ตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนหลายจำนวน วิธีค้นหา LCM (ตัวคูณร่วมน้อย)
นิพจน์ทางคณิตศาสตร์และงานต้องใช้ความรู้เพิ่มเติมมากมาย NOC เป็นหนึ่งในเนื้อหาหลักโดยเฉพาะอย่างยิ่งมักใช้ในหัวข้อนี้ศึกษาในโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนปลายและไม่ยากที่จะเข้าใจเนื้อหาเป็นพิเศษ บุคคลที่คุ้นเคยกับพลังและตารางสูตรคูณจะไม่มีปัญหาในการระบุตัวเลขที่จำเป็นและการค้นพบ ผลลัพธ์.
คำนิยาม
ตัวคูณร่วมคือจำนวนที่สามารถหารออกเป็นสองจำนวนได้อย่างสมบูรณ์ในเวลาเดียวกัน (a และ b) ส่วนใหญ่แล้วตัวเลขนี้ได้มาจากการคูณตัวเลขเดิม a และ b ตัวเลขจะต้องหารด้วยตัวเลขทั้งสองพร้อมกันโดยไม่มีการเบี่ยงเบน
NOC เป็นชื่อที่ยอมรับ ชื่อสั้นรวบรวมมาจากตัวอักษรตัวแรก
วิธีรับหมายเลข
วิธีการคูณตัวเลขไม่เหมาะกับการค้นหา LCM เสมอไป แต่จะเหมาะกว่ามากกับตัวเลขหลักเดียวหรือสองหลัก เป็นเรื่องปกติที่จะแบ่งปัจจัยออกเป็นหลายปัจจัย ยิ่งจำนวนมากเท่าใด ก็จะยิ่งมีปัจจัยมากขึ้นเท่านั้น
ตัวอย่าง #1
ตัวอย่างที่ง่ายที่สุด โรงเรียนมักจะใช้ตัวเลขเฉพาะ หลักเดียวหรือสองหลัก ตัวอย่างเช่น คุณต้องแก้โจทย์ต่อไปนี้ หาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข 7 และ 3 วิธีแก้ก็ค่อนข้างง่าย แค่คูณพวกมันเข้าด้วยกัน ด้วยเหตุนี้จึงมีเลข 21 และไม่มีจำนวนที่เล็กกว่านี้เลย
ตัวอย่างหมายเลข 2
งานเวอร์ชันที่สองนั้นยากกว่ามาก ให้หมายเลข 300 และ 1260 โดยจำเป็นต้องค้นหา LOC เพื่อแก้ไขปัญหา จะดำเนินการต่อไปนี้:
การแยกย่อยตัวเลขตัวแรกและตัวที่สองให้เป็นตัวประกอบอย่างง่าย 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7 ขั้นตอนแรกเสร็จสมบูรณ์
ขั้นตอนที่สองเกี่ยวข้องกับการทำงานกับข้อมูลที่ได้รับแล้ว แต่ละหมายเลขที่ได้รับจะต้องมีส่วนร่วมในการคำนวณผลลัพธ์สุดท้าย สำหรับแต่ละปัจจัย จำนวนครั้งที่ใหญ่ที่สุดจะนำมาจากจำนวนเดิม NOC คือ จำนวนทั้งหมดดังนั้นปัจจัยจากตัวเลขจะต้องซ้ำกันทุกตัว แม้แต่ตัวประกอบที่มีอยู่ในสำเนาเดียวก็ตาม ตัวเลขเริ่มต้นทั้งสองประกอบด้วยตัวเลข 2, 3 และ 5 นิ้ว องศาที่แตกต่างกัน, 7 มีอยู่ในกรณีเดียวเท่านั้น
ในการคำนวณผลลัพธ์สุดท้าย คุณต้องนำแต่ละตัวเลขที่มีค่ามากที่สุดของกำลังที่มากที่สุดมาแสดงในสมการ สิ่งที่เหลืออยู่คือการคูณและรับคำตอบด้วย การเติมที่ถูกต้องงานแบ่งออกเป็นสองขั้นตอนโดยไม่มีคำอธิบาย:
1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.
2) NOC = 6300.
นั่นคือปัญหาทั้งหมด หากคุณพยายามคำนวณจำนวนที่ต้องการด้วยการคูณ คำตอบก็จะไม่ถูกต้องอย่างแน่นอน เนื่องจาก 300 * 1260 = 378,000
การตรวจสอบ:
6300/300 = 21 - ถูกต้อง;
6300/1260 = 5 - ถูกต้อง
ความถูกต้องของผลลัพธ์ที่ได้ถูกกำหนดโดยการตรวจสอบ - หาร LCM ด้วยตัวเลขเริ่มต้นทั้งสอง ถ้าตัวเลขเป็นจำนวนเต็มในทั้งสองกรณี คำตอบนั้นถูกต้อง
NOC หมายถึงอะไรในวิชาคณิตศาสตร์?
ดังที่คุณทราบ ไม่มีฟังก์ชันใดที่ไร้ประโยชน์ในคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันนี้ก็ไม่มีข้อยกเว้น วัตถุประสงค์ทั่วไปที่สุดของจำนวนนี้คือการลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วม ปกติจะเรียนอะไรในเกรด 5-6 มัธยม. นอกจากนี้ยังเป็นตัวหารร่วมสำหรับตัวคูณทั้งหมดด้วย หากมีเงื่อนไขดังกล่าวในโจทย์ นิพจน์ดังกล่าวสามารถค้นหาตัวคูณได้ไม่เพียงแต่จากตัวเลขสองตัวเท่านั้น แต่ยังค้นหาจำนวนที่มากกว่านั้นด้วย เช่น สาม ห้า และอื่นๆ ยังไง ตัวเลขมากขึ้น- ยิ่งมีการดำเนินการมากขึ้นในงาน แต่ความซับซ้อนไม่เพิ่มขึ้น
ตัวอย่างเช่น เมื่อระบุตัวเลข 250, 600 และ 1500 คุณจะต้องค้นหา LCM ทั่วไป:
1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - ตัวอย่างนี้อธิบายการแยกตัวประกอบโดยละเอียดโดยไม่มีการลดลง
2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;
3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;
ในการเขียนนิพจน์จำเป็นต้องระบุปัจจัยทั้งหมดในกรณีนี้คือให้ 2, 5, 3 - สำหรับตัวเลขทั้งหมดนี้จำเป็นต้องกำหนดระดับสูงสุด
ข้อควรสนใจ: ปัจจัยทั้งหมดจะต้องถูกทำให้ง่ายขึ้นโดยสมบูรณ์ หากเป็นไปได้ ให้แยกย่อยเป็นระดับหลักเดียว
การตรวจสอบ:
1) 3000/250 = 12 - ถูกต้อง;
2) 3000/600 = 5 - จริง;
3) 3000/1500 = 2 - ถูกต้อง
วิธีนี้ไม่ต้องการกลอุบายหรือความสามารถระดับอัจฉริยะใด ๆ ทุกอย่างเรียบง่ายและชัดเจน
อีกวิธีหนึ่ง
ในทางคณิตศาสตร์ มีหลายสิ่งเชื่อมโยงกัน หลายสิ่งสามารถแก้ไขได้ด้วยสองวิธีขึ้นไป วิธีเดียวกันคือการค้นหาตัวคูณร่วมน้อย LCM วิธีการต่อไปนี้สามารถใช้ได้ในกรณีของตัวเลขสองหลักธรรมดาและ ตัวเลขหลักเดียว. ตารางจะถูกรวบรวมโดยป้อนตัวคูณในแนวตั้ง ตัวคูณในแนวนอน และผลิตภัณฑ์จะถูกระบุในเซลล์ที่ตัดกันของคอลัมน์ คุณสามารถสะท้อนตารางโดยใช้เส้นจดตัวเลขและเขียนผลลัพธ์ของการคูณตัวเลขนี้ด้วยจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึงอนันต์บางครั้ง 3-5 จุดก็เพียงพอแล้วตัวเลขที่สองและตัวต่อมาต้องผ่านกระบวนการคำนวณเดียวกัน ทุกอย่างเกิดขึ้นจนกว่าจะพบตัวคูณร่วม
ด้วยตัวเลข 30, 35, 42 คุณต้องค้นหา LCM ที่เชื่อมต่อกับตัวเลขทั้งหมด:
1) ผลคูณของ 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 เป็นต้น
2) ผลคูณของ 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 เป็นต้น
3) ผลคูณของ 42: 84, 126, 168, 210, 252 เป็นต้น
จะสังเกตได้ว่าตัวเลขทั้งหมดมีความแตกต่างกันมาก โดยตัวเลขทั่วไปเพียงตัวเดียวในนั้นคือ 210 จึงจะเป็น NOC ในกระบวนการที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณนี้ยังมีตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดซึ่งคำนวณตามหลักการที่คล้ายกันและมักพบในปัญหาข้างเคียง ความแตกต่างมีขนาดเล็ก แต่ค่อนข้างสำคัญ LCM เกี่ยวข้องกับการคำนวณตัวเลขที่หารด้วยค่าเริ่มต้นที่กำหนดทั้งหมด และ GCD เกี่ยวข้องกับการคำนวณ มูลค่าสูงสุดโดยแบ่งเลขเดิม
เรามาพูดคุยกันต่อเกี่ยวกับตัวคูณร่วมน้อย ซึ่งเราเริ่มต้นไว้ในส่วน “LCM - ตัวคูณร่วมน้อย คำจำกัดความ และตัวอย่าง” ในหัวข้อนี้ เราจะดูวิธีค้นหา LCM สำหรับตัวเลขสามตัวขึ้นไป และเราจะดูคำถามว่าจะหา LCM ของจำนวนลบได้อย่างไร
ยานเดกซ์RTB R-A-339285-1
การคำนวณตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ผ่าน GCD
เราได้กำหนดความสัมพันธ์ระหว่างตัวคูณร่วมน้อยกับตัวหารร่วมมากแล้ว ตอนนี้เรามาเรียนรู้วิธีกำหนด LCM ผ่าน GCD กันดีกว่า ก่อนอื่น เรามาดูวิธีทำตัวเลขบวกกันก่อน
คำจำกัดความ 1
คุณสามารถหาตัวคูณร่วมน้อยได้จากตัวหารร่วมมากโดยใช้สูตร LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b)
ตัวอย่างที่ 1
คุณต้องค้นหา LCM ของตัวเลข 126 และ 70
สารละลาย
ลองหา a = 126, b = 70 กัน ลองแทนค่าลงในสูตรในการคำนวณตัวคูณร่วมน้อยผ่านตัวหารร่วมมาก LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .
ค้นหา gcd ของตัวเลข 70 และ 126 สำหรับสิ่งนี้ เราจำเป็นต้องมีอัลกอริทึมแบบยุคลิด: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4 ดังนั้น GCD (126 , 70) = 14 .
มาคำนวณ LCM กัน: จอแอลซีดี (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630
คำตอบ:ล.ซม.(126, 70) = 630.
ตัวอย่างที่ 2
ค้นหาหมายเลข 68 และ 34
สารละลาย
GCD ในกรณีนี้หาได้ไม่ยาก เนื่องจาก 68 หารด้วย 34 ลงตัว ลองคำนวณตัวคูณร่วมน้อยโดยใช้สูตร: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68
คำตอบ:ล.ซม.(68, 34) = 68.
ในตัวอย่างนี้ เราใช้กฎในการค้นหาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเต็มบวก a และ b: หากจำนวนแรกหารด้วยวินาทีลงตัว LCM ของจำนวนเหล่านั้นจะเท่ากับจำนวนแรก
การค้นหา LCM โดยการแยกตัวประกอบตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ
ตอนนี้เรามาดูวิธีการหา LCM ซึ่งขึ้นอยู่กับการแยกตัวประกอบตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ
คำจำกัดความ 2
หากต้องการค้นหาตัวคูณร่วมน้อย เราต้องทำขั้นตอนง่ายๆ หลายประการ:
- เราเขียนผลคูณของตัวประกอบเฉพาะทั้งหมดของตัวเลขที่เราจำเป็นต้องค้นหา LCM
- เราแยกปัจจัยสำคัญทั้งหมดออกจากผลิตภัณฑ์ผลลัพธ์
- ผลิตภัณฑ์ที่ได้รับหลังจากกำจัดปัจจัยเฉพาะทั่วไปจะเท่ากับ LCM ของตัวเลขที่กำหนด
วิธีการหาตัวคูณร่วมน้อยนี้ขึ้นอยู่กับความเท่าเทียมกัน LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) หากคุณดูสูตรจะชัดเจน: ผลคูณของตัวเลข a และ b เท่ากับผลคูณของปัจจัยทั้งหมดที่มีส่วนร่วมในการสลายตัวของตัวเลขทั้งสองนี้ ในกรณีนี้ gcd ของตัวเลขสองตัวจะเท่ากับผลคูณของตัวประกอบเฉพาะทั้งหมดที่ปรากฏในการแยกตัวประกอบของตัวเลขสองตัวนี้พร้อมกัน
ตัวอย่างที่ 3
เรามีตัวเลขสองตัวคือ 75 และ 210 เราสามารถแยกตัวประกอบได้ดังนี้: 75 = 3 5 5และ 210 = 2 3 5 7. หากคุณเขียนผลคูณของตัวประกอบทั้งหมดของตัวเลขเดิมสองตัว คุณจะได้: 2 3 3 5 5 5 7.
หากเราแยกปัจจัยร่วมของทั้งหมายเลข 3 และ 5 ออก เราจะได้ผลลัพธ์ในรูปแบบต่อไปนี้: 2 3 5 5 7 = 1,050. สินค้าชิ้นนี้จะเป็น LCM ของเราสำหรับหมายเลข 75 และ 210
ตัวอย่างที่ 4
ค้นหา LCM ของตัวเลข 441 และ 700 แยกตัวประกอบทั้งสองจำนวนให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ
สารละลาย
เรามาค้นหาตัวประกอบเฉพาะทั้งหมดของตัวเลขที่ระบุในเงื่อนไข:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
เราได้ตัวเลขสองสาย: 441 = 3 3 7 7 และ 700 = 2 2 5 5 7
ผลคูณของปัจจัยทั้งหมดที่มีส่วนร่วมในการสลายตัวของตัวเลขเหล่านี้จะมีรูปแบบ: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. มาหาปัจจัยร่วมกัน นี่คือหมายเลข 7 ขอแยกออกจากผลิตภัณฑ์ทั้งหมด: 2 2 3 3 5 5 7 7. ปรากฎว่า NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
คำตอบ:ล็อค(441, 700) = 44,100.
ขอให้เราให้สูตรอีกวิธีหนึ่งในการค้นหา LCM โดยการแยกตัวเลขออกเป็นปัจจัยเฉพาะ
คำจำกัดความ 3
ก่อนหน้านี้ เราได้แยกออกจากจำนวนตัวประกอบทั้งหมดที่เหมือนกันกับตัวเลขทั้งสอง ตอนนี้เราจะทำมันแตกต่างออกไป:
- ลองแยกตัวเลขทั้งสองให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ:
- เพิ่มผลคูณของตัวประกอบเฉพาะของจำนวนแรกด้วยปัจจัยที่ขาดหายไปของจำนวนที่สอง
- เราได้รับผลิตภัณฑ์ซึ่งจะเป็น LCM ที่ต้องการของตัวเลขสองตัว
ตัวอย่างที่ 5
ลองกลับไปที่ตัวเลข 75 และ 210 ซึ่งเราได้ค้นหา LCM ในตัวอย่างก่อนหน้านี้แล้ว มาแบ่งพวกมันออกเป็นปัจจัยง่ายๆ: 75 = 3 5 5และ 210 = 2 3 5 7. ผลคูณของปัจจัย 3, 5 และ 5 หมายเลข 75 บวกปัจจัยที่ขาดหายไป 2 และ 7 หมายเลข 210 เราได้รับ: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 .นี่คือ LCM ของหมายเลข 75 และ 210
ตัวอย่างที่ 6
จำเป็นต้องคำนวณ LCM ของตัวเลข 84 และ 648
สารละลาย
ลองแยกตัวเลขจากเงื่อนไขให้เป็นปัจจัยง่ายๆ: 84 = 2 2 3 7และ 648 = 2 2 2 3 3 3 3. ลองเพิ่มปัจจัย 2, 2, 3 และเข้าไปในผลคูณกัน 7
หมายเลข 84 ตัวประกอบที่หายไป 2, 3, 3 และ
3
หมายเลข 648 เราได้รับสินค้า 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536.นี่คือตัวคูณร่วมน้อยของ 84 และ 648
คำตอบ:ลทบ.(84, 648) = 4,536.
การค้นหา LCM ของตัวเลขสามตัวขึ้นไป
ไม่ว่าเราจะจัดการกับตัวเลขจำนวนเท่าใด อัลกอริธึมของการกระทำของเราจะเหมือนเดิมเสมอ: เราจะค้นหา LCM ของตัวเลขสองตัวตามลำดับ มีทฤษฎีบทสำหรับกรณีนี้
ทฤษฎีบท 1
สมมติว่าเรามีจำนวนเต็ม ก 1 , 2 , … , หรือเค. NOC ม.เคตัวเลขเหล่านี้หาได้จากการคำนวณตามลำดับ m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k)
ตอนนี้เรามาดูกันว่าทฤษฎีบทสามารถนำไปใช้ในการแก้ปัญหาเฉพาะได้อย่างไร
ตัวอย่างที่ 7
คุณต้องคำนวณตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขสี่ตัว 140, 9, 54 และ 250 .
สารละลาย
ให้เราแนะนำสัญกรณ์: a 1 = 140, 2 = 9, 3 = 54, a 4 = 250
เริ่มต้นด้วยการคำนวณ m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9) ลองใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิดเพื่อคำนวณ GCD ของตัวเลข 140 และ 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4 เราได้รับ: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1,260 ดังนั้น ม.2 = 1,260
ทีนี้มาคำนวณโดยใช้อัลกอริทึมเดียวกัน m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54) ในระหว่างการคำนวณเราได้รับ m 3 = 3 780
เราแค่ต้องคำนวณ m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250) เราปฏิบัติตามอัลกอริธึมเดียวกัน เราได้ ม. 4 = 94 500
LCM ของตัวเลขสี่ตัวจากเงื่อนไขตัวอย่างคือ 94500
คำตอบ: NOC (140, 9, 54, 250) = 94,500
อย่างที่คุณเห็นการคำนวณนั้นง่าย แต่ต้องใช้แรงงานมาก เพื่อประหยัดเวลาคุณสามารถไปอีกทางหนึ่งได้
คำจำกัดความที่ 4
เราเสนออัลกอริธึมการดำเนินการต่อไปนี้ให้กับคุณ:
- เราแยกตัวเลขทั้งหมดออกเป็นปัจจัยเฉพาะ
- ผลคูณของตัวประกอบของจำนวนแรกบวกปัจจัยที่หายไปจากผลคูณของจำนวนที่สอง
- ไปยังผลิตภัณฑ์ที่ได้รับในขั้นตอนก่อนหน้าเราจะเพิ่มปัจจัยที่ขาดหายไปของตัวเลขที่สาม ฯลฯ
- ผลคูณที่ได้จะเป็นตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนทั้งหมดจากเงื่อนไข
ตัวอย่างที่ 8
คุณต้องค้นหา LCM ของตัวเลขห้าตัว 84, 6, 48, 7, 143
สารละลาย
ลองแยกตัวเลขทั้งห้าตัวเป็นตัวประกอบเฉพาะ: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13 จำนวนเฉพาะซึ่งเป็นเลข 7 ไม่สามารถแยกตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะได้ ตัวเลขดังกล่าวเกิดขึ้นพร้อมกับการสลายตัวเป็นปัจจัยเฉพาะ
ทีนี้ลองหาผลคูณของตัวประกอบเฉพาะ 2, 2, 3 และ 7 ของเลข 84 แล้วบวกกับตัวประกอบที่หายไปของเลขตัวที่สอง เราแยกเลข 6 ออกเป็น 2 และ 3 ตัวประกอบเหล่านี้อยู่ในผลคูณของเลขตัวแรกแล้ว ดังนั้นเราจึงละเว้นพวกเขา
เรายังคงเพิ่มตัวคูณที่ขาดหายไปต่อไป มาดูเลข 48 กันดีกว่า จากผลคูณที่เราเอา 2 และ 2 มาเป็นตัวประกอบเฉพาะ จากนั้นเราบวกตัวประกอบเฉพาะของ 7 จากจำนวนที่สี่ และตัวประกอบของ 11 และ 13 ของจำนวนที่ห้า เราได้รับ: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048 นี่คือตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขห้าตัวดั้งเดิม
คำตอบ:ลทบ.(84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.
การหาผลคูณร่วมน้อยของจำนวนลบ
ในการค้นหาผลคูณร่วมที่น้อยที่สุดของจำนวนลบ จะต้องแทนที่ตัวเลขเหล่านี้ด้วยตัวเลขที่มีเครื่องหมายตรงกันข้ามก่อน จากนั้นจึงทำการคำนวณโดยใช้อัลกอริธึมข้างต้น
ตัวอย่างที่ 9
LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) และ LCM (- 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888)
การกระทำดังกล่าวเป็นที่อนุญาตได้เพราะว่าหากเรายอมรับสิ่งนั้น กและ − ก– ตัวเลขตรงข้าม
แล้วเซตของการคูณของตัวเลข กจับคู่ชุดทวีคูณของตัวเลข − ก.
ตัวอย่างที่ 10
จำเป็นต้องคำนวณ LCM ของจำนวนลบ − 145 และ − 45 .
สารละลาย
มาแทนที่ตัวเลขกันเถอะ − 145 และ − 45 เป็นจำนวนตรงข้ามกัน 145 และ 45 . ตอนนี้ เมื่อใช้อัลกอริทึม เราคำนวณ LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305 โดยก่อนหน้านี้ได้กำหนด GCD โดยใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิด
เราพบว่า LCM ของตัวเลขคือ − 145 และ − 45 เท่ากับ 1 305 .
คำตอบ:ค.ร.น. (- 145, - 45) = 1,305
หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter
หัวข้อ "ทวีคูณ" ได้รับการศึกษาในชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 โรงเรียนมัธยมศึกษา. เป้าหมายคือการพัฒนาทักษะการคำนวณทางคณิตศาสตร์ทั้งการเขียนและการพูด ในบทเรียนนี้ จะมีการแนะนำแนวคิดใหม่ - "จำนวนหลายจำนวน" และ "ตัวหาร" เทคนิคการค้นหาตัวหารและจำนวนทวีคูณของจำนวนธรรมชาติ และความสามารถในการค้นหา LCM ในรูปแบบต่างๆ
หัวข้อนี้มีความสำคัญมาก ความรู้นี้สามารถนำไปใช้เมื่อแก้ตัวอย่างด้วยเศษส่วน ในการทำเช่นนี้คุณต้องค้นหา ตัวส่วนร่วมโดยการคำนวณตัวคูณร่วมน้อย (LCM)
ผลคูณของ A คือจำนวนเต็มที่หารด้วย A ลงตัวโดยไม่มีเศษ
จำนวนธรรมชาติทุกจำนวนมีจำนวนทวีคูณเป็นอนันต์ เองก็ถือว่าเล็กที่สุด ตัวคูณต้องไม่น้อยกว่าตัวเลขนั้นเอง
คุณต้องพิสูจน์ว่าตัวเลข 125 เป็นผลคูณของ 5 เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณต้องหารตัวเลขแรกด้วยวินาที ถ้า 125 หารด้วย 5 ลงตัวโดยไม่มีเศษ คำตอบคือ ใช่
วิธีนี้ใช้ได้กับจำนวนน้อย
มีกรณีพิเศษเมื่อคำนวณ LOC
1. หากคุณต้องการค้นหาผลคูณร่วมของตัวเลข 2 ตัว (เช่น 80 และ 20) โดยที่หนึ่งในนั้น (80) หารด้วยอีกจำนวนหนึ่งลงตัว (20) แล้ว จำนวนนี้ (80) จะเป็นจำนวนน้อยที่สุดของจำนวนเหล่านี้ ตัวเลขสองตัว
ล.ซม.(80, 20) = 80.
2. ถ้าสองตัวไม่มีตัวหารร่วม เราก็บอกได้ว่า LCM เป็นผลคูณของตัวเลขสองตัวนี้
ล.ซม.(6, 7) = 42.
ลองดูตัวอย่างสุดท้าย 6 และ 7 เทียบกับ 42 เป็นตัวหาร พวกเขาหารผลคูณของจำนวนโดยไม่มีเศษ
ในตัวอย่างนี้ 6 และ 7 เป็นตัวประกอบที่จับคู่กัน ผลคูณของพวกเขามีค่าเท่ากับจำนวนทวีคูณมากที่สุด (42)
จำนวนเต็มเรียกว่าจำนวนเฉพาะหากหารด้วยตัวมันเองหรือ 1 ลงตัว (3:1=3; 3:3=1) ส่วนที่เหลือเรียกว่าคอมโพสิต
อีกตัวอย่างหนึ่งเกี่ยวข้องกับการพิจารณาว่า 9 เป็นตัวหารของ 42 หรือไม่
42:9=4 (เหลือ 6)
คำตอบ: 9 ไม่ใช่ตัวหารของ 42 เพราะคำตอบนั้นมีเศษอยู่
ตัวหารแตกต่างจากตัวคูณตรงที่ตัวหารคือตัวเลขที่หารด้วย จำนวนเต็มและตัวคูณนั้นหารด้วยจำนวนนี้เอง
ตัวหารร่วมมากของตัวเลข กและ ขคูณด้วยตัวคูณน้อยที่สุดจะได้ผลลัพธ์ของตัวเลขนั้นเอง กและ ข.
กล่าวคือ: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b
ผลคูณร่วมของจำนวนเชิงซ้อนมีดังต่อไปนี้
เช่น ค้นหา LCM สำหรับ 168, 180, 3024
เราแยกตัวประกอบตัวเลขเหล่านี้เป็นตัวประกอบเฉพาะและเขียนเป็นผลคูณของกำลัง:
168=2³x3¹x7¹
2⁴х3³х5¹х7¹=15120
ลทบ.(168, 180, 3024) = 15120.
เรียกว่าจำนวนธรรมชาติที่ใหญ่ที่สุดโดยการนำจำนวน a และ b มาหารกันโดยไม่มีเศษเหลือ ตัวหารร่วมมากตัวเลขเหล่านี้ แสดงถึง GCD(a, b)
ลองพิจารณาค้นหา GCD โดยใช้ตัวอย่างของตัวเลขธรรมชาติสองตัว 18 และ 60:
18 = 2×3×3
60 = 2 × 2 × 3 × 5
18 = 2×3×3
60 = 2 × 2 × 3 × 5
324 , 111 และ 432
ลองแยกตัวเลขออกเป็นปัจจัยเฉพาะ:
324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3
111 = 3×37
432 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
ขีดฆ่าตัวประกอบที่ไม่อยู่ในตัวเลขที่สองและสามออกจากตัวเลขแรก เราจะได้:
2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 3
ดังนั้น GCD( 324 , 111 , 432 )=3
การค้นหา GCD โดยใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิด
วิธีที่สองในการค้นหาตัวหารร่วมมากคือการใช้ อัลกอริทึมแบบยุคลิด. อัลกอริธึม Euclid เป็นส่วนใหญ่ วิธีที่มีประสิทธิภาพการค้นหา จีซีดีเมื่อใช้มันคุณจะต้องค้นหาส่วนที่เหลือของการหารตัวเลขและนำไปใช้อย่างต่อเนื่อง สูตรการเกิดซ้ำ.
สูตรการเกิดซ้ำสำหรับจีซีดี GCD(ก, ข)=GCD(ข, ก ม็อด ข)โดยที่ mod b คือเศษที่เหลือหารด้วย b
อัลกอริธึมของยุคลิด
ตัวอย่าง จงหาตัวหารร่วมมากของตัวเลข 7920 และ 594
มาหา GCD( 7920 , 594 ) โดยใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิด เราจะคำนวณส่วนที่เหลือของการหารโดยใช้เครื่องคิดเลข
- 7920 ม็อด 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
- 594 ม็อด 198 = 594 – 3 × 198 = 0
ผลลัพธ์ที่ได้คือ GCD( 7920 , 594 ) = 198
ตัวคูณร่วมน้อย
การหาตัวส่วนร่วมเมื่อทำการบวกและลบเศษส่วนด้วย ตัวส่วนที่แตกต่างกันคุณต้องรู้และสามารถคำนวณได้ ตัวคูณร่วมน้อย(นก).
ผลคูณของจำนวน “a” คือจำนวนที่หารด้วยตัวมันเองด้วยจำนวน “a” โดยไม่มีเศษเหลือ
ตัวเลขที่เป็นทวีคูณของ 8 (กล่าวคือ ตัวเลขเหล่านี้หารด้วย 8 ลงตัวโดยไม่มีเศษ) ได้แก่ ตัวเลข 16, 24, 32...
ผลคูณของ 9: 18, 27, 36, 45...
มีจำนวนทวีคูณอนันต์ของจำนวน a ตรงกันข้ามกับตัวหารของจำนวนเดียวกัน ตัวหารมีจำนวนจำกัด
ผลคูณร่วมของจำนวนธรรมชาติสองตัวคือจำนวนที่หารด้วยจำนวนทั้งสองนี้ลงตัว.
ตัวคูณร่วมน้อย(LCM) ของจำนวนธรรมชาติสองตัวขึ้นไปคือจำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุดซึ่งหารด้วยจำนวนเหล่านี้แต่ละตัวลงตัว
วิธีค้นหา NOC
LCM สามารถค้นหาและเขียนได้สองวิธี
วิธีแรกในการค้นหา LOC
ปกติวิธีนี้จะใช้กับจำนวนน้อย
- เราเขียนผลคูณของแต่ละจำนวนลงในบรรทัดจนกระทั่งพบผลคูณที่เหมือนกันสำหรับทั้งสองจำนวน
- ผลคูณของตัวเลข "a" จะแสดงด้วยอักษรตัวใหญ่ "K"
ตัวอย่าง. ค้นหา LCM 6 และ 8
วิธีที่สองในการค้นหา LOC
วิธีนี้สะดวกในการใช้ค้นหา LCM สำหรับตัวเลขตั้งแต่สามตัวขึ้นไป
จำนวนปัจจัยที่เหมือนกันในการสลายตัวของตัวเลขอาจแตกต่างกันได้
ล.ซม.(24, 60) = 2 2 3 5 2
คำตอบ: LCM (24, 60) = 120
คุณยังสามารถจัดรูปแบบการค้นหาตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ได้ดังนี้ มาหา LOC กัน (12, 16, 24)
24 = 2 2 2 3
ดังที่เราเห็นจากการสลายตัวของตัวเลข ตัวประกอบทั้งหมดของ 12 จะรวมอยู่ในการสลายตัวของ 24 (ตัวเลขที่ใหญ่ที่สุด) ดังนั้นเราจึงบวก 2 เพียงตัวเดียวจากการสลายตัวของตัวเลข 16 เข้ากับ LCM
ค.ศ. (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48
คำตอบ: LCM (12, 16, 24) = 48
กรณีพิเศษในการค้นหา NOC
ตัวอย่างเช่น LCM (60, 15) = 60
เนื่องจากจำนวนโคไพรม์ไม่มีตัวประกอบเฉพาะร่วม ตัวคูณร่วมน้อยจึงเท่ากับผลคูณของจำนวนเหล่านี้
บนเว็บไซต์ของเรา คุณยังสามารถใช้เครื่องคิดเลขพิเศษเพื่อค้นหาตัวคูณร่วมน้อยทางออนไลน์เพื่อตรวจสอบการคำนวณของคุณ
ถ้าจำนวนธรรมชาติหารด้วย 1 และตัวมันเองเท่านั้น จะเรียกว่าจำนวนเฉพาะ
จำนวนธรรมชาติใดๆ ก็ตามจะหารด้วย 1 และตัวมันเองเสมอ
เลข 2 เป็นจำนวนเฉพาะที่น้อยที่สุด นี่เป็นจำนวนเฉพาะคู่เท่านั้น ส่วนจำนวนเฉพาะที่เหลือเป็นเลขคี่
มีจำนวนเฉพาะหลายตัว และตัวแรกคือเลข 2 อย่างไรก็ตาม ไม่มีจำนวนเฉพาะตัวสุดท้าย ในส่วน “เพื่อการศึกษา” คุณสามารถดาวน์โหลดตารางได้ จำนวนเฉพาะมากถึง 997
แต่จำนวนธรรมชาติจำนวนมากก็หารด้วยจำนวนธรรมชาติอื่นๆ ได้เช่นกัน
- จำนวน 12 หารด้วย 1, 2, 3, 4, 6, 12 ลงตัว;
- เลข 36 หารด้วย 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36 ลงตัว
- แยกตัวหารของตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ
ตัวเลขที่ตัวเลขหารด้วยจำนวนเต็มลงตัว (สำหรับ 12 ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 6 และ 12) เรียกว่าตัวหารของตัวเลข
ตัวหารของจำนวนธรรมชาติ a คือจำนวนธรรมชาติที่หารจำนวน “a” ที่กำหนดโดยไม่มีเศษเหลือ
จำนวนธรรมชาติที่มีตัวหารมากกว่าสองตัวเรียกว่าจำนวนประกอบ
โปรดทราบว่าตัวเลข 12 และ 36 มีตัวประกอบร่วมกัน ตัวเลขเหล่านี้คือ: 1, 2, 3, 4, 6, 12 ตัวหารที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของจำนวนเหล่านี้คือ 12
ตัวหารร่วมของตัวเลขที่กำหนดสองตัวคือ "a" และ "b" คือตัวเลขที่ทั้งสองตัวเลขที่กำหนด "a" และ "b" หารกันโดยไม่มีเศษ
ตัวหารร่วมมาก(GCD) ของตัวเลขที่กำหนดสองตัว “a” และ “b” เป็นจำนวนที่ใหญ่ที่สุดโดยที่ทั้งตัวเลข “a” และ “b” หารกันลงตัวโดยไม่มีเศษ
โดยสรุป ตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของตัวเลข “a” และ “b” เขียนได้ดังนี้::
ตัวอย่าง: gcd (12; 36) = 12
ตัวหารของตัวเลขในบันทึกการแก้ปัญหาจะแสดงด้วยอักษรตัวใหญ่ "D"
ตัวเลข 7 และ 9 มีตัวหารร่วมเพียงตัวเดียวคือหมายเลข 1 ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่า หมายเลขโคไพรม์.
ตัวเลขโคไพรม์- เป็นจำนวนธรรมชาติที่มีตัวหารร่วมเพียงตัวเดียว นั่นคือ 1 gcd ของพวกเขาคือ 1
วิธีหาตัวหารร่วมมาก
หากต้องการค้นหา gcd ของจำนวนธรรมชาติสองตัวขึ้นไป คุณต้องมี:
สะดวกในการเขียนการคำนวณโดยใช้แถบแนวตั้ง เราเขียนเงินปันผลทางด้านซ้ายของเส้นก่อน ทางด้านขวา - ตัวหาร ต่อไปในคอลัมน์ด้านซ้ายเราเขียนค่าผลหาร
มาอธิบายทันทีพร้อมตัวอย่าง ลองแยกตัวเลข 28 และ 64 ให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ.
- เราเน้นตัวประกอบเฉพาะที่เหมือนกันในทั้งสองจำนวน
28 = 2 2 7
64 = 2 2 2 2 2 2
ค้นหาผลคูณของตัวประกอบเฉพาะที่เหมือนกันแล้วจดคำตอบ
GCD (28; 64) = 2 2 = 4
คำตอบ: GCD (28; 64) = 4
คุณสามารถจัดวางตำแหน่งของ GCD อย่างเป็นทางการได้สองวิธี: ในคอลัมน์ (ดังที่ทำข้างต้น) หรือ "ในแถว"
วิธีแรกในการเขียน gcd
ค้นหา gcd 48 และ 36
GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12
วิธีที่สองในการเขียน gcd
ตอนนี้เรามาเขียนวิธีแก้ปัญหาสำหรับการค้นหา GCD กันเป็นบรรทัด ค้นหา gcd 10 และ 15
ในเว็บไซต์ข้อมูลของเรา คุณยังสามารถใช้ตัวช่วยออนไลน์ของตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดเพื่อตรวจสอบการคำนวณของคุณได้
การหาพหุคูณร่วมน้อยที่สุด วิธี ตัวอย่างการหา LCM
เนื้อหาที่นำเสนอด้านล่างเป็นความต่อเนื่องเชิงตรรกะของทฤษฎีจากบทความชื่อ LCM - ตัวคูณร่วมน้อยที่สุด คำจำกัดความ ตัวอย่าง การเชื่อมโยงระหว่าง LCM และ GCD ที่นี่เราจะพูดถึง การหาตัวคูณร่วมน้อย (LCM), และ เอาใจใส่เป็นพิเศษเรามาเน้นที่การแก้ตัวอย่าง ขั้นแรก เราจะแสดงวิธีคำนวณ LCM ของตัวเลขสองตัวโดยใช้ GCD ของตัวเลขเหล่านี้ ต่อไป เราจะมาดูการหาตัวคูณร่วมน้อยโดยการแยกตัวประกอบตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ หลังจากนี้ เราจะมุ่งเน้นไปที่การค้นหา LCM ของตัวเลขสามตัวขึ้นไป และให้ความสนใจกับการคำนวณ LCM ของจำนวนลบด้วย
การนำทางหน้า
การคำนวณตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ผ่าน GCD
วิธีหนึ่งในการค้นหาตัวคูณร่วมน้อยจะขึ้นอยู่กับความสัมพันธ์ระหว่าง LCM และ GCD การเชื่อมต่อที่มีอยู่ระหว่าง LCM และ GCD ช่วยให้คุณสามารถคำนวณตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเต็มบวกสองตัวโดยใช้ตัวหารร่วมมากที่สุดเท่าที่ทราบ สูตรที่สอดคล้องกันคือ LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). ลองดูตัวอย่างการค้นหา LCM โดยใช้สูตรที่กำหนด
ค้นหาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข 126 และ 70 สองตัว
ในตัวอย่างนี้ a=126 , b=70 ลองใช้การเชื่อมต่อระหว่าง LCM และ GCD ซึ่งแสดงโดยสูตร LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) นั่นคือ ก่อนอื่นเราต้องหาตัวหารร่วมมากของตัวเลข 70 และ 126 ก่อน จากนั้นจึงคำนวณ LCM ของตัวเลขเหล่านี้โดยใช้สูตรที่เขียนไว้
ลองหา GCD(126, 70) โดยใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิด: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4 ดังนั้น GCD(126, 70)=14
ตอนนี้เราพบตัวคูณร่วมน้อยที่ต้องการแล้ว: LCM(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630
LCM(68, 34) เท่ากับเท่าไร?
เนื่องจาก 68 หารด้วย 34 ลงตัว ดังนั้น GCD(68, 34)=34 ตอนนี้เราคำนวณตัวคูณร่วมน้อย: LCM(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68
โปรดทราบว่าตัวอย่างก่อนหน้านี้ตรงกับกฎต่อไปนี้ในการค้นหา LCM สำหรับจำนวนเต็มบวก a และ b: ถ้า a หารด้วย b ลงตัวแล้วตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเหล่านี้ก็คือ a
การค้นหา LCM โดยการแยกตัวประกอบตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ
อีกวิธีหนึ่งในการค้นหาตัวคูณร่วมที่น้อยที่สุดก็คือการนำจำนวนแยกตัวประกอบไปเป็นตัวประกอบเฉพาะ หากคุณเขียนผลคูณจากตัวประกอบเฉพาะทั้งหมดของตัวเลขที่กำหนด แล้วแยกปัจจัยเฉพาะทั่วไปทั้งหมดที่มีอยู่ในการสลายตัวของตัวเลขที่กำหนดออกจากผลิตภัณฑ์นี้ ผลลัพธ์ที่ได้จะเท่ากับตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนที่กำหนด .
กฎที่ระบุไว้ในการค้นหา LCM ตามมาจากความเท่าเทียมกัน LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) แท้จริงแล้วผลคูณของตัวเลข a และ b เท่ากับผลคูณของปัจจัยทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับการขยายตัวเลข a และ b ในทางกลับกัน GCD(a, b) เท่ากับผลคูณของตัวประกอบเฉพาะทั้งหมดที่มีอยู่ในส่วนขยายของตัวเลข a และ b (ดังที่อธิบายไว้ในส่วนการค้นหา GCD โดยใช้การขยายตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ)
ลองยกตัวอย่าง แจ้งให้เราทราบว่า 75=3·5·5 และ 210=2·3·5·7 ลองเขียนผลคูณจากปัจจัยทั้งหมดของการขยายเหล่านี้: 2·3·3·5·5·5·7 ตอนนี้จากผลิตภัณฑ์นี้ เราแยกปัจจัยทั้งหมดที่มีอยู่ในทั้งการขยายตัวของเลข 75 และการขยายตัวของจำนวน 210 (ปัจจัยเหล่านี้คือ 3 และ 5) จากนั้นผลิตภัณฑ์จะอยู่ในรูปแบบ 2·3·5·5·7 . ค่าของผลิตภัณฑ์นี้จะเท่ากับตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข 75 และ 210 ซึ่งก็คือ LCM(75, 210)= 2·3·5·5·7=1050
แยกตัวประกอบตัวเลข 441 และ 700 เป็นตัวประกอบเฉพาะแล้วหาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขเหล่านี้
ลองแยกตัวเลข 441 และ 700 เป็นตัวประกอบเฉพาะ:
เราได้ 441=3·3·7·7 และ 700=2·2·5·5·7
ตอนนี้เรามาสร้างผลิตภัณฑ์จากปัจจัยทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับการขยายตัวเลขเหล่านี้: 2·2·3·3·5·5·7·7·7 ให้เราแยกปัจจัยทั้งหมดที่ปรากฏพร้อมกันในการขยายทั้งสองออกจากผลิตภัณฑ์นี้ (มีเพียงปัจจัยเดียวเท่านั้น - นี่คือหมายเลข 7): 2·2·3·3·5·5·7·7 ดังนั้น LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100
NOC(441, 700)= 44 100
กฎในการค้นหา LCM โดยใช้การแยกตัวประกอบของตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะสามารถกำหนดสูตรให้แตกต่างออกไปเล็กน้อย ถ้าปัจจัยที่หายไปจากการขยายจำนวน b ถูกบวกเข้ากับปัจจัยจากการขยายตัวของจำนวน a แล้ว ค่าของผลคูณที่ได้จะเท่ากับตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข a และ b
ตัวอย่างเช่น ลองใช้ตัวเลข 75 และ 210 ที่เท่ากัน โดยการสลายตัวของพวกมันเป็นตัวประกอบเฉพาะมีดังนี้ 75=3·5·5 และ 210=2·3·5·7 สำหรับปัจจัย 3, 5 และ 5 จากการขยายตัวของตัวเลข 75 เราได้บวกปัจจัยที่ขาดหายไป 2 และ 7 จากการขยายตัวของตัวเลข 210 เราได้ผลลัพธ์ 2·3·5·5·7 ซึ่งมีค่าเท่ากับ เท่ากับ LCM(75, 210)
ค้นหาตัวคูณร่วมน้อยของ 84 และ 648
ก่อนอื่นเราได้รับการสลายตัวของตัวเลข 84 และ 648 ให้เป็นปัจจัยเฉพาะ พวกมันดูเหมือน 84=2·2·3·7 และ 648=2·2·2·3·3·3·3 สำหรับปัจจัย 2, 2, 3 และ 7 จากการขยายหมายเลข 84 เราบวกปัจจัยที่ขาดหายไป 2, 3, 3 และ 3 จากการขยายหมายเลข 648 เราได้ผลิตภัณฑ์ 2 2 2 3 3 3 3 7 ซึ่งเท่ากับ 4 536 . ดังนั้น ตัวคูณร่วมน้อยที่ต้องการของ 84 และ 648 คือ 4,536
การค้นหา LCM ของตัวเลขสามตัวขึ้นไป
ตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขสามตัวขึ้นไปสามารถหาได้โดยการค้นหา LCM ของตัวเลขสองตัวตามลำดับ ขอให้เรานึกถึงทฤษฎีบทที่สอดคล้องกัน ซึ่งให้วิธีการหา LCM ของตัวเลขสามตัวขึ้นไป
ให้เลขจำนวนเต็มบวก a 1 , a 2 , …, a k หาได้ โดยการคำนวณตามลำดับ m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .
ลองพิจารณาการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทนี้โดยใช้ตัวอย่างการค้นหาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขสี่จำนวน
ค้นหา LCM ของตัวเลขสี่ตัว 140, 9, 54 และ 250
ก่อนอื่นเราหา m 2 = LCM(a 1 , a 2) = LCM(140, 9) ในการทำสิ่งนี้ โดยใช้อัลกอริธึมแบบยุคลิด เราจะหา GCD(140, 9) ได้ 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, ดังนั้น GCD(140, 9)=1 โดยที่ LCM(140, 9)=140·9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1,260 นั่นคือ ม. 2 =1 260.
ตอนนี้เราพบ m 3 = LCM(m 2 , a 3) = LCM(1 260, 54) ลองคำนวณมันโดยใช้ GCD(1 260, 54) ซึ่งเรายังกำหนดโดยใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิด: 1 260=54·23+18, 54=18·3 จากนั้น gcd(1,260, 54)=18 โดยที่ gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780 นั่นคือ ม. 3 =3 780
ยังคงต้องหา m 4 = LCM(m 3 , a 4) = LCM(3 780, 250) ในการทำเช่นนี้ เราค้นหา GCD(3,780, 250) โดยใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิด: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3 ดังนั้น GCD(3,780, 250)=10 โดยที่ GCD(3,780, 250)= 3,780·250:GCD(3,780, 250)= 3,780·250:10=94,500 นั่นคือ ม. 4 =94,500.
ดังนั้นตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขสี่ตัวเดิมคือ 94,500
ล.ซม.(140, 9, 54, 250)=94,500 .
