uy-Quyonlar-Kasrlar bilan amallar 4 qanday yechish kerak. Oddiy kasrlarni ayirish. Ijobiy va manfiy kasrlar

Kasrlar bilan amallar 4 qanday yechish kerak. Oddiy kasrlarni ayirish. Ijobiy va manfiy kasrlar

Ushbu maqola kasrlar ustida amallarni ko'rib chiqadi. A B ko'rinishdagi kasrlarni qo'shish, ayirish, ko'paytirish, bo'lish yoki darajaga ko'tarish qoidalari shakllantiriladi va asoslanadi, bunda A va B raqamlar, sonli ifodalar yoki o'zgaruvchili ifodalar bo'lishi mumkin. Xulosa qilib, batafsil tavsiflangan echimlar misollari ko'rib chiqiladi.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Umumiy sonli kasrlar bilan amallarni bajarish qoidalari

Raqamli kasrlar umumiy ko'rinish bor soni va maxraji bor butun sonlar yoki raqamli ifodalar. Agar 3 5, 2, 8 4, 1 + 2 3 4 (5 - 2), 3 4 + 7 8 2, 3 - 0, 8, 1 2 2, p 1 - 2 3 + p kabi kasrlarni ko'rib chiqsak, 2 0, 5 ln 3 bo'lsa, u holda pay va maxraj nafaqat raqamlarga, balki har xil turdagi ifodalarga ham ega bo'lishi mumkinligi aniq.

Ta'rif 1

Oddiy kasrlar bilan operatsiyalarni bajarish qoidalari mavjud. U umumiy fraktsiyalar uchun ham javob beradi:

  • O'xshash maxrajli kasrlarni ayirishda faqat sonlar qo'shiladi va maxraj bir xil bo'lib qoladi, ya'ni: a d ± c d = a ± c d, a, c va d ≠ 0 qiymatlari ba'zi raqamlar yoki sonli ifodalardir.
  • maxrajlari har xil bo'lgan kasrni qo'shish yoki ayirishda uni umumiy maxrajga kamaytirish, so'ngra ko'rsatkichlari bir xil bo'lgan kasrlarni qo'shish yoki ayirish kerak. Bu tom ma'noda shunday ko'rinadi: a b ± c d = a · p ± c · r s, bu erda a, b ≠ 0, c, d ≠ 0, p ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0 qiymatlari haqiqiy sonlar, va b · p = d · r = s. p = d va r = b bo'lganda, a b ± c d = a · d ± c · d b · d.
  • Kasrlarni ko'paytirishda harakat hisoblagichlar bilan amalga oshiriladi, undan keyin maxrajlar bilan, keyin biz b · c d = a · c b · d olamiz, bu erda a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 haqiqiy sonlar rolini o'ynaydi.
  • Kasrni kasrga bo'lishda birinchisini ikkinchi teskari qismga ko'paytiramiz, ya'ni son va maxrajni almashtiramiz: a b: c d = a b · d c.

Qoidalar uchun asoslar

Ta'rif 2

Hisoblashda siz tayanishingiz kerak bo'lgan quyidagi matematik nuqtalar mavjud:

  • qiyshiq chiziq bo'linish belgisini bildiradi;
  • songa bo'lish uning o'zaro qiymatiga ko'paytirish sifatida qaraladi;
  • haqiqiy sonlar bilan amallar xossasini qo'llash;
  • kasrlar va sonli tengsizliklarning asosiy xossasini qo'llash.

Ularning yordami bilan siz shaklni o'zgartirishingiz mumkin:

a d ± c d = a · d - 1 ± c · d - 1 = a ± c · d - 1 = a ± c d; a b ± c d = a · p b · p ± c · r d · r = a · p s ± c · e s = a · p ± c · r s; a b · c d = a · d b · d · b · c b · d = a · d · a · d - 1 · b · c · b · d - 1 = = a · d · b · c · b · d - 1 · b · d - 1 = a · d · b · c b · d · b · d - 1 = = (a · c) · (b · d) - 1 = a · c b · d

Misollar

Oldingi paragrafda kasrlar bilan operatsiyalar haqida aytilgan edi. Shundan so'ng fraktsiyani soddalashtirish kerak. Ushbu mavzu kasrlarni konvertatsiya qilish bo'yicha paragrafda batafsil muhokama qilindi.

Birinchidan, bir xil maxrajli kasrlarni qo‘shish va ayirish misolini ko‘rib chiqamiz.

1-misol

8 2, 7 va 1 2, 7 kasrlarni hisobga olgan holda, qoidaga ko'ra, hisoblagichni qo'shish va maxrajni qayta yozish kerak.

Yechim

Keyin 8 + 1 2, 7 shaklining bir qismini olamiz. Qo'shishni amalga oshirgandan so'ng, biz 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3 ko'rinishdagi kasrni olamiz. Demak, 8 2, 7 + 1 2, 7 = 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3.

Javob: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

Yana bir yechim bor. Boshlash uchun biz oddiy kasr shakliga o'tamiz, shundan so'ng biz soddalashtirishni amalga oshiramiz. Bu shunday ko'rinadi:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

2-misol

1 - 2 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 dan 2 3 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 ko'rinishdagi kasrni ayiraylik.

Teng maxrajlar berilganligi sababli, biz bir xil maxrajli kasrni hisoblaymiz. Biz buni tushunamiz

1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1

Bilan kasrlarni hisoblash misollari mavjud turli denominatorlar. Muhim nuqta - umumiy maxrajga qisqartirish. Busiz biz amalga oshira olmaymiz keyingi harakatlar kasrlar bilan.

Jarayon umumiy maxrajga qisqarishni noaniq eslatadi. Ya'ni, maxrajdagi eng kichik umumiy bo'luvchi qidiriladi, shundan so'ng etishmayotgan omillar kasrlarga qo'shiladi.

Agar qo'shilayotgan kasrlar umumiy omillarga ega bo'lmasa, ularning mahsuloti bitta bo'lishi mumkin.

3-misol

Keling, 2 3 5 + 1 va 1 2 kasrlarni qo'shish misolini ko'rib chiqaylik.

Yechim

Bunda umumiy maxraj maxrajlarning hosilasi hisoblanadi. Keyin biz 2 · 3 5 + 1 ni olamiz. Keyin, qo'shimcha omillarni o'rnatishda biz birinchi kasr uchun u 2 ga, ikkinchisi uchun esa 3 5 + 1 ga teng bo'ladi. Ko'paytirishdan keyin kasrlar 4 2 · 3 5 + 1 ko'rinishiga keltiriladi. 1 2 ning umumiy qisqarishi 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 bo'ladi. Olingan kasr iboralarni qo'shamiz va buni olamiz

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Javob: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Umumiy kasrlar bilan shug'ullanadigan bo'lsak, biz odatda eng kichik umumiy maxraj haqida gapirmaymiz. Numeratorlarning ko'paytmasini maxraj sifatida qabul qilish foydasiz. Avval siz ularning mahsulotidan kamroq qiymatga ega bo'lgan raqam mavjudligini tekshirishingiz kerak.

4-misol

1 6 · 2 1 5 va 1 4 · 2 3 5 misolini ko'rib chiqamiz, bunda ularning ko'paytmasi 6 · 2 1 5 · 4 · 2 3 5 = 24 · 2 4 5 ga teng bo'ladi. Keyin umumiy maxraj sifatida 12 · 2 3 5 ni olamiz.

Keling, umumiy kasrlarni ko'paytirish misollarini ko'rib chiqaylik.

5-misol

Buning uchun 2 + 1 6 va 2 · 5 3 · 2 + 1 ni ko'paytirish kerak.

Yechim

Qoidaga rioya qilgan holda, hisoblagichlarning ko'paytmasini maxraj sifatida qayta yozish va yozish kerak. Biz 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1 ni olamiz. Kasr ko'paytirilgandan so'ng, uni soddalashtirish uchun qisqartirishlar qilishingiz mumkin. Keyin 5 · 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 · 3 3 2 + 1 · 9 3 10.

O'zaro kasrga bo'linishdan ko'paytirishga o'tish qoidasidan foydalanib, biz berilgan kasrga o'zaro bo'lgan kasrni olamiz. Buning uchun pay va maxraj almashtiriladi. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

Keyin ular hosil bo'lgan kasrni ko'paytirishi va soddalashtirishi kerak. Agar kerak bo'lsa, denominatordagi mantiqsizlikdan xalos bo'ling. Biz buni tushunamiz

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

Javob: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

Ushbu band son yoki raqamli ifodani maxraji 1 ga teng bo'lgan kasr sifatida ifodalash mumkin bo'lganda qo'llaniladi, keyin bunday kasr bilan operatsiya alohida paragraf hisoblanadi. Masalan, 1 6 · 7 4 - 1 · 3 ifodasi 3 ning ildizini boshqa 3 1 ifoda bilan almashtirish mumkinligini ko'rsatadi. Keyin bu yozuv 1 6 · 7 4 - 1 · 3 = 1 6 · 7 4 - 1 · 3 1 ko'rinishidagi ikkita kasrni ko'paytirishga o'xshaydi.

Tarkibida o‘zgaruvchilar bo‘lgan kasrlar ustida amallarni bajarish

Birinchi maqolada ko'rib chiqilgan qoidalar o'zgaruvchilarni o'z ichiga olgan kasrlar bilan operatsiyalar uchun qo'llaniladi. Maxrajlar bir xil bo'lganda ayirish qoidasini ko'rib chiqing.

A, C va D (D nolga teng emas) har qanday ifoda bo'lishi mumkinligini isbotlash kerak va A D ± C D = A ± C D tengligi uning ruxsat etilgan qiymatlar diapazoniga ekvivalentdir.

ODZ o'zgaruvchilari to'plamini olish kerak. Keyin A, C, D mos keladigan qiymatlarni olishlari kerak a 0 , c 0 va d 0. A D ± C D shaklini almashtirish natijasida a 0 d 0 ± c 0 d 0 ko'rinishdagi farq paydo bo'ladi, bu erda qo'shish qoidasidan foydalanib, a 0 ± c 0 d 0 ko'rinishdagi formulani olamiz. Agar A ± C D ifodasini almashtirsak, a 0 ± c 0 d 0 ko'rinishdagi bir xil kasrni olamiz. Bu erdan biz ODZ, A ± C D va A D ± C D ni qanoatlantiradigan tanlangan qiymat teng deb hisoblanadi degan xulosaga kelamiz.

O'zgaruvchilarning har qanday qiymati uchun bu ifodalar teng bo'ladi, ya'ni ular bir xil teng deb ataladi. Bu shuni anglatadiki, bu ifoda A D ± C D = A ± C D ko'rinishidagi isbotlanadigan tenglik hisoblanadi.

O'zgaruvchili kasrlarni qo'shish va ayirishga misollar

Agar sizda bir xil maxrajlar mavjud bo'lsa, siz faqat sonlarni qo'shishingiz yoki ayirishingiz kerak. Bu fraktsiyani soddalashtirish mumkin. Ba'zan siz bir xil darajada teng bo'lgan kasrlar bilan ishlashingiz kerak bo'ladi, lekin birinchi qarashda bu sezilmaydi, chunki ba'zi o'zgarishlarni amalga oshirish kerak. Masalan, x 2 3 x 1 3 + 1 va x 1 3 + 1 2 yoki 1 2 sin 2 a va sin a cos a. Ko'pincha, bir xil maxrajlarni ko'rish uchun asl iborani soddalashtirish talab qilinadi.

6-misol

Hisoblang: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1.

Yechim

  1. Hisoblash uchun siz bir xil maxrajga ega bo'lgan kasrlarni ayirishingiz kerak. Keyin biz x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 ni olamiz. Shundan so'ng siz qavslarni kengaytirishingiz va shunga o'xshash shartlarni qo'shishingiz mumkin. Biz x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2 ni olamiz.
  2. Maxrajlar bir xil bo‘lgani uchun, maxrajni qoldirib, sonlarni qo‘shishgina qoladi: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x) + 2)
    Qo'shish tugallandi. Fraksiyani kamaytirish mumkinligini ko'rish mumkin. Uning numeratorini yig'indining kvadrati formulasi yordamida katlamak mumkin, keyin biz (l g x + 2) 2 ni olamiz. qisqartirilgan ko'paytirish formulalaridan. Keyin biz buni olamiz
    l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
  3. Har xil maxrajli x - 1 x - 1 + x x + 1 ko'rinishdagi kasrlar berilgan. Transformatsiyadan so'ng siz qo'shimchaga o'tishingiz mumkin.

Keling, ikki tomonlama yechimni ko'rib chiqaylik.

Birinchi usul shundan iboratki, birinchi kasrning maxraji kvadratlar yordamida koeffitsientlarga ajratiladi, keyinchalik uni qisqartiradi. Biz shaklning bir qismini olamiz

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

Shunday qilib, x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1.

Bunda maxrajdagi mantiqsizlikdan qutulish kerak.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Ikkinchi usul - ikkinchi kasrning soni va maxrajini x - 1 ifodasiga ko'paytirish. Shunday qilib, biz irratsionallikdan xalos bo'lamiz va bir xil maxrajli kasrlarni qo'shishga o'tamiz. Keyin

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Javob: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x · x - x x - 1.

Oxirgi misolda biz umumiy maxrajga qisqarish muqarrar ekanligini aniqladik. Buning uchun kasrlarni soddalashtirish kerak. Qo'shish yoki ayirish uchun siz doimo izlashingiz kerak umumiy maxraj, bu maxrajlarning ko'paytmasiga o'xshaydi, bu esa sanoqlarga qo'shilgan qo'shimcha omillar bilan.

7-misol

Kasrlarning qiymatlarini hisoblang: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) (2 x - 4) , 3) ​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

Yechim

  1. Maxraj murakkab hisob-kitoblarni talab qilmaydi, shuning uchun siz ularning 3 x 7 + 2 · 2 ko'rinishidagi mahsulotini tanlashingiz kerak, keyin qo'shimcha omil sifatida birinchi kasr uchun x 7 + 2 · 2 ni, ikkinchisi uchun 3 ni tanlang. Ko'paytirishda biz x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 ko'rinishidagi kasrni olamiz. x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
  2. Ko'rinib turibdiki, maxrajlar mahsulot ko'rinishida taqdim etilgan, ya'ni qo'shimcha transformatsiyalar kerak emas. Umumiy maxraj x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 ko'rinishdagi ko'paytma sifatida qabul qilinadi. Shunday qilib, x 4 birinchi kasrga qo'shimcha omil va ln (x + 1) ikkinchisiga. Keyin ayirib, olamiz:
    x + 1 x · ln 2 (x + 1) · 2 x - 4 - sin x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x + 1 · x 4 x 5 · ln 2 (x + 1) ) · 2 x - 4 - sin x · ln x + 1 x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​​​x - 4) = = x + 1 · x 4 - sin x · ln (x + 1) ) x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​​​x - 4) = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2x - 4)
  3. Bu misol kasr maxrajlari bilan ishlashda mantiqiydir. Kvadratlar va yig'indi kvadratining farqi uchun formulalarni qo'llash kerak, chunki ular 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x +) ko'rinishidagi ifodaga o'tishga imkon beradi. x) 2. Ko'rinib turibdiki, kasrlar umumiy maxrajga keltiriladi. Biz cos x - x · cos x + x 2 ni olamiz.

Keyin biz buni olamiz

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x 2

Javob:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2 x - 4) , 3) ​​​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 · cos x · x + x = 2 · cos x cos x - x · cos x + x 2.

O'zgaruvchilar bilan kasrlarni ko'paytirishga misollar

Kasrlarni ko'paytirishda hisob raqamga, maxraj esa maxrajga ko'paytiriladi. Keyin kamaytirish xususiyatini qo'llashingiz mumkin.

8-misol

X + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1 va 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin 2 · x - x kasrlarni ko'paytiring.

Yechim

Ko'paytirishni amalga oshirish kerak. Biz buni tushunamiz

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 gunoh (2 x - x)

Hisoblash qulayligi uchun 3 raqami birinchi o'ringa ko'chiriladi va siz kasrni x 2 ga kamaytirishingiz mumkin, keyin biz shaklning ifodasini olamiz

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)

Javob: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 · ln x + 1 · gunoh (2 · x - x) .

Bo'lim

Kasrlarni bo'lish ko'paytirishga o'xshaydi, chunki birinchi kasr ikkinchi o'zaro ko'paytiriladi. Masalan, x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 kasrni olib, 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x ga bo'linadigan bo'lsak, uni quyidagicha yozish mumkin.

x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1: 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin (2 · x - x) , keyin x + 2 · x ko'paytmasi bilan almashtiring 2 · ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x)

Ko'rsatkichlar

Keling, darajali umumiy kasrlar bilan amallarni ko'rib chiqishga o'tamiz. Agar tabiiy ko'rsatkichli kuch mavjud bo'lsa, u holda harakat teng kasrlarni ko'paytirish deb hisoblanadi. Ammo darajalarning xususiyatlariga asoslangan umumiy yondashuvdan foydalanish tavsiya etiladi. Har qanday A va C ifodalari, bu erda C bir xil nolga teng bo'lmagan va A C r ko'rinishdagi ifoda uchun ODZdagi har qanday haqiqiy r A C r = A r C r tenglik o'rinlidir. Natijada kuchga ko'tarilgan kasr hosil bo'ladi. Masalan, ko'rib chiqing:

x 0, 7 - p · ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2, 5 = = x 0, 7 - p · ln 3 x - 2 - 5 2, 5 x + 1 2, 5

Kasrlar bilan amallarni bajarish tartibi

Kasrlar bo'yicha operatsiyalar ma'lum qoidalarga muvofiq amalga oshiriladi. Amalda biz ifodada bir nechta kasr yoki kasr iboralar bo'lishi mumkinligini ko'ramiz. Keyin barcha harakatlarni qat'iy tartibda bajarish kerak: kuchga ko'taring, ko'paytiring, bo'ling, so'ngra qo'shing va olib tashlang. Qavslar mavjud bo'lsa, birinchi harakat ular ichida amalga oshiriladi.

9-misol

1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x ni hisoblang.

Yechim

Bizda bir xil maxraj bor, keyin 1 - x cos x va 1 c o s x, lekin ayirishlarni qoida bo'yicha bajarish mumkin emas, birinchi navbatda qavs ichidagi amallar, keyin ko'paytirish va qo'shish amalga oshiriladi; Keyin hisoblashda biz buni olamiz

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

Ifodani asl iboraga almashtirsak, 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x ni olamiz. Kasrlarni ko'paytirishda bizda: 1 cos x · x + 1 x = x + 1 cos x · x. Barcha almashtirishlarni amalga oshirib, biz 1 - x cos x - x + 1 cos x · x ni olamiz. Endi siz turli xil maxrajlarga ega bo'lgan kasrlar bilan ishlashingiz kerak. Biz olamiz:

x · 1 - x cos x · x - x + 1 cos x · x = x · 1 - x - 1 + x cos x · x = = x - x - x - 1 cos x · x = - x + 1 cos x x

Javob: 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x = - x + 1 cos x · x.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing

496. Toping X, Agar:

497. 1) Noma’lum sonning 3/10 qismiga 10 1/2 qo‘shsangiz, 13 1/2 ni olasiz. Noma'lum raqamni toping.

2) Agar noma'lum sonning 7/10 qismidan 10 1/2 ni ayirsangiz, siz 15 2/5 olasiz. Noma'lum raqamni toping.

498 *. Noma'lum sonning 3/4 qismidan 10 ni ayirib, hosil bo'lgan farqni 5 ga ko'paytirsangiz, siz 100 ni olasiz. Raqamni toping.

499 *. Noma’lum sonni uning 2/3 qismiga ko‘paytirsangiz, 60 bo‘ladi. Bu qanday raqam?

500 *. Agar siz noma'lum raqamga bir xil miqdorni qo'shsangiz, shuningdek, 20 1/3, siz 105 2/5 olasiz. Noma'lum raqamni toping.

501. 1) Kvadrat klasterli ekishda kartoshka hosildorligi gektariga oʻrtacha 150 sentnerni, oddiy ekishda esa bu miqdorning 3/5 qismini tashkil qiladi. Kvadrat-klaster usulida kartoshka ekilsa, 15 gektar maydondan yana qancha kartoshka olish mumkin?

2) Tajribali ishchi 1 soatda 18 ta detal ishlab chiqargan, tajribasiz ishchi esa bu miqdorning 2/3 qismini ishlab chiqargan. Tajribali ishchi 7 soatlik sutkada yana nechta detal ishlab chiqarishi mumkin?

502. 1) Kashshoflar uch kun davomida 56 kg turli urug'larni yig'ishdi. Birinchi kuni umumiy miqdorning 3/14 qismi, ikkinchi kuni bir yarim barobar ko'p, uchinchi kuni esa qolgan don yig'ib olindi. Uchinchi kuni kashshoflar necha kilogramm urug' yig'ishdi?

2) Bug'doyni maydalashda natija: bug'doyning umumiy miqdorining 4/5 qismi, irmik - undan 40 baravar kam, qolgan qismi esa kepak edi. 3 t bug'doyni maydalaganda qancha un, irmik va kepak alohida ishlab chiqarilgan?

503. 1) Uchta garaj 460 ta mashinani sig'dira oladi. Birinchi garajga to'g'ri keladigan avtomobillar soni ikkinchisiga sig'adigan mashinalar sonining 3/4 qismini tashkil qiladi, uchinchi garajda esa birinchisiga qaraganda 1 1/2 marta ko'p mashinalar mavjud. Har bir garajga nechta mashina to'g'ri keladi?

2) Uchta ustaxonaga ega zavodda 6000 ishchi ishlaydi. Ikkinchi tsexda ishchilar birinchisiga nisbatan 1 1/2 marta kam, uchinchi tsexdagi ishchilar soni esa ikkinchi sexdagi ishchilar sonining 5/6 qismini tashkil qiladi. Har bir ustaxonada nechta ishchi bor?

504. 1) Kerosin solingan idishdan avval 2/5, so'ngra umumiy kerosinning 1/3 qismi to'kilgan, shundan keyin idishda 8 tonna kerosin qolgan. Tankda dastlab qancha kerosin bor edi?

2) Velosipedchilar uch kun davomida yugurishdi. Birinchi kuni ular butun sayohatning 4/15 qismini, ikkinchi kuni - 2/5 qismini, uchinchi kuni esa qolgan 100 kmni bosib o'tishdi. Velosipedchilar uch kunda qancha masofani bosib o'tishdi?

505. 1) Muzqaymoq uch kun davomida muz maydonida kurashdi. Birinchi kuni u butun masofaning 1/2 qismini, ikkinchi kuni qolgan masofaning 3/5 qismini va uchinchi kuni qolgan 24 kmni bosib o'tdi. Muzqaymoq uch kun ichida bosib o'tgan yo'l uzunligini toping.

2) Uch guruh maktab o‘quvchilari qishloqni ko‘kalamzorlashtirish maqsadida ko‘chat o‘tqazishdi. Birinchi otryad barcha daraxtlarning 7/20 qismini, ikkinchisi qolgan 5/8 qismini, uchinchisi esa qolgan 195 ta daraxtni ekdi. Uchta jamoa jami nechta daraxt ekishdi?

506. 1) Kombayn uch kunda bir uchastkadan bug‘doy yig‘ib oldi. Birinchi kuni butun maydonning 5/18 qismidan, ikkinchi kuni qolgan maydonning 7/13 qismidan, uchinchi kuni esa qolgan 30 1/2 maydondan hosil oldi. gektar. Har gektardan o‘rtacha 20 sentnerdan bug‘doy olindi. Butun maydonda qancha bug'doy yig'ib olindi?

2) Birinchi kuni miting ishtirokchilari butun yo‘nalishning 3/11 qismini, ikkinchi kuni qolgan yo‘nalishning 7/20 qismini, uchinchi kuni yangi qoldiqning 5/13 qismini, to‘rtinchi kuni esa qolgan qismini bosib o‘tishdi. 320 km. Mitingning marshruti qancha?

507. 1) Birinchi kuni mashina butun masofaning 3/8 qismini, ikkinchi kuni birinchi kuni bosib o'tganning 15/17 qismini, uchinchi kuni esa qolgan 200 kmni bosib o'tdi. Avtomobil 10 km ga 1 3/5 kg benzin sarf qilsa, qancha benzin sarflangan?

2) Shahar to‘rt tumandan iborat. Shaharning barcha aholisining 4/13 qismi birinchi tumanda, birinchi tuman aholisining 5/6 qismi ikkinchi, birinchi tuman aholisining 4/11 qismi uchinchi tumanda yashaydi; ikkita tuman birlashtirilib, to'rtinchi tumanda 18 ming kishi yashaydi. Bir kishi kuniga o'rtacha 500 g iste'mol qilsa, butun shahar aholisi 3 kun davomida qancha nonga muhtoj?

508. 1) Turist birinchi kuni butun sayohatning 10/31 qismini, ikkinchi kuni birinchi kuni yurganining 9/10 qismini, uchinchi kuni esa qolgan yo‘lni, uchinchi kuni esa 12 qismini yurdi. km ikkinchi kunga qaraganda ko'proq. Turist har uch kunda necha kilometr yurgan?

2) Mashina A shahridan B shahrigacha bo‘lgan barcha yo‘nalishni uch kunda bosib o‘tdi. Birinchi kuni avtomobil butun masofaning 7/20 qismini, ikkinchi kuni qolgan masofaning 8/13 qismini, uchinchi kuni esa birinchi kunga nisbatan 72 km kam masofani bosib o‘tdi. A va B shaharlari orasidagi masofa qancha?

509. 1) Ijroiya qo'mitasi uchta zavod ishchilariga yer ajratdi bog 'uchastkalari. Birinchi zavodga umumiy yer uchastkalarining 9/25 qismi, ikkinchi zavodga birinchisiga ajratilgan yerlarning 5/9 qismi, uchinchisiga esa qolgan uchastkalar ajratildi. Agar birinchi zavodga uchinchisiga nisbatan 50 ta kam yer ajratilgan bo‘lsa, uchta zavod ishchilariga jami nechta uchastka ajratilgan?

2) Samolyot qishki ishchilarning smenasini etkazib berdi qutb stantsiyasi Moskvadan uch kun ichida. Birinchi kuni u butun masofaning 2/5 qismini, ikkinchi kuni esa birinchi kuni bosib o'tgan masofaning 5/6 qismini, uchinchi kuni esa ikkinchi kunga nisbatan 500 km kam uchdi. Samolyot uch kun ichida qancha masofaga uchdi?

510. 1) Zavodning uchta sexi bor edi. Birinchi sexdagi ishchilar soni zavoddagi barcha ishchilarning 2/5 qismini tashkil qiladi; ikkinchi sexda ishchilar birinchisiga nisbatan 1,2 barobar kam, uchinchi sexda esa ikkinchisiga nisbatan 100 nafarga ko'p. Zavodda nechta ishchi bor?

2) Kolxoz tarkibiga uchta qo'shni qishloq aholisi kiradi. Birinchi qishloqdagi oilalar soni kolxozdagi barcha oilalarning 3/10 qismini tashkil qiladi; ikkinchi qishloqda oilalar soni birinchisiga qaraganda 1 1/2 baravar ko'p, uchinchi qishloqda esa ikkinchisiga qaraganda 420 ta kam. Kolxozda nechta oila bor?

511. 1)Artel birinchi haftada xom ashyoning 1/3 qismini, ikkinchi haftada esa qolgan 1/3 qismini ishlatdi. Agar birinchi haftada xom ashyo sarfi ikkinchi haftaga nisbatan 3/5 t ga ko'p bo'lsa, artelda qancha xomashyo qolgan?

2) Import qilingan ko'mirning 1/6 qismi birinchi oyda uyni isitish uchun sarflangan, qolganining 3/8 qismi ikkinchi oyda. Agar ikkinchi oyda birinchi oyga nisbatan 1 3/4 ga ko'p sarflangan bo'lsa, uyni isitish uchun qancha ko'mir qoladi?

512. Kolxozning umumiy erining 3/5 qismi g'alla ekish uchun ajratilgan, qolgan 13/36 sabzavotzorlar va o'tloqlar, qolgan erlar o'rmonlar, kolxozning ekin maydoni. 217 gektar ko'proq maydon oʻrmonlar, don ekinlari uchun ajratilgan yerning 1/3 qismi javdar, qolgan qismiga bugʻdoy ekiladi. Kolxoz necha gektar yerga bug‘doy, qanchaga javdar ekdi?

513. 1) Tramvay yo'nalishi 14 3/8 km uzunlikda. Ushbu marshrut bo'ylab tramvay 18 ta to'xtash joyini tashkil qiladi va har bir to'xtash uchun o'rtacha 1 1/6 daqiqa vaqt sarflaydi. Butun yo'nalish bo'ylab tramvayning o'rtacha tezligi soatiga 12 1/2 km. Tramvay bir safar qancha vaqtni oladi?

2) Avtobus yo'nalishi 16 km. Ushbu yo'nalish bo'ylab avtobus har biri 3/4 daqiqadan iborat 36 ta to'xtash joyini tashkil qiladi. har biri o'rtacha. Avtobusning o'rtacha tezligi soatiga 30 km. Avtobus bir marshrutga qancha vaqt ketadi?

