Smf logarifmlari misollari asosida. Logarifmik ifodalar. misollar

Logarifmlar, har qanday raqamlar kabi, har qanday usulda qo'shilishi, ayirilishi va o'zgartirilishi mumkin. Ammo logarifmlar oddiy sonlar emasligi sababli, bu erda qoidalar mavjud, ular chaqiriladi asosiy xususiyatlar.

Siz, albatta, ushbu qoidalarni bilishingiz kerak - ularsiz biron bir jiddiy logarifmik muammoni hal qilib bo'lmaydi. Bundan tashqari, ular juda oz - siz bir kunda hamma narsani o'rganishingiz mumkin. Shunday qilib, keling, boshlaylik.

Logarifmlarni qo‘shish va ayirish

Bir xil asoslarga ega ikkita logarifmni ko'rib chiqing: log a x va jurnal a y. Keyin ularni qo'shish va ayirish mumkin, va:

1. jurnal a x+ jurnal a y=log a (x · y);
2. jurnal a x− jurnal a y=log a (x : y).

Demak, logarifmlar yig‘indisi ko‘paytmaning logarifmiga, ayirmasi esa bo‘lakning logarifmiga teng. Eslatma: asosiy moment Bu yerga - bir xil asoslar. Agar sabablar boshqacha bo'lsa, bu qoidalar ishlamaydi!

Ushbu formulalar, hatto uning alohida qismlari hisobga olinmagan taqdirda ham logarifmik ifodani hisoblashda yordam beradi ("Logarifm nima" darsiga qarang). Misollarni ko'rib chiqing va qarang:

Jurnal 6 4 + jurnal 6 9.

Logarifmlar bir xil asosga ega bo'lgani uchun biz yig'indi formulasidan foydalanamiz:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log 2 48 − log 2 3.

Asoslar bir xil, biz farq formulasidan foydalanamiz:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log 3 135 − log 3 5.

Yana asoslar bir xil, shuning uchun bizda:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Ko'rib turganingizdek, asl iboralar "yomon" logarifmlardan iborat bo'lib, ular alohida hisoblanmaydi. Ammo transformatsiyalardan so'ng butunlay normal raqamlar olinadi. Ko'pchilik bu haqiqatga asoslanadi test qog'ozlari. Ha, testga o'xshash iboralar Yagona davlat imtihonida barcha jiddiylik bilan (ba'zida deyarli o'zgarishlarsiz) taklif etiladi.

Logarifmadan ko'rsatkichni chiqarish

Endi vazifani biroz murakkablashtiramiz. Agar logarifmning asosi yoki argumenti kuch bo'lsa-chi? Keyin ushbu daraja ko'rsatkichini quyidagi qoidalarga muvofiq logarifm belgisidan chiqarish mumkin:

Oxirgi qoida birinchi ikkitasiga amal qilishini ko'rish oson. Ammo baribir buni eslab qolish yaxshiroqdir - ba'zi hollarda bu hisob-kitoblar miqdorini sezilarli darajada kamaytiradi.

Albatta, agar logarifmning ODZiga rioya qilinsa, ushbu qoidalarning barchasi mantiqiy bo'ladi: a > 0, a ≠ 1, x> 0. Va yana bir narsa: barcha formulalarni nafaqat chapdan o'ngga, balki aksincha qo'llashni o'rganing, ya'ni. Logarifmning o'ziga logarifm belgisidan oldingi raqamlarni kiritishingiz mumkin. Bu eng ko'p talab qilinadigan narsa.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log 7 49 6 .

Keling, birinchi formuladan foydalanib, argumentdagi darajadan xalos bo'laylik:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Vazifa. Ifodaning ma'nosini toping:

[Rasm uchun sarlavha]

E'tibor bering, maxraj logarifmadan iborat bo'lib, uning asosi va argumenti aniq darajalardir: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Bizda ... bor:

O'ylaymanki, oxirgi misol biroz tushuntirishni talab qiladi. Logarifmlar qayerga ketdi? Biz oxirgi daqiqagacha faqat maxraj bilan ishlaymiz. Biz u erda turgan logarifmning asosini va argumentini kuchlar shaklida taqdim etdik va ko'rsatkichlarni olib tashladik - biz "uch qavatli" kasrni oldik.

