การดำเนินการกับเศษส่วน 4 วิธีแก้ การลบเศษส่วนสามัญ เศษส่วนบวกและลบ

บทความนี้จะตรวจสอบการดำเนินการกับเศษส่วน กฎสำหรับการบวก ลบ คูณ หาร หรือการยกกำลังของเศษส่วนในรูปแบบ A B จะถูกสร้างและจัดชิดขอบ โดยที่ A และ B อาจเป็นตัวเลข นิพจน์ตัวเลข หรือนิพจน์ที่มีตัวแปร โดยสรุป จะพิจารณาตัวอย่างวิธีแก้ปัญหาพร้อมคำอธิบายโดยละเอียด

ยานเดกซ์RTB R-A-339285-1

กฎสำหรับการดำเนินการกับเศษส่วนตัวเลขทั่วไป

เศษส่วนเชิงตัวเลข ปริทัศน์มีตัวเศษและส่วนซึ่งมีอยู่ จำนวนเต็มหรือนิพจน์ตัวเลข หากเราพิจารณาเศษส่วนเช่น 3 5, 2, 8 4, 1 + 2 3 4 (5 - 2), 3 4 + 7 8 2, 3 - 0, 8, 1 2 2, π 1 - 2 3 + π, 2 0, 5 ln 3 เป็นที่ชัดเจนว่าตัวเศษและส่วนสามารถมีได้ไม่เพียงแต่ตัวเลขเท่านั้น แต่ยังมีนิพจน์ประเภทต่างๆ อีกด้วย

คำจำกัดความ 1

มีกฎที่ใช้ดำเนินการกับเศษส่วนสามัญ นอกจากนี้ยังเหมาะสำหรับเศษส่วนทั่วไป:

• เมื่อลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเหมือนกัน จะมีการเพิ่มเฉพาะเศษเท่านั้นและตัวส่วนยังคงเหมือนเดิม กล่าวคือ: a d ± c d = a ± c d ค่า a, c และ d ≠ 0 เป็นตัวเลขหรือนิพจน์ตัวเลขบางส่วน
• เมื่อบวกหรือลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน จำเป็นต้องลดให้เหลือตัวส่วนร่วม จากนั้นจึงบวกหรือลบเศษส่วนผลลัพธ์ที่มีเลขชี้กำลังเดียวกัน แท้จริงแล้วดูเหมือนว่านี้: a b ± c d = a · p ± c · r s โดยที่ค่า a, b ≠ 0, c, d ≠ 0, p ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0 เป็นตัวเลขจริง และ b · p = d · r = s เมื่อ p = d และ r = b แล้ว a b ± c d = a · d ± c · d b · d
• เมื่อคูณเศษส่วน การกระทำจะดำเนินการโดยใช้ตัวเศษ หลังจากนั้นด้วยตัวส่วน เราจะได้ a b · c d = a · c b · d โดยที่ a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 ทำหน้าที่เป็นจำนวนจริง
• เมื่อหารเศษส่วนด้วยเศษส่วน เราจะคูณเศษส่วนแรกด้วยส่วนผกผันที่สอง นั่นคือเราสลับตัวเศษและส่วน: a b: c d = a b · d c

เหตุผลสำหรับกฎเกณฑ์

มีประเด็นทางคณิตศาสตร์ต่อไปนี้ที่คุณควรพึ่งพาเมื่อคำนวณ:

• เครื่องหมายทับหมายถึงเครื่องหมายแบ่ง
• การหารด้วยตัวเลขจะถือเป็นการคูณด้วยค่าส่วนกลับ
• การประยุกต์คุณสมบัติของการดำเนินการกับจำนวนจริง
• การประยุกต์คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วนและอสมการเชิงตัวเลข

ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา คุณสามารถทำการเปลี่ยนแปลงแบบฟอร์มได้:

a d ± c d = a · d - 1 ± c · d - 1 = a ± c · d - 1 = a ± c d ; a b ± c d = a · p b · p ± c · r d · r = a · p s ± c · e s = a · p ± c · r s ; a b · c d = a · d b · d · b · c b · d = a · d · a · d - 1 · b · c · b · d - 1 = = a · d · b · c · b · d - 1 · ข · d - 1 = ก · d · ข · c ข · d · ข · d - 1 = = (ก · ค) · (ข · ง) - 1 = ก · ค ข · d

ตัวอย่าง

ในย่อหน้าก่อนว่าด้วยเรื่องการดำเนินการกับเศษส่วน หลังจากนั้นจึงต้องทำให้เศษส่วนง่ายขึ้น หัวข้อนี้ถูกกล่าวถึงโดยละเอียดในย่อหน้าเรื่องการแปลงเศษส่วน

ก่อนอื่น มาดูตัวอย่างการบวกและการลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน

ตัวอย่างที่ 1

เมื่อพิจารณาเศษส่วน 8 2, 7 และ 1 2, 7 ตามกฎแล้วจำเป็นต้องบวกตัวเศษและเขียนตัวส่วนใหม่

สารละลาย

จากนั้นเราจะได้เศษส่วนของรูปแบบ 8 + 1 2, 7 หลังจากทำการบวกแล้ว เราจะได้เศษส่วนของแบบฟอร์ม 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3 ดังนั้น 8 2, 7 + 1 2, 7 = 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3

คำตอบ: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

มีวิธีแก้ไขอื่น ขั้นแรก เราเปลี่ยนไปใช้รูปเศษส่วนสามัญ หลังจากนั้นจึงทำการทำให้ง่ายขึ้น ดูเหมือนว่านี้:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

ตัวอย่างที่ 2

ลองลบจาก 1 - 2 3 · บันทึก 2 3 · บันทึก 2 5 + 1 เศษส่วนของรูปแบบ 2 3 3 · บันทึก 2 3 · บันทึก 2 5 + 1 .

เนื่องจากให้ตัวส่วนเท่ากัน หมายความว่าเรากำลังคำนวณเศษส่วนด้วยตัวส่วนเท่ากัน เราเข้าใจแล้ว

1 - 2 3 บันทึก 2 3 บันทึก 2 5 + 1 - 2 3 3 บันทึก 2 3 บันทึก 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 บันทึก 2 3 บันทึก 2 5 + 1

มีตัวอย่างการคำนวณเศษส่วนด้วย ตัวส่วนที่แตกต่างกัน. จุดสำคัญคือการลดให้เหลือตัวส่วนร่วม หากปราศจากสิ่งนี้เราจะไม่สามารถดำเนินการได้ การดำเนินการเพิ่มเติมด้วยเศษส่วน

กระบวนการนี้ชวนให้นึกถึงการลดตัวส่วนร่วมอย่างคลุมเครือ นั่นคือตัวหารร่วมน้อยที่สุดในตัวส่วนจะถูกค้นหา หลังจากนั้นตัวประกอบที่หายไปจะถูกบวกเข้ากับเศษส่วน

หากเศษส่วนที่ถูกบวกไม่มีตัวประกอบร่วมกัน ผลคูณของเศษส่วนนั้นก็สามารถเป็นหนึ่งได้

ตัวอย่างที่ 3

ลองดูตัวอย่างการบวกเศษส่วน 2 3 5 + 1 และ 1 2

สารละลาย

ในกรณีนี้ ตัวส่วนร่วมคือผลคูณของตัวส่วน แล้วเราจะได้ 2 · 3 5 + 1 จากนั้น เมื่อตั้งค่าตัวประกอบเพิ่มเติม เราจะได้เศษส่วนแรกเท่ากับ 2 และเศษส่วนที่สองคือ 3 5 + 1 หลังจากการคูณ เศษส่วนจะลดลงเป็นรูปแบบ 4 2 · 3 5 + 1 การลดลงโดยทั่วไปของ 1 2 จะเป็น 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 เราบวกนิพจน์เศษส่วนที่เป็นผลลัพธ์แล้วได้สิ่งนั้น

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

คำตอบ: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

เมื่อเราจัดการกับเศษส่วนทั่วไป เรามักจะไม่พูดถึงตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุด การนำผลคูณของตัวเศษเป็นตัวส่วนจะไม่เกิดประโยชน์ ก่อนอื่นคุณต้องตรวจสอบว่ามีตัวเลขที่มีมูลค่าน้อยกว่าผลิตภัณฑ์ของตนหรือไม่

ตัวอย่างที่ 4

ลองพิจารณาตัวอย่าง 1 6 · 2 1 5 และ 1 4 · 2 3 5 เมื่อผลคูณของมันเท่ากับ 6 · 2 1 5 · 4 · 2 3 5 = 24 · 2 4 5 จากนั้นเราเอา 12 · 2 3 5 เป็นตัวส่วนร่วม.

มาดูตัวอย่างการคูณเศษส่วนทั่วไปกัน

ตัวอย่างที่ 5

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณต้องคูณ 2 + 1 6 และ 2 · 5 3 · 2 + 1

สารละลาย

ตามกฎแล้ว จำเป็นต้องเขียนใหม่และเขียนผลคูณของตัวเศษเป็นตัวส่วน เราได้ 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1. เมื่อเศษส่วนถูกคูณแล้ว คุณสามารถลดทอนเพื่อทำให้เศษส่วนง่ายขึ้นได้ จากนั้น 5 · 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 · 3 3 2 + 1 · 9 3 10

การใช้กฎสำหรับการเปลี่ยนจากการหารเป็นการคูณด้วยเศษส่วนกลับ เราจะได้เศษส่วนที่เป็นส่วนกลับของเศษส่วนที่กำหนด เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ตัวเศษและตัวส่วนจะถูกสลับกัน ลองดูตัวอย่าง:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

จากนั้นพวกเขาจะต้องคูณและทำให้เศษส่วนผลลัพธ์ง่ายขึ้น หากจำเป็น ให้กำจัดความไม่ลงตัวในตัวส่วนออก เราเข้าใจแล้ว

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

คำตอบ: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

ย่อหน้านี้ใช้ได้เมื่อตัวเลขหรือนิพจน์ตัวเลขสามารถแสดงเป็นเศษส่วนโดยมีตัวส่วนเท่ากับ 1 จากนั้นการดำเนินการด้วยเศษส่วนดังกล่าวจะถือเป็นย่อหน้าแยกต่างหาก ตัวอย่างเช่น นิพจน์ 1 6 · 7 4 - 1 · 3 แสดงว่ารากของ 3 สามารถถูกแทนที่ด้วยนิพจน์ 3 1 อีกรายการหนึ่งได้ จากนั้นรายการนี้จะดูเหมือนการคูณเศษส่วนสองตัวในรูปแบบ 1 6 · 7 4 - 1 · 3 = 1 6 · 7 4 - 1 · 3 1

การดำเนินการกับเศษส่วนที่มีตัวแปร

กฎที่กล่าวถึงในบทความแรกใช้กับการดำเนินการที่มีเศษส่วนซึ่งมีตัวแปรอยู่ พิจารณากฎการลบเมื่อตัวส่วนเท่ากัน

มีความจำเป็นต้องพิสูจน์ว่า A, C และ D (D ไม่เท่ากับศูนย์) สามารถเป็นนิพจน์ใดก็ได้ และความเท่าเทียมกัน A D ± C D = A ± C D เทียบเท่ากับช่วงของค่าที่อนุญาต

จำเป็นต้องใช้ชุดตัวแปร ODZ จากนั้น A, C, D จะต้องรับค่าที่สอดคล้องกัน a 0 , c 0 และ วัน 0. การทดแทนรูปแบบ A D ± C D ส่งผลให้เกิดความแตกต่างของรูปแบบ a 0 d 0 ± c 0 d 0 โดยที่เมื่อใช้กฎการบวกเราจะได้สูตรของรูปแบบ a 0 ± c 0 d 0 . หากเราแทนนิพจน์ A ± C D เราก็จะได้เศษส่วนเดียวกันของรูปแบบ a 0 ± c 0 d 0 จากที่นี่ เราสรุปได้ว่าค่าที่เลือกซึ่งเป็นไปตาม ODZ, A ± C D และ A D ± C D ถือว่าเท่ากัน

สำหรับค่าใดๆ ของตัวแปร นิพจน์เหล่านี้จะเท่ากัน กล่าวคือ เรียกว่าเท่ากัน ซึ่งหมายความว่านิพจน์นี้ถือเป็นความเท่าเทียมกันที่พิสูจน์ได้ของรูปแบบ A D ± C D = A ± C D

ตัวอย่างการบวกและการลบเศษส่วนด้วยตัวแปร

เมื่อคุณมีตัวส่วนเท่ากัน คุณก็แค่บวกหรือลบตัวเศษเท่านั้น เศษส่วนนี้สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้ บางครั้งคุณต้องทำงานกับเศษส่วนที่เท่ากัน แต่เมื่อมองแวบแรกก็ไม่เห็นสิ่งนี้ชัดเจน เนื่องจากต้องทำการแปลงบางอย่าง ตัวอย่างเช่น x 2 3 x 1 3 + 1 และ x 1 3 + 1 2 หรือ 1 2 sin 2 α และ sin a cos a ส่วนใหญ่แล้ว จำเป็นต้องทำให้นิพจน์ดั้งเดิมง่ายขึ้นเพื่อที่จะเห็นตัวส่วนเดียวกัน

ตัวอย่างที่ 6

คำนวณ: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1 .

สารละลาย

1. ในการคำนวณ คุณต้องลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน จากนั้นเราจะได้ x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 . หลังจากนั้นคุณสามารถขยายวงเล็บและเพิ่มคำที่คล้ายกันได้ เราจะได้ว่า x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. เนื่องจากตัวส่วนเท่ากัน ที่เหลือก็แค่บวกตัวเศษ โดยปล่อยให้ตัวส่วนเหลือ: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x +2)
   ต่อเติมเสร็จเรียบร้อยแล้ว จะเห็นได้ว่าสามารถลดเศษส่วนได้ ตัวเศษสามารถพับโดยใช้สูตรกำลังสองของผลรวม จากนั้นเราจะได้ (l g x + 2) 2 จากสูตรคูณแบบย่อ แล้วเราจะได้รับสิ่งนั้น
   ลิตร ก 2 x + 4 + 2 ลิตร ก x x (ล ก x + 2) = (ล ก x + 2) 2 x (ล ก x + 2) = ลิตร ก x + 2 x
3. ให้เศษส่วนของรูปแบบ x - 1 x - 1 + x x + 1 โดยมีตัวส่วนต่างกัน หลังจากการเปลี่ยนแปลง คุณสามารถดำเนินการเพิ่มเติมได้

ลองพิจารณาวิธีแก้ปัญหาสองเท่า

วิธีแรกคือแยกตัวประกอบของเศษส่วนแรกโดยใช้กำลังสอง จากนั้นจึงลดจำนวนลงในภายหลัง เราได้เศษส่วนของแบบฟอร์ม

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

ดังนั้น x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1

ในกรณีนี้จำเป็นต้องกำจัดความไม่ลงตัวในตัวส่วนออก

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

วิธีที่สองคือการคูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนที่สองด้วยนิพจน์ x - 1 ดังนั้นเราจึงกำจัดความไร้เหตุผลและก้าวไปสู่การบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน แล้ว

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

คำตอบ: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) ลิตร ก. 2 x + 4 x · (ล ก x + 2) + 4 · ลิตร ก x x · (ล ก x + 2) = ลิตร ก x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x · x - x x - 1

ในตัวอย่างสุดท้าย เราพบว่าการลดตัวส่วนร่วมเป็นสิ่งที่หลีกเลี่ยงไม่ได้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณต้องลดความซับซ้อนของเศษส่วน ในการเพิ่มหรือลบคุณต้องมองหาเสมอ ตัวส่วนร่วมซึ่งดูเหมือนผลคูณของตัวส่วนโดยมีตัวประกอบเพิ่มเติมบวกเข้ากับตัวเศษ

ตัวอย่างที่ 7

คำนวณค่าของเศษส่วน: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - บาป x x 5 ln (x + 1) (2 x - 4) , 3) ​​​​1 คอส 2 x - x + 1 คอส 2 x + 2 คอส x x + x

สารละลาย

1. ตัวส่วนไม่ต้องการการคำนวณที่ซับซ้อน ดังนั้นคุณต้องเลือกผลคูณของตัวส่วนในรูปแบบ 3 x 7 + 2 · 2 จากนั้นเลือก x 7 + 2 · 2 สำหรับเศษส่วนแรกเป็นตัวประกอบเพิ่มเติม และ 3 สำหรับตัวที่สอง เมื่อคูณเราจะได้เศษส่วนของรูปแบบ x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. จะเห็นได้ว่าตัวส่วนถูกนำเสนอในรูปแบบของผลคูณ ซึ่งหมายความว่าไม่จำเป็นต้องทำการแปลงเพิ่มเติม ตัวส่วนร่วมจะถือเป็นผลคูณของรูปแบบ x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 ดังนั้น x 4 เป็นปัจจัยเพิ่มเติมของเศษส่วนแรก และ ln(x + 1) ถึงวินาที จากนั้นเราลบและรับ:
   x + 1 x · ln 2 (x + 1) · 2 x - 4 - บาป x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x + 1 · x 4 x 5 · ln 2 (x + 1 ) · 2 x - 4 - บาป x · ln x + 1 x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​​​x - 4) = = x + 1 · x 4 - บาป x · ln (x + 1 ) x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​​​x - 4) = x · x 4 + x 4 - บาป x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2 x - 4 )
3. ตัวอย่างนี้สมเหตุสมผลเมื่อทำงานกับตัวส่วนเศษส่วน มีความจำเป็นต้องใช้สูตรสำหรับความแตกต่างของกำลังสองและกำลังสองของผลรวมเนื่องจากจะทำให้สามารถไปยังนิพจน์ของรูปแบบ 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + เอ็กซ์) 2. จะเห็นได้ว่าเศษส่วนลดลงจนเหลือตัวส่วนร่วม เราได้รับ cos x - x · cos x + x 2

แล้วเราจะได้รับสิ่งนั้น

1 คอส 2 x - x + 1 คอส 2 x + 2 คอส x x + x = = 1 คอส x - x คอส x + x + 1 คอส x + x 2 = = คอส x + x คอส x - x คอส x + x 2 + คอส x - x คอส x - x คอส x + x 2 = = คอส x + x + คอส x - x คอส x - x คอส x + x 2 = 2 คอส x คอส x - x คอส x + x 2

คำตอบ:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - บาป x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x · x 4 + x 4 - บาป x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2 x - 4) , 3) ​​​1 คอส 2 x - x + 1 คอส 2 x + 2 · คอส x · x + x = 2 · คอส x คอส x - x · คอส x + x 2

ตัวอย่างการคูณเศษส่วนด้วยตัวแปร

เมื่อคูณเศษส่วน ตัวเศษจะคูณด้วยตัวเศษ และตัวส่วนจะคูณด้วยตัวส่วน จากนั้นคุณสามารถใช้คุณสมบัติการลดได้

ตัวอย่างที่ 8

คูณเศษส่วน x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1 และ 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin 2 · x - x

สารละลาย

จำเป็นต้องทำการคูณ เราเข้าใจแล้ว

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 บาป (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 บาป (2 x - x)

เลข 3 ถูกย้ายไปที่แรกเพื่อความสะดวกในการคำนวณและคุณสามารถลดเศษส่วนลง x 2 จากนั้นเราจะได้นิพจน์ของแบบฟอร์ม

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 บาป (2 x - x)

คำตอบ: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 บาป (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 · ln x + 1 · บาป (2 · x - x) .

แผนก

การหารเศษส่วนนั้นคล้ายคลึงกับการคูณ เนื่องจากเศษส่วนแรกคูณด้วยส่วนกลับที่สอง หากเรายกตัวอย่างเศษส่วน x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 แล้วหารด้วย 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x ก็เขียนได้เป็น

x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1: 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 บาป (2 · x - x) จากนั้นแทนที่ด้วยผลคูณของรูปแบบ x + 2 · x x 2 · ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 บาป (2 x - x)

การยกกำลัง

มาดูการดำเนินการกับเศษส่วนทั่วไปที่มีการยกกำลังกันดีกว่า หากมีกำลังที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ การกระทำดังกล่าวจะถือเป็นการคูณเศษส่วนที่เท่ากัน แต่แนะนำให้ใช้วิธีทั่วไปโดยพิจารณาจากคุณสมบัติขององศา นิพจน์ A และ C ใดๆ โดยที่ C ไม่เท่ากันกับศูนย์ และ r จริงใดๆ บน ODZ สำหรับนิพจน์ในรูปแบบ A C r ความเท่าเทียมกัน A C r = A r C r ใช้ได้ ผลลัพธ์ที่ได้คือเศษส่วนยกกำลัง ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณา:

x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2, 5 = = x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 2, 5 x + 1 2, 5

ขั้นตอนการดำเนินการกับเศษส่วน

การดำเนินการกับเศษส่วนจะดำเนินการตามกฎบางประการ ในทางปฏิบัติ เราสังเกตเห็นว่านิพจน์อาจมีเศษส่วนหรือนิพจน์เศษส่วนหลายรายการ จากนั้นจำเป็นต้องดำเนินการทั้งหมดตามลำดับที่เข้มงวด: เพิ่มกำลัง คูณ หาร จากนั้นบวกและลบ หากมีวงเล็บ การดำเนินการแรกจะดำเนินการในวงเล็บเหล่านั้น

ตัวอย่างที่ 9

คำนวณ 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x .

สารละลาย

เนื่องจากเรามีตัวส่วนเท่ากัน ดังนั้น 1 - x cos x และ 1 c o s x แต่การลบไม่สามารถทำได้ตามกฎ ขั้นแรกให้ดำเนินการในวงเล็บ จากนั้นจึงคูณแล้วบวก จากนั้นเมื่อคำนวณเราจะได้สิ่งนั้น

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

เมื่อแทนนิพจน์ไปเป็นนิพจน์ดั้งเดิม เราจะได้ 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x เมื่อคูณเศษส่วนเราจะได้: 1 cos x · x + 1 x = x + 1 cos x · x เมื่อทำการทดแทนทั้งหมดแล้ว เราจะได้ 1 - x cos x - x + 1 cos x · x ตอนนี้คุณต้องทำงานกับเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน เราได้รับ:

x · 1 - x คอส x · x - x + 1 คอส x · x = x · 1 - x - 1 + x คอส x · x = = x - x - x - 1 คอส x · x = - x + 1 คอส x x

คำตอบ: 1 - x cos x - 1 cos x · 1 + 1 x = - x + 1 cos x · x

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

496. หา เอ็กซ์, ถ้า:

497. 1) ถ้าคุณบวก 10 1/2 ถึง 3/10 ของตัวเลขที่ไม่รู้จัก คุณจะได้ 13 1/2 ค้นหาหมายเลขที่ไม่รู้จัก

2) หากคุณลบ 10 1/2 จาก 7/10 ของตัวเลขที่ไม่รู้จัก คุณจะได้ 15 2/5 ค้นหาหมายเลขที่ไม่รู้จัก

498 *. หากคุณลบ 10 จาก 3/4 ของจำนวนที่ไม่รู้จัก แล้วคูณผลต่างผลลัพธ์ด้วย 5 คุณจะได้ 100 ค้นหาตัวเลข

499 *. ถ้าคุณเพิ่มจำนวนที่ไม่รู้จักขึ้น 2/3 ของจำนวนนั้น คุณจะได้ 60 นี่คือเลขอะไร?

500 *. หากคุณเพิ่มจำนวนเดียวกันให้กับหมายเลขที่ไม่รู้จักและ 20 1/3 ด้วย คุณจะได้ 105 2/5 ค้นหาหมายเลขที่ไม่รู้จัก

501. 1) ผลผลิตมันฝรั่งโดยการปลูกแบบคลัสเตอร์สี่เหลี่ยมโดยเฉลี่ยอยู่ที่ 150 เซ็นต์เนอร์ต่อเฮกตาร์ และสำหรับการปลูกแบบธรรมดาจะอยู่ที่ 3/5 ของจำนวนนี้ สามารถเก็บเกี่ยวมันฝรั่งได้มากแค่ไหนจากพื้นที่ 15 เฮกตาร์หากปลูกมันฝรั่งโดยใช้วิธีคลัสเตอร์สี่เหลี่ยม?

2) พนักงานที่มีประสบการณ์ผลิต 18 ชิ้นส่วนใน 1 ชั่วโมง และพนักงานที่ไม่มีประสบการณ์ผลิต 2/3 ของจำนวนนี้ พนักงานที่มีประสบการณ์สามารถผลิตชิ้นส่วนได้เพิ่มอีกกี่ชิ้นใน 7 ชั่วโมงต่อวัน?

502. 1) ผู้บุกเบิกเก็บเมล็ดพันธุ์ต่างๆ ได้ 56 กิโลกรัมในระยะเวลาสามวัน ในวันแรกมีการรวบรวม 3/14 ของยอดทั้งหมด ในวันที่สอง เพิ่มขึ้นหนึ่งเท่าครึ่ง และในวันที่สาม ส่วนที่เหลือของเมล็ดพืชถูกรวบรวม ในวันที่สามผู้บุกเบิกเก็บเมล็ดพันธุ์ได้กี่กิโลกรัม?

2) เมื่อบดข้าวสาลีผลลัพธ์คือ: แป้ง 4/5 ของปริมาณข้าวสาลีทั้งหมด, เซโมลินา - น้อยกว่าแป้ง 40 เท่าและส่วนที่เหลือคือรำข้าว เมื่อบดข้าวสาลี 3 ตันการผลิตแป้ง ​​เซโมลินา และรำข้าวแยกกันมีจำนวนเท่าใด

503. 1) โรงจอดรถ 3 แห่ง สามารถรองรับรถยนต์ได้ 460 คัน จำนวนรถยนต์ที่สามารถเข้าได้ในโรงรถแห่งแรกคือ 3/4 ของจำนวนรถยนต์ที่สามารถเข้าได้ในโรงรถแห่งที่สอง และโรงรถแห่งที่สามจะมีรถยนต์มากกว่าโรงรถแรกถึง 1 1/2 เท่า แต่ละโรงจอดรถมีรถยนต์กี่คัน?

2) โรงงานที่มีโรงงาน 3 แห่งมีพนักงาน 6,000 คน ในการประชุมเชิงปฏิบัติการครั้งที่สอง มีจำนวนคนงานน้อยกว่าในการประชุมเชิงปฏิบัติการครั้งแรก 1 1/2 เท่า และจำนวนคนงานในการประชุมเชิงปฏิบัติการครั้งที่สามคือ 5/6 ของจำนวนคนงานในการประชุมเชิงปฏิบัติการครั้งที่สอง แต่ละโรงงานมีคนงานกี่คน?

504. 1) 2/5 แรกจากนั้น 1/3 ของน้ำมันก๊าดทั้งหมดถูกเทออกจากถังที่มีน้ำมันก๊าดและหลังจากนั้นน้ำมันก๊าด 8 ตันยังคงอยู่ในถัง ตอนแรกน้ำมันอยู่ในถังเท่าไหร่?

2) นักปั่นจักรยานแข่งกันเป็นเวลาสามวัน ในวันแรกพวกเขาครอบคลุม 4/15 ของการเดินทางทั้งหมด ในวันที่สอง - 2/5 และในวันที่สามระยะทางที่เหลือ 100 กม. นักปั่นจักรยานเดินทางไกลแค่ไหนในสามวัน?

505. 1) เรือตัดน้ำแข็งต่อสู้ฝ่าทุ่งน้ำแข็งเป็นเวลาสามวัน ในวันแรกเขาเดิน 1/2 ของระยะทางทั้งหมด ในวันที่สอง 3/5 ของระยะทางที่เหลือ และในวันที่สามเดินอีก 24 กม. จงหาความยาวของเส้นทางที่เรือตัดน้ำแข็งปกคลุมในสามวัน

2) เด็กนักเรียน 3 กลุ่มปลูกต้นไม้เพื่อทำให้หมู่บ้านเขียวขจี กองแรกปลูกต้นไม้ 7/20 ของต้นไม้ทั้งหมด กองที่สอง 5/8 ของต้นไม้ที่เหลือ และกองที่สามปลูกต้นไม้ที่เหลือ 195 ต้น ทั้งสามทีมปลูกต้นไม้ทั้งหมดกี่ต้น?

506. 1) รถเกี่ยวข้าวเก็บเกี่ยวข้าวสาลีจากแปลงเดียวภายในสามวัน วันแรกเก็บเกี่ยวได้ 5/18 ของพื้นที่แปลงทั้งหมด ในวันที่สองจาก 7/13 ของพื้นที่ที่เหลือ และในวันที่สามจากพื้นที่ที่เหลือ 30 1/2 เฮกตาร์ โดยเฉลี่ยแล้ว เก็บเกี่ยวข้าวสาลีได้ 20 เซ็นต์เนอร์จากแต่ละเฮกตาร์ เก็บเกี่ยวข้าวสาลีได้เท่าใดในพื้นที่ทั้งหมด?

2) ในวันแรก ผู้เข้าร่วมการชุมนุมครอบคลุม 3/11 ของเส้นทางทั้งหมด ในวันที่สอง 7/20 ของเส้นทางที่เหลือ ในวันที่สาม 5/13 ของส่วนที่เหลือใหม่ และในวันที่สี่ส่วนที่เหลือ 320 กม. เส้นทางการชุมนุมมีระยะทางเท่าใด?

507. 1) ในวันแรก รถวิ่งได้ 3/8 ของระยะทางทั้งหมด ในวันที่สอง 15/17 ของระยะทางในวันแรก และในวันที่สาม วิ่งอีก 200 กม. หากรถยนต์ใช้น้ำมันเบนซิน 1 3/5 กก. เป็นระยะทาง 10 กม. ต้องใช้น้ำมันเบนซินเท่าใด

2) เมืองประกอบด้วย 4 อำเภอ และ 4/13 ของผู้อยู่อาศัยในเมืองทั้งหมดอาศัยอยู่ในเขตแรก 5/6 ของผู้อยู่อาศัยในเขตแรกอาศัยอยู่ในเขตที่สอง 4/11 ของผู้อยู่อาศัยในเขตแรกอาศัยอยู่ในเขตที่สาม สองเขตรวมกันและมีผู้คน 18,000 คนอาศัยอยู่ในเขตที่สี่ ประชากรทั้งหมดในเมืองต้องการขนมปังเท่าใดใน 3 วัน ถ้าโดยเฉลี่ยแล้ว 1 คนบริโภค 500 กรัมต่อวัน

508. 1) นักท่องเที่ยวเดินในวันแรก 10/31 ของการเดินทางทั้งหมด ในวันที่ 9/10 ที่สองของสิ่งที่เขาเดินในวันแรก และในวันที่สามเดินไปตามทางที่เหลือ และในวันที่สามเขาเดิน 12 กม. มากกว่าในวันที่สอง นักท่องเที่ยวเดินไปกี่กิโลเมตรในแต่ละสามวัน?

2) รถครอบคลุมเส้นทางทั้งหมดจากเมือง A ไปยังเมือง B ภายในสามวัน ในวันแรก รถวิ่งได้ 7/20 ของระยะทางทั้งหมด ในวันที่ 8/13 ของระยะทางที่เหลือ และในวันที่สาม รถวิ่งได้น้อยกว่าวันแรก 72 กม. ระยะทางระหว่างเมือง A และ B คือเท่าไร?

509. 1) คณะกรรมการบริหารจัดสรรที่ดินให้คนงานโรงงาน 3 แห่ง แปลงสวน. โรงงานแห่งแรกได้รับการจัดสรร 9/25 ของจำนวนแปลงทั้งหมด โรงงานแห่งที่สอง 5/9 ของจำนวนแปลงที่ได้รับการจัดสรรสำหรับแปลงแรกและแห่งที่สาม - แปลงที่เหลือ มีการจัดสรรที่ดินทั้งหมดจำนวนเท่าใดให้กับคนงานของโรงงานสามแห่ง หากโรงงานแห่งแรกได้รับการจัดสรรน้อยกว่าโรงงานที่สาม 50 แปลง?

2) เครื่องบินได้ส่งมอบกะคนงานฤดูหนาวให้กับ สถานีขั้วโลกจากมอสโกภายในสามวัน ในวันแรกเขาบิน 2/5 ของระยะทางทั้งหมด ในวันที่สอง - 5/6 ของระยะทางที่เขาครอบคลุมในวันแรก และในวันที่สาม เขาบินน้อยกว่าในวันที่สอง 500 กม. เครื่องบินบินไปได้ไกลแค่ไหนในสามวัน?

510. 1) โรงงานมีการประชุมเชิงปฏิบัติการ 3 แห่ง จำนวนคนงานในการประชุมเชิงปฏิบัติการครั้งแรกคือ 2/5 ของคนงานทั้งหมดในโรงงาน ในการประชุมเชิงปฏิบัติการครั้งที่สอง มีคนงานน้อยกว่าครั้งแรก 1 1/2 เท่า และในการประชุมเชิงปฏิบัติการครั้งที่สาม มีคนงานมากกว่าครั้งที่สอง 100 คน มีคนงานในโรงงานกี่คน?

2) ฟาร์มส่วนรวมประกอบด้วยผู้อยู่อาศัยในหมู่บ้านใกล้เคียงสามแห่ง จำนวนครอบครัวในหมู่บ้านแรกคือ 3/10 ของทุกครอบครัวในฟาร์มรวม ในหมู่บ้านที่สองจำนวนครอบครัวมากกว่าหมู่บ้านแรก 1 1/2 เท่า และหมู่บ้านที่สามจำนวนครอบครัวน้อยกว่าหมู่บ้านที่สอง 420 คน ฟาร์มรวมมีกี่ครอบครัว?

511. 1) อาร์เทลใช้วัตถุดิบในสต็อกหมด 1/3 ในสัปดาห์แรก และ 1/3 ของที่เหลือในสัปดาห์ที่สอง วัตถุดิบจะเหลืออยู่ในอาร์เทลเท่าไรหากในสัปดาห์แรกการบริโภควัตถุดิบมากกว่าสัปดาห์ที่สอง 3/5 ตัน?

2) ของถ่านหินนำเข้า 1/6 ถูกใช้ไปเพื่อให้ความร้อนในบ้านในเดือนแรกและ 3/8 ของส่วนที่เหลือในเดือนที่สอง หากใช้ถ่านหินในเดือนที่สองมากกว่าเดือนแรก 1 3/4 ปริมาณถ่านหินจะเหลืออยู่เท่าใดเพื่อให้ความร้อนแก่บ้าน?

512. 3/5 ของพื้นที่ทั้งหมดของฟาร์มรวมได้รับการจัดสรรเพื่อการหว่านเมล็ดพืช 13/36 ของส่วนที่เหลือถูกครอบครองโดยสวนผักและทุ่งหญ้า ส่วนที่เหลือของที่ดินเป็นป่าไม้ และพื้นที่หว่านของฟาร์มรวมคือ 217 เฮกตาร์ พื้นที่มากขึ้นป่าไม้ 1/3 ของที่ดินที่จัดสรรสำหรับพืชธัญญพืชนั้นหว่านด้วยข้าวไรย์และส่วนที่เหลือเป็นข้าวสาลี ฟาร์มรวมหว่านข้าวสาลีและข้าวไรย์จำนวนเท่าใด?

513. 1) เส้นทางรถรางยาว 14 3/8 กม. ตามเส้นทางนี้ รถรางจะจอด 18 ป้าย ใช้เวลาเฉลี่ยสูงสุด 1 1/6 นาทีต่อป้าย ความเร็วเฉลี่ยของรถรางตลอดเส้นทางคือ 12 1/2 กม. ต่อชั่วโมง รถรางใช้เวลานานเท่าใดในการเดินทางหนึ่งครั้ง?

2) เส้นทางรถประจำทาง 16 กม. ตามเส้นทางนี้ รถบัสจะจอด 36 ป้าย คันละ 3/4 นาที โดยเฉลี่ยแต่ละครั้ง ความเร็วรถบัสเฉลี่ยอยู่ที่ 30 กม. ต่อชั่วโมง รถบัสใช้เวลานานเท่าใดในหนึ่งเส้นทาง?

514*. 1) ตอนนี้เป็นเวลา 6 โมงเช้าแล้ว ตอนเย็น ส่วนที่เหลือของวันจากอดีตคือส่วนใด และเหลือส่วนใดของวัน?

2) เรือกลไฟเดินทางระยะทางระหว่างสองเมืองด้วยกระแสน้ำใน 3 วัน และกลับระยะทางเท่าเดิมใน 4 วัน แพจะล่องไปตามน้ำจากเมืองหนึ่งไปอีกเมืองหนึ่งกี่วัน?

515. 1) จะใช้ไม้กระดานจำนวนเท่าใดในการปูพื้นในห้องที่มีความยาว 6 2/3 ม. กว้าง 5 1/4 ม. ถ้าความยาวของไม้แต่ละแผ่นคือ 6 2/3 ม. และกว้าง 3/ ความยาว 80?

2) แท่นสี่เหลี่ยมมีความยาว 45 1/2 ม. และความกว้างคือ 5/13 ของความยาว บริเวณนี้ล้อมรอบด้วยเส้นทางกว้าง 4/5 ม. จงหาพื้นที่เส้นทาง

516. ค้นหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวเลข:

517. 1) ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวเลขสองตัวคือ 6 1/6 หนึ่งในตัวเลขคือ 3 3/4 ค้นหาหมายเลขอื่น

2) ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวเลขสองตัวคือ 14 1/4 หนึ่งในตัวเลขเหล่านี้คือ 15 5/6 ค้นหาหมายเลขอื่น

518. 1) รถไฟบรรทุกสินค้าอยู่บนถนนเป็นเวลาสามชั่วโมง ในชั่วโมงแรกเขาครอบคลุม 36 1/2 กม. ใน 40 กม. ที่สองและใน 39 3/4 กม. ที่สาม จงหาความเร็วเฉลี่ยของรถไฟ

2) รถเดินทางได้ 81 1/2 กม. ในสองชั่วโมงแรก และ 95 กม. ในอีก 2 1/2 ชั่วโมงข้างหน้า เขาเดินโดยเฉลี่ยกี่กิโลเมตรต่อชั่วโมง?

519. 1) คนขับรถแทรกเตอร์ไถดินเสร็จภายในสามวัน ในวันแรกเขาไถ 12 1/2 เฮกตาร์ ในวันที่สอง 15 3/4 เฮกตาร์ และในวันที่สาม 14 1/2 เฮกตาร์ โดยเฉลี่ยแล้วคนขับรถแทรกเตอร์ไถดินได้กี่เฮกตาร์ต่อวัน?

2) เด็กนักเรียนกลุ่มหนึ่งเดินทางท่องเที่ยว 3 วัน ใช้เวลาเดินทาง 6 1/3 ชั่วโมงในวันแรก และ 7 ชั่วโมงในวันที่สอง และในวันที่สาม - 4 2/3 ชั่วโมง เด็กนักเรียนเดินทางโดยเฉลี่ยกี่ชั่วโมงต่อวัน?

520. 1) สามครอบครัวอาศัยอยู่ในบ้าน ครอบครัวแรกมีหลอดไฟ 3 ดวงสำหรับส่องสว่างอพาร์ทเมนท์ ครอบครัวที่สองมี 4 ดวง และกลุ่มที่สามมีหลอดไฟ 5 ดวง แต่ละครอบครัวควรจ่ายค่าไฟฟ้าเท่าไหร่ถ้าหลอดทั้งหมดเหมือนกันและค่าไฟฟ้าทั้งหมด (สำหรับทั้งบ้าน) คือ 7 1/5 รูเบิล?

2) ช่างขัดเงากำลังขัดพื้นในอพาร์ตเมนต์แห่งหนึ่งซึ่งมีสามครอบครัวอาศัยอยู่ ครอบครัวแรกมีพื้นที่ใช้สอย 36 1/2 ตารางเมตร เมตรที่สองคือ 24 1/2 ตร.ม. ม. และที่สาม - 43 ตร.ม. ม. สำหรับงานทั้งหมดจ่าย 2 รูเบิล 08 กป. แต่ละครอบครัวจ่ายเงินเท่าไร?

521. 1) ในแปลงสวน เก็บมันฝรั่งจาก 50 พุ่ม ราคา 1 1/10 กิโลกรัมต่อพุ่ม จาก 70 พุ่ม ราคา 4/5 กิโลกรัมต่อพุ่ม จาก 80 พุ่ม ราคา 9/10 กิโลกรัมต่อพุ่ม มันฝรั่งแต่ละต้นเก็บเกี่ยวได้โดยเฉลี่ยกี่กิโลกรัม?

2) ทีมงานภาคสนามบนพื้นที่ 300 เฮกตาร์ได้รับการเก็บเกี่ยวข้าวสาลีฤดูหนาว 20 1/2 quintals ต่อ 1 เฮกตาร์จาก 80 เฮกตาร์ถึง 24 quintals ต่อ 1 เฮกตาร์และจาก 20 เฮกตาร์ - 28 1/2 quintals ต่อ 1 ฮ่า ผลผลิตเฉลี่ยของกลุ่มที่มีพื้นที่ 1 เฮกตาร์คือเท่าไร?

522. 1) ผลรวมของตัวเลขสองตัวคือ 7 1/2 จำนวนหนึ่งมีค่ามากกว่าอีกจำนวน 4 4/5 ค้นหาตัวเลขเหล่านี้

2) ถ้าเราบวกตัวเลขที่แสดงความกว้างของช่องแคบตาตาร์และเคิร์ชเข้าด้วยกัน เราจะได้ 11 7/10 กม. ช่องแคบตาตาร์กว้างกว่าช่องแคบเคิร์ช 3 1/10 กม. แต่ละช่องแคบกว้างเท่าไร?

523. 1) ผลรวมของตัวเลขสามตัวคือ 35 2 / 3 จำนวนแรกมากกว่าตัวที่สอง 5 1/3 และมากกว่าตัวที่สาม 3 5/6 ค้นหาตัวเลขเหล่านี้

2) หมู่เกาะ โลกใหม่, Sakhalin และ Severnaya Zemlya ร่วมกันครอบครองพื้นที่ 196 7/10,000 ตารางเมตร ม. กม. พื้นที่ของ Novaya Zemlya คือ 44 1/10,000 ตารางเมตร ม. กม. พื้นที่มากขึ้น เซเวอร์นายา เซมเลียและ 5 1/5 พันตร.ม. กม. ใหญ่กว่าพื้นที่ซาคาลิน เกาะที่ระบุแต่ละเกาะมีพื้นที่เท่าใด?

524. 1) อพาร์ทเมนท์ประกอบด้วยสามห้อง พื้นที่ห้องแรก 24 3/8 ตร.ม. ม. และคือ 13/36 ของพื้นที่ทั้งหมดของอพาร์ทเมนท์ พื้นที่ห้องที่ 2 คือ 8 1/8 ตารางเมตร ม. มากกว่าพื้นที่ที่สาม ห้องที่ 2 มีพื้นที่เท่าไร?

2) นักปั่นจักรยานในระหว่างการแข่งขันสามวันในวันแรกอยู่บนถนนเป็นเวลา 3 1/4 ชั่วโมง ซึ่งคิดเป็น 13/43 ของเวลาเดินทางทั้งหมด ในวันที่สองเขาขี่มากกว่าวันที่สาม 1 1/2 ชั่วโมง ในวันที่สองของการแข่งขันนักปั่นจักรยานเดินทางกี่ชั่วโมง?

525. เหล็ก 3 ชิ้น หนักรวมกัน 17 1/4 กก. ถ้าน้ำหนักชิ้นแรกลดลง 1 1/2 กก. น้ำหนักชิ้นที่สองลดลง 2 1/4 กก. ทั้งสามชิ้นจะมีน้ำหนักเท่ากัน เหล็กแต่ละชิ้นมีน้ำหนักเท่าไหร่?

526. 1) ผลรวมของตัวเลขสองตัวคือ 15 1/5 หากตัวเลขตัวแรกลดลง 3 1/10 และตัวที่สองเพิ่มขึ้น 3 1/10 ตัวเลขเหล่านี้จะเท่ากัน แต่ละจำนวนมีค่าเท่ากับเท่าไร?

2) มีธัญพืช 38 1/4 กิโลกรัมในสองกล่อง หากคุณเทซีเรียล 4 3/4 กิโลกรัมจากกล่องหนึ่งลงในอีกกล่องหนึ่ง ทั้งสองกล่องจะมีปริมาณซีเรียลเท่ากัน แต่ละกล่องมีธัญพืชเท่าไร?

527 . 1) ผลรวมของตัวเลขสองตัวคือ 17 17 / 30 หากคุณลบ 5 1/2 จากตัวเลขตัวแรกแล้วบวกเข้ากับตัวที่สอง ตัวแรกจะยังคงมากกว่าตัวที่สอง 2 17/30 ค้นหาทั้งสองหมายเลข

2) มีแอปเปิ้ล 24 1/4 กิโลกรัมในสองกล่อง หากคุณถ่ายโอน 3 1/2 กิโลกรัมจากกล่องแรกไปยังกล่องที่สองในกล่องแรกจะยังมีแอปเปิ้ลมากกว่ากล่องที่สองอีก 3/5 กิโลกรัม แอปเปิ้ลแต่ละกล่องมีกี่กิโลกรัม?

528 *. 1) ผลรวมของตัวเลขสองตัวคือ 8 11/14 และผลต่างคือ 2 3/7 ค้นหาตัวเลขเหล่านี้

2) เรือแล่นไปตามแม่น้ำด้วยความเร็ว 15 1/2 กม. ต่อชั่วโมง และทวนกระแสน้ำที่ 8 1/4 กม. ต่อชั่วโมง ความเร็วของแม่น้ำไหลเป็นเท่าใด?

529. 1) มีรถยนต์ 110 คันในโรงรถสองแห่ง และหนึ่งในนั้นมีมากกว่าอีก 1 1/5 เท่า แต่ละโรงรถมีรถกี่คัน?

2) พื้นที่ใช้สอยของอพาร์ทเมนต์สองห้องคือ 47 1/2 ตร.ม. ม. พื้นที่ของห้องหนึ่งคือ 8/11 ของพื้นที่ของอีกห้องหนึ่ง หาพื้นที่ของแต่ละห้อง

530. 1) โลหะผสมที่ประกอบด้วยทองแดงและเงินมีน้ำหนัก 330 กรัม น้ำหนักของทองแดงในโลหะผสมนี้คือ 5/28 ของน้ำหนักของเงิน โลหะผสมมีเงินเท่าไรและมีทองแดงเท่าไร?

2) ผลรวมของตัวเลขสองตัวคือ 6 3/4 และผลหารคือ 3 1/2 ค้นหาตัวเลขเหล่านี้

531. ผลรวมของตัวเลขสามตัวคือ 22 1/2 เลขตัวที่สองคือ 3 1/2 คูณ และตัวที่สามคือ 2 1/4 คูณเลขตัวแรก ค้นหาตัวเลขเหล่านี้

532. 1) ผลต่างของตัวเลขสองตัวคือ 7; ความฉลาดทางการแบ่ง มากกว่าน้อยกว่า 5 2/3 ค้นหาตัวเลขเหล่านี้

2) ผลต่างระหว่างตัวเลขสองตัวคือ 29 3/8 และอัตราส่วนผลคูณคือ 8 5/6 ค้นหาตัวเลขเหล่านี้

533. ในชั้นเรียน จำนวนนักเรียนที่ขาดเรียนคือ 3/13 ของจำนวนนักเรียนที่มาเรียน ตามรายชื่อมีนักเรียนกี่คนถ้ามีคนอยู่มากกว่า 20 คน?

534. 1) ผลต่างระหว่างตัวเลขสองตัวคือ 3 1/5 จำนวนหนึ่งคือ 5/7 ของอีกจำนวนหนึ่ง ค้นหาตัวเลขเหล่านี้

2) พ่อมีอายุมากกว่าลูกชาย 24 ปี จำนวนปีของลูกชายเท่ากับ 5/13 ของปีของบิดา พ่ออายุเท่าไหร่และลูกชายอายุเท่าไหร่?

535. ตัวส่วนของเศษส่วนนั้นมากกว่าตัวเศษ 11 หน่วย เศษส่วนจะมีค่าเป็นเท่าใด หากตัวส่วนเป็น 3 3/4 คูณตัวเศษ?

หมายเลข 536 - 537 ปากเปล่า

536. 1) ตัวเลขแรกคือ 1/2 ของวินาที จำนวนที่สองมากกว่าจำนวนแรกกี่ครั้ง?

2) ตัวเลขแรกคือ 3/2 ของวินาที ส่วนใดของตัวเลขแรกคือตัวเลขที่สอง?

537. 1) 1/2 ของจำนวนแรกเท่ากับ 1/3 ของจำนวนที่สอง ส่วนใดของตัวเลขแรกคือตัวเลขที่สอง?

2) 2/3 ของจำนวนแรกเท่ากับ 3/4 ของจำนวนที่สอง ส่วนใดของตัวเลขแรกคือตัวเลขที่สอง? ส่วนใดของตัวเลขตัวที่สองคือตัวแรก?

538. 1) ผลรวมของตัวเลขสองตัวคือ 16 จงหาตัวเลขเหล่านี้ถ้า 1/3 ของตัวเลขตัวที่สองเท่ากับ 1/5 ของตัวเลขตัวแรก

2) ผลรวมของตัวเลขสองตัวคือ 38 จงหาตัวเลขเหล่านี้ถ้า 2/3 ของตัวเลขแรกเท่ากับ 3/5 ของวินาที

539 *. 1) เด็กชายสองคนเก็บเห็ดได้ 100 ดอกด้วยกัน 3/8 ของจำนวนเห็ดที่เด็กชายคนแรกเก็บได้ เท่ากับ 1/4 ของจำนวนเห็ดที่เด็กชายคนที่สองเก็บได้ เด็กผู้ชายแต่ละคนเก็บเห็ดได้กี่ดอก?

2) สถาบันมีพนักงาน 27 คน ผู้ชายทำงานกี่คน และผู้หญิงทำงานกี่คน ถ้า 2/5 ของผู้ชายทั้งหมดเท่ากับ 3/5 ของผู้หญิงทั้งหมด?

540 *. เด็กชายสามคนซื้อวอลเลย์บอล หาเงินบริจาคของเด็กชายแต่ละคน โดยรู้ว่า 1/2 ของเงินช่วยเหลือของเด็กชายคนแรกเท่ากับ 1/3 ของเงินช่วยเหลือของเด็กชายคนที่สอง หรือ 1/4 ของเงินช่วยเหลือของเด็กชายคนที่ 3 และเงินบริจาคของเด็กชายคนที่ 3 เด็กชายมีค่ามากกว่าผลงานครั้งแรกถึง 64 โกเปค

541 *. 1) ตัวเลขตัวหนึ่งมีค่ามากกว่าอีกตัว 6 จงหาตัวเลขเหล่านี้หาก 2/5 ของตัวเลขตัวหนึ่งเท่ากับ 2/3 ของอีกตัวหนึ่ง

2) ผลต่างของตัวเลขสองตัวคือ 35 จงหาตัวเลขเหล่านี้ถ้า 1/3 ของตัวเลขตัวแรกเท่ากับ 3/4 ของตัวเลขตัวที่สอง

542. 1) ทีมแรกสามารถทำงานได้บางส่วนให้เสร็จภายใน 36 วัน และทีมที่สองภายใน 45 วัน ทั้งสองทีมจะร่วมงานกันเสร็จภายในกี่วัน?

2) รถไฟโดยสารครอบคลุมระยะทางระหว่างสองเมืองใน 10 ชั่วโมง และรถไฟบรรทุกสินค้าครอบคลุมระยะทางนี้ใน 15 ชั่วโมง รถไฟทั้งสองขบวนออกจากเมืองเหล่านี้พร้อมกันและมุ่งหน้าสู่กัน พวกเขาจะพบกันอีกกี่ชั่วโมง?

543. 1) รถไฟด่วนครอบคลุมระยะทางระหว่างสองเมืองใน 6 1/4 ชั่วโมง และรถไฟโดยสารภายใน 7 1/2 ชั่วโมง รถไฟเหล่านี้จะมาพบกันในอีกกี่ชั่วโมงหากออกจากทั้งสองเมืองพร้อมกัน (ตอบเป็นรอบที่ใกล้ที่สุด 1 ชั่วโมง)

2) นักขี่มอเตอร์ไซค์สองคนออกจากสองเมืองพร้อมกันและมุ่งหน้าสู่กัน นักขี่มอเตอร์ไซค์คนหนึ่งสามารถเดินทางตลอดระยะทางระหว่างเมืองเหล่านี้ได้ภายใน 6 ชั่วโมง และอีกคนสามารถเดินทางได้ภายใน 5 ชั่วโมง นักบิดจะพบกันหลังออกเดินทางกี่ชั่วโมง? (ตอบเป็นรอบที่ใกล้ที่สุด 1 ชั่วโมง)

544. 1) รถสามคันที่มีความสามารถในการบรรทุกต่างกันสามารถขนส่งสินค้าบางส่วนโดยทำงานแยกกัน คันแรกใน 10 ชั่วโมง คันที่สองใน 12 ชั่วโมง และครั้งที่สามใน 15 ชั่วโมง พวกเขาสามารถขนส่งสินค้าเดียวกันโดยทำงานร่วมกันได้ภายในกี่ชั่วโมง?

2) รถไฟสองขบวนออกจากสองสถานีพร้อมกัน โดยรถไฟขบวนแรกครอบคลุมระยะทางระหว่างสถานีเหล่านี้ใน 12 1/2 ชั่วโมง และขบวนที่สองใช้เวลา 18 3/4 ชั่วโมง รถไฟจะพบกันหลังจากออกเดินทางกี่ชั่วโมง?

545. 1) ก๊อก 2 อันเชื่อมต่อกับอ่างอาบน้ำ ผ่านหนึ่งในนั้นสามารถเติมน้ำได้ภายใน 12 นาทีและเร็วกว่า 1 1/2 เท่า ถ้าเปิดก๊อกทั้งสองพร้อมกันจะใช้เวลากี่นาทีในการเติม 5/6 ของอ่างอาบน้ำ?

2) พนักงานพิมพ์ดีดสองคนต้องพิมพ์ต้นฉบับซ้ำ คนขับคนแรกสามารถทำงานนี้ให้เสร็จภายใน 3 1/3 วัน และคนที่สองเร็วขึ้น 1 1/2 เท่า พนักงานพิมพ์ดีดทั้งสองคนจะใช้เวลากี่วันในการทำงานให้เสร็จหากทำงานพร้อมกัน?

546. 1) สระจะเต็มด้วยท่อแรกใน 5 ชั่วโมง และผ่านท่อที่สองสามารถเททิ้งได้ภายใน 6 ชั่วโมง หลังจากกี่ชั่วโมงจะเต็มสระทั้งหมดหากเปิดทั้งสองท่อพร้อมกัน

บันทึก. ในหนึ่งชั่วโมง สระว่ายน้ำจะเต็มถึง (1/5 - 1/6 ของความจุ)

2) รถแทรคเตอร์ 2 คันไถนาภายใน 6 ชั่วโมง รถแทรกเตอร์คันแรกที่ทำงานคนเดียวสามารถไถนานี้ได้ภายใน 15 ชั่วโมง รถแทรกเตอร์คันที่สองทำงานคนเดียวจะใช้เวลาไถนานี้กี่ชั่วโมง?

547 *. รถไฟสองขบวนออกจากสองสถานีพร้อมกันและพบกันหลังจากผ่านไป 18 ชั่วโมง หลังจากที่เขาได้รับการปล่อยตัว รถไฟขบวนที่สองจะใช้เวลานานเท่าใดจึงจะครอบคลุมระยะทางระหว่างสถานี ถ้ารถไฟขบวนแรกครอบคลุมระยะทางนี้ใน 1 วัน 21 ชั่วโมง?

548 *. สระว่ายน้ำเต็มไปด้วยท่อสองท่อ ขั้นแรกพวกเขาเปิดท่อแรก และหลังจากนั้น 3 3/4 ชั่วโมง เมื่อน้ำเต็มสระครึ่งหนึ่ง พวกเขาก็เปิดท่อที่สอง หลังจากทำงานร่วมกันเป็นเวลา 2 1/2 ชั่วโมง สระน้ำก็เต็ม กำหนดความจุของสระถ้ามีน้ำ 200 ถังต่อชั่วโมงเทผ่านท่อที่สอง

549. 1) รถไฟขนส่งสินค้าออกจากเลนินกราดไปมอสโกและเดินทาง 1 กม. ใน 3/4 นาที 1/2 ชั่วโมงหลังจากรถไฟขบวนนี้ออกจากมอสโก รถไฟด่วนก็ออกจากมอสโกไปเลนินกราด ซึ่งมีความเร็วเท่ากับ 3/4 ของความเร็วของรถไฟด่วน รถไฟจะอยู่ห่างจากกันในระยะทางเท่าใด 2 1/2 ชั่วโมงหลังจากรถไฟจัดส่งออกเดินทางหากระยะทางระหว่างมอสโกวและเลนินกราดคือ 650 กม.

2) จากฟาร์มรวมถึงตัวเมือง 24 กม. รถบรรทุกออกจากฟาร์มรวมและเดินทาง 1 กม. ใน 2 1/2 นาที หลังจากผ่านไป 15 นาที หลังจากที่รถคันนี้ออกจากเมือง นักปั่นจักรยานก็ขี่ออกไปที่ฟาร์มรวมด้วยความเร็วเพียงครึ่งเดียว รถบรรทุก. อีกนานแค่ไหนนักปั่นจะพบกับรถบรรทุก?

550. 1) คนเดินถนนคนหนึ่งออกมาจากหมู่บ้านแห่งหนึ่ง 4 1/2 ชั่วโมงหลังจากที่คนเดินถนนออกไป นักปั่นจักรยานก็ขี่ไปในทิศทางเดียวกัน ซึ่งมีความเร็วเป็น 2 1/2 เท่าของความเร็วคนเดