วิธีแก้สมการกำลังสอง สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ การแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

เป็นที่ทราบกันดีว่าเป็นเวอร์ชันเฉพาะของความเท่าเทียมกัน ax 2 + bx + c = o โดยที่ a, b และ c เป็นสัมประสิทธิ์จริงสำหรับ x ที่ไม่รู้จักและโดยที่ ≠ o และ b และ c จะเป็นศูนย์ - พร้อมกันหรือ แยกกัน ตัวอย่างเช่น c = o, b ≠ o หรือในทางกลับกัน เราเกือบจำนิยามของสมการกำลังสองได้แล้ว

ตรีโกณมิติระดับที่สองเป็นศูนย์ สัมประสิทธิ์แรก a ≠ o, b และ c สามารถใช้ค่าใดก็ได้ ค่าของตัวแปร x จะเป็นเมื่อการทดแทนเปลี่ยนให้เป็นความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง มาเน้นที่รากที่แท้จริง แม้ว่าสมการต่างๆ ก็สามารถเป็นคำตอบได้เช่นกัน เป็นเรื่องปกติที่จะเรียกสมการที่สมบูรณ์โดยที่ไม่มีสัมประสิทธิ์ใดเท่ากับ o, a ≠ o, b ≠ o, c ≠ o
ลองแก้ตัวอย่างกัน 2x 2 -9x-5 = โอ้ เราเจอแล้ว
ง = 81+40 = 121,
D เป็นบวก ซึ่งหมายความว่ามีราก x 1 = (9+√121):4 = 5 และค่าที่สอง x 2 = (9-√121):4 = -o.5 การตรวจสอบจะช่วยให้แน่ใจว่าถูกต้อง

ต่อไปนี้เป็นวิธีแก้ปัญหาสมการกำลังสองแบบทีละขั้นตอน

เมื่อใช้ discriminant คุณสามารถแก้สมการทางด้านซ้ายซึ่งมีตรีโนเมียลกำลังสองสำหรับ ≠ o ได้ ในตัวอย่างของเรา 2x 2 -9x-5 = 0 (ขวาน 2 +ใน+s = o)

ลองพิจารณาว่าสมการระดับที่สองที่ไม่สมบูรณ์คืออะไร

1. ขวาน 2 +ใน = o พจน์อิสระ คือสัมประสิทธิ์ c ที่ x 0 เท่ากับศูนย์ในที่นี้ ใน ≠ o
   จะแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ประเภทนี้ได้อย่างไร? ลองเอา x ออกจากวงเล็บ. จำไว้ว่าเมื่อผลคูณของสองปัจจัยเท่ากับศูนย์
   x(ax+b) = o อาจเป็นเมื่อ x = o หรือเมื่อ ax+b = o
   เมื่อแก้อันที่ 2 แล้ว เราก็จะได้ x = -в/а
   เป็นผลให้เรามีราก x 1 = 0 ตามการคำนวณ x 2 = -b/a
2. ตอนนี้ค่าสัมประสิทธิ์ของ x เท่ากับ o และ c ไม่เท่ากับ (≠) o
   x 2 +c = o ลองย้าย c ไปทางด้านขวาของความเท่าเทียมกัน เราจะได้ x 2 = -с สมการนี้มีรากจริงเฉพาะเมื่อ -c เป็นจำนวนบวก (c ‹ o)
   x 1 เท่ากับ √(-c) ตามลำดับ x 2 คือ -√(-c) มิฉะนั้นสมการก็ไม่มีรากเลย
3. ตัวเลือกสุดท้าย: b = c = o นั่นคือขวาน 2 = o โดยธรรมชาติแล้ว สมการง่ายๆ ดังกล่าวจะมีหนึ่งราก นั่นคือ x = o

กรณีพิเศษ

เราดูวิธีการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ และตอนนี้ เรามาวิธีแก้สมการกำลังสองแบบใดก็ได้กันดีกว่า

• ในสมการกำลังสองสมบูรณ์ ค่าสัมประสิทธิ์ที่สองของ x คือ เลขคู่.
  ให้ k = o.5b เรามีสูตรในการคำนวณการแบ่งแยกและราก
  D/4 = k 2 - ac รากจะคำนวณเป็น x 1,2 = (-k±√(D/4))/a สำหรับ D › o
  x = -k/a ที่ D = o
  ไม่มีรากสำหรับ D ‹ o
• มีให้ สมการกำลังสองเมื่อสัมประสิทธิ์ของ x กำลังสองเป็น 1 มักจะเขียนว่า x 2 +рх+ q = o สูตรข้างต้นทั้งหมดใช้กับสูตรเหล่านี้ได้ แต่การคำนวณค่อนข้างง่ายกว่า
  ตัวอย่าง x 2 -4x-9 = 0 คำนวณ D: 2 2 +9, D = 13
  x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13
• นอกจากนี้ยังใช้กับค่าที่ให้มาได้ง่ายๆ โดยบอกว่าผลรวมของรากของสมการเท่ากับ -p ซึ่งเป็นค่าสัมประสิทธิ์ที่สองที่มีเครื่องหมายลบ (หมายถึงเครื่องหมายตรงกันข้าม) และผลคูณของรากเดียวกันนี้จะ เท่ากับ q ซึ่งเป็นเทอมอิสระ ดูว่าการระบุรากของสมการนี้ด้วยวาจาจะง่ายดายเพียงใด สำหรับค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ได้ลดลง (สำหรับสัมประสิทธิ์ทั้งหมดไม่เท่ากับศูนย์) ทฤษฎีบทนี้สามารถใช้ได้ดังนี้: ผลรวม x 1 + x 2 เท่ากับ -b/a ผลคูณ x 1 · x 2 เท่ากับ c/a

ผลรวมของเทอมอิสระ c และสัมประสิทธิ์แรก a เท่ากับสัมประสิทธิ์ b ในสถานการณ์นี้ สมการต้องมีอย่างน้อยหนึ่งราก (พิสูจน์ได้ง่าย) รากแรกจำเป็นต้องเท่ากับ -1 และรากที่สอง -c/a หากมีอยู่ คุณสามารถตรวจสอบวิธีการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ได้ด้วยตัวเอง ง่ายเหมือนพาย ค่าสัมประสิทธิ์อาจมีความสัมพันธ์บางอย่างซึ่งกันและกัน

• x 2 +x = o, 7x 2 -7 = o
• ผลรวมของสัมประสิทธิ์ทั้งหมดเท่ากับ o
  รากของสมการดังกล่าวคือ 1 และ c/a ตัวอย่าง 2x 2 -15x+13 = o
  x 1 = 1, x 2 = 13/2

มีวิธีอื่นๆ อีกหลายวิธีในการแก้สมการระดับ 2 แบบต่างๆ ตัวอย่างเช่น นี่คือวิธีการแยกกำลังสองที่สมบูรณ์จากพหุนามที่กำหนด มีวิธีการแบบกราฟิกหลายวิธี เมื่อคุณจัดการกับตัวอย่างดังกล่าวบ่อยครั้ง คุณจะได้เรียนรู้ที่จะ "คลิก" พวกมันเหมือนเมล็ดพืช เพราะวิธีการทั้งหมดจะเข้ามาในความคิดของคุณโดยอัตโนมัติ

ใน สังคมสมัยใหม่ความสามารถในการดำเนินการด้วยสมการที่มีตัวแปรกำลังสองจะมีประโยชน์ในหลาย ๆ ด้านของกิจกรรมและมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในการปฏิบัติทางวิทยาศาสตร์และ การพัฒนาทางเทคนิค. หลักฐานนี้สามารถพบได้ในการออกแบบเรือเดินทะเลและแม่น้ำ เครื่องบิน และขีปนาวุธ การใช้การคำนวณดังกล่าวจะกำหนดวิถีการเคลื่อนที่ของวัตถุที่หลากหลายรวมถึงวัตถุอวกาศ ตัวอย่างที่มีการแก้สมการกำลังสองไม่เพียงแต่ใช้ในการพยากรณ์ทางเศรษฐกิจ ในการออกแบบและการก่อสร้างอาคารเท่านั้น แต่ยังใช้ในสถานการณ์ปกติในชีวิตประจำวันด้วย พวกเขาอาจจะจำเป็นใน ทริปเดินป่าในงานกีฬา ในร้านค้าขณะช้อปปิ้ง และในสถานการณ์ทั่วไปอื่นๆ

ลองแบ่งนิพจน์ออกเป็นปัจจัยส่วนประกอบกัน

ระดับของสมการจะถูกกำหนด ค่าสูงสุดระดับของตัวแปรที่มีอยู่ในนิพจน์นี้ ถ้ามันเท่ากับ 2 สมการดังกล่าวจะเรียกว่ากำลังสอง

หากเราพูดในภาษาของสูตร นิพจน์ที่ระบุไม่ว่าจะดูเป็นอย่างไร ก็สามารถนำมาอยู่ในรูปแบบได้เสมอเมื่อด้านซ้ายของนิพจน์ประกอบด้วยคำศัพท์สามคำ ในหมู่พวกเขา: ax 2 (นั่นคือตัวแปรกำลังสองด้วยสัมประสิทธิ์ของมัน), bx (ไม่ทราบค่าที่ไม่มีกำลังสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์ของมัน) และ c (องค์ประกอบอิสระนั่นคือตัวเลขธรรมดา) ทั้งหมดนี้อยู่ทางด้านขวาจะเท่ากับ 0 ในกรณีที่พหุนามดังกล่าวไม่มีเงื่อนไขที่เป็นส่วนประกอบข้อใดข้อหนึ่ง ยกเว้นขวาน 2 จะเรียกว่าสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ตัวอย่างการแก้ปัญหาดังกล่าวควรพิจารณาค่าของตัวแปรที่หาได้ง่ายก่อน

หากนิพจน์ดูเหมือนมีพจน์สองพจน์ทางด้านขวา กล่าวคือ ax 2 และ bx อย่างแม่นยำ วิธีที่ง่ายที่สุดในการค้นหา x คือการใส่ตัวแปรออกจากวงเล็บ ตอนนี้สมการของเราจะมีลักษณะดังนี้: x(ax+b) ต่อไป จะเห็นได้ชัดว่า x=0 หรือปัญหาอยู่ที่การค้นหาตัวแปรจากนิพจน์ต่อไปนี้: ax+b=0 สิ่งนี้ถูกกำหนดโดยคุณสมบัติข้อใดข้อหนึ่งของการคูณ กฎระบุว่าผลคูณของตัวประกอบสองตัวจะให้ผลลัพธ์เป็น 0 ก็ต่อเมื่อตัวใดตัวหนึ่งเป็นศูนย์

ตัวอย่าง

x=0 หรือ 8x - 3 = 0

เป็นผลให้เราได้รากของสมการสองอัน: 0 และ 0.375

สมการประเภทนี้สามารถอธิบายการเคลื่อนที่ของวัตถุภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วงซึ่งเริ่มเคลื่อนที่จากจุดหนึ่งซึ่งถือเป็นที่มาของพิกัด สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์มีรูปแบบดังนี้: y = v 0 t + gt 2 /2 ด้วยการแทนที่ค่าที่จำเป็น โดยให้ด้านขวาเท่ากับ 0 และค้นหาสิ่งที่ไม่ทราบที่เป็นไปได้ คุณจะสามารถทราบเวลาที่ผ่านไปตั้งแต่ช่วงเวลาที่ร่างกายลอยขึ้นไปจนถึงช่วงเวลาที่ร่างกายตกลงมา รวมถึงปริมาณอื่นๆ อีกมากมาย แต่เราจะพูดถึงเรื่องนี้ในภายหลัง

แยกตัวประกอบนิพจน์

กฎที่อธิบายไว้ข้างต้นทำให้สามารถแก้ไขปัญหาเหล่านี้ได้มากขึ้น กรณีที่ยากลำบาก. ลองดูตัวอย่างการแก้สมการกำลังสองประเภทนี้

X 2 - 33x + 200 = 0

นี้ ตรีโกณมิติกำลังสองเสร็จสมบูรณ์ ก่อนอื่น มาแปลงนิพจน์และแยกตัวประกอบกันก่อน มีสองตัว: (x-8) และ (x-25) = 0 ด้วยเหตุนี้เราจึงมีราก 8 และ 25 สองอัน

ตัวอย่างการแก้สมการกำลังสองในชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 ช่วยให้วิธีนี้สามารถค้นหาตัวแปรในนิพจน์ได้ ไม่เพียงแต่ในลำดับที่สองเท่านั้น แต่ยังรวมถึงลำดับที่สามและสี่ด้วย

ตัวอย่างเช่น: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0 เมื่อแยกตัวประกอบทางด้านขวาเป็นปัจจัยด้วยตัวแปร จะมีสามตัวในนั้น นั่นคือ (x+1), (x-3) และ (x+ 3).

เป็นผลให้เห็นได้ชัดว่าสมการนี้มีสามราก: -3; -1; 3.

รากที่สอง

อีกกรณีหนึ่งของสมการอันดับสองที่ไม่สมบูรณ์คือการแสดงออกในภาษาของตัวอักษรในลักษณะที่ด้านขวามือถูกสร้างขึ้นจากส่วนประกอบ ax 2 และ c ที่นี่เพื่อให้ได้ค่าของตัวแปร เทอมอิสระจะถูกโอนไป ด้านขวาและหลังจากนั้นเราก็ดึงความเท่าเทียมกันออกมาจากทั้งสองด้าน รากที่สอง. ควรสังเกตว่าในกรณีนี้มักจะมีรากสองอันของสมการ ข้อยกเว้นเพียงอย่างเดียวอาจเป็นความเท่าเทียมกันที่ไม่มีคำศัพท์เลย โดยที่ตัวแปรมีค่าเท่ากับศูนย์ รวมถึงตัวแปรของนิพจน์เมื่อด้านขวากลายเป็นลบ ในกรณีหลังนี้ไม่มีวิธีแก้ปัญหาเลย เนื่องจากการดำเนินการข้างต้นไม่สามารถทำได้โดยใช้รูท ควรพิจารณาตัวอย่างการแก้สมการกำลังสองประเภทนี้

ในกรณีนี้ รากของสมการจะเป็นตัวเลข -4 และ 4

การคำนวณพื้นที่ที่ดิน

ต้องเข้า ชนิดนี้การคำนวณปรากฏในสมัยโบราณเนื่องจากการพัฒนาทางคณิตศาสตร์ในหลาย ๆ ด้านในช่วงเวลาอันห่างไกลนั้นถูกกำหนดโดยความจำเป็นในการกำหนดพื้นที่และปริมณฑลของที่ดินด้วยความแม่นยำสูงสุด

เราควรพิจารณาตัวอย่างการแก้สมการกำลังสองโดยอิงจากปัญหาประเภทนี้ด้วย

สมมติว่ามีที่ดินผืนหนึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ซึ่งมีความยาวมากกว่าความกว้าง 16 เมตร คุณควรหาความยาว ความกว้าง และเส้นรอบวงของไซต์หากคุณรู้ว่าพื้นที่คือ 612 ตร.ม.

ในการเริ่มต้น เรามาสร้างสมการที่จำเป็นกันก่อน ให้เราแสดงด้วย x ความกว้างของพื้นที่ แล้วความยาวของมันจะเป็น (x+16) จากสิ่งที่เขียนไป พื้นที่ถูกกำหนดโดยนิพจน์ x(x+16) ซึ่งตามเงื่อนไขของปัญหาของเราคือ 612 ซึ่งหมายความว่า x(x+16) = 612

การแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์ และนิพจน์นี้ก็เป็นเช่นนั้น ไม่สามารถทำด้วยวิธีเดียวกันได้ ทำไม แม้ว่าทางด้านซ้ายยังคงมีปัจจัยอยู่ 2 ตัว แต่ผลคูณของพวกมันไม่เท่ากับ 0 เลย ดังนั้นจึงใช้วิธีที่แตกต่างกันที่นี่

เลือกปฏิบัติ

ก่อนอื่น เรามาทำการแปลงที่จำเป็นกันก่อน รูปร่างของนิพจน์นี้จะมีลักษณะดังนี้: x 2 + 16x - 612 = 0 ซึ่งหมายความว่าเราได้รับนิพจน์ในรูปแบบที่สอดคล้องกับมาตรฐานที่ระบุไว้ก่อนหน้านี้ โดยที่ a=1, b=16, c=-612

นี่อาจเป็นตัวอย่างของการแก้สมการกำลังสองโดยใช้การแบ่งแยก ที่นี่ การคำนวณที่จำเป็นผลิตตามรูปแบบ: D = b 2 - 4ac ปริมาณเสริมนี้ไม่เพียงทำให้สามารถค้นหาปริมาณที่ต้องการในสมการลำดับที่สองได้ แต่ยังเป็นตัวกำหนดปริมาณ ตัวเลือกที่เป็นไปได้. ถ้า D>0 มีสองตัว; สำหรับ D=0 มีหนึ่งรูท ในกรณีที่ D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

เกี่ยวกับรากและสูตรของมัน

ในกรณีของเรา ค่าจำแนกเท่ากับ: 256 - 4(-612) = 2704 นี่แสดงว่าปัญหาของเรามีคำตอบ ถ้าคุณรู้ k จะต้องแก้สมการกำลังสองต่อโดยใช้สูตรด้านล่าง ช่วยให้คุณสามารถคำนวณรากได้

ซึ่งหมายความว่าในกรณีที่นำเสนอ: x 1 =18, x 2 =-34 ตัวเลือกที่สองในภาวะที่กลืนไม่เข้าคายไม่ออกนี้ไม่สามารถแก้ปัญหาได้เนื่องจากขนาดของที่ดินไม่สามารถวัดได้ในปริมาณที่เป็นลบซึ่งหมายความว่า x (นั่นคือความกว้างของแปลง) คือ 18 ม. จากที่นี่เราคำนวณความยาว: 18 +16=34 และเส้นรอบวง 2(34+ 18)=104(m2)

ตัวอย่างและงาน

เราศึกษาสมการกำลังสองต่อไป ตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดของหลาย ๆ วิธีจะมีดังต่อไปนี้

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

ลองย้ายทุกอย่างไปทางซ้ายของความเท่าเทียมกัน ทำการแปลง นั่นคือ เราจะได้ประเภทของสมการที่มักเรียกว่ามาตรฐาน และจัดให้เป็นศูนย์

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

เมื่อบวกค่าที่คล้ายกันเข้าไป เราจะหาค่าจำแนก: D = 49 - 48 = 1 ซึ่งหมายความว่าสมการของเราจะมีรากสองค่า ลองคำนวณตามสูตรข้างต้น ซึ่งหมายความว่าอันแรกจะเท่ากับ 4/3 และอันที่สองเป็น 1

2) ทีนี้มาไขปริศนาที่แตกต่างออกไปกันดีกว่า

ลองดูว่ามีรากใดๆ ตรงนี้ x 2 - 4x + 5 = 1 หรือไม่? เพื่อให้ได้คำตอบที่ครอบคลุม ลองลดพหุนามให้อยู่ในรูปแบบปกติที่สอดคล้องกันแล้วคำนวณการแบ่งแยก ในตัวอย่างข้างต้น ไม่จำเป็นต้องแก้สมการกำลังสอง เพราะนี่ไม่ใช่แก่นแท้ของปัญหาเลย ในกรณีนี้ D = 16 - 20 = -4 ซึ่งหมายความว่าไม่มีรากจริงๆ

ทฤษฎีบทของเวียตตา

สะดวกในการแก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตรข้างต้นและค่าจำแนก เมื่อนำรากที่สองมาจากค่าของค่าหลัง แต่สิ่งนี้ไม่ได้เกิดขึ้นเสมอไป อย่างไรก็ตาม มีหลายวิธีในการรับค่าของตัวแปรในกรณีนี้ ตัวอย่าง: การแก้สมการกำลังสองโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม เธอได้รับการตั้งชื่อตามผู้ที่อาศัยอยู่ในฝรั่งเศสในศตวรรษที่ 16 และมีอาชีพการงานที่ยอดเยี่ยมด้วยความสามารถทางคณิตศาสตร์และความเชื่อมโยงในศาล ภาพของเขาสามารถเห็นได้ในบทความ

รูปแบบที่ชาวฝรั่งเศสผู้โด่งดังสังเกตเห็นมีดังนี้ เขาพิสูจน์ว่ารากของสมการรวมกันเป็นตัวเลขได้เป็น -p=b/a และผลคูณของสมการนั้นสอดคล้องกับ q=c/a

ตอนนี้เรามาดูงานเฉพาะกัน

3x 2 + 21x - 54 = 0

เพื่อความง่าย เรามาแปลงนิพจน์กัน:

x 2 + 7x - 18 = 0

ลองใช้ทฤษฎีบทของเวียตา ซึ่งจะได้ผลลัพธ์ดังนี้ ผลรวมของรากคือ -7 และผลิตภัณฑ์ของมันคือ -18 จากตรงนี้เราจะได้รากของสมการคือตัวเลข -9 และ 2 หลังจากตรวจสอบแล้ว เราจะตรวจสอบให้แน่ใจว่าค่าตัวแปรเหล่านี้พอดีกับนิพจน์จริงๆ

กราฟพาราโบลาและสมการ

แนวคิดเรื่องฟังก์ชันกำลังสองและสมการกำลังสองมีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิด ตัวอย่างนี้ได้ถูกให้ไว้ก่อนหน้านี้แล้ว ตอนนี้เรามาดูปริศนาทางคณิตศาสตร์ในรายละเอียดอีกเล็กน้อย สมการประเภทที่อธิบายไว้สามารถแสดงได้ด้วยสายตา ความสัมพันธ์ดังกล่าวที่วาดเป็นกราฟเรียกว่าพาราโบลา ประเภทต่างๆ ดังแสดงในรูปด้านล่าง

พาราโบลาใดๆ มีจุดยอด นั่นคือจุดที่กิ่งก้านของพาราโบลาโผล่ออกมา ถ้า a>0 มันจะไปสูงจนถึงอนันต์ และเมื่อ a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

การแสดงฟังก์ชันด้วยภาพช่วยแก้สมการต่างๆ รวมถึงสมการกำลังสองด้วย วิธีการนี้เรียกว่าแบบกราฟิก และค่าของตัวแปร x คือพิกัดแอบซิสซาที่จุดที่เส้นกราฟตัดกับ 0x พิกัดของจุดยอดสามารถพบได้โดยใช้สูตรที่เพิ่งให้ x 0 = -b/2a และโดยการแทนที่ค่าผลลัพธ์ลงในสมการดั้งเดิมของฟังก์ชัน คุณจะพบ y 0 นั่นคือพิกัดที่สองของจุดยอดของพาราโบลาซึ่งอยู่ในแกนพิกัด

จุดตัดของกิ่งก้านของพาราโบลากับแกนแอบซิสซา

มีตัวอย่างการแก้สมการกำลังสองมากมาย แต่ก็มีรูปแบบทั่วไปเช่นกัน มาดูพวกเขากันดีกว่า เห็นได้ชัดว่าจุดตัดของกราฟที่มีแกน 0x สำหรับ a>0 เป็นไปได้ก็ต่อเมื่อ 0 รับค่าลบเท่านั้น และสำหรับก<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. มิฉะนั้น D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

จากกราฟของพาราโบลา คุณสามารถระบุรากได้ด้วย ตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน นั่นคือ ถ้ามันไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะได้การแสดงฟังก์ชันกำลังสองด้วยภาพของฟังก์ชันกำลังสอง คุณสามารถจัดด้านขวาของนิพจน์ให้เป็น 0 แล้วแก้สมการผลลัพธ์ได้ และการรู้จุดตัดกับแกน 0x ทำให้สร้างกราฟได้ง่ายกว่า

จากประวัติศาสตร์

การใช้สมการที่มีตัวแปรกำลังสองในสมัยก่อนไม่เพียงแต่ทำการคำนวณทางคณิตศาสตร์และกำหนดพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตเท่านั้น คนสมัยโบราณจำเป็นต้องมีการคำนวณเช่นนี้เพื่อการค้นพบครั้งยิ่งใหญ่ในสาขาฟิสิกส์และดาราศาสตร์ รวมถึงการพยากรณ์ทางโหราศาสตร์ด้วย

ตามที่นักวิทยาศาสตร์สมัยใหม่แนะนำ ชาวบาบิโลนเป็นหนึ่งในคนกลุ่มแรกๆ ที่แก้สมการกำลังสองได้ เรื่องนี้เกิดขึ้นเมื่อสี่ศตวรรษก่อนยุคของเรา แน่นอนว่าการคำนวณของพวกเขาแตกต่างอย่างสิ้นเชิงจากที่ยอมรับในปัจจุบันและกลายเป็นแบบดั้งเดิมมากกว่ามาก ตัวอย่างเช่น นักคณิตศาสตร์ชาวเมโสโปเตเมียไม่มีความคิดเกี่ยวกับการมีอยู่ของจำนวนลบ พวกเขายังไม่คุ้นเคยกับรายละเอียดปลีกย่อยอื่น ๆ ที่เด็กนักเรียนยุคใหม่รู้

บางทีอาจเร็วกว่านักวิทยาศาสตร์แห่งบาบิโลน ปราชญ์จากอินเดีย Baudhayama เริ่มแก้สมการกำลังสอง สิ่งนี้เกิดขึ้นประมาณแปดศตวรรษก่อนยุคของพระคริสต์ จริงอยู่ที่สมการอันดับสองซึ่งเป็นวิธีการแก้ที่เขาให้ไว้นั้นเป็นวิธีที่ง่ายที่สุด นอกจากเขาแล้ว นักคณิตศาสตร์ชาวจีนยังสนใจคำถามที่คล้ายกันในสมัยก่อนอีกด้วย ในยุโรปสมการกำลังสองเริ่มได้รับการแก้ไขในช่วงต้นศตวรรษที่ 13 เท่านั้น แต่ต่อมานักวิทยาศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่เช่นนิวตันเดส์การตส์และคนอื่น ๆ อีกมากมายก็นำไปใช้ในงานของพวกเขา

"นั่นคือสมการของดีกรีที่หนึ่ง ในบทเรียนนี้เราจะดู สิ่งที่เรียกว่าสมการกำลังสองและวิธีแก้ปัญหา

สมการกำลังสองคืออะไร?

สำคัญ!

ระดับของสมการถูกกำหนดโดยระดับสูงสุดที่ไม่ทราบค่า

หากค่ากำลังสูงสุดที่ไม่ทราบค่าคือ “2” แสดงว่าคุณมีสมการกำลังสอง

ตัวอย่างสมการกำลังสอง

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0.25x = 0
• x 2 - 8 = 0

สำคัญ! รูปแบบทั่วไปของสมการกำลังสองมีลักษณะดังนี้:

ก x 2 + ข x + ค = 0

• “a” คือค่าสัมประสิทธิ์แรกหรือค่าสูงสุด
• “b” คือสัมประสิทธิ์ที่สอง
• “c” เป็นคำเสรี

หากต้องการค้นหา "a", "b" และ "c" คุณต้องเปรียบเทียบสมการของคุณกับรูปแบบทั่วไปของสมการกำลังสอง "ax 2 + bx + c = 0"

มาฝึกกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ "a", "b" และ "c" ในสมการกำลังสองกันดีกว่า

• ก = −1
• ข = 1
• ค =

  1

  3

• ก = 1
• ข = 0.25
• ค = 0

• ก = 1
• ข = 0
• ค = −8

วิธีแก้สมการกำลังสอง

ต่างจากสมการเชิงเส้นตรงที่มีการใช้วิธีการพิเศษในการแก้สมการกำลังสอง สูตรการหาราก.

จดจำ!

ในการแก้สมการกำลังสองคุณต้องมี:

• นำสมการกำลังสองมาอยู่ในรูปแบบทั่วไป “ax 2 + bx + c = 0” นั่นคือควรเหลือเพียง "0" ทางด้านขวา
• ใช้สูตรสำหรับราก:

มาดูตัวอย่างวิธีใช้สูตรเพื่อหารากของสมการกำลังสองกัน มาแก้สมการกำลังสองกัน

X 2 − 3x − 4 = 0

สมการ “x 2 − 3x − 4 = 0” ได้ลดลงเป็นรูปแบบทั่วไป “ax 2 + bx + c = 0” แล้ว และไม่จำเป็นต้องทำให้ง่ายขึ้นอีก เพื่อแก้ปัญหาเราเพียงแค่ต้องสมัคร สูตรการหารากของสมการกำลังสอง.

ให้เรากำหนดค่าสัมประสิทธิ์ "a", "b" และ "c" สำหรับสมการนี้

สามารถใช้แก้สมการกำลังสองใดก็ได้

ในสูตร "x 1;2 = " มักจะแทนที่นิพจน์ที่รุนแรง
“b 2 − 4ac” สำหรับตัวอักษร “D” และเรียกว่า discriminant แนวคิดของการเลือกปฏิบัติจะถูกกล่าวถึงโดยละเอียดในบทเรียน "อะไรคือการเลือกปฏิบัติ"

ลองดูอีกตัวอย่างหนึ่งของสมการกำลังสอง

x 2 + 9 + x = 7x

ในรูปแบบนี้ การกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ "a", "b" และ "c" ค่อนข้างยาก ขั้นแรกให้ลดสมการให้อยู่ในรูปแบบทั่วไป “ax 2 + bx + c = 0”

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

ตอนนี้คุณสามารถใช้สูตรสำหรับรากได้

เอ็กซ์ 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x=

มีบางครั้งที่สมการกำลังสองไม่มีราก สถานการณ์นี้เกิดขึ้นเมื่อสูตรมีจำนวนลบอยู่ใต้ราก

โรงเรียนมัธยมชนบท Kopyevskaya

10 วิธีในการแก้สมการกำลังสอง

หัวหน้า: Patrikeeva Galina Anatolyevna

ครูคณิตศาสตร์

หมู่บ้าน Kopevo, 2550

1. ประวัติความเป็นมาของการพัฒนาสมการกำลังสอง

1.1 สมการกำลังสองในบาบิโลนโบราณ

1.2 ไดโอแฟนตัสประกอบและแก้สมการกำลังสองได้อย่างไร

1.3 สมการกำลังสองในอินเดีย

1.4 สมการกำลังสองโดยอัล-โคเรซมี

1.5 สมการกำลังสองในยุโรป ศตวรรษที่ 13 - 17

1.6 เกี่ยวกับทฤษฎีบทของเวียตตา

2. วิธีการแก้สมการกำลังสอง

บทสรุป

วรรณกรรม

1. ประวัติความเป็นมาของการพัฒนาสมการกำลังสอง

1.1 สมการกำลังสองในบาบิโลนโบราณ

ความจำเป็นในการแก้สมการไม่เพียงแต่ในระดับแรกเท่านั้น แต่ยังรวมถึงระดับที่สองด้วยแม้ในสมัยโบราณก็มีสาเหตุมาจากความจำเป็นในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการหาพื้นที่แปลงที่ดินและงานขุดค้นที่มีลักษณะทางทหารด้วย เช่นเดียวกับพัฒนาการทางดาราศาสตร์และคณิตศาสตร์นั่นเอง สมการกำลังสองสามารถแก้ไขได้ประมาณ 2,000 ปีก่อนคริสตกาล จ. ชาวบาบิโลน.

เมื่อใช้สัญกรณ์พีชคณิตสมัยใหม่ เราสามารถพูดได้ว่าในตำรารูปลิ่ม นอกจากที่ไม่สมบูรณ์แล้ว ยังมีสมการกำลังสองสมบูรณ์ด้วย เช่น:

เอ็กซ์ 2 + เอ็กซ์ = ¾; เอ็กซ์ 2 - เอ็กซ์ = 14,5

กฎสำหรับการแก้สมการเหล่านี้ที่กำหนดไว้ในตำราของชาวบาบิโลนนั้นโดยพื้นฐานแล้วเกิดขึ้นพร้อมกับสมการสมัยใหม่ แต่ไม่มีใครรู้ว่าชาวบาบิโลนมาถึงกฎนี้ได้อย่างไร ตำราแบบฟอร์มอักษรคูนิฟอร์มเกือบทั้งหมดที่พบจนถึงตอนนี้มีเพียงปัญหาเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหาที่วางอยู่ในรูปแบบของสูตรอาหารเท่านั้น โดยไม่มีข้อบ่งชี้ว่าพบได้อย่างไร

แม้ว่าพีชคณิตในบาบิโลนจะมีการพัฒนาในระดับสูง แต่ตำรารูปลิ่มยังขาดแนวคิดเรื่องจำนวนลบและวิธีการทั่วไปในการแก้สมการกำลังสอง

1.2 ไดโอแฟนตัสประกอบและแก้สมการกำลังสองได้อย่างไร

เลขคณิตของไดโอแฟนตัสไม่มีการนำเสนอพีชคณิตอย่างเป็นระบบ แต่ประกอบด้วยชุดปัญหาที่เป็นระบบ พร้อมด้วยคำอธิบาย และแก้ได้โดยการสร้างสมการระดับต่างๆ

เมื่อเขียนสมการ ไดโอแฟนตัสจะเลือกสิ่งที่ไม่ทราบได้อย่างชำนาญเพื่อทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้น

ตัวอย่างเช่นนี่คือหนึ่งในงานของเขา

ปัญหาที่ 11.“จงหาตัวเลขสองตัว โดยรู้ว่าผลรวมของมันคือ 20 และผลคูณของมันคือ 96”

เหตุผลของไดโอแฟนตัสดังต่อไปนี้: จากเงื่อนไขของปัญหาเป็นไปตามที่จำนวนที่ต้องการไม่เท่ากัน เนื่องจากหากเท่ากัน ผลคูณของพวกมันจะไม่เท่ากับ 96 แต่เป็น 100 ดังนั้น หนึ่งในนั้นจะมากกว่า ครึ่งหนึ่งของผลรวมของพวกเขานั่นคือ . 10 + xอีกอันน้อยกว่านั่นคือ 10. ความแตกต่างระหว่างพวกเขา 2x .

ดังนั้นสมการ:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

จากที่นี่ x = 2. หนึ่งในจำนวนที่ต้องการคือเท่ากับ 12 , อื่น 8 . สารละลาย x = -2เพราะไม่มีไดโอแฟนทัส เนื่องจากคณิตศาสตร์กรีกรู้แต่จำนวนบวกเท่านั้น

หากเราแก้ปัญหานี้โดยเลือกตัวเลขที่ต้องการเป็นตัวเลขที่ไม่รู้จัก เราก็จะได้คำตอบของสมการ

y(20 - y) = 96,

ปี 2 - 20ปี + 96 = 0 (2)

เห็นได้ชัดว่าการเลือกผลต่างครึ่งหนึ่งของจำนวนที่ต้องการเป็นค่าไม่ทราบ ไดโอแฟนตัสจะทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้น เขาจัดการเพื่อลดปัญหาในการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ (1)

1.3 สมการกำลังสองในอินเดีย

ปัญหาเกี่ยวกับสมการกำลังสองมีอยู่แล้วในบทความทางดาราศาสตร์เรื่อง “อารยภัตติม” ซึ่งรวบรวมในปี 499 โดยนักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวอินเดีย อารยภัตตะ นักวิทยาศาสตร์ชาวอินเดียอีกคนหนึ่งคือ Brahmagupta (ศตวรรษที่ 7) ได้สรุปกฎทั่วไปสำหรับการแก้สมการกำลังสองที่ลดลงเหลือเพียงรูปแบบบัญญัติเดียว:

อา 2 + ข x = ค, ก > 0 (1)

ในสมการ (1) จะเป็นค่าสัมประสิทธิ์ ยกเว้น กอาจเป็นค่าลบก็ได้ กฎของพรหมคุปต์โดยพื้นฐานแล้วเหมือนกับของเรา

ใน อินเดียโบราณการแข่งขันสาธารณะในการแก้ปัญหาที่ยากลำบากเป็นเรื่องปกติ หนังสืออินเดียโบราณเล่มหนึ่งกล่าวถึงการแข่งขันดังกล่าวว่า “เมื่อดวงอาทิตย์บังดวงดาวด้วยความสุกใส ดังนั้น คนที่เรียนรู้จะบดบังความรุ่งโรจน์ของผู้อื่น การชุมนุมของประชาชนเสนอและแก้ไขปัญหาพีชคณิต” ปัญหามักถูกนำเสนอในรูปแบบบทกวี

นี่เป็นหนึ่งในปัญหาของนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียผู้โด่งดังแห่งศตวรรษที่ 12 ภาสการ์

ปัญหาที่ 13.

“ฝูงลิงขี้เล่นและสิบสองตัวตามเถาวัลย์...

เจ้าหน้าที่ก็กินกันสนุกสนาน พวกเขาเริ่มกระโดด แขวน...

มีพวกมันอยู่ที่จตุรัส ตอนที่ 8 มีลิงกี่ตัว?

ฉันกำลังสนุกอยู่ในที่โล่ง บอกฉันในแพ็คนี้?

คำตอบของภัสการาบ่งชี้ว่าเขารู้ว่ารากของสมการกำลังสองมีค่าเป็นสองค่า (รูปที่ 3)

สมการที่สอดคล้องกับปัญหา 13 คือ:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara เขียนภายใต้หน้ากากว่า:

x 2 - 64x = -768

และหากต้องการเติมด้านซ้ายของสมการให้เป็นกำลังสอง ให้บวกทั้งสองข้าง 32 2 จากนั้นได้รับ:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48

1.4 สมการกำลังสองในอัล - โคเรซมี

ในบทความเกี่ยวกับพีชคณิตของอัล-โคเรซมี มีการจำแนกประเภทของสมการเชิงเส้นและสมการกำลังสองไว้ ผู้เขียนนับสมการได้ 6 ประเภท แสดงได้ดังนี้

1) “กำลังสองเท่ากับราก” เช่น ขวาน 2 + ค = ข เอ็กซ์

2) “กำลังสองเท่ากับตัวเลข” เช่น ขวาน 2 = ค

3) “ รากมีค่าเท่ากับจำนวน” เช่น อา = ส

4) “กำลังสองและตัวเลขเท่ากับราก” เช่น ขวาน 2 + ค = ข เอ็กซ์

5) “กำลังสองและรากเท่ากับตัวเลข” เช่น อา 2 + บีเอ็กซ์ = ส.

6) “รากและตัวเลขเท่ากับกำลังสอง” เช่น บีเอ็กซ์ + ค = ขวาน 2 .

สำหรับอัล-โคเรซมี ผู้หลีกเลี่ยงการใช้จำนวนลบ เงื่อนไขของสมการแต่ละสมการเหล่านี้จะบวกและลบไม่ได้ ในกรณีนี้ สมการที่ไม่มีคำตอบเชิงบวกจะไม่ถูกนำมาพิจารณาอย่างชัดเจน ผู้เขียนได้กำหนดวิธีการแก้สมการเหล่านี้โดยใช้เทคนิคอัลญะบรีและอัลมุคาบาลา แน่นอนว่าการตัดสินใจของเขาไม่ตรงกับการตัดสินใจของเราเลย ไม่ต้องพูดถึงว่าเป็นวาทศิลป์ล้วนๆ ควรสังเกตว่าเมื่อแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ประเภทแรก

อัล-โคเรซมี เช่นเดียวกับนักคณิตศาสตร์ทุกคนก่อนศตวรรษที่ 17 ไม่ได้คำนึงถึงวิธีแก้ปัญหาที่เป็นศูนย์ อาจเป็นเพราะโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ปัญหาในทางปฏิบัติมันไม่สำคัญ เมื่อแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์ อัล-โคเรซมีจะกำหนดกฎสำหรับการแก้สมการโดยใช้ตัวอย่างตัวเลขเฉพาะ จากนั้นจึงทำการพิสูจน์เรขาคณิต

ปัญหาที่ 14.“สี่เหลี่ยมจัตุรัสและเลข 21 มีค่าเท่ากับ 10 ราก ค้นหาต้นตอ" (หมายถึงรากของสมการ x 2 + 21 = 10x)

วิธีแก้ปัญหาของผู้เขียนมีดังนี้: หารจำนวนรากลงครึ่งหนึ่ง คุณจะได้ 5 คูณ 5 ด้วยตัวมันเอง ลบ 21 จากผลคูณ สิ่งที่เหลืออยู่คือ 4 นำรากออกจาก 4 คุณจะได้ 2 ลบ 2 จาก 5 คุณได้ 3 นี่จะเป็นรูทที่ต้องการ หรือบวก 2 ถึง 5 ซึ่งให้ 7 นี่ก็เป็นรูทเช่นกัน

บทความของ al-Khorezmi เป็นหนังสือเล่มแรกที่ลงมาหาเราซึ่งกำหนดการจำแนกประเภทของสมการกำลังสองอย่างเป็นระบบและให้สูตรสำหรับการแก้โจทย์ของพวกเขา

1.5 สมการกำลังสองในยุโรป สิบสาม - XVII BB

สูตรสำหรับการแก้สมการกำลังสองตามแนวของอัล-ควาริซมีในยุโรปมีการกำหนดไว้ครั้งแรกใน Book of Abacus ซึ่งเขียนขึ้นในปี 1202 โดย Leonardo Fibonacci นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี งานชิ้นใหญ่นี้ซึ่งสะท้อนให้เห็นถึงอิทธิพลของคณิตศาสตร์ทั้งจากประเทศอิสลามและจากกรีกโบราณมีความโดดเด่นด้วยการนำเสนอที่สมบูรณ์และชัดเจน ผู้เขียนได้พัฒนาสิ่งใหม่อย่างอิสระ ตัวอย่างพีชคณิตแก้ปัญหาและเป็นรายแรกในยุโรปที่แนะนำตัวเลขติดลบ หนังสือของเขามีส่วนช่วยในการเผยแพร่ความรู้เกี่ยวกับพีชคณิตไม่เพียงแต่ในอิตาลี แต่ยังในเยอรมนี ฝรั่งเศส และประเทศอื่นๆ ในยุโรปด้วย ปัญหามากมายจากหนังสือลูกคิดถูกนำมาใช้ในหนังสือเรียนของยุโรปเกือบทั้งหมดในช่วงศตวรรษที่ 16 - 17 และส่วนหนึ่ง XVIII

กฎทั่วไปสำหรับการแก้สมการกำลังสองลดลงเป็นรูปแบบบัญญัติเดียว:

x2+ บีเอ็กซ์ = ค,

สำหรับการรวมกันของเครื่องหมายสัมประสิทธิ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด ข , กับได้รับการคิดค้นขึ้นในยุโรปในปี ค.ศ. 1544 โดย M. Stiefel

ที่มาของสูตรการแก้สมการกำลังสองค่ะ ปริทัศน์เวียดนามมีสิ่งนั้น แต่เวียตยอมรับเพียงรากเหง้าที่เป็นบวกเท่านั้น นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี Tartaglia, Cardano, Bombelli เป็นกลุ่มแรก ๆ ในศตวรรษที่ 16 นอกจากรากที่เป็นบวกแล้ว ยังคำนึงถึงรากที่เป็นลบด้วย เฉพาะในศตวรรษที่ 17 เท่านั้น ต้องขอบคุณผลงานของ Girard, Descartes, Newton และนักวิทยาศาสตร์คนอื่นๆ วิธีการแก้สมการกำลังสองจึงมีรูปแบบที่ทันสมัย

1.6 เกี่ยวกับทฤษฎีบทของเวียตตา

ทฤษฎีบทที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสองกับรากของมัน ซึ่งตั้งชื่อตามเวียตา ได้รับการกำหนดโดยเขาเป็นครั้งแรกในปี 1591 ดังนี้: “ถ้า บี + ดี, คูณด้วย ก - ก 2 เท่ากับ บีดี, ที่ กเท่ากับ ในและเท่าเทียมกัน ดี ».

เพื่อให้เข้าใจ Vieta เราควรจำไว้ว่า กเช่นเดียวกับอักษรสระใด ๆ หมายถึงสิ่งที่ไม่รู้จัก (ของเรา เอ็กซ์) สระ ใน, ดี- ค่าสัมประสิทธิ์สำหรับสิ่งที่ไม่รู้จัก ในภาษาพีชคณิตสมัยใหม่ สูตร Vieta ข้างต้นหมายถึง ถ้ามี

(ก + ข )x - x 2 = เกี่ยวกับ ,

x 2 - (ก + ข )x + ก ข = 0,

x 1 = ก, x 2 = ข .

การแสดงความสัมพันธ์ระหว่างรากและสัมประสิทธิ์ของสมการด้วยสูตรทั่วไปที่เขียนโดยใช้สัญลักษณ์ Viète สร้างความสม่ำเสมอในวิธีการแก้สมการ อย่างไรก็ตามสัญลักษณ์ของเวียดนามยังห่างไกลจากนั้น ดูทันสมัย. เขาไม่รู้จักจำนวนลบ ดังนั้น เมื่อแก้สมการ เขาพิจารณาเฉพาะกรณีที่รากทั้งหมดเป็นค่าบวก

2. วิธีการแก้สมการกำลังสอง

สมการกำลังสองเป็นรากฐานที่อาคารพีชคณิตอันสง่างามตั้งอยู่ สมการกำลังสองใช้กันอย่างแพร่หลายในการแก้สมการตรีโกณมิติ เอ็กซ์โปเนนเชียล ลอการิทึม อตรรกยะ และอนันต์และอสมการ เราทุกคนรู้วิธีแก้สมการกำลังสองตั้งแต่โรงเรียน (ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8) จนกระทั่งสำเร็จการศึกษา

หัวข้อนี้อาจดูยากในตอนแรกเนื่องจากมีหลายๆ คนไม่เป็นเช่นนั้น สูตรง่ายๆ. สมการกำลังสองไม่เพียงแต่จะมีสัญกรณ์ที่ยาวเท่านั้น แต่ยังหารากได้จากการแบ่งแยกอีกด้วย รวมแล้วได้สูตรใหม่ถึง 3 สูตร ไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะจำ ใช้งานได้หลังจากนี้เท่านั้น วิธีแก้ปัญหาทั่วไปสมการดังกล่าว แล้วสูตรทั้งหมดก็จะจำได้เอง

มุมมองทั่วไปของสมการกำลังสอง

ที่นี่เราเสนอการบันทึกที่ชัดเจนโดยเขียนระดับสูงสุดก่อน จากนั้นจึงเขียนตามลำดับจากมากไปน้อย มักจะมีสถานการณ์ที่ข้อกำหนดไม่สอดคล้องกัน จากนั้นจะเป็นการดีกว่าถ้าเขียนสมการใหม่โดยเรียงลำดับจากมากไปหาน้อยของระดับของตัวแปร

ให้เราแนะนำสัญกรณ์บางอย่าง แสดงไว้ในตารางด้านล่าง

หากเรายอมรับสัญลักษณ์เหล่านี้ สมการกำลังสองทั้งหมดจะลดลงเหลือสัญลักษณ์ต่อไปนี้

ยิ่งไปกว่านั้น ค่าสัมประสิทธิ์ a ≠ 0 ให้สูตรนี้ถูกกำหนดให้เป็นหมายเลขหนึ่ง

เมื่อให้สมการแล้ว ยังไม่ชัดเจนว่าคำตอบจะมีจำนวนรากเท่าใด เพราะหนึ่งในสามตัวเลือกนั้นเป็นไปได้เสมอ:

• การแก้ปัญหาจะมีสองราก
• คำตอบจะเป็นตัวเลขหนึ่งตัว
• สมการนี้จะไม่มีรากเลย

และจนกว่าการตัดสินใจจะสิ้นสุดลงเป็นการยากที่จะเข้าใจว่าตัวเลือกใดจะปรากฏในบางกรณี

ประเภทของการบันทึกสมการกำลังสอง

ปัญหาอาจมีอยู่ รายการที่แตกต่างกัน. พวกมันจะไม่ดูเหมือนเสมอไป สูตรทั่วไปสมการกำลังสอง. บางทีมันก็จะขาดบางคำไปบ้าง สิ่งที่เขียนไว้ข้างต้นคือสมการที่สมบูรณ์ หากคุณลบเทอมที่สองหรือสามออกไป คุณจะได้อย่างอื่น บันทึกเหล่านี้เรียกอีกอย่างว่าสมการกำลังสอง แต่ไม่สมบูรณ์เท่านั้น

ยิ่งไปกว่านั้น เฉพาะคำศัพท์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์ "b" และ "c" เท่านั้นที่สามารถหายไปได้ ตัวเลข "a" ไม่สามารถเท่ากับศูนย์ได้ไม่ว่าในกรณีใด ๆ เพราะในกรณีนี้ สูตรจะกลายเป็นสมการเชิงเส้น สูตรสำหรับรูปแบบสมการที่ไม่สมบูรณ์จะเป็นดังนี้:

มีเพียงสองประเภทเท่านั้น นอกจากแบบสมบูรณ์แล้ว ยังมีสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์อีกด้วย ให้สูตรแรกเป็นหมายเลขสองและสูตรที่สอง - สาม

แยกแยะและการพึ่งพาจำนวนรากตามมูลค่าของมัน

คุณต้องรู้ตัวเลขนี้จึงจะคำนวณรากของสมการได้ สามารถคำนวณได้เสมอไม่ว่าสูตรของสมการกำลังสองจะเป็นเช่นใดก็ตาม ในการคำนวณการแบ่งแยก คุณต้องใช้ความเท่าเทียมกันที่เขียนไว้ด้านล่าง ซึ่งจะมีเลขสี่

หลังจากแทนค่าสัมประสิทธิ์ลงในสูตรนี้แล้วคุณจะได้ตัวเลขด้วย สัญญาณที่แตกต่างกัน. ถ้าคำตอบคือใช่ คำตอบของสมการก็จะมีรากที่แตกต่างกันสองอัน ที่ จำนวนลบรากของสมการกำลังสองจะหายไป หากเท่ากับศูนย์ก็จะมีคำตอบเดียวเท่านั้น

จะแก้สมการกำลังสองสมบูรณ์ได้อย่างไร?

อันที่จริงการพิจารณาประเด็นนี้ได้เริ่มต้นขึ้นแล้ว เพราะก่อนอื่นคุณต้องหาคนแบ่งแยกก่อน หลังจากพิจารณาแล้วว่าสมการกำลังสองมีรากและรู้จำนวนแล้ว คุณต้องใช้สูตรสำหรับตัวแปร หากมีสองราก คุณต้องใช้สูตรต่อไปนี้

เนื่องจากมีเครื่องหมาย “±” จึงจะมีค่าสองค่า นิพจน์ที่อยู่ใต้เครื่องหมายรากที่สองถือเป็นการแบ่งแยก ดังนั้นจึงสามารถเขียนสูตรใหม่ให้แตกต่างออกไปได้

สูตรหมายเลขห้า จากบันทึกเดียวกัน จะเห็นได้ชัดว่าถ้าตัวจำแนกมีค่าเท่ากับศูนย์ รากทั้งสองจะใช้ค่าเดียวกัน

หากยังไม่ได้แก้สมการกำลังสองควรเขียนค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดก่อนที่จะใช้สูตรจำแนกและตัวแปร หลังจากนั้นช่วงเวลานี้จะไม่ทำให้เกิดปัญหา แต่ในช่วงแรกเริ่มมีความสับสน

จะแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ได้อย่างไร?

ทุกอย่างง่ายกว่ามากที่นี่ ไม่จำเป็นต้องมีสูตรเพิ่มเติมด้วยซ้ำ และสิ่งที่เขียนไว้สำหรับผู้เลือกปฏิบัติและสิ่งที่ไม่รู้จักก็ไม่จำเป็น

ก่อนอื่น เรามาดูสมการหมายเลข 2 ที่ไม่สมบูรณ์กันก่อน ในความเท่าเทียมกันนี้ จำเป็นต้องนำปริมาณที่ไม่ทราบออกจากวงเล็บและแก้สมการเชิงเส้นซึ่งจะยังคงอยู่ในวงเล็บ คำตอบจะมีสองราก อันแรกจำเป็นต้องเท่ากับศูนย์ เนื่องจากมีตัวคูณที่ประกอบด้วยตัวแปรนั้นเอง อันที่สองจะได้จากการแก้สมการเชิงเส้น

สมการหมายเลข 3 ที่ไม่สมบูรณ์แก้ไขได้โดยเลื่อนตัวเลขจากด้านซ้ายของค่าที่เท่ากันไปทางขวา จากนั้นคุณต้องหารด้วยสัมประสิทธิ์หันหน้าไปทางไม่ทราบ สิ่งที่เหลืออยู่คือแยกรากที่สองออกและอย่าลืมเขียนมันลงไปสองครั้งโดยมีเครื่องหมายตรงข้ามกัน

ด้านล่างนี้คือขั้นตอนบางส่วนที่จะช่วยให้คุณเรียนรู้วิธีแก้ความเท่าเทียมกันทุกรูปแบบที่กลายเป็นสมการกำลังสอง พวกเขาจะช่วยให้นักเรียนหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดเนื่องจากการไม่ตั้งใจ ข้อบกพร่องเหล่านี้อาจทำให้เกรดไม่ดีเมื่อศึกษาหัวข้อที่ครอบคลุม “สมการกำลังสอง (เกรด 8)” ต่อจากนั้นจึงไม่จำเป็นต้องดำเนินการเหล่านี้อย่างต่อเนื่อง เพราะทักษะที่มั่นคงจะปรากฏขึ้น

• ก่อนอื่นคุณต้องเขียนสมการในรูปแบบมาตรฐาน นั่นคือ เทอมแรกที่มีระดับตัวแปรมากที่สุด และจากนั้น - ไม่มีระดับ และสุดท้าย - เป็นเพียงตัวเลข

• หากเครื่องหมายลบปรากฏก่อนค่าสัมประสิทธิ์ "a" อาจทำให้งานสำหรับผู้เริ่มต้นศึกษาสมการกำลังสองซับซ้อนขึ้น เป็นการดีกว่าที่จะกำจัดมัน เพื่อจุดประสงค์นี้ ความเท่าเทียมกันทั้งหมดจะต้องคูณด้วย "-1" หมายความว่าทุกพจน์จะเปลี่ยนเครื่องหมายไปในทิศทางตรงกันข้าม

• แนะนำให้กำจัดเศษส่วนด้วยวิธีเดียวกัน เพียงคูณสมการด้วยตัวประกอบที่เหมาะสมเพื่อที่ตัวส่วนจะตัดกัน

ตัวอย่าง

จำเป็นต้องแก้สมการกำลังสองต่อไปนี้:

x 2 - 7x = 0;

15 − 2x - x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

สมการแรก: x 2 − 7x = 0 ยังไม่สมบูรณ์ ดังนั้นจึงแก้ได้ตามที่อธิบายไว้ในสูตรหมายเลข 2

หลังจากนำออกจากวงเล็บปรากฎว่า: x (x - 7) = 0

รากแรกรับค่า: x 1 = 0 รากที่สองจะพบได้จาก สมการเชิงเส้น: x - 7 = 0 เห็นได้ง่ายว่า x 2 = 7

สมการที่สอง: 5x 2 + 30 = 0 ไม่สมบูรณ์อีกครั้ง มีเพียงการแก้ไขตามที่อธิบายไว้ในสูตรที่สามเท่านั้น

หลังจากย้าย 30 ไปทางด้านขวาของสมการ: 5x 2 = 30 ตอนนี้คุณต้องหารด้วย 5 ปรากฎว่า: x 2 = 6 คำตอบจะเป็นตัวเลข: x 1 = √6, x 2 = - √6.

สมการที่สาม: 15 − 2х − x 2 = 0 ในที่นี้และต่อไป การแก้สมการกำลังสองจะเริ่มต้นด้วยการเขียนใหม่เป็น มุมมองมาตรฐาน: − x 2 − 2x + 15 = 0 ถึงเวลาใช้อันที่สอง คำแนะนำที่เป็นประโยชน์แล้วคูณทุกอย่างด้วยลบหนึ่ง ปรากฎว่า x 2 + 2x - 15 = 0 เมื่อใช้สูตรที่สี่คุณต้องคำนวณตัวจำแนก: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64 มันเป็นจำนวนบวก จากที่กล่าวข้างต้น ปรากฎว่าสมการนี้มีรากอยู่ 2 ราก ต้องคำนวณโดยใช้สูตรที่ห้า ปรากฎว่า x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2 จากนั้น x 1 = 3, x 2 = - 5

สมการที่สี่ x 2 + 8 + 3x = 0 ถูกแปลงเป็น: x 2 + 3x + 8 = 0 ค่าจำแนกของมันเท่ากับค่านี้: -23 เนื่องจากจำนวนนี้เป็นลบ คำตอบของงานนี้จะเป็นรายการต่อไปนี้: "ไม่มีราก"

สมการที่ห้า 12x + x 2 + 36 = 0 ควรเขียนใหม่ดังนี้: x 2 + 12x + 36 = 0 หลังจากใช้สูตรสำหรับการแบ่งแยกแล้วจะได้เลขศูนย์ ซึ่งหมายความว่าจะมีหนึ่งรูต คือ: x = -12/ (2 * 1) = -6

สมการที่หก (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) ต้องมีการแปลง ซึ่งประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าคุณต้องนำพจน์ที่คล้ายกันมา โดยเปิดวงเล็บออกก่อน แทนที่รายการแรกจะมีนิพจน์ต่อไปนี้: x 2 + 2x + 1 หลังจากความเท่าเทียมกันรายการนี้จะปรากฏขึ้น: x 2 + 3x + 2 หลังจากนับคำศัพท์ที่คล้ายกันแล้ว สมการจะอยู่ในรูปแบบ: x ​​2 - x = 0 มันไม่สมบูรณ์ สิ่งที่คล้ายกันนี้ได้ถูกพูดคุยกันในระดับที่สูงขึ้นเล็กน้อยแล้ว รากของสิ่งนี้จะเป็นตัวเลข 0 และ 1