Endi asosiy kasrni ko'rib chiqaylik. Numerator va maxraj bir xil sonni o'z ichiga oladi: log 2 7. Log 2 7 ≠ 0 bo'lgani uchun biz kasrni kamaytirishimiz mumkin - 2/4 maxrajda qoladi. Arifmetika qoidalariga ko'ra, to'rttani hisoblagichga o'tkazish mumkin, bu bajarilgan. Natijada javob bo'ldi: 2.

Yangi poydevorga o'tish

Logarifmlarni qo'shish va ayirish qoidalari haqida gapirganda, ular faqat bir xil asoslar bilan ishlashini alohida ta'kidladim. Agar sabablar boshqacha bo'lsa-chi? Agar ular bir xil sonning aniq kuchlari bo'lmasa-chi?

Yangi poydevorga o'tish uchun formulalar yordamga keladi. Keling, ularni teorema shaklida tuzamiz:

Logarifm jurnali berilsin a x. Keyin istalgan raqam uchun c shu kabi c> 0 va c≠ 1, tenglik to'g'ri:

[Rasm uchun sarlavha]

Xususan, agar biz qo'ysak c = x, biz olamiz:

[Rasm uchun sarlavha]

Ikkinchi formuladan kelib chiqadiki, logarifmning asosi va argumenti almashtirilishi mumkin, ammo bu holda butun ifoda "aylantiriladi", ya'ni. logarifm maxrajda ko'rinadi.

Bu formulalar oddiy sonli ifodalarda kam uchraydi. Ularning qanchalik qulayligini faqat qaror qabul qilish orqali baholash mumkin logarifmik tenglamalar va tengsizliklar.

Biroq, yangi poydevorga o'tishdan tashqari, umuman hal qilib bo'lmaydigan muammolar mavjud. Keling, ulardan bir nechtasini ko'rib chiqaylik:

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log 5 16 log 2 25.

E'tibor bering, ikkala logarifmning argumentlari aniq kuchlarni o'z ichiga oladi. Keling, ko'rsatkichlarni chiqaramiz: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Endi ikkinchi logarifmni “teskari” qilaylik:

Faktorlarni qayta tartibga solishda mahsulot o'zgarmasligi sababli, biz xotirjamlik bilan to'rt va ikkitani ko'paytirdik va keyin logarifmlar bilan ishladik.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log 9 100 lg 3.

Birinchi logarifmning asosi va argumenti aniq kuchlardir. Keling, buni yozamiz va ko'rsatkichlardan xalos bo'laylik:

Endi yangi bazaga o'tish orqali o'nlik logarifmdan xalos bo'laylik:

Asosiy logarifmik identifikatsiya

Ko'pincha yechim jarayonida raqamni berilgan asosga logarifm sifatida ko'rsatish kerak bo'ladi. Bunday holda, quyidagi formulalar bizga yordam beradi:

Birinchi holda, raqam n argumentda turgan daraja ko'rsatkichiga aylanadi. Raqam n mutlaqo hamma narsa bo'lishi mumkin, chunki bu faqat logarifm qiymati.

Ikkinchi formula aslida tarjima qilingan ta'rifdir. Bu shunday deyiladi: asosiy logarifmik identifikatsiya.

Aslida, raqam bo'lsa, nima bo'ladi b raqamni shunday kuchga ko'taring b bu kuchga raqamni beradi a? To'g'ri: siz xuddi shu raqamni olasiz a. Ushbu xatboshini yana diqqat bilan o'qing - ko'p odamlar unga yopishib olishadi.

Yangi bazaga o'tish formulalari singari, asosiy logarifmik identifikatsiya ba'zan yagona mumkin bo'lgan yechimdir.

Vazifa. Ifodaning ma'nosini toping:

[Rasm uchun sarlavha]

E'tibor bering, log 25 64 = log 5 8 - oddiygina kvadratni logarifmning asosi va argumentidan oldi. Quvvatlarni bir xil asos bilan ko'paytirish qoidalarini hisobga olgan holda, biz quyidagilarni olamiz:

Agar kimdir bilmasa, bu yagona davlat imtihonidan olingan haqiqiy vazifa edi :)

Logarifmik birlik va logarifmik nol

Xulosa qilib aytganda, men xususiyatlar deb atash qiyin bo'lgan ikkita identifikatsiyani beraman - aksincha, ular logarifm ta'rifining oqibatlari. Ular doimo muammolarda paydo bo'ladi va ajablanarlisi shundaki, hatto "ilg'or" talabalar uchun ham muammolarni keltirib chiqaradi.

