริซึมมุมยากกว่าคำถามเรื่องจำนวนเส้นทแยงมุม จะมีส่วนต่างๆ เท่าที่มีเส้นทแยงมุมอยู่ที่ฐาน เรารู้ว่าปริซึมนูนมีรูปหลายเหลี่ยมนูนที่ฐาน และมีปริซึมนูนn-gon ของเส้นทแยงมุม แล้วเราก็บอกได้ว่ามีส่วนของเส้นทแยงมุมเท่ากับครึ่งหนึ่งของเส้นทแยงมุม

บันทึก: เมื่อสร้างส่วนของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานในรูป เราควรคำนึงถึงความจริงที่ว่าหากระนาบการตัดตัดกันสองหน้าที่อยู่ตรงข้ามกันในบางส่วน ส่วนเหล่านี้จะขนานกัน "โดยคุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนั่นคือ ด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้นขนานกันและเท่ากัน”

เราจะให้คำตอบสำหรับคำถามที่พบบ่อย:

รูปหลายเหลี่ยมใดที่ได้เมื่อลูกบาศก์ถูกตัดด้วยระนาบ

"สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม ห้าเหลี่ยม หกเหลี่ยม"

เครื่องบินสามารถตัดลูกบาศก์ให้เป็นเจ็ดเหลี่ยมได้หรือไม่? แล้วแปดเหลี่ยมล่ะ?

"ไม่ได้".

3) คำถามเกิดขึ้น: จำนวนด้านที่ใหญ่ที่สุดของรูปหลายเหลี่ยมที่ได้จากการตัดรูปทรงหลายเหลี่ยมด้วยระนาบคือเท่าใด

จำนวนมากที่สุดด้านของรูปหลายเหลี่ยมที่ได้จากการตัดรูปทรงหลายเหลี่ยมด้วยระนาบจะเท่ากับจำนวนหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมนั้น .

ตัวอย่างที่ 3 สร้างภาพตัดขวางของปริซึม A 1 บี 1 ค 1 ดี 1 ABCD โดยเครื่องบินที่วิ่งผ่านจุดสามจุด M, N, K

ให้เราพิจารณากรณีของตำแหน่งของจุด M, N, K บนพื้นผิวของปริซึม (รูปที่ 5)

พิจารณากรณีนี้: ในกรณีนี้จะเห็นได้ชัดว่า M1 = B1

การก่อสร้าง:

ตัวอย่างที่ 4 สร้างส่วนของ ABCDA ด้านขนาน 1 บี 1 ค 1 ดี 1 เครื่องบินที่ผ่านจุด M, N, P (จุดระบุไว้ในภาพวาด (รูปที่ 6))

สารละลาย:

ข้าว. 6

จุด N และ P อยู่ในระนาบส่วนและในระนาบของฐานล่างของจุดขนาน ลองสร้างเส้นตรงที่ผ่านจุดเหล่านี้กัน เส้นตรงนี้เป็นเส้นลากของระนาบการตัดไปยังระนาบของฐานของเส้นขนาน

ให้เราลากเส้นตรงต่อไปว่าด้าน AB ของเส้นขนานนั้นอยู่ตรงไหน เส้น AB และ NP ตัดกันที่จุด S จุดนี้เป็นของระนาบส่วน

เนื่องจากจุด M ยังเป็นของระนาบส่วนและตัดกับเส้น AA 1 ณ จุดใดจุดหนึ่ง X

จุด X และ N อยู่ในระนาบเดียวกันของหน้า AA 1 ดี 1 D เชื่อมต่อพวกมันแล้วเข้าเส้นตรง XN

เนื่องจากระนาบของใบหน้าของเส้นขนานนั้นขนานกัน ดังนั้นเมื่อผ่านจุด M เราก็สามารถวาดเส้นตรงไปที่ใบหน้า A 1 บี 1 ค 1 ดี 1 ขนานกับเส้น NP เส้นนี้จะตัดกับด้าน B 1 กับ 1 ที่จุด Y

ในทำนองเดียวกันเราวาดเส้นตรง YZ ขนานกับเส้นตรง XN เราเชื่อมต่อ Z กับ P และรับส่วนที่ต้องการ - MYZPNX

ส่วนของปิรามิดโดยระนาบที่บินผ่านยอดเป็นรูปสามเหลี่ยม โดยเฉพาะรูปสามเหลี่ยมเป็นส่วนที่เป็นเส้นทแยงมุม สิ่งเหล่านี้คือส่วนต่างๆ โดยเครื่องบินที่ผ่านขอบด้านข้างสองด้านที่ไม่อยู่ติดกันของปิรามิด

ตัวอย่างที่ 4 สร้างส่วนของพีระมิด ABCดีเครื่องบินที่ผ่านจุด Kล, ม.

สารละลาย:

1. มาวาดระนาบเสริมอีกอันกันดีซีเคและสร้างทางแยกจุดบีลและดีK – จุด E จุดนี้เป็นของระนาบเสริมทั้งสอง (รูปที่ 7, b)

   ลองหาจุดตัดของส่วนต่างๆ กันแอล.เอ็ม.และ EC (ส่วนเหล่านี้อยู่ในระนาบบีแอลซี, รูปที่ 7, c) – จุดเอฟ. จุดเอฟอยู่ในระนาบส่วนและในระนาบดีซีเค;

   มาทำไดเร็กกันเถอะเคเอฟและหาจุดตัดของเส้นนี้ด้วยกระแสตรง- จุดเอ็น(จุดเอ็นอยู่ในส่วนนั้น) จัตุรัสเคแอลเอ็นเอ็ม– ส่วนที่ต้องการ

ลองแก้ตัวอย่างเดียวกันนี้ให้แตกต่างออกไป .

ให้เราสมมุติว่าที่จุด Kลและ M สร้างส่วนเคแอลเอ็นเอ็ม(รูปที่ 7) ให้เราแสดงโดยเอฟจุดตัดของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมเคแอลเอ็นเอ็ม. มาทำไดเร็กกันเถอะดีเอฟและแสดงโดยเอฟ 1 จุดตัดกับขอบ ABC จุดเอฟ 1 เกิดขึ้นพร้อมกับจุดตัดกันของเส้นตรง AM และ SC (เอฟ 1 พร้อมกันเป็นของเครื่องบิน AMดีและดีเอสเค) หยุดเต็มเอฟ 1 ง่ายต่อการสร้าง ต่อไปเราจะสร้างจุดเอฟเป็นจุดตัดกันดีเอฟ 1 และแอล.เอ็ม.. ต่อไปเราจะพบประเด็นเอ็น.

เทคนิคที่พิจารณาเรียกว่าวิธี การออกแบบตกแต่งภายใน . (สำหรับกรณีของเราเรากำลังพูดถึงการออกแบบส่วนกลาง QuadrangleเคMSA คือเส้นโครงของรูปสี่เหลี่ยมกมลจากจุดดี. ในกรณีนี้คือจุดตัดของเส้นทแยงมุมกมล- จุดเอฟ– ไปที่จุดตัดของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมเคMSA - จุดเอฟ 1 .

พื้นที่หน้าตัดของรูปทรงหลายเหลี่ยม

ปัญหาในการคำนวณพื้นที่หน้าตัดของรูปทรงหลายเหลี่ยมมักจะแก้ไขได้ในหลายขั้นตอน หากปัญหาระบุว่ามีการสร้างส่วน (หรือระนาบการตัดถูกวาด ฯลฯ ) จากนั้นในขั้นตอนแรกของการแก้ปัญหา ประเภทของรูปที่ได้รับในส่วนนั้นจะถูกกำหนด

ต้องทำเพื่อเลือกสูตรที่เหมาะสมสำหรับการคำนวณพื้นที่หน้าตัด หลังจากชี้แจงประเภทของตัวเลขที่ได้รับในส่วนนี้และเลือกสูตรสำหรับคำนวณพื้นที่ของรูปนี้แล้วเราจะดำเนินการคำนวณโดยตรง

ในบางกรณี อาจง่ายกว่าหากคุณไม่ต้องระบุประเภทของตัวเลขที่ได้รับในส่วนนี้แล้วจึงคำนวณพื้นที่โดยใช้สูตรที่ตามมาจากทฤษฎีบท

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับพื้นที่ของการฉายภาพมุมฉากของรูปหลายเหลี่ยม: พื้นที่ของการฉายภาพมุมฉากของรูปหลายเหลี่ยมบนระนาบเท่ากับผลคูณของพื้นที่และโคไซน์ของมุมระหว่างระนาบของรูปหลายเหลี่ยมและระนาบการฉายภาพ: .

สูตรที่ถูกต้องในการคำนวณพื้นที่หน้าตัดคือ: โดยที่ พื้นที่ของการฉายภาพมุมฉากของภาพที่ได้รับในส่วนคือที่ไหน และนี่คือมุมระหว่างระนาบการตัดกับระนาบที่ฉายภาพ ด้วยวิธีการแก้ปัญหานี้ จำเป็นต้องสร้างการฉายภาพมุมฉากของตัวเลขที่ได้รับในส่วนนั้นและคำนวณ

หากคำชี้แจงปัญหาระบุว่าจำเป็นต้องสร้างส่วนและต้องพบพื้นที่ของส่วนผลลัพธ์จากนั้นในขั้นตอนแรกเราควรสร้างส่วนที่กำหนดอย่างสมเหตุสมผลจากนั้นโดยธรรมชาติแล้วกำหนดประเภทของตัวเลขที่ได้รับ ส่วน ฯลฯ

ขอให้เราสังเกตข้อเท็จจริงต่อไปนี้: เนื่องจากส่วนของโพลีเฮดรานูนถูกสร้างขึ้น ดังนั้นรูปหลายเหลี่ยมของส่วนก็จะนูนด้วย ดังนั้นจึงสามารถหาพื้นที่ของมันได้โดยการหารมันออกเป็นรูปสามเหลี่ยม นั่นคือ พื้นที่หน้าตัดจะเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของ สามเหลี่ยมที่ใช้ประกอบกัน

ภารกิจที่ 1

– ถูกต้อง ปิรามิดสามเหลี่ยมโดยให้ด้านฐานเท่ากันและความสูงเท่ากัน สร้างส่วนของปิรามิดโดยมีระนาบผ่านจุดที่อยู่ตรงกลางด้านแล้วหาพื้นที่ (รูปที่ 8)

สารละลาย.