514*. 1) Hozir soat 6. kechqurunlari. Kunning qaysi qismi o'tmishdan qolgan va kunning qaysi qismi qolgan?

2) Paroxod oqim bilan ikki shahar orasidagi masofani 3 kunda bosib o‘tadi. va 4 kun ichida bir xil masofani orqaga qaytaring. Sallar bir shahardan ikkinchi shaharga quyi oqim bo'ylab necha kun suzib yuradi?

515. 1) Uzunligi 6 2/3 m, kengligi 5 1/4 m bo'lgan xonada polni yotqizish uchun qancha doska ishlatiladi, agar har bir taxtaning uzunligi 6 2/3 m va kengligi 3 / bo'lsa. uzunligi 80?

2) To'rtburchak platformaning uzunligi 45 1/2 m, kengligi esa uzunligining 5/13 qismidir. Bu maydon 4/5 m kenglikdagi yo'l bilan chegaralangan.

516. Raqamlarning o‘rtacha arifmetik qiymatini toping:

517. 1) Ikki raqamning o'rtacha arifmetik qiymati 6 1/6 ga teng. Raqamlardan biri 3 3/4 ga teng. Boshqa raqamni toping.

2) Ikki sonning o‘rtacha arifmetik qiymati 14 1/4 ga teng. Bu raqamlardan biri 15 5/6. Boshqa raqamni toping.

518. 1) Yuk poyezdi uch soat davomida yo'lda edi. Birinchi soatda u 36 1/2 km, ikkinchisida 40 km va uchinchisida 39 3/4 km masofani bosib o'tdi. Poyezdning o‘rtacha tezligini toping.

2) Avtomobil dastlabki ikki soatda 81 1/2 km, keyingi 2 1/2 soatda 95 km yo‘l bosib o‘tdi. U soatiga o'rtacha necha kilometr yurgan?

519. 1) Traktorchi yer haydash topshirig‘ini uch kunda bajardi. Birinchi kuni 12 1/2 gektar, ikkinchi kuni 15 3/4 gektar va uchinchi kuni 14 1/2 gektar yerni shudgor qildi. Traktorchi kuniga oʻrtacha necha gektar yer haydagan?

2) Bir guruh maktab o'quvchilari uch kunlik turistik sayohatni amalga oshirib, birinchi kuni 6 1/3 soat, ikkinchi kuni 7 soat yo'lda bo'lishdi. va uchinchi kuni - 4 2/3 soat. Maktab o'quvchilari kuniga o'rtacha necha soat sayohat qilishdi?

520. 1) Uyda uchta oila yashaydi. Birinchi oilada kvartirani yoritish uchun 3 ta lampochka, ikkinchisida 4 ta, uchinchisida 5 ta lampochka bor. Agar barcha lampalar bir xil bo'lsa va umumiy elektr to'lovi (butun uy uchun) 7 1/5 rubl bo'lsa, har bir oila elektr energiyasi uchun qancha to'lashi kerak?

2) Uchta oila yashaydigan xonadonda sayqallovchi pollarni parlatardi. Birinchi oila 36 1/2 kvadrat metr yashash maydoniga ega edi. m, ikkinchisi 24 1/2 kv. m, uchinchisi esa 43 kv. m. Barcha ishlar uchun 2 rubl to'langan. 08 kop. Har bir oila qancha to'lagan?

521. 1) Bog 'uchastkasida 50 tupdan 1 1/10 kg, 70 tupdan 4/5 kg, 80 tupdan 9/10 kg dan kartoshka yig'ildi. Har bir tupdan o'rtacha necha kilogramm kartoshka olinadi?

2) dala brigadasi 300 gektar maydondan kuzgi bug‘doyning 1 gektaridan 20 1/2 sentner, 80 gektardan 24 sentnergacha, 20 gektardan esa 28 1/2 sentnerdan hosil oldi. 1 ga. 1 gektarga ega bo‘lgan brigadada o‘rtacha hosil qancha?

522. 1) Ikki sonning yig'indisi 7 1/2 ga teng. Bitta raqam boshqasidan 4 4/5 ga katta. Bu raqamlarni toping.

2) Tatar va Kerch bo'g'ozlarining kengligini ifodalovchi raqamlarni qo'shsak, biz 11 7/10 km ni olamiz. Tatar bo'g'ozi Kerch bo'g'ozidan 3 1/10 km kengroqdir. Har bir bo'g'ozning kengligi qancha?

523. 1) Uch sonning yig'indisi 35 2/3 ga teng. Birinchi raqam ikkinchisidan 5 1/3 ga va uchinchi raqamdan 3 5/6 ga katta. Bu raqamlarni toping.

2) Orollar Yangi Yer, Saxalin va Severnaya Zemlya birgalikda 196 7/10 ming kvadrat metr maydonni egallaydi. km. Novaya Zemlya maydoni 44 1/10 ming kvadrat metrni tashkil qiladi. km ko'proq maydon Severnaya Zemlya va 5 1/5 ming kv. km Saxalin maydonidan kattaroqdir. Ro'yxatga olingan orollarning har birining maydoni qancha?

524. 1) Kvartira uchta xonadan iborat. Birinchi xonaning maydoni 24 3/8 kv. m va kvartiraning butun maydonining 13/36 qismini tashkil qiladi. Ikkinchi xonaning maydoni 8 1/8 kvadrat metrni tashkil qiladi. m uchinchisining maydonidan ko'proq. Ikkinchi xonaning maydoni qancha?

2) Velosipedchi uch kunlik musobaqada birinchi kuni 3 1/4 soat yo'lda bo'ldi, bu umumiy sayohat vaqtining 13/43 qismini tashkil etdi. Ikkinchi kuni u uchinchi kunga qaraganda 1 1/2 soat ko'proq yurdi. Musobaqaning ikkinchi kuni velosipedchi necha soat yurdi?

525. Uch bo'lak temirning og'irligi 17 1/4 kg. Agar birinchi bo'lakning og'irligi 1 1/2 kg ga, ikkinchisining og'irligi 2 1/4 kg ga kamaytirilsa, uchta bo'lak ham bir xil vaznga ega bo'ladi. Har bir temir bo'lagi qancha og'irlik qildi?

526. 1) Ikki sonning yig'indisi 15 1/5 ga teng. Agar birinchi raqam 3 1/10 ga kamaytirilsa, ikkinchisi esa 3 1/10 ga oshirilsa, bu raqamlar teng bo'ladi. Har bir raqam nimaga teng?

2) Ikki qutida 38 1/4 kg don bor edi. Agar siz bir qutidan boshqasiga 4 3/4 kg donni to'kib tashlasangiz, unda ikkala qutida ham teng miqdorda don bo'ladi. Har bir qutida qancha don bor?

527 . 1) Ikki sonning yig'indisi 17 17 / 30 ga teng. Agar siz birinchi raqamdan 5 1/2 ni ayirib, ikkinchisiga qo'shsangiz, birinchi raqam ikkinchisidan 2 17/30 ga katta bo'ladi. Ikkala raqamni toping.

2) Ikki qutida 24 1/4 kg olma bor. Agar siz birinchi qutidan ikkinchisiga 3 1/2 kg o'tkazsangiz, birinchisida ikkinchisiga qaraganda 3/5 kg ko'proq olma bo'ladi. Har bir qutida necha kilogramm olma bor?

528 *. 1) Ikki sonning yig'indisi 8 11/14, ularning farqi esa 2 3/7 ga teng. Bu raqamlarni toping.

2) Qayiq daryo bo'ylab soatiga 15 1/2 km tezlikda va oqimga qarshi soatiga 8 1/4 km tezlikda harakat qildi. Daryo oqimining tezligi qanday?

529. 1) Ikkita garajda 110 ta mashina bor va ularning birida boshqasiga qaraganda 1 1/5 baravar ko'p. Har bir garajda nechta mashina bor?

2) Ikki xonadan iborat kvartiraning yashash maydoni 47 1/2 kv. m. Bir xonaning maydoni ikkinchisining maydonining 8/11 qismini tashkil qiladi. Har bir xonaning maydonini toping.

530. 1) Mis va kumushdan tashkil topgan qotishma 330 g, bu qotishmadagi misning og'irligi kumushning 5/28 qismini tashkil qiladi. Qotishmada qancha kumush va qancha mis bor?

2) Ikki sonning yig'indisi 6 3/4, qism esa 3 1/2 ga teng. Bu raqamlarni toping.

531. Uch sonning yig'indisi 22 1/2 ga teng. Ikkinchi raqam 3 1/2 marta, uchinchisi esa birinchidan 2 1/4 marta. Bu raqamlarni toping.

532. 1) Ikki sonning farqi 7 ga teng; bo'linish koeffitsienti Ko'proq kamroq 5 2/3 uchun. Bu raqamlarni toping.

2) Ikki raqam orasidagi farq 29 3/8, ularning ko'paytma nisbati 8 5/6. Bu raqamlarni toping.

533. Sinfda qatnashmagan o'quvchilar soni hozir bo'lgan o'quvchilar sonining 3/13 qismini tashkil qiladi. Agar qatnashmaganlardan 20 kishi ko'p bo'lsa, ro'yxat bo'yicha sinfda nechta o'quvchi bor?

534. 1) Ikki raqam orasidagi farq 3 1/5 ga teng. Bitta raqam boshqasining 5/7 qismini tashkil qiladi. Bu raqamlarni toping.

2) Ota o'g'lidan 24 yosh katta. O'g'ilning yillar soni otaning yillarining 5/13 qismiga teng. Ota necha yoshda va o'g'il necha yoshda?

535. Kasrning maxraji uning sonidan 11 birlik katta. Agar kasrning maxraji sanoqdan 3 3/4 marta katta bo'lsa, uning qiymati qanday bo'ladi?

No 536 - 537 og'zaki.

536. 1) Birinchi raqam ikkinchisining 1/2 qismi. Ikkinchi raqam birinchisidan necha marta katta?

2) Birinchi raqam ikkinchisining 3/2 qismi. Birinchi sonning qaysi qismi ikkinchi son?

537. 1) Birinchi sonning 1/2 qismi ikkinchi sonning 1/3 qismiga teng. Birinchi sonning qaysi qismi ikkinchi son?

2) birinchi sonning 2/3 qismi ikkinchi sonning 3/4 qismiga teng. Birinchi sonning qaysi qismi ikkinchi son? Ikkinchi sonning qaysi qismi birinchi?

538. 1) Ikki sonning yig‘indisi 16. Agar ikkinchi sonning 1/3 qismi birinchisining 1/5 qismiga teng bo‘lsa, shu sonlarni toping.

2) Ikki sonning yig‘indisi 38 ga teng. Agar birinchi sonning 2/3 qismi ikkinchi sonning 3/5 qismiga teng bo‘lsa, shu sonlarni toping.

539 *. 1) Ikki bola birgalikda 100 ta qo'ziqorin yig'ishdi. Birinchi o'g'il tomonidan yig'ilgan qo'ziqorinlar sonining 3/8 qismi ikkinchi bola tomonidan yig'ilgan qo'ziqorinlar sonining 1/4 qismiga teng. Har bir bola nechta qo'ziqorin yig'di?

2) Muassasada 27 kishi ishlaydi. Agar barcha erkaklarning 2/5 qismi barcha ayollarning 3/5 qismiga teng bo'lsa, nechta erkak ishlaydi va qancha ayol ishlaydi?

540 *. Uch bola voleybol sotib oldi. Birinchi o'g'ilning hissasining 1/2 qismi ikkinchi o'g'ilning hissasining 1/3 qismiga yoki uchinchisining hissasining 1/4 qismiga teng ekanligini va uchinchi o'g'ilning hissasini bilib, har bir o'g'ilning hissasini aniqlang. bola birinchisining hissasidan 64 tiyin ko'proq.

541 *. 1) Bitta raqam ikkinchisidan 6 ga ko'p, agar bitta raqamning 2/5 qismi ikkinchisining 2/3 qismiga teng bo'lsa, bu raqamlarni toping.

2) Ikki sonning ayirmasi 35. Agar birinchi sonning 1/3 qismi ikkinchi sonning 3/4 qismiga teng boʻlsa, shu sonlarni toping.

542. 1) Birinchi jamoa 36 kunda, ikkinchisi esa 45 kunda bir qancha ishlarni bajarishi mumkin. Ikkala jamoa birgalikda ishlagan holda bu ishni necha kunda yakunlaydi?

2) Yo‘lovchi poyezdi ikki shahar orasidagi masofani 10 soatda, yuk poyezdi esa bu masofani 15 soatda bosib o‘tadi. Ikkala poyezd ham bir vaqtning o'zida bu shaharlarni bir-biriga qarab tark etdi. Ular necha soatdan keyin uchrashishadi?

543. 1) Tezkor poyezd ikki shahar orasidagi masofani 6 1/4 soatda, yo‘lovchi poyezdi esa 7 1/2 soatda bosib o‘tadi. Bu poezdlar bir vaqtning o'zida ikkala shahardan bir biriga qarab ketsa, necha soatdan keyin uchrashadi? (Yaxshi javob 1 soatgacha.)

2) Ikki mototsiklchi bir vaqtning o'zida ikkita shahardan bir-biriga qarab ketishdi. Bitta mototsiklchi bu shaharlar orasidagi butun masofani 6 soatda, boshqasi esa 5 soatda bosib o‘tishi mumkin. Mototsiklchilar jo'nab ketganidan necha soat o'tgach uchrashadilar? (Yaxshi javob 1 soatgacha.)

544. 1) Har xil yuk ko'tarish qobiliyatiga ega uchta transport vositasi alohida ishlaydigan yuklarni tashishi mumkin: birinchisi 10 soatda, ikkinchisi 12 soatda. uchinchisi esa 15 soatda bir xil yukni birga ishlagan holda necha soatda tashishi mumkin?

2) Ikki poyezd bir vaqtning o‘zida ikkita bekatdan bir-biriga qarab chiqib ketadi: birinchi poyezd bu stansiyalar orasidagi masofani 12 1/2 soatda, ikkinchisi esa 18 3/4 soatda bosib o‘tadi. Poyezdlar jo‘nab ketganidan necha soat o‘tgach uchrashadi?

545. 1) Vannaga ikkita kran ulangan. Ulardan biri orqali vannani 12 daqiqada, ikkinchisi orqali esa 1 1/2 baravar tezroq to'ldirish mumkin. Bir vaqtning o'zida ikkala jo'mrakni ochsangiz, vannaning 5/6 qismini to'ldirish uchun necha daqiqa kerak bo'ladi?

2) Ikki mashinist qo'lyozmani qayta yozishi kerak. Birinchi haydovchi bu ishni 3 1/3 kunda, ikkinchisi esa 1 1/2 marta tezroq bajarishi mumkin. Agar ikkala mashinist bir vaqtda ishlasa, ishni bajarish uchun necha kun kerak bo'ladi?

546. 1) Hovuz birinchi quvur bilan 5 soatda to'ldiriladi, ikkinchi quvur orqali esa 6 soatda bo'shatiladi, agar ikkala quvur bir vaqtning o'zida ochilsa, butun hovuz necha soatdan keyin to'ldiriladi?

Eslatma. Bir soat ichida basseyn to'ldiriladi (sig'imi 1/5 - 1/6).

2) Ikki traktor dalani 6 soatda haydab chiqdi. Bir o'zi ishlagan birinchi traktor bu dalani 15 soatda haydashi mumkin edi, ikkinchi traktor bu maydonni haydash uchun necha soat vaqt ketadi?

547 *. Ikki poyezd bir vaqtning o'zida ikkita stantsiyadan bir-biriga qarab chiqib, 18 soatdan keyin uchrashadi. ozod qilinganidan keyin. Agar birinchi poyezd bu masofani 1 sutka 21 soatda bosib o‘tsa, ikkinchi poyezd stansiyalar orasidagi masofani qancha vaqt ichida bosib o‘tadi?

548 *. Hovuz ikkita quvur bilan to'ldirilgan. Avval ular birinchi quvurni ochishdi, keyin esa 3 3/4 soatdan keyin hovuzning yarmi to'ldirilgandan keyin ikkinchi quvurni ochishdi. 2 1/2 soat birga ishlagandan so'ng hovuz to'lib ketdi. Hovuzning quvvatini aniqlang, agar ikkinchi quvur orqali soatiga 200 chelak suv quyilsa.

549. 1) Kurer poyezdi Leningraddan Moskvaga jo'nab ketdi va 1 km yo'lni 3/4 daqiqada bosib o'tdi. Ushbu poezd Moskvadan 1/2 soat o'tgach, Moskvadan Leningradga tezyurar poyezd jo'nadi, uning tezligi tezyurar poezd tezligining 3/4 qismiga teng edi. Agar Moskva va Leningrad o'rtasidagi masofa 650 km bo'lsa, kurer poyezdi jo'nab ketganidan keyin 2 1/2 soatdan keyin poezdlar bir-biridan qanday masofada bo'ladi?

2) Kolxozdan shahargacha 24 km. Yuk mashinasi kolxozdan chiqib, 1 km yo'lni 2 yarim daqiqada bosib o'tadi. 15 daqiqadan so'ng. Mashina shaharni tark etgandan so'ng, velosipedchi yarim tezlikda kolxozga chiqdi yuk mashinasi. Velosipedchi jo'nab ketganidan keyin qancha vaqt ichida yuk mashinasini kutib oladi?

550. 1) Bir qishloqdan piyoda chiqdi. Piyoda ketganidan 4 1/2 soat o'tgach, velosipedchi xuddi shu yo'nalishda harakat qildi, uning tezligi piyoda tezligidan 2 1/2 baravar ko'p edi. Velosipedchi piyoda chiqib ketganidan keyin necha soatdan keyin uni bosib o'tadi?

2) Tezkor poyezd 3 soatda 187 1/2 km, yuk poyezdi esa 288 km ni 6 soatda yuradi. Yuk poyezdi jo‘nab ketganidan 7 1/4 soat o‘tgach, tez yordam mashinasi xuddi shu yo‘nalishda jo‘naydi. Tezyurar poyezd yuk poyezdiga qancha vaqt yetadi?

551. 1) Viloyat markaziga yo'l o'tadigan ikkita kolxozdan ikkita kolxozchi bir vaqtning o'zida otda tumanga chiqdi. Ulardan birinchisi soatiga 8 3/4 km tezlikni bosib o'tgan, ikkinchisi esa birinchisidan 1 1/7 marta ko'p. Ikkinchi kolxozchi 3 4/5 soatdan keyin birinchisiga yetib oldi. Kolxozlar orasidagi masofani aniqlang.

2) o'rtacha tezligi soatiga 60 km bo'lgan Moskva-Vladivostok poezdi jo'nab ketganidan keyin 26 1/3 soat o'tgach, TU-104 samolyoti xuddi shu yo'nalishda, tezlikdan 14 1/6 marta tezlikda uchdi. poezddan. Samolyot jo‘nab ketganidan necha soat o‘tgach, poyezdga yetib oladi?

552. 1) Daryo boʻyidagi shaharlar orasidagi masofa 264 km. Paroxod bu masofani quyi oqim bo‘ylab 18 soatda bosib o‘tdi va bu vaqtning 1/12 qismini to‘xtab o‘tkazdi. Daryoning tezligi soatiga 1 1/2 km. Paroxod 87 km yoʻlni qancha vaqt davomida toʻlqinsiz suvda toʻxtamasdan bosib oʻtish uchun kerak boʻladi?

2) Quvvatli qayiq daryo bo'ylab 207 km masofani 13 1/2 soatda bosib o'tdi va bu vaqtning 1/9 qismini to'xtash joylarida o'tkazdi. Daryoning tezligi soatiga 1 3/4 km. Bu qayiq tinch suvda 2 1/2 soatda necha kilometr yura oladi?

553. Qayiq suv ombori bo‘ylab 52 km masofani 3 soat 15 daqiqada to‘xtamasdan bosib o‘tdi. Bundan tashqari, daryo bo'ylab tezligi soatiga 1 3/4 km bo'lgan oqimga qarshi borib, bu qayiq 2 1/4 soatda 28 1/2 km masofani bosib o'tdi va teng davomiylikdagi 3 ta to'xtash qildi. Har bir bekatda qayiq necha daqiqa kutgan?

554. Leningraddan Kronshtadtga soat 12 da. Paroxod tushdan keyin jo‘nab, bu shaharlar orasidagi butun masofani 1,2 soatda bosib o‘tdi. Yo'lda u soat 12:18 da Kronshtadtdan Leningradga jo'nab ketgan boshqa kemani uchratdi. va birinchisidan 1 1/4 marta tezlikda yurish. Ikki kema qaysi vaqtda uchrashgan?

555. Poyezd 14 soatda 630 km masofani bosib o‘tishi kerak edi. Ushbu masofaning 2/3 qismini bosib o'tib, u 1 soat 10 daqiqaga hibsga olingan. Kechikmasdan manziliga yetib borishi uchun u safarini qanday tezlikda davom ettirishi kerak?

556. 4:20 da Ertalab yuk poyezdi Kievdan Odessaga jo‘nab ketdi, o‘rtacha tezligi soatiga 31 1/5 km. Bir muncha vaqt o'tgach, uni kutib olish uchun Odessadan pochta poyezdi chiqdi, uning tezligi yuk poyezdi tezligidan 1 17/39 baravar yuqori edi va yuk poezdi jo'nab ketganidan 6 1/2 soat o'tgach kutib oldi. Kiev va Odessa orasidagi masofa 663 km bo'lsa, pochta poyezdi Odessadan qaysi vaqtda jo'nab ketgan?

557*. Soat peshinni ko'rsatadi. Soat va daqiqa qo'llari bir-biriga to'g'ri kelishi uchun qancha vaqt kerak bo'ladi?

558. 1) Zavodda uchta sex mavjud. Birinchi sexda ishchilar soni zavoddagi barcha ishchilarning 9/20 qismini tashkil etadi, ikkinchi sexda birinchisiga nisbatan 1,2 barobar, uchinchi sexda esa 300 ta kam ishchi ishlaydi. ikkinchi. Zavodda nechta ishchi bor?

2) Shaharda uchta umumta’lim maktabi mavjud. Birinchi maktabdagi o'quvchilar soni ushbu uchta maktabdagi barcha o'quvchilarning 3/10 qismini tashkil qiladi; ikkinchi maktabda birinchisiga nisbatan 1,2 baravar ko‘p, uchinchi maktabda esa ikkinchisiga nisbatan 420 nafarga kam o‘quvchilar bor. Uchta maktabda nechta o'quvchi bor?

559. 1) Ikki kombaynchi bitta hududda ishlagan. Bitta kombayn butun maydonning 9/16 qismini, ikkinchisi esa shu yerning 3/8 qismini yig‘ib olgandan so‘ng, birinchi kombayn ikkinchisiga qaraganda 97 1/2 gektar ko‘p hosil yig‘ib olgani ma’lum bo‘ldi. Har gektardan oʻrtacha 32 1/2 sentnerdan don olindi. Har bir kombaynchi necha tsentnerdan don xirmon xisoblagan?

2) Ikki aka-uka fotoapparat sotib olishdi. Birida kameraning narxi 5/8, ikkinchisida esa 4/7, birinchisida esa 2 rubl bor edi. 25 tiyin ikkinchisidan ko'proq. Hamma qurilma narxining yarmini to'lagan. Hammada qancha pul qoldi?

560. 1) Yengil avtomobil A shahridan B shahriga yo'l oladi, ular orasidagi masofa 215 km, soatiga 50 km tezlikda. Shu bilan birga, u B shahridan A shahriga yo'l oldi. yuk avtomobili. Agar yuk mashinasining tezligi soatiga 18/25 tezlikda bo'lsa, yengil avtomobil yuk mashinasiga duch kelguncha necha kilometr yurgan? yengil avtomobil?

2) A va B shaharlari o'rtasida 210 km. Yengil avtomobil A shahridan B shahriga yo‘l oldi. Ayni vaqtda yuk mashinasi B shahridan A shahriga yo‘l olgan. Agar yengil avtomobil soatiga 48 km tezlikda ketayotgan bo‘lsa va yuk mashinasining soatiga tezligi yengil avtomobil tezligining 3/4 qismi bo‘lsa, yuk mashinasi yengil avtomobil bilan uchrashgunga qadar necha kilometr yo‘l bosib o‘tgan?

561. Kolxoz bug'doy va javdarni yig'ib oldi. Bug‘doy javdarga nisbatan 20 gektarga ko‘p ekilgan. Javdarning umumiy hosili bug'doy va javdar uchun 1 ga dan 20 s hosil bo'lgan bug'doy hosilining 5/6 qismini tashkil etdi. Kolxoz bug'doy va javdarning butun hosilining 7/11 qismini davlatga sotdi, qolgan qismini esa o'z ehtiyojlarini qondirish uchun qoldirdi. Davlatga sotilgan nonni olib tashlash uchun ikki tonnalik yuk mashinalari necha marta yurishi kerak edi?

562. Novvoyxonaga javdar va bug‘doy uni keltirildi. Og'irligi bug'doy un vaznining 3/5 qismini tashkil etdi javdar uni, bug‘doy unidan 4 tonna ko‘p javdar uni keltirildi. Qancha bug'doy va qancha javdar noni Agar pishirilgan mahsulotlar umumiy unning 2/5 qismini tashkil etsa, bu undan novvoyxona pishiradi?

563. Uch kun ichida ishchilar guruhi ikki kolxoz o'rtasidagi avtomobil yo'lini ta'mirlash bo'yicha barcha ishlarning 3/4 qismini bajardilar. Birinchi kuni ushbu avtomobil yo‘lining 2 2/5 km qismi ta’mirlandi, ikkinchi kuni birinchisiga nisbatan 1 1/2 barobar ko‘p, uchinchi kuni esa dastlabki ikki kunda ta’mirlanganlarning 5/8 qismi birgalikda ta’mirlandi. Kolxozlar orasidagi avtomobil yo'lining uzunligini toping.

564. To'ldirish bepul joylar jadvalda, bu erda S - to'rtburchakning maydoni, A- to'rtburchakning asosi, a h-to'rtburchakning balandligi (kengligi).

565. 1) To'g'ri burchakli er uchastkasining uzunligi 120 m, kengligi esa uning uzunligining 2/5 qismini tashkil qiladi. Saytning perimetri va maydonini toping.

2) To'rtburchaklar kesimning kengligi 250 m, uzunligi esa kengligidan 1 1/2 marta. Saytning perimetri va maydonini toping.

566. 1) To'rtburchakning perimetri 6 1/2 dyuym, poydevori balandligidan 1/4 dyuym katta. Ushbu to'rtburchakning maydonini toping.

2) To'rtburchakning perimetri 18 sm, balandligi poydevoridan 2 1/2 sm kichik. To'rtburchakning maydonini toping.

567. 30-rasmda ko'rsatilgan figuralarning maydonlarini to'rtburchaklarga bo'lish va o'lchov orqali to'rtburchakning o'lchamlarini topish orqali hisoblang.

568. 1) Agar gips plitasining o'lchamlari 2 m x l 1/2 m bo'lsa, uzunligi 4 1/2 m va kengligi 4 m bo'lgan xonaning shiftini qoplash uchun qancha varaq quruq gips kerak bo'ladi?

2) Uzunligi 4 1/2 m va kengligi 3 1/2 m bo'lgan polni yotqizish uchun uzunligi 4 1/2 m va kengligi 1/4 m bo'lgan nechta taxta kerak?

569. 1) Uzunligi 560 m, kengligining 3/4 qismi bo'lgan to'rtburchaklar uchastkaga loviya ekilgan. Agar 1 gektarga 1 tsentner ekilgan bo'lsa, uchastkaga ekish uchun qancha urug' kerak bo'lgan?

2) To‘g‘ri to‘rtburchak daladan gektariga 25 sentnerdan bug‘doy yig‘ib olindi. Dala uzunligi 800 m, eni esa uzunligining 3/8 qismini tashkil etsa, butun daladan qancha bug‘doy yig‘ib olingan?

570 . 1) Uzunligi 78 3/4 m va kengligi 56 4/5 m bo'lgan to'rtburchaklar er uchastkasi, uning maydonining 4/5 qismini binolar egallagan holda qurilgan. Binolar ostidagi er maydonini aniqlang.

2) Uzunligi 9/20 km va eni uzunligining 4/9 qismini tashkil etadigan to'rtburchaklar er uchastkasida kolxoz bog' qurishni rejalashtirmoqda. Har bir daraxt uchun o'rtacha 36 kv.m maydon kerak bo'lsa, bu bog'da qancha daraxt ekiladi?

571. 1) Oddiy yoritish uchun kunduzi xonada barcha derazalarning maydoni zamin maydonining kamida 1/5 qismi bo'lishi kerak. Uzunligi 5 1/2 m va kengligi 4 m bo'lgan xonada yorug'lik etarli yoki yo'qligini aniqlang, xonada 1 1/2 m x 2 m o'lchamdagi bitta oyna bormi?

2) Oldingi masala shartidan foydalanib, sinfingizda yorug'lik yetarli yoki yo'qligini aniqlang.

572. 1) Omborning o'lchamlari 5 1/2 m x 4 1/2 m x 2 1/2 m, agar u balandligining 3/4 qismiga to'ldirilgan bo'lsa va 1 kub bo'lsa, bu omborga qancha pichan (og'irlik bo'yicha) sig'adi. . m pichanning og'irligi 82 kg?

2) Yog'och uyasi shaklga ega to'rtburchaklar parallelepiped, o'lchamlari 2 1/2 m x 3 1/2 m x 1 1/2 m, agar 1 kub bo'lsa, o'tinning og'irligi qancha. m o'tinning og'irligi 600 kg?

573. 1) To'rtburchak akvarium balandligining 3/5 qismigacha suv bilan to'ldiriladi. Akvariumning uzunligi 1 1/2 m, kengligi 4/5 m, balandligi 3/4 m Akvariumga necha litr suv quyiladi?

2) To'g'ri burchakli parallelepiped shaklidagi hovuz uzunligi 6 1/2 m, kengligi 4 m va balandligi 2 m bo'lgan hovuz balandligining 3/4 qismiga qadar suv bilan to'ldirilgan. Hovuzga quyilgan suv miqdorini hisoblang.

574. Uzunligi 75 m va kengligi 45 m bo'lgan to'rtburchaklar er uchastkasi atrofida panjara qurish kerak. Agar taxtaning qalinligi 2 1/2 sm va panjara balandligi 2 1/4 m bo'lishi kerak bo'lsa, uning qurilishiga qancha kubometr taxtalar kirishi kerak?

575. 1) daqiqa va qaysi burchak soat qo'li soat 13 da? soat 15 da? soat 17 da? soat 21 da? 23:30 da?

2) 2 soatda soat strelkasi necha gradusga aylanadi? soat 5? soat 8? 30 min.?

3) Yarim aylanaga teng yoy nechta gradusdan iborat? 1/4 doira? Aylananing 1/24 qismi? 5/24 doiralar?

576. 1) Transporter yordamida chizamiz: a) to‘g‘ri burchak; b) 30° burchak; c) 60° burchak; d) 150° burchak; e) 55° burchak.

2) Transporter yordamida shaklning burchaklarini o‘lchab, har bir figuraning barcha burchaklarining yig‘indisini toping (31-rasm).

577. Quyidagi amallarni bajaring:

578. 1) Yarim doira ikkita yoyga bo'lingan, ulardan biri ikkinchisidan 100 ° kattaroqdir. Har bir yoyning o'lchamini toping.

2) Yarim doira ikkita yoyga bo'lingan, ulardan biri ikkinchisidan 15 ° kichikdir. Har bir yoyning o'lchamini toping.

3) Yarim doira ikkita yoyga bo'lingan, ulardan biri ikkinchisidan ikki barobar katta. Har bir yoyning o'lchamini toping.

4) Yarim doira ikkita yoyga bo'lingan, ulardan biri ikkinchisidan 5 marta kichik. Har bir yoyning o'lchamini toping.

579. 1) "SSSRda aholi savodxonligi" diagrammasi (32-rasm) aholining yuz kishiga to'g'ri keladigan savodli odamlarning sonini ko'rsatadi. Diagrammadagi ma'lumotlarga va uning shkalasiga asoslanib, ko'rsatilgan yillarning har biri uchun savodli erkaklar va ayollar sonini aniqlang.

Natijalarni jadvalga yozing:

2) "Sovet elchilari kosmosga" (33-rasm) diagrammasi ma'lumotlaridan foydalanib, vazifalar yarating.

580. 1) "Beshinchi sinf o'quvchisi uchun kun tartibi" (34-rasm) pirog jadvaliga ko'ra, jadvalni to'ldiring va savollarga javob bering: kunning qaysi qismi uxlash uchun ajratilgan? uy vazifasi uchunmi? maktabga?

2) Kundalik tartibingiz haqida doiraviy diagramma tuzing.

Kasrli misollar matematikaning asosiy elementlaridan biridir. Juda ko'p .. lar bor har xil turlari kasrli tenglamalar. Quyida batafsil ko'rsatmalar bu turdagi misollarni yechish uchun.

Kasrlar bilan misollarni qanday echish - umumiy qoidalar

Qo'shish, ayirish, ko'paytirish yoki bo'lish kabi har qanday turdagi kasrlar bilan misollarni echish uchun siz asosiy qoidalarni bilishingiz kerak:

  • Bir xil maxrajli kasrli iboralarni qo'shish uchun (maxraj - kasrning pastki qismidagi son, yuqori qismidagi raqam), ularning sonlarini qo'shish va maxrajni bir xil qoldirish kerak.
  • Bir kasrdan ikkinchi kasr ifodasini (bir xil maxrajli) ayirish uchun ularning sanoqlarini ayirish va maxrajni bir xil qoldirish kerak.
  • Turli xil maxrajli kasrlarni qo'shish yoki ayirish uchun siz eng kichik umumiy maxrajni topishingiz kerak.
  • Kasr ko'paytmasini topish uchun son va maxrajlarni ko'paytirish va iloji bo'lsa, kamaytirish kerak.
  • Kasrni kasrga bo'lish uchun siz birinchi kasrni ikkinchi kasrga ko'paytirasiz.

Kasrlar bilan misollarni qanday yechish mumkin - mashq

1-qoida, 1-misol:

3/4 +1/4 ni hisoblang.

1-qoidaga ko'ra, agar ikkita (yoki undan ko'p) kasrlar bir xil maxrajga ega bo'lsa, siz shunchaki ularning numeratorlarini qo'shishingiz mumkin. Biz olamiz: 3/4 + 1/4 = 4/4. Agar kasrning soni va maxraji bir xil bo'lsa, kasr 1 ga teng bo'ladi.

Javob: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.

2-qoida, 1-misol:

Hisoblang: 3/4 - 1/4

2-sonli qoidadan foydalanib, bu tenglamani yechish uchun 3 dan 1 ni ayirish va maxrajni bir xil qoldirish kerak. Biz 2/4 olamiz. Ikki 2 va 4 ni kamaytirish mumkin bo'lganligi sababli, biz kamaytiramiz va 1/2 ni olamiz.

Javob: 3/4 – 1/4 = 2/4 = 1/2.

3-qoida, 1-misol

Hisoblang: 3/4 + 1/6

Yechish: 3-qoidadan foydalanib, eng kichik umumiy maxrajni topamiz. Eng kichik umumiy maxraj misoldagi barcha kasr ifodalarining maxrajlariga bo'linadigan sondir. Shunday qilib, biz 4 ga ham, 6 ga ham bo'linadigan minimal sonni topishimiz kerak. Bu raqam 12. Biz 12 ni birinchi kasrning maxrajiga bo'lamiz, biz 3 ni olamiz, 3 ga ko'paytiramiz, yozamiz. Numeratorda 3 *3 va + belgisi. 12 ni ikkinchi kasrning maxrajiga ajratamiz, biz 2 ni olamiz, 2 ni 1 ga ko'paytiramiz, hisoblagichga 2 * 1 yozamiz. Demak, maxraji 12 ga, ayiruvchisi 3*3+2*1=11 ga teng yangi kasr olamiz. 11/12.

Javob: 11/12

3-qoida, 2-misol:

3/4 - 1/6 ni hisoblang. Ushbu misol avvalgisiga juda o'xshash. Biz bir xil amallarni bajaramiz, lekin numeratorda + belgisi o'rniga minus belgisini yozamiz. Biz olamiz: 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12.

Javob: 7/12

4-qoida, 1-misol:

Hisoblang: 3/4 * 1/4

To'rtinchi qoidadan foydalanib, birinchi kasrning maxrajini ikkinchisining maxrajiga va birinchi kasrning soni ikkinchisining soniga ko'paytiramiz. 3*1/4*4 = 3/16.

Javob: 3/16

4-qoida, 2-misol:

2/5 * 10/4 ni hisoblang.

Bu fraktsiyani kamaytirish mumkin. Ko‘paytmada birinchi kasrning soni va ikkinchi kasrning soni va ikkinchi kasrning soni va birinchi kasrning maxraji bekor qilinadi.

4 dan 2 bekor qiladi. 5 dan 10 ta bekor qiladi. Biz 1 * 2/2 = 1 * 1 = 1 ni olamiz.

Javob: 2/5 * 10/4 = 1

5-qoida, 1-misol:

Hisoblang: 3/4: 5/6

5-qoidadan foydalanib, biz olamiz: 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5. Biz oldingi misol printsipiga ko'ra kasrni kamaytiramiz va 9/10 ni olamiz.

Javob: 9/10.


Kasrlar bilan misollarni yechish - kasr tenglamalari

Kasr tenglamalari maxrajda noma'lum bo'lgan misollardir. Bunday tenglamani yechish uchun siz ma'lum qoidalardan foydalanishingiz kerak.

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:

15/3x+5 = 3 tenglamani yeching

Esda tutaylikki, siz nolga bo'linmaysiz, ya'ni. maxraj qiymati nolga teng bo'lmasligi kerak. Bunday misollarni echishda buni ko'rsatish kerak. Shu maqsadda OA (ruxsat etilgan qiymat oralig'i) mavjud.

Demak, 3x+5 ≠ 0.
Demak: 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3

x = 5/3 da tenglama oddiygina yechimga ega emas.

ODZni ko'rsatib, eng yaxshi tarzda Ushbu tenglamani yechish kasrlardan xalos bo'ladi. Buning uchun biz birinchi navbatda barcha kasr bo'lmagan qiymatlarni kasr sifatida taqdim etamiz, bu holda 3 raqamini olamiz: 15/(3x+5) = 3/1. Kasrlardan qutulish uchun ularning har birini eng kichik umumiy maxrajga ko'paytirish kerak. Bu holda u (3x+5)*1 bo'ladi. Ketma-ketlik:

  1. 15/(3x+5) ni (3x+5)*1 = 15*(3x+5) ga ko'paytiring.
  2. Qavslarni oching: 15*(3x+5) = 45x + 75.
  3. Biz tenglamaning o'ng tomoni bilan ham xuddi shunday qilamiz: 3*(3x+5) = 9x + 15.
  4. Chap va o'ng tomonlarni tenglashtiring: 45x + 75 = 9x +15
  5. X-ni chapga, raqamlarni o'ngga siljiting: 36x = – 50
  6. X toping: x = -50/36.
  7. Biz kamaytiramiz: -50/36 = -25/18

Javob: ODZ x ≠ 5/3. x = -25/18.


Kasrlar bilan misollarni yechish - kasr tengsizliklari

(3x-5)/(2-x)≥0 tipidagi kasr tengsizliklari sonlar o’qi yordamida yechiladi. Keling, ushbu misolni ko'rib chiqaylik.

Ketma-ketlik:

  • Numerator va maxrajni nolga tenglashtiramiz: 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
    2. 2-x=0 => x=2
  • Olingan qiymatlarni yozib, raqamlar o'qini chizamiz.
  • Qiymat ostida doira chizing. Ikki xil doiralar mavjud - to'ldirilgan va bo'sh. To'ldirilgan doira berilgan qiymat yechim oralig'ida ekanligini bildiradi. Bo'sh doira bu qiymat yechim maydoniga kiritilmaganligini ko'rsatadi.
  • Maxraj nolga teng bo'lmasligi sababli, 2-ning ostida bo'sh doira bo'ladi.


  • Belgilarni aniqlash uchun tenglamaga ikkitadan katta istalgan sonni almashtiramiz, masalan 3. (3*3-5)/(2-3)= -4. qiymat manfiy, ya'ni ikkitadan keyin maydonning ustiga minus yozamiz. Keyin X o'rniga 5/3 dan 2 gacha bo'lgan oraliqning istalgan qiymatini qo'ying, masalan 1. Qiymat yana salbiy. Biz minus yozamiz. Xuddi shu narsani 5/3 gacha bo'lgan maydon bilan takrorlaymiz. Biz 5/3 dan kichik har qanday raqamni almashtiramiz, masalan 1. Yana minus.


  • Bizni ifoda 0 dan katta yoki teng bo'ladigan x qiymatlari qiziqtirganligi sababli va bunday qiymatlar yo'qligi sababli (hamma joyda minuslar mavjud), bu tengsizlikning yechimi yo'q, ya'ni x = Ø (bo'sh to'plam).

Javob: x = Ø

Keling, bizning darsimizdagi "kasrlar bilan amallar" oddiy kasrlar bilan amallarni bildirishiga rozi bo'laylik. Umumiy kasr - bu hisob, kasr chizig'i va maxraj kabi atributlarga ega bo'lgan kasr. Bu oddiy kasrni o'nlikdan ajratib turadi, u maxrajni 10 ga karraligacha kamaytirish orqali oddiy kasrdan olinadi. O'nli kasr butun qismni kasr qismidan ajratib turuvchi vergul bilan yoziladi. Biz oddiy kasrlar bilan operatsiyalar haqida gapiramiz, chunki ular maktab matematika kursining birinchi yarmida o'tilgan ushbu mavzuning asoslarini unutgan o'quvchilar uchun eng katta qiyinchiliklarga olib keladi. Shu bilan birga, oliy matematikada ifodalarni o'zgartirishda asosan oddiy kasrlar bilan operatsiyalar qo'llaniladi. Faqat kasr qisqartmalari bunga arziydi! O'nlik kasrlar hech qanday qiyinchilik tug'dirmaydi. Shunday ekan, davom eting!

Ikki kasr teng deyiladi, agar .

Masalan, beri

Kasrlar va (bundan buyon), va (bundan buyon) ham tengdir.

Shubhasiz, ikkala kasr ham, tengdir. Bu shuni anglatadiki, agar berilgan kasrning sanoqchisi va maxraji bir xil natural songa ko'paytirilsa yoki bo'linsa, berilgan kasrga teng kasr olinadi: .

Bu xossa kasrning asosiy xossasi deyiladi.

Kasrning asosiy xususiyatidan kasrning ayiruvchisi va maxraji belgilarini o'zgartirish uchun foydalanish mumkin. Agar kasrning soni va maxraji -1 ga ko'paytirilsa, biz . Demak, ayiruvchi va maxrajning belgilari bir vaqtda o‘zgartirilsa, kasrning qiymati o‘zgarmaydi. Agar siz faqat hisoblagich yoki faqat maxraj belgisini o'zgartirsangiz, kasr o'z belgisini o'zgartiradi:

Kasrlarni kamaytirish

Kasrning asosiy xossasidan foydalanib, berilgan kasrni berilgan kasrga teng bo'lgan, lekin kichikroq hisob va maxrajli boshqa kasr bilan almashtirish mumkin. Bunday almashtirish kasrni qisqartirish deyiladi.

Masalan, kasr berilsin. 36 va 48 raqamlari 12 ning eng katta umumiy bo'luvchisiga ega. Keyin

.

Umuman olganda, agar pay va maxraj o'zaro tub sonlar bo'lmasa, kasrni kamaytirish har doim ham mumkin. Agar son va maxraj o'zaro bo'lsa tub sonlar, keyin kasr qaytarilmas deyiladi.

Demak, kasrni kamaytirish deganda kasrning hisob va maxrajini umumiy ko'paytmaga bo'lish tushuniladi. Yuqorida aytilganlarning barchasi o'zgaruvchilarni o'z ichiga olgan kasrli ifodalarga ham tegishli.

1-misol. Fraksiyani kamaytiring

Yechim. Numeratorni koeffitsientlarga ajratish uchun avval monomialni ko'rsating - 5 xy jami sifatida - 2 xy - 3xy, olamiz

Maxrajni faktorlarga ajratish uchun kvadratlar farqi formulasidan foydalanamiz:

Natijada

.

Kasrlarni umumiy maxrajga keltirish

Ikki kasr va . Ularning maxrajlari turlicha bo‘ladi: 5 va 7. Kasrlarning asosiy xossasidan foydalanib, bu kasrlarni o‘zlariga teng bo‘lgan boshqa kasrlar bilan almashtirish mumkin va natijada olingan kasrlar bir xil maxrajlarga ega bo‘ladi. Kasrning soni va maxrajini 7 ga ko'paytirsak, biz olamiz

Kasrning soni va maxrajini 5 ga ko'paytirsak, biz olamiz

Shunday qilib, kasrlar umumiy maxrajga keltiriladi:

.

Ammo bu muammoning yagona yechimi emas: masalan, bu kasrlarni umumiy maxraj 70 ga qisqartirish mumkin:

,

va umuman 5 va 7 ga bo'linadigan har qanday maxrajga.

Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik: kasrlarni va umumiy maxrajga keltiramiz. Oldingi misolda bo'lgani kabi bahslashamiz, biz olamiz

,

.

Ammo bu holda, kasrlarni bu kasrlarning maxrajlarining ko'paytmasidan kichik bo'lgan umumiy maxrajga qisqartirish mumkin. 24 va 30 sonlarining eng kichik umumiy karrali topilsin: LCM(24, 30) = 120.

120:4 = 5 bo'lgani uchun, maxraji 120 ga teng bo'lgan kasrni yozish uchun siz ham hisoblagichni, ham maxrajni 5 ga ko'paytirishingiz kerak, bu raqam qo'shimcha koeffitsient deb ataladi. vositalari .

Keyinchalik, biz 120:30 = 4 ni olamiz. Kasrning soni va maxrajini qo'shimcha 4 ga ko'paytirsak, biz olamiz .

Demak, bu kasrlar umumiy maxrajga keltiriladi.

Bu kasrlarning maxrajlarining eng kichik umumiy soni mumkin bo'lgan eng kichik umumiy maxrajdir.

O'zgaruvchilarni o'z ichiga olgan kasr ifodalari uchun umumiy maxraj har bir kasrning maxrajiga bo'lingan ko'phaddir.

2-misol. Kasrlarning umumiy maxrajini toping va.

Yechim. Bu kasrlarning umumiy maxraji ko'phaddir, chunki u ikkala va ga bo'linadi. Biroq, bu ko'phad bu kasrlarning umumiy maxraji bo'lishi mumkin bo'lgan yagona polinom emas. U polinom ham bo'lishi mumkin , va polinom , va polinom va hokazo. Odatda ular shunday umumiy maxrajni oladilarki, har qanday boshqa umumiy maxraj tanlanganga qoldiqsiz bo'linadi. Bu maxraj eng kichik umumiy maxraj deyiladi.

Bizning misolimizda eng kichik umumiy maxraj . Olingan:

;

.

Biz kasrlarni eng kichik umumiy maxrajiga qisqartira oldik. Bu birinchi kasrning sonini va maxrajini ga, ikkinchi kasrning sonini va maxrajini ga ko'paytirish orqali sodir bo'ldi. Polinomlar birinchi va ikkinchi kasrlar uchun mos ravishda qo'shimcha omillar deb ataladi.

Kasrlarni qo'shish va ayirish

Kasrlarni qo'shish quyidagicha aniqlanadi:

.

Masalan,

.

Agar b = d, Bu

.

Bu shuni anglatadiki, bir xil maxrajli kasrlarni qo'shish uchun sonlarni qo'shish va maxrajni bir xil qoldirish kifoya. Masalan,

.

Agar siz turli xil maxrajlarga ega bo'lgan kasrlarni qo'shsangiz, odatda kasrlarni eng kichik umumiy maxrajga kamaytirasiz, keyin esa sanoqlarni qo'shasiz. Masalan,

.

Endi o‘zgaruvchili kasrli ifodalarni qo‘shish misolini ko‘rib chiqamiz.

3-misol. Ifodani bitta kasrga aylantiring

.

Yechim. Eng kichik umumiy maxrajni topamiz. Buning uchun avvalo maxrajlarni faktorlarga ajratamiz.



Tegishli nashrlar: