วิธีการคำนวณกำลังเศษส่วน การยกกำลัง กฎเกณฑ์ ตัวอย่าง

คำแนะนำ

ถ้าต้นฉบับให้มาในรูปแบบของเศษส่วนธรรมดา การดำเนินการจะต้องดำเนินการในสองขั้นตอน ลำดับของพวกเขาจะไม่ส่งผลกระทบต่อผลลัพธ์ แต่อย่างใด - เริ่มต้นเช่นโดยการแยกตัวเลขรากของระดับที่ระบุในตัวส่วนของเศษส่วน เช่น เพื่อสร้างภายใน ระดับ⅔ ต้องดึงหมายเลข 64 ในขั้นตอนนี้ออกมา: 64^⅔ = (³√64)² = 4²

เพิ่มมูลค่าที่ได้รับในขั้นตอนแรกเป็น ระดับ, เท่ากับจำนวนยืนอยู่ในตัวเศษของเศษส่วน ผลลัพธ์ของการดำเนินการนี้จะเป็นผลจากการเพิ่มจำนวนให้เป็นเศษส่วน ระดับ. สำหรับตัวอย่างจากขั้นตอนที่แล้ว สามารถเขียนหลักสูตรการคำนวณทั้งหมดได้ดังนี้: 64^⅔ = (³√64)² = 4² = 16

ขึ้นอยู่กับความเรียบง่ายของการคำนวณเมื่อกำหนดลำดับของการดำเนินการข้างต้นในการแยกรูทและสร้างมันขึ้นมา ระดับ. เช่นหากจำเป็นในสิ่งเดียวกัน ระดับ⅔ เมื่อต้องการเพิ่มเลข 8 จากนั้นเริ่มต้นด้วยรากที่สามของ 8 จะเป็น เนื่องจากผลลัพธ์จะเป็นเศษส่วน ในกรณีนี้ ควรเริ่มต้นด้วย 8 กำลังสองดีกว่า จากนั้นหารากที่สามของ 64 แล้วจึงแจกแจงค่าเศษส่วนตรงกลาง: 8^⅔ = ³√(8²) = ³√64 = 4

หากเลขชี้กำลังในข้อมูลต้นฉบับอยู่ในรูปแบบทศนิยม ให้เริ่มต้นด้วยการแปลงเป็น เศษส่วนทั่วไปจากนั้นดำเนินการตามอัลกอริทึมที่อธิบายไว้ข้างต้น เช่น การยกตัวเลขให้ ระดับ 0.75 แปลงรูปนี้เป็นเศษส่วนร่วม 3/4 จากนั้นนำรากที่สี่แล้วยกกำลังสามของผลลัพธ์

ใช้รายการใดก็ได้หากความคืบหน้าของการคำนวณไม่สำคัญ แต่เฉพาะผลลัพธ์เท่านั้นที่สำคัญ นี่อาจเป็นสคริปต์ที่สร้างไว้ในเครื่องมือค้นหาของ Google ด้วยความช่วยเหลือในการค้นหาค่าที่ต้องการนั้นง่ายกว่าการใช้เครื่องคิดเลข Windows OS มาตรฐาน เช่น การยกเลข 15 เป็น ระดับ⅗ ไปที่หน้าหลักของเว็บไซต์แล้วเข้าสู่ช่อง การค้นหา 15^(3/5). Google จะแสดงผลลัพธ์การคำนวณที่แม่นยำถึง 8 ตัวอักษรโดยไม่ต้องกดปุ่มส่ง: 15^(3 / 5) = 5.07755639

แหล่งที่มา:

• วิธียกกำลังเศษส่วน

ระดับ ตัวเลข พูดคุยกันที่โรงเรียนระหว่างเรียนพีชคณิต ในชีวิตจริง การดำเนินการดังกล่าวไม่ค่อยเกิดขึ้น เช่น เมื่อคำนวณพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือปริมาตรของลูกบาศก์ องศาจะใช้เพราะความยาว ความกว้าง และสำหรับลูกบาศก์ความสูงจะมีปริมาณเท่ากัน มิฉะนั้น การยกกำลังมักเป็นลักษณะการผลิตแบบประยุกต์

คุณจะต้องการ

• กระดาษ ปากกา เครื่องคิดเลขทางวิศวกรรม ตารางพลังงาน ผลิตภัณฑ์ซอฟต์แวร์ (เช่น โปรแกรมแก้ไขสเปรดชีต Excel)

คำแนะนำ

เมื่อได้ร่วมงานกับ จำนวนลบคุณต้องระวังป้ายบอกทาง ควรจำไว้ว่ากำลังคู่ (n) จะให้เครื่องหมายบวก ส่วนกำลังคี่จะให้เครื่องหมายบวก
ตัวอย่างเช่น
(-7)^2 = (-7)*(-7) = 49
(-7)^3 = (-7)*(-7)*(-7) = 343

องศาเป็นศูนย์ (n = 0) จากจุดใดก็ได้ ตัวเลขจะเท่ากับหนึ่งเสมอ
15^0 = 1
(-6)^0 = 1
(1/3)^0 = 1 ถ้า n = 1 ก็ไม่จำเป็นต้องคูณจำนวนด้วยตัวมันเอง
จะ
7^1 = 7
329^1 = 329

