ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ในอวกาศ ผลิตภัณฑ์ข้าม - คำจำกัดความ คุณสมบัติ สูตร ตัวอย่าง และวิธีแก้ปัญหา

ในที่สุดฉันก็ได้รับมือกับหัวข้ออันกว้างใหญ่และรอคอยมานานนี้ เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์. ก่อนอื่นเล็กน้อยเกี่ยวกับ ส่วนนี้คณิตศาสตร์ชั้นสูง... บัดนี้ท่านคงจำหลักสูตรนี้ได้อย่างแน่นอน เรขาคณิตของโรงเรียนด้วยทฤษฎีบท การพิสูจน์ ภาพวาด ฯลฯ มากมาย สิ่งที่ต้องซ่อน วิชาที่ไม่มีใครรักและมักจะคลุมเครือสำหรับนักเรียนในสัดส่วนที่มีนัยสำคัญ เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ ที่น่าแปลกก็คืออาจดูน่าสนใจและเข้าถึงได้ง่ายกว่า คำว่า “วิเคราะห์” มีความหมายว่าอย่างไร? วลีทางคณิตศาสตร์ที่ซ้ำซากจำเจสองวลีเข้ามาในใจทันที: "วิธีการแก้ปัญหาแบบกราฟิก" และ "วิธีการแก้ปัญหาเชิงวิเคราะห์" วิธีการแบบกราฟิกแน่นอนว่าเกี่ยวข้องกับการสร้างกราฟและภาพวาด เชิงวิเคราะห์เดียวกัน วิธีเกี่ยวข้องกับการแก้ปัญหา ส่วนใหญ่ผ่านการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิต ในเรื่องนี้อัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหาเกือบทั้งหมดของเรขาคณิตวิเคราะห์นั้นง่ายและโปร่งใส บ่อยครั้งที่การใช้สูตรที่จำเป็นอย่างระมัดระวังก็เพียงพอแล้ว - และคำตอบก็พร้อม! ไม่ แน่นอน เราจะไม่สามารถทำได้หากไม่มีภาพวาดเลย และนอกจากนี้ เพื่อความเข้าใจที่ดีขึ้นในเนื้อหา ฉันจะพยายามอ้างอิงสิ่งเหล่านี้โดยไม่จำเป็น

บทเรียนที่เพิ่งเปิดใหม่เกี่ยวกับเรขาคณิตไม่ได้อ้างว่าเสร็จสมบูรณ์ทางทฤษฎี แต่มุ่งเน้นไปที่การแก้ปัญหาในทางปฏิบัติ ฉันจะรวมเฉพาะสิ่งที่สำคัญในทางปฏิบัติเท่านั้นในการบรรยายของฉัน หากคุณต้องการความช่วยเหลือที่สมบูรณ์เพิ่มเติมในส่วนย่อยใด ๆ ฉันขอแนะนำวรรณกรรมที่เข้าถึงได้ง่ายต่อไปนี้:

1) เรื่องที่คนหลายชั่วอายุคนคุ้นเคยกันดี: หนังสือเรียนเรื่องเรขาคณิตของโรงเรียน, ผู้เขียน - แอล.เอส. Atanasyan และบริษัท. ไม้แขวนเสื้อห้องล็อกเกอร์ของโรงเรียนนี้พิมพ์ซ้ำไปแล้ว 20 (!) ซึ่งแน่นอนว่าไม่ใช่ขีดจำกัด

2) เรขาคณิตใน 2 เล่ม. ผู้เขียน แอล.เอส. อตานาเซียน, บาซีเลฟ วี.ที.. นี่คือวรรณกรรมสำหรับ มัธยม, คุณจะต้องการ เล่มแรก. งานที่ไม่ค่อยพบอาจหลุดจากสายตาของฉันและ บทช่วยสอนจะให้ความช่วยเหลืออันล้ำค่า

สามารถดาวน์โหลดหนังสือทั้งสองเล่มได้ฟรีทางออนไลน์ นอกจากนี้คุณยังสามารถใช้ไฟล์เก็บถาวรของฉันด้วย โซลูชั่นสำเร็จรูปซึ่งสามารถพบได้บนหน้า ดาวน์โหลดตัวอย่างในวิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูง.

จากเครื่องมือที่ผมแนะนำอีกครั้ง การพัฒนาของตัวเอง – แพคเกจซอฟต์แวร์ในเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ ซึ่งจะทำให้ชีวิตง่ายขึ้นอย่างมาก และประหยัดเวลาได้มาก

ถือว่าผู้อ่านมีความคุ้นเคยกับพื้นฐานแล้ว แนวคิดทางเรขาคณิตและตัวเลข: จุด เส้น ระนาบ สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมด้านขนาน สี่เหลี่ยมด้านขนาน ลูกบาศก์ ฯลฯ ขอแนะนำให้จำทฤษฎีบทบางทฤษฎีอย่างน้อยก็ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสวัสดีผู้ทำซ้ำ)

และตอนนี้เราจะพิจารณาตามลำดับ: แนวคิดของเวกเตอร์, การกระทำกับเวกเตอร์, พิกัดเวกเตอร์ ฉันแนะนำให้อ่านเพิ่มเติม บทความที่สำคัญที่สุด ผลคูณดอทของเวกเตอร์, และนอกจากนี้ยังมี เวกเตอร์และผลคูณของเวกเตอร์. งานในท้องถิ่น - การแบ่งส่วนในส่วนนี้ - จะไม่ฟุ่มเฟือยเช่นกัน จากข้อมูลข้างต้น คุณสามารถเชี่ยวชาญได้ สมการของเส้นตรงในระนาบกับ ตัวอย่างวิธีแก้ปัญหาที่ง่ายที่สุดซึ่งจะช่วยให้ เรียนรู้การแก้ปัญหาเรขาคณิต. บทความต่อไปนี้ก็มีประโยชน์เช่นกัน: สมการของเครื่องบินในอวกาศ, สมการของเส้นตรงในอวกาศ,ปัญหาเบื้องต้นเกี่ยวกับเส้นตรงและระนาบ, ส่วนอื่นๆ ของเรขาคณิตวิเคราะห์ โดยปกติแล้ว งานมาตรฐานจะได้รับการพิจารณาไปพร้อมกัน

แนวคิดเรื่องเวกเตอร์ เวกเตอร์ฟรี

ก่อนอื่น เรามาทวนคำจำกัดความของเวกเตอร์แบบโรงเรียนกันก่อน เวกเตอร์เรียกว่า กำกับส่วนที่ระบุจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด:

ในกรณีนี้ จุดเริ่มต้นของส่วนคือจุด จุดสิ้นสุดของส่วนคือจุด เวกเตอร์นั้นเขียนแทนด้วย ทิศทางเป็นสิ่งสำคัญ ถ้าคุณเลื่อนลูกศรไปที่ปลายอีกด้านของเซ็กเมนต์ คุณจะได้เวกเตอร์ และมันก็เป็นเช่นนั้นแล้ว เวกเตอร์ที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิง. สะดวกในการระบุแนวคิดของเวกเตอร์ด้วยการเคลื่อนไหวของร่างกาย: คุณต้องยอมรับว่าการเข้าประตูสถาบันหรือการออกจากประตูสถาบันเป็นสิ่งที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิง

สะดวกในการพิจารณาแต่ละจุดของเครื่องบินหรืออวกาศตามที่เรียกว่า เวกเตอร์เป็นศูนย์. สำหรับเวกเตอร์ดังกล่าว จุดสิ้นสุดและจุดเริ่มต้นตรงกัน

!!! บันทึก: ที่นี่และต่อไป คุณสามารถสรุปได้ว่าเวกเตอร์อยู่ในระนาบเดียวกันหรือคุณสามารถสันนิษฐานได้ว่าเวกเตอร์นั้นอยู่ในอวกาศ - สาระสำคัญของวัสดุที่นำเสนอนั้นใช้ได้กับทั้งระนาบและอวกาศ

การกำหนด:หลายคนสังเกตเห็นแท่งไม้นั้นทันทีโดยไม่มีลูกศรอยู่ในชื่อ และบอกว่ามีลูกศรอยู่ด้านบนด้วย! จริงอยู่คุณสามารถเขียนด้วยลูกศร: แต่ก็เป็นไปได้เช่นกัน รายการที่ฉันจะใช้ในอนาคต. ทำไม เห็นได้ชัดว่านิสัยนี้พัฒนาขึ้นด้วยเหตุผลในทางปฏิบัติ นักกีฬาของฉันที่โรงเรียนและมหาวิทยาลัยกลายเป็นคนที่มีขนาดแตกต่างกันเกินไปและมีขนดก ใน วรรณกรรมการศึกษาบางครั้งพวกเขาไม่สนใจการเขียนแบบฟอร์มเลย แต่เน้นตัวอักษรด้วยตัวหนา: ดังนั้นจึงบอกเป็นนัยว่านี่คือเวกเตอร์

นั่นคือโวหาร และตอนนี้เกี่ยวกับวิธีการเขียนเวกเตอร์:

1) เวกเตอร์สามารถเขียนด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่สองตัว:
และอื่น ๆ ในกรณีนี้คืออักษรตัวแรก อย่างจำเป็นหมายถึงจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ และตัวอักษรตัวที่สองหมายถึงจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์

2) เวกเตอร์เขียนด้วยตัวอักษรละตินตัวเล็ก:
โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เวกเตอร์ของเราสามารถกำหนดใหม่ให้สั้นลงได้ด้วยอักษรละตินตัวเล็ก

ความยาวหรือ โมดูลเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์เรียกว่าความยาวของเซ็กเมนต์ ความยาวของเวกเตอร์ศูนย์คือศูนย์ ตรรกะ

ความยาวของเวกเตอร์แสดงด้วยเครื่องหมายโมดูลัส: ,

เราจะเรียนรู้วิธีค้นหาความยาวของเวกเตอร์ (หรือเราจะทำซ้ำ ขึ้นอยู่กับว่าใคร) ในภายหลัง

นี่เป็นข้อมูลพื้นฐานเกี่ยวกับเวกเตอร์ที่เด็กนักเรียนทุกคนคุ้นเคย ในเรขาคณิตวิเคราะห์ที่เรียกว่า เวกเตอร์ฟรี.

พูดง่ายๆ ก็คือ - เวกเตอร์สามารถพล็อตได้จากจุดใดก็ได้:

เราคุ้นเคยกับการเรียกเวกเตอร์ดังกล่าวว่าเท่ากัน (คำจำกัดความของเวกเตอร์ที่เท่ากันจะได้รับด้านล่าง) แต่จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ล้วนๆ พวกมันคือ SAME VECTOR หรือ เวกเตอร์ฟรี. ทำไมฟรี? เพราะในการแก้ปัญหา คุณสามารถ "แนบ" เวกเตอร์นี้หรือเวกเตอร์นั้นกับจุดใดก็ได้ของระนาบหรือพื้นที่ที่คุณต้องการ นี่เป็นคุณสมบัติที่ยอดเยี่ยมมาก! ลองนึกภาพเวกเตอร์ที่มีความยาวและทิศทางตามอำเภอใจ - มันสามารถ "โคลน" ได้ไม่จำกัดจำนวนครั้งและ ณ จุดใดก็ได้ในอวกาศ อันที่จริง มันมีอยู่ทุกที่ มีนักเรียนคนหนึ่งพูดว่า: อาจารย์ทุกคนต่างให้ความสำคัญกับเวกเตอร์ ท้ายที่สุดมันไม่ได้เป็นเพียงสัมผัสที่มีไหวพริบเท่านั้น แต่ทุกอย่างถูกต้องทางคณิตศาสตร์ - สามารถแนบเวกเตอร์ไว้ที่นั่นได้เช่นกัน แต่อย่าเพิ่งรีบดีใจไป เพราะนิสิตเองต่างหากที่ต้องทนทุกข์ =)

ดังนั้น, เวกเตอร์ฟรี- นี้ พวงของ ส่วนกำกับที่เหมือนกัน คำจำกัดความของโรงเรียนเวกเตอร์ที่กำหนดไว้ที่จุดเริ่มต้นของย่อหน้า: “ส่วนที่กำกับเรียกว่าเวกเตอร์…” โดยนัย เฉพาะเจาะจงส่วนตรงที่นำมาจากชุดที่กำหนด ซึ่งเชื่อมโยงกับจุดเฉพาะในระนาบหรือพื้นที่

ควรสังเกตว่าจากมุมมองของฟิสิกส์ แนวคิดของเวกเตอร์อิสระโดยทั่วไปนั้นไม่ถูกต้อง และประเด็นการประยุกต์ใช้เวกเตอร์ก็มีความสำคัญ อันที่จริงการตีโดยตรงด้วยแรงเดียวกันที่จมูกหรือหน้าผากซึ่งเพียงพอที่จะพัฒนาตัวอย่างโง่ ๆ ของฉันนั้นนำมาซึ่งผลที่ตามมาที่แตกต่างกัน อย่างไรก็ตาม, ไม่ว่างเวกเตอร์ยังพบได้ในหลักสูตร vyshmat (อย่าไปที่นั่น :))

การดำเนินการกับเวกเตอร์ เส้นตรงของเวกเตอร์

หลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียนครอบคลุมการกระทำและกฎเกณฑ์หลายประการด้วยเวกเตอร์: การบวกตามกฎสามเหลี่ยม การบวกตามกฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน กฎผลต่างเวกเตอร์ การคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ ฯลฯเพื่อเป็นจุดเริ่มต้น ให้เราทำซ้ำกฎสองข้อที่เกี่ยวข้องโดยเฉพาะในการแก้ปัญหาเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์

กฎสำหรับการบวกเวกเตอร์โดยใช้กฎสามเหลี่ยม

พิจารณาเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวโดยพลการและ:

คุณต้องหาผลบวกของเวกเตอร์พวกนี้ เนื่องจากเวกเตอร์ทั้งหมดถือว่าฟรี เราจึงแยกเวกเตอร์นั้นออกจากกัน จบเวกเตอร์:

ผลรวมของเวกเตอร์คือเวกเตอร์ เพื่อความเข้าใจที่ดีขึ้นเกี่ยวกับกฎขอแนะนำให้รวมไว้ด้วย ความหมายทางกายภาพ: ปล่อยให้ร่างกายเคลื่อนที่ไปตามเวกเตอร์ แล้วตามด้วยเวกเตอร์ จากนั้นผลรวมของเวกเตอร์คือเวกเตอร์ของเส้นทางผลลัพธ์ที่มีจุดเริ่มต้นที่จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดที่จุดที่มาถึง กฎที่คล้ายกันถูกกำหนดขึ้นสำหรับผลรวมของเวกเตอร์จำนวนเท่าใดก็ได้ อย่างที่พวกเขาพูดกันว่าร่างกายสามารถโน้มตัวไปตามซิกแซกหรืออาจจะเป็นแบบอัตโนมัติ - ไปตามเวกเตอร์ผลลัพธ์ของผลรวม

ยังไงก็ตามหากเวกเตอร์ถูกเลื่อนออกไป เริ่มเวกเตอร์ แล้วเราจะได้ค่าที่เท่ากัน กฎสี่เหลี่ยมด้านขนานการบวกเวกเตอร์

ประการแรก เกี่ยวกับความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์ เรียกเวกเตอร์สองตัวนี้ว่า คอลลิเนียร์ถ้าพวกมันอยู่บนเส้นเดียวกันหรือเส้นคู่ขนาน พูดคร่าวๆ, เรากำลังพูดถึงเวกเตอร์คู่ขนาน แต่สำหรับคำเหล่านั้น คำคุณศัพท์ "collinear" มักจะถูกใช้เสมอ

ลองนึกภาพเวกเตอร์เชิงเส้นสองตัว หากลูกศรของเวกเตอร์เหล่านี้หันไปในทิศทางเดียวกัน ก็จะเรียกเวกเตอร์ดังกล่าว ร่วมกำกับ. หากลูกศรชี้ไปในทิศทางที่ต่างกัน เวกเตอร์ก็จะเป็นเช่นนี้ ทิศทางตรงกันข้าม.

การกำหนด:ความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์เขียนด้วยสัญลักษณ์ความเท่าเทียมตามปกติ: ในขณะที่รายละเอียดเป็นไปได้: (เวกเตอร์มีทิศทางร่วม) หรือ (เวกเตอร์มีทิศทางตรงกันข้าม)

การทำงานเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์บนตัวเลขคือเวกเตอร์ที่มีความยาวเท่ากับ และเวกเตอร์ซึ่งมีทิศทางร่วมและทิศทางตรงกันข้ามที่

กฎสำหรับการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลขนั้นง่ายต่อการเข้าใจโดยใช้รูปภาพ:

มาดูรายละเอียดเพิ่มเติม:

1) ทิศทาง หากตัวคูณเป็นลบ แสดงว่าเวกเตอร์ เปลี่ยนทิศทางในทางตรงกันข้าม

2) ความยาว หากตัวคูณอยู่ภายใน หรือ ความยาวของเวกเตอร์ ลดลง. ดังนั้น ความยาวของเวกเตอร์คือครึ่งหนึ่งของความยาวของเวกเตอร์ ถ้าโมดูลัสของตัวคูณมากกว่า 1 แสดงว่าความยาวของเวกเตอร์ เพิ่มขึ้นภายในเวลาที่กำหนด.

3) โปรดทราบว่า เวกเตอร์ทั้งหมดอยู่ในแนวเดียวกันในขณะที่เวกเตอร์ตัวหนึ่งแสดงผ่านอีกตัวหนึ่ง ตัวอย่างเช่น สิ่งที่ตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน: ถ้าเวกเตอร์ตัวหนึ่งสามารถแสดงผ่านอีกตัวหนึ่งได้ เวกเตอร์นั้นจำเป็นต้องอยู่ในแนวเดียวกัน ดังนั้น: ถ้าเราคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข เราจะได้เส้นตรง(สัมพันธ์กับต้นฉบับ) เวกเตอร์.

4) เวกเตอร์มีทิศทางร่วมกัน เวกเตอร์และยังมีกำกับร่วมด้วย เวกเตอร์ใดๆ ของกลุ่มแรกจะมีทิศตรงข้ามกับเวกเตอร์ใดๆ ของกลุ่มที่สอง

เวกเตอร์ใดเท่ากัน?

เวกเตอร์สองตัวจะเท่ากันหากอยู่ในทิศทางเดียวกันและมีความยาวเท่ากัน. โปรดทราบว่าความเป็นทิศทางร่วมหมายถึงความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์ คำจำกัดความจะไม่ถูกต้อง (ซ้ำซ้อน) ถ้าเราพูดว่า: “เวกเตอร์สองตัวจะเท่ากันถ้าพวกมันอยู่ในแนวเดียวกัน มีทิศทางร่วม และมีความยาวเท่ากัน”

จากมุมมองของแนวคิดของเวกเตอร์อิสระ เวกเตอร์ที่เท่ากันนั้นเป็นเวกเตอร์เดียวกันดังที่กล่าวไว้ในย่อหน้าก่อนหน้า

พิกัดเวกเตอร์บนเครื่องบินและในอวกาศ

ประเด็นแรกคือการพิจารณาเวกเตอร์บนเครื่องบิน ขอให้เราพรรณนาระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียนและพล็อตมันจากจุดกำเนิดของพิกัด เดี่ยวเวกเตอร์ และ :

เวกเตอร์และ ตั้งฉาก. มุมฉาก = ตั้งฉาก ฉันขอแนะนำให้คุณค่อยๆ ทำความคุ้นเคยกับคำศัพท์: แทนที่จะมีความเท่าเทียมและตั้งฉาก เราใช้คำตามลำดับ ความสอดคล้องกันและ ตั้งฉาก.

การกำหนด:ความตั้งฉากของเวกเตอร์เขียนด้วยสัญลักษณ์ตั้งฉากตามปกติ เช่น:

เวกเตอร์ที่อยู่ระหว่างการพิจารณาเรียกว่า พิกัดเวกเตอร์หรือ ออร์ต. เวกเตอร์เหล่านี้ก่อตัวขึ้น พื้นฐานบนพื้นผิว ฉันคิดว่าพื้นฐานคืออะไรนั้นชัดเจนสำหรับคนจำนวนมาก รายละเอียดข้อมูลสามารถพบได้ในบทความ การพึ่งพาเชิงเส้น (ไม่) ของเวกเตอร์ พื้นฐานของเวกเตอร์กล่าวง่ายๆ ก็คือพื้นฐานและที่มาของพิกัดจะกำหนดทั้งระบบ - นี่คือรากฐานชนิดหนึ่งที่ชีวิตทางเรขาคณิตที่สมบูรณ์และสมบูรณ์เดือดพล่าน

บางครั้งเรียกว่าพื้นฐานที่สร้างขึ้น ออร์โธนอร์มอลพื้นฐานของระนาบ: "ortho" - เนื่องจากเวกเตอร์พิกัดตั้งฉาก คำคุณศัพท์ "ทำให้เป็นมาตรฐาน" หมายถึงหน่วย เช่น ความยาวของเวกเตอร์ฐานเท่ากับหนึ่ง

การกำหนด:พื้นฐานมักจะเขียนอยู่ในวงเล็บซึ่งข้างใน ตามลำดับอย่างเคร่งครัดเวกเตอร์พื้นฐานจะถูกแสดงรายการไว้ เช่น: เวกเตอร์พิกัด มันเป็นสิ่งต้องห้ามจัดเรียงใหม่

ใดๆเวกเตอร์เครื่องบิน วิธีเดียวเท่านั้นแสดงเป็น:
, ที่ไหน - ตัวเลขซึ่งเรียกว่า พิกัดเวกเตอร์ในพื้นฐานนี้ และการแสดงออกนั้นเอง เรียกว่า การสลายตัวของเวกเตอร์ตามพื้นฐาน .

เสิร์ฟอาหารค่ำ:

เริ่มจากตัวอักษรตัวแรกของตัวอักษร: . ภาพวาดแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนว่าเมื่อแยกย่อยเวกเตอร์เป็นพื้นฐาน จะใช้สิ่งที่เพิ่งกล่าวถึง:
1) กฎสำหรับการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข: และ ;
2) การบวกเวกเตอร์ตามกฎสามเหลี่ยม: .

ทีนี้ ให้พลอตเวกเตอร์จากจุดอื่นใดบนระนาบทางจิตใจ เห็นได้ชัดว่าความเสื่อมสลายของเขาจะ "ติดตามเขาอย่างไม่ลดละ" นี่คืออิสรภาพของเวกเตอร์ - เวกเตอร์ "นำทุกสิ่งมาด้วยตัวมันเอง" แน่นอนว่าคุณสมบัตินี้เป็นจริงสำหรับเวกเตอร์ใดๆ เป็นเรื่องตลกที่ไม่จำเป็นต้องพล็อตเวกเตอร์พื้นฐาน (ฟรี) จากจุดเริ่มต้น คุณสามารถวาดเวกเตอร์ตัวหนึ่งได้ที่ด้านซ้ายล่างและอีกตัวอยู่ที่มุมขวาบนและจะไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลง! จริงอยู่ คุณไม่จำเป็นต้องทำเช่นนี้ เนื่องจากครูจะแสดงความคิดริเริ่มและดึง "เครดิต" ให้คุณในสถานที่ที่ไม่คาดคิด

เวกเตอร์แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงกฎสำหรับการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข เวกเตอร์นั้นมีทิศทางร่วมกับเวกเตอร์ฐาน เวกเตอร์นั้นอยู่ตรงข้ามกับเวกเตอร์ฐาน สำหรับเวกเตอร์เหล่านี้ หนึ่งในพิกัดจะเท่ากับศูนย์ คุณสามารถเขียนอย่างพิถีพิถันได้ดังนี้:


และเวกเตอร์พื้นฐานก็เป็นดังนี้: (อันที่จริงพวกมันแสดงออกมาผ่านตัวมันเอง)

และในที่สุดก็: , . ว่าแต่ การลบเวกเตอร์คืออะไร แล้วทำไมฉันไม่พูดถึงกฎการลบล่ะ ที่ไหนสักแห่งในพีชคณิตเชิงเส้น ฉันจำไม่ได้ว่าอยู่ที่ไหน ฉันสังเกตว่าการลบคืออะไร กรณีพิเศษส่วนที่เพิ่มเข้าไป. ดังนั้น การขยายตัวของเวกเตอร์ “de” และ “e” จึงเขียนเป็นผลรวมได้อย่างง่ายดาย: , . จัดเรียงคำศัพท์ใหม่และดูว่าการบวกเวกเตอร์แบบเก่าตามกฎสามเหลี่ยมทำงานได้ดีเพียงใดในสถานการณ์เหล่านี้

การพิจารณาสลายตัวของแบบฟอร์ม บางครั้งเรียกว่าการสลายตัวของเวกเตอร์ ในระบบออร์ต(เช่น ในระบบเวกเตอร์หน่วย) แต่นี่ไม่ใช่วิธีเดียวในการเขียนเวกเตอร์ ตัวเลือกต่อไปนี้เป็นเรื่องปกติ:

หรือมีเครื่องหมายเท่ากับ:

เวกเตอร์พื้นฐานเขียนดังนี้: และ

นั่นคือพิกัดของเวกเตอร์จะแสดงอยู่ในวงเล็บ ใน ปัญหาในทางปฏิบัติมีการใช้ตัวเลือกการบันทึกทั้งสามตัวเลือก

ฉันสงสัยว่าจะพูดหรือไม่ แต่ฉันจะพูดต่อไป: พิกัดเวกเตอร์ไม่สามารถจัดเรียงใหม่ได้. อย่างเคร่งครัดเป็นอันดับแรกเราเขียนพิกัดที่สอดคล้องกับเวกเตอร์หน่วย เป็นอันดับสองอย่างเคร่งครัดเราเขียนพิกัดที่สอดคล้องกับเวกเตอร์หน่วย แท้จริงแล้ว และ เป็นเวกเตอร์สองตัวที่ต่างกัน

เราหาพิกัดบนเครื่องบินได้ ทีนี้ลองดูเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ เกือบทุกอย่างจะเหมือนกันตรงนี้! มันจะเพิ่มอีกหนึ่งพิกัด การสร้างภาพวาดสามมิติเป็นเรื่องยาก ดังนั้นฉันจะจำกัดตัวเองให้อยู่ที่เวกเตอร์เพียงตัวเดียว ซึ่งเพื่อความง่ายฉันจะแยกออกจากจุดกำเนิด:

ใดๆเวกเตอร์อวกาศ 3 มิติ วิธีเดียวเท่านั้นขยายออกไปตามหลักออร์โธนอร์มอล:
โดยที่พิกัดของเวกเตอร์ (ตัวเลข) อยู่ที่ไหนบนพื้นฐานนี้

ตัวอย่างจากภาพ: . มาดูกันว่ากฎเวกเตอร์ทำงานอย่างไรที่นี่ ขั้นแรก ให้คูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข: (ลูกศรสีแดง) (ลูกศรสีเขียว) และ (ลูกศรราสเบอร์รี่) ประการที่สอง นี่คือตัวอย่างของการเพิ่มหลายรายการในนี้ กรณีที่สาม, เวกเตอร์: . เวกเตอร์ผลรวมเริ่มต้นที่จุดเริ่มต้นเริ่มต้น (จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์) และสิ้นสุดที่จุดสุดท้ายที่มาถึง (จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์)

เวกเตอร์ทั้งหมดของพื้นที่สามมิตินั้นเป็นอิสระเช่นกัน พยายามแยกเวกเตอร์ออกจากจุดอื่นในใจแล้วคุณจะเข้าใจว่าการสลายตัวของมัน "จะยังคงอยู่กับมัน"

คล้ายกับเคสแบนนอกเหนือจากการเขียน รุ่นที่มีวงเล็บปีกกาใช้กันอย่างแพร่หลาย: ทั้ง .

หากไม่มีเวกเตอร์พิกัดหนึ่ง (หรือสอง) ตัวในส่วนขยาย ก็จะใส่ศูนย์เข้าไปแทนที่ ตัวอย่าง:
เวกเตอร์ (อย่างพิถีพิถัน ) – มาเขียนกันเถอะ ;
เวกเตอร์ (อย่างพิถีพิถัน ) – มาเขียนกันเถอะ ;
เวกเตอร์ (อย่างพิถีพิถัน ) – มาเขียนกัน

เวกเตอร์พื้นฐานเขียนดังนี้:

นี่อาจเป็นความรู้ทางทฤษฎีขั้นต่ำทั้งหมดที่จำเป็นในการแก้ปัญหาเรขาคณิตวิเคราะห์ อาจมีคำศัพท์และคำจำกัดความมากมาย ดังนั้น แนะนำให้กาน้ำชาอ่านและทำความเข้าใจข้อมูลนี้อีกครั้ง และจะเป็นประโยชน์สำหรับผู้อ่านที่จะอ้างอิงถึงบทเรียนพื้นฐานเป็นครั้งคราวเพื่อดูดซึมเนื้อหาได้ดีขึ้น ความเป็นเส้นตรง, ความตั้งฉาก, พื้นฐาน orthonormal, การสลายตัวของเวกเตอร์ - แนวคิดเหล่านี้และแนวคิดอื่น ๆ มักจะถูกนำมาใช้ในอนาคต ฉันต้องการทราบว่าเนื้อหาบนเว็บไซต์ไม่เพียงพอที่จะผ่านการทดสอบเชิงทฤษฎีหรือการประชุมเชิงปฏิบัติการในเรขาคณิตเนื่องจากฉันเข้ารหัสทฤษฎีบททั้งหมดอย่างระมัดระวัง (และไม่มีการพิสูจน์) เพื่อสร้างความเสียหายให้กับ สไตล์วิทยาศาสตร์การนำเสนอ แต่จะเป็นการบวกกับความเข้าใจของคุณในเรื่องนี้ หากต้องการรับข้อมูลเชิงทฤษฎีโดยละเอียด โปรดโค้งคำนับศาสตราจารย์อตานาสยาน

และเราไปยังส่วนที่ใช้งานได้จริง:

ปัญหาที่ง่ายที่สุดของเรขาคณิตวิเคราะห์
การดำเนินการกับเวกเตอร์ในพิกัด

ขอแนะนำอย่างยิ่งให้เรียนรู้วิธีการแก้ปัญหางานที่จะได้รับการพิจารณาโดยอัตโนมัติและสูตร จดจำคุณไม่จำเป็นต้องจำมันโดยตั้งใจ แต่พวกเขาจะจำมันเอง =) สิ่งนี้สำคัญมากเนื่องจากปัญหาอื่น ๆ ของเรขาคณิตวิเคราะห์นั้นขึ้นอยู่กับตัวอย่างเบื้องต้นที่ง่ายที่สุดและจะน่ารำคาญที่จะใช้เวลาเพิ่มเติมในการกินเบี้ย . ไม่จำเป็นต้องติดกระดุมบนเสื้อเพราะมีหลายสิ่งที่คุ้นเคยจากโรงเรียน

การนำเสนอเนื้อหาจะดำเนินไปในทิศทางคู่ขนาน - ทั้งสำหรับเครื่องบินและอวกาศ ด้วยเหตุผลที่ว่าทุกสูตร...คุณจะเห็นเอง

จะหาเวกเตอร์จากจุดสองจุดได้อย่างไร?

หากให้จุดสองจุดของระนาบแล้วเวกเตอร์จะมีพิกัดต่อไปนี้:

หากให้จุดสองจุดในอวกาศแล้วเวกเตอร์จะมีพิกัดต่อไปนี้:

นั่นคือ, จากพิกัดจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์คุณต้องลบพิกัดที่เกี่ยวข้อง จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์.

ออกกำลังกาย:สำหรับจุดเดียวกัน ให้เขียนสูตรในการหาพิกัดของเวกเตอร์ สูตรในตอนท้ายของบทเรียน

ตัวอย่างที่ 1

ให้จุดสองจุดของระนาบและ. ค้นหาพิกัดเวกเตอร์

สารละลาย:ตามสูตรที่เหมาะสม:

หรืออาจใช้รายการต่อไปนี้:

สุนทรียศาสตร์จะตัดสินสิ่งนี้:

โดยส่วนตัวแล้วฉันคุ้นเคยกับการบันทึกเวอร์ชันแรกแล้ว

คำตอบ:

ตามเงื่อนไขนั้น ไม่จำเป็นต้องสร้างภาพวาด (ซึ่งเป็นเรื่องปกติสำหรับปัญหาของเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์) แต่เพื่อที่จะชี้แจงบางจุดสำหรับหุ่นจำลอง ฉันจะไม่ขี้เกียจ:

คุณต้องเข้าใจอย่างแน่นอน ความแตกต่างระหว่างพิกัดจุดและพิกัดเวกเตอร์:

พิกัดจุด– เป็นพิกัดสามัญในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม ฉันคิดว่าทุกคนรู้วิธีพล็อตจุดบนระนาบพิกัดตั้งแต่ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5-6 แต่ละจุดมีสถานที่ที่เข้มงวดบนเครื่องบินและไม่สามารถเคลื่อนย้ายไปที่ใดก็ได้

พิกัดของเวกเตอร์– นี่คือการขยายตามพื้นฐาน ในกรณีนี้ เวกเตอร์ใดๆ ก็ตามนั้นฟรี ดังนั้นหากจำเป็น เราก็สามารถย้ายมันออกจากจุดอื่นในระนาบได้อย่างง่ายดาย สิ่งที่น่าสนใจคือสำหรับเวกเตอร์ คุณไม่จำเป็นต้องสร้างแกนหรือระบบพิกัดสี่เหลี่ยมเลย คุณเพียงต้องการพื้นฐานเท่านั้น ในกรณีนี้คือพื้นฐานออร์โธนอร์มอลของระนาบ

บันทึกพิกัดของจุดและพิกัดของเวกเตอร์ดูเหมือนจะคล้ายกัน: , และ ความหมายของพิกัดอย่างแน่นอน แตกต่างและคุณควรตระหนักดีถึงความแตกต่างนี้ แน่นอนว่าความแตกต่างนี้ใช้ได้กับพื้นที่ด้วย

ท่านสุภาพสตรีและสุภาพบุรุษ เรามาเติมมือกันเถอะ:

ตัวอย่างที่ 2

ก) คะแนนและได้รับ ค้นหาเวกเตอร์และ .
b) ให้คะแนน และ . ค้นหาเวกเตอร์และ .
c) คะแนนและได้รับ ค้นหาเวกเตอร์และ .
d) ให้คะแนน ค้นหาเวกเตอร์ .

บางทีนั่นอาจจะเพียงพอแล้ว นี่เป็นตัวอย่างสำหรับ การตัดสินใจที่เป็นอิสระพยายามอย่าละเลยสิ่งเหล่านั้น มันจะได้ผลตอบแทน ;-) ไม่จำเป็นต้องวาดรูป แนวทางแก้ไขและคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

สิ่งสำคัญในการแก้ปัญหาเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์คืออะไร?สิ่งสำคัญคือต้องระมัดระวังเป็นอย่างยิ่งเพื่อหลีกเลี่ยงการทำผิดพลาดแบบ "สองบวกสองเท่ากับศูนย์" อย่างเชี่ยวชาญ ฉันขอโทษทันทีหากฉันทำผิดพลาดที่ไหนสักแห่ง =)

จะหาความยาวของส่วนได้อย่างไร?

ความยาวตามที่ระบุไว้แล้วจะถูกระบุด้วยเครื่องหมายโมดูลัส

หากให้จุดสองจุดของระนาบ และ ความยาวของส่วนสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร

หากมีการกำหนดสองจุดในอวกาศความยาวของส่วนสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร

บันทึก: สูตรจะยังคงถูกต้องหากมีการสลับพิกัดที่เกี่ยวข้อง: และ แต่ตัวเลือกแรกจะเป็นมาตรฐานมากกว่า

ตัวอย่างที่ 3

สารละลาย:ตามสูตรที่เหมาะสม:

คำตอบ:

เพื่อความชัดเจนฉันจะวาดรูป

ส่วนของเส้น - นี่ไม่ใช่เวกเตอร์และแน่นอนว่าคุณไม่สามารถเคลื่อนย้ายมันไปไหนได้ นอกจากนี้ หากคุณวาดเป็นขนาด: 1 หน่วย = 1 ซม. (สอง เซลล์เตตราด) จากนั้นจึงสามารถตรวจสอบคำตอบที่ได้โดยใช้ไม้บรรทัดธรรมดาโดยการวัดความยาวของส่วนนั้นโดยตรง

ใช่ วิธีแก้ปัญหานั้นสั้น แต่ก็มีอีกสองสามข้อในนั้น จุดสำคัญที่ข้าพเจ้าอยากจะชี้แจงว่า

ประการแรก เราใส่มิติข้อมูลลงในคำตอบ: "หน่วย" สภาพไม่ได้บอกว่ามันคืออะไร มิลลิเมตร เซนติเมตร เมตร หรือกิโลเมตร ดังนั้น วิธีแก้ไขที่ถูกต้องทางคณิตศาสตร์คือสูตรทั่วไป: "หน่วย" - เรียกโดยย่อว่า "หน่วย"

ประการที่สอง ให้เราทำซ้ำเนื้อหาของโรงเรียนซึ่งมีประโยชน์ไม่เพียง แต่สำหรับงานที่พิจารณาเท่านั้น:

ให้ความสนใจกับ เทคนิคที่สำคัญ – ลบตัวคูณออกจากใต้รูท. จากการคำนวณ เราได้ผลลัพธ์ และรูปแบบทางคณิตศาสตร์ที่ดีคือการลบปัจจัยออกจากใต้ราก (ถ้าเป็นไปได้) รายละเอียดเพิ่มเติมกระบวนการมีลักษณะดังนี้: . แน่นอนว่าการทิ้งคำตอบไว้อย่างที่เป็นอยู่นั้นไม่ใช่ความผิดพลาด แต่แน่นอนว่ามันจะเป็นข้อบกพร่องและเป็นข้อโต้แย้งที่หนักหน่วงสำหรับการพูดเล่นของครู

ต่อไปนี้เป็นกรณีทั่วไปอื่นๆ:

มักมีเพียงพอที่ราก จำนวนมาก, ตัวอย่างเช่น . จะทำอย่างไรในกรณีเช่นนี้? ใช้เครื่องคิดเลขตรวจสอบว่าตัวเลขหารด้วย 4 ลงตัวหรือไม่: ใช่แล้ว มันถูกแบ่งแยกโดยสิ้นเชิง ดังนี้: . หรือบางทีตัวเลขสามารถหารด้วย 4 อีกครั้งได้? . ดังนั้น: . หลักสุดท้ายของตัวเลขเป็นเลขคี่ ดังนั้นการหารด้วย 4 เป็นครั้งที่สามจะไม่ได้ผลอย่างเห็นได้ชัด ลองหารด้วยเก้า: . ผลที่ตามมา:
พร้อม.

บทสรุป:หากเราได้รับตัวเลขที่ไม่สามารถแยกออกมาทั้งหมดได้ภายใต้รูทเราจะพยายามลบตัวประกอบออกจากใต้รูท - ใช้เครื่องคิดเลขเพื่อตรวจสอบว่าตัวเลขหารด้วย: 4, 9, 16, 25, 36 หรือไม่ 49 เป็นต้น

ในการแก้ปัญหาต่าง ๆ มักเจอรากเหง้า พยายามดึงปัจจัยจากใต้รากเสมอเพื่อหลีกเลี่ยงปัญหาเกรดต่ำและไม่จำเป็นด้วยการสรุปวิธีแก้ปัญหาตามความคิดเห็นของครู

เรามาทำซ้ำการยกกำลังสองและค่ากำลังอื่นๆ กัน:

กฎสำหรับการดำเนินการที่มีดีกรีเข้า ปริทัศน์สามารถพบได้ในหนังสือเรียนเกี่ยวกับพีชคณิต แต่ฉันคิดว่าจากตัวอย่างที่ให้มา ทุกอย่างหรือเกือบทุกอย่างก็ชัดเจนอยู่แล้ว

งานสำหรับโซลูชันอิสระที่มีส่วนในพื้นที่:

ตัวอย่างที่ 4

คะแนนและได้รับ ค้นหาความยาวของส่วน.

คำตอบและคำตอบอยู่ท้ายบทเรียน

จะหาความยาวของเวกเตอร์ได้อย่างไร?

หากให้เวกเตอร์ระนาบมา สูตรจะคำนวณความยาวของเวกเตอร์

หากกำหนดเวกเตอร์อวกาศ ความยาวจะถูกคำนวณโดยสูตร .

คำนิยาม. ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ a (ตัวคูณ) และเวกเตอร์ที่ไม่ใช่คอลลิเนียร์ (ตัวคูณ) คือเวกเตอร์ตัวที่สาม c (ผลคูณ) ซึ่งสร้างได้ดังนี้:

1) โมดูลัสของมันคือตัวเลข เท่ากับพื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนานในรูป 155) สร้างบนเวกเตอร์ กล่าวคือ เท่ากับทิศทางที่ตั้งฉากกับระนาบของสี่เหลี่ยมด้านขนานดังกล่าว

3) ในกรณีนี้ เลือกทิศทางของเวกเตอร์ c (จากสองทิศทางที่เป็นไปได้) เพื่อให้เวกเตอร์ c สร้างระบบทางขวา (§ 110)

การกำหนด: หรือ

นอกเหนือจากคำจำกัดความแล้ว หากเวกเตอร์อยู่ในแนวเดียวกัน เมื่อพิจารณาว่ารูปนั้นเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน (แบบมีเงื่อนไข) ก็เป็นเรื่องปกติที่จะกำหนดพื้นที่เป็นศูนย์ ดังนั้น ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์คอลลิเนียร์จึงถือว่าเท่ากับเวกเตอร์ว่าง

เนื่องจากเวกเตอร์ว่างสามารถกำหนดทิศทางใดก็ได้ ข้อตกลงนี้จึงไม่ขัดแย้งกับคำจำกัดความของย่อหน้าที่ 2 และ 3

หมายเหตุ 1. ในคำว่า “ผลคูณเวกเตอร์” คำแรกบ่งชี้ว่าผลลัพธ์ของการกระทำนั้นเป็นเวกเตอร์ (ตรงข้ามกับผลคูณสเกลาร์; cf. § 104, หมายเหตุ 1)

ตัวอย่างที่ 1 ค้นหาผลคูณเวกเตอร์โดยที่เวกเตอร์หลักของระบบพิกัดที่ถูกต้อง (รูปที่ 156)

1. เนื่องจากความยาวของเวกเตอร์หลักเท่ากับหนึ่งหน่วยมาตราส่วน พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน (สี่เหลี่ยมจัตุรัส) จึงเป็นตัวเลขเท่ากับหนึ่ง ซึ่งหมายความว่าโมดูลัสของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์มีค่าเท่ากับหนึ่ง

2. เนื่องจากตั้งฉากกับระนาบคือแกน ผลคูณเวกเตอร์ที่ต้องการจึงเป็นเวกเตอร์โคลิเนียร์กับเวกเตอร์ k และเนื่องจากทั้งคู่มีโมดูลัส 1 ผลคูณเวกเตอร์ที่ต้องการจึงเท่ากับ k หรือ -k

3. จากเวกเตอร์ที่เป็นไปได้ทั้งสองนี้ ต้องเลือกเวกเตอร์แรก เนื่องจากเวกเตอร์ k เป็นระบบที่ถนัดขวา (และเวกเตอร์เป็นระบบที่ถนัดซ้าย)

ตัวอย่างที่ 2 ค้นหาผลคูณไขว้

สารละลาย. ดังตัวอย่างที่ 1 เราสรุปได้ว่าเวกเตอร์มีค่าเท่ากับ k หรือ -k แต่ตอนนี้เราต้องเลือก -k เนื่องจากเวกเตอร์สร้างระบบทางขวา (และเวกเตอร์ก่อตัวเป็นระบบทางซ้าย) ดังนั้น,

ตัวอย่างที่ 3 เวกเตอร์มีความยาวเท่ากับ 80 และ 50 ซม. ตามลำดับ และมีมุม 30° นำเมตรเป็นหน่วยของความยาว หาความยาวของผลคูณเวกเตอร์ a

สารละลาย. พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างบนเวกเตอร์เท่ากับ ความยาวของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ที่ต้องการเท่ากับ

ตัวอย่างที่ 4 ค้นหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์เดียวกัน โดยใช้หน่วยเซนติเมตรเป็นหน่วยความยาว

สารละลาย. เนื่องจากพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างบนเวกเตอร์เท่ากัน ความยาวของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์จึงเท่ากับ 2,000 ซม. เช่น

จากการเปรียบเทียบตัวอย่างที่ 3 และ 4 เห็นได้ชัดว่าความยาวของเวกเตอร์ไม่เพียงแต่ขึ้นอยู่กับความยาวของตัวประกอบเท่านั้น แต่ยังขึ้นอยู่กับการเลือกหน่วยความยาวด้วย

ความหมายทางกายภาพของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของหลายๆอย่าง ปริมาณทางกายภาพซึ่งแสดงด้วยผลคูณเวกเตอร์ เราจะพิจารณาเฉพาะช่วงเวลาแห่งแรงเท่านั้น

ให้ A เป็นจุดที่ใช้แรง โมเมนต์ของแรงสัมพันธ์กับจุด O เรียกว่าผลคูณเวกเตอร์ เนื่องจากโมดูลัสของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์นี้มีตัวเลขเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน (รูปที่ 157) ดังนั้น โมดูลัสของโมเมนต์เท่ากับผลคูณของฐานและความสูง เช่น แรงคูณด้วยระยะห่างจากจุด O ถึงเส้นตรงที่แรงกระทำ

ในทางกลศาสตร์ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเพื่อความสมดุล แข็งจำเป็นที่ไม่เพียงแต่ผลรวมของเวกเตอร์ที่เป็นตัวแทนของแรงที่กระทำต่อร่างกายจะต้องเท่ากับศูนย์ แต่ยังรวมถึงผลรวมของโมเมนต์ของแรงด้วย ในกรณีที่แรงทั้งหมดขนานกับระนาบเดียว การบวกเวกเตอร์ที่แทนโมเมนต์สามารถแทนที่ได้ด้วยการบวกและการลบขนาดของพวกมัน แต่ด้วยทิศทางของกองกำลังตามอำเภอใจ การทดแทนดังกล่าวจึงเป็นไปไม่ได้ ด้วยเหตุนี้ ผลคูณเวกเตอร์จึงถูกกำหนดให้เป็นเวกเตอร์อย่างแม่นยำ ไม่ใช่ตัวเลข

ก่อนที่จะให้แนวคิดเกี่ยวกับผลคูณเวกเตอร์ ให้เราหันมาที่คำถามเกี่ยวกับการวางแนวของเวกเตอร์ลำดับสามของ a →, b →, c → ในปริภูมิสามมิติ

ขั้นแรก ให้แยกเวกเตอร์ a → , b → , c → ออกจากจุดหนึ่ง การวางแนวของสาม a → , b → , c → สามารถไปทางขวาหรือซ้ายก็ได้ ขึ้นอยู่กับทิศทางของเวกเตอร์ c → นั่นเอง ประเภทของทริปเปิ้ล a → , b → , c → จะถูกกำหนดจากทิศทางที่เวกเตอร์ a → ถึง b → จากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ c → หมุนที่สั้นที่สุด

หากหมุนทวนเข็มนาฬิกาสั้นที่สุด ก็จะเรียกเวกเตอร์ทั้งสาม a → , b → , c → ขวาถ้าตามเข็มนาฬิกา – ซ้าย.

จากนั้น หาเวกเตอร์ที่ไม่ใช่คอลลิเนียร์สองตัว a → และ b → จากนั้นให้เราพลอตเวกเตอร์ A B → = a → และ AC → = b → จากจุด A เรามาสร้างเวกเตอร์ A D → = c → ซึ่งตั้งฉากกับทั้ง A B → และ A C → พร้อมกัน ดังนั้น เมื่อสร้างเวกเตอร์ A D → = c → เราสามารถทำสองสิ่ง โดยกำหนดให้เวกเตอร์มีทิศทางเดียวหรือตรงกันข้าม (ดูภาพประกอบ)

ตามที่เราพบ เวกเตอร์สามเท่าของลำดับ a → , b → , c → สามารถเป็นได้ทั้งทางขวาหรือทางซ้าย ขึ้นอยู่กับทิศทางของเวกเตอร์

จากที่กล่าวมาข้างต้น เราสามารถแนะนำคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ได้ คำจำกัดความนี้กำหนดไว้สำหรับเวกเตอร์สองตัวที่กำหนดในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมในปริภูมิสามมิติ

คำจำกัดความ 1

ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัว a → และ b → เราจะเรียกเวกเตอร์ดังกล่าวซึ่งกำหนดไว้ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมของปริภูมิสามมิติดังนี้:

• ถ้าเวกเตอร์ a → และ b → เป็นเส้นตรง มันจะเป็นศูนย์
• มันจะตั้งฉากกับทั้งเวกเตอร์ a → ​​​​ และเวกเตอร์ b → เช่น ∠ ก → ค → = ∠ ข → ค → = π 2 ;
• ความยาวถูกกำหนดโดยสูตร: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
• สามเวกเตอร์ของ a → , b → , c → มีทิศทางเดียวกับใน ระบบนี้พิกัด

งานศิลปะของเว็กเตอร์เวกเตอร์ a → และ b → มีสัญลักษณ์ดังนี้ a → × b →

พิกัดของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

เนื่องจากเวกเตอร์ใดๆ มีพิกัดที่แน่นอนในระบบพิกัด เราจึงสามารถแนะนำคำจำกัดความที่สองของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ได้ ซึ่งจะช่วยให้เราค้นหาพิกัดของมันโดยใช้พิกัดที่กำหนดของเวกเตอร์ได้

คำจำกัดความ 2

ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมของปริภูมิสามมิติ ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัว a → = (a x ; a y ; a z) และ b → = (b x ; b y ; b z) เรียกว่าเวกเตอร์ c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → โดยที่ i → , j → , k → เป็นเวกเตอร์พิกัด

ผลคูณเวกเตอร์สามารถแสดงเป็นตัวดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จตุรัสอันดับสาม โดยที่แถวแรกประกอบด้วยเวกเตอร์เวกเตอร์ i → , j → , k → แถวที่สองประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์ a → และแถวที่สาม มีพิกัดของเวกเตอร์ b → ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมที่กำหนด นี่คือดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์มีลักษณะดังนี้: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

เมื่อขยายดีเทอร์มิแนนต์นี้เข้าไปในองค์ประกอบของแถวแรก เราจะได้ความเท่าเทียมกัน: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → = = a → × b → = (มี b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์ข้าม

เป็นที่ทราบกันดีว่าผลคูณเวกเตอร์ในพิกัดนั้นแสดงเป็นตัวกำหนดของเมทริกซ์ c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z จากนั้นบนพื้นฐาน คุณสมบัติของตัวกำหนดเมทริกซ์ต่อไปนี้จะปรากฏขึ้น คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:

1. การต่อต้านการกลายพันธุ์ a → × b → = - b → × a → ;
2. การกระจายตัว a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → หรือ a → × b (1) → + b (2) → = a → × ข (1) → + ก → × ข (2) → ;
3. การเชื่อมโยง แล a → × b → = แลม → × b → หรือ a → × (แลม b →) = แลม → × b → โดยที่ แล คือจำนวนจริงใดๆ

คุณสมบัติเหล่านี้มีการพิสูจน์ง่ายๆ

ตามตัวอย่าง เราสามารถพิสูจน์คุณสมบัติต้านการเปลี่ยนแปลงของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ได้

หลักฐานการต่อต้านการเปลี่ยนแปลง

ตามคำนิยาม a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z และ b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z และถ้ามีการสลับเมทริกซ์สองแถว ค่าของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ควรเปลี่ยนไปตรงกันข้าม ดังนั้น a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → ซึ่งและพิสูจน์ว่าผลคูณเวกเตอร์เป็นแบบต้านการเปลี่ยนแปลง

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ - ตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหา

ในกรณีส่วนใหญ่ จะมีปัญหาสามประเภท

ในโจทย์ประเภทแรก มักจะให้ความยาวของเวกเตอร์สองตัวและมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านั้น และคุณจำเป็นต้องค้นหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์ ในกรณีนี้ ให้ใช้สูตรต่อไปนี้ c → = a → · b → · sin ∠ a → , b →

ตัวอย่างที่ 1

จงหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ a → และ b → ถ้าคุณรู้ a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4

สารละลาย

โดยการหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ a → และ b → เราจะแก้ปัญหานี้: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .

คำตอบ: 15 2 2 .

ปัญหาประเภทที่สองมีความเกี่ยวข้องกับพิกัดของเวกเตอร์ โดยในนั้นคือผลคูณเวกเตอร์ ความยาวของมัน ฯลฯ ถูกค้นหาผ่านพิกัดที่ทราบของเวกเตอร์ที่กำหนด ก → = (ก x; ก y; ก z) และ ข → = (ข x ; โดย ; ข z) .

สำหรับปัญหาประเภทนี้ คุณสามารถแก้ไขตัวเลือกงานได้มากมาย ตัวอย่างเช่น ไม่สามารถระบุพิกัดของเวกเตอร์ a → และ b → ได้ แต่จะขยายเป็นเวกเตอร์พิกัดของแบบฟอร์มไม่ได้ b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → และ c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → หรือเวกเตอร์ a → และ b → สามารถระบุได้ด้วยพิกัดจุดเริ่มต้น และจุดสิ้นสุด

ลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 2

ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม ให้เวกเตอร์สองตัว: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1) ค้นหาผลิตภัณฑ์ข้ามของพวกเขา

สารละลาย

ตามคำจำกัดความที่สอง เราจะพบผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัวใน พิกัดที่กำหนด: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + (a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) (- 1)) ผม → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 ผม → - 2 j → - 2 k → .

ถ้าเราเขียนผลคูณเวกเตอร์ในรูปของดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ แล้วคำตอบ ตัวอย่างนี้มีลักษณะดังนี้: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k →

คำตอบ: ก → × b → = - 2 ผม → - 2 เจ → - 2 k → .

ตัวอย่างที่ 3

จงหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ i → - j → และ i → + j → + k → โดยที่ i →, j →, k → เป็นเวกเตอร์หน่วยของระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม

สารละลาย

ก่อนอื่น เรามาค้นหาพิกัดของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ที่กำหนด i → - j → × i → + j → + k → ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมที่กำหนด

เป็นที่ทราบกันว่าเวกเตอร์ i → - j → และ i → + j → + k → มีพิกัด (1; - 1; 0) และ (1; 1; 1) ตามลำดับ ลองหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์โดยใช้ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ จากนั้นเราจะได้ i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - เจ → + 2 k → .

ดังนั้น ผลคูณเวกเตอร์ i → - j → × i → + j → + k → มีพิกัด (- 1 ; - 1 ; 2) ในระบบพิกัดที่กำหนด

เราค้นหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์โดยใช้สูตร (ดูหัวข้อการหาความยาวของเวกเตอร์): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

คำตอบ: ผม → - เจ → × ผม → + เจ → + k → = 6 . .

ตัวอย่างที่ 4

ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม พิกัดสามจุด A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) จะได้รับ จงหาเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับ A B → และ A C → ในเวลาเดียวกัน

สารละลาย

เวกเตอร์ A B → และ AC → มีพิกัดต่อไปนี้ (- 1 ; 2 ; 2) และ (0 ; 4 ; 1) ตามลำดับ เมื่อพบผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ A B → และ A C → เห็นได้ชัดว่ามันเป็นเวกเตอร์ตั้งฉากตามคำจำกัดความของทั้ง A B → และ A C → นั่นคือมันเป็นวิธีแก้ปัญหาของเรา ลองหามันมา A B → × AC → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

คำตอบ: - 6 ผม → + เจ → - 4 k → . - หนึ่งในเวกเตอร์ตั้งฉาก

ปัญหาประเภทที่สามจะเน้นไปที่การใช้คุณสมบัติของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ หลังจากสมัครแล้วเราจะได้แนวทางแก้ไขปัญหาที่กำหนด

ตัวอย่างที่ 5

เวกเตอร์ a → และ b → ตั้งฉากกัน และมีความยาวเท่ากับ 3 และ 4 ตามลำดับ จงหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์ 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 · ก → × - 2 · ข → + - ข → × ก → + - ข → × - 2 · ข → .

สารละลาย

ด้วยคุณสมบัติการกระจายของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ เราสามารถเขียนได้ 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 ก → × ก → + 3 ก → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

ด้วยคุณสมบัติของการเชื่อมโยงเราจะนำค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขออกจากเครื่องหมายของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ในนิพจน์สุดท้าย: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - ข → × - 2 · ข → = = 3 · ก → × ก → + 3 · (- 2) · ก → × ข → + (- 1) · ข → × ก → + (- 1) · (- 2) · ข → × ข → = = 3 ก → × ก → - 6 ก → × ข → - ข → × ก → + 2 ข → × ข →

ผลคูณเวกเตอร์ a → × a → และ b → × b → เท่ากับ 0 เนื่องจาก a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 และ b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0 จากนั้น 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → .

จากการต้านคอมมิวทิวิตี้ของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ดังนี้ - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × ข → . .

เมื่อใช้คุณสมบัติของผลคูณเวกเตอร์ เราจะได้ความเท่าเทียมกัน 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

ตามเงื่อนไข เวกเตอร์ a → และ b → ตั้งฉากกัน นั่นคือมุมระหว่างพวกมันเท่ากับ π 2 ตอนนี้สิ่งที่เหลืออยู่คือการแทนที่ค่าที่พบเป็นสูตรที่เหมาะสม: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · บาป (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · บาป π 2 = 60 .

คำตอบ: 3 ก → - ข → × ก → - 2 ข → = 60

ความยาวของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ตามคำจำกัดความ เท่ากับ a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → เนื่องจากทราบกันดีอยู่แล้ว (จาก. หลักสูตรของโรงเรียน) ว่าพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งผลคูณของความยาวของด้านทั้งสองคูณด้วยไซน์ของมุมระหว่างด้านเหล่านี้ ดังนั้นความยาวของผลคูณเวกเตอร์จึงเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน - สามเหลี่ยมสองเท่าคือผลคูณของด้านข้างในรูปแบบของเวกเตอร์ a → และ b → วางลงจากจุดหนึ่งโดยไซน์ของ มุมระหว่างพวกเขา บาป ∠ a →, b →

นี่คือความหมายทางเรขาคณิตของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

ความหมายทางกายภาพของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

ในกลศาสตร์ซึ่งเป็นหนึ่งในสาขาวิชาฟิสิกส์ ต้องขอบคุณผลคูณเวกเตอร์ ที่ทำให้คุณสามารถกำหนดโมเมนต์ของแรงสัมพันธ์กับจุดในอวกาศได้

คำจำกัดความ 3

เมื่อถึงโมเมนต์ของแรง F → ที่ใช้กับจุด B สัมพันธ์กับจุด A เราจะเข้าใจผลคูณเวกเตอร์ต่อไปนี้ A B → × F →

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

คำนิยาม คอลเลกชันที่ได้รับคำสั่งของ (x 1 , x 2 , ... , xn) n จำนวนจริงเรียกว่า เวกเตอร์ n มิติและตัวเลข x i (i = ) - ส่วนประกอบหรือ พิกัด,

ตัวอย่าง. ตัวอย่างเช่น หากโรงงานผลิตรถยนต์บางแห่งจำเป็นต้องผลิตได้ 50 คัน รถยนต์นั่งส่วนบุคคลรถบรรทุก 100 คัน รถโดยสาร 10 คัน อะไหล่รถยนต์ 50 ชุด และสำหรับ รถบรรทุกและรถโดยสารประจำทาง ดังนั้น โปรแกรมการผลิตของโรงงานนี้สามารถเขียนได้เป็นเวกเตอร์ (50, 100, 10, 50, 150) โดยมีองค์ประกอบ 5 ส่วน

สัญกรณ์ เวกเตอร์จะแสดงด้วยตัวอักษรพิมพ์เล็กตัวหนาหรือตัวอักษรที่มีแถบหรือลูกศรอยู่ด้านบน เช่น กหรือ. เรียกเวกเตอร์สองตัวนี้ว่า เท่ากันถ้ามีจำนวนส่วนประกอบเท่ากันและมีส่วนประกอบเท่ากัน

ส่วนประกอบเวกเตอร์ไม่สามารถสลับได้ เช่น (3, 2, 5, 0, 1)และ (2, 3, 5, 0, 1) เวกเตอร์ที่แตกต่างกัน
การดำเนินการกับเวกเตอร์การทำงาน x= (x 1 , x 2 , ... ,xn) ด้วยจำนวนจริงλ เรียกว่าเวกเตอร์λ x= (แลมป์ x 1, แลมบ์ 2, ..., แลมบ์ x n)

จำนวนx= (x 1 , x 2 , ... ,xn) และ ย= (y 1 , y 2 , ... ,yn) เรียกว่าเวกเตอร์ x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , xn + + yn)

พื้นที่เวกเตอร์เอ็น -ปริภูมิเวกเตอร์มิติ ร n ถูกกำหนดให้เป็นเซตของเวกเตอร์ n มิติทั้งหมด ซึ่งนิยามการดำเนินการคูณด้วยจำนวนจริงและการบวก

ภาพประกอบทางเศรษฐกิจ ภาพประกอบทางเศรษฐกิจของปริภูมิเวกเตอร์ n มิติ: พื้นที่ของสินค้า (สินค้า). ภายใต้ สินค้าเราจะเข้าใจถึงสินค้าหรือบริการบางอย่างที่ลดราคา ณ เวลาใดสถานที่หนึ่ง สมมติว่ามีสินค้าจำนวนจำกัดn; ปริมาณของผู้บริโภคแต่ละคนที่ซื้อนั้นมีลักษณะเป็นชุดสินค้า

x= (x 1 , x 2 , ..., xn)

โดยที่ x i หมายถึงจำนวนสินค้า i-th ที่ผู้บริโภคซื้อ เราจะถือว่าสินค้าทั้งหมดมีคุณสมบัติในการหารลงตัวได้ เพื่อให้สามารถซื้อสินค้าในปริมาณที่ไม่เป็นลบของสินค้าแต่ละรายการได้ จากนั้นเซตของสินค้าที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือเวกเตอร์ของปริภูมิสินค้า C = ( x= (x 1 , x 2 , ... , xn) x ผม ≥ 0, ผม = )

ความเป็นอิสระเชิงเส้น ระบบ จ 1 , จ 2 , ... , จ m เวกเตอร์มิติเรียกว่า ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นถ้ามีตัวเลขดังกล่าวแล 1 , แล 2 , ... , แลม ซึ่งมีอย่างน้อยหนึ่งตัวที่ไม่เป็นศูนย์ เท่ากับว่ามีความเท่าเทียมกันแล 1 จ 1 + แล 2 จ 2 +... + แลม จม. = 0; มิฉะนั้นจะเรียกว่าระบบเวกเตอร์นี้ เป็นอิสระเชิงเส้นนั่นคือความเท่าเทียมกันที่ระบุเป็นไปได้เฉพาะในกรณีที่ทั้งหมด . ความหมายทางเรขาคณิตการพึ่งพาเชิงเส้นของเวกเตอร์ใน ร 3 ตีความเป็นส่วนกำกับ อธิบายทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท 1 ระบบที่ประกอบด้วยเวกเตอร์หนึ่งตัวจะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรงก็ต่อเมื่อเวกเตอร์นี้เป็นศูนย์เท่านั้น

ทฤษฎีบท 2 เพื่อให้เวกเตอร์สองตัวขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง จำเป็นและเพียงพอที่เวกเตอร์ทั้งสองจะต้องอยู่ในแนวเดียวกัน (ขนานกัน)

ทฤษฎีบท 3 . เพื่อให้เวกเตอร์สามตัวขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง จำเป็นและเพียงพอที่เวกเตอร์ทั้งสามจะต้องอยู่ในระนาบเดียวกัน (อยู่ในระนาบเดียวกัน)

เวกเตอร์สามเท่าซ้ายและขวา เวกเตอร์ที่ไม่ใช่โคพลานาร์สามเท่า ก ข คเรียกว่า ขวาถ้าผู้สังเกตจากแหล่งกำเนิดร่วมกันเลี่ยงส่วนปลายของเวกเตอร์ ก ข คตามลำดับที่กำหนดให้ปรากฏว่าเกิดขึ้นตามเข็มนาฬิกา มิฉะนั้น ก ข ค -เหลือสาม. เรียกว่าเวกเตอร์สามเท่าทางขวา (หรือซ้าย) เหมือน มุ่งเน้น

พื้นฐานและพิกัด ทรอยก้า จ 1, จ 2 , จเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ระนาบระนาบ 3 ตัวใน ร 3 เรียกว่า พื้นฐานและเวกเตอร์นั้นเอง จ 1, จ 2 , จ 3 - ขั้นพื้นฐาน. เวกเตอร์ใดๆ กสามารถขยายเป็นเวกเตอร์พื้นฐานได้โดยเฉพาะ กล่าวคือ แสดงในรูปแบบ

ก= x 1 จ 1+x2 จ 2 + x3 จ 3, (1.1)

เรียกตัวเลข x 1 , x 2 , x 3 ในส่วนขยาย (1.1) พิกัดกในพื้นฐาน จ 1, จ 2 , จ 3 และถูกกำหนดไว้ ก(x1,x2,x3)

พื้นฐานออร์โธนอร์มอล ถ้าเป็นเวกเตอร์ จ 1, จ 2 , จ 3 นั้นตั้งฉากกันเป็นคู่และความยาวของแต่ละอันมีค่าเท่ากับ 1 แล้วจึงเรียกว่าฐาน ออร์โธนอร์มอลและพิกัด x 1 , x 2 , x 3 - สี่เหลี่ยมเวกเตอร์พื้นฐานของพื้นฐานออร์โธนอร์มอลจะถูกแสดงโดย ฉัน เจ เค

เราจะถือว่าสิ่งนั้นอยู่ในอวกาศ ร 3 เลือกระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียนที่ถูกต้อง (0, ฉัน เจ เค}.

งานศิลปะของเว็กเตอร์ งานศิลปะของเว็กเตอร์ กเป็นเวกเตอร์ ขเรียกว่าเวกเตอร์ คซึ่งถูกกำหนดโดยเงื่อนไขสามประการต่อไปนี้:

1. ความยาวเวกเตอร์ คตัวเลขเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างบนเวกเตอร์ กและ ขเช่น.
ค= |ก||ข|บาป ( ก^ข).

2. เวกเตอร์ คตั้งฉากกับเวกเตอร์แต่ละตัว กและ ข.

3. เวกเตอร์ ก, ขและ คดำเนินการตามลำดับที่ระบุไว้ในรูปแบบสามที่ถูกต้อง

สำหรับผลิตภัณฑ์ข้าม คมีการแนะนำการกำหนด ค =[เกี่ยวกับ] หรือ
ค = ก × ข.

ถ้าเป็นเวกเตอร์ กและ ขเป็นเส้นตรงแล้วบาป ( เอ^บี) = 0 และ [ เกี่ยวกับ] = 0 โดยเฉพาะ [ อ่า] = 0 ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์หน่วย: [ ฉัน]=เค [เจเค] = ฉัน, [คิ]=เจ.

ถ้าเป็นเวกเตอร์ กและ ขระบุไว้ในพื้นฐาน ฉัน เจ เคพิกัด ก(ก 1 , 2 , 3) ข(ข 1, ข 2, ข 3) จากนั้น

งานผสม. ถ้าผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัว กและ ขคูณด้วยเวกเตอร์ที่สามแบบสเกลาร์ ค,จากนั้นจึงเรียกผลคูณของเวกเตอร์สามตัวดังกล่าว งานผสมและมีการระบุด้วยสัญลักษณ์ ก บีค

ถ้าเป็นเวกเตอร์ ก, ขและ คในพื้นฐาน ฉัน เจ เคกำหนดโดยพิกัดของพวกเขา
ก(ก 1 , 2 , 3) ข(ข 1, ข 2, ข 3), ค(ค 1, ค 2, ค 3) จากนั้น

.

ผลิตภัณฑ์ผสมมีการตีความทางเรขาคณิตอย่างง่าย - เป็นสเกลาร์ซึ่งมีค่าสัมบูรณ์เท่ากับปริมาตรของเส้นขนานที่สร้างขึ้นจากเวกเตอร์ที่กำหนดสามตัว

หากเวกเตอร์ประกอบเป็นสามเท่าที่ถูกต้อง แล้วเวกเตอร์เหล่านั้น งานผสมมีจำนวนบวกเท่ากับปริมาตรที่ระบุ ถ้าเป็นสาม ก ข ค -ซ้ายแล้ว เอ บี ซี<0 и V = - เอ บี ซีดังนั้น V =|กขค|.

พิกัดของเวกเตอร์ที่พบในปัญหาของบทแรกจะถือว่าให้สัมพันธ์กับพื้นฐานออร์โธนอร์มอลที่ถูกต้อง เวกเตอร์หน่วยโคทิศทางกับเวกเตอร์ เอ,ที่ระบุด้วยสัญลักษณ์ กโอ เครื่องหมาย ร=โอมเขียนแทนด้วยเวกเตอร์รัศมีของจุด M สัญลักษณ์ a, AB หรือ|a|, | เอบี|โมดูลของเวกเตอร์จะแสดงแทน กและ เอบี

ตัวอย่าง 1.2. ค้นหามุมระหว่างเวกเตอร์ ก= 2ม+4nและ ข= ม-น, ที่ไหน มและ ไม่มีเวกเตอร์หน่วยและมุมระหว่าง มและ nเท่ากับ 120 โอ

สารละลาย. เรามี: cos φ = เกี่ยวกับ/ab เอบี =(2ม+4n) (ม-น) = 2ม 2 - 4n 2 +2นาที=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0.5) = -3; ก = ; ก 2 = (2ม+4n) (2ม+4n) =
= 4ม 2 +16นาที+16n 2 = 4+16(-0.5)+16=12 ซึ่งหมายถึง a = ข = ; ข 2 =
= (ม-น)(ม-น) = ม 2 -2นาที+n 2 = 1-2(-0.5)+1 = 3 ซึ่งหมายถึง b = ในที่สุดเราก็ได้: cosφ = = -1/2, φ = 120 o

ตัวอย่างที่ 1.3รู้จักเวกเตอร์ เอบี(-3,-2.6) และ บี.ซี.(-2,4,4) คำนวณความยาวของ AD ระดับความสูงของรูปสามเหลี่ยม ABC

สารละลาย. แสดงถึงพื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC ด้วย S เราได้รับ:
S = 1/2 ปีก่อนคริสต์ศักราช แล้ว AD=2S/BC, BC= = = 6,
ส = 1/2| เอบี ×เอซี|. เอซี=เอบี+บีซีซึ่งหมายถึงเวกเตอร์ เอ.ซี.มีพิกัด
. .

ตัวอย่าง 1.4 . ให้เวกเตอร์สองตัวมา ก(11,10,2) และ ข(4,0,3) ค้นหาเวกเตอร์หน่วย ค,ตั้งฉากกับเวกเตอร์ กและ ขและกำกับเพื่อให้เวกเตอร์สามลำดับได้รับคำสั่ง ก ข คถูกต้อง

สารละลาย.ให้เราแสดงพิกัดของเวกเตอร์ คด้วยความเคารพต่อสิทธิออร์โธนอร์มอลพื้นฐานที่กำหนดในรูปของ x, y, z

เพราะว่า ค ⊥ ก, ค ⊥ข, ที่ แคลิฟอร์เนีย= 0,ซีบี= 0 ตามเงื่อนไขของปัญหา กำหนดให้ c = 1 และ เอ บี ซี >0.

เรามีระบบสมการสำหรับ การหา x,y,z: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0

จากสมการแรกและที่สองของระบบเราได้รับ z = -4/3 x, y = -5/6 x เมื่อแทน y และ z ลงในสมการที่สาม เราจะได้: x 2 = 36/125 ดังนั้น
x=± . การใช้เงื่อนไข เอ บี ซี > 0 เราได้อสมการ

เมื่อคำนึงถึงนิพจน์สำหรับ z และ y เราจะเขียนผลลัพธ์ความไม่เท่าเทียมกันในรูปแบบ: 625/6 x > 0 ซึ่งบอกเป็นนัยว่า x>0 ดังนั้น x = , y = - , z =- .