Каква е площта на трапец? Как да намерите площта на равнобедрен трапец

Има много начини да намерите площта на трапец. Обикновено учителят по математика знае няколко метода за изчисляването му, нека ги разгледаме по-подробно:
1) , където AD и BC са основите, а BH е височината на трапеца. Доказателство: начертайте диагонала BD и изразете площите на триъгълниците ABD и CDB чрез полупроизведението на техните основи и височини:

, където DP е външната височина в

Нека съберем тези равенства член по член и като вземем предвид, че височините BH и DP са равни, получаваме:

Нека го извадим от скоби

Q.E.D.

Следствие от формулата за площта на трапец:
Тъй като полусумата на основите е равна на MN - средната линия на трапеца, тогава

2) Приложение на общата формула за площта на четириъгълник.
Площта на четириъгълник е равна на половината от произведението на диагоналите, умножено по синуса на ъгъла между тях
За да го докажете, достатъчно е да разделите трапеца на 4 триъгълника, да изразите площта на всеки по отношение на „половината от продукта на диагоналите и синуса на ъгъла между тях“ (взет като ъгъл, добавете получения изрази, извадете ги от скобата и факторизирайте тази скоба, като използвате метода на групиране, за да получите равенството му с израза Следователно

3) Метод на диагонално изместване
Това е името ми. Учителят по математика няма да срещне такова заглавие в училищните учебници. Описание на техниката можете да намерите само в доп учебницикато пример за решаване на проблем. Отбелязвам, че повечето от интересните и полезни фактиучителите по математика разкриват планиметрията на учениците в процеса на изпълнение практическа работа. Това е изключително неоптимално, защото ученикът трябва да ги изолира в отделни теореми и да ги нарече „големи имена“. Едно от тях е "диагонално изместване". За какво става дума? Нека начертаем права, успоредна на AC през върха B, докато се пресече с долната основа в точка E. В този случай четириъгълникът EBCA ще бъде успоредник (по дефиниция) и следователно BC=EA и EB=AC. Първото равенство е важно за нас сега. Ние имаме:

Имайте предвид, че триъгълникът BED, чиято площ е равна на площта на трапеца, има още няколко забележителни свойства:
1) Площта му е равна на площта на трапеца
2) Неговият равнобедрен се появява едновременно с равнобедрения на самия трапец
3) Неговият горен ъгъл във връх B равен на ъгълмежду диагоналите на трапец (което много често се използва в задачи)
4) Неговата медиана BK е равна на разстоянието QS между средите на основите на трапеца. Наскоро се сблъсках с използването на това свойство, когато подготвях студент за механика и математика в Московския държавен университет, използвайки учебника на Ткачук, версия от 1973 г. (проблемът е даден в долната част на страницата).

Специални техники за учител по математика.

Понякога предлагам задачи, използвайки много труден начин за намиране на площта на трапец. Класифицирам го като специална техника, защото на практика преподавателят ги използва изключително рядко. Ако имате нужда от подготовка за Единния държавен изпит по математика само в част Б, не е нужно да четете за тях. За други ще ви кажа по-нататък. Оказва се, че площта на трапеца се удвоява повече площтриъгълник с върхове в краищата на едната страна и средата на другата, тоест триъгълникът ABS на фигурата:
Доказателство: начертайте височините SM и SN в триъгълници BCS и ADS и изразете сумата от площите на тези триъгълници:

Тъй като точка S е средата на CD, то (докажете сами) намерете сумата от площите на триъгълниците:

Тъй като тази сума се оказа равна на половината от площта на трапеца, тогава втората му половина. и т.н.

Бих включил формуляра за изчисляване на площта в репертоара на учителя от специални техники равнобедрен трапецна неговите страни: където p е полупериметърът на трапеца. Няма да давам доказателства. Иначе твоят учител по математика ще остане без работа :). Ела в час!

Задачи върху областта на трапец:

Бележка на учителя по математика: Списъкът по-долу не е методическо съпътстване на темата, това е само малка селекция от интересни задачи, базирани на техниките, разгледани по-горе.

1) Долната основа на равнобедрен трапец е 13, а горната е 5. Намерете площта на трапеца, ако диагоналът му е перпендикулярен на страната.
2) Намерете лицето на трапец, ако основите му са 2 cm и 5 cm, а страните му са 2 cm и 3 cm.
3) В равнобедрен трапец по-голямата основа е 11, страната е 5, а диагоналът е Намерете площта на трапеца.
4) Диагоналът на равнобедрен трапец е 5, а средната линия е 4. Намерете лицето.
5) В равнобедрен трапец основите са 12 и 20, а диагоналите са взаимно перпендикулярни. Изчислете площта на трапец
6) Диагоналът на равнобедрен трапец сключва ъгъл с долната му основа. Намерете лицето на трапеца, ако височината му е 6 cm.
7) Площта на трапеца е 20, а едната му страна е 4 см. Намерете разстоянието до него от средата на срещуположната страна.
8) Диагоналът на равнобедрен трапец го разделя на триъгълници с повърхнини 6 и 14. Намерете височината, ако страничната страна е 4.
9) В трапец диагоналите са равни на 3 и 5, а сегментът, свързващ средните точки на основите, е равен на 2. Намерете площта на трапеца (Mekhmat MSU, 1970).

Не избрах най-доброто сложни задачи(не се страхувайте от механиката и математиката!) с очакването за възможността за тях независимо решение. Решете за вашето здраве! Ако имате нужда от подготовка за Единния държавен изпит по математика, тогава без участие в този процес могат да възникнат формули за площта на трапец сериозни проблемидори при проблем B6 и още повече при C4. Не започвайте темата и при затруднения помолете за помощ. Учител по математика винаги се радва да ви помогне.

Колпаков А.Н.
Учител по математика в Москва, подготовка за Единния държавен изпит в Строгино.

В математиката са известни няколко вида четириъгълници: квадрат, правоъгълник, ромб, успоредник. Сред тях е трапецът - вид изпъкнал четириъгълник, в който две страни са успоредни, а другите две не. Успоредните противоположни страни се наричат ​​основи, а другите две се наричат ​​странични страни на трапеца. Отсечката, която свързва средните точки на страните, се нарича средна линия. Има няколко вида трапец: равнобедрени, правоъгълни, извити. За всеки тип трапец има формули за намиране на площта.

Площ на трапец

За да намерите площта на трапец, трябва да знаете дължината на основите и височината му. Височината на трапеца е отсечка, перпендикулярна на основите. Нека горната основа е a, долната основа е b, а височината е h. След това можете да изчислите площта S, като използвате формулата:

S = ½ * (a+b) * h

тези. вземете половината от сумата на основите, умножена по височината.

Също така ще бъде възможно да се изчисли площта на трапеца, ако са известни височината и централната линия. Нека обозначим средната линия - m. Тогава

Нека решим една по-сложна задача: известни са дължините на четирите страни на трапеца - a, b, c, d. Тогава площта ще бъде намерена по формулата:

Ако са известни дължините на диагоналите и ъгълът между тях, тогава областта се търси, както следва:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

където d с индекси 1 и 2 са диагонали. В тази формула синусът на ъгъла е даден при изчислението.

Като се имат предвид известните дължини на основите a и b и два ъгъла при долната основа, площта се изчислява, както следва:

S = ½ * (b2 - a2) * (sin α * sin β / sin(α + β))

Площ на равнобедрен трапец

Равнобедрен трапец е специален случайтрапецовидни. Разликата му е, че такъв трапец е изпъкнал четириъгълник с ос на симетрия, минаваща през средните точки на две противоположни страни. Страните му са равни.

Има няколко начина да намерите площта на равнобедрен трапец.

• През дължините на трите страни. В този случай дължините на страните ще съвпадат, следователно те се обозначават с една стойност - c, а a и b - дължините на основите:

• Ако са известни дължината на горната основа, страната и ъгълът при долната основа, площта се изчислява, както следва:

S = c * sin α * (a + c * cos α)

където a е горната основа, c е страната.

• Ако вместо горната основа е известна дължината на долната - b, площта се изчислява по формулата:

S = c * sin α * (b – c * cos α)

• Ако, когато са известни две основи и ъгълът при долната основа, площта се изчислява чрез тангенса на ъгъла:

S = ½ * (b2 – a2) * tan α

• Площта се изчислява и чрез диагоналите и ъгъла между тях. В този случай диагоналите са равни по дължина, така че ние означаваме всеки с буквата d без индекси:

S = ½ * d2 * sin α

• Нека изчислим площта на трапеца, като знаем дължината на страната, централната линия и ъгъла при долната основа.

Нека страничната страна е c, средната линия е m, а ъгълът е a, тогава:

S = m * c * sin α

Понякога можете да впишете кръг в равностранен трапец, чийто радиус ще бъде r.

Известно е, че във всеки трапец може да се впише окръжност, ако сборът от дължините на основите е равен на сбора от дължините на неговите страни. Тогава площта може да се намери чрез радиуса на вписания кръг и ъгъла при долната основа:

S = 4r2 / sinα

Същото изчисление се прави, като се използва диаметърът D на вписания кръг (между другото, той съвпада с височината на трапеца):

Познавайки основата и ъгъла, площта на равнобедрен трапец се изчислява, както следва:

S = a * b / sin α

(тази и следващите формули са валидни само за трапеци с вписана окръжност).

Използвайки основите и радиуса на окръжността, площта се намира, както следва:

Ако са известни само основите, площта се изчислява по формулата:

Чрез основите и страничната линия площта на трапеца с вписания кръг и през основите и средната линия - m се изчислява, както следва:

Квадрат правоъгълен трапец

Трапецът се нарича правоъгълен, ако едната му страна е перпендикулярна на основата. В този случай дължината на страната съвпада с височината на трапеца.

Правоъгълният трапец се състои от квадрат и триъгълник. След като намерите площта на всяка от фигурите, добавете резултатите и вземете цялата зонафигури.

Също така подходящ за изчисляване на площта на правоъгълен трапец общи формулиза изчисляване на площта на трапец.

• Ако са известни дължините на основите и височината (или перпендикулярната странична страна), площта се изчислява по формулата:

S = (a + b) * h / 2

Страничната страна c може да действа като h (височина). Тогава формулата изглежда така:

S = (a + b) * c / 2

• Друг начин за изчисляване на площта е да умножите дължината на централната линия по височината:

или по дължината на страничната перпендикулярна страна:

• Следващият начин за изчисляване е чрез половината от произведението на диагоналите и синуса на ъгъла между тях:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

Ако диагоналите са перпендикулярни, тогава формулата се опростява до:

S = ½ * d1 * d2

• Друг начин за изчисляване е чрез полупериметъра (сумата от дължините на две срещуположни страни) и радиуса на вписаната окръжност.

Тази формула е валидна за бази. Ако вземем дължините на страните, тогава една от тях ще бъде равна на два пъти радиуса. Формулата ще изглежда така:

S = (2r + c) * r

• Ако кръгът е вписан в трапец, площта се изчислява по същия начин:

където m е дължината на централната линия.

Площ на извит трапец

Извит трапец е плоска фигура, ограничена от графиката на неотрицателна непрекъсната функция y = f(x), определена върху отсечката , абсцисната ос и правите x = a, x = b. По същество две от страните му са успоредни една на друга (основите), третата страна е перпендикулярна на основите, а четвъртата е крива, съответстваща на графиката на функцията.

Квадрат извит трапецтърси през интеграла, използвайки формулата на Нютон-Лайбниц:

Така се изчисляват площите различни видоветрапец. Но в допълнение към свойствата на страните, трапецът има същите свойства на ъгли. Както всички съществуващи четириъгълници, сумата вътрешни ъглитрапец е равен на 360 градуса. А сумата от ъглите, съседни на страната, е 180 градуса.

Преди да намерите площта на трапец, е необходимо да определите известните елементи на трапеца. Трапецът е геометричен обект, а именно четириъгълник, който има две успоредни страни (две основи). Другите две страни са странични. Ако и тези две страни на четириъгълника са успоредни, то той вече няма да е трапец, а успоредник. Ако поне един ъгъл на трапец е 90 градуса, тогава такъв трапец се нарича правоъгълен. По-късно ще разгледаме как да намерим площта на правоъгълен трапец. Има и равнобедрен трапец, чието име говори само за себе си: страните на такъв трапец са равни. Разстоянието между основите на трапец се нарича височина, а височината много често се използва за намиране на площ. Средната линия на трапец е сегмент, който свързва средните точки на страните.

Основни формули за намиране на площта на трапец

• S= h*(a+b)/2
  Където h е височината на трапеца, a, b са основите. Най-често използваната формула за намиране на площта на трапец е половината от сбора на основите, умножен по височината.
• S = m*h
  Където m е средната линия на трапеца, h е височината. Площта на трапеца също е равна на произведението на средната линия на трапеца и неговата височина.
• S=1/2*d1*d2*sin(d1^d2)
  Където d1, d2 са диагоналите на трапеца, sin(d1^d2) е синусът на ъгъла между диагоналите на трапеца.

Има и различни формули, получени от основните, както и формула за изчисляване на площта на трапец, когато са известни всичките му страни. Тази формула обаче е доста тромава и се използва рядко, тъй като, знаейки всички страни на трапеца, можете просто да определите височината или средната му линия. Можете също така да впишете окръжност в равнобедрен трапец. В този случай площта на трапеца ще бъде изчислена по формулата: 8 * радиус на кръга в квадрат.

Как да намерите площта на правоъгълен трапец

Както бе споменато по-рано, трапецът се нарича правоъгълен, ако има поне един прав ъгъл. Намирането на площта на такъв трапец е много просто. По принцип, за да се намери площта на правоъгълен трапец, се използват същите формули като за обикновен трапец. Въпреки това си струва да запомните, че една от страните на такъв трапец ще бъде височината. Също така, често решаването на проблеми за намиране на площта на правоъгълен трапец се свежда до намиране на площта на правоъгълника и триъгълника, образувани от пропуснатата височина. Такива задачи са доста прости.

И . Сега можем да започнем да разглеждаме въпроса как да намерим площта на трапец. Тази задача възниква много рядко в ежедневието, но понякога се оказва необходимо, например да се намери площта на стая във формата на трапец, която все повече се използва в строителството модерни апартаменти, или в проекти за обновяване.

Трапецът е геометрична фигура, образувани от четири пресичащи се сегмента, два от които са успоредни един на друг и се наричат ​​основи на трапец. Другите два сегмента се наричат ​​страни на трапеца. Освен това по-късно ще ни трябва друга дефиниция. Това е средната линия на трапеца, която е отсечка, свързваща средните точки на страните и височината на трапеца, която е равна на разстоянието между основите.
Подобно на триъгълниците, трапецът има специални видове под формата на равнобедрен (равностранен) трапец, в който дължините на страните са еднакви, и правоъгълен трапец, в който една от страните образува прав ъгъл с основите.

Трапеците имат някои интересни свойства:

1. Средната линия на трапеца е равна на половината от сбора на основите и е успоредна на тях.
   
2. Равнобедрените трапеци имат равни страни и ъглите, които образуват с основите.
   
3. Средите на диагоналите на трапец и пресечната точка на неговите диагонали са на една права линия.
   
4. Ако сборът от страните на трапеца е равен на сбора от основите, тогава в него може да се впише кръг
   
5. Ако сумата от ъглите, образувани от страните на трапец при която и да е от основите му, е 90, тогава дължината на сегмента, свързващ средите на основите, е равна на тяхната полуразлика.
   
6. Равнобедрен трапец може да се опише с окръжност. И обратно. Ако трапецът се вписва в кръг, тогава той е равнобедрен.
   
7. Сегментът, минаващ през средните точки на основите на равнобедрен трапец, ще бъде перпендикулярен на неговите основи и представлява оста на симетрия.
   

Как да намерите площта на трапец.

Площта на трапеца ще бъде равна на половината от сбора на неговите основи, умножени по неговата височина. Под формата на формула това се записва като израз:

където S е площта на трапеца, a, b е дължината на всяка от основите на трапеца, h е височината на трапеца.

Можете също така да разширите всеки трапец в повече прости фигури: правоъгълник и един или два триъгълника и ако ви е по-лесно, намерете площта на трапеца като сбор от площите на съставните му фигури.

Има още един проста формулаза изчисляване на неговата площ. Според него площта на трапеца е равна на произведението на средната му линия по височината на трапеца и се записва във формата: S = m*h, където S е площта, m е дължината на средна линия, h е височината на трапеца. Тази формула е по-подходяща за математически задачи, отколкото за ежедневни задачи, тъй като в реални условия няма да знаете дължината на централната линия без предварителни изчисления. И ще знаете само дължините на основите и страните.

В този случай площта на трапеца може да се намери по формулата:

S = ((a+b)/2)*√c 2 -((b-a) 2 +c 2 -d 2 /2(b-a)) 2

където S е площта, a, b са основите, c, d са страните на трапеца.

Има няколко други начина да намерите площта на трапец. Но те са толкова неудобни, колкото и последната формула, което означава, че няма смисъл да се спираме на тях. Затова ви препоръчваме да използвате първата формула от статията и ви пожелаваме винаги да получавате точни резултати.

Трапец. Определение, формули и свойства

Трапецът е четириъгълник, чиято двойка противоположни страни са успоредни.

Забележка. В този случай успоредникът е частен случай на трапец.

Успоредните противоположни страни се наричат ​​основи на трапеца, а другите две се наричат ​​странични страни.

Трапеците са:

- универсален ;

- равнобедрен;

- правоъгълен

А - равнобедрен (равнобедрен, равнобедрен) трапец
B - правоъгълен трапец
C - скален трапец

Увеличеният трапец има всички страни с различна дължина, а основите са успоредни.

Страните са равни, а основите са успоредни.

Основите са успоредни, едната страна е перпендикулярна на основите, а втората страна е наклонена към основите.

Свойства на трапец

• Средна линия на трапецуспоредни на основите и равни на тяхната полусума
• Отсечка, свързваща средните точки на диагоналите, е равно на половината от разликата на основите и лежи на средната линия. Дължината му
• Паралелни прави, пресичащи страните на произволен ъгъл на трапец, отрязват пропорционални сегменти от страните на ъгъла (виж теоремата на Талес)
• Пресечна точка на диагонали на трапец, пресечната точка на продълженията на неговите страни и средата на основите лежат на една и съща права линия (вижте също свойствата на четириъгълника)
• Триъгълници, лежащи върху основитрапеци, чиито върхове са пресечната точка на неговите диагонали, са подобни. Съотношението на площите на такива триъгълници е равно на квадрата на съотношението на основите на трапеца
• Триъгълници, разположени отстранитрапец, чиито върхове са пресечната точка на неговите диагонали, са равни по площ (равни по площ)
• В трапеца можете да впишете кръг, ако сборът от дължините на основите на трапец е равен на сбора от дължините на неговите страни. Средната линия в този случай е равна на сумата от страните, разделена на 2 (тъй като средната линия на трапец е равна на половината от сумата на основите)
• Отсечка, успоредна на основитеи преминавайки през точката на пресичане на диагоналите, се разделя на последния наполовина и е равен на удвоения продукт на основите, разделен на тяхната сума 2ab / (a ​​​​+ b) (формула на Бураков)

Ъгли на трапец

Правоъгълният трапец има два прави ъгъла, а другите две са остри и тъпи. Други видове трапец имат два остри ъгъла и два тъпи ъгъла.

Тъпите ъгли на трапец принадлежат към по-малкитепо дължината на основата и пикантни - повечебаза.

Всеки трапец може да се разглежда като пресечен триъгълник, чиято сечение е успоредна на основата на триъгълника.
важно. Моля, обърнете внимание, че по този начин (чрез допълнително конструиране на трапец до триъгълник) могат да се решат някои задачи за трапеци и да се докажат някои теореми.

Как да намерите страните и диагоналите на трапец

Намирането на страните и диагоналите на трапец се извършва с помощта на формулите, дадени по-долу:

В тези формули използваните обозначения са както на фигурата.

a - по-малката от основите на трапеца
b - по-голямата от основите на трапеца
c,d - страни
h 1 h 2 - диагонали

Сумата от квадратите на диагоналите на трапец е равна на два пъти произведението на основите на трапеца плюс сумата от квадратите на страничните страни (Формула 2)