การพัฒนาระเบียบวิธี "วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์" ตัวอย่างของการเหนี่ยวนำ วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์: ตัวอย่างการแก้ปัญหา

คำอธิบายบรรณานุกรม: Badanin A. S. , Sizova M. Yu. การประยุกต์ใช้วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหาเรื่องการหารจำนวนธรรมชาติลงตัว // นักวิทยาศาสตร์รุ่นเยาว์ 2558. ครั้งที่ 2. ป.84-86..04.2019).

ในการแข่งขันคณิตศาสตร์โอลิมปิก มักจะมีปัญหาที่ค่อนข้างยากในการพิสูจน์การหารจำนวนธรรมชาติ เด็กนักเรียนประสบปัญหา: จะหาวิธีทางคณิตศาสตร์สากลที่ช่วยให้พวกเขาแก้ปัญหาดังกล่าวได้อย่างไร?

ปรากฎว่าปัญหาส่วนใหญ่ในการพิสูจน์การหารลงตัวสามารถแก้ไขได้โดยวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ แต่ตำราเรียนของโรงเรียนให้ความสำคัญกับวิธีนี้น้อยมาก โดยส่วนใหญ่มักจะให้คำอธิบายทางทฤษฎีสั้น ๆ และมีการวิเคราะห์ปัญหาหลายประการ

เราพบวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ในทฤษฎีจำนวน ในช่วงเริ่มต้นของทฤษฎีจำนวน นักคณิตศาสตร์ค้นพบข้อเท็จจริงมากมายโดยอุปนัย: แอล. ออยเลอร์และเค. เกาส์บางครั้งพิจารณาตัวอย่างหลายพันตัวอย่างก่อนที่จะสังเกตเห็นรูปแบบตัวเลขและเชื่อในรูปแบบนั้น แต่ในขณะเดียวกันพวกเขาก็เข้าใจว่าสมมติฐานที่หลอกลวงที่ผ่านการทดสอบ "ขั้นสุดท้าย" นั้นเป็นอย่างไร หากต้องการย้ายจากคำสั่งที่ตรวจสอบแล้วสำหรับเซตย่อยที่มีจำกัดไปเป็นคำสั่งที่คล้ายกันสำหรับเซตอนันต์ทั้งหมด จำเป็นต้องมีการพิสูจน์ วิธีนี้เสนอโดยแบลส ปาสคาล ผู้ค้นพบอัลกอริธึมทั่วไปในการค้นหาสัญญาณของการหารจำนวนเต็มใดๆ ด้วยจำนวนเต็มอื่นๆ ลงตัว (บทความ "เกี่ยวกับธรรมชาติของการหารตัวเลขลงตัว")

วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ใช้ในการพิสูจน์โดยการให้เหตุผลความจริงของข้อความจำนวนหนึ่งสำหรับจำนวนธรรมชาติทั้งหมด หรือความจริงของข้อความที่เริ่มต้นจากจำนวน n ที่กำหนด

การแก้ปัญหาเพื่อพิสูจน์ความจริงของข้อความบางอย่างโดยใช้วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ประกอบด้วยสี่ขั้นตอน (รูปที่ 1):

ข้าว. 1. แผนการแก้ไขปัญหา

1. พื้นฐานการเหนี่ยวนำ . พวกเขาตรวจสอบความถูกต้องของข้อความเพื่อหาจำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุดซึ่งข้อความนั้นสมเหตุสมผล

2. สมมติฐานอุปนัย . เราถือว่าข้อความนี้เป็นจริงสำหรับค่า k

3. การเปลี่ยนแปลงการเหนี่ยวนำ . เราพิสูจน์ว่าข้อความดังกล่าวเป็นจริงสำหรับ k+1

4. บทสรุป . หากการพิสูจน์ดังกล่าวเสร็จสมบูรณ์ ตามหลักการของการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ ก็อาจโต้แย้งได้ว่าข้อความดังกล่าวเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n

ให้เราพิจารณาการประยุกต์ใช้วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหาการพิสูจน์การหารจำนวนธรรมชาติลงตัว

ตัวอย่างที่ 1. พิสูจน์ว่าเลข 5 เป็นผลคูณของ 19 โดยที่ n เป็นจำนวนธรรมชาติ

การพิสูจน์:

1) มาตรวจสอบว่าสูตรนี้ถูกต้องสำหรับ n = 1: ตัวเลข =19 เป็นผลคูณของ 19

2) ปล่อยให้สูตรนี้เป็นจริงสำหรับ n = k นั่นคือตัวเลขเป็นผลคูณของ 19

มันเป็นผลคูณของ 19 อันที่จริงเทอมแรกหารด้วย 19 ลงตัวเนื่องจากข้อสันนิษฐาน (2) เทอมที่สองก็หารด้วย 19 ลงตัวเช่นกัน เนื่องจากมีตัวประกอบเป็น 19

ตัวอย่างที่ 2พิสูจน์ว่าผลรวมของกำลังสามของจำนวนธรรมชาติสามจำนวนติดต่อกันหารด้วย 9 ลงตัว

การพิสูจน์:

ขอให้เราพิสูจน์ข้อความนี้: “สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n นิพจน์ n 3 +(n+1) 3 +(n+2) 3 เป็นผลคูณของ 9

1) มาตรวจสอบว่าสูตรนี้ถูกต้องสำหรับ n = 1: 1 3 +2 3 +3 3 =1+8+27=36 ผลคูณของ 9

2) ให้สูตรนี้เป็นจริงสำหรับ n = k เช่น k 3 +(k+1) 3 +(k+2) 3 เป็นผลคูณของ 9

3) ให้เราพิสูจน์ว่าสูตรเป็นจริงสำหรับ n = k + 1 เช่น (k+1) 3 +(k+2) 3 +(k+3) 3 เป็นผลคูณของ 9 (k+1) 3 +( k+2) 3 +(k+3) 3 =(k+1) 3 +(k+2) 3 + k 3 + 9k 2 +27 k+ 27=(k 3 +(k+1) 3 +(k +2) 3)+9(k 2 +3k+ 3)

ผลลัพธ์ที่ได้ประกอบด้วยพจน์สองพจน์ ซึ่งแต่ละพจน์หารด้วย 9 ลงตัว ดังนั้นผลรวมจึงหารด้วย 9 ลงตัว

4) ทั้งสองเงื่อนไขของหลักการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์เป็นไปตามเงื่อนไข ดังนั้น ประโยคจึงเป็นจริงสำหรับค่าทั้งหมดของ n

ตัวอย่างที่ 3พิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n จำนวน 3 2n+1 +2 n+2 หารด้วย 7 ลงตัว

การพิสูจน์:

1) ลองตรวจสอบว่าสูตรนี้ถูกต้องสำหรับ n = 1: 3 2*1+1 +2 1+2 = 3 3 +2 3 =35, 35 เป็นผลคูณของ 7

2) ให้สูตรนี้เป็นจริงสำหรับ n = k เช่น 3 2 k +1 +2 k +2 หารด้วย 7

3) ให้เราพิสูจน์ว่าสูตรนี้เป็นจริงสำหรับ n = k + 1 เช่น

3 2(k +1)+1 +2 (k +1)+2 = 3 2 k +1 ·3 2 +2 k +2 ·2 1 =3 2 k +1 ·9+2 k +2 ·2 =3 2 k +1 ·9+2 k +2 ·(9–7)=(3 2 k +1 +2 k +2)·9–7·2 k +2 .T. k. (3 2 k +1 +2 k +2) 9 หารด้วย 7 และ 7 2 k +2 หารด้วย 7 จากนั้นผลต่างหารด้วย 7

4) ทั้งสองเงื่อนไขของหลักการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์เป็นไปตามเงื่อนไข ดังนั้น ประโยคจึงเป็นจริงสำหรับค่าทั้งหมดของ n

ปัญหาการพิสูจน์หลายประการในทฤษฎีการหารจำนวนธรรมชาติสามารถแก้ไขได้สะดวกโดยใช้วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ อาจกล่าวได้ว่าการแก้ปัญหาด้วยวิธีนี้นั้นเป็นอัลกอริทึมโดยสมบูรณ์ ก็เพียงพอที่จะดำเนินการ 4 ขั้นตอนพื้นฐาน แต่วิธีนี้ไม่สามารถเรียกว่าเป็นสากลได้เนื่องจากมีข้อเสียเช่นกัน ประการแรกสามารถพิสูจน์ได้บนชุดของจำนวนธรรมชาติเท่านั้น และประการที่สอง สามารถพิสูจน์ได้สำหรับตัวแปรตัวเดียวเท่านั้น

สำหรับการพัฒนาการคิดเชิงตรรกะและวัฒนธรรมทางคณิตศาสตร์วิธีนี้เป็นเครื่องมือที่จำเป็นเพราะนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียผู้ยิ่งใหญ่ A. N. Kolmogorov กล่าวว่า:“ การทำความเข้าใจและความสามารถในการใช้หลักการของการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์อย่างถูกต้องเป็นเกณฑ์ที่ดีของวุฒิภาวะเชิงตรรกะซึ่งอย่างแน่นอน ที่จำเป็นสำหรับนักคณิตศาสตร์”

วรรณกรรม:

1. การเหนี่ยวนำ Vilenkin N. Ya. เชิงผสม - อ.: การศึกษา, 2519. - 48 น.

2. Genkin L. เกี่ยวกับการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์. - ม., 2505. - 36 น.

3. Solominsky I. S. วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ - อ.: Nauka, 2517. - 63 น.

4. Sharygin I.F. หลักสูตรเสริมในวิชาคณิตศาสตร์: การแก้ปัญหา: หนังสือเรียนสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 ค่าเฉลี่ยของโรงเรียน - อ.: การศึกษา, 2532. - 252 น.

5. Shen A. การอุปนัยทางคณิตศาสตร์. - อ.: MTsNMO, 2550 - 32 น.

การบรรยายครั้งที่ 6 วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์

ความรู้ใหม่ในด้านวิทยาศาสตร์และชีวิตได้รับมาในรูปแบบที่แตกต่างกัน แต่ทั้งหมด (ถ้าคุณไม่ลงรายละเอียด) แบ่งออกเป็นสองประเภท - การเปลี่ยนจากความรู้ทั่วไปไปสู่ความรู้เฉพาะและจากความรู้เฉพาะไปสู่ความรู้ทั่วไป ประการแรกคือการหักเงิน ประการที่สองคือการเหนี่ยวนำ การใช้เหตุผลแบบนิรนัยคือสิ่งที่เรียกกันทั่วไปในวิชาคณิตศาสตร์ เหตุผลเชิงตรรกะและในทางคณิตศาสตร์ การหักล้างเป็นวิธีเดียวที่ถูกต้องตามกฎหมายในการสืบสวน กฎของการให้เหตุผลเชิงตรรกะถูกกำหนดขึ้นเมื่อสองพันปีก่อนโดยอริสโตเติล นักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกโบราณ เขาได้สร้างรายการเหตุผลที่ถูกต้องที่ง่ายที่สุดขึ้นมา การอ้างเหตุผล– “ส่วนประกอบ” ของตรรกะ ในขณะเดียวกันก็ระบุเหตุผลทั่วไปที่คล้ายกันมากว่าถูกต้อง แต่ไม่ถูกต้อง (เรามักพบการให้เหตุผลแบบ “เทียม” ดังกล่าวในสื่อ)

การเหนี่ยวนำ (การเหนี่ยวนำ - ในภาษาละติน คำแนะนำ) แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนจากตำนานอันโด่งดังที่ไอแซก นิวตันกำหนดกฎแรงโน้มถ่วงสากลหลังจากที่ลูกแอปเปิ้ลหล่นใส่หัวของเขา อีกตัวอย่างจากฟิสิกส์: ในปรากฏการณ์เช่นการเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า สนามไฟฟ้าจะสร้าง "เหนี่ยวนำ" สนามแม่เหล็ก “ผลแอปเปิ้ล” เป็นตัวอย่างทั่วไปของสถานการณ์ที่มีกรณีพิเศษอย่างน้อยหนึ่งกรณี นั่นคือ การสังเกต, “แนะนำ” ข้อความทั่วไป โดยสรุปทั่วไปบนพื้นฐานของกรณีเฉพาะ วิธีการอุปนัยเป็นวิธีหลักในการรับรูปแบบทั่วไปทั้งในวิทยาศาสตร์ธรรมชาติและมนุษย์ แต่มีข้อเสียเปรียบที่สำคัญมาก: จากตัวอย่างเฉพาะสามารถสรุปที่ไม่ถูกต้องได้ สมมติฐานที่เกิดจากการสังเกตส่วนตัวนั้นไม่ถูกต้องเสมอไป ลองพิจารณาตัวอย่างเนื่องจากออยเลอร์

เราจะคำนวณค่าของตรีโกณมิติสำหรับค่าแรกบางค่า n:

โปรดทราบว่าตัวเลขที่ได้รับจากการคำนวณนั้นเป็นจำนวนเฉพาะ และสามารถตรวจสอบได้โดยตรงสำหรับแต่ละคน nค่าพหุนาม 1 ถึง 39
เป็นจำนวนเฉพาะ อย่างไรก็ตามเมื่อ n=40 เราได้ตัวเลข 1681=41 2 ซึ่งไม่ใช่จำนวนเฉพาะ ดังนั้นสมมุติฐานที่อาจเกิดขึ้นตรงนี้ก็คือสมมุติฐานแต่ละอย่าง nตัวเลข
เรียบง่าย กลับกลายเป็นเท็จ

ไลบ์นิซพิสูจน์ให้เห็นแล้วในศตวรรษที่ 17 สำหรับทุกผลบวก nตัวเลข
หารด้วย 3, จำนวน
หารด้วย 5 ลงตัว เป็นต้น จากนี้เขาสันนิษฐานว่าเป็นอะไรที่แปลก เคและธรรมชาติใดๆ nตัวเลข
หารด้วย เคแต่ไม่นานฉันก็สังเกตเห็นสิ่งนั้น
หารด้วย 9 ไม่ลงตัว.

