วิธีค้นหารากที่สองของตัวเลข รากที่สอง. คู่มือฉบับสมบูรณ์ (2019)

คำแนะนำ

เลือกตัวคูณสำหรับจำนวนราก โดยเอาค่าใดออกจากด้านล่าง รากเป็นการแสดงออกจริงๆ - มิฉะนั้นการดำเนินการจะสูญเสียไป เช่น ถ้าอยู่ใต้ป้าย รากโดยมีตัวบ่งชี้เท่ากับสาม ( รากที่สาม) ต้นทุน ตัวเลข 128 จากนั้นคุณสามารถนำออกจากใต้ป้ายได้เช่น ตัวเลข 5. ขณะเดียวกันก็มีความรุนแรง ตัวเลข 128 จะต้องหารด้วย 5 ลูกบาศก์: ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1.024 หากมีความพร้อม จำนวนเศษส่วนใต้ป้าย รากไม่ขัดแย้งกับเงื่อนไขของปัญหาก็เป็นไปได้ในรูปแบบนี้ หากคุณต้องการตัวเลือกที่ง่ายกว่า ให้แบ่งนิพจน์รากเป็นตัวประกอบจำนวนเต็มก่อน โดยรากที่สามของหนึ่งในนั้นจะเป็นจำนวนเต็ม ตัวเลขม. ตัวอย่างเช่น: ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2

ใช้เพื่อเลือกตัวประกอบของจำนวนรากหากไม่สามารถคำนวณกำลังของตัวเลขในหัวของคุณได้ นี่เป็นเรื่องจริงโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับ ราก m โดยมีเลขชี้กำลังมากกว่าสอง หากคุณสามารถเข้าถึงอินเทอร์เน็ต คุณสามารถคำนวณในตัวได้ เครื่องมือค้นหาการคำนวณของ Google และ Nigma เช่น หากคุณต้องการหาตัวประกอบจำนวนเต็มที่ใหญ่ที่สุดที่สามารถนำออกจากใต้เครื่องหมายลูกบาศก์ได้ รากสำหรับหมายเลข 250 ให้เข้าเว็บกูเกิ้ลแล้วพิมพ์คำว่า “6^3” เพื่อตรวจสอบว่าสามารถลบออกจากใต้ป้ายได้หรือไม่ รากหก. เครื่องมือค้นหาจะแสดงผลลัพธ์เท่ากับ 216 อนิจจา 250 ไม่สามารถหารได้หากไม่มีเศษ ตัวเลข. จากนั้นป้อนคำถาม 5^3 ผลลัพธ์จะเป็น 125 และคุณสามารถหาร 250 เป็นตัวประกอบของ 125 และ 2 ซึ่งก็คือการนำออกจากเครื่องหมาย ราก ตัวเลข 5 ออกจากที่นั่น ตัวเลข 2.

แหล่งที่มา:

• จะดึงมันออกมาจากใต้รากได้อย่างไร
• รากที่สองจากการทำงาน

เอามันออกมาจากด้านล่าง รากปัจจัยหนึ่งมีความจำเป็นในสถานการณ์ที่คุณต้องทำให้ง่ายขึ้น การแสดงออกทางคณิตศาสตร์. มีหลายครั้งที่ไม่สามารถทำการคำนวณที่จำเป็นโดยใช้เครื่องคิดเลขได้ เช่น ถ้าใช้แทนตัวเลข การกำหนดตัวอักษรตัวแปร

คำแนะนำ

แบ่งนิพจน์รากศัพท์ออกเป็นปัจจัยง่ายๆ ดูว่าปัจจัยใดที่ทำซ้ำในจำนวนเท่ากันตามที่ระบุในตัวบ่งชี้ ราก, หรือมากกว่า. เช่น คุณต้องหารากที่สี่ของ a ในกรณีนี้ สามารถแสดงตัวเลขเป็น a*a*a*a = a*(a*a*a)=a*a3 ตัวบ่งชี้ รากในกรณีนี้ก็จะสอดคล้องกับ ปัจจัยก3. จะต้องเอามันออกจากป้าย

แยกรากของผลลัพธ์ออกจากกันหากเป็นไปได้ การสกัด รากคือการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตผกผันกับการยกกำลัง การสกัด รากยกกำลังตามอำเภอใจจากจำนวนหนึ่ง ให้หาจำนวนที่เมื่อยกกำลังตามอำเภอใจนี้จะส่งผลให้เกิด หมายเลขที่กำหนด. ถ้าจะสกัด. รากไม่สามารถสร้างได้ทิ้งการแสดงออกที่รุนแรงไว้ใต้เครื่องหมาย รากอย่างที่มันเป็น จากการกระทำข้างต้น คุณจะถูกลบออกจากใต้ เข้าสู่ระบบ ราก.

วิดีโอในหัวข้อ

บันทึก

ระวังเมื่อเขียนนิพจน์ที่รุนแรงในรูปแบบของปัจจัย - ข้อผิดพลาดในขั้นตอนนี้จะนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้อง

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

เมื่อแยกรากจะสะดวกในการใช้ตารางพิเศษหรือตารางลอการิทึมรูตซึ่งจะช่วยลดเวลาในการค้นหาได้อย่างมาก การตัดสินใจที่ถูกต้อง.

แหล่งที่มา:

• สัญญาณการถอนรากในปี 2562

การทำให้นิพจน์พีชคณิตง่ายขึ้นเป็นสิ่งจำเป็นในหลายสาขาของคณิตศาสตร์ รวมถึงการแก้สมการลำดับที่สูงกว่า การหาอนุพันธ์ และการอินทิเกรต มีการใช้วิธีการหลายวิธี รวมทั้งการแยกตัวประกอบด้วย หากต้องการใช้วิธีนี้ คุณต้องค้นหาและทำข้อมูลทั่วไป ปัจจัยด้านหลัง วงเล็บ.

คำแนะนำ

ดำเนินการตัวคูณรวม วงเล็บ- หนึ่งในวิธีการสลายตัวที่พบบ่อยที่สุด เทคนิคนี้ใช้เพื่อทำให้โครงสร้างของนิพจน์พีชคณิตแบบยาวง่ายขึ้น เช่น พหุนาม จำนวนทั่วไปอาจเป็นตัวเลข โมโนเมียล หรือทวินามก็ได้ และหากต้องการค้นหา ให้ใช้ ทรัพย์สินจำหน่ายการคูณ

จำนวน ดูค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามแต่ละตัวอย่างละเอียดเพื่อดูว่าสามารถหารด้วยจำนวนเดียวกันได้หรือไม่ ตัวอย่างเช่นในนิพจน์ 12 z³ + 16 z² – 4 เห็นได้ชัด ปัจจัย 4. หลังจากการแปลงคุณจะได้ 4 (3 z³ + 4 z² - 1) กล่าวอีกนัยหนึ่ง จำนวนนี้คือตัวหารจำนวนเต็มร่วมที่น้อยที่สุดของสัมประสิทธิ์ทั้งหมด

monomial พิจารณาว่าตัวแปรเดียวกันนั้นอยู่ในแต่ละพจน์ของพหุนามหรือไม่ สมมติว่าเป็นกรณีนี้ ตอนนี้ให้ดูค่าสัมประสิทธิ์เหมือนในกรณีก่อนหน้า ตัวอย่าง: 9 z^4 – 6 z³ + 15 z² – 3 z

แต่ละองค์ประกอบของพหุนามนี้มีตัวแปร z นอกจากนี้ สัมประสิทธิ์ทั้งหมดเป็นตัวเลขที่เป็นผลคูณของ 3 ดังนั้น ตัวประกอบร่วมจะเป็นโมโนเมียล 3 z:3 z (3 z³ – 2 z² + 5 z - 1)

ทวินาม.สำหรับ วงเล็บทั่วไป ปัจจัยของสอง คือตัวแปรและตัวเลข ซึ่งเป็นพหุนามร่วม ดังนั้นหาก ปัจจัย-ค่าทวินามไม่ชัดเจน คุณต้องหาอย่างน้อยหนึ่งราก เลือกพจน์อิสระของพหุนาม ซึ่งเป็นค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่มีตัวแปร ตอนนี้ใช้วิธีการทดแทนในนิพจน์ทั่วไปของตัวหารจำนวนเต็มทั้งหมดของเทอมอิสระ

พิจารณา: z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4 ตรวจสอบดูว่าตัวประกอบจำนวนเต็มของ 4 คือ z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4 = 0 หรือไม่ โดยใช้การแทนที่อย่างง่าย หา z1 = 1 และ z2 = 2 ซึ่งหมายถึงสำหรับ วงเล็บเราสามารถลบทวินาม (z - 1) และ (z - 2) ออกได้ หากต้องการค้นหานิพจน์ที่เหลือ ให้ใช้การหารยาวตามลำดับ

เมื่อแก้ไขปัญหาต่างๆ จากหลักสูตรคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ นักเรียนและนักศึกษามักจะต้องเผชิญกับความจำเป็นในการแยกรากของระดับที่สอง สาม หรือระดับที่ n แน่นอนว่าในยุคของเทคโนโลยีสารสนเทศการแก้ปัญหาดังกล่าวโดยใช้เครื่องคิดเลขไม่ใช่เรื่องยาก อย่างไรก็ตาม สถานการณ์เกิดขึ้นเมื่อไม่สามารถใช้ผู้ช่วยอิเล็กทรอนิกส์ได้

เช่น ข้อสอบหลายข้อไม่อนุญาตให้นำอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์มาด้วย นอกจากนี้คุณอาจไม่มีเครื่องคิดเลขอยู่ในมือ ในกรณีเช่นนี้ จะเป็นประโยชน์ที่จะทราบวิธีการคำนวณค่ารากด้วยตนเองเป็นอย่างน้อย

วิธีคำนวณรากที่ง่ายที่สุดวิธีหนึ่งคือ โดยใช้โต๊ะพิเศษ. มันคืออะไรและใช้อย่างไรให้ถูกต้อง?

เมื่อใช้ตารางคุณสามารถค้นหากำลังสองของตัวเลขใดก็ได้ตั้งแต่ 10 ถึง 99 แถวของตารางมีค่าเป็นสิบและคอลัมน์มีค่าเป็นหน่วย เซลล์ที่จุดตัดของแถวและคอลัมน์จะมีสี่เหลี่ยมจัตุรัส หมายเลขสองหลัก. ในการคำนวณกำลังสองของ 63 คุณต้องค้นหาแถวที่มีค่า 6 และคอลัมน์ที่มีค่า 3 ที่ทางแยกเราจะพบเซลล์ที่มีหมายเลข 3969

เนื่องจากการแตกรากเป็นการดำเนินการผกผันของการยกกำลังสอง ในการดำเนินการนี้คุณต้องทำตรงกันข้าม: ขั้นแรกให้ค้นหาเซลล์ที่มีจำนวนรากที่คุณต้องการคำนวณ จากนั้นใช้ค่าของคอลัมน์และแถวเพื่อกำหนดคำตอบ . เป็นตัวอย่าง ลองคำนวณรากที่สองของ 169

เราพบเซลล์ที่มีตัวเลขนี้ในตาราง ในแนวนอนเราหาสิบ - 1 ในแนวตั้งเราหาหน่วย - 3 คำตอบ: √169 = 13

ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถคำนวณคิวบ์และรากที่ n ได้โดยใช้ตารางที่เหมาะสม

ข้อดีของวิธีนี้คือความเรียบง่ายและไม่มีการคำนวณเพิ่มเติม ข้อเสียชัดเจน: วิธีนี้ใช้ได้กับช่วงตัวเลขที่จำกัดเท่านั้น (จำนวนที่พบรากต้องอยู่ในช่วงตั้งแต่ 100 ถึง 9801) นอกจากนี้จะไม่ทำงานหากหมายเลขที่ระบุไม่อยู่ในตาราง

ตัวประกอบที่สำคัญ

หากตารางสี่เหลี่ยมไม่อยู่ในมือหรือเป็นไปไม่ได้ที่จะหารากด้วยความช่วยเหลือคุณสามารถลอง แยกตัวประกอบจำนวนใต้รากให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ. ตัวประกอบเฉพาะคือปัจจัยที่สามารถหารได้อย่างสมบูรณ์ (ไม่มีเศษเหลือ) หารด้วยตัวมันเองหรือตัวเดียวเท่านั้น ตัวอย่างอาจเป็น 2, 3, 5, 7, 11, 13 เป็นต้น

มาดูการคำนวณรูทโดยใช้ √576 เป็นตัวอย่าง ลองแยกมันเป็นตัวประกอบเฉพาะ. เราได้รับผลลัพธ์ดังต่อไปนี้: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3² เมื่อใช้คุณสมบัติพื้นฐานของราก √a² = a เราจะกำจัดรากและกำลังสองแล้วคำนวณคำตอบ: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​= 24

จะทำอย่างไรถ้าตัวคูณตัวใดตัวหนึ่งไม่มีคู่ของตัวเอง? เช่น ลองคำนวณ √54 หลังจากการแยกตัวประกอบ เราได้ผลลัพธ์ในรูปแบบต่อไปนี้: √54 = √(2 ∙ 3 ​​​​∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6 ส่วนที่ไม่สามารถถอดออกได้สามารถทิ้งไว้ใต้รากได้ สำหรับปัญหาเรขาคณิตและพีชคณิตส่วนใหญ่ คำตอบนี้จะถือเป็นคำตอบสุดท้าย แต่หากจำเป็นต้องคำนวณค่าโดยประมาณ คุณสามารถใช้วิธีการที่จะกล่าวถึงด้านล่างได้

วิธีการของนกกระสา

จะทำอย่างไรเมื่อคุณต้องการทราบอย่างน้อยโดยประมาณว่ารูทที่แยกออกมามีค่าเท่ากับเท่าใด (หากเป็นไปไม่ได้ที่จะรับค่าจำนวนเต็ม) ได้ผลลัพธ์ที่รวดเร็วและแม่นยำโดยวิธีเฮรอน. สาระสำคัญคือการใช้สูตรโดยประมาณ:

√R = √a + (R - ก) / 2√a,

โดยที่ R คือตัวเลขที่ต้องคำนวณราก ส่วน a คือตัวเลขที่ใกล้ที่สุดซึ่งทราบค่าราก

มาดูวิธีการทำงานในทางปฏิบัติและประเมินว่าวิธีนี้มีความแม่นยำเพียงใด ลองคำนวณว่า √111 เท่ากับอะไร จำนวนที่ใกล้เคียงที่สุดกับ 111 ซึ่งทราบรากคือ 121 ดังนั้น R = 111, a = 121 แทนค่าลงในสูตร:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

ตอนนี้เรามาตรวจสอบความถูกต้องของวิธีการกัน:

10.55² = 111.3025

ข้อผิดพลาดของวิธีการประมาณ 0.3 หากจำเป็นต้องปรับปรุงความแม่นยำของวิธีการ คุณสามารถทำซ้ำขั้นตอนที่อธิบายไว้ก่อนหน้านี้:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

ตรวจสอบความถูกต้องของการคำนวณ:

10.536² = 111.0073

หลังจากใช้สูตรอีกครั้ง ข้อผิดพลาดก็ไม่มีนัยสำคัญเลย

การคำนวณรากโดยการหารยาว

วิธีการหาค่ารากที่สองนี้ซับซ้อนกว่าวิธีก่อนหน้าเล็กน้อย อย่างไรก็ตาม วิธีการคำนวณนี้แม่นยำที่สุดในบรรดาวิธีคำนวณอื่นๆ ที่ไม่มีเครื่องคิดเลข.

สมมติว่าคุณต้องหารากที่สองที่แม่นยำถึงทศนิยม 4 ตำแหน่ง มาวิเคราะห์อัลกอริธึมการคำนวณโดยใช้ตัวอย่างหมายเลขที่กำหนดเอง 1308.1912

1. แบ่งกระดาษออกเป็น 2 ส่วนด้วยเส้นแนวตั้ง จากนั้นลากอีกเส้นไปทางขวา โดยอยู่ใต้ขอบด้านบนเล็กน้อย ลองเขียนตัวเลขทางด้านซ้ายโดยแบ่งเป็นกลุ่มละ 2 หลักเลื่อนไปทางขวาและ ด้านซ้ายจากลูกน้ำ หลักแรกสุดทางซ้ายอาจไม่มีคู่ หากเครื่องหมายหายไปทางด้านขวาของตัวเลข ให้บวก 0 ในกรณีของเรา ผลลัพธ์จะเป็น 13 08.19 12
2. มาเลือกสิ่งที่ดีที่สุดกันดีกว่า จำนวนมากกำลังสองซึ่งจะน้อยกว่าหรือเท่ากับตัวเลขกลุ่มแรก ในกรณีของเราคือ 3 มาเขียนที่ด้านขวาบนกัน 3 คือตัวเลขตัวแรกของผลลัพธ์ ที่มุมขวาล่างเราระบุ 3×3 = 9; สิ่งนี้จำเป็นสำหรับการคำนวณครั้งต่อไป จาก 13 ในคอลัมน์ที่เราลบ 9 เราจะได้เศษ 4
3. ลองกำหนดตัวเลขคู่ถัดไปให้กับเศษ 4 กัน; เราได้ 408
4. คูณตัวเลขที่มุมขวาบนด้วย 2 แล้วเขียนลงไปที่มุมขวาล่าง โดยบวก _ x _ = เข้าไป เราได้ 6_ x _ =
5. แทนที่จะใช้ขีดกลาง คุณต้องแทนที่ตัวเลขเดิมซึ่งน้อยกว่าหรือเท่ากับ 408 เราได้ 66 × 6 = 396 เราเขียน 6 จากมุมขวาบน เนื่องจากนี่คือตัวเลขหลักที่สองของผลลัพธ์ ลบ 396 จาก 408 เราได้ 12
6. ทำซ้ำขั้นตอนที่ 3-6 เนื่องจากตัวเลขที่เลื่อนลงมาอยู่ในเศษส่วนของตัวเลข จึงจำเป็นต้องวางจุดทศนิยมที่ด้านบนขวาหลัง 6 ลองเขียนผลลัพธ์สองเท่าด้วยเครื่องหมายขีดกลาง: 72_ x _ = จำนวนที่เหมาะสมคือ 1: 721×1 = 721 มาเขียนไว้เป็นคำตอบกันดีกว่า ลองลบ 1219 - 721 = 498
7. เรามาดำเนินการตามลำดับการกระทำที่กำหนดไว้ในย่อหน้าก่อนหน้าอีกสามครั้งเพื่อรับ จำนวนที่ต้องการตำแหน่งทศนิยม หากมีอักขระไม่เพียงพอสำหรับการคำนวณเพิ่มเติม คุณต้องเพิ่มศูนย์สองตัวที่หมายเลขปัจจุบันทางด้านซ้าย

ด้วยเหตุนี้เราจึงได้คำตอบ: √1308.1912 data 36.1689 หากคุณตรวจสอบการกระทำโดยใช้เครื่องคิดเลข คุณสามารถมั่นใจได้ว่าสัญญาณทั้งหมดได้รับการระบุอย่างถูกต้อง

การคำนวณรากที่สองแบบบิต

วิธีการนี้มีความแม่นยำสูง. นอกจากนี้ยังค่อนข้างเข้าใจได้และไม่จำเป็นต้องจำสูตรหรืออัลกอริธึมการกระทำที่ซับซ้อนเนื่องจากสาระสำคัญของวิธีการคือการเลือกผลลัพธ์ที่ถูกต้อง

มาแยกรากของเลข 781 มาดูรายละเอียดลำดับของการกระทำกัน

1. มาดูกันว่าค่ารากที่สองของหลักใดจะมีความสำคัญมากที่สุด เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้ยกกำลังสอง 0, 10, 100, 1,000 เป็นต้น แล้วดูว่าเลขรากใดอยู่ระหว่างใด เราได้ 10² นั้น< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. มาเลือกค่าหลักสิบกันดีกว่า ในการทำเช่นนี้ เราจะผลัดกันยกกำลัง 10, 20, ..., 90 จนกระทั่งได้ตัวเลขที่มากกว่า 781 ในกรณีของเรา เราได้ 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900 ค่าของผลลัพธ์ n จะอยู่ภายใน 20< n <30.
3. เช่นเดียวกับขั้นตอนก่อนหน้า ค่าของหลักหน่วยจะถูกเลือก ลองยกกำลังสอง 21.22, ..., 29 ทีละอัน: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² = 784 เราได้ 27< n < 28.
4. แต่ละหลักที่ตามมา (หลักสิบ หลักร้อย ฯลฯ) จะถูกคำนวณในลักษณะเดียวกับที่แสดงไว้ด้านบน การคำนวณจะดำเนินการจนกว่าจะได้ความแม่นยำที่ต้องการ

ก่อนเครื่องคิดเลข นักเรียนและครูจะคำนวณรากที่สองด้วยมือ มีหลายวิธีในการคำนวณรากที่สองของตัวเลขด้วยตนเอง บางส่วนเสนอวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณเท่านั้น บางส่วนให้คำตอบที่แน่นอน

ขั้นตอน

ตัวประกอบที่สำคัญ

แยกตัวประกอบของจำนวนรากให้เป็นตัวประกอบที่เป็นเลขยกกำลังสองคุณจะได้คำตอบโดยประมาณหรือที่แน่นอนทั้งนี้ขึ้นอยู่กับจำนวนราก ตัวเลขกำลังสองคือตัวเลขที่ใช้หารากที่สองทั้งหมดได้ ตัวประกอบคือตัวเลขที่เมื่อคูณแล้วจะได้จำนวนเดิม ตัวอย่างเช่น ตัวประกอบของตัวเลข 8 คือ 2 และ 4 เนื่องจาก 2 x 4 = 8 ตัวเลข 25, 36, 49 เป็นตัวเลขกำลังสอง เนื่องจาก √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7 ตัวประกอบกำลังสอง คือตัวประกอบซึ่งเป็นเลขยกกำลังสอง ขั้นแรก ให้ลองแยกตัวประกอบจำนวนรากให้เป็นตัวประกอบกำลังสอง

• เช่น คำนวณรากที่สองของ 400 (ด้วยมือ) ขั้นแรกให้ลองแยกตัวประกอบ 400 ออกเป็นกำลังสองก่อน 400 เป็นผลคูณของ 100 กล่าวคือ หารด้วย 25 ลงตัว ซึ่งเป็นเลขกำลังสอง การหาร 400 ด้วย 25 จะได้ 16 เลข 16 ก็เป็นเลขกำลังสองเช่นกัน ดังนั้น 400 สามารถแยกตัวประกอบเป็นตัวประกอบกำลังสองของ 25 และ 16 ได้ ซึ่งก็คือ 25 x 16 = 400
• สามารถเขียนได้ดังนี้: √400 = √(25 x 16)

1. รากที่สองของผลคูณของบางเทอมจะเท่ากับผลคูณของรากที่สองของแต่ละเทอม ซึ่งก็คือ √(a x b) = √a x √b ใช้กฎนี้หาค่ารากที่สองของแต่ละตัวประกอบกำลังสองแล้วคูณผลลัพธ์เพื่อหาคำตอบ

   • ในตัวอย่างของเรา หารากของ 25 และ 16
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. ถ้าจำนวนรากไม่ได้แยกตัวประกอบเป็นกำลังสอง (และกรณีนี้เกิดขึ้นในกรณีส่วนใหญ่) คุณจะไม่สามารถหาคำตอบที่แน่นอนในรูปของจำนวนเต็มได้ แต่คุณสามารถทำให้ปัญหาง่ายขึ้นได้โดยการแยกจำนวนรากให้เป็นตัวประกอบกำลังสองและตัวประกอบสามัญ (ตัวเลขที่ไม่สามารถหารากที่สองทั้งหมดได้) จากนั้นคุณจะหารากที่สองของตัวประกอบกำลังสอง และหารากของตัวประกอบร่วม

   • ตัวอย่างเช่น คำนวณรากที่สองของตัวเลข 147 จำนวน 147 ไม่สามารถแยกตัวประกอบเป็นกำลังสองได้ แต่สามารถแยกตัวประกอบเป็นปัจจัยต่อไปนี้ได้: 49 และ 3 แก้ปัญหาดังนี้:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. หากจำเป็น ให้ประเมินค่าของรูตตอนนี้คุณสามารถประมาณค่าของรูท (ค้นหาค่าโดยประมาณ) ได้โดยเปรียบเทียบกับค่าของรากของตัวเลขกำลังสองที่อยู่ใกล้ที่สุด (ทั้งสองด้านของเส้นจำนวน) กับจำนวนราก คุณจะได้รับค่ารูทเป็นเศษส่วนทศนิยม ซึ่งจะต้องคูณด้วยตัวเลขที่อยู่ด้านหลังเครื่องหมายรูท

   • กลับไปที่ตัวอย่างของเรา จำนวนรากคือ 3 จำนวนกำลังสองที่อยู่ใกล้ที่สุดจะเป็นตัวเลข 1 (√1 = 1) และ 4 (√4 = 2) ดังนั้น ค่าของ √3 จึงอยู่ระหว่าง 1 ถึง 2 เนื่องจากค่าของ √3 น่าจะใกล้กับ 2 มากกว่าถึง 1 การประมาณค่าของเราคือ: √3 = 1.7 เราคูณค่านี้ด้วยตัวเลขที่เครื่องหมายราก: 7 x 1.7 = 11.9 ถ้าคุณคำนวณด้วยเครื่องคิดเลข คุณจะได้ 12.13 ซึ่งค่อนข้างใกล้เคียงกับคำตอบของเรา
     • วิธีนี้ยังใช้ได้กับตัวเลขจำนวนมากอีกด้วย ตัวอย่างเช่น พิจารณา √35 จำนวนรากคือ 35 จำนวนกำลังสองที่ใกล้ที่สุดคือตัวเลข 25 (√25 = 5) และ 36 (√36 = 6) ดังนั้น ค่าของ √35 จึงอยู่ระหว่าง 5 ถึง 6 เนื่องจากค่าของ √35 นั้นใกล้กับ 6 มากกว่าถึง 5 มาก (เนื่องจาก 35 มีค่าน้อยกว่า 36 เพียง 1 เท่านั้น) เราจึงสามารถพูดได้ว่า √35 นั้นน้อยกว่า 5 เล็กน้อย 6. ตรวจดูเครื่องคิดเลขทำให้เราได้คำตอบ 5.92 - เราพูดถูก

4. อีกวิธีหนึ่งคือการแยกจำนวนรากให้เป็นตัวประกอบเฉพาะตัวประกอบเฉพาะคือตัวเลขที่หารด้วย 1 และตัวมันเองเท่านั้น เขียนตัวประกอบเฉพาะเป็นอนุกรมแล้วหาคู่ของตัวประกอบที่เหมือนกัน ปัจจัยดังกล่าวสามารถนำออกจากเครื่องหมายรากได้

   • ตัวอย่างเช่น คำนวณรากที่สองของ 45 เราแยกตัวประกอบเลขรากให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ: 45 = 9 x 5 และ 9 = 3 x 3 ดังนั้น √45 = √(3 x 3 x 5) 3 สามารถนำออกมาเป็นเครื่องหมายรากได้: √45 = 3√5 ตอนนี้เราสามารถประมาณ √5 ได้
   • ลองดูตัวอย่างอื่น: √88
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11) คุณได้รับตัวคูณสามตัวจาก 2; เอาสองสามอันแล้วย้ายออกไปเลยเครื่องหมายรูต
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11 ตอนนี้คุณสามารถประเมิน √2 และ √11 และค้นหาคำตอบโดยประมาณได้แล้ว

   การคำนวณรากที่สองด้วยตนเอง

   การใช้การหารยาว

   1. วิธีนี้เกี่ยวข้องกับกระบวนการคล้ายกับการหารยาวและให้คำตอบที่แม่นยำขั้นแรก ให้วาดเส้นแนวตั้งโดยแบ่งแผ่นงานออกเป็นสองซีก จากนั้นไปทางขวาและต่ำกว่าขอบด้านบนของแผ่นงานเล็กน้อย ให้วาดเส้นแนวนอนเป็นเส้นแนวตั้ง ตอนนี้ให้แบ่งเลขรากออกเป็นคู่ๆ โดยเริ่มจากเศษส่วนหลังจุดทศนิยม ดังนั้น หมายเลข 79520789182.47897 จึงเขียนเป็น "7 95 20 78 91 82, 47 89 70"

      • ตัวอย่างเช่น ลองคำนวณรากที่สองของจำนวน 780.14 ลากเส้นสองเส้น (ตามภาพ) แล้วเขียนตัวเลขที่กำหนดในรูปแบบ “7 80, 14” ที่ด้านซ้ายบน เป็นเรื่องปกติที่หลักแรกจากซ้ายจะเป็นตัวเลขที่ไม่มีการจับคู่ คุณจะเขียนคำตอบ (รากของตัวเลขนี้) ที่มุมขวาบน

   2. สำหรับตัวเลขคู่แรก (หรือเลขตัวเดียว) จากทางซ้าย ให้หาจำนวนเต็ม n ที่มากที่สุดซึ่งมีกำลังสองน้อยกว่าหรือเท่ากับคู่ของตัวเลข (หรือเลขตัวเดียว) ที่ต้องการ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ให้หาเลขกำลังสองที่อยู่ใกล้ที่สุดแต่น้อยกว่าเลขคู่แรก (หรือเลขตัวเดียว) จากทางซ้าย แล้วหารากที่สองของเลขกำลังสองนั้น คุณจะได้หมายเลข n เขียน n ที่คุณพบที่มุมขวาบน และเขียนกำลังสองของ n ที่มุมขวาล่าง

      • ในกรณีของเรา ตัวเลขแรกทางซ้ายจะเป็น 7 ต่อไปคือ 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. ลบกำลังสองของตัวเลข n ที่คุณเพิ่งได้จากตัวเลขคู่แรก (หรือเลขตัวเดียว) ทางด้านซ้ายเขียนผลลัพธ์การคำนวณไว้ใต้เครื่องหมายย่อย (กำลังสองของตัวเลข n)

      • ในตัวอย่างของเรา ลบ 4 จาก 7 แล้วได้ 3

   4. นำตัวเลขคู่ที่สองออกมาแล้วจดไว้ข้างค่าที่ได้รับในขั้นตอนที่แล้วจากนั้นเพิ่มตัวเลขเป็นสองเท่าที่มุมขวาบน แล้วเขียนผลลัพธ์ที่มุมขวาล่างโดยบวก "_×_="

      • ในตัวอย่างของเรา ตัวเลขคู่ที่สองคือ "80" เขียน "80" หลัง 3 จากนั้นเพิ่มตัวเลขด้านขวาบนเป็นสองเท่าจะได้ 4 เขียน "4_×_=" ที่ด้านขวาล่าง

   5. กรอกข้อมูลลงในช่องว่างทางด้านขวา

      • ในกรณีของเรา ถ้าเราใส่ตัวเลข 8 แทนขีดกลาง ดังนั้น 48 x 8 = 384 ซึ่งมากกว่า 380 ดังนั้น 8 จึงเป็นตัวเลขที่มากเกินไป แต่ 7 ได้ผล เขียน 7 แทนเครื่องหมายขีดกลางแล้วได้: 47 x 7 = 329 เขียน 7 ที่มุมขวาบน - นี่คือหลักที่สองในรากที่สองที่ต้องการของหมายเลข 780.14

   6. ลบตัวเลขผลลัพธ์จากตัวเลขปัจจุบันทางด้านซ้ายเขียนผลลัพธ์จากขั้นตอนที่แล้วไว้ใต้ตัวเลขปัจจุบันทางด้านซ้าย หาผลต่างแล้วเขียนไว้ใต้เครื่องหมายย่อย

      • ในตัวอย่างของเรา ลบ 329 จาก 380 ซึ่งเท่ากับ 51

   7. ทำซ้ำขั้นตอนที่ 4หากคู่ของตัวเลขที่จะถ่ายโอนเป็นส่วนที่เป็นเศษส่วนของตัวเลขเดิม ให้ใส่ตัวคั่น (ลูกน้ำ) ระหว่างจำนวนเต็มและเศษส่วนในรากที่สองที่ต้องการที่มุมขวาบน ทางด้านซ้ายดึงตัวเลขคู่ถัดไปลงมา เพิ่มตัวเลขที่มุมขวาบนเป็นสองเท่าแล้วเขียนผลลัพธ์ที่มุมขวาล่างโดยเติม "_×_="

      • ในตัวอย่างของเรา ตัวเลขคู่ถัดไปที่จะลบออกจะเป็นเศษส่วนของตัวเลข 780.14 ดังนั้นให้วางตัวคั่นของจำนวนเต็มและเศษส่วนในรากที่สองที่ต้องการที่มุมบนขวา เอา 14 ลงมาแล้วเขียนไว้ที่ด้านซ้ายล่าง. สองเท่าของตัวเลขที่มุมขวาบน (27) คือ 54 ดังนั้นให้เขียน "54_×_=" ที่มุมขวาล่าง

   8. ทำซ้ำขั้นตอนที่ 5 และ 6ค้นหาจำนวนที่มากที่สุดแทนที่เครื่องหมายขีดทางขวา (แทนที่จะใช้เครื่องหมายขีดกลาง คุณต้องใช้ตัวเลขเดียวกันแทน) เพื่อให้ผลลัพธ์ของการคูณน้อยกว่าหรือเท่ากับตัวเลขปัจจุบันทางด้านซ้าย

      • ในตัวอย่างของเรา 549 x 9 = 4941 ซึ่งน้อยกว่าตัวเลขปัจจุบันทางด้านซ้าย (5114) เขียน 9 ที่มุมขวาบน แล้วลบผลการคูณออกจากตัวเลขปัจจุบันทางด้านซ้าย: 5114 - 4941 = 173

   9. หากคุณต้องการหาตำแหน่งทศนิยมเพิ่มเติมสำหรับรากที่สอง ให้เขียนเลขศูนย์สองสามตัวทางด้านซ้ายของตัวเลขปัจจุบันแล้วทำซ้ำขั้นตอนที่ 4, 5 และ 6 ทำซ้ำขั้นตอนจนกว่าคุณจะได้คำตอบที่แม่นยำ (จำนวนตำแหน่งทศนิยม) ความต้องการ.

   ทำความเข้าใจกับกระบวนการ

   หากต้องการเชี่ยวชาญวิธีนี้ ลองจินตนาการถึงจำนวนรากที่สองที่คุณต้องค้นหาเป็นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส S ในกรณีนี้ คุณจะต้องมองหาความยาวของด้าน L ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสดังกล่าว เราคำนวณค่าของ L เพื่อให้ L² = S

   ให้ตัวอักษรสำหรับตัวเลขแต่ละตัวในคำตอบให้เราแสดงด้วย A เป็นตัวเลขตัวแรกในค่า L (รากที่สองที่ต้องการ) B จะเป็นเลขตัวที่สอง C เป็นตัวที่สาม และต่อๆ ไป

   ระบุตัวอักษรสำหรับตัวเลขหลักแรกแต่ละคู่ให้เราแสดงด้วย S a ตัวเลขคู่แรกที่มีค่าของ S, โดย S b แทนตัวเลขคู่ที่สอง และอื่นๆ

   เข้าใจความเชื่อมโยงระหว่างวิธีนี้กับการหารยาว.เช่นเดียวกับในการหาร โดยที่เราสนใจเฉพาะตัวเลขหลักถัดไปของตัวเลขที่เราหารในแต่ละครั้ง เมื่อคำนวณรากที่สอง เราจะทำงานผ่านตัวเลขคู่หนึ่งตามลำดับ (เพื่อให้ได้ตัวเลขหนึ่งหลักถัดไปในค่ารากที่สอง ).

   1. พิจารณาเลขคู่แรกของ Sa ของเลข S (Sa = 7 ในตัวอย่างของเรา) แล้วหารากที่สองของมันในกรณีนี้ หลักแรกของ A ของค่ารากที่สองที่ต้องการจะเป็นตัวเลขที่มีกำลังสองน้อยกว่าหรือเท่ากับ S a (นั่นคือ เรากำลังมองหา A ที่ทำให้ความไม่เท่าเทียมกัน A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • สมมติว่าเราต้องหาร 88962 ด้วย 7; ขั้นตอนแรกจะคล้ายกันที่นี่: เราพิจารณาตัวเลขตัวแรกของจำนวนที่หารได้ 88962 (8) และเลือกจำนวนที่มากที่สุดซึ่งเมื่อคูณด้วย 7 จะให้ค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 8 นั่นคือเรากำลังมองหา ตัวเลข d ซึ่งอสมการเป็นจริง: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. ลองนึกภาพสี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งคุณต้องคำนวณพื้นที่คุณกำลังมองหา L นั่นคือความยาวของด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งมีพื้นที่เท่ากับ S. A, B, C คือตัวเลขในตัวเลข L คุณสามารถเขียนให้แตกต่างออกไป: 10A + B = L (สำหรับ ตัวเลขสองหลัก) หรือ 100A + 10B + C = L (สำหรับตัวเลขสามหลัก) เป็นต้น

      • อนุญาต (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². โปรดจำไว้ว่า 10A+B คือตัวเลขที่หลัก B หมายถึงหน่วย และหลัก A หมายถึงหลักสิบ ตัวอย่างเช่น ถ้า A=1 และ B=2 ดังนั้น 10A+B จะเท่ากับตัวเลข 12 (10A+B)²คือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมทั้งหมด 100A²- พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านในขนาดใหญ่ บี²- พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านในเล็ก 10A×บี- พื้นที่ของแต่ละสี่เหลี่ยมทั้งสอง เมื่อรวมพื้นที่ของตัวเลขที่อธิบายไว้ คุณจะพบพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสดั้งเดิม

วิธีการแยกราก จากหมายเลข ในบทความนี้ เราจะได้เรียนรู้วิธีการหารากที่สองของตัวเลขสี่และห้าหลัก

ลองใช้รากที่สองของ 1936 เป็นตัวอย่าง

เพราะฉะนั้น, .

หลักสุดท้ายในหมายเลข 1936 คือหมายเลข 6 กำลังสองของหมายเลข 4 และหมายเลข 6 สิ้นสุดที่ 6 ดังนั้น 1936 อาจเป็นกำลังสองของหมายเลข 44 หรือหมายเลข 46 ยังคงต้องตรวจสอบโดยใช้การคูณ

วิธี,

ลองหารากที่สองของจำนวน 15129 กัน

เพราะฉะนั้น, .

หลักสุดท้ายในหมายเลข 15129 คือหมายเลข 9 กำลังสองของหมายเลข 3 และหมายเลข 7 ลงท้ายด้วย 9 ดังนั้น 15129 อาจเป็นกำลังสองของหมายเลข 123 หรือหมายเลข 127 ลองตรวจสอบโดยใช้การคูณกัน

วิธี,

วิธีแยกรูท - วิดีโอ

และตอนนี้ฉันขอแนะนำให้คุณดูวิดีโอของ Anna Denisova - “วิธีการสกัดราก "ผู้เขียนเว็บไซต์" ฟิสิกส์ง่ายๆ" ซึ่งเธออธิบายวิธีหารากที่สองและรากที่สามโดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข

วิดีโอกล่าวถึงวิธีการแยกรากหลายวิธี:

1. วิธีที่ง่ายที่สุดในการแยกรากที่สอง

2. โดยการเลือกโดยใช้กำลังสองของผลรวม

3. วิธีการแบบบาบิโลน

4. วิธีการแยกรากที่สองของคอลัมน์

5. วิธีที่รวดเร็วในการแยกรากที่สาม

6. วิธีการแยกรากที่สามในคอลัมน์

วงกลมแสดงวิธีการแยกรากที่สองออกจากคอลัมน์ คุณสามารถคำนวณรูทได้อย่างแม่นยำโดยพลการ ค้นหาตัวเลขจำนวนเท่าใดก็ได้ในรูปแบบทศนิยม แม้ว่าจะกลายเป็นเหตุผลก็ตาม จดจำอัลกอริทึมแล้ว แต่คำถามยังคงอยู่ ไม่ชัดเจนว่าวิธีการนี้มาจากไหนและเหตุใดจึงให้ผลลัพธ์ที่ถูกต้อง มันไม่ได้อยู่ในหนังสือหรือบางทีฉันแค่ดูหนังสือผิดเล่ม ในท้ายที่สุด เช่นเดียวกับสิ่งที่ฉันรู้และสามารถทำได้ในวันนี้ ฉันก็คิดมันขึ้นมาเอง ฉันแบ่งปันความรู้ของฉันที่นี่ อย่างไรก็ตามฉันยังไม่รู้ว่าการให้เหตุผลสำหรับอัลกอริทึมอยู่ที่ไหน)))

ก่อนอื่นฉันจะบอกคุณว่า "ระบบทำงานอย่างไร" พร้อมตัวอย่าง จากนั้นฉันจะอธิบายว่าทำไมมันถึงใช้งานได้จริง

ลองใช้ตัวเลขกัน (ตัวเลขนั้นถูกลบ "ออกจากอากาศ" แค่นึกขึ้นมาได้)

1. เราแบ่งตัวเลขออกเป็นคู่ๆ โดยตัวเลขทางด้านซ้ายของจุดทศนิยมจะถูกจัดกลุ่มเป็น 2 จากขวาไปซ้าย และตัวเลขที่อยู่ทางขวาจะถูกจัดกลุ่ม 2 จากซ้ายไปขวา เราได้รับ.

2. เราแยกรากที่สองออกจากกลุ่มแรกของตัวเลขทางซ้าย - ในกรณีของเราคือ (ชัดเจนว่าไม่สามารถแยกรากที่แน่นอนได้ เราใช้ตัวเลขที่มีกำลังสองใกล้เคียงกับตัวเลขของเรามากที่สุดซึ่งเกิดจาก ตัวเลขกลุ่มแรกแต่ต้องไม่เกิน) ในกรณีของเรา นี่จะเป็นตัวเลข เราเขียนคำตอบ - นี่คือหลักที่สำคัญที่สุดของรูต

3. เรายกกำลังสองตัวเลขที่มีอยู่ในคำตอบอยู่แล้ว - นี่ - และลบออกจากตัวเลขกลุ่มแรกทางซ้าย - จากตัวเลข ในกรณีของเรามันยังคงอยู่

4. เรากำหนดกลุ่มตัวเลขสองตัวต่อไปนี้ทางด้านขวา: . เราคูณตัวเลขที่อยู่ในคำตอบแล้วด้วย และเราได้ .

5. ตอนนี้ดูอย่างระมัดระวัง เราจำเป็นต้องกำหนดตัวเลขทางขวาหนึ่งหลัก และคูณตัวเลขด้วย นั่นคือ ด้วยตัวเลขที่กำหนดเดียวกัน ผลลัพธ์ควรใกล้เคียงที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ แต่ต้องไม่เกินจำนวนนี้อีกครั้ง ในกรณีของเรา นี่จะเป็นตัวเลข เราเขียนไว้ในคำตอบข้างๆ ทางด้านขวา นี่คือหลักถัดไปในรูปแบบทศนิยมของรากที่สองของเรา

6. จากการลบผลคูณ เราจะได้

7. ต่อไป ทำซ้ำการดำเนินการที่คุ้นเคย: เรากำหนดกลุ่มตัวเลขต่อไปนี้ไปทางขวา คูณด้วย ให้กับตัวเลขผลลัพธ์ > เรากำหนดหนึ่งหลักทางด้านขวา ดังนั้นเมื่อคูณด้วยมัน เราจะได้ตัวเลขที่เล็กกว่า แต่ใกล้เคียงที่สุด ถึงมัน - นี่คือหลักถัดไปในรูปแบบทศนิยม

การคำนวณจะเขียนดังนี้:

และตอนนี้คำอธิบายที่สัญญาไว้ อัลกอริทึมจะขึ้นอยู่กับสูตร

ความคิดเห็น: 50

1. 2 แอนตัน:

   วุ่นวายและสับสนเกินไป จัดเรียงทุกอย่างทีละจุดและเรียงลำดับ บวก: อธิบายว่าเราแทนที่ค่าที่ต้องการในแต่ละการกระทำที่ไหน ฉันไม่เคยคำนวณรูทรูทมาก่อน ฉันมีช่วงเวลาที่ยากลำบากในการหามัน

2. 5 จูเลีย:

3. 6 :

   ปัจจุบัน Yulia, 23 เขียนไว้ทางขวา ซึ่งเป็นตัวเลขสองหลักแรก (ทางซ้าย) ของรากที่ได้รับในคำตอบแล้ว คูณด้วย 2 ตามอัลกอริทึม เราทำซ้ำขั้นตอนที่อธิบายไว้ในจุดที่ 4

4. 7zz:

   ข้อผิดพลาดใน “6. จาก 167 เราลบผลคูณ 43 * 3 = 123 (129 นาดา) เราได้ 38”
   ฉันไม่เข้าใจว่ากลายเป็น 08 หลังจุดทศนิยมได้อย่างไร...

5. 9 เฟโดตอฟ อเล็กซานเดอร์:

   และแม้แต่ในยุคก่อนเครื่องคิดเลข เรายังถูกสอนที่โรงเรียน ไม่ใช่แค่รากที่สองเท่านั้น แต่ยังสอนรากที่สามในคอลัมน์ด้วย แต่นี่เป็นงานที่น่าเบื่อและต้องใช้ความอุตสาหะมากกว่า การใช้ตาราง Bradis หรือกฎสไลด์ง่ายกว่าซึ่งเราเรียนไปแล้วในโรงเรียนมัธยมปลาย

6. 10 :

   อเล็กซานเดอร์ คุณพูดถูก คุณสามารถแยกรากของพลังอันยิ่งใหญ่ออกเป็นคอลัมน์ได้ ผมจะเขียนเกี่ยวกับวิธีการหารากที่สาม

7. 12 เซอร์เกย์ วาเลนติโนวิช:

   เรียน Elizaveta Alexandrovna! ในช่วงปลายทศวรรษที่ 70 ฉันได้พัฒนารูปแบบสำหรับการคำนวณควอดราแบบอัตโนมัติ (เช่น ไม่ใช่โดยการเลือก) รูทบนเครื่องเพิ่ม Felix หากคุณสนใจฉันสามารถส่งคำอธิบายให้คุณได้

8. 14 วลาด เอาส์ เองเกลสตัดท์:

   (((การแยกรากที่สองของคอลัมน์)))
   อัลกอริทึมจะง่ายขึ้นหากคุณใช้ระบบตัวเลขตัวที่ 2 ซึ่งศึกษาในสาขาวิทยาการคอมพิวเตอร์ แต่ยังมีประโยชน์ในวิชาคณิตศาสตร์ด้วย หนึ่ง. Kolmogorov นำเสนออัลกอริทึมนี้ในการบรรยายยอดนิยมสำหรับเด็กนักเรียน บทความของเขาสามารถพบได้ใน "Chebyshev Collection" (Mathematical Journal ค้นหาลิงก์บนอินเทอร์เน็ต)
   โดยวิธีการพูดว่า:
   ครั้งหนึ่ง G. Leibniz เคยเล่นกับแนวคิดในการเปลี่ยนจากระบบเลข 10 ไปเป็นระบบเลขฐานสองเนื่องจากความเรียบง่ายและการเข้าถึงได้สำหรับผู้เริ่มต้น (นักเรียนประถม) แต่การฝ่าฝืนประเพณีที่เป็นที่ยอมรับก็เหมือนกับการทุบประตูป้อมปราการด้วยหน้าผาก เป็นไปได้ แต่ก็ไร้ประโยชน์ ดังนั้นปรากฎว่าตามที่ปราชญ์มีหนวดมีเคราที่อ้างถึงมากที่สุดในสมัยก่อน: ประเพณีของคนรุ่นที่ตายแล้วทั้งหมดปราบปรามจิตสำนึกของคนเป็น

   จนกว่าจะถึงครั้งต่อไป.

9. 15 วลาด เอาส์ เองเกลสตัดท์:

   ))Sergey Valentinovich ใช่ ฉันสนใจ...((

   ฉันพนันได้เลยว่านี่เป็นรูปแบบหนึ่งของ "เฟลิกซ์" ของวิธีการแยกอัศวินแห่งบาบิโลนโดยใช้วิธีการประมาณต่อเนื่องกัน อัลกอริธึมนี้ครอบคลุมโดยวิธีของนิวตัน (วิธีแทนเจนต์)

   ฉันสงสัยว่าฉันผิดในการพยากรณ์ของฉันหรือไม่?

10. 18 :

    2วลาด เอาส์ เองเกลสตัดท์

    ใช่ อัลกอริธึมในรูปแบบไบนารีควรจะง่ายกว่า ซึ่งค่อนข้างชัดเจน

    เกี่ยวกับวิธีการของนิวตัน บางทีนั่นอาจเป็นเรื่องจริง แต่ก็ยังน่าสนใจ

11. 20 คิริลล์:

    ขอบคุณมาก. แต่ยังไม่มีอัลกอริธึมไม่มีใครรู้ว่ามันมาจากไหนแต่ผลลัพธ์ก็ถูกต้อง ขอบคุณมาก! ฉันค้นหาสิ่งนี้มานานแล้ว)

12. 21 อเล็กซานเดอร์:

    คุณจะแยกรูทออกจากตัวเลขที่กลุ่มที่สองจากซ้ายไปขวามีขนาดเล็กมากได้อย่างไร? เช่น หมายเลขโปรดของทุกคนคือ 4,398,046,511,104 หลังจากการลบครั้งแรก คุณจะไม่สามารถดำเนินการทุกอย่างตามอัลกอริทึมต่อไปได้ คุณช่วยอธิบายหน่อยได้ไหม

13. 22 อเล็กเซย์:

    ใช่ ฉันรู้วิธีนี้ ฉันจำได้ว่าเคยอ่านมันในหนังสือ “พีชคณิต” ของฉบับเก่าบางเล่ม จากนั้นโดยการเปรียบเทียบตัวเขาเองได้อนุมานถึงวิธีการแยกรากที่สามในคอลัมน์ แต่ที่นั่นมันซับซ้อนกว่าอยู่แล้ว: แต่ละหลักไม่ได้ถูกกำหนดด้วยหนึ่ง (สำหรับสี่เหลี่ยมจัตุรัส) แต่ด้วยการลบสองครั้ง และถึงอย่างนั้นคุณต้องคูณตัวเลขยาวทุกครั้ง

14. 23 อาร์เทม:

    มีการพิมพ์ผิดในตัวอย่างการแยกรากที่สองของ 56789.321 กลุ่มของตัวเลข 32 ถูกกำหนดสองครั้งให้กับตัวเลข 145 และ 243 ในหมายเลข 2388025 8 ที่สองจะต้องถูกแทนที่ด้วย 3 จากนั้นการลบครั้งล่าสุดควรเขียนดังนี้: 2431000 – 2383025 = 47975
    นอกจากนี้ เมื่อหารส่วนที่เหลือด้วยค่าสองเท่าของคำตอบ (โดยไม่คำนึงถึงเครื่องหมายจุลภาค) เราจะได้เลขนัยสำคัญเพิ่มเติม (47975/(2*238305) = 0.100658819...) ซึ่งควรบวกเข้ากับ คำตอบ (√56789.321 = 238.305... = 238.305100659)

15. 24 เซอร์เกย์:

    เห็นได้ชัดว่าอัลกอริทึมนี้มาจากหนังสือของไอแซก นิวตันเรื่อง “เลขคณิตทั่วไปหรือหนังสือเกี่ยวกับการสังเคราะห์และวิเคราะห์เลขคณิต” นี่คือข้อความที่ตัดตอนมาจากมัน:

    เกี่ยวกับการแยกราก

    หากต้องการแยกรากที่สองของตัวเลข คุณต้องวางจุดไว้เหนือตัวเลขก่อน โดยเริ่มจากจุดนั้น จากนั้นคุณควรเขียนจำนวนที่มีกำลังสองเท่ากับหรือใกล้เคียงที่สุดโดยเสียเปรียบกับตัวเลขหรือจำนวนที่อยู่ก่อนหน้าจุดแรกเป็นผลหารหรือราก หลังจากลบกำลังสองนี้แล้ว จะพบตัวเลขที่เหลือของรากตามลำดับโดยการหารส่วนที่เหลือด้วยสองเท่าของค่าของส่วนที่แยกแล้วของรากแล้วลบออกในแต่ละครั้งจากส่วนที่เหลือของสี่เหลี่ยมด้วยตัวเลขสุดท้ายที่พบและผลิตภัณฑ์สิบเท่าด้วย ตัวหารที่มีชื่อ

16. 25 เซอร์เกย์:

    กรุณาแก้ไขชื่อหนังสือ “เลขคณิตทั่วไป หรือ หนังสือเกี่ยวกับการสังเคราะห์และวิเคราะห์เลขคณิต” ด้วย

17. 26 อเล็กซานเดอร์:

    ขอบคุณสำหรับ วัสดุที่น่าสนใจ. แต่สำหรับฉันวิธีนี้ดูเหมือนว่าค่อนข้างซับซ้อนกว่าที่จำเป็นเช่นสำหรับเด็กนักเรียน ฉันใช้วิธีที่ง่ายกว่าโดยอิงจากการสลายตัว ฟังก์ชันกำลังสองโดยใช้อนุพันธ์สองตัวแรก สูตรของมันคือ:
    sqrt(x)= A1+A2-A3 โดยที่
    A1 คือจำนวนเต็มที่มีกำลังสองใกล้กับ x มากที่สุด
    A2 เป็นเศษส่วน ตัวเศษคือ x-A1 ตัวส่วนคือ 2*A1
    สำหรับตัวเลขส่วนใหญ่ที่พบใน หลักสูตรของโรงเรียนแค่นี้ก็เพียงพอแล้วที่จะได้ผลลัพธ์ที่แม่นยำถึงร้อย
    หากคุณต้องการผลลัพธ์ที่แม่นยำยิ่งขึ้น
    A3 เป็นเศษส่วน ตัวเศษคือ A2 กำลังสอง ตัวส่วนคือ 2*A1+1
    แน่นอนว่าหากต้องการใช้คุณต้องมีตารางจำนวนเต็มกำลังสอง แต่นี่ไม่ใช่ปัญหาที่โรงเรียน การจำสูตรนี้ค่อนข้างง่าย
    อย่างไรก็ตาม มันทำให้ฉันสับสนว่าฉันได้รับ A3 โดยเชิงประจักษ์อันเป็นผลมาจากการทดลองกับสเปรดชีต และฉันไม่เข้าใจเลยว่าทำไมสมาชิกรายนี้ถึงมีลักษณะเช่นนี้ บางทีคุณสามารถให้คำแนะนำฉันได้บ้าง?

18. 27 อเล็กซานเดอร์:

    ใช่ ฉันได้พิจารณาข้อควรพิจารณาเหล่านี้ด้วย แต่ปีศาจอยู่ในรายละเอียด ที่คุณเขียน:
    “เนื่องจาก a2 และ b แตกต่างกันค่อนข้างน้อย” คำถามคือว่าน้อยแค่ไหน
    สูตรนี้ใช้ได้ผลดีกับตัวเลขในช่วงสิบหลัง และแย่กว่านั้นมาก (ไม่ถึงร้อย แต่ไม่เกินสิบเท่านั้น) กับตัวเลขในสิบตัวแรก เหตุใดสิ่งนี้จึงเกิดขึ้นเป็นเรื่องยากที่จะเข้าใจโดยไม่ต้องใช้อนุพันธ์

19. 28 อเล็กซานเดอร์:

    ฉันจะชี้แจงสิ่งที่ฉันเห็นว่าเป็นข้อได้เปรียบของสูตรที่ฉันเสนอ ไม่จำเป็นต้องแบ่งตัวเลขออกเป็นคู่หลักที่ไม่เป็นธรรมชาติทั้งหมด ซึ่งตามประสบการณ์แสดงให้เห็นแล้ว มักดำเนินการโดยมีข้อผิดพลาด ความหมายของมันชัดเจน แต่สำหรับคนที่คุ้นเคยกับการวิเคราะห์แล้วมันเป็นเรื่องเล็กน้อย ทำงานได้ดีกับตัวเลขตั้งแต่ 100 ถึง 1,000 ซึ่งเป็นตัวเลขที่พบบ่อยที่สุดในโรงเรียน

20. 29 อเล็กซานเดอร์:

    ยังไงซะ ฉันได้ขุดค้นและพบนิพจน์ที่ตรงกับ A3 ในสูตรของฉัน:
    A3= A22 /2(A1+A2)

21. 30 วาซิล สตรีจฮัค:

    ในยุคของเราที่มีการใช้เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์อย่างแพร่หลายคำถามในการแยกอัศวินจัตุรัสออกจากตัวเลขด้วย จุดปฏิบัติไม่คุ้มที่จะดู แต่สำหรับผู้รักคณิตศาสตร์พวกเขาเป็นที่สนใจอย่างไม่ต้องสงสัย ตัวเลือกต่างๆแนวทางแก้ไขปัญหานี้ ใน หลักสูตรของโรงเรียนวิธีการคำนวณนี้โดยไม่ต้องมีส่วนร่วมของเงินทุนเพิ่มเติมควรเกิดขึ้นพร้อมกับการคูณและการหารในคอลัมน์ อัลกอริธึมการคำนวณไม่เพียงต้องจดจำเท่านั้น แต่ยังต้องเข้าใจอีกด้วย วิธีการแบบคลาสสิกที่มีให้ใน วัสดุนี้เพื่อหารือพร้อมเปิดเผยสาระสำคัญให้เป็นไปตามหลักเกณฑ์ข้างต้นครบถ้วน
    ข้อเสียเปรียบที่สำคัญของวิธีการที่อเล็กซานเดอร์เสนอคือการใช้ตารางจำนวนเต็มกำลังสอง ผู้เขียนเงียบเกี่ยวกับตัวเลขส่วนใหญ่ที่พบในหลักสูตรของโรงเรียน ในส่วนของสูตรโดยทั่วไปแล้วผมชอบเพราะมีความแม่นยําในการคำนวณค่อนข้างสูง

22. 31 อเล็กซานเดอร์:

    สำหรับ 30 วาซิล สตริจาค
    ฉันไม่ได้ทำอะไรให้เงียบเลย ตารางสี่เหลี่ยมควรจะมีได้ถึง 1,000 ตัว ตอนที่ฉันอยู่ที่โรงเรียน พวกเขาเรียนรู้จากใจจริง และก็มีอยู่ในหนังสือเรียนคณิตศาสตร์ทุกเล่ม ฉันตั้งชื่อช่วงเวลานี้อย่างชัดเจน
    ในส่วนของเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์นั้นไม่ได้ใช้ในบทเรียนคณิตศาสตร์เป็นหลัก เว้นแต่จะกล่าวถึงหัวข้อการใช้เครื่องคิดเลขโดยเฉพาะ ขณะนี้เครื่องคิดเลขมีอยู่ในอุปกรณ์ที่ห้ามใช้ในการสอบ Unified State

23. 32 วาซิล สไตรจาค:

    อเล็กซานเดอร์ ขอบคุณสำหรับการชี้แจง ฉันคิดว่าสำหรับวิธีการที่เสนอนั้นจำเป็นในทางทฤษฎีที่จะต้องจำหรือใช้ตารางกำลังสองของตัวเลขสองหลักทั้งหมด จากนั้นสำหรับจำนวนรากที่ไม่รวมอยู่ในช่วงตั้งแต่ 100 ถึง 10,000 คุณสามารถ ใช้เทคนิคการเพิ่มหรือลดตามจำนวนลำดับความสำคัญที่ต้องการโดยเลื่อนจุดทศนิยม

24. 33 วาซิล สไตรจาค:

25. 39 อเล็กซานเดอร์:

    โปรแกรมแรกของฉันในภาษา "IAMB" บนเครื่องโซเวียต "ISKRA 555" ถูกเขียนขึ้นเพื่อแยกรากที่สองของตัวเลขโดยใช้อัลกอริธึมการแยกคอลัมน์! และตอนนี้ฉันลืมวิธีแยกมันด้วยตนเอง!