การคำนวณมุมโดยรู้ด้านของรูปสามเหลี่ยม จะหาด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากได้อย่างไร? พื้นฐานของเรขาคณิต

ทราบความยาวของด้าน (a, b, c) ให้ใช้ทฤษฎีบทโคไซน์ โดยระบุว่ากำลังสองของความยาวของด้านใดด้านหนึ่งเท่ากับผลรวมของกำลังสองของความยาวของด้านอีกสองด้าน โดยเป็นสองเท่าผลคูณของความยาวของด้านทั้งสองด้านเดียวกันด้วยโคไซน์ของมุมระหว่างด้านทั้งสอง ถูกลบออก คุณสามารถใช้ทฤษฎีบทนี้คำนวณมุมที่จุดยอดใดๆ ก็ได้ สิ่งสำคัญคือต้องรู้เฉพาะตำแหน่งของมุมที่สัมพันธ์กับด้านข้างเท่านั้น ตัวอย่างเช่น หากต้องการค้นหามุม α ที่อยู่ระหว่างด้าน b และ c จะต้องเขียนทฤษฎีบทดังนี้: a² = b² + c² - 2*b*c*cos(α)

แสดงโคไซน์ของมุมที่ต้องการจากสูตร: cos(α) = (b²+c²-a²)/(2*b*c) สำหรับความเท่ากันทั้งสองข้าง ให้ใช้ฟังก์ชันผกผันของโคไซน์ - โคไซน์ส่วนโค้ง ช่วยให้คุณสามารถคืนค่ามุมเป็นองศาโดยใช้ค่าโคไซน์: arccos(cos(α)) = arccos((b²+c²-a²)/(2*b*c)) ด้านซ้ายสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้ และการคำนวณมุมระหว่างด้าน b และ c จะอยู่ในรูปแบบสุดท้าย: α = arccos((b²+c²-a²)/2*b*c)

เมื่อค้นหาค่าของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากไม่จำเป็นต้องทราบความยาวของทุกด้าน สองในนั้นก็เพียงพอแล้ว หากทั้งสองด้านนี้เป็นขา (a และ b) ให้หารความยาวของด้านตรงข้ามกับมุมที่ต้องการ (α) ด้วยความยาวของอีกด้านหนึ่ง นี่จะให้ค่าแทนเจนต์ให้คุณ มุมที่ต้องการ tan(α) = a/b และใช้ความเท่ากันกับทั้งสองด้าน ฟังก์ชันผกผัน- อาร์กแทนเจนต์ - และทำให้ง่ายขึ้น เช่นเดียวกับในขั้นตอนที่แล้ว ทางด้านซ้าย จะได้สูตรสุดท้าย: α = arctan(a/b)

ถ้า ฝ่ายที่รู้จัก- ขา (a) และด้านตรงข้ามมุมฉาก (c) ในการคำนวณมุม (β) ที่เกิดจากด้านเหล่านี้ ให้ใช้ฟังก์ชันโคไซน์และค่าผกผัน - โคไซน์ส่วนโค้ง โคไซน์ถูกกำหนดโดยอัตราส่วนของความยาวของขาต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก และสูตรในรูปแบบสุดท้ายสามารถเขียนได้ดังนี้: β = ส่วนโค้ง(a/c) ในการคำนวณจากมุมแหลมเริ่มต้น (α) ที่เท่ากันซึ่งอยู่ตรงข้ามกับขาที่ทราบ ให้ใช้ความสัมพันธ์เดียวกัน โดยแทนที่อาร์กโคไซน์ด้วยอาร์กไซน์: α = อาร์กซิน(a/c)

แหล่งที่มา:

• สูตรสามเหลี่ยมมี 2 ด้าน

เคล็ดลับ 2: วิธีหามุมของสามเหลี่ยมตามความยาวของด้าน

มีหลายตัวเลือกในการค้นหาค่าของทุกมุมในรูปสามเหลี่ยมหากทราบความยาวของทั้งสามมุม ฝ่าย. วิธีหนึ่งคือใช้สูตรที่แตกต่างกันสองสูตรในการคำนวณพื้นที่ สามเหลี่ยม. เพื่อให้การคำนวณง่ายขึ้น คุณสามารถใช้ทฤษฎีบทไซน์และผลรวมของทฤษฎีบทมุมได้ สามเหลี่ยม.

คำแนะนำ

เช่น ใช้สูตรคำนวณพื้นที่ 2 สูตร สามเหลี่ยมซึ่งหนึ่งในนั้นมีเพียงสามคนที่เขารู้จักเท่านั้น ฝ่าย s (นกกระสา) และอีกสองอัน ฝ่าย s และไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน การใช้คู่ที่แตกต่างกันในสูตรที่สอง ฝ่ายคุณสามารถกำหนดขนาดของแต่ละมุมได้ สามเหลี่ยม.

แก้ไขปัญหาใน ปริทัศน์. สูตรของนกกระสากำหนดพื้นที่ สามเหลี่ยม, ยังไง รากที่สองจากผลคูณของกึ่งปริมณฑล (ครึ่งหนึ่งของทั้งหมด ฝ่าย) กับความแตกต่างระหว่างกึ่งเส้นรอบวงกับแต่ละส่วน ฝ่าย. ถ้าเราแทนที่ด้วยผลรวม ฝ่ายจากนั้นสามารถเขียนสูตรได้ดังนี้: S=0.25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c).C other ฝ่ายพื้นที่ของ สามเหลี่ยมสามารถแสดงเป็นครึ่งหนึ่งของผลคูณของทั้งสอง ฝ่ายโดยไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน ตัวอย่างเช่นสำหรับ ฝ่าย a และ b โดยมีมุม γ อยู่ระหว่างกัน สูตรนี้สามารถเขียนได้ดังนี้: S=a∗b∗sin(γ) แทนที่ด้านซ้ายของค่าเท่ากันด้วยสูตรของนกกระสา: 0.25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c)=a∗b∗sin(γ) มาจากสูตรความเท่าเทียมกันนี้

การสร้างหลังคาไม่ใช่เรื่องง่ายอย่างที่คิด และถ้าคุณต้องการให้มันเชื่อถือได้ ทนทาน และไม่กลัวการรับน้ำหนักต่าง ๆ ก่อนอื่นในขั้นตอนการออกแบบคุณต้องทำการคำนวณมากมาย และจะรวมถึงไม่เพียงแต่ปริมาณวัสดุที่ใช้ในการติดตั้งเท่านั้น แต่ยังรวมถึงการกำหนดมุมลาดเอียง พื้นที่ลาดเอียง ฯลฯ จะคำนวณมุมลาดเอียงของหลังคาอย่างถูกต้องได้อย่างไร? ตามค่านี้จะขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ที่เหลือของการออกแบบนี้เป็นหลัก

การออกแบบและการก่อสร้างหลังคาถือเป็นเรื่องที่สำคัญและมีความรับผิดชอบเสมอ โดยเฉพาะในส่วนของหลังคาอาคารที่พักอาศัยหรือหลังคาที่มีรูปร่างซับซ้อน แต่แม้กระทั่งแบบเอียงธรรมดาที่ติดตั้งบนโรงเก็บของหรือโรงรถที่ไม่มีคำอธิบายก็จำเป็นต้องมีการคำนวณเบื้องต้นเช่นกัน

หากคุณไม่ได้กำหนดมุมเอียงของหลังคาล่วงหน้าคุณจะไม่สามารถทราบได้ว่าอะไร ความสูงที่เหมาะสมที่สุดต้องมีสันเขาจึงมีความเสี่ยงสูงที่จะสร้างหลังคาที่จะพังหลังจากหิมะตกครั้งแรกหรือปิดบังทั้งหมดแม้จะถูกลมพัดปานกลางก็ตาม

นอกจากนี้มุมของหลังคาจะส่งผลอย่างมากต่อความสูงของสันเขาพื้นที่และขนาดของทางลาด ขึ้นอยู่กับสิ่งนี้ จะสามารถคำนวณจำนวนเงินที่จำเป็นในการสร้างได้แม่นยำยิ่งขึ้น ระบบขื่อและวัสดุตกแต่ง

หน่วย

เมื่อนึกถึงเรขาคณิตที่ทุกคนเรียนในโรงเรียน จึงปลอดภัยที่จะบอกว่ามุมของหลังคาวัดเป็นองศา อย่างไรก็ตามในหนังสือเกี่ยวกับการก่อสร้างรวมถึงในภาพวาดต่างๆ คุณสามารถค้นหาตัวเลือกอื่นได้ - มุมจะแสดงเป็นเปอร์เซ็นต์ (ในที่นี้เราหมายถึงอัตราส่วนภาพ)