ตัวอย่างที่พิจารณาช่วยให้เราได้ข้อสรุปที่สำคัญ: ข้อความสามารถยุติธรรมได้ในหลายกรณีพิเศษและในขณะเดียวกันก็ไม่ยุติธรรมโดยทั่วไป คำถามเกี่ยวกับความถูกต้องของข้อความในกรณีทั่วไปสามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีการให้เหตุผลแบบพิเศษที่เรียกว่า โดยการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์(การเหนี่ยวนำที่สมบูรณ์ การเหนี่ยวนำที่สมบูรณ์แบบ)

6.1. หลักการอุปนัยทางคณิตศาสตร์

♦ วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์จะขึ้นอยู่กับ หลักการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ ซึ่งมีดังต่อไปนี้:

1) มีการตรวจสอบความถูกต้องของข้อความนี้n=1 (พื้นฐานการเหนี่ยวนำ) ,

2) ถือว่าความถูกต้องของข้อความนี้n= เค, ที่ไหนเค– หมายเลขธรรมชาติโดยพลการ 1(สมมติฐานการเหนี่ยวนำ) และเมื่อคำนึงถึงสมมติฐานนี้แล้ว ความถูกต้องของมันก็ถูกกำหนดไว้สำหรับn= เค+1.

การพิสูจน์. ให้เราสมมติสิ่งที่ตรงกันข้าม นั่นคือ สมมติว่าข้อความนี้ไม่เป็นความจริงสำหรับทุกคน n. แล้วมีความเป็นธรรมชาติเช่นนี้ ม, อะไร:

1) คำชี้แจงสำหรับ n=มไม่ยุติธรรม,

2) สำหรับทุกคน nเล็กลง มข้อความดังกล่าวเป็นจริง (กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ มคือจำนวนธรรมชาติตัวแรกที่ข้อความไม่เป็นความจริง)

เห็นได้ชัดว่า ม>1 เพราะว่า สำหรับ n=1 ข้อความเป็นจริง (เงื่อนไข 1) เพราะฉะนั้น,
- จำนวนธรรมชาติ ปรากฎว่าเป็นจำนวนธรรมชาติ
ข้อความนั้นเป็นจริงและสำหรับจำนวนธรรมชาติถัดไป มมันไม่ยุติธรรม. สิ่งนี้ขัดแย้งกับเงื่อนไขที่ 2 ■

โปรดทราบว่าการพิสูจน์ใช้สัจพจน์ที่ว่ากลุ่มของจำนวนธรรมชาติใดๆ มีจำนวนที่น้อยที่สุด

การพิสูจน์ตามหลักการอุปนัยทางคณิตศาสตร์เรียกว่า โดยวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ที่สมบูรณ์ .

 ตัวอย่าง6.1. พิสูจน์ว่าเป็นธรรมชาติใด ๆ nตัวเลข
หารด้วย 3 ลงตัว.

สารละลาย.

1) เมื่อใด n=1 ดังนั้น ก 1 หารด้วย 3 ลงตัว และข้อความเป็นจริงเมื่อใด n=1.

2) สมมติว่าข้อความดังกล่าวเป็นจริงสำหรับ n=เค,
นั่นคือหมายเลขนั้น
หารด้วย 3 ลงตัว และเรากำหนดว่าเมื่อใด n=เคจำนวน +1 หารด้วย 3 ลงตัว

อย่างแท้จริง,

เพราะ แต่ละเทอมหารด้วย 3 ลงตัว แล้วผลรวมก็หารด้วย 3 ลงตัวด้วย ■ 

 ตัวอย่าง6.2. พิสูจน์ว่าผลรวมของอันแรก nจำนวนคี่ธรรมชาติจะเท่ากับกำลังสองของจำนวนนั้น กล่าวคือ

สารละลาย.ลองใช้วิธีอุปนัยทางคณิตศาสตร์แบบสมบูรณ์กัน

1) เราจะตรวจสอบความถูกต้องของข้อความนี้เมื่อใด n=1: 1=1 2 – นี่เป็นเรื่องจริง

2) สมมุติว่าผลรวมของอันแรก เค (
) ของเลขคี่จะเท่ากับกำลังสองของจำนวนตัวเลขเหล่านี้ กล่าวคือ จากความเท่าเทียมกันนี้ เราหาผลรวมของค่าแรกได้ เค+1 เลขคี่มีค่าเท่ากับ
, นั่นคือ .

เราใช้สมมติฐานของเราและได้รับ

. ■ 

วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์แบบสมบูรณ์ใช้เพื่อพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกันบางประการ ให้เราพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกันของเบอร์นูลลี

 ตัวอย่าง6.3. พิสูจน์ว่าเมื่อไร.
และธรรมชาติใดๆ nความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริง
(ความไม่เท่าเทียมกันของแบร์นูลลี)

สารละลาย. 1) เมื่อใด n=1 เราได้
, อันไหนจริง.

2) เราถือว่าเมื่อใด n=เคมีความไม่เท่าเทียมกัน
(*) การใช้สมมติฐานนี้ทำให้เราพิสูจน์ได้ว่า
. สังเกตว่าเมื่อไร.
ความไม่เท่าเทียมนี้ยังคงอยู่และเพียงพอที่จะพิจารณากรณีนี้
.

ลองคูณทั้งสองข้างของอสมการ (*) ด้วยตัวเลขกัน
และเราได้รับ:

นั่นคือ (1+
.■ 

พิสูจน์โดยวิธี การเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ที่ไม่สมบูรณ์ คำสั่งบางอย่างขึ้นอยู่กับ n, ที่ไหน
ดำเนินการในลักษณะเดียวกัน แต่ในตอนแรก ความยุติธรรมถูกกำหนดไว้โดยมีค่าน้อยที่สุด n.

ปัญหาบางอย่างไม่ได้ระบุข้อความที่สามารถพิสูจน์ได้โดยการอุปนัยทางคณิตศาสตร์อย่างชัดเจน ในกรณีเช่นนี้ คุณต้องสร้างรูปแบบด้วยตนเองและตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับความถูกต้องของรูปแบบนี้ จากนั้นใช้วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์เพื่อทดสอบสมมติฐานที่เสนอ

 ตัวอย่าง6.4. หาจำนวนเงิน
.

สารละลาย.มาหาผลรวมกันเถอะ ส 1 , ส 2 , ส 3. เรามี
,
,
. เราตั้งสมมุติฐานว่าสำหรับธรรมชาติใดๆ nสูตรถูกต้อง
. เพื่อทดสอบสมมติฐานนี้ เราจะใช้วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ที่สมบูรณ์

1) เมื่อใด n=1 สมมติฐานนั้นถูกต้อง เพราะว่า
.

2) สมมติว่าสมมติฐานเป็นจริงสำหรับ n=เค,
, นั่นคือ
. เมื่อใช้สูตรนี้ เราพบว่าสมมติฐานนั้นเป็นจริงแม้ว่าจะเป็นเช่นนั้นก็ตาม n=เค+1 นั่นคือ

อย่างแท้จริง,

ดังนั้นโดยสมมุติฐานว่าเป็นจริงเมื่อใด n=เค,
ก็ได้รับการพิสูจน์แล้วว่ามีจริงเช่นกัน n=เค+1 และตามหลักการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ เราสรุปได้ว่าสูตรนี้ใช้ได้สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n. ■ 

 ตัวอย่าง6.5. ในทางคณิตศาสตร์ มีการพิสูจน์แล้วว่าผลรวมของฟังก์ชันต่อเนื่องสม่ำเสมอสองฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องสม่ำเสมอ จากข้อความนี้ คุณต้องพิสูจน์ผลรวมของจำนวนใดๆ
ของฟังก์ชันต่อเนื่องสม่ำเสมอคือฟังก์ชันต่อเนื่องสม่ำเสมอ แต่เนื่องจากเรายังไม่ได้แนะนำแนวคิดเรื่อง "ฟังก์ชันต่อเนื่องสม่ำเสมอ" เราจึงเสนอปัญหาในเชิงนามธรรมมากขึ้น: ให้เราทราบว่าผลรวมของฟังก์ชันทั้งสองที่มีคุณสมบัติบางอย่าง สตัวเองมีทรัพย์สิน ส. ให้เราพิสูจน์ว่าผลรวมของฟังก์ชันจำนวนเท่าใดก็ได้มีคุณสมบัติ ส.

สารละลาย.พื้นฐานของการปฐมนิเทศในที่นี้อยู่ในการกำหนดปัญหานั่นเอง เมื่อได้ตั้งสมมติฐานการปฐมนิเทศแล้ว ให้พิจารณา
ฟังก์ชั่น ฉ 1 , ฉ 2 , …, ฉ n , ฉ n+1 ที่มีคุณสมบัติ ส. แล้ว . ทางด้านขวา เทอมแรกมีคุณสมบัติ สตามสมมติฐานการอุปนัย เทอมที่สองจะมีคุณสมบัติ สตามเงื่อนไข ผลรวมของพวกเขาจึงมีทรัพย์สิน ส– สำหรับสองเทอม พื้นฐานการอุปนัยคือ “ได้ผล”

นี่เป็นการพิสูจน์คำกล่าวและเราจะใช้มันต่อไป ■ 

 ตัวอย่าง6.6. ค้นพบธรรมชาติทั้งหมด nซึ่งความไม่เท่าเทียมกันนั้นเป็นจริง

.

สารละลาย.ลองพิจารณาดู n=1, 2, 3, 4, 5, 6 เรามี: 2 1 >1 2, 2 2 =2 2, 2 3<3 2 , 2 4 =4 2 , 2 5 >5 2, 2 6 >6 2. ดังนั้นเราจึงสามารถตั้งสมมติฐานได้: ความไม่เท่าเทียมกัน
มีสถานที่สำหรับทุกคน
. เพื่อพิสูจน์ความจริงของสมมติฐานนี้ เราจะใช้หลักการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ที่ไม่สมบูรณ์

1) ตามที่ได้กำหนดไว้ข้างต้น สมมติฐานนี้เป็นจริงเมื่อใด n=5.

2) สมมติว่ามันเป็นเรื่องจริงสำหรับ n=เค,
นั่นคือความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริง
. โดยใช้สมมติฐานนี้ เราพิสูจน์ได้ว่าความไม่เท่าเทียมกัน
.

เพราะ
และที่
มีความไม่เท่าเทียมกัน

ที่
,

แล้วเราก็เข้าใจแล้ว
. ดังนั้นความจริงของสมมติฐานที่ n=เค+1 ตามมาจากสมมติฐานว่าเป็นจริงเมื่อใด n=เค,
.

จากย่อหน้า 1 และ 2 ตามหลักการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ที่ไม่สมบูรณ์ ตามมาด้วยความไม่เท่าเทียมกัน
เป็นจริงสำหรับทุกธรรมชาติ
. ■ 

 ตัวอย่าง6.7. พิสูจน์สิ่งนั้นสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ nสูตรการสร้างความแตกต่างนั้นถูกต้อง
.

สารละลาย.ที่ n=1 หน้าตาสูตรนี้
หรือ 1=1 กล่าวคือ ถูกต้อง สมมติฐานการเหนี่ยวนำเรามี:

Q.E.D. ■ 

 ตัวอย่าง6.8. พิสูจน์ว่าเซตประกอบด้วย nองค์ประกอบก็มี เซตย่อย

สารละลาย.ชุดประกอบด้วยองค์ประกอบเดียว กมีสองเซตย่อย สิ่งนี้เป็นจริงเพราะเซตย่อยทั้งหมดเป็นเซตว่างและเซตว่างนั่นเอง และ 2 1 =2

ให้เราสมมุติว่าทุกชุดของ nองค์ประกอบก็มี เซตย่อย หากเซต A ประกอบด้วย nองค์ประกอบ +1 จากนั้นเราจะแก้ไของค์ประกอบหนึ่งรายการในนั้น - เราแสดงว่ามัน งและแบ่งเซ็ตย่อยทั้งหมดออกเป็นสองคลาส - คลาสที่ไม่มี งและประกอบด้วย ง. สับเซตทั้งหมดจากคลาสที่ 1 เป็นสับเซตของเซต B ที่ได้รับจาก A โดยการลบสมาชิกออก ง.

