การวาดภาพสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยม สี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยม: สูตรทั้งหมดและตัวอย่างปัญหา

ปัญหาสี่เหลี่ยมคางหมูดูเหมือนจะไม่ใช่เรื่องยากในหลายๆรูปทรงที่เคยศึกษามาก่อนหน้านี้ ยังไง กรณีพิเศษถือว่าเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยม และเมื่อค้นหาพื้นที่บางครั้งก็สะดวกกว่าที่จะแบ่งออกเป็นสองส่วนที่คุ้นเคยอยู่แล้ว: สี่เหลี่ยมผืนผ้าและสามเหลี่ยม คุณเพียงแค่ต้องคิดสักนิดแล้วคุณจะพบทางแก้ไขอย่างแน่นอน

ความหมายของสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยมและคุณสมบัติของมัน

สี่เหลี่ยมคางหมูตามอำเภอใจมีฐานขนานกัน และด้านข้างสามารถมีมุมใดๆ ก็ได้ หากเราพิจารณาสี่เหลี่ยมคางหมูรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ด้านใดด้านหนึ่งของมันจะตั้งฉากกับฐานเสมอ นั่นคือ มุมสองมุมในนั้นจะเท่ากับ 90 องศา ยิ่งไปกว่านั้น พวกมันยังอยู่ในจุดยอดที่อยู่ติดกันหรืออีกนัยหนึ่งคืออยู่ด้านเดียวกันเสมอ

เส้นทแยงมุมแต่ละเส้นจะก่อตัวเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากโดยมีด้านที่เล็กกว่า และความสูงซึ่งดึงมาจากจุดยอดที่มีมุมป้าน จะแบ่งรูปออกเป็นสองส่วน อันหนึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า และอีกอันเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ว่าแต่ ด้านนี้จะเท่ากับความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูเสมอ

สูตรที่นำเสนอใช้สัญกรณ์อะไรบ้าง

สะดวกในการระบุปริมาณทั้งหมดที่ใช้ในนิพจน์ต่าง ๆ ที่อธิบายรูปสี่เหลี่ยมคางหมูทันทีและนำเสนอในตาราง:

สูตรที่อธิบายองค์ประกอบของสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยม

สิ่งที่ง่ายที่สุดเกี่ยวข้องกับความสูงและด้านที่เล็กกว่า:

สูตรเพิ่มเติมบางประการสำหรับด้านนี้ของสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยม:

с = d *sinα;

c = (a - b) * ตาล α;

ค = √ (ง 2 - (ก - ข) 2)

อันแรกตามมาจาก. สามเหลี่ยมมุมฉาก. และมันบอกว่าขาถึงด้านตรงข้ามมุมฉากให้ไซน์ของมุมตรงข้าม

ในรูปสามเหลี่ยมเดียวกัน ขาที่สองจะเท่ากับผลต่างของฐานทั้งสอง ดังนั้น ข้อความที่เทียบแทนเจนต์ของมุมกับอัตราส่วนของขาจึงเป็นจริง

จากสามเหลี่ยมเดียวกัน สามารถหาสูตรได้จากความรู้เกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส นี่คือสำนวนที่สามที่บันทึกไว้

d = (a - b) /cosα;

d = c / บาป α;

ง = √ (ค 2 + (ก - ข) 2)

สองอันแรกได้มาจากอัตราส่วนของด้านในสามเหลี่ยมมุมฉากเดียวกันอีกครั้ง และอันที่สองได้มาจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส

คุณสามารถใช้สูตรใดในการคำนวณพื้นที่?

อันที่มอบให้กับสี่เหลี่ยมคางหมูฟรี คุณเพียงแค่ต้องคำนึงว่าความสูงคือด้านที่ตั้งฉากกับฐาน

ส = (ก + ข) * ชม. / 2

ปริมาณเหล่านี้ไม่ได้ระบุไว้อย่างชัดเจนเสมอไป ดังนั้นในการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูคุณจะต้องทำการคำนวณทางคณิตศาสตร์บางอย่าง

จะทำอย่างไรถ้าคุณต้องการคำนวณเส้นทแยงมุม?

ในกรณีนี้ คุณต้องเห็นว่าพวกมันประกอบกันเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากสองอัน ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้ตลอดเวลา จากนั้นเส้นทแยงมุมแรกจะแสดงดังนี้:

d1 = √ (ค 2 + ข 2)

หรือวิธีอื่นแทนที่ "c" ด้วย "h":

d1 = √ (ซ 2 + ข 2)

สูตรสำหรับเส้นทแยงมุมที่สองได้มาในลักษณะเดียวกัน:

d2 = √ (ค 2 + ข 2)หรือง 2 = √ (ซ 2 + ก 2)

ภารกิจที่ 1

เงื่อนไข. ทราบพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยมและเท่ากับ 120 dm 2 ความสูงมีความยาว 8 ซม. จำเป็นต้องคำนวณทุกด้านของสี่เหลี่ยมคางหมู เงื่อนไขเพิ่มเติมคือฐานหนึ่งมีขนาดเล็กกว่าอีกฐานหนึ่ง 6 dm

สารละลาย.เนื่องจากเราได้รับสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยมซึ่งทราบความสูง เราจึงสามารถบอกได้ทันทีว่าด้านใดด้านหนึ่งคือ 8 dm ซึ่งก็คือด้านที่เล็กกว่า

ตอนนี้คุณสามารถนับอีกอันได้แล้ว: d = √ (c 2 + (a - b) 2) ยิ่งไปกว่านั้น ที่นี่ให้ทั้งด้าน c และผลต่างของฐานพร้อมกัน ค่าหลังเท่ากับ 6 dm ซึ่งทราบจากสภาวะ จากนั้น d จะเท่ากับรากที่สองของ (64 + 36) นั่นคือของ 100 นี่คือวิธีที่พบด้านอื่น เท่ากับ 10 dm

ผลรวมของฐานหาได้จากสูตรหาพื้นที่ มันจะเท่ากับ 2 เท่าของพื้นที่หารด้วยความสูง หากคุณนับจะได้ 240/8 ซึ่งหมายความว่าผลรวมของฐานคือ 30 dm ในทางกลับกัน ความแตกต่างคือ 6 dm เมื่อรวมสมการเหล่านี้เข้าด้วยกัน คุณจะนับทั้งสองฐานได้:

a + b = 30 และ a - b = 6

คุณสามารถแสดง a (b + 6) ได้ โดยแทนที่มันลงในความเท่าเทียมกันอันแรก แล้วปรากฎว่า 2b จะเท่ากับ 24 ดังนั้น b จะกลายเป็น 12 dm

ด้านสุดท้าย a คือ 18 dm

คำตอบ.ด้านของสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยม: a = 18 dm, b = 12 dm, c = 8 dm, d = 10 dm

ภารกิจที่ 2

เงื่อนไข.ให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยม ด้านเอกเท่ากับผลรวมของฐาน ความสูงยาว 12 ซม. มีการสร้างสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งด้านข้างเท่ากับฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู จำเป็นต้องคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมนี้

สารละลาย.คุณต้องเริ่มต้นด้วยสิ่งที่คุณกำลังมองหา พื้นที่ที่ต้องการถูกกำหนดเป็นผลคูณของ a และ b ไม่ทราบปริมาณทั้งสองนี้

จำเป็นต้องใช้ความเท่าเทียมกันเพิ่มเติม หนึ่งในนั้นเป็นไปตามคำสั่งจากเงื่อนไข: d = a + b จำเป็นต้องใช้สูตรที่สามสำหรับด้านนี้ซึ่งระบุไว้ข้างต้น ปรากฎว่า: d 2 = c 2 + (a - b) 2 หรือ (a + b) 2 = c 2 + (a - b) 2

มีความจำเป็นต้องทำการแปลงโดยการแทนที่ค่า c จากเงื่อนไข - 12 หลังจากเปิดวงเล็บและนำเงื่อนไขที่คล้ายกันมาปรากฎว่า 144 = 4 ab

ในตอนต้นของการแก้ปัญหาว่ากันว่า a*b ให้พื้นที่ที่ต้องการ ดังนั้นในนิพจน์สุดท้าย คุณสามารถแทนที่ผลิตภัณฑ์นี้ด้วย S ได้ การคำนวณอย่างง่ายจะให้ค่าพื้นที่ เอส = 36 ซม. 2.

คำตอบ.พื้นที่ที่ต้องการคือ 36 ซม. 2

ภารกิจที่ 3

เงื่อนไข.พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยมคือ150√3 cm² มุมแหลมคือ 60 องศา มุมระหว่างฐานเล็กกับเส้นทแยงมุมเล็กมีความหมายเหมือนกัน เราจำเป็นต้องคำนวณเส้นทแยงมุมที่เล็กกว่า

สารละลาย.จากคุณสมบัติของมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู ปรากฎว่ามุมป้านของมันคือ 120° จากนั้นเส้นทแยงมุมก็แบ่งมันออกเป็นส่วนเท่าๆ กัน เพราะส่วนหนึ่งมีมุม 60 องศาอยู่แล้ว จากนั้นมุมระหว่างเส้นทแยงมุมนี้กับฐานที่สองก็คือ 60 องศาเช่นกัน นั่นคือรูปสามเหลี่ยมที่เกิดจากฐานขนาดใหญ่ ด้านที่เอียงและด้านทแยงมุมที่เล็กกว่านั้นจะมีด้านเท่ากันหมด ดังนั้นเส้นทแยงมุมที่ต้องการจะเท่ากับ a เช่นเดียวกับด้านด้านข้าง d = a

ตอนนี้เราต้องพิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก มุมที่สามในนั้นคือ 30 องศา ซึ่งหมายความว่าขาที่อยู่ตรงข้ามจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก นั่นคือ ฐานที่เล็กกว่าของสี่เหลี่ยมคางหมูจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของเส้นทแยงมุมที่ต้องการ: b = a/2 จากนั้นคุณจะต้องค้นหาความสูงเท่ากับด้านที่ตั้งฉากกับฐาน ข้างที่มีขาตรงนี้ จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

ค = (ก/2) * √3

ตอนนี้สิ่งที่เหลืออยู่คือการแทนที่ปริมาณทั้งหมดลงในสูตรพื้นที่:

150√3 = (ก + ก/2) * (ก/2 * √3) / 2

การแก้สมการนี้ทำให้ได้รูท 20

คำตอบ.เส้นทแยงมุมที่เล็กกว่ามีความยาว 20 ซม.

เราพบรูปร่างเช่นนี้ในชีวิตค่อนข้างบ่อย ยกตัวอย่างเช่น สะพานใดๆ ก็ตามที่ทำจากคอนกรีตบล็อกก็คือ ตัวอย่างที่สดใส. ตัวเลือกที่ชัดเจนกว่านี้น่าจะเป็น พวงมาลัยทุกคน ยานพาหนะและอื่นๆ คุณสมบัติของร่างนั้นกลับเป็นที่รู้จัก กรีกโบราณ ซึ่งอริสโตเติลได้อธิบายรายละเอียดเพิ่มเติมในงานวิทยาศาสตร์ของเขาเรื่อง "องค์ประกอบ" และความรู้ที่พัฒนาขึ้นเมื่อหลายพันปีก่อนยังคงมีความเกี่ยวข้องอยู่จนทุกวันนี้ ดังนั้นเรามาดูพวกเขากันดีกว่า

ติดต่อกับ

แนวคิดพื้นฐาน

ภาพที่ 1. รูปทรงคลาสสิคสี่เหลี่ยมคางหมู

สี่เหลี่ยมคางหมูโดยพื้นฐานแล้วเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่ประกอบด้วยสองส่วนที่ขนานกันและอีกสองส่วนที่ไม่ขนานกัน เมื่อพูดถึงตัวเลขนี้ จำเป็นต้องจำแนวคิดเช่นฐาน ความสูง และเส้นกึ่งกลางเสมอ ส่วนของรูปสี่เหลี่ยมสองส่วนซึ่งเรียกว่าฐานต่อกัน (ส่วน AD และ BC) ความสูงเป็นส่วนตั้งฉากกับแต่ละฐาน (EH) เช่น ตัดกันที่มุม 90° (ดังแสดงในรูปที่ 1)

หากเรารวมค่าวัดระดับภายในทั้งหมดเข้าด้วยกัน ผลรวมของมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูจะเท่ากับ 2π (360°) เช่นเดียวกับมุมของรูปสี่เหลี่ยมใดๆ ส่วนที่มีปลายเป็นจุดกึ่งกลางของด้านข้าง (IF) เรียกว่าสายกลาง.ความยาวของส่วนนี้คือผลรวมของฐาน BC และ AD หารด้วย 2

มีสามประเภท รูปทรงเรขาคณิต: เส้นตรง สม่ำเสมอ และด้านเท่ากันหมด หากมีมุมอย่างน้อยหนึ่งมุมที่จุดยอดของฐานอยู่ทางด้านขวา (เช่น ถ้า ABD = 90°) รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนดังกล่าวจะเรียกว่าสี่เหลี่ยมคางหมูด้านขวา หากส่วนด้านข้างเท่ากัน (AB และ CD) จะเรียกว่าหน้าจั่ว (ดังนั้นมุมที่ฐานจึงเท่ากัน)

วิธีการหาพื้นที่

สำหรับการที่, เพื่อหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ABCD ใช้สูตรต่อไปนี้:

รูปที่ 2 การแก้ปัญหาการหาพื้นที่

สำหรับข้อมูลเพิ่มเติม ตัวอย่างที่ชัดเจนมาแก้ปัญหาง่ายๆกัน ตัวอย่างเช่น ให้ฐานบนและล่างเป็น 16 และ 44 ซม. ตามลำดับ และด้านเป็น 17 และ 25 ซม. เรามาสร้างส่วนตั้งฉากจากจุดยอด D เพื่อให้ DE II BC (ดังแสดงในรูปที่ 2) จากที่นี่เราได้รับสิ่งนั้น

ให้ DF เป็น. จาก ΔADE (ซึ่งจะเป็นหน้าจั่ว) เราจะได้สิ่งต่อไปนี้:

นั่นก็คือการที่จะใส่มัน ในภาษาง่ายๆอันดับแรกเราพบความสูง ΔADE ซึ่งเป็นความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูด้วย จากที่นี่เราคำนวณพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม ABCD ด้วยสูตรที่ทราบอยู่แล้ว คุณค่าที่ทราบส่วนสูง DF.

ดังนั้น พื้นที่ ABCD ที่ต้องการคือ 450 cm³ นั่นคือเราสามารถพูดได้อย่างมั่นใจว่าตามลำดับ ในการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู คุณเพียงแค่ต้องผลรวมของฐานและความยาวของความสูงเท่านั้น

สำคัญ!เมื่อแก้ไขปัญหาไม่จำเป็นต้องค้นหาค่าความยาวแยกจากกันเป็นที่ยอมรับได้หากใช้พารามิเตอร์อื่นของรูปซึ่งหากมีการพิสูจน์ที่เหมาะสมจะเท่ากับผลรวมของฐาน

ประเภทของสี่เหลี่ยมคางหมู

รูปสี่เหลี่ยมมีสามประเภทขึ้นอยู่กับว่ารูปนั้นมีด้านใดและมุมใดที่สร้างที่ฐาน: สี่เหลี่ยม, ไม่เท่ากันและด้านเท่ากันหมด

อเนกประสงค์

มีสองรูปแบบ: เฉียบพลันและป้าน. ABCD จะรุนแรงก็ต่อเมื่อมุมฐาน (AD) เป็นมุมแหลมและความยาวของด้านต่างกัน ถ้าค่าของมุมหนึ่งมากกว่า Pi/2 (หน่วยวัดองศามากกว่า 90°) เราจะได้มุมป้าน

หากด้านข้างมีความยาวเท่ากัน

รูปที่ 3 มุมมองของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว

ถ้าด้านที่ไม่ขนานกันมีความยาวเท่ากัน ABCD จะเรียกว่าหน้าจั่ว (ปกติ) ยิ่งไปกว่านั้น ในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนั้น องศาของมุมที่ฐานจะเท่ากัน โดยมุมของพวกมันจะน้อยกว่ามุมขวาเสมอ ด้วยเหตุนี้เอง เส้นหน้าจั่วจึงไม่เคยแบ่งออกเป็นมุมแหลมและมุมป้าน รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนของรูปร่างนี้มีความแตกต่างเฉพาะของตัวเอง ซึ่งรวมถึง:

1. ส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดตรงข้ามจะเท่ากัน
2. มุมแหลมที่มีฐานใหญ่กว่าคือ 45° (ตัวอย่างภาพประกอบในรูปที่ 3)
3. ถ้าคุณบวกองศาของมุมตรงข้าม มันจะรวมกันได้ 180°
4. คุณสามารถสร้างสี่เหลี่ยมคางหมูธรรมดาได้
5. หากคุณบวกหน่วยวัดองศาของมุมตรงข้าม มันจะเท่ากับ π

นอกจากนี้เนื่องจากการจัดเรียงจุดทางเรขาคณิตจึงมีอยู่ คุณสมบัติพื้นฐาน สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว :

ค่ามุมที่ฐาน 90°

ความตั้งฉากของด้านข้างของฐานเป็นลักษณะที่กว้างขวางของแนวคิด "สี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยม" ฐานจะมีสองด้านที่มีมุมไม่ได้เพราะไม่อย่างนั้นก็จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าอยู่แล้ว ในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนประเภทนี้ ด้านที่สองจะสร้างมุมแหลมโดยมีฐานใหญ่กว่าเสมอ และมุมป้านจะมีฐานเล็กกว่า ในกรณีนี้ ด้านตั้งฉากจะเป็นความสูงด้วย

ส่วนระหว่างกึ่งกลางของแก้มยาง

ถ้าเราเชื่อมจุดกึ่งกลางของด้านข้างเข้าด้วยกัน และส่วนที่ได้ผลลัพธ์นั้นขนานกับฐานและมีความยาวเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวม ดังนั้นเส้นตรงที่ได้จะเป็นผลลัพธ์ จะเป็นทางสายกลางค่าของระยะทางนี้คำนวณโดยสูตร:

หากต้องการตัวอย่างที่ชัดเจนยิ่งขึ้น ให้พิจารณาปัญหาโดยใช้เส้นกึ่งกลาง

งาน. เส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูคือ 7 ซม. เป็นที่ทราบกันว่าด้านใดด้านหนึ่งใหญ่กว่าอีกด้านหนึ่ง 4 ซม. (รูปที่ 4) หาความยาวของฐาน.

รูปที่ 4 การแก้ปัญหาการหาความยาวของฐาน

สารละลาย. ปล่อยให้ฐาน DC ที่เล็กกว่าเท่ากับ x cm จากนั้นฐานที่ใหญ่กว่าจะเท่ากับ (x+4) cm ตามลำดับ จากตรงนี้ เราได้สูตรสำหรับเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมู:

ปรากฎว่า DC ฐานเล็กกว่าคือ 5 ซม. และอันที่ใหญ่กว่าคือ 9 ซม.

สำคัญ!แนวคิดเรื่องเส้นกึ่งกลางเป็นกุญแจสำคัญในการแก้ปัญหาเรขาคณิตหลายๆ ข้อ ตามคำจำกัดความ มีการสร้างข้อพิสูจน์มากมายสำหรับตัวเลขอื่นๆ การใช้แนวคิดในทางปฏิบัติอาจจะมากกว่านั้น การตัดสินใจที่มีเหตุผลและค้นหาค่าที่ต้องการ

การกำหนดส่วนสูงและวิธีหา

ตามที่ระบุไว้ก่อนหน้านี้ ความสูงเป็นส่วนที่ตัดฐานที่มุม 2Pi/4 และเป็นระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างฐานทั้งสอง ก่อนที่จะหาความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูจำเป็นต้องพิจารณาว่าจะให้ค่าอินพุตใด เพื่อความเข้าใจที่ดีขึ้นเรามาดูปัญหากัน จงหาความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูโดยที่ฐานยาว 8 และ 28 ซม. ด้านข้างยาว 12 และ 16 ซม. ตามลำดับ

รูปที่ 5. การแก้ปัญหาการหาความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู

ให้เราวาดส่วน DF และ CH เป็นมุมฉากกับฐาน AD ตามคำจำกัดความแต่ละส่วนจะมีความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูที่กำหนด (รูปที่ 5) ในกรณีนี้ เมื่อทราบความยาวของผนังแต่ละด้านโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราจะพบว่าความสูงในรูปสามเหลี่ยม AFD และ BHC เท่ากับเท่าใด

ผลรวมของกลุ่ม AF และ HB เท่ากับผลต่างของฐาน เช่น:

ปล่อยให้ความยาว AF เท่ากับ x ซม. จากนั้นความยาวของส่วน HB= (20 – x) ซม. ตามที่ได้ก่อตั้งขึ้น DF=CH จากที่นี่

จากนั้นเราจะได้สมการต่อไปนี้:

ปรากฎว่าส่วน AF ในรูปสามเหลี่ยม AFD เท่ากับ 7.2 ซม. จากที่นี่เราคำนวณความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู DF โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเดียวกัน:

เหล่านั้น. ความสูงของ ADCB สี่เหลี่ยมคางหมูจะเท่ากับ 9.6 ซม. คุณจะแน่ใจได้อย่างไรว่าการคำนวณความสูงเป็นกระบวนการทางกลมากกว่าและขึ้นอยู่กับการคำนวณด้านและมุมของรูปสามเหลี่ยม แต่ในปัญหาเรขาคณิตจำนวนหนึ่ง สามารถทราบได้เฉพาะองศาของมุมเท่านั้น ซึ่งในกรณีนี้จะทำการคำนวณผ่านอัตราส่วนของด้านของรูปสามเหลี่ยมภายใน

สำคัญ!โดยพื้นฐานแล้ว สี่เหลี่ยมคางหมูมักถูกมองว่าเป็นรูปสามเหลี่ยมสองรูป หรือเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าและรูปสามเหลี่ยมรวมกัน เพื่อแก้ปัญหา 90% ของปัญหาทั้งหมดที่พบในหนังสือเรียนของโรงเรียน คุณสมบัติและลักษณะของตัวเลขเหล่านี้ สูตรส่วนใหญ่สำหรับ GMT นี้ได้มาโดยอาศัย "กลไก" สำหรับตัวเลขสองประเภทที่ระบุ

วิธีคำนวณความยาวของฐานอย่างรวดเร็ว

ก่อนที่จะค้นหาฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูจำเป็นต้องพิจารณาว่าพารามิเตอร์ใดที่ได้รับไปแล้วและวิธีใช้อย่างมีเหตุผล วิธีปฏิบัติคือการแยกความยาวของฐานที่ไม่ทราบออกจากสูตรเส้นกึ่งกลาง เพื่อความเข้าใจที่ชัดเจนยิ่งขึ้นของรูปภาพ เรามาใช้งานตัวอย่างเพื่อแสดงว่าสามารถทำได้อย่างไร ให้มันรู้ว่าเส้นกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูคือ 7 ซม. และฐานหนึ่งยาว 10 ซม. จงหาความยาวของฐานที่สอง

วิธีแก้: เมื่อรู้ว่าเส้นกลางเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของฐาน เราสามารถบอกได้ว่าผลรวมของเส้นทั้งสองคือ 14 ซม.

(14 ซม. = 7 ซม. × 2) จากเงื่อนไขของปัญหา เรารู้ว่าหนึ่งในนั้นมีค่าเท่ากับ 10 ซม. ดังนั้นด้านที่เล็กกว่าของสี่เหลี่ยมคางหมูจะเท่ากับ 4 ซม. (4 ซม. = 14 – 10)

นอกจากนี้ เพื่อการแก้ปัญหาประเภทนี้ที่สะดวกสบายยิ่งขึ้น เราขอแนะนำให้คุณเรียนรู้สูตรดังกล่าวอย่างละเอียดจากบริเวณสี่เหลี่ยมคางหมูเช่น:

• เส้นกลาง;
• สี่เหลี่ยม;
• ความสูง;
• เส้นทแยงมุม

เมื่อทราบสาระสำคัญ (สาระสำคัญที่แน่นอน) ของการคำนวณเหล่านี้ คุณสามารถค้นหาค่าที่ต้องการได้อย่างง่ายดาย

วิดีโอ: สี่เหลี่ยมคางหมูและคุณสมบัติของมัน

วิดีโอ: คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมู

บทสรุป

จากตัวอย่างปัญหาที่พิจารณาแล้ว เราสามารถสรุปง่ายๆ ว่ารูปสี่เหลี่ยมคางหมูในแง่ของการคำนวณปัญหา เป็นหนึ่งในตัวเลขที่ง่ายที่สุดในเรขาคณิต ในการแก้ปัญหาให้ประสบความสำเร็จ ประการแรก คุณไม่ควรตัดสินใจว่าข้อมูลใดที่รู้เกี่ยวกับวัตถุที่อธิบาย ในสูตรที่สามารถนำมาใช้ และตัดสินใจว่าคุณต้องการค้นหาอะไร เมื่อปฏิบัติตามอัลกอริธึมง่ายๆ นี้แล้ว ไม่มีงานใดที่ใช้รูปทรงเรขาคณิตนี้จะเป็นเรื่องง่าย

ในบทความนี้เราจะพยายามสะท้อนคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูให้ครบถ้วนที่สุด โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราจะพูดถึงลักษณะทั่วไปและคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมู เช่นเดียวกับคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูที่ถูกจารึกไว้และวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในสี่เหลี่ยมคางหมู เราจะพูดถึงคุณสมบัติของหน้าจั่วและสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยมด้วย

ตัวอย่างการแก้ปัญหาโดยใช้คุณสมบัติที่กล่าวถึงจะช่วยให้คุณจัดเรียงปัญหาลงในหัวและจดจำเนื้อหาได้ดีขึ้น

ราวสำหรับออกกำลังกายและทั้งหมดทั้งหมด

ขั้นแรก ให้เรานึกถึงสั้น ๆ ว่าสี่เหลี่ยมคางหมูคืออะไรและมีแนวคิดอื่นใดที่เกี่ยวข้องกับมัน

ดังนั้น สี่เหลี่ยมคางหมูคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ซึ่งมีด้านสองด้านขนานกัน (นี่คือฐาน) และทั้งสองไม่ขนานกัน - นี่คือด้านข้าง

ในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูสามารถลดความสูงลงได้ - ตั้งฉากกับฐาน มีการวาดเส้นกึ่งกลางและเส้นทแยงมุม นอกจากนี้ยังสามารถวาดเส้นแบ่งครึ่งจากมุมใดก็ได้ของสี่เหลี่ยมคางหมู

ตอนนี้เราจะพูดถึงคุณสมบัติต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับองค์ประกอบเหล่านี้และชุดค่าผสมของมัน

คุณสมบัติของเส้นทแยงมุมสี่เหลี่ยมคางหมู

เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้นในขณะที่คุณกำลังอ่านหนังสือ ให้ร่าง ACME สี่เหลี่ยมคางหมูบนกระดาษแล้ววาดเส้นทแยงมุมลงไป

1. หากคุณพบจุดกึ่งกลางของแต่ละเส้นทแยงมุม (เรียกจุดเหล่านี้ว่า X และ T) แล้วเชื่อมต่อเข้าด้วยกัน คุณจะได้ส่วน คุณสมบัติอย่างหนึ่งของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูคือส่วน HT อยู่บนเส้นกึ่งกลาง และความยาวของมันสามารถหาได้โดยการหารผลต่างของฐานด้วยสอง: HT = (ก – ข)/2.
2. ก่อนหน้าเราคือ ACME สี่เหลี่ยมคางหมูแบบเดียวกัน เส้นทแยงมุมตัดกันที่จุด O ลองดูสามเหลี่ยม AOE และ MOK ที่เกิดขึ้นจากส่วนของเส้นทแยงมุมพร้อมกับฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู สามเหลี่ยมเหล่านี้คล้ายกัน ค่าสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึง k ของรูปสามเหลี่ยมแสดงผ่านอัตราส่วนของฐานของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู: k = AE/กม.
   อัตราส่วนของพื้นที่สามเหลี่ยม AOE และ MOK อธิบายโดยสัมประสิทธิ์ k 2 .
3. สี่เหลี่ยมคางหมูเดียวกันซึ่งมีเส้นทแยงมุมเดียวกันตัดกันที่จุด O เฉพาะคราวนี้เราจะพิจารณาสามเหลี่ยมที่ส่วนของเส้นทแยงมุมประกอบขึ้นพร้อมกับด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมู พื้นที่ของสามเหลี่ยม AKO และ EMO มีขนาดเท่ากัน - พื้นที่เท่ากัน
4. คุณสมบัติอีกประการหนึ่งของสี่เหลี่ยมคางหมูเกี่ยวข้องกับการสร้างเส้นทแยงมุม ดังนั้น หากคุณเดินต่อไปยังด้านข้างของ AK และ ME ในทิศทางของฐานที่เล็กกว่า ไม่ช้าก็เร็ว ทั้งสองจะตัดกันที่จุดใดจุดหนึ่ง จากนั้นให้ลากเส้นตรงผ่านตรงกลางฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู ตัดกันฐานที่จุด X และ T
   หากตอนนี้เราขยายเส้น XT ออกไป มันจะเชื่อมต่อจุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู O ซึ่งเป็นจุดที่ส่วนขยายของด้านข้างและตรงกลางของฐาน X และ T ตัดกัน
5. ผ่านจุดตัดของเส้นทแยงมุม เราจะวาดส่วนที่จะเชื่อมต่อฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู (T อยู่บนฐาน KM ที่เล็กกว่า, X บน AE ที่ใหญ่กว่า) จุดตัดของเส้นทแยงมุมแบ่งส่วนนี้ตามอัตราส่วนต่อไปนี้: ถึง/OX = กม./AE.
6. ตอนนี้ผ่านจุดตัดของเส้นทแยงมุม เราจะวาดส่วนที่ขนานกับฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู (a และ b) จุดตัดจะแบ่งเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน คุณสามารถหาความยาวของส่วนได้โดยใช้สูตร 2ab/(ก + ข).

คุณสมบัติของเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมู

วาดเส้นกลางในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูขนานกับฐาน

1. ความยาวของเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูสามารถคำนวณได้โดยการเพิ่มความยาวของฐานแล้วหารครึ่งหนึ่ง: ม. = (ก + ข)/2.
2. หากคุณวาดส่วนใดๆ (เช่น ความสูง) ผ่านฐานทั้งสองของสี่เหลี่ยมคางหมู เส้นกลางจะแบ่งออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน

คุณสมบัติเส้นแบ่งครึ่งสี่เหลี่ยมคางหมู

เลือกมุมใดก็ได้ของสี่เหลี่ยมคางหมูแล้ววาดเส้นแบ่งครึ่ง ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณามุม KAE ของ ACME สี่เหลี่ยมคางหมูของเรา เมื่อเสร็จสิ้นการก่อสร้างด้วยตัวเองแล้ว คุณสามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายว่าเส้นแบ่งครึ่งตัดออกจากฐาน (หรือต่อเนื่องเป็นเส้นตรงด้านนอกร่าง) ส่วนที่มีความยาวเท่ากับด้านข้าง

คุณสมบัติของมุมสี่เหลี่ยมคางหมู

1. ไม่ว่ามุมสองคู่ใดที่อยู่ติดกับด้านที่คุณเลือก ผลรวมของมุมในคู่นั้นจะเท่ากับ 180 0 เสมอ: α + β = 180 0 และ γ + δ = 180 0
2. ลองเชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูกับส่วน TX ทีนี้ลองดูมุมที่ฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู หากผลรวมของมุมสำหรับมุมใดมุมหนึ่งคือ 90 0 ความยาวของส่วน TX สามารถคำนวณได้อย่างง่ายดายโดยพิจารณาจากความแตกต่างของความยาวของฐานโดยแบ่งออกเป็นครึ่งหนึ่ง: เท็กซัส = (AE – กม.)/2.
3. ถ้าลากเส้นขนานผ่านด้านข้างของมุมสี่เหลี่ยมคางหมู เส้นเหล่านี้จะแบ่งด้านข้างของมุมออกเป็นส่วนตามสัดส่วน

คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว (ด้านเท่ากันหมด)

1. ในสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว มุมที่ฐานใดๆ จะเท่ากัน
2. ตอนนี้สร้างสี่เหลี่ยมคางหมูอีกครั้งเพื่อให้ง่ายต่อการจินตนาการว่าเรากำลังพูดถึงอะไร ดูที่ฐาน AE อย่างละเอียด - จุดยอดของฐานตรงข้าม M ถูกฉายไปยังจุดใดจุดหนึ่งบนเส้นที่มี AE ระยะห่างจากจุดยอด A ถึงจุดฉายภาพของจุดยอด M และเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วนั้นเท่ากัน
3. คำสองสามคำเกี่ยวกับคุณสมบัติของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว - ความยาวเท่ากัน และมุมเอียงของเส้นทแยงมุมเหล่านี้กับฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูก็เหมือนกัน
4. วงกลมสามารถอธิบายได้เฉพาะบริเวณสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วเท่านั้น เนื่องจากผลรวมของมุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือ 180 0 – เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับสิ่งนี้.
5. คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วตามมาจากย่อหน้าที่แล้ว - ถ้าวงกลมสามารถอธิบายได้ใกล้กับสี่เหลี่ยมคางหมู วงกลมนั้นก็คือหน้าจั่ว
6. จากคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วตามคุณสมบัติของความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู: ถ้าเส้นทแยงมุมของมันตัดกันที่มุมฉากความยาวของความสูงจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของฐาน: ชั่วโมง = (ก + ข)/2.
7. อีกครั้ง วาดส่วน TX ผ่านจุดกึ่งกลางของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู - ในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วจะตั้งฉากกับฐาน และในเวลาเดียวกัน TX ก็คือแกนสมมาตรของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว
8. คราวนี้ ลดความสูงจากจุดยอดตรงข้ามของสี่เหลี่ยมคางหมูลงบนฐานที่ใหญ่กว่า (เรียกว่า a) คุณจะได้รับสองส่วน ความยาวของด้านหนึ่งสามารถพบได้หากเพิ่มความยาวของฐานและแบ่งครึ่ง: (ก + ข)/2. เราได้อันที่สองเมื่อเราลบอันที่เล็กกว่าออกจากฐานที่ใหญ่กว่าแล้วหารผลต่างผลลัพธ์ด้วยสอง: (ก – ข)/2.

คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูที่ถูกจารึกไว้ในวงกลม

เนื่องจากเรากำลังพูดถึงสี่เหลี่ยมคางหมูที่ถูกจารึกไว้ในวงกลมอยู่แล้ว เรามาดูรายละเอียดเพิ่มเติมในประเด็นนี้กันดีกว่า โดยเฉพาะบริเวณที่ศูนย์กลางของวงกลมสัมพันธ์กับสี่เหลี่ยมคางหมู ขอแนะนำให้คุณใช้เวลาหยิบดินสอขึ้นมาวาดสิ่งที่จะกล่าวถึงด้านล่างนี้ด้วย วิธีนี้จะทำให้คุณเข้าใจเร็วขึ้นและจดจำได้ดีขึ้น

1. ตำแหน่งของศูนย์กลางของวงกลมถูกกำหนดโดยมุมเอียงของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูไปทางด้านข้าง ตัวอย่างเช่น เส้นทแยงมุมอาจขยายจากด้านบนของสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นมุมฉากไปด้านข้าง ในกรณีนี้ ฐานที่ใหญ่กว่าจะตัดศูนย์กลางของเส้นรอบวงที่อยู่ตรงกลางพอดี (R = ½AE)
2. เส้นทแยงมุมและด้านข้างสามารถบรรจบกันในมุมแหลมได้ ดังนั้นจุดศูนย์กลางของวงกลมจะอยู่ภายในสี่เหลี่ยมคางหมู
3. ศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกกำหนดขอบเขตไว้อาจอยู่นอกสี่เหลี่ยมคางหมู เลยฐานที่ใหญ่กว่า ถ้ามีมุมป้านระหว่างเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูกับด้านข้าง
4. มุมที่เกิดจากเส้นทแยงมุมและฐานขนาดใหญ่ของสี่เหลี่ยมคางหมู ACME (มุมที่ถูกจารึกไว้) คือครึ่งหนึ่งของมุมศูนย์กลางที่สอดคล้องกับมัน: แม่ = ½MOE.
5. สั้นๆ เกี่ยวกับสองวิธีในการค้นหารัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ วิธีที่หนึ่ง: ดูภาพวาดของคุณอย่างละเอียด - คุณเห็นอะไร คุณจะสังเกตเห็นได้ง่ายว่าเส้นทแยงมุมแบ่งสี่เหลี่ยมคางหมูออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูป รัศมีหาได้จากอัตราส่วนของด้านข้างของสามเหลี่ยมต่อไซน์ของมุมตรงข้าม คูณด้วย 2 ตัวอย่างเช่น, R = AE/2*sinAME. ในทำนองเดียวกัน สามารถเขียนสูตรสำหรับด้านใดก็ได้ของสามเหลี่ยมทั้งสอง
6. วิธีที่สอง: ค้นหารัศมีของวงกลมที่จำกัดขอบเขตผ่านพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่เกิดจากเส้นทแยงมุม ด้านข้าง และฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู: R = AM*ฉัน*AE/4*S AME.

คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูที่ล้อมรอบวงกลม

คุณสามารถใส่วงกลมลงในสี่เหลี่ยมคางหมูได้หากตรงตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่ง อ่านเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้ด้านล่าง และการรวมกันของตัวเลขนี้มีคุณสมบัติที่น่าสนใจหลายประการ

1. หากวงกลมเขียนไว้ในสี่เหลี่ยมคางหมู ความยาวของเส้นกึ่งกลางของวงกลมนั้นหาได้ง่ายโดยการบวกความยาวของด้านแล้วหารผลรวมที่ได้เป็นครึ่งหนึ่ง: ม. = (ค + ง)/2.
2. สำหรับ ACME สี่เหลี่ยมคางหมูที่อธิบายเกี่ยวกับวงกลม ผลรวมของความยาวของฐานเท่ากับผลรวมของความยาวของด้าน: AK + ME = กม. + AE.
3. จากคุณสมบัติของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู ข้อความแบบตรงกันข้ามมีดังนี้: วงกลมสามารถเขียนลงในสี่เหลี่ยมคางหมูได้ โดยผลรวมของฐานเท่ากับผลรวมของด้านข้าง
4. จุดสัมผัสของวงกลมที่มีรัศมี r อยู่ในสี่เหลี่ยมคางหมูจะแบ่งด้านออกเป็นสองส่วน เรียกมันว่า a และ b รัศมีของวงกลมสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร: ร = √ab.
5. และทรัพย์สินอีกอย่างหนึ่ง เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสน ให้ยกตัวอย่างนี้ด้วยตนเองด้วย เรามี ACME สี่เหลี่ยมคางหมูแบบเก่าที่ดี ซึ่งอธิบายไว้เป็นวงกลม ประกอบด้วยเส้นทแยงมุมที่ตัดกันที่จุด O สามเหลี่ยม AOK และ EOM ที่เกิดจากส่วนของเส้นทแยงมุมและด้านข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
   ความสูงของรูปสามเหลี่ยมเหล่านี้ ลดลงถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก (เช่น ด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู) ซึ่งตรงกับรัศมีของวงกลมที่เขียนไว้ และความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูตรงกับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้

คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยม

สี่เหลี่ยมคางหมูจะเรียกว่าสี่เหลี่ยมถ้ามุมใดมุมหนึ่งถูกต้อง และคุณสมบัติของมันก็เกิดจากเหตุการณ์นี้

1. สี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยมมีด้านใดด้านหนึ่งตั้งฉากกับฐาน
2. ความสูงและด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมูที่อยู่ติดกัน มุมฉากเท่าเทียมกัน สิ่งนี้ทำให้คุณสามารถคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยม ( สูตรทั่วไป ส = (ก + ข) * ชั่วโมง/2) ไม่เพียงแต่ผ่านความสูงเท่านั้น แต่ยังผ่านด้านที่อยู่ติดกับมุมฉากด้วย
3. สำหรับสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยม คุณสมบัติทั่วไปของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูที่อธิบายไว้ข้างต้นมีความเกี่ยวข้องกัน

หลักฐานแสดงคุณสมบัติบางประการของสี่เหลี่ยมคางหมู

ความเท่าเทียมกันของมุมที่ฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว:

• คุณคงเดาได้แล้วว่าเราจะต้องมีสี่เหลี่ยมคางหมู AKME อีกครั้ง - วาดรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว ลากเส้นตรง MT จากจุดยอด M ขนานกับด้านข้างของ AK (MT || AK)

AKMT รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่ได้จะเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน (AK || MT, KM || AT) เนื่องจาก ME = KA = MT, ∆ MTE คือหน้าจั่ว และ MET = MTE

เอเค || MT ดังนั้น MTE = KAE, MET = MTE = KAE

AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME โดยที่

Q.E.D.

ตอนนี้ จากคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว (ความเท่ากันของเส้นทแยงมุม) เราได้พิสูจน์แล้ว สี่เหลี่ยมคางหมู ACME คือหน้าจั่ว:

• ก่อนอื่น เรามาวาดเส้นตรงกันก่อน MX – MX || เค. เราได้รับสี่เหลี่ยมด้านขนาน KMHE (ฐาน – MX || KE และ KM || EX)

∆AMX คือหน้าจั่ว เนื่องจาก AM = KE = MX และ MAX = MEA

เอ็มเอช || KE, KEA = MXE ดังนั้น MAE = MXE

ปรากฎว่าสามเหลี่ยม AKE และ EMA มีค่าเท่ากัน เนื่องจาก AM = KE และ AE เป็นด้านร่วมของสามเหลี่ยมทั้งสอง และ MAE = MXE ด้วย เราสามารถสรุปได้ว่า AK = ME และจากนี้สรุปได้ว่า AKME สี่เหลี่ยมคางหมูนั้นเป็นหน้าจั่ว

ตรวจสอบงาน

ฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู ACME คือ 9 ซม. และ 21 ซม. ด้านข้าง KA เท่ากับ 8 ซม. สร้างมุม 150 0 โดยมีฐานเล็กกว่า คุณต้องหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู

วิธีแก้ปัญหา: จากจุดยอด K เราลดความสูงลงเหลือฐานที่ใหญ่กว่าของสี่เหลี่ยมคางหมู เรามาเริ่มดูมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูกันดีกว่า

มุม AEM และ KAN มีด้านเดียว ซึ่งหมายความว่าโดยรวมแล้วพวกเขาให้ 180 0 ดังนั้น KAN = 30 0 (ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของมุมสี่เหลี่ยมคางหมู)

ตอนนี้ให้เราพิจารณาสี่เหลี่ยม ∆ANC (ฉันเชื่อว่าประเด็นนี้ชัดเจนสำหรับผู้อ่านโดยไม่มีหลักฐานเพิ่มเติม) จากนั้นเราจะพบความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู KH - ในรูปสามเหลี่ยมคือขาที่อยู่ตรงข้ามกับมุม 30 0 ดังนั้น KH = ½AB = 4 ซม.

เราค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโดยใช้สูตร: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 ซม. 2

คำหลัง

หากคุณศึกษาบทความนี้อย่างรอบคอบและรอบคอบไม่ขี้เกียจเกินไปที่จะวาดสี่เหลี่ยมคางหมูสำหรับคุณสมบัติที่กำหนดทั้งหมดด้วยดินสอในมือและวิเคราะห์ในทางปฏิบัติคุณควรจะเชี่ยวชาญเนื้อหาได้ดี

แน่นอนว่ามีข้อมูลมากมายที่นี่ หลากหลายและบางครั้งก็ทำให้เกิดความสับสน: ไม่ใช่เรื่องยากเลยที่จะสับสนระหว่างคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูที่อธิบายไว้กับคุณสมบัติของสิ่งที่จารึกไว้ แต่คุณเองก็ได้เห็นว่าความแตกต่างนั้นใหญ่มาก

ตอนนี้คุณมีบทสรุปโดยละเอียดทั้งหมดแล้ว คุณสมบัติทั่วไปสี่เหลี่ยมคางหมู ตลอดจนคุณสมบัติและลักษณะเฉพาะของหน้าจั่วและสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยม สะดวกในการใช้เตรียมตัวสอบและสอบ ลองด้วยตัวเองและแชร์ลิงก์กับเพื่อนของคุณ!

blog.site เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มาดั้งเดิม

สมมติว่าจุดอ่อนวิ่งเร็วกว่าเต่าสิบเท่าและตามหลังเต่าไปหนึ่งพันก้าว ในช่วงเวลาที่จุดอ่อนต้องใช้เพื่อวิ่งระยะนี้ เต่าจะคลานไปร้อยขั้นในทิศทางเดียวกัน เมื่ออคิลลีสวิ่งร้อยก้าว เต่าจะคลานไปอีกสิบก้าว ไปเรื่อยๆ กระบวนการนี้จะดำเนินต่อไปอย่างไม่มีที่สิ้นสุด อคิลลีสจะตามเต่าไม่ทัน

เหตุผลนี้สร้างความตกใจให้กับคนรุ่นต่อๆ ไป Aristotle, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... พวกเขาทั้งหมดถือว่า Aporia ของ Zeno ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง ช็อกหนักมากจน” ... การอภิปรายยังคงดำเนินต่อไปจนถึงทุกวันนี้ ชุมชนวิทยาศาสตร์ยังไม่สามารถมีความเห็นร่วมกันเกี่ยวกับสาระสำคัญของความขัดแย้งได้ ... การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีเซต วิธีการทางกายภาพและปรัชญาใหม่ ๆ มีส่วนร่วมในการศึกษาปัญหานี้ ; ไม่มีวิธีใดที่กลายเป็นวิธีแก้ปัญหาที่เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไป..."[วิกิพีเดีย "Aporia ของ Zeno" ทุกคนเข้าใจว่าพวกเขากำลังถูกหลอก แต่ไม่มีใครเข้าใจว่าการหลอกลวงประกอบด้วยอะไร

จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ ฉีโนใน Aporia ของเขาแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงการเปลี่ยนจากปริมาณเป็น การเปลี่ยนแปลงนี้แสดงถึงการใช้งานแทนที่จะเป็นแบบถาวร เท่าที่ฉันเข้าใจ เครื่องมือทางคณิตศาสตร์สำหรับการใช้หน่วยการวัดแบบแปรผันยังไม่ได้รับการพัฒนา หรือไม่ได้นำไปใช้กับ Aporia ของ Zeno การใช้ตรรกะตามปกติของเราจะนำเราเข้าสู่กับดัก เนื่องจากความเฉื่อยของการคิด เราใช้หน่วยเวลาคงที่กับค่าส่วนกลับ จากมุมมองทางกายภาพ ดูเหมือนว่าเวลาจะเดินช้าลงจนกระทั่งหยุดสนิทในขณะที่ Achilles ตามทันเต่า หากเวลาหยุดลง Achilles จะไม่สามารถวิ่งเร็วกว่าเต่าได้อีกต่อไป

ถ้าเราเปลี่ยนตรรกะตามปกติ ทุกอย่างก็เข้าที่ Achilles วิ่งด้วยความเร็วคงที่ แต่ละส่วนต่อมาของเส้นทางของเขาจะสั้นกว่าส่วนก่อนหน้าสิบเท่า ดังนั้นเวลาที่ใช้ในการเอาชนะจึงน้อยกว่าครั้งก่อนถึงสิบเท่า หากเราใช้แนวคิดเรื่อง "อนันต์" ในสถานการณ์นี้ ก็คงจะถูกต้องที่จะพูดว่า "อคิลลีสจะไล่ตามเต่าอย่างรวดเร็วอย่างไม่สิ้นสุด"

จะหลีกเลี่ยงกับดักเชิงตรรกะนี้ได้อย่างไร? คงอยู่ในหน่วยเวลาคงที่และอย่าเปลี่ยนไปใช้หน่วยต่างตอบแทน ในภาษาของ Zeno มีลักษณะดังนี้:

ในเวลาที่อคิลลิสต้องวิ่งพันก้าว เต่าจะคลานไปในทิศทางเดียวกันนับร้อยขั้น ในช่วงเวลาถัดไปเท่ากับช่วงแรก อคิลลีสจะวิ่งอีกพันก้าว และเต่าจะคลานไปหนึ่งร้อยก้าว ตอนนี้อคิลลิสนำหน้าเต่าไปแปดร้อยก้าว

แนวทางนี้อธิบายความเป็นจริงได้อย่างเพียงพอโดยไม่มีความขัดแย้งทางตรรกะใดๆ แต่มันไม่ใช่ โซลูชั่นที่สมบูรณ์ปัญหา. คำกล่าวของไอน์สไตน์เกี่ยวกับความเร็วแสงที่ไม่อาจต้านทานได้นั้นคล้ายคลึงกับเรื่อง "Achilles and the Tortoise" ของ Zeno มาก เรายังต้องศึกษา คิดใหม่ และแก้ไขปัญหานี้ และต้องค้นหาวิธีแก้ปัญหาไม่ใช่ในจำนวนมากไม่สิ้นสุด แต่ต้องค้นหาในหน่วยการวัด

Aporia ที่น่าสนใจอีกประการหนึ่งของ Zeno เล่าเกี่ยวกับลูกศรบิน:

ลูกธนูที่บินอยู่นั้นไม่เคลื่อนที่ เนื่องจากมันจะอยู่นิ่งทุกช่วงเวลา และเนื่องจากมันอยู่นิ่งทุกช่วงเวลา มันจึงอยู่นิ่งอยู่เสมอ

ใน aporia นี้ ความขัดแย้งเชิงตรรกะจะเอาชนะได้ง่ายมาก - ก็เพียงพอที่จะชี้แจงว่าในแต่ละช่วงเวลาลูกศรที่บินอยู่จะหยุดนิ่ง ณ จุดต่าง ๆ ในอวกาศ ซึ่งในความเป็นจริงคือการเคลื่อนไหว ต้องสังเกตอีกประเด็นหนึ่งที่นี่ จากภาพถ่ายของรถยนต์คันหนึ่งบนท้องถนนไม่สามารถระบุข้อเท็จจริงของการเคลื่อนไหวหรือระยะทางได้ ในการตรวจสอบว่ารถยนต์กำลังเคลื่อนที่อยู่หรือไม่ คุณต้องถ่ายภาพสองภาพที่ถ่ายจากจุดเดียวกันและเวลาที่ต่างกัน แต่คุณไม่สามารถระบุระยะห่างจากรถเหล่านั้นได้ ในการกำหนดระยะทางถึงรถยนต์คุณต้องมีภาพถ่ายสองภาพที่ถ่ายจากจุดต่าง ๆ ในอวกาศ ณ จุดใดเวลาหนึ่ง แต่จากภาพถ่ายเหล่านี้คุณไม่สามารถระบุข้อเท็จจริงของการเคลื่อนไหวได้ (แน่นอนว่าคุณยังต้องการข้อมูลเพิ่มเติมสำหรับการคำนวณ ตรีโกณมิติจะช่วยคุณ ). สิ่งที่ฉันต้องการจะชี้ให้เห็น เอาใจใส่เป็นพิเศษคือจุดสองจุดในเวลาและสองจุดในอวกาศเป็นสิ่งที่ต่างกันซึ่งไม่ควรสับสนเนื่องจากให้โอกาสในการวิจัยที่แตกต่างกัน

วันพุธที่ 4 กรกฎาคม 2018

ความแตกต่างระหว่างชุดและหลายชุดมีการอธิบายไว้เป็นอย่างดีในวิกิพีเดีย มาดูกัน.

ดังที่คุณเห็นว่า "ในเซตหนึ่งจะมีองค์ประกอบที่เหมือนกันไม่ได้" แต่หากมีองค์ประกอบที่เหมือนกันในชุดหนึ่ง เซตดังกล่าวจะเรียกว่า "มัลติเซต" สิ่งมีชีวิตที่มีเหตุผลจะไม่มีวันเข้าใจตรรกะที่ไร้สาระเช่นนี้ นี่คือระดับของนกแก้วพูดได้และลิงฝึกหัดที่ไม่มีสติปัญญาจากคำว่า "สมบูรณ์" นักคณิตศาสตร์ทำหน้าที่เป็นผู้ฝึกสอนธรรมดาๆ โดยสั่งสอนแนวคิดที่ไร้สาระของพวกเขาให้เราฟัง

กาลครั้งหนึ่ง วิศวกรผู้สร้างสะพานอยู่ในเรือใต้สะพานขณะทดสอบสะพาน หากสะพานพัง วิศวกรธรรมดาๆ ก็เสียชีวิตภายใต้ซากปรักหักพังที่เขาสร้างขึ้น หากสะพานสามารถรับน้ำหนักได้ วิศวกรผู้มีความสามารถก็สร้างสะพานอื่นขึ้นมา

ไม่ว่านักคณิตศาสตร์จะซ่อนอยู่เบื้องหลังวลีที่ว่า “ไอ้บ้า ฉันอยู่ในบ้าน” หรือค่อนข้างเป็น “คณิตศึกษา” แนวคิดที่เป็นนามธรรม"มีสายสะดือสายหนึ่งที่เชื่อมโยงพวกเขากับความเป็นจริงอย่างแยกไม่ออกสายสะดือนี้คือเงินสมัคร ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ให้กับนักคณิตศาสตร์เอง

เราเรียนคณิตศาสตร์มาเป็นอย่างดี และตอนนี้เรากำลังนั่งอยู่ที่เครื่องคิดเงิน แจกเงินเดือน นักคณิตศาสตร์คนหนึ่งมาหาเราเพื่อเงินของเขา เรานับจำนวนเงินทั้งหมดให้เขาแล้ววางลงบนโต๊ะของเราเป็นกองต่างๆ โดยเราใส่ธนบัตรที่มีสกุลเงินเดียวกัน จากนั้นเราจะหยิบบิลหนึ่งใบจากแต่ละกอง และมอบ "ชุดเงินเดือนทางคณิตศาสตร์" ให้กับนักคณิตศาสตร์ ให้เราอธิบายให้นักคณิตศาสตร์ฟังว่าเขาจะได้รับบิลที่เหลือก็ต่อเมื่อเขาพิสูจน์ว่าเซตที่ไม่มีสมาชิกเหมือนกันจะไม่เท่ากับเซตที่มีสมาชิกเหมือนกัน นี่คือจุดเริ่มต้นของความสนุก

ก่อนอื่น ตรรกะของเจ้าหน้าที่จะได้ผล: “สิ่งนี้ใช้ได้กับผู้อื่น แต่ไม่ใช่กับฉัน!” จากนั้นพวกเขาก็จะเริ่มยืนยันกับเราว่ามีธนบัตรสกุลเดียวกัน ตัวเลขที่แตกต่างกันตั๋วเงินซึ่งหมายความว่าไม่สามารถถือเป็นองค์ประกอบที่เหมือนกันได้ เอาล่ะ เรามานับเงินเดือนเป็นเหรียญกันดีกว่า - ไม่มีตัวเลขบนเหรียญ ที่นี่นักคณิตศาสตร์จะเริ่มจดจำฟิสิกส์อย่างบ้าคลั่ง เหรียญแต่ละเหรียญมีจำนวนดินต่างกัน โครงสร้างผลึกและการจัดเรียงอะตอมไม่ซ้ำกันในแต่ละเหรียญ...

และตอนนี้ฉันมีมากที่สุด สนใจสอบถาม: เส้นตรงที่องค์ประกอบของ multiset กลายเป็นองค์ประกอบของ set และในทางกลับกันอยู่ที่ไหน? ไม่มีเส้นดังกล่าว - ทุกอย่างถูกตัดสินโดยหมอผีวิทยาศาสตร์ไม่ได้ใกล้เคียงกับการโกหกที่นี่ด้วยซ้ำ

ดูนี่. เราคัดเลือกสนามฟุตบอลที่มีพื้นที่สนามเดียวกัน พื้นที่ในทุ่งเหมือนกัน - ซึ่งหมายความว่าเรามีชุดหลายชุด แต่ถ้าเราดูชื่อสนามเดียวกันนี้ เราจะได้หลายชื่อ เพราะชื่อต่างกัน อย่างที่คุณเห็น ชุดองค์ประกอบเดียวกันนั้นเป็นทั้งเซตและมัลติเซต ข้อไหนถูกต้อง? และที่นี่นักคณิตศาสตร์ - หมอผี - นักแม่นปืนดึงเอซออกมาจากแขนเสื้อของเขาและเริ่มบอกเราเกี่ยวกับชุดหรือชุดหลายชุด ไม่ว่าในกรณีใดเขาจะโน้มน้าวเราว่าเขาพูดถูก

เพื่อทำความเข้าใจว่าหมอผียุคใหม่ดำเนินการอย่างไรกับทฤษฎีเซตโดยเชื่อมโยงกับความเป็นจริงก็เพียงพอที่จะตอบคำถามหนึ่งข้อ: องค์ประกอบของชุดหนึ่งแตกต่างจากองค์ประกอบของชุดอื่นอย่างไร ฉันจะแสดงให้คุณเห็น โดยไม่มี "สิ่งที่เป็นไปได้ว่าไม่ใช่ทั้งหมดเดียว" หรือ "ไม่สามารถเป็นไปได้ในภาพรวมเดียว"

วันอาทิตย์ที่ 18 มีนาคม 2018

ผลรวมของตัวเลขคือการเต้นรำของหมอผีกับแทมบูรีนซึ่งไม่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์เลย ใช่ ในบทเรียนคณิตศาสตร์ เราสอนให้ค้นหาผลรวมของตัวเลขแล้วนำไปใช้ แต่นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมพวกเขาถึงเป็นหมอผี เพื่อสอนทักษะและสติปัญญาแก่ลูกหลาน ไม่เช่นนั้นหมอผีก็จะตายไป

คุณต้องการหลักฐานหรือไม่? เปิด Wikipedia แล้วลองค้นหาหน้า "ผลรวมของตัวเลข" เธอไม่มีอยู่จริง ไม่มีสูตรในคณิตศาสตร์ที่สามารถใช้เพื่อค้นหาผลรวมของตัวเลขใดๆ ได้ ท้ายที่สุดแล้วตัวเลขคือสัญลักษณ์กราฟิกที่เราเขียนตัวเลขและในภาษาคณิตศาสตร์งานจะมีลักษณะดังนี้: "ค้นหาผลรวมของสัญลักษณ์กราฟิกที่แสดงถึงตัวเลขใดๆ" นักคณิตศาสตร์ไม่สามารถแก้ปัญหานี้ได้ แต่หมอผีสามารถทำได้ง่ายๆ

เรามาดูกันว่าเราทำอะไรและอย่างไรเพื่อหาผลรวมของตัวเลขที่กำหนด เอาล่ะ เรามีเลข 12345 กัน จะต้องทำอย่างไรจึงจะหาผลรวมของเลขตัวนี้ได้? พิจารณาขั้นตอนทั้งหมดตามลำดับ

1. เขียนหมายเลขลงบนกระดาษ เราทำอะไรไปแล้วบ้าง? เราได้แปลงตัวเลขให้เป็นสัญลักษณ์ตัวเลขแบบกราฟิก นี่ไม่ใช่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์

2. เราตัดรูปภาพผลลัพธ์หนึ่งรูปภาพออกเป็นหลายรูปภาพที่มีตัวเลขแต่ละตัว การตัดภาพไม่ใช่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์

3. แปลงสัญลักษณ์กราฟิกแต่ละรายการให้เป็นตัวเลข นี่ไม่ใช่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์

4. เพิ่มตัวเลขผลลัพธ์ ตอนนี้เป็นคณิตศาสตร์

ผลรวมของตัวเลข 12345 คือ 15 นี่คือ "หลักสูตรการตัดเย็บ" ที่สอนโดยหมอผีที่นักคณิตศาสตร์ใช้ แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด

จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ ไม่สำคัญว่าเราจะเขียนตัวเลขในระบบตัวเลขใด ดังนั้นใน ระบบที่แตกต่างกันในแคลคูลัส ผลรวมของตัวเลขที่มีจำนวนเท่ากันจะต่างกัน ในทางคณิตศาสตร์ ระบบตัวเลขจะแสดงเป็นตัวห้อยทางด้านขวาของตัวเลข กับ จำนวนมาก 12345 ฉันไม่อยากหลอกหัว มาดูหมายเลข 26 จากบทความเกี่ยวกับ ลองเขียนตัวเลขนี้ในระบบเลขฐานสอง ฐานแปด ทศนิยม และเลขฐานสิบหก เราจะไม่มองทุกขั้นตอนด้วยกล้องจุลทรรศน์ แต่เราได้ทำไปแล้ว มาดูผลลัพธ์กันดีกว่า

อย่างที่คุณเห็น ในระบบตัวเลขที่ต่างกัน ผลรวมของตัวเลขของตัวเลขเดียวกันจะแตกต่างกัน ผลลัพธ์นี้ไม่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ เหมือนกับว่าคุณกำหนดพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นเมตรและเซนติเมตร คุณจะได้ผลลัพธ์ที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง

ศูนย์มีลักษณะเหมือนกันในทุกระบบตัวเลขและไม่มีผลรวมของตัวเลข นี่เป็นอีกข้อโต้แย้งที่สนับสนุนความจริงที่ว่า คำถามสำหรับนักคณิตศาสตร์: สิ่งที่ไม่ใช่ตัวเลขที่กำหนดในคณิตศาสตร์เป็นอย่างไร? อะไรนะสำหรับนักคณิตศาสตร์ไม่มีอะไรอยู่เลยนอกจากตัวเลข? ฉันสามารถอนุญาตให้หมอผีทำได้ แต่ไม่ใช่สำหรับนักวิทยาศาสตร์ ความจริงไม่ใช่แค่เกี่ยวกับตัวเลขเท่านั้น

ผลลัพธ์ที่ได้ควรถือเป็นข้อพิสูจน์ว่าระบบตัวเลขเป็นหน่วยวัดของตัวเลข ท้ายที่สุดแล้ว เราไม่สามารถเปรียบเทียบตัวเลขกับหน่วยการวัดที่แตกต่างกันได้ หากการกระทำแบบเดียวกันโดยใช้หน่วยการวัดปริมาณเดียวกันต่างกันทำให้ได้ผลลัพธ์ที่แตกต่างกันหลังจากเปรียบเทียบแล้ว ก็จะไม่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์เลย

คณิตศาสตร์ที่แท้จริงคืออะไร? นี่คือเมื่อผลลัพธ์ของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับขนาดของตัวเลข หน่วยการวัดที่ใช้ และผู้ที่ดำเนินการนี้

โอ้! นี่มันห้องน้ำหญิงไม่ใช่เหรอ?
- หญิงสาว! นี่คือห้องปฏิบัติการสำหรับศึกษาความบริสุทธิ์ของจิตวิญญาณที่ไม่สิ้นสุดระหว่างการขึ้นสู่สวรรค์! รัศมีอยู่ด้านบนและลูกศรขึ้น ห้องน้ำอะไรอีก?

หญิง... รัศมีบนและลูกศรล่างเป็นชาย

หากงานศิลปะการออกแบบดังกล่าวกะพริบต่อหน้าต่อตาคุณหลายครั้งต่อวัน

จึงไม่น่าแปลกใจที่คุณพบไอคอนแปลก ๆ ในรถของคุณ:

โดยส่วนตัวแล้วฉันพยายามเห็นลบสี่องศาในคนเซ่อ (ภาพเดียว) (องค์ประกอบของภาพหลายภาพ: เครื่องหมายลบ, หมายเลขสี่, การกำหนดองศา) และฉันไม่คิดว่าผู้หญิงคนนี้โง่เลย มีความรู้ในวิชาฟิสิกส์. เธอมีทัศนคติที่ชัดเจนในการรับรู้ภาพกราฟิก และนักคณิตศาสตร์ก็สอนเราเรื่องนี้ตลอดเวลา นี่คือตัวอย่าง

1A ไม่ใช่ "ลบสี่องศา" หรือ "หนึ่ง a" นี่คือ "คนขี้" หรือเลข "ยี่สิบหก" ในรูปแบบเลขฐานสิบหก คนเหล่านั้นที่ทำงานในระบบตัวเลขนี้อย่างต่อเนื่องจะรับรู้ตัวเลขและตัวอักษรเป็นสัญลักษณ์กราฟิกเดียวโดยอัตโนมัติ

สี่เหลี่ยมคางหมูเป็นกรณีพิเศษของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนซึ่งมีด้านคู่หนึ่งขนานกัน คำว่า "สี่เหลี่ยมคางหมู" มาจากคำภาษากรีก τράπεζα แปลว่า "โต๊ะ" และ "โต๊ะ" ในบทความนี้เราจะดูประเภทของสี่เหลี่ยมคางหมูและคุณสมบัติของมัน นอกจากนี้ เราจะหาวิธีคำนวณองค์ประกอบแต่ละอย่างของสิ่งนี้ เช่น เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว เส้นกึ่งกลาง พื้นที่ ฯลฯ วัสดุนี้นำเสนอในรูปแบบของเรขาคณิตยอดนิยมระดับประถมศึกษา เช่น ในรูปแบบที่เข้าถึงได้ง่าย .

ข้อมูลทั่วไป

ก่อนอื่น เรามาทำความเข้าใจกันว่ารูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคืออะไร รูปนี้เป็นกรณีพิเศษของรูปหลายเหลี่ยมที่มีด้านสี่ด้านและจุดยอดสี่จุด จุดยอดสองจุดของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่ไม่อยู่ติดกันเรียกว่าตรงกันข้าม สิ่งเดียวกันอาจกล่าวได้สำหรับด้านที่ไม่อยู่ติดกันสองด้าน รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนประเภทหลักๆ ได้แก่ สี่เหลี่ยมด้านขนาน สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน สี่เหลี่ยมคางหมู และเดลทอยด์

ลองกลับไปที่สี่เหลี่ยมคางหมูกัน ดังที่เราได้กล่าวไปแล้ว รูปนี้มีด้านขนานกันสองด้าน พวกเขาเรียกว่าฐาน อีกสองอัน (ไม่ขนานกัน) คือด้านข้าง ในสื่อการสอบและต่างๆ การทดสอบบ่อยครั้งที่คุณจะพบปัญหาที่เกี่ยวข้องกับสี่เหลี่ยมคางหมูซึ่งการแก้ปัญหามักต้องการให้นักเรียนมีความรู้ที่ไม่ได้ระบุไว้ในโปรแกรม หลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียนแนะนำให้นักเรียนรู้จักคุณสมบัติของมุมและเส้นทแยงมุม รวมถึงเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว แต่นอกเหนือจากนี้แล้ว รูปทรงเรขาคณิตที่กล่าวมานี้ยังมีคุณลักษณะอื่นๆ อีกด้วย แต่จะเพิ่มเติมเกี่ยวกับพวกเขาในภายหลัง...

ประเภทของสี่เหลี่ยมคางหมู

ตัวเลขนี้มีหลายประเภท อย่างไรก็ตามส่วนใหญ่มักเป็นเรื่องธรรมดาที่จะต้องพิจารณาสองอันคือหน้าจั่วและสี่เหลี่ยม

1. สี่เหลี่ยมคางหมู- นี่คือรูปที่ด้านใดด้านหนึ่งตั้งฉากกับฐาน มุมทั้งสองของเธอจะเท่ากับเก้าสิบองศาเสมอ

2. สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วคือรูปทรงเรขาคณิตที่มีด้านเท่ากัน ซึ่งหมายความว่ามุมที่ฐานก็เท่ากันเป็นคู่เช่นกัน

หลักการสำคัญของระเบียบวิธีในการศึกษาคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมู

หลักการสำคัญรวมถึงการใช้วิธีการที่เรียกว่างาน โดยพื้นฐานแล้วไม่จำเป็นต้องเข้า หลักสูตรภาคทฤษฎีเรขาคณิตของคุณสมบัติใหม่ของรูปนี้ สามารถค้นพบและกำหนดได้ในกระบวนการแก้ไขปัญหาต่างๆ (โดยเฉพาะระบบ) ในขณะเดียวกันเป็นสิ่งสำคัญมากที่ครูจะต้องรู้ว่าต้องมอบหมายงานใดให้กับนักเรียนในคราวเดียวหรืออย่างอื่นในระหว่างกระบวนการศึกษา ยิ่งไปกว่านั้น คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูแต่ละอย่างสามารถแสดงเป็นงานหลักในระบบงานได้

หลักการที่สองคือองค์กรที่เรียกว่าเกลียวในการศึกษาคุณสมบัติ "โดดเด่น" ของสี่เหลี่ยมคางหมู นี่แสดงถึงการกลับคืนสู่กระบวนการเรียนรู้ไปสู่คุณลักษณะส่วนบุคคลของรูปทรงเรขาคณิตที่กำหนด ช่วยให้นักเรียนจดจำได้ง่ายขึ้น เช่น คุณสมบัติของสี่จุด สามารถพิสูจน์ได้ทั้งเมื่อศึกษาความคล้ายคลึงกันและต่อมาโดยใช้เวกเตอร์ และความสมมูลของรูปสามเหลี่ยมที่อยู่ติดกับด้านข้างของรูปสามารถพิสูจน์ได้โดยใช้ไม่เพียงแต่คุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยมที่มีความสูงเท่ากันที่ลากไปยังด้านที่วางอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน แต่ยังใช้สูตร S = 1/2( ab*ซินα) นอกจากนี้ คุณยังสามารถสร้างสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีเครื่องหมายไว้หรือสามเหลี่ยมมุมฉากบนสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีเครื่องหมายไว้ก็ได้ เป็นต้น

การใช้คุณลักษณะ “โปรแกรมพิเศษ” ของรูปทรงเรขาคณิตในเนื้อหา หลักสูตรของโรงเรียน- นี่คือเทคโนโลยีตามงานสำหรับการสอนพวกเขา การอ้างอิงถึงคุณสมบัติที่กำลังศึกษาอย่างต่อเนื่องในขณะที่อ่านหัวข้ออื่นๆ ช่วยให้นักเรียนได้รับความรู้ที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้นเกี่ยวกับรูปสี่เหลี่ยมคางหมูและรับประกันความสำเร็จในการแก้ปัญหาที่ได้รับมอบหมาย เรามาเริ่มศึกษาตัวเลขที่ยอดเยี่ยมนี้กันดีกว่า

องค์ประกอบและคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว

ดังที่เราได้กล่าวไปแล้ว รูปทรงเรขาคณิตนี้มีด้านเท่ากัน เรียกอีกอย่างว่าสี่เหลี่ยมคางหมูที่ถูกต้อง เหตุใดจึงโดดเด่นและเหตุใดจึงได้ชื่อเช่นนี้? ลักษณะเฉพาะของรูปนี้คือไม่เพียงแต่ด้านข้างและมุมที่ฐานจะเท่ากันเท่านั้น แต่ยังรวมถึงเส้นทแยงมุมด้วย นอกจากนี้ ผลรวมของมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วคือ 360 องศา แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด! ของทั้งหมด สี่เหลี่ยมคางหมูที่มีชื่อเสียงวงกลมสามารถอธิบายได้เฉพาะรอบหน้าจั่วเท่านั้น นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าผลรวมของมุมตรงข้ามของรูปนี้เท่ากับ 180 องศา และภายใต้เงื่อนไขนี้เท่านั้นที่สามารถอธิบายวงกลมรอบรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนได้ คุณสมบัติถัดไปของรูปทรงเรขาคณิตที่พิจารณาคือ ระยะห่างจากจุดยอดของฐานถึงเส้นโครงของจุดยอดตรงข้ามไปยังเส้นตรงที่มีฐานนี้จะเท่ากับเส้นกึ่งกลาง

ทีนี้ เรามาดูวิธีหามุมของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วกัน ให้เราพิจารณาวิธีแก้ปัญหานี้โดยทราบขนาดของด้านข้างของรูป

สารละลาย

โดยทั่วไปรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมักจะแสดงด้วยตัวอักษร A, B, C, D โดยที่ BS และ AD เป็นฐาน ในสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว ด้านข้างจะเท่ากัน เราจะถือว่าขนาดของมันเท่ากับ X และขนาดของฐานเท่ากับ Y และ Z (เล็กกว่าและใหญ่กว่าตามลำดับ) ในการคำนวณ จำเป็นต้องวาดความสูง H จากมุม B ผลลัพธ์ที่ได้คือ ABN สามเหลี่ยมมุมฉาก โดยที่ AB คือด้านตรงข้ามมุมฉาก และ BN และ AN คือขา เราคำนวณขนาดของขา AN: เราลบอันที่เล็กกว่าออกจากฐานที่ใหญ่กว่าแล้วหารผลลัพธ์ด้วย 2 เราเขียนมันในรูปแบบของสูตร: (Z-Y)/2 = F. ตอนนี้เพื่อคำนวณค่าเฉียบพลัน มุมของสามเหลี่ยม เราใช้ฟังก์ชัน cos เราได้รับรายการต่อไปนี้: cos(β) = X/F ตอนนี้เราคำนวณมุม: β=arcos (X/F) นอกจากนี้เมื่อรู้มุมหนึ่งแล้วเราสามารถกำหนดมุมที่สองได้เพราะเหตุนี้เราจึงแสดงระดับประถมศึกษา การดำเนินการทางคณิตศาสตร์: 180 - β. ทุกมุมถูกกำหนดไว้

มีวิธีแก้ไขที่สองสำหรับปัญหานี้ ขั้นแรกเราลดระดับลงจากมุมจนถึงความสูง H เราคำนวณค่าของขา BN เรารู้ว่ากำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา เราได้รับ: BN = √(X2-F2) ต่อไปเราใช้ ฟังก์ชันตรีโกณมิติทีจี เป็นผลให้เราได้: β = arctan (BN/F) พบมุมแหลมแล้ว ต่อไปเราจะกำหนดมันเหมือนกับวิธีแรก

คุณสมบัติของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว

ก่อนอื่น มาเขียนกฎสี่ข้อกันก่อน หากเส้นทแยงมุมในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วตั้งฉากกัน ดังนั้น:

ความสูงของรูปจะเท่ากับผลรวมของฐานหารด้วยสอง

ความสูงและเส้นกึ่งกลางของมันเท่ากัน

จุดศูนย์กลางของวงกลมคือจุดที่ ;

หากด้านด้านข้างถูกหารด้วยจุดสัมผัสเป็นส่วน H และ M ก็จะเท่ากับ รากที่สองผลิตภัณฑ์ของกลุ่มเหล่านี้

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่เกิดจากจุดสัมผัส จุดยอดของสี่เหลี่ยมคางหมูและจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้นั้นเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเท่ากับรัศมี

พื้นที่ของรูปเท่ากับผลคูณของฐานและผลคูณของผลรวมของฐานและความสูงของผลรวมครึ่งหนึ่ง

สี่เหลี่ยมคางหมูที่คล้ายกัน

หัวข้อนี้สะดวกมากในการศึกษาคุณสมบัติของสิ่งนี้ เช่น เส้นทแยงมุมแบ่งรูปสี่เหลี่ยมคางหมูออกเป็นสามเหลี่ยมสี่รูป และรูปที่อยู่ติดกับฐานจะคล้ายกัน และรูปที่อยู่ติดกับด้านข้างจะมีขนาดเท่ากัน ข้อความนี้สามารถเรียกได้ว่าเป็นคุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยมซึ่งมีการหารสี่เหลี่ยมคางหมูด้วยเส้นทแยงมุม ส่วนแรกของข้อความนี้ได้รับการพิสูจน์ผ่านสัญลักษณ์ของความคล้ายคลึงกันในสองมุม เพื่อพิสูจน์ส่วนที่สอง ควรใช้วิธีด้านล่างนี้จะดีกว่า

การพิสูจน์ทฤษฎีบท

เรายอมรับว่ารูป ABSD (AD และ BS เป็นฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู) หารด้วยเส้นทแยงมุม VD และ AC จุดตัดกันคือ O เราได้สามเหลี่ยมสี่อัน: AOS - ที่ฐานล่าง, BOS - ที่ฐานบน, ABO และ SOD ที่ด้านข้าง สามเหลี่ยม SOD และ BOS มีความสูงเท่ากัน หากส่วน BO และ OD เป็นฐาน เราพบว่าความแตกต่างระหว่างพื้นที่ (P) เท่ากับความแตกต่างระหว่างส่วนเหล่านี้: PBOS/PSOD = BO/OD = K ดังนั้น PSOD = PBOS/K ในทำนองเดียวกัน สามเหลี่ยม BOS และ AOB มีความสูงเท่ากัน เราใช้กลุ่ม CO และ OA เป็นฐาน เราได้ PBOS/PAOB = CO/OA = K และ PAOB = PBOS/K จากนี้ไป PSOD = PAOB

ในการรวมวัสดุเข้าด้วยกัน แนะนำให้นักเรียนค้นหาความเชื่อมโยงระหว่างพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่เกิดขึ้นซึ่งสี่เหลี่ยมคางหมูถูกหารด้วยเส้นทแยงมุมโดยการแก้ปัญหาต่อไปนี้ เป็นที่ทราบกันว่าสามเหลี่ยม BOS และ AOD มีพื้นที่เท่ากันจึงจำเป็นต้องค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู เนื่องจาก PSOD = PAOB จึงหมายถึง PABSD = PBOS+PAOD+2*PSOD จากความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยม BOS และ AOD จะได้ว่า BO/OD = √(PBOS/PAOD) ดังนั้น PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD) เราได้ PSOD = √(PBOS*PAOD) จากนั้น PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

คุณสมบัติของความคล้ายคลึงกัน

การพัฒนาหัวข้อนี้อย่างต่อเนื่องสามารถพิสูจน์อย่างอื่นได้ คุณสมบัติที่น่าสนใจสี่เหลี่ยมคางหมู ดังนั้นการใช้ความคล้ายคลึงกันจึงสามารถพิสูจน์คุณสมบัติของส่วนที่ผ่านจุดที่เกิดจากจุดตัดของเส้นทแยงมุมของรูปทรงเรขาคณิตนี้ซึ่งขนานกับฐานได้ เพื่อทำเช่นนี้ เรามาแก้ปัญหาต่อไปนี้: เราจำเป็นต้องค้นหาความยาวของส่วน RK ที่ผ่านจุด O จากความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยม AOD และ BOS จะได้ว่า AO/OS = AD/BS จากความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยม AOP และ ASB จะได้ว่า AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD) จากตรงนี้เราจะได้ RO=BS*BP/(BS+BP) ในทำนองเดียวกัน จากความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยม DOC และ DBS จะได้ว่า OK = BS*AD/(BS+AD) จากตรงนี้ เราจะได้ RO=OK และ RK=2*BS*AD/(BS+AD) ส่วนที่ผ่านจุดตัดของเส้นทแยงมุมขนานกับฐานและเชื่อมต่อด้านข้างทั้งสองข้างจะถูกแบ่งครึ่งตามจุดตัด ความยาวของมันคือค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของฐานของร่าง

ลองพิจารณาดู คุณภาพต่อไปสี่เหลี่ยมคางหมูซึ่งเรียกว่าคุณสมบัติสี่จุด จุดตัดของเส้นทแยงมุม (O) จุดตัดของความต่อเนื่องของด้านข้าง (E) รวมถึงจุดกึ่งกลางของฐาน (T และ F) จะอยู่ในเส้นเดียวกันเสมอ สิ่งนี้สามารถพิสูจน์ได้ง่าย ๆ ด้วยวิธีความคล้ายคลึงกัน ผลลัพธ์ของสามเหลี่ยม BES และ AED จะคล้ายกัน และในแต่ละสามเหลี่ยมนั้น ค่ามัธยฐาน ET และ EJ จะแบ่งมุมยอด E ออกเป็นส่วนเท่าๆ กัน ดังนั้นจุด E, T และ F จึงอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ในทำนองเดียวกัน จุด T, O และ Zh อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ทั้งหมดนี้ตามมาจากความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยม BOS และ AOD จากที่นี่เราสรุปได้ว่าจุดทั้งสี่ - E, T, O และ F - จะอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

เมื่อใช้สี่เหลี่ยมคางหมูที่คล้ายกัน คุณสามารถขอให้นักเรียนหาความยาวของส่วน (LS) ที่แบ่งรูปออกเป็นสองส่วนที่คล้ายกัน ส่วนนี้จะต้องขนานกับฐาน เนื่องจากผลลัพธ์ของสี่เหลี่ยมคางหมู ALFD และ LBSF มีความคล้ายคลึงกัน ดังนั้น BS/LF = LF/AD เป็นไปตามนั้น LF=√(BS*AD) เราพบว่าส่วนที่แบ่งสี่เหลี่ยมคางหมูออกเป็นสองส่วนที่คล้ายกันนั้นมีความยาวเท่ากับค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของความยาวของฐานของรูป

พิจารณาคุณสมบัติความคล้ายคลึงต่อไปนี้ มันขึ้นอยู่กับส่วนที่แบ่งสี่เหลี่ยมคางหมูออกเป็นสองร่างเท่ากัน เราถือว่า ABSD สี่เหลี่ยมคางหมูถูกแบ่งตามส่วน EH ออกเป็นสองส่วนที่คล้ายกัน จากจุดยอด B ความสูงจะถูกละเว้นซึ่งแบ่งตามส่วน EN ออกเป็นสองส่วน - B1 และ B2 เราได้: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 และ PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2 ต่อไป เราจะเขียนระบบที่มีสมการแรกคือ (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2 และสมการที่สอง (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2 เป็นไปตามนั้น B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) และ BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1) เราพบว่าความยาวของส่วนที่แบ่งสี่เหลี่ยมคางหมูออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กันจะเท่ากับค่าเฉลี่ยรากกำลังสองของความยาวของฐาน: √((BS2+AD2)/2)

การค้นพบความคล้ายคลึงกัน

ดังนั้นเราจึงได้พิสูจน์แล้วว่า:

1. ส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมูนั้นขนานกับ AD และ BS และเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ BS และ AD (ความยาวของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู)

2. เส้นที่ผ่านจุด O ของจุดตัดของเส้นทแยงมุมที่ขนานกับ AD และ BS จะเท่ากับค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของตัวเลข AD และ BS (2*BS*AD/(BS+AD))

3. ส่วนที่แบ่งสี่เหลี่ยมคางหมูออกเป็นชิ้นที่คล้ายกันจะมีความยาวของค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของฐาน BS และ AD

4. องค์ประกอบที่แบ่งรูปออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน จะมีความยาวของค่าเฉลี่ยรากกำลังสองของตัวเลข AD และ BS

เพื่อรวมเนื้อหาและทำความเข้าใจความเชื่อมโยงระหว่างส่วนที่พิจารณา นักเรียนจำเป็นต้องสร้างให้เป็นสี่เหลี่ยมคางหมูเฉพาะ เขาสามารถแสดงเส้นกลางและส่วนที่ผ่านจุด O ซึ่งเป็นจุดตัดของเส้นทแยงมุมของรูปได้อย่างง่ายดายขนานกับฐาน แต่ที่สามและสี่จะอยู่ที่ไหน? คำตอบนี้จะนำนักเรียนไปสู่การค้นพบความสัมพันธ์ที่ต้องการระหว่างค่าเฉลี่ย

ส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู

พิจารณาคุณสมบัติของรูปนี้ดังต่อไปนี้ เราถือว่าส่วน MH นั้นขนานกับฐานและแบ่งครึ่งเส้นทแยงมุม เรียกจุดตัดกัน Ш และ Ш ส่วนนี้จะเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลต่างของฐาน ลองดูรายละเอียดเพิ่มเติมนี้ MS คือเส้นกึ่งกลางของสามเหลี่ยม ABS ซึ่งเท่ากับ BS/2 MSH คือเส้นกลางของสามเหลี่ยม ABD มีค่าเท่ากับ AD/2 จากนั้นเราจะได้ ShShch = MSh-MSh ดังนั้น ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2

จุดศูนย์ถ่วง

มาดูกันว่าองค์ประกอบนี้ถูกกำหนดอย่างไรสำหรับรูปทรงเรขาคณิตที่กำหนด ในการทำเช่นนี้จำเป็นต้องขยายฐานไปในทิศทางตรงกันข้าม มันหมายความว่าอะไร? คุณต้องเพิ่มฐานล่างเข้ากับฐานด้านบน - ในทิศทางใดก็ได้เช่นไปทางขวา และเราขยายอันล่างตามความยาวของอันบนไปทางซ้าย ต่อไปเราจะเชื่อมต่อพวกมันในแนวทแยง จุดตัดของส่วนนี้กับเส้นกึ่งกลางของรูปคือจุดศูนย์ถ่วงของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู

สี่เหลี่ยมคางหมูที่จารึกไว้และล้อมรอบ

เราแสดงรายการคุณสมบัติของตัวเลขดังกล่าว:

1. สี่เหลี่ยมคางหมูสามารถเขียนเป็นวงกลมได้เฉพาะในกรณีที่เป็นหน้าจั่วเท่านั้น

2. สี่เหลี่ยมคางหมูสามารถอธิบายได้รอบวงกลม โดยมีเงื่อนไขว่าผลรวมของความยาวของฐานเท่ากับผลรวมของความยาวของด้าน

ข้อพิสูจน์ของวงกลมล้อมรอบ:

1. ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูที่อธิบายไว้จะเท่ากับสองรัศมีเสมอ

2. สังเกตด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมูที่อธิบายไว้จากศูนย์กลางของวงกลมในมุมฉาก

ข้อพิสูจน์ข้อแรกนั้นชัดเจน แต่เพื่อพิสูจน์ข้อที่สอง จำเป็นต้องพิสูจน์ว่ามุม SOD นั้นถูกต้อง ซึ่งในความเป็นจริงก็ไม่ใช่เรื่องยากเช่นกัน แต่ความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัตินี้จะทำให้คุณสามารถใช้สามเหลี่ยมมุมฉากเมื่อแก้ไขปัญหาได้

ตอนนี้ให้เราระบุผลที่ตามมาสำหรับสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วที่จารึกไว้ในวงกลม เราพบว่าความสูงคือค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของฐานของรูป: H=2R=√(BS*AD) ขณะฝึกเทคนิคพื้นฐานในการแก้ปัญหารูปสี่เหลี่ยมคางหมู (หลักการวาดความสูงสองระดับ) ผู้เรียนจะต้องแก้โจทย์ต่อไปนี้ เราถือว่า BT คือความสูงของรูปหน้าจั่ว ABSD จำเป็นต้องค้นหากลุ่ม AT และ TD การใช้สูตรที่อธิบายไว้ข้างต้นจะสามารถทำได้ไม่ยาก

ตอนนี้เรามาดูวิธีการกำหนดรัศมีของวงกลมโดยใช้พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูที่จำกัดขอบเขต เราลดความสูงจากจุดยอด B ลงถึงฐาน AD เนื่องจากวงกลมถูกจารึกไว้ในสี่เหลี่ยมคางหมู ดังนั้น BS+AD = 2AB หรือ AB = (BS+AD)/2 จากสามเหลี่ยม ABN เราจะพบว่า sinα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD) PABSD = (BS+BP)*BN/2, BN=2R. เราได้ PABSD = (BS+BP)*R ซึ่งตามมาด้วย R = PABSD/(BS+BP)

สูตรทั้งหมดสำหรับเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมู

ถึงเวลาที่จะไปยังองค์ประกอบสุดท้ายของรูปทรงเรขาคณิตนี้แล้ว ลองหาว่าเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมู (M) เท่ากับเท่าใด:

1. ผ่านฐาน: M = (A+B)/2

2. ผ่านความสูง ฐาน และมุม:

M = A-H*(ctgα+ctgβ)/2;

M = B+N*(ctgα+ctgβ)/2

3. ผ่านความสูง เส้นทแยงมุม และมุมระหว่างสิ่งเหล่านั้น ตัวอย่างเช่น D1 และ D2 เป็นเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู α, β - มุมระหว่างพวกเขา:

M = D1*D2*sinα/2N = D1*D2*sinβ/2N

4. ผ่านพื้นที่และความสูง: M = P/N