ขับเคลื่อนโดยตัวอย่างลอการิทึม smf นิพจน์ลอการิทึม ตัวอย่าง

ลอการิทึมก็เหมือนกับตัวเลขอื่นๆ ที่สามารถบวก ลบ และแปลงได้ในทุกวิถีทาง แต่เนื่องจากลอการิทึมไม่ใช่ตัวเลขธรรมดาเสียทีเดียว จึงมีกฎที่เรียกว่า คุณสมบัติหลัก.

คุณจำเป็นต้องรู้กฎเหล่านี้อย่างแน่นอน - หากไม่มีกฎเหล่านี้ ปัญหาลอการิทึมร้ายแรงสักข้อเดียวก็ไม่สามารถแก้ไขได้ นอกจากนี้ยังมีน้อยมาก - คุณสามารถเรียนรู้ทุกสิ่งได้ภายในวันเดียว มาเริ่มกันเลย

การบวกและการลบลอการิทึม

พิจารณาลอการิทึมสองตัวที่มีฐานเดียวกัน: log ก xและเข้าสู่ระบบ ก ย. จากนั้นจึงสามารถบวกและลบได้ และ:

1. บันทึก ก x+ บันทึก ก ย=บันทึก ก (x · ย);
2. บันทึก ก x- บันทึก ก ย=บันทึก ก (x : ย).

ดังนั้น ผลรวมของลอการิทึมเท่ากับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ และผลต่างเท่ากับลอการิทึมของผลหาร บันทึก: ช่วงเวลาสำคัญที่นี่ - บริเวณที่เหมือนกัน. หากเหตุผลแตกต่าง กฎเหล่านี้ใช้ไม่ได้!

สูตรเหล่านี้จะช่วยคุณคำนวณนิพจน์ลอการิทึมแม้ว่าจะไม่ได้พิจารณาแต่ละส่วนก็ตาม (ดูบทเรียน "ลอการิทึมคืออะไร") ดูตัวอย่างและดู:

ล็อก 6 4 + ล็อก 6 9

เนื่องจากลอการิทึมมีฐานเท่ากัน เราจึงใช้สูตรผลรวม:
บันทึก 6 4 + บันทึก 6 9 = บันทึก 6 (4 9) = บันทึก 6 36 = 2

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 2 48 − log 2 3

ฐานเท่ากัน เราใช้สูตรผลต่าง:
บันทึก 2 48 - บันทึก 2 3 = บันทึก 2 (48: 3) = บันทึก 2 16 = 4

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 3 135 − log 3 5

ฐานก็เหมือนกัน ดังนั้นเราจึงได้:
บันทึก 3 135 - บันทึก 3 5 = บันทึก 3 (135: 5) = บันทึก 3 27 = 3

อย่างที่คุณเห็น นิพจน์ดั้งเดิมประกอบด้วยลอการิทึมที่ "ไม่ดี" ซึ่งไม่ได้คำนวณแยกกัน แต่หลังจากการแปลงจะได้ตัวเลขปกติโดยสมบูรณ์ หลายคนถูกสร้างขึ้นจากข้อเท็จจริงนี้ เอกสารทดสอบ. ใช่ สำนวนที่เหมือนการทดสอบมีการนำเสนออย่างจริงจังทุกประการ (บางครั้งแทบไม่มีการเปลี่ยนแปลงใดๆ) ในการสอบ Unified State

แยกเลขชี้กำลังออกจากลอการิทึม

ตอนนี้เรามาทำให้งานซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย จะเกิดอะไรขึ้นถ้าฐานหรืออาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมเป็นกำลัง? จากนั้นสามารถนำเลขชี้กำลังของระดับนี้ออกจากเครื่องหมายลอการิทึมได้ตามกฎต่อไปนี้:

จะเห็นได้ง่ายว่ากฎข้อสุดท้ายเป็นไปตามสองข้อแรก แต่ยังไงก็ดีกว่าที่จะจำไว้ - ในบางกรณีมันจะลดจำนวนการคำนวณลงอย่างมาก

แน่นอนว่ากฎทั้งหมดนี้สมเหตุสมผลหากสังเกต ODZ ของลอการิทึม: ก > 0, ก ≠ 1, x> 0. และอีกอย่างหนึ่ง: เรียนรู้การใช้สูตรทั้งหมด ไม่เพียงแต่จากซ้ายไปขวา แต่ยังในทางกลับกันอีกด้วย เช่น คุณสามารถป้อนตัวเลขก่อนที่ลอการิทึมจะลงชื่อเข้าใช้ลอการิทึมได้ นี่คือสิ่งที่จำเป็นบ่อยที่สุด

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 7 49 6 .

กำจัดระดับของการโต้แย้งโดยใช้สูตรแรก:
บันทึก 7 49 6 = 6 บันทึก 7 49 = 6 2 = 12

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:

[คำบรรยายภาพ]

โปรดทราบว่าตัวส่วนประกอบด้วยลอการิทึม ฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังที่แน่นอน: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. เรามี:

ฉันคิดว่าตัวอย่างสุดท้ายต้องมีการชี้แจง ลอการิทึมหายไปไหน? จนถึงวินาทีสุดท้ายที่เราทำงานกับตัวส่วนเท่านั้น เรานำเสนอฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมที่อยู่ตรงนั้นในรูปแบบของกำลังและนำเลขชี้กำลังออกมา - เราได้เศษส่วน "สามชั้น"

ทีนี้มาดูเศษส่วนหลักกัน ตัวเศษและส่วนมีตัวเลขเดียวกัน: log 2 7 เนื่องจากบันทึก 2 7 ≠ 0 เราสามารถลดเศษส่วนได้ - 2/4 จะยังคงอยู่ในตัวส่วน ตามกฎของเลขคณิตแล้วทั้งสี่สามารถโอนไปยังตัวเศษซึ่งเป็นสิ่งที่ทำเสร็จแล้ว ผลลัพธ์คือคำตอบ: 2.

การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่

เมื่อพูดถึงกฎสำหรับการบวกและการลบลอการิทึม ฉันเน้นย้ำเป็นพิเศษว่ากฎเหล่านี้ใช้ได้เฉพาะกับฐานเดียวกันเท่านั้น จะทำอย่างไรถ้าเหตุผลต่างกัน? จะเกิดอะไรขึ้นถ้าพวกมันไม่ใช่เลขยกกำลังที่เท่ากัน?

สูตรสำหรับการเปลี่ยนไปใช้รากฐานใหม่มาช่วยเหลือ ให้เรากำหนดพวกมันในรูปแบบของทฤษฎีบท:

ให้บันทึกลอการิทึม ก x. แล้วสำหรับเลขอะไรก็ตาม คดังนั้น ค> 0 และ ค≠ 1 ความเท่าเทียมกันเป็นจริง:

[คำบรรยายภาพ]

โดยเฉพาะถ้าเราใส่ ค = x, เราได้รับ:

[คำบรรยายภาพ]

จากสูตรที่สองเป็นไปตามว่าสามารถสลับฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมได้ แต่ในกรณีนี้นิพจน์ทั้งหมดจะ "พลิกกลับ" เช่น ลอการิทึมจะปรากฏในตัวส่วน

สูตรเหล่านี้ไม่ค่อยพบในนิพจน์ตัวเลขทั่วไป คุณสามารถประเมินได้ว่าสะดวกเพียงใดโดยการตัดสินใจเท่านั้น สมการลอการิทึมและความไม่เท่าเทียมกัน

แต่มีปัญหาที่ไม่สามารถแก้ไขได้เลยนอกจากการย้ายฐานรากใหม่ ลองดูสองสามสิ่งเหล่านี้:

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 5 16 log 2 25

โปรดทราบว่าอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมทั้งสองมีกำลังที่แน่นอน มาดูตัวบ่งชี้กันดีกว่า: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; บันทึก 2 25 = บันทึก 2 5 2 = 2 บันทึก 2 5;

ทีนี้ลอง "ย้อนกลับ" ลอการิทึมที่สอง:

เนื่องจากผลคูณไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อจัดเรียงปัจจัยใหม่ เราจึงคูณสี่และสองอย่างใจเย็น จากนั้นจึงจัดการกับลอการิทึม

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 9 100 lg 3

ฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมแรกคือกำลังที่แน่นอน มาเขียนสิ่งนี้และกำจัดตัวบ่งชี้:

ตอนนี้ กำจัดลอการิทึมทศนิยมโดยการย้ายไปยังฐานใหม่:

เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน

บ่อยครั้งในกระบวนการแก้ปัญหา จำเป็นต้องแสดงตัวเลขเป็นลอการิทึมของฐานที่กำหนด ในกรณีนี้สูตรต่อไปนี้จะช่วยเรา:

ในกรณีแรกคือหมายเลข nกลายเป็นเครื่องบ่งชี้ระดับการยืนหยัดในการโต้แย้ง ตัวเลข nสามารถเป็นอะไรก็ได้อย่างแน่นอน เพราะมันเป็นแค่ค่าลอการิทึม

สูตรที่สองเป็นคำจำกัดความที่ถอดความจริงๆ นั่นคือสิ่งที่เรียกว่า: พื้นฐาน เอกลักษณ์ลอการิทึม.

ที่จริงแล้วจะเกิดอะไรขึ้นถ้าตัวเลข ขยกกำลังให้เป็นจำนวนนั้น ขยกกำลังนี้ให้ตัวเลข ก? ถูกต้อง: คุณได้หมายเลขเดียวกันนี้ ก. อ่านย่อหน้านี้อย่างละเอียดอีกครั้ง หลายๆ คนอาจติดอยู่กับเรื่องนี้

เช่นเดียวกับสูตรสำหรับการย้ายไปยังฐานใหม่ บางครั้งเอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐานก็เป็นวิธีแก้ปัญหาเดียวที่เป็นไปได้

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:

[คำบรรยายภาพ]

โปรดทราบว่าบันทึก 25 64 = บันทึก 5 8 - แค่เอากำลังสองจากฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม เมื่อคำนึงถึงกฎในการคูณกำลังด้วยฐานเดียวกัน เราได้รับ:

ถ้าใครไม่รู้ นี่คืองานจริงจากการสอบ Unified State :)

หน่วยลอการิทึมและศูนย์ลอการิทึม

โดยสรุป ฉันจะให้สองตัวตนที่แทบจะเรียกได้ว่าเป็นคุณสมบัติไม่ได้ - แต่พวกมันเป็นผลมาจากคำจำกัดความของลอการิทึม สิ่งเหล่านี้มักเกิดปัญหาอยู่เสมอ และน่าประหลาดใจที่ยังสร้างปัญหาให้กับนักเรียน "ขั้นสูง" อีกด้วย

1. บันทึก ก ก= 1 คือหน่วยลอการิทึม จำไว้ทุกครั้ง: ลอการิทึมของฐานใดๆ กจากฐานนี้เท่ากับหนึ่ง
2. บันทึก ก 1 = 0 คือศูนย์ลอการิทึม ฐาน กสามารถเป็นอะไรก็ได้ แต่ถ้าอาร์กิวเมนต์มีอย่างใดอย่างหนึ่ง ลอการิทึมจะเท่ากับศูนย์! เพราะ ก 0 = 1 คือ ผลโดยตรงจากคำจำกัดความ

นั่นคือคุณสมบัติทั้งหมด อย่าลืมฝึกฝนการนำไปปฏิบัติ! ดาวน์โหลดเอกสารสรุปตอนต้นบทเรียน พิมพ์ออกมา และแก้ไขปัญหา

ตามมาจากคำจำกัดความของมัน แล้วก็ลอการิทึมของจำนวนนั้น ขขึ้นอยู่กับ กถูกกำหนดให้เป็นเลขชี้กำลังที่ต้องยกจำนวนขึ้น กเพื่อรับหมายเลข ข(ลอการิทึมมีอยู่เฉพาะสำหรับจำนวนบวกเท่านั้น)

จากสูตรนี้จึงเป็นไปตามการคำนวณ x=ล็อก ก ขเทียบเท่ากับการแก้สมการ ก x =ขตัวอย่างเช่น, บันทึก 2 8 = 3เพราะ 8 = 2 3 . การกำหนดลอการิทึมทำให้สามารถพิสูจน์ได้ว่าถ้า ข=คแล้วตามด้วยลอการิทึมของตัวเลข ขขึ้นอยู่กับ กเท่ากับ กับ. เป็นที่ชัดเจนว่าหัวข้อลอการิทึมมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับหัวข้อเรื่องกำลังของตัวเลข

ด้วยลอการิทึมเช่นเดียวกับตัวเลขอื่นๆ คุณสามารถทำได้ การดำเนินการบวก ลบและเปลี่ยนแปลงในทุกวิถีทางที่เป็นไปได้ แต่เนื่องจากลอการิทึมไม่ใช่ตัวเลขธรรมดาทั้งหมด จึงมีการใช้กฎพิเศษของตัวเองซึ่งเรียกว่า คุณสมบัติหลัก.

การบวกและการลบลอการิทึม

ลองใช้ลอการิทึมสองตัวที่มีฐานเดียวกัน: เข้าสู่ระบบ xและ เข้าสู่ระบบ y. จากนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะดำเนินการบวกและการลบ:

บันทึก x+ บันทึก a y= บันทึก a (x·y);

บันทึก a x - บันทึก a y = บันทึก a (x:y)

เข้าสู่ระบบ(x 1 . x 2 . x 3 ... เอ็กซ์เค) = เข้าสู่ระบบ x 1 + เข้าสู่ระบบ x 2 + เข้าสู่ระบบ x 3 + ... + เข้าสู่ระบบ x k.

จาก ทฤษฎีบทผลหารลอการิทึมสามารถรับคุณสมบัติของลอการิทึมได้อีกหนึ่งรายการ เป็นความรู้ทั่วไปที่บันทึก ก 1= 0 ดังนั้น

บันทึก ก 1 /ข=บันทึก ก 1 - บันทึก ข= -ล็อก ข.

ซึ่งหมายความว่ามีความเท่าเทียมกัน:

บันทึก a 1 / b = - บันทึก a b

ลอการิทึมของจำนวนกลับกันสองตัวด้วยเหตุผลเดียวกันจะแตกต่างกันโดยสัญญาณเท่านั้น ดังนั้น:

บันทึก 3 9= - บันทึก 3 1/9 ; บันทึก 5 1/125 = -บันทึก 5 125

องค์ประกอบหนึ่งของพีชคณิตระดับดั้งเดิมคือลอการิทึม ชื่อนี้มาจาก ภาษากรีกมาจากคำว่า “เลข” หรือ “กำลัง” และหมายถึง ระดับที่ต้องยกเลขในฐานขึ้นจึงจะหาเลขสุดท้ายได้

ประเภทของลอการิทึม

• log a b – ลอการิทึมของตัวเลข b ถึงฐาน a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• บันทึกข – ลอการิทึมทศนิยม(ลอการิทึมถึงฐาน 10, a = 10);
• ln b – ลอการิทึมธรรมชาติ (ลอการิทึมถึงฐาน e, a = e)

วิธีการแก้ลอการิทึม?

ลอการิทึมของ b ถึงฐาน a เป็นเลขชี้กำลังที่ต้องยก b ขึ้นเป็นฐาน a ผลลัพธ์ที่ได้จะออกเสียงดังนี้: “ลอการิทึมของ b ถึงฐาน a” วิธีแก้ปัญหาลอการิทึมคือคุณต้องหากำลังที่กำหนดเป็นตัวเลขจากตัวเลขที่ระบุ มีกฎพื้นฐานบางประการในการกำหนดหรือแก้ลอการิทึม รวมถึงการแปลงสัญกรณ์ด้วย เมื่อใช้พวกมัน สมการลอการิทึมจะถูกแก้ไข พบอนุพันธ์ ปริพันธ์ได้รับการแก้ไข และดำเนินการอื่น ๆ อีกมากมาย โดยพื้นฐานแล้ว การแก้ลอการิทึมนั้นจะใช้สัญกรณ์แบบง่าย ด้านล่างนี้เป็นสูตรและคุณสมบัติพื้นฐาน:

สำหรับใดๆ ; ก > 0; a ≠ 1 และสำหรับ x ใด ๆ ; ใช่ > 0

• บันทึก a b = b – ข้อมูลประจำตัวลอการิทึมพื้นฐาน
• บันทึก 1 = 0
• โลกา ก = 1
• บันทึก a (x y) = บันทึก a x + บันทึก a y
• บันทึก a x/ y = บันทึก a x – บันทึก a y
• บันทึก a 1/x = -บันทึก x
• บันทึก a x p = p บันทึก a x
• log a k x = 1/k log a x สำหรับ k ≠ 0
• บันทึก a x = บันทึก a c x c
• log a x = log b x/ log b a – สูตรสำหรับการย้ายไปยังฐานใหม่
• บันทึก a x = 1/บันทึก x a

วิธีแก้ลอการิทึม - คำแนะนำทีละขั้นตอนในการแก้ปัญหา

• ขั้นแรก เขียนสมการที่ต้องการ

โปรดทราบ: หากลอการิทึมฐานคือ 10 รายการจะถูกย่อให้สั้นลง ส่งผลให้มีลอการิทึมฐานสิบ ถ้ามันคุ้มค่า จำนวนธรรมชาติ e จากนั้นเราเขียนมันลงไป โดยลดเหลือลอการิทึมธรรมชาติ ซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์ของลอการิทึมทั้งหมดคือกำลังที่เลขฐานถูกยกขึ้นเพื่อให้ได้เลข b

วิธีแก้ปัญหาอยู่ที่การคำนวณระดับนี้โดยตรง ก่อนที่จะแก้นิพจน์ด้วยลอการิทึมจะต้องทำให้ง่ายขึ้นตามกฎนั่นคือการใช้สูตร คุณสามารถค้นหาตัวตนหลักได้โดยย้อนกลับไปในบทความเล็กน้อย

เมื่อบวกและลบลอการิทึมด้วยตัวเลขสองตัวที่แตกต่างกันแต่มีฐานเท่ากัน ให้แทนที่ด้วยลอการิทึมตัวเดียวด้วยผลคูณหรือการหารของตัวเลข b และ c ตามลำดับ ในกรณีนี้ คุณสามารถใช้สูตรในการย้ายไปยังฐานอื่นได้ (ดูด้านบน)

หากคุณใช้นิพจน์เพื่อลดความซับซ้อนของลอการิทึม มีข้อจำกัดบางประการที่ต้องพิจารณา และนั่นคือ: ฐานของลอการิทึม a เป็นเพียงจำนวนบวก แต่ไม่เท่ากับ 1 จำนวน b เช่น a ต้องมากกว่าศูนย์

มีหลายกรณีที่การทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น คุณจะไม่สามารถคำนวณลอการิทึมเป็นตัวเลขได้ มันเกิดขึ้นที่การแสดงออกดังกล่าวไม่สมเหตุสมผลเพราะเลขยกกำลังจำนวนมากเป็นจำนวนอตรรกยะ ภายใต้เงื่อนไขนี้ ให้ปล่อยให้กำลังของตัวเลขเป็นลอการิทึม

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:

• เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่ของคุณ อีเมลฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณเพื่อรับข้อเสนอ โปรโมชั่น และกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้น
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
• เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การดำเนินการตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• หากจำเป็น - ตามกฎหมาย ขั้นตอนการพิจารณาคดี ในการดำเนินการทางกฎหมาย และ/หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจากหน่วยงานของรัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - ให้เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงการบริหารจัดการ ทางเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึมธรรมชาติ กราฟ ขอบเขตคำนิยาม เซตของค่า สูตรพื้นฐาน อนุพันธ์ อินทิกรัล การขยายตัวใน ซีรีย์พาวเวอร์และการแทนฟังก์ชัน ln x โดยใช้จำนวนเชิงซ้อน

คำนิยาม

ลอการิทึมธรรมชาติคือฟังก์ชัน y = ใน xซึ่งเป็นค่าผกผันของเลขชี้กำลัง x = e y และเป็นลอการิทึมของฐานของจำนวน e: ln x = บันทึก อี x.

ลอการิทึมธรรมชาติใช้กันอย่างแพร่หลายในคณิตศาสตร์ เนื่องจากอนุพันธ์ของลอการิทึมมีรูปแบบที่ง่ายที่สุด: (ln x)′ = 1/ x.

ซึ่งเป็นรากฐาน คำจำกัดความฐานของลอการิทึมธรรมชาติคือตัวเลข จ:
อี ≅ 2.718281828459045...;
.

กราฟของฟังก์ชัน y = ใน x.

กราฟของลอการิทึมธรรมชาติ (ฟังก์ชัน y = ใน x) ได้มาจากกราฟเลขชี้กำลังโดยการสะท้อนกระจกสัมพันธ์กับเส้นตรง y = x

ลอการิทึมธรรมชาติถูกกำหนดไว้ที่ ค่าบวกตัวแปร x มันเพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจในขอบเขตของคำจำกัดความ

ที่ x → 0 ขีดจำกัดของลอการิทึมธรรมชาติคือลบอนันต์ (-∞)

เมื่อ x → + ∞ ขีดจำกัดของลอการิทึมธรรมชาติคือบวกอนันต์ (+ ∞) สำหรับ x ขนาดใหญ่ ลอการิทึมจะเพิ่มขึ้นค่อนข้างช้า ฟังก์ชันกำลังใดๆ x a ด้วย ตัวบ่งชี้ที่เป็นบวกองศา a เติบโตเร็วกว่าลอการิทึม

คุณสมบัติของลอการิทึมธรรมชาติ

ขอบเขตของคำจำกัดความ ชุดของค่า สุดขั้ว เพิ่ม ลด

ลอการิทึมธรรมชาติเป็นฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นแบบโมโนโทน ดังนั้นจึงไม่มีค่าสุดโต่ง คุณสมบัติหลักของลอการิทึมธรรมชาติแสดงอยู่ในตาราง

ค่า x

ใน 1 = 0

สูตรพื้นฐานสำหรับลอการิทึมธรรมชาติ

สูตรต่อจากนิยามของฟังก์ชันผกผัน:

คุณสมบัติหลักของลอการิทึมและผลที่ตามมา

สูตรทดแทนเบส

ลอการิทึมใดๆ สามารถแสดงในรูปของลอการิทึมธรรมชาติได้โดยใช้สูตรการแทนที่ฐาน:

การพิสูจน์สูตรเหล่านี้แสดงไว้ในส่วน "ลอการิทึม"

ฟังก์ชันผกผัน

ค่าผกผันของลอการิทึมธรรมชาติคือเลขชี้กำลัง

ถ้าอย่างนั้น

ถ้าอย่างนั้น.

อนุพันธ์ ln x

อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติ:
.
อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติของโมดูลัส x:
.
อนุพันธ์ของลำดับที่ n:
.
การหาสูตร > > >

บูรณาการ

อินทิกรัลคำนวณโดยการอินทิเกรตตามส่วนต่างๆ:
.
ดังนั้น,

นิพจน์ที่ใช้จำนวนเชิงซ้อน

พิจารณาฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน z:
.
ลองแสดงตัวแปรที่ซับซ้อนกัน zผ่านโมดูล รและการโต้แย้ง φ :
.
จากคุณสมบัติของลอการิทึม เราได้:
.
หรือ
.
อาร์กิวเมนต์ φ ไม่ได้ถูกกำหนดไว้โดยเฉพาะ ถ้าใส่
โดยที่ n คือจำนวนเต็ม
มันจะเป็นตัวเลขเดียวกันสำหรับ n ที่แตกต่างกัน

ดังนั้นลอการิทึมธรรมชาติซึ่งเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนจึงไม่ใช่ฟังก์ชันค่าเดียว

การขยายซีรีย์พาวเวอร์

เมื่อการขยายตัวเกิดขึ้น:

อ้างอิง:
ใน. บรอนสไตน์, เค.เอ. Semendyaev คู่มือคณิตศาสตร์สำหรับวิศวกรและนักศึกษา "Lan", 2552