Ratsional darajali quvvat

Raqamning kuchi aniqlangandan so'ng, bu haqda gapirish mantiqan to'g'ri keladi daraja xususiyatlari. Ushbu maqolada biz barcha mumkin bo'lgan ko'rsatkichlarga to'xtalib, sonning kuchining asosiy xususiyatlarini beramiz. Bu erda biz darajalarning barcha xossalarini isbotlaymiz, shuningdek, bu xususiyatlar misollarni echishda qanday ishlatilishini ko'rsatamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Tabiiy darajali darajalarning xossalari

Tabiiy ko'rsatkichli kuchning ta'rifiga ko'ra, a n kuch har biri a ga teng bo'lgan n ta omilning mahsulotidir. Ushbu ta'rifga asoslanib, shuningdek, foydalanish haqiqiy sonlarni ko'paytirish xossalari, biz quyidagilarni olishimiz va asoslashimiz mumkin natural ko'rsatkichli daraja xossalari:

a m ·a n =a m+n darajaning asosiy xossasi, uni umumlashtirish;
asoslari bir xil bo'lgan bo'lak darajalarining xossasi a m:a n =a m−n ;
mahsulot quvvat xossasi (a·b) n =a n ·b n , uning kengayishi;
qismning natural darajaga xossasi (a:b) n =a n:b n ;
darajani kuchga (a m) n =a m·n ga oshirish, uni umumlashtirish (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
darajani nolga solishtirish:
- agar a>0 bo'lsa, har qanday natural n soni uchun a n>0;
- agar a=0 bo'lsa, a n =0;
- agar a<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 agar a<0 и показатель степени есть toq raqam 2 m−1 , keyin esa 2 m−1<0 ;
a va b musbat sonlar va a bo'lsa
agar m va n natural sonlar m>n bo‘lsa, 0 da 0 a m >a n tengsizlik rost.

Darhol ta'kidlaymizki, barcha yozma tengliklar mavjud bir xil belgilangan shartlarga muvofiq, ularning o'ng va chap qismlari ham almashtirilishi mumkin. Masalan, a m ·a n =a m+n bilan kasrning bosh xossasi ifodalarni soddalashtirish ko‘pincha a m+n =a m ·a n shaklida qo‘llaniladi.

Endi ularning har birini batafsil ko'rib chiqaylik.

Keling, bir xil asoslarga ega bo'lgan ikki daraja ko'paytmasining xususiyatidan boshlaylik, bu deyiladi darajaning asosiy xususiyati: har qanday haqiqiy a soni va har qanday natural m va n sonlar uchun a m ·a n =a m+n tengligi to‘g‘ri bo‘ladi.

Keling, darajaning asosiy xususiyatini isbotlaylik. Tabiiy ko'rsatkichli daraja ta'rifi bilan a m ·a n ko'rinishdagi bir xil asoslarga ega bo'lgan darajalar ko'paytmasi ko'paytma sifatida yozilishi mumkin. Ko'paytirishning xossalari tufayli hosil bo'lgan ifodani quyidagicha yozish mumkin , va bu ko'paytma m+n natural ko'rsatkichli a sonining darajasi, ya'ni a m+n. Bu dalilni to'ldiradi.

Keling, darajaning asosiy xususiyatini tasdiqlovchi misol keltiramiz. Bir xil asoslar 2 va tabiiy darajalar 2 va 3 bo'lgan darajalarni olaylik, darajalarning asosiy xususiyatidan foydalanib, 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 tengligini yozishimiz mumkin. 2 2 · 2 3 va 2 5 ifodalarning qiymatlarini hisoblash orqali uning haqiqiyligini tekshiramiz. Eksponentsiyani bajaramiz, biz bor 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 va 2 5 =2·2·2·2·2=32, chunki teng qiymatlar olinadi, u holda 2 2 ·2 3 =2 5 tengligi to'g'ri bo'ladi va u darajaning asosiy xususiyatini tasdiqlaydi.

Ko'paytirish xususiyatlariga asoslangan darajaning asosiy xossasi bir xil asoslar va natural ko'rsatkichlarga ega bo'lgan uch yoki undan ortiq darajalarning mahsulotiga umumlashtirilishi mumkin. Demak, n 1, n 2, …, n k natural sonlarning istalgan k soni uchun quyidagi tenglik to‘g‘ri bo‘ladi: a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Masalan, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Biz tabiiy ko'rsatkich bilan kuchlarning keyingi xususiyatiga o'tishimiz mumkin - asoslari bir xil bo'lgan bo'linma darajalarining xossasi: har qanday nolga teng bo‘lmagan haqiqiy son a va m>n shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy natural m va n sonlar uchun a m:a n =a m−n tenglik to‘g‘ri bo‘ladi.

Ushbu xususiyatning isbotini taqdim etishdan oldin, keling, formuladagi qo'shimcha shartlarning ma'nosini muhokama qilaylik. Nolga bo'linmaslik uchun a≠0 sharti zarur, chunki 0 n =0 va bo'linish bilan tanishganimizda biz nolga bo'linmasligimizga kelishib oldik. Tabiiy ko'rsatkichlardan tashqariga chiqmaslik uchun m>n sharti kiritilgan. Darhaqiqat, m>n uchun a m−n ko‘rsatkichi natural son, aks holda u nol (m−n uchun sodir bo‘ladi) yoki manfiy son (m uchun sodir bo‘ladi) bo‘ladi.
Isbot. Kasrning asosiy xossasi tenglikni yozishga imkon beradi a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. Hosil boʻlgan tenglikdan a m−n ·a n =a m boʻladi va bundan kelib chiqadiki, m−n a m va a n darajalarning qismidir. Bu bir xil asoslarga ega bo'lgan bo'linma darajalarining xususiyatini isbotlaydi.

Keling, misol keltiraylik. Bir xil p asoslari va natural ko'rsatkichlari 5 va 2 bo'lgan ikkita darajani olaylik, p 5:p 2 =p 5−3 =p 3 tenglik darajaning ko'rib chiqilgan xususiyatiga mos keladi.

Endi ko'rib chiqaylik mahsulot quvvat xususiyati: har qanday ikkita haqiqiy a va b sonlar koʻpaytmasining n natural kuchi a n va b n darajalar koʻpaytmasiga teng, yaʼni (a·b) n =a n ·b n .

Darhaqiqat, bizda tabiiy ko'rsatkichli daraja ta'rifi mavjud . Ko'paytirishning xususiyatlariga asoslanib, oxirgi mahsulot sifatida qayta yozilishi mumkin , bu a n · b n ga teng.

Mana bir misol: .

Bu xususiyat uch yoki undan ortiq omillar mahsulotining kuchiga tarqaladi. Ya'ni, k omil ko'paytmasining n natural daraja xossasi quyidagicha yoziladi (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n.

Aniqlik uchun biz ushbu xususiyatni misol bilan ko'rsatamiz. Uch omilning ko'paytmasi uchun 7 ning kuchiga egamiz.

Quyidagi mulk naturadagi ko'rsatkichning mulki: a va b haqiqiy sonlar, b≠0 n natural darajaga nisbati a n va b n darajalar qismiga teng, ya’ni (a:b) n =a n:b n.

Isbotlash oldingi xususiyat yordamida amalga oshirilishi mumkin. Shunday qilib (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, va (a:b) n ·b n =a n tengligidan kelib chiqadiki, (a:b) n a n ning b n ga bo‘lingan qismidir.

Keling, ushbu xususiyatni misol sifatida aniq raqamlar yordamida yozamiz: .

Endi ovoz chiqarib aytaylik kuchni kuchga ko'tarish xususiyati: har qanday haqiqiy a soni va har qanday m va n natural sonlar uchun a m ning n darajali darajasi m·n ko‘rsatkichli a sonining kuchiga teng, ya’ni (a m) n =a m·n.

Masalan, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.

Kuch-darajali mulkning isboti quyidagi tenglik zanjiri hisoblanadi: .

Ko'rib chiqilayotgan mulk bir darajaga qadar kengaytirilishi mumkin va hokazo. Masalan, p, q, r va s har qanday natural sonlar uchun tenglik . Aniqroq bo'lishi uchun ma'lum raqamlarga misol keltiramiz: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Darajani tabiiy ko'rsatkich bilan taqqoslash xususiyatlariga to'xtalib o'tish kerak.

Keling, nol va quvvatni natural ko‘rsatkich bilan solishtirish xossasini isbotlashdan boshlaylik.

Birinchidan, har qanday a>0 uchun a n >0 ekanligini isbotlaymiz.

Ikki musbat sonning ko'paytmasi ko'paytirishning ta'rifidan kelib chiqqan holda musbat sondir. Bu haqiqat va ko'paytirishning xususiyatlari shuni ko'rsatadiki, har qanday musbat sonlarni ko'paytirish natijasi ham ijobiy son bo'ladi. Tabiiy ko'rsatkichi n bo'lgan a sonining kuchi esa, ta'rifiga ko'ra, har biri a ga teng bo'lgan n ta omilning mahsulotidir. Bu dalillar har qanday musbat a asosi uchun a n darajasi musbat son ekanligini aytishga imkon beradi. Tasdiqlangan xususiyat tufayli 3 5 >0, (0.00201) 2 >0 va .

Ko'rinib turibdiki, a=0 bo'lgan har qanday natural n son uchun n ning darajasi nolga teng. Haqiqatan ham, 0 n =0·0·…·0=0 . Masalan, 0 3 =0 va 0 762 =0.

Keling, darajaning salbiy asoslariga o'tamiz.

Keling, ko'rsatkich juft son bo'lgan holatdan boshlaylik, uni 2·m deb belgilaymiz, bu erda m - natural son. Keyin . a·a ko`rinishdagi mahsulotlarning har biri uchun a va a sonlari modullarining ko`paytmasiga teng bo`ladi, demak u musbat sondir. Shuning uchun mahsulot ham ijobiy bo'ladi va daraja a 2·m. Misollar keltiramiz: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 va .

Nihoyat, a asosi manfiy son va ko‘rsatkichi toq son 2 m−1 bo‘lsa, u holda . Barcha a·a ko'paytmalari musbat sonlar bo'lib, bu musbat sonlarning ko'paytmasi ham musbat bo'lib, uni qolgan manfiy a soniga ko'paytirish manfiy songa olib keladi. Bu xususiyat tufayli (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Keling, quyidagi formulaga ega bo'lgan bir xil natural ko'rsatkichlarga ega bo'lgan darajalarni taqqoslash xususiyatiga o'tamiz: bir xil natural ko'rsatkichlarga ega bo'lgan ikkita darajaning n asosi kichikroq bo'lganidan kichik va kattaligi kattaroqdir. . Keling, buni isbotlaylik.

Tengsizlik a n tengsizliklar xossalari a n ko'rinishdagi isbotlanadigan tengsizlik ham to'g'ri (2.2) 7 va .

Tabiiy ko'rsatkichlar bilan darajalarning oxirgi sanab o'tilgan xususiyatlarini isbotlash qoladi. Keling, uni shakllantiramiz. Tabiiy ko'rsatkichlari va bir xil musbat asoslari birdan kichik bo'lgan ikkita darajaning ko'rsatkichi kichik bo'lgani katta bo'ladi; va tabiiy koʻrsatkichlari va bir xil asoslari birdan katta boʻlgan ikki darajaning koʻrsatkichi katta boʻlgani katta boʻladi. Keling, ushbu mulkning isbotiga o'tamiz.

m>n va 0 uchun buni isbotlaylik m>n boshlang'ich sharti tufayli 0, ya'ni 0 da
Mulkning ikkinchi qismini isbotlash uchun qoladi. m>n va a>1 uchun a m >a n to‘g‘ri ekanligini isbotlaylik. Qavs ichidan a n olingandan keyin a m −a n farqi a n ·(a m−n −1) ko‘rinishini oladi. Bu ko'paytma musbat, chunki a>1 uchun a n daraja musbat son, a m−n −1 farqi esa musbat son, chunki boshlang'ich shartga ko'ra m−n>0, a>1 uchun esa daraja. a m−n bir dan katta. Binobarin, a m −a n >0 va a m >a n, bu isbotlanishi kerak edi. Bu xossa 3 7 >3 2 tengsizlik bilan tasvirlangan.

Butun darajali darajalar xossalari
Musbat butun sonlar natural sonlar ekan, u holda musbat butun koʻrsatkichli darajalarning barcha xossalari avvalgi xatboshida sanab oʻtilgan va isbotlangan natural koʻrsatkichli darajalarning xossalariga toʻliq mos keladi.

Biz butun manfiy ko'rsatkichli darajani, shuningdek, nol ko'rsatkichli darajani shunday aniqladikki, tenglik bilan ifodalangan tabiiy darajali darajalarning barcha xossalari o'z kuchida qoladi. Shuning uchun, bu xususiyatlarning barchasi nol ko'rsatkichlar uchun ham, manfiy ko'rsatkichlar uchun ham amal qiladi, albatta, darajalarning asoslari noldan farq qiladi.

Shunday qilib, har qanday haqiqiy va nolga teng bo'lmagan a va b sonlar, shuningdek, m va n butun sonlar uchun quyidagilar to'g'ri bo'ladi: butun darajali darajalarning xossalari:

a m ·a n =a m+n ;

a m:a n =a m−n ;

(a·b) n =a n ·b n ;

(a:b) n =a n:b n ;

(a m) n =a m·n ;

agar n musbat butun son bo'lsa, a va b musbat sonlar va a b-n;

agar m va n butun sonlar va m>n bo'lsa, u holda 0 da 1 a m >a n tengsizlik amal qiladi.

a=0 bo‘lganda, a m va a n darajalari m va n ham musbat butun sonlar, ya’ni natural sonlar bo‘lgandagina mantiqiy bo‘ladi. Shunday qilib, hozirgina yozilgan xossalar a=0 va m va n sonlar musbat sonlar bo'lgan holatlar uchun ham amal qiladi.

Bu xossalarning har birini isbotlash qiyin emas, buning uchun natural va butun ko'rsatkichli darajalarning ta'riflaridan, shuningdek, haqiqiy sonlar bilan amallar xossalaridan foydalanish kifoya; Misol tariqasida, kuch-quvvat xususiyati musbat butun sonlar uchun ham, musbat bo'lmagan butun sonlar uchun ham amal qilishini isbotlaylik. Buning uchun agar p nol yoki natural son va q nol yoki natural son bo'lsa, u holda (a p) q =a p·q, (a -p) q =a (−p) tengliklarni ko'rsatish kerak. ·q, (a p ) −q =a p·(−q) va (a −p) −q =a (−p)·(−q). Keling buni bajaramiz.

Ijobiy p va q uchun (a p) q =a p·q tengligi oldingi paragrafda isbotlangan. Agar p=0 bo'lsa, bizda (a 0) q =1 q =1 va 0·q =a 0 =1 bo'ladi, bundan (a 0) q =a 0·q. Xuddi shunday, agar q=0 bo'lsa, (a p) 0 =1 va a p·0 =a 0 =1, bundan (a p) 0 =a p·0. Agar p=0 va q=0 bo‘lsa, (a 0) 0 =1 0 =1 va a 0·0 =a 0 =1, bundan (a 0) 0 =a 0·0 bo‘ladi.

Endi (a −p) q =a (−p)·q ekanligini isbotlaymiz. Demak, manfiy butun ko'rsatkichli kuchning ta'rifi bo'yicha . Quvvatlarga nisbatlar xossasi bilan bizda mavjud . Chunki 1 p =1·1·…·1=1 va , u holda . Oxirgi ifoda, taʼrifiga koʻra, a −(p·q) koʻrinishdagi quvvat boʻlib, uni koʻpaytirish qoidalariga koʻra (−p)·q shaklida yozish mumkin.

Xuddi shunday .

VA .

Xuddi shu printsipdan foydalanib, siz darajaning boshqa barcha xususiyatlarini tenglik shaklida yozilgan butun ko'rsatkich bilan isbotlashingiz mumkin.

Ro'yxatga olingan xususiyatlarning oxirgi qismida har qanday manfiy butun -n va a sharti bajariladigan har qanday musbat a va b uchun amal qiladigan a -n >b -n tengsizligining isbotiga to'xtalib o'tish kerak. . Chunki shartga ko'ra a 0 . a n · b n ko'paytma ham a n va b n musbat sonlarning ko'paytmasi sifatida musbat bo'ladi. Keyin hosil bo'lgan kasr b n -a n va a n ·b n musbat sonlarning qismi sifatida musbat bo'ladi. Demak, a −n >b −n qaerdan kelib chiqdi, bu isbotlanishi kerak bo‘lgan narsa.

Butun darajali darajalarning oxirgi xossasi, natural darajali darajalarning o‘xshash xossasi kabi isbotlanadi.

Ratsional darajali darajalar xossalari

Biz kasr koʻrsatkichi boʻlgan darajani unga butun sonli daraja xossalarini kengaytirish orqali aniqladik. Boshqacha qilib aytganda, kasr darajali darajalar butun darajali darajalar bilan bir xil xususiyatlarga ega. Aynan:

Kasr ko'rsatkichli darajalarning xossalarini isbotlash kasr ko'rsatkichli darajani va butun ko'rsatkichli darajani aniqlashga asoslangan. Keling, dalillar keltiraylik.

Kasr ko'rsatkichli daraja ta'rifi bo'yicha va , keyin . Arifmetik ildizning xossalari quyidagi tengliklarni yozish imkonini beradi. Bundan tashqari, butun ko'rsatkichli darajaning xususiyatidan foydalanib, biz ni olamiz, undan kasr ko'rsatkichli darajani aniqlash orqali biz hosil bo'lamiz. , va olingan daraja ko'rsatkichi quyidagicha o'zgartirilishi mumkin: . Bu dalilni to'ldiradi.

Kasr ko'rsatkichli darajalarning ikkinchi xossasi mutlaqo o'xshash tarzda isbotlangan:

Qolgan tengliklar shunga o'xshash printsiplar yordamida isbotlanadi:

Keling, keyingi mulkni isbotlashga o'tamiz. Har qanday musbat a va b, a uchun ekanligini isbotlaylik b p . Ratsional p sonni m/n deb yozamiz, bunda m butun son, n natural son. Shartlar p<0 и p>0 bu holda shartlar m<0 и m>0 mos ravishda. m>0 va a uchun ijobiy ko'rsatkich a m tengsizligi qanoatlantirilishi kerak
Xuddi shunday, m uchun<0 имеем a m >b m, qaerdan, ya'ni va a p >b p.

Ro'yxatga olingan xususiyatlarning oxirgisini isbotlash uchun qoladi. 0 da p va q ratsional sonlar uchun p>q ekanligini isbotlaylik 0 – a p >a q tengsizlik. Oddiy kasrlar va ni olsak ham, p va q ratsional sonlarni har doim umumiy maxrajga keltira olamiz, bu yerda m 1 va m 2 butun sonlar, n esa natural sondir. Bunda p>q sharti dan kelib chiqadigan m 1 >m 2 shartga mos keladi. Keyin, 0 da bir xil asoslar va natural ko'rsatkichlar bilan kuchlarni solishtirish xususiyatiga ko'ra 1 – a m 1 >a m 2 tengsizlik. Ildizlarning xossalaridagi bu tengsizliklar shunga mos ravishda qayta yozilishi mumkin Va . Va ratsional ko'rsatkichli darajaning ta'rifi bizga tengsizliklarga o'tishga imkon beradi va shunga mos ravishda. Bu erdan yakuniy xulosa chiqaramiz: p>q va 0 uchun 0 – a p >a q tengsizlik.

Irratsional darajali darajalar xossalari

Irratsional darajali darajani aniqlash usulidan xulosa qilishimiz mumkinki, u ratsional darajali darajalarning barcha xossalariga ega. Demak, har qanday a>0, b>0 va p va q irratsional sonlar uchun quyidagilar to‘g‘ri bo‘ladi irratsional darajali darajalarning xossalari:

a p ·a q =a p+q ;

a p:a q =a p−q ;

(a·b) p =a p ·b p;

(a:b) p =a p:b p;

(a p) q =a p·q ;

har qanday musbat a va b sonlar uchun a 0 tengsizlik a p b p ;

irratsional sonlar uchun p va q, p>q 0 da 0 – a p >a q tengsizlik.

Bundan xulosa qilishimiz mumkinki, a>0 uchun har qanday haqiqiy darajali p va q darajalar bir xil xususiyatlarga ega.

Adabiyotlar ro'yxati.

Vilenkin N.Ya., Joxov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. 5-sinf uchun matematika darslik. ta'lim muassasalari.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: 7-sinf uchun darslik. ta'lim muassasalari.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: 8-sinf uchun darslik. ta'lim muassasalari.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: 9-sinf uchun darslik. ta'lim muassasalari.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. va boshqalar: “Algebra va tahlilning boshlanishi: Umumta’lim muassasalarining 10-11-sinflari uchun darslik.

Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (texnika maktablariga kiruvchilar uchun qo'llanma).

a sonining butun ko'rsatkichlaridan ga o'tish ratsional ko'rsatkich. Quyida biz ratsional darajali darajani aniqlaymiz va buni butun darajali darajaning barcha xossalari saqlanib qoladigan tarzda qilamiz. Bu zarur, chunki butun sonlar ratsional sonlarning bir qismidir.

Ma'lumki, ratsional sonlar to'plami butun va kasrlardan va har biridan iborat kasr son ijobiy yoki salbiy ifodalanishi mumkin oddiy kasr. Oldingi paragrafda biz darajani butun ko'rsatkich bilan belgilagan edik, shuning uchun ratsional ko'rsatkich bilan daraja ta'rifini yakunlash uchun biz raqamning darajasiga ma'no berishimiz kerak. a kasr ko'rsatkichi bilan m/n, Qayerda m butun sondir va n- tabiiy. Keling buni bajaramiz.

Keling, shaklning kasr ko'rsatkichi bilan darajani ko'rib chiqaylik. Quvvat-quvvat xususiyati amalda qolishi uchun tenglik amal qilishi kerak . Agar natijaviy tenglikni hisobga oladigan bo'lsak va darajaning n-chi ildizini qanday aniqlaganimizni hisobga olsak, u holda qabul qilish mantiqan to'g'ri keladi, agar berilgan berilgan bo'lsa. m, n Va a ifodasi mantiqiy.

Butun ko'rsatkichli darajaning barcha xossalari uchun haqiqiyligini tekshirish oson (bu ratsional darajali darajaning xususiyatlari bo'limida amalga oshirildi).

Yuqoridagi mulohazalar bizga quyidagilarni qilish imkonini beradi xulosa: agar ma'lumotlar berilgan bo'lsa m, n Va a ifoda mantiqiy, keyin raqamning kuchi a kasr ko'rsatkichi bilan m/n ildiz deb ataladi n ning darajasi a darajaga qadar m.

Ushbu bayonot bizni kasr ko'rsatkichli daraja ta'rifiga yaqinlashtiradi. Qolgan narsa nima ekanligini tasvirlashdir m, n Va a ifodasi mantiqiy. O'rnatilgan cheklovlarga qarab m, n Va a Ikkita asosiy yondashuv mavjud.

1. Eng oson yo'li - cheklash a, qabul qilgan a≥0 ijobiy uchun m Va a>0 salbiy uchun m(qachondan beri m≤0 daraja 0 m aniqlanmagan). Keyin biz kasr ko'rsatkichli darajaning quyidagi ta'rifini olamiz.

Ta'rif.

Ijobiy sonning kuchi a kasr ko'rsatkichi bilan m/n , Qayerda m- butun, va n – natural son, ildiz deb ataladi n- raqamning th a darajaga qadar m, ya'ni, .

Shuningdek, belgilangan kasr quvvati indikator ijobiy bo'lishi kerak bo'lgan yagona ogohlantirish bilan nolga teng.

Ta'rif.

Kasr musbat ko'rsatkichli nolning kuchi m/n , Qayerda m musbat butun son, va n– natural son sifatida aniqlanadi .
Daraja aniqlanmaganda, ya'ni kasr bilan nol sonining darajasi salbiy ko'rsatkich ma'noga ega emas.

Shuni ta'kidlash kerakki, kasr ko'rsatkichli darajaning ushbu ta'rifi bilan bitta ogohlantirish mavjud: ba'zi bir salbiylar uchun a va ba'zilari m Va n ifoda mantiqiy, lekin biz shartni kiritish orqali bu holatlardan voz kechdik a≥0. Misol uchun, yozuvlar mantiqiy yoki , va yuqorida berilgan ta'rif bizni shaklning kasr ko'rsatkichi bo'lgan darajalar deyishga majbur qiladi mantiqiy emas, chunki baza salbiy bo'lmasligi kerak.

2. Kasr ko'rsatkichi bilan darajani aniqlashning yana bir usuli m/n ildizning juft va toq koʻrsatkichlarini alohida koʻrib chiqishdan iborat. Ushbu yondashuv qo'shimcha shartni talab qiladi: raqamning kuchi a, ko'rsatkichi kamaytiriladigan oddiy kasr bo'lgan sonning darajasi hisoblanadi a, ko'rsatkichi mos keladigan qaytarilmas kasr (bu shartning ahamiyati quyida tushuntiriladi). Ya'ni, agar m/n qaytarilmas kasr, u holda har qanday natural son uchun k daraja oldindan bilan almashtiriladi.

Bir tekis uchun n va ijobiy m ifoda har qanday salbiy bo'lmagan uchun ma'no beradi a(hatto ildiz salbiy raqam mantiqiy emas), salbiy bilan m raqam a hali ham noldan farq qilishi kerak (aks holda nolga bo'linish bo'ladi). Va g'alati uchun n va ijobiy m raqam a har qanday bo'lishi mumkin (toq ildiz har qanday haqiqiy son uchun aniqlanadi) va salbiy uchun m raqam a noldan farqli bo'lishi kerak (nolga bo'linmaslik uchun).

Yuqoridagi mulohaza bizni kasr ko'rsatkichli darajaning ushbu ta'rifiga olib keladi.

Ta'rif.

Mayli m/n- qaytarilmas kasr; m- butun, va n- natural son. Har qanday kamaytiriladigan kasr uchun daraja bilan almashtiriladi. Darajasi a qaytarilmas kasr ko'rsatkichi bilan m/n- bu uchun

o har qanday haqiqiy raqam a, butunlay ijobiy m va g'alati tabiiy n, Masalan, ;

o har qanday nolga teng bo'lmagan haqiqiy son a, manfiy butun son m va g'alati n, masalan, ;

o har qanday manfiy bo'lmagan son a, butunlay ijobiy m va hatto n, Masalan, ;

o har qanday ijobiy a, manfiy butun son m va hatto n, masalan, ;

o boshqa hollarda kasr ko'rsatkichli daraja aniqlanmaydi, masalan darajalar aniqlanmaydi .a biz yozuvga hech qanday ma'no qo'shmaymiz, biz musbat kasr ko'rsatkichlari uchun nol sonining kuchini aniqlaymiz; m/n Qanaqasiga , manfiy kasr ko'rsatkichlari uchun nol sonining kuchi aniqlanmaydi.

Ushbu paragrafni yakunlab, kasr ko'rsatkichini o'nlik kasr yoki kasr sifatida yozish mumkinligiga e'tibor qarataylik. aralash raqam, Masalan, . Ushbu turdagi ifodalarning qiymatlarini hisoblash uchun siz ko'rsatkichni oddiy kasr shaklida yozishingiz kerak, keyin esa kasr ko'rsatkichi bilan ko'rsatkich ta'rifidan foydalaning. Yuqoridagi misollar uchun bizda Va

MBOU "Sidorskaya"

umumta'lim maktabi»

Kontur rejasini ishlab chiqish ochiq dars

Mavzu bo'yicha 11-sinfda algebra fanidan:

Tayyorlangan va amalga oshirilgan

matematika o'qituvchisi

Isxakova E.F.

11-sinfda algebra fanidan ochiq dars konspekti.

Mavzu : "Ratsional ko'rsatkichli daraja."

Dars turi : Yangi materialni o'rganish

Dars maqsadlari:

Oldin o‘rganilgan material (butun ko‘rsatkichli daraja) asosida talabalarni ratsional darajali daraja tushunchasi va uning asosiy xossalari bilan tanishtirish.
Hisoblash ko'nikmalarini va raqamlarni ratsional ko'rsatkichlar bilan o'zgartirish va taqqoslash qobiliyatini rivojlantirish.
O'quvchilarda matematik savodxonlik va matematik qiziqishni rivojlantirish.

Uskunalar : Vazifa kartalari, butun sonli indikator bilan daraja bo'yicha talabalar taqdimoti, ratsional ko'rsatkichli daraja bo'yicha o'qituvchi taqdimoti, noutbuk, multimedia proyektori, ekran.

Darslar davomida:

Tashkiliy vaqt.

Alohida topshiriq kartalari yordamida o'tilgan mavzuni o'zlashtirishni tekshirish.

Vazifa № 1.

=2;

B) =x + 5;

Irratsional tenglamalar tizimini yeching: - 3 = -10,

4 - 5 =6.

Vazifa № 2.

Irratsional tenglamani yeching: = - 3;

B) = x - 2;

Irratsional tenglamalar sistemasini yeching: 2 + = 8,

3 - 2 = - 2.

Darsning mavzusi va maqsadlari haqida gapiring.

Bugungi darsimizning mavzusi " Ratsional darajali quvvat».

Oldin o'rganilgan material misolida yangi materialni tushuntirish.

Siz butun sonli daraja tushunchasi bilan allaqachon tanishsiz. Ularni eslab qolishimga kim yordam beradi?

Taqdimot yordamida takrorlash" Butun sonli daraja».

Har qanday a, b raqamlari va m va n butun sonlar uchun tenglik to'g'ri bo'ladi:

a m * a n =a m+n;

a m: a n =a m-n (a ≠ 0);

(a m) n = a mn ;

(a b) n =a n * b n;

(a/b) n = a n /b n (b ≠ 0) ;

a 1 =a ; a 0 = 1 (a ≠ 0)

Bugun biz sonning kuchi tushunchasini umumlashtiramiz va kasr darajasiga ega bo'lgan iboralarga ma'no beramiz. Keling, tanishtiramiz ta'rifi Ratsional darajali darajalar ("Ratsional ko'rsatkichli daraja" taqdimoti):

a kuchi > 0 ratsional ko'rsatkich bilan r = , Qayerda m butun sondir va n - tabiiy ( n > 1), raqamni chaqirdi m .

Shunday qilib, ta'rifga ko'ra, biz buni olamiz = m .

Keling, vazifani bajarishda ushbu ta'rifni qo'llashga harakat qilaylik.

O'RNAK № 1

Men ifodani raqamning ildizi sifatida taqdim etaman:

A) B) IN) .

Endi bu ta'rifni teskari yo'nalishda qo'llashga harakat qilaylik

II Ifodani ratsional darajali daraja sifatida ifodalang:

A) 2 B) IN) 5 .

0 ning kuchi faqat ijobiy ko'rsatkichlar uchun aniqlanadi.

0 r har qanday uchun = 0 r> 0.

Foydalanish bu ta'rif, Uylar# 428 va # 429 to'ldirasiz.

Keling, yuqorida ifodalangan ratsional ko'rsatkichli darajaning ta'rifi bilan darajalarning asosiy xususiyatlari saqlanib qolganligini ko'rsatamiz, bu har qanday ko'rsatkich uchun to'g'ri keladi.

Har qanday ratsional sonlar r va s va har qanday musbat a va b uchun quyidagi tenglik amal qiladi:

1 0 . a r a s =a r+s ;

MISOL: *

20 . a r: a s =a r-s ;

MISOL: :

3 0 . (a r ) s =a rs ;

Misol: ( -2/3

4 0 . ( ab) r = a r b r ; 5 0 . ( = .

Misol: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2

Bir vaqtning o'zida bir nechta xususiyatlardan foydalanishga misol: * : .

Jismoniy tarbiya daqiqa.

Biz qalamlarni stolga qo'yamiz, orqa tomonni to'g'rilab oldik va endi biz oldinga cho'zamiz, biz taxtaga tegmoqchimiz. Endi biz uni ko'tardik va o'ngga, chapga, oldinga, orqaga egildik. Siz menga qo'llaringizni ko'rsatdingiz, endi barmoqlaringiz qanday raqsga tushishini ko'rsating.

Material ustida ishlash

Ratsional darajali darajalarning yana ikkita xususiyatini qayd etamiz:

6 0 . Mayli r - ratsional son va 0< a < b . Тогда

a r < b r da r> 0,

a r < b r da r< 0.

7 0 . Har qanday ratsional sonlar uchunr Va s tengsizlikdan r> s shunga amal qiladi

a r>a r> 1 uchun,

a r < а r 0 da< а < 1.

Misol: Raqamlarni solishtiring:

VA ; 2 300 va 3 200 .

Dars xulosasi:

Bugun darsda biz butun ko'rsatkichli darajaning xususiyatlarini esladik, ratsional darajali darajaning ta'rifi va asosiy xususiyatlarini o'rgandik va uni qo'llashni ko'rib chiqdik. nazariy material mashqlarni bajarishda amalda. E’tiboringizni “Ratsional ko‘rsatkichli ko‘rsatkich” mavzusi majburiy ekanligiga qaratmoqchiman. Yagona davlat imtihon topshiriqlari. Tayyorgarlikda uy vazifasi ( 428-son va 429-son