ถ้า n = 2 องศาจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ถ้า n = 3 องศาจะเรียกว่าลูกบาศก์ การคำนวณกำลังสองและลูกบาศก์จากตัวเลขสิบตัวแรกนั้นค่อนข้างง่าย แต่ด้วยความที่เพิ่มขึ้น ตัวเลขยกกำลังขึ้น และเมื่อพลังเพิ่มขึ้น การคำนวณก็ต้องใช้แรงงานมาก สำหรับการคำนวณดังกล่าว ได้มีการพัฒนาตารางพิเศษขึ้นมา นอกจากนี้ยังมีเครื่องคิดเลขและผลิตภัณฑ์ซอฟต์แวร์ทางวิศวกรรมและออนไลน์แบบพิเศษอีกด้วย เนื่องจากเป็นซอฟต์แวร์ที่ง่ายที่สุดสำหรับการดำเนินงาน คุณสามารถใช้โปรแกรมแก้ไขสเปรดชีต Excel ได้

แหล่งที่มา:

• http://www.bymath.net/studyguide/alg/sec/alg17.html

เมื่อแก้ไขปัญหาทางเทคนิคบางอย่างอาจจำเป็นต้องคำนวณ ราก ที่สาม องศา. บางครั้งตัวเลขนี้เรียกอีกอย่างว่ารากที่สาม ราก ที่สาม องศาจาก หมายเลขที่กำหนดพวกเขาเรียกตัวเลขที่มีลูกบาศก์ (กำลังสาม) เท่ากับจำนวนที่กำหนด นั่นคือถ้าคุณ- ราก ที่สาม องศาหมายเลข x ดังนั้นจะต้องเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้: y?=x (x เท่ากับลูกบาศก์)

คุณจะต้องการ

• เครื่องคิดเลขหรือคอมพิวเตอร์

คำแนะนำ

ที่จะนับ ราก องศาให้ใช้เครื่องคิดเลข เป็นที่พึงประสงค์ว่านี่ไม่ใช่เครื่องคิดเลขธรรมดา แต่เป็นเครื่องคิดเลขที่ใช้สำหรับการคำนวณทางวิศวกรรม อย่างไรก็ตามแม้ในปุ่มนี้คุณจะไม่พบปุ่มพิเศษสำหรับการแยกรูท ที่สาม องศา. ดังนั้นใช้ฟังก์ชันเพื่อเพิ่มจำนวนให้เป็นกำลัง การสกัดราก ที่สาม องศาสอดคล้องกับการยกกำลัง 1/3 (หนึ่งในสาม)

หากต้องการเพิ่มเลขยกกำลัง 1/3 ให้พิมพ์ตัวเลขบนแป้นพิมพ์เครื่องคิดเลข จากนั้นกดปุ่ม “ยกกำลัง” ปุ่มดังกล่าวอาจมีลักษณะเป็น xy (y เป็นตัวยก) ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับประเภทของเครื่องคิดเลข เนื่องจากเครื่องคิดเลขส่วนใหญ่ไม่สามารถทำงานกับตัวเลขธรรมดา (ไม่ใช่ทศนิยม) ได้ แทนที่จะป้อนตัวเลข 1/3 ให้ป้อนค่าโดยประมาณ: 0.33 เพื่อให้ได้ความแม่นยำในการคำนวณมากขึ้น คุณต้องเพิ่มจำนวน "สาม" เช่น กด 0.33333333333333 จากนั้นคลิกปุ่ม “=”

ที่จะนับ ราก ที่สาม องศาเปิด ให้ใช้เครื่องคิดเลข Windows มาตรฐาน ขั้นตอนนี้คล้ายคลึงกับที่อธิบายไว้ในคำแนะนำในย่อหน้าก่อนหน้าโดยสิ้นเชิง สิ่งเดียวคือปุ่มยกกำลัง บนเครื่องคิดเลข “คอมพิวเตอร์” ดูเหมือนว่า x^y

ถ้า ราก ที่สาม องศาหากคุณต้องทำอย่างเป็นระบบให้ใช้ MS Excel ที่จะนับ ราก ที่สาม องศาใน Excel ป้อนเครื่องหมาย “=” ในเซลล์ใดก็ได้ จากนั้นเลือก “fx” - แทรกฟังก์ชัน ในหน้าต่างที่ปรากฏขึ้น ในรายการ "เลือกฟังก์ชัน" ให้เลือกบรรทัด "DEGREE" คลิกปุ่ม "ตกลง" ในหน้าต่างที่เพิ่งปรากฏขึ้นใหม่ ให้ป้อนค่าของตัวเลขที่คุณต้องการแยกในบรรทัด "หมายเลข" ราก. ในบรรทัด "ปริญญา" ป้อนหมายเลข "1/3" แล้วคลิก "ตกลง" ค่าที่ต้องการของรากที่สามของตัวเลขเดิมจะปรากฏในตาราง

ในการคำนวณทางเทคนิคและในการแก้ปัญหาต่าง ๆ บางครั้งก็จำเป็น รากนั่นคือ หาจำนวนที่มีกำลังสามเท่ากับค่าเดิม ในการคำนวณค่าของรากที่สาม เครื่องคิดเลขทางวิศวกรรมก็เพียงพอแล้ว อย่างไรก็ตาม แม้ในเครื่องคิดเลขดังกล่าวก็ไม่มีคีย์พิเศษสำหรับการคำนวณรากที่สาม แต่ด้วยเทคนิคง่ายๆ คุณสามารถทำได้โดยไม่ต้องใช้ปุ่มดังกล่าว

