Muntazam ko'pburchaklardan biri. Muntazam ko'pburchaklarning xossalari
Ta'rif muntazam ko'pburchak ko'pburchakning ta'rifiga bog'liq bo'lishi mumkin: agar u tekis yopiq ko'p chiziq sifatida aniqlansa, u holda ta'rif paydo bo'ladi. muntazam yulduzli ko'pburchak Qanaqasiga qavariq bo'lmagan barcha tomonlari teng va barcha burchaklari teng bo'lgan ko'pburchak.
Xususiyatlari
Koordinatalar
Mayli x C (\displaystyle x_(C)) Va y C (\displaystyle y_(C))- markazning koordinatalari, va R (\displaystyle R)- aylana radiusi, s 0 (\displaystyle (\phi )_(0)) birinchi cho'qqining burchak koordinatasi bo'lsa, u holda muntazam n-burchak cho'qqilarining dekart koordinatalari quyidagi formulalar bilan aniqlanadi:
x i = x C + R cos (p 0 + 2 p i n) (\displaystyle x_(i)=x_(C)+R\cos \left((\phi )_(0)+(\frac (2\) pi i)(n))\o‘ng)) y i = y C + R sin (p 0 + 2 p i n) (\displaystyle y_(i)=y_(C)+R\sin \left((\phi )_(0)+(\frac (2\) pi i)(n))\o‘ng))Qayerda i = 0 … n - 1 (\displaystyle i=0\nuqtalar n-1)
O'lchamlari
Mayli R (\displaystyle R)- muntazam ko'pburchak atrofida aylana radiusi, u holda chizilgan doira radiusi teng bo'ladi
r = R cos p n (\displaystyle r=R\cos (\frac (\pi )(n))),ko‘pburchakning yon uzunligi esa
a = 2 R sin p n = 2 r t g p n (\displaystyle a=2R\sin (\frac (\pi )(n))=2r\mathop (\mathrm (tg) ) \,(\frac (\) pi)(n)))Kvadrat
N (\displaystyle n) va yon uzunligi a (\displaystyle a) bu:
S = n 4 a 2 ctg p n (\displaystyle S=(\frac (n)(4))\ a^(2)\mathop (\mathrm () ) \,\operator nomi (ctg) (\frac () \pi )(n))).Tomonlari soni bo'lgan muntazam ko'pburchakning maydoni n (\displaystyle n), radiusli doira ichiga yozilgan R (\displaystyle R), bu:
S = n 2 R 2 sin 2 p n (\displaystyle S=(\frac (n)(2))R^(2)\sin (\frac (2\pi )(n))).Tomonlari soni bo'lgan muntazam ko'pburchakning maydoni n (\displaystyle n), radiusli doira atrofida chegaralangan r (\displaystyle r), bu:
S = n r 2 t g p n (\displaystyle S=nr^(2)\mathop (\mathrm (tg) ) \,(\frac (\pi )(n)))(n-gonal asosining maydoni to'g'ri prizma)Tomonlari soni bo'lgan muntazam ko'pburchakning maydoni n (\displaystyle n) ga teng
S = n r a 2 (\displaystyle S=(\frac (nra)(2))),Qayerda r (\displaystyle r)- yon tomonning o'rtasidan markazgacha bo'lgan masofa, a (\displaystyle a)- yon uzunligi.
Perimetr bo'ylab muntazam ko'pburchakning maydoni ( P (\displaystyle P)) va chizilgan doira radiusi ( r (\displaystyle r)) bu:
S = 1 2 P r (\displaystyle S=(\frac (1)(2))Pr).Perimetr
Agar aylanaga chizilgan muntazam n-burchakning aylanasini bilgan holda yon uzunligini hisoblash kerak bo'lsa L (\displaystyle L) Ko'pburchakning bir tomonining uzunligini hisoblashingiz mumkin:
a n (\displaystyle a_(n))- muntazam n-burchakning yon uzunligi. a n = sin 180 n ⋅ L p (\displaystyle a_(n)=\sin (\frac (180)(n))\cdot (\frac (L)(\pi )))Perimetr P n (\displaystyle P_(n)) teng
P n = a n ⋅ n (\displaystyle P_(n)=a_(n)\cdot n)Qayerda n (\displaystyle n)- ko'pburchak tomonlari soni.
Ilova
Muntazam ko'pburchaklar, ta'rifiga ko'ra, muntazam ko'pburchaklarning yuzlari.
Qadimgi yunon matematiklari (Antifon, Brison Heraklea, Arximed va boshqalar) raqamlarni hisoblashda muntazam ko'pburchaklardan foydalanganlar. Ular aylanaga chizilgan va uning atrofida chegaralangan ko'pburchaklarning maydonlarini hisoblab chiqdilar, asta-sekin ularning tomonlarini ko'paytirdilar va shu bilan aylananing maydonini baholadilar.
Hikoya
Bilan muntazam ko'pburchak qurish n tomonlar XIX asrgacha matematiklar uchun muammo bo'lib qoldi. Ushbu qurilish doirani bo'lish bilan bir xil n teng qismlar, chunki aylanani qismlarga ajratuvchi nuqtalarni ulab, kerakli ko'pburchakni olishingiz mumkin.
O'shandan beri muammo butunlay hal qilingan deb hisoblanadi.
Teorema 1. Har qanday muntazam ko'pburchak atrofida aylana chizish mumkin.
ABCDEF (419-rasm) muntazam ko‘pburchak bo‘lsin; atrofida aylana tasvirlanishi mumkinligini isbotlash kerak.
Bizga ma'lumki, har doim bir to'g'rida yotmaydigan uchta nuqta orqali aylana o'tkazish mumkin; Bu shuni anglatadiki, har doim muntazam ko'pburchakning istalgan uchta uchidan, masalan, E, D va C uchlari orqali o'tadigan aylana chizish mumkin. O nuqta bu doiraning markazi bo'lsin.
Bu aylana ko‘pburchakning to‘rtinchi cho‘qqisidan, masalan, B cho‘qqisidan ham o‘tishini isbotlaylik.
OE, OD va OS segmentlari bir-biriga teng va har biri aylananing radiusiga teng. Keling, yana bir OB segmentini bajaramiz; bu segment haqida darhol aylana radiusiga teng deb aytish mumkin emas, buni isbotlash kerak; OED va ODC uchburchaklarini ko'rib chiqing, ular teng yonli va teng, shuning uchun ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4.
Agar ichki burchak berilgan ko'pburchakning a ga teng bo'lsa, u holda ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4 = a / 2; lekin agar ∠4= a / 2 bo'lsa, u holda ∠5 = a / 2, ya'ni. ∠4 = ∠5.
Bu erdan biz (Delta)OSD = (Delta)OSV va demak, OB = OS, ya'ni OB segmenti chizilgan aylana radiusiga teng degan xulosaga kelamiz. Bundan kelib chiqadiki, aylana muntazam ko'pburchakning B cho'qqisidan ham o'tadi.
Xuddi shu texnikadan foydalanib, biz qurilgan doira ko'pburchakning barcha boshqa uchlari orqali o'tishini isbotlaymiz. Bu shuni anglatadiki, bu doira ushbu muntazam ko'pburchak atrofida chegaralanadi. Teorema isbotlangan.
Teorema 2. Doira har qanday muntazam ko'pburchakda yozilishi mumkin.
ABCDEF muntazam ko‘pburchak bo‘lsin (420-rasm), unda aylana chizilgan bo‘lishi mumkinligini isbotlashimiz kerak.
Oldingi teoremadan ma'lumki, aylana muntazam ko'pburchak atrofida tasvirlanishi mumkin. O nuqta bu doiraning markazi bo'lsin.
Oc nuqtani ko‘pburchak uchlari bilan bog‘laymiz. Olingan uchburchaklar OED, ODC va boshqalar bir-biriga teng, ya'ni ularning O nuqtadan chizilgan balandliklari ham teng, ya'ni OK = OL = OM = ON = OP = OQ.
Demak, O nuqtadan radiusi OK segmentiga teng markazdan tasvirlangan aylana K, L, M, N, P va Q nuqtalardan o‘tadi va uchburchaklarning balandliklari aylananing radiuslari bo‘ladi. Ko'pburchakning tomonlari bu nuqtalarda radiuslarga perpendikulyar bo'ladi, shuning uchun ular bu doiraga tegadi. Demak, qurilgan aylana ushbu muntazam ko'pburchakda yozilgan.
Xuddi shu qurilish har qanday muntazam ko'pburchak uchun bajarilishi mumkin, shuning uchun har qanday muntazam ko'pburchakda aylana yozilishi mumkin;
Natija. Muntazam ko'pburchak atrofida chizilgan va unga yozilgan doiralar umumiy markazga ega.
Ta'riflar.
1. Muntazam ko'pburchakning markazi bu ko'pburchak atrofida chizilgan va unga chizilgan doiralarning umumiy markazidir.
2. Muntazam ko'pburchakning markazidan uning yon tomoniga chizilgan perpendikulyar muntazam ko'pburchakning apothemi deyiladi.
Muntazam ko‘pburchaklar tomonlarini aylanma radiusda ifodalash
Yordamida trigonometrik funktsiyalar Har qanday muntazam ko‘pburchakning yon tomonini uning atrofida aylana radiusi bilan ifodalash mumkin.
AB o'ng tomon bo'lsin n-gon radiusi OA = R bo'lgan doira ichiga chizilgan (rasm).
Muntazam ko‘pburchakning OD apotemini chizamiz va AOD to‘g‘ri burchakli uchburchakni ko‘rib chiqamiz. Bu uchburchakda
∠AOD = 1/2 ∠AOB = 1/2 360° / n= 180° / n
AD = AO sin ∠AOD = R sin 180° / n ;
lekin AB = 2AD va shuning uchun AB = 2R sin 180° / n .
To'g'ri tomon uzunligi n Doira ichiga yozilgan -gon odatda belgilanadi va n, shuning uchun hosil bo'lgan formulani quyidagicha yozish mumkin:
va n= 2R sin 180° / n .
Oqibatlari:
1. Radiusli aylana ichiga chizilgan muntazam oltiburchakning yon uzunligi R , formula bilan ifodalanadi A 6 = R, chunki
A 6 = 2R sin 180° / 6 = 2R sin 30° = 2R 1/2 = R.
2. Radiusli aylana ichiga chizilgan muntazam to'rtburchakning (kvadratning) tomonining uzunligi R , formula bilan ifodalanadi A 4 = R√2 , chunki
A 4 = 2R sin 180° / 4 = 2R sin 45° = 2R √ 2 / 2 = R√2
3. Radiusli aylana ichiga chizilgan muntazam uchburchakning yon uzunligi R , formula bilan ifodalanadi A 3 = R√3 , chunki.
A 3 = 2R sin 180° / 3 = 2R sin 60° = 2R √ 3/2 = R√3
Muntazam ko'pburchakning maydoni
To'g'risi berilsin n-gon (rasm). Uning maydonini aniqlash uchun talab qilinadi. Ko‘pburchakning tomonini bilan belgilaymiz A va markaz orqali O. Biz ko'pburchakning istalgan tomonining uchlari bilan markazni segmentlar bilan bog'laymiz, biz ko'pburchakning apothemini chizadigan uchburchakni olamiz.
Bu uchburchakning maydoni ah / 2. Butun ko'pburchakning maydonini aniqlash uchun siz bitta uchburchakning maydonini uchburchaklar soniga ko'paytirishingiz kerak, ya'ni. n. Biz olamiz: S = ah / 2 n = ahn / 2 lekin a ko'pburchak perimetriga teng. Uni R bilan belgilaymiz.
Nihoyat, biz olamiz: S = P h / 2. Bu erda S - muntazam ko'pburchakning maydoni, P - uning perimetri, h- apotema.
Muntazam ko'pburchakning maydoni uning perimetri va apotemasining yarmiga teng.
Boshqa materiallarMaxfiyligingizni saqlash biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik amaliyotlarimizni ko'rib chiqing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.
Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish
Shaxsiy ma'lumotlar ma'lum bir shaxsni aniqlash yoki unga murojaat qilish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi.
Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin.
Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligiga ba'zi misollar keltirilgan.
Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni yig'amiz:
- Saytda ariza topshirganingizda, biz sizning ismingiz, telefon raqamingiz, manzilingiz kabi turli xil ma'lumotlarni to'plashimiz mumkin Elektron pochta va hokazo.
Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:
- Biz to'playdigan shaxsiy ma'lumotlar noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va kelgusi tadbirlar haqida siz bilan bog'lanishimizga imkon beradi.
- Vaqti-vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim xabarlar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin.
- Shuningdek, biz shaxsiy ma'lumotlardan biz taqdim etayotgan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish uchun auditlar, ma'lumotlarni tahlil qilish va turli tadqiqotlar o'tkazish kabi ichki maqsadlarda foydalanishimiz mumkin.
- Agar siz sovrinlar o'yinida, tanlovda yoki shunga o'xshash aksiyada ishtirok etsangiz, biz siz taqdim etgan ma'lumotlardan bunday dasturlarni boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin.
Ma'lumotni uchinchi shaxslarga oshkor qilish
Biz sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz.
Istisnolar:
- Agar kerak bo'lsa - qonun hujjatlariga muvofiq, sud tartibida, sud jarayonida va / yoki Rossiya Federatsiyasi hududidagi davlat organlarining so'rovlari yoki so'rovlari asosida shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qilish. Shuningdek, biz siz haqingizdagi ma'lumotlarni oshkor qilishimiz mumkin, agar bunday oshkor qilish xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish yoki boshqa jamoat ahamiyatiga ega bo'lgan maqsadlar uchun zarur yoki mos ekanligini aniqlasak.
- Qayta tashkil etish, qo'shilish yoki sotilgan taqdirda, biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli vorisi uchinchi shaxsga o'tkazishimiz mumkin.
Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish
Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va noto'g'ri foydalanish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz.
Shaxsiy hayotingizni kompaniya darajasida hurmat qilish
Shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsizligini ta'minlash uchun biz maxfiylik va xavfsizlik standartlarini xodimlarimizga yetkazamiz va maxfiylik amaliyotlarini qat'iy tatbiq qilamiz.
MATERIAL KO'RISH
Oddiy ko'pburchak Tomonlari teng va burchaklari teng bo'lgan qavariq ko'pburchak deyiladi.a - sakkizburchakning tomoni,
R - aylana radiusi,
r - chizilgan aylana radiusi.
Muntazam n-burchakning ichki burchaklarining yig'indisi
180(n-2).
n-burchakning ichki burchagining daraja o'lchovi
180(n-2): n.
O'ng tomoni n-ka
Muntazam ko'pburchak ichiga chizilgan aylana radiusi
To'g'ri n maydoni
MASHQLAR
1. a) Olti burchakning ichki burchaklarining yig‘indisi quyidagilarga teng:
1) 360°; 2) 180°; 3) 720°; 4) 540°.
b) sakkizburchakning ichki burchaklarining yig'indisi quyidagilarga teng:
1) 360°; 2) 180°; 3) 720°; 4) 1080°.
Yechim:
a) Formulaga ko'ra, olti burchakli burchaklar yig'indisi: 180(6-2)=180*4=720
°
.
Javob: 720
°
.
2. a) Muntazam ko‘pburchakning tomoni 5 sm, ichki burchagi 144 ga teng°
a) Muntazam ko‘pburchakning tomoni 7 sm, ichki burchagi 150 ga teng°
. Ko‘pburchakning perimetrini toping.
Yechim:
a) 1) Ko‘pburchak tomonlari sonini toping:
144=180(n - 2):n;
144n=180n-360;
36n=360;
n=10.
2) Dekagonning perimetrini toping: P=5*10=50 sm.
Javob: 50 sm.
3. a) Muntazam beshburchakning perimetri 30 sm. Beshburchak atrofida aylananing diametrini toping.
b) Doiraning diametri 10 sm. Unga chizilgan beshburchakning perimetrini toping.
Yechim:
a) 1) Beshburchak tomonini toping: 30:5=6 sm.
2) Cheklangan aylana radiusini toping:
a=2R*sin(180
°
:n);
6=2R*sin (180
°
:5);
R=3: gunoh 36
°
=3:0,588=5,1 sm
Javob: 5,1 sm.
4. a) Muntazam ko‘pburchakning ichki burchaklarining yig‘indisi 2520 ga teng°
b) Muntazam ko‘pburchakning ichki burchaklarining yig‘indisi 1800 ga teng°
. Ko‘pburchakning tomonlar sonini toping.
Yechim:
a) Ko‘pburchakning tomonlar sonini toping:
2520
°
= 180
°
(n-2);
2520
°
+360
°
=180
°
n;
2880
°
=180
°
n;
n=16.
Javob: 16 tomon.
5. a) Doimiy oʻnta burchak atrofida aylana radiusi 5 sm. Koʻpburchakning maydonini toping.
b) Doimiy sakkizburchak atrofida aylana radiusi 6 sm ga teng ko‘pburchakning maydonini toping.
Yechim:
a) Dodekagonning maydonini toping:
S=0,5*
R 2 *n*sin(360°
:n)=0,5*25*12*sin30°
=75 sm 2
.
Javob: 75 sm 2
.
6. Agar soyali qismning maydoni ma'lum bo'lsa, olti burchakning maydonini toping:
a) 1) Olti burchakli AB tomonining uzunligini toping. ABC uchburchagini ko'rib chiqaylik - teng yon tomonli (AB=BC).
∠ABC=180 ° (6-2):6=120 ° .
ABC uchburchakning maydoni 0,5*AB*BC*sin120 ga teng° va shart bo'yicha 48 ga teng.
3) Olti burchakning maydonini toping:
Javob: 288 sm 2 .
7. a) Muntazam ko‘pburchakning uchidagi tashqi burchagi 18 bo‘lsa, uning tomonlari sonini toping.°
.
b) Muntazam ko‘pburchakning uchidagi tashqi burchagi 45 bo‘lsa, uning tomonlari sonini toping°
.
Yechim:
a) Muntazam ko‘pburchakning tashqi burchaklarining yig‘indisi 360 ga teng
°
.
Tomonlarning sonini topamiz: 360
°
:18
°
=20.
Javob: 20 tomon.
8. Agar AB akkordi quyidagiga teng bo'lsa, halqaning maydonini hisoblang:
a) 8 sm; b) 10 sm.
A)
1) OV - tashqi doira radiusi, OH - ichki doira radiusi. Halqaning maydonini formuladan foydalanib topish mumkin: S halqa = S tashqi doira - S ichki doira.
S= p *OB 2 - p *OH 2 = p (OB 2 -OH 2 ).
2) ABO uchburchagini - teng yon tomonlarini (radiuslar sifatida OA = OB) ko'rib chiqaylik. OH - ABO uchburchakdagi balandlik va mediana, shuning uchun AN=HB=8:2= 4 sm.
3) ONB uchburchagini ko'rib chiqaylik - to'rtburchaklar: HB 2 =OB 2 -U 2 , shuning uchun
OB 2 -U 2 =16.
4) halqaning maydonini toping:
S=p (OB 2 -OH 2 )=16 π sm 2 .
Javob:16 π sm 2 .
9. a) Agar AC = 9 sm bo'lsa, muntazam olti burchakli perimetrni toping.
b) Agar FA=6 sm bo'lsa, muntazam oltiburchakning maydonini toping.
a) 1) ABC burchagini toping: 180 ° (6-4):6=120 ° .
2) ABC uchburchagini ko'rib chiqaylik - teng yon tomonlar (AB = BC muntazam olti burchakning tomonlari sifatida).
∠ SIZ= ∠ BCA=(180° -120 ° ):2=30 ° .
Sinus teoremasiga ko'ra: AC: sin ∠ ABC = AB: gunoh∠ BCA;
AB=AC*sin30 ° :sin120;
P=6*AB;
10. Muntazam sakkizburchakda soyali qismning maydoni quyidagilarga teng ekanligini isbotlang:
a) sakkizburchak maydonining chorak qismi; b) sakkizburchak maydonining yarmi:
A)
1) Sakkizburchak burchaklarining bissektrisalarini chizamiz, ular O nuqtada kesishadi. Sakkizburchakning maydoni hosil bo'lgan sakkizta burchakning maydonlari yig'indisiga teng. teng uchburchaklar, ya'ni. S (ABCDEFKM) =8* S (OEF).
2) ABEF to‘rtburchak parallelogramm (AB//EF va AB=EF). Paralelogrammaning diagonallari teng: AE=BF (sekizburchak atrofida aylana diametrlari kabi), shuning uchun ABEF to'rtburchakdir. To'rtburchakning diagonallari uni to'rtta teng uchburchakka ajratadi.
3) AFKM toʻrtburchak maydonini toping:
S (ABEF)= 4* S (OEF).
2*S (AFKM)=S (ABCDEFKM) - S (ABEF) =8* S (OEF)-4* S (OEF)=4* S (OEF).
S (AFKM)=2* S (OEF).
4) Sakkizburchak maydonining soyali qism maydoniga nisbatini toping:
S (ABCDEFKM) : S (AFKM) = 8* S (OEF) : (2* S (OEF))=4.
Q.E.D.
11. Agar BA=AC boʻlsa va BAC sektori maydoni doira maydonining chorak qismiga teng boʻlsa, BAC sektori maydonining soyali rasm maydoniga nisbatini toping. :
A)
1) AB=AC=2R. BAC burchagi to'g'ri, chunki BAC sektorining maydoni doira maydonining to'rtdan biriga teng .
2) To'rtburchak AOni ko'rib chiqaylik 2 MO 1 . Bu romb, chunki barcha tomonlar radiusga teng va buyon Ularning burchaklaridan biri 90 °, keyin AO 2 MO 1 - kvadrat.
Uchburchak S = 0,5 R 2 sm 2 .S segmenti = (0,25 π - 0,5)R 2 sm 2.
Soyali qismning S = 2* S segmenti = 2*(0,25 π - 0,5)R 2 =(0,5 p -1)R 2 sm 2.
4) BAC sektorining maydonini toping:
Ssektorlar =p *(2R) 2 *90:360= π R 2 Bilanm 2.
5) BAC sektori maydonining soyali qism maydoniga nisbatini topamiz:
π R 2 :(0,5 p -1)R 2= 2 π : (p-2).
Javob: 2 π : (p-2).
MUSTAQIL YECHI UCHUN VAZIFALAR
1. Beshburchakning tashqi burchaklarining yig‘indisi nechaga teng?
2. Agar soyali maydonning maydoni 20 bo'lsa, sakkizburchakning maydoni qancha bo'ladi.
4. Muntazam ko‘pburchakning AB tomoni O ko‘pburchakning markazi, AOB burchagi 36 ga teng° . Ko‘pburchakning perimetrini toping.
5. Muntazam sakkizburchakning perimetri 80 sm, uning kichikroq diagonalini toping.
6. Doimiy uchburchak ichiga aylana chizilgan va uning atrofida aylana chizilgan. Agar uchburchakning tomoni 8 sm bo'lsa, aylanalardan hosil bo'lgan halqaning maydonini toping.
7. Muntazam yettiburchakning bir tepasidan chiquvchi ikkita kichikroq diagonal orasidagi burchakni toping.
8. Doimiy uchburchak aylana atrofida tasvirlangan va uning ichiga muntazam olti burchakli chizilgan. Uchburchak va olti burchakli maydonlar nisbatini toping.
9. Qavariq ko‘pburchakning 48 tomoni bor. Uning diagonallari sonini toping.
10. ABCD kvadratdir. B va C cho‘qqilardan radiusi AB bo‘lgan doiralar chizilgan. Soyali rasm maydonining kvadrat maydoniga nisbatini toping:
Uchburchak, kvadrat, olti burchakli - bu raqamlar deyarli hammaga ma'lum. Ammo oddiy ko'pburchak nima ekanligini hamma ham bilmaydi. Ammo bularning barchasi bir xil bo'lib, burchaklari va tomonlari teng bo'lgan ko'pburchakdir. Bunday raqamlar juda ko'p, ammo ularning barchasi bir xil xususiyatlarga ega va ularga bir xil formulalar qo'llaniladi.
Muntazam ko'pburchaklarning xossalari
Har qanday muntazam ko'pburchak, xoh u kvadrat yoki sakkizburchak bo'lsin, aylana ichiga yozilishi mumkin. Ushbu asosiy xususiyat ko'pincha figurani qurishda ishlatiladi. Bundan tashqari, doira ko'pburchakda yozilishi mumkin. Bunday holda, aloqa nuqtalarining soni uning tomonlari soniga teng bo'ladi. Muntazam ko'pburchak ichiga chizilgan doira u bilan umumiy markazga ega bo'lishi muhimdir. Bular geometrik raqamlar bir xil teoremalarga bo'ysunadi. Muntazam n-burchakning istalgan tomoni uni o'rab turgan R aylana radiusi bilan bog'liq bo'lib, uni quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin: a = 2R ∙ sin180°. Orqali ko'pburchakning nafaqat tomonlarini, balki perimetrini ham topishingiz mumkin.
Muntazam ko'pburchakning tomonlar sonini qanday topish mumkin
Har qanday biri bir-biriga teng bo'lgan ma'lum miqdordagi segmentlardan iborat bo'lib, ular ulanganda yopiq chiziq hosil qiladi. Bunday holda, olingan rasmning barcha burchaklari bir xil qiymatga ega. Ko'pburchaklar oddiy va murakkabga bo'linadi. Birinchi guruhga uchburchak va kvadrat kiradi. Murakkab ko'pburchaklar mavjud kattaroq raqam tomonlar Bularga yulduz shaklidagi figuralar ham kiradi. Kompleksda muntazam ko'pburchaklar Yon tomonlari ularni aylana ichiga yozish orqali topiladi. Keling, dalil keltiraylik. Tomonlarning ixtiyoriy soni n bo'lgan muntazam ko'pburchak chizing. Uning atrofida aylana chizing. R radiusini o'rnating. Endi tasavvur qiling, sizga bir oz n-gon berilgan. Agar uning burchak nuqtalari aylana ustida yotsa va bir-biriga teng bo'lsa, tomonlarni quyidagi formula yordamida topish mumkin: a = 2R ∙ sina: 2.
Chizilgan muntazam uchburchakning tomonlar sonini topish
Teng tomonli uchburchak muntazam ko'pburchakdir. Unga kvadrat va n-gon uchun formulalar qo'llaniladi. Agar tomonlar uzunligi teng bo'lsa, uchburchak muntazam hisoblanadi. Bunday holda, burchaklar 60⁰. Tomon uzunligi a berilgan uchburchak yasaymiz. Uning medianasi va balandligini bilib, uning tomonlarini qiymatini topishingiz mumkin. Buning uchun a = x formulasi orqali topish usulidan foydalanamiz: kosa, bu erda x - mediana yoki balandlik. Uchburchakning barcha tomonlari teng bo'lgani uchun a = b = c ni olamiz. Shunda quyidagi gap to'g'ri bo'ladi: a = b = c = x: cosa. Xuddi shunday, siz teng yonli uchburchakda tomonlarning qiymatini topishingiz mumkin, ammo x berilgan balandlik bo'ladi. Bunday holda, u qat'iy ravishda rasmning poydevoriga yo'naltirilishi kerak. Shunday qilib, x balandlikni bilib, biz a tomonni topamiz teng yonli uchburchak a = b = x formula bo'yicha: kosa. a ning qiymatini topgandan so'ng, siz c asosining uzunligini hisoblashingiz mumkin. Pifagor teoremasini qo‘llaylik. Biz c asosining yarmining qiymatini qidiramiz: 2=√(x: cosa)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2a) : cos^2a = x ∙ tana. Keyin c = 2xtana. Shunga o'xshash oddiy tarzda har qanday chizilgan ko'pburchakning tomonlar sonini topishingiz mumkin.
Doira ichiga chizilgan kvadratning tomonlarini hisoblash
Har qanday boshqa yozilgan muntazam ko'pburchak singari, kvadrat ham bor teng tomonlar va burchaklar. Uchburchak uchun xuddi shunday formulalar unga nisbatan qo'llaniladi. Diagonal qiymatdan foydalanib, kvadratning tomonlarini hisoblashingiz mumkin. Keling, ushbu usulni batafsil ko'rib chiqaylik. Ma'lumki, diagonal burchakni yarmiga bo'ladi. Dastlab uning qiymati 90 daraja edi. Shunday qilib, bo'linishdan keyin ikkitasi hosil bo'ladi, ularning poydevoridagi burchaklari 45 darajaga teng bo'ladi. Shunga ko'ra, kvadratning har bir tomoni teng bo'ladi, ya'ni: a = b = c = d = e ∙ cosa = e√2: 2, bu erda e - kvadratning diagonali yoki keyin hosil bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchakning asosi. bo'linish. Bu kvadratning tomonlarini topishning yagona usuli emas. Keling, bu raqamni aylanaga yozamiz. Bu doira R radiusini bilib, kvadratning tomonini topamiz. Biz uni quyidagicha hisoblaymiz: a4 = R√2. Muntazam ko'pburchaklarning radiuslari R = a: 2tg (360 o: 2n) formulasi yordamida hisoblanadi, bu erda a - tomonning uzunligi.
N-gonning perimetrini qanday hisoblash mumkin
n-burchakning perimetri uning barcha tomonlari yig‘indisidir. Hisoblash oson. Buning uchun siz barcha tomonlarning ma'nolarini bilishingiz kerak. Ko'pburchaklarning ayrim turlari uchun maxsus formulalar mavjud. Ular perimetrni tezroq topishga imkon beradi. Ma'lumki, har qanday muntazam ko'pburchak teng tomonlarga ega. Shuning uchun uning perimetrini hisoblash uchun ulardan kamida bittasini bilish kifoya. Formula rasmning tomonlar soniga bog'liq bo'ladi. Umuman olganda, u quyidagicha ko'rinadi: P = an, bu erda a - yon qiymat va n - burchaklar soni. Misol uchun, tomoni 3 sm bo'lgan muntazam sakkizburchakning perimetrini topish uchun uni 8 ga ko'paytirish kerak, ya'ni P = 3 ∙ 8 = 24 sm tomoni 5 sm bo'lgan olti burchak uchun biz hisoblaymiz quyidagicha: P = 5 ∙ 6 = 30 sm Va shuning uchun har bir ko'pburchak uchun.
Parallelogramm, kvadrat va romb perimetrini topish
Muntazam ko'pburchakning nechta tomoni borligiga qarab, uning perimetri hisoblanadi. Bu vazifani ancha osonlashtiradi. Darhaqiqat, boshqa raqamlardan farqli o'laroq, bu holda siz uning barcha tomonlarini qidirishingiz shart emas, bittasi etarli. Xuddi shu printsipdan foydalanib, biz to'rtburchaklar perimetrini, ya'ni kvadrat va rombni topamiz. Bu turli xil raqamlar bo'lishiga qaramay, ular uchun formula bir xil: P = 4a, bu erda a - tomon. Keling, misol keltiraylik. Agar romb yoki kvadratning tomoni 6 sm bo'lsa, u holda perimetrni quyidagicha topamiz: P = 4 ∙ 6 = 24 sm parallelogramm uchun faqat qarama-qarshi tomonlar teng. Shuning uchun uning perimetri boshqa usul yordamida topiladi. Shunday qilib, biz rasmning uzunligi a va kengligi b ni bilishimiz kerak. Keyin P = (a + b) ∙ 2 formulasini qo'llaymiz. Ularning orasidagi barcha tomonlari va burchaklari teng bo'lgan parallelogramma romb deyiladi.
Teng tomonli va to‘g‘ri burchakli uchburchakning perimetrini topish
To'g'ri perimetrni P = 3a formulasi yordamida topish mumkin, bu erda a - tomonning uzunligi. Agar noma'lum bo'lsa, uni mediana orqali topish mumkin. IN to'g'ri uchburchak teng qiymat faqat ikki tomoni bor. Asosni Pifagor teoremasi orqali topish mumkin. Har uch tomonning qiymatlari ma'lum bo'lgach, biz perimetrni hisoblaymiz. Uni P = a + b + c formulasini qo'llash orqali topish mumkin, bu erda a va b teng tomonlar va c asosdir. Eslatib o'tamiz, teng yonli uchburchakda a = b = a, ya'ni a + b = 2a, keyin P = 2a + c bo'ladi. Masalan, teng yonli uchburchakning tomoni 4 sm, uning asosini va perimetrini topamiz. Gipotenuzaning qiymatini Pifagor teoremasidan foydalanib hisoblaymiz = √a 2 + b 2 = √16+16 = √32 = 5,65 sm Endi perimetri P = 2 ∙ 4 + 5,65 = 13,65 sm.
Muntazam ko'pburchakning burchaklarini qanday topish mumkin
Muntazam ko'pburchak hayotimizda har kuni sodir bo'ladi, masalan, muntazam kvadrat, uchburchak, sakkizburchak. Bu raqamni o'zingiz qurishdan osonroq narsa yo'qdek tuyuladi. Ammo bu faqat birinchi qarashda oddiy. Har qanday n-burchakni qurish uchun siz uning burchaklarining qiymatini bilishingiz kerak. Lekin ularni qanday topish mumkin? Hatto qadimgi olimlar ham muntazam ko'pburchaklar qurishga harakat qilishgan. Ularni aylanalarga qanday joylashtirishni o'ylab topdilar. Va keyin unga kerakli nuqtalar belgilandi va to'g'ri chiziqlar bilan bog'landi. Uchun oddiy raqamlar qurilish muammosi hal qilindi. Formulalar va teoremalar olingan. Masalan, Evklid o'zining mashhur "Boshlanish" asarida 3-, 4-, 5-, 6- va 15-gonlar uchun masalalarni yechish bilan shug'ullangan. U ularni qurish va burchaklarni topish yo'llarini topdi. Keling, buni 15-gon uchun qanday qilishni ko'rib chiqaylik. Avval siz uning ichki burchaklarining yig'indisini hisoblashingiz kerak. S = 180⁰(n-2) formulasidan foydalanish kerak. Shunday qilib, bizga 15-gon berilgan, ya'ni n soni 15. Biz bilgan ma'lumotlarni formulaga almashtiramiz va S = 180⁰(15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰ ni olamiz. Biz 15 burchakli burchakning barcha ichki burchaklarining yig'indisini topdik. Endi siz ularning har birining qiymatini olishingiz kerak. Hammasi bo'lib 15 burchak bor 2340⁰: 15 = 156⁰. Bu shuni anglatadiki, har bir ichki burchak 156⁰ ga teng, endi o'lchagich va kompasdan foydalanib, siz oddiy 15 burchakli burchakni qurishingiz mumkin. Ammo murakkabroq n-gonlar haqida nima deyish mumkin? Ko'p asrlar davomida olimlar bu muammoni hal qilish uchun kurashdilar. U faqat 18-asrda Karl Fridrix Gauss tomonidan topilgan. U 65537-gonni qurishga muvaffaq bo'ldi. O'shandan beri muammo rasman to'liq hal qilingan deb hisoblanadi.
Radianlarda n-gonlarning burchaklarini hisoblash
Albatta, ko'pburchaklarning burchaklarini topishning bir necha usullari mavjud. Ko'pincha ular darajalarda hisoblanadi. Lekin ular radyanlarda ham ifodalanishi mumkin. Buni qanday qilish kerak? Siz quyidagi tarzda harakat qilishingiz kerak. Birinchidan, biz muntazam ko'pburchakning tomonlari sonini bilib olamiz, keyin undan 2 ni ayiramiz, bu qiymatni olamiz: n - 2. Topilgan farqni n soniga ko'paytiramiz ("pi" = 3.14). Endi faqat hosil bo'lgan mahsulotni n-gondagi burchaklar soniga bo'lish qoladi. Keling, misol sifatida bir xil o'n burchak yordamida ushbu hisob-kitoblarni ko'rib chiqaylik. Demak, n soni 15. S = n(n - 2) : n = 3,14(15 - 2) : 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72 formulasini qo‘llaymiz. Bu, albatta, radianlarda burchakni hisoblashning yagona usuli emas. Siz shunchaki burchakni gradusga 57,3 ga bo'lishingiz mumkin. Axir, bu qancha daraja bir radianga teng.
Burchaklarni darajalarda hisoblash
Darajalar va radianlarga qo'shimcha ravishda siz muntazam ko'pburchakning burchaklarini darajalarda topishga harakat qilishingiz mumkin. Bu quyidagicha amalga oshiriladi. Kimdan umumiy soni burchaklar, 2 ni ayirish, olingan farqni muntazam ko'pburchakning tomonlar soniga bo'lish. Biz topilgan natijani 200 ga ko'paytiramiz. Aytgancha, burchaklarni daraja kabi o'lchash birligi amalda qo'llanilmaydi.
n-gonlarning tashqi burchaklarini hisoblash
Har qanday muntazam ko'pburchak uchun ichki burchakka qo'shimcha ravishda tashqi burchakni ham hisoblashingiz mumkin. Uning qiymati boshqa raqamlar bilan bir xil tarzda topiladi. Shunday qilib, muntazam ko'pburchakning tashqi burchagini topish uchun siz ichki ko'pburchakning qiymatini bilishingiz kerak. Bundan tashqari, biz bu ikki burchakning yig'indisi har doim 180 darajaga teng ekanligini bilamiz. Shuning uchun biz hisob-kitoblarni quyidagicha qilamiz: 180⁰ minus ichki burchak qiymati. Biz farqni topamiz. Unga ulashgan burchakning qiymatiga teng bo'ladi. Masalan, kvadratning ichki burchagi 90 daraja, ya'ni tashqi burchak 180⁰ - 90⁰ = 90⁰ bo'ladi. Ko'rib turganimizdek, uni topish qiyin emas. Tashqi burchak mos ravishda +180⁰ dan -180⁰ gacha bo'lgan qiymatni olishi mumkin.
