B progresie geometrică. Progresie geometrică

Progresie geometrică nu mai puțin important în matematică în comparație cu aritmetică. O progresie geometrică este o succesiune de numere b1, b2,..., b[n], al căror termen următor se obține prin înmulțirea celui precedent cu un număr constant. Acest număr, care caracterizează și rata de creștere sau scădere a progresiei, se numește numitorul progresiei geometrice si denota

Pentru a specifica complet o progresie geometrică, pe lângă numitor, este necesar să se cunoască sau să se determine primul termen al acesteia. Pentru valoare pozitivă progresia numitorului este o succesiune monotonă, iar dacă această succesiune de numere este monoton descrescătoare și dacă este monoton crescătoare. Cazul în care numitorul este egal cu unu nu este luat în considerare în practică, deoarece avem o succesiune de numere identice, iar însumarea lor nu prezintă interes practic.

Termen general al progresiei geometrice calculate prin formula

Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice determinat de formula

Să ne uităm la soluțiile problemelor clasice de progresie geometrică. Să începem cu cele mai simple de înțeles.

Exemplul 1. Primul termen al unei progresii geometrice este 27, iar numitorul său este 1/3. Găsiți primii șase termeni ai progresiei geometrice.

Soluție: Să scriem condiția problemei în formular

Pentru calcule folosim formula pentru al n-lea termen al unei progresii geometrice

Pe baza acestuia, găsim termenii necunoscuți ai progresiei

După cum puteți vedea, calcularea termenilor unei progresii geometrice nu este dificilă. Progresia în sine va arăta astfel

Exemplul 2. Se dau primii trei termeni ai progresiei geometrice: 6; -12; 24. Aflați numitorul și al șaptelea termen al acestuia.

Rezolvare: Calculăm numitorul progresiei geomitrice pe baza definiției acesteia

Am obținut o progresie geometrică alternativă al cărei numitor este egal cu -2. Al șaptelea termen se calculează folosind formula

Acest lucru rezolvă problema.

Exemplul 3. O progresie geometrică este dată de doi dintre termenii săi . Găsiți al zecelea termen al progresiei.

Soluţie:

Să scriem valorile date folosind formule

Conform regulilor, ar trebui să găsim numitorul și apoi să căutăm valoarea dorită, dar pentru al zecelea termen avem

Aceeași formulă poate fi obținută pe baza unor manipulări simple cu datele de intrare. Împărțiți al șaselea termen al seriei cu altul și, ca rezultat, obținem

Dacă valoarea rezultată este înmulțită cu al șaselea termen, obținem al zecelea

Astfel, pentru astfel de sarcini, folosind transformări simple la cale rapidă poti gasi solutia potrivita.

Exemplul 4. Progresia geometrică este dată de formule recurente

Aflați numitorul progresiei geometrice și suma primilor șase termeni.

Soluţie:

Să scriem datele date sub forma unui sistem de ecuații

Exprimați numitorul împărțind a doua ecuație la prima

Să găsim primul termen al progresiei din prima ecuație

Să calculăm următorii cinci termeni pentru a găsi suma progresiei geometrice

Progresia geometrică, împreună cu aritmetica, este o serie de numere importantă care este studiată în curs şcolar algebră în clasa a IX-a. În acest articol vom analiza numitorul unei progresii geometrice și modul în care valoarea acesteia îi afectează proprietățile.

Definiţia geometric progression

Mai întâi, să dăm definiția acestei serii de numere. O astfel de serie se numește progresie geometrică numere rationale, care se formează prin înmulțirea secvențială a primului său element cu un număr constant numit numitor.

De exemplu, numerele din seria 3, 6, 12, 24, ... sunt o progresie geometrică, deoarece dacă înmulțiți 3 (primul element) cu 2, obțineți 6. Dacă înmulțiți 6 cu 2, obțineți 12 și așa mai departe.

Membrii secvenței luate în considerare sunt de obicei notați cu simbolul ai, unde i este un număr întreg care indică numărul elementului din serie.

Definiția de mai sus a progresiei poate fi scrisă în limbaj matematic după cum urmează: an = bn-1 * a1, unde b este numitorul. Este ușor să verificăm această formulă: dacă n = 1, atunci b1-1 = 1 și obținem a1 = a1. Dacă n = 2, atunci an = b * a1, și ajungem din nou la definiția seriei de numere în cauză. Raționament similar poate fi continuat pentru valori mari ale lui n.

Numitorul progresiei geometrice

Numărul b determină complet ce caracter va avea întreaga serie de numere. Numitorul b poate fi pozitiv, negativ sau mai mare sau mai mic decât unu. Toate opțiunile de mai sus conduc la secvențe diferite:

b > 1. Există o serie crescândă de numere raţionale. De exemplu, 1, 2, 4, 8, ... Dacă elementul a1 este negativ, atunci întreaga secvență va crește doar în valoare absolută, dar va scădea în funcție de semnul numerelor.
b = 1. Adesea acest caz nu se numește progresie, deoarece există o serie obișnuită de numere raționale identice. De exemplu, -4, -4, -4.

Formula pentru cantitate

Înainte de a trece la examinarea problemelor specifice folosind numitorul tipului de progresie luat în considerare, ar trebui dată o formulă importantă pentru suma primelor sale n elemente. Formula arată astfel: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Puteți obține singur această expresie dacă luați în considerare șirul recursiv de termeni ai progresiei. De asemenea, rețineți că în formula de mai sus este suficient să cunoașteți doar primul element și numitorul pentru a găsi suma unui număr arbitrar de termeni.

Secvență infinit descrescătoare

S-a dat mai sus o explicație despre ce este. Acum, cunoscând formula pentru Sn, să o aplicăm acestei serii de numere. Deoarece orice număr al cărui modul nu depășește 1 tinde spre zero atunci când este ridicat la puteri mari, adică b∞ => 0 dacă -1

Deoarece diferența (1 - b) va fi întotdeauna pozitivă, indiferent de valoarea numitorului, semnul sumei unei progresii geometrice infinit descrescătoare S∞ este determinat în mod unic de semnul primului său element a1.

Acum să ne uităm la câteva probleme în care vom arăta cum să aplicăm cunoștințele dobândite pe anumite numere.

Sarcina nr. 1. Calculul elementelor necunoscute de progresie și sumă

Având în vedere o progresie geometrică, numitorul progresiei este 2, iar primul său element este 3. Cu ce vor fi egali al 7-lea și al 10-lea termen și care este suma celor șapte elemente inițiale?

Starea problemei este destul de simplă și implică utilizarea directă a formulelor de mai sus. Deci, pentru a calcula numărul elementului n, folosim expresia an = bn-1 * a1. Pentru al 7-lea element avem: a7 = b6 * a1, înlocuind datele cunoscute, obținem: a7 = 26 * 3 = 192. Procedăm la fel și pentru al 10-lea termen: a10 = 29 * 3 = 1536.

Să folosim formula binecunoscută pentru sumă și să determinăm această valoare pentru primele 7 elemente ale seriei. Avem: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Problema nr. 2. Determinarea sumei elementelor arbitrare ale unei progresii

Fie -2 egal cu numitorul progresiei geometrice bn-1 * 4, unde n este un număr întreg. Este necesar să se determine suma de la al 5-lea la al 10-lea element din această serie, inclusiv.

Problema pusă nu poate fi rezolvată direct folosind formule cunoscute. Se poate rezolva in 2 moduri diverse metode. Pentru caracterul complet al prezentării subiectului, le prezentăm pe ambele.

Metoda 1. Ideea este simplă: trebuie să calculați cele două sume corespunzătoare ale primilor termeni, apoi să scădeți pe celălalt dintr-unul. Calculăm suma mai mică: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Acum hai să calculăm o mare cantitate: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Rețineți că în ultima expresie au fost însumați doar 4 termeni, deoarece al 5-lea este deja inclus în suma care trebuie calculată în funcție de condițiile problemei. În cele din urmă, luăm diferența: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Metoda 2. Înainte de a înlocui numere și de a număra, puteți obține o formulă pentru suma dintre m și n termeni ai seriei în cauză. Facem exact la fel ca în metoda 1, doar că lucrăm mai întâi cu reprezentarea simbolică a sumei. Avem: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Puteți înlocui numere cunoscute în expresia rezultată și puteți calcula rezultatul final: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Problema nr. 3. Care este numitorul?

Fie a1 = 2, găsiți numitorul progresiei geometrice, cu condiția ca suma sa infinită să fie 3 și se știe că aceasta este o serie descrescătoare de numere.

Pe baza condițiilor problemei, nu este greu de ghicit ce formulă ar trebui utilizată pentru a o rezolva. Desigur, pentru suma progresiei în scădere infinit. Avem: S∞ = a1 / (1 - b). De unde exprimăm numitorul: b = 1 - a1 / S∞. Tot ce rămâne este să înlocuim valori cunoscuteși obțineți numărul necesar: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 sau -0,333(3). Putem verifica calitativ acest rezultat dacă ne amintim că pentru acest tip de secvență modulul b nu trebuie să depășească 1. După cum se vede, |-1 / 3|

Sarcina nr. 4. Restaurarea unei serii de numere

Să fie date 2 elemente dintr-o serie de numere, de exemplu, al 5-lea este egal cu 30 și al 10-lea este egal cu 60. Este necesară reconstrucția întregii serie din aceste date, știind că satisface proprietățile unei progresii geometrice.

Pentru a rezolva problema, trebuie mai întâi să scrieți expresia corespunzătoare pentru fiecare termen cunoscut. Avem: a5 = b4 * a1 și a10 = b9 * a1. Acum împărțiți a doua expresie la prima, obținem: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. De aici determinăm numitorul luând rădăcina a cincea a raportului termenilor cunoscuți din enunțul problemei, b = 1,148698. Înlocuim numărul rezultat într-una dintre expresiile pentru elementul cunoscut, obținem: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

Astfel, am găsit numitorul progresiei bn, iar progresia geometrică bn-1 * 17,2304966 = an, unde b = 1,148698.

Unde se folosesc progresiile geometrice?

Dacă nu ar exista o aplicare practică a acestei serii de numere, atunci studiul ei s-ar reduce la un interes pur teoretic. Dar o astfel de aplicație există.

Mai jos sunt cele mai cunoscute 3 exemple:

Paradoxul lui Zenon, în care agilul Ahile nu poate ajunge din urmă cu broasca țestoasă lentă, este rezolvat folosind conceptul de succesiune de numere infinit descrescătoare.
Dacă puneți boabe de grâu pe fiecare pătrat al tablei de șah astfel încât pe primul pătrat să puneți 1 bob, pe al 2-lea - 2, pe al 3-lea - 3 și așa mai departe, atunci pentru a umple toate pătratele tablei veți avea nevoie 18446744073709551615 boabe!
În jocul „Tower of Hanoi”, pentru a muta discurile de la o tijă la alta, este necesar să efectuați 2n - 1 operații, adică numărul lor crește exponențial cu numărul n de discuri utilizate.

Lecție și prezentare pe tema: „Secvențe de numere. Progresie geometrică”

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, recenziile, urările! Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.

Ajutoare educaționale și simulatoare în magazinul online Integral pentru clasa a 9-a
Puteri și rădăcini Funcții și grafice

Băieți, astăzi ne vom familiariza cu un alt tip de progresie.
Tema lecției de astăzi este progresia geometrică.

Progresie geometrică

Definiție. O succesiune numerică în care fiecare termen, începând cu al doilea, este egal cu produsul celui precedent și un număr fix se numește progresie geometrică.
Să definim secvența noastră recursiv: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
unde b și q sunt anumite numere date. Numărul q se numește numitorul progresiei.

Exemplu. 1,2,4,8,16... O progresie geometrică în care primul termen este egal cu unu și $q=2$.

Exemplu. 8,8,8,8... O progresie geometrică în care primul termen este egal cu opt,
și $q=1$.

Exemplu. 3,-3,3,-3,3... Progresie geometrică în care primul termen este egal cu trei,
și $q=-1$.

Progresia geometrică are proprietățile monotoniei.
Dacă $b_(1)>0$, $q>1$,
atunci secvența crește.
Dacă $b_(1)>0$, $0 Secvența se notează de obicei sub forma: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

La fel ca într-o progresie aritmetică, dacă într-o progresie geometrică numărul de elemente este finit, atunci progresia se numește progresie geometrică finită.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Rețineți că, dacă o secvență este o progresie geometrică, atunci șirul de pătrate de termeni este, de asemenea, o progresie geometrică. În a doua secvență, primul termen este egal cu $b_(1)^2$, iar numitorul este egal cu $q^2$.

Formula pentru al n-lea termen al unei progresii geometrice

Progresia geometrică poate fi specificată și sub formă analitică. Să vedem cum să facem asta:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Observăm cu ușurință modelul: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Formula noastră se numește „formula celui de-al n-lea termen al unei progresii geometrice”.

Să revenim la exemplele noastre.

Exemplu. 1,2,4,8,16... Progresie geometrică în care primul termen este egal cu unu,
și $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

Exemplu. 16,8,4,2,1,1/2... O progresie geometrică în care primul termen este egal cu șaisprezece și $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

Exemplu. 8,8,8,8... O progresie geometrică în care primul termen este egal cu opt și $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

Exemplu. 3,-3,3,-3,3... O progresie geometrică în care primul termen este egal cu trei și $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

Exemplu. Având în vedere o progresie geometrică $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) Se știe că $b_(1)=6, q=3$. Găsiți $b_(5)$.
b) Se știe că $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Găsiți n.
c) Se știe că $q=-2, b_(6)=96$. Găsiți $b_(1)$.
d) Se știe că $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Găsiți q.

Soluţie.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, deoarece $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

Exemplu. Diferența dintre termenii al șaptelea și al cincilea al progresiei geometrice este 192, suma celor cinci și al șaselea termeni ale progresiei este 192. Aflați al zecelea termen al acestei progresii.

Soluţie.
Știm că: $b_(7)-b_(5)=192$ și $b_(5)+b_(6)=192$.
Mai știm: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Apoi:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Am primit un sistem de ecuații:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
Echivalând ecuațiile noastre obținem:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Avem două soluții q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Înlocuiți secvențial în a doua ecuație:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ nicio soluție.
Am obținut că: $b_(1)=4, q=2$.
Să găsim al zecelea termen: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

Suma unei progresii geometrice finite

Să avem o progresie geometrică finită. Să calculăm, la fel ca pentru o progresie aritmetică, suma termenilor săi.

Să fie dată o progresie geometrică finită: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Să introducem denumirea pentru suma termenilor săi: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
În cazul în care $q=1$. Toți termenii progresiei geometrice sunt egali cu primul termen, atunci este evident că $S_(n)=n*b_(1)$.
Să luăm acum în considerare cazul $q≠1$.
Să înmulțim suma de mai sus cu q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Notă:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

Am obținut formula pentru suma unei progresii geometrice finite.

Exemplu.
Aflați suma primilor șapte termeni ai unei progresii geometrice al cărei prim termen este 4 și numitorul este 3.

Soluţie.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

Exemplu.
Aflați al cincilea termen al progresiei geometrice care este cunoscut: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.

Soluţie.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
341$ q=1364$.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

Proprietatea caracteristică a progresiei geometrice

Băieți, se dă o progresie geometrică. Să ne uităm la cei trei membri consecutivi ai săi: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
Noi stim aia:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Apoi:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Dacă progresia este finită, atunci această egalitate este valabilă pentru toți termenii, cu excepția primului și ultimului.
Dacă nu se știe dinainte ce formă are șirul, dar se știe că: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Apoi putem spune cu siguranță că aceasta este o progresie geometrică.

O secvență de numere este o progresie geometrică numai atunci când pătratul fiecărui membru este egal cu produsul celor două elemente adiacente ale progresiei. Nu uitați că pentru o progresie finită această condiție nu este îndeplinită pentru primul și ultimul termen.

Să ne uităm la această identitate: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ se numește media geometrică a numerelor a și b.

Modulul oricărui termen al unei progresii geometrice este egal cu media geometrică a celor doi termeni vecini ai săi.

Exemplu.
Găsiți x astfel încât $x+2; 2x+2; 3x+3$ au fost trei termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

Soluţie.
Să folosim proprietatea caracteristică:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ și $x_(2)=-1$.
Să substituim succesiv soluțiile noastre în expresia originală:
Cu $x=2$ am obtinut sirul: 4;6;9 – o progresie geometrica cu $q=1.5$.
Pentru $x=-1$, obținem succesiunea: 1;0;0.
Răspuns: $x=2.$

Probleme de rezolvat independent

1. Aflați al optulea prim termen al progresiei geometrice 16;-8;4;-2….
2. Aflați al zecelea termen al progresiei geometrice 11,22,44….
3. Se știe că $b_(1)=5, q=3$. Găsiți $b_(7)$.
4. Se știe că $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. Găsiți n.
5. Aflați suma primilor 11 termeni ai progresiei geometrice 3;12;48….
6. Găsiți x astfel încât $3x+4; 2x+4; x+5$ sunt trei termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

Matematica este ceea ceoamenii controlează natura și pe ei înșiși.

Matematicianul sovietic, academicianul A.N. Kolmogorov

Progresie geometrică.

Alături de problemele privind progresiile aritmetice, problemele legate de conceptul de progresie geometrică sunt frecvente și la examenele de admitere la matematică. Pentru a rezolva cu succes astfel de probleme, trebuie să cunoașteți proprietățile progresiilor geometrice și să aveți bune abilități în utilizarea lor.

Acest articol este dedicat prezentării proprietăților de bază ale progresiei geometrice. Aici sunt oferite și exemple de rezolvare a problemelor tipice., împrumutat din sarcinile examenelor de admitere la matematică.

Să notăm mai întâi proprietățile de bază ale progresiei geometrice și să ne amintim cel mai mult formule importanteși declarații, legate de acest concept.

Definiție. O succesiune de numere se numește progresie geometrică dacă fiecare număr, începând cu al doilea, este egal cu cel precedent, înmulțit cu același număr. Numărul se numește numitorul unei progresii geometrice.

Pentru progresie geometricăformulele sunt valabile

, (1)

Unde . Formula (1) se numește formula termenului general al unei progresii geometrice, iar formula (2) reprezintă proprietatea principală a unei progresii geometrice: fiecare termen al progresiei coincide cu media geometrică a termenilor săi învecinați și .

Notă, că tocmai din cauza acestei proprietăți progresia în cauză se numește „geometrică”.

Formulele de mai sus (1) și (2) sunt generalizate după cum urmează:

, (3)

Pentru a calcula suma primul termenii progresiei geometricese aplică formula

Dacă notăm , atunci

Unde . Deoarece , formula (6) este o generalizare a formulei (5).

În cazul când și progresie geometricăeste în scădere infinită. Pentru a calcula sumadintre toți termenii unei progresii geometrice infinit descrescătoare, se folosește formula

. (7)

De exemplu , folosind formula (7) putem arăta, Ce

Unde . Aceste egalități se obțin din formula (7) cu condiția ca , (prima egalitate) și , (a doua egalitate).

Teorema. Daca atunci

Dovada. Daca atunci

Teorema este demonstrată.

Să trecem la considerarea unor exemple de rezolvare a problemelor pe tema „Progresiune geometrică”.

Exemplul 1. Având în vedere: , și . Găsi .

Soluţie. Dacă aplicăm formula (5), atunci

Răspuns: .

Exemplul 2. Lăsați-l să fie. Găsi .

Soluţie. Deoarece și , folosim formulele (5), (6) și obținem un sistem de ecuații

Dacă a doua ecuație a sistemului (9) este împărțită la prima, apoi sau . De aici rezultă că . Să luăm în considerare două cazuri.

1. Dacă, atunci din prima ecuație a sistemului (9) avem.

2. Dacă , atunci .

Exemplul 3. Să , și . Găsi .

Soluţie. Din formula (2) rezultă că sau . De când , atunci sau .

După condiție. Cu toate acestea, prin urmare. Din moment ce și atunci aici avem un sistem de ecuații

Dacă a doua ecuație a sistemului este împărțită la prima, atunci sau .

Deoarece, ecuația are o rădăcină adecvată unică. În acest caz, rezultă din prima ecuație a sistemului.

Ținând cont de formula (7), obținem.

Răspuns: .

Exemplul 4. Având în vedere: și . Găsi .

Soluţie. De atunci.

De când , atunci sau

Conform formulei (2) avem . În acest sens, din egalitatea (10) obținem sau .

Totuși, prin condiție, așadar.

Exemplul 5. Se știe că . Găsi .

Soluţie. Conform teoremei, avem două egalități

De când , atunci sau . Pentru că atunci .

Răspuns: .

Exemplul 6. Având în vedere: și . Găsi .

Soluţie.Ținând cont de formula (5), obținem

De atunci. De când , și , atunci .

Exemplul 7. Lăsați-l să fie. Găsi .

Soluţie. După formula (1) putem scrie

Prin urmare, avem sau . Se știe că și , prin urmare și .

Răspuns: .

Exemplul 8. Aflați numitorul unei progresii geometrice descrescătoare infinite dacă

Și .

Soluţie. Din formula (7) rezultăȘi . De aici și din condițiile problemei obținem un sistem de ecuații

Dacă prima ecuație a sistemului este la pătrat, și apoi împărțiți ecuația rezultată la a doua ecuație, apoi primim

Sau .

Răspuns: .

Exemplul 9. Găsiți toate valorile pentru care șirul , , este o progresie geometrică.

Soluţie. Să , și . Conform formulei (2), care definește proprietatea principală a unei progresii geometrice, putem scrie sau .

De aici obținem ecuația pătratică, ale căror rădăcini suntȘi .

Să verificăm: dacă, apoi , și ; dacă , atunci , și .

În primul caz avemși , iar în al doilea – și .

Răspuns: , .

Exemplul 10.Rezolvați ecuația

, (11)

unde si .

Soluţie. Partea stângă a ecuației (11) este suma unei progresii geometrice descrescătoare infinite, în care și , sub rezerva: și .

Din formula (7) rezultă, Ce . În acest sens, ecuația (11) ia forma sau . Rădăcină potrivită ecuație pătratică este

Răspuns: .

Exemplul 11. P succesiune de numere pozitiveformează o progresie aritmetică, A – progresie geometrică, ce legatura are cu . Găsi .

Soluţie. Deoarece succesiune aritmetică, Acea (proprietatea principală a progresiei aritmetice). Deoarece, apoi sau . Asta implică , că progresia geometrică are forma. Conform formulei (2), apoi scriem asta .

De când și , atunci . În acest caz, expresia ia forma sau . După condiție, deci din Eq.obținem o soluție unică la problema luată în considerare, adică .

Răspuns: .

Exemplul 12. Calculați Suma

. (12)

Soluţie. Înmulțiți ambele părți ale egalității (12) cu 5 și obțineți

Dacă scădem (12) din expresia rezultată, Acea

sau .

Pentru a calcula, înlocuim valorile în formula (7) și obținem . De atunci.

Răspuns: .

Exemplele de rezolvare a problemelor prezentate aici vor fi utile candidaților atunci când se pregătesc pentru examenele de admitere. Pentru un studiu mai profund al metodelor de rezolvare a problemelor, legate de progresia geometrică, poate fi folosit mijloace didactice din lista literaturii recomandate.

1. Culegere de probleme de matematică pentru candidații la colegii / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Mir și Educația, 2013. – 608 p.

2. Suprun V.P. Matematică pentru liceeni: secțiuni suplimentare curiculumul scolar. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 p.

3. Medynsky M.M. Curs complet matematică elementarăîn sarcini și exerciții. Cartea 2: Secvențe de numere și progresii. – M.: Editus, 2015. – 208 p.

Mai ai întrebări?

Pentru a obține ajutor de la un tutor, înregistrați-vă.

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

Dacă pentru fiecare număr natural n potrivește un număr real un n , atunci ei spun că este dat succesiune de numere :

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , un n , . . . .

Deci, secvența de numere este o funcție a argumentului natural.

Număr A 1 numit primul membru al secvenței , număr A 2 — al doilea termen al secvenței , număr A 3 — al treilea și așa mai departe. Număr un n numit al n-lea termen secvente , și un număr natural n — numărul lui .

Din doi membri alăturați un n Și un n +1 membru al secvenței un n +1 numit ulterior (către un n ), A un n — anterior (către un n +1 ).

Pentru a defini o secvență, trebuie să specificați o metodă care vă permite să găsiți un membru al secvenței cu orice număr.

Adesea secvența este specificată folosind formule al n-lea termen , adică o formulă care vă permite să determinați un membru al unei secvențe după numărul acesteia.

De exemplu,

succesiune de pozitive numere impare poate fi dat prin formula

un n= 2n- 1,

iar succesiunea alternării 1 Și -1 - formulă

b n = (-1)n +1 . ◄

Secvența poate fi determinată formulă recurentă, adică o formulă care exprimă orice membru al secvenței, începând cu unii, prin membrii anteriori (unul sau mai mulți).

De exemplu,

Dacă A 1 = 1 , A un n +1 = un n + 5

A 1 = 1,

A 2 = A 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

A 3 = A 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

A 4 = A 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

A 5 = A 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Dacă a 1= 1, a 2 = 1, un n +2 = un n + un n +1 , atunci primii șapte termeni ai șirului numeric se stabilesc după cum urmează:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

un 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

A 6 = A 4 + A 5 = 3 + 5 = 8,

A 7 = A 5 + A 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Secvențele pot fi final Și fără sfârşit .

Secvența este numită final , dacă are un număr finit de membri. Secvența este numită fără sfârşit , dacă are infinit de membri.

De exemplu,

succesiune de numere naturale din două cifre:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

final.

Succesiunea numerelor prime:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

fără sfârşit. ◄

Secvența este numită crescând , dacă fiecare dintre membrii săi, începând cu al doilea, este mai mare decât precedentul.

Secvența este numită in scadere , dacă fiecare dintre membrii săi, începând cu al doilea, este mai mic decât precedentul.

De exemplu,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — succesiune crescătoare;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . — secvență descrescătoare. ◄

O succesiune ale cărei elemente nu scad pe măsură ce numărul crește sau, dimpotrivă, nu cresc, se numește succesiune monotonă .

Secvențele monotone, în special, sunt secvențe crescătoare și secvențe descrescătoare.

Progresie aritmetică

Progresie aritmetică este o succesiune în care fiecare membru, începând de la al doilea, este egal cu precedentul, la care se adaugă același număr.

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , un n, . . .

este o progresie aritmetică dacă există numar natural n este îndeplinită condiția:

un n +1 = un n + d,

Unde d - un anumit număr.

Astfel, diferența dintre termenii următori și anteriori ai unei progresii aritmetice date este întotdeauna constantă:

a 2 - A 1 = a 3 - A 2 = . . . = un n +1 - un n = d.

Număr d numit diferența de progresie aritmetică.

Pentru a defini o progresie aritmetică, este suficient să indicați primul său termen și diferența.

De exemplu,

Dacă A 1 = 3, d = 4 , atunci găsim primii cinci termeni ai secvenței după cum urmează:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

A 5 = A 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Pentru o progresie aritmetică cu primul termen A 1 si diferenta d a ei n

un n = a 1 + (n- 1)d.

De exemplu,

găsiți al treizecilea termen al progresiei aritmetice

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

un 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

un n-1 = a 1 + (n- 2)d,

un n= a 1 + (n- 1)d,

un n +1 = A 1 + nd,

atunci evident

un n=	a n-1 + a n+1
	2

Fiecare membru al unei progresii aritmetice, pornind de la al doilea, este egal cu media aritmetica a membrilor precedenti si urmatori.

numerele a, b și c sunt termeni succesivi ai unei progresii aritmetice dacă și numai dacă unul dintre ei este egal cu media aritmetică a celorlalte două.

De exemplu,

un n = 2n- 7 , este o progresie aritmetică.

Să folosim afirmația de mai sus. Avem:

un n = 2n- 7,

un n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

un n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Prin urmare,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = un n,
2		2

◄

Rețineți că n Al treilea termen al unei progresii aritmetice poate fi găsit nu numai prin A 1 , dar și orice anterioară un k

un n = un k + (n- k)d.

De exemplu,

Pentru A 5 poate fi notat

un 5 = a 1 + 4d,

un 5 = a 2 + 3d,

un 5 = a 3 + 2d,

un 5 = a 4 + d. ◄

un n = un n-k + kd,

un n = un n+k - kd,

atunci evident

un n=	A n-k + a n+k
	2

orice membru al unei progresii aritmetice, începând cu al doilea, este egal cu jumătate din suma membrilor egal distanțați ai acestei progresii aritmetice.

În plus, pentru orice progresie aritmetică este valabilă următoarea egalitate:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

De exemplu,

în progresie aritmetică

1) A 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (A 9 + A 11 )/2;

2) 28 = un 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) un 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, deoarece

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ un n,

primul n termenii unei progresii aritmetice este egal cu produsul dintre jumătate din suma termenilor extremi și numărul de termeni:

De aici, în special, rezultă că dacă trebuie să însumați termenii

un k, un k +1 , . . . , un n,

atunci formula anterioară își păstrează structura:

De exemplu,

în progresie aritmetică 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Dacă este dată o progresie aritmetică, atunci cantitățile A 1 , un n, d, nȘiS n legate prin două formule:

Prin urmare, dacă sunt date valorile a trei dintre aceste mărimi, atunci valorile corespunzătoare ale celorlalte două mărimi sunt determinate din aceste formule, combinate într-un sistem de două ecuații cu două necunoscute.

O progresie aritmetică este o succesiune monotonă. în care:

Dacă d > 0 , atunci este în creștere;
Dacă d < 0 , atunci este în scădere;
Dacă d = 0 , atunci secvența va fi staționară.

Progresie geometrică

Progresie geometrică este o succesiune în care fiecare membru, începând de la al doilea, este egal cu precedentul înmulțit cu același număr.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

este o progresie geometrică dacă pentru orice număr natural n este îndeplinită condiția:

b n +1 = b n · q,

Unde q ≠ 0 - un anumit număr.

Astfel, raportul dintre termenul următor al unei progresii geometrice date și cel precedent este un număr constant:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Număr q numit numitorul progresiei geometrice.

Pentru a defini o progresie geometrică, este suficient să indicați primul său termen și numitorul.

De exemplu,

Dacă b 1 = 1, q = -3 , atunci găsim primii cinci termeni ai secvenței după cum urmează:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 și numitorul q a ei n Al treilea termen poate fi găsit folosind formula:

b n = b 1 · qn -1 .

De exemplu,

găsiți al șaptelea termen al progresiei geometrice 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

atunci evident

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

fiecare membru al progresiei geometrice, incepand de la al doilea, este egal cu media geometrica (proportionala) a membrelor precedente si urmatoare.

Întrucât este și inversul adevărat, următoarea afirmație este valabilă:

numerele a, b și c sunt termeni succesivi ai unei progresii geometrice dacă și numai dacă pătratul unuia dintre ele este egal cu produsul celorlalte două, adică unul dintre numere este media geometrică a celorlalte două.

De exemplu,

Să demonstrăm că șirul dat de formulă b n= -3 2 n , este o progresie geometrică. Să folosim afirmația de mai sus. Avem:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Prin urmare,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

care dovedeşte afirmaţia dorită. ◄

Rețineți că n Al treilea termen al unei progresii geometrice poate fi găsit nu numai prin b 1 , dar și orice membru anterior b k , pentru care este suficient să folosiți formula

b n = b k · qn - k.

De exemplu,

Pentru b 5 poate fi notat

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

atunci evident

b n 2 = b n - k· b n + k

pătratul oricărui termen al unei progresii geometrice, începând de la al doilea, este egal cu produsul termenilor acestei progresii echidistant de acesta.

În plus, pentru orice progresie geometrică egalitatea este adevărată:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

De exemplu,

în progresie geometrică

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , deoarece

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

primul n membrii unei progresii geometrice cu numitor q ≠ 0 calculat prin formula:

Și atunci când q = 1 - conform formulei

S n= nb 1

Rețineți că, dacă trebuie să însumați termenii

b k, b k +1 , . . . , b n,

atunci se folosește formula:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - qn - k +1	.
	1 - q

De exemplu,

în progresie geometrică 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Dacă este dată o progresie geometrică, atunci mărimile b 1 , b n, q, nȘi S n legate prin două formule:

Prin urmare, dacă sunt date valorile oricărei trei dintre aceste mărimi, atunci valorile corespunzătoare ale celorlalte două mărimi sunt determinate din aceste formule, combinate într-un sistem de două ecuații cu două necunoscute.

Pentru o progresie geometrică cu primul termen b 1 și numitorul q au loc următoarele proprietățile monotonității :

progresia crește dacă este îndeplinită una dintre următoarele condiții:

b 1 > 0 Și q> 1;

b 1 < 0 Și 0 < q< 1;

Progresia este în scădere dacă este îndeplinită una dintre următoarele condiții:

b 1 > 0 Și 0 < q< 1;

b 1 < 0 Și q> 1.

Dacă q< 0 , atunci progresia geometrică este alternativă: termenii săi cu numere impare au același semn ca primul său termen, iar termenii cu numere pare au semnul opus. Este clar că o progresie geometrică alternativă nu este monotonă.

Produsul primului n termenii unei progresii geometrice pot fi calculati folosind formula:

Pn= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

De exemplu,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Progresie geometrică în scădere infinită

Progresie geometrică în scădere infinită numită progresie geometrică infinită al cărei modul numitor este mai mic 1 , acesta este

|q| < 1 .

Rețineți că o progresie geometrică infinit descrescătoare poate să nu fie o succesiune descrescătoare. Se potrivește ocaziei

1 < q< 0 .

Cu un astfel de numitor, succesiunea este alternativă. De exemplu,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare numiți numărul de care se apropie fără limită suma primelor n membrii unei progresii cu o creștere nelimitată a numărului n . Acest număr este întotdeauna finit și este exprimat prin formula