1. jurnal a a= 1 - logarifmik birlik. Bir marta va umuman eslab qoling: har qanday bazaga logarifm a shu asosdan bittaga teng.
2. jurnal a 1 = 0 - logarifmik nol. Baza a har qanday bo'lishi mumkin, lekin agar argument bitta bo'lsa, logarifm nolga teng! Chunki a 0 = 1 bevosita oqibati ta'rifdan.

Bu barcha xususiyatlar. Ularni amalda qo'llashni mashq qiling! Dars boshida cheat varag'ini yuklab oling, uni chop eting va muammolarni hal qiling.

Uning ta'rifidan kelib chiqadi. Shunday qilib, raqamning logarifmi b asoslangan A sonni ko'tarish kerak bo'lgan ko'rsatkich sifatida aniqlanadi a raqamni olish uchun b(logarifm faqat musbat raqamlar uchun mavjud).

Bu formuladan kelib chiqadiki, hisoblash x=log a b, tenglamani yechishga teng a x = b. Masalan, log 2 8 = 3 chunki 8 = 2 3 . Logarifmning formulasi agar ekanligini asoslashga imkon beradi b=a c, keyin raqamning logarifmi b asoslangan a teng Bilan. Bundan tashqari, logarifmlar mavzusi sonning darajalari mavzusi bilan chambarchas bog'liqligi aniq.

Logarifmlar bilan, har qanday raqamlarda bo'lgani kabi, buni qilishingiz mumkin qo`shish, ayirish amallari va har tomonlama o'zgartiring. Ammo logarifmlar butunlay oddiy raqamlar emasligi sababli, bu erda o'zlarining maxsus qoidalari qo'llaniladi, ular deyiladi. asosiy xususiyatlar.

Logarifmlarni qo‘shish va ayirish.

Bir xil asoslarga ega ikkita logarifmni olaylik: log a x Va log a y. Keyin qo'shish va ayirish amallarini bajarish mumkin:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = log a x 1 + log a x 2 + log a x 3 + ... + log a x k.

Kimdan logarifm qism teoremasi Logarifmning yana bir xususiyatini olish mumkin. Jurnalga kirish hammaga ma'lum a 1= 0, shuning uchun

jurnal a 1 /b=log a 1 - jurnal a b= -log a b.

Bu tenglik mavjudligini anglatadi:

log a 1 / b = - log a b.

Ikki o'zaro sonning logarifmlari bir xil sababga ko'ra bir-biridan faqat belgi bilan farqlanadi. Shunday qilib:

Jurnal 3 9= - log 3 1/9; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

Ibtidoiy darajadagi algebraning elementlaridan biri logarifmdir. Ism dan keladi yunon tili"raqam" yoki "kuch" so'zidan kelib chiqadi va yakuniy raqamni topish uchun bazadagi raqamni ko'tarish darajasini bildiradi.

Logarifmlarning turlari

• log a b – b sonining a asosiga logarifmi (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• log b - o'nlik logarifm(10 asosga logarifm, a = 10);
• ln b – natural logarifm (e asosiga logarifm, a = e).

Logarifmlarni qanday yechish mumkin?

b ning a asosining logarifmi ko'rsatkich bo'lib, b ni a asosga ko'tarishni talab qiladi. Olingan natija shunday talaffuz qilinadi: "b ning a asosiga logarifmi". Logarifmik masalalarning yechimi shundan iboratki, ko'rsatilgan sonlardan raqamlarda berilgan quvvatni aniqlash kerak. Logarifmni aniqlash yoki echish, shuningdek, belgining o'zini o'zgartirish uchun ba'zi asosiy qoidalar mavjud. Ulardan foydalanib logarifmik tenglamalar yechiladi, hosilalar topiladi, integrallar yechiladi va boshqa ko‘plab amallar bajariladi. Asosan, logarifmning o'zi yechimi uning soddalashtirilgan yozuvidir. Quyida asosiy formulalar va xususiyatlar keltirilgan:

Har qanday a uchun; a > 0; a ≠ 1 va har qanday x uchun; y > 0.

• a log a b = b - asosiy logarifmik identifikatsiya
• log a 1 = 0
• loga a = 1
• log a (x y) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x, k ≠ 0 uchun
• log a x = log a c x c
• log a x = log b x/ log b a – yangi bazaga o'tish formulasi
• log a x = 1/log x a

Logarifmlarni qanday echish kerak - hal qilish bo'yicha bosqichma-bosqich ko'rsatmalar

• Birinchidan, kerakli tenglamani yozing.

Iltimos, diqqat qiling: agar asosiy logarifm 10 bo'lsa, u holda yozuv qisqartiriladi, natijada o'nlik logarifm hosil bo'ladi. Agar arziydigan bo'lsa natural son e, keyin biz uni tabiiy logarifmga qisqartirib yozamiz. Bu shuni anglatadiki, barcha logarifmlarning natijasi b sonini olish uchun asosiy raqam ko'tarilgan kuchdir.

To'g'ridan-to'g'ri, yechim bu darajani hisoblashda yotadi. Ifodani logarifm bilan yechishdan oldin uni qoida bo‘yicha, ya’ni formulalar yordamida soddalashtirish kerak. Maqolada bir oz orqaga qaytib, asosiy identifikatorlarni topishingiz mumkin.

Ikki xil sonli, lekin asoslari bir xil boʻlgan logarifmlarni qoʻshish va ayirishda, mos ravishda b va c sonlarining koʻpaytmasi yoki boʻlinishi bilan bitta logarifm bilan almashtiring. Bunday holda, siz boshqa bazaga o'tish uchun formulani qo'llashingiz mumkin (yuqoriga qarang).

Agar logarifmni soddalashtirish uchun iboralardan foydalansangiz, ba'zi cheklovlarni hisobga olish kerak. Va bu: a logarifmasining asosi faqat ijobiy son, lekin bittaga teng emas. b soni, a kabi, noldan katta bo'lishi kerak.

Shunday holatlar mavjudki, ifodani soddalashtirib, logarifmni raqamli hisoblab chiqa olmaysiz. Bunday iboraning ma'nosi yo'q, chunki ko'p kuchlar irratsional sonlardir. Ushbu shartda raqamning kuchini logarifm sifatida qoldiring.

Maxfiyligingizni saqlash biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik amaliyotlarimizni ko'rib chiqing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.

Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish

Shaxsiy ma'lumotlar ma'lum bir shaxsni aniqlash yoki unga murojaat qilish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi.

Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin.

Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligiga ba'zi misollar keltirilgan.

Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni yig'amiz:

• Saytda ariza topshirganingizda, biz sizning ismingiz, telefon raqamingiz, manzilingiz kabi turli xil ma'lumotlarni to'plashimiz mumkin Elektron pochta va hokazo.

Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:

• Biz to'playdigan shaxsiy ma'lumotlar noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va kelgusi tadbirlar haqida siz bilan bog'lanishimizga imkon beradi.
• Vaqti-vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim xabarlar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin.
• Shuningdek, biz shaxsiy ma'lumotlardan biz taqdim etayotgan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish uchun auditlar, ma'lumotlarni tahlil qilish va turli tadqiqotlar o'tkazish kabi ichki maqsadlarda foydalanishimiz mumkin.
• Agar siz sovrinlar o'yinida, tanlovda yoki shunga o'xshash aksiyada ishtirok etsangiz, biz siz taqdim etgan ma'lumotlardan bunday dasturlarni boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin.

Ma'lumotni uchinchi shaxslarga oshkor qilish

Biz sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz.

Istisnolar:

• Agar kerak bo'lsa - qonun hujjatlariga muvofiq, sud tartibida, sud jarayonida va / yoki Rossiya Federatsiyasi hududidagi davlat organlarining so'rovlari yoki so'rovlari asosida shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qilish. Shuningdek, biz siz haqingizdagi ma'lumotlarni oshkor qilishimiz mumkin, agar bunday oshkor qilish xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish yoki boshqa jamoat ahamiyatiga ega bo'lgan maqsadlar uchun zarur yoki mos ekanligini aniqlasak.
• Qayta tashkil etish, qo'shilish yoki sotilgan taqdirda, biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli vorisi uchinchi shaxsga o'tkazishimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va noto'g'ri foydalanish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz.

Shaxsiy hayotingizni kompaniya darajasida hurmat qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsizligini ta'minlash uchun biz maxfiylik va xavfsizlik standartlarini xodimlarimizga yetkazamiz va maxfiylik amaliyotlarini qat'iy tatbiq qilamiz.

Natural logarifmning asosiy xossalari, grafik, aniqlanish sohasi, qiymatlar to‘plami, asosiy formulalar, hosila, integral, kengayish. quvvat seriyasi va ln x funksiyani kompleks sonlar yordamida tasvirlash.

Ta'rif

Tabiiy logarifm y = funktsiyasidir ln x, ko'rsatkichning teskarisi, x = e y va e sonining asosining logarifmi: ln x = log e x.

Tabiiy logarifm matematikada keng qo'llaniladi, chunki uning hosilasi eng oddiy shaklga ega: (ln x)' = 1/ x.

Asoslangan ta'riflar, natural logarifmning asosi sondir e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

y = funksiyaning grafigi ln x.

Natural logarifm grafigi (y = ln x) ko'rsatkichli grafikdan y = x to'g'ri chiziqqa nisbatan oynada aks etish orqali olinadi.

Tabiiy logarifm da belgilangan ijobiy qadriyatlar o'zgaruvchan x. U o'z ta'rifi sohasida monoton ravishda ortadi.

x → da 0 natural logarifmning chegarasi minus cheksizlik (-∞).

X → + ∞ sifatida natural logarifmning chegarasi plyus cheksizlikdir (+ ∞). Katta x uchun logarifm juda sekin ortadi. Har qanday quvvat funktsiyasi x a bilan ijobiy ko'rsatkich a darajasi logarifmadan tezroq o'sadi.

Natural logarifmning xossalari

Ta'rif sohasi, qiymatlar to'plami, ekstremal, o'sish, pasayish

Tabiiy logarifm monoton ravishda ortib boruvchi funktsiyadir, shuning uchun u ekstremalga ega emas. Tabiiy logarifmning asosiy xossalari jadvalda keltirilgan.

ln x qiymatlari

ln 1 = 0

Tabiiy logarifmlar uchun asosiy formulalar

Teskari funktsiya ta'rifidan kelib chiqadigan formulalar:

Logarifmlarning asosiy xossasi va uning oqibatlari

Asosiy almashtirish formulasi

Har qanday logarifm tabiiy logarifmlar bilan asosiy almashtirish formulasi yordamida ifodalanishi mumkin:

Ushbu formulalarning isbotlari "Logarifm" bo'limida keltirilgan.

Teskari funksiya

Natural logarifmning teskari ko‘rsatkichi ko‘rsatkichdir.

Agar , keyin

Agar, keyin.

Hosil ln x

Natural logarifmning hosilasi:
.
X modulining natural logarifmining hosilasi:
.
n-tartibning hosilasi:
.
Formulalarni chiqarish > > >

Integral

Integral qismlar bo'yicha integrallash orqali hisoblanadi:
.
Shunday qilib,

Kompleks sonlar yordamida ifodalar

z kompleks o‘zgaruvchining funksiyasini ko‘rib chiqing:
.
Kompleks o‘zgaruvchini ifodalaylik z modul orqali r va argument φ :
.
Logarifmning xususiyatlaridan foydalanib, biz quyidagilarga ega bo'lamiz:
.
Yoki
.
ph argumenti yagona aniqlanmagan. Agar qo'ysangiz
, bu yerda n butun son,
u har xil n uchun bir xil raqam bo'ladi.

Demak, natural logarifm murakkab o‘zgaruvchining funksiyasi sifatida bir qiymatli funksiya emas.

Quvvat seriyasining kengayishi

Kengaytirish qachon sodir bo'ladi:

Adabiyotlar:
I.N. Bronshteyn, K.A. Semendyaev, muhandislar va kollej talabalari uchun matematika bo'yicha qo'llanma, "Lan", 2009 yil.