โดยเซต B ประกอบด้วย nองค์ประกอบต่างๆ ดังนั้น โดยการอุปนัยจึงมี เซตย่อย ดังนั้นในคลาสแรก เซตย่อย

แต่ในคลาสที่สองมีจำนวนเซ็ตย่อยเท่ากัน: แต่ละเซ็ตได้มาจากเซ็ตย่อยของคลาสแรกเพียงชุดเดียวโดยการเพิ่มองค์ประกอบ ง. ดังนั้นรวมเซต A
เซตย่อย

ดังนั้นคำกล่าวนี้จึงได้รับการพิสูจน์แล้ว โปรดทราบว่าเป็นจริงเช่นกันสำหรับเซตที่ประกอบด้วย 0 องค์ประกอบ - เซตว่าง: มีเซตย่อยเดียว - ตัวมันเอง และ 2 0 = 1 ■ 

วิธีการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์

คำว่าอุปนัยในภาษารัสเซียหมายถึงคำแนะนำและการสรุปตามการสังเกตการทดลองเช่น เรียกว่าอุปนัย ได้มาจากการอนุมานจากเรื่องเฉพาะถึงเรื่องทั่วไป

เช่น ทุกวันเราสังเกตว่าดวงอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก ดังนั้นท่านจึงแน่ใจได้ว่าพรุ่งนี้จะปรากฏทางทิศตะวันออกไม่ใช่ทางทิศตะวันตก เราสรุปข้อสรุปนี้โดยไม่ต้องอาศัยสมมติฐานใด ๆ เกี่ยวกับสาเหตุของการเคลื่อนที่ของดวงอาทิตย์ข้ามท้องฟ้า (ยิ่งกว่านั้น การเคลื่อนไหวนี้ปรากฏชัดเจนเนื่องจากโลกกำลังเคลื่อนที่จริง ๆ ) แต่ข้อสรุปเชิงอุปนัยนี้อธิบายข้อสังเกตที่เราจะทำในวันพรุ่งนี้ได้อย่างถูกต้อง

บทบาทของข้อสรุปเชิงอุปนัยในวิทยาศาสตร์เชิงทดลองนั้นยิ่งใหญ่มาก พวกเขาให้บทบัญญัติเหล่านั้นซึ่งจากนั้นจึงทำการสรุปเพิ่มเติมผ่านการหักล้าง แม้ว่ากลศาสตร์ทางทฤษฎีจะขึ้นอยู่กับกฎการเคลื่อนที่สามข้อของนิวตัน กฎเหล่านี้เองก็เป็นผลมาจากการคิดอย่างลึกซึ้งผ่านข้อมูลการทดลอง โดยเฉพาะกฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ของเคปเลอร์ ซึ่งเขาได้มาจากการประมวลผลการสังเกตการณ์หลายปีของนักดาราศาสตร์ชาวเดนมาร์ก ไทโค บราฮี. การสังเกตและการปฐมนิเทศจะเป็นประโยชน์ในอนาคตในการชี้แจงสมมติฐานที่เกิดขึ้น หลังจากการทดลองของมิเชลสันในการวัดความเร็วแสงในตัวกลางที่กำลังเคลื่อนที่ จำเป็นต้องชี้แจงกฎของฟิสิกส์และสร้างทฤษฎีสัมพัทธภาพขึ้นมา

ในทางคณิตศาสตร์ บทบาทของการอุปนัยส่วนใหญ่เป็นไปตามสัจพจน์ที่เลือก หลังจากการฝึกฝนมายาวนานแสดงให้เห็นว่าเส้นทางตรงนั้นสั้นกว่าทางโค้งหรือทางหักเสมอ เป็นเรื่องปกติที่จะกำหนดสัจพจน์: สำหรับจุด A, B และ C สามจุดใดๆ ก็ตาม ความไม่เท่าเทียมกัน

แนวคิดเรื่องต่อไปนี้ซึ่งเป็นพื้นฐานของเลขคณิตก็ปรากฏจากการสังเกตการก่อตัวของทหาร เรือ และชุดคำสั่งอื่น ๆ

อย่างไรก็ตาม เราไม่ควรคิดว่าสิ่งนี้ทำให้บทบาทของการปฐมนิเทศในวิชาคณิตศาสตร์หมดลง แน่นอนว่า เราไม่ควรทดสอบทฤษฎีบทที่อนุมานเชิงตรรกะจากสัจพจน์: หากไม่มีข้อผิดพลาดเชิงตรรกะเกิดขึ้นในระหว่างการหามา ทฤษฎีบทเหล่านั้นก็จะเป็นจริงตราบเท่าที่สัจพจน์ที่เรายอมรับนั้นเป็นความจริง แต่ข้อความจำนวนมากสามารถอนุมานได้จากระบบสัจพจน์นี้ และการเลือกข้อความเหล่านั้นที่ต้องได้รับการพิสูจน์ก็ได้รับการเสนอแนะอีกครั้งโดยการอุปนัย สิ่งนี้ทำให้คุณสามารถแยกทฤษฎีบทที่เป็นประโยชน์ออกจากทฤษฎีที่ไม่มีประโยชน์ ระบุว่าทฤษฎีบทใดที่อาจกลายเป็นจริง และยังช่วยกำหนดเส้นทางของการพิสูจน์อีกด้วย

สาระสำคัญของวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์

ในหลายสาขาของเลขคณิต พีชคณิต เรขาคณิต และการวิเคราะห์ จำเป็นต้องพิสูจน์ความจริงของประโยค A(n) โดยขึ้นอยู่กับตัวแปรตามธรรมชาติ การพิสูจน์ความจริงของข้อเสนอ A(n) สำหรับค่าทั้งหมดของตัวแปรมักจะทำได้โดยวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ซึ่งมีพื้นฐานอยู่บนหลักการต่อไปนี้

ข้อเสนอที่ A(n) ถือเป็นจริงสำหรับค่าธรรมชาติทั้งหมดของตัวแปรหากตรงตามเงื่อนไขสองข้อต่อไปนี้:

ข้อเสนอ A(n) เป็นจริงสำหรับ n=1

จากการสันนิษฐานว่า A(n) เป็นจริงสำหรับ n=k (โดยที่ k คือจำนวนธรรมชาติใดๆ) จะตามมาว่าเป็นจริงสำหรับค่าถัดไป n=k+1

หลักการนี้เรียกว่าหลักการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ โดยปกติจะถูกเลือกให้เป็นหนึ่งในสัจพจน์ที่กำหนดชุดตัวเลขตามธรรมชาติ และดังนั้นจึงยอมรับโดยไม่ต้องพิสูจน์

วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์หมายถึงวิธีการพิสูจน์ดังต่อไปนี้ หากคุณต้องการพิสูจน์ความจริงของประโยค A(n) สำหรับ n ตามธรรมชาติทั้งหมด ประการแรก คุณควรตรวจสอบความจริงของประโยค A(1) และประการที่สอง สมมติว่าความจริงของประโยค A(k) พยายามพิสูจน์ว่าข้อความ A(k +1) เป็นจริง หากสามารถพิสูจน์ได้ และการพิสูจน์ยังคงใช้ได้สำหรับค่าธรรมชาติแต่ละค่าของ k ดังนั้น ตามหลักการของการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ ข้อเสนอ A(n) จะได้รับการยอมรับว่าเป็นจริงสำหรับค่าทั้งหมดของ n

วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ใช้กันอย่างแพร่หลายในการพิสูจน์ทฤษฎีบท อัตลักษณ์ อสมการ ในการแก้ปัญหาการหารลงตัว ในการแก้ปัญหาทางเรขาคณิต และปัญหาอื่นๆ อีกมากมาย

วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหาเรื่อง

การแบ่งแยก

โดยใช้วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ คุณสามารถพิสูจน์ข้อความต่างๆ เกี่ยวกับการหารจำนวนธรรมชาติลงตัวได้

ข้อความต่อไปนี้สามารถพิสูจน์ได้ค่อนข้างง่าย ให้เราแสดงให้เห็นว่าได้มาอย่างไรโดยใช้วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์

ตัวอย่างที่ 1. ถ้า n เป็นจำนวนธรรมชาติ แล้วจำนวนนั้นจะเป็นเลขคู่

เมื่อ n=1 คำสั่งของเราเป็นจริง: - เลขคู่ สมมติว่ามันเป็นเลขคู่ เนื่องจาก 2k เป็นเลขคู่ ดังนั้น สม่ำเสมอ. ดังนั้น ความเท่าเทียมกันได้รับการพิสูจน์แล้วสำหรับ n=1 ความเท่าเทียมกันจึงอนุมานได้จากความเท่าเทียมกัน ซึ่งหมายความว่ามีค่าเท่ากันกับค่าธรรมชาติทั้งหมดของ n

ตัวอย่างที่ 2พิสูจน์ความจริงของประโยค

A(n)=(ตัวเลข 5 เป็นผลคูณของ 19), n คือจำนวนธรรมชาติ

สารละลาย.

คำสั่ง A(1)=(ตัวเลขที่หารด้วย 19 ลงตัว) เป็นจริง

สมมติว่าสำหรับค่าบางค่า n=k

A(k)=(จำนวนที่หารด้วย 19 ลงตัว) เป็นจริง แล้วตั้งแต่

แน่นอนว่า A(k+1) ก็เป็นจริงเช่นกัน อันที่จริงเทอมแรกหารด้วย 19 ลงตัวเนื่องจากข้อสันนิษฐานว่า A(k) เป็นจริง เทอมที่สองยังหารด้วย 19 ลงตัวได้เนื่องจากมีตัวประกอบเป็น 19 เงื่อนไขทั้งสองของหลักการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์เป็นไปตามเงื่อนไข ดังนั้น ข้อเสนอ A(n) จึงเป็นจริงสำหรับค่าทั้งหมดของ n

การประยุกต์ใช้วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์กับ

ซีรีย์สรุป

ตัวอย่างที่ 1สูตรพิสูจน์

, n เป็นจำนวนธรรมชาติ

สารละลาย.

เมื่อ n=1 ความเสมอภาคทั้งสองด้านจะกลับกลายเป็นหนึ่ง ดังนั้น เงื่อนไขแรกของหลักการอุปนัยทางคณิตศาสตร์จึงเป็นที่พอใจ

สมมติว่าสูตรถูกต้องสำหรับ n=k กล่าวคือ

.

ลองบวกทั้งสองข้างของความเสมอภาคนี้แล้วแปลงทางด้านขวา. แล้วเราก็ได้

ดังนั้น จากข้อเท็จจริงที่ว่าสูตรเป็นจริงสำหรับ n=k จึงเป็นไปตามที่สูตรเป็นจริงสำหรับ n=k+1 ด้วย ข้อความนี้เป็นจริงสำหรับค่าธรรมชาติใดๆ ของ k ดังนั้นเงื่อนไขที่สองของหลักการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ก็เป็นไปตามเงื่อนไขเช่นกัน สูตรได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่างที่ 2พิสูจน์ว่าผลรวมของจำนวน n แรกของอนุกรมธรรมชาติเท่ากับ

สารละลาย.

ให้เราแสดงจำนวนเงินที่ต้องการเช่น .

เมื่อ n=1 สมมติฐานจะเป็นจริง

อนุญาต . มาแสดงกันเถอะ .

อย่างแท้จริง,

ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว

ตัวอย่างที่ 3พิสูจน์ว่าผลรวมของกำลังสองของจำนวน n จำนวนแรกของอนุกรมธรรมชาติเท่ากับ .

สารละลาย.

อนุญาต .

.

เรามาแกล้งทำเป็นว่า . แล้ว

และในที่สุดก็.

ตัวอย่างที่ 4พิสูจน์ว่า.

สารละลาย.

ถ้าอย่างนั้น

ตัวอย่างที่ 5พิสูจน์ว่า

สารละลาย.

เมื่อ n=1 สมมติฐานจะเป็นจริงอย่างเห็นได้ชัด

อนุญาต .

มาพิสูจน์กันว่า.

จริงหรือ,

ตัวอย่างการประยุกต์ใช้วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์กับ

การพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกัน

ตัวอย่างที่ 1พิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n>1

.

สารละลาย.

ให้เราแสดงด้านซ้ายของอสมการโดย

ดังนั้น สำหรับ n=2 อสมการจึงเป็นจริง

ให้เคบ้าง ให้เราพิสูจน์ว่าแล้ว และ . เรามี , .

เปรียบเทียบ และ เรามี , เช่น. .

สำหรับจำนวนเต็มบวก k ใดๆ ทางขวามือของค่าเท่ากันสุดท้ายจะเป็นค่าบวก นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไม แต่นั่นก็หมายถึงเช่นกัน

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาข้อผิดพลาดในการให้เหตุผล

คำแถลง. สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n อสมการจะเป็นจริง

การพิสูจน์.

. (1)

ให้เราพิสูจน์ว่าอสมการก็ใช้ได้สำหรับ n=k+1 เช่นกัน เช่น

.

อันที่จริง ไม่น้อยกว่า 2 สำหรับ k ธรรมชาติใดๆ ลองบวกทางด้านซ้ายของอสมการ (1) และทางขวา 2 เราจะได้อสมการที่ยุติธรรม หรือ . คำกล่าวนี้ได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่างที่ 3พิสูจน์ว่า โดยที่ >-1, , n คือจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1

สารละลาย.

สำหรับ n=2 อสมการจะเป็นจริง เนื่องจาก

ปล่อยให้อสมการเป็นจริงสำหรับ n=k โดยที่ k คือจำนวนธรรมชาติ นั่นคือ

. (1)

ให้เราแสดงให้เห็นว่าอสมการก็ใช้ได้กับ n=k+1 เช่นกัน เช่น

. (2)

โดยแท้จริงแล้วตามเงื่อนไข ดังนั้นอสมการจึงเป็นจริง

, (3)

ได้มาจากอสมการ (1) โดยคูณแต่ละส่วนด้วย ให้เราเขียนอสมการ (3) ใหม่ดังนี้: เมื่อละทิ้งพจน์ที่เป็นบวกทางด้านขวาของอสมการสุดท้าย เราจะได้ความไม่เท่าเทียมกันที่ยุติธรรม (2)

ตัวอย่างที่ 4พิสูจน์ว่า

(1)

โดยที่ , , n เป็นจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1

สารละลาย.

สำหรับ n=2 อสมการ (1) จะอยู่ในรูปแบบ

. (2)

เนื่องจาก แล้วอสมการจึงเป็นจริง

. (3)

เมื่อบวกเข้ากับแต่ละส่วนของความไม่เท่าเทียมกัน (3) เราจะได้ความไม่เท่าเทียมกัน (2)

นี่พิสูจน์ว่าสำหรับ n=2 อสมการ (1) เป็นจริง

ให้อสมการ (1) เป็นจริงสำหรับ n=k โดยที่ k คือจำนวนธรรมชาติ นั่นคือ

. (4)

ให้เราพิสูจน์ว่าอสมการ (1) จะต้องเป็นจริงสำหรับ n=k+1 ด้วย นั่นคือ

(5)

ลองคูณอสมการทั้งสองข้าง (4) ด้วย a+b เนื่องจากตามเงื่อนไข เราได้รับความไม่เท่าเทียมกันอย่างยุติธรรมดังต่อไปนี้:

. (6)

เพื่อพิสูจน์ความถูกต้องของความไม่เท่าเทียมกัน (5) ก็เพียงพอแล้วที่จะแสดงให้เห็น

, (7)

หรือสิ่งที่เหมือนกัน

. (8)

อสมการ (8) เทียบเท่ากับอสมการ

. (9)

ถ้า , แล้ว และทางด้านซ้ายของอสมการ (9) เราได้ผลลัพธ์ของจำนวนบวกสองตัว ถ้า , แล้ว และทางด้านซ้ายของอสมการ (9) เราได้ผลคูณของจำนวนลบสองตัว ในทั้งสองกรณี อสมการ (9) เป็นจริง

สิ่งนี้พิสูจน์ว่าความถูกต้องของความไม่เท่าเทียมกัน (1) สำหรับ n=k แสดงถึงความถูกต้องของความไม่เท่าเทียมกันสำหรับ n=k+1

วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ประยุกต์กับวิธีอื่น

งาน

การประยุกต์ใช้วิธีการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ในเรขาคณิตที่เป็นธรรมชาติที่สุด ซึ่งใกล้เคียงกับการใช้วิธีนี้ในทฤษฎีจำนวนและพีชคณิต คือการประยุกต์ใช้ในการแก้ปัญหาการคำนวณทางเรขาคณิต ลองดูตัวอย่างบางส่วน

ตัวอย่างที่ 1คำนวณด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสปกติที่จารึกไว้ในวงกลมรัศมี R

สารละลาย.

เมื่อ n=2 ถูก 2 n - สี่เหลี่ยมจัตุรัสก็คือสี่เหลี่ยมจัตุรัส ข้างเขา. ต่อไปตามสูตรทวีคูณ

เราพบว่าด้านของรูปแปดเหลี่ยมปกติ ด้านของรูปหกเหลี่ยมปกติ ด้านของสามเหลี่ยมสามสิบสองปกติ . เราจึงสรุปได้ว่าด้านที่ถูกจารึกไว้ถูกต้องคือ 2 n - ยกกำลังสองเพื่อความเท่าเทียมกัน

. (1)

สมมติว่าด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสปกติเขียนด้วยสูตร (1) ในกรณีนี้ตามสูตรการทวีคูณ

,

โดยเหตุใดสูตร (1) จึงใช้ได้กับ n ทั้งหมด

ตัวอย่างที่ 2n-gon (ไม่จำเป็นต้องนูน) สามารถแบ่งสามเหลี่ยมออกเป็นสามเหลี่ยมได้กี่รูป?

สารละลาย.

สำหรับรูปสามเหลี่ยม ตัวเลขนี้จะเท่ากับ 1 (ไม่สามารถวาดเส้นทแยงมุมเดียวเป็นรูปสามเหลี่ยมได้) สำหรับรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ตัวเลขนี้คือสองอย่างเห็นได้ชัด

สมมติว่าเรารู้แล้วว่าทุก ๆ k-gon โดยที่ k 1 ก 2 ...น เป็นรูปสามเหลี่ยม

หนึ่ง

เอ 1 เอ 2

ให้ A 1 A k เป็นหนึ่งในเส้นทแยงมุมของพาร์ติชันนี้ มันแบ่ง n-gon A 1 A 2 ...A n ออกเป็น k-gon A 1 A 2 ...A k และ (n-k+2)-gon A 1 A k A k+1 .. .หนึ่ง . ตามสมมติฐาน จำนวนสามเหลี่ยมทั้งหมดในพาร์ติชันจะเท่ากับ

(k-2)+[(n-k+2)-2]=n-2;

ดังนั้น ข้อความของเราจึงได้รับการพิสูจน์แล้วสำหรับ n ทั้งหมด

ตัวอย่างที่ 3ระบุกฎสำหรับการคำนวณจำนวน P(n) ของวิธีที่ n-gon ที่นูนออกมาสามารถแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมได้ด้วยเส้นทแยงมุมที่ไม่ต่อกัน

สารละลาย.

สำหรับรูปสามเหลี่ยม จำนวนนี้จะเท่ากับ 1 อย่างเห็นได้ชัด: P(3)=1

สมมติว่าเราได้กำหนดจำนวน P(k) สำหรับ k ทั้งหมดแล้ว 1 ก 2 ...น . เมื่อใดก็ตามที่มันถูกแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยม ให้ด้าน A 1 เอ 2 จะเป็นด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมฉากกั้น โดยจุดยอดที่สามของสามเหลี่ยมนี้สามารถตรงกับจุด A แต่ละจุดได้ 3, ก 4, …, น . จำนวนวิธีในการแบ่ง n-gon โดยที่จุดยอดนี้เกิดขึ้นพร้อมกับจุด A 3 เท่ากับจำนวนวิธีในการหาร (n-1)-gon A เป็นรูปสามเหลี่ยม 1 ก 3 ก 4 …ก , เช่น. เท่ากับ P(n-1) จำนวนวิธีการแบ่งพาร์ติชันที่จุดยอดนี้เกิดขึ้นพร้อมกับ A 4 เท่ากับจำนวนวิธีในการแบ่ง (n-2)-gon A 1 ก 4 ก 5 …ก , เช่น. เท่ากับ P(n-2)=P(n-2)P(3); จำนวนวิธีการแบ่งพาร์ติชั่นที่ตรงกับ A 5 มีค่าเท่ากับ P(n-3)P(4) เนื่องจากแต่ละพาร์ติชันของ (n-3)-gon A 1 ก 5 ...น สามารถนำมารวมกับแต่ละพาร์ติชั่นของรูปสี่เหลี่ยม A ได้ 2 ก 3 ก 4 ก 5 ฯลฯ ดังนั้นเราจึงมาถึงความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้:

Р(n)=P(n-1)+P(n-2)P(3)+P(n-3)P(4)+…+P(3)P(n-2)+P(n -1)

เมื่อใช้สูตรนี้เราได้รับอย่างต่อเนื่อง:

ป(4)=ป(3)+พี(3)=2,

ป(5)=ป(4)+พี(3)ป(3)+พี(4)+5,

ป(6)=ป(5)+พี(4)ป(3)+พี(3)ป(4)+พี(5)=14

ฯลฯ

คุณยังสามารถแก้ปัญหาเกี่ยวกับกราฟโดยใช้วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ได้

ให้มีโครงข่ายเส้นบนเครื่องบินที่เชื่อมบางจุดและไม่มีจุดอื่น เราจะเรียกเครือข่ายของเส้นดังกล่าวว่าแผนที่ โดยกำหนดให้จุดเป็นจุดยอด ส่วนของเส้นโค้งระหว่างจุดยอดสองจุดที่อยู่ติดกัน - ขอบเขตของแผนที่ ส่วนของเครื่องบินที่แบ่งตามเส้นขอบ - ประเทศของแผนที่

ให้แผนที่บางส่วนบนเครื่องบิน เราจะบอกว่ามีการลงสีอย่างถูกต้องหากแต่ละประเทศของตนทาสีด้วยสีใดสีหนึ่ง และสองประเทศใดๆ ที่มีเส้นขอบร่วมกันจะถูกทาสีด้วยสีที่ต่างกัน

ตัวอย่างที่ 4มีวงกลม n วงบนเครื่องบิน พิสูจน์ว่าสำหรับการจัดเรียงใดๆ ของวงกลมเหล่านี้ แผนที่ที่ประกอบกันสามารถระบายสีสองสีได้อย่างถูกต้อง

สารละลาย.

สำหรับ n=1 ข้อความของเราชัดเจน

สมมติว่าข้อความของเราเป็นจริงสำหรับแผนที่ใดๆ ที่เกิดจากวงกลม n วง และให้มีวงกลม n+1 วงบนระนาบ การลบวงกลมวงใดวงหนึ่งออก เราจะได้แผนที่ที่สามารถระบายสีสองสีได้อย่างถูกต้อง เช่น ขาวดำ

ซาเวลีวา เอคาเทรินา

บทความนี้กล่าวถึงการประยุกต์ใช้วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหาการหารลงตัวและอนุกรมการบวก พิจารณาตัวอย่างการประยุกต์ใช้วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์เพื่อพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกันและการแก้ปัญหาทางเรขาคณิต มีภาพประกอบผลงานพร้อมการนำเสนอ

ดาวน์โหลด:

ดูตัวอย่าง:

กระทรวงวิทยาศาสตร์และการศึกษาแห่งสหพันธรัฐรัสเซีย

สถาบันการศึกษาของรัฐ

โรงเรียนมัธยมหมายเลข 618

หลักสูตร: พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์

หัวข้อการทำงานโครงการ

“วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์และการประยุกต์ในการแก้ปัญหา”

งานเสร็จแล้ว: Savelyeva E คลาส 11B

หัวหน้างาน : Makarova T.P. ครูคณิตศาสตร์ โรงเรียนมัธยมต้น หมายเลข 618

1. บทนำ.

2.วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหาการหารลงตัว

3. การประยุกต์วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์กับการบวกของอนุกรม

4. ตัวอย่างการประยุกต์ใช้วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์กับการพิสูจน์อสมการ

5. การประยุกต์วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหาทางเรขาคณิต

6. รายชื่อวรรณกรรมที่ใช้แล้ว

การแนะนำ

พื้นฐานของการวิจัยทางคณิตศาสตร์คือวิธีการนิรนัยและอุปนัย วิธีการให้เหตุผลแบบนิรนัยคือการให้เหตุผลจากเรื่องทั่วไปไปสู่เรื่องเฉพาะเช่น การใช้เหตุผล จุดเริ่มต้นคือผลทั่วไป และจุดสุดท้ายคือผลเฉพาะ การเหนี่ยวนำจะใช้เมื่อย้ายจากผลลัพธ์เฉพาะไปสู่ผลลัพธ์ทั่วไป เช่น เป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับวิธีนิรนัย วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์สามารถเปรียบเทียบได้กับความก้าวหน้า เราเริ่มต้นจากจุดต่ำสุด และจากการคิดเชิงตรรกะ เราก็มาถึงจุดสูงสุด มนุษย์มุ่งมั่นเพื่อความก้าวหน้ามาโดยตลอดเพื่อความสามารถในการพัฒนาความคิดของเขาอย่างมีเหตุผล ซึ่งหมายความว่าธรรมชาติกำหนดให้เขาคิดแบบอุปนัย แม้ว่าขอบเขตของการประยุกต์ใช้วิธีการปฐมนิเทศทางคณิตศาสตร์จะเติบโตขึ้น แต่ในหลักสูตรของโรงเรียนก็ทุ่มเทเวลาให้กับมันเพียงเล็กน้อย แต่มันสำคัญมากที่จะต้องสามารถคิดแบบอุปนัยได้ การประยุกต์ใช้หลักการนี้ในการแก้ปัญหาและทฤษฎีบทการพิสูจน์มีความเท่าเทียมกับการพิจารณาในการปฏิบัติงานของโรงเรียนเกี่ยวกับหลักการทางคณิตศาสตร์อื่นๆ เช่น ไม่รวมกลาง การรวม-แยก ดีริชเลต์ เป็นต้น บทคัดย่อนี้ประกอบด้วยปัญหาจากสาขาวิชาคณิตศาสตร์ต่างๆ ซึ่ง เครื่องมือหลักคือการใช้วิธีอุปนัยทางคณิตศาสตร์ เมื่อพูดถึงความสำคัญของวิธีนี้ A.N. โคลโมโกรอฟตั้งข้อสังเกตว่า “ความเข้าใจและความสามารถในการประยุกต์หลักการอุปนัยทางคณิตศาสตร์เป็นเกณฑ์ที่ดีของวุฒิภาวะ ซึ่งจำเป็นอย่างยิ่งสำหรับนักคณิตศาสตร์” วิธีการเหนี่ยวนำในความหมายกว้างๆ ประกอบด้วยการเปลี่ยนจากการสังเกตเฉพาะไปเป็นรูปแบบสากล รูปแบบทั่วไป หรือสูตรทั่วไป ในการตีความนี้ แน่นอนว่าวิธีนี้เป็นวิธีการหลักในการทำวิจัยในวิทยาศาสตร์ธรรมชาติเชิงทดลอง

กิจกรรมของมนุษย์ วิธีการ (หลักการ) ของการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ในรูปแบบที่ง่ายที่สุดจะใช้เมื่อจำเป็นต้องพิสูจน์ข้อความบางอย่างสำหรับจำนวนธรรมชาติทั้งหมด

ภารกิจที่ 1 ในบทความของเขา“ ฉันเป็นนักคณิตศาสตร์ได้อย่างไร” A.N. โคลโมโกรอฟเขียนว่า “ฉันเรียนรู้ถึงความสุขจาก “การค้นพบ” ทางคณิตศาสตร์ตั้งแต่เนิ่นๆ โดยสังเกตเห็นรูปแบบหนึ่งเมื่ออายุได้ห้าหรือหกขวบ

1 =1 2 ,

1 + 3 = 2 2 ,

1 + 3 + 5 = 3 2,

1 + 3 + 5 + 7 = 4 2 และต่อๆ ไป

ทางโรงเรียนได้ตีพิมพ์นิตยสาร Spring Swallows ในนั้นการค้นพบของฉันถูกตีพิมพ์…”

เราไม่รู้ว่ามีการให้หลักฐานประเภทใดในบันทึกนี้ แต่ทั้งหมดเริ่มต้นจากการสังเกตส่วนตัว สมมติฐานซึ่งอาจเกิดขึ้นหลังจากการค้นพบความเท่าเทียมกันบางส่วนเหล่านี้ก็คือสูตร

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n 2

จริงสำหรับจำนวนที่กำหนดใดๆ n = 1, 2, 3, ...

เพื่อพิสูจน์สมมติฐานนี้ การสร้างข้อเท็จจริงสองประการก็เพียงพอแล้ว ประการแรกสำหรับ n = 1 (และแม้แต่สำหรับ n = 2, 3, 4) ข้อความที่ต้องการเป็นจริง ประการที่สอง สมมติว่าข้อความดังกล่าวเป็นจริงสำหรับพี = เค และเราจะตรวจสอบให้แน่ใจว่ามันเป็นจริงด้วย n = k + 1:

1 + 3 + 5+…+ (2k - 1) + (2k + 1) = (1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1)) + (2k + 1) = k 2 + (2k + 1) = (k + ฉัน) 2.

ซึ่งหมายความว่าข้อความที่พิสูจน์แล้วเป็นจริงกับทุกค่าน: สำหรับ n = 1 มันเป็นเรื่องจริง (สิ่งนี้ได้รับการตรวจสอบแล้ว) และเนื่องจากข้อเท็จจริงที่สอง - สำหรับ n = 2 ดังนั้นสำหรับ n = 3 (เนื่องจากข้อเท็จจริงเดียวกันประการที่สอง) เป็นต้น

ปัญหาที่ 2. พิจารณาเศษส่วนสามัญที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่มีตัวเศษ 1 และค่าใดๆ (จำนวนเต็มบวก)

(ระบุ) ตัวส่วน: พิสูจน์สิ่งนั้นสำหรับค่าใดๆพี> 3 เราสามารถแทนหน่วยเป็นผลรวมได้ป เศษส่วนต่าง ๆ ประเภทนี้

สารละลาย, ให้เราตรวจสอบคำสั่งนี้ก่อน n = 3; เรามี:

ดังนั้นข้อความพื้นฐานจึงเป็นที่พอใจ

ให้เราสมมติว่าข้อความที่เราสนใจนั้นเป็นจริงสำหรับจำนวนจำนวนหนึ่งถึง, และพิสูจน์ว่าเป็นจริงกับจำนวนที่ตามมาด้วยถึง + 1. กล่าวอีกนัยหนึ่ง สมมติว่ามีการเป็นตัวแทน

ซึ่งเค เงื่อนไขและตัวส่วนทั้งหมดต่างกัน ให้เราพิสูจน์ว่าจากนั้นเราสามารถรับตัวแทนของความสามัคคีเป็นผลรวมได้ถึง + 1 เศษส่วนของประเภทที่ต้องการ เราจะถือว่าเศษส่วนลดลง นั่นคือ ตัวส่วน (ในการแทนหน่วยด้วยผลรวมถึง เงื่อนไข) เพิ่มขึ้นจากซ้ายไปขวาดังนั้นต - ตัวส่วนที่ใหญ่ที่สุด เราจะได้รับตัวแทนที่เราต้องการในรูปของผลรวม(ถึง + 1)เศษส่วนที่ 2 ถ้าเราแบ่งเศษส่วนหนึ่ง เช่น เศษส่วนสุดท้ายออกเป็นสอง สามารถทำได้เพราะว่า

และดังนั้นจึง

นอกจากนี้เศษส่วนทั้งหมดยังคงแตกต่างกันตั้งแต่นั้นเป็นต้นมาต เป็นตัวส่วนที่ใหญ่ที่สุดและ t + 1 > t และ

เสื้อ(เสื้อ + 1) > เสื้อ.

ดังนั้นเราจึงได้จัดตั้ง:

1. ด้วย n = 3 ข้อความนี้เป็นจริง

1. หากข้อความที่เราสนใจเป็นจริงถึง,
   แล้วมันก็เป็นจริงด้วยเค + 1

บนพื้นฐานนี้ เราสามารถอ้างได้ว่าข้อความที่เป็นปัญหานั้นเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติทั้งหมด โดยเริ่มจากสาม นอกจากนี้ การพิสูจน์ข้างต้นยังแสดงถึงอัลกอริธึมในการค้นหาพาร์ติชั่นความสามัคคีที่ต้องการอีกด้วย (นี่คืออัลกอริธึมอะไร ลองนึกภาพเลข 1 เป็นผลรวมของคำศัพท์ 4, 5, 7 ด้วยตัวมันเอง)

ในการแก้ปัญหาสองข้อก่อนหน้านี้ ได้มีการดำเนินการสองขั้นตอน ขั้นตอนแรกเรียกว่าพื้นฐาน การเหนี่ยวนำวินาที -การเปลี่ยนแปลงอุปนัยหรือขั้นตอนการเหนี่ยวนำ ขั้นตอนที่สองเป็นสิ่งสำคัญที่สุด และเกี่ยวข้องกับการตั้งสมมติฐาน (ข้อความจะเป็นจริงเมื่อใด) n = เค) และข้อสรุป (ข้อความเป็นจริงเมื่อ n = k + 1) เรียกพารามิเตอร์ n เอง พารามิเตอร์การเหนี่ยวนำรูปแบบตรรกะ (เทคนิค) นี้ซึ่งช่วยให้เราสามารถสรุปได้ว่าข้อความที่เป็นปัญหานั้นเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติทั้งหมด (หรือสำหรับทั้งหมด โดยเริ่มจากบางส่วน) เนื่องจากทั้งพื้นฐานและการเปลี่ยนผ่านนั้นถูกต้อง เรียกว่าหลักการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ที่ วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์จะขึ้นอยู่กับคำว่า "การเหนี่ยวนำ" นั้นมาจากคำภาษาละตินการเหนี่ยวนำ (คำแนะนำ) ซึ่งหมายถึงการเปลี่ยนจากความรู้เดี่ยวเกี่ยวกับวัตถุแต่ละอย่างของคลาสที่กำหนดไปสู่ข้อสรุปทั่วไปเกี่ยวกับวัตถุทั้งหมดของคลาสที่กำหนดซึ่งเป็นหนึ่งในวิธีการหลักของการรับรู้

หลักการของการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ในรูปแบบที่คุ้นเคยของสองขั้นตอน ปรากฏครั้งแรกในปี 1654 ใน "บทความเกี่ยวกับสามเหลี่ยมเลขคณิต" ของเบลส ปาสคาล ซึ่งวิธีง่ายๆ ในการคำนวณจำนวนชุดค่าผสม (สัมประสิทธิ์ทวินาม) ได้รับการพิสูจน์โดยการเหนี่ยวนำ D. Polya เสนอราคา B. Pascal ในหนังสือโดยมีการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในวงเล็บเหลี่ยม:

“แม้ว่าข้อเสนอที่เป็นปัญหา [สูตรที่ชัดเจนสำหรับค่าสัมประสิทธิ์ทวินาม] จะมีกรณีพิเศษจำนวนนับไม่ถ้วน ผมจะพิสูจน์สั้นๆ โดยอาศัยบทแทรกสองบท

บทแทรกแรกระบุว่าข้อสันนิษฐานนั้นเป็นจริงด้วยเหตุผล - สิ่งนี้ชัดเจน [ที่ป = 1 สูตรที่ชัดเจนถูกต้อง...]

บทแทรกที่สองระบุสิ่งต่อไปนี้: หากสมมติฐานของเราเป็นจริงสำหรับพื้นฐานตามอำเภอใจ [สำหรับ r ตามอำเภอใจ] มันจะเป็นจริงด้วยเหตุผลต่อไปนี้ [สำหรับ n + 1].

จากบทแทรกทั้งสองนี้ จะต้องเป็นไปตามนั้นว่าข้อเสนอนั้นใช้ได้กับทุกค่าป. อันที่จริงโดยอาศัยบทแทรกแรกมันก็เป็นจริงสำหรับป = 1; ดังนั้นโดยอาศัยบทแทรกที่สอง จึงเป็นจริงสำหรับป = 2; ดังนั้นอีกครั้งโดยอาศัยบทแทรกที่สอง จึงใช้ได้สำหรับ n = 3 และอื่นๆ ไม่มีที่สิ้นสุด”

ปัญหาที่ 3 ปริศนาหอคอยแห่งฮานอยประกอบด้วยแท่งสามอัน บนแท่งใดแท่งหนึ่งมีปิรามิด (รูปที่ 1) ประกอบด้วยวงแหวนหลายวงที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางต่างกันลดลงจากล่างขึ้นบน

รูปที่ 1

ปิรามิดนี้จะต้องย้ายไปยังแท่งอื่น โดยขยับวงแหวนเพียงวงเดียวในแต่ละครั้ง และไม่วางวงแหวนที่ใหญ่กว่าไว้บนแท่งที่เล็กกว่า เป็นไปได้ไหมที่จะทำเช่นนี้?

สารละลาย. ดังนั้นเราจึงต้องตอบคำถาม: เป็นไปได้ไหมที่จะย้ายปิรามิดที่ประกอบด้วยป วงแหวนที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางต่างกัน จากแท่งหนึ่งไปยังอีกแท่งหนึ่ง ตามกฎของเกมหรือไม่? อย่างที่พวกเขาพูดกัน ตอนนี้เราได้กำหนดพารามิเตอร์ของปัญหาแล้ว (นำจำนวนธรรมชาติมาพิจารณาด้วยพี) และสามารถแก้ไขได้ด้วยการอุปนัยทางคณิตศาสตร์

1. ฐานการเหนี่ยวนำ เมื่อ n = 1 ทุกอย่างชัดเจนเนื่องจากสามารถเคลื่อนย้ายปิรามิดของวงแหวนหนึ่งไปยังแท่งใดก็ได้อย่างชัดเจน
2. ขั้นตอนการเหนี่ยวนำ สมมติว่าเราสามารถย้ายปิรามิดตามจำนวนวงแหวนได้พี = เค
   ขอให้เราพิสูจน์ว่าเราสามารถย้ายไพรามิดกาออกไปได้ n = k + 1

ปิรามิดจากถึง แหวนวางอยู่บนที่ใหญ่ที่สุด(ถึง + 1)-วงแหวนที่ 2 ตามสมมติฐาน เราสามารถย้ายมันไปยังแท่งอื่นได้ มาทำกัน. ไม่นิ่ง(ถึง + วงแหวนที่ 1) จะไม่ป้องกันเราจากการดำเนินการอัลกอริธึมการเคลื่อนไหวเนื่องจากเป็นวงแหวนที่ใหญ่ที่สุด หลังจากย้ายถึง แหวน ย้ายอันที่ใหญ่ที่สุดนี้กันเถอะ(ถึง + 1) วงแหวนที่ 1 บนแกนที่เหลือ จากนั้นอีกครั้ง เราใช้อัลกอริธึมการเคลื่อนไหวที่เรารู้จักโดยการสันนิษฐานแบบอุปนัยถึง ส่งเสียงกริ่งแล้วย้ายไปที่ไม้เท้าซึ่งมีอันหนึ่งนอนอยู่ด้านล่าง(ถึง +1)วงแหวนที่ 2 ดังนั้นหากเรารู้วิธีเคลื่อนย้ายปิรามิดด้วยถึง แหวนแล้วเราก็รู้วิธีเคลื่อนย้ายปิรามิดและด้วยถึง +1 วง. ดังนั้นตามหลักการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ จึงมีความเป็นไปได้ที่จะเคลื่อนย้ายปิรามิดที่ประกอบด้วยวงแหวน n โดยที่ n > 1

วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหาการหารลงตัว

โดยใช้วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ คุณสามารถพิสูจน์ข้อความต่างๆ เกี่ยวกับการหารจำนวนธรรมชาติลงตัวได้

ปัญหาที่ 4 . ถ้า n เป็นจำนวนธรรมชาติ แล้วจำนวนนั้นจะเป็นเลขคู่

เมื่อ n=1 คำสั่งของเราเป็นจริง: - เลขคู่ สมมติว่ามันเป็นเลขคู่ เนื่องจาก 2k เป็นเลขคู่ ดังนั้น จึงเป็นเลขคู่ ดังนั้น ความเท่าเทียมกันได้รับการพิสูจน์แล้วสำหรับ n=1 ความเท่าเทียมกันนั้นอนุมานได้จากความเท่าเทียมกัน ซึ่งหมายความว่า มันเป็นค่าคู่สำหรับค่าธรรมชาติทั้งหมดของ n

ปัญหาที่ 3. จงพิสูจน์ว่าเลข Z 3 + 3 - 26n - 27 โดยธรรมชาติโดยพลการ n หารด้วย 26 2 ลงตัวโดยไม่มีเศษ

สารละลาย. ก่อนอื่นให้เราพิสูจน์ด้วยการอุปนัยคำสั่งเสริมว่า 3 3n+3 - 1 หารด้วย 26 ลงตัวโดยไม่มีเศษ n > 0

1. ฐานการเหนี่ยวนำ สำหรับ n = 0 เรามี: 3 3 - 1 = 26—หารด้วย 26 ลงตัว

ขั้นตอนการเหนี่ยวนำ สมมุติว่า 3 3n+3 - 1 หารด้วย 26 เมื่อ n = k และ ให้เราพิสูจน์ว่าในกรณีนี้ข้อความดังกล่าวจะเป็นจริงสำหรับ n = k + 1 ตั้งแต่ 3

จากสมมติฐานอุปนัยเราก็สรุปได้ว่าเลข 3 3k + 6 - 1 หารด้วย 26 ลงตัว

ตอนนี้เราจะพิสูจน์ข้อความที่ระบุอยู่ในข้อความปัญหา และอีกครั้งโดยการเหนี่ยวนำ

1. ฐานการเหนี่ยวนำ เห็นได้ชัดว่าเมื่อน= 1 ข้อความเป็นจริง: ตั้งแต่ 3 3+3 - 26 - 27 = 676 = 26 2 .
2. ขั้นตอนการเหนี่ยวนำ สมมุติว่าเมื่อไร.พี = เค
   นิพจน์ 3 3k + 3 - 26k - 27 หารด้วย 26 2 โดยไม่มีเศษเหลือและพิสูจน์ว่าข้อความดังกล่าวเป็นจริงสำหรับ n = k + 1,
   นั่นคือหมายเลขนั้น

หารด้วย 26 2 ไร้ร่องรอย ผลรวมสุดท้ายทั้งสองพจน์หารด้วย 26 ลงตัว 2 . อย่างแรกคือเพราะเราได้พิสูจน์แล้วว่านิพจน์ในวงเล็บหารด้วย 26 ลงตัว ประการที่สองคือโดยสมมติฐานการเหนี่ยวนำ โดยอาศัยหลักการของการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ ข้อความที่ต้องการจึงได้รับการพิสูจน์อย่างสมบูรณ์

การประยุกต์วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์กับการบวกของอนุกรม

ภารกิจที่ 5 สูตรพิสูจน์

N เป็นจำนวนธรรมชาติ

สารละลาย.

เมื่อ n=1 ความเสมอภาคทั้งสองด้านจะกลับกลายเป็นหนึ่ง ดังนั้น เงื่อนไขแรกของหลักการอุปนัยทางคณิตศาสตร์จึงเป็นที่พอใจ

สมมติว่าสูตรถูกต้องสำหรับ n=k กล่าวคือ

ลองบวกทั้งสองข้างของความเสมอภาคนี้แล้วแปลงทางด้านขวา. แล้วเราก็ได้

ดังนั้น จากข้อเท็จจริงที่ว่าสูตรเป็นจริงสำหรับ n=k จึงเป็นไปตามที่สูตรเป็นจริงสำหรับ n=k+1 ด้วย ข้อความนี้เป็นจริงสำหรับค่าธรรมชาติใดๆ ของ k ดังนั้นเงื่อนไขที่สองของหลักการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ก็เป็นไปตามเงื่อนไขเช่นกัน สูตรได้รับการพิสูจน์แล้ว

งาน 6. เขียนตัวเลขสองตัวบนกระดาน: 1,1 โดยการป้อนผลรวมระหว่างตัวเลขเราจะได้ตัวเลข 1, 2, 1 ทำซ้ำการดำเนินการนี้อีกครั้งเราจะได้ตัวเลข 1, 3, 2, 3, 1 หลังจากดำเนินการสามครั้งตัวเลขจะเป็น 1, 4, 3 , 5, 2, 5, 3, 4, 1 หลังจากนั้นผลรวมของตัวเลขทั้งหมดบนกระดานจะเป็นเท่าใด 100 ปฏิบัติการ?

สารละลาย. ทำทุกอย่าง 100 การดำเนินงานจะเป็นงานที่ต้องใช้แรงงานมากและใช้เวลานาน ซึ่งหมายความว่าเราต้องพยายามหาสูตรทั่วไปของผลรวม Sตัวเลขหลัง n การดำเนินงาน ลองดูที่ตาราง:

คุณสังเกตเห็นรูปแบบใด ๆ ที่นี่หรือไม่? ถ้าไม่คุณสามารถดำเนินการต่อไปได้: หลังจากดำเนินการสี่ครั้งแล้วจะมีตัวเลข

1, 5, 4, 7, 3, 8, 5, 7, 2, 7, 5, 8, 3, 7, 4, 5, 1,

ผลรวมของ S 4 เท่ากับ 82

ในความเป็นจริงคุณไม่สามารถจดตัวเลขได้ แต่บอกทันทีว่าผลรวมจะเปลี่ยนไปอย่างไรหลังจากเพิ่มตัวเลขใหม่ ให้ผลรวมเท่ากับ 5 เมื่อบวกเลขใหม่เข้าไปจะเป็นอย่างไร? ลองแบ่งตัวเลขใหม่แต่ละตัวเป็นผลรวมของตัวเลขเก่าสองตัว ตัวอย่างเช่น จาก 1, 3, 2, 3, 1 ไปที่ 1

1 + 3, 3, 3 + 2, 2, 2 + 3, 3, 3 + 1, 1.

นั่นคือ ตัวเลขเก่าแต่ละตัว (ยกเว้น 2 หน่วยสุดขีด) ตอนนี้รวมอยู่ในผลรวมสามครั้ง ดังนั้นผลรวมใหม่จึงเท่ากับ 3S - 2 (ลบ 2 เพื่อคำนึงถึงหน่วยที่หายไป) ดังนั้นส 5 = 3S 4 - 2 = 244 และโดยทั่วไป

สูตรทั่วไปคืออะไร? ถ้าไม่ใช่เพราะการลบสองหน่วย แต่ละครั้งผลรวมจะเพิ่มขึ้น 3 เท่า เหมือนยกกำลังสาม (1, 3, 9, 27, 81, 243, ...) และตัวเลขของเรา อย่างที่เราเห็นตอนนี้ มีอีกจำนวนหนึ่ง ดังนั้นจึงสามารถสรุปได้ว่า

ตอนนี้เราลองพิสูจน์สิ่งนี้ด้วยการอุปนัย

ฐานการเหนี่ยวนำ ดูตาราง (สำหรับ n = 0, 1, 2, 3)

ขั้นตอนการเหนี่ยวนำ เรามาแกล้งทำเป็นว่า

งั้นเรามาพิสูจน์กันส k + 1 = Z k + 1 + 1

จริงหรือ,

ดังนั้นสูตรของเราจึงได้รับการพิสูจน์แล้ว แสดงว่าหลังจากดำเนินการครบ 100 ครั้ง ผลรวมของตัวเลขทั้งหมดบนกระดานจะเท่ากับ 3 100 + 1.

ลองดูตัวอย่างที่ดีตัวอย่างหนึ่งของการใช้หลักการของการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ ซึ่งคุณต้องแนะนำพารามิเตอร์ทางธรรมชาติสองตัวก่อน จากนั้นจึงทำการเหนี่ยวนำด้วยผลรวมของพวกมัน

งาน 7. พิสูจน์ว่าถ้า= 2, x 2 = 3 และสำหรับธรรมชาติใดๆพี> 3 ความสัมพันธ์ยังคงอยู่

x พี = 3x พี - 1 - 2x พี - 2,

ที่

2 p - 1 + 1, p = 1, 2, 3, ...

สารละลาย. โปรดทราบว่าในปัญหานี้ลำดับตัวเลขดั้งเดิม(เอ็กซ์พี) ถูกกำหนดโดยการเหนี่ยวนำ เนื่องจากเงื่อนไขของลำดับของเรา ยกเว้นสองรายการแรก ได้รับการระบุแบบอุปนัย นั่นคือ ผ่านเงื่อนไขก่อนหน้า ลำดับที่กำหนดจึงถูกเรียกว่ากำเริบ, และในกรณีของเรา ลำดับนี้ถูกกำหนด (โดยการระบุคำศัพท์สองคำแรก) ด้วยวิธีที่ไม่ซ้ำใคร

ฐานการเหนี่ยวนำ ประกอบด้วยการตรวจสอบสองคำสั่ง: เมื่อ n = 1 และ n = 2.V ในทั้งสองกรณี ข้อความดังกล่าวเป็นจริงตามเงื่อนไข

ขั้นตอนการเหนี่ยวนำ สมมุติว่าสำหรับ n = k - 1 และ n = k คำสั่งนั้นเป็นจริงนั่นคือ

ให้เราพิสูจน์ความถูกต้องของคำสั่งสำหรับ n = k + 1 เรามี:

x 1 = 3(2 + 1) - 2(2 + 1) = 2+1 ซึ่งเป็นสิ่งที่ต้องพิสูจน์

ภารกิจที่ 8 พิสูจน์ว่าจำนวนธรรมชาติใดๆ สามารถแสดงเป็นผลรวมของพจน์ต่างๆ ของลำดับฟีโบนัชชีที่เกิดซ้ำได้:

สำหรับ k > 2

สารละลาย. ให้ n - จำนวนธรรมชาติ เราจะดำเนินการปฐมนิเทศในป.

ฐานการเหนี่ยวนำ เมื่อ n = ข้อความที่ 1 เป็นจริงเนื่องจากตัวหนึ่งเป็นตัวเลขฟีโบนัชชี

ขั้นตอนการเหนี่ยวนำ สมมติว่าจำนวนธรรมชาติทั้งหมดน้อยกว่าจำนวนบางตัวพี สามารถแสดงเป็นผลรวมของพจน์ต่างๆ ของลำดับฟีโบนัชชีได้ มาหาเลขฟีโบนัชชีที่ใหญ่ที่สุดกันฟุต ไม่เหนือกว่าพี; ดังนั้น F t p และ F t +1 > p

เพราะว่า

โดยสมมุติฐานการเหนี่ยวนำจำนวน n-F เสื้อ สามารถแสดงเป็นผลรวม 5 ของพจน์ต่างๆ ของลำดับฟีโบนักชีได้ และจากอสมการสุดท้ายจะตามมาว่าเงื่อนไขทั้งหมดของลำดับฟีโบนักชีที่เกี่ยวข้องกับผลรวม 8 จะน้อยกว่าเอฟ ที ดังนั้นการขยายจำนวน n = 8 + F เสื้อ เป็นไปตามเงื่อนไขของปัญหา

ตัวอย่างการประยุกต์ใช้วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์เพื่อพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกัน

ภารกิจที่ 9 (ความไม่เท่าเทียมกันของแบร์นูลลี)พิสูจน์ว่าเมื่อไร. x > -1, x 0 และสำหรับจำนวนเต็ม n > 2 ความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริง

(1 + x) n > 1 + xn

สารละลาย. เราจะดำเนินการพิสูจน์โดยการปฐมนิเทศอีกครั้ง

1. ฐานของการเหนี่ยวนำ ให้เราตรวจสอบความถูกต้องของความไม่เท่าเทียมกันสำหรับน= 2. แท้จริงแล้ว

(1 + x) 2 = 1 + 2x + x 2 > 1 + 2x

2. ขั้นตอนการเหนี่ยวนำ สมมุติว่าสำหรับจำนวนนั้นพี = เค ข้อความนั้นเป็นจริงนั่นคือ

(1 + x) k > 1 + xk

โดยที่ k > 2 ลองพิสูจน์มันเพื่อหา n = k + 1 เราได้: (1 + x) k + 1 = (1 + x) k (1 + x)>(1 + kx)(1 + x) =

1 + (k + 1)x + kx 2 > 1 + (k + 1)x

ดังนั้น ตามหลักการของการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ เราสามารถอ้างได้ว่าอสมการของเบอร์นูลลีเป็นจริงสำหรับสิ่งใดๆ n > 2

ในบริบทของการแก้ปัญหาโดยใช้วิธีอุปนัยทางคณิตศาสตร์ กฎทั่วไปที่ต้องพิสูจน์ไม่ได้ถูกกำหนดไว้อย่างชัดเจนเสมอไป บางครั้งจำเป็นต้องค้นพบ (เดา) กฎทั่วไปที่นำไปสู่กฎทั่วไปก่อน จากนั้นจึงพิสูจน์สมมติฐานดังกล่าวด้วยวิธีอุปนัยทางคณิตศาสตร์โดยการสังเกตกรณีเฉพาะ นอกจากนี้ตัวแปรการเหนี่ยวนำสามารถถูกปกปิดได้และก่อนที่จะแก้ไขปัญหาจำเป็นต้องพิจารณาว่าจะดำเนินการเหนี่ยวนำพารามิเตอร์ใด เป็นตัวอย่าง ให้พิจารณางานต่อไปนี้

ปัญหาที่ 10. จงพิสูจน์ว่า

ภายใต้ธรรมชาติใดๆ n > 1.

สารละลาย, ลองพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกันนี้โดยใช้วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์

พื้นฐานการเหนี่ยวนำสามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดาย:1+

โดยสมมติฐานการเหนี่ยวนำ

และมันยังคงอยู่สำหรับเราที่จะพิสูจน์สิ่งนั้น

หากเราใช้สมมติฐานอุปนัย เราจะโต้แย้งสิ่งนั้น

แม้ว่าความจริงแล้วความเท่าเทียมกันนี้จะเป็นจริง แต่ก็ไม่ได้ช่วยเราแก้ปัญหาได้

ลองพิสูจน์ข้อความที่หนักแน่นเกินกว่าที่กำหนดในปัญหาเดิม กล่าวคือเราจะพิสูจน์สิ่งนั้น

อาจดูเหมือนว่าการพิสูจน์ข้อความนี้โดยการอุปนัยเป็นเรื่องที่สิ้นหวัง

อย่างไรก็ตาม เมื่อ n = 1 เรามี: ข้อความเป็นจริง เพื่อพิสูจน์ขั้นตอนอุปนัย ให้เราสมมุติว่า

แล้วเราจะพิสูจน์สิ่งนั้น

จริงหรือ,

ดังนั้นเราจึงได้พิสูจน์ข้อความที่ชัดเจนยิ่งขึ้น ซึ่งข้อความที่มีอยู่ในคำแถลงเกี่ยวกับปัญหาจะตามมาทันที

คำแนะนำคือ แม้ว่าเราจะต้องพิสูจน์ข้อความที่หนักแน่นเกินความจำเป็นในปัญหา แต่เราสามารถใช้สมมติฐานที่หนักแน่นกว่าในขั้นตอนอุปนัยได้ สิ่งนี้อธิบายว่าการประยุกต์ใช้หลักการอุปนัยทางคณิตศาสตร์อย่างตรงไปตรงมาไม่ได้นำไปสู่เป้าหมายเสมอไป

สถานการณ์ที่เกิดขึ้นเมื่อแก้ไขปัญหาเรียกว่าความขัดแย้งของนักประดิษฐ์ความขัดแย้งก็คือว่าแผนที่ซับซ้อนมากขึ้นสามารถนำไปใช้ได้สำเร็จมากขึ้นหากแผนเหล่านั้นมีพื้นฐานมาจากความเข้าใจที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้นในสาระสำคัญของเรื่อง

ปัญหาที่ 11. จงพิสูจน์ว่า 2 m + n - 2 m เพื่อธรรมชาติใดๆพิมพ์.

สารละลาย. ที่นี่เรามีพารามิเตอร์สองตัว ดังนั้นคุณสามารถลองดำเนินการสิ่งที่เรียกว่าได้การเหนี่ยวนำสองครั้ง(การเหนี่ยวนำภายในการเหนี่ยวนำ)

เราจะดำเนินการให้เหตุผลแบบอุปนัยป.

1. ฐานการปฐมนิเทศตามวรรคเมื่อ n = 1 จำเป็นต้องตรวจสอบสิ่งนั้น 2 เสื้อ ~ 1 > เสื้อ เพื่อพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกันนี้ เราใช้การเหนี่ยวนำต.

ก) ฐานการเหนี่ยวนำตามที่เรียกว่าเมื่อ ที = 1 ดำเนินการ
ความเท่าเทียมกันซึ่งเป็นที่ยอมรับ

ข) ขั้นตอนการเหนี่ยวนำตามที่เรียกว่าสมมุติว่าเมื่อไร.เสื้อ = เค ข้อความนั้นเป็นจริงนั่นคือ 2 ก ~ 1 > เค แล้วถึง
ให้เราบอกว่าข้อความนั้นจะเป็นจริงเช่นกันเสื้อ = k + 1
เรามี:

ด้วยความเป็นธรรมชาติ

ดังนั้นความไม่เท่าเทียมกัน 2 กระทำโดยธรรมชาติใดๆต.

2. ขั้นตอนการเหนี่ยวนำตามรายการลองเลือกและแก้ไขจำนวนธรรมชาติกันต. สมมุติว่าเมื่อไร.น = ฉัน ข้อความเป็นจริง (สำหรับค่าคงที่ t) นั่นคือ 2 t +1 ~ 2 > t1 และเราจะพิสูจน์ว่าข้อความนั้นจะเป็นจริงด้วย n = ล. + 1
เรามี:

เพื่อธรรมชาติใดๆพิมพ์.

ดังนั้นตามหลักการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ (โดยป) คำแถลงของปัญหาเป็นจริงสำหรับสิ่งใด ๆป และสำหรับการแก้ไขใดๆต. ดังนั้นความไม่เท่าเทียมกันนี้จึงเกิดขึ้นตามธรรมชาติพิมพ์.

ปัญหาที่ 12 ให้ m, n และ k เป็นจำนวนธรรมชาติ และเสื้อ > หน้า ตัวเลขสองตัวใดมากกว่า:

ในทุกการแสดงออกถึง สัญญาณรากที่สอง t และ p สลับกัน

สารละลาย. ให้เราพิสูจน์ข้อความเสริมบางอย่างก่อน

เล็มมา สำหรับธรรมชาติใดๆเสื้อ และ พี (t > p) และไม่เป็นลบ (ไม่จำเป็นต้องทั้งหมด)เอ็กซ์ ความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริง

การพิสูจน์. พิจารณาถึงความไม่เท่าเทียมกัน

อสมการนี้เป็นจริงเนื่องจากปัจจัยทั้งสองทางด้านซ้ายเป็นบวก เมื่อขยายวงเล็บและการเปลี่ยนแปลงเราจะได้:

เมื่อหารากที่สองของทั้งสองด้านของอสมการสุดท้าย เราจะได้ประโยคแทรก ดังนั้นบทแทรกจึงได้รับการพิสูจน์แล้ว

ให้เราดำเนินการแก้ไขปัญหาต่อไป ให้เราแสดงตัวเลขตัวแรกเหล่านี้ด้วยเอ, และครั้งที่สอง - ผ่านข. ให้เราพิสูจน์ว่าก ภายใต้ธรรมชาติใดๆถึง. เราจะดำเนินการพิสูจน์โดยใช้วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์แยกกันสำหรับคู่และคี่ถึง.

ฐานการเหนี่ยวนำ เมื่อ k = 1 เรามีความไม่เท่าเทียมกัน

ใช่ [t > ใช่ / ไม่ใช่ ยุติธรรมเนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่าเสื้อ > p เมื่อ k = 2 สิ่งที่ต้องการได้มาจากบทแทรกที่พิสูจน์แล้วโดยการทดแทน x = 0

ขั้นตอนการเหนี่ยวนำ สมมุติว่าสำหรับบางคน k อสมการ a > b k ยุติธรรม. มาพิสูจน์กัน

จากสมมติฐานการเหนี่ยวนำและความน่าเบื่อของรากที่สองเรามี:

ในทางกลับกัน จากบทแทรกที่ได้รับการพิสูจน์แล้วจะเป็นไปตามนั้น

เมื่อรวมอสมการสองตัวสุดท้ายเข้าด้วยกัน เราจะได้:

ตามหลักการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ ข้อความดังกล่าวได้รับการพิสูจน์แล้ว

ปัญหาที่ 13. (ความไม่เท่าเทียมกันของคอชี)พิสูจน์ว่าจำนวนบวกใดๆ...,พี ความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริง

สารละลาย. สำหรับ n = 2 ความไม่เท่าเทียมกัน

เราจะสมมติว่าทราบค่าเฉลี่ยเลขคณิตและค่าเฉลี่ยเรขาคณิต (สำหรับตัวเลขสองตัว) อนุญาต n= 2, เค = 1, 2, 3, ... และเปิดการปฐมนิเทศก่อนถึง. พื้นฐานของการเหนี่ยวนำนี้เกิดขึ้นโดยสมมติว่ามีการสร้างความไม่เท่าเทียมกันที่จำเป็นแล้วน= 2 มาพิสูจน์กันดูครับป = 2 . เรามี (ใช้อสมการสำหรับตัวเลขสองตัว):

ดังนั้นโดยสมมุติฐานอุปนัย

ดังนั้น ด้วยการเหนี่ยวนำ k เราได้พิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกันสำหรับทุกคนหน้า 9 เป็นพลังของสอง

เพื่อพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกันของค่าอื่นป ให้เราใช้ "การเหนี่ยวนำลง" นั่นคือเราจะพิสูจน์ว่าหากความไม่เท่าเทียมกันถือเป็นเรื่องที่ไม่เป็นลบโดยพลการป ตัวเลขนั้นก็เป็นจริงเช่นกัน(ป - วันที่ 1 เพื่อตรวจสอบสิ่งนี้ เราทราบว่าตามสมมติฐานที่ทำไว้ป ตัวเลขความไม่เท่าเทียมกันที่มีอยู่

นั่นคือ a g + a 2 + ... + a n _ x > (n - 1)A โดยแบ่งทั้งสองส่วนออกเป็นป - 1 เราได้รับความไม่เท่าเทียมกันที่ต้องการ

ดังนั้น อันดับแรก เรากำหนดไว้แล้วว่าอสมการนั้นมีอยู่เป็นจำนวนอนันต์ของค่าที่เป็นไปได้พี แล้วแสดงให้เห็นว่าหากความไม่เท่าเทียมกันยังคงอยู่ป ตัวเลขนั้นก็เป็นจริงเช่นกัน(ป - 1) ตัวเลข จากนี้เราจะสรุปได้ว่าความไม่เท่าเทียมกันของ Cauty มีต่อเซตของป จำนวนที่ไม่เป็นลบสำหรับค่าใดๆ n = 2, 3, 4, ...

ปัญหาที่ 14. (D. Uspensky.) สำหรับสามเหลี่ยม ABC ใดๆ ที่มีมุม = CAB = CBA มีความสมส่วน มีความไม่เท่าเทียมกัน

สารละลาย. มุมและสามารถเทียบเคียงได้ และนี่ (ตามคำจำกัดความ) หมายความว่ามุมเหล่านี้มีการวัดร่วมกัน ซึ่ง = p, = (p, q เป็นจำนวนธรรมชาติโคไพรม์)

ลองใช้วิธีอุปนัยทางคณิตศาสตร์แล้วดำเนินการหาผลรวมกันพี = พี + q เลขโคไพรม์ธรรมชาติ..

ฐานการเหนี่ยวนำ สำหรับ p + q = 2 เรามี: p = 1 และ q = 1 จากนั้นสามเหลี่ยม ABC คือหน้าจั่ว และอสมการที่จำเป็นชัดเจน: พวกมันตามมาจากอสมการสามเหลี่ยม

ขั้นตอนการเหนี่ยวนำ ตอนนี้ให้เราสมมติว่ามีการสร้างอสมการที่จำเป็นสำหรับ p + q = 2, 3, ... , k - 1 โดยที่ k > 2. ให้เราพิสูจน์ว่าอสมการก็ใช้ได้เช่นกันพี + คิว = เค

ให้เอบีซี - สามเหลี่ยมที่กำหนดที่มี> 2. จากนั้น ข้าง AC และ BC ไม่สามารถเท่ากันได้: ให้เอซี > พ.ศ. ตอนนี้ให้เราสร้างสามเหลี่ยมหน้าจั่วดังในรูปที่ 2เอบีซี; เรามี:

AC = DC และ AD = AB + BD ดังนั้น

2AC > AB + BD (1)

พิจารณาสามเหลี่ยมตอนนี้บีดีซี, ซึ่งมีมุมที่สมส่วนด้วย:

DСВ = (q - р), ВDC = p.

ข้าว. 2

สำหรับสามเหลี่ยมนี้ สมมติฐานอุปนัยยังคงอยู่ ดังนั้น

(2)

การเพิ่ม (1) และ (2) เรามี:

2AC+บีดี>

และดังนั้นจึง

จากสามเหลี่ยมเดียวกันวีบีเอส โดยสมมติฐานการเหนี่ยวนำเราจึงสรุปได้ว่า

เมื่อคำนึงถึงความไม่เท่าเทียมกันก่อนหน้านี้เราจึงสรุปได้ว่า

ดังนั้น จึงได้รับการเปลี่ยนแปลงแบบอุปนัย และคำแถลงของปัญหาเป็นไปตามหลักการของการอุปนัยทางคณิตศาสตร์

ความคิดเห็น คำแถลงปัญหายังคงใช้ได้แม้ว่ามุม a และ p จะไม่สมส่วนกันก็ตาม บนพื้นฐานของการพิจารณาในกรณีทั่วไป เราต้องใช้หลักการทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญอีกข้อหนึ่งอยู่แล้ว - หลักการของความต่อเนื่อง

ปัญหาที่ 15. เส้นตรงหลายเส้นแบ่งระนาบออกเป็นส่วนๆ พิสูจน์ว่าคุณสามารถระบายสีส่วนเหล่านี้เป็นสีขาวได้

และสีดำเพื่อให้ส่วนที่อยู่ติดกันซึ่งมีส่วนของเส้นขอบร่วมกันมีสีต่างกัน (ดังรูปที่ 3 ด้วย n = 4)

รูปที่ 3

สารละลาย. ให้เราใช้การเหนี่ยวนำกับจำนวนบรรทัด ดังนั้นให้ป - จำนวนบรรทัดที่แบ่งเครื่องบินของเราออกเป็นส่วน ๆ n > 1.

ฐานการเหนี่ยวนำ หากมีเส้นตรงเพียงเส้นเดียว(ป = 1) จากนั้นจะแบ่งระนาบออกเป็นระนาบครึ่งสองระนาบ โดยระนาบหนึ่งอาจเป็นสีขาวและระนาบที่สองเป็นสีดำได้ และคำกล่าวของปัญหานั้นเป็นจริง

ขั้นตอนการเหนี่ยวนำ เพื่อให้การพิสูจน์การเปลี่ยนแปลงแบบอุปนัยชัดเจนยิ่งขึ้น ให้พิจารณากระบวนการเพิ่มบรรทัดใหม่ ถ้าเราวาดเส้นตรงเส้นที่สอง(ป= 2) จากนั้นเราจะได้สี่ส่วนที่สามารถปรับสีได้ตามต้องการโดยทาสีมุมตรงข้ามให้เป็นสีเดียวกัน ลองดูว่าจะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราวาดเส้นตรงที่สาม มันจะแบ่งส่วนที่ "เก่า" บางส่วนออกในขณะที่ส่วนใหม่ของเส้นขอบจะปรากฏขึ้นทั้งสองด้านซึ่งมีสีเหมือนกัน (รูปที่ 4)

ข้าว. 4

มาดำเนินการดังนี้:ด้านหนึ่งจากเส้นตรงใหม่เราจะเปลี่ยนสี - เราจะสร้างสีขาวดำและในทางกลับกัน ในเวลาเดียวกันเราจะไม่ทาสีส่วนที่อยู่อีกด้านหนึ่งของเส้นตรงนี้ (รูปที่ 5) จากนั้นสีใหม่นี้จะเป็นไปตามข้อกำหนดที่จำเป็น: มีการสลับสีที่ด้านหนึ่งของเส้นแล้ว (แต่มีสีต่างกัน) และอีกด้านหนึ่งก็เป็นสิ่งที่จำเป็น เพื่อให้ชิ้นส่วนที่มีเส้นขอบร่วมกันของเส้นที่วาดถูกทาสีด้วยสีต่างๆ เราจึงทาสีชิ้นส่วนใหม่เฉพาะด้านเดียวของเส้นตรงที่วาดนี้

รูปที่ 5

ตอนนี้ให้เราพิสูจน์การเปลี่ยนแปลงแบบอุปนัย ให้เราถือว่าสำหรับบางคนพี = เคคำกล่าวของปัญหานั้นเป็นจริง กล่าวคือ ทุกส่วนของระนาบที่ถูกแบ่งด้วยสิ่งเหล่านี้ถึงตรงคุณสามารถทาสีขาวและดำเพื่อให้ส่วนที่อยู่ติดกันมีสีต่างกัน ให้เราพิสูจน์ว่ามีสีดังกล่าวอยู่ป= ถึง+1 โดยตรง ให้เราดำเนินการในทำนองเดียวกันกับกรณีการเปลี่ยนจากสองบรรทัดเป็นสาม มาวาดรูปบนเครื่องบินกันเถอะถึงตรง จากนั้นตามสมมติฐานการเหนี่ยวนำ ผลลัพธ์ที่ได้ "แผนที่" จึงสามารถระบายสีได้ตามต้องการ ตอนนี้เรามาดำเนินการกัน(ถึง+ 1)เส้นตรงเส้นที่ 2 และด้านหนึ่งเปลี่ยนสีเป็นสีตรงข้าม ดังนั้นตอนนี้(ถึง+ 1)เส้นตรงเส้นที่แยกส่วนที่มีสีต่างกันทุกที่ ในขณะที่ส่วนที่ "เก่า" ดังที่เราได้เห็นไปแล้วยังคงมีสีที่ถูกต้อง ตามหลักการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ปัญหาจะได้รับการแก้ไข

งาน16. ริมทะเลทรายมีน้ำมันเบนซินจำนวนมากและรถยนต์ที่สามารถเดินทางได้ระยะทาง 50 กิโลเมตรเมื่อเติมน้ำมันเต็มแล้ว คุณสามารถเติมน้ำมันเบนซินจากถังแก๊สในรถได้ไม่จำกัดปริมาณและเก็บไว้ที่ไหนก็ได้ในทะเลทราย พิสูจน์ว่ารถยนต์สามารถเดินทางในระยะทางจำนวนเต็มใดๆ ที่มากกว่า 50 กิโลเมตร คุณไม่ได้รับอนุญาตให้พกพากระป๋องน้ำมัน คุณสามารถพกพากระป๋องเปล่าในปริมาณเท่าใดก็ได้

สารละลาย.ลองพิสูจน์โดยการเหนี่ยวนำพีที่รถสามารถขับออกไปได้ปกิโลเมตรจากขอบทะเลทราย ที่ป= 50 เป็นที่รู้จัก สิ่งที่เหลืออยู่คือดำเนินการตามขั้นตอนการปฐมนิเทศและอธิบายวิธีไปที่นั่นพี = เค+1 กิโลเมตร ถ้ารู้อย่างนั้นพี = เคคุณสามารถขับรถกิโลเมตรได้

แต่ที่นี่เราพบกับความยากลำบาก: หลังจากที่เราผ่านไปแล้วถึงกิโลเมตรน้ำมันอาจจะไม่เพียงพอสำหรับการเดินทางไปกลับ (ไม่ต้องพูดถึงการจัดเก็บ) และในกรณีนี้ วิธีแก้ปัญหาคือการเสริมข้อความที่ได้รับการพิสูจน์ (ความขัดแย้งของผู้ประดิษฐ์) เราจะพิสูจน์ว่าคุณไม่เพียงแต่ขับรถได้เท่านั้นปกิโลเมตร แต่ยังต้องจัดหาน้ำมันเบนซินจำนวนมากตามอำเภอใจในระยะไกลอีกด้วยปกิโลเมตรจากขอบทะเลทรายมาถึงจุดนี้หลังจากสิ้นสุดการขนส่ง

ฐานการเหนี่ยวนำให้หน่วยน้ำมันเบนซินคือปริมาณน้ำมันที่ต้องใช้ในการเดินทางหนึ่งกิโลเมตร จากนั้นการเดินทางไปกลับ 1 กิโลเมตรต้องใช้น้ำมันเบนซิน 2 หน่วย ดังนั้นเราจึงสามารถทิ้งน้ำมันเบนซิน 48 หน่วยไว้ในสถานที่จัดเก็บซึ่งอยู่ห่างจากขอบถนน 1 กิโลเมตร แล้วนำน้ำมันกลับมาเติมใหม่ ดังนั้น ในการเดินทางไปยังสถานที่จัดเก็บหลายครั้ง เราจึงสามารถสต็อกสินค้าทุกขนาดที่เราต้องการได้ ในขณะเดียวกัน เพื่อสร้างปริมาณสำรอง 48 หน่วย เราใช้น้ำมันเบนซิน 50 หน่วย

ขั้นตอนการเหนี่ยวนำสมมุติว่าอยู่ไกลกันป= ถึงจากขอบทะเลทรายคุณสามารถตุนน้ำมันเบนซินจำนวนเท่าใดก็ได้ ให้เราพิสูจน์ว่าคุณสามารถสร้างสถานที่จัดเก็บในระยะไกลได้พี = เค+ 1 กิโลเมตร โดยระบุปริมาณน้ำมันสำรองไว้ล่วงหน้าและสิ้นสุดที่โรงเก็บนี้เมื่อสิ้นสุดการขนส่ง เพราะตรงจุด.ป= ถึงมีการจัดหาน้ำมันเบนซินไม่ จำกัด จากนั้น (ตามฐานการเหนี่ยวนำ) เราสามารถไปถึงจุดหนึ่งในการเดินทางหลายครั้งพี = เค+1 ทำที่จุดป= ถึง4-1 สต็อกทุกขนาดที่ต้องการ

ความจริงของข้อความทั่วไปมากกว่าในข้อความปัญหา ในตอนนี้เป็นไปตามหลักการของการอุปนัยทางคณิตศาสตร์

บทสรุป

โดยเฉพาะอย่างยิ่งจากการศึกษาวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ทำให้ฉันเพิ่มพูนความรู้ในสาขาคณิตศาสตร์นี้และยังเรียนรู้ที่จะแก้ปัญหาที่ก่อนหน้านี้เกินกำลังของฉันด้วย

ส่วนใหญ่เป็นงานเชิงตรรกะและความบันเทิงเช่น เฉพาะผู้ที่เพิ่มความสนใจในคณิตศาสตร์ในฐานะวิทยาศาสตร์ การแก้ปัญหาดังกล่าวกลายเป็นกิจกรรมที่สนุกสนานและสามารถดึงดูดผู้คนที่อยากรู้อยากเห็นเข้าสู่เขาวงกตทางคณิตศาสตร์มากขึ้นเรื่อยๆ ในความคิดของฉัน นี่คือพื้นฐานของวิทยาศาสตร์ใดๆ

ศึกษาวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ต่อไป ฉันจะพยายามเรียนรู้วิธีประยุกต์ไม่เพียงแต่ในคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังรวมถึงการแก้ปัญหาในฟิสิกส์ เคมี และชีวิตด้วย

วรรณกรรม

1.การเหนี่ยวนำวูเลนคิน เชิงผสม คู่มือสำหรับครู ม. ตรัสรู้

พ.ศ. 2519-48 น.

2.Golovina L.I., Yaglom I.M. การเหนี่ยวนำในเรขาคณิต - ม.: รัฐ. ที่ตีพิมพ์ ลิตร. - พ.ศ. 2499 - ส.ไอ.00 คู่มือคณิตศาสตร์สำหรับผู้เข้ามหาวิทยาลัย / อ. ยาโคฟเลวา G.N. วิทยาศาสตร์. -1981. - ป.47-51.

3.Golovina L.I., Yaglom I.M. การเหนี่ยวนำในเรขาคณิต —
อ.: Nauka, 2504. - (การบรรยายยอดนิยมเกี่ยวกับคณิตศาสตร์)

4. I.T.Demidov, A.N.Kolmogorov, S.I.Schvartsburg, O.S.Ivashev-Musatov, B.E.Weitz หนังสือเรียน / “การตรัสรู้” 2518

5.ร. Courant, G. Robbins "คณิตศาสตร์คืออะไร" บทที่ 1 § 2

6.Popa D. คณิตศาสตร์และการใช้เหตุผลที่เป็นไปได้ - ม: เนากา 1975.

7.โปปา ดี. การค้นพบทางคณิตศาสตร์ - ม.: เนากา, 2519.

8. รูบานอฟ ไอ.เอส. วิธีสอนวิธีปฐมนิเทศคณิตศาสตร์/โรงเรียนคณิตศาสตร์ - ไม่มี - 2539. - หน้า 14-20.

9. Sominsky I.S. , Golovina L.I. , Yaglom IM เรื่อง วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ - อ.: Nauka, 2520. - (การบรรยายยอดนิยมด้านคณิตศาสตร์.)

10.โซโลมินสกี้ ไอ.เอส. วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ - ม.: วิทยาศาสตร์.

63ส.

11.Solominsky I.S., Golovina L.I., Yaglom I.M. เกี่ยวกับการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ - ม.: วิทยาศาสตร์. - พ.ศ. 2510. - หน้า 7-59.

12.http://w.wikimedia.org/wiki

13.htt12:/ /www.refeshtcollestiop.ru/40 124.html

บทเรียนวิดีโอ "วิธีการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์" ช่วยให้คุณเชี่ยวชาญวิธีการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ วิดีโอมีเนื้อหาที่ช่วยให้คุณเข้าใจสาระสำคัญของวิธีการ จดจำคุณสมบัติของแอปพลิเคชัน และเรียนรู้วิธีใช้วิธีนี้เมื่อแก้ไขปัญหา วัตถุประสงค์ของวิดีโอสอนนี้คือเพื่ออำนวยความสะดวกในการพัฒนาเนื้อหาและพัฒนาความสามารถในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์โดยใช้วิธีการอุปนัย

เพื่อให้นักเรียนมีความสนใจในการเรียนรู้เนื้อหา จึงมีการใช้เอฟเฟ็กต์แอนิเมชัน ภาพประกอบ และการนำเสนอข้อมูลด้วยสี บทเรียนแบบวิดีโอช่วยให้ครูมีเวลาในชั้นเรียนมากขึ้นเพื่อปรับปรุงคุณภาพงานของแต่ละคนและแก้ปัญหาด้านการศึกษาอื่นๆ

แนวคิดของวิธีการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ถูกนำมาใช้โดยการพิจารณาลำดับ a n โดยที่ a 1 =4 และ a n+1 = a n +2n+3 ตามการแสดงทั่วไปของสมาชิกลำดับ จะถือว่า a 1 =4, a 2 =4+2·1+3=9, a 3 =9+2·2+3=16 นั่นคือ ลำดับของตัวเลข 4, 9, 16,... สันนิษฐานว่าสำหรับลำดับนี้ a n =(n+1) 2 เป็นจริง สำหรับเงื่อนไขที่ระบุของลำดับ - ตัวแรก, ที่สอง, ที่สาม - สูตรถูกต้อง มีความจำเป็นต้องพิสูจน์ความถูกต้องของสูตรนี้สำหรับ n ที่มีขนาดใหญ่โดยพลการ มีการระบุว่าในกรณีเช่นนี้ จะใช้วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์เพื่อช่วยพิสูจน์ข้อความดังกล่าว

สาระสำคัญของวิธีการถูกเปิดเผย สูตรสำหรับ n=k ถือว่าถูกต้อง โดยค่า a k =(k+1) 2 มีความจำเป็นต้องพิสูจน์ว่าความเท่าเทียมกันจะใช้ได้สำหรับ k+1 ซึ่งหมายความว่า a k +1 =(k+2) 2 เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ในสูตร a k +1 = a k +2k+3 เราจะแทนที่ a k ด้วย (k+1) 2 หลังจากการทดแทนและลดสิ่งที่คล้ายกัน เราจะได้ความเท่าเทียมกัน a k +1 =(k+2) 2 . นี่ทำให้เรามีสิทธิ์ยืนยันว่าสูตรสำหรับ n ทำให้เป็นจริงสำหรับ n=k+1 การพิสูจน์ที่พิจารณาแล้วสัมพันธ์กับลำดับ a n ซึ่งแสดงด้วยตัวเลข 4, 9, 16,... และคำศัพท์ทั่วไป a n =(n+1) 2 ให้สิทธิ์ยืนยันว่าหากสูตรเปลี่ยนเป็น a ความเท่าเทียมกันที่แท้จริงสำหรับ n=1 แล้วก็สำหรับ n=1+ 1=2 และสำหรับ 3 ด้วย เป็นต้น นั่นคือสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n

ต่อไป สาระสำคัญของวิธีการอุปนัยจะถูกนำเสนอในภาษาคณิตศาสตร์ หลักการของวิธีการนี้ขึ้นอยู่กับความถูกต้องของข้อความที่ว่าข้อเท็จจริงถือเป็นจำนวนธรรมชาติโดยพลการ n เมื่อตรงตามเงื่อนไขสองประการ: 1) ข้อความเป็นจริงสำหรับ n=1 2) จากความถูกต้องของสูตรนี้สำหรับ n= k ตามมาว่ามันใช้ได้สำหรับ n=k+1 จากหลักการนี้เป็นไปตามโครงสร้างของการพิสูจน์โดยใช้วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ มีข้อสังเกตว่าวิธีนี้ถือว่าการพิสูจน์ความถูกต้องของข้อความนั้น n=1 และเมื่อสมมติความถูกต้องของการพิสูจน์สำหรับ n=k ก็พิสูจน์ได้ว่าเป็นจริงสำหรับ n=k+1 เช่นกัน

ตัวอย่างของการพิสูจน์สูตรของอาร์คิมีดีสโดยใช้วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ได้รับการวิเคราะห์ จากสูตร 1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6 การคำนวณจะดำเนินการบนหน้าจอเพื่อแสดงความถูกต้องของสูตรสำหรับ n=1 จุดที่สองของการพิสูจน์คือการสันนิษฐานว่าสำหรับ n=k สูตรนั้นใช้ได้ นั่นคือ มันอยู่ในรูปแบบ 1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 =k(k+1)(2k+1 )/6 จากข้อมูลนี้ จึงพิสูจน์ได้ว่าสูตรเป็นจริงสำหรับ n=k+1 ด้วย หลังจากแทนค่า n=k+1 เราจะได้ค่าของสูตร 1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =(k+1)(k+2)(2k+3) /6. ดังนั้นสูตรของอาร์คิมีดีสจึงได้รับการพิสูจน์แล้ว

อีกตัวอย่างหนึ่งตรวจสอบการพิสูจน์การคูณของ 7 ของผลรวม 15 n +6 สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n ในการพิสูจน์เราใช้วิธีอุปนัยทางคณิตศาสตร์ ขั้นแรก เราตรวจสอบความถูกต้องของคำสั่งสำหรับ n=1 อันที่จริง 15 1 +6=21 จากนั้นเราจะถือว่าความถูกต้องสำหรับ n=k ซึ่งหมายความว่า 15 k +6 เป็นผลคูณของ 7 เมื่อแทน n=k+1 ลงในสูตร เราจะพิสูจน์ว่าค่า 15 k +1 +6 เป็นผลคูณของ 7 หลังจากแปลงนิพจน์ เราจะได้: 15 k +1 +6=15 k +1 ·14+(15 k +6) ดังนั้นผลรวม 15 n +6 จึงเป็นผลคูณของ 7

บทเรียนวิดีโอเรื่อง "วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์" อย่างชัดเจนและละเอียดเผยให้เห็นสาระสำคัญและกลไกของการใช้วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ในการพิสูจน์ ดังนั้น สื่อวิดีโอนี้ไม่เพียงแต่ทำหน้าที่เป็นเครื่องช่วยการมองเห็นในบทเรียนพีชคณิตเท่านั้น แต่ยังมีประโยชน์เมื่อนักเรียนศึกษาเนื้อหาอย่างอิสระ และจะช่วยอธิบายหัวข้อให้ครูทราบระหว่างการเรียนทางไกล