ภาพตัดขวางของปิรามิดเป็นรูปสามเหลี่ยม มาหาพื้นที่ของมันกันดีกว่า

เนื่องจากฐานของปิรามิดเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าและจุดเป็นจุดกึ่งกลางของด้าน จึงเป็นความสูงแล้ว

สามารถหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมได้:

ภารกิจที่ 2

ซี่โครงด้านข้าง ปริซึมที่ถูกต้องเท่ากับด้านข้างของฐาน สร้างส่วนของปริซึมโดยมีระนาบผ่านจุดหนึ่งกตั้งฉากกับเส้นตรง หากเราหาพื้นที่หน้าตัดที่เกิดของปริซึมได้

สารละลาย.

มาสร้างส่วนที่กำหนดกัน ลองทำสิ่งนี้จากการพิจารณาทางเรขาคณิตล้วนๆ ดังตัวอย่างต่อไปนี้

ในระนาบที่ผ่านเส้นที่กำหนดและจุดที่กำหนด ให้ลากเส้นตั้งฉากกับเส้นผ่านจุดนี้ (รูปที่ 9) เพื่อจุดประสงค์นี้ ขอให้เราใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าในรูปสามเหลี่ยม นั่นคือค่ามัธยฐานคือความสูงของสามเหลี่ยมนี้ด้วย มันเลยตรง.

ผ่านจุดนั้นเราวาดอีกเส้นตั้งฉากกับเส้นนั้น ให้เราวาดมันในระนาบที่วิ่งผ่านเส้นตรง ชัดเจนว่าเส้นนี้เป็นเส้นตรง

ดังนั้นจึงมีการสร้างเส้นตัดกันสองเส้นตั้งฉากกับเส้น เส้นเหล่านี้กำหนดระนาบที่ผ่านจุดตั้งฉากกับเส้น กล่าวคือ มีการระบุระนาบเส้นตัดกัน

ลองสร้างส่วนของปริซึมด้วยระนาบนี้กัน โปรดทราบว่าเนื่องจากเส้นขนานกับระนาบ จากนั้นระนาบที่ผ่านเส้นจะตัดระนาบตามเส้นขนานกับเส้นนั่นคือเส้น ลองวาดเส้นตรงผ่านจุดและเชื่อมต่อจุดผลลัพธ์กับจุด

ส่วนที่กำหนดรูปสี่เหลี่ยม เรามากำหนดพื้นที่ของมันกัน

เห็นได้ชัดว่ารูปสี่เหลี่ยมนั้นเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า นั่นคือ พื้นที่ของมันคือ

ข้าว. 9

วิธีการตัดส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมในสามมิติถูกนำมาใช้ในปัญหาการก่อสร้าง ขึ้นอยู่กับความสามารถในการสร้างส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมและกำหนดประเภทของส่วน

วัสดุนี้มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

1. วิธีการแบ่งส่วนใช้สำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมเท่านั้นเนื่องจากส่วนต่างๆ ของส่วนการหมุนที่ซับซ้อน (เฉียง) ไม่รวมอยู่ในหลักสูตรระดับมัธยมศึกษา
2. ปัญหาส่วนใหญ่ใช้รูปทรงหลายเหลี่ยมที่ง่ายที่สุด
3. ปัญหาส่วนใหญ่จะนำเสนอโดยไม่มีข้อมูลตัวเลขเพื่อสร้างความเป็นไปได้ในการใช้งานหลายครั้ง

ในการแก้ปัญหาการสร้างส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยม นักเรียนจะต้องรู้:

• การสร้างส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมด้วยระนาบหมายความว่าอย่างไร
• รูปทรงหลายเหลี่ยมและระนาบสามารถวางตำแหน่งสัมพันธ์กันได้อย่างไร
• กำหนดเครื่องบินอย่างไร
• เมื่อปัญหาในการสร้างส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมด้วยเครื่องบินได้รับการแก้ไขแล้ว

เนื่องจากเครื่องบินถูกกำหนดไว้:

• สามแต้ม;
• เส้นตรงและจุด
• เส้นขนานสองเส้น
• เส้นตัดกันสองเส้น

การสร้างระนาบส่วนขึ้นอยู่กับคุณลักษณะเฉพาะของระนาบนี้ ดังนั้นวิธีการทั้งหมดในการสร้างส่วนต่าง ๆ ของรูปทรงหลายเหลี่ยมจึงสามารถแบ่งออกเป็นวิธีได้

มีอยู่ สามวิธีหลักการสร้างส่วนต่างๆ ของรูปทรงหลายเหลี่ยม:

1. วิธีการติดตาม
2. วิธีการส่วนเสริม
3. วิธีผสมผสาน.

สองวิธีแรกมีความแตกต่างกัน วิธีการตามสัจพจน์การก่อสร้างส่วนต่างๆ

นอกจากนี้เรายังสามารถแยกแยะวิธีการต่อไปนี้สำหรับการสร้างส่วนต่างๆ ของรูปทรงหลายเหลี่ยม:

• การสร้างส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมโดยมีระนาบผ่านจุดที่กำหนดขนานกับระนาบที่กำหนด
• การสร้างส่วนที่ผ่านเส้นที่กำหนดขนานกับเส้นที่กำหนดอีกเส้นหนึ่ง
• การสร้างส่วนที่ผ่านจุดที่กำหนดขนานกับเส้นตัดกันสองเส้นที่กำหนด
• การสร้างส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมโดยมีระนาบผ่านเส้นที่กำหนดตั้งฉากกับระนาบที่กำหนด
• การสร้างส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมโดยมีระนาบผ่านจุดที่กำหนดซึ่งตั้งฉากกับเส้นตรงที่กำหนด

รายชื่อหนังสือเรียนเกี่ยวกับเรขาคณิตของรัฐบาลกลางสำหรับเกรด 10-11 รวมถึงหนังสือเรียนของผู้เขียนต่อไปนี้:

• Atanasyan L.S., Butuzova V.F., Kadomtseva S.B. และอื่นๆ (เรขาคณิต, 10-11);
• โปโกเรโลวา เอ.วี. (เรขาคณิต, 7-11);
• Alexandrova A.D., Vernera A.L., Ryzhik V.I. (เรขาคณิต, 10-11);
• สมีร์โนวา ไอ.เอ็ม. (เรขาคณิต, 10-11);
• ชารีจิน่า ไอ.เอฟ. (เรขาคณิต, 10-11)

มาดูหนังสือเรียนของ L.S., Atanasyan และ A.V. Pogorelov กันดีกว่า

ในตำราเรียน L.S. Atanasyan ในหัวข้อ "การก่อสร้างส่วนต่างๆของรูปทรงหลายเหลี่ยม" ได้รับการจัดสรรสองชั่วโมง ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 ในหัวข้อ "ความขนานของเส้นและระนาบ" หลังจากศึกษาจัตุรมุขและขนานแล้ว จะใช้เวลาหนึ่งชั่วโมงในการนำเสนอย่อหน้า "ปัญหาในการสร้างส่วนต่างๆ" พิจารณาส่วนของจัตุรมุขและรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน และหัวข้อ “ความเท่าเทียมของเส้นและระนาบ” จบลงด้วยการแก้ปัญหาภายในหนึ่งหรือสองชั่วโมง (มีทั้งหมด 8 ปัญหาในการสร้างส่วนต่างๆ ในตำราเรียน)

ในตำราเรียน Pogorelov A.V. มีการจัดสรรเวลาประมาณสามชั่วโมงสำหรับการสร้างส่วนต่างๆ ในบท "รูปทรงหลายเหลี่ยม": หนึ่งสำหรับศึกษาหัวข้อ "ภาพของปริซึมและการสร้างส่วนต่างๆ" ครั้งที่สองสำหรับศึกษาหัวข้อ "การสร้างปิรามิดและส่วนระนาบของมัน" และครั้งที่สาม เพื่อแก้ไขปัญหา ในรายการปัญหาที่ให้ไว้หลังหัวข้อ มีปัญหาแบบตัดขวางเพียงประมาณสิบข้อเท่านั้น

เราเสนอระบบบทเรียนในหัวข้อ "การสร้างส่วนต่างๆของรูปทรงหลายเหลี่ยม" สำหรับตำราเรียนของ Pogorelov A.V.

เสนอให้จัดสื่อตามลำดับที่สามารถนำไปใช้ในการสอนนักเรียนได้ จากการนำเสนอหัวข้อ "รูปทรงหลายเหลี่ยม" เสนอให้ยกเว้นย่อหน้าต่อไปนี้: "การสร้างส่วนของปริซึม" และ "การสร้างส่วนของปิรามิด" เพื่อจัดระบบ วัสดุนี้ในตอนท้ายของหัวข้อนี้ "รูปทรงหลายเหลี่ยม" สามารถจำแนกตามหัวข้องานโดยยึดหลักการ “จากง่ายไปหาซับซ้อน” ได้ดังนี้

1. การกำหนดส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยม
2. การสร้างส่วนต่างๆ ของปริซึมแบบปิรามิดแบบขนานโดยใช้วิธีติดตาม (ตามกฎแล้วในหลักสูตรโรงเรียนเรื่อง Stereometry จะใช้ปัญหาในการสร้างส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมซึ่งแก้ไขโดยวิธีพื้นฐาน วิธีการอื่น ๆ เนื่องจากมากกว่านั้น ระดับสูงความซับซ้อนครูสามารถฝากไว้พิจารณาในวิชาเลือกหรือศึกษาค้นคว้าอิสระก็ได้ ในปัญหาการก่อสร้าง วิธีการพื้นฐานจำเป็นต้องสร้างระนาบหน้าตัดผ่านจุดสามจุด)
3. การหาพื้นที่หน้าตัดในรูปหลายเหลี่ยม (โดยไม่ต้องใช้ทฤษฎีบทกับพื้นที่ของการฉายภาพมุมฉากของรูปหลายเหลี่ยม)
4. การค้นหาพื้นที่หน้าตัดในรูปทรงหลายเหลี่ยม (โดยใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับพื้นที่ของการฉายภาพมุมฉากของรูปหลายเหลี่ยม)

ปัญหาสามมิติสำหรับการสร้างส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมและวิธีการใช้ในบทเรียนในเกรด 10-11

(ระบบบทเรียนและวิชาเลือกในหัวข้อ "การสร้างส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยม")

บทที่ 1.

