การแปลงเศษส่วนตรรกยะ (พีชคณิต) ประเภทของการแปลง ตัวอย่าง ข้อมูลพื้นฐานเกี่ยวกับนิพจน์เหตุผลและการแปลง

บทความนี้พูดถึงการเปลี่ยนแปลงของการแสดงออกที่มีเหตุผล ลองพิจารณาประเภทของนิพจน์เหตุผล การแปลง การจัดกลุ่ม และการถ่ายคร่อมตัวประกอบร่วม มาเรียนรู้การแสดงนิพจน์เศษส่วนในรูปของเศษส่วนตรรกยะกัน

ยานเดกซ์RTB R-A-339285-1

ความหมายและตัวอย่างของการแสดงออกเชิงเหตุผล

นิพจน์ที่ประกอบด้วยตัวเลข ตัวแปร วงเล็บ กำลังที่มีการดำเนินการบวก ลบ คูณ หาร โดยมีเส้นเศษส่วนเรียกว่า การแสดงออกที่มีเหตุผล

ตัวอย่างเช่น เรามี 5, 2 3 x - 5, - 3 a b 3 - 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a: (1 - b) , (x + 1) (y - 2) x 5 - 5 · x · ย · 2 - 1 11 · x 3 .

นั่นคือนิพจน์เหล่านี้ไม่ได้แบ่งออกเป็นนิพจน์ที่มีตัวแปร การศึกษานิพจน์เหตุผลเริ่มต้นในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ซึ่งเรียกว่านิพจน์เศษส่วนแบบเศษส่วน เศษส่วนในตัวเศษ ซึ่งถูกแปลงโดยใช้กฎการแปลงจะให้ความสนใจเป็นพิเศษ

สิ่งนี้ช่วยให้เราสามารถดำเนินการแปลงเศษส่วนตรรกยะในรูปแบบใดก็ได้ นิพจน์ดังกล่าวถือได้ว่าเป็นนิพจน์ที่มีเศษส่วนตรรกยะและนิพจน์จำนวนเต็มพร้อมเครื่องหมายการกระทำ

การแปลงนิพจน์เหตุผลประเภทหลัก

นิพจน์เหตุผลใช้เพื่อทำการแปลง การจัดกลุ่ม การนำสิ่งที่คล้ายกันมาใช้ และดำเนินการอื่นๆ กับตัวเลข จุดประสงค์ของสำนวนดังกล่าวคือการทำให้เข้าใจง่ายขึ้น

ตัวอย่างที่ 1

แปลงนิพจน์ตรรกยะ 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1

สารละลาย

จะเห็นได้ว่าการแสดงออกเชิงเหตุผลดังกล่าวคือความแตกต่างระหว่าง 3 x x y - 1 และ 2 x x y - 1 เราสังเกตเห็นว่าตัวส่วนเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าการลดข้อกำหนดที่คล้ายกันจะเกิดขึ้น

3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 3 - 2 = x x y - 1

คำตอบ: 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 = x x · y - 1

ตัวอย่างที่ 2

แปลง 2 xy 4 (- 4) x 2: (3 x - x) .

สารละลาย

ขั้นแรกให้ดำเนินการในวงเล็บ 3 · x − x = 2 · x เราแสดงนิพจน์นี้ในรูปแบบ 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x เรามาถึงนิพจน์ที่มีการดำเนินการในขั้นตอนเดียว นั่นคือ มีการบวกและการลบ

เรากำจัดวงเล็บออกโดยใช้คุณสมบัติการหาร จากนั้นเราจะได้ 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2: x

เราจัดกลุ่มปัจจัยเชิงตัวเลขด้วยตัวแปร x หลังจากนั้นเราสามารถดำเนินการด้วยกำลังได้ เราเข้าใจแล้ว

2 x ปี 4 (- 4) x 2: 2: x = (2 (- 4) : 2) (x x 2: x) y 4 = - 4 x 2 ปี 4

คำตอบ: 2 x ปี 4 (- 4) x 2: (3 x - x) = - 4 x 2 ปี 4

ตัวอย่างที่ 3

แปลงนิพจน์ในรูปแบบ x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2

สารละลาย

ขั้นแรก เราแปลงตัวเศษและส่วน. จากนั้นเราจะได้นิพจน์ในรูปแบบ (x · (x + 3) - (3 · x + 1)): 1 2 · x · 4 + 2 และให้ดำเนินการในวงเล็บก่อน ในตัวเศษ การดำเนินการจะดำเนินการและจัดกลุ่มปัจจัย จากนั้นเราจะได้นิพจน์ในรูปแบบ x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x 2 + 3 · x - 3 · x - 1 1 2 · 4 · x + 2 = x 2 - 1 2 · x + 2 .

เราแปลงผลต่างของสูตรกำลังสองในตัวเศษ แล้วเราจะได้มัน

x 2 - 1 2 x + 2 = (x - 1) (x + 1) 2 (x + 1) = x - 1 2

คำตอบ: x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x - 1 2 .

การแทนเศษส่วนแบบตรรกยะ

เศษส่วนพีชคณิตมักถูกทำให้ง่ายขึ้นเมื่อแก้โจทย์แล้ว ทุกเหตุผลจะลดลงเหลือเพียงเท่านี้ วิธีทางที่แตกต่าง. จำเป็นต้องดำเนินการที่จำเป็นทั้งหมดด้วยพหุนามเพื่อให้นิพจน์ตรรกยะสามารถให้เศษส่วนที่เป็นตรรกยะได้ในที่สุด

ตัวอย่างที่ 4

ปัจจุบันเป็นเศษส่วนตรรกยะ a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a

สารละลาย

นิพจน์นี้สามารถแสดงเป็น 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a การคูณจะดำเนินการตามกฎเป็นหลัก

เราควรเริ่มด้วยการคูณ แล้วเราจะได้สิ่งนั้น

ก 2 - 25 ก + 3 1 ก 2 + 5 ก = ก - 5 (ก + 5) ก + 3 1 ก (ก + 5) = ก - 5 (ก + 5) 1 ( ก + 3) ก (ก + 5) = ก - 5 (ก + 3) ก

เรานำเสนอผลลัพธ์ที่ได้รับด้วยผลลัพธ์ต้นฉบับ เราเข้าใจแล้ว

ก + 5 ก · (ก - 3) - ก 2 - 25 ก + 3 · 1 ก 2 + 5 · ก = ก + 5 ก · ก - 3 - ก - 5 ก + 3 · ก

ทีนี้มาทำการลบกัน:

ก + 5 ก · ก - 3 - ก - 5 ก + 3 · ก = ก + 5 · ก + 3 ก · (ก - 3) · (ก + 3) - (ก - 5) · (ก - 3) (ก + 3) ก (ก - 3) = = ก + 5 ก + 3 - (ก - 5) (ก - 3) ก (ก - 3) (ก + 3) = ก 2 + 3 ก + 5 ก + 15 - (ก 2 - 3 ก - 5 ก + 15) ก (ก - 3) (ก + 3) = = 16 ก ก (ก - 3) (ก + 3) = 16 ก - 3 (ก + 3) = 16 ก 2 - 9

หลังจากนั้นจะเห็นได้ชัดว่านิพจน์ดั้งเดิมจะอยู่ในรูปแบบ 16 a 2 - 9

คำตอบ:ก + 5 ก · (ก - 3) - ก 2 - 25 ก + 3 · 1 ก 2 + 5 · ก = 16 ก 2 - 9 .

ตัวอย่างที่ 5

เขียน x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x เป็นเศษส่วนตรรกยะ

สารละลาย

นิพจน์ที่กำหนดจะเขียนเป็นเศษส่วน โดยตัวเศษประกอบด้วย x x + 1 + 1 และตัวส่วน 2 x - 1 1 + x จำเป็นต้องทำการแปลง x x + 1 + 1 . ในการทำเช่นนี้คุณต้องบวกเศษส่วนและตัวเลข เราจะได้ว่า x x + 1 + 1 = x x + 1 + 1 1 = x x + 1 + 1 · (x + 1) 1 · (x + 1) = x x + 1 + x + 1 x + 1 = x + x + 1 x + 1 = 2 x + 1 x + 1

ตามมาว่า x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 2 x - 1 1 + x

เศษส่วนที่ได้สามารถเขียนเป็น 2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x

หลังจากการหาร เราก็ได้เศษส่วนที่เป็นตรรกยะของแบบฟอร์ม

2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 (1 + x) (x + 1) (2 x - 1 ) = 2 x + 1 2 x - 1

คุณสามารถแก้ปัญหานี้ได้แตกต่างออกไป

แทนที่จะหารด้วย 2 x - 1 1 + x เราจะคูณด้วยอินเวอร์ส 1 + x 2 x - 1 ใช้งานได้ ทรัพย์สินจำหน่ายและเราได้รับสิ่งนั้น

x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1: 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = = x x + 1 1 + x 2 x - 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = x 1 + x (x + 1) 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = = x 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = x + 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 2 x - 1

คำตอบ: x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x = 2 · x + 1 2 · x - 1 .

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

ในอดีตอันไกลโพ้น เมื่อยังไม่มีการประดิษฐ์ระบบตัวเลข ผู้คนนับทุกสิ่งด้วยนิ้วของตนเอง ด้วยการถือกำเนิดของเลขคณิตและพื้นฐานของคณิตศาสตร์ การติดตามสินค้า ผลิตภัณฑ์ และของใช้ในครัวเรือนจึงกลายเป็นเรื่องง่ายและเป็นประโยชน์มากขึ้น อย่างไรก็ตาม มันมีลักษณะอย่างไร? ระบบที่ทันสมัยแคลคูลัส: ตัวเลขที่มีอยู่แบ่งออกเป็นประเภทใดและ "รูปแบบเหตุผลของตัวเลข" หมายถึงอะไร? ลองคิดดูสิ

ตัวเลขในคณิตศาสตร์มีกี่ประเภท?

แนวคิดเรื่อง "ตัวเลข" หมายถึงหน่วยหนึ่งของวัตถุใด ๆ ที่แสดงลักษณะของตัวบ่งชี้เชิงปริมาณ เชิงเปรียบเทียบ หรือลำดับ เพื่อที่จะคำนวณจำนวนของบางสิ่งได้อย่างถูกต้องหรือดำเนินการทางคณิตศาสตร์บางอย่างกับตัวเลข (บวก คูณ ฯลฯ) คุณควรทำความคุ้นเคยกับความหลากหลายของตัวเลขที่เหมือนกันเหล่านี้ก่อน

ดังนั้นตัวเลขที่มีอยู่สามารถแบ่งออกเป็นประเภทต่างๆได้ดังต่อไปนี้:

1. ตัวเลขธรรมชาติคือตัวเลขที่เรานับจำนวนวัตถุ (จำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุดคือ 1 ซึ่งเป็นตรรกะที่อนุกรมนี้ ตัวเลขธรรมชาติเป็นอนันต์ กล่าวคือ ไม่มีจำนวนธรรมชาติที่ใหญ่ที่สุด) เซตของจำนวนธรรมชาติมักจะเขียนแทนด้วยตัวอักษร N
2. จำนวนทั้งหมด. ชุดนี้รวมทุกอย่างในขณะที่เพิ่มค่าลบเข้าไปด้วยรวมถึงตัวเลข "ศูนย์" การกำหนดชุดจำนวนเต็มเขียนด้วยอักษรละติน Z
3. จำนวนตรรกยะคือจำนวนที่เราสามารถแปลงเป็นเศษส่วนได้ โดยตัวเศษจะอยู่ในเซตของจำนวนเต็ม และตัวส่วนจะอยู่ในเซตของจำนวนธรรมชาติ ด้านล่างนี้เราจะดูรายละเอียดเพิ่มเติมว่า "จำนวนตรรกยะ" หมายถึงอะไรและยกตัวอย่างบางส่วน
4. - ชุดที่รวมเหตุผลทั้งหมดและชุดนี้เขียนแทนด้วยตัวอักษร R
5. จำนวนเชิงซ้อนประกอบด้วยส่วนหนึ่งของจำนวนจริงและส่วนหนึ่งของจำนวนตัวแปร ใช้ในการแก้สมการลูกบาศก์ต่างๆ ซึ่งในทางกลับกันสามารถมีการแสดงออกเชิงลบในสูตร (i 2 = -1)

“เหตุผล” หมายถึงอะไร: ลองดูตัวอย่างกัน

หากจำนวนตรรกยะถือเป็นจำนวนที่เราสามารถเป็นตัวแทนได้ในแบบฟอร์ม เศษส่วนทั่วไปจากนั้นปรากฎว่าจำนวนเต็มบวกและลบทั้งหมดรวมอยู่ในเซตของตรรกยะด้วย อย่างไรก็ตาม จำนวนเต็มใดๆ เช่น 3 หรือ 15 สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ โดยที่ตัวส่วนคือหนึ่ง

เศษส่วน: -9/3; 7/5, 6/55 - นี่คือตัวอย่าง สรุปตัวเลข.

"การแสดงออกอย่างมีเหตุผล" หมายถึงอะไร?

ไปข้างหน้า. เราได้พูดคุยกันแล้วว่ารูปแบบเหตุผลของตัวเลขหมายถึงอะไร ตอนนี้ลองจินตนาการดู การแสดงออกทางคณิตศาสตร์ซึ่งประกอบด้วยผลรวม ผลต่าง ผลคูณ หรือผลหารของตัวเลขและตัวแปรต่างๆ ตัวอย่าง: เศษส่วนที่ตัวเศษคือผลรวมของจำนวนเต็มตั้งแต่สองตัวขึ้นไป และตัวส่วนมีทั้งจำนวนเต็มและตัวแปรบางตัว เป็นการแสดงออกเช่นนี้เรียกว่ามีเหตุผล ตามกฎที่ว่า "คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้" คุณสามารถเดาได้ว่าค่าของตัวแปรนี้ไม่สามารถทำให้ค่าตัวส่วนกลายเป็นศูนย์ได้ ดังนั้น เมื่อแก้นิพจน์ตรรกยะ คุณต้องกำหนดช่วงของตัวแปรก่อน ตัวอย่างเช่น หากตัวส่วนมีนิพจน์ต่อไปนี้: x+5-2 ปรากฎว่า "x" ไม่สามารถเท่ากับ -3 ได้ ในกรณีนี้นิพจน์ทั้งหมดจะเปลี่ยนเป็นศูนย์ ดังนั้นเมื่อแก้ไข จำเป็นต้องยกเว้นจำนวนเต็ม -3 สำหรับตัวแปรนี้

วิธีแก้สมการตรรกยะอย่างถูกต้อง?

นิพจน์เหตุผลสามารถประกอบด้วยตัวเลขจำนวนมากและมีตัวแปรถึง 2 ตัว ดังนั้นบางครั้งการแก้ไขจึงเป็นเรื่องยาก เพื่ออำนวยความสะดวกในการแก้ไขนิพจน์ดังกล่าว ขอแนะนำให้ดำเนินการบางอย่างอย่างมีเหตุผล แล้ว “อย่างมีเหตุผล” หมายความว่าอะไร และควรใช้กฎเกณฑ์อะไรในการตัดสินใจ?

1. ประเภทแรกเมื่อเพียงพอที่จะทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น ในการทำเช่นนี้คุณสามารถใช้การดำเนินการลดตัวเศษและส่วนให้เป็นค่าที่ลดไม่ได้ ตัวอย่างเช่น หากตัวเศษมีนิพจน์ 18x และตัวส่วนเป็น 9x ดังนั้น เมื่อลดเลขยกกำลังทั้งสองลง 9x เราก็จะได้จำนวนเต็มเท่ากับ 2
2. วิธีที่สองใช้ได้จริงเมื่อเรามีเอกพจน์ในตัวเศษและมีพหุนามในตัวส่วน ลองดูตัวอย่าง: ในตัวเศษเรามี 5x และในตัวส่วน - 5x + 20x 2 ในกรณีนี้ เป็นการดีที่สุดที่จะนำตัวแปรในตัวส่วนออกจากวงเล็บ เราจะได้รูปแบบของตัวส่วนดังต่อไปนี้: 5x(1+4x) ตอนนี้คุณสามารถใช้กฎข้อแรกและทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นโดยยกเลิก 5x ในตัวเศษและส่วน ผลลัพธ์ที่ได้คือเศษส่วนของรูปแบบ 1/1+4x

คุณสามารถดำเนินการใดกับจำนวนตรรกยะได้?

ชุดของจำนวนตรรกยะมีลักษณะเฉพาะของตัวเองหลายประการ หลายคนมีความคล้ายคลึงกับคุณลักษณะที่มีอยู่ในจำนวนเต็มและจำนวนธรรมชาติมากเนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่าส่วนหลังจะรวมอยู่ในชุดเหตุผลเสมอ ต่อไปนี้เป็นคุณสมบัติเล็กๆ น้อยๆ ของจำนวนตรรกยะ ซึ่งจะช่วยให้คุณแก้นิพจน์ตรรกยะใดๆ ได้อย่างง่ายดาย

1. สมบัติการสลับช่วยให้คุณสามารถรวมตัวเลขตั้งแต่สองตัวขึ้นไป โดยไม่คำนึงถึงลำดับ พูดง่ายๆ ก็คือ การเปลี่ยนตำแหน่งของเงื่อนไขไม่ทำให้ผลรวมเปลี่ยนแปลง
2. ทรัพย์สินการกระจายช่วยให้คุณสามารถแก้ไขปัญหาโดยใช้กฎหมายการกระจาย
3. และสุดท้าย การดำเนินการบวกและการลบ

แม้แต่เด็กนักเรียนก็รู้ว่า "รูปแบบจำนวนตรรกยะ" หมายถึงอะไรและวิธีแก้ปัญหาตามสำนวนดังกล่าว ดังนั้นผู้ใหญ่ที่ได้รับการศึกษาก็ต้องจำพื้นฐานของชุดจำนวนตรรกยะเป็นอย่างน้อย

นิพจน์เหตุผลคือนิพจน์พีชคณิตที่ไม่มีราก กล่าวอีกนัยหนึ่ง นี่คือปริมาณพีชคณิตหนึ่งหรือหลายปริมาณ (ตัวเลขและตัวอักษร) ที่เชื่อมต่อกันด้วยเครื่องหมาย การดำเนินการทางคณิตศาสตร์: การบวก ลบ คูณ... ... Wikipedia

นิพจน์พีชคณิตที่ไม่มีรากและรวมเฉพาะการดำเนินการบวก ลบ คูณ และหารเท่านั้น เช่น a2 + b, x/(y z2) … พจนานุกรมสารานุกรมขนาดใหญ่

นิพจน์พีชคณิตที่ไม่มีรากและรวมเฉพาะการดำเนินการบวก ลบ คูณ และหารเท่านั้น ตัวอย่างเช่น a2 + b, x/(y z2) * * * RATIONAL EXPRESSION RATIONAL EXPRESSION นิพจน์พีชคณิตที่ไม่มี ... ... พจนานุกรมสารานุกรม

นิพจน์พีชคณิตที่ไม่มีราก เช่น a2 + b, x/(y z3) หากสิ่งที่รวมอยู่ใน R. v. ตัวอักษรถือเป็นตัวแปร ดังนั้น R.v. กำหนดฟังก์ชันตรรกยะ (ดูฟังก์ชัน Rational) ของตัวแปรเหล่านี้... สารานุกรมผู้ยิ่งใหญ่แห่งสหภาพโซเวียต

นิพจน์พีชคณิตที่ไม่มีรากและรวมเฉพาะการดำเนินการบวก ลบ คูณ และหารเท่านั้น ตัวอย่างเช่น a2 + b, x/(y z2) ... วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ. พจนานุกรมสารานุกรม

การแสดงออก- แนวคิดทางคณิตศาสตร์ปฐมภูมิซึ่งหมายถึงสัญลักษณ์ของตัวอักษรและตัวเลขที่เชื่อมต่อกันด้วยเครื่องหมายของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ซึ่งสามารถใช้วงเล็บเหลี่ยมสัญลักษณ์ฟังก์ชัน ฯลฯ ได้ โดยปกติแล้วสูตรจะมีหลายล้านส่วน มี B (1)…… สารานุกรมโพลีเทคนิคขนาดใหญ่

มีเหตุผล- (เหตุผล; เหตุผล) คำที่ใช้อธิบายความคิด ความรู้สึก และการกระทำที่สอดคล้องกับเหตุผล ทัศนคติบนพื้นฐานของคุณค่าวัตถุประสงค์ที่ได้รับจากประสบการณ์จริง “ คุณค่าวัตถุประสงค์ถูกกำหนดไว้ในประสบการณ์... ... พจนานุกรมจิตวิทยาวิเคราะห์

การรับรู้อย่างมีเหตุผล- ภาพอัตนัยของโลกวัตถุประสงค์ที่ได้รับจากการคิด การคิดเป็นกระบวนการเชิงรุกของการสะท้อนความเป็นจริงทั้งแบบทั่วไปและโดยอ้อม เพื่อให้มั่นใจในการค้นพบความเชื่อมโยงตามธรรมชาติของมันบนพื้นฐานของข้อมูลทางประสาทสัมผัสและการแสดงออก... ปรัชญาวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี: พจนานุกรมเฉพาะเรื่อง

สมการ, เหตุผล- การแสดงออกทางตรรกะหรือทางคณิตศาสตร์บนพื้นฐานของสมมติฐาน (เหตุผล) เกี่ยวกับกระบวนการ สมการดังกล่าวแตกต่างจากสมการเชิงประจักษ์ตรงที่ค่าพารามิเตอร์ได้มาจากการสรุปแบบนิรนัยจากทฤษฎี... ... พจนานุกรมในด้านจิตวิทยา

เหตุผล, เหตุผล, เหตุผล; มีเหตุผล, มีเหตุผล, มีเหตุผล. 1. คำคุณศัพท์ ถึงเหตุผลนิยม (หนังสือ) ปรัชญาที่มีเหตุผล 2. ค่อนข้างสมเหตุสมผล สมเหตุสมผล เหมาะสม เขาได้เสนอข้อเสนอที่มีเหตุผล มีเหตุผล... ... พจนานุกรมอธิบายของ Ushakov

1) ร. สมการพีชคณิต f(x)=0 องศา n สมการพีชคณิต g(y)=0 โดยมีค่าสัมประสิทธิ์เป็นเหตุผล ขึ้นอยู่กับค่าสัมประสิทธิ์ f(x) ดังนั้นการรู้รากของสมการนี้ทำให้เราสามารถหารากของสมการนี้ได้... ... สารานุกรมคณิตศาสตร์

หมายเหตุสำคัญ!
1. หากคุณเห็น gobbledygook แทนที่จะเป็นสูตร ให้ล้างแคชของคุณ วิธีการทำเช่นนี้ในเบราว์เซอร์ของคุณเขียนไว้ที่นี่:
2. ก่อนที่คุณจะเริ่มอ่านบทความ โปรดใส่ใจกับเนวิเกเตอร์ของเราให้มากที่สุด ทรัพยากรที่เป็นประโยชน์สำหรับ

เรามักจะได้ยินวลีอันไม่พึงประสงค์นี้: “ทำให้การแสดงออกง่ายขึ้น”โดยปกติแล้วเราจะเห็นสัตว์ประหลาดประเภทนี้:

“มันง่ายกว่ามาก” เราพูด แต่คำตอบเช่นนี้มักจะไม่ได้ผล

บัดนี้ข้าพเจ้าจะสอนท่านว่าอย่ากลัวงานเช่นนั้น

ยิ่งไปกว่านั้น ในตอนท้ายของบทเรียน คุณเองจะทำให้ตัวอย่างนี้ง่ายขึ้นเป็น (แค่!) ตัวเลขธรรมดา (ใช่แล้ว ลงนรกด้วยตัวอักษรเหล่านี้)

แต่ก่อนที่คุณจะเริ่มกิจกรรมนี้ คุณต้องสามารถก่อน จัดการเศษส่วนและ พหุนามตัวประกอบ

ดังนั้น หากคุณไม่เคยทำสิ่งนี้มาก่อน อย่าลืมฝึกฝนหัวข้อ "" และ "" ให้เชี่ยวชาญ

คุณอ่านมันหรือยัง? ถ้าใช่คุณก็พร้อมแล้ว

ไปกันเถอะ!(ไปกันเถอะ!)

การดำเนินการลดความซับซ้อนของนิพจน์ขั้นพื้นฐาน

ตอนนี้เรามาดูเทคนิคพื้นฐานที่ใช้ในการทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น

สิ่งที่ง่ายที่สุดคือ

1.การนำสิ่งที่คล้ายกัน

มีอะไรคล้ายกันบ้าง? คุณเรียนวิชานี้ตอนเกรด 7 เมื่อตัวอักษรแทนตัวเลขปรากฏตัวครั้งแรกในวิชาคณิตศาสตร์

คล้ายกัน- เหล่านี้เป็นคำศัพท์ (monomials) ที่มีส่วนตัวอักษรเหมือนกัน

ตัวอย่างเช่น โดยสรุปแล้ว คำที่คล้ายกันคือ และ

คุณจำได้ไหม?

ให้คล้ายๆกัน- หมายถึง การบวกพจน์ที่คล้ายกันหลายคำเข้าด้วยกันแล้วได้เทอมเดียว

เราจะรวมตัวอักษรเข้าด้วยกันได้อย่างไร? - คุณถาม.

นี่เป็นเรื่องง่ายมากที่จะเข้าใจหากคุณจินตนาการว่าตัวอักษรเป็นวัตถุบางชนิด

เช่น จดหมายก็คือเก้าอี้ แล้วนิพจน์เท่ากับอะไร?

เก้าอี้สองตัวบวกเก้าอี้สามตัวจะได้กี่ตัว? ถูกต้องเก้าอี้: .

ตอนนี้ลองใช้นิพจน์นี้: .

เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสน ให้ตัวอักษรที่ต่างกันแสดงถึงวัตถุที่แตกต่างกัน

ตัวอย่างเช่น - คือ (ตามปกติ) เก้าอี้ และ - คือโต๊ะ

โต๊ะเก้าอี้ โต๊ะเก้าอี้ โต๊ะเก้าอี้ โต๊ะเก้าอี้

ตัวเลขที่มีการคูณตัวอักษรในเงื่อนไขดังกล่าวเรียกว่า ค่าสัมประสิทธิ์.

ตัวอย่างเช่น ใน monomial ค่าสัมประสิทธิ์จะเท่ากัน และในนั้นก็เท่าเทียมกัน

ดังนั้นกฎในการนำสิ่งที่คล้ายกันมาคือ:

ตัวอย่าง:

ให้สิ่งที่คล้ายกัน:

คำตอบ:

2. (และที่คล้ายกัน ดังนั้น คำเหล่านี้จึงมีส่วนของตัวอักษรเหมือนกัน)

2. การแยกตัวประกอบ

โดยปกติจะเป็นเช่นนี้ ส่วนที่สำคัญที่สุดในการทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น

หลังจากที่คุณได้ให้สิ่งที่คล้ายกันแล้ว ส่วนใหญ่มักจะจำเป็นต้องใช้นิพจน์ที่เป็นผลลัพธ์ แยกตัวประกอบกล่าวคือนำเสนอในรูปแบบของผลิตภัณฑ์

โดยเฉพาะสิ่งนี้ มีความสำคัญเป็นเศษส่วน:เพื่อที่จะสามารถลดเศษส่วนได้ ตัวเศษและส่วนจะต้องแสดงเป็นผลคูณ

คุณได้ศึกษาวิธีการแยกตัวประกอบนิพจน์โดยละเอียดในหัวข้อ "" แล้ว ดังนั้นคุณเพียงแค่ต้องจำสิ่งที่คุณเรียนรู้ไว้ที่นี่

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แก้ตัวอย่างหลายๆ ตัวอย่าง (คุณต้องแยกตัวประกอบ)

ตัวอย่าง:

โซลูชั่น:

3. การลดเศษส่วน

อะไรจะดีไปกว่าการขีดฆ่าเศษและส่วนแล้วโยนมันออกไปจากชีวิตของคุณ?

นั่นคือความงามของการลดขนาด

มันง่ายมาก:

หากตัวเศษและตัวส่วนมีตัวประกอบเหมือนกัน ก็สามารถลดทอนได้ กล่าวคือ ลบออกจากเศษส่วน

กฎนี้เป็นไปตามคุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน:

นั่นคือสาระสำคัญของการดำเนินการลดก็คือ เราหารทั้งเศษและส่วนของเศษส่วนด้วยจำนวนเดียวกัน (หรือด้วยนิพจน์เดียวกัน)

เพื่อลดเศษส่วนคุณต้องมี:

1) ตัวเศษและส่วน แยกตัวประกอบ

2) ถ้าตัวเศษและส่วนประกอบด้วย ปัจจัยทั่วไปก็สามารถขีดฆ่าออกได้

ตัวอย่าง:

หลักการผมคิดว่าชัดเจน?

ฉันอยากจะดึงความสนใจของคุณไปที่สิ่งหนึ่ง ข้อผิดพลาดทั่วไปเมื่อทำสัญญา แม้ว่าหัวข้อนี้จะง่าย แต่หลายคนก็ทำทุกอย่างผิดโดยไม่เข้าใจเรื่องนั้น ลด- นี่หมายความว่า แบ่งตัวเศษและส่วนเป็นจำนวนเดียวกัน

ไม่มีตัวย่อถ้าตัวเศษหรือส่วนเป็นผลรวม

ตัวอย่างเช่น เราต้องทำให้ง่ายขึ้น

บางคนทำเช่นนี้ ซึ่งถือว่าผิดอย่างยิ่ง

อีกตัวอย่างหนึ่ง: ลด

“คนที่ฉลาดที่สุด” จะทำสิ่งนี้:

บอกฉันว่ามีอะไรผิดปกติที่นี่? ดูเหมือนว่า: - นี่คือตัวคูณซึ่งหมายความว่าสามารถลดลงได้

แต่ไม่: - นี่คือตัวประกอบของเทอมเดียวในตัวเศษ แต่ตัวเศษโดยรวมไม่ได้แยกตัวประกอบ

นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่ง: .

นิพจน์นี้มีการแยกตัวประกอบ ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถลดได้ กล่าวคือ หารทั้งเศษและส่วนด้วย แล้วตามด้วย:

คุณสามารถแบ่งออกเป็น:

เพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดดังกล่าว โปรดจำไว้ว่า ทางที่ง่ายวิธีตรวจสอบว่านิพจน์ถูกแยกตัวประกอบหรือไม่:

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่ดำเนินการครั้งสุดท้ายเมื่อคำนวณค่าของนิพจน์คือการดำเนินการ "หลัก"

นั่นคือหากคุณแทนที่ตัวเลข (ใดๆ) แทนตัวอักษรแล้วลองคำนวณค่าของนิพจน์ ถ้าการกระทำสุดท้ายคือการคูณ เราก็จะได้ผลลัพธ์ (นิพจน์จะถูกแยกตัวประกอบ)

ถ้าการกระทำสุดท้ายคือการบวกหรือการลบ หมายความว่านิพจน์นั้นไม่ได้แยกตัวประกอบ (และดังนั้นจึงไม่สามารถลดขนาดได้)

เพื่อเน้นย้ำสิ่งนี้ ให้แก้ตัวอย่างด้วยตนเอง:

ตัวอย่าง:

โซลูชั่น:

4. การบวกและการลบเศษส่วน การลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วม

การบวกและการลบเศษส่วนสามัญเป็นการดำเนินการที่คุ้นเคย โดยเรามองหาตัวส่วนร่วม คูณเศษส่วนแต่ละส่วนด้วยตัวประกอบที่หายไป แล้วบวก/ลบตัวเศษ

จำไว้ว่า:

คำตอบ:

1. ตัวส่วนและเป็นจำนวนเฉพาะ กล่าวคือ ไม่มีตัวประกอบร่วมกัน ดังนั้น LCM ของตัวเลขเหล่านี้จึงเท่ากับผลคูณของมัน นี่จะเป็นตัวส่วนร่วม:

2. ตัวส่วนร่วมในที่นี้คือ:

3. สิ่งแรกที่นี่ เศษส่วนผสมเราเปลี่ยนมันให้เป็นสิ่งที่ไม่ถูกต้อง จากนั้นทำตามรูปแบบปกติ:

มันจะแตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิงถ้าเศษส่วนมีตัวอักษร ตัวอย่างเช่น:

เริ่มจากสิ่งง่ายๆ:

ก) ตัวส่วนไม่มีตัวอักษร

ที่นี่ทุกอย่างจะเหมือนกับเศษส่วนตัวเลขทั่วไป: เราหาตัวส่วนร่วม คูณเศษส่วนแต่ละส่วนด้วยตัวประกอบที่หายไป แล้วบวก/ลบตัวเศษ:

ตอนนี้ในตัวเศษ คุณสามารถให้ค่าที่คล้ายกัน ถ้ามี และแยกตัวประกอบ:

ลองด้วยตัวเอง:

คำตอบ:

b) ตัวส่วนประกอบด้วยตัวอักษร

จำหลักการค้นหาตัวส่วนร่วมโดยไม่มีตัวอักษร:

· ก่อนอื่น เรากำหนดปัจจัยร่วม

· จากนั้นเราจะเขียนปัจจัยร่วมทั้งหมดออกมาทีละตัว

· และคูณด้วยตัวประกอบที่ไม่ธรรมดาอื่นๆ ทั้งหมด

ในการหาปัจจัยร่วมของตัวส่วน อันดับแรกเราจะแยกปัจจัยเหล่านั้นออกเป็นปัจจัยเฉพาะ:

ให้เราเน้นปัจจัยทั่วไป:

ทีนี้ลองเขียนปัจจัยทั่วไปทีละรายการและเพิ่มปัจจัยที่ไม่ธรรมดา (ไม่ขีดเส้นใต้) ทั้งหมดลงไป:

นี่คือตัวส่วนร่วม.

กลับมาที่ตัวอักษรกันดีกว่า ตัวส่วนจะได้รับในลักษณะเดียวกันทุกประการ:

· แยกตัวประกอบตัวส่วน

· กำหนดปัจจัยทั่วไป (เหมือนกัน)

· เขียนปัจจัยร่วมทั้งหมดออกมาครั้งเดียว

· คูณด้วยตัวประกอบที่ไม่ธรรมดาอื่นๆ ทั้งหมด

ดังนั้นตามลำดับ:

1) แยกตัวประกอบตัวส่วน:

2) กำหนดปัจจัยทั่วไป (เหมือนกัน):

3) เขียนตัวประกอบร่วมทั้งหมดหนึ่งครั้งแล้วคูณด้วยตัวประกอบอื่นๆ ทั้งหมด (ไม่ขีดเส้นใต้):

มันมีตัวส่วนร่วมตรงนี้. เศษส่วนแรกจะต้องคูณด้วยส่วนที่สอง - ด้วย:

อย่างไรก็ตามมีเคล็ดลับอย่างหนึ่ง:

ตัวอย่างเช่น: .

เราเห็นตัวประกอบเท่ากันแต่มีทั้งหมดด้วย ตัวชี้วัดที่แตกต่างกัน. ตัวส่วนร่วมจะเป็น:

ในระดับหนึ่ง

ในระดับหนึ่ง

ในระดับหนึ่ง

ในระดับหนึ่ง

มาทำให้งานซับซ้อนขึ้น:

จะทำให้เศษส่วนมีตัวส่วนเท่ากันได้อย่างไร?

จำคุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน:

ไม่มีที่ไหนบอกว่าจำนวนเดียวกันสามารถลบ (หรือบวก) จากตัวเศษและส่วนของเศษส่วนได้ เพราะมันไม่จริง!

ดูด้วยตัวคุณเอง: ยกตัวอย่างเศษส่วนแล้วบวกตัวเลขเข้ากับตัวเศษและตัวส่วนเช่น คุณเรียนอะไร?

ดังนั้น มีกฎอีกข้อหนึ่งที่ไม่สั่นคลอน:

เมื่อคุณลดเศษส่วนลง ตัวส่วนร่วมให้ใช้เฉพาะการดำเนินการคูณเท่านั้น!

แต่คุณต้องคูณด้วยอะไรถึงจะได้?

เลยคูณด้วย. และคูณด้วย:

เราจะเรียกนิพจน์ที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ว่าเป็น "ปัจจัยพื้นฐาน"

ตัวอย่างเช่น - นี่เป็นปัจจัยเบื้องต้น - เดียวกัน. แต่เปล่าเลย: สามารถแยกตัวประกอบได้

แล้วการแสดงออกล่ะ? เป็นประถมศึกษาหรือไม่?

ไม่ได้ เนื่องจากสามารถแยกตัวประกอบได้:

(คุณได้อ่านเกี่ยวกับการแยกตัวประกอบในหัวข้อ "") แล้ว

ดังนั้นปัจจัยเบื้องต้นที่คุณแยกย่อยนิพจน์ด้วยตัวอักษรจึงมีความคล้ายคลึงกับปัจจัยง่าย ๆ ที่คุณแยกย่อยตัวเลข และเราจะจัดการกับพวกเขาในลักษณะเดียวกัน

เราเห็นว่าตัวส่วนทั้งสองมีตัวคูณ มันจะไปเป็นตัวส่วนร่วมในระดับหนึ่ง (จำได้ไหมว่าทำไม?)

ตัวประกอบนั้นเป็นปัจจัยพื้นฐานและไม่มีตัวประกอบร่วมกัน ซึ่งหมายความว่าเศษส่วนแรกจะต้องคูณด้วยมัน:

ตัวอย่างอื่น:

สารละลาย:

ก่อนที่คุณจะคูณตัวส่วนเหล่านี้ด้วยความตื่นตระหนก คุณต้องคิดก่อนว่าจะแยกตัวประกอบพวกมันอย่างไรก่อน? พวกเขาทั้งสองเป็นตัวแทน:

ยอดเยี่ยม! แล้ว:

ตัวอย่างอื่น:

สารละลาย:

ตามปกติ ลองแยกตัวประกอบตัวส่วนกัน. ในตัวส่วนตัวแรก เราเพียงแต่ใส่มันออกจากวงเล็บ ในวินาที - ความแตกต่างของกำลังสอง:

ดูเหมือนว่าจะไม่มีปัจจัยร่วมกัน แต่ถ้าคุณมองใกล้ ๆ มันก็คล้ายกัน... และมันเป็นเรื่องจริง:

เรามาเขียนกัน:

นั่นคือมันกลายเป็นดังนี้: ภายในวงเล็บเราสลับเงื่อนไขและในเวลาเดียวกันเครื่องหมายที่อยู่หน้าเศษส่วนก็เปลี่ยนไปเป็นตรงกันข้าม รับทราบคุณจะต้องทำเช่นนี้บ่อยๆ

ทีนี้ลองมาเป็นตัวส่วนร่วม:

เข้าใจแล้ว? มาตรวจสอบกันตอนนี้เลย

งานสำหรับโซลูชันอิสระ:

คำตอบ:

5. การคูณและการหารเศษส่วน

ส่วนที่ยากที่สุดจบลงแล้ว และข้างหน้าเรานั้นง่ายที่สุด แต่ในขณะเดียวกันก็สำคัญที่สุด:

ขั้นตอน

ขั้นตอนการคำนวณนิพจน์ตัวเลขมีขั้นตอนอย่างไร? จำไว้โดยการคำนวณความหมายของสำนวนนี้:

คุณนับไหม?

มันควรจะทำงาน

ดังนั้นฉันขอเตือนคุณ

ขั้นตอนแรกคือการคำนวณระดับ

ประการที่สองคือการคูณและการหาร หากมีการคูณและการหารหลายรายการพร้อมกัน ก็สามารถทำได้ในลำดับใดก็ได้

และสุดท้าย เราก็ทำการบวกและการลบ อีกครั้งในลำดับใด ๆ

แต่: นิพจน์ในวงเล็บถูกประเมินไม่ตรงกัน!

ถ้าวงเล็บหลายอันคูณหรือหารกัน ขั้นแรกเราจะคำนวณนิพจน์ในแต่ละวงเล็บ จากนั้นจึงคูณหรือหารพวกมัน

จะเกิดอะไรขึ้นถ้ามีวงเล็บมากกว่าภายในวงเล็บ? ลองคิดดู: สำนวนบางอย่างเขียนอยู่ในวงเล็บ เมื่อคำนวณนิพจน์ ควรทำอะไรเป็นอันดับแรก? ถูกต้อง คำนวณวงเล็บเหลี่ยม เราคิดออกแล้ว: ขั้นแรกเราคำนวณวงเล็บด้านใน จากนั้นจึงคำนวณอย่างอื่นทั้งหมด

ดังนั้น ขั้นตอนสำหรับนิพจน์ข้างต้นจึงเป็นดังนี้ (การกระทำปัจจุบันจะถูกเน้นด้วยสีแดง นั่นคือการกระทำที่ฉันกำลังดำเนินการอยู่ในขณะนี้):

โอเค มันง่ายมาก

แต่นี่ไม่เหมือนกับสำนวนที่มีตัวอักษรเหรอ?

ไม่ มันก็เหมือนกัน! แทนที่จะดำเนินการทางคณิตศาสตร์คุณต้องดำเนินการพีชคณิตนั่นคือการกระทำที่อธิบายไว้ในส่วนก่อนหน้า: นำสิ่งที่คล้ายกันการบวกเศษส่วน การหารเศษส่วน และอื่นๆ ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือการกระทำของการแยกตัวประกอบพหุนาม (เรามักใช้เมื่อทำงานกับเศษส่วน) บ่อยครั้งในการแยกตัวประกอบ คุณต้องใช้ I หรือเพียงแค่เอาตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ

โดยปกติเป้าหมายของเราคือการแสดงนิพจน์เป็นผลิตภัณฑ์หรือผลหาร

ตัวอย่างเช่น:

ลองทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น

1) ขั้นแรก เราทำให้นิพจน์ในวงเล็บง่ายขึ้น ที่นั่นเรามีความแตกต่างของเศษส่วน และเป้าหมายของเราคือการนำเสนอเป็นผลคูณหรือผลหาร ดังนั้นเราจึงนำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วมแล้วบวก:

เป็นไปไม่ได้ที่จะทำให้นิพจน์นี้ง่ายขึ้นอีกต่อไป ปัจจัยทั้งหมดที่นี่เป็นปัจจัยเบื้องต้น (คุณยังจำได้ไหมว่าสิ่งนี้หมายถึงอะไร)

2) เราได้รับ:

การคูณเศษส่วน: อะไรจะง่ายกว่านี้

3) ตอนนี้คุณสามารถย่อ:

โอเค ตอนนี้ทุกอย่างจบลงแล้ว ไม่มีอะไรซับซ้อนใช่ไหม?

ตัวอย่างอื่น:

ลดความซับซ้อนของนิพจน์

ขั้นแรกให้พยายามแก้ปัญหาด้วยตัวเอง จากนั้นจึงค่อยดูวิธีแก้ปัญหา

สารละลาย:

ก่อนอื่น เรามากำหนดลำดับของการกระทำกันก่อน

ก่อนอื่น เรามาบวกเศษส่วนในวงเล็บกันก่อน แทนที่จะเป็นเศษส่วนสองอัน เราจะได้หนึ่งอัน

จากนั้นเราจะทำการหารเศษส่วน. ทีนี้ลองบวกผลลัพธ์ด้วยเศษส่วนสุดท้ายกัน

ฉันจะนับขั้นตอนตามแผนผัง:

สุดท้ายนี้ ฉันจะให้คำแนะนำที่เป็นประโยชน์สองข้อแก่คุณ:

1.หากมีแบบเดียวกันต้องนำมาทันที ไม่ว่าจุดใดที่คล้ายคลึงกันจะเกิดขึ้นในประเทศของเราก็แนะนำให้นำพวกเขาขึ้นมาทันที

2. เช่นเดียวกับการลดเศษส่วน: ทันทีที่มีโอกาสลดเกิดขึ้น จะต้องใช้ประโยชน์จากมัน ข้อยกเว้นสำหรับเศษส่วนที่คุณบวกหรือลบ: หากตอนนี้มีตัวส่วนเท่ากัน ก็ควรปล่อยการลดลงไว้ใช้ภายหลัง

นี่คืองานบางอย่างสำหรับคุณที่จะแก้ไขด้วยตัวเอง:

และสิ่งที่สัญญาไว้ตั้งแต่ต้น:

คำตอบ:

วิธีแก้ปัญหา (โดยย่อ):

หากคุณจัดการกับตัวอย่างสามตัวอย่างแรกได้ แสดงว่าคุณเข้าใจหัวข้อนี้แล้ว

ตอนนี้ไปเรียนรู้!

การแปลงการแสดงออก สรุปและสูตรพื้นฐาน

การดำเนินการลดความซับซ้อนขั้นพื้นฐาน:

• นำมาซึ่งความคล้ายคลึงกัน: หากต้องการเพิ่ม (ลด) คำที่คล้ายกัน คุณต้องเพิ่มค่าสัมประสิทธิ์และกำหนดส่วนของตัวอักษร
• การแยกตัวประกอบ:นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ การนำไปใช้ ฯลฯ
• การลดเศษส่วน: ตัวเศษและส่วนของเศษส่วนสามารถคูณหรือหารด้วยจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์เดียวกันได้ ซึ่งจะไม่เปลี่ยนค่าของเศษส่วน
  1) ตัวเศษและส่วน แยกตัวประกอบ
  2) ถ้าตัวเศษและส่วนมีตัวประกอบร่วมกันก็ขีดฆ่าออกได้

  สิ่งสำคัญ: สามารถลดตัวคูณได้เท่านั้น!

• การบวกและการลบเศษส่วน:
  ;
• การคูณและหารเศษส่วน:
  ;

เอาล่ะ หัวข้อมันจบลงแล้ว หากคุณกำลังอ่านบรรทัดเหล่านี้แสดงว่าคุณเจ๋งมาก

เพราะมีคนเพียง 5% เท่านั้นที่สามารถเชี่ยวชาญบางสิ่งได้ด้วยตัวเอง และถ้าคุณอ่านจนจบแสดงว่าคุณอยู่ใน 5% นี้!

ตอนนี้สิ่งที่สำคัญที่สุด

คุณเข้าใจทฤษฎีในหัวข้อนี้แล้ว และขอย้ำอีกครั้งว่า...นี่มันสุดยอดมาก! คุณเก่งกว่าคนรอบข้างส่วนใหญ่อยู่แล้ว

ปัญหาคือว่านี่อาจไม่เพียงพอ...

เพื่ออะไร?

เพื่อความสำเร็จ ผ่านการสอบ Unified Stateสำหรับการเข้าศึกษาในวิทยาลัยด้วยงบประมาณและที่สำคัญที่สุดคือตลอดชีวิต

ฉันจะไม่โน้มน้าวคุณในสิ่งใด ฉันจะพูดสิ่งเดียวเท่านั้น...

คนที่ได้รับ การศึกษาที่ดีมีรายได้มากกว่าผู้ที่ไม่ได้รับมันมาก นี่คือสถิติ

แต่นี่ไม่ใช่สิ่งสำคัญ

สิ่งสำคัญคือพวกเขามีความสุขมากขึ้น (มีการศึกษาเช่นนี้) อาจเป็นเพราะโอกาสมากมายเปิดกว้างต่อหน้าพวกเขาและชีวิตก็สดใสขึ้น? ไม่รู้...

แต่คิดเอาเองนะ...

ต้องใช้อะไรบ้างเพื่อให้แน่ใจว่าจะดีกว่าคนอื่นๆ ในการสอบ Unified State และสุดท้ายจะ... มีความสุขมากขึ้น?

ช่วยคุณโดยการแก้ปัญหาในหัวข้อนี้

คุณจะไม่ถูกถามถึงทฤษฎีในระหว่างการสอบ

คุณจะต้องการ แก้ปัญหากับเวลา.

และถ้าคุณยังไม่ได้แก้ไขมัน (มาก!) คุณจะทำผิดพลาดโง่ ๆ อย่างแน่นอนหรือไม่มีเวลาเลย

มันก็เหมือนกับกีฬา - คุณต้องทำซ้ำหลาย ๆ ครั้งจึงจะชนะอย่างแน่นอน

ค้นหาคอลเลกชันทุกที่ที่คุณต้องการ จำเป็นต้องมีวิธีแก้ปัญหา การวิเคราะห์โดยละเอียด และตัดสินใจ ตัดสินใจ ตัดสินใจ!

คุณสามารถใช้งานของเรา (ไม่จำเป็น) และแน่นอนว่าเราแนะนำพวกเขา

เพื่อให้ใช้งานของเราได้ดียิ่งขึ้น คุณต้องช่วยยืดอายุหนังสือเรียน YouClever ที่คุณกำลังอ่านอยู่

ยังไง? มีสองตัวเลือก:

1. ปลดล็อคงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความนี้ -
2. ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความทั้ง 99 บทของหนังสือเรียน - ซื้อหนังสือเรียน - 499 RUR

ใช่ เรามีบทความดังกล่าว 99 บทความในหนังสือเรียนของเราและเข้าถึงงานทั้งหมดได้ และสามารถเปิดข้อความที่ซ่อนอยู่ในนั้นได้ทันที

การเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดมีให้ตลอดทั้งชีวิตของไซต์

สรุปแล้ว...

หากคุณไม่ชอบงานของเราก็หาคนอื่น อย่าหยุดแค่ทฤษฎี

“เข้าใจแล้ว” และ “ฉันแก้ได้” เป็นทักษะที่แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง คุณต้องการทั้งสองอย่าง

ค้นหาปัญหาและแก้ไข!

บทความนี้มีไว้เพื่อ การเปลี่ยนแปลงการแสดงออกอย่างมีเหตุผลซึ่งส่วนใหญ่เป็นเหตุผลเชิงเศษส่วนเป็นหนึ่งในประเด็นสำคัญในหลักสูตรพีชคณิตเกรด 8 ประการแรก เราจำได้ว่าสำนวนประเภทใดที่เรียกว่ามีเหตุผล ต่อไปเราจะเน้นที่การดำเนินการแปลงมาตรฐานด้วยนิพจน์ที่เป็นเหตุเป็นผล เช่น การจัดกลุ่มพจน์ การเอาตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ นำพจน์ที่คล้ายกัน เป็นต้น สุดท้าย เราจะเรียนรู้การแสดงนิพจน์เศษส่วนเป็นเศษส่วนตรรกยะ

การนำทางหน้า

ความหมายและตัวอย่างของการแสดงออกเชิงเหตุผล

นิพจน์เหตุผลเป็นนิพจน์ประเภทหนึ่งที่เรียนในบทเรียนพีชคณิตที่โรงเรียน ลองให้คำนิยาม

คำนิยาม.

นิพจน์ที่ประกอบด้วยตัวเลข ตัวแปร วงเล็บ กำลังที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม เชื่อมต่อกันโดยใช้เครื่องหมายทางคณิตศาสตร์ +, -, · และ: โดยที่การหารสามารถระบุได้ด้วยเส้นเศษส่วน เรียกว่า การแสดงออกที่มีเหตุผล.

นี่คือตัวอย่างบางส่วนของการแสดงออกที่เป็นเหตุผล:

การแสดงออกเชิงเหตุผลเริ่มได้รับการศึกษาอย่างมีจุดมุ่งหมายในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 นอกจากนี้ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 เราได้เรียนรู้พื้นฐานของการทำงานกับสิ่งที่เรียกว่า การแสดงออกอย่างมีเหตุผลทั้งหมดนั่นคือด้วยนิพจน์เหตุผลที่ไม่แบ่งเป็นนิพจน์ที่มีตัวแปร ในการทำเช่นนี้จะมีการศึกษา monomial และ polynomials ตามลำดับตลอดจนหลักการของการดำเนินการกับสิ่งเหล่านั้น ความรู้ทั้งหมดนี้ช่วยให้คุณทำการแปลงนิพจน์ทั้งหมดได้ในท้ายที่สุด

ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 นักเรียนได้ศึกษานิพจน์เชิงตรรกยะที่มีการหารด้วยนิพจน์ที่มีตัวแปรที่เรียกว่า การแสดงออกที่เป็นเหตุผลเศษส่วน. โดยที่ เอาใจใส่เป็นพิเศษมอบให้กับสิ่งที่เรียกว่า เศษส่วนตรรกยะ(เรียกอีกอย่างว่า เศษส่วนพีชคณิต) ซึ่งก็คือเศษส่วนที่ทั้งเศษและส่วนประกอบด้วยพหุนาม ซึ่งท้ายที่สุดแล้วจะทำให้สามารถแปลงเศษส่วนตรรกยะได้

ทักษะที่ได้รับช่วยให้คุณสามารถก้าวไปสู่การเปลี่ยนแปลงการแสดงออกอย่างมีเหตุผลในทุกรูปแบบ สิ่งนี้อธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่านิพจน์เชิงตรรกศาสตร์ใดๆ ถือได้ว่าเป็นนิพจน์ที่ประกอบด้วยเศษส่วนตรรกยะและนิพจน์จำนวนเต็มซึ่งเชื่อมโยงกันด้วยเครื่องหมายของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ และเรารู้วิธีทำงานกับนิพจน์และเศษส่วนพีชคณิตแล้ว

การแปลงนิพจน์เหตุผลประเภทหลัก

ด้วยนิพจน์เหตุผล คุณสามารถดำเนินการแปลงข้อมูลประจำตัวพื้นฐานใดๆ ได้ ไม่ว่าจะเป็นการจัดกลุ่มคำศัพท์หรือปัจจัย นำคำศัพท์ที่คล้ายกัน ดำเนินการกับตัวเลข ฯลฯ โดยทั่วไปแล้วจุดประสงค์ของการดำเนินการแปลงเหล่านี้คือ ลดความซับซ้อนของการแสดงออกอย่างมีเหตุผล.

ตัวอย่าง.

.

สารละลาย.

เห็นได้ชัดว่านิพจน์เหตุผลนี้คือความแตกต่างระหว่างสองนิพจน์ และ และนิพจน์เหล่านี้คล้ายกันเนื่องจากมีส่วนตัวอักษรเหมือนกัน ดังนั้นเราจึงสามารถลดเงื่อนไขที่คล้ายกันได้:

คำตอบ:

.

เป็นที่ชัดเจนว่าเมื่อดำเนินการแปลงด้วยนิพจน์ที่มีเหตุผลตลอดจนนิพจน์อื่น ๆ คุณจะต้องอยู่ในลำดับการดำเนินการที่ยอมรับได้

ตัวอย่าง.

ทำการแปลงนิพจน์ที่เป็นเหตุผล

สารละลาย.

เรารู้ว่าการดำเนินการในวงเล็บจะถูกดำเนินการก่อน ดังนั้น ก่อนอื่น เราแปลงนิพจน์ในวงเล็บ: 3·x−x=2·x

ตอนนี้คุณสามารถแทนที่ผลลัพธ์ที่ได้รับเป็นนิพจน์เหตุผลดั้งเดิมได้: . ดังนั้นเราจึงมาถึงนิพจน์ที่มีการกระทำของขั้นตอนเดียว - การบวกและการคูณ

กำจัดวงเล็บที่ส่วนท้ายของนิพจน์โดยใช้คุณสมบัติการหารด้วยผลคูณ: .

สุดท้ายนี้ เราสามารถจัดกลุ่มปัจจัยที่เป็นตัวเลขและปัจจัยด้วยตัวแปร x จากนั้นดำเนินการกับตัวเลขและนำไปใช้ :

สิ่งนี้ทำให้การเปลี่ยนแปลงของนิพจน์เชิงตรรกศาสตร์เสร็จสมบูรณ์ และด้วยเหตุนี้ เราจึงได้เอกพจน์

คำตอบ:

ตัวอย่าง.

แปลงนิพจน์เหตุผล .

สารละลาย.

ขั้นแรก เราแปลงตัวเศษและส่วน. ลำดับของการแปลงเศษส่วนนี้อธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าเส้นตรงของเศษส่วนนั้นเป็นอีกการกำหนดหนึ่งสำหรับการหาร และนิพจน์เชิงตรรกยะดั้งเดิมนั้นเป็นผลหารของแบบฟอร์ม และการดำเนินการในวงเล็บจะดำเนินการก่อน

ดังนั้นในตัวเศษเราดำเนินการกับพหุนาม การคูณครั้งแรก จากนั้นจึงลบ และในตัวส่วนเราจัดกลุ่มปัจจัยที่เป็นตัวเลขและคำนวณผลคูณของมัน: .

ลองจินตนาการถึงตัวเศษและส่วนของผลลัพธ์เศษส่วนในรูปของผลิตภัณฑ์: ทันใดนั้นก็เป็นไปได้ที่จะลดเศษส่วนพีชคณิต เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะใช้ในตัวเศษ ผลต่างของสูตรกำลังสองและในตัวส่วน เราเอาสองตัวออกจากวงเล็บ เรามี .

คำตอบ:

.

ดังนั้นความคุ้นเคยเบื้องต้นกับการเปลี่ยนแปลงของนิพจน์เชิงเหตุผลจึงถือว่าสมบูรณ์ได้ เรามาพูดถึงส่วนที่หอมหวานที่สุดกันเถอะ

การแทนเศษส่วนแบบตรรกยะ

ส่วนใหญ่มักจะ เป้าหมายสูงสุดการเปลี่ยนการแสดงออกคือการทำให้รูปลักษณ์ภายนอกดูง่ายขึ้น ในแสงนี้มากที่สุด มุมมองที่เรียบง่ายซึ่งสามารถแปลงนิพจน์ที่เป็นตรรกยะแบบเศษส่วนได้คือเศษส่วนแบบตรรกยะ (พีชคณิต) และในกรณีพิเศษจะเป็นพหุนาม โมโนเมียล หรือตัวเลข

เป็นไปได้ไหมที่จะแสดงนิพจน์ตรรกยะใดๆ เป็นเศษส่วนตรรกยะ? คำตอบคือใช่ ให้เราอธิบายว่าทำไมจึงเป็นเช่นนี้

ดังที่เราได้กล่าวไปแล้ว ทุกนิพจน์เชิงตรรกยะถือได้ว่าเป็นพหุนามและเศษส่วนตรรกยะที่เชื่อมต่อกันด้วยเครื่องหมายบวก ลบ คูณ และหาร การดำเนินการที่สอดคล้องกันทั้งหมดกับพหุนามจะให้ผลเป็นเศษส่วนพหุนามหรือตรรกยะ ในทางกลับกัน พหุนามใดๆ ก็สามารถแปลงเป็นเศษส่วนพีชคณิตได้โดยการเขียนด้วยตัวส่วน 1 และการบวก ลบ คูณ หารเศษส่วนตรรกยะจะได้เศษส่วนตรรกยะใหม่ ดังนั้น หลังจากดำเนินการทั้งหมดด้วยพหุนามและเศษส่วนตรรกยะในนิพจน์ตรรกยะ เราก็จะได้เศษส่วนตรรกยะ

ตัวอย่าง.

แสดงเป็นเศษส่วนตรรกยะของนิพจน์ .

สารละลาย.

นิพจน์เหตุผลดั้งเดิมคือความแตกต่างระหว่างเศษส่วนกับผลคูณของเศษส่วนของแบบฟอร์ม . ตามลำดับการดำเนินการ เราต้องทำการคูณก่อน แล้วค่อยบวกเท่านั้น

เราเริ่มต้นด้วยการคูณเศษส่วนพีชคณิต:

เราแทนที่ผลลัพธ์ที่ได้รับเป็นนิพจน์เหตุผลดั้งเดิม: .

เรามาลบเศษส่วนพีชคณิตด้วย ตัวส่วนที่แตกต่างกัน:

ดังนั้น เมื่อดำเนินการกับเศษส่วนตรรกยะที่ประกอบเป็นนิพจน์ตรรกยะดั้งเดิมแล้ว เราจึงนำเสนอมันในรูปแบบของเศษส่วนตรรกยะ

คำตอบ:

.

เพื่อรวมวัสดุเข้าด้วยกัน เราจะวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาเป็นอีกตัวอย่างหนึ่ง

ตัวอย่าง.

แสดงนิพจน์ตรรกยะเป็นเศษส่วนตรรกยะ