ตัวอย่างในระดับหัวข้อที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ กำลังตัวเลข: คำจำกัดความ สัญกรณ์ ตัวอย่าง
ปริญญาค ตัวบ่งชี้ที่มีเหตุผล
Khasyanova T.G.
ครูคณิตศาสตร์
สื่อที่นำเสนอจะเป็นประโยชน์กับครูคณิตศาสตร์เมื่อศึกษาหัวข้อ “เลขยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังตรรกยะ”
วัตถุประสงค์ของเนื้อหาที่นำเสนอ: เพื่อเปิดเผยประสบการณ์ของฉันในการเรียนบทเรียนในหัวข้อ “เลขยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ” โปรแกรมการทำงานระเบียบวินัย "คณิตศาสตร์"
วิธีการดำเนินการบทเรียนสอดคล้องกับประเภทของบทเรียน - บทเรียนในการศึกษาและรวบรวมความรู้ใหม่เบื้องต้น ความรู้และทักษะพื้นฐานได้รับการปรับปรุงตามประสบการณ์ที่ได้รับก่อนหน้านี้ การท่องจำเบื้องต้น การรวมและการประยุกต์ใช้ข้อมูลใหม่ การรวมและการประยุกต์ใช้วัสดุใหม่เกิดขึ้นในรูปแบบของการแก้ปัญหาที่ฉันทดสอบความซับซ้อนที่แตกต่างกัน ผลลัพธ์ที่เป็นบวกการเรียนรู้หัวข้อ
ในตอนต้นของบทเรียน ฉันตั้งเป้าหมายให้กับนักเรียนดังนี้: การศึกษา พัฒนาการ การศึกษา ระหว่างเรียนฉันใช้ วิธีต่างๆกิจกรรม: หน้าผาก, รายบุคคล, คู่, อิสระ, การทดสอบ งานมีความแตกต่างกันและทำให้สามารถระบุระดับการได้มาซึ่งความรู้ในแต่ละขั้นตอนของบทเรียนได้ ปริมาณและความซับซ้อนของงานสอดคล้องกับลักษณะอายุของนักเรียน จากประสบการณ์ของฉัน การบ้านซึ่งคล้ายกับปัญหาที่แก้ไขในห้องเรียนทำให้คุณสามารถรวบรวมความรู้และทักษะที่ได้รับได้อย่างน่าเชื่อถือ ในตอนท้ายของบทเรียน มีการไตร่ตรองและประเมินงานของนักเรียนเป็นรายบุคคล
บรรลุเป้าหมายแล้ว นักเรียนศึกษาแนวคิดและคุณสมบัติของปริญญาด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ เรียนรู้ที่จะใช้คุณสมบัติเหล่านี้เมื่อแก้โจทย์ ปัญหาในทางปฏิบัติ. ด้านหลัง งานอิสระคะแนนจะประกาศในบทเรียนถัดไป
ฉันเชื่อว่าวิธีการที่ฉันใช้สอนคณิตศาสตร์สามารถนำไปใช้โดยครูคณิตศาสตร์ได้
หัวข้อบทเรียน: กำลังด้วยเลขชี้กำลังตรรกยะ
วัตถุประสงค์ของบทเรียน:
ระบุระดับความเชี่ยวชาญของนักเรียนในด้านความรู้และทักษะที่ซับซ้อน และการใช้วิธีแก้ปัญหาบางอย่างเพื่อปรับปรุงกระบวนการศึกษาบนพื้นฐานของมัน
วัตถุประสงค์ของบทเรียน:
เกี่ยวกับการศึกษา:เพื่อสร้างความรู้ใหม่ในหมู่นักเรียนเกี่ยวกับแนวคิดพื้นฐานกฎเกณฑ์กฎหมายในการกำหนดระดับด้วยตัวบ่งชี้ที่มีเหตุผลความสามารถในการประยุกต์ความรู้อย่างอิสระในเงื่อนไขมาตรฐานในเงื่อนไขที่ได้รับการแก้ไขและไม่ได้มาตรฐาน
การพัฒนา:คิดอย่างมีเหตุผลและนำไปปฏิบัติ ทักษะความคิดสร้างสรรค์;
การเลี้ยง:พัฒนาความสนใจในวิชาคณิตศาสตร์ เติมคำศัพท์ด้วยคำศัพท์ใหม่ ได้รับ ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับโลกรอบตัวเรา ปลูกฝังความอดทน ความอุตสาหะ และความสามารถในการเอาชนะความยากลำบาก
เวลาจัดงาน
การอัพเดตความรู้อ้างอิง
เมื่อคูณเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน เลขชี้กำลังจะถูกบวกเข้าไป แต่ฐานยังคงเหมือนเดิม:
ตัวอย่างเช่น, 
2. เมื่อหารองศาด้วยฐานเดียวกัน ค่ายกกำลังขององศาจะถูกลบออก แต่ฐานยังคงเหมือนเดิม:
ตัวอย่างเช่น, 
3. เมื่อเพิ่มดีกรีเป็นกำลัง เลขชี้กำลังจะถูกคูณ แต่ฐานยังคงเท่าเดิม:
ตัวอย่างเช่น,
4. ระดับของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลคูณของระดับของปัจจัย:
ตัวอย่างเช่น, 
5. ระดับของผลหารเท่ากับผลหารของระดับของเงินปันผลและตัวหาร:
ตัวอย่างเช่น, 
แบบฝึกหัดพร้อมวิธีแก้ปัญหา
ค้นหาความหมายของสำนวน: 
สารละลาย:
ในกรณีนี้ ไม่สามารถใช้คุณสมบัติของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติได้อย่างชัดเจน เนื่องจากทุกดีกรีมี เหตุผลที่แตกต่างกัน. ลองเขียนยกกำลังในรูปแบบอื่น:
(ระดับของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลคูณของระดับของปัจจัย)
(เมื่อคูณเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน จะบวกเลขยกกำลัง แต่ฐานคงเดิม เมื่อเพิ่มระดับเป็นเลขยกกำลัง ก็คูณเลขยกกำลัง แต่ฐานคงเดิม)
จากนั้นเราจะได้รับ:
ใน ในตัวอย่างนี้มีการใช้คุณสมบัติสี่ประการแรกของระดับที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ
รากที่สองทางคณิตศาสตร์
เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบซึ่งมีกำลังสองเท่ากับก,
. ที่ 
- การแสดงออก ไม่ได้กำหนดไว้เพราะว่า ไม่มีจำนวนจริงที่มีกำลังสองเท่ากับจำนวนลบก.
การเขียนตามคำบอกทางคณิตศาสตร์(8-10 นาที)
ตัวเลือก
ครั้งที่สอง ตัวเลือก
1. ค้นหาค่าของนิพจน์
ก) 
ข) 
1. ค้นหาค่าของนิพจน์
ก) 
ข) 
2.คำนวณ
ก) 
ข) 
ใน) 
2.คำนวณ
ก) 
ข) 
วี) 
การทดสอบตัวเอง(บนกระดานปก):
เมทริกซ์การตอบสนอง:
№ ตัวเลือก/งาน
ปัญหาที่ 1
ปัญหาที่ 2
ตัวเลือกที่ 1
ก) 2
ข) 2
ก) 0.5
ข) 
วี) 
ตัวเลือกที่ 2
ก) 1.5
ข)
ก) 
ข) 
เวลา 4
II. การก่อตัวของความรู้ใหม่
ลองพิจารณาว่าสำนวนนี้มีความหมายว่าที่ไหน 
- จำนวนบวก – จำนวนเศษส่วนและ m-จำนวนเต็ม n-ธรรมชาติ (n›1)
คำจำกัดความ: กำลังของ a›0 พร้อมเลขชี้กำลังตรรกยะร = , ม-ทั้งหมด, n-เป็นธรรมชาติ ( n›1) หมายเลขที่ถูกเรียก.
ดังนั้น: 
ตัวอย่างเช่น: 
หมายเหตุ:
1. สำหรับค่าบวก a และจำนวนตรรกยะ r ใดๆ 
ในเชิงบวก
2. เมื่อไหร่ กำลังตรรกยะของจำนวนกไม่ได้กำหนด
สำนวนที่ชอบ 
ไม่สมเหตุสมผลเลย
3.ถ้า 
จำนวนบวกเศษส่วนคือ 
.
ถ้า เศษส่วน จำนวนลบแล้ว 
-ไม่สมเหตุสมผล
ตัวอย่างเช่น: 
- ไม่สมเหตุสมผล
ลองพิจารณาคุณสมบัติของระดับด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ
ให้ >0, b>0; r, s - จำนวนตรรกยะใด ๆ ดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเชิงตรรกยะใดๆ จะมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:
1.
2.
3.
4.
5.
สาม. การรวมบัญชี การก่อตัวของทักษะและความสามารถใหม่
การ์ดงานทำงานเป็นกลุ่มเล็กๆ ในรูปแบบของการทดสอบ
หลังจากกำหนดกำลังของตัวเลขแล้ว ก็มีเหตุผลที่จะพูดถึง คุณสมบัติระดับ. ในบทความนี้ เราจะกล่าวถึงคุณสมบัติพื้นฐานของกำลังของตัวเลข พร้อมทั้งกล่าวถึงเลขชี้กำลังที่เป็นไปได้ทั้งหมด ที่นี่เราจะแสดงหลักฐานคุณสมบัติทั้งหมดขององศา และยังแสดงให้เห็นว่าคุณสมบัติเหล่านี้ถูกนำมาใช้อย่างไรในการแก้ตัวอย่าง
การนำทางหน้า
คุณสมบัติขององศาที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ
ตามคำนิยามของกำลังที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ กำลัง a n คือผลคูณของตัวประกอบ n ซึ่งแต่ละตัวจะเท่ากับ a ตามคำจำกัดความนี้และยังใช้ คุณสมบัติของการคูณจำนวนจริงเราสามารถรับและพิสูจน์สิ่งต่อไปนี้ได้ คุณสมบัติของระดับด้วยเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ:
- คุณสมบัติหลักของระดับ a m ·a n =a m+n ลักษณะทั่วไปของมัน
- คุณสมบัติของกำลังหารที่มีฐานเท่ากัน a m:a n =a m−n ;
- คุณสมบัติกำลังของผลิตภัณฑ์ (a·b) n =a n ·b n ส่วนขยาย;
- คุณสมบัติของผลหารในระดับธรรมชาติ (a:b) n =a n:b n ;
- เพิ่มระดับเป็นกำลัง (a m) n =a m·n ลักษณะทั่วไปของมัน (((ไม่มี 1) ไม่มี 2) …) n k =มี 1 ·n 2 ·…·n k;
- การเปรียบเทียบระดับกับศูนย์:
- ถ้า a>0 แล้ว n>0 สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n;
- ถ้า a=0 ดังนั้น a n =0;
- ถ้าก<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 ถ้า<0 и показатель степени есть เลขคี่ 2 m−1 จากนั้น 2 m−1<0 ;
- ถ้า a และ b เป็นจำนวนบวก และ a
- ถ้า m และ n เป็นจำนวนธรรมชาติเช่น m>n แล้วจะเป็น 0
- ถ้า m และ n เป็นจำนวนธรรมชาติเช่น m>n แล้วจะเป็น 0
ให้เราทราบทันทีว่าความเท่าเทียมกันที่เป็นลายลักษณ์อักษรทั้งหมดนั้น เหมือนกันภายใต้เงื่อนไขที่กำหนด สามารถเปลี่ยนทั้งชิ้นส่วนด้านขวาและด้านซ้ายได้ ตัวอย่างเช่น คุณสมบัติหลักของเศษส่วน a m ·a n =a m+n ด้วย ลดความซับซ้อนของการแสดงออกมักใช้ในรูปแบบ a m+n =a m ·a n
ทีนี้มาดูรายละเอียดแต่ละรายการกัน
เริ่มจากคุณสมบัติของผลคูณของกำลังสองที่มีฐานเดียวกันซึ่งเรียกว่า ทรัพย์สินหลักของปริญญา: สำหรับจำนวนจริง a และจำนวนธรรมชาติใดๆ m และ n ความเท่าเทียมกัน a m ·a n =a m+n เป็นจริง
ให้เราพิสูจน์คุณสมบัติหลักของดีกรี จากคำนิยามของกำลังที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ ผลคูณของกำลังที่มีฐานเดียวกันในรูปแบบ a m ·a n สามารถเขียนเป็นผลคูณได้ เนื่องจากคุณสมบัติของการคูณจึงสามารถเขียนนิพจน์ผลลัพธ์ได้เป็น 
และผลคูณนี้คือกำลังของจำนวน a โดยมีเลขชี้กำลังธรรมชาติ m+n นั่นคือ m+n เป็นการเสร็จสิ้นการพิสูจน์
ให้เรายกตัวอย่างเพื่อยืนยันคุณสมบัติหลักของปริญญา ลองหาองศาที่มีฐาน 2 และกำลังธรรมชาติ 2 และ 3 เท่ากัน โดยใช้คุณสมบัติพื้นฐานขององศา เราสามารถเขียนความเท่าเทียมกันได้ 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 มาตรวจสอบความถูกต้องโดยการคำนวณค่าของนิพจน์ 2 2 · 2 3 และ 2 5 . เรามีการยกกำลัง 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32และ 2 5 =2·2·2·2·2=32 เนื่องจากได้รับค่าเท่ากัน ความเท่าเทียมกัน 2 2 ·2 3 =2 5 ถูกต้อง และยืนยันคุณสมบัติหลักของดีกรี
สมบัติพื้นฐานของดีกรีซึ่งขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของการคูณ สามารถนำมาสรุปเป็นผลคูณของกำลังสามตัวขึ้นไปที่มีฐานและเลขชี้กำลังธรรมชาติเท่ากัน ดังนั้นสำหรับจำนวน k ใดๆ ของจำนวนธรรมชาติ n 1, n 2, …, n k ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้จะเป็นจริง: ไม่มี 1 ·ไม่มี 2 ·…·ไม่มี k =ไม่มี 1 +n 2 +…+n k.
ตัวอย่างเช่น, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .
เราสามารถไปยังคุณสมบัติต่อไปของกำลังด้วยเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ – คุณสมบัติของกำลังหารที่มีฐานเดียวกัน: สำหรับจำนวนจริงที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ a และจำนวนธรรมชาติใดๆ m และ n ที่ตรงตามเงื่อนไข m>n ความเท่าเทียมกัน a m:a n =a m−n เป็นจริง
ก่อนที่จะนำเสนอหลักฐานของคุณสมบัตินี้ ให้เราหารือเกี่ยวกับความหมายของเงื่อนไขเพิ่มเติมในสูตร เงื่อนไข a≠0 เป็นสิ่งจำเป็นเพื่อหลีกเลี่ยงการหารด้วยศูนย์ เนื่องจาก 0 n =0 และเมื่อเราคุ้นเคยกับการหาร เราก็ตกลงกันว่าเราไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้ มีการแนะนำเงื่อนไข m>n เพื่อที่เราจะได้ไม่ไปไกลกว่าเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ อันที่จริง สำหรับ m>n เลขยกกำลัง m−n จะเป็นจำนวนธรรมชาติ ไม่เช่นนั้นมันจะเป็นศูนย์ (ซึ่งเกิดขึ้นสำหรับ m−n ) หรือจำนวนลบ (ซึ่งเกิดขึ้นสำหรับ m การพิสูจน์. คุณสมบัติหลักของเศษส่วนช่วยให้เราเขียนความเท่าเทียมกันได้ a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. จากผลลัพธ์ความเท่าเทียมกัน a m−n ·a n =a m และตามมาว่า m−n คือผลหารของกำลัง a m และ a n สิ่งนี้พิสูจน์คุณสมบัติของกำลังหารที่มีฐานเหมือนกัน ลองยกตัวอย่าง ลองหาสององศาด้วยฐานเดียวกัน π และเลขชี้กำลังธรรมชาติ 5 และ 2 ความเท่าเทียมกัน π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 สอดคล้องกับคุณสมบัติของระดับที่พิจารณา ทีนี้ลองมาพิจารณากัน คุณสมบัติพลังงานของผลิตภัณฑ์: กำลังธรรมชาติ n ผลคูณของจำนวนจริงสองตัว a และ b เท่ากับผลคูณของกำลัง a n และ b n นั่นคือ (a·b) n =a n ·b n แท้จริงแล้ว ตามนิยามของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติที่เรามี นี่คือตัวอย่าง: คุณสมบัตินี้ขยายไปถึงพลังของผลิตภัณฑ์ของปัจจัยตั้งแต่สามตัวขึ้นไป นั่นคือคุณสมบัติของระดับธรรมชาติ n ของผลิตภัณฑ์ของปัจจัย k เขียนเป็น (ก 1 ·a 2 ·…·ak) n =a 1 n ·a 2 n ·…·ak n. เพื่อความชัดเจน เราจะแสดงคุณสมบัตินี้พร้อมตัวอย่าง สำหรับผลคูณของตัวประกอบ 3 ตัวยกกำลัง 7 เราได้ ทรัพย์สินดังต่อไปนี้คือ คุณสมบัติของผลหารชนิด: ผลหารของจำนวนจริง a และ b, b≠0 เทียบกับกำลังธรรมชาติ n เท่ากับผลหารของกำลัง a n และ b n นั่นคือ (a:b) n =a n:b n การพิสูจน์สามารถดำเนินการได้โดยใช้คุณสมบัติก่อนหน้า ดังนั้น (ก:ข) n ข n =((a:b) ข) n =a nและจากความเท่าเทียมกัน (a:b) n ·b n =a n ตามมาว่า (a:b) n คือผลหารของ a n หารด้วย b n ลองเขียนคุณสมบัตินี้โดยใช้ตัวเลขเฉพาะเป็นตัวอย่าง: ตอนนี้ขอเสียงมัน คุณสมบัติของการเพิ่มพลังให้เป็นพลัง: สำหรับจำนวนจริง a และจำนวนธรรมชาติใดๆ m และ n กำลังของ m ยกกำลัง n เท่ากับกำลังของจำนวน a ที่มีเลขยกกำลัง m·n นั่นคือ (a m) n =a m·n เช่น (5 2) 3 =5 2·3 =5 6 การพิสูจน์คุณสมบัติกำลังต่อระดับคือสายโซ่แห่งความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: ทรัพย์สินที่พิจารณาสามารถขยายออกไปได้ระดับหนึ่งไปอีกระดับหนึ่ง ฯลฯ ตัวอย่างเช่น สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ p, q, r และ s ความเท่าเทียมกัน ยังคงต้องอาศัยคุณสมบัติของการเปรียบเทียบองศากับเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ เริ่มต้นด้วยการพิสูจน์คุณสมบัติของการเปรียบเทียบศูนย์และกำลังกับเลขชี้กำลังธรรมชาติ ก่อนอื่น ลองพิสูจน์ว่า a n >0 สำหรับ a>0 ใดๆ ผลคูณของจำนวนบวกสองตัวคือจำนวนบวก ตามนิยามของการคูณได้ดังนี้ ข้อเท็จจริงนี้และคุณสมบัติของการคูณบ่งบอกว่าผลลัพธ์ของการคูณจำนวนบวกใดๆ จะเป็นจำนวนบวกด้วย และกำลังของจำนวน a ที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ n ตามนิยามแล้ว คือผลคูณของตัวประกอบ n ซึ่งแต่ละตัวจะเท่ากับ a อาร์กิวเมนต์เหล่านี้ทำให้เรายืนยันได้ว่าสำหรับฐานบวก a ใดๆ ระดับ a n จะเป็นจำนวนบวก เนื่องจากคุณสมบัติที่พิสูจน์แล้ว 3 5 >0, (0.00201) 2 >0 และ เห็นได้ชัดว่าสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n ที่มี a=0 ระดับของ n จะเป็นศูนย์ แท้จริงแล้ว 0 n =0·0·…·0=0 ตัวอย่างเช่น 0 3 =0 และ 0 762 =0 มาดูฐานลบของดีกรีกัน เริ่มต้นด้วยกรณีที่เลขยกกำลังเป็นเลขคู่ ลองเขียนเป็น 2·m โดยที่ m เป็นจำนวนธรรมชาติ แล้ว สุดท้าย เมื่อฐาน a เป็นจำนวนลบและเลขชี้กำลังเป็นเลขคี่ 2 m−1 มาดูคุณสมบัติของการเปรียบเทียบกำลังกับเลขชี้กำลังตามธรรมชาติที่เหมือนกัน ซึ่งมีสูตรดังนี้: ของกำลังสองที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติเหมือนกัน n จะน้อยกว่าค่าที่มีฐานน้อยกว่า และค่าที่มากกว่าคือค่าที่มีฐานใหญ่กว่า . มาพิสูจน์กัน ความไม่เท่าเทียมกัน คุณสมบัติของความไม่เท่าเทียมกันอสมการที่พิสูจน์ได้ของรูปแบบ a n ก็เป็นจริงเช่นกัน (2.2) 7 และ ยังคงต้องพิสูจน์คุณสมบัติสุดท้ายของรายการพลังด้วยเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ มากำหนดกัน ของกำลังสองที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติและฐานบวกเหมือนกันน้อยกว่าหนึ่ง โดยที่เลขชี้กำลังน้อยกว่าจะใหญ่กว่า และกำลังสองที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติและมีฐานเท่ากันมากกว่าหนึ่ง โดยที่เลขชี้กำลังมากกว่าจะใหญ่กว่า ให้เราดำเนินการพิสูจน์ทรัพย์สินนี้ต่อไป ให้เราพิสูจน์ว่าสำหรับ m>n และ 0 ยังคงต้องพิสูจน์ส่วนที่สองของทรัพย์สิน ขอให้เราพิสูจน์ว่าสำหรับ m>n และ a>1 a m >a n เป็นจริง ความแตกต่าง a m −a n หลังจากนำ n ออกจากวงเล็บจะมีรูปแบบ a n ·(a m−n −1) ผลคูณนี้เป็นค่าบวก เนื่องจากสำหรับ a>1 องศา a n เป็นจำนวนบวก และผลต่าง m−n −1 เป็นจำนวนบวก เนื่องจาก m−n>0 เนื่องจากสภาวะเริ่มต้น และสำหรับ a>1 องศา m−n มากกว่าหนึ่ง ดังนั้น a m −a n >0 และ a m >a n ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์ คุณสมบัตินี้แสดงด้วยความไม่เท่าเทียมกัน 3 7 >3 2
. ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของการคูณ ผลคูณสุดท้ายสามารถเขียนใหม่ได้เป็น 
ซึ่งเท่ากับ a n · bn
.
.
.
. เพื่อความชัดเจนยิ่งขึ้น นี่คือตัวอย่างที่มีตัวเลขเฉพาะ: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10
.
.
. สำหรับแต่ละผลคูณของรูปแบบ a·a เท่ากับผลคูณของโมดูลัสของตัวเลข a และ a ซึ่งหมายความว่ามันเป็นจำนวนบวก ดังนั้นสินค้าก็จะเป็นบวกเช่นกัน 
และองศา 2·ม. ลองยกตัวอย่าง: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 และ
. ผลคูณทั้งหมด a·a เป็นจำนวนบวก ผลคูณของจำนวนบวกเหล่านี้ก็เป็นค่าบวกเช่นกัน และการคูณด้วยจำนวนลบที่เหลือจะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนลบ เนื่องจากคุณสมบัตินี้ (−5) 3<0
, (−0,003) 17 <0
и 
.
.
คุณสมบัติของกำลังที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม
เนื่องจากจำนวนเต็มบวกเป็นจำนวนธรรมชาติ ดังนั้น คุณสมบัติของกำลังที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็มบวกจึงตรงกันทุกประการกับคุณสมบัติของกำลังที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติอยู่ในรายการและพิสูจน์แล้วในย่อหน้าก่อนหน้า
เรากำหนดดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบจำนวนเต็ม เช่นเดียวกับดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์ ในลักษณะที่คุณสมบัติทั้งหมดขององศาที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติซึ่งแสดงด้วยความเท่ากัน ยังคงใช้ได้ ดังนั้น คุณสมบัติทั้งหมดนี้ใช้ได้กับทั้งเลขชี้กำลังที่เป็นศูนย์และเลขชี้กำลังที่เป็นลบ ในขณะที่ฐานของกำลังนั้นแตกต่างจากศูนย์แน่นอน
ดังนั้น สำหรับจำนวนจริงและจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ a และ b รวมถึงจำนวนเต็มใดๆ m และ n สิ่งต่อไปนี้จะเป็นจริง: คุณสมบัติของกำลังที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม:
- มี ม ·มี n =มี ม+n ;
- a m:a n =a m−n ;
- (ก·ข) n =a n ·b n ;
- (ก:ข) n =ก n:b n ;
- (ม.) n =ม.n ;
- ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวก a และ b เป็นจำนวนบวก และ a ข−n ;
- ถ้า m และ n เป็นจำนวนเต็ม และ m>n แล้วจะเป็น 0
เมื่อ a=0 ยกกำลัง a m และ a n จะสมเหตุสมผลก็ต่อเมื่อทั้ง m และ n เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่งก็คือจำนวนธรรมชาติ ดังนั้น คุณสมบัติที่เพิ่งเขียนยังใช้ได้กับกรณีที่ a=0 และตัวเลข m และ n เป็นจำนวนเต็มบวก
การพิสูจน์คุณสมบัติแต่ละอย่างไม่ใช่เรื่องยาก ในการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะใช้คำจำกัดความขององศากับเลขชี้กำลังธรรมชาติและจำนวนเต็มตลอดจนคุณสมบัติของการดำเนินการด้วยจำนวนจริง ตามตัวอย่าง ขอให้เราพิสูจน์ว่าคุณสมบัติยกกำลังมีทั้งจำนวนเต็มบวกและจำนวนเต็มที่ไม่ใช่บวก ในการทำเช่นนี้ คุณต้องแสดงว่าถ้า p เป็นศูนย์หรือเป็นจำนวนธรรมชาติ และ q เป็นศูนย์หรือเป็นจำนวนธรรมชาติ แล้วความเท่าเทียมกัน (ap) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (ap ) −q =a p·(−q) และ (a −p) −q =a (−p)·(−q). มาทำกัน.
สำหรับค่าบวกของ p และ q ความเท่าเทียมกัน (ap) q =a p·q ได้รับการพิสูจน์แล้วในย่อหน้าก่อนหน้า ถ้า p=0 เราจะได้ (a 0) q =1 q =1 และ 0·q =a 0 =1 ดังนั้น (a 0) q =a 0·q ในทำนองเดียวกัน ถ้า q=0 แล้ว (ap) 0 =1 และ a p·0 =a 0 =1 ดังนั้น (ap) 0 =a p·0 ถ้าทั้ง p=0 และ q=0 ดังนั้น (a 0) 0 =1 0 =1 และ 0·0 =a 0 =1 ดังนั้น (a 0) 0 =a 0·0
ตอนนี้เราพิสูจน์แล้วว่า (a −p) q =a (−p)·q โดยนิยามยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังจำนวนเต็มลบแล้ว 
. โดยคุณสมบัติของผลหารต่อกำลังที่เรามี 
. ตั้งแต่ 1 p =1·1·…·1=1 และ จากนั้น . ตามนิยามแล้ว นิพจน์สุดท้ายคือกำลังที่อยู่ในรูป a −(p·q) ซึ่งสามารถเขียนได้เป็น (−p)·q เนื่องจากกฎการคูณ
เช่นเดียวกัน 
.
และ 
.
เมื่อใช้หลักการเดียวกัน คุณสามารถพิสูจน์คุณสมบัติอื่นๆ ทั้งหมดของดีกรีด้วยเลขชี้กำลังจำนวนเต็มซึ่งเขียนในรูปของความเท่ากันได้
ในช่วงสุดท้ายของคุณสมบัติที่บันทึกไว้ ควรพิจารณาการพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกัน a −n >b −n ซึ่งใช้ได้กับจำนวนเต็มลบใดๆ −n และค่าบวก a และ b ใดๆ ที่เป็นไปตามเงื่อนไข a . เนื่องจากตามเงื่อนไข ก 0 . ผลคูณ a n · bn ยังเป็นผลบวกเป็นผลคูณของจำนวนบวก a n และ bn จากนั้นเศษส่วนที่ได้จะเป็นค่าบวกเป็นผลหารของจำนวนบวก b n −a n และ a n ·b n ดังนั้น a −n >b −n จึงเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์
คุณสมบัติสุดท้ายของกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มได้รับการพิสูจน์ในลักษณะเดียวกับคุณสมบัติของกำลังที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติที่คล้ายคลึงกัน
คุณสมบัติของกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ
เรากำหนดดีกรีด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วนโดยการขยายคุณสมบัติของดีกรีด้วยเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม กล่าวอีกนัยหนึ่ง กำลังที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วนจะมีคุณสมบัติเหมือนกับกำลังที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม กล่าวคือ:
การพิสูจน์คุณสมบัติขององศาที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วนนั้นขึ้นอยู่กับคำจำกัดความขององศาที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน และคุณสมบัติขององศาที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม ให้เราแสดงหลักฐาน
โดยนิยามกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน และ แล้ว 
. คุณสมบัติของรากเลขคณิตช่วยให้เราสามารถเขียนความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้ นอกจากนี้ เมื่อใช้คุณสมบัติของดีกรีกับเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม เราได้รับ ซึ่งจากคำจำกัดความของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน เราได้ 
และตัวบ่งชี้ระดับที่ได้รับสามารถแปลงได้ดังนี้: เป็นการเสร็จสิ้นการพิสูจน์
คุณสมบัติที่สองของกำลังที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนได้รับการพิสูจน์ในลักษณะที่คล้ายกันอย่างยิ่ง: 
ความเท่าเทียมกันที่เหลือได้รับการพิสูจน์โดยใช้หลักการที่คล้ายกัน: 
เรามาพิสูจน์คุณสมบัติต่อไปกันดีกว่า ลองพิสูจน์ว่าสำหรับค่าบวก a และ b, a ใดๆ บีพี ลองเขียนจำนวนตรรกยะ p เป็น m/n โดยที่ m เป็นจำนวนเต็ม และ n เป็นจำนวนธรรมชาติ เงื่อนไขหน้า<0 и p>0 ในกรณีนี้คือเงื่อนไข m<0 и m>0 ตามนั้น สำหรับ m>0 และ a ตัวบ่งชี้ที่เป็นบวกความไม่เท่าเทียมกัน a m จะต้องเป็นที่พึงพอใจ
ในทำนองเดียวกันสำหรับม<0 имеем a m >b m จากที่ไหน นั่นคือ และ a p >b p
ยังคงต้องพิสูจน์คุณสมบัติสุดท้ายที่ระบุไว้ ขอให้เราพิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนตรรกยะ p และ q, p>q ที่ 0 
และ 
. และคำจำกัดความของระดับด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะช่วยให้เราสามารถก้าวไปสู่ความไม่เท่าเทียมกันได้และตามลำดับ จากที่นี่เราได้ข้อสรุปสุดท้าย: สำหรับ p>q และ 0
คุณสมบัติของกำลังที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว
จากวิธีการกำหนดดีกรีที่มีเลขชี้กำลังแบบไม่ลงตัว เราสามารถสรุปได้ว่าปริญญามีคุณสมบัติทั้งหมดขององศาที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ ดังนั้นสำหรับ a>0, b>0 และจำนวนอตรรกยะใดๆ p และ q สิ่งต่อไปนี้จะเป็นจริง คุณสมบัติของกำลังที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว:
- a p ·a q = a p+q ;
- a p:a q = a p−q ;
- (ก·ข) พี =เอ พี ·บี พี ;
- (ก:ข) พี =เอ พี:บี พี ;
- (ap) q = a p·q ;
- สำหรับจำนวนบวกใดๆ a และ b, a 0 ความไม่เท่าเทียมกัน a p บีพี ;
- สำหรับจำนวนอตรรกยะ p และ q, p>q ที่ 0
จากนี้เราสามารถสรุปได้ว่ากำลังที่มีเลขชี้กำลังจริง p และ q สำหรับ a>0 มีคุณสมบัติเหมือนกัน
บรรณานุกรม.
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburgd S.I. หนังสือเรียนคณิตศาสตร์ ป.5 สถาบันการศึกษา.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. พีชคณิต: หนังสือเรียนสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 สถาบันการศึกษา.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. พีชคณิต: หนังสือเรียนสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 สถาบันการศึกษา.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. พีชคณิต: หนังสือเรียนสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 สถาบันการศึกษา.
- โคลโมโกรอฟ เอ.เอ็น., อับรามอฟ เอ.เอ็ม., ดุดนิตซิน ยู.พี. และอื่น ๆ พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียนสำหรับเกรด 10 - 11 ของสถาบันการศึกษาทั่วไป
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้เข้าโรงเรียนเทคนิค)
บทเรียนวิดีโอ "เลขยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังเชิงตรรกยะ" มีภาพ สื่อการศึกษาเพื่อสอนบทเรียนในหัวข้อนี้ บทเรียนวิดีโอประกอบด้วยข้อมูลเกี่ยวกับแนวคิดของปริญญาที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ คุณสมบัติขององศาดังกล่าว รวมถึงตัวอย่างที่อธิบายการใช้สื่อการศึกษาเพื่อแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติ วัตถุประสงค์ของบทเรียนวิดีโอนี้คือเพื่อนำเสนอสื่อการศึกษาอย่างชัดเจนและชัดเจน ช่วยให้นักเรียนพัฒนาและท่องจำ และพัฒนาความสามารถในการแก้ปัญหาโดยใช้แนวคิดที่เรียนรู้
ข้อได้เปรียบหลักของบทเรียนวิดีโอคือความสามารถในการแปลงและคำนวณด้วยสายตา ความสามารถในการใช้เอฟเฟกต์แอนิเมชั่นเพื่อปรับปรุงประสิทธิภาพการเรียนรู้ ดนตรีประกอบด้วยเสียงช่วยพัฒนาคำพูดทางคณิตศาสตร์ที่ถูกต้อง และยังทำให้สามารถแทนที่คำอธิบายของครูได้ ทำให้เขามีเวลาทำงานแต่ละงานได้
บทเรียนวิดีโอเริ่มต้นด้วยการแนะนำหัวข้อ เมื่อเชื่อมโยงการศึกษาหัวข้อใหม่กับเนื้อหาที่ศึกษาก่อนหน้านี้ โปรดจำไว้ว่า n √a จะแทนด้วย 1/n สำหรับธรรมชาติ n และบวก a การแสดง n-root นี้จะปรากฏบนหน้าจอ ต่อไป เราเสนอให้พิจารณาว่านิพจน์ a m/n หมายถึงอะไร โดยที่ a เป็นจำนวนบวก และ m/n เป็นเศษส่วน ให้นิยามของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังตรรกยะเป็น m/n = n √a m โดยเน้นไว้ในกรอบ มีข้อสังเกตว่า n สามารถเป็นจำนวนธรรมชาติ และ m เป็นจำนวนเต็มได้
หลังจากกำหนดระดับด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะแล้ว ความหมายของระดับนั้นจะถูกเปิดเผยผ่านตัวอย่าง: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3 ตัวอย่างยังแสดงด้วยการแปลงกำลังที่แสดงเป็นทศนิยม เศษส่วนสามัญจะแสดงเป็นราก: (1/7) 1.7 = (1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 และตัวอย่างที่มีเลขชี้กำลังลบ: 3 -1/8 = 8 √3 -1 .
ลักษณะเฉพาะของกรณีพิเศษเมื่อฐานของระดับเป็นศูนย์จะถูกระบุแยกกัน มีข้อสังเกตว่าระดับนี้สมเหตุสมผลกับเลขชี้กำลังเศษส่วนที่เป็นบวกเท่านั้น ในกรณีนี้ ค่าของมันคือศูนย์: 0 m/n =0
คุณลักษณะอีกประการหนึ่งของการศึกษาระดับปริญญาที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะนั้นระบุไว้ว่า ระดับที่มีเลขชี้กำลังแบบเศษส่วนนั้นไม่สามารถพิจารณาด้วยเลขชี้กำลังแบบเศษส่วนได้ ตัวอย่างการกำหนดองศาที่ไม่ถูกต้อง: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5
ต่อไปในบทเรียนวิดีโอ เราจะพูดถึงคุณสมบัติของปริญญาด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ มีข้อสังเกตว่าคุณสมบัติของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็มจะใช้ได้กับปริญญาที่มีเลขชี้กำลังตรรกยะด้วย เสนอให้เรียกคืนรายการคุณสมบัติที่ใช้ได้ในกรณีนี้:
- เมื่อคูณเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน เลขยกกำลังจะรวมกัน: a p a q =a p+q
- การหารองศาที่มีฐานเดียวกันจะลดลงเหลือระดับตามฐานที่กำหนดและผลต่างของเลขยกกำลัง: a p:a q =a p-q
- หากเราเพิ่มดีกรีเป็นกำลังที่แน่นอน เราก็จะได้ดีกรีที่มีฐานที่กำหนดและผลคูณของเลขชี้กำลัง: (ap) q =a pq
คุณสมบัติทั้งหมดนี้ใช้ได้กับกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ p, q และฐานบวก a>0 นอกจากนี้ การแปลงระดับเมื่อวงเล็บเปิดยังคงเป็นจริง:
- (ab) p =a p b p - การยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังตรรกยะ ผลคูณของตัวเลขสองตัวจะลดลงเป็นผลคูณของตัวเลข ซึ่งแต่ละตัวจะถูกยกกำลังตามที่กำหนด
- (a/b) p =a p /b p - การยกเศษส่วนให้เป็นกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะจะลดลงเหลือเศษส่วนที่ตัวเศษและส่วนถูกยกกำลังให้เป็นกำลังที่กำหนด
วิดีโอบทช่วยสอนจะกล่าวถึงตัวอย่างการแก้ปัญหาที่ใช้คุณสมบัติของกำลังที่พิจารณาแล้วพร้อมเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ ตัวอย่างแรกขอให้คุณค้นหาค่าของนิพจน์ที่มีตัวแปร x อยู่ในกำลังเศษส่วน: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1) แม้จะมีความซับซ้อนของการแสดงออก แต่การใช้คุณสมบัติของพลังก็สามารถแก้ไขได้ค่อนข้างง่าย การแก้ปัญหาเริ่มต้นด้วยการทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น ซึ่งใช้กฎการเพิ่มกำลังด้วยเลขชี้กำลังตรรกยะเป็นกำลัง รวมถึงการคูณกำลังด้วยฐานเดียวกัน หลังจากแทนที่ค่าที่กำหนด x=8 ลงในนิพจน์แบบง่าย x 1/3 +48 จะง่ายต่อการรับค่า - 50
ในตัวอย่างที่สอง คุณต้องลดเศษส่วนที่ตัวเศษและส่วนมีพลังพร้อมเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ เมื่อใช้คุณสมบัติของดีกรี เราจะแยกตัวประกอบ x 1/3 จากผลต่าง ซึ่งลดลงในตัวเศษและตัวส่วน และใช้สูตรสำหรับผลต่างของกำลังสอง ตัวเศษจะถูกแยกตัวประกอบ ซึ่งให้ค่าการลดลงที่เหมือนกันเพิ่มเติม ตัวประกอบในตัวเศษและส่วน. ผลลัพธ์ของการแปลงดังกล่าวคือเศษส่วนสั้น x 1/4 +3
วิดีโอบทเรียน "เลขชี้กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ" สามารถใช้แทนครูในการอธิบายหัวข้อบทเรียนใหม่ได้ คู่มือนี้ก็มีเนื้อหาเพียงพอเช่นกัน ข้อมูลครบถ้วนสำหรับ การศึกษาด้วยตนเองนักเรียน. สื่อนี้ยังมีประโยชน์สำหรับการเรียนทางไกลอีกด้วย
จากเลขชี้กำลังจำนวนเต็มของ a การเปลี่ยนไปใช้เลขชี้กำลังตรรกยะบ่งบอกตัวมันเอง ด้านล่างเราจะกำหนดระดับด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ และเราจะทำเช่นนี้ในลักษณะที่คุณสมบัติทั้งหมดของระดับที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็มยังคงอยู่ นี่เป็นสิ่งจำเป็นเนื่องจากจำนวนเต็มเป็นส่วนหนึ่งของจำนวนตรรกยะ
เป็นที่ทราบกันว่าชุดของจำนวนตรรกยะประกอบด้วยจำนวนเต็มและเศษส่วน และจำนวนเศษส่วนแต่ละจำนวนสามารถแสดงเป็นบวกหรือลบได้ เศษส่วนทั่วไป. เรากำหนดดีกรีด้วยเลขชี้กำลังจำนวนเต็มในย่อหน้าก่อนหน้า ดังนั้นเพื่อที่จะให้นิยามของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะสมบูรณ์ เราจำเป็นต้องให้ความหมายตามระดับของตัวเลข กด้วยตัวบ่งชี้เศษส่วน ม./น, ที่ไหน มเป็นจำนวนเต็ม และ n- เป็นธรรมชาติ. มาทำกัน.
ลองพิจารณาระดับด้วยเลขชี้กำลังเศษส่วนของแบบฟอร์ม เพื่อให้คุณสมบัติการแปลงพลังงานยังคงใช้ได้ ความเท่าเทียมกันจะต้องคงไว้ 
. หากเราคำนึงถึงความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นและวิธีที่เรากำหนดรากที่ n ของระดับนั้นก็มีเหตุผลที่จะยอมรับโดยมีเงื่อนไขว่าเมื่อได้รับ ม, nและ กการแสดงออกนั้นสมเหตุสมผล
เป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่าคุณสมบัติทั้งหมดของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มนั้นถูกต้อง (ซึ่งทำในคุณสมบัติส่วนของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ)
การให้เหตุผลข้างต้นช่วยให้เราสามารถทำสิ่งต่อไปนี้ได้ บทสรุป: ถ้าได้รับข้อมูล ม, nและ กการแสดงออกนั้นสมเหตุสมผล จากนั้นก็ยกกำลังของตัวเลข กด้วยตัวบ่งชี้เศษส่วน ม./นเรียกว่าราก nระดับของ กในระดับหนึ่ง ม.
ข้อความนี้ทำให้เราเข้าใกล้คำจำกัดความของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน สิ่งที่เหลืออยู่คือการอธิบายในสิ่งที่ ม, nและ กการแสดงออกนั้นสมเหตุสมผล ขึ้นอยู่กับข้อจำกัดที่บังคับใช้ ม, nและ กมีสองแนวทางหลัก
1. วิธีที่ง่ายที่สุดคือการกำหนดข้อจำกัด ก, ยอมรับแล้ว ≥0สำหรับการบวก มและ ก>0สำหรับเชิงลบ ม(ตั้งแต่เมื่อไหร่. ม≤0ระดับ 0 มไม่ได้กำหนด) จากนั้นเราจะได้คำจำกัดความของระดับที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนดังนี้
คำนิยาม.
กำลังของจำนวนบวก กด้วยตัวบ่งชี้เศษส่วน ม./น , ที่ไหน ม- ทั้งหมดและ n – จำนวนธรรมชาติเรียกว่าราก n-th ของจำนวน กในระดับหนึ่ง ม, นั่นคือ, .
กำหนดไว้ด้วย พลังเศษส่วนศูนย์โดยมีข้อแม้เพียงอย่างเดียวว่าตัวบ่งชี้จะต้องเป็นค่าบวก
คำนิยาม.
กำลังของศูนย์พร้อมเลขชี้กำลังบวกเศษส่วน ม./น
, ที่ไหน มเป็นจำนวนเต็มบวก และ n– จำนวนธรรมชาติ กำหนดให้เป็น 
.
เมื่อไม่ได้กำหนดดีกรี นั่นคือดีกรีของเลขศูนย์กับเศษส่วน ตัวบ่งชี้เชิงลบไม่สมเหตุสมผล
ควรสังเกตว่าด้วยคำจำกัดความของระดับที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน มีข้อแม้อยู่ประการหนึ่ง: สำหรับค่าลบบางค่า กและบางส่วน มและ nสำนวนนี้สมเหตุสมผล แต่เราละทิ้งกรณีเหล่านี้โดยการแนะนำเงื่อนไข ≥0. ตัวอย่างเช่น รายการมีความสมเหตุสมผล 
หรือ และคำจำกัดความที่ให้ไว้ข้างต้นบังคับให้เราบอกว่ากำลังที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนของรูปแบบ 
ไม่สมเหตุสมผล เนื่องจากฐานไม่ควรเป็นลบ
2. อีกวิธีหนึ่งในการกำหนดระดับด้วยเลขชี้กำลังเศษส่วน ม./นประกอบด้วยการแยกกันโดยพิจารณาเลขชี้กำลังเลขยกกำลังคู่และเลขคี่ของราก วิธีการนี้ต้องมีเงื่อนไขเพิ่มเติม: กำลังของตัวเลข กซึ่งเลขชี้กำลังซึ่งเป็นเศษส่วนสามัญที่ลดได้นั้นถือเป็นกำลังของจำนวนนั้น กตัวบ่งชี้ซึ่งเป็นเศษส่วนที่ลดไม่ได้ที่สอดคล้องกัน (จะอธิบายความสำคัญของเงื่อนไขนี้ด้านล่าง) นั่นคือถ้า ม./นเป็นเศษส่วนที่ลดไม่ได้ ดังนั้นสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ เคองศาจะถูกแทนที่ด้วย .
สำหรับแม้กระทั่ง nและเป็นบวก มสำนวนนี้สมเหตุสมผลสำหรับคำที่ไม่เป็นค่าลบ ก(แม้แต่รากของ จำนวนลบไม่สมเหตุสมผล) โดยมีแง่ลบ มตัวเลข กจะต้องยังคงแตกต่างจากศูนย์ (ไม่เช่นนั้นจะมีการหารด้วยศูนย์) และสำหรับคี่ nและเป็นบวก มตัวเลข กสามารถเป็นค่าใดก็ได้ (รากคี่ถูกกำหนดไว้สำหรับจำนวนจริงใดๆ) และสำหรับค่าลบ มตัวเลข กต้องไม่เป็นศูนย์ (จึงจะไม่มีการหารด้วยศูนย์)
การให้เหตุผลข้างต้นนำเราไปสู่คำจำกัดความของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน
คำนิยาม.
อนุญาต ม./น– เศษส่วนที่ลดไม่ได้ ม- ทั้งหมดและ n- จำนวนธรรมชาติ สำหรับเศษส่วนที่ลดลงใดๆ ระดับจะถูกแทนที่ด้วย ระดับการศึกษา กด้วยเลขชี้กำลังเศษส่วนที่ลดไม่ได้ ม./น- มันมีไว้สำหรับ
หรือจำนวนจริงใดๆ ก, เป็นบวกทั้งหมด มและเป็นธรรมชาติที่แปลกประหลาด n, ตัวอย่างเช่น, 
;
o จำนวนจริงใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ ก, จำนวนเต็มลบ มและคี่ n, ตัวอย่างเช่น, 
;
o จำนวนที่ไม่เป็นลบ ก, เป็นบวกทั้งหมด มและแม้กระทั่ง n, ตัวอย่างเช่น, 
;
หรือเป็นบวกใดๆ ก, จำนวนเต็มลบ มและแม้กระทั่ง n, ตัวอย่างเช่น, 
;
o ในกรณีอื่นๆ ไม่ได้กำหนดระดับที่มีตัวบ่งชี้เศษส่วน เช่น ไม่ได้กำหนดระดับ 
.a เราไม่แนบความหมายใดๆ เข้ากับรายการ เรากำหนดกำลังของเลขศูนย์สำหรับเลขชี้กำลังเศษส่วนที่เป็นบวก ม./นยังไง สำหรับเลขชี้กำลังเศษส่วนที่เป็นลบ จะไม่ได้กำหนดกำลังของเลขศูนย์
โดยสรุปของย่อหน้านี้ ขอให้เราให้ความสนใจกับความจริงที่ว่าเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วนสามารถเขียนเป็นเศษส่วนทศนิยมหรือ หมายเลขผสม, ตัวอย่างเช่น, 
. ในการคำนวณค่าของนิพจน์ประเภทนี้ คุณต้องเขียนเลขชี้กำลังในรูปของเศษส่วนสามัญ จากนั้นใช้คำจำกัดความของเลขชี้กำลังกับเลขชี้กำลังเศษส่วน สำหรับตัวอย่างข้างต้นที่เรามี 
และ 
เอ็มบู "ซิดอร์สกายา"
การพัฒนาแผนโครงร่าง เปิดบทเรียน
ในพีชคณิตชั้นประถมศึกษาปีที่ 11 ในหัวข้อ:
จัดทำและดำเนินการ
ครูคณิตศาสตร์
อิสคาโควา อี.เอฟ.
โครงร่างบทเรียนเปิดเรื่องพีชคณิตในชั้นประถมศึกษาปีที่ 11
เรื่อง : “ปริญญาที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ”
ประเภทบทเรียน : การเรียนรู้เนื้อหาใหม่
วัตถุประสงค์ของบทเรียน:
แนะนำนักเรียนให้รู้จักแนวคิดของปริญญาที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะและคุณสมบัติพื้นฐานของมัน โดยอิงจากเนื้อหาที่ศึกษาก่อนหน้านี้ (ปริญญาที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม)
พัฒนาทักษะการคำนวณและความสามารถในการแปลงและเปรียบเทียบตัวเลขกับเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ
เพื่อพัฒนาความรู้ทางคณิตศาสตร์และความสนใจทางคณิตศาสตร์ให้กับนักเรียน
อุปกรณ์ : บัตรงาน, การนำเสนอของนักเรียนตามปริญญาพร้อมตัวบ่งชี้จำนวนเต็ม, การนำเสนอของครูตามปริญญาพร้อมตัวบ่งชี้เหตุผล, แล็ปท็อป, เครื่องฉายมัลติมีเดีย, หน้าจอ
ระหว่างเรียน:
เวลาจัดงาน.
การตรวจสอบความเชี่ยวชาญของหัวข้อที่ครอบคลุมโดยใช้การ์ดงานแต่ละใบ
ภารกิจที่ 1
=2;
ข) =x+5;
แก้ระบบสมการไม่ลงตัว: - 3 = -10,
4 - 5 =6.
ภารกิจที่ 2
แก้สมการไม่ลงตัว: 
= - 3;
ข) = x - 2;
แก้ระบบสมการไม่ลงตัว: 2 + = 8,
3 - 2 = - 2.
สื่อสารหัวข้อและวัตถุประสงค์ของบทเรียน
หัวข้อบทเรียนของเราวันนี้คือ “ กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ».
คำอธิบายเนื้อหาใหม่โดยใช้ตัวอย่างเนื้อหาที่ศึกษาก่อนหน้านี้
คุณคุ้นเคยกับแนวคิดเรื่องปริญญาที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็มอยู่แล้ว ใครจะช่วยฉันจำพวกเขาได้บ้าง?
การทำซ้ำโดยใช้การนำเสนอ " ปริญญาที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม».
สำหรับตัวเลข a, b และจำนวนเต็ม m และ n ใดๆ ความเท่าเทียมกันนั้นใช้ได้:
เป็น ม * n = เป็น ม+n ;
น: a n =a m-n (a ≠ 0);
(ม) n = a mn ;
(ก) n =a n * bn ;
(a/b) n = n /b n (b ≠ 0) ;
ก 1 =ก ; ก 0 = 1(ก ≠ 0)
วันนี้เราจะสรุปแนวคิดเรื่องยกกำลังของตัวเลขและให้ความหมายกับนิพจน์ที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน มาแนะนำกันดีกว่า คำนิยามองศาพร้อมเลขชี้กำลังตรรกยะ (การนำเสนอ "ปริญญาพร้อมเลขชี้กำลังตรรกยะ"):
กำลังของ > 0 พร้อมเลขชี้กำลังตรรกยะ ร = , ที่ไหน ม เป็นจำนวนเต็ม และ n - เป็นธรรมชาติ ( n > 1) เรียกหมายเลขนั้น ม .
ตามนิยามแล้ว เราได้สิ่งนั้นมา = ม .
ลองใช้คำจำกัดความนี้เมื่อทำงานให้เสร็จสิ้น
ตัวอย่างหมายเลข 1
ฉันนำเสนอนิพจน์เป็นรากของตัวเลข:
ก) ข) ใน) .
ทีนี้ลองใช้คำจำกัดความนี้กลับกัน
II แสดงนิพจน์เป็นกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ:
ก) 2 ข) ใน) 5 .
กำลังของ 0 ถูกกำหนดไว้สำหรับเลขชี้กำลังบวกเท่านั้น
0 ร= 0 สำหรับใดๆ ร> 0.
โดยใช้ คำจำกัดความนี้, บ้านคุณจะกรอก #428 และ #429 ให้สมบูรณ์
ตอนนี้เราขอแสดงให้เห็นว่าด้วยคำจำกัดความของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะตามสูตรข้างต้น คุณสมบัติพื้นฐานขององศาจะยังคงอยู่ ซึ่งเป็นจริงสำหรับเลขชี้กำลังใดๆ
สำหรับจำนวนตรรกยะใดๆ r และ s และ a และ b ใดๆ จะมีความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:
1 0 . ก ร ก ส =ก ร+ส ;
ตัวอย่าง: *
20. ar: a s = a r-s ;
ตัวอย่าง: :
3 0 . (มี ) s = เป็น อาร์เอส ;
ตัวอย่าง: ( -2/3
4 0 . ( เกี่ยวกับ) ร = ก ร ข ร ; 5 0 . ( = .
ตัวอย่าง: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2
ตัวอย่างการใช้คุณสมบัติหลายอย่างพร้อมกัน: * : .
นาทีพลศึกษา
เราวางปากกาไว้บนโต๊ะ ยืดหลังให้ตรง และตอนนี้เรายื่นไปข้างหน้า เราต้องการแตะกระดาน ตอนนี้เรายกมันขึ้นแล้วโน้มตัวไปทางขวา ซ้าย ไปข้างหน้า และข้างหลัง คุณแสดงมือของคุณให้ฉันดู ตอนนี้แสดงให้ฉันเห็นว่านิ้วของคุณเต้นได้อย่างไร
ทำงานเกี่ยวกับวัสดุ
ให้เราสังเกตคุณสมบัติของกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะอีกสองประการ:
6 0 . อนุญาต r เป็นจำนวนตรรกยะและ 0< a < b . Тогда
ก ร < b รที่ ร> 0,
ก ร < b รที่ ร< 0.
7 0 . สำหรับจำนวนตรรกยะใดๆรและ สจากความไม่เท่าเทียมกัน ร> สตามนั้น
ก ร>ก รสำหรับ > 1,
ก ร < а รเวลา 0< а < 1.
ตัวอย่าง: เปรียบเทียบตัวเลข:
และ ; 2 300 และ 3 200 .
สรุปบทเรียน:
วันนี้ในบทเรียน เรานึกถึงคุณสมบัติของปริญญาที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม เรียนรู้คำจำกัดความและคุณสมบัติพื้นฐานของปริญญาที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ และพิจารณาการประยุกต์ใช้สิ่งนี้ วัสดุทางทฤษฎีในทางปฏิบัติเมื่อทำแบบฝึกหัด ฉันอยากจะดึงความสนใจของคุณไปที่ความจริงที่ว่าหัวข้อ “เลขชี้กำลังที่มีเลขชี้กำลังเชิงตรรกยะ” เป็นสิ่งจำเป็นใน งานสอบ Unified State. ในการเตรียมการ การบ้าน (หมายเลข 428 และหมายเลข 429