หัวข้อบทเรียน: “การสร้างส่วนต่างๆ ของรูปทรงหลายเหลี่ยม”

วัตถุประสงค์ของบทเรียน: ทำความคุ้นเคยกับวิธีการสร้างส่วนต่างๆ ของรูปทรงหลายเหลี่ยม

ขั้นตอนบทเรียน:

1. การอัพเดตความรู้พื้นฐาน
2. การกำหนดปัญหา
3. การเรียนรู้เนื้อหาใหม่:

ก) คำจำกัดความของส่วนนี้

B) วิธีการก่อสร้างส่วนต่างๆ:

ก) วิธีการติดตาม

b) วิธีการส่วนเสริม

c) วิธีการรวม

1. การแก้ไขวัสดุ

ตัวอย่างการสร้างส่วนต่างๆ โดยใช้วิธีติดตาม

1. สรุปบทเรียน.

ในระหว่างเรียน

1. การอัพเดตความรู้พื้นฐาน

จำไว้ว่า:
- จุดตัดของเส้นตรงกับระนาบ
- จุดตัดของเครื่องบิน
- คุณสมบัติของระนาบขนาน

2. การกำหนดปัญหา

คำถามสำหรับชั้นเรียน:
- การสร้างส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมด้วยระนาบหมายความว่าอย่างไร
- รูปทรงหลายเหลี่ยมและระนาบสามารถวางตำแหน่งให้สัมพันธ์กันได้อย่างไร?
- เครื่องบินถูกกำหนดไว้อย่างไร?
- เมื่อใดที่ปัญหาในการสร้างส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมด้วยระนาบจะถือว่าได้รับการแก้ไขแล้ว

3. การเรียนรู้เนื้อหาใหม่

A) ดังนั้น ภารกิจคือสร้างจุดตัดของร่างสองร่าง: รูปทรงหลายเหลี่ยมและระนาบ (รูปที่ 1) สิ่งเหล่านี้อาจเป็น: ตัวเลขว่าง (a), จุด (b), ส่วน (c), รูปหลายเหลี่ยม (d) ถ้าจุดตัดของรูปทรงหลายเหลี่ยมกับระนาบเป็นรูปหลายเหลี่ยม ก็จะเรียกรูปหลายเหลี่ยมนี้ ส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมโดยระนาบ

เราจะพิจารณาเฉพาะกรณีที่เครื่องบินตัดกับรูปทรงหลายเหลี่ยมตามด้านใน ในกรณีนี้ จุดตัดของระนาบนี้กับแต่ละด้านของรูปทรงหลายเหลี่ยมจะเป็นส่วนหนึ่ง ดังนั้นปัญหาจะถือว่าได้รับการแก้ไขหากพบส่วนทั้งหมดที่ระนาบตัดกับใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยม

ตรวจสอบส่วนของลูกบาศก์ (รูปที่ 2) และตอบคำถามต่อไปนี้:

รูปหลายเหลี่ยมใดที่ได้เมื่อลูกบาศก์ถูกตัดด้วยระนาบ (จำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมมีความสำคัญ)

[คำตอบที่แนะนำ: สามเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยม ห้าเหลี่ยม หกเหลี่ยม]

เครื่องบินสามารถตัดลูกบาศก์ให้เป็นเจ็ดเหลี่ยมได้หรือไม่? แล้วแปดเหลี่ยม ฯลฯ ล่ะ? ทำไม

ลองดูที่ปริซึมและส่วนที่เป็นไปได้โดยระนาบ (ในแบบจำลอง) จะได้รูปหลายเหลี่ยมชนิดใด

สรุปได้อะไรบ้าง? จำนวนด้านที่ใหญ่ที่สุดของรูปหลายเหลี่ยมที่ได้จากการตัดรูปทรงหลายเหลี่ยมด้วยระนาบคือเท่าใด

[จำนวนด้านที่ใหญ่ที่สุดของรูปหลายเหลี่ยมที่ได้จากการตัดรูปทรงหลายเหลี่ยมด้วยระนาบจะเท่ากับจำนวนหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยม]

ข) ก) วิธีการติดตามประกอบด้วยการสร้างร่องรอยของระนาบการตัดลงบนระนาบของแต่ละด้านของรูปทรงหลายเหลี่ยม การสร้างส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมโดยใช้วิธีการติดตามมักจะเริ่มต้นด้วยการสร้างสิ่งที่เรียกว่าร่องรอยหลักของระนาบการตัดนั่นคือ ร่องรอยของระนาบการตัดบนระนาบของฐานของรูปทรงหลายเหลี่ยม

ข) วิธีการส่วนเสริมการสร้างส่วนต่างๆ ของรูปทรงหลายเหลี่ยมนั้นค่อนข้างเป็นสากล ในกรณีที่ร่องรอย (หรือร่องรอย) ของระนาบการตัดที่ต้องการอยู่นอกภาพวาด วิธีการนี้ยังมีข้อดีบางประการอีกด้วย ในขณะเดียวกันก็ควรคำนึงว่าการก่อสร้างที่ดำเนินการด้วยวิธีนี้มักจะกลายเป็น "แออัด" อย่างไรก็ตามในบางกรณีวิธีการส่วนเสริมกลายเป็นเหตุผลมากที่สุด

วิธีการติดตามและวิธีการส่วนเสริมมีความแตกต่างกัน วิธีการจริงการสร้างส่วนต่างๆ ของรูปทรงหลายเหลี่ยมด้วยเครื่องบิน

ค) สาระสำคัญ วิธีการรวมกันการสร้างส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมประกอบด้วยการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับความขนานของเส้นและระนาบในอวกาศร่วมกับวิธีสัจพจน์

ทีนี้ มาดูตัวอย่างการแก้ปัญหากัน วิธีการติดตาม

4. การยึดวัสดุ

ภารกิจที่ 1

สร้างส่วนของปริซึม ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 โดยมีระนาบผ่านจุด P, Q, R (จุดต่างๆ ระบุไว้ในภาพวาด (รูปที่ 3))

สารละลาย.

ข้าว. 3

1. เรามาสร้างร่องรอยของระนาบการตัดบนระนาบของฐานล่างของปริซึมกันดีกว่า พิจารณาใบหน้า AA 1 B 1 B จุดตัด P และ Q นอนอยู่บนใบหน้านี้ ให้เราวาดเส้นตรง PQ
2. ให้เราต่อเส้น PQ ซึ่งเป็นของส่วนนั้น จนกระทั่งมันตัดกับเส้น AB เราได้รับจุด S 1 ที่เป็นของการติดตาม
3. ในทำนองเดียวกัน เราได้จุด S 2 จากจุดตัดของเส้น QR และ BC
4. เส้นตรง S 1 S 2 - ติดตามระนาบการตัดบนระนาบของฐานล่างของปริซึม
5. เส้นตรง S 1 S 2 ตัดกัน AD ด้านข้างที่จุด U, CD ด้านข้างที่จุด T ให้เราเชื่อมจุด P และ U เนื่องจากพวกมันอยู่ในระนาบเดียวกันของใบหน้า AA 1 D 1 D เราก็ได้เช่นเดียวกัน มธ. และ RT
6. PQRTU คือส่วนที่จำเป็น

สร้างส่วนของ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ที่ขนานกันโดยมีระนาบผ่านจุด M, N, P (จุดต่างๆ ระบุไว้ในภาพวาด (รูปที่ 4))

สารละลาย.

1. จุด N และ P อยู่ในระนาบส่วนและในระนาบของฐานล่างของจุดขนาน ลองสร้างเส้นตรงผ่านจุดเหล่านี้กัน เส้นตรงนี้เป็นเส้นลากของระนาบการตัดไปยังระนาบของฐานของเส้นขนาน
2. ให้เราลากเส้นตรงต่อไปว่าด้าน AB ของเส้นขนานนั้นอยู่ตรงไหน เส้น AB และ NP ตัดกันที่จุด S จุดนี้เป็นของระนาบส่วน
3. เนื่องจากจุด M ยังเป็นของระนาบส่วนและตัดเส้น AA 1 ที่จุด X สักจุดหนึ่ง
4. จุด X และ N อยู่ในระนาบเดียวกันของใบหน้า AA 1 D 1 D เชื่อมต่อเข้าด้วยกันและรับเส้นตรง XN
5. เนื่องจากระนาบของใบหน้าของเส้นขนานนั้นขนานกัน จากนั้นผ่านจุด M เราสามารถวาดเส้นที่หน้า A 1 B 1 C 1 D 1 ขนานกับเส้น NP เส้นตรงนี้จะตัดด้าน B 1 C 1 ที่จุด Y
6. ในทำนองเดียวกันเราวาดเส้นตรง YZ ขนานกับเส้นตรง XN เราเชื่อมต่อ Z กับ P และรับส่วนที่ต้องการ - MYZPNX

ปัญหาที่ 3 (สำหรับวิธีแก้ปัญหาอิสระ)

สร้างส่วนของ DACB จัตุรมุขโดยมีระนาบผ่านจุด M, N, P (จุดต่างๆ ระบุไว้ในภาพวาด (รูปที่ 5))

5. สรุปบทเรียน

ตอบคำถาม: ส่วนที่แรเงาของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ปรากฎโดยระนาบ PQR เป็นส่วนหรือไม่ และก่อสร้างให้ถูกต้อง (รูปที่ 6)

ตัวเลือกที่ 1.

ตัวเลือกที่ 2

หัวข้อบทเรียน: การหาพื้นที่หน้าตัด

วัตถุประสงค์ของบทเรียน: เพื่อแนะนำวิธีการหาพื้นที่หน้าตัดของรูปทรงหลายเหลี่ยม

ขั้นตอนบทเรียน:

1. การอัพเดตความรู้พื้นฐาน

จำทฤษฎีบทเกี่ยวกับพื้นที่ของการฉายภาพมุมฉากของรูปหลายเหลี่ยม

2. การแก้ปัญหาการหาพื้นที่หน้าตัด:

โดยไม่ต้องใช้ทฤษฎีบทกับพื้นที่ของการฉายภาพมุมฉากของรูปหลายเหลี่ยม

การใช้ทฤษฎีบทกับพื้นที่ของการฉายภาพมุมฉากของรูปหลายเหลี่ยม

3. สรุปบทเรียน

ในระหว่างเรียน

1. การอัพเดตความรู้พื้นฐาน

มาจำกัน ทฤษฎีบทเกี่ยวกับพื้นที่ของการฉายภาพมุมฉากของรูปหลายเหลี่ยม:พื้นที่ของการฉายภาพมุมฉากของรูปหลายเหลี่ยมบนระนาบเท่ากับผลคูณของพื้นที่และโคไซน์ของมุมระหว่างระนาบของรูปหลายเหลี่ยมและระนาบการฉายภาพ

2. การแก้ปัญหา.

ABCD เป็นปิรามิดสามเหลี่ยมปกติซึ่งมีด้านฐาน AB เท่ากับ กและส่วนสูง DH เท่ากัน ชม.. สร้างส่วนของปิรามิดโดยให้ระนาบผ่านจุด D, C และ M โดยที่ M อยู่ตรงกลางด้าน AB และหาพื้นที่ของมัน (รูปที่ 7)

ภาพตัดขวางของปิรามิดคือสามเหลี่ยม MCD มาหาพื้นที่ของมันกันดีกว่า

S = 1/2 DH ซม. = 1/2 =

ค้นหาพื้นที่หน้าตัดของลูกบาศก์ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ที่มีขอบ กระนาบที่ผ่านจุดยอด D และจุด E และ F บนขอบ A 1 D 1 และ C 1 D 1 ตามลำดับ ถ้า A 1 E = k D 1 E และ C 1 F = k D 1 F

การก่อสร้างส่วน:

1. เนื่องจากจุด E และ F อยู่ในระนาบส่วนและระนาบของใบหน้า A 1 B 1 C 1 D 1 และระนาบทั้งสองตัดกันเป็นเส้นตรง ดังนั้นเส้นตรง EF จะเป็นเส้นของระนาบส่วนบนระนาบ ของใบหน้า A 1 B 1 C 1 D 1 (รูปที่ 8 )
2. Direct ED และ FD ได้มาในลักษณะเดียวกัน
3. EDF เป็นส่วนที่จำเป็น

ปัญหาที่ 3 (สำหรับวิธีแก้ปัญหาอิสระ)

สร้างส่วนของลูกบาศก์ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 โดยมีด้าน กระนาบที่ผ่านจุด B, M และ N โดยที่ L คือจุดกึ่งกลางของขอบ AA 1 และ N คือจุดกึ่งกลางของขอบ CC 1

เราสร้างส่วนโดยใช้วิธีการติดตาม

เราค้นหาพื้นที่หน้าตัดโดยใช้ทฤษฎีบทกับพื้นที่ของการฉายภาพมุมฉากของรูปหลายเหลี่ยม คำตอบ: S = 1/2 · 2.

คุณรู้หรือไม่ว่าส่วนใดของรูปทรงหลายเหลี่ยมโดยเครื่องบิน? หากคุณยังคงสงสัยความถูกต้องของคำตอบสำหรับคำถามนี้ คุณสามารถตรวจสอบตัวเองได้ง่ายๆ เราขอแนะนำให้คุณทำการทดสอบสั้นๆ ด้านล่างนี้

คำถาม. ตัวเลขที่แสดงภาคตัดขวางของระนาบขนานเป็นจำนวนเท่าใด

ดังนั้นคำตอบที่ถูกต้องอยู่ในรูปที่ 3

หากคุณตอบถูกจะเป็นการยืนยันว่าคุณเข้าใจสิ่งที่คุณกำลังเผชิญอยู่ แต่น่าเสียดายที่แม้แต่คำตอบที่ถูกต้องสำหรับคำถามทดสอบก็ไม่ได้รับประกันว่าคุณจะได้เกรดสูงสุดในบทเรียนในหัวข้อ "ส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยม" ท้ายที่สุดสิ่งที่ยากที่สุดคือการไม่จดจำส่วนต่าง ๆ ในภาพวาดที่เสร็จแล้วแม้ว่าจะมีความสำคัญมากเช่นกัน แต่เป็นการก่อสร้าง

ขั้นแรก ให้เรากำหนดคำจำกัดความของส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยม ดังนั้น ส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมคือรูปหลายเหลี่ยมที่มีจุดยอดอยู่ที่ขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยมและมีด้านข้างอยู่บนใบหน้า

ตอนนี้เรามาฝึกสร้างจุดตัดกันอย่างรวดเร็วและแม่นยำกันดีกว่า เส้นตรงที่กำหนดกับระนาบที่กำหนด เมื่อต้องการทำเช่นนี้ มาแก้ไขปัญหาต่อไปนี้

สร้างจุดตัดของเส้นตรง MN ด้วยระนาบของฐานล่างและฐานบน ปริซึมสามเหลี่ยม ABCA 1 B 1 C 1 โดยมีเงื่อนไขว่าจุด M เป็นของ ซี่โครงด้านข้าง CC 1 และจุด N คือขอบ BB 1

เริ่มต้นด้วยการขยายเส้นตรง MN ทั้งสองทิศทางในภาพวาด (รูปที่ 1) จากนั้น เพื่อให้ได้จุดตัดที่โจทย์ต้องการ เราจะขยายเส้นที่วางอยู่บนฐานบนและล่าง และตอนนี้มาถึงช่วงเวลาที่ยากที่สุดในการแก้ปัญหา: ต้องขยายบรรทัดใดในฐานทั้งสองเนื่องจากแต่ละบรรทัดมีสามบรรทัด

เพื่อให้ขั้นตอนสุดท้ายของการก่อสร้างเสร็จสมบูรณ์อย่างถูกต้อง มีความจำเป็นต้องพิจารณาว่าฐานตรงใดอยู่ในระนาบเดียวกันกับเส้นตรง MN ที่เราสนใจ ในกรณีของเรา นี่คือ CB แบบตรงที่ด้านล่างและ C 1 B 1 ที่ฐานด้านบน และนี่คือสิ่งที่เราขยายออกไปจนกว่าพวกมันจะตัดกับเส้นตรง NM (รูปที่ 2)

จุดผลลัพธ์ P และ P 1 คือจุดตัดของเส้นตรง MN กับระนาบของฐานบนและล่างของปริซึมสามเหลี่ยม ABCA 1 B 1 C 1 .

หลังจากวิเคราะห์ปัญหาที่นำเสนอแล้ว คุณสามารถดำเนินการสร้างส่วนต่างๆ ของรูปทรงหลายเหลี่ยมได้โดยตรง จุดสำคัญจะมีเหตุผลที่จะช่วยให้คุณบรรลุผลตามที่ต้องการ ด้วยเหตุนี้ในที่สุดเราจะพยายามสร้างเทมเพลตที่จะสะท้อนลำดับการดำเนินการเมื่อแก้ไขปัญหาประเภทนี้

ลองพิจารณาปัญหาต่อไปนี้ สร้างส่วนของปริซึมสามเหลี่ยม ABCA 1 B 1 C 1 โดยระนาบที่ผ่านจุด X, Y, Z ของขอบ AA 1, AC และ BB 1 ตามลำดับ

วิธีแก้ปัญหา: ลองวาดรูปวาดแล้วดูว่าจุดคู่ใดอยู่ในระนาบเดียวกัน

คู่จุด X และ Y สามารถเชื่อมต่อ X และ Z ได้เพราะว่า พวกเขานอนอยู่ในระนาบเดียวกัน

เรามาสร้างจุดเพิ่มเติมที่จะอยู่บนใบหน้าเดียวกันกับจุด Z เพื่อทำสิ่งนี้ เราจะขยายเส้น XY และ CC 1 เพราะ พวกเขานอนอยู่ในระนาบของใบหน้า AA 1 C 1 C เรียกจุดผลลัพธ์ P

จุด P และ Z อยู่ในระนาบเดียวกัน - ในระนาบของใบหน้า CC 1 B 1 B ดังนั้นเราจึงสามารถเชื่อมต่อพวกมันได้ เส้นตรง PZ ตัดกับขอบ CB ณ จุดหนึ่ง เรียกมันว่า T จุด Y และ T อยู่ในระนาบล่างของปริซึม แล้วเชื่อมต่อเข้าด้วยกัน ดังนั้น รูปสี่เหลี่ยม YXZT จึงถูกสร้างขึ้น และนี่คือส่วนที่ต้องการ

สรุป. หากต้องการสร้างส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมด้วยระนาบ คุณต้อง:

1) ลากเส้นตรงผ่านจุดคู่ที่อยู่ในระนาบเดียวกัน

2) ค้นหาเส้นที่ระนาบส่วนและใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมตัดกัน ในการทำเช่นนี้คุณจะต้องค้นหาจุดตัดของเส้นตรงที่เป็นของระนาบส่วนโดยมีเส้นตรงวางอยู่ในใบหน้าด้านใดด้านหนึ่ง

กระบวนการสร้างส่วนต่างๆ ของรูปทรงหลายเหลี่ยมมีความซับซ้อนเพราะในแต่ละส่วน กรณีเฉพาะมันแตกต่างออกไป และไม่มีทฤษฎีใดอธิบายได้ตั้งแต่ต้นจนจบ มีเพียงหนึ่งเดียวจริงๆ ทางที่ถูกการเรียนรู้ที่จะสร้างส่วนต่าง ๆ ของรูปทรงหลายเหลี่ยมอย่างรวดเร็วและแม่นยำนั้นเป็นการฝึกฝนอย่างต่อเนื่อง ยิ่งคุณสร้างส่วนต่างๆ มากเท่าไร คุณก็จะยิ่งทำสิ่งนี้ได้ง่ายขึ้นในอนาคต

เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา