Jednoduchá čísla. Čísla. Prvočísla Proč 1 není prvočíslo

V tomto článku budeme studovat prvočísla a složená čísla. Nejprve uvedeme definice prvočísel a složených čísel a také uvedeme příklady. Poté dokážeme, že prvočísel je nekonečně mnoho. Dále napíšeme tabulku prvočísel a zvážíme metody pro sestavení tabulky prvočísel, zvláště pečlivě se zastavíme u metody zvané Eratosthenovo síto. Na závěr zdůrazňujeme hlavní body, které je třeba vzít v úvahu při dokazování, že dané číslo je prvočíslo nebo složené číslo.

Navigace na stránce.

Prvočísla a složená čísla - definice a příklady

Koncepty prvočísel a složených čísel se vztahují k těm, která jsou větší než jedna. Taková celá čísla se v závislosti na počtu jejich kladných dělitelů dělí na prvočísla a složená čísla. Tedy pro pochopení definice prvočísel a složených čísel, musíte mít dobrou představu o tom, co jsou dělitelé a násobky.

Definice.

prvočísla jsou celá čísla větší než jedna, která mají pouze dva kladné dělitele, totiž samy sebe a 1 .

Definice.

Složená čísla jsou celá čísla větší než jedna, která mají alespoň tři kladné dělitele.

Samostatně si všimneme, že číslo 1 neplatí ani pro prvočísla, ani pro složená čísla. Jednotka má pouze jednoho kladného dělitele, kterým je samotné číslo 1. To odlišuje číslo 1 od všech ostatních kladných celých čísel, která mají alespoň dva kladné dělitele.

Vzhledem k tomu, že kladná celá čísla jsou , a že jednotka má pouze jednoho kladného dělitele, lze uvést jiné formulace znějících definic prvočísel a složených čísel.

Definice.

prvočísla jsou přirozená čísla, která mají pouze dva kladné dělitele.

Definice.

Složená čísla jsou přirozená čísla, která mají více než dva kladné dělitele.

Všimněte si, že každé kladné celé číslo větší než jedna je buď prvočíslo, nebo složené číslo. Jinými slovy, neexistuje jediné celé číslo, které by nebylo ani prvočíslo, ani složené. Vyplývá to z vlastnosti dělitelnosti, která říká, že čísla 1 a a jsou vždy dělitelé libovolného celého čísla a.

Na základě informací v předchozím odstavci můžeme uvést následující definici složených čísel.

Definice.

Volají se přirozená čísla, která nejsou prvočísla složka.

Pojďme přinést příklady prvočísel a složených čísel.

Jako příklady složených čísel uvádíme 6 , 63 , 121 a 6697 . I toto tvrzení potřebuje vysvětlení. Číslo 6 má kromě kladných dělitelů 1 a 6 také dělitele 2 a 3, protože 6 \u003d 2 3, proto je 6 skutečně složené číslo. Kladnými děliteli 63 jsou čísla 1 , 3 , 7 , 9 , 21 a 63 . Číslo 121 se rovná součinu 11 11 , takže jeho kladné dělitele jsou 1 , 11 a 121 . A číslo 6697 je složené, protože jeho kladnými děliteli jsou kromě 1 a 6697 také čísla 37 a 181.

Závěrem tohoto odstavce bych také rád upozornil na skutečnost, že prvočísla a spolučísla nejsou zdaleka totéž.

Tabulka prvočísel

Prvočísla se pro usnadnění jejich dalšího použití zapisují do tabulky, která se nazývá tabulka prvočísel. Níže je tabulka prvočísel až 1000.

Nabízí se logická otázka: „Proč jsme vyplňovali tabulku prvočísel jen do 1000, není možné udělat tabulku všech existujících prvočísel“?

Nejprve si odpovězme na první část této otázky. U většiny problémů, které zahrnují prvočísla, postačí prvočísla do tisíce. V ostatních případech se s největší pravděpodobností budete muset uchýlit k některým speciálním technikám řešení. I když samozřejmě můžeme sestavit prvočísla až do libovolně velkého konečného kladného čísla, ať už je to 10 000 nebo 1 000 000 000 , v dalším odstavci si povíme o metodách sestavování tabulek prvočísel, konkrétně si rozebereme metodu volal.

Nyní se podívejme na možnost (nebo spíše nemožnost) sestavit tabulku všech existujících prvočísel. Nemůžeme sestavit tabulku všech prvočísel, protože prvočísel je nekonečně mnoho. Poslední tvrzení je věta, kterou dokážeme po následující pomocné větě.

Teorém.

Nejmenší kladný dělitel přirozeného čísla většího než 1 kromě 1 je prvočíslo.

Důkaz.

Nechat a je přirozené číslo větší než jedna a b je nejméně kladný nejednotný dělitel čísla a. Dokažme, že b je prvočíslo kontradikcí.

Předpokládejme, že b je složené číslo. Pak je dělitel čísla b (označme ho b 1 ), který je odlišný od 1 i b . Pokud vezmeme v úvahu i to, že absolutní hodnota dělitele nepřesáhne absolutní hodnotu dividendy (známe to z vlastností dělitelnosti), pak podmínka 1

Protože číslo a je dělitelné b podmínkou a my jsme řekli, že b je dělitelné b 1, pak nám pojem dělitelnosti umožňuje hovořit o existenci takových celých čísel q a q 1, že a=b q a b=b 1 q 1 , odkud a= b 1 ·(q 1 ·q) . Z toho vyplývá, že součin dvou celých čísel je celé číslo, pak rovnost a=b 1 ·(q 1 ·q) udává, že b 1 je dělitel čísla a . S ohledem na výše uvedené nerovnosti 1

Nyní můžeme dokázat, že prvočísel je nekonečně mnoho.

Teorém.

Prvočísel je nekonečně mnoho.

Důkaz.

Předpokládejme, že ne. To znamená, že předpokládejme, že existuje pouze n prvočísel a tato prvočísla jsou p 1 , p 2 , …, p n . Ukažme, že vždy můžeme najít jiné prvočíslo, než je uvedeno.

Uvažujme číslo p rovné p 1 ·p 2 ·...·p n +1 . Je jasné, že toto číslo se liší od každého z prvočísel p 1 , p 2 , …, p n . Je-li číslo p prvočíslo, pak je věta dokázána. Je-li toto číslo složené, pak na základě předchozí věty existuje prvočíselník tohoto čísla (označme ho p n+1 ). Ukažme, že tento dělitel se neshoduje s žádným z čísel p 1 , p 2 , …, p n .

Pokud by tomu tak nebylo, pak by podle vlastností dělitelnosti byl součin p 1 ·p 2 ·…·p n dělitelný p n+1 . Ale číslo p je také dělitelné p n+1, rovné součtu p 1 ·p 2 ·…·p n +1. To znamená, že druhý člen tohoto součtu, který se rovná jedné, musí být dělitelný p n+1, což je nemožné.

Je tedy dokázáno, že vždy lze najít nové prvočíslo, které není obsaženo v žádném počtu předem daných prvočísel. Proto existuje nekonečně mnoho prvočísel.

Takže vzhledem k tomu, že prvočísel je nekonečně mnoho, omezí se při sestavování tabulek prvočísel vždy shora na nějaké číslo, obvykle 100, 1000, 10000 atd.

Eratosthenovo síto

Nyní si probereme způsoby sestavování tabulek prvočísel. Předpokládejme, že potřebujeme vytvořit tabulku prvočísel do 100 .

Nejzřejmější metodou řešení tohoto problému je postupná kontrola kladných celých čísel, počínaje 2 a končící 100 , na přítomnost kladného dělitele, který je větší než 1 a menší než kontrolované číslo (z vlastností dělitelnosti vědět, že absolutní hodnota dělitele nepřesahuje absolutní hodnotu dividendy odlišnou od nuly). Pokud se takový dělitel nenajde, pak je kontrolované číslo prvočíslo a zapíše se do tabulky prvočísel. Pokud je takový dělitel nalezen, pak je kontrolované číslo složené, NENÍ zapsáno do tabulky prvočísel. Poté dojde k přechodu na další číslo, které je obdobně zkontrolováno na přítomnost dělitele.

Pojďme si popsat prvních pár kroků.

Začínáme číslem 2. Číslo 2 nemá žádné kladné dělitele kromě 1 a 2 . Je tedy prvočíslo, proto jej zapíšeme do tabulky prvočísel. Zde je třeba říci, že 2 je nejmenší prvočíslo. Pojďme k číslu 3. Jeho možný kladný dělitel jiný než 1 a 3 je 2. Ale 3 není dělitelné 2, proto je 3 prvočíslo a také je potřeba ho zadat do tabulky prvočísel. Pojďme k číslu 4. Jeho kladné dělitele jiné než 1 a 4 mohou být 2 a 3 , pojďme je zkontrolovat. Číslo 4 je dělitelné 2, proto je 4 složené číslo a nemusí se zadávat do tabulky prvočísel. Všimněte si, že 4 je nejmenší složené číslo. Pojďme k číslu 5. Zkontrolujeme, zda alespoň jedno z čísel 2 , 3 , 4 je jeho dělitel. Protože 5 není dělitelné ani 2, ani 3, ani 4, je prvočíslo a musí se zapsat do tabulky prvočísel. Pak je přechod na čísla 6, 7 a tak dále až do 100.

Tento přístup k sestavení tabulky prvočísel není zdaleka ideální. Tak či onak má právo na existenci. Všimněte si, že s touto metodou konstrukce tabulky celých čísel můžete použít kritéria dělitelnosti, která mírně urychlí proces hledání dělitelů.

Existuje pohodlnější způsob, jak sestavit tabulku prvočísel s názvem . Slovo „síto“ přítomné v názvu není náhodné, protože akce této metody pomáhají jakoby „prosít“ sítem Eratosthenova celá čísla, velké jednotky, aby se oddělily jednoduché od složených.

Ukažme si Eratosthenovo síto v akci při sestavování tabulky prvočísel do 50.

Nejprve si zapíšeme čísla 2, 3, 4, ..., 50 v pořadí.

První zapsané číslo 2 je prvočíslo. Nyní se od čísla 2 posouváme postupně o dvě čísla doprava a tato čísla škrtáme, dokud se nedostaneme na konec sestavené tabulky čísel. Takže všechna čísla, která jsou násobky dvou, budou přeškrtnuta.

První nepřeškrtnuté číslo po 2 je 3 . Toto číslo je prvočíslo. Nyní se od čísla 3 postupně posuneme o tři čísla doprava (s přihlédnutím k již přeškrtnutým číslům) a přeškrtneme je. Takže všechna čísla, která jsou násobky tří, budou přeškrtnuta.

První nepřeškrtnuté číslo po 3 je 5 . Toto číslo je prvočíslo. Nyní se od čísla 5 posuneme postupně o 5 čísel doprava (bereme v úvahu i dříve vyškrtnutá čísla) a přeškrtneme je. Takže všechna čísla, která jsou násobky pěti, budou přeškrtnuta.

Dále škrtáme čísla, která jsou násobky 7, pak násobky 11 a tak dále. Proces končí, když už nezbývají žádná čísla k přeškrtnutí. Níže je kompletní tabulka prvočísel do 50 získaných pomocí Eratosthenova síta. Všechna nepřeškrtnutá čísla jsou prvočísla a všechna přeškrtnutá čísla jsou složená.

Zformulujme a dokažme větu, která urychlí proces sestavování tabulky prvočísel pomocí Eratosthenova síta.

Teorém.

Nejméně kladný nejednotný dělitel složeného čísla a nepřesahuje , kde je z a .

Důkaz.

Písmenem b označíme nejmenšího dělitele složeného čísla a, které se liší od jednotky (číslo b je prvočíslo, což vyplývá z věty dokázané na samém začátku předchozího odstavce). Pak existuje celé číslo q takové, že a=b q (zde q je kladné celé číslo, což vyplývá z pravidel pro násobení celých čísel), a (když b>q je porušena podmínka, že b je nejmenším dělitelem a), protože q je také dělitelem a kvůli rovnosti a=q b ). Vynásobením obou stran nerovnosti kladným a větším než jedním celým číslem b (můžeme to udělat), dostaneme , odkud a .

Co nám dává dokázaná věta ohledně Eratosthenova síta?

Za prvé, mazání složených čísel, která jsou násobky prvočísla b, by mělo začínat číslem rovným (to vyplývá z nerovnosti ). Například přeškrtávání čísel, která jsou násobky dvou, by mělo začínat číslem 4, násobky tří - číslem 9, násobky pěti - číslem 25 a tak dále.

Za druhé, sestavení tabulky prvočísel až do čísla n pomocí Eratosthenova síta lze považovat za úplné, když všechna složená čísla, která jsou násobky prvočísel nepřesahujícími, jsou přeškrtnuta. V našem příkladu n=50 (protože tabulkujeme prvočísla do 50) a , takže Eratosthenovo síto musí odstranit všechny složené násobky prvočísel 2, 3, 5 a 7, které nepřesahují aritmetickou druhou odmocninu 50 . To znamená, že už nemusíme hledat a škrtat čísla, která jsou násobky prvočísel 11 , 13 , 17 , 19 , 23 a tak dále až do 47 , protože už budou proškrtnuta jako násobky menších prvočísel 2 , 3, 5 a 7.

Je toto číslo prvočíslo nebo složené?

Některé úlohy vyžadují zjištění, zda je dané číslo prvočíslo nebo složené. V obecném případě není tento úkol zdaleka jednoduchý, zejména u čísel, jejichž záznam se skládá z významného počtu znaků. Ve většině případů musíte hledat nějaký konkrétní způsob, jak to vyřešit. Pokusíme se však nasměrovat tok myšlenek pro jednoduché případy.

Nepochybně se lze pokusit použít kritéria dělitelnosti k prokázání, že dané číslo je složené. Pokud například nějaké kritérium dělitelnosti ukazuje, že dané číslo je dělitelné nějakým kladným celým číslem větším než jedna, pak je původní číslo složené.

Příklad.

Dokažte, že číslo 898 989 898 989 898 989 je složené.

Řešení.

Součet číslic tohoto čísla je 9 8+9 9=9 17 . Protože číslo rovné 9 17 je dělitelné 9, lze podle kritéria dělitelnosti 9 tvrdit, že původní číslo je také dělitelné 9. Proto je kompozitní.

Významnou nevýhodou tohoto přístupu je, že kritéria dělitelnosti nám neumožňují prokázat jednoduchost čísla. Proto při kontrole čísla, zda je prvočíslo nebo složené, musíte postupovat jinak.

Nejlogičtějším přístupem je vyjmenovat všechny možné dělitele daného čísla. Pokud žádný z možných dělitelů není skutečným dělitelem daného čísla, pak je toto číslo prvočíslo, jinak je složené. Z vět dokázaných v předchozím odstavci vyplývá, že dělitele daného čísla a je třeba hledat mezi prvočísly nepřesahujícími . Dané číslo a lze tedy postupně dělit prvočísly (která je vhodné vzít z tabulky prvočísel) a pokusit se najít dělitele čísla a. Pokud je nalezen dělitel, pak je číslo a složené. Pokud mezi prvočísly nepřesahujícími , není dělitel čísla a, pak je prvočíslo číslo a.

Příklad.

Číslo 11 723 jednoduché nebo složené?

Řešení.

Pojďme zjistit, na jaké prvočíslo mohou být dělitelé čísla 11 723. K tomu odhadujeme.

To je zcela zřejmé , od 200 2 \u003d 40 000 a 11 723<40 000 (при необходимости смотрите статью srovnání čísel). Možní hlavní dělitelé 11 723 jsou tedy menší než 200. To již značně zjednodušuje náš úkol. Kdybychom to nevěděli, museli bychom seřadit všechna prvočísla ne do 200, ale do čísla 11 723 .

Pokud chcete, můžete odhadnout přesněji. Od 108 2 \u003d 11 664 a 109 2 \u003d 11 881, poté 108 2<11 723<109 2 , следовательно, . Každé z prvočísel menších než 109 je tedy potenciálně prvočíselným dělitelem daného čísla 11 723.

Nyní postupně rozdělíme číslo 11 723 na prvočísla 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 5 , 9 , 6 , 6 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 . Pokud je číslo 11 723 celé děleno jedním ze zapsaných prvočísel, bude složené. Pokud není dělitelné žádným ze zapsaných prvočísel, pak je prvočíslo původní číslo.

Nebudeme popisovat celý tento monotónní a monotónní proces dělení. Řekněme, že 11 723

§2 Prvočísla.

str.1 Prvočísla a složená čísla.

Kolik faktorů může mít přirozené číslo? Číslo 1 má pouze jednoho dělitele. Každé přirozené číslo má dva dělitele: 1 a samotné číslo A. Existují čísla, která nemají žádné další dělitele.

Definice . Přirozené číslo R se nazývá jednoduchý, pokud má právě dva dělitele: 1 a p.

Definice . Přirozené číslo a se nazývá složené, pokud má kromě 1 a a ještě alespoň jednoho dělitele.

Komentář. Číslo 1 není ani složené, ani prvočíslo.

hromada N lze rozdělit do tří podskupin.

1 je číslo, které má jednoho dělitele.
Prvočísla, která mají právě dva dělitele.
Složená čísla, která mají alespoň tři dělitele.

Zapišme si prvních pár prvočísel:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 …

Je tato posloupnost nekonečná, nebo je možné vyčíslit všechna prvočísla? Odpověď již znal Euklides.

Teorém. (Euclid)

Množina prvočísel je nekonečná.

Důkaz. “
"Nechat
je množina všech prvočísel, kde je poslední (největší) prvočíslo.

Udělejme číslo
. Očividně,
, znamená, N-kompozitní.
je dělitelný některými jednoduchými, například tím . Ale pak podle vlastností dělitelnosti je 1 dělitelná , což je nemožné.

Zvažte některé elementární vlastnosti prvočísel.

1. Nechat
je nejmenší dělitel přirozeného čísla a.

Pak p-Prvočíslo.

Důkaz. Nechat d- nějaký dělitel čísla p.

Ale p-nejmenší dělitel
nebo
p-jednoduchý.

2. Nechat
- nejmenší dělitel složeného čísla A.

Pak

Důkaz. a je složené, takže

Podle stavu

3. Nechť a je přirozené číslo, p- Prvočíslo.

Potom a je dělitelné p nebo A A p vzájemně jednoduché.

Důkaz. Nechat
. D- prvočíslo
nebo

Li d=1, pak a a p vzájemně jednoduché.

Li d=p, pak a je dělitelné p.

4. Nechat p je prvočíslo, součin a b děleno p, pak a je dělitelné p nebo b rozdělena na r.

Důkaz. Pokud a není dělitelné p, pak podle majetku 3 GCD(A, p)=1.

Ale pak, podle vlastnosti 2 prvočísel, b děleno R.

Poznámka 1. Vlastnost 4 lze indukcí snadno zobecnit: pokud součin
rozdělené na jednoduché p, pak je tu faktor , kterou rozděluje R.

Poznámka 2. Pokud práce
rozdělené na jednoduché p a všechny faktory jsou prvočísla, pak je alespoň jeden z faktorů roven p.

Vytvořit seznam prvočísel nepřesahujících daný počet N, použijte algoritmus zvaný "Eratosthenovo síto".

Napište přirozená čísla od 2 do N.

Číslo 2 je prvočíslo. Vyškrtněte ze seznamu všechna čísla, která jsou násobky 2 (kromě 2). První ze zbývajících, číslo 3, bude prvočíslo. Vyškrtněte ze seznamu všechna čísla, která jsou násobky 3 (kromě čísla 3). První ze zbývajících, číslo 5, bude prvočíslo. Poté škrtneme všechny násobky 5 (kromě čísla 5) a tak dále.

Algoritmus se zastaví, když je nepřeškrtnuté číslo větší než
. Vlastností 2 mají všechna složená čísla v našem seznamu dělitele
. Takže už byly smazány.

Všechna ostatní čísla jsou prvočísla.

Příklad. Najděte všechna prvočísla mezi 2 a 100.

Řešení. Přeškrtněte (vyberte) čísla, která jsou násobky 2 (obr. 1).

Další prvočíslo
všechna ostatní čísla jsou prvočísla (obr. 5).

Komentář. Li p- první číslo není přeškrtnuté, pak jsou všechna čísla menší než již přeškrtnutý.
Přeškrtněte násobky čísla p můžete začít s .

položka 2 Faktorizace.

Složené číslo 495 má dělitele 5, takže
. Druhým faktorem je také složené číslo
. Pokračujeme-li v procesu, můžeme původní číslo faktorizovat

Definice . Faktorizace složeného čísla N se nazývá rozklad N na prvočinitele.

Nejviditelnější způsob rozkladu čísla na faktor N redukuje na výčet všech možných prvočíselníků,
.

Příklad. Faktor číslo 323.

všimněte si, že
. Dělitel se tedy musí najít mezi prvočísly
. Když je vezmeme postupně, zjistíme to

Příklad. Dokažte, že 919 je prvočíslo.

Protože
, pak nejmenší prvočísel nepřesahuje 29. Kontrolou se přesvědčíme, že 919 není dělitelné prvočísly .
- Prvočíslo.

Pro velká přirozená čísla je uvažovaná metoda neefektivní. Mnoho matematiků hledalo jednodušší způsoby faktorizace, které vyžadují méně výpočtů.

I. Fermatova metoda.

Nechat N- dané číslo
. Tvoření čísel

Pokud se jeden z nich ukáže jako přesný čtverec, dostaneme rovnost
nebo
.

Výčet by měl být proveden v těle až do hodnoty
. (V tomto případě
A
). Pokud přesný čtverec nesetkali N- Prvočíslo.

Příklad. Faktorizovat N=9271.

My máme
, takže m=97. vypočítat postupně: .

II. Eulerova metoda.

Euler navrhl napsat číslo N jako součet
, Kde d- speciálně vybraný multiplikátor takový, že GCD (X,y d)=1. velikost d záleží na typu čísla N. Takže když N=4k+1 tedy d=1 pokud N=6k+1 tedy d=3 atd. Celkem Euler uvedl 65 faktorů d pro různé typy N.

Li N prezentované ve formuláři
dvěma způsoby (stejně d), Že N lze faktorizovat.

Například ať

Pak kde GCD(u,v)=1.

Získáme systém:
A

při řešení kterého zjistíme: .

Příklad. Faktorizovat N = 2197.

Tedy u=2, v=3, t=10, s=24.

.

III. Řada triků je založena na jednoduchých algebraických identitách. Říká to například teorém Sophie Germainové
je složené číslo.

Vyplývá to ze skutečnosti, že při N>1 oba faktory jsou větší než 1.

V posledních desetiletích bylo hledání nových účinných faktorizačních algoritmů jedním z nejnaléhavějších problémů v teorii čísel. Důvodem byl vývoj kryptografických algoritmů s veřejným klíčem, jejichž dešifrování vyžaduje faktorizaci velkých složených čísel.

položka 3. O vzorcích, které generují prvočísla.

Matematici se již dlouhou dobu snaží najít vzorec, který umožní vypočítat libovolně velké prvočíslo. Nejznámější je Mersennova formule.
a Fermatova čísla .

Definice .
- Mersennova čísla.

Pro složené hodnoty
číslo
děleno což znamená, že to nebude snadné.

Nechat N- Prvočíslo. Pak jsou prvočísla.

Ale už
, tedy prvočíslo p nezaručuje prostatu
.

Mersennova čísla se ukázala jako jednoduchá v .

Jednoduchost čísla
(psáno 139 číslicemi) dokázal v roce 1876 francouzský matematik E. Lucas.

Další hledání Mösennových prvočísel pokračovalo pomocí výpočetní techniky.

Nejznámějším (od roku 2011) prvočíslem je 46. Mersennovo číslo. Tento
. Jeho zápis vyžaduje asi 13 milionů číslic.

Základem pro výpočetní algoritmy je kritérium jednoduchosti čísel
, kterou naznačil Lucas v roce 1878 a vylepšenou Lemairem v roce 1930.

Lucas-Lehmerovo kritérium.

Číslo
prvotřídní právě tehdy a jen tehdy, když v opakující se sekvenci
člen
děleno
.

Dodnes není známo, zda je množina Mercenových čísel konečná nebo nekonečná.

Definice .
jsou Fermatova čísla.

První členy posloupnosti jsou prvočísla:

Fermat navrhl (1650), že všechna čísla tohoto druhu budou prvočísla. Euler však ukázal (1739), že .

V současné době není známo, zda existují další Fermatova prvočísla
.

Pomocí Fermatových čísel můžete získat další důkaz Euklidovy věty.

Teorém(Poya).

Jakákoli dvě Fermatova čísla jsou relativně prvočísla.

Důkaz. Nechat A
jsou libovolná Fermatova čísla.

Pojďme si to ukázat
děleno . Je skutečně dělitelné x + 1, tj. na .

Nechť m je společný dělitel A
. Tehdy a od té doby
, znamená,
. Ale Fermatova čísla jsou lichá

Následek. Prvočísel je nekonečně mnoho.

Důkaz. každý z
má lichého dělitele, který nedělí zbytek Fermatových čísel, takže jich je minimálně N jednoduchá lichá čísla
existuje nekonečně mnoho prvočísel.

Komentář. Fermatova prvočísla se nečekaně objevují v problému sestrojení reguláru N-gon pomocí kompasu a pravítka. Gauss dokázal, že konstrukce je možná tehdy a jen tehdy
, Kde jsou Fermatova prvočísla.

Neopodstatněné domněnky o jednoduchosti čísel
A přiměl vědce, aby hledali další vzorce, jejichž hodnotami by byla pouze prvočísla, nebo alespoň obsahovaly nekonečně mnoho prvočísel.

Euler upozornil na polynomy:
, definující prvočísla na
a , který nabývá jednoduchých hodnot at
.

Později byla prokázána následující věta.

Teorém(Goldbach).

Žádný polynom
s celočíselnými koeficienty nemůže nabývat prvočísel
pro všechny
.

Důkaz. Nech, nech
- Prvočíslo.

Potom podle Taylorova vzorce: .

Všechny šance
- celá čísla
rozdělena na r.

Pokud se pokusíme vytvořit hodnoty
byly jednoduché
pro všechna celá čísla t, ale to odporuje skutečnosti, že
.

Je jednotka prvočíslo? Ne, jednička není prvočíslo.
Je 0 prvočíslo? Ne, nula není prvočíslo.
2 prvočíslo? Ano, 2 je prvočíslo. 2 je jediné sudé prvočíslo.

3 prvočíslo? Ano, 3 je prvočíslo.
Je 5 prvočíslo? Ano, 5 je prvočíslo.
Je 7 prvočíslo? Ano, 7 je prvočíslo.
Je 9 prvočíslo? Ne, 9 není prvočíslo. Koneckonců, 9 je dělitelné samo sebou, jednou a třemi.
Je 11 prvočíslo? Ano, 11 je prvočíslo.
Je 13 prvočíslo? Ano, 13 je prvočíslo.
Je 15 prvočíslo? Ne, 15 není prvočíslo. Vždyť 15 je dělitelné samo sebou, jednou, třemi, pěti.
Je 17 prvočíslo? Ano, 17 je prvočíslo.
Je 19 prvočíslo? Ano, 19 je prvočíslo.
Je 20 prvočíslo? Ne, 20 není prvočíslo. Koneckonců, 20 je dělitelné samo sebou, jednou, dvěma, čtyřmi, pěti, deseti.
Je 777 prvočíslo? Ne, 777 není prvočíslo. Koneckonců, 777 je dělitelné samo sebou, jednou, 3, 7, 37.
Je 997 prvočíslo? Ano, 997 je prvočíslo.
Prvočíslo je přirozené číslo, které je dělitelné pouze samo sebou a jedničkou.

Která má pouze 2 různé přirozené dělitele. Jinými slovy, číslo p pak to bude jednoduché, až bude větší než jednota a bude možné jej rozdělit pouze jednotou a sebou samým - p.

Volají se přirozená čísla, velká a čísla, která nejsou prvočísla složená čísla. Všechna přirozená čísla jsou tedy rozdělena do 3 tříd: jednotka (má 1 dělitele), prvočísla(mají 2 oddělovače) a složená čísla(mají více než 2 dělitele).

Začátek str posloupnosti prvočísel vypadá takto:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, …

Pokud budeme přirozená čísla reprezentovat jako součin prvočísel, pak tomu budeme říkat rozklad na prvočísla resp faktorizace čísla.

Největší známé prvočíslo.

Největší známé prvočíslo je 2 57885161 - 1. Toto číslo se skládá ze 17 425 170 desetinných číslic a nazývá se prvočíslo Mersennovo číslo(M57885161).

Některé vlastnosti prvočísel.

Řekněme p- jednoduché a p rozděluje ab, Pak p rozděluje A nebo b.

kroužek srážek Zn bude nazýváno polem pouze v případě n- jednoduché.

Charakteristikou všech polí je nula nebo prvočíslo.

Když p- jednoduché a A- přírodní prostředky a p-a lze rozdělit na p (Fermatova malá věta).

Když G je konečná grupa, jejíž řád |G| dělit podle p, tak at G je tam prvek řádu p (Cauchyho věta).

Když G je konečná skupina a p n- nejvyšší stupeň p dělení |G|, tak at G existuje podskupina řádu p n, která se nazývá podskupina Sylow, navíc počet podskupin Sylow odpovídá pk+1 za nějaký celek k(Sylowovy věty).

přírodní p > 1 bude jednoduché pouze tehdy (p-1)! +1 můžeš foukat dál p (Wilsonova věta).

Když n > 1- přírodní, což znamená, že existuje jednoduchý p: n< p < 2 n (postulát Bertranda).

Diverguje řada čísel, která jsou inverzní k prvočíslům. Navíc v .

Jakákoli aritmetická progrese typu a, a + q, a + 2 q, a + 3 q, ..., Kde a, q > 1- Celý relativně prvočísla, obsahuje nekonečný počet prvočísel ( Dirichletova věta o prvočíslech v aritmetickém postupu).

Jakékoli prvočíslo větší než 3 může být reprezentováno jako 6 tisíc + 1 nebo 6k-1, Kde k- přirozené číslo. Na základě toho, když rozdíl několika po sobě jdoucích prvočísel (např k>1) je stejný, což znamená, že je přesně dělitelný šesti - Například: 251-257-263-269; 199-211-223; 20183-20201-20219 .

Když p > 3 je prvočíslo, což znamená p 2-1 děleno 24 (funguje i pro lichá čísla, která nejsou dělitelná třemi).

Green-Tao teorém. Existují nekonečné aritmetické posloupnosti, které se skládají z prvočísel.

nk-1, Kde n>2, k>1. Jinými slovy, číslo, které následuje za prvočíslem, nemůže být druhá mocnina nebo vyšší mocnina se základem větším než dva. Lze dojít k závěru, že když je prvočíslo reprezentováno jako 2k-1, znamená k- jednoduché.

Žádné prvočíslo nemůže být reprezentováno jako n 2k+1+1, Kde n>1, k>0. Jinými slovy, číslo, které předchází prvočíslo, nemůže být krychle nebo vyšší lichá mocnina se základem větším než jedna.

Existují polynomy, ve kterých se množina nezáporných hodnot pro kladné hodnoty proměnných shoduje s množinou prvočísel. Příklad:

Tento polynom obsahuje 26 proměnných, má 25. Nejnižší stupeň pro známé polynomy prezentovaného tvaru je pět se 42 proměnnými; nejmenší počet proměnných je deset při mocnině přibližně 1,6·10 45 .

Operace s prvočísly.

1. Součin prvočísel.

2. Rozdíl prvočísel.

3. Součet prvočísel.

4. Dělení prvočísel.

V tuto chvíli nejsou polynomiální algoritmy pro faktorování čísel známy, i když nebylo prokázáno, že takové algoritmy neexistují. Kryptosystém RSA a některé další jsou založeny na předpokládané vysoké výpočetní složitosti problému faktorizace. Faktorizace s polynomiální složitostí je teoreticky možná na kvantovém počítači pomocí Shorova algoritmu.

Algoritmy pro vyhledávání a rozpoznávání prvočísel

Jednoduché způsoby, jak najít počáteční seznam prvočísel až do určité hodnoty, dávají Eratosthenovo síto, Sundaramovo síto a Atkinovo síto.
V praxi je však často nutné místo získání seznamu prvočísel ověřit, zda je dané číslo prvočíslo. Algoritmy, které řeší tento problém, se nazývají testy primality. Existuje mnoho testů polynomiální primality, ale většina z nich je pravděpodobnostních (například Miller-Rabinův test) a používá se pro potřeby kryptografie. V roce 2002 bylo prokázáno, že problém kontroly primality obecně je polynomiálně řešitelný, avšak navrhovaný deterministický Agrawal-Kayal-Saksena test má poměrně velkou výpočetní náročnost, což ztěžuje jeho praktické uplatnění.
Pro některé třídy čísel existují specializované účinné testy prvočíselnosti (viz níže).

Nekonečno prvočísel

Prvočísel je nekonečně mnoho. Nejstarší známý důkaz této skutečnosti podal Euklides v Živlech (kniha IX, výrok 20). Jeho důkaz lze stručně reprodukovat takto:

Matematici nabídli další důkazy. Jeden z nich (daný Eulerem) ukazuje, že součet převrácených hodnot prvního n prvočísla, roste donekonečna s růstem n.
Mersennova čísla se srovnávají příznivě s ostatními tím, že mají účinný test primálnosti: Luc-Lehmerův test. Mersennova prvočísla díky němu dlouho držela rekord jako největší známá prvočísla.
Za nalezení prvočísel z více než 100 000 000 a 1 000 000 000 desetinných číslic udělil EFF peněžní odměny ve výši 150 000 USD a 250 000 USD. EFF již dříve udělil ceny za nalezení prvočísel 1 000 000 a 10 000 000 desetinných míst.

Prvočísla zvláštního druhu

Existuje řada čísel, jejichž primálnost lze efektivně stanovit pomocí specializovaných algoritmů.

Pro vyhledávání prvočísel určených typů se v současnosti používají distribuované výpočetní projekty GIMPS, PrimeGrid. [e-mail chráněný], sedmnáctka nebo poprsí , Riesel síto , [e-mail chráněný].

Některé vlastnosti

Jestliže p je prvočíslo a p dělí ab , pak p dělí a nebo b . Důkaz této skutečnosti podal Euklides a je známý jako Euklidovo lemma. Používá se při důkazu základní věty aritmetiky.

kroužek srážek $\mathbb(Z)_n$ je pole tehdy a jen tehdy $n$ - jednoduché.

Charakteristikou každého pole je nula nebo prvočíslo.

Li $p$ - jednoduché a $A$ - tedy přirozené $a^p-a$ děleno $p$ (Malá Fermatova věta).

Li $G$ je konečná grupa, jejíž řád $|G|$ děleno $p$ , Že $G$ obsahuje prvek objednávky $p$ (Cauchyho věta).

Li $G$ je konečná skupina a $p^n$ - maximální stupeň $p$ , která rozděluje $|G|$ , Že $G$ má podskupinu řádu $p^n$ , tzv. Sylow podskupina , navíc počet Sylow podskupin je roven $pk+1$ pro nějaké celé číslo $k$ (Sylowovy věty).

přírodní $p > 1$ je jednoduchý tehdy a jen tehdy $(p-1)! +1$ děleno $p$ (Wilsonova věta).

Li $n > 1$ je přirozená, pak je tu jednoduchá $p$ , takové, že $n< p < 2 n$ (Bertrandův postulát).

Řada čísel inverzních k prvočíslům diverguje. Navíc v $x\to\infty$ $\jímka$

Jakýkoli aritmetický průběh formuláře $a, a + q, a + 2 q, a + 3 q, ...$ , Kde $a, q > 1$ - koprimá celá čísla, obsahuje nekonečně mnoho prvočísel (Dirichletova věta o prvočíslech v aritmetickém postupu).

Jakékoli prvočíslo větší než 3 může být reprezentováno jako $6 tisíc + 1$ nebo $6k-1$ , Kde $k$ je nějaké přirozené číslo. Pokud je tedy rozdíl mezi několika po sobě jdoucími prvočísly (pro k>1) stejný, pak je nutně násobkem 6 - například: 251-257-263-269; 199-211-223; 20183-20201-20219.

Li $p > 3$ - tak jednoduché $p^2-1$ dělitelné 24 (platí i pro všechna lichá čísla nedělitelná 3) .

Green-Tao teorém. Existují libovolně dlouhé konečné aritmetické posloupnosti skládající se z prvočísel.

$n^k-1$ , Kde n>2, k>1. Jinými slovy, číslo následující za prvočíslem nemůže být druhá mocnina nebo vyšší mocnina se základem větším než 2. Z toho také vyplývá, že pokud má prvočíslo tvar $2^k-1$ , Že k- prvočíslo (viz Mersennova čísla).

Žádné prvočíslo nemůže mít tvar $n^(2k+1)+1$ , Kde n>1, k>0. Jinými slovy, číslo před prvočíslem nemůže být krychle nebo vyšší lichá mocnina se základem větším než 1.

Vzorce pro hledání prvočísel

V různých dobách byly činěny pokusy označit výraz, jehož hodnoty pro různé hodnoty proměnných v něm obsažených by byla prvočísla. L. Euler upozornil na polynom $\textstyle n^2-n+41,$ převzetí prvořadých hodnot při n = 0, 1, 2, …, 40. Nicméně, když n=41 hodnota polynomu je složené číslo. Lze dokázat, že v jedné proměnné n není žádný polynom, který by nabýval prvočísel pro všechna celá čísla n . P. Fermat navrhl, aby všechna čísla tvaru 2 2k + 1 jednoduchý; Euler však tuto domněnku vyvrátil tím, že dokázal, že číslo 2 2 5 + 1 = 4 294 967 297 - kompozitní.
Existují však polynomy, jejichž množina kladných hodnot se pro nezáporné hodnoty proměnných shoduje s množinou prvočísel. Jedním z příkladů je polynom

$\begin(zarovnat)$

&(k+2) (1 - ^2 - [(gk + 2g + k + 1)(h + j) + h - z]^2 - ^2 - \\ &^2 - ^2 - [(a ^2 - 1)y^2 + 1 - x^2]^2 - \\ &^2 - [((a + u^2(u^2 - a))^2 - 1)(n + 4dy) ^2 + 1 - (x + cu)^2]^2 - ^2 - \\ &[(a^2 - 1)l^2 + 1 - m^2]^2 - ^2 - ^2 - \ \ &^2 - ^2) \end(zarovnat) obsahující 26 proměnných a mající stupeň 25. Nejmenší stupeň pro známé polynomy tohoto typu je 5 se 42 proměnnými; nejmenší počet proměnných je 10 se stupněm asi 1,6·1045. Tento výsledek je zvláštním případem diofantinské vlastnosti jakékoli spočetné množiny dokázané Jurijem Matiyasevichem.

Otevřené otázky

Stále existuje mnoho otevřených otázek týkajících se prvočísel, z nichž nejznámější byly uvedeny Edmundem Landauem na pátém mezinárodním matematickém kongresu:

Otevřeným problémem je také existence nekonečného počtu prvočísel v mnoha celočíselných posloupnostech, včetně Mersennových čísel, Fibonacciho čísel, Fermatových čísel a dalších.

Aplikace

Velká prvočísla (řádově 10 300) se používají v kryptografii s veřejným klíčem. Prvočísla se také používají v hašovacích tabulkách a pro generování pseudonáhodných čísel (zejména v Mersenne Whirlwind PRNG).

Variace a zobecnění

V teorii prstenů, odvětví obecné algebry, jsou definovány pojmy prvočíslo a prvočíslo.

V teorii uzlů je pojem jednoduchého uzlu definován jako netriviální uzel, který nelze reprezentovat jako spojený součet netriviálních uzlů.

viz také

Napište recenzi na článek "Prvočíslo"
Poznámky
|heading3= Nástroje rozšíření
číselné soustavy |nadpis4= Hierarchie čísel |seznam4=

$-1,\;0,\;1,\;\ldots$ Celá čísla

$-1,\;1,\;\frac(1)(2),\;\;0(,)12,\frac(2)(3),\;\ldots$ Racionální čísla

$-1,\;1,\;\;0(,)12,\frac(1)(2),\;\pi,\;\sqrt(2),\;\ldots$ Reálná čísla

$-1,\;\frac(1)(2),\;0(,)12,\;\pi,\;3i+2,\;e^(i\pi/3),\;\ldots$ Komplexní čísla
$1,\;i,\;j,\;k,\;2i + \pi j-\frac(1)(2)k,\;\tečky$ Čtveřice $1,\;i,\;j,\;k,\;l,\;m,\;n,\;o,\;2 - 5l + \frac(\pi)(3)m,\;\ tečky$ Octonions $1,\;e_1,\;e_2,\;\tečky,\;e_(15),\;7e_2 + \frac(2)(5)e_7 - \frac(1)(3)e_(15),\ ;\tečky$ sedenions |nadpis5= Ostatní
číselné soustavy |header6= Viz také

Obecná informace

Faktorizační formy

S omezenými děliteli

Čísla s mnoha děliteli

Týká se alikvotů
sekvence

jiný

Úryvek charakterizující prvočíslo
Poté, co obdržela zprávu o Natašině nemoci, přišla hraběnka, stále ještě ne zcela zdravá a slabá, do Moskvy s Petyou a celým domem a celá rodina Rostova se přestěhovala z Marya Dmitrievna do jejich domu a zcela se usadila v Moskvě.
Natašina nemoc byla tak vážná, že k jejímu štěstí a ke štěstí jejích příbuzných ustoupila myšlenka na vše, co způsobilo její nemoc, její čin a rozchod se snoubencem, do pozadí. Byla tak nemocná, že se nedalo ani pomyslet, jak velkou vinu za všechno, co se stalo, přitom nejedla, nespala, znatelně zhubla, kašlala a podle lékařů byla v nebezpečí. Jediné, na co musel myslet, bylo pomoci jí. Lékaři chodili za Natašou individuálně i na konzultacích, mluvili hodně francouzsky, německy a latinsky, navzájem se odsuzovali, předepisovali nejrozmanitější léky na všechny jim známé nemoci; ale ani jeden z nich nepřišel s jednoduchou myšlenkou, že si nemohou být vědomi nemoci, kterou Nataša trpěla, stejně jako nemohla být známa žádná nemoc, kterou je živý člověk posedlý: protože každý živý člověk má své vlastní vlastnosti a vždy je měl. zvláštní a vlastní nová, složitá, medicíně neznámá nemoc, nikoli nemoc plic, jater, kůže, srdce, nervů atd., zaznamenaná v lékařství, ale nemoc sestávající z jedné z nesčetných sloučenin v utrpení těchto orgány. Tato jednoduchá myšlenka nemohla přijít k lékařům (stejně jako myšlenka nemůže přijít na čaroděje, který nedokáže vyčarovat), protože jejich životním úkolem bylo léčit, protože za to dostávali peníze a protože na tom strávili nejlepší roky svého života. podnikání. Ale hlavní věc je, že tato myšlenka nemohla přijít k lékařům, protože viděli, že jsou nepochybně užiteční a že jsou opravdu užiteční pro všechny Rostovy doma. Byly užitečné ne proto, že nutily pacienta polykat převážně škodlivé látky (toto poškození nebylo příliš citlivé, protože škodlivé látky byly podávány v malém množství), ale byly užitečné, nutné, nevyhnutelné (důvodem je, proč vždy existují a budou být imaginárními léčiteli, věštci, homeopaty a alopaty), protože uspokojovali mravní potřeby nemocných a lidí, kteří nemocné milují. Uspokojili onu věčnou lidskou potřebu naděje na úlevu, potřebu soucitu a aktivity, kterou člověk zažívá během utrpení. Uspokojili onu věčnou, lidskou potřebu, která je patrná u dítěte v té nejprimitivnější podobě, třít si pohmožděné místo. Dítě se zabije a okamžitě vběhne do rukou matky, chůvy, aby bylo políbeno a třeno na bolavé místo a je pro něj snazší, když je bolavé místo třeno nebo líbáno. Dítě nevěří, že nejsilnější a nejmoudřejší z něj nemají prostředky, jak pomoci jeho bolesti. A naděje na úlevu a vyjádření soucitu, zatímco si matka tře jeho hrbolek, ho utěšuje. Doktoři byli pro Natašu užiteční v tom, že líbali a třeli bobo a ujistili se, že to teď přejde, když řidič zajde do lékárny Arbat a vezme sedm hřiven prášků a pilulek v pěkné krabičce za rubl, a pokud budou tyto prášky jisté. být za dvě hodiny, nic víc a nic míň, pacient si vezme převařenou vodu.
Co by Sonya, hrabě a hraběnka dělali, jak by se dívali na slabou, rozplývající se Natašu, nic nedělající, kdyby tu každou hodinu nebyly tyto pilulky, pít teplé, kuřecí řízky a všechny detaily života předepsané doktore, jehož pozorování bylo poučením a útěchou pro ostatní? Čím přísnější a složitější tato pravidla byla, tím to bylo pro okolí uklidňující. Jak by hrabě snášel nemoc své milované dcery, kdyby nevěděl, že Natašina nemoc ho stála tisíce rublů a že další tisíce neušetří, aby jí dělal dobro: kdyby nevěděl, že pokud se neuzdraví, neušetří, ušetří tisíce dalších a vezme ji do zahraničí a bude tam pořádat konzultace; kdyby nebyl schopen říct podrobnosti o tom, jak Metivier a Feller nerozuměli, ale Freeze to chápal a Wise definoval nemoc ještě lépe? Co by hraběnka dělala, kdyby se nemohla občas pohádat s nemocnou Natašou, protože plně nedodržovala lékařské předpisy?
"Nikdy se neuzdravíš," řekla a otráveně zapomněla na svůj zármutek, "pokud neposlechneš lékaře a nevezmeš si lék v nevhodnou dobu!" Koneckonců, o tom nemůžete žertovat, když můžete dostat zápal plic, “řekla hraběnka a ve výslovnosti tohoto jediného slova, které je pro ni nesrozumitelné, už našla velkou útěchu. Co by Sonya dělala, kdyby neměla to radostné vědomí, že se nejprve tři noci nesvlékla, aby byla připravena splnit přesně všechny pokyny lékaře, a že teď v noci nespí, aby zmeškat hodiny, do kterých je třeba dávat neškodné pilulky ze zlaté krabičky? Dokonce i samotná Nataša, která, i když říkala, že ji žádné léky nevyléčí a že je to všechno nesmysl - a byla ráda, když viděla, že se pro ni udělalo tolik darů, že v určité hodiny musela brát léky, a dokonce šťastné bylo, že zanedbávala plnění předepsaného a mohla ukázat, že nevěří v léčbu a neváží si svého života.
Doktor chodil každý den, nahmatal puls, podíval se na jazyk a nevěnoval pozornost její mrtvé tváři a žertoval s ní. Ale na druhou stranu, když vyšel do jiné místnosti, hraběnka ho spěšně následovala a on, nasadil vážný pohled a zamyšleně zavrtěl hlavou, řekl, že ačkoliv existuje nebezpečí, doufá v účinek tohoto posledního léku. , a že jsme museli počkat a uvidíme. že nemoc je morálnější, ale...
Hraběnka, která se snažila tento čin před sebou i před lékařem utajit, mu vložila do ruky zlaťák a pokaždé se s klidným srdcem vrátila k pacientovi.
Příznaky Natašiny nemoci spočívaly v tom, že málo jedla, málo spala, kašlala a nikdy se nevzpamatovala. Lékaři uvedli, že pacientka by neměla zůstat bez lékařské pomoci, a proto ji drželi v dusném vzduchu ve městě. A v létě 1812 Rostovi na venkov neodešli.
Navzdory velkému množství spolknutých pilulek, kapek a prášků ze sklenic a krabiček, z nichž madame Schossová, lovkyně těchto věcí, nasbírala velkou sbírku, si i přes absenci obvyklého vesnického života vybralo mládí svou daň: Natašin smutek se začal ztrácet. Když byla pokryta vrstvou dojmů ze svého života, přestala jí na srdci ležet tak nesnesitelná bolest, začalo to být minulostí a Natasha se začala fyzicky zotavovat.
Natasha byla klidnější, ale ne veselejší. Vyhýbala se nejen všem vnějším podmínkám radosti: plesům, bruslení, koncertům, divadlu; ale nikdy se nesmála, aby její slzy nebyly slyšet kvůli jejímu smíchu. Neuměla zpívat. Jakmile se začala smát nebo se pokoušela zpívat sama se sebou, slzy ji udusily: slzy lítosti, slzy vzpomínek na ten neodvolatelný, čistý čas; slzy mrzutosti, že tak, pro nic za nic, zničila svůj mladý život, který mohl být tak šťastný. Zvláště smích a zpěv jí připadaly jako rouhání proti jejímu smutku. Nikdy nepomyslela na koketérii; ani se nemusela zdržovat. Řekla a cítila, že v té době pro ni byli všichni muži úplně stejní jako šašek Nastasja Ivanovna. Vnitřní stráž jí rozhodně zakazovala jakoukoli radost. A neměla všechny dřívější zájmy života z toho dívčího, bezstarostného, nadějného způsobu života. Častěji a bolestněji vzpomínala na podzimní měsíce, lov, strýce a vánoční čas strávený s Nicolasem v Otradném. Co by dala za to, aby přinesla byť jen jeden den z té doby! Ale byl navždy konec. Předtucha ji tehdy neklamala, že ten stav svobody a otevřenosti všem radostem se už nikdy nevrátí. Ale musel jsem žít.
Utěšovalo ji, že není lepší, jak si předtím myslela, ale horší a mnohem horší než všichni, všichni, kdo na světě jen existují. Ale to nestačilo. Věděla to a zeptala se sama sebe: "Co dál? A pak nebylo nic." V životě nebyla žádná radost a život plynul. Natasha se zjevně snažila jen nebýt pro nikoho zátěží a nikomu nezasahovat, ale pro sebe nic nepotřebovala. Doma se ode všech odstěhovala a jen s bratrem Péťou to měla jednoduché. Líbilo se jí být s ním víc než s ostatními; a někdy, když s ním byla z očí do očí, se smála. Téměř nevycházela z domu a z těch, kteří je přišli navštívit, byla ráda jen za Pierra. Nebylo možné s ní zacházet něžněji, pečlivěji a zároveň vážněji, než se k ní choval hrabě Bezukhov. Natasha Osss vědomě cítila tuto něhu léčby, a proto nacházela v jeho společnosti velké potěšení. Ale ani mu nebyla vděčná za jeho něžnost; nic dobrého ze strany Pierra jí nepřipadalo jako úsilí. Pro Pierra se zdálo být tak přirozené být ke všem laskavý, že na jeho laskavosti nebyla žádná zásluha. Občas si Natasha všimla Pierrových rozpaků a trapnosti v její přítomnosti, zvláště když pro ni chtěl udělat něco příjemného nebo když se bál, že něco v rozhovoru přivede Natashu k bolestným vzpomínkám. Všimla si toho a přičítala to jeho všeobecné laskavosti a plachosti, která podle ní stejně jako u ní měla být u každého. Po těch bezděčných slovech, že kdyby byl volný, požádal by její ruce a lásku na kolenou, řekl Pierre ve chvíli tak silného vzrušení z ní, Pierre nikdy neřekl nic o svých citech k Nataše; a bylo jí zřejmé, že tato slova, která ji tehdy tak utěšovala, byla vyslovena, jako se vyslovují nejrůznější nesmyslná slova, aby utěšila plačící dítě. Ne proto, že by byl Pierre ženatý, ale proto, že Natasha cítila mezi sebou a ním v nejvyšší míře onu sílu morálních bariér - jejichž absenci cítila u Kyragina - nikdy ji nenapadlo, že by se mohla dostat ze vztahu s Pierrem. nejen láska z její strany, nebo ještě méně z jeho strany, ale i takové něžné, sebevyznávající, poetické přátelství mezi mužem a ženou, jakých znala několik příkladů.
Na konci Petrovského postu přijela do Moskvy Agrafena Ivanovna Belova, sousedka Rostovových Otradnenskaja, aby se poklonila moskevským svatým. Pozvala Natashu, aby šla spát, a Nataša se tohoto nápadu s radostí chopila. Přes lékařův zákaz vycházet brzy ráno Nataša trvala na půstu, a nikoli na půstu jako obvykle v domě Rostových, tedy na poslechu tří bohoslužeb doma, ale proto, aby se postila tak, jak bývala Agrafena Ivanovna, tj. je celý týden, aniž by chyběla jediná nešpora, mše nebo matutina.
Hraběnce se líbila Natašina horlivost; v duši po neúspěšné lékařské léčbě doufala, že jí modlitba pomůže s dalšími léky, a přestože se strachem a skrýváním se před lékařem souhlasila s Natašinou touhou a svěřila ji Belové. Agrafena Ivanovna přišla ve tři hodiny ráno vzbudit Natašu a většinou ji zjistila, že už nespí. Natasha se bála zaspat čas maturantů. Spěšně se umyla a pokorně se oblékla do svých nejhorších šatů a staré mantily, chvějící se svěžestí, vyšla Nataša do opuštěných ulic, průhledně osvětlených ranním svítáním. Na radu Agrafeny Ivanovny Nataša nekázala ve své farnosti, ale v kostele, ve kterém byl podle zbožné Belové kněz velmi přísného a vysokého života. V kostele bylo vždy málo lidí; Nataša a Belova zaujaly své obvyklé místo před ikonou Matky Boží, zasazenou do zadní části levého chóru, a Natašin nový smysl pro pokoru před velkým, nepochopitelným, se jí zmocnil, když v tuto neobvyklou hodinu ráno, hledíc na černou tvář Matky Boží, osvětlenou před ním hořícími svíčkami, a ranním světlem padajícím z okna, naslouchala zvukům bohoslužby, kterou se snažila následovat, rozumět jim. Když je pochopila, její osobní pocit s jeho odstíny se připojil k její modlitbě; když nechápala, bylo pro ni ještě sladší myslet si, že touha porozumět všemu je pýcha, že nelze všemu porozumět, že je třeba jen věřit a odevzdat se Bohu, který v tu chvíli – cítila – vládl její duši. Pokřižovala se, uklonila se, a když nechápala, jen zděšená svou ohavností prosila Boha, aby jí za všechno, za všechno odpustil a smiloval se. Modlitby, kterým se nejvíce věnovala, byly modlitby pokání. Po návratu domů v časných ranních hodinách, kdy do práce chodili jen zedníci, domovníci zametali ulice a všichni ještě spali v domech, pro ni Natasha zažila nový pocit z možnosti napravit se ze svých neřestí a možnost nového, čistého života a štěstí.
Během celého týdne, kdy vedla tento život, tento pocit rostl každým dnem. A štěstí ze společenství nebo komunikace, jak jí Agrafena Ivanovna řekla, že si radostně hraje s tímto slovem, se jí zdálo tak velké, že se jí zdálo, že se nedožije této požehnané neděle.
Ale přišel šťastný den, a když se Nataša oné památné neděle v bílých mušelínových šatech vrátila od přijímání, poprvé po mnoha měsících se cítila klidná a nezatížená životem, který ji čekal.
Doktor, který ten den přišel, Natashu prohlédl a nařídil pokračovat v posledních prášcích, které předepsal před dvěma týdny.
"Je nezbytně nutné pokračovat - ráno a večer," řekl, evidentně sám svědomitě spokojený se svým úspěchem. "Prosím, buďte opatrní." Buď klidná, hraběno, - řekl doktor žertem a obratně zvedl zlatou do ruky, - brzy bude zase zpívat a bude čilý. Velmi, velmi pro její poslední lék. Hodně se rozzářila.
Hraběnka se podívala na své nehty a odplivl si a vrátil se do obývacího pokoje s veselou tváří.
Začátkem července se v Moskvě šířily stále znepokojivější zvěsti o průběhu války: mluvilo se o panovníkově apelu k lidu, o příchodu panovníka samotného z armády do Moskvy. A protože manifest a výzva nebyly doručeny před 11. červencem, kolovaly o nich a o situaci v Rusku přehnané fámy. Říkali, že panovník odchází, protože armáda je v nebezpečí, říkali, že Smolensk se vzdal, Napoleon má milion vojáků a že Rusko může zachránit jen zázrak.
11. července, v sobotu, byl manifest přijat, ale ještě nebyl vytištěn; a Pierre, který byl u Rostovových, slíbil, že příští den, v neděli, přijde na večeři a přinese manifest a výzvu, kterou dostane od hraběte Rostopchina.
V tuto neděli šli Rostovi jako obvykle na mši do domovního kostela Razumovských. Byl horký červencový den. Již v deset hodin, když Rostové vystoupili z kočáru před kostel, v horkém vzduchu, v nářcích kramářů, v jasných a lehkých letních šatech davu, v zaprášeném listí stromů bulváru, ve zvucích hudby a bílých kalhotách praporu, který prošel k rozvodu, v hřmění chodníku a v jasné záři horkého slunce byla ona letní malátnost, spokojenost a nespokojenost se současností, která je obzvláště ostře cítit za jasného horkého dne ve městě. V kostele Razumovských byla veškerá moskevská šlechta, všichni známí Rostových (letos, jako by něco očekávali, ve městě zůstalo mnoho bohatých rodin, obvykle se pohybujících po vesnicích). Když Natasha prošla za lokajem v livreji, který rozděloval dav poblíž její matky, zaslechla hlas mladého muže, který o ní příliš hlasitě šeptal:
- Tohle je Rostov, ten samý...
- Jak tenké, ale stále dobré!
Slyšela, nebo se jí zdálo, že byla zmíněna jména Kuragina a Bolkonského. Vždy se jí to však zdálo. Vždy se jí zdálo, že všichni při pohledu na ni myslí jen na to, co se jí stalo. Natasha trpěla a umírala v duši, jako vždy v davu, ve svých fialových hedvábných šatech s černou krajkou tak, jak ženy umějí chodit – čím klidnější a majestátnější, tím bolestnější a zahanbenější ve své duši cítila. Věděla a nemýlila se, že je dobrá, ale to ji teď netěšilo jako dřív. Naopak ji to v poslední době potrápilo ze všeho nejvíc, a zvláště v tento jasný, horký letní den ve městě. "Další neděle, další týden," řekla si, když si vzpomněla, jak tu tu neděli byla, "a stále stejný život bez života a všechny stejné podmínky, ve kterých se dříve žilo tak snadno. Je dobrá, mladá a já vím, že teď jsem dobrý, předtím jsem byl špatný, ale teď jsem dobrý, já vím, pomyslela si, ale nejlepší roky pro nikoho plynou zbytečně. Stála vedle své matky a vyměňovala si vztahy s blízkými známými. Natasha se ze zvyku podívala na dámské toalety, odsoudila tenue [chování] a neslušný způsob křížení rukou v malém prostoru jedné stojící poblíž, znovu si otráveně myslela, že ji odsuzují, že soudila, a náhle, když slyšela zvuky služby, zděsila se svou podlostí, zděsila se, že se jí opět ztratila její dřívější čistota.
Pohledný, tichý starý muž sloužil s tou pokornou vážností, která má tak majestátní, uklidňující účinek na duše těch, kdo se modlí. Královské dveře se zavřely, závoj se pomalu stáhl; tajemný tichý hlas odtud něco řekl. Slzy, pro ni nepochopitelné, stály v Natašině hrudi a rozrušoval ji radostný a bolestný pocit.
„Nauč mě, co mám dělat, jak se navždy, navždy zlepšit, jak se vypořádat se svým životem…“ pomyslela si.
Jáhen vyšel na kazatelnu, narovnal si dlouhé vlasy zpod přepážky, palec široce od sebe, položil si kříž na hruď a začal hlasitě a slavnostně číst slova modlitby:
"Modleme se k Pánu za pokoj."
„V míru, všichni společně, bez rozdílu třídy, bez nepřátelství a spojeni bratrskou láskou se budeme modlit,“ pomyslela si Nataša.
- O míru shůry a o spáse našich duší!
"O světě andělů a duší všech nehmotných bytostí, které žijí nad námi," modlila se Nataša.
Když se modlili za armádu, vzpomněla si na svého bratra a Denisova. Když se modlili za námořníky a cestovatele, vzpomněla si na prince Andreje a modlila se za něj a modlila se, aby jí Bůh odpustil zlo, které mu způsobila. Když se modlili za ty, kteří nás milují, modlila se za svou rodinu, za svého otce, matku, Sonyu, nyní si poprvé uvědomila svou vinu a cítila veškerou sílu své lásky k nim. Když jsme se modlili za ty, kteří nás nenávidí, vymyslela si nepřátele a nenávistníky, aby se za ně modlila. Mezi nepřátele počítala věřitele a všechny, kteří měli co do činění s jejím otcem, a pokaždé, když pomyslela na nepřátele a nenávistníky, vzpomněla si na Anatola, který jí napáchal tolik zla, a přestože nebyl nenávistný, radostně se za ho jako nepřítele. Pouze během modlitby cítila, že si dokáže jasně a klidně vzpomenout na prince Andreje i Anatola jako na lidi, ke kterým byly její city zničeny ve srovnání s jejím pocitem strachu a úcty k Bohu. Když se modlili za královskou rodinu a za synodu, zvlášť nízko se uklonila a pokřižovala se a říkala si, že pokud nerozumí, nemůže pochybovat a stále miluje vládnoucí synod a modlí se za něj.
Po dokončení litanie si jáhen zkřížil orarion kolem hrudi a řekl:
"Svěřme sebe a své životy Kristu, našemu Bohu."
"Zradíme se Bohu," opakovala si Natasha v duši. Můj Bože, zavazuji se k tvé vůli, pomyslela si. - nic nechci, nechci; nauč mě, co mám dělat, kde používat svou vůli! Ano, vezmi si mě, vem si mě! - řekla Nataša s dojemnou netrpělivostí v duši, aniž by se pokřižovala, spustila hubené ruce a jako by očekávala, že ji neviditelná síla vezme a zachrání ji před ní samotnou, před jejími lítostmi, touhami, výčitkami, nadějemi a neřestmi.
Hraběnka se během bohoslužby několikrát ohlédla na něžnou, zářícíma očima, tvář své dcery a prosila Boha, aby jí pomohl.