Logarifmning ta'rifi, asosiy logarifmik o'ziga xoslik. Logarifmlarning asosiy xossalari

1.1. Butun ko‘rsatkich uchun ko‘rsatkichni aniqlash

1.2. Nol daraja.

1.3. Salbiy daraja.

1.4. Kasr kuchi, ildiz.

Masalan: X 1/2 = √X.

1.5. Quvvatlarni qo'shish formulasi.

1.6.Keyirish darajalari formulasi.

1.7. Quvvatlarni ko'paytirish formulasi.

1.8. Kasrni darajaga ko'tarish formulasi.

2. Raqam e.

E = lim(1+1/N), N → ∞ kabi.

17 ta raqam aniqligi bilan e raqami 2,71828182845904512.

3. Eyler tengligi.

E (i*pi) + 1 = 0

4. Eksponensial funktsiya exp(x)

5. Ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi

(exp(x))" = Exp(x)

6. Logarifm.

6.1. Logarifm funksiyasining ta’rifi

Y = Log b(x).

Logarifm raqamni qanday darajaga ko'tarish kerakligini ko'rsatadi - berilgan sonni (X) olish uchun (b) logarifmning asosi. Logarifm funksiyasi noldan katta X uchun aniqlanadi.

Masalan: Jurnal 10 (100) = 2.

6.2. O'nlik logarifm

Y = Jurnal 10 (x) .

Log(x) bilan belgilanadi: Log(x) = Log 10 (x).

O'nlik logarifmdan foydalanishga misol desibeldir.

6.3. Desibel

6.4. Ikkilik logarifm

Y = Jurnal 2 (x).

Lg(x) bilan belgilanadi: Lg(x) = Log 2 (X)

6.5. Tabiiy logarifm

Y = Log e (x) .

Ln(x) bilan belgilanadi: Ln(x) = Log e (X)
Tabiiy logarifm - teskari funktsiya eksponensialga funktsiyalari eks(X).

6.6. Xarakterli nuqtalar

6.7. Mahsulot logarifm formulasi

6.8. Bo'lim logarifmi uchun formula

6.9. Quvvat formulasi logarifmi

6.10. Boshqa asosli logarifmga aylantirish uchun formula

Misol:

Jurnal 2 (8) = Jurnal 10 (8) / Jurnal 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. Hayotda foydali formulalar

Ko'pincha hajmni maydon yoki uzunlikka aylantirish va teskari muammo - maydonni hajmga aylantirish muammolari mavjud. Misol uchun, taxtalar kubiklarda (kubometr) sotiladi va biz qancha devor maydonini ma'lum hajmdagi taxtalar bilan qoplash mumkinligini hisoblashimiz kerak, taxtalarni hisoblash, kubda qancha taxta borligini ko'ring. Yoki, agar devorning o'lchamlari ma'lum bo'lsa, siz g'isht sonini hisoblashingiz kerak, g'isht hisobiga qarang.

Manbaga faol havola o'rnatilgan bo'lsa, sayt materiallaridan foydalanishga ruxsat beriladi.

b sonining a asosi uchun logarifmasi b sonini olish uchun a soni ko'tarilishi kerak bo'lgan ko'rsatkichdir.

Agar, keyin.

Logarifm - ekstremal muhim matematik miqdor, chunki logarifmik hisoblash nafaqat ko'rsatkichli tenglamalarni echishga, balki ko'rsatkichlar bilan ishlashga, ko'rsatkichli va logarifmik funktsiyalarni farqlashga, ularni integrallashga va hisoblash uchun maqbulroq shaklga olib borishga imkon beradi.

Bilan aloqada

Logarifmlarning barcha xossalari ko‘rsatkichli funksiyalarning xossalari bilan bevosita bog‘liqdir. Masalan, bu haqiqat shuni anglatadiki:

Shuni ta'kidlash kerakki, aniq muammolarni hal qilishda logarifmlarning xususiyatlari kuchlar bilan ishlash qoidalariga qaraganda muhimroq va foydaliroq bo'lishi mumkin.

Keling, ba'zi identifikatsiyalarni keltiramiz:

Mana asosiy algebraik ifodalar:

;

.

Diqqat! faqat x>0, x≠1, y>0 uchun mavjud bo'lishi mumkin.

Keling, tabiiy logarifmlar nima degan savolni tushunishga harakat qilaylik. Matematikaga alohida qiziqish ikki turni ifodalaydi- birinchisining asosi sifatida "10" raqami bor va "o'nlik logarifm" deb ataladi. Ikkinchisi tabiiy deb ataladi. Tabiiy logarifmning asosi "e" raqamidir. Bu haqda biz ushbu maqolada batafsil gaplashamiz.

Belgilar:

• lg x - kasr;
• ln x - tabiiy.

Identifikatsiyadan foydalanib, biz ln e = 1 ekanligini, shuningdek, lg 10=1 ekanligini ko'rishimiz mumkin.

Tabiiy logarifm grafigi

Standart yordamida natural logarifmning grafigini tuzamiz klassik tarzda ball bo'yicha. Agar xohlasangiz, funktsiyani tekshirish orqali biz funktsiyani to'g'ri qurayotganimizni tekshirishingiz mumkin. Biroq, logarifmni qanday qilib to'g'ri hisoblashni bilish uchun uni "qo'lda" qurishni o'rganish mantiqan.

Funktsiya: y = ln x. Grafik o'tadigan nuqtalar jadvalini yozamiz:

Keling, nima uchun x argumentining ushbu o'ziga xos qiymatlarini tanlaganimizni tushuntirib beraylik. Hammasi o'ziga xoslik bilan bog'liq: . Tabiiy logarifm uchun bu identifikatsiya quyidagicha ko'rinadi:

Qulaylik uchun biz beshta mos yozuvlar nuqtasini olishimiz mumkin:

;

;

.

;

.

Shunday qilib, tabiiy logarifmlarni hisoblash juda oddiy vazifa bo'lib, u kuchlar bilan operatsiyalarni hisoblashni soddalashtiradi, ularni aylantiradi oddiy ko'paytirish.

Grafikni nuqtama-nuqta chizib, biz taxminiy grafikni olamiz:

Tabiiy logarifmni aniqlash sohasi (ya'ni, X argumentining barcha haqiqiy qiymatlari) noldan katta barcha raqamlardir.

Diqqat! Tabiiy logarifmni aniqlash sohasi faqat ijobiy raqamlarni o'z ichiga oladi! Ta'rif doirasi x=0 ni o'z ichiga olmaydi. Logarifmning mavjudligi shartlariga asoslanib, bu mumkin emas.

Qiymatlar diapazoni (ya'ni y = ln x funktsiyasining barcha haqiqiy qiymatlari) intervaldagi barcha raqamlardir.

Tabiiy log chegarasi

Grafikni o'rganayotganda, savol tug'iladi - funktsiya y da o'zini qanday tutadi<0.

Shubhasiz, funktsiya grafigi y o'qini kesib o'tishga intiladi, lekin buni amalga oshira olmaydi, chunki x ning natural logarifmi<0 не существует.

Tabiiy chegara jurnal shunday yozilishi mumkin:

Logarifm asosini almashtirish formulasi

Tabiiy logarifm bilan ishlash ixtiyoriy asosga ega bo'lgan logarifm bilan ishlashdan ko'ra osonroqdir. Shuning uchun biz har qanday logarifmni naturalga qisqartirishni yoki natural logarifmlar orqali ixtiyoriy asosga ifodalashni o'rganishga harakat qilamiz.

Logarifmik identifikatsiyadan boshlaylik:

U holda har qanday son yoki y o‘zgaruvchisi quyidagicha ifodalanishi mumkin:

bu erda x har qanday son (logarifmning xususiyatlariga ko'ra musbat).

Bu ifodani har ikki tomonda ham logarifmik tarzda olish mumkin. Buni ixtiyoriy z bazasi yordamida bajaramiz:

Keling, xususiyatdan foydalanamiz (faqat "c" o'rniga bizda ibora mavjud):

Bu erdan biz universal formulani olamiz:

.

Xususan, agar z=e bo'lsa, u holda:

.

Biz logarifmni ixtiyoriy asosga ikkita natural logarifm nisbati orqali ifodalay oldik.

Biz muammolarni hal qilamiz

Tabiiy logarifmlarni yaxshiroq tushunish uchun keling, bir nechta masalalarning misollarini ko'rib chiqaylik.

Muammo 1. ln x = 3 tenglamani yechish kerak.

Yechim: Logarifmning ta'rifidan foydalanib: agar , keyin , biz quyidagilarni olamiz:

Muammo 2. (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3 tenglamani yeching.

Yechish: Logarifmning ta’rifidan foydalanib: agar , u holda , biz quyidagilarni olamiz:

.

Keling, yana logarifm ta'rifidan foydalanamiz:

.

Shunday qilib:

.

Javobni taxminan hisoblashingiz mumkin yoki uni ushbu shaklda qoldirishingiz mumkin.

Vazifa 3. Tenglamani yeching.

Yechim: Almashtiramiz: t = ln x. Keyin tenglama quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:

.

Bizda kvadrat tenglama bor. Uning diskriminantini topamiz:

Tenglamaning birinchi ildizi:

.

Tenglamaning ikkinchi ildizi:

.

t = ln x almashtirishni amalga oshirganimizni eslab, biz quyidagilarni olamiz:

Statistikada va ehtimollar nazariyasida logarifmik miqdorlar juda tez-tez uchraydi. Buning ajablanarli joyi yo'q, chunki e soni ko'pincha eksponensial miqdorlarning o'sish tezligini aks ettiradi.

Informatika, dasturlash va kompyuter nazariyasida logarifmlar, masalan, xotirada N bitni saqlash uchun tez-tez uchraydi.

Fraktallar va o'lchamlar nazariyalarida logarifmlar doimiy ravishda qo'llaniladi, chunki fraktallarning o'lchamlari faqat ularning yordami bilan aniqlanadi.

Mexanika va fizikada Logarifm ishlatilmagan bo'lim yo'q. Barometrik taqsimot, statistik termodinamikaning barcha tamoyillari, Tsiolkovskiy tenglamasi va boshqalar faqat logarifmlar yordamida matematik tarzda tasvirlanadigan jarayonlardir.

Kimyoda logarifmlar Nernst tenglamalarida va oksidlanish-qaytarilish jarayonlarini tavsiflashda qo'llaniladi.

Ajablanarlisi shundaki, hatto musiqada ham oktava qismlari sonini aniqlash uchun logarifmlardan foydalaniladi.

Natural logarifm Funksiya y=ln x uning xossalari

Natural logarifmning asosiy xossasini isbotlash

a > 0 va a birga teng bo'lmagan uchun a x = b tenglamasini ko'rib chiqing. Agar b noldan kichik yoki teng bo'lsa, bu tenglamaning yechimlari yo'q. Va u b > 0 uchun yagona yechimga ega. Bu yechim a b asosi uchun b ning logarifmi deyiladi va quyidagicha belgilanadi:

log(b)

b sonining f asosga logarifmi deyiladi ko'rsatkich, b raqamini olish uchun a soni ko'tarilishi kerak.

a(log a(b)) = b.

Bu formula deyiladi asosiy logarifmik identifikatsiya. Bu birga teng bo'lmagan har qanday musbat a uchun to'g'ri va har qanday ijobiy b.

Logarifmlarga misollar

Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik:

1. Jurnal 2 (32) qiymatini toping. 32 ni 2 5 sifatida ifodalash mumkin. Ya'ni, 32 raqamini olish uchun biz ikkitadan beshinchi darajaga ko'tarishimiz kerak. Shuning uchun log 2 (32) = 5.

2. √3 asosi uchun 1/9 logarifmini toping. (√3) 4 = 1/9 ekan, biz log √3 (1/9) = -4 ni olamiz.

3. Tengsizlik to‘g‘ri bo‘ladigan x ni toping: log 8 (x) = 1/3. Keling, asosiy logarifmik identifikatsiyani qo'llaymiz:

x = 8 (log 8 (x)) = 8 (1/8) = 2.

Logarifmlarning xossalari

Logarifmlar to'g'ridan-to'g'ri xususiyatlardan kelib chiqadigan bir nechta xususiyatlarga ega eksponensial funktsiya. Logarifmlarning asosiy xususiyatlari:

1. log a (1) = 0;

2. log a (a) = 1;

3. log a (x*y) = log a (x) + log a (x) - mahsulotning logarifmi logarifmalar yig'indisiga teng;

4. log x (x/y) = log a (x) - log a (y) - qismning logarifmi logarifmalar ayirmasiga teng;

5. log a (x p) = p* log a (x) - darajaning logarifmi ko'rsatkich va bu daraja asosining logarifmi ko'paytmasiga teng bo'ladi.

Yuqoridagi xususiyatlar har qanday ijobiy raqam uchun amal qiladi A, birga teng emas, har qanday musbat x va y va har qanday haqiqiy p.

Logarifmlar uchun yangi bazaga o'tish formulasi mavjud:

log a (x) = (log b (x))/(log b (a)).

Ushbu formula faqat uning ikkala qismi ham mantiqiy bo'lsa mantiqiy bo'ladi. Ya'ni, quyidagi shartlar bajarilishi kerak:

x > 0, a > 0, b > 0, a biriga teng emas b biriga teng emas.

Asoslari 10 soni bo'lgan logarifmlar deyiladi o'nlik logarifmlar. Asoslari e soni bo'lgan logarifmlar deyiladi tabiiy logarifmlar.

Musbat b sonining a asosi uchun logarifmi (a>0, a 1 ga teng emas) c soni shundayki a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b) > 0)       

E'tibor bering, musbat bo'lmagan sonning logarifmi aniqlanmagan. Bundan tashqari, logarifmning asosi 1 ga teng bo'lmagan musbat son bo'lishi kerak. Masalan, -2 kvadrat bo'lsa, biz 4 raqamini olamiz, lekin bu 4 ning asosi -2 logarifmi teng degani emas. 2 ga.

Asosiy logarifmik identifikatsiya

Ushbu formulaning o'ng va chap tomonlarini aniqlash doirasi boshqacha bo'lishi muhimdir. Chap tomon faqat b>0, a>0 va a ≠ 1 uchun aniqlanadi. O'ng tomon har qanday b uchun aniqlanadi va a ga umuman bog'liq emas. Shunday qilib, tenglamalar va tengsizliklarni echishda asosiy logarifmik "identifikatsiya" ni qo'llash ODning o'zgarishiga olib kelishi mumkin.

Logarifm ta'rifining ikkita aniq natijasi

Darhaqiqat, a raqamini birinchi darajaga ko'targanda, biz bir xil raqamni olamiz va uni nol darajaga ko'targanda, biz bitta raqamni olamiz.

Ko'paytmaning logarifmi va qismning logarifmi

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Men maktab o'quvchilarini ushbu formulalarni hal qilishda o'ylamasdan qo'llashdan ogohlantirmoqchiman logarifmik tenglamalar va tengsizliklar. Ularni "chapdan o'ngga" ishlatganda, ODZ torayadi va logarifmlarning yig'indisi yoki farqidan mahsulot yoki qismning logarifmiga o'tganda, ODZ kengayadi.

Darhaqiqat, log a (f (x) g (x)) ifodasi ikki holatda aniqlanadi: ikkala funktsiya qat'iy musbat bo'lganda yoki f (x) va g (x) ikkalasi ham noldan kichik bo'lganda.

Bu ifodani log a f (x) + log a g (x) yig‘indisiga aylantirib, biz faqat f(x)>0 va g(x)>0 hollari bilan cheklanishga majbur bo‘lamiz. Hududning torayishi kuzatiladi qabul qilinadigan qiymatlar, va bu mutlaqo qabul qilinishi mumkin emas, chunki bu yechimlarning yo'qolishiga olib kelishi mumkin. Xuddi shunday muammo formula (6) uchun ham mavjud.

Darajani logarifm belgisidan chiqarish mumkin

Va yana aniqlik uchun chaqirmoqchiman. Quyidagi misolni ko'rib chiqing:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Tenglikning chap tomoni f(x) ning noldan tashqari barcha qiymatlari uchun aniq belgilangan. O'ng tomon faqat f(x)>0 uchun! Logarifmadan darajani olib, biz yana ODZni toraytiramiz. Teskari protsedura qabul qilinadigan qiymatlar doirasini kengaytirishga olib keladi. Bu mulohazalar nafaqat 2-chi kuchga, balki har qanday teng kuchga ham tegishli.

Yangi poydevorga o'tish formulasi

Transformatsiya paytida ODZ o'zgarmasligi kam uchraydigan holat. Agar siz c bazasini oqilona tanlagan bo'lsangiz (ijobiy va 1 ga teng emas), yangi bazaga o'tish formulasi butunlay xavfsizdir.

Agar biz b raqamini yangi c asosi sifatida tanlasak, biz muhim bo'lamiz maxsus holat formulalar (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Logarifmlar bilan bir nechta oddiy misollar

Misol 1. Hisoblang: log2 + log50.
Yechim. log2 + log50 = log100 = 2. Biz logarifmlar yig'indisi formulasidan (5) va o'nlik logarifmning ta'rifidan foydalandik.

2-misol. Hisoblang: lg125/lg5.
Yechim. log125/log5 = log 5 125 = 3. Biz yangi bazaga o'tish uchun formuladan foydalandik (8).

Logarifmlarga oid formulalar jadvali

(yunon tilidan lós - "so'z", "munosabat" va ἀrthmos - "raqam") raqamlar b asoslangan a(log a b) shunday son deyiladi c, Va b= a c, ya'ni log a ni qayd qiladi b=c Va b=ac ekvivalentdir. Agar a > 0, a ≠ 1, b > 0 bo‘lsa, logarifm mantiqiy bo‘ladi.

Boshqa so'zlar bilan aytganda logarifm raqamlar b asoslangan A raqam ko'tarilishi kerak bo'lgan ko'rsatkich sifatida tuzilgan a raqamni olish uchun b(logarifm faqat musbat raqamlar uchun mavjud).

Bu formuladan kelib chiqadiki, hisoblash x= log a b, a x =b tenglamani yechishga teng.

Masalan:

log 2 8 = 3, chunki 8 = 2 3.

Shuni ta'kidlash kerakki, logarifmning ko'rsatilgan formulasi darhol aniqlashga imkon beradi logarifm qiymati, logarifm belgisi ostidagi raqam bazaning ma'lum bir kuchi sifatida harakat qilganda. Haqiqatan ham, logarifmning formulasi agar buni oqlash imkonini beradi b=a c, keyin raqamning logarifmi b asoslangan a teng Bilan. Logarifmlar mavzusi mavzu bilan chambarchas bog'liqligi ham aniq raqamning vakolatlari.

Logarifmni hisoblash deyiladi logarifm. Logarifm - logarifm olishning matematik amalidir. Logarifmlarni olishda omillarning ko'paytmalari hadlar yig'indisiga aylantiriladi.

Potentsiyalash logarifmning teskari matematik amalidir. Potentsiyalash vaqtida berilgan baza potentsiallash amalga oshiriladigan ifoda darajasiga ko'tariladi. Bunda atamalar yig'indisi omillar mahsulotiga aylanadi.

Ko'pincha haqiqiy logarifmlar 2 (ikkilik), Eyler soni e ≈ 2,718 (tabiiy logarifm) va 10 (o'nlik) asoslari bilan qo'llaniladi.

Ushbu bosqichda e'tiborga olish tavsiya etiladi Logarifm namunalari jurnal 7 2 , ln √ 5, lg0,0001.

Va lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 yozuvlari mantiqiy emas, chunki ularning birinchisida manfiy raqam logarifm belgisi ostida, ikkinchisida - manfiy raqam asosda, uchinchisida esa - logarifm belgisi ostidagi manfiy son ham, asosdagi birlik ham.

Logarifmni aniqlash shartlari.

Biz a > 0, a ≠ 1, b > 0 shartlarini alohida ko'rib chiqishga arziydi. logarifmning ta'rifi. Keling, bu cheklovlar nima uchun olinganligini ko'rib chiqaylik. Bunda bizga x = log a shaklidagi tenglik yordam beradi b, yuqorida keltirilgan logarifm ta'rifidan bevosita kelib chiqadigan asosiy logarifmik identifikatsiya deb ataladi.

Keling, shartni olaylik a≠1. Har qanday daraja birga teng bo'lganligi sababli, x=log a tenglik b faqat qachon mavjud bo'lishi mumkin b=1, lekin log 1 1 har qanday haqiqiy son bo'ladi. Ushbu noaniqlikni bartaraf qilish uchun biz olamiz a≠1.

Keling, shartning zarurligini isbotlaylik a>0. Da a=0 logarifmning formulasiga ko'ra, faqat qachon mavjud bo'lishi mumkin b=0. Va shunga ko'ra, keyin log 0 0 har qanday nolga teng bo'lmagan haqiqiy son bo'lishi mumkin, chunki noldan nolga teng bo'lmagan daraja nolga teng. Bu noaniqlikni shart bilan bartaraf etish mumkin a≠0. Va qachon a<0 biz logarifmning ratsional va irratsional qiymatlarini tahlil qilishni rad etishimiz kerak edi, chunki ratsional va irratsional ko'rsatkichli daraja faqat manfiy bo'lmagan asoslar uchun aniqlanadi. Aynan shuning uchun shart belgilab qo'yilgan a>0.

Va oxirgi shart b>0 tengsizlikdan kelib chiqadi a>0, chunki x=log a b, va musbat bazaga ega daraja qiymati a har doim ijobiy.

Logarifmlarning xususiyatlari.

Logarifmlar xosligi bilan ajralib turadi Xususiyatlari, bu esa mashaqqatli hisob-kitoblarni sezilarli darajada osonlashtirish uchun ularning keng qo'llanilishiga olib keldi. "Logarifmlar olamiga" o'tishda ko'paytirish ancha oson qo'shilishga, bo'linish ayirishga, daraja va ildiz chiqarish esa mos ravishda darajaga ko'paytirish va bo'linishga aylantiriladi.

Logarifmlarni shakllantirish va ularning qiymatlari jadvali (uchun trigonometrik funktsiyalar) birinchi marta 1614 yilda shotland matematigi Jon Nepier tomonidan nashr etilgan. Boshqa olimlar tomonidan kattalashtirilgan va batafsil bayon qilingan logarifmik jadvallar ilmiy va muhandislik hisoblarida keng qo‘llanilgan va elektron hisob mashinalari va EHMlar qo‘llanilgunga qadar o‘z ahamiyatini saqlab qolgan.