โดยทั่วไป, มุมลาดคือมุมที่เกิดจากระนาบสองระนาบที่ตัดกัน– เพดานและความลาดเอียงของหลังคานั่นเอง ทำได้เพียงคมเท่านั้นนั่นคืออยู่ในช่วง 0-90 องศา

ในบันทึก! ทางลาดชันมากซึ่งมีมุมเอียงมากกว่า 50 องศานั้นหายากมากในรูปแบบที่บริสุทธิ์ โดยปกติจะใช้เฉพาะเมื่อเท่านั้น การออกแบบตกแต่งหลังคา อาจมีอยู่ในห้องใต้หลังคา

สำหรับการวัดมุมหลังคาเป็นองศา ทุกอย่างง่าย - ทุกคนที่เรียนเรขาคณิตที่โรงเรียนมีความรู้นี้ ก็เพียงพอที่จะร่างไดอะแกรมของหลังคาบนกระดาษแล้วใช้ไม้โปรแทรกเตอร์เพื่อกำหนดมุม

ส่วนเปอร์เซ็นต์นั้นต้องทราบความสูงของสันเขาและความกว้างของอาคารด้วย ตัวบ่งชี้แรกจะถูกหารด้วยตัวที่สอง และค่าผลลัพธ์จะคูณด้วย 100% วิธีนี้สามารถคำนวณเปอร์เซ็นต์ได้

ในบันทึก! ที่เปอร์เซ็นต์ 1 ระดับความเอียงโดยทั่วไปคือ 2.22% นั่นคือ ความชันที่มีมุม 45 องศาธรรมดาจะเท่ากับ 100% และ 1 เปอร์เซ็นต์คือ 27 อาร์คนาที

ตารางค่า - องศา, นาที, เปอร์เซ็นต์

ปัจจัยใดที่มีอิทธิพลต่อมุมเอียง?

มุมเอียงของหลังคาใด ๆ ได้รับอิทธิพลอย่างมากจาก จำนวนมากปัจจัยตั้งแต่ความปรารถนาของเจ้าของบ้านในอนาคตไปจนถึงภูมิภาคที่จะตั้งบ้าน เมื่อคำนวณ สิ่งสำคัญคือต้องคำนึงถึงรายละเอียดปลีกย่อยทั้งหมด แม้แต่รายละเอียดปลีกย่อยที่ดูเหมือนไม่มีนัยสำคัญเมื่อมองแวบแรกก็ตาม วันหนึ่งพวกเขาอาจจะแสดงบทบาทของพวกเขา กำหนดมุมหลังคาที่เหมาะสมโดยรู้ว่า:

• ประเภทของวัสดุที่จะใช้สร้างพายหลังคาเริ่มจากระบบขื่อและปิดท้ายด้วยการตกแต่งภายนอก
• สภาพภูมิอากาศในพื้นที่ที่กำหนด (แรงลม ทิศทางลม ปริมาณฝน ฯลฯ );
• รูปร่างของอาคารในอนาคต ความสูง การออกแบบ
• วัตถุประสงค์ของอาคารทางเลือกในการใช้พื้นที่ห้องใต้หลังคา

ในภูมิภาคที่มีลมแรงแนะนำให้สร้างหลังคาที่มีความลาดชันเดียวและมีมุมเอียงเล็กน้อย จากนั้นเมื่อมีลมแรงหลังคาจะมีโอกาสยืนได้ดีกว่าและไม่ฉีกขาด หากบริเวณดังกล่าวมีลักษณะเป็นปริมาณน้ำฝนจำนวนมาก (หิมะหรือฝน) ควรทำให้ทางลาดชันมากขึ้น ซึ่งจะช่วยให้ฝนม้วนตัว/ระบายน้ำออกจากหลังคา และไม่สร้างภาระเพิ่มเติม ความลาดชันที่เหมาะสมที่สุด หลังคาแหลมในภูมิภาคที่มีลมแรงจะแตกต่างกันไประหว่าง 9-20 องศาและบริเวณที่มีฝนตกมาก - สูงถึง 60 องศา การทำมุม 45 องศาจะช่วยให้คุณมองข้ามปริมาณหิมะโดยรวมได้ แต่ในกรณีนี้ แรงดันลมบนหลังคาจะมากกว่าบนหลังคาที่มีความลาดชันเพียง 11 องศาถึง 5 เท่า

ในบันทึก! ยิ่งพารามิเตอร์ความลาดเอียงของหลังคามากเท่าใด ปริมาณวัสดุที่จำเป็นในการสร้างก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น ต้นทุนเพิ่มขึ้นอย่างน้อย 20%

มุมลาดเอียงและวัสดุมุงหลังคา

ไม่เพียงแค่ สภาพภูมิอากาศจะมีผลกระทบอย่างมากต่อรูปทรงและมุมของทางลาด วัสดุที่ใช้ในการก่อสร้างโดยเฉพาะวัสดุมุงหลังคาก็มีบทบาทสำคัญเช่นกัน

โต๊ะ. มุมลาดเอียงที่เหมาะสมที่สุดสำหรับหลังคาที่ทำจากวัสดุหลากหลายชนิด

ในบันทึก! ยิ่งความลาดเอียงของหลังคาต่ำลง ระยะพิทช์ที่ใช้ในการสร้างแผ่นเปลือกก็จะยิ่งน้อยลงเท่านั้น

ความสูงของสันเขายังขึ้นอยู่กับมุมของความลาดชันด้วย

เมื่อคำนวณหลังคาใด ๆ จะใช้สามเหลี่ยมมุมฉากเป็นจุดอ้างอิงเสมอโดยที่ขาคือความสูงของความลาดเอียงที่จุดสูงสุดนั่นคือที่สันเขาหรือการเปลี่ยนแปลงของส่วนล่างของระบบขื่อทั้งหมด ไปด้านบน (ในกรณีของหลังคาห้องใต้หลังคา) รวมถึงการฉายความยาวของความลาดชันเฉพาะในแนวนอนซึ่งแสดงด้วยการทับซ้อนกัน มีค่าคงที่เพียงค่าเดียวที่นี่ - นี่คือความยาวของหลังคาระหว่างผนังทั้งสองนั่นคือความยาวของช่วง ความสูงของส่วนสันจะแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับมุมเอียง

ความรู้เกี่ยวกับสูตรจากตรีโกณมิติจะช่วยคุณในการออกแบบหลังคา: tgA = H/L, sinA = H/S, H = LxtgA, S = H/sinA โดยที่ A คือมุมของความชัน H คือความสูงของหลังคา ถึงบริเวณสันเขา L คือ 1/2 ของช่วงความยาวหลังคาทั้งหมด (ด้วย หลังคาหน้าจั่ว) หรือความยาวทั้งหมด (ในกรณีของหลังคาแหลม) S คือความยาวของความชันนั้นเอง ตัวอย่างเช่นหากทราบค่าที่แน่นอนของความสูงของส่วนสัน มุมเอียงจะถูกกำหนดโดยใช้สูตรแรก คุณสามารถหามุมได้โดยใช้ตารางแทนเจนต์ หากการคำนวณขึ้นอยู่กับมุมหลังคา พารามิเตอร์ความสูงของสันสามารถพบได้โดยใช้สูตรที่สาม ความยาวของจันทันที่มีค่ามุมเอียงและค่าพารามิเตอร์ของขาสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรที่สี่

เครื่องคิดเลขความสูงของสันเขา

สามเหลี่ยมมุมฉากมีอยู่จริงในเกือบทุกมุม ความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติของตัวเลขที่กำหนดตลอดจนความสามารถในการคำนวณพื้นที่นั้นจะมีประโยชน์กับคุณอย่างไม่ต้องสงสัยไม่เพียง แต่สำหรับการแก้ปัญหาทางเรขาคณิตเท่านั้น แต่ยังรวมถึงในสถานการณ์ชีวิตด้วย

เรขาคณิตสามเหลี่ยม

ในเรขาคณิตเบื้องต้น สามเหลี่ยมมุมฉากคือรูปทรงที่ประกอบด้วยส่วนที่เชื่อมต่อกันสามส่วนซึ่งประกอบเป็นมุมสามมุม (มุมแหลมสองมุมและมุมตรงหนึ่งมุม) สามเหลี่ยมมุมฉากเป็นรูปดั้งเดิมที่มีลักษณะเฉพาะด้วยคุณสมบัติสำคัญหลายประการที่ก่อให้เกิดรากฐานของตรีโกณมิติ ด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าต่างจากรูปสามเหลี่ยมทั่วไปซึ่งมีชื่อเป็นของตัวเอง:

• ด้านตรงข้ามมุมฉากจะมากที่สุด ด้านยาวสามเหลี่ยมตรงข้าม มุมฉาก.
• ขาเป็นส่วนที่ประกอบเป็นมุมฉาก ขาอาจอยู่ชิดกัน (สร้างมุมนี้ด้วยด้านตรงข้ามมุมฉาก) หรือตรงกันข้าม (นอนตรงข้ามมุม) ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับมุมที่พิจารณา ไม่มีขาสำหรับรูปสามเหลี่ยมที่ไม่ใช่มุมขวา

เป็นอัตราส่วนของขาและด้านตรงข้ามมุมฉากที่เป็นพื้นฐานของตรีโกณมิติ: ไซน์ แทนเจนต์ และเซแคนต์ถูกกำหนดให้เป็นอัตราส่วนของด้าน สามเหลี่ยมมุมฉาก.

สามเหลี่ยมมุมฉากในความเป็นจริง

ตัวเลขนี้แพร่หลายในความเป็นจริง สามเหลี่ยมถูกนำมาใช้ในการออกแบบและเทคโนโลยี ดังนั้นการคำนวณพื้นที่ของรูปจึงต้องดำเนินการโดยวิศวกร สถาปนิก และนักออกแบบ ฐานของจัตุรมุขหรือปริซึม - รูปทรงสามมิติที่พบเจอได้ง่ายในชีวิตประจำวัน - มีรูปร่างเป็นรูปสามเหลี่ยม นอกจากนี้ สี่เหลี่ยมจัตุรัสยังเป็นตัวแทนสามเหลี่ยมมุมฉาก "แบน" ที่ง่ายที่สุดในความเป็นจริง สี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นงานโลหะ เขียนแบบ ก่อสร้างและ เครื่องมือช่างไม้ซึ่งใช้ในการสร้างมุมโดยทั้งเด็กนักเรียนและวิศวกร

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

สี่เหลี่ยม รูปทรงเรขาคณิตคือการประเมินเชิงปริมาณว่าระนาบนั้นล้อมรอบด้วยด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมมากน้อยเพียงใด พื้นที่ของสามเหลี่ยมธรรมดาหาได้ 5 วิธีโดยใช้สูตรของเฮรอน หรือใช้ตัวแปรต่างๆ เช่น ฐาน ด้าน มุม และรัศมีของวงกลมที่ขีดไว้หรือวงกลมที่วัดในกรอบวงกลม ที่สุด สูตรง่ายๆพื้นที่แสดงเป็น:

โดยที่ a คือด้านของสามเหลี่ยม h คือความสูง

สูตรการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากนั้นง่ายกว่า:

โดยที่ a และ b เป็นขา

เมื่อใช้เครื่องคิดเลขออนไลน์ของเรา คุณสามารถคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมได้โดยใช้พารามิเตอร์สามคู่:

• สองขา;
• ขาและมุมที่อยู่ติดกัน
• ขาและมุมตรงข้าม

ในปัญหาหรือสถานการณ์ในชีวิตประจำวัน คุณจะได้รับตัวแปรต่างๆ รวมกัน ดังนั้นเครื่องคิดเลขรูปแบบนี้จึงช่วยให้คุณคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมได้หลายวิธี ลองดูตัวอย่างสองสามตัวอย่าง

ตัวอย่างชีวิตจริง

กระเบื้องเซรามิค

สมมติว่าคุณต้องการจัดระเบียบผนังห้องครัว กระเบื้องเซรามิคซึ่งมีรูปร่างเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เพื่อกำหนดปริมาณการใช้กระเบื้องคุณต้องค้นหาพื้นที่ขององค์ประกอบหุ้มและ พื้นที่ทั้งหมดพื้นผิวที่ผ่านการบำบัดแล้ว สมมติว่าคุณต้องดำเนินการ 7 ตารางเมตร. ความยาวของขาขององค์ประกอบหนึ่งคือ 19 ซม. จากนั้นพื้นที่ของกระเบื้องจะเท่ากับ:

ซึ่งหมายความว่าพื้นที่ขององค์ประกอบหนึ่งคือ 24.5 ตารางเซนติเมตรหรือ 0.01805 ตารางเมตร เมื่อทราบพารามิเตอร์เหล่านี้แล้ว คุณสามารถคำนวณได้ว่าหากต้องการสร้างกำแพงขนาด 7 ตารางเมตร คุณจะต้องใช้องค์ประกอบกระเบื้องหันหน้า 7/0.01805 = 387 ชิ้น

งานโรงเรียน

สมมติว่าในโจทย์เรขาคณิตของโรงเรียน คุณต้องหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยรู้เพียงว่าด้านของขาข้างหนึ่งคือ 5 ซม. และมุมตรงข้ามคือ 30 องศา เครื่องคิดเลขออนไลน์ของเรามีภาพประกอบแสดงด้านและมุมของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ถ้าด้าน a = 5 ซม. มุมตรงข้ามจะเป็นมุมอัลฟา ซึ่งเท่ากับ 30 องศา ป้อนข้อมูลนี้ลงในแบบฟอร์มเครื่องคิดเลขและรับผลลัพธ์:

ดังนั้นเครื่องคิดเลขไม่เพียง แต่คำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่กำหนดเท่านั้น แต่ยังกำหนดความยาวของขาที่อยู่ติดกันและด้านตรงข้ามมุมฉากรวมถึงค่าของมุมที่สองด้วย

บทสรุป

สามเหลี่ยมมุมฉากพบได้ในชีวิตของเราในทุกมุมอย่างแท้จริง การกำหนดพื้นที่ของตัวเลขดังกล่าวจะมีประโยชน์สำหรับคุณไม่เพียง แต่ในการแก้ปัญหาการมอบหมายงานของโรงเรียนในเรขาคณิต แต่ยังรวมถึงกิจกรรมในชีวิตประจำวันและทางวิชาชีพด้วย

รูปสามเหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยมดั้งเดิมที่ล้อมรอบด้วยจุดสามจุดและสามส่วนที่เชื่อมต่อจุดเหล่านี้เป็นคู่กันบนระนาบ มุมในรูปสามเหลี่ยมมีลักษณะแหลม ป้าน และมุมฉาก ผลรวมของมุมในรูปสามเหลี่ยมมีความต่อเนื่องและเท่ากับ 180 องศา

คุณจะต้องการ

• ความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับเรขาคณิตและตรีโกณมิติ

คำแนะนำ

1. ให้เราแสดงความยาวของด้านของสามเหลี่ยมเป็น a=2, b=3, c=4 และมุมของมันเป็น u, v, w ซึ่งแต่ละด้านอยู่ตรงข้ามกับด้านใดด้านหนึ่ง ตามทฤษฎีบทโคไซน์ กำลังสองของความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของกำลังสองของความยาวของอีก 2 ด้านลบด้วยสองเท่าของผลคูณของด้านเหล่านี้และโคไซน์ของมุมระหว่างทั้งสอง นั่นคือ a^2 = b^2 + c^2 – 2bc*cos(u) ลองแทนความยาวของด้านลงในพจน์นี้แล้วได้: 4 = 9 + 16 – 24cos(u)

2. ให้เราแสดง cos(u) จากผลลัพธ์ความเท่าเทียมกัน เราได้ดังนี้: cos(u) = 7/8 ต่อไปเราจะหามุมที่แท้จริง u เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เรามาคำนวณส่วนโค้ง (7/8) กัน นั่นคือ มุม u = ส่วนโค้ง (7/8)

3. ในทำนองเดียวกัน เมื่อแสดงด้านอื่นๆ ในรูปของด้านอื่นๆ เราจะพบมุมที่เหลือ

บันทึก!
ค่าของมุมหนึ่งต้องไม่เกิน 180 องศา เครื่องหมาย arccos() ไม่สามารถมีจำนวนมากกว่า 1 และเล็กกว่า -1 ได้

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์
ในการตรวจจับทั้งสามมุมนั้น ไม่จำเป็นต้องแสดงทั้งสามด้าน อนุญาตให้ตรวจจับได้เพียง 2 มุม และมุมที่ 3 ได้มาจากการลบค่าของมุมที่เหลือ 2 มุมออกจาก 180 องศา สิ่งนี้ตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าผลรวมของมุมทั้งหมดของสามเหลี่ยมมีความต่อเนื่องและเท่ากับ 180 องศา

