Butun noto'g'ri kasrlarni ko'paytiring. Kasrlarni ko'paytirish, kasrlarni bo'lish

O'xshash maxrajli kasrlarni qo'shish

Kasrlarni qo'shishning ikki turi mavjud:

1. O'xshash maxrajli kasrlarni qo'shish
2. Turli xil maxrajli kasrlarni qo‘shish

Birinchidan, maxrajlari o'xshash bo'lgan kasrlarni qo'shishni o'rganamiz. Bu erda hamma narsa oddiy. Bir xil maxrajli kasrlarni qo'shish uchun ularning hisoblarini qo'shish va maxrajni o'zgarishsiz qoldirish kerak. Masalan, va kasrlarni qo'shamiz. Numeratorlarni qo'shing va maxrajni o'zgarishsiz qoldiring:

To'rt qismga bo'lingan pitsani eslasak, bu misolni osongina tushunish mumkin. Agar siz pizzaga pizza qo'shsangiz, siz pizza olasiz:

2-misol. Kasrlarni qo'shing va .

Javob noto'g'ri kasr bo'lib chiqdi. Vazifaning oxiri kelganda, noto'g'ri fraktsiyalardan xalos bo'lish odatiy holdir. Noto'g'ri fraktsiyadan xalos bo'lish uchun siz uning butun qismini tanlashingiz kerak. Bizning holatda, butun qism osongina ajratiladi - ikkitasini ikkitaga bo'lish birga teng:

Ikki qismga bo'lingan pizza haqida eslasak, bu misolni osongina tushunish mumkin. Agar siz pitsaga ko'proq pitsa qo'shsangiz, siz bitta pitsa olasiz:

3-misol. Kasrlarni qo'shing va .

Shunga qaramay, biz sonlarni qo'shamiz va maxrajni o'zgarishsiz qoldiramiz:

Bu misolni uch qismga bo'lingan pitssani eslasak, oson tushunish mumkin. Agar siz pizzaga ko'proq pizza qo'shsangiz, siz pizza olasiz:

4-misol. Ifodaning qiymatini toping

Ushbu misol oldingi misollar bilan bir xil tarzda hal qilinadi. Numeratorlar qo'shilishi va maxraj o'zgarishsiz qolishi kerak:

Keling, yechimimizni chizma yordamida tasvirlashga harakat qilaylik. Agar siz pitsaga pitsa qo'shsangiz va ko'proq pitsa qo'shsangiz, siz 1 ta to'liq pitsa va yana ko'proq pitsa olasiz.

Ko'rib turganingizdek, bir xil maxrajli kasrlarni qo'shishda murakkab narsa yo'q. Buning uchun quyidagi qoidalarni tushunish kifoya:

1. Bir xil maxrajli kasrlarni qo'shish uchun ularning hisoblarini qo'shish va maxrajni o'zgarishsiz qoldirish kerak;

Turli xil maxrajli kasrlarni qo‘shish

Keling, har xil maxrajli kasrlarni qo'shishni o'rganamiz. Kasrlarni qo'shishda kasrlarning maxrajlari bir xil bo'lishi kerak. Lekin ular har doim ham bir xil emas.

Masalan, kasrlarni qo'shish mumkin, chunki ularning maxrajlari bir xil.

Ammo kasrlarni darhol qo'shib bo'lmaydi, chunki bu kasrlar turli xil maxrajlarga ega. Bunday hollarda kasrlarni bir xil (umumiy) maxrajga keltirish kerak.

Kasrlarni bir xil maxrajga kamaytirishning bir necha usullari mavjud. Bugun biz ulardan faqat bittasini ko'rib chiqamiz, chunki boshqa usullar yangi boshlanuvchilar uchun murakkab bo'lib tuyulishi mumkin.

Bu usulning mohiyati shundan iboratki, avval ikkala kasrning maxrajlarining LKM i izlanadi. Keyin LCM birinchi qo'shimcha omilni olish uchun birinchi kasrning maxrajiga bo'linadi. Ular ikkinchi kasr bilan ham xuddi shunday qilishadi - LCM ikkinchi kasrning maxrajiga bo'linadi va ikkinchi qo'shimcha omil olinadi.

Keyin kasrlarning sonlari va maxrajlari ularning qo'shimcha ko'paytmalari bilan ko'paytiriladi. Ushbu harakatlar natijasida turli xil maxrajlarga ega bo'lgan kasrlar bir xil maxrajga ega bo'lgan kasrlarga aylanadi. Va biz bunday kasrlarni qanday qo'shishni allaqachon bilamiz.

1-misol. Kasrlarni qo'shamiz va

Avvalo, ikkala kasrning maxrajlarining eng kichik umumiy karralini topamiz. Birinchi kasrning maxraji 3 soni, ikkinchi kasrning maxraji 2 soni. Bu sonlarning eng kichik umumiy karrali 6 ga teng.

LCM (2 va 3) = 6

Endi kasrlarga qaytaylik va . Birinchidan, LCMni birinchi kasrning maxrajiga bo'ling va birinchi qo'shimcha omilni oling. LCM - 6 raqami, birinchi kasrning maxraji esa 3. 6 ni 3 ga bo'ling, biz 2 ni olamiz.

Olingan 2 raqami birinchi qo'shimcha ko'paytiruvchidir. Biz uni birinchi kasrga yozamiz. Buni amalga oshirish uchun kasr ustiga kichik qiyshiq chiziq qo'ying va uning ustida joylashgan qo'shimcha omilni yozing:

Ikkinchi kasr bilan ham xuddi shunday qilamiz. Biz LCMni ikkinchi kasrning maxrajiga ajratamiz va ikkinchi qo'shimcha omilni olamiz. LCM - 6 raqami, ikkinchi kasrning maxraji esa 2. 6 ni 2 ga bo'ling, biz 3 ni olamiz.

Olingan 3 raqami ikkinchi qo'shimcha ko'paytiruvchidir. Biz uni ikkinchi kasrga yozamiz. Shunga qaramay, biz ikkinchi kasr ustiga kichik qiyshiq chiziq qilamiz va uning ustida joylashgan qo'shimcha omilni yozamiz:

Endi bizda qo'shimcha qilish uchun hamma narsa tayyor. Kasrlarning numeratorlari va maxrajlarini qo'shimcha omillarga ko'paytirish qoladi:

Biz nimaga erishganimizga diqqat bilan qarang. Biz maxrajlari har xil bo'lgan kasrlar bir xil maxrajga ega bo'lgan kasrlarga aylanadi degan xulosaga keldik. Va biz bunday kasrlarni qanday qo'shishni allaqachon bilamiz. Keling, ushbu misolni oxirigacha olaylik:

Bu misolni to'ldiradi. Qo'shish uchun chiqadi.

Keling, yechimimizni chizma yordamida tasvirlashga harakat qilaylik. Agar siz pitsaga pitsa qo'shsangiz, siz bitta pitsa va yana oltidan bir qismini olasiz:

Kasrlarni bir xil (umumiy) maxrajga qisqartirishni rasm yordamida ham tasvirlash mumkin. Kasrlarni qisqartirish umumiy maxraj, biz kasrlarni oldik va . Bu ikki kasr bir xil pizza bo'laklari bilan ifodalanadi. Yagona farq shundaki, bu safar ular teng ulushlarga bo'linadi (bir xil maxrajga qisqartiriladi).

Birinchi rasm kasrni (oltitadan to'rttasini), ikkinchisi esa kasrni (oltitadan uchtasini) ifodalaydi. Ushbu qismlarni qo'shib, biz (oltitadan etti dona) olamiz. Bu kasr noto'g'ri, shuning uchun biz uning butun qismini ta'kidladik. Natijada biz (bitta butun pitsa va boshqa oltinchi pitsa) oldik.

E'tibor bering, biz tasvirlab berdik bu misol juda batafsil. IN ta'lim muassasalari Bunday batafsil yozish odat emas. Siz ikkala maxrajning va ularga qo'shimcha omillarning LCM ni tezda topa olishingiz, shuningdek, topilgan qo'shimcha omillarni o'zingizning hisoblagichlaringiz va maxrajlaringiz bilan tezda ko'paytirishingiz kerak. Agar biz maktabda bo'lganimizda, bu misolni quyidagicha yozishimiz kerak edi:

Lekin ham bor orqa tomon medallar. Agar siz matematikani o'rganishning birinchi bosqichlarida batafsil qayd qilmasangiz, unda bunday savollar paydo bo'la boshlaydi. “Bu raqam qayerdan keladi?”, “Nima uchun kasrlar birdan butunlay boshqa kasrlarga aylanadi? «.

Turli xil maxrajli kasrlarni qo'shishni osonlashtirish uchun siz quyidagi bosqichma-bosqich ko'rsatmalardan foydalanishingiz mumkin:

1. Kasrlar maxrajlarining LKM ni toping;
2. LCMni har bir kasrning maxrajiga bo'ling va har bir kasr uchun qo'shimcha omil oling;
3. Kasrlarning son va maxrajlarini ularning qo'shimcha ko'paytmalariga ko'paytirish;
4. Maxrajlari bir xil bo'lgan kasrlarni qo'shing;
5. Agar javob noto'g'ri kasr bo'lib chiqsa, uning butun qismini tanlang;

2-misol. Ifodaning qiymatini toping .

Keling, yuqorida keltirilgan ko'rsatmalardan foydalanamiz.

1-qadam. Kasrlar maxrajlarining LKM ni toping

Ikkala kasrning maxrajlarining LKM ni toping. Kasrlarning maxrajlari 2, 3 va 4 sonlaridir

2-qadam. LCMni har bir kasrning maxrajiga bo'ling va har bir kasr uchun qo'shimcha omil oling

LCM ni birinchi kasrning maxrajiga bo'ling. LCM - 12 raqami, birinchi kasrning maxraji esa 2. 12 ni 2 ga bo'lamiz, biz 6 ga erishamiz. Biz birinchi qo'shimcha koeffitsientni oldik 6. Uni birinchi kasrning ustiga yozamiz:

Endi biz LCMni ikkinchi kasrning maxrajiga ajratamiz. LCM - 12 raqami, ikkinchi kasrning maxraji esa 3. 12 ni 3 ga bo'lamiz, biz 4 ga erishamiz. Ikkinchi qo'shimcha koeffitsientni olamiz 4. Uni ikkinchi kasrning ustiga yozamiz:

Endi biz LCMni uchinchi kasrning maxrajiga ajratamiz. LCM - 12 raqami, uchinchi kasrning maxraji esa 4. 12 ni 4 ga bo'lamiz, biz 3 ni olamiz. Uchinchi qo'shimcha koeffitsientni olamiz 3. Uni uchinchi kasrning ustiga yozamiz:

3-qadam. Kasrlarning son va maxrajlarini qo'shimcha ko'paytmalari bilan ko'paytiring

Numeratorlar va maxrajlarni qo'shimcha ko'paytmalarga ko'paytiramiz:

Qadam 4. Bir xil maxrajli kasrlarni qo'shing

Biz maxrajlari har xil bo'lgan kasrlar bir xil (umumiy) maxrajga ega bo'lgan kasrlarga aylanadi degan xulosaga keldik. Qolgan narsa bu kasrlarni qo'shishdir. Uni qo'shing:

Qo'shish bir qatorga to'g'ri kelmadi, shuning uchun biz qolgan ifodani keyingi qatorga o'tkazdik. Bu matematikada ruxsat etiladi. Ifoda bir satrga to`g`ri kelmasa, u keyingi qatorga o`tkaziladi va birinchi qatorning oxiriga va yangi qatorning boshiga tenglik belgisini (=) qo`yish kerak bo`ladi. Ikkinchi qatordagi tenglik belgisi bu birinchi qatordagi ifodaning davomi ekanligini ko'rsatadi.

Qadam 5. Agar javob noto'g'ri kasr bo'lib chiqsa, uning butun qismini tanlang

Bizning javobimiz noto'g'ri kasr bo'lib chiqdi. Biz uning butun bir qismini ta'kidlashimiz kerak. Biz ta'kidlaymiz:

Biz javob oldik

O'xshash maxrajli kasrlarni ayirish

Kasrlarni ayirishning ikki turi mavjud:

1. O'xshash maxrajli kasrlarni ayirish
2. Turli xil maxrajli kasrlarni ayirish

Birinchidan, keling, o'xshash maxrajli kasrlarni qanday ayirishni o'rganamiz. Bu erda hamma narsa oddiy. Bir kasrdan ikkinchi kasrni ayirish uchun birinchi kasrning sonidan ikkinchi kasrni ayirish kerak, lekin maxrajni bir xil qoldirish kerak.

Masalan, ifoda qiymatini topamiz. Bu misolni yechish uchun birinchi kasr sonidan ikkinchi kasrning payini ayirish va maxrajni o'zgarishsiz qoldirish kerak. Keling buni qilamiz:

To'rt qismga bo'lingan pitsani eslasak, bu misolni osongina tushunish mumkin. Agar siz pitsadan pitsalarni kesib tashlasangiz, siz pizza olasiz:

2-misol. Ifodaning qiymatini toping.

Shunga qaramay, birinchi kasrning sonidan ikkinchi kasrning soni ayiriladi va maxraj o'zgarishsiz qoldiriladi:

Bu misolni uch qismga bo'lingan pitssani eslasak, osongina tushunish mumkin. Agar siz pitsadan pitsalarni kesib tashlasangiz, siz pizza olasiz:

3-misol. Ifodaning qiymatini toping

Ushbu misol oldingi misollar bilan bir xil tarzda hal qilinadi. Birinchi kasrning numeratoridan qolgan kasrlarning sonlarini ayirish kerak:

Ko'rib turganingizdek, bir xil maxrajli kasrlarni ayirishda hech qanday murakkab narsa yo'q. Buning uchun quyidagi qoidalarni tushunish kifoya:

1. Bir kasrdan ikkinchi kasrni ayirish uchun birinchi kasrning sonidan ikkinchi kasrni ayirish va maxrajni o'zgarishsiz qoldirish kerak;
2. Agar javob noto'g'ri kasr bo'lib chiqsa, unda siz uning butun qismini ajratib ko'rsatishingiz kerak.

Turli xil maxrajli kasrlarni ayirish

Masalan, kasrni kasrdan ayirish mumkin, chunki kasrlar bir xil maxrajga ega. Ammo kasrdan kasrni ayirib bo'lmaydi, chunki bu kasrlar turli xil maxrajlarga ega. Bunday hollarda kasrlarni bir xil (umumiy) maxrajga keltirish kerak.

Umumiy maxraj biz turli xil maxrajli kasrlarni qo‘shganda qo‘llagan printsip asosida topiladi. Avvalo, ikkala kasrning maxrajlarining LKM ni toping. Keyin LCM birinchi kasrning maxrajiga bo'linadi va birinchi qo'shimcha omil olinadi, bu birinchi kasrning ustiga yoziladi. Xuddi shunday, LCM ikkinchi kasrning maxrajiga bo'linadi va ikkinchi qo'shimcha omil olinadi, bu ikkinchi kasrning ustiga yoziladi.

Keyin kasrlar qo'shimcha omillarga ko'paytiriladi. Ushbu amallar natijasida turli xil maxrajlarga ega bo'lgan kasrlar bir xil maxrajga ega bo'lgan kasrlarga aylantiriladi. Va biz allaqachon bunday kasrlarni qanday ayirishni bilamiz.

1-misol. Ifodaning ma'nosini toping:

Bu kasrlar turli xil maxrajlarga ega, shuning uchun ularni bir xil (umumiy) maxrajga kamaytirish kerak.

Avval ikkala kasrning maxrajlarining LCM ni topamiz. Birinchi kasrning maxraji 3 soni, ikkinchi kasrning maxraji 4 soni. Bu sonlarning eng kichik umumiy karrali 12 ga teng.

LCM (3 va 4) = 12

Endi kasrlarga qaytaylik va

Birinchi kasr uchun qo'shimcha ko'paytma topilsin. Buning uchun LCM ni birinchi kasrning maxrajiga bo'ling. LCM - 12 raqami, birinchi kasrning maxraji esa 3. 12 ni 3 ga bo'lamiz, biz 4 ni olamiz. Birinchi kasrning ustiga to'rttasini yozing:

Ikkinchi kasr bilan ham xuddi shunday qilamiz. LCM ni ikkinchi kasrning maxrajiga bo'ling. LCM - 12 raqami, ikkinchi kasrning maxraji esa 4. 12 ni 4 ga bo'lamiz, biz 3 ni olamiz. Ikkinchi kasrning ustiga uchtani yozing:

Endi biz ayirish uchun tayyormiz. Kasrlarni qo'shimcha omillarga ko'paytirish qoladi:

Biz maxrajlari har xil bo'lgan kasrlar bir xil maxrajga ega bo'lgan kasrlarga aylanadi degan xulosaga keldik. Va biz allaqachon bunday kasrlarni qanday ayirishni bilamiz. Keling, ushbu misolni oxirigacha olaylik:

Biz javob oldik

Keling, yechimimizni chizma yordamida tasvirlashga harakat qilaylik. Agar siz pitsadan pizza kessangiz, siz pizza olasiz

Bu yechimning batafsil versiyasi. Agar biz maktabda bo'lganimizda, bu misolni qisqaroq hal qilishimiz kerak edi. Bunday yechim quyidagicha ko'rinadi:

Kasrlarni umumiy maxrajga qisqartirishni rasm yordamida ham tasvirlash mumkin. Bu kasrlarni umumiy maxrajga qisqartirib, kasrlarni oldik va . Bu kasrlar bir xil pizza bo'laklari bilan ifodalanadi, ammo bu safar ular teng ulushlarga bo'linadi (bir xil maxrajga qisqartiriladi):

Birinchi rasmda kasr (o'n ikkitadan sakkizta bo'lak), ikkinchi rasmda esa kasr (o'n ikki qismdan uchtasi) ko'rsatilgan. Sakkiz qismdan uchta bo'lakni kesib, biz o'n ikkitadan beshta bo'lak olamiz. Kasr bu besh qismni tasvirlaydi.

2-misol. Ifodaning qiymatini toping

Bu kasrlar turli xil maxrajlarga ega, shuning uchun avval ularni bir xil (umumiy) maxrajga kamaytirish kerak.

Bu kasrlarning maxrajlarining LKM ni topamiz.

Kasrlarning maxrajlari 10, 3 va 5 raqamlari. Bu sonlarning eng kichik umumiy karrali 30 ga teng.

LCM(10, 3, 5) = 30

Endi biz har bir kasr uchun qo'shimcha omillarni topamiz. Buning uchun LCMni har bir kasrning maxrajiga bo'ling.

Birinchi kasr uchun qo'shimcha ko'paytma topilsin. LCM - 30 raqami, birinchi kasrning maxraji esa 10. 30 ni 10 ga bo'ling, biz birinchi qo'shimcha koeffitsient 3 ni olamiz. Uni birinchi kasrning ustiga yozamiz:

Endi biz ikkinchi kasr uchun qo'shimcha omil topamiz. LCM ni ikkinchi kasrning maxrajiga bo'ling. LCM - 30 raqami, ikkinchi kasrning maxraji esa 3. 30 ni 3 ga bo'ling, biz ikkinchi qo'shimcha koeffitsient 10 ni olamiz. Uni ikkinchi kasrning ustiga yozamiz:

Endi uchinchi kasr uchun qo'shimcha omil topamiz. LCMni uchinchi kasrning maxrajiga bo'ling. LCM - 30 raqami, uchinchi kasrning maxraji esa 5. 30 ni 5 ga bo'lamiz, uchinchi qo'shimcha koeffitsient 6 ni olamiz. Uni uchinchi kasrning ustiga yozamiz:

Endi hamma narsa ayirish uchun tayyor. Kasrlarni qo'shimcha omillarga ko'paytirish qoladi:

Biz maxrajlari har xil bo'lgan kasrlar bir xil (umumiy) maxrajga ega bo'lgan kasrlarga aylanadi degan xulosaga keldik. Va biz allaqachon bunday kasrlarni qanday ayirishni bilamiz. Keling, ushbu misolni tugatamiz.

Misolning davomi bir qatorga to'g'ri kelmaydi, shuning uchun biz davomini keyingi qatorga o'tkazamiz. Yangi qatordagi tenglik belgisini (=) unutmang:

Javob oddiy kasr bo'lib chiqdi va hamma narsa bizga mos keladigan ko'rinadi, lekin bu juda og'ir va xunuk. Biz buni oddiyroq qilishimiz kerak. Nima qilish mumkin? Siz bu qismni qisqartirishingiz mumkin.

Kasrni kamaytirish uchun uning payini va maxrajini 20 va 30 raqamlarining (GCD) ga bo'lish kerak.

Shunday qilib, biz 20 va 30 raqamlarining gcd ni topamiz:

Endi biz misolimizga qaytamiz va kasrning soni va maxrajini topilgan gcd ga, ya'ni 10 ga bo'lamiz.

Biz javob oldik

Kasrni songa ko'paytirish

Kasrni songa ko'paytirish uchun berilgan kasrning payini shu songa ko'paytirish va maxrajni bir xil qoldirish kerak.

1-misol. Kasrni 1 raqamiga ko'paytiring.

Kasrning sonini 1 raqamiga ko'paytiring

Yozishni yarim 1 marta olish deb tushunish mumkin. Misol uchun, agar siz bir marta pitsa iste'mol qilsangiz, siz pitsa olasiz

Ko'paytirish qonunlaridan shuni bilamizki, agar ko'paytma va omil almashtirilsa, ko'paytma o'zgarmaydi. Agar ifoda quyidagicha yozilsa, u holda mahsulot baribir ga teng bo'ladi. Yana butun son va kasrni ko'paytirish qoidasi ishlaydi:

Bu belgini bittaning yarmini olish deb tushunish mumkin. Misol uchun, agar 1 ta butun pitsa bo'lsa va biz uning yarmini olsak, unda bizda pitsa bo'ladi:

2-misol. Ifodaning qiymatini toping

Kasrning sonini 4 ga ko'paytiring

Javob noto'g'ri kasr edi. Keling, uning butun qismini ajratib ko'rsatamiz:

Ifoda ikki chorakni 4 marta olish deb tushunish mumkin. Misol uchun, agar siz 4 ta pitsa olsangiz, ikkita butun pitsa olasiz

Va agar biz ko'paytma va ko'paytmani almashtirsak, biz ifodani olamiz. Shuningdek, u 2 ga teng bo'ladi. Bu iborani to'rtta pitsadan ikkita pitsa olish sifatida tushunish mumkin:

Kasrlarni ko'paytirish

Kasrlarni ko'paytirish uchun ularning soni va maxrajlarini ko'paytirish kerak. Agar javob noto'g'ri kasr bo'lib chiqsa, uning butun qismini ajratib ko'rsatish kerak.

1-misol. Ifodaning qiymatini toping.

Javob oldik. Ushbu fraktsiyani kamaytirish tavsiya etiladi. Kasrni 2 ga kamaytirish mumkin. Keyin yakuniy yechim quyidagi shaklni oladi:

Bu iborani yarim pitsadan pitsa olish deb tushunish mumkin. Aytaylik, bizda yarim pitsa bor:

Bu yarmidan uchdan ikki qismini qanday olish mumkin? Avval siz bu yarmini uchta teng qismga bo'lishingiz kerak:

Va bu uchta bo'lakdan ikkitasini oling:

Biz pizza tayyorlaymiz. Pitsa uch qismga bo'linganda qanday ko'rinishini eslang:

Ushbu pizzaning bir bo'lagi va biz olgan ikkita bo'lak bir xil o'lchamlarga ega bo'ladi:

Boshqacha qilib aytganda, biz bir xil o'lchamdagi pizza haqida gapiramiz. Shuning uchun ifodaning qiymati

2-misol. Ifodaning qiymatini toping

Birinchi kasrning sonini ikkinchi kasrning soniga, birinchi kasrning maxrajini ikkinchi kasrning maxrajiga ko'paytiring:

Javob noto'g'ri kasr edi. Keling, uning butun qismini ajratib ko'rsatamiz:

3-misol. Ifodaning qiymatini toping

Birinchi kasrning sonini ikkinchi kasrning soniga, birinchi kasrning maxrajini ikkinchi kasrning maxrajiga ko'paytiring:

Javob oddiy kasr bo'lib chiqdi, lekin qisqartirilsa yaxshi bo'lardi. Ushbu kasrni kamaytirish uchun siz ushbu kasrning payini va maxrajini 105 va 450 raqamlarining eng katta umumiy bo'luvchisiga (GCD) bo'lishingiz kerak.

Shunday qilib, 105 va 450 raqamlarining gcd ni topamiz:

Endi biz javobimizning sonini va maxrajini hozir topgan gcd ga, ya'ni 15 ga bo'lamiz.

Butun sonni kasr shaklida ifodalash

Har qanday butun sonni kasr sifatida ifodalash mumkin. Masalan, 5 raqami sifatida ifodalanishi mumkin. Bu beshning ma'nosini o'zgartirmaydi, chunki ibora "besh soni birga bo'lingan" degan ma'noni anglatadi va bu, biz bilganimizdek, beshga teng:

O'zaro raqamlar

Endi biz juda ko'p tanishamiz qiziqarli mavzu matematikada. Bu "teskari raqamlar" deb ataladi.

Ta'rif. Raqamga teskaria ga ko'paytirilganda bu raqama birini beradi.

Keling, ushbu ta'rifda o'zgaruvchi o'rniga almashtiraylik a 5 raqami va ta'rifni o'qishga harakat qiling:

Raqamga teskari 5 ga ko'paytirilganda bu raqam 5 birini beradi.

5 ga ko'paytirilganda bitta bo'ladigan sonni topish mumkinmi? Bu mumkin ekan. Keling, beshni kasr sifatida tasavvur qilaylik:

Keyin bu kasrni o'z-o'zidan ko'paytiring, faqat pay va maxrajni almashtiring. Boshqacha qilib aytganda, kasrni o'ziga ko'paytiramiz, faqat teskari:

Buning natijasida nima bo'ladi? Agar biz ushbu misolni hal qilishda davom etsak, biz bittasini olamiz:

Bu 5 raqamining teskarisi raqam ekanligini anglatadi, chunki 5 ni ko'paytirganda bitta bo'ladi.

Raqamning o'zaro nisbati boshqa har qanday butun son uchun ham topilishi mumkin.

Boshqa har qanday kasrning teskarisini ham topishingiz mumkin. Buning uchun uni ag'daring.

Kasrni songa bo'lish

Aytaylik, bizda yarim pitsa bor:

Keling, uni ikkiga teng taqsimlaymiz. Har bir kishi qancha pitsa oladi?

Ko'rinib turibdiki, pitsaning yarmiga bo'lingandan so'ng, ikkita teng bo'lak olingan, ularning har biri pizza tashkil qiladi. Shunday qilib, hamma pizza oladi.

Kasrlarni bo'lish o'zaro nisbatlar yordamida amalga oshiriladi. O'zaro raqamlar bo'linishni ko'paytirish bilan almashtirishga imkon beradi.

Kasrni songa bo'lish uchun kasrni bo'luvchining teskari qismiga ko'paytirish kerak.

Ushbu qoidadan foydalanib, biz pitsaning yarmini ikki qismga bo'linishini yozamiz.

Shunday qilib, kasrni 2 raqamiga bo'lishingiz kerak. Bu erda dividend kasr va bo'luvchi 2 raqamidir.

Kasrni 2 raqamiga bo'lish uchun bu kasrni bo'luvchining o'zaro nisbati bilan ko'paytirish kerak 2. Bo'luvchi 2 ning o'zaro qismi kasrdir. Shunday qilib, siz ko'paytirishingiz kerak

§ 87. Kasrlarni qo‘shish.

Kasrlarni qo'shish butun sonlarni qo'shish bilan juda ko'p o'xshashliklarga ega. Kasrlarni qo'shish - bu bir nechta berilgan sonlar (termalar) atamalar birliklarining barcha birliklari va kasrlarini o'z ichiga olgan bitta songa (yig'indi) birlashtirilishidan iborat bo'lgan harakatdir.

Biz uchta holatni ketma-ket ko'rib chiqamiz:

1. O`xshash maxrajli kasrlarni qo`shish.
2. Turli xil maxrajli kasrlarni qo`shish.
3. Aralash sonlarni qo`shish.

1. O`xshash maxrajli kasrlarni qo`shish.

Misolni ko'rib chiqing: 1/5 + 2/5.

AB segmentini olaylik (17-rasm), uni bitta deb qabul qilib, 5 ga bo'linadi teng qismlar, keyin bu segmentning AC qismi AB segmentining 1/5 qismiga teng bo'ladi va bir xil CD segmentining bir qismi 2/5 AB ga teng bo'ladi.

Chizmadan ko'rinib turibdiki, agar AD segmentini olsak, u 3/5 AB ga teng bo'ladi; lekin AD segmenti aynan AC va CD segmentlarining yig'indisidir. Shunday qilib, biz yozishimiz mumkin:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Bu shartlarni va hosil bo’lgan yig’indini ko’rib chiqsak, yig’indining numeratori hadlarning sanoqlarini qo’shish orqali olinganini, maxraji esa o’zgarishsiz qolganini ko’ramiz.

Bundan quyidagi qoidani olamiz: Bir xil maxrajli kasrlarni qo'shish uchun ularning sonlarini qo'shish va bir xil maxrajni qoldirish kerak.

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:

2. Turli xil maxrajli kasrlarni qo`shish.

Kasrlarni qo'shamiz: 3/4 + 3/8 Avval ularni eng kichik umumiy maxrajga kamaytirish kerak:

6/8 + 3/8 oraliq havolani yozib bo'lmadi; Biz buni aniqlik uchun bu erda yozdik.

Shunday qilib, har xil maxrajli kasrlarni qo'shish uchun avval ularni eng kichik umumiy maxrajga kamaytirish, ularning sonlarini qo'shish va umumiy maxrajni belgilash kerak.

Keling, misolni ko'rib chiqaylik (tegishli kasrlar ustiga qo'shimcha omillarni yozamiz):

3. Aralash sonlarni qo`shish.

Raqamlarni qo'shamiz: 2 3/8 + 3 5/6.

Keling, avval raqamlarimizning kasr qismlarini umumiy maxrajga keltiramiz va ularni qayta yozamiz:

Endi biz butun son va kasr qismlarni ketma-ket qo'shamiz:

§ 88. Kasrlarni ayirish.

Kasrlarni ayirish butun sonlarni ayirish bilan bir xil tarzda aniqlanadi. Bu ikki a'zo va ulardan biri yig'indisini hisobga olgan holda, boshqa bir muddat topilgan yordami bilan harakatdir. Keling, ketma-ket uchta holatni ko'rib chiqaylik:

1. O‘xshash maxrajli kasrlarni ayirish.
2. Turli xil maxrajli kasrlarni ayirish.
3. Aralash sonlarni ayirish.

1. O‘xshash maxrajli kasrlarni ayirish.

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:

13 / 15 - 4 / 15

Keling, AB segmentini olaylik (18-rasm), uni birlik sifatida qabul qilamiz va uni 15 ta teng qismga ajratamiz; keyin bu segmentning AC qismi AB ning 1/15 qismini va bir xil segmentning AD qismi 13/15 AB ga to'g'ri keladi. Keling, 4/15 AB ga teng bo'lgan boshqa ED segmentini ajratamiz.

13/15 dan 4/15 kasrni ayirishimiz kerak. Chizmada bu ED segmentini AD segmentidan olib tashlash kerakligini anglatadi. Natijada, AE segmenti qoladi, bu AB segmentining 9/15 qismini tashkil qiladi. Shunday qilib, biz yozishimiz mumkin:

Biz keltirgan misol shuni ko'rsatadiki, ayirmaning payi sanoqlarni ayirish orqali olingan, lekin maxraj o'zgarmagan.

Demak, maxrajlari o‘xshash bo‘lgan kasrlarni ayirish uchun ayirma sonini ayirish va bir xil maxrajni qoldirish kerak.

2. Turli xil maxrajli kasrlarni ayirish.

Misol. 3/4 - 5/8

Birinchidan, bu kasrlarni eng kichik umumiy maxrajga keltiramiz:

Oraliq 6/8 - 5/8 aniqlik uchun bu erda yozilgan, ammo keyinroq o'tkazib yuborilishi mumkin.

Shunday qilib, kasrdan kasrni ayirish uchun avval ularni eng kichik umumiy maxrajga keltirish kerak, so‘ngra ayirma qismidan ayirma sonini ayirish va ularning ayirmasi ostidagi umumiy maxrajga belgi qo‘yish kerak.

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:

3. Aralash sonlarni ayirish.

Misol. 10 3/4 - 7 2/3.

Minuendning kasr qismlarini kamaytiramiz va eng kichik umumiy maxrajga olib chiqamiz:

Butundan butunni, kasrdan kasrni ayirdik. Ammo ayiriluvchining kasr qismi kamaytirilayotgan narsaning kasr qismidan kattaroq bo'lgan holatlar mavjud. Bunday hollarda minuendning butun qismidan bitta birlik olib, uni kasr qismi ifodalangan qismlarga bo'lish va minuendning kasr qismiga qo'shish kerak. Va keyin ayirish avvalgi misoldagi kabi amalga oshiriladi:

§ 89. Kasrlarni ko'paytirish.

Kasrlarni ko'paytirishni o'rganishda biz quyidagi savollarni ko'rib chiqamiz:

1. Kasrni butun songa ko‘paytirish.
2. Berilgan sonning kasrini topish.
3. Butun sonni kasrga ko‘paytirish.
4. Kasrni kasrga ko`paytirish.
5. Aralash sonlarni ko`paytirish.
6. Qiziqish tushunchasi.
7. Berilgan sonning foizini topish. Keling, ularni ketma-ket ko'rib chiqaylik.

1. Kasrni butun songa ko‘paytirish.

Kasrni butun songa ko'paytirish butun sonni butun songa ko'paytirish bilan bir xil ma'noga ega. Kasrni (ko'paytmani) butun songa (koeffitsientga) ko'paytirish deganda bir xil hadlar yig'indisini hosil qilish tushuniladi, bunda har bir a'zo ko'paytmaga, hadlar soni esa ko'paytiruvchiga teng bo'ladi.

Bu shuni anglatadiki, agar siz 1/9 ni 7 ga ko'paytirishingiz kerak bo'lsa, unda buni quyidagicha qilish mumkin:

Natijani osonlik bilan oldik, chunki harakat bir xil maxrajli kasrlarni qo'shishga qisqartirildi. Demak,

Ushbu harakatni ko'rib chiqish shuni ko'rsatadiki, kasrni butun songa ko'paytirish bu kasrni butun sonda qancha birliklar bo'lsa, shuncha ko'paytirishga teng. Va kasrni ko'paytirishga uning numeratorini oshirish orqali erishiladi

yoki uning maxrajini kamaytirish orqali , u holda biz sonni butun songa ko'paytirishimiz yoki maxrajni unga bo'lishimiz mumkin, agar bunday bo'linish mumkin bo'lsa.

Bu erdan biz qoidani olamiz:

Kasrni butun songa ko'paytirish uchun siz payni butun songa ko'paytirasiz va maxrajni bir xil qoldirasiz yoki iloji bo'lsa, maxrajni shu songa bo'lib, hisoblagichni o'zgarishsiz qoldirasiz.

Ko'paytirishda qisqartmalar mumkin, masalan:

2. Berilgan sonning kasrini topish. Berilgan raqamning bir qismini topish yoki hisoblash kerak bo'lgan ko'plab muammolar mavjud. Ushbu muammolarning boshqalardan farqi shundaki, ular ba'zi ob'ektlar yoki o'lchov birliklarining sonini beradi va siz bu raqamning bir qismini topishingiz kerak, bu erda ham ma'lum bir qism bilan ko'rsatilgan. Tushunishni osonlashtirish uchun biz birinchi navbatda bunday muammolarga misollar keltiramiz, so'ngra ularni hal qilish usulini kiritamiz.

Vazifa 1. Menda 60 rubl bor edi; Men bu pulning 1/3 qismini kitob sotib olishga sarfladim. Kitoblar qancha turadi?

Vazifa 2. Poyezd A va B shaharlari o‘rtasida 300 km ga teng masofani bosib o‘tishi kerak. U allaqachon bu masofaning 2/3 qismini bosib o'tgan. Bu necha kilometr?

Vazifa 3. Qishloqda 400 ta uy bor, ularning 3/4 qismi gʻisht, qolgani yogʻoch. Hammasi bo'lib nechta g'ishtli uy bor?

Bu ma'lum bir raqamning bir qismini topishda duch keladigan ko'plab muammolardan ba'zilari. Ular odatda berilgan sonning ulushini topish masalalari deb ataladi.

Muammoning yechimi 1. 60 rubldan. Men 1/3 qismini kitoblarga sarfladim; Bu shuni anglatadiki, kitoblarning narxini topish uchun siz 60 raqamini 3 ga bo'lishingiz kerak:

Muammoni hal qilish 2. Muammoning mohiyati shundaki, siz 300 km ning 2/3 qismini topishingiz kerak. Avval 300 ning 1/3 qismini hisoblaymiz; Bunga 300 km ni 3 ga bo'lish orqali erishiladi:

300: 3 = 100 (bu 300 ning 1/3 qismi).

300 ning uchdan ikki qismini topish uchun siz olingan koeffitsientni ikki barobarga oshirishingiz kerak, ya'ni 2 ga ko'paytiring:

100 x 2 = 200 (bu 300 ning 2/3 qismi).

Muammoni hal qilish 3. Bu erda siz 400 ning 3/4 qismini tashkil etadigan g'isht uylarining sonini aniqlashingiz kerak. Keling, avval 400 ning 1/4 qismini topamiz,

400: 4 = 100 (bu 400 ning 1/4 qismi).

400 ning to'rtdan uch qismini hisoblash uchun olingan koeffitsientni uch marta, ya'ni 3 ga ko'paytirish kerak:

100 x 3 = 300 (bu 400 ning 3/4 qismi).

Ushbu muammolarni hal qilish asosida biz quyidagi qoidani olishimiz mumkin:

Berilgan sondan kasrning qiymatini topish uchun bu sonni kasrning maxrajiga bo'lish va hosil bo'lgan qismni uning soniga ko'paytirish kerak.

3. Butun sonni kasrga ko‘paytirish.

Avvalroq (§ 26) butun sonlarni ko'paytirish deganda bir xil atamalarni qo'shish (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20) tushunilishi kerakligi aniqlangan. Ushbu bandda (1-band) kasrni butun songa ko'paytirish bu kasrga teng bir xil hadlar yig'indisini topishni anglatishi aniqlandi.

Ikkala holatda ham ko'paytirish bir xil atamalar yig'indisini topishdan iborat edi.

Endi biz butun sonni kasrga ko'paytirishga o'tamiz. Bu erda biz, masalan, ko'paytirishga duch kelamiz: 9 2 / 3. Ko'paytirishning oldingi ta'rifi bu holatga taalluqli emasligi aniq. Bu shuni ko'rsatadiki, biz bunday ko'paytirishni teng sonlarni qo'shish bilan almashtira olmaymiz.

Shu sababli, biz ko'paytirishning yangi ta'rifini berishimiz kerak bo'ladi, ya'ni kasrga ko'paytirish orqali nimani tushunish kerak, bu harakatni qanday tushunish kerak degan savolga javob berish kerak.

Butun sonni kasrga ko'paytirishning ma'nosi quyidagi ta'rifdan aniq bo'ladi: butun sonni (ko'paytmani) kasrga (ko'paytma) ko'paytirish ko'paytmaning ushbu qismini topishni anglatadi.

Ya'ni, 9 ni 2/3 ga ko'paytirish to'qqiz birlikning 2/3 qismini topishni anglatadi. Oldingi paragrafda bunday muammolar hal qilindi; shuning uchun biz 6 bilan yakunlanishini tushunish oson.

Lekin hozir qiziqarli va bor muhim savol: nega ular birinchi qarashda shunday? turli harakatlar summani qanday topish mumkin teng sonlar va sonlarning kasrlarini topish, arifmetikada bir xil so'z "ko'paytirish" deb ataladi?

Buning sababi, oldingi harakat (sonni shartlar bilan bir necha marta takrorlash) va yangi harakat (sonning ulushini topish) bir hil savollarga javob beradi. Bu shuni anglatadiki, biz bu erda bir xil savollar yoki vazifalar bir xil harakat bilan hal qilinadi degan mulohazalardan kelib chiqamiz.

Buni tushunish uchun quyidagi muammoni ko'rib chiqing: “1 m mato 50 rubl turadi. Bunday matoning 4 metri qancha turadi?

Bu muammo rubl (50) sonini hisoblagichlar soniga (4), ya'ni 50 x 4 = 200 (rubl) ko'paytirish orqali hal qilinadi.

Xuddi shu masalani olaylik, lekin unda mato miqdori kasr sifatida ifodalanadi: “1 m mato 50 rubl turadi. Bunday matoning 3/4 metri qancha turadi?”

Bu muammoni ham rubl sonini (50) metrlar soniga (3/4) ko'paytirish orqali hal qilish kerak.

Siz undagi raqamlarni muammoning ma'nosini o'zgartirmasdan yana bir necha marta o'zgartirishingiz mumkin, masalan, 9/10 m yoki 2 3/10 m va hokazolarni oling.

Bu masalalar bir xil mazmunga ega va faqat son jihatidan farq qilganligi uchun ularni yechishda qo`llaniladigan amallarni bir xil so`z - ko`paytirish deb ataymiz.

Butun sonni kasrga qanday ko'paytirish mumkin?

Oxirgi muammoda duch kelgan raqamlarni olaylik:

Ta'rifga ko'ra, biz 50 ning 3/4 qismini topishimiz kerak. Avval 50 ning 1/4 qismini, keyin esa 3/4 ni topamiz.

50 ning 1/4 qismi 50/4;

50 sonining 3/4 qismi .

Shuning uchun.

Yana bir misolni ko'rib chiqaylik: 12 5/8 =?

12 sonining 1/8 qismi 12/8,

12 sonining 5/8 qismi .

Demak,

Bu erdan biz qoidani olamiz:

Butun sonni kasrga ko'paytirish uchun butun sonni kasrning soniga ko'paytirish va bu ko'paytmani hisoblagich qilish va bu kasrning maxrajini maxraj sifatida imzolash kerak.

Keling, bu qoidani harflar yordamida yozamiz:

Ushbu qoidani to'liq aniq qilish uchun kasrni qism sifatida ko'rib chiqish mumkinligini esga olish kerak. Shuning uchun topilgan qoidani § 38da ko'rsatilgan sonni qismga ko'paytirish qoidasi bilan solishtirish foydalidir.

Shuni yodda tutish kerakki, ko'paytirishni amalga oshirishdan oldin (agar iloji bo'lsa) qilish kerak. qisqartirishlar, Masalan:

4. Kasrni kasrga ko`paytirish. Kasrni kasrga ko'paytirish butun sonni kasrga ko'paytirish bilan bir xil ma'noga ega, ya'ni kasrni kasrga ko'paytirishda birinchi kasrdan (ko'paytma) omilda bo'lgan kasrni topish kerak.

Ya'ni, 3/4 ni 1/2 (yarim) ga ko'paytirish 3/4 ning yarmini topishni anglatadi.

Kasrni kasrga qanday ko'paytirish mumkin?

Misol keltiraylik: 3/4 ni 5/7 ga ko'paytiramiz. Bu siz 3/4 ning 5/7 qismini topishingiz kerakligini anglatadi. Avval 3/4 ning 1/7 qismini, keyin esa 5/7 ni topamiz

3/4 sonining 1/7 qismi quyidagicha ifodalanadi:

5/7 raqamlari 3/4 quyidagicha ifodalanadi:

Shunday qilib,

Yana bir misol: 5/8 4/9 ga ko'paytiriladi.

5/8 ning 1/9 qismi,

5/8 sonining 4/9 qismi .

Shunday qilib,

Ushbu misollardan quyidagi qoidani chiqarish mumkin:

Kasrni kasrga ko‘paytirish uchun hisobni ayiruvchiga, maxrajni esa ko‘paytiruvchiga ko‘paytirish va birinchi ko‘paytmani ayiruvchiga, ikkinchi ko‘paytmani esa ko‘paytmaga aylantirish kerak.

Bu qoidada umumiy ko'rinish shunday yozilishi mumkin:

Ko'paytirishda (agar iloji bo'lsa) qisqartirishlar qilish kerak. Keling, misollarni ko'rib chiqaylik:

5. Aralash sonlarni ko`paytirish. Aralash raqamlarni noto'g'ri kasrlar bilan osongina almashtirish mumkinligi sababli, bu holat odatda aralash raqamlarni ko'paytirishda qo'llaniladi. Bu shuni anglatadiki, ko'paytma yoki ko'paytma yoki ikkala omil aralash sonlar sifatida ifodalangan hollarda ular noto'g'ri kasrlar bilan almashtiriladi. Masalan, aralash raqamlarni ko'paytiramiz: 2 1/2 va 3 1/5. Keling, ularning har birini noto'g'ri kasrga aylantiramiz va keyin olingan kasrlarni kasrni kasrga ko'paytirish qoidasiga muvofiq ko'paytiramiz:

Qoida. Aralash raqamlarni ko'paytirish uchun avval ularni noto'g'ri kasrlarga aylantirishingiz kerak va keyin ularni kasrlarni kasrlarga ko'paytirish qoidasiga muvofiq ko'paytirishingiz kerak.

Eslatma. Agar omillardan biri butun son bo'lsa, ko'paytirishni taqsimlash qonuni asosida quyidagicha bajarish mumkin:

6. Qiziqish tushunchasi. Masalalarni yechishda va turli amaliy hisob-kitoblarni bajarishda biz barcha turdagi kasrlardan foydalanamiz. Ammo shuni yodda tutish kerakki, ko'p miqdorlar ular uchun nafaqat har qanday, balki tabiiy bo'linishlarga ham imkon beradi. Misol uchun, siz rublning yuzdan birini (1/100) olishingiz mumkin, u kopek bo'ladi, ikki yuzinchi 2 tiyin, uch yuzdan biri 3 tiyin. Siz rublning 1/10 qismini olishingiz mumkin, u "10 kopek, yoki o'n kopek bo'ladi. Siz rublning chorak qismini, ya'ni 25 kopekni, yarim rublni, ya'ni 50 kopekni (ellik kopek) olishingiz mumkin. Lekin. ular amalda buni olmaydilar, masalan, rublning 2/7 qismini, chunki rubl ettinchi qismga bo'linmaydi.

Og'irlik birligi, ya'ni kilogramm, birinchi navbatda, o'nli bo'linishlarga imkon beradi, masalan, 1/10 kg yoki 100 g Va kilogrammning 1/6, 1/11, 1/13 kabi kasrlari keng tarqalgan emas.

Umuman olganda, bizning (metrik) o'lchovlarimiz o'nlikdir va o'nli bo'linishlarga ruxsat beradi.

Ammo shuni ta'kidlash kerakki, kattaliklarni bo'linishning bir xil (bir xil) usulini qo'llash juda ko'p turli xil holatlarda juda foydali va qulaydir. Ko'p yillik tajriba shuni ko'rsatdiki, bunday asosli bo'linish "yuzinchi" bo'linishdir. Keling, inson amaliyotining eng xilma-xil sohalariga tegishli bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

1. Kitoblar narxi avvalgi narxdan 12/100 ga arzonlashdi.

Misol. Kitobning oldingi narxi 10 rubl edi. 1 rublga kamaydi. 20 tiyin

2. Omonat kassalari omonatchilarga yil davomida omonat uchun qo‘yilgan mablag‘ning 2/100 qismini to‘laydi.

Misol. Kassaga 500 rubl qo'yiladi, bu summadan yil uchun daromad 10 rublni tashkil qiladi.

3. Bitta maktabni bitiruvchilar soni umumiy o‘quvchilar sonining 5/100 qismini tashkil etdi.

MISOL Maktabda bor-yo‘g‘i 1200 nafar o‘quvchi bo‘lgan, shundan 60 nafari bitirgan.

Sonning yuzdan bir qismi foiz deyiladi.

"Foiz" so'zi lotin tilidan olingan bo'lib, uning o'zagi "tsent" yuz degan ma'noni anglatadi. Bu so'z predlog (pro centum) bilan birgalikda "yuz uchun" degan ma'noni anglatadi. Bunday iboraning ma'nosi dastlab ichida ekanligidan kelib chiqadi qadimgi Rim foizlar qarzdorning qarz beruvchiga "har bir yuz uchun" to'lagan puli edi. "Sent" so'zi shunday tanish so'zlarda eshitiladi: sentner (yuz kilogramm), santimetr (santimetr deylik).

Masalan, o‘tgan oyda zavod o‘zi ishlab chiqargan barcha mahsulotning 1/100 qismini nuqsonli deb aytish o‘rniga, o‘tgan oyda zavod bir foiz nuqson ishlab chiqarganini aytamiz. Zavod belgilangan rejadan 4/100 ko'p mahsulot ishlab chiqardi, deyish o'rniga: zavod rejani 4 foizga ortig'i bilan bajardi, deymiz.

Yuqoridagi misollarni boshqacha ifodalash mumkin:

1. Kitoblar narxi avvalgi narxdan 12 foizga arzonlashdi.

2. Omonat kassalari omonatchilarga omonatga qo‘yilgan summadan yiliga 2 foiz to‘laydi.

3. Bitta maktabni bitiruvchilar soni barcha maktab o‘quvchilarining 5 foizini tashkil etdi.

Harfni qisqartirish uchun "foiz" so'zi o'rniga % belgisini yozish odatiy holdir.

Biroq, esda tutingki, hisob-kitoblarda% belgisi odatda yozilmaydi, uni muammo bayonotida va yakuniy natijada yozish mumkin; Hisob-kitoblarni amalga oshirayotganda, bu belgi bilan butun son o'rniga 100 ga teng bo'lgan kasrni yozish kerak.

Siz ko'rsatilgan belgi bilan butun sonni maxraji 100 bo'lgan kasr bilan almashtira olishingiz kerak:

Aksincha, siz maxraji 100 bo'lgan kasr o'rniga ko'rsatilgan belgi bilan butun son yozishga odatlanishingiz kerak:

7. Berilgan sonning foizini topish.

Vazifa 1. Maktab 200 kubometr oldi. m o'tin, qayin o'tinlari 30% ni tashkil qiladi. Qancha qayin o'tin bor edi?

Ushbu muammoning ma'nosi shundaki, qayin o'tinlari maktabga etkazib berilgan o'tinning faqat bir qismini tashkil etdi va bu qism 30/100 fraktsiyasida ifodalanadi. Demak, oldimizda sonning kasr qismini topish vazifasi turibdi. Uni yechish uchun 200 ni 30/100 ga ko'paytirishimiz kerak (sonning ulushini topish masalalari sonni kasrga ko'paytirish orqali hal qilinadi.).

Bu 200 ning 30% 60 ga teng degan ma'noni anglatadi.

Bu masalada uchragan 30/100 kasrni 10 ga kamaytirish mumkin. Bu kamaytirishni boshidanoq qilish mumkin edi; muammoning yechimi o'zgarmagan bo'lardi.

Vazifa 2. Lagerda 300 nafar bola bor edi turli yoshdagilar. 11 yoshli bolalar 21%, 12 yoshli bolalar 61% va nihoyat 13 yoshli bolalar 18% ni tashkil etdi. Lagerda har bir yoshdagi nechta bola bor edi?

Ushbu muammoda siz uchta hisob-kitobni bajarishingiz kerak, ya'ni 11 yoshli, keyin 12 yosh va nihoyat 13 yoshli bolalar sonini ketma-ket toping.

Bu shuni anglatadiki, bu erda siz sonning ulushini uch marta topishingiz kerak bo'ladi. Keling buni bajaramiz:

1) 11 yoshli nechta bola bor edi?

2) 12 yoshli nechta bola bor edi?

3) 13 yoshli nechta bola bor edi?

Muammoni hal qilgandan so'ng, topilgan raqamlarni qo'shish foydalidir; ularning yig'indisi 300 bo'lishi kerak:

63 + 183 + 54 = 300

Shuni ham ta'kidlash kerakki, muammo bayonida berilgan foizlar yig'indisi 100 ga teng:

21% + 61% + 18% = 100%

Bu shuni ko'rsatadiki umumiy soni lagerdagi bolalar 100% qabul qilindi.

3 a d a h a 3. Ishchi oyiga 1200 rubl oldi. Buning 65 foizini oziq-ovqatga, 6 foizini xonadon va isitishga, 4 foizini gaz, elektr va radioga, 10 foizini madaniy ehtiyojlarga, 15 foizini tejalgan. Muammoda ko'rsatilgan ehtiyojlarga qancha pul sarflangan?

Bu masalani hal qilish uchun 1200 ning 5 marta qismini topish kerak.

1) Oziq-ovqat uchun qancha pul sarflangan? Muammo shundaki, bu xarajat umumiy daromadning 65%, ya'ni 1200 sonining 65/100 qismini tashkil qiladi.

2) Isitish bilan jihozlangan kvartira uchun qancha pul to'ladingiz? Avvalgisiga o'xshab, biz quyidagi hisob-kitoblarga erishamiz:

3) Gaz, elektr va radio uchun qancha pul to'lagansiz?

4) Madaniy ehtiyojlarga qancha pul sarflandi?

5) Ishchi qancha pul tejagan?

Tekshirish uchun ushbu 5 ta savolda topilgan raqamlarni qo'shish foydali bo'ladi. Miqdori 1200 rubl bo'lishi kerak. Barcha daromadlar 100% sifatida qabul qilinadi, bu muammo bayonotida berilgan foiz raqamlarini qo'shib tekshirish oson.

Biz uchta muammoni hal qildik. Garchi bu muammolar turli ishlar bilan bog'liq bo'lsa-da (maktabga o'tin yetkazib berish, turli yoshdagi bolalar soni, ishchi xarajatlari), ular bir xil tarzda hal qilindi. Bu sodir bo'ldi, chunki barcha masalalarda berilgan raqamlarning bir necha foizini topish kerak edi.

§ 90. Kasrlarning bo'linishi.

Kasrlarning bo'linishini o'rganar ekanmiz, biz quyidagi savollarni ko'rib chiqamiz:

1. Butun sonni butun songa bo‘ling.
2. Kasrni butun songa bo‘lish
3. Butun sonni kasrga bo‘lish.
4. Kasrni kasrga bo'lish.
5. Aralash sonlarning bo‘linishi.
6. Berilgan kasrdan sonni topish.
7. Raqamni foiz bo‘yicha topish.

Keling, ularni ketma-ket ko'rib chiqaylik.

1. Butun sonni butun songa bo‘ling.

Butun sonlar bo'limida ta'kidlanganidek, bo'linish ikki omil (dividend) va ushbu ko'rsatkichlardan birining (bo'luvchi) ko'paytmasi berilgan holda boshqa omil topilishidan iborat bo'lgan harakatdir.

Butun sonni butun songa bo‘lish masalasini butun sonlar bo‘limida ko‘rib chiqdik. U erda biz ikkita bo'linish holatiga duch keldik: qoldiqsiz bo'linish yoki "butunlay" (150: 10 = 15) va qoldiq bilan bo'linish (100: 9 = 11 va 1 qoldiq). Shuning uchun biz butun sonlar sohasida aniq bo'linish har doim ham mumkin emasligini aytishimiz mumkin, chunki dividend har doim ham butun songa bo'linuvchining mahsuloti emas. Kasrga ko'paytirishni kiritgandan so'ng, biz butun sonlarni bo'lishning har qanday holatini iloji boricha ko'rib chiqishimiz mumkin (faqat nolga bo'linish chiqarib tashlanadi).

Misol uchun, 7 ni 12 ga bo'lish 12 ga mahsuloti 7 ga teng bo'lgan sonni topishni anglatadi. Bunday raqam 7/12 kasrdir, chunki 7/12 12 = 7. Yana bir misol: 14: 25 = 14/25, chunki 14/25 25 = 14.

Shunday qilib, butun sonni butun songa bo'lish uchun siz hisoblagichi dividendga va maxraji bo'luvchiga teng bo'lgan kasrni yaratishingiz kerak.

2. Kasrni butun songa bo‘lish.

6/7 kasrni 3 ga bo'ling. Yuqorida keltirilgan bo'linish ta'rifiga ko'ra, biz bu erda mahsulot (6/7) va omillardan biri (3); 3 ga ko'paytirilganda berilgan mahsulot 6/7 ni beradigan ikkinchi koeffitsientni topish kerak. Shubhasiz, bu mahsulotdan uch barobar kichikroq bo'lishi kerak. Demak, oldimizga qo'yilgan vazifa 6/7 kasrni 3 barobarga qisqartirish edi.

Biz allaqachon bilamizki, kasrni kamaytirish uning numeratorini kamaytirish yoki uning maxrajini oshirish orqali amalga oshirilishi mumkin. Shuning uchun siz yozishingiz mumkin:

Bunday holda, raqam 6 3 ga bo'linadi, shuning uchun raqamni 3 marta kamaytirish kerak.

Yana bir misol keltiraylik: 5 / 8 2 ga bo'linadi. Bu erda 5 soni 2 ga bo'linmaydi, ya'ni maxrajni ushbu raqamga ko'paytirish kerak bo'ladi:

Bunga asoslanib, qoida tuzilishi mumkin: Kasrni butun songa bo'lish uchun kasrning payini shu butun songa bo'lish kerak.(Agar mumkin bo `lsa), bir xil maxrajni qoldirib, yoki kasrning maxrajini shu songa ko'paytirib, bir xil sonni qoldirib.

3. Butun sonni kasrga bo‘lish.

5 ni 1/2 ga bo'lish kerak bo'lsin, ya'ni 1/2 ga ko'paytirgandan keyin ko'paytma 5 ni beradigan sonni toping. Shubhasiz, bu raqam 5 dan katta bo'lishi kerak, chunki 1/2 to'g'ri kasrdir. , va sonni ko'paytirishda to'g'ri kasrning mahsuloti ko'paytirilayotgan mahsulotdan kichik bo'lishi kerak. Buni aniqroq qilish uchun harakatlarimizni quyidagicha yozamiz: 5: 1 / 2 = X , bu x 1/2 = 5 degan ma'noni anglatadi.

Biz bunday raqamni topishimiz kerak X , agar 1/2 ga ko'paytirilsa, 5 ni beradi. Ma'lum bir sonni 1/2 ga ko'paytirish bu sonning 1/2 qismini topishni anglatadi, demak, noma'lum sonning 1/2 qismi. X 5 ga va butun songa teng X ikki barobar ko'p, ya'ni 5 2 = 10.

Shunday qilib, 5: 1/2 = 5 2 = 10

Keling, tekshiramiz:

Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik. Aytaylik, siz 6 ni 2/3 ga bo'lishni xohlaysiz. Avval chizma yordamida kerakli natijani topishga harakat qilaylik (19-rasm).

19-rasm

6 birlikka teng AB segmentini chizamiz va har bir birlikni 3 ta teng qismga ajratamiz. Har bir birlikda butun AB segmentining uchdan uch qismi (3/3) 6 marta kattaroqdir, ya'ni. e. 18/3. Kichik qavslar yordamida biz 2 ta 18 ta segmentni bog'laymiz; Faqat 9 ta segment bo'ladi. Demak, 2/3 kasr 6 birlikda 9 marta joylashgan yoki boshqacha aytganda, 2/3 kasr 6 butun birlikdan 9 marta kam. Demak,

Faqat hisob-kitoblar yordamida chizmasiz bu natijani qanday olish mumkin? Keling, shunday fikr yuritamiz: biz 6 ni 2/3 ga bo'lishimiz kerak, ya'ni 6 ning 2/3 qismi necha marta bor degan savolga javob berishimiz kerak. Keling, avval bilib olaylik: 6 ning 1/3 qismi necha marta bor? Butun birlikda uchdan 3, 6 birlikda esa 6 barobar ko'p, ya'ni 18 uchdan; bu raqamni topish uchun biz 6 ni 3 ga ko'paytirishimiz kerak. Bu 1/3 ni b birliklarda 18 marta, 2/3 esa b birliklarida 18 marta emas, balki ikki barobar ko'p, ya'ni 18: 2 = 9 ekanligini anglatadi. Shunday qilib, 6 ni 2/3 ga bo'lishda biz tugatdik quyidagi harakatlar:

Bu yerdan biz butun sonni kasrga bo'lish qoidasini olamiz. Butun sonni kasrga bo'lish uchun siz ushbu butun sonni berilgan kasrning maxrajiga ko'paytirishingiz kerak va bu ko'paytmani hisoblagich qilib, uni berilgan kasrning soniga bo'lishingiz kerak.

Keling, qoidani harflar yordamida yozamiz:

Ushbu qoidani to'liq aniq qilish uchun kasrni qism sifatida ko'rib chiqish mumkinligini esga olish kerak. Shuning uchun topilgan qoidani § 38da ko'rsatilgan sonni qismga bo'lish qoidasi bilan solishtirish foydalidir. E'tibor bering, xuddi shu formula u erda olingan.

Bo'lishda qisqartmalar mumkin, masalan:

4. Kasrni kasrga bo'lish.

Aytaylik, 3/4 ni 3/8 ga bo'lish kerak. Bo'linish natijasida hosil bo'lgan raqam nimani anglatadi? Bu 3/8 kasr 3/4 kasrda necha marta borligi haqidagi savolga javob beradi. Bu masalani tushunish uchun rasm chizamiz (20-rasm).

Keling, AB segmentini olib, uni bitta qilib olamiz, uni 4 ta teng qismga ajratamiz va 3 ta shunday qismni belgilaymiz. AC segmenti AB segmentining 3/4 qismiga teng bo'ladi. Keling, to'rtta asl segmentning har birini yarmiga ajratamiz, keyin AB segmenti 8 ta teng qismga bo'linadi va har bir bunday qism AB segmentining 1/8 qismiga teng bo'ladi. Shunday 3 ta segmentni yoylar bilan bog‘laymiz, u holda AD va DC segmentlarining har biri AB segmentining 3/8 qismiga teng bo‘ladi. Chizma shuni ko'rsatadiki, 3/8 ga teng segment aniq 2 marta 3/4 ga teng segmentda joylashgan; Bu shuni anglatadiki, bo'linish natijasini quyidagicha yozish mumkin:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik. Aytaylik, 15/16 ni 3/32 ga bo'lish kerak:

Biz shunday fikr yuritishimiz mumkin: biz 3/32 ga ko'paytirgandan so'ng 15/16 ga teng mahsulot beradigan raqamni topishimiz kerak. Keling, hisob-kitoblarni quyidagicha yozamiz:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 noma'lum raqam X 15/16

Noma'lum raqamning 1/32 qismi X ,

32/32 raqamlari X grim surmoq, pardoz qilmoq; yasamoq, tuzmoq .

Demak,

Shunday qilib, kasrni kasrga bo'lish uchun birinchi kasrning soni ikkinchi kasrning maxrajiga ko'paytirilishi kerak va birinchi kasrning maxraji ikkinchisining soniga ko'paytirilishi va birinchi ko'paytiruvchining soni bo'lishi kerak. ikkinchisi esa maxraj.

Keling, qoidani harflar yordamida yozamiz:

Bo'lishda qisqartmalar mumkin, masalan:

5. Aralash sonlarning bo‘linishi.

Aralash sonlarni bo'lishda ularni birinchi navbatda aylantirish kerak noto'g'ri kasrlar va keyin hosil bo'lgan kasrlarni bo'lish qoidalariga ko'ra ajrating kasr sonlar. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:

Keling, aralash sonlarni noto'g'ri kasrlarga aylantiramiz:

Endi ajratamiz:

Shunday qilib, aralash raqamlarni bo'lish uchun siz ularni noto'g'ri kasrlarga aylantirishingiz va keyin kasrlarni bo'lish qoidasidan foydalanib bo'lishingiz kerak.

6. Berilgan kasrdan sonni topish.

Har xil kasr muammolari orasida ba'zida noma'lum sonning ba'zi bir qismining qiymati berilgan va siz bu raqamni topishingiz kerak bo'lganlar mavjud. Bu turdagi masala berilgan sonning ulushini topish masalasiga teskari masala bo'ladi; u yerda son berilgan va bu sonning qandaydir qismini topish talab qilingan, bu yerda sonning bir qismi berilgan va shu sonning o'zini topish talab qilingan. Agar biz ushbu turdagi muammolarni hal qilishga murojaat qilsak, bu fikr yanada aniqroq bo'ladi.

Vazifa 1. Birinchi kuni shishachilar 50 ta oynani oynaladilar, bu qurilgan uyning barcha derazalarining 1/3 qismini tashkil qiladi. Bu uyda nechta deraza bor?

Yechim. Muammo shundaki, 50 ta oynali derazalar uyning barcha derazalarining 1/3 qismini tashkil qiladi, ya'ni jami 3 barobar ko'p derazalar mavjud, ya'ni.

Uyda 150 ta deraza bor edi.

Vazifa 2. Do'konda 1500 kg un sotilgan, bu do'kondagi umumiy un zaxirasining 3/8 qismini tashkil qiladi. Do‘konning dastlabki un ta’minoti qancha edi?

Yechim. Muammoning shartlaridan ko'rinib turibdiki, sotilgan 1500 kg un umumiy zaxiraning 3/8 qismini tashkil qiladi; Bu shuni anglatadiki, ushbu zaxiraning 1/8 qismi 3 baravar kam bo'ladi, ya'ni uni hisoblash uchun siz 1500 ni 3 marta kamaytirishingiz kerak:

1500: 3 = 500 (bu zahiraning 1/8 qismi).

Shubhasiz, butun ta'minot 8 barobar ko'p bo'ladi. Demak,

500 8 = 4000 (kg).

Do'kondagi unning dastlabki zaxirasi 4000 kg edi.

Ushbu muammoni ko'rib chiqib, quyidagi qoidani chiqarish mumkin.

Uning ulushining berilgan qiymatidan raqamni topish uchun bu qiymatni kasrning numeratoriga bo'lish va natijani kasrning maxrajiga ko'paytirish kifoya.

Biz uning kasri berilgan sonni topishga oid ikkita masalani yechdik. Bunday muammolar, ayniqsa oxirgisidan aniq ko'rinib turibdiki, ikkita harakat bilan hal qilinadi: bo'linish (bir qism topilganda) va ko'paytirish (butun son topilganda).

Biroq, kasrlarni bo'linishni o'rganganimizdan so'ng, yuqoridagi masalalarni bitta harakat bilan, ya'ni: kasrga bo'lish bilan hal qilish mumkin.

Masalan, oxirgi vazifani bitta harakatda hal qilish mumkin:

Kelajakda sonni uning kasridan topish masalalarini bir amal – bo‘lish bilan yechamiz.

7. Raqamni foiz bo‘yicha topish.

Ushbu masalalarda siz ushbu raqamning bir necha foizini biladigan raqamni topishingiz kerak bo'ladi.

Vazifa 1. Bu yil boshida men omonat kassasidan 60 rubl oldim. bir yil oldin jamg'armaga qo'ygan summamdan daromad. Omonat kassasiga qancha pul qo'yganman? (Kassalar omonatchilarga yiliga 2% daromad beradi.)

Muammoning mohiyati shundaki, men omonat kassasiga ma'lum miqdorda pul qo'ydim va u erda bir yil turdim. Bir yildan keyin men undan 60 rubl oldim. daromad, bu men qo'ygan pulning 2/100 qismini tashkil etadi. Qancha pul kiritdim?

Binobarin, bu pulning ikki shaklda (rubl va kasrlarda) ifodalangan qismini bilib, biz hali noma'lum bo'lgan to'liq miqdorni topishimiz kerak. Bu kasr berilgan sonni topishning oddiy muammosi. Quyidagi masalalar bo'linish yo'li bilan hal qilinadi:

Bu omonat kassasiga 3000 rubl kiritilganligini anglatadi.

Vazifa 2. Baliqchilar ikki haftada 512 tonna baliq yetishtirib, oylik rejani 64 foizga bajardi. Ularning rejasi nima edi?

Muammoning shartlaridan ma'lumki, baliqchilar rejaning bir qismini bajargan. Bu qism 512 tonnaga teng bo‘lib, rejaning 64 foizini tashkil etadi. Rejaga ko'ra qancha tonna baliq tayyorlash kerakligini bilmaymiz. Bu raqamni topish muammoning yechimi bo'ladi.

Bunday muammolar bo'linish yo'li bilan hal qilinadi:

Demak, reja bo‘yicha 800 tonna baliq tayyorlash kerak.

Vazifa 3. Poyezd Rigadan Moskvaga yo‘l oldi. U 276-kilometrdan o'tganida, yo'lovchilardan biri o'tib ketayotgan konduktordan yo'lning qancha qismini bosib o'tganliklarini so'radi. Bunga dirijyor javob berdi: "Biz butun sayohatning 30 foizini bosib o'tdik". Rigadan Moskvagacha bo'lgan masofa qancha?

Muammoli sharoitlardan ko'rinib turibdiki, Rigadan Moskvagacha bo'lgan yo'nalishning 30 foizi 276 km. Biz ushbu shaharlar orasidagi butun masofani topishimiz kerak, ya'ni bu qism uchun butunni toping:

§ 91. O'zaro raqamlar. Bo'linishni ko'paytirish bilan almashtirish.

Keling, 2/3 kasrni olamiz va maxraj o'rniga hisoblagichni almashtiramiz, biz 3/2 ni olamiz. Biz bu kasrning teskari qismini oldik.

Berilgan kasrning teskari qismini olish uchun maxraj o‘rniga uning hisoblagichini, ayiruvchi o‘rniga esa maxrajini qo‘yish kerak. Shu tarzda biz har qanday kasrning o'zaro qismini olishimiz mumkin. Masalan:

3/4, teskari 4/3; 5/6, teskari 6/5

Birinchisining soni ikkinchisining maxraji va birinchisining maxraji ikkinchisining soni bo'lish xususiyatiga ega bo'lgan ikkita kasr deyiladi. o'zaro teskari.

Keling, 1/2 ning o'zaro nisbati qaysi kasr bo'lishini o'ylab ko'raylik. Shubhasiz, u 2/1 yoki shunchaki 2 bo'ladi. Berilgan kasrning teskari qismini qidirib, biz butun sonni oldik. Va bu holat alohida emas; aksincha, numeratori 1 (bir) bo'lgan barcha kasrlar uchun o'zaro butun sonlar bo'ladi, masalan:

1/3, teskari 3; 1/5, teskari 5

O'zaro kasrlarni topishda biz butun sonlarni ham uchratganimiz uchun, keyin biz o'zaro kasrlar haqida emas, balki o'zaro sonlar haqida gapiramiz.

Keling, butun sonning teskarisini qanday yozishni aniqlaymiz. Kasrlar uchun buni oddiygina hal qilish mumkin: siz hisoblagich o'rniga maxrajni qo'yishingiz kerak. Xuddi shu tarzda, siz butun sonning teskarisini olishingiz mumkin, chunki har qanday butun sonning maxraji 1 bo'lishi mumkin. Bu 7 ning teskarisi 1/7 bo'lishini anglatadi, chunki 7 = 7/1; 10 raqami uchun teskari 1/10 bo'ladi, chunki 10 = 10/1

Bu fikr boshqacha ifodalanishi mumkin: o'zaro raqam berilgan raqam, bittani berilgan songa bo'lish orqali olinadi. Bu gap nafaqat butun sonlar, balki kasrlar uchun ham to'g'ri. Aslida, agar biz 5/9 kasrning teskari qismini yozishimiz kerak bo'lsa, unda biz 1 ni olib, uni 5/9 ga bo'lishimiz mumkin, ya'ni.

Endi bir narsani ta'kidlab o'tamiz mulk Biz uchun foydali bo'lgan o'zaro raqamlar: o'zaro sonlarning ko'paytmasi birga teng. Haqiqatdan ham:

Bu xususiyatdan foydalanib, o'zaro sonlarni quyidagi tarzda topishimiz mumkin. Aytaylik, 8 ning teskarisini topishimiz kerak.

Keling, uni harf bilan belgilaymiz X , keyin 8 X = 1, shuning uchun X = 1/8. Keling, 7/12 ga teskari bo'lgan boshqa raqamni topamiz va uni harf bilan belgilaymiz X , keyin 7/12 X = 1, shuning uchun X = 1: 7/12 yoki X = 12 / 7 .

Biz kasrlarni bo'lish haqidagi ma'lumotlarni biroz to'ldirish uchun bu erda o'zaro sonlar tushunchasini kiritdik.

6 raqamini 3/5 ga bo'lsak, biz quyidagilarni bajaramiz:

Iltimos, toʻlang Maxsus e'tibor ifodaga va uni berilgan bilan solishtiring: .

Agar iborani oldingisi bilan bog'lanmagan holda alohida oladigan bo'lsak, u qaerdan kelib chiqqanligi haqidagi savolni hal qilib bo'lmaydi: 6 ni 3/5 ga bo'lish yoki 6 ni 5/3 ga ko'paytirish. Ikkala holatda ham bir xil narsa sodir bo'ladi. Shuning uchun aytishimiz mumkin bir sonni boshqasiga bo'lish dividendni bo'luvchining teskari soniga ko'paytirish orqali almashtirilishi mumkin.

Quyida keltirgan misollarimiz bu xulosani to‘liq tasdiqlaydi.

Aytaylik, Axilles toshbaqadan o'n barobar tezroq yuguradi va undan ming qadam orqada. Bu masofani bosib o'tish uchun Axilles kerak bo'lgan vaqt ichida toshbaqa xuddi shu yo'nalishda yuz qadam sudraladi. Axilles yuz qadam yugurganda, toshbaqa yana o'n qadam sudraladi va hokazo. Jarayon infinitum davom etadi, Axilles hech qachon toshbaqaga yetib bormaydi.

Bu mulohaza barcha keyingi avlodlar uchun mantiqiy zarba bo'ldi. Aristotel, Diogen, Kant, Gegel, Gilbert... Ularning barchasi Zenonning aporiyasini u yoki bu tarzda hisoblagan. Shok shu qadar kuchli ediki " ... munozaralar bugungi kungacha davom etmoqda, ilmiy jamoatchilik hali paradokslar mohiyati haqida umumiy fikrga kela olmadi ... masalani o'rganishga matematik tahlil, to'plamlar nazariyasi, yangi fizik va falsafiy yondashuvlar jalb qilindi; ; ularning hech biri muammoning umumiy qabul qilingan yechimiga aylanmadi ..."[Vikipediya, "Zeno's Aporia". Hamma ularni aldashayotganini tushunadi, lekin hech kim yolg'on nimadan iboratligini tushunmaydi.

Matematik nuqtai nazardan Zenon o'z aporiyasida miqdordan ga o'tishni aniq ko'rsatdi. Ushbu o'tish doimiy o'rniga dasturni nazarda tutadi. Men tushunganimdek, o'zgaruvchan o'lchov birliklaridan foydalanish uchun matematik apparat hali ishlab chiqilmagan yoki Zenon aporiyasiga qo'llanilmagan. Odatdagi mantiqimizni qo'llash bizni tuzoqqa olib boradi. Biz fikrlash inertsiyasi tufayli o'zaro qiymatga doimiy vaqt birliklarini qo'llaymiz. Jismoniy nuqtai nazardan, bu Axilles toshbaqani quvib yetgan paytda to'liq to'xtaguncha vaqt sekinlashayotganga o'xshaydi. Vaqt to'xtasa, Axilles endi toshbaqadan o'tib keta olmaydi.

Agar biz odatdagi mantiqimizni aylantirsak, hamma narsa joyiga tushadi. Axilles doimiy tezlikda yuguradi. Uning yo'lining har bir keyingi qismi avvalgisidan o'n baravar qisqaroq. Shunga ko'ra, uni engish uchun sarflangan vaqt avvalgisidan o'n baravar kam. Agar biz ushbu vaziyatda "abadiylik" tushunchasini qo'llasak, "Axilles toshbaqani cheksiz tezlikda ushlaydi" deyish to'g'ri bo'ladi.

Ushbu mantiqiy tuzoqdan qanday qochish kerak? Doimiy vaqt birliklarida qoling va o'zaro birliklarga o'tmang. Zenon tilida bu shunday ko'rinadi:

Axilles ming qadam yugurishi kerak bo'lgan vaqt ichida toshbaqa xuddi shu yo'nalishda yuz qadam sudraladi. Birinchisiga teng bo'lgan keyingi vaqt oralig'ida Axilles yana ming qadam yuguradi, toshbaqa esa yuz qadam sudraladi. Endi Axilles toshbaqadan sakkiz yuz qadam oldinda.

Bu yondashuv voqelikni mantiqiy paradokslarsiz adekvat tasvirlaydi. Lekin unday emas to'liq yechim Muammolar. Eynshteynning yorug'lik tezligining chidab bo'lmasligi haqidagi bayonoti Zenonning "Axilles va toshbaqa" aporiyasiga juda o'xshaydi. Biz bu muammoni hali o'rganishimiz, qayta o'ylab ko'rishimiz va hal qilishimiz kerak. Va yechimni cheksiz ko'p sonlarda emas, balki o'lchov birliklarida izlash kerak.

Zenonning yana bir qiziqarli aporiyasi uchadigan o'q haqida gapiradi:

Uchib yuruvchi o'q harakatsiz, chunki u har daqiqada dam oladi va har daqiqada dam bo'lgani uchun u doimo dam oladi.

Ushbu aporiyada mantiqiy paradoks juda sodda tarzda engib o'tiladi - har bir vaqtning har bir lahzasida uchuvchi o'q kosmosning turli nuqtalarida tinch holatda bo'lishini aniqlashtirish kifoya, bu aslida harakatdir. Shu o‘rinda yana bir jihatga e’tibor qaratish lozim. Yo'lda avtomobilning bitta fotosuratidan uning harakatlanish faktini ham, unga bo'lgan masofani ham aniqlash mumkin emas. Mashinaning harakatlanayotganligini aniqlash uchun sizga vaqtning turli nuqtalarida bir nuqtadan olingan ikkita fotosurat kerak, ammo siz ulardan masofani aniqlay olmaysiz. Avtomobilgacha bo'lgan masofani aniqlash uchun sizga bir vaqtning o'zida kosmosning turli nuqtalaridan olingan ikkita fotosurat kerak, ammo ulardan siz harakat faktini aniqlay olmaysiz (albatta, hisob-kitoblar uchun sizga hali ham qo'shimcha ma'lumotlar kerak, trigonometriya sizga yordam beradi ). Men alohida e'tibor qaratmoqchi bo'lgan narsa shundaki, vaqtning ikki nuqtasi va kosmosdagi ikkita nuqta chalkashmaslik kerak bo'lgan turli xil narsalardir, chunki ular tadqiqot uchun turli imkoniyatlar yaratadi.

Chorshanba, 4-iyul, 2018-yil

To'plam va multiset o'rtasidagi farqlar Vikipediyada juda yaxshi tasvirlangan. Ko'raylikchi.

Ko'rib turganingizdek, "to'plamda ikkita bir xil element bo'lishi mumkin emas", lekin to'plamda bir xil elementlar mavjud bo'lsa, bunday to'plam "ko'p to'plam" deb ataladi. Aqlli mavjudotlar bunday bema'ni mantiqni hech qachon tushunmaydilar. Bu "to'liq" so'zidan aqlga ega bo'lmagan gapiradigan to'tiqushlar va o'qitilgan maymunlarning darajasi. Matematiklar oddiy murabbiy sifatida harakat qilib, bizga o'zlarining bema'ni g'oyalarini targ'ib qilishadi.

Bir paytlar ko'prikni qurgan muhandislar ko'prikni sinovdan o'tkazayotganda ko'prik ostidagi qayiqda bo'lishgan. Agar ko'prik qulab tushsa, o'rtamiyona muhandis o'zi yaratgan vayronalar ostida vafot etdi. Agar ko'prik yukga bardosh bera olsa, iste'dodli muhandis boshqa ko'priklarni qurdi.

Matematiklar qanday qilib "meni jinni, men uydaman" yoki aniqrog'i "matematikani o'rganish" iborasi orqasida yashirishmasin. mavhum tushunchalar", ularni haqiqat bilan uzviy bog'laydigan bitta kindik bor. Bu kindik puldir. Qo'llash. matematik nazariya matematiklarning o'zlariga qo'yadi.

Biz matematikani juda yaxshi o'rgandik va hozir biz kassada o'tirib, oyliklarni beramiz. Shunday qilib, matematik bizga pul uchun keladi. Biz unga to'liq miqdorni hisoblaymiz va uni stolimizga turli xil qoziqlarga qo'yamiz, ularga bir xil nomdagi veksellarni joylashtiramiz. Keyin biz har bir qoziqdan bitta hisob-kitobni olib, matematikaga uning "ish haqining matematik to'plamini" beramiz. Keling, matematikaga bir xil elementlari bo'lmagan to'plam bir xil elementlarli to'plamga teng emasligini isbotlagandagina qolgan hisob-kitoblarni olishini tushuntirib beraylik. Qiziq shu erda boshlanadi.

Avvalo, deputatlarning “Buni boshqalarga nisbatan qo‘llash mumkin, lekin menga emas!” degan mantig‘i ishlaydi. Keyin ular bizni bir xil nominaldagi banknotalar borligiga ishontirishni boshlaydilar turli raqamlar veksellar, ya'ni ularni bir xil elementlar deb hisoblash mumkin emas. Mayli, maoshlarni tangalarda hisoblaylik - tangalarda raqamlar yo'q. Bu erda matematik fizikani hayajon bilan eslay boshlaydi: har xil tangalar har xil miqdordagi axloqsizlikka ega, kristal tuzilishi va atomlarning joylashishi har bir tanga uchun o'ziga xosdir ...

Va endi menda eng ko'p narsa bor qiziqish so'rang: ko'p to'plam elementlari to'plam elementlariga aylanadigan chiziq qayerda va aksincha? Bunday chiziq mavjud emas - hamma narsani shamanlar hal qiladi, fan bu erda yolg'on gapirishga ham yaqin emas.

Mana qarang. Biz maydon maydoni bir xil bo'lgan futbol stadionlarini tanlaymiz. Maydonlarning maydonlari bir xil - bu bizda multiset borligini anglatadi. Ammo o'sha stadionlarning nomlariga qarasak, ko'pchilikni olamiz, chunki nomlar boshqacha. Ko'rib turganingizdek, bir xil elementlar to'plami ham to'plam, ham multisetdir. Qanday to'g'ri? Va bu erda matematik-shaman-o'tkir yengidan ko'zni chiqarib, bizga to'plam yoki multiset haqida gapira boshlaydi. Qanday bo'lmasin, u bizni haq ekanligiga ishontiradi.

Zamonaviy shamanlar to'plamlar nazariyasi bilan qanday ishlashini, uni haqiqatga bog'lashini tushunish uchun bitta savolga javob berish kifoya: bir to'plamning elementlari boshqa to'plamning elementlaridan qanday farq qiladi? Men sizga hech qanday "yaxlit bir butun sifatida tasavvur qilinmaydigan" yoki "bir butun sifatida tasavvur qilib bo'lmaydigan" holda ko'rsataman.

Yakshanba, 18-mart, 2018-yil

Raqam raqamlarining yig'indisi - bu matematikaga hech qanday aloqasi bo'lmagan shamanlarning daf bilan raqsi. Ha, matematika darslarida bizga son raqamlari yig'indisini topish va undan foydalanish o'rgatiladi, lekin shuning uchun ular shamanlar, o'z avlodlariga o'z mahoratlari va donoliklarini o'rgatishlari kerak, aks holda shamanlar shunchaki o'lib ketadi.

Sizga dalil kerakmi? Vikipediyani oching va "Raqam raqamlari yig'indisi" sahifasini topishga harakat qiling. U mavjud emas. Matematikada biron bir raqamning raqamlari yig'indisini topish uchun ishlatiladigan formula yo'q. Axir, raqamlar biz raqamlarni yozadigan grafik belgilardir va matematika tilida vazifa quyidagicha yangraydi: "Har qanday raqamni ifodalovchi grafik belgilar yig'indisini toping." Matematiklar bu muammoni hal qila olmaydilar, ammo shamanlar buni osonlikcha hal qilishlari mumkin.

Keling, berilgan sonning raqamlari yig'indisini topish uchun nima va qanday qilishimizni aniqlaymiz. Shunday qilib, 12345 raqamiga ega bo'lsin. Bu raqamning raqamlari yig'indisini topish uchun nima qilish kerak? Keling, barcha bosqichlarni tartibda ko'rib chiqaylik.

1. Raqamni qog'ozga yozing. Biz nima qildik? Biz raqamni grafik raqam belgisiga aylantirdik. Bu matematik operatsiya emas.

2. Olingan bitta rasmni alohida raqamlarni o'z ichiga olgan bir nechta rasmga kesib tashladik. Rasmni kesish matematik operatsiya emas.

3. Alohida grafik belgilarni raqamlarga aylantirish. Bu matematik operatsiya emas.

4. Olingan raqamlarni qo'shing. Endi bu matematika.

12345 raqamining raqamlari yig'indisi 15 ga teng. Bu matematiklar foydalanadigan shamanlar tomonidan o'qitiladigan "kesish va tikish kurslari". Lekin bu hammasi emas.

Matematik nuqtai nazardan, sonni qaysi sanoq sistemasida yozishimiz muhim emas. Shunday qilib, ichida turli tizimlar Hisoblashda bir xil sonning raqamlari yig'indisi boshqacha bo'ladi. Matematikada sanoq sistemasi sonning o'ng tomonida pastki belgisi sifatida ko'rsatilgan. BILAN katta raqam 12345 Men boshimni aldashni xohlamayman, keling, haqidagi maqoladan 26 raqamini ko'rib chiqaylik. Bu sonni ikkilik, sakkizlik, o‘nlik va o‘n oltilik sanoq sistemalarida yozamiz. Biz har bir qadamni mikroskop ostida ko'rib chiqmaymiz. Keling, natijani ko'rib chiqaylik.

Ko'rib turganingizdek, turli sanoq tizimlarida bir xil son raqamlari yig'indisi har xil bo'ladi. Bu natijaning matematikaga hech qanday aloqasi yo'q. Bu xuddi to'rtburchakning maydonini metr va santimetrda aniqlaganingiz bilan bir xil, siz butunlay boshqacha natijalarga erishasiz.

Nol barcha sanoq tizimlarida bir xil ko'rinadi va raqamlar yig'indisiga ega emas. Bu haqiqat foydasiga yana bir dalil. Matematiklar uchun savol: matematikada raqam bo'lmagan narsa qanday qilib belgilanadi? Nima, matematiklar uchun raqamlardan boshqa hech narsa yo'q? Men shamanlar uchun ruxsat berishim mumkin, ammo olimlar uchun emas. Haqiqat faqat raqamlardan iborat emas.

Olingan natija sanoq sistemalarining sonlar uchun o'lchov birliklari ekanligiga dalil sifatida qaralishi kerak. Axir, biz raqamlarni turli o'lchov birliklari bilan taqqoslay olmaymiz. Agar bir xil miqdorning turli o'lchov birliklari bilan bir xil harakatlar ularni solishtirgandan keyin turli xil natijalarga olib keladigan bo'lsa, unda bu matematikaga hech qanday aloqasi yo'q.

Haqiqiy matematika nima? Bu matematik operatsiya natijasi raqamning o'lchamiga, ishlatiladigan o'lchov birligiga va bu harakatni kim bajarishiga bog'liq bo'lmaganda.

Oh! Bu ayollar hojatxonasi emasmi?
- Yosh ayol! Bu jannatga ko'tarilish paytida qalblarning muqaddasligini o'rganish uchun laboratoriya! Yuqorida halo va yuqoriga o'q. Yana qanday hojatxona?

Ayol... Yuqoridagi halo va pastga o'q erkakdir.

Agar bunday dizayn san'ati asari kuniga bir necha marta ko'z oldingizda porlab tursa,

Shunda siz to'satdan mashinangizda g'alati belgini topsangiz ajablanarli emas:

Shaxsan men najas qilayotgan odamda minus to'rt darajani ko'rishga harakat qilaman (bitta rasm) (bir nechta rasmlarning kompozitsiyasi: minus belgisi, to'rtta raqam, darajalar belgisi). Men esa bu qizni ahmoq deb o‘ylamayman, yo‘q fizika fanidan bilimga ega. U shunchaki grafik tasvirlarni idrok etishning kuchli stereotipiga ega. Va matematiklar buni bizga doimo o'rgatadi. Mana bir misol.

1A "minus to'rt daraja" yoki "bir a" emas. Bu "pooping man" yoki o'n oltilik tizimda "yigirma olti" raqami. Ushbu sanoq tizimida doimiy ravishda ishlaydigan odamlar avtomatik ravishda raqam va harfni bitta grafik belgi sifatida qabul qiladilar.

Oddiy kasrlarni ko'paytirish

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.

Plastinada olmaning $\frac(1)(3)$ qismi bo'lsin. Biz uning $\frac(1)(2)$ qismini topishimiz kerak. Kerakli qism $\frac(1)(3)$ va $\frac(1)(2)$ kasrlarini ko'paytirish natijasidir. Ikki oddiy kasrni ko'paytirish natijasi oddiy kasrdir.

Ikki oddiy kasrni ko'paytirish

Oddiy kasrlarni ko'paytirish qoidasi:

Kasrni kasrga ko'paytirish natijasi ko'paytirilayotgan kasrlar sonining ko'paytmasiga teng bo'lgan kasrdir va maxraji esa maxrajlarning ko'paytmasiga teng bo'ladi:

1-misol

$\frac(3)(7)$ va $\frac(5)(11)$ umumiy kasrlarni ko'paytirishni bajaring.

Yechim.

Oddiy kasrlarni ko'paytirish qoidasidan foydalanamiz:

\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]

Javob:$\frac(15)(77)$

Agar kasrlarni ko'paytirish natijasida kamaytiriladigan yoki noto'g'ri kasr paydo bo'lsa, uni soddalashtirishingiz kerak.

2-misol

$\frac(3)(8)$ va $\frac(1)(9)$ kasrlarini ko'paytiring.

Yechim.

Oddiy kasrlarni ko'paytirish qoidasidan foydalanamiz:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]

Natijada, biz kamaytiriladigan kasrga ega bo'ldik ($3$ ga bo'lish asosida. Kasrning soni va maxraji $3$ ga bo'linadi, biz quyidagilarga erishamiz:

\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]

Qisqa yechim:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]

Javob:$\frac(1)(24).$

Kasrlarni ko'paytirishda siz ularning ko'paytmasini topmaguningizcha, son va maxrajlarni kamaytirishingiz mumkin. Bunda kasrning hisoblagichi va maxraji oddiy omillarga ajraladi, shundan keyin takrorlanuvchi omillar bekor qilinadi va natija topiladi.

3-misol

$\frac(6)(75)$ va $\frac(15)(24)$ kasrlarning mahsulotini hisoblang.

Yechim.

Oddiy kasrlarni ko'paytirish formulasidan foydalanamiz:

\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]

Shubhasiz, numerator va maxrajda $2$, $3$ va $5$ raqamlariga juft boʻlib kamaytirilishi mumkin boʻlgan raqamlar mavjud. Paytuvchi va maxrajni oddiy ko‘paytirgichlarga ajratamiz va kamaytiramiz:

\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]

Javob:$\frac(1)(20).$

Kasrlarni ko'paytirishda siz kommutativ qonunni qo'llashingiz mumkin:

Oddiy kasrni natural songa ko'paytirish

Ko'paytirish qoidasi oddiy kasr yoqilgan natural son:

Kasrni natural songa ko‘paytirish natijasi bu kasr bo‘lib, unda ayiruvchi ko‘paytirilayotgan kasrning payini natural songa, maxraji esa ko‘paytirilgan kasrning maxrajiga teng bo‘ladi:

bu yerda $\frac(a)(b)$ oddiy kasr, $n$ natural son.

4-misol

$\frac(3)(17)$ kasrini $4$ ga ko'paytiring.

Yechim.

Oddiy kasrni natural songa ko‘paytirish qoidasidan foydalanamiz:

\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]

Javob:$\frac(12)(17).$

Ko'paytirish natijasini kasrning kamayishi yoki noto'g'ri kasr bilan tekshirishni unutmang.

5-misol

$\frac(7)(15)$ kasrni $3$ raqamiga ko'paytiring.

Yechim.

Kasrni natural songa ko‘paytirish formulasidan foydalanamiz:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]

$3$ raqamiga bo'lish orqali biz hosil bo'lgan kasrni kamaytirish mumkinligini aniqlashimiz mumkin:

\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]

Natijada noto'g'ri kasr paydo bo'ldi. Keling, butun qismni tanlaymiz:

\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]

Qisqa yechim:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]

Kasrlarni pay va maxrajdagi sonlarni ularning koeffitsientlari bilan tub omillarga almashtirish orqali ham kamaytirish mumkin. Bunday holda, yechim quyidagicha yozilishi mumkin:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]

Javob:$1\frac(2)(5).$

Kasrni natural songa ko'paytirishda siz kommutativ qonundan foydalanishingiz mumkin:

Kasrlarni bo'lish

Bo'lish operatsiyasi ko'paytirishning teskari qismidir va uning natijasi ikki kasrning ma'lum mahsulotini olish uchun ma'lum kasrni ko'paytirish kerak bo'lgan kasrdir.

Ikki oddiy kasrni bo'lish

Oddiy kasrlarni bo'lish qoidasi: Shubhasiz, hosil bo'lgan kasrning soni va maxrajini koeffitsientlarga ajratish va kamaytirish mumkin:

\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]

Natijada biz noto'g'ri kasrni olamiz, undan butun qismni tanlaymiz:

\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]

Javob:$1\frac(5)(9).$

BU TIRMALARNI ALGANISHINGIZ! 🙂

Kasrlarni ko'paytirish va bo'lish.

Diqqat!
Qo'shimchalar mavjud
555-sonli maxsus bo'limdagi materiallar.
Juda "juda emas" bo'lganlar uchun. »
Va "juda ham shunday" qilganlar uchun. ")

Bu operatsiya qo'shish va ayirishdan ko'ra ancha yoqimli! Chunki bu osonroq. Eslatib o'tamiz, kasrni kasrga ko'paytirish uchun siz sonlarni (bu natijaning hisoblagichi bo'ladi) va denominatorlarni (bu maxraj bo'ladi) ko'paytirishingiz kerak. Ya'ni:

Hammasi nihoyatda oddiy. Va iltimos, umumiy maxrajni qidirmang! Bu erda unga hojat yo'q ...

Kasrni kasrga bo'lish uchun siz teskari harakat qilishingiz kerak ikkinchi(bu muhim!) kasr va ularni ko'paytiring, ya'ni:

Agar siz butun sonlar va kasrlar bilan ko'paytirish yoki bo'linishga duch kelsangiz, bu yaxshi. Qo'shimchada bo'lgani kabi, biz butun sondan maxrajida bitta bilan kasr hosil qilamiz - va davom eting! Masalan:

O'rta maktabda siz ko'pincha uch qavatli (yoki hatto to'rt qavatli!) Fraksiyalarga duch kelishingiz kerak. Masalan:

Qanday qilib bu fraktsiyani munosib ko'rsatishim mumkin? Ha, juda oddiy! Ikki nuqtali bo'linishdan foydalaning:

Ammo bo'linish tartibi haqida unutmang! Ko'paytirishdan farqli o'laroq, bu erda bu juda muhim! Albatta, 4:2 yoki 2:4 ni aralashtirib yubormaymiz. Ammo uch qavatli fraktsiyada xato qilish oson. Masalan, diqqat qiling:

Birinchi holda (chapdagi ifoda):

Ikkinchisida (o'ngdagi ifoda):

Farqni his qilyapsizmi? 4 va 1/9!

Bo'linish tartibini nima belgilaydi? Qavslar bilan yoki (bu erda bo'lgani kabi) gorizontal chiziqlar uzunligi bilan. Ko'zni rivojlantiring. Va agar qavslar yoki chiziqlar bo'lmasa, masalan:

keyin bo'linadi va ko'paytiriladi tartibda, chapdan o'ngga!

Va yana bir juda oddiy va muhim texnika. Darajalar bilan harakatlarda bu siz uchun juda foydali bo'ladi! Keling, birini istalgan kasrga, masalan, 13/15 ga ajratamiz:

O'q o'girildi! Va bu har doim sodir bo'ladi. 1 ni istalgan kasrga bo'lganda, natija bir xil kasr bo'ladi, faqat teskari.

Bu kasrlar bilan operatsiyalar uchun. Hamma narsa juda oddiy, lekin u ko'proq xatolarni beradi. Amaliy maslahatlarni inobatga oling, shunda ular (xatolar) kamroq bo'ladi!

1. Kasrli iboralar bilan ishlashda eng muhimi aniqlik va ehtiyotkorlikdir! U emas umumiy so'zlar, yaxshi tilaklar emas! Bu juda zarurat! Yagona davlat imtihonidagi barcha hisob-kitoblarni to'liq, aniq va aniq vazifa sifatida bajaring. Aqliy hisob-kitoblarni amalga oshirishda chalkashlikdan ko'ra, qoralamangizga ikkita qo'shimcha satr yozgan ma'qul.

2. Bilan misollarda turli xil turlari kasrlar - oddiy kasrlarga o'tish.

3. Biz barcha fraktsiyalarni to'xtaguncha kamaytiramiz.

4. Ikki nuqta orqali bo'linish yordamida ko'p darajali kasr iboralarni oddiylarga qisqartiramiz (biz bo'linish tartibiga rioya qilamiz!).

Mana, albatta, bajarishingiz kerak bo'lgan vazifalar. Javoblar barcha topshiriqlardan keyin beriladi. Ushbu mavzu bo'yicha materiallar va amaliy maslahatlardan foydalaning. Qancha misolni to'g'ri hal qila olganingizni hisoblang. Birinchi marta! Kalkulyatorsiz! Va to'g'ri xulosalar chiqaring.

Esingizda bo'lsin - to'g'ri javob ikkinchi (ayniqsa uchinchi) vaqtdan boshlab qabul qilingan hisoblanmaydi! Qattiq hayot shunday.

Shunday qilib, imtihon rejimida hal qilish ! Aytgancha, bu allaqachon Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik. Biz misolni hal qilamiz, tekshiramiz, keyingisini hal qilamiz. Biz hamma narsani hal qildik - birinchidan oxirigacha yana tekshirdik. Lekin faqat Keyin javoblarga qarang.

Biz sizga mos keladigan javoblarni qidirmoqdamiz. Men atayin ularni vasvasadan uzoqda, ta’bir joiz bo‘lsa, tartibsizlikda yozib oldim. Mana ular nuqta-vergul bilan ajratilgan javoblar.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Endi biz xulosa chiqaramiz. Agar hamma narsa yaxshi bo'lsa, men siz uchun xursandman! Kasrlar bilan asosiy hisoblar sizning muammoingiz emas! Siz jiddiyroq ishlarni qilishingiz mumkin. Agar yo "q bo" lsa.

Shunday qilib, sizda ikkita muammodan biri bor. Yoki bir vaqtning o'zida ikkalasi ham.) Bilim etishmasligi va (yoki) e'tiborsizlik. Lekin. Bu echiladigan Muammolar.

Bularning barchasi (va yana ko'p!) misollar 555-sonli "Kasrlar" maxsus bo'limida muhokama qilinadi. BILAN batafsil tushuntirishlar nima, nima uchun va qanday. Ushbu tahlil bilim va ko'nikmalar etishmasligi bilan juda ko'p yordam beradi!

Ha, va ikkinchi muammoda nimadir bor.) Juda amaliy maslahat, qanday qilib ko'proq e'tiborli bo'lish kerak. Ha ha! Qo'llash mumkin bo'lgan maslahat har.

Muvaffaqiyat bilim va ehtiyotkorlik bilan bir qatorda, ma'lum bir avtomatiklikni talab qiladi. Qayerdan olsam bo'ladi? Men og‘ir xo‘rsinish eshitaman... Ha, faqat amalda, boshqa joyda yo‘q.

Trening uchun 321start.ru veb-saytiga kirishingiz mumkin. "Sinab ko'ring" variantida hamma uchun 10 ta misol mavjud. Tezkor tekshirish bilan. Ro'yxatdan o'tgan foydalanuvchilar uchun - oddiydan jiddiygacha 34 ta misol. Bu faqat kasrlarda.

Agar sizga bu sayt yoqsa.

Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)

Bu yerda siz misollar yechishda mashq qilishingiz va darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. Keling, o'rganamiz - qiziqish bilan!)

Va bu yerda siz funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.

1-qoida.

Kasrni natural songa ko'paytirish uchun uning hisobini shu songa ko'paytirish kerak va maxrajni o'zgarishsiz qoldirish kerak.

2-qoida.

Kasrni kasrga ko'paytirish uchun:

1. bu kasrlarning sanoqlari va maxrajlarining ko‘paytmasini toping

2. Birinchi hosilani ayiruvchi, ikkinchisini esa maxraj sifatida yozing.

3-qoida.

Aralash sonlarni ko'paytirish uchun siz ularni noto'g'ri kasrlar sifatida yozishingiz kerak, keyin esa kasrlarni ko'paytirish qoidasidan foydalaning.

4-qoida.

Bir kasrni ikkinchi kasrga bo'lish uchun dividendni bo'luvchining o'zaro nisbatiga ko'paytirish kerak.

1-misol.

Hisoblash

2-misol.

Hisoblash

3-misol.

Hisoblash

4-misol.

Hisoblash

Matematika. Boshqa materiallar

Raqamni ratsional darajaga ko'tarish. (

Raqamni tabiiy kuchga ko'tarish. (

Algebraik tengsizliklarni yechishning umumlashtirilgan interval usuli (muallif A.V. Kolchanov)

Algebraik tengsizliklarni yechishda omillarni almashtirish usuli (muallif Kolchanov A.V.)

Bo'linish belgilari (Lungu Alena)

"Oddiy kasrlarni ko'paytirish va bo'lish" mavzusida o'zingizni sinab ko'ring.

Kasrlarni ko'paytirish

Oddiy kasrlarni ko'paytirishni bir nechta mumkin bo'lgan variantlarda ko'rib chiqamiz.

Oddiy kasrni kasrga ko'paytirish

Bu siz quyidagilarni ishlatishingiz kerak bo'lgan eng oddiy holat kasrlarni ko'paytirish qoidalari.

Kimga kasrni kasrga ko'paytiring, zarur:

Numeratorlar va maxrajlarni ko'paytirishdan oldin, kasrlarni qisqartirish mumkinligini tekshiring. Hisoblashda kasrlarni kamaytirish hisob-kitoblaringizni ancha osonlashtiradi.

Kasrni natural songa ko'paytirish

Kasr qilish uchun natural songa ko'paytiring Kasrning numeratorini bu raqamga ko'paytirishingiz kerak va kasrning maxrajini o'zgarishsiz qoldiring.

Agar ko'paytirish noto'g'ri kasrga olib kelsa, uni aylantirganingizga ishonch hosil qiling aralash raqam, ya'ni butun qismni tanlang.

Aralash sonlarni ko'paytirish

Aralash sonlarni ko'paytirish uchun avval ularni noto'g'ri kasrlarga aylantirishingiz kerak, keyin esa oddiy kasrlarni ko'paytirish qoidasiga muvofiq ko'paytirishingiz kerak.

Kasrni natural songa ko'paytirishning yana bir usuli

Ba'zan hisob-kitoblarni amalga oshirishda oddiy kasrni raqamga ko'paytirishning boshqa usulini qo'llash qulayroqdir.

Kasrni natural songa ko'paytirish uchun kasrning maxrajini shu songa bo'lish va hisoblagichni bir xil qoldirish kerak.

Misoldan ko'rinib turibdiki, kasrning maxraji natural songa qoldiqsiz bo'linadigan bo'lsa, qoidaning ushbu versiyasidan foydalanish qulayroqdir.

Kasrni songa bo'lish

Kasrni songa bo'lishning eng tezkor usuli qanday? Keling, nazariyani tahlil qilaylik, xulosa chiqaramiz va misollar yordamida kasrni songa bo'lish yangi qisqa qoida yordamida qanday amalga oshirilishi mumkinligini ko'rib chiqamiz.

Odatda, kasrni songa bo'lish kasrlarni bo'lish qoidasiga amal qiladi. Biz birinchi raqamni (kasr) ikkinchisiga teskari ko'paytiramiz. Ikkinchi son butun son bo'lgani uchun uning teskarisi kasr bo'lib, uning soni birga, maxraji esa berilgan songa teng. Sxematik ravishda kasrni natural songa bo'lish quyidagicha ko'rinadi:

Bundan xulosa qilamiz:

Kasrni songa bo'lish uchun siz maxrajni shu raqamga ko'paytirishingiz va hisoblagichni bir xil qoldirishingiz kerak. Qoidani yanada qisqacha shakllantirish mumkin:

Kasrni songa bo'lishda raqam maxrajga kiradi.

Kasrni songa bo'ling:

Kasrni songa bo'lish uchun hisoblagichni o'zgarmagan holda qayta yozamiz va maxrajni bu raqamga ko'paytiramiz. Biz 6 va 3 ni 3 ga kamaytiramiz.

Kasrni songa bo'lishda biz hisobni qayta yozamiz va maxrajni shu raqamga ko'paytiramiz. 16 va 24 ni 8 ga kamaytiramiz.

Kasrni songa bo'lishda raqam maxrajga kiradi, shuning uchun biz hisobni bir xil qoldiramiz va maxrajni bo'linuvchiga ko'paytiramiz. 21 va 35 ni 7 ga kamaytiramiz.

Kasrlarni ko'paytirish va bo'lish

Oxirgi marta biz kasrlarni qanday qo'shish va ayirishni o'rgandik ("Kasrlarni qo'shish va ayirish" darsiga qarang). Bu harakatlarning eng qiyin qismi kasrlarni umumiy maxrajga keltirish edi.

Endi ko'paytirish va bo'lish bilan shug'ullanish vaqti keldi. Xush habar bu amallar qo'shish va ayirishdan ham oddiyroqdir. Birinchidan, ko'rib chiqaylik eng oddiy holat, ajratilgan butun qismsiz ikkita musbat kasr mavjud bo'lganda.

Ikki kasrni ko'paytirish uchun ularning soni va maxrajlarini alohida ko'paytirish kerak. Birinchi raqam yangi kasrning soni, ikkinchisi esa maxraj bo'ladi.

Ikki kasrni bo'lish uchun birinchi kasrni "teskari" ikkinchi kasrga ko'paytirish kerak.

Ta'rifdan kelib chiqadiki, kasrlarni bo'lish ko'paytirishga kamayadi. Kasrni "aylantirish" uchun faqat hisoblagich va maxrajni almashtiring. Shuning uchun, dars davomida biz asosan ko'paytirishni ko'rib chiqamiz.

Ko'paytirish natijasida kamaytiriladigan kasr paydo bo'lishi mumkin (va ko'pincha paydo bo'ladi) - uni, albatta, kamaytirish kerak. Agar barcha qisqartirishdan so'ng kasr noto'g'ri bo'lib chiqsa, butun qismni ajratib ko'rsatish kerak. Ammo ko'paytirish bilan aniq sodir bo'lmaydigan narsa bu umumiy maxrajga qisqartirish: o'zaro faoliyat usullari, eng katta omillar va eng kichik umumiy ko'paytmalar yo'q.

Vazifa. Ifodaning ma'nosini toping:

Ta'rifga ko'ra bizda:

Kasrlarni butun qismlarga va manfiy kasrlarga ko'paytirish

Agar kasrlarda butun son bo'lsa, ular noto'g'ri bo'lganlarga aylantirilishi kerak va shundan keyingina yuqorida ko'rsatilgan sxemalarga muvofiq ko'paytiriladi.

Agar kasrning sonida, maxrajida yoki uning oldida minus bo'lsa, u quyidagi qoidalarga muvofiq ko'paytmadan chiqarilishi yoki butunlay olib tashlanishi mumkin:

1. Plus minus minus beradi;
2. Ikki salbiy tasdiqlovchini hosil qiladi.

Hozirgacha bu qoidalar faqat qo'shish va ayirishda duch kelgan. manfiy kasrlar butun bir qismdan qutulish kerak bo'lganda. Ish uchun ularni bir vaqtning o'zida bir nechta kamchiliklarni "yoqish" uchun umumlashtirish mumkin:

3. Negativlarni butunlay yo'qolguncha juft-juft qilib kesib tashlaymiz. Haddan tashqari holatlarda bitta minus omon qolishi mumkin - uning turmush o'rtog'i bo'lmagani;
4. Agar minuslar qolmagan bo'lsa, operatsiya yakunlandi - siz ko'paytirishni boshlashingiz mumkin. Agar oxirgi minus chizilmagan bo'lsa, chunki u uchun juftlik yo'q edi, biz uni ko'paytirish chegarasidan tashqariga chiqaramiz. Natijada manfiy kasr hosil bo'ladi.

Biz barcha kasrlarni noto'g'ri bo'lganlarga aylantiramiz va keyin ko'paytirishdan minuslarni olib tashlaymiz. Biz odatdagi qoidalarga muvofiq qolgan narsalarni ko'paytiramiz. Biz olamiz:

Yana bir bor eslatib o'tamanki, ta'kidlangan butun qismi bo'lgan kasr oldida paydo bo'ladigan minus faqat uning butun qismiga emas, balki butun kasrga tegishli (bu oxirgi ikkita misolga tegishli).

Shuningdek, e'tibor bering manfiy raqamlar: Ko'paytirishda ular qavs ichiga olinadi. Bu ko'paytirish belgilaridan minuslarni ajratish va butun yozuvni aniqroq qilish uchun amalga oshiriladi.

Tezda fraksiyalarni kamaytirish

Ko'paytirish - bu juda ko'p mehnat talab qiladigan operatsiya. Bu erda raqamlar juda katta bo'lib chiqdi va muammoni soddalashtirish uchun siz kasrni yanada qisqartirishga harakat qilishingiz mumkin. ko'paytirishdan oldin. Darhaqiqat, mohiyatan kasrlarning sonlari va maxrajlari oddiy omillardir va shuning uchun ularni kasrning asosiy xususiyatidan foydalanib kamaytirish mumkin. Misollarni ko'rib chiqing:

Barcha misollarda qisqartirilgan raqamlar va ulardan qolganlari qizil rang bilan belgilangan.

Iltimos, diqqat qiling: birinchi holda, ko'paytirgichlar to'liq qisqartirildi. Ularning o'rnida, odatda, yozilishi shart bo'lmagan birliklar qoladi. Ikkinchi misolda, to'liq qisqartirishga erishish mumkin emas edi, ammo hisob-kitoblarning umumiy miqdori hali ham kamaydi.

Biroq, kasrlarni qo'shish va ayirishda hech qachon bu usuldan foydalanmang! Ha, ba'zida siz kamaytirmoqchi bo'lgan shunga o'xshash raqamlar mavjud. Mana, qarang:

Siz buni qilolmaysiz!

Xato, chunki qo'shish paytida kasrning numeratori raqamlarning ko'paytmasini emas, balki yig'indini hosil qiladi. Binobarin, kasrning asosiy xususiyatini qo'llash mumkin emas, chunki bu xususiyat sonlarni ko'paytirish bilan bog'liq.

Fraksiyalarni kamaytirish uchun oddiygina boshqa sabablar yo'q, shuning uchun to'g'ri yechim oldingi vazifa quyidagicha ko'rinadi:

Ko'rib turganingizdek, to'g'ri javob unchalik chiroyli emas edi. Umuman olganda, ehtiyot bo'ling.

Kasrlarni bo'lish.

Kasrni natural songa bo'lish.

Kasrni natural songa bo'lish misollari

Natural sonni kasrga bo'lish.

Natural sonni kasrga bo'lish misollari

Oddiy kasrlarning bo'linishi.

Oddiy kasrlarni bo'lish misollari

Aralash sonlarni bo'lish.

Bitta aralash raqamni boshqasiga bo'lish uchun sizga kerak:
• aralash kasrlarni noto'g'ri kasrlarga aylantirish;
• birinchi kasrni ikkinchi kasrga ko'paytiring;
• hosil bo'lgan fraktsiyani kamaytirish;
• Agar siz noto'g'ri kasrni olsangiz, noto'g'ri kasrni aralash kasrga aylantiring.

Aralash sonlarni bo'lish misollari

1 1 2: 2 2 3 = 1 2 + 1 2: 2 3 + 2 3 = 3 2: 8 3 = 3 2 3 8 = 3 3 2 8 = 9 16

2 1 7: 3 5 = 2 7 + 1 7: 3 5 = 15 7: 3 5 = 15 7 5 3 = 15 5 7 3 = 5 5 7 = 25 7 = 7 3 + 4 7 = 3 4 7

Har qanday odobsiz izohlar o'chiriladi va ularning mualliflari qora ro'yxatga olinadi!

OnlineMSchoolga xush kelibsiz.
Mening ismim Dovjik Mixail Viktorovich. Men bu saytning egasi va muallifiman, hammasini yozdim nazariy material, shuningdek, siz matematikani o'rganish uchun foydalanishingiz mumkin bo'lgan onlayn mashqlar va kalkulyatorlarni ishlab chiqdi.

Kasrlar. Kasrlarni ko'paytirish va bo'lish.

Oddiy kasrni kasrga ko'paytirish.

Oddiy kasrlarni ko'paytirish uchun siz hisoblagichni (biz mahsulotning sonini olamiz) va maxrajni maxrajga (biz mahsulotning maxrajini olamiz) ko'paytirishingiz kerak.

Kasrlarni ko'paytirish formulasi:





Numeratorlar va maxrajlarni ko'paytirishni boshlashdan oldin, kasrni kamaytirish mumkinligini tekshirishingiz kerak. Agar siz kasrni kamaytirsangiz, keyingi hisob-kitoblarni amalga oshirish osonroq bo'ladi.

Eslatma! Bu yerda umumiy maxraj izlashning hojati yo'q!!

Oddiy kasrni kasrga bo'lish.

Oddiy kasrni kasrga bo'lish quyidagicha sodir bo'ladi: siz ikkinchi kasrni aylantirasiz (ya'ni, hisob va maxrajni o'zgartirasiz) va shundan keyin kasrlar ko'paytiriladi.

Oddiy kasrlarni bo'lish formulasi:





Kasrni natural songa ko'paytirish.

Eslatma! Kasrni natural songa ko'paytirishda kasrning payi bizning natural sonimizga ko'paytiriladi va kasrning maxraji bir xil bo'ladi. Agar mahsulotning natijasi noto'g'ri kasr bo'lsa, unda noto'g'ri fraktsiyani aralash kasrga aylantirib, butun qismini ajratib ko'rsatishni unutmang.



Natural sonlar ishtirokidagi kasrlarni bo'lish.

Bu ko'rinadigan darajada qo'rqinchli emas. Qo'shishda bo'lgani kabi, biz butun sonni maxrajida bitta bo'lgan kasrga aylantiramiz. Masalan:



Aralash kasrlarni ko'paytirish.

Kasrlarni ko'paytirish qoidalari (aralash):

• aralash kasrlarni noto'g'ri kasrlarga aylantirish;
• kasrlarning son va maxrajlarini ko'paytirish;
• fraktsiyani kamaytirish;
• Agar siz noto'g'ri kasrni olsangiz, unda noto'g'ri kasrni aralash kasrga aylantiramiz.

Eslatma! Ko'paytirish uchun aralash fraktsiya boshqa aralash kasrga, avval ularni noto'g'ri kasrlar shakliga o'tkazishingiz kerak, so'ngra ularni oddiy kasrlarni ko'paytirish qoidasiga muvofiq ko'paytirishingiz kerak.



Kasrni natural songa ko'paytirishning ikkinchi usuli.

Oddiy kasrni songa ko'paytirishning ikkinchi usulini qo'llash qulayroq bo'lishi mumkin.

Eslatma! Kasrni natural songa ko'paytirish uchun kasrning maxrajini shu songa bo'lish va hisoblagichni o'zgarishsiz qoldirish kerak.



Yuqorida keltirilgan misoldan ko'rinib turibdiki, kasrning maxraji natural songa qoldiqsiz bo'linganda bu variantdan foydalanish qulayroqdir.

Ko'p qavatli kasrlar.

O'rta maktabda uch qavatli (yoki undan ko'p) kasrlar tez-tez uchraydi. Misol:

Bunday kasrni odatiy shaklga keltirish uchun 2 nuqtaga bo'linishdan foydalaning:



Eslatma! Kasrlarni bo'lishda bo'linish tartibi juda muhimdir. Ehtiyot bo'ling, bu erda chalkashib ketish oson.

Eslatma, Masalan:

Birni istalgan kasrga bo'lganda, natija bir xil kasr bo'ladi, faqat teskari:

Kasrlarni ko'paytirish va bo'lish bo'yicha amaliy maslahatlar:

1. Kasrli iboralar bilan ishlashda eng muhimi aniqlik va diqqatlilikdir. Barcha hisob-kitoblarni diqqat bilan va aniq, diqqat bilan va aniq bajaring. Aqliy hisob-kitoblarda adashib qolgandan ko‘ra, qoralamaga bir necha qo‘shimcha satr yozgan ma’qul.

2. Har xil turdagi kasrli topshiriqlarda oddiy kasrlar turiga o'ting.

3. Biz barcha fraktsiyalarni kamaytirishning iloji bo'lmaguncha kamaytiramiz.

4. Ko'p darajali kasr ifodalarini 2 nuqtaga bo'lish orqali oddiyga aylantiramiz.

• Past va past qayta ishlangan qo'shiq "Bahor tangosi" (Vaqt keladi - qushlar janubdan uchadi) - musiqa. Valeriy Milyaev Men yetarlicha eshitmadim, tushunmadim, tushunmadim, men taxmin qilmadim, degan ma'noda, barcha fe'llarni ajralmas holda yozdim, nedo prefiksi haqida bilmasdim. Bo'lib turadi, […]
• Sahifalar topilmadi. Uchinchi yakuniy oʻqishda maxsus maʼmuriy hududlarni (SAR) tashkil etishni nazarda tutuvchi Hukumat hujjatlari toʻplami qabul qilindi. Yevropa Ittifoqini tark etish natijasida Buyuk Britaniya Yevropa QQS hududiga kiritilmaydi va [...]
• Qo'shma tergov qo'mitasi kuzda paydo bo'ladi Qo'shma tergov qo'mitasi kuzda paydo bo'ladi Barcha huquq-tartibot idoralari tergovi to'rtinchi urinishda bir tom ostida olib boriladi. …]
• Algoritm uchun patent Algoritm uchun patent qanday ko'rinishda Algoritm uchun patent qanday tayyorlanadi Tayyorgarlik texnik tavsiflar Patent olish uchun maxsus signallarni va/yoki ma'lumotlarni saqlash, qayta ishlash va uzatish usullari odatda hech qanday maxsus qiyinchiliklarni keltirib chiqarmaydi va [...]
• 1993 yil 12 dekabrdagi pensiya to'g'risidagi yangi qonun loyihasi to'g'risida bilish uchun nima muhim RUSSIYA FEDERATSIYASI KONStitutsiyasi (Rossiya Federatsiyasi Konstitutsiyasiga o'zgartirishlar kiritish to'g'risidagi 30-dekabr, № 200-sonli Rossiya Federatsiyasi qonunlari bilan kiritilgan o'zgartirishlarni hisobga olgan holda). FKZ, 2008 yil 30 dekabrdagi N 7-FKZ, […]
• Kunning qahramoni uchun ayolning nafaqasi haqida kulgili ditties, kunning qahramoni uchun erkaklar, xorda ayollar - nafaqaxo'rlarga bag'ishlanish, ayollar uchun qiziqarli bo'ladi : Aziz do'stlar! Hozir bir daqiqa! Sensatsiya! Faqat […]