แก้ขีดจำกัดด้วยอนันต์ ข้อจำกัดที่น่าทึ่ง ตัวอย่างการแก้ปัญหา

เมื่อคำนวณขีด จำกัด ควรคำนึงถึงด้วย กฎพื้นฐานต่อไปนี้:

1. ขีดจำกัดของผลรวม (ผลต่าง) ของฟังก์ชันเท่ากับผลรวม (ผลต่าง) ของขีดจำกัดของเงื่อนไข:

2. ขีดจำกัดของผลคูณของฟังก์ชันเท่ากับผลคูณของขีดจำกัดของปัจจัย:

3. ขีดจำกัดของอัตราส่วนของสองฟังก์ชันเท่ากับอัตราส่วนของขีดจำกัดของฟังก์ชันเหล่านี้:

.

4. ค่าคงที่สามารถนำไปเกินเครื่องหมายจำกัดได้:

.

5. ขีดจำกัดของค่าคงที่เท่ากับค่าคงที่นั้นเอง:

6. สำหรับฟังก์ชันต่อเนื่อง สามารถสลับสัญลักษณ์ขีดจำกัดและฟังก์ชันได้:

.

การค้นหาขีดจำกัดของฟังก์ชันควรเริ่มต้นด้วยการแทนที่ค่าลงในนิพจน์ของฟังก์ชัน ยิ่งไปกว่านั้น หากได้รับค่าตัวเลข 0 หรือ ¥ แสดงว่าพบขีดจำกัดที่ต้องการแล้ว

ตัวอย่างที่ 2.1คำนวณขีดจำกัด

สารละลาย.

.

นิพจน์ของรูปแบบ , , , , เรียกว่า ความไม่แน่นอน.

หากคุณได้รับความไม่แน่นอนของแบบฟอร์ม เพื่อหาขีดจำกัดที่คุณต้องแปลงฟังก์ชันเพื่อเปิดเผยความไม่แน่นอนนี้

โดยทั่วไปความไม่แน่นอนของรูปแบบจะเกิดขึ้นได้เมื่อให้ขีดจำกัดของอัตราส่วนของพหุนามสองตัว ในกรณีนี้ ในการคำนวณขีดจำกัด แนะนำให้แยกตัวประกอบพหุนามและลดด้วยตัวประกอบร่วม ตัวคูณนี้เป็นศูนย์ที่ค่าจำกัด เอ็กซ์ .

ตัวอย่างที่ 2.2คำนวณขีดจำกัด

สารละลาย.

การทดแทน เราได้รับความไม่แน่นอน:

.

ลองแยกตัวประกอบทั้งเศษและส่วน:

;

ลองลดด้วยตัวประกอบร่วมแล้วได้

จะได้ความไม่แน่นอนของรูปแบบเมื่อให้ขีดจำกัดของอัตราส่วนของพหุนามสองตัวที่ ในกรณีนี้ ในการคำนวณ แนะนำให้หารพหุนามทั้งสองด้วย เอ็กซ์ ในระดับอาวุโส

ตัวอย่างที่ 2.3คำนวณขีดจำกัด

สารละลาย.เมื่อแทน ∞ เราจะได้ความไม่แน่นอนของรูปแบบ ดังนั้นเราจึงหารพจน์ทั้งหมดของนิพจน์ด้วย x3.

.

นำมาพิจารณา ณ ที่นี้ว่า

เมื่อคำนวณขีดจำกัดของฟังก์ชันที่มีรูต แนะนำให้คูณและหารฟังก์ชันด้วยคอนจูเกต

ตัวอย่างที่ 2.4คำนวณขีดจำกัด

สารละลาย.

เมื่อคำนวณขีดจำกัดเพื่อแสดงความไม่แน่นอนของรูปแบบหรือ (1) ∞ มักใช้ขีดจำกัดที่น่าทึ่งที่หนึ่งและที่สอง:

ปัญหามากมายที่เกี่ยวข้องกับการเติบโตอย่างต่อเนื่องของปริมาณบางอย่างนำไปสู่ขีดจำกัดที่น่าทึ่งประการที่สอง

ลองพิจารณาตัวอย่างของ Ya. I. Perelman โดยให้การตีความตัวเลข จในปัญหาดอกเบี้ยทบต้น ในธนาคารออมสิน เงินดอกเบี้ยจะถูกเพิ่มเข้าไปในทุนคงที่ทุกปี หากภาคยานุวัติเกิดขึ้นบ่อยขึ้น เงินทุนก็จะเติบโตเร็วขึ้น เนื่องจากมีส่วนร่วมในการสร้างผลประโยชน์ เงินก้อนใหญ่. ลองใช้ตัวอย่างเชิงทฤษฎีล้วนๆ และเรียบง่ายมาก

ให้ผู้ปฏิเสธ 100 คนฝากเข้าธนาคาร หน่วย ขึ้นอยู่กับ 100% ต่อปี หากเงินดอกเบี้ยถูกเพิ่มเข้าไปในทุนคงที่หลังจากผ่านไปหนึ่งปีเท่านั้น ภายในช่วงเวลานี้ 100 เด็น หน่วย จะกลายเป็น 200 หน่วยการเงิน

มาดูกันว่า 100 เดนิซจะกลายเป็นอะไร หน่วยหากเพิ่มดอกเบี้ยเข้าไปในทุนถาวรทุก ๆ หกเดือน หลังจากหกเดือน 100 ถ้ำ หน่วย จะเติบโต 100 × 1.5 = 150 และหลังจากนั้นอีกหกเดือน - 150 × 1.5 = 225 (หน่วยหน่วย) หากภาคยานุวัติทำทุกๆ 1/3 ของปี จากนั้นอีก 100 ถ้ำหลังจากหนึ่งปี หน่วย จะกลายเป็น 100 × (1 +1/3) 3 "237 (หน่วยหน่วย)

เราจะเพิ่มเงื่อนไขในการบวกดอกเบี้ยเป็น 0.1 ปี, เป็น 0.01 ปี, เป็น 0.001 ปี เป็นต้น จากนั้นหมด 100 ถ้ำ หน่วย หลังจากผ่านไปหนึ่งปีจะเป็น:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (จำนวนหน่วย)

100 × (1+1/100) 100 » 270 (จำนวนหน่วย)

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (หน่วยหน่วย)

ด้วยการลดเงื่อนไขการเพิ่มดอกเบี้ยไม่จำกัด ทุนสะสมจะไม่เติบโตอย่างไม่มีกำหนด แต่เข้าใกล้ขีดจำกัดที่แน่นอนเท่ากับประมาณ 271 ทุนที่ฝาก 100% ต่อปีไม่สามารถเพิ่มขึ้นเกิน 2.71 เท่า แม้ว่าดอกเบี้ยค้างรับก็ตาม ถูกเพิ่มเข้าไปในเมืองหลวงทุกวินาทีเพราะว่า

ตัวอย่างที่ 2.5คำนวณขีดจำกัดของฟังก์ชัน

สารละลาย.

ตัวอย่างที่ 2.6คำนวณขีดจำกัดของฟังก์ชัน .

สารละลาย.แทนที่เราได้รับความไม่แน่นอน:

.

โดยใช้ สูตรตรีโกณมิติ, แปลงตัวเศษให้เป็นผลิตภัณฑ์:

เป็นผลให้เราได้รับ

ที่นี่คำนึงถึงขีดจำกัดที่น่าทึ่งประการที่สองด้วย

ตัวอย่างที่ 2.7คำนวณขีดจำกัดของฟังก์ชัน

สารละลาย.

.

หากต้องการเปิดเผยความไม่แน่นอนของแบบฟอร์ม หรือใช้กฎของโลปิตาลซึ่งมีพื้นฐานมาจากทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท.ขีดจำกัดของอัตราส่วนของฟังก์ชันที่เล็กหรือใหญ่ไม่สิ้นสุดสองตัวจะเท่ากับขีดจำกัดของอัตราส่วนของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านั้น

โปรดทราบว่ากฎนี้สามารถใช้ได้หลายครั้งติดต่อกัน

ตัวอย่างที่ 2.8หา

สารละลาย.เมื่อทำการทดแทนเราจะมีความไม่แน่นอนของรูปทรง เมื่อใช้กฎของโลปิตาล เราก็จะได้

ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน

คุณสมบัติที่สำคัญของฟังก์ชันคือความต่อเนื่อง

คำนิยาม.ถือเป็นฟังก์ชัน อย่างต่อเนื่องหากการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในค่าของอาร์กิวเมนต์จะทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในค่าของฟังก์ชัน

ในทางคณิตศาสตร์สิ่งนี้เขียนดังนี้: เมื่อไร

โดย และ หมายถึง การเพิ่มขึ้นของตัวแปร กล่าวคือ ความแตกต่างระหว่างค่าที่ตามมาและค่าก่อนหน้า: , (รูปที่ 2.3)

รูปที่ 2.3 – การเพิ่มขึ้นของตัวแปร

จากนิยามของฟังก์ชันต่อเนื่อง ณ จุดนั้นเป็นไปตามนั้น . ความเท่าเทียมกันนี้หมายความว่าเป็นไปตามเงื่อนไขสามประการ:

สารละลาย.สำหรับฟังก์ชั่น ประเด็นที่น่าสงสัยคือความไม่ต่อเนื่อง ลองตรวจสอบและค้นหาขีดจำกัดด้านเดียว

เพราะฉะนั้น, , วิธี - จุดพัก

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน

เครื่องคิดเลขคณิตศาสตร์ออนไลน์นี้จะช่วยคุณได้หากคุณต้องการ คำนวณขีดจำกัดของฟังก์ชัน. โปรแกรม ขีดจำกัดของโซลูชันไม่เพียงแต่ให้คำตอบต่อปัญหาเท่านั้น แต่ยังนำไปสู่อีกด้วย วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดพร้อมคำอธิบาย, เช่น. แสดงกระบวนการคำนวณขีดจำกัด

โปรแกรมนี้อาจเป็นประโยชน์สำหรับนักเรียนมัธยมปลาย โรงเรียนมัธยมในการเตรียมตัวสอบและสอบเมื่อทดสอบความรู้ก่อนสอบ Unified State เพื่อให้ผู้ปกครองได้ควบคุมการแก้ปัญหาต่างๆในคณิตศาสตร์และพีชคณิต หรืออาจจะแพงเกินไปสำหรับคุณที่จะจ้างครูสอนพิเศษหรือซื้อตำราเรียนใหม่ หรือคุณเพียงต้องการที่จะทำให้มันเสร็จโดยเร็วที่สุด? การบ้านในวิชาคณิตศาสตร์หรือพีชคณิต? ในกรณีนี้ คุณสามารถใช้โปรแกรมของเราพร้อมวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดได้

ด้วยวิธีนี้ คุณสามารถดำเนินการฝึกอบรมและ/หรือฝึกอบรมน้องชายหรือน้องสาวของคุณได้เอง ในขณะที่ระดับการศึกษาในด้านการแก้ปัญหาก็เพิ่มขึ้น

พบว่าไม่ได้โหลดสคริปต์บางตัวที่จำเป็นในการแก้ปัญหานี้ และโปรแกรมอาจไม่ทำงาน
คุณอาจเปิดใช้งาน AdBlock ไว้
ในกรณีนี้ ให้ปิดการใช้งานและรีเฟรชเพจ

เพราะ มีคนจำนวนมากยินดีแก้ไขปัญหา คำขอของคุณอยู่ในคิวแล้ว
ภายในไม่กี่วินาทีวิธีแก้ปัญหาจะปรากฏขึ้นด้านล่าง
โปรดรอ วินาที...

ถ้าคุณ สังเกตเห็นข้อผิดพลาดในการแก้ปัญหาจากนั้นคุณสามารถเขียนเกี่ยวกับเรื่องนี้ในแบบฟอร์มคำติชม
อย่าลืม ระบุว่างานใดคุณตัดสินใจว่าอะไร เข้าไปในทุ่งนา.

เกม ปริศนา อีมูเลเตอร์ของเรา:

ทฤษฎีเล็กน้อย

ขีดจำกัดของฟังก์ชันที่ x->x 0

ปล่อยให้ฟังก์ชัน f(x) ถูกกำหนดไว้บนเซต X บางเซต และปล่อยให้จุด \(x_0 \in X\) หรือ \(x_0 \notin X\)

ให้เราพิจารณาลำดับของจุดที่แตกต่างจาก x 0 จาก X:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., xn , ... (1)
บรรจบกันเป็น x* ค่าฟังก์ชันที่จุดของลำดับนี้ยังสร้างลำดับตัวเลขด้วย
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
และใครๆ ก็ตั้งคำถามถึงการมีอยู่ของขีดจำกัดของมันได้

คำนิยาม. หมายเลข A เรียกว่าขีด จำกัด ของฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x = x 0 (หรือที่ x -> x 0) ถ้าสำหรับลำดับใด ๆ (1) ของค่าของอาร์กิวเมนต์ x แตกต่างจาก x 0 เมื่อบรรจบกันเป็น x 0 ลำดับที่สอดคล้องกัน (2) ของฟังก์ชันค่าจะบรรจบกันเป็นตัวเลข A

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$

ฟังก์ชัน f(x) สามารถมีขีดจำกัดได้เพียงจุดเดียวที่จุด x 0 ซึ่งตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าลำดับ
(f(xn)) มีขีดจำกัดเดียวเท่านั้น

มีคำจำกัดความของขีดจำกัดของฟังก์ชันอีกประการหนึ่ง

คำนิยามจำนวน A เรียกว่าลิมิตของฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x = x 0 ถ้าสำหรับตัวเลขใดๆ \(\varepsilon > 0\) มีตัวเลข \(\delta > 0\) ดังนั้นสำหรับ \ ทั้งหมด (x \in X, \; x \neq x_0 \) เป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน \(|x-x_0| การใช้สัญลักษณ์เชิงตรรกะ คำจำกัดความนี้สามารถเขียนได้เป็น
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| โปรดทราบว่าอสมการ \(x \neq x_0 , \; |x-x_0| คำจำกัดความแรกขึ้นอยู่กับแนวคิดเรื่องขีดจำกัดของลำดับตัวเลข จึงมักเรียกว่าคำจำกัดความ "ในภาษาของลำดับ" คำจำกัดความที่สองเรียกว่าคำจำกัดความ "ในภาษาของลำดับ" \(\varepsilon - \เดลต้า \)”
คำจำกัดความของขีด จำกัด ของฟังก์ชันทั้งสองนี้เทียบเท่ากันและคุณสามารถใช้อย่างใดอย่างหนึ่งขึ้นอยู่กับว่าวิธีใดสะดวกกว่าในการแก้ปัญหาเฉพาะ

โปรดทราบว่าคำจำกัดความของขีดจำกัดของฟังก์ชัน “ในภาษาของลำดับ” เรียกอีกอย่างว่าคำจำกัดความของขีดจำกัดของฟังก์ชันตาม Heine และคำจำกัดความของขีดจำกัดของฟังก์ชัน “ในภาษา \(\varepsilon - \delta \)” เรียกอีกอย่างว่าคำจำกัดความของขีดจำกัดของฟังก์ชันตาม Cauchy

ขีดจำกัดของฟังก์ชันที่ x->x 0 - และที่ x->x 0 +

ต่อไปนี้เราจะใช้แนวคิดเรื่องขีดจำกัดด้านเดียวของฟังก์ชันซึ่งมีการกำหนดไว้ดังนี้

คำนิยามตัวเลข A เรียกว่าลิมิตทางขวา (ซ้าย) ของฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x 0 ถ้าสำหรับลำดับใดๆ (1) มาบรรจบกันที่ x 0 องค์ประกอบ x n ซึ่งมากกว่า (น้อยกว่า) x 0 จะได้ ลำดับที่สอดคล้องกัน (2) มาบรรจบกับ A

โดยเชิงสัญลักษณ์จะเขียนดังนี้:
$$ \lim_(x \ถึง x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$

เราสามารถให้คำจำกัดความที่เทียบเท่ากับขีดจำกัดด้านเดียวของฟังก์ชัน “ในภาษา \(\varepsilon - \delta \)”:

คำนิยามตัวเลข A เรียกว่าลิมิตทางขวา (ซ้าย) ของฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x 0 ถ้า \(\varepsilon > 0\) ใดๆ มี \(\delta > 0\) ดังนั้นสำหรับ x ทั้งหมด ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน \(x_0 รายการสัญลักษณ์:

ในทางคณิตศาสตร์มีสิ่งหนึ่งที่เป็นขีดจำกัดของฟังก์ชัน เพื่อให้เข้าใจถึงวิธีค้นหาขีด จำกัด คุณต้องจำคำจำกัดความของขีด จำกัด ของฟังก์ชัน: ฟังก์ชัน f (x) มีขีด จำกัด L ที่จุด x = a ถ้าสำหรับแต่ละลำดับของค่าของ x ที่บรรจบกันที่จุด a ลำดับของค่าของ y เข้าใกล้:

• แอล ลิม ฉ(x) = ล

แนวคิดและคุณสมบัติของขีดจำกัด

คุณสามารถเข้าใจขีดจำกัดได้จากตัวอย่าง สมมติว่าเรามีฟังก์ชัน y=1/x หากเราเพิ่มค่าของ x อย่างต่อเนื่องและดูว่า y เท่ากับเท่าใด เราจะได้ค่าที่ลดลงมากขึ้น: ที่ x=10000 y=1/10000; ที่ x=1000000 y=1/1000000 เหล่านั้น. ยิ่ง x มาก y ก็จะยิ่งน้อยลง ถ้า x=∞ y จะมีค่าน้อยมากจนถือว่าเท่ากับ 0 ดังนั้น ลิมิตของฟังก์ชัน y=1/x เมื่อ x มีแนวโน้มที่จะ ∞ เท่ากับ 0 ซึ่งเขียนไว้ดังนี้:

• lim1/х=0

ขีดจำกัดของฟังก์ชันมีคุณสมบัติหลายประการที่คุณต้องจำ: สิ่งนี้จะช่วยแก้ปัญหาในการค้นหาขีดจำกัดได้อย่างมาก:

• ขีดจำกัดผลรวมเท่ากับผลรวมของขีดจำกัด: lim(x+y)=lim x+lim y
• ขีดจำกัดของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลคูณของขีดจำกัด: lim(xy)=lim x*lim y
• ขีดจำกัดของผลหารเท่ากับผลหารของขีดจำกัด: lim(x/y)=lim x/lim y
• ตัวประกอบคงที่ถูกนำออกจากเครื่องหมายขีดจำกัด: lim(Cx)=C lim x

ฟังก์ชัน y=1/x โดยที่ x →∞ มีขีดจำกัดเท่ากับศูนย์ สำหรับ x→0 ขีดจำกัดจะเท่ากับ ∞

• ลิม (บาป x)/x=1 x→0

ทฤษฎีขีดจำกัดเป็นหนึ่งในสาขาหนึ่งของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ คำถามในการแก้ไขขีดจำกัดนั้นค่อนข้างกว้างขวาง เนื่องจากมีหลายวิธีในการแก้ไขขีดจำกัด หลากหลายชนิด. มีความแตกต่างและลูกเล่นมากมายที่ช่วยให้คุณสามารถแก้ไขข้อ จำกัด นี้หรือข้อนั้นได้ อย่างไรก็ตาม เราจะยังคงพยายามทำความเข้าใจข้อจำกัดประเภทหลักๆ ที่พบบ่อยที่สุดในทางปฏิบัติ

เริ่มจากแนวคิดเรื่องขีดจำกัดกันก่อน แต่ก่อนอื่น ภูมิหลังทางประวัติศาสตร์โดยย่อ ในศตวรรษที่ 19 ชาวฝรั่งเศสชื่อ Augustin Louis Cauchy เป็นผู้วางรากฐานของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์และให้คำจำกัดความที่เข้มงวด โดยเฉพาะคำจำกัดความของขีดจำกัด ต้องบอกว่า Cauchy คนเดียวกันนี้เคยเป็นและจะอยู่ในฝันร้ายของนักเรียนฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ทุกคนเนื่องจากเขาได้พิสูจน์ทฤษฎีบทการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์จำนวนมากและแต่ละทฤษฎีก็น่าขยะแขยงมากกว่าทฤษฎีอื่น ในเรื่องนี้ เราจะไม่พิจารณาคำจำกัดความที่เข้มงวดของขีดจำกัด แต่จะพยายามทำสองสิ่ง:

1. ทำความเข้าใจว่าขีดจำกัดคืออะไร
2. เรียนรู้ที่จะแก้ไขขีดจำกัดประเภทหลักๆ

ฉันขอโทษสำหรับคำอธิบายที่ไม่เป็นไปตามหลักวิทยาศาสตร์ สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจวัสดุได้แม้กระทั่งกาน้ำชา ซึ่งอันที่จริงแล้วเป็นงานของโครงการ

แล้วขีดจำกัดคืออะไรล่ะ?

และเป็นเพียงตัวอย่างว่าทำไมคุณย่าขนดก....

ขีดจำกัดใด ๆ ประกอบด้วยสามส่วน:

1) ไอคอนขีดจำกัดที่รู้จักกันดี
2) รายการภายใต้ไอคอนขีดจำกัด ในกรณีนี้ ข้อความเขียนว่า “X มีแนวโน้มเป็นหนึ่ง” บ่อยที่สุด - แน่นอนแม้ว่าในทางปฏิบัติแทนที่จะเป็น "X" จะมีตัวแปรอื่นอยู่ก็ตาม ในทางปฏิบัติ สถานที่หนึ่งสามารถเป็นตัวเลขใดๆ ก็ได้ รวมถึงค่าอนันต์ ()
3) ฟังก์ชั่นภายใต้เครื่องหมายจำกัด ในกรณีนี้

การบันทึกนั้นเอง อ่านได้ดังนี้: “ขีดจำกัดของฟังก์ชันเมื่อ x มีแนวโน้มที่จะรวมเป็นหนึ่งเดียว”

มาดูอันถัดไปกัน คำถามสำคัญ– สำนวน “x” หมายถึงอะไร? มุ่งมั่นถึงหนึ่ง"? และคำว่า “มุ่งมั่น” หมายความว่าอย่างไร?
แนวคิดเรื่องขีดจำกัดก็คือแนวคิด กล่าวคือ พลวัต. มาสร้างลำดับกัน: อันดับแรก จากนั้น , , …, , ….
นั่นก็คือ สำนวน “x” มุ่งมั่นหนึ่ง” ควรเข้าใจดังนี้: “x” รับค่าอย่างสม่ำเสมอ ซึ่งเข้าใกล้ความสามัคคีอย่างไม่สิ้นสุดและเกือบจะเกิดขึ้นพร้อมๆ กัน.

จะแก้ตัวอย่างข้างต้นได้อย่างไร? จากที่กล่าวมาข้างต้น คุณเพียงแค่ต้องแทนที่อันใดอันหนึ่งลงในฟังก์ชันใต้เครื่องหมายจำกัด:

ดังนั้นกฎข้อแรก: เมื่อได้รับขีดจำกัดใดๆ ขั้นแรกเราเพียงพยายามแทนตัวเลขเข้ากับฟังก์ชัน.

เราได้พิจารณาขีดจำกัดที่ง่ายที่สุดแล้ว แต่สิ่งเหล่านี้ก็เกิดขึ้นในทางปฏิบัติเช่นกัน และไม่บ่อยนัก!

ตัวอย่างที่มีอนันต์:

ลองคิดดูว่ามันคืออะไร? นี่เป็นกรณีที่มันเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขีดจำกัด กล่าวคือ อันดับแรก จากนั้น จากนั้น ต่อไป และอื่นๆ ไม่มีที่สิ้นสุด

เกิดอะไรขึ้นกับฟังก์ชั่นในเวลานี้?
, , , …

ดังนั้น: ถ้า ฟังก์ชันนี้มีแนวโน้มที่จะลบอนันต์:

พูดคร่าวๆ ตามกฎข้อแรกของเรา แทนที่จะเป็น "X" เราจะแทนที่ค่าอนันต์ในฟังก์ชันแล้วได้คำตอบ

อีกตัวอย่างหนึ่งที่มีอนันต์:

อีกครั้งเราเริ่มเพิ่มขึ้นเป็นอนันต์ และดูที่พฤติกรรมของฟังก์ชัน:

สรุป: เมื่อฟังก์ชันเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขีดจำกัด:

และอีกตัวอย่างหนึ่ง:

โปรดลองวิเคราะห์สิ่งต่อไปนี้ด้วยตนเองและจดจำประเภทขีดจำกัดที่ง่ายที่สุด:

, , , , , , , , ,
หากมีข้อสงสัยตรงไหนก็สามารถหยิบเครื่องคิดเลขมาฝึกเล่นได้นิดหน่อย
ในกรณีที่ ให้ลองสร้างลำดับ , , . ถ้า แล้ว , , .

หมายเหตุ: พูดอย่างเคร่งครัด วิธีการสร้างลำดับของตัวเลขหลายจำนวนนี้ไม่ถูกต้อง แต่สำหรับการทำความเข้าใจตัวอย่างที่ง่ายที่สุดก็ค่อนข้างเหมาะสม

ให้ความสนใจกับสิ่งต่อไปนี้ด้วย แม้ว่าจะได้รับขีดจำกัดด้วยก็ตาม จำนวนมากที่ด้านบนแม้จะมีเป็นล้าน: มันก็เหมือนกันหมด เนื่องจากไม่ช้าก็เร็ว "X" จะได้รับค่าขนาดมหึมาซึ่งเมื่อเปรียบเทียบกับพวกมันแล้วนับล้านจะกลายเป็นจุลินทรีย์จริง

สิ่งที่คุณต้องจำและทำความเข้าใจจากข้างต้น?

1) เมื่อกำหนดขีดจำกัดใดๆ ขั้นแรกเราเพียงพยายามแทนที่ตัวเลขลงในฟังก์ชัน

2) คุณต้องเข้าใจและแก้ไขขีดจำกัดที่ง่ายที่สุดทันที เช่น , , ฯลฯ

ตอนนี้เราจะพิจารณากลุ่มของขีดจำกัดเมื่อ และฟังก์ชันเป็นเศษส่วนที่ตัวเศษและตัวส่วนประกอบด้วยพหุนาม

ตัวอย่าง:

คำนวณขีดจำกัด

ตามกฎของเรา เราจะพยายามแทนที่ค่าอนันต์ในฟังก์ชัน เราได้อะไรจากด้านบน? อินฟินิตี้. และเกิดอะไรขึ้นด้านล่าง? อนันต์อีกด้วย ดังนั้นเราจึงมีสิ่งที่เรียกว่าความไม่แน่นอนของสายพันธุ์ บางคนอาจคิดว่า และคำตอบก็พร้อมแล้ว แต่ในกรณีทั่วไป มันไม่ได้เป็นเช่นนั้นเลย และจำเป็นต้องใช้เทคนิคการแก้ปัญหาบางอย่าง ซึ่งเราจะพิจารณาในตอนนี้

จะแก้ข้อจำกัดประเภทนี้ได้อย่างไร?

ขั้นแรกเราดูที่ตัวเศษและค้นหากำลังสูงสุด:

กำลังนำในตัวเศษคือสอง

ตอนนี้เราดูที่ตัวส่วนและพบว่ามันมีพลังสูงสุดด้วย:

ระดับสูงสุดของตัวส่วนคือสอง

จากนั้นเราเลือกกำลังสูงสุดของตัวเศษและส่วน: เข้า ในตัวอย่างนี้มันตรงกันและเท่ากับสอง

ดังนั้น วิธีการแก้มีดังนี้ เพื่อที่จะเปิดเผยความไม่แน่นอนจึงจำเป็นต้องหารทั้งเศษและส่วนด้วยกำลังสูงสุด

นี่คือคำตอบ ไม่ใช่อนันต์เลย

อะไรคือสิ่งสำคัญขั้นพื้นฐานในการออกแบบการตัดสินใจ?

ขั้นแรก เราระบุถึงความไม่แน่นอน (ถ้ามี)

ประการที่สอง ขอแนะนำให้ขัดจังหวะการแก้ปัญหาเพื่อขอคำอธิบายระดับกลาง ฉันมักจะใช้เครื่องหมายนี้ มันไม่มีความหมายทางคณิตศาสตร์ แต่หมายความว่าการแก้ปัญหาถูกขัดจังหวะเพื่อขอคำอธิบายระดับกลาง

ประการที่สาม แนะนำให้ทำเครื่องหมายสิ่งที่กำลังดำเนินไปในขอบเขตจำกัด เมื่อวาดรูปด้วยมือจะสะดวกกว่าถ้าทำเช่นนี้:

ควรใช้ดินสอธรรมดาสำหรับจดบันทึก

แน่นอนว่าคุณไม่จำเป็นต้องทำอะไรเลย แต่บางทีครูอาจชี้ให้เห็นข้อบกพร่องในการแก้ปัญหาหรือเริ่มถามคำถามเพิ่มเติมเกี่ยวกับงานที่ได้รับมอบหมาย คุณต้องการมันไหม?

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาขีดจำกัด
อีกครั้งในตัวเศษและส่วนที่เราพบในระดับสูงสุด:

ระดับสูงสุดในตัวเศษ: 3
ระดับสูงสุดในตัวส่วน: 4
เลือก ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดค่าในกรณีนี้คือสี่
ตามอัลกอริทึมของเรา เพื่อเปิดเผยความไม่แน่นอน เราจะหารทั้งเศษและส่วนด้วย
งานที่สมบูรณ์อาจมีลักษณะดังนี้:

หารทั้งเศษและส่วนด้วย

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาขีดจำกัด
ระดับสูงสุดของ “X” ในตัวเศษ: 2
ระดับสูงสุดของ “X” ในตัวส่วน: 1 (เขียนเป็นได้)
เพื่อเปิดเผยความไม่แน่นอน จำเป็นต้องหารทั้งเศษและส่วนด้วย วิธีแก้ปัญหาสุดท้ายอาจมีลักษณะดังนี้:

หารทั้งเศษและส่วนด้วย

สัญกรณ์ไม่ได้หมายถึงการหารด้วยศูนย์ (คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้) แต่เป็นการหารด้วยจำนวนที่น้อยมาก

ดังนั้นด้วยการเปิดเผยความไม่แน่นอนของสายพันธุ์ เราอาจสามารถทำได้ หมายเลขสุดท้าย, ศูนย์หรืออนันต์

ขีดจำกัดด้วยความไม่แน่นอนของประเภทและวิธีการแก้ไข

ขีดจำกัดกลุ่มถัดไปค่อนข้างคล้ายกับขีดจำกัดที่เพิ่งพิจารณา: ตัวเศษและตัวส่วนประกอบด้วยพหุนาม แต่ "x" ไม่มีแนวโน้มที่จะเป็นอนันต์อีกต่อไป แต่ จำนวนจำกัด.

ตัวอย่างที่ 4

แก้ขีดจำกัด
ก่อนอื่น เรามาลองแทน -1 ลงในเศษส่วนกันก่อน:

ในกรณีนี้จะได้รับสิ่งที่เรียกว่าความไม่แน่นอน

กฎทั่วไป : ถ้าตัวเศษและส่วนมีพหุนามและมีรูปแบบไม่แน่นอนก็ให้เปิดเผย คุณต้องแยกตัวประกอบทั้งเศษและส่วน.

ในการทำเช่นนี้คุณต้องตัดสินใจบ่อยที่สุด สมการกำลังสองและ/หรือใช้สูตรคูณแบบย่อ หากสิ่งเหล่านี้ถูกลืมไปเยี่ยมชมเพจ สูตรทางคณิตศาสตร์และตารางและเช็คเอาท์ วัสดุวิธีการ สูตรร้อน หลักสูตรของโรงเรียนนักคณิตศาสตร์. อย่างไรก็ตาม วิธีที่ดีที่สุดคือพิมพ์ออกมาซึ่งต้องใช้บ่อยมากและข้อมูลจะถูกดูดซึมจากกระดาษได้ดีกว่า

เอาล่ะ มาแก้ขีดจำกัดของเรากันดีกว่า

แยกตัวประกอบทั้งเศษและส่วน

ในการที่จะแยกตัวเศษออกจากตัวเศษ คุณต้องแก้สมการกำลังสอง:

ขั้นแรกเราค้นหาผู้เลือกปฏิบัติ:

และรากที่สองของมัน: .

ถ้าค่าแยกแยะมีขนาดใหญ่ เช่น 361 เราจะใช้เครื่องคิดเลข ฟังก์ชันการแยก รากที่สองมีอยู่ในเครื่องคิดเลขที่ง่ายที่สุด

! หากถอนรากไม่หมด (ปรากฎว่า จำนวนเศษส่วนด้วยเครื่องหมายจุลภาค) มีโอกาสมากที่การคำนวณการเลือกปฏิบัติไม่ถูกต้องหรือมีการพิมพ์ผิดในงาน

ต่อไปเราจะค้นหาราก:

ดังนั้น:

ทั้งหมด. ตัวเศษจะถูกแยกตัวประกอบ

ตัวส่วน ตัวส่วนเป็นปัจจัยที่ง่ายที่สุดอยู่แล้ว และไม่มีวิธีใดที่จะทำให้มันง่ายขึ้นได้

เห็นได้ชัดว่าสามารถย่อเป็น:

ตอนนี้เราแทน -1 ลงในนิพจน์ที่ยังอยู่ใต้เครื่องหมายจำกัด:

โดยธรรมชาติแล้วใน ทดสอบงานในระหว่างการทดสอบหรือการสอบ วิธีแก้ปัญหาจะไม่ถูกเขียนรายละเอียดดังกล่าว ในเวอร์ชันสุดท้าย การออกแบบควรมีลักษณะดังนี้:

ลองแยกตัวประกอบตัวเศษ.

ตัวอย่างที่ 5

คำนวณขีดจำกัด

ขั้นแรก เวอร์ชัน "เสร็จสิ้น" ของโซลูชัน

ลองแยกตัวเศษและส่วนออก.

เศษ:
ตัวส่วน:



,

สิ่งสำคัญในตัวอย่างนี้คืออะไร?
ประการแรก คุณต้องมีความเข้าใจเป็นอย่างดีว่าตัวเศษถูกเปิดเผยได้อย่างไร ขั้นแรกเราเอา 2 ตัวออกจากวงเล็บ แล้วจึงใช้สูตรสำหรับผลต่างของกำลังสอง นี่คือสูตรที่คุณต้องรู้และดู