ในเรขาคณิตมักมีปัญหาเกี่ยวกับด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม ตัวอย่างเช่น มักจะจำเป็นต้องหาด้านของสามเหลี่ยมถ้ารู้อีกสองด้าน

สามเหลี่ยมเป็นหน้าจั่วด้านเท่ากันหมดและไม่เท่ากัน จากความหลากหลายทั้งหมด สำหรับตัวอย่างแรก เราจะเลือกรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (ในสามเหลี่ยมดังกล่าว มุมหนึ่งคือ 90° ด้านที่อยู่ติดกันเรียกว่าขา และมุมที่สามคือด้านตรงข้ามมุมฉาก)

การนำทางอย่างรวดเร็วผ่านบทความ

ความยาวของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก

การแก้ปัญหาเป็นไปตามทฤษฎีบทของพีทาโกรัสนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ มันบอกว่าผลรวมของกำลังสองของขาของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก: a²+b²=c²

• ค้นหากำลังสองของความยาวขา a;
• ค้นหากำลังสองของขา b;
• เรารวบรวมมันเข้าด้วยกัน
• จากผลลัพธ์ที่ได้เราจะแยกรูตที่สอง

ตัวอย่าง: a=4, b=3, c=?

• ก²=4²=16;
• ข² =3²=9;
• 16+9=25;
• √25=5. นั่นคือ ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมนี้คือ 5

ถ้ารูปสามเหลี่ยมไม่มีมุมฉาก แสดงว่าความยาวของด้านทั้งสองด้านไม่เพียงพอ สำหรับสิ่งนี้ จำเป็นต้องใช้พารามิเตอร์ตัวที่สาม: นี่อาจเป็นมุม, ความสูงของรูปสามเหลี่ยม, รัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ ฯลฯ

หากทราบปริมณฑลแล้ว

ในกรณีนี้งานจะง่ายยิ่งขึ้น เส้นรอบรูป (P) คือผลรวมของทุกด้านของรูปสามเหลี่ยม: P=a+b+c ดังนั้นโดยการแก้สมการทางคณิตศาสตร์อย่างง่ายเราจะได้ผลลัพธ์

ตัวอย่าง: P=18, a=7, b=6, c=?

1) เราแก้สมการโดยย้ายพารามิเตอร์ที่รู้จักทั้งหมดไปไว้ที่ด้านหนึ่งของเครื่องหมายเท่ากับ:

2) แทนค่าแทนค่าเหล่านั้นแล้วคำนวณด้านที่สาม:

c=18-7-6=5, ผลรวม: ด้านที่สามของสามเหลี่ยมคือ 5

หากรู้มุมแล้ว

ในการคำนวณด้านที่สามของสามเหลี่ยมที่กำหนดมุมและด้านอื่นๆ อีกสองด้าน วิธีการแก้ปัญหาจะขึ้นอยู่กับการคำนวณ สมการตรีโกณมิติ. เมื่อทราบความสัมพันธ์ระหว่างด้านของสามเหลี่ยมกับไซน์ของมุมแล้ว การคำนวณด้านที่สามจึงเป็นเรื่องง่าย ในการทำเช่นนี้ คุณจะต้องยกกำลังสองทั้งสองด้านแล้วบวกผลลัพธ์เข้าด้วยกัน จากนั้นลบผลคูณของด้านคูณด้วยโคไซน์ของมุมออกจากผลคูณที่ได้: C=√(a²+b²-a*b*cosα)

หากทราบพื้นที่แล้ว

ในกรณีนี้สูตรเดียวจะไม่ทำ

1) ขั้นแรกให้คำนวณ sin γ โดยแสดงจากสูตรสำหรับพื้นที่สามเหลี่ยม:

บาป γ= 2S/(a*b)

2) ใช้สูตรต่อไปนี้ เราคำนวณโคไซน์ของมุมเดียวกัน:

บาป² α + cos² α=1

cos α=√(1 — บาป² α)=√(1- (2S/(a*b))²)

3) และอีกครั้งเราใช้ทฤษฎีบทของไซน์:

C=√((a²+b²)-a*b*cosα)

C=√((a²+b²)-a*b*√(1- (S/(a*b))²))

แทนค่าของตัวแปรลงในสมการนี้เราจะได้คำตอบของปัญหา