บทเรียนแรกเกี่ยวกับการสร้างส่วนต่างๆ ของรูปทรงหลายเหลี่ยม วิธีการวาดส่วนที่เอียง

ดังที่คุณทราบ ข้อสอบคณิตศาสตร์ใดๆ ก็ตามมีการแก้ปัญหาเป็นส่วนหลัก ความสามารถในการแก้ปัญหาเป็นตัวบ่งชี้หลักของระดับการพัฒนาทางคณิตศาสตร์

บ่อยครั้งในการสอบของโรงเรียนตลอดจนการสอบที่จัดขึ้นที่มหาวิทยาลัยและโรงเรียนเทคนิคมีหลายกรณีที่นักเรียนแสดง ผลลัพธ์ดีในสาขาทฤษฎีผู้ที่รู้คำจำกัดความและทฤษฎีบทที่จำเป็นทั้งหมดจะสับสนเมื่อแก้ไขปัญหาง่ายๆ

ในช่วงปีการศึกษา นักเรียนแต่ละคนจะเป็นผู้ตัดสินใจ จำนวนมากงาน แต่งานเดียวกันนั้นมอบให้กับนักเรียนทุกคน และหากนักเรียนบางคนได้เรียนรู้ กฎทั่วไปและวิธีการแก้ปัญหา บ้างก็เจอปัญหาแบบที่ไม่คุ้นเคยก็ไม่รู้ด้วยซ้ำว่าจะแก้ไขอย่างไร

สาเหตุหนึ่งของสถานการณ์นี้คือหากนักเรียนบางคนเจาะลึกถึงกระบวนการแก้ไขปัญหาและพยายามตระหนักและเข้าใจ เทคนิคทั่วไปและวิธีการแก้ไข คนอื่นไม่คิด แต่จะพยายามแก้ไขปัญหาที่เสนอให้เร็วที่สุด

นักเรียนจำนวนมากไม่ได้วิเคราะห์ปัญหาที่กำลังแก้ไข และไม่ได้ระบุเทคนิคทั่วไปและวิธีการแก้ไขปัญหาเหล่านั้น ในกรณีเช่นนี้ ปัญหาจะได้รับการแก้ไขเพื่อให้ได้คำตอบที่ต้องการเท่านั้น

ตัวอย่างเช่น นักเรียนหลายคนไม่รู้ด้วยซ้ำว่าสาระสำคัญของการแก้ปัญหาการก่อสร้างคืออะไร แต่ งานก่อสร้างเป็นงานบังคับในหลักสูตร Stereometry ปัญหาเหล่านี้ไม่เพียงแต่สวยงามและเป็นต้นฉบับในวิธีการแก้ปัญหาเท่านั้น แต่ยังมีคุณค่าในทางปฏิบัติอีกด้วย

ต้องขอบคุณงานก่อสร้างที่ทำให้ความสามารถในการจินตนาการทางจิตใจพัฒนาขึ้น รูปทรงเรขาคณิต, การคิดเชิงพื้นที่พัฒนาขึ้น การคิดอย่างมีตรรกะเช่นเดียวกับสัญชาตญาณทางเรขาคณิต ปัญหาการก่อสร้างจะพัฒนาทักษะการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติ

ปัญหาการก่อสร้างไม่ใช่เรื่องง่าย เนื่องจากไม่มีกฎหรืออัลกอริธึมเดียวในการแก้ปัญหา งานใหม่แต่ละงานมีเอกลักษณ์และจำเป็นต้องมี แนวทางของแต่ละบุคคลเพื่อการตัดสินใจ

กระบวนการแก้ไขปัญหาการก่อสร้างเป็นลำดับของการก่อสร้างระดับกลางบางส่วนที่นำไปสู่เป้าหมาย

การก่อสร้างส่วนต่าง ๆ ของรูปทรงหลายเหลี่ยมขึ้นอยู่กับสัจพจน์ต่อไปนี้:

1) หากจุดสองจุดของเส้นตรงอยู่ในระนาบใดระนาบหนึ่ง เส้นทั้งหมดก็จะอยู่ในระนาบนี้

2) หากระนาบสองลำมีจุดร่วมกัน ระนาบทั้งสองจะตัดกันเป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดนี้

ทฤษฎีบท:หากระนาบขนานสองระนาบตัดกันด้วยระนาบที่สาม เส้นตรงของจุดตัดจะขนานกัน

สร้างส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมโดยมีระนาบที่ผ่านจุด A, B และ C ลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้

วิธีการติดตาม

ฉัน.สร้าง ส่วนตัดขวางของปริซึมระนาบที่ผ่านเส้นตรงที่กำหนด g (ร่องรอย) บนระนาบของฐานหนึ่งของปริซึมและจุด A

กรณีที่ 1

จุด A เป็นของฐานอีกฐานหนึ่งของปริซึม (หรือหน้าขนานกับเส้น g) - ระนาบตัดตัดฐาน (หน้า) นี้ไปตามส่วน BC ขนานกับเส้น g .

กรณีที่ 2

จุด A อยู่ที่ด้านข้างของปริซึม:

ส่วน BC ของ AD เส้นตรงคือจุดตัดของด้านนี้กับระนาบการตัด

กรณีที่ 3

การสร้างส่วนของปริซึมสี่เหลี่ยมโดยมีระนาบผ่านเส้นตรง g ในระนาบฐานล่างของปริซึมและจุด A บนขอบด้านข้างด้านใดด้านหนึ่ง

ครั้งที่สองสร้าง ภาพตัดขวางของปิรามิดระนาบที่วิ่งผ่านเส้นตรงที่กำหนด g (ร่องรอย) บนระนาบฐานของปิรามิดและจุด A

ในการสร้างส่วนของปิรามิดด้วยระนาบ ก็เพียงพอที่จะสร้างจุดตัดของใบหน้าด้านข้างด้วยระนาบการตัด

กรณีที่ 1

หากจุด A เป็นของหน้าขนานกับเส้นตรง g ระนาบการตัดจะตัดใบหน้านี้ไปตามส่วน BC ขนานกับรอยของ g

กรณีที่ 2

หากจุด A ที่เป็นของส่วนนั้นตั้งอยู่บนใบหน้าที่ไม่ขนานกับใบหน้าของร่องรอย g ดังนั้น:

1) จุด D ถูกสร้างขึ้นโดยที่ระนาบของใบหน้าตัดกับร่องรอยที่กำหนด g

2) ลากเส้นตรงผ่านจุด A และ D

ส่วน BC ของ AD เส้นตรงคือจุดตัดของด้านนี้กับระนาบการตัด

ส่วนปลายของส่วน BC ก็เป็นของใบหน้าข้างเคียงด้วย ดังนั้น เมื่อใช้วิธีการที่อธิบายไว้ จึงสามารถสร้างจุดตัดของพื้นผิวเหล่านี้ด้วยระนาบการตัดได้ ฯลฯ

กรณีที่ 3

การก่อสร้างส่วน ปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมเครื่องบินที่ผ่านด้านข้างของฐานและจุด A ที่ขอบด้านข้างด้านใดด้านหนึ่ง

ปัญหาเกี่ยวกับการสร้างส่วนต่างๆ ผ่านจุดบนใบหน้า

1. สร้างส่วนของจัตุรมุข ABCD โดยระนาบที่ผ่านจุดยอด C และจุด M และ N บนใบหน้า ACD และ ABC ตามลำดับ

จุด C และ M อยู่บนใบหน้า ACD ซึ่งหมายความว่าเส้นตรง CM อยู่ในระนาบของใบหน้านี้ (รูปที่ 1)

ให้ P เป็นจุดตัดของเส้นตรง CM และ AD ในทำนองเดียวกัน จุด C และ N อยู่ที่หน้า ACB ซึ่งหมายความว่าเส้นตรง CN อยู่ในระนาบของใบหน้านี้ ให้ Q เป็นจุดตัดของเส้น CN และ AB จุด P และ Q เป็นของทั้งระนาบหน้าตัดและหน้า ABD ดังนั้น PQ ของส่วนคือด้านข้างของส่วน ดังนั้น CPQ ของสามเหลี่ยมจึงเป็นส่วนที่จำเป็น

2. สร้างส่วนของจัตุรมุข ABCD โดยระนาบ MPN โดยที่จุด M, N, P อยู่ตามลำดับบนขอบ AD ในหน้า BCD และในหน้า ABC และ MN ไม่ขนานกับระนาบของหน้า ABC (รูปที่ 2).

ยังมีคำถามอยู่ใช่ไหม? ไม่ทราบวิธีสร้างภาพตัดขวางของรูปทรงหลายเหลี่ยมใช่หรือไม่
หากต้องการความช่วยเหลือจากครูสอนพิเศษ ให้ลงทะเบียน
บทเรียนแรกฟรี!

เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

ในงานก่อนหน้านี้ ความรู้เกี่ยวกับทฤษฎีก็เพียงพอสำหรับเราในการสร้างภาพตัดขวาง ลองพิจารณาปัญหาอื่น ภารกิจที่ 1. สร้างส่วนของจัตุรมุขที่ผ่านจุด M ขนานกับระนาบ ABD M จุดหนึ่งจะไม่ช่วยเรา แต่อย่างใด แต่ปัญหามีเงื่อนไขเพิ่มเติม: ส่วนนั้นจะต้องขนานกับระนาบ ABD สิ่งนี้ให้อะไรเราบ้าง? 1. ระนาบ ADB และ DBC ตัดกันตามเส้นตรง DB ดังนั้นส่วนที่ขนานกับ ADB จะตัด DBC ไปตาม (หากเส้นตรงขนานสองเส้นขนานกับ DB เครื่องบินตัดกันหนึ่งในสาม แล้วเส้นตัดกันจะขนานกัน) M จุด M อยู่ เพื่อเผชิญหน้ากับ DBC ให้เราวาดเส้นตรง MK ขนานกับ DB ผ่านมัน 2. ในทำนองเดียวกัน: (ADB) (ABC)=AB, K ดังนั้น ส่วนจะตัดกัน (ABC) เป็นเส้นตรงขนานกับ AB เค(เอบีซี) ผ่านจุด K ในระนาบ ABC ให้ลากเส้นตรง KN ขนานกับ AB M N K N (ADC), M (ADC) ดังนั้น MN (ADC) (และระนาบการตัด) มาดำเนินการ NM กันเถอะ MKN เป็นส่วนที่จำเป็น ดังนั้น: M N 1. การก่อสร้าง: 1. ในระนาบ (DBC) MK // DB, MK BC = K. 2. ในระนาบ (ABC) KN // AB, KN AC = N. 3. MN ให้เราพิสูจน์ว่า MKN เป็นส่วนที่จำเป็น K 2 หลักฐาน 1. ส่วนตัดผ่านจุด M 2. N (ADC), M (ADC) => NM (ADC) 3. MK // DB, NK // AB โดยการก่อสร้างดังนั้น (NMK) // (ABD) โดย คุณลักษณะ. ดังนั้น MKN จึงเป็นส่วนที่ต้องการของ b.t.c. ปัญหาที่ 2. สร้างส่วนของ ABCDA1B1C1D1 เส้นขนานที่ผ่านตรงกลางของขอบ D1C1 และจุด D ขนานกับเส้นตรง a B1 C1 การใช้เหตุผล M A1 D1 B A C D 1. ทำเครื่องหมายจุดที่ระบุในเงื่อนไข (ลองเรียกมันตามอำเภอใจ) M – ตรงกลางของ D1C1 2. จุด M และ D คือ B1 C1 M A1 A ซึ่งหมายความว่าสามารถเชื่อมต่อกันได้ D1 B C D ในระนาบเดียวกัน DD1C1 ไม่มีอะไรให้เชื่อมต่ออีกแล้ว 3. ให้เราใช้เงื่อนไขเพิ่มเติม: ระนาบการตัดจะต้องขนานกับเส้นตรง a B1 C1 M A1 B C S A เมื่อต้องการทำเช่นนี้ จะต้องมีเส้นขนานกับเส้น a วิธีที่ง่ายที่สุดคือการวาดเส้นตรงในระนาบ ABC เพราะ ประกอบด้วยเส้นตรง a และจุด D ที่เป็นของส่วนนั้น D ในระนาบ ABC ผ่านจุด D ให้วาดเส้นตรง DS ขนานกับเส้นตรง a DS AB = ส. 4 เพราะ (ABC) // (A1B1C1) วาดในระนาบ (A1B1C1) ผ่านจุด M เส้น MP // SD MP B1C1 = P 5 เพราะ (DD1C1) // (AA1B1) จากนั้นในระนาบ P B C (AA1B1) ผ่านจุด S เราสามารถวาดเส้นตรง M N A D SN ขนานกับ DM SN BB1 = N 1 1 1 1 B C S A D 6. จุด N และ P อยู่ในระนาบ (A1B1C1) มาเชื่อมต่อกัน SNPMD - ส่วนที่จำเป็น ดังนั้น: 1. การก่อสร้าง 1. MD B1 A1 N P C1 S A M 3. ใน (A1B1C1) ผ่านจุด M, MP // DS, MP B1C1 = P C 4. ในระนาบ (AA1B1) ผ่านจุด S, SN // DM, SN BB1 = N 5. NP D1 B D 2. ใน (ABC) ผ่านจุด D, DS // a, DS AB = S ให้เราพิสูจน์ว่า SNPMD เป็นส่วนที่จำเป็น 2. หลักฐาน B1 A1 N 1 ส่วนตัดผ่านจุด D และตรงกลางของขอบ D1C1 - จุด M โดยการก่อสร้าง P C1 M C S A 3. PM // SD, P B1C1 โดยการก่อสร้าง D1 B D 2. DS // a, (S AB) โดยการก่อสร้างดังนั้น (KNP) // a ตามแอตทริบิวต์ 4. SN // DM, N BB1 โดยการก่อสร้าง 5. P (BB1C1), N (BB1C1) => PN (BB1C1) ดังนั้น SNPMD จึงเป็นภาพตัดขวางที่ต้องการ เป็นต้น ปัญหาที่ 3 สร้างส่วนของเส้นขนานที่ขนานกับ B1A แล้วผ่านจุด M และ N การใช้เหตุผล 1. เชื่อมต่อ M และ N (พวกมันอยู่ในระนาบ (C1A1B1)) B1 N M A1 D1 B A C1 C D ไม่มีอะไรให้เชื่อมต่ออีกแล้ว ลองใช้เงื่อนไขเพิ่มเติม: ระนาบการตัดจะต้องขนานกับเส้น B1A 2 เพื่อให้ระนาบการตัดขนานกับ AB1 จำเป็นต้องมีเส้นขนานกับ AB1 (หรือ DC1 เนื่องจาก DC // AB1 โดย คุณสมบัติของรูปขนาน) วิธีที่สะดวกที่สุดในการแสดงเส้นตรงบนใบหน้า DD1C1C เพราะ (DD1C1) // (AA1B1) และ AB1 (AA1B1) ให้เราลากเส้น NK // AB1, NK DD1 = K ในระนาบ (DD1C1) B1 N M A1 D1 B 3 ตอนนี้ในระนาบ AA1D1 มีสองจุดคือ M และ K ที่เป็นของส่วน มาเชื่อมต่อกัน C K A C1 D MNK – ส่วนที่จำเป็น ดังนั้น: 1. การก่อสร้าง 1. MN 2. ในระนาบ (DD1C1) NK // AB1, NK DD1 = K. . B1 N A1 A M D1 C1 3. MK ให้เราพิสูจน์ว่า MNK เป็นส่วนที่จำเป็น 2. การพิสูจน์ B C 1. ส่วนตัดผ่านจุด M และ N. K 2. M (A1B1C1), N (A1B1C1) => D MN (A1B1C1) 3. M (เพิ่ม1), K (เพิ่ม1) => MK (เพิ่ม1) 4. เพราะ NK // AB1 โดยการก่อสร้าง จากนั้น (MNK) // AB1 ด้วยความขนานของเส้นตรงและระนาบ ดังนั้น MNK จึงเป็นส่วนที่ต้องการของ b.t.c. ภารกิจที่ 3 1. ใน DABC จัตุรมุข สร้างส่วนที่มีระนาบผ่านตรงกลางของขอบ DC, จุดยอด B และขนานกับเส้น AC 2. สร้างส่วนของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานโดยมีระนาบผ่านตรงกลางของขอบ B1C1 และจุด K วางอยู่บนขอบ CD ขนานกับเส้น BD ถ้า DK: KC = 1: 3 M 3. สร้างส่วนของจัตุรมุขที่มี เครื่องบินที่ผ่านจุด M และ C ขนานตรง a (รูปที่ 1) รูปที่ 1 4. ใน ABCDA1B1C1D1 ที่ขนานกัน จุด E เป็นของ edge CD สร้างส่วนของเส้นขนานที่มีระนาบผ่านจุดนี้และขนานกับระนาบ BC1D 5. สร้างส่วนของเส้นขนานที่มีระนาบผ่าน AA1 ขนานกับ MN โดยที่ M คือจุดกึ่งกลางของ AB, N คือจุดกึ่งกลางของ BC 6. สร้างส่วนของเส้นขนานที่มีระนาบผ่านตรงกลางของขอบ B1C1 ขนานกับระนาบ AA1C1

บ่อยครั้งในการสอบของโรงเรียนตลอดจนการสอบที่จัดขึ้นในมหาวิทยาลัยและโรงเรียนเทคนิคมีกรณีที่นักเรียนที่มีผลการเรียนดีในสาขาทฤษฎีซึ่งรู้คำจำกัดความและทฤษฎีบทที่จำเป็นทั้งหมดจะสับสนเมื่อแก้ไขปัญหาง่ายๆ .

ตลอดหลายปีที่ผ่านมาของการศึกษา นักเรียนแต่ละคนสามารถแก้ปัญหาจำนวนมากได้ แต่ในขณะเดียวกัน นักเรียนทุกคนก็มีงานเดียวกัน และในขณะที่นักเรียนบางคนเรียนรู้กฎทั่วไปและวิธีการในการแก้ปัญหา แต่คนอื่นๆ เมื่อเผชิญกับปัญหาที่ไม่คุ้นเคยกลับไม่รู้ด้วยซ้ำว่าจะแก้ไขปัญหานั้นอย่างไร

เหตุผลประการหนึ่งของสถานการณ์นี้คือในขณะที่นักเรียนบางคนเจาะลึกกระบวนการแก้ปัญหาและพยายามตระหนักและเข้าใจเทคนิคทั่วไปและวิธีการแก้ปัญหาเหล่านั้น แต่คนอื่นๆ กลับไม่ได้คิดถึงมันและพยายามแก้ไขปัญหาที่นำเสนออย่างรวดเร็ว เป็นไปได้.

ต้องขอบคุณงานก่อสร้างความสามารถในการจินตนาการทางจิตใจการพัฒนารูปทรงเรขาคณิตการคิดเชิงพื้นที่การคิดเชิงตรรกะรวมถึงสัญชาตญาณทางเรขาคณิตพัฒนาขึ้น ปัญหาการก่อสร้างจะพัฒนาทักษะการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติ

ปัญหาการก่อสร้างไม่ใช่เรื่องง่าย เนื่องจากไม่มีกฎหรืออัลกอริธึมเดียวในการแก้ปัญหา งานใหม่แต่ละงานมีเอกลักษณ์เฉพาะตัวและต้องใช้แนวทางการแก้ปัญหาเฉพาะบุคคล

การก่อสร้างส่วนต่าง ๆ ของรูปทรงหลายเหลี่ยมขึ้นอยู่กับสัจพจน์ต่อไปนี้:

วิธีการติดตาม

กรณีที่ 1

กรณีที่ 2

จุด A อยู่ที่ด้านข้างของปริซึม:

ส่วน BC ของ AD เส้นตรงคือจุดตัดของด้านนี้กับระนาบการตัด

กรณีที่ 3

กรณีที่ 1

กรณีที่ 2

1) จุด D ถูกสร้างขึ้นโดยที่ระนาบของใบหน้าตัดกับร่องรอยที่กำหนด g

2) ลากเส้นตรงผ่านจุด A และ D

ส่วน BC ของ AD เส้นตรงคือจุดตัดของด้านนี้กับระนาบการตัด

กรณีที่ 3

การสร้างส่วนของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมโดยมีระนาบผ่านด้านข้างของฐานและจุด A ที่ขอบด้านข้างด้านใดด้านหนึ่ง

ปัญหาเกี่ยวกับการสร้างส่วนต่างๆ ผ่านจุดบนใบหน้า

ยังมีคำถามอยู่ใช่ไหม? ไม่ทราบวิธีสร้างภาพตัดขวางของรูปทรงหลายเหลี่ยมใช่หรือไม่
เพื่อขอความช่วยเหลือจากครูสอนพิเศษ -.
บทเรียนแรกฟรี!

blog.site เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มาดั้งเดิม

เรามาดูวิธีการสร้างส่วนของปิรามิดโดยใช้กัน ตัวอย่างเฉพาะ. เนื่องจากไม่มีระนาบขนานกันในปิรามิด การสร้างเส้นตัด (ร่องรอย) ของระนาบการตัดกับระนาบของหน้าส่วนใหญ่มักจะเกี่ยวข้องกับการลากเส้นตรงผ่านจุดสองจุดที่อยู่ในระนาบของใบหน้านี้

ในปัญหาที่ง่ายที่สุด คุณต้องสร้างส่วนของปิรามิดโดยมีระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดซึ่งอยู่บนใบหน้าเดียวกันอยู่แล้ว

ตัวอย่าง.

สร้างส่วนเครื่องบิน (MNP)

Triangle MNP - ส่วนปิรามิด

จุด M และ N อยู่ในระนาบ ABS เดียวกัน ดังนั้นเราจึงสามารถลากเส้นตรงผ่านพวกมันได้ ร่องรอยของบรรทัดนี้คือส่วน MN มองเห็นได้ซึ่งหมายความว่าเราเชื่อมต่อ M และ N ด้วยเส้นทึบ

จุด M และ P อยู่ในระนาบ ACS เดียวกัน ดังนั้นเราจึงลากเส้นตรงผ่านพวกมัน ติดตามเป็น MP ส่วน เราไม่เห็นมัน ดังนั้นเราจึงวาด MP ส่วนด้วยเส้นขีด เราสร้าง PN การติดตามในลักษณะเดียวกัน

สามเหลี่ยม MNP เป็นส่วนที่จำเป็น

หากจุดที่คุณต้องการวาดส่วนนั้นไม่ได้อยู่ที่ขอบ แต่อยู่บนใบหน้า ก็จะไม่ใช่จุดสิ้นสุดของส่วนการติดตาม

ตัวอย่าง. สร้างส่วนของปิรามิดโดยมีระนาบผ่านจุด B, M และ N โดยที่จุด M และ N อยู่ตามลำดับไปยังใบหน้า ABS และ BCS

ที่นี่จุด B และ M อยู่บนหน้าเดียวกันของ ABS เพื่อให้เราสามารถลากเส้นตรงผ่านพวกมันได้

ในทำนองเดียวกัน เราลากเส้นตรงผ่านจุด B และ P เราได้ร่องรอย BK และ BL ตามลำดับ

จุด K และ L อยู่บนหน้าเดียวกันของ ACS ดังนั้นเราจึงสามารถลากเส้นตรงผ่านจุดเหล่านั้นได้ ร่องรอยของมันคือส่วน KL

Triangle BKL เป็นส่วนที่จำเป็น

อย่างไรก็ตาม ไม่สามารถวาดเส้นตรงผ่านข้อมูลในเงื่อนไขจุดได้เสมอไป ในกรณีนี้ คุณต้องหาจุดที่วางอยู่บนเส้นตัดของระนาบที่มีใบหน้า

ตัวอย่าง. สร้างส่วนของปิรามิดโดยให้เครื่องบินผ่านจุด M, N, P

จุด M และ N อยู่ในระนาบ ABS เดียวกัน จึงสามารถลากเส้นตรงผ่านจุดเหล่านั้นได้ เราได้ร่องรอย MN ในทำนองเดียวกัน - NP มองเห็นเครื่องหมายทั้งสองได้ดังนั้นเราจึงเชื่อมต่อด้วยเส้นทึบ

จุด M และ P อยู่ในระนาบที่ต่างกัน ดังนั้นเราจึงไม่สามารถเชื่อมต่อพวกมันด้วยเส้นตรงได้

เรามาต่อเส้นตรง NP กัน

มันอยู่ในระนาบของใบหน้า BCS NP ตัดกันเฉพาะเส้นที่อยู่ในระนาบเดียวกัน เรามีสายตรงสามสาย: BS, CS และ BC เส้น BS และ CS มีจุดตัดกันอยู่แล้ว - นี่เป็นเพียง N และ P ซึ่งหมายความว่าเรากำลังมองหาจุดตัดของ NP กับเส้น BC

จุดตัดกัน (เรียกว่า H) ได้มาจากเส้น NP และ BC ต่อไปยังจุดตัด

จุด H นี้เป็นของทั้งระนาบ (BCS) เนื่องจากอยู่บนเส้น NP และของระนาบ (ABC) เนื่องจากอยู่บนเส้น BC

ดังนั้นเราจึงได้ระนาบการตัดที่วางอยู่ในระนาบ (ABC) อีกจุดหนึ่ง

เราสามารถวาดเส้นตรงผ่าน H และจุด M ที่อยู่ในระนาบเดียวกันได้

เราได้รับร่องรอย MT

T คือจุดตัดของเส้น MH และ AC

เนื่องจาก T อยู่ในเส้น AC เราจึงสามารถลากเส้นผ่านจุดนั้นและจุด P ได้ เนื่องจากทั้งสองอยู่ในระนาบเดียวกัน (ACS)

MNPT แบบ 4 เหลี่ยมคือส่วนที่ต้องการของปิรามิดโดยเครื่องบินที่ผ่านจุดที่กำหนด M,N,P

เราทำงานกับเส้น NP โดยขยายออกไปเพื่อหาจุดตัดของระนาบการตัดกับระนาบ (ABC) ถ้าเราทำงานกับ MN โดยตรง เราก็จะได้ผลลัพธ์เดียวกัน

เราให้เหตุผลดังนี้: เส้น MN อยู่ในระนาบ (ABS) ดังนั้นจึงตัดได้เฉพาะกับเส้นที่อยู่ในระนาบเดียวกันเท่านั้น เรามีสามบรรทัดดังกล่าว: AB, BS และ AS แต่ด้วยเส้นตรง AB และ BS มีจุดตัดอยู่แล้ว: M และ N

ซึ่งหมายความว่าเมื่อขยาย MN เราจะมองหาจุดตัดของมันด้วยเส้นตรง AS ลองเรียกจุดนี้ว่า R

จุด R อยู่บนเส้น AS ซึ่งหมายความว่าจุดนั้นอยู่บนระนาบ (ACS) ที่เป็นของเส้น AS ด้วย

เนื่องจากจุด P อยู่ในระนาบ (ACS) เราจึงสามารถวาดเส้นตรงผ่าน R และ P ได้ เราได้รับร่องรอยของปตท.

จุด T อยู่ในระนาบ (ABC) ดังนั้นเราจึงสามารถลากเส้นตรงผ่านจุดนั้นและจุด M ได้

ดังนั้นเราจึงได้หน้าตัด MNPT ที่เหมือนกัน

ลองดูอีกตัวอย่างหนึ่งของประเภทนี้

สร้างส่วนของปิรามิดโดยให้เครื่องบินผ่านจุด M, N, P

ลากเส้นตรงผ่านจุด M และ N ที่อยู่ในระนาบเดียวกัน (BCS) เราได้รับร่องรอย MN (มองเห็นได้)

ลากเส้นตรงผ่านจุด N และ P ที่อยู่ในระนาบเดียวกัน (ACS) เราได้รับร่องรอย PN (มองไม่เห็น)

เราไม่สามารถลากเส้นตรงผ่านจุด M และ P ได้

1) เส้น MN อยู่ในระนาบ (BCS) ซึ่งมีอีกสามเส้น: BC, SC และ SB เส้น SB และ SC มีจุดตัดกันอยู่แล้ว: M และ N ดังนั้นเราจึงมองหาจุดตัด MN กับ BC ต่อจากเส้นเหล่านี้ เราจะได้จุด L

จุด L อยู่ในเส้น BC ซึ่งหมายความว่าอยู่ในระนาบ (ABC) ดังนั้นเราจึงสามารถลากเส้นตรงผ่าน L และ P ซึ่งอยู่ในระนาบ (ABC) ได้เช่นกัน เส้นทางของเธอคือ PF

F อยู่บนเส้น AB และอยู่บนระนาบ (ABS) ดังนั้นผ่าน F และจุด M ซึ่งอยู่ในระนาบ (ABS) เราจึงวาดเส้นตรง เส้นทางของเธอคือ FM MNPF รูปสี่เหลี่ยมเป็นส่วนที่จำเป็น

2) อีกวิธีหนึ่งคือการต่อ PN ตรงต่อไป มันอยู่ในระนาบ (ACS) และตัดกันเส้น AC และ CS ที่อยู่ในระนาบนี้ที่จุด P และ N

ซึ่งหมายความว่าเรากำลังมองหาจุดตัดของ PN กับเส้นตรงที่สามของระนาบนี้ - กับ AS เราดำเนินการต่อ AS และ PN ที่ทางแยกเราจะได้จุด E เนื่องจากจุด E อยู่บนเส้น AS ซึ่งเป็นของเครื่องบิน (ABS) เราจึงสามารถวาดเส้นตรงผ่าน E และจุด M ซึ่งอยู่ใน (ABS) เช่นกัน . เส้นทางของเธอคือ FM จุด P และ F อยู่บนระนาบน้ำ (ABC) ลากเส้นตรงผ่านจุดเหล่านั้นและรับร่องรอย PF (มองไม่เห็น)

คุณรู้หรือไม่ว่าส่วนใดของรูปทรงหลายเหลี่ยมโดยเครื่องบิน? หากคุณยังคงสงสัยความถูกต้องของคำตอบสำหรับคำถามนี้ คุณสามารถตรวจสอบตัวเองได้ง่ายๆ เราขอแนะนำให้คุณทำการทดสอบสั้นๆ ด้านล่างนี้

คำถาม. ตัวเลขที่แสดงภาคตัดขวางของระนาบขนานเป็นจำนวนเท่าใด

ดังนั้นคำตอบที่ถูกต้องอยู่ในรูปที่ 3

หากคุณตอบถูกจะเป็นการยืนยันว่าคุณเข้าใจสิ่งที่คุณกำลังเผชิญอยู่ แต่น่าเสียดายที่แม้แต่คำตอบที่ถูกต้องสำหรับคำถามทดสอบก็ไม่ได้รับประกันว่าคุณจะได้เกรดสูงสุดในบทเรียนในหัวข้อ "ส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยม" ท้ายที่สุดสิ่งที่ยากที่สุดคือการไม่จดจำส่วนต่าง ๆ ในภาพวาดที่เสร็จแล้วแม้ว่าจะมีความสำคัญมากเช่นกัน แต่เป็นการก่อสร้าง

ขั้นแรก ให้เรากำหนดคำจำกัดความของส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยม ดังนั้น ส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมคือรูปหลายเหลี่ยมที่มีจุดยอดอยู่ที่ขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยมและมีด้านข้างอยู่บนใบหน้า

ตอนนี้เรามาฝึกสร้างจุดตัดกันอย่างรวดเร็วและแม่นยำกันดีกว่า เส้นตรงที่กำหนดกับระนาบที่กำหนด เมื่อต้องการทำเช่นนี้ มาแก้ไขปัญหาต่อไปนี้

สร้างจุดตัดของเส้นตรง MN ด้วยระนาบของฐานล่างและฐานบน ปริซึมสามเหลี่ยม ABCA 1 B 1 C 1 โดยมีเงื่อนไขว่าจุด M เป็นของ ซี่โครงด้านข้าง CC 1 และจุด N คือขอบ BB 1

เริ่มต้นด้วยการขยายเส้นตรง MN ทั้งสองทิศทางในภาพวาด (รูปที่ 1) จากนั้น เพื่อให้ได้จุดตัดที่โจทย์ต้องการ เราจะขยายเส้นที่วางอยู่บนฐานบนและล่าง และตอนนี้มาถึงช่วงเวลาที่ยากที่สุดในการแก้ปัญหา: ต้องขยายบรรทัดใดในฐานทั้งสองเนื่องจากแต่ละบรรทัดมีสามบรรทัด

เพื่อให้ขั้นตอนสุดท้ายของการก่อสร้างเสร็จสมบูรณ์อย่างถูกต้อง มีความจำเป็นต้องพิจารณาว่าฐานตรงใดอยู่ในระนาบเดียวกันกับเส้นตรง MN ที่เราสนใจ ในกรณีของเรา นี่คือ CB แบบตรงที่ด้านล่างและ C 1 B 1 ที่ฐานด้านบน และนี่คือสิ่งที่เราขยายออกไปจนกว่าพวกมันจะตัดกับเส้นตรง NM (รูปที่ 2)

จุดผลลัพธ์ P และ P 1 คือจุดตัดของเส้นตรง MN กับระนาบของฐานบนและล่างของปริซึมสามเหลี่ยม ABCA 1 B 1 C 1 .

หลังจากวิเคราะห์ปัญหาที่นำเสนอแล้ว คุณสามารถดำเนินการสร้างส่วนต่างๆ ของรูปทรงหลายเหลี่ยมได้โดยตรง จุดสำคัญจะมีเหตุผลที่จะช่วยให้คุณบรรลุผลตามที่ต้องการ ด้วยเหตุนี้ในที่สุดเราจะพยายามสร้างเทมเพลตที่จะสะท้อนลำดับการดำเนินการเมื่อแก้ไขปัญหาประเภทนี้

ลองพิจารณาปัญหาต่อไปนี้ สร้างส่วนของปริซึมสามเหลี่ยม ABCA 1 B 1 C 1 โดยระนาบที่ผ่านจุด X, Y, Z ของขอบ AA 1, AC และ BB 1 ตามลำดับ

วิธีแก้ปัญหา: ลองวาดรูปวาดแล้วดูว่าจุดคู่ใดอยู่ในระนาบเดียวกัน

คู่จุด X และ Y สามารถเชื่อมต่อ X และ Z ได้เพราะว่า พวกเขานอนอยู่ในระนาบเดียวกัน

เรามาสร้างจุดเพิ่มเติมที่จะอยู่บนใบหน้าเดียวกันกับจุด Z เพื่อทำสิ่งนี้ เราจะขยายเส้น XY และ CC 1 เพราะ พวกเขานอนอยู่ในระนาบของใบหน้า AA 1 C 1 C เรียกจุดผลลัพธ์ P

จุด P และ Z อยู่ในระนาบเดียวกัน - ในระนาบของใบหน้า CC 1 B 1 B ดังนั้นเราจึงสามารถเชื่อมต่อพวกมันได้ เส้นตรง PZ ตัดกับขอบ CB ณ จุดหนึ่ง เรียกมันว่า T จุด Y และ T อยู่ในระนาบล่างของปริซึม แล้วเชื่อมต่อเข้าด้วยกัน ดังนั้น รูปสี่เหลี่ยม YXZT จึงถูกสร้างขึ้น และนี่คือส่วนที่ต้องการ

สรุป. หากต้องการสร้างส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมด้วยระนาบ คุณต้อง:

1) ลากเส้นตรงผ่านจุดคู่ที่อยู่ในระนาบเดียวกัน

2) ค้นหาเส้นที่ระนาบส่วนและใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมตัดกัน ในการทำเช่นนี้คุณจะต้องค้นหาจุดตัดของเส้นตรงที่เป็นของระนาบส่วนโดยมีเส้นตรงวางอยู่ในใบหน้าด้านใดด้านหนึ่ง

กระบวนการสร้างส่วนต่างๆ ของรูปทรงหลายเหลี่ยมมีความซับซ้อนเพราะในแต่ละส่วน กรณีเฉพาะมันแตกต่างออกไป และไม่มีทฤษฎีใดอธิบายได้ตั้งแต่ต้นจนจบ มีเพียงหนึ่งเดียวจริงๆ ทางที่ถูกการเรียนรู้ที่จะสร้างส่วนต่าง ๆ ของรูปทรงหลายเหลี่ยมอย่างรวดเร็วและแม่นยำนั้นเป็นการฝึกฝนอย่างต่อเนื่อง ยิ่งคุณสร้างส่วนต่างๆ มากเท่าไร คุณก็จะยิ่งทำสิ่งนี้ได้ง่ายขึ้นในอนาคต