คุณจะต้องการ

• เครื่องคิดเลขทางวิศวกรรมหรือคอมพิวเตอร์

คำแนะนำ

เพื่อที่จะพบว่า รากที่สามใช้เครื่องคิดเลข เอาแบบวิศวกรรมแล้วพิมพ์หมายเลขเดิมลงไป จากนั้นคลิกที่ปุ่มยกกำลัง ตอนนี้ป้อนค่าตัวบ่งชี้ ในกรณีนี้ (ตามทฤษฎี) ควรเท่ากับ 1/3 แต่เนื่องจากมีการใช้เศษส่วนธรรมดาด้วยซ้ำ เครื่องคิดเลขทางวิศวกรรมยากแล้วให้ใส่ค่าปัดเศษของเลข 1/3 คือ 0.33 จากนั้นคลิกที่ปุ่ม “=” ค่าที่ต้องการจะปรากฏบนตัวบ่งชี้เครื่องคิดเลข หากต้องการค่าที่แม่นยำยิ่งขึ้น ให้พิมพ์ไม่ใช่ 2 สามเท่า แต่เช่น 0.333333333333

ในการคำนวณรูทคิวบ์บนคอมพิวเตอร์ของคุณ ให้รันโปรแกรมเครื่องคิดเลข หากไอคอนที่เกี่ยวข้องไม่อยู่บนเดสก์ท็อปของคุณ ให้ดำเนินการดังต่อไปนี้:
- คลิกปุ่ม "เริ่ม";
- เลือกรายการเมนู "เรียกใช้"
- ใส่บรรทัด “calc” ในหน้าต่างที่ปรากฏ หากเครื่องคิดเลขที่ปรากฏบนเดสก์ท็อปมี ดูปกติ(คล้าย “เครื่องคำนวณทางบัญชี”) แล้วสลับเป็นโหมดการคำนวณ หากต้องการทำสิ่งนี้ให้เลือกบรรทัด "มุมมอง" และเลือกรายการ "วิศวกรรม" ตอนนี้ป้อนหมายเลขที่คุณต้องการแยกรูทคิวบ์ จากนั้นกดปุ่ม “x^y” บนเครื่องคิดเลข ถัดไป ให้พิมพ์ เช่น 0.33 เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่แม่นยำยิ่งขึ้น คุณสามารถป้อนค่าเลขชี้กำลังที่สูงขึ้นได้ เช่น 0.333333333333 เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่แม่นยำ ให้ป้อนเลขชี้กำลัง "1/3" ในวงเล็บ นั่นคือกดปุ่ม “(1/3)” อย่างต่อเนื่อง

การคำนวณใน Excel เปิดโปรแกรมเองคลิกปุ่ม "=" และเลือกฟังก์ชัน "DEGREE" จากนั้นใส่หมายเลขที่คุณต้องการแยกรากของเลขยกกำลัง จากนั้นในหน้าต่างถัดไปที่ปรากฏขึ้น ให้พิมพ์เศษส่วน “1/3” แล้วคลิกปุ่ม “ตกลง”

วิดีโอในหัวข้อ

แหล่งที่มา:

• วิธีการคำนวณรากที่สาม

เมื่อแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์และพีชคณิต บางครั้งจำเป็นต้องสร้าง เศษส่วนวี สี่เหลี่ยม. วิธีที่ง่ายที่สุดในการทำเช่นนี้คือเมื่อใด เศษส่วนทศนิยม - เครื่องคิดเลขธรรมดาก็เพียงพอแล้ว อย่างไรก็ตามหาก เศษส่วนธรรมดาหรือผสมแล้วเมื่อเพิ่มจำนวนดังกล่าวเป็น สี่เหลี่ยมความยากลำบากบางอย่างอาจเกิดขึ้น

การสนทนาต่อเกี่ยวกับกำลังของตัวเลข มีเหตุผลที่จะหาวิธีค้นหาค่าของกำลัง กระบวนการนี้เรียกว่า การยกกำลัง. ในบทความนี้ เราจะศึกษาวิธีการยกกำลัง ในขณะที่เราจะกล่าวถึงเลขชี้กำลังที่เป็นไปได้ทั้งหมด - แบบธรรมชาติ จำนวนเต็ม เหตุผล และจำนวนตรรกยะ และตามประเพณีเราจะพิจารณาวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดสำหรับตัวอย่างการเพิ่มจำนวนให้เป็นพลังต่างๆ

การนำทางหน้า

“การยกกำลัง” หมายถึงอะไร?

เริ่มต้นด้วยการอธิบายสิ่งที่เรียกว่าการยกกำลัง นี่คือคำจำกัดความที่เกี่ยวข้อง

คำนิยาม.

การยกกำลัง- นี่คือการหาค่ากำลังของตัวเลข

ดังนั้น การค้นหาค่ากำลังของตัวเลข a ด้วยเลขชี้กำลัง r และการเพิ่มจำนวน a ยกกำลัง r จึงเป็นสิ่งเดียวกัน ตัวอย่างเช่น หากงานคือ "คำนวณค่าของกำลัง (0.5) 5" ก็สามารถจัดรูปแบบใหม่ได้ดังนี้: "เพิ่มจำนวน 0.5 ให้เป็นกำลัง 5"

ตอนนี้คุณสามารถไปที่กฎที่ใช้การยกกำลังได้โดยตรง

การเพิ่มจำนวนให้เป็นพลังธรรมชาติ

ในทางปฏิบัติ มักจะใช้ความเสมอภาคตามในรูปแบบ นั่นคือ เมื่อเพิ่มจำนวน a เป็นเศษส่วน m/n ก่อนอื่นให้นำรากที่ n ของจำนวน a มาใช้ หลังจากนั้นผลลัพธ์ที่ได้จะยกขึ้นเป็นจำนวนเต็มยกกำลัง m

เรามาดูคำตอบของตัวอย่างการเพิ่มกำลังเศษส่วนกัน

ตัวอย่าง.

คำนวณค่าของปริญญา

สารละลาย.

เราจะแสดงวิธีแก้ปัญหาสองประการ

วิธีแรก. โดยนิยามของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน เราคำนวณค่าของดีกรีใต้เครื่องหมายรูท จากนั้นแยกรากที่สาม: .

วิธีที่สอง. ตามคำจำกัดความของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนและขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของราก ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้จะเป็นจริง: . ตอนนี้เราแยกรากออก ในที่สุด เราก็ยกกำลังให้เป็นจำนวนเต็ม .

เห็นได้ชัดว่าผลลัพธ์ที่ได้จากการเพิ่มกำลังเป็นเศษส่วนนั้นเกิดขึ้นพร้อมกัน

คำตอบ:

โปรดทราบว่าเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วนสามารถเขียนเป็นเศษส่วนทศนิยมหรือจำนวนคละได้ ในกรณีนี้ ควรแทนที่เศษส่วนสามัญที่สอดคล้องกัน แล้วยกกำลัง

ตัวอย่าง.

คำนวณ (44.89) 2.5.

สารละลาย.

มาเขียนเลขชี้กำลังในรูปเศษส่วนสามัญ (หากจำเป็น ดูบทความ): . ตอนนี้เราทำการยกกำลังเศษส่วน:

คำตอบ:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

ควรกล่าวด้วยว่าการเพิ่มจำนวนให้เป็นกำลังตรรกยะเป็นกระบวนการที่ใช้แรงงานค่อนข้างมาก (โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อตัวเศษและตัวส่วนของเลขชี้กำลังเศษส่วนมีจำนวนค่อนข้างน้อย ตัวเลขใหญ่) ซึ่งโดยปกติจะดำเนินการโดยใช้เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์

เพื่อสรุปประเด็นนี้ ให้เรามุ่งความสนใจไปที่การเพิ่มเลขศูนย์ให้เป็นกำลังเศษส่วน เราให้ความหมายต่อไปนี้แก่กำลังเศษส่วนของรูปแบบศูนย์: เมื่อเรามี และไม่ได้กำหนดไว้ที่ศูนย์ถึงกำลัง m/n ดังนั้น เลขยกกำลังบวกจากศูนย์ถึงเศษส่วนจะเป็นศูนย์ เช่น . และศูนย์ในกำลังลบที่เป็นเศษส่วนนั้นไม่สมเหตุสมผล เช่น นิพจน์ 0 -4.3 ไม่สมเหตุสมผล

กลายเป็นพลังที่ไม่มีเหตุผล

บางครั้งจำเป็นต้องค้นหาค่ากำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว ในกรณีนี้ เพื่อวัตถุประสงค์ในทางปฏิบัติ โดยปกติแล้วการได้ค่าระดับที่แม่นยำของสัญญาณบางอย่างก็เพียงพอแล้ว ให้เราทราบทันทีว่าค่าในทางปฏิบัตินี้คำนวณโดยใช้เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์อิเล็กทรอนิกส์ตั้งแต่เพิ่มเป็น ir ระดับเหตุผลต้องใช้การคำนวณที่ยุ่งยากมากด้วยตนเอง แต่ยังคงเราจะอธิบายใน โครงร่างทั่วไปแก่นแท้ของการกระทำ

เพื่อให้ได้ค่าประมาณของกำลังของตัวเลข a ที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว จะต้องคำนวณค่าประมาณของเลขชี้กำลังเป็นทศนิยมบางส่วนและคำนวณค่าของกำลัง ค่านี้เป็นค่าโดยประมาณของกำลังของตัวเลข a ที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว ยิ่งการประมาณทศนิยมของตัวเลขมีความแม่นยำมากขึ้นในขั้นต้นเท่าใด ค่าของระดับก็จะยิ่งแม่นยำมากขึ้นเท่านั้น

ตามตัวอย่าง ลองคำนวณค่าประมาณกำลังของ 2 1.174367... . ลองหาค่าประมาณทศนิยมของเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัวดังต่อไปนี้: ตอนนี้เรายกกำลัง 2 ให้เป็นกำลังตรรกยะ 1.17 (เราได้อธิบายสาระสำคัญของกระบวนการนี้ไปแล้วในย่อหน้าก่อนหน้า) เราจะได้ 2 1.17 µ2.250116 ดังนั้น, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . หากเราประมาณทศนิยมที่แม่นยำยิ่งขึ้นของเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว เราก็จะได้ค่าเลขชี้กำลังดั้งเดิมที่แม่นยำยิ่งขึ้น: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

บรรณานุกรม.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburgd S.I. หนังสือเรียนคณิตศาสตร์ ป.5 สถาบันการศึกษา.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. พีชคณิต: หนังสือเรียนสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 สถาบันการศึกษา.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. พีชคณิต: หนังสือเรียนสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 สถาบันการศึกษา.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. พีชคณิต: หนังสือเรียนสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 สถาบันการศึกษา.
• โคลโมโกรอฟ เอ.เอ็น., อับรามอฟ เอ.เอ็ม., ดุดนิตซิน ยู.พี. และอื่น ๆ พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียนสำหรับเกรด 10 - 11 ของสถาบันการศึกษาทั่วไป
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้เข้าโรงเรียนเทคนิค)

เศษส่วนคืออัตราส่วนของตัวเศษต่อตัวส่วน และตัวส่วนต้องไม่เท่ากับศูนย์ และตัวเศษสามารถเป็นอะไรก็ได้

เมื่อเพิ่มเศษส่วนใดๆ ให้เป็นกำลังตามอำเภอใจ เราต้องแยกตัวเศษและส่วนของเศษส่วนให้เป็นกำลังนี้ จากนั้นเราจะต้องนับกำลังเหล่านี้จึงจะได้เศษส่วนที่ยกกำลัง

ตัวอย่างเช่น:

(2/7)^2 = 2^2/7^2 = 4/49

(2 / 3)^3 = (2 / 3) · (2 ​​/ 3) · (2 ​​/ 3) = 2^3 / 3^3

ระดับลบ

หากเรากำลังเผชิญกับ ระดับลบจากนั้นเราต้อง "กลับเศษส่วน" ก่อน จากนั้นจึงยกกำลังตามกฎที่เขียนไว้ด้านบนเท่านั้น

(2/7)^(-2) = (7/2)^2 = 7^2/2^2

ปริญญาจดหมาย

เมื่อทำงานกับค่าตัวอักษรเช่น "x" และ "y" การยกกำลังจะเป็นไปตามกฎเดียวกันกับเมื่อก่อน

เรายังทดสอบตัวเองได้ด้วยการเพิ่มเศษส่วน ½ ยกกำลัง 3 ซึ่งผลลัพธ์ที่ได้คือ ½ * ½ * ½ = 1/8 ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วจะเหมือนกับ

การยกกำลังตามตัวอักษร x^y

การคูณและหารเศษส่วนด้วยยกกำลัง

ถ้าเราคูณเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน ฐานนั้นจะยังคงเหมือนเดิม และเราบวกเลขยกกำลัง หากเราหารองศาด้วยฐานเดียวกัน ฐานขององศาจะยังคงเหมือนเดิม และเลขชี้กำลังขององศาจะถูกลบออก

สิ่งนี้สามารถแสดงได้อย่างง่ายดายด้วยตัวอย่าง:

(3^23)*(3^8)=3^(23+8) = 3^31

(2^4)/(2^3) = 2^(4-3) = 2^1 = 2

เราก็จะได้สิ่งเดียวกันถ้าเราแค่ยกส่วนและเศษเป็นกำลัง 3 และ 4 แยกกัน ตามลำดับ.

การยกเศษส่วนด้วยกำลังหนึ่งไปสู่อีกกำลังหนึ่ง

เมื่อเพิ่มเศษส่วนที่มีอยู่แล้วเป็นยกกำลังอีกครั้ง เราต้องทำการยกกำลังภายในก่อน จากนั้นจึงย้ายไปยังส่วนนอกของการยกกำลัง กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราสามารถคูณกำลังเหล่านี้และเพิ่มเศษส่วนให้เป็นกำลังผลลัพธ์ได้

ตัวอย่างเช่น:

(2^4)^2 = 2^ 4 2 = 2^8

ยกให้เป็นหนึ่ง, รากที่สอง

เราต้องไม่ลืมด้วยว่าการเพิ่มเศษส่วนใดๆ ให้เป็นศูนย์จะทำให้เราได้ 1 เช่นเดียวกับตัวเลขอื่นๆ เมื่อยกกำลังเท่ากับศูนย์ เราก็จะได้ 1

รากที่สองธรรมดาสามารถแสดงเป็นกำลังของเศษส่วนได้

รากที่สอง 3 = 3^(1/2)

หากเรากำลังเผชิญกับ รากที่สองภายใต้ตำแหน่งเศษส่วนนั้นเราสามารถจินตนาการถึงเศษส่วนนี้ในตัวเศษซึ่งจะมีรากที่สองของระดับที่ 2 (เนื่องจากเป็นรากที่สอง)

และตัวส่วนก็จะมีรากที่สองด้วย เช่น กล่าวอีกนัยหนึ่งเราจะเห็นความสัมพันธ์ของรากทั้งสองซึ่งอาจเป็นประโยชน์ในการแก้ปัญหาและตัวอย่างบางส่วน

ถ้าเรายกเศษส่วนที่อยู่ใต้รากที่สองยกกำลัง 2 เราก็จะได้เศษส่วนเท่ากัน

ผลคูณของเศษส่วนทั้งสองที่มีกำลังเท่ากันจะเท่ากับผลคูณของเศษส่วนทั้งสองนี้ ซึ่งแต่ละเศษส่วนจะแยกกันภายใต้กำลังของมันเอง

ข้อควรจำ: คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้!

นอกจากนี้อย่าลืมโน้ตที่สำคัญมากสำหรับเศษส่วน เช่น ตัวส่วนไม่ควรเท่ากับศูนย์ ในอนาคต ในหลายสมการ เราจะใช้ข้อจำกัดนี้ที่เรียกว่า ODZ ซึ่งเป็นช่วงของค่าที่อนุญาต

เมื่อเปรียบเทียบเศษส่วนสองตัวที่มีฐานเดียวกันแต่ องศาที่แตกต่างกันยิ่งมากเท่าไรก็จะเป็นเศษส่วนที่มีดีกรีมากกว่า และยิ่งน้อยก็คือเศษส่วนที่มีดีกรีน้อยกว่า ถ้าไม่เพียงแต่ฐานเท่านั้น แต่ยังมีดีกรีเท่ากันด้วย เศษส่วนก็ถือว่าเท่ากัน

บทเรียนจะพิจารณาการคูณเศษส่วนในรูปแบบทั่วไปมากขึ้น - การยกกำลัง ก่อนอื่น เราจะพูดถึงพลังธรรมชาติของเศษส่วนและตัวอย่างที่แสดงให้เห็นการดำเนินการที่คล้ายกันกับเศษส่วน ในตอนต้นของบทเรียน เราจะทบทวนการเพิ่มการแสดงออกทั้งหมดสู่พลังธรรมชาติ และดูว่าสิ่งนี้จะมีประโยชน์ในการแก้ตัวอย่างเพิ่มเติมอย่างไร

หัวข้อ: เศษส่วนพีชคณิต. การดำเนินการทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับเศษส่วนพีชคณิต

บทเรียน: การยกเศษส่วนพีชคณิตให้เป็นกำลัง

1. กฎสำหรับการยกเศษส่วนและสำนวนทั้งหมดให้เป็นพลังธรรมชาติพร้อมตัวอย่างเบื้องต้น

กฎเกณฑ์สำหรับการก่อสร้างแบบธรรมดาและ เศษส่วนพีชคณิตในประเภท:

คุณสามารถวาดความคล้ายคลึงกับระดับของการแสดงออกทั้งหมดและจดจำความหมายของการยกกำลัง:

ตัวอย่างที่ 1 .