ในหลายกรณี จะสะดวกที่จะหาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขสามตัวขึ้นไปโดยใช้การแยกตัวประกอบเฉพาะของตัวเลขที่กำหนด ในกรณีนี้คุณควรปฏิบัติตามกฎต่อไปนี้ ตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนหลายตัวจะเท่ากับผลคูณซึ่งประกอบด้วยดังนี้ ตัวประกอบที่หายไปจากการขยายของตัวเลขตัวที่สองจะถูกบวกเข้ากับตัวประกอบทั้งหมดจากการขยายตัวของตัวเลขตัวแรก ตัวประกอบที่หายไปจากการขยายตัวของ ตัวเลขที่สามจะถูกบวกเข้ากับตัวประกอบผลลัพธ์ เป็นต้น
ลองดูตัวอย่างการหาตัวคูณร่วมน้อยโดยใช้การแยกตัวประกอบเฉพาะ
ค้นหาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขทั้งห้าตัว 84, 6, 48, 7, 143
อันดับแรก เราจะได้การสลายตัวของจำนวนเหล่านี้ให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 เป็นจำนวนเฉพาะ มันเกิดขึ้นพร้อมกัน โดยมีการสลายตัวเป็นปัจจัยเฉพาะ) และ 143=11·13
ในการค้นหา LCM ของตัวเลขเหล่านี้จนถึงตัวประกอบของเลข 84 ตัวแรก (คือ 2, 2, 3 และ 7) คุณต้องบวกปัจจัยที่ขาดหายไปจากการขยายเลขตัวที่สอง 6 การสลายตัวของเลข 6 ไม่มีปัจจัยที่ขาดหายไป เนื่องจากทั้ง 2 และ 3 มีอยู่แล้วในการสลายตัวของเลข 84 ตัวแรก ต่อไปสำหรับปัจจัย 2, 2, 3 และ 7 เราบวกปัจจัยที่หายไป 2 และ 2 จากการขยายตัวของหมายเลขที่สาม 48 เราจะได้ชุดของปัจจัย 2, 2, 2, 2, 3 และ 7 ไม่จำเป็นต้องเพิ่มตัวคูณให้กับชุดนี้ในขั้นตอนถัดไป เนื่องจากมี 7 อยู่แล้ว ในที่สุด สำหรับปัจจัย 2, 2, 2, 2, 3 และ 7 เราได้บวกปัจจัยที่หายไป 11 และ 13 จากการขยายตัวของจำนวน 143 เราได้ผลลัพธ์ 2·2·2·2·3·7·11·13 ซึ่งเท่ากับ 48,048
ดังนั้น LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48,048
ล.ซม.(84, 6, 48, 7, 143)=48,048
การหาผลคูณร่วมน้อยของจำนวนลบ
บางครั้งมีงานที่คุณต้องค้นหาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข โดยในจำนวนหนึ่ง หลายจำนวนหรือทั้งหมดเป็นลบ ในกรณีเหล่านี้ทุกอย่าง ตัวเลขติดลบคุณต้องแทนที่ด้วยตัวเลขตรงข้าม แล้วหา LCM ของจำนวนบวก นี่คือวิธีการหา LCM ของจำนวนลบ ตัวอย่างเช่น LCM(54, −34) = LCM(54, 34) และ LCM(−622, −46, −54, −888) = LCM(622, 46, 54, 888)
เราสามารถทำได้เพราะเซตของตัวคูณของ a เหมือนกับเซตของตัวคูณของ −a (a และ −a เป็นจำนวนที่ตรงกันข้าม) โดยแท้แล้ว ให้ b เป็นผลคูณของ a แล้ว b หารด้วย a ลงตัว และแนวคิดเรื่องการหารลงตัวระบุว่ามีจำนวนเต็ม q โดยที่ b=a·q แต่ความเท่าเทียมกัน b=(−a)·(−q) จะเป็นจริงเช่นกัน ซึ่งเนื่องจากแนวคิดเดียวกันเรื่องการหารลงตัว หมายความว่า b หารด้วย −a ลงตัว นั่นคือ b เป็นผลคูณของ −a การสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน ถ้า b เป็นผลคูณของ −a แล้ว b ก็เป็นผลคูณของ a ด้วย
ค้นหาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนลบ −145 และ −45
ลองแทนที่ตัวเลขลบ −145 และ −45 ด้วยตัวเลขตรงข้ามกัน 145 และ 45 เรามี LCM(−145, −45) = LCM(145, 45) เมื่อพิจารณา GCD(145, 45)=5 (เช่น โดยใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิด) เราจะคำนวณ GCM(145, 45)=145·45:GCD(145, 45)= 145·45:5=1 305 ดังนั้น ตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเต็มลบ −145 และ −45 คือ 1,305
www.cleverstudents.ru
เราเรียนภาคต่อ. ในบทนี้เราจะดูแนวคิดต่างๆ เช่น จีซีดีและ NOC.
จีซีดีเป็นตัวหารร่วมมาก.
NOCคือตัวคูณร่วมน้อย
หัวข้อนี้ค่อนข้างน่าเบื่อ แต่คุณต้องเข้าใจอย่างแน่นอน หากไม่เข้าใจหัวข้อนี้ คุณจะไม่สามารถทำงานกับเศษส่วนได้อย่างมีประสิทธิภาพซึ่งเป็นอุปสรรคอย่างแท้จริงในวิชาคณิตศาสตร์
ตัวหารร่วมมาก
คำนิยาม. ตัวหารร่วมมากของตัวเลข กและ ข กและ ขแบ่งออกโดยไม่มีเศษเหลือ
เพื่อให้เข้าใจคำจำกัดความนี้ได้ดี เรามาแทนที่ตัวแปรกันดีกว่า กและ ขตัวอย่างเช่น ตัวเลขสองตัวใดๆ แทนที่จะเป็นตัวแปร กลองแทนที่หมายเลข 12 และแทนตัวแปร ขหมายเลข 9 ทีนี้ลองอ่านคำจำกัดความนี้:
ตัวหารร่วมมากของตัวเลข 12 และ 9 เรียกว่าเป็นจำนวนที่มากที่สุดโดยที่ 12 และ 9 แบ่งออกโดยไม่มีเศษเหลือ
จากคำจำกัดความชัดเจนว่าเรากำลังพูดถึงตัวหารร่วมของตัวเลข 12 และ 9 และตัวหารนี้เป็นตัวหารที่ใหญ่ที่สุดของตัวหารที่มีอยู่ทั้งหมด จำเป็นต้องหาตัวหารร่วมมาก (GCD) นี้
การหาตัวหารร่วมมากของตัวเลขสองตัวจะมีการใช้ 3 วิธี วิธีแรกนั้นค่อนข้างใช้แรงงานมาก แต่ช่วยให้คุณเข้าใจสาระสำคัญของหัวข้อได้อย่างชัดเจนและรู้สึกถึงความหมายที่สมบูรณ์
วิธีที่สองและสามนั้นค่อนข้างง่ายและทำให้สามารถค้นหา GCD ได้อย่างรวดเร็ว เราจะดูทั้งสามวิธี และอันไหนที่จะใช้ในทางปฏิบัตินั้นขึ้นอยู่กับคุณที่จะเลือก
วิธีแรกคือการหาตัวหารที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวเลขสองตัวแล้วเลือกตัวที่มากที่สุด ลองดูวิธีนี้โดยใช้ตัวอย่างต่อไปนี้: หาตัวหารร่วมมากของตัวเลข 12 และ 9.
ขั้นแรก เราจะหาตัวหารที่เป็นไปได้ทั้งหมดของจำนวน 12 โดยเราจะหาร 12 ด้วยตัวหารทั้งหมดในช่วงตั้งแต่ 1 ถึง 12 หากตัวหารอนุญาตให้เราหาร 12 โดยไม่มีเศษ เราจะเน้นมันใน สีน้ำเงินและใส่คำอธิบายให้เหมาะสมในวงเล็บ
12: 1 = 12
(12 หารด้วย 1 โดยไม่มีเศษ ซึ่งหมายถึง 1 เป็นตัวหารของจำนวน 12)
12: 2 = 6
(12 หารด้วย 2 โดยไม่มีเศษ ซึ่งหมายถึง 2 เป็นตัวหารของจำนวน 12)
12: 3 = 4
(12 หารด้วย 3 โดยไม่มีเศษ ซึ่งหมายถึง 3 เป็นตัวหารของจำนวน 12)
12: 4 = 3
(12 หารด้วย 4 โดยไม่มีเศษ ซึ่งหมายถึง 4 เป็นตัวหารของจำนวน 12)
12: 5 = 2 (เหลือ 2 อัน)
(12 ไม่หารด้วย 5 โดยไม่มีเศษ ซึ่งหมายความว่า 5 ไม่ใช่ตัวหารของจำนวน 12)
12: 6 = 2
(12 หารด้วย 6 โดยไม่มีเศษ ซึ่งหมายถึง 6 เป็นตัวหารของจำนวน 12)
12: 7 = 1 (เหลือ 5 อัน)
(12 ไม่หารด้วย 7 โดยไม่มีเศษ ซึ่งหมายความว่า 7 ไม่ใช่ตัวหารของจำนวน 12)
12: 8 = 1 (เหลือ 4 อัน)
(12 ไม่หารด้วย 8 โดยไม่มีเศษ ซึ่งหมายความว่า 8 ไม่ใช่ตัวหารของ 12)
12: 9 = 1 (เหลือ 3 อัน)
(12 ไม่หารด้วย 9 โดยไม่มีเศษ ซึ่งหมายความว่า 9 ไม่ใช่ตัวหารของจำนวน 12)
12: 10 = 1 (เหลือ 2 อัน)
(12 ไม่หารด้วย 10 โดยไม่มีเศษ ซึ่งหมายความว่า 10 ไม่ใช่ตัวหารของจำนวน 12)
12: 11 = 1 (เหลือ 1 อัน)
(12 ไม่หารด้วย 11 โดยไม่มีเศษ ซึ่งหมายความว่า 11 ไม่ใช่ตัวหารของ 12)
12: 12 = 1
(12 หารด้วย 12 โดยไม่มีเศษ ซึ่งหมายถึง 12 เป็นตัวหารของจำนวน 12)
ทีนี้ เรามาค้นหาตัวหารของเลข 9 กันดีกว่า โดยตรวจสอบตัวหารทั้งหมดตั้งแต่ 1 ถึง 9
9: 1 = 9
(9 หารด้วย 1 โดยไม่มีเศษ ซึ่งหมายถึง 1 เป็นตัวหารของตัวเลข 9)
9: 2 = 4 (เหลือ 1 อัน)
(9 ไม่หารด้วย 2 โดยไม่มีเศษ ซึ่งหมายความว่า 2 ไม่ใช่ตัวหารของจำนวน 9)
9: 3 = 3
(9 หารด้วย 3 โดยไม่มีเศษ ซึ่งหมายถึง 3 เป็นตัวหารของตัวเลข 9)
9: 4 = 2 (เหลือ 1 อัน)
(9 ไม่หารด้วย 4 โดยไม่มีเศษ ซึ่งหมายความว่า 4 ไม่ใช่ตัวหารของจำนวน 9)
9: 5 = 1 (เหลือ 4 อัน)
(9 ไม่หารด้วย 5 โดยไม่มีเศษ ซึ่งหมายความว่า 5 ไม่ใช่ตัวหารของจำนวน 9)
9: 6 = 1 (เหลือ 3 อัน)
(9 ไม่หารด้วย 6 โดยไม่มีเศษ ซึ่งหมายความว่า 6 ไม่ใช่ตัวหารของจำนวน 9)
9: 7 = 1 (เหลือ 2 อัน)
(9 ไม่หารด้วย 7 โดยไม่มีเศษ ซึ่งหมายความว่า 7 ไม่ใช่ตัวหารของจำนวน 9)
9: 8 = 1 (เหลือ 1 อัน)
(9 ไม่หารด้วย 8 โดยไม่มีเศษ ซึ่งหมายความว่า 8 ไม่ใช่ตัวหารของจำนวน 9)
9: 9 = 1
(9 หารด้วย 9 โดยไม่มีเศษ ซึ่งหมายถึง 9 เป็นตัวหารของจำนวน 9)
ทีนี้ ลองเขียนตัวหารของตัวเลขทั้งสองลงไป. ตัวเลขที่เน้นด้วยสีน้ำเงินเป็นตัวหาร มาเขียนกัน:
เมื่อเขียนตัวหารแล้ว คุณสามารถระบุได้ทันทีว่าตัวใดมีค่ามากที่สุดและพบมากที่สุด
ตามคำนิยาม ตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของเลข 12 และ 9 คือจำนวนที่หาร 12 และ 9 โดยไม่มีเศษ ตัวหารร่วมมากสุดของเลข 12 และ 9 คือเลข 3
ทั้งหมายเลข 12 และหมายเลข 9 หารด้วย 3 ลงตัวโดยไม่มีเศษ:
ดังนั้น gcd (12 และ 9) = 3
วิธีที่สองในการค้นหา GCD
ทีนี้ เรามาดูวิธีที่สองในการหาตัวหารร่วมมากกันดีกว่า สาระสำคัญของวิธีนี้คือการแยกตัวเลขทั้งสองให้เป็นตัวประกอบเฉพาะและคูณค่าร่วม
ตัวอย่างที่ 1. ค้นหา gcd ของตัวเลข 24 และ 18
ขั้นแรก นำตัวเลขทั้งสองมาแยกตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะ:
ทีนี้ลองคูณตัวประกอบร่วมของมันดู. เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสน สามารถเน้นปัจจัยทั่วไปได้
เราดูที่การขยายตัวของเลข 24 ปัจจัยแรกคือ 2 เรามองหาปัจจัยเดียวกันในการขยายตัวของเลข 18 และเห็นว่ามีอยู่ด้วย เราเน้นทั้งสองอย่าง:
เราดูการขยายตัวของเลข 24 อีกครั้ง ปัจจัยที่สองก็คือ 2 เช่นกัน เรามองหาปัจจัยเดียวกันในการขยายตัวของเลข 18 และพบว่าเป็นครั้งที่สองที่มันไม่อยู่ที่นั่นอีกต่อไป แล้วเราไม่เน้นอะไร
สองอันถัดไปในส่วนขยายของหมายเลข 24 ก็หายไปในส่วนขยายของหมายเลข 18 เช่นกัน
เรามาดูปัจจัยสุดท้ายในการขยายตัวของเลข 24 กันดีกว่า นี่คือปัจจัย 3 เรามองหาปัจจัยเดียวกันในการขยายตัวของเลข 18 แล้วเห็นว่ามีอยู่ด้วย เราเน้นทั้งสามประการ:
ดังนั้น ตัวประกอบร่วมของตัวเลข 24 และ 18 คือตัวประกอบ 2 และ 3 หากต้องการรับ GCD จะต้องคูณปัจจัยเหล่านี้:
ดังนั้น gcd (24 และ 18) = 6
วิธีที่สามในการค้นหา GCD
ทีนี้ เรามาดูวิธีที่สามในการหาตัวหารร่วมมากกันดีกว่า สาระสำคัญของวิธีนี้คือ ตัวเลขที่จะหาได้สำหรับตัวหารร่วมที่มากที่สุดนั้นจะถูกแยกย่อยออกเป็นตัวประกอบเฉพาะ จากนั้น จากการขยายตัวเลขแรก ตัวประกอบที่ไม่รวมอยู่ในการขยายตัวเลขตัวที่สองจะถูกขีดฆ่าทิ้งไป ตัวเลขที่เหลือในส่วนขยายแรกจะถูกคูณและรับ GCD
เช่น ลองหา GCD สำหรับตัวเลข 28 และ 16 โดยใช้วิธีนี้ ก่อนอื่น เราแยกตัวเลขเหล่านี้เป็นตัวประกอบเฉพาะ:
เรามีส่วนขยายสองรายการ: และ
ตอนนี้จากการสลายตัวของตัวเลขแรก เราจะลบปัจจัยที่ไม่รวมอยู่ในการสลายตัวของตัวเลขที่สอง การขยายตัวเลขที่สองไม่รวมเจ็ด เรามาข้ามมันออกจากส่วนขยายแรกกัน:
ตอนนี้เราคูณปัจจัยที่เหลือและรับ GCD:
เลข 4 เป็นตัวหารร่วมมากของตัวเลข 28 และ 16 ตัวเลขทั้งสองนี้หารด้วย 4 ลงตัวโดยไม่มีเศษ:
ตัวอย่างที่ 2ค้นหา gcd ของตัวเลข 100 และ 40
แยกตัวประกอบจำนวน 100
แยกตัวประกอบจำนวน 40
เรามีส่วนขยายสองรายการ:
ตอนนี้จากการสลายตัวของตัวเลขแรก เราจะลบปัจจัยที่ไม่รวมอยู่ในการสลายตัวของตัวเลขที่สอง การขยายตัวเลขที่สองไม่รวมหนึ่งห้า (มีเพียงห้าเดียวเท่านั้น) เรามาข้ามมันออกจากส่วนขยายแรกกันดีกว่า
ลองคูณตัวเลขที่เหลือ:
เราได้รับคำตอบ 20 ซึ่งหมายความว่าตัวเลข 20 เป็นตัวหารร่วมมากของตัวเลข 100 และ 40 ตัวเลขสองตัวนี้หารด้วย 20 ลงตัวโดยไม่มีเศษ:
GCD (100 และ 40) = 20
ตัวอย่างที่ 3ค้นหา gcd ของตัวเลข 72 และ 128
แยกตัวประกอบจำนวน 72
แยกตัวประกอบจำนวน 128
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
ตอนนี้จากการสลายตัวของตัวเลขแรก เราจะลบปัจจัยที่ไม่รวมอยู่ในการสลายตัวของตัวเลขที่สอง การขยายหมายเลขที่สองไม่รวมแฝดสองตัว (ไม่มีเลย) เรามาขีดฆ่าพวกมันออกจากส่วนขยายแรกกัน:
เราได้รับคำตอบ 8 ซึ่งหมายความว่าเลข 8 เป็นตัวหารร่วมมากของตัวเลข 72 และ 128 ตัวเลขสองตัวนี้หารด้วย 8 ลงตัวโดยไม่มีเศษ:
GCD (72 และ 128) = 8
ค้นหา GCD สำหรับตัวเลขหลายตัว
ตัวหารร่วมมากสามารถหาได้จากหลายจำนวน ไม่ใช่เพียงสองเท่านั้น เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ตัวเลขที่จะหาได้สำหรับตัวหารร่วมมากจะถูกแบ่งออกเป็นตัวประกอบเฉพาะ จากนั้นจึงหาผลคูณของตัวประกอบร่วมเฉพาะของตัวเลขเหล่านี้
ตัวอย่างเช่น ลองหา GCD สำหรับตัวเลข 18, 24 และ 36
ลองแยกตัวประกอบของจำนวน 18 กัน
ลองแยกตัวประกอบของจำนวน 24 กัน
ลองแยกตัวประกอบของจำนวน 36 กัน
เรามีส่วนขยายสามแบบ:
ทีนี้มาเน้นและขีดเส้นใต้ปัจจัยร่วมของตัวเลขเหล่านี้กัน ปัจจัยทั่วไปจะต้องปรากฏในตัวเลขทั้งสามตัว:
เราจะเห็นว่าตัวประกอบร่วมของตัวเลข 18, 24 และ 36 คือตัวประกอบ 2 และ 3 เมื่อคูณตัวประกอบเหล่านี้ เราจะได้ gcd ที่เรากำลังมองหา:
เราได้รับคำตอบ 6 ซึ่งหมายความว่าเลข 6 เป็นตัวหารร่วมมากของตัวเลข 18, 24 และ 36 ตัวเลขทั้งสามนี้หารด้วย 6 ลงตัวโดยไม่มีเศษ:
GCD (18, 24 และ 36) = 6
ตัวอย่างที่ 2ค้นหา GCD สำหรับหมายเลข 12, 24, 36 และ 42
ลองแยกตัวเลขแต่ละตัวให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ. จากนั้นเราจะหาผลคูณของตัวประกอบร่วมของตัวเลขเหล่านี้
ลองแยกตัวประกอบของจำนวน 12 กัน
ลองแยกตัวประกอบของจำนวน 42 กัน
เรามีส่วนขยายสี่แบบ:
ทีนี้มาเน้นและขีดเส้นใต้ปัจจัยร่วมของตัวเลขเหล่านี้กัน ปัจจัยทั่วไปจะต้องปรากฏในตัวเลขทั้งสี่ตัว:
เราจะเห็นว่าตัวประกอบร่วมของตัวเลข 12, 24, 36 และ 42 คือตัวประกอบของ 2 และ 3 เมื่อคูณตัวประกอบเหล่านี้เข้าด้วยกัน เราจะได้ gcd ที่เรากำลังมองหา:
เราได้รับคำตอบ 6 ซึ่งหมายความว่าเลข 6 เป็นตัวหารร่วมมากของตัวเลข 12, 24, 36 และ 42 ตัวเลขเหล่านี้หารด้วย 6 ลงตัวโดยไม่มีเศษ:
GCD (12, 24, 36 และ 42) = 6
จากบทเรียนที่แล้ว เรารู้ว่าถ้าจำนวนหนึ่งถูกหารด้วยอีกจำนวนหนึ่งโดยไม่มีเศษ จะเรียกว่าผลคูณของจำนวนนี้
ปรากฎว่าตัวเลขหลายตัวสามารถมีตัวคูณร่วมได้ และตอนนี้ เราจะสนใจตัวคูณของตัวเลขสองตัว และมันควรมีค่าน้อยที่สุด.
คำนิยาม. ตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ของตัวเลข กและ ข- กและ ข กและหมายเลข ข.
คำจำกัดความมีสองตัวแปร กและ ข. ลองแทนตัวเลขสองตัวใดๆ แทนตัวแปรเหล่านี้ เช่น แทนที่จะเป็นตัวแปร กลองแทนที่หมายเลข 9 และแทนตัวแปร ขแทนที่หมายเลข 12 ทีนี้ลองอ่านคำจำกัดความ:
ตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ของตัวเลข 9 และ 12 - นี้ จำนวนที่น้อยที่สุดซึ่งเป็นผลคูณ 9 และ 12 . กล่าวอีกนัยหนึ่ง นี่เป็นจำนวนเล็กน้อยที่หารลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ 9 และตามหมายเลข 12 .
จากคำจำกัดความจะชัดเจนว่า LCM เป็นจำนวนที่น้อยที่สุดที่หารด้วย 9 และ 12 ลงตัวโดยไม่มีเศษ ต้องค้นหา LCM นี้
หากต้องการค้นหาตัวคูณร่วมน้อย (LCM) คุณสามารถใช้สองวิธี วิธีแรกคือคุณสามารถจดจำนวนทวีคูณแรกของตัวเลขสองตัว จากนั้นเลือกตัวเลขที่จะเหมือนกันทั้งจำนวนและจำนวนน้อยจากจำนวนทวีคูณเหล่านี้ ลองใช้วิธีนี้ดู
ก่อนอื่น มาหาผลคูณแรกของเลข 9 กันก่อน หากต้องการหาผลคูณของ 9 คุณต้องคูณเลขเก้านี้ทีละตัวด้วยตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 9 ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นผลคูณของเลข 9 ดังนั้น เอาล่ะ. เราจะเน้นหลายรายการด้วยสีแดง:
ตอนนี้เราพบผลคูณของเลข 12 แล้ว เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะคูณ 12 ทีละตัวด้วยตัวเลขทั้งหมด 1 ถึง 12
ลองดูสามวิธีในการหาตัวคูณร่วมน้อย
ค้นหาโดยการแยกตัวประกอบ
วิธีแรกคือการหาตัวคูณร่วมน้อยโดยการแยกตัวประกอบตัวเลขที่กำหนดให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ
สมมติว่าเราจำเป็นต้องค้นหา LCM ของตัวเลข: 99, 30 และ 28 เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แยกตัวเลขแต่ละตัวเหล่านี้เป็นตัวประกอบเฉพาะ:
เพื่อให้จำนวนที่ต้องการหารด้วย 99, 30 และ 28 ลงตัว จำเป็นและเพียงพอที่จะรวมตัวประกอบเฉพาะทั้งหมดของตัวหารเหล่านี้ด้วย ในการทำเช่นนี้ เราจำเป็นต้องนำตัวประกอบเฉพาะทั้งหมดของตัวเลขเหล่านี้มายกกำลังมากที่สุดเท่าที่เป็นไปได้แล้วคูณเข้าด้วยกัน:
2 2 3 2 5 7 11 = 13,860
ดังนั้น LCM (99, 30, 28) = 13,860 ไม่มีจำนวนใดที่น้อยกว่า 13,860 หารด้วย 99, 30 หรือ 28 ลงตัว
ในการหาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขที่กำหนด คุณต้องแยกตัวประกอบเหล่านั้นเข้าในตัวประกอบเฉพาะ จากนั้นนำตัวประกอบเฉพาะแต่ละตัวที่มีเลขชี้กำลังมากที่สุดที่ปรากฏ แล้วคูณตัวประกอบเหล่านั้นเข้าด้วยกัน
เนื่องจากจำนวนเฉพาะที่ค่อนข้างไม่มีตัวประกอบเฉพาะร่วม ตัวคูณร่วมน้อยจึงเท่ากับผลคูณของจำนวนเหล่านี้ ตัวอย่างเช่น ตัวเลขสามตัว: 20, 49 และ 33 ถือเป็นจำนวนเฉพาะ นั่นเป็นเหตุผล
ค.ศ. (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340
ต้องทำเช่นเดียวกันเมื่อค้นหาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเฉพาะต่างๆ ตัวอย่างเช่น LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231
การค้นหาโดยการเลือก
วิธีที่สองคือการหาตัวคูณร่วมน้อยด้วยการเลือก
ตัวอย่างที่ 1 เมื่อจำนวนที่มากที่สุดหารด้วยจำนวนที่กำหนดอีกจำนวนหนึ่ง LCM ของจำนวนเหล่านี้จะเท่ากับค่าที่ใหญ่ที่สุด ตัวอย่างเช่น ให้ตัวเลขสี่ตัว: 60, 30, 10 และ 6 แต่ละตัวหารด้วย 60 ลงตัว ดังนั้น:
ค.ศ.(60, 30, 10, 6) = 60
ในกรณีอื่นๆ หากต้องการค้นหาตัวคูณร่วมน้อย ให้ใช้ขั้นตอนต่อไปนี้:
- กำหนดจำนวนที่มากที่สุดจากจำนวนที่กำหนด
- ต่อไปเราจะหาจำนวนที่เป็นทวีคูณของ จำนวนที่ใหญ่ที่สุดโดยคูณด้วยจำนวนธรรมชาติตามลำดับที่เพิ่มขึ้น และตรวจสอบว่าผลคูณที่ได้หารด้วยจำนวนที่กำหนดที่เหลือลงตัวหรือไม่
ตัวอย่างที่ 2 ให้ตัวเลขสามตัวคือ 24, 3 และ 18 เราหาค่าที่ใหญ่ที่สุด - นี่คือเลข 24 ต่อไป เราจะหาตัวเลขที่เป็นทวีคูณของ 24 โดยตรวจสอบว่าแต่ละตัวเลขหารด้วย 18 และ 3 ลงตัวหรือไม่:
24 · 1 = 24 - หารด้วย 3 ลงตัว แต่หารด้วย 18 ลงตัวไม่ได้
24 · 2 = 48 - หารด้วย 3 ลงตัว แต่หารด้วย 18 ลงตัวไม่ได้
24 · 3 = 72 - หารด้วย 3 และ 18 ลงตัว
ดังนั้น ค.ล. (24, 3, 18) = 72
การค้นหาโดยการค้นหา LCM ตามลำดับ
วิธีที่สามคือการค้นหาตัวคูณร่วมน้อยโดยการค้นหา LCM ตามลำดับ
LCM ของตัวเลขที่กำหนดสองตัวจะเท่ากับผลคูณของตัวเลขเหล่านี้หารด้วยตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุด
ตัวอย่างที่ 1 ค้นหา LCM ของตัวเลขที่กำหนดสองตัว: 12 และ 8 หาตัวหารร่วมมากที่สุดของพวกมัน: GCD (12, 8) = 4 คูณตัวเลขเหล่านี้:
เราแบ่งผลิตภัณฑ์ตาม gcd:
ดังนั้น ค.ล. (12, 8) = 24
หากต้องการค้นหา LCM ของตัวเลขสามตัวขึ้นไป ให้ใช้ขั้นตอนต่อไปนี้:
- ขั้นแรก หา LCM ของตัวเลขสองตัวใดๆ เหล่านี้
- จากนั้น LCM ของตัวคูณร่วมน้อยที่พบและตัวที่สาม หมายเลขที่กำหนด.
- จากนั้น LCM ของผลลัพธ์ตัวคูณร่วมน้อยและตัวเลขที่สี่ เป็นต้น
- ดังนั้นการค้นหา LCM จะดำเนินต่อไปตราบเท่าที่มีตัวเลข
ตัวอย่างที่ 2 ลองหา LCM ของตัวเลขที่กำหนดสามตัว: 12, 8 และ 9 เราพบ LCM ของตัวเลข 12 และ 8 ในตัวอย่างก่อนหน้าแล้ว (นี่คือตัวเลข 24) ยังคงต้องหาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข 24 และตัวที่สามที่กำหนด - 9 กำหนดค่าตัวหารร่วมมาก: GCD (24, 9) = 3 คูณ LCM ด้วยหมายเลข 9:
เราแบ่งผลิตภัณฑ์ตาม gcd:
ดังนั้น ค.ล. (12, 8, 9) = 72