ดังที่เห็นได้จากตัวอย่าง การยกเศษส่วนเป็นกำลังคือ กรณีพิเศษการคูณเศษส่วนซึ่งศึกษาในบทเรียนที่แล้ว

ตัวอย่างที่ 2. ก) , ข) - เครื่องหมายลบหายไปเพราะเรายกระดับการแสดงออกให้มีพลังสม่ำเสมอ

เพื่อความสะดวกในการทำงานกับองศา ให้เรานึกถึงกฎพื้นฐานสำหรับการยกระดับเป็นระดับธรรมชาติ:

- ผลิตภัณฑ์แห่งอำนาจ

- การแบ่งองศา

การยกระดับขึ้นสู่ระดับ;

ระดับของผลิตภัณฑ์

ตัวอย่างที่ 3 - เรารู้สิ่งนี้จากหัวข้อ "การยกกำลังของนิพจน์ทั้งหมด" ยกเว้นกรณีเดียว: ไม่มีอยู่จริง

2. ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดในการยกเศษส่วนพีชคณิตให้เป็นพลังธรรมชาติ

ตัวอย่างที่ 4 ยกเศษส่วนเป็นยกกำลัง

สารละลาย. เมื่อยกกำลังให้เท่ากัน เครื่องหมายลบจะหายไป:

ตัวอย่างที่ 5 ยกเศษส่วนเป็นกำลัง

สารละลาย. ตอนนี้เราใช้กฎเพื่อเพิ่มระดับเป็นพลังทันทีโดยไม่มีกำหนดการแยกต่างหาก:

.

ตอนนี้เรามาดูปัญหารวมกันซึ่งเราจะต้องยกเศษส่วนยกกำลัง คูณและหารมัน

ตัวอย่างที่ 6 ดำเนินการ

สารละลาย. . ต่อไปคุณจะต้องลดขนาดลง ให้เราอธิบายรายละเอียดอีกครั้งว่าเราจะทำอย่างไร จากนั้นเราจะระบุผลลัพธ์ทันทีโดยการเปรียบเทียบ: . ในทำนองเดียวกัน (หรือตามหลักการแบ่งอำนาจ) เรามี: .

ตัวอย่างที่ 7 ดำเนินการ

สารละลาย. . การลดลงนี้ดำเนินการโดยการเปรียบเทียบกับตัวอย่างที่กล่าวถึงข้างต้น

ตัวอย่างที่ 8 ดำเนินการ

สารละลาย. . ใน ในตัวอย่างนี้เราได้อธิบายรายละเอียดเพิ่มเติมอีกครั้งเกี่ยวกับกระบวนการลดกำลังเป็นเศษส่วนเพื่อรวมวิธีนี้

3. ตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้นในการยกเศษส่วนพีชคณิตเป็นพลังธรรมชาติ (โดยคำนึงถึงเครื่องหมายบัญชีและเงื่อนไขในวงเล็บ)

ตัวอย่างที่ 9: ดำเนินการ .

สารละลาย. ในตัวอย่างนี้ เราจะข้ามการคูณเศษส่วนที่แยกจากกันไปแล้ว และใช้กฎในการคูณเศษส่วนทันทีและเขียนไว้ด้วยตัวส่วนเดียว ในเวลาเดียวกันเราปฏิบัติตามสัญญาณ - ในกรณีนี้เศษส่วนจะถูกยกกำลังให้เป็นเลขคู่ดังนั้นเครื่องหมายลบจึงหายไป ในตอนท้ายเราจะดำเนินการลดขนาด

ตัวอย่างที่ 10: ดำเนินการ .

สารละลาย. ในตัวอย่างนี้ มีการหารเศษส่วน โปรดจำไว้ว่าในกรณีนี้เศษส่วนแรกจะคูณด้วยเศษส่วนที่สอง แต่จะกลับด้าน

เราหาได้ว่าจริงๆ แล้วกำลังของจำนวนคืออะไร ตอนนี้เราต้องเข้าใจวิธีคำนวณให้ถูกต้องเช่น ยกตัวเลขขึ้นสู่อำนาจ ในเนื้อหานี้ เราจะวิเคราะห์กฎพื้นฐานสำหรับการคำนวณองศาในกรณีของเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม ธรรมชาติ เศษส่วน ตรรกยะ และอตรรกยะ คำจำกัดความทั้งหมดจะแสดงพร้อมตัวอย่าง

ยานเดกซ์RTB R-A-339285-1

แนวคิดเรื่องการยกกำลัง

เริ่มต้นด้วยการกำหนดคำจำกัดความพื้นฐาน

คำจำกัดความ 1

การยกกำลัง- นี่คือการคำนวณค่ากำลังของจำนวนหนึ่ง

นั่นคือคำว่า “การคำนวณมูลค่าของพลัง” และ “การเพิ่มพลัง” มีความหมายเดียวกัน ดังนั้น หากปัญหาบอกว่า “ยกเลข 0, 5 ให้เป็นกำลังที่ห้า” ควรเข้าใจว่าเป็น “การคำนวณค่าของกำลัง (0, 5) 5

ตอนนี้เรานำเสนอกฎพื้นฐานที่ต้องปฏิบัติตามเมื่อทำการคำนวณดังกล่าว

จำไว้ว่ากำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติเป็นเท่าใด สำหรับกำลังที่มีฐาน a และเลขชี้กำลัง n นี่จะเป็นผลคูณของตัวประกอบจำนวนที่ n ซึ่งแต่ละตัวจะเท่ากับ a สิ่งนี้สามารถเขียนได้ดังนี้:

ในการคำนวณค่าของดีกรี คุณต้องทำการคูณ นั่นคือ คูณฐานของดีกรีด้วยจำนวนครั้งที่ระบุ แนวคิดเรื่องปริญญาที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาตินั้นขึ้นอยู่กับความสามารถในการคูณอย่างรวดเร็ว ลองยกตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1

เงื่อนไข: เพิ่ม - 2 ยกกำลัง 4

สารละลาย

จากนิยามข้างต้น เราเขียนว่า: (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) ต่อไปเราแค่ต้องทำตามขั้นตอนเหล่านี้และรับ 16

ลองยกตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้น

ตัวอย่างที่ 2

คำนวณค่า 3 2 7 2

สารละลาย

รายการนี้สามารถเขียนใหม่เป็น 3 2 7 · 3 2 7 ก่อนหน้านี้ เราดูวิธีการคูณตัวเลขคละที่กล่าวถึงในเงื่อนไขอย่างถูกต้อง

มาทำตามขั้นตอนเหล่านี้แล้วได้คำตอบ: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

หากปัญหาบ่งชี้ถึงความจำเป็นในการยกจำนวนอตรรกยะให้เป็นกำลังธรรมชาติ เราจะต้องปัดฐานของพวกมันให้เป็นตัวเลขที่จะทำให้เราได้คำตอบที่มีความแม่นยำที่ต้องการ ลองดูตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 3

ดำเนินการกำลังสองของ π

สารละลาย

ก่อนอื่น ปัดให้เป็นร้อยก่อน จากนั้น π 2 data (3, 14) 2 = 9, 8596 ถ้า π γ 3 14159 เราจะได้ผลลัพธ์ที่แม่นยำยิ่งขึ้น: π 2 data (3, 14159) 2 = 9, 8695877281

โปรดทราบว่าความจำเป็นในการคำนวณกำลังของจำนวนอตรรกยะนั้นเกิดขึ้นได้ยากในทางปฏิบัติ จากนั้นเราสามารถเขียนคำตอบเป็นกำลัง (ln 6) 3 เอง หรือแปลงถ้าเป็นไปได้: 5 7 = 125 5

ควรระบุแยกกันว่ากำลังแรกของตัวเลขคืออะไร ที่นี่คุณเพียงจำไว้ว่าตัวเลขใดๆ ที่ถูกยกกำลัง 1 จะยังคงอยู่โดยตัวมันเอง:

ชัดเจนจากบันทึกนี้ .

มันไม่ได้ขึ้นอยู่กับพื้นฐานของปริญญา

ตัวอย่างที่ 4

ดังนั้น (− 9) 1 = − 9 และ 7 3 ยกกำลังแรกจะยังคงเท่ากับ 7 3

เพื่อความสะดวก เราจะพิจารณาสามกรณีแยกกัน: ถ้าเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก ถ้าเป็นศูนย์ และถ้าเป็นจำนวนเต็มลบ

ในกรณีแรก ก็เหมือนกับการเพิ่มกำลังธรรมชาติ เพราะท้ายที่สุดแล้ว จำนวนเต็มบวกจะอยู่ในเซตของจำนวนธรรมชาติ เราได้พูดคุยไปแล้วข้างต้นเกี่ยวกับวิธีการทำงานกับระดับดังกล่าว

ตอนนี้เรามาดูวิธีการเพิ่มกำลังเป็นศูนย์อย่างถูกต้อง สำหรับฐานอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์ การคำนวณนี้จะให้ผลลัพธ์เป็น 1 เสมอ ก่อนหน้านี้เราได้อธิบายไปแล้วว่ากำลัง 0 ของ a สามารถกำหนดให้กับจำนวนจริงใดๆ ที่ไม่เท่ากับ 0 และ 0 = 1

ตัวอย่างที่ 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - ไม่ได้กำหนดไว้

เหลือเพียงกรณีของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังลบจำนวนเต็ม เราได้คุยกันไปแล้วว่าองศาดังกล่าวสามารถเขียนเป็นเศษส่วน 1 az โดยที่ a คือตัวเลขใดๆ และ z เป็นจำนวนเต็มลบ เราจะเห็นว่าตัวส่วนของเศษส่วนนี้ไม่มีอะไรมากไปกว่ากำลังธรรมดาที่มีจำนวนเต็ม ตัวบ่งชี้ที่เป็นบวกและเราได้เรียนรู้วิธีการคำนวณแล้ว เรามายกตัวอย่างงานกัน

ตัวอย่างที่ 6

ยก 3 ยกกำลัง - 2

สารละลาย

จากคำจำกัดความข้างต้น เราเขียนว่า 2 - 3 = 1 2 3

ลองคำนวณตัวส่วนของเศษส่วนนี้แล้วได้ 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8

ดังนั้นคำตอบคือ: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

ตัวอย่างที่ 7

เพิ่ม 1.43 ยกกำลัง -2

สารละลาย

มาจัดรูปแบบใหม่: 1, 43 - 2 = 1 (1, 43) 2

เราคำนวณกำลังสองในตัวส่วน: 1.43·1.43 ทศนิยมสามารถคูณได้ดังนี้:

ผลลัพธ์ที่ได้คือ (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449 สิ่งที่เราต้องทำคือเขียนผลลัพธ์นี้ให้อยู่ในรูปเศษส่วนธรรมดา ซึ่งเราต้องคูณด้วย 10,000 (ดูเนื้อหาเกี่ยวกับการแปลงเศษส่วน)

คำตอบ: (1, 43) - 2 = 10,000 20449

กรณีพิเศษคือการยกตัวเลขขึ้นเป็นลบยกกำลังหนึ่ง ค่าของระดับนี้เท่ากับส่วนกลับของค่าเดิมของฐาน: a - 1 = 1 a 1 = 1 a

ตัวอย่างที่ 8

ตัวอย่าง: 3 − 1 = 1/3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

วิธีเพิ่มจำนวนให้เป็นเศษส่วน

ในการดำเนินการดังกล่าว เราต้องจำคำจำกัดความพื้นฐานของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน: a m n = a m n สำหรับค่าบวก a จำนวนเต็ม m และ n ธรรมชาติใดๆ

คำจำกัดความ 2

ดังนั้น การคำนวณกำลังเศษส่วนจะต้องดำเนินการในสองขั้นตอน: การยกกำลังเป็นจำนวนเต็มและการค้นหารากของกำลังที่ n

เรามีความเท่าเทียมกัน a m n = a m n ซึ่งเมื่อคำนึงถึงคุณสมบัติของรากแล้วมักจะใช้ในการแก้ปัญหาในรูปแบบ a m n = a n m ซึ่งหมายความว่าหากเรายกจำนวน a เป็นเศษส่วนยกกำลัง m / n จากนั้นเราหารากที่ n ของ a ก่อน จากนั้นเราจะยกผลลัพธ์เป็นยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม m

ลองอธิบายด้วยตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 9

คำนวณ 8 - 2 3 .

สารละลาย

วิธีที่ 1: ตามคำจำกัดความพื้นฐาน เราสามารถแสดงค่านี้ได้ดังนี้: 8 - 2 3 = 8 - 2 3

ทีนี้มาคำนวณดีกรีใต้รูทแล้วแยกรูทที่สามออกจากผลลัพธ์: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

วิธีที่ 2 แปลงความเท่าเทียมกันพื้นฐาน: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2

หลังจากนั้นเราแยกราก 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 และยกกำลังสองผลลัพธ์: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

เราเห็นว่าวิธีแก้ปัญหาเหมือนกัน คุณสามารถใช้มันตามที่คุณต้องการ

มีหลายกรณีที่ระดับมีตัวบ่งชี้แสดงอยู่ หมายเลขผสมหรือทศนิยม เพื่อความสะดวกในการคำนวณควรแทนที่จะดีกว่า เศษส่วนสามัญและนับตามข้างบน

ตัวอย่างที่ 10

ยก 44, 89 ยกกำลัง 2, 5

สารละลาย

มาแปลงค่าของตัวบ่งชี้ให้เป็นเศษส่วนสามัญ - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2

ตอนนี้เราดำเนินการตามลำดับการกระทำทั้งหมดที่ระบุไว้ข้างต้น: 44, 89 5 2 = 44, 89 5 = 44, 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501, 25107

คำตอบ: 13 501, 25107.

ถ้าตัวเศษและส่วนของเลขชี้กำลังเศษส่วนมีจำนวนจำนวนมาก ให้คำนวณเลขชี้กำลังดังกล่าวด้วย ตัวชี้วัดที่มีเหตุผล- เพียงพอ การทำงานอย่างหนัก. มักจะต้องใช้เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์

ให้เราแยกกันพิจารณาเรื่องกำลังที่มีฐานเป็นศูนย์และเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน การแสดงออกของรูปแบบ 0 m n สามารถให้ความหมายต่อไปนี้: ถ้า m n > 0 ดังนั้น 0 m n = 0 m n = 0; ถ้าม< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

วิธีเพิ่มจำนวนให้เป็นกำลังอตรรกยะ

ความจำเป็นในการคำนวณค่าของกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนอตรรกยะไม่ได้เกิดขึ้นบ่อยนัก ในทางปฏิบัติ งานมักจะจำกัดอยู่เพียงการคำนวณค่าโดยประมาณ (ไม่เกินจำนวนตำแหน่งทศนิยมที่กำหนด) โดยปกติจะคำนวณบนคอมพิวเตอร์เนื่องจากความซับซ้อนของการคำนวณดังนั้นเราจะไม่เน้นรายละเอียดนี้เราจะระบุเฉพาะบทบัญญัติหลักเท่านั้น

หากเราจำเป็นต้องคำนวณค่าของยกกำลัง a ด้วยเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว a เราจะหาค่าประมาณทศนิยมของเลขชี้กำลังแล้วนับจากนั้น ผลลัพธ์จะเป็นคำตอบโดยประมาณ ยิ่งการประมาณทศนิยมแม่นยำมากเท่าใด คำตอบก็ยิ่งแม่นยำมากขึ้นเท่านั้น มาแสดงด้วยตัวอย่าง:

ตัวอย่างที่ 11

คำนวณค่าประมาณ 21, 174367....

สารละลาย

ให้เราจำกัดตัวเองให้มีค่าประมาณทศนิยม a n = 1, 17 เรามาคำนวณโดยใช้ตัวเลขนี้: 2 1, 17 data 2, 250116 ตัวอย่างเช่น หากเราใช้การประมาณ a n = 1, 1743 คำตอบก็จะแม่นยำมากขึ้นอีกหน่อย: 2 1, 174367 . . 2 1, 1743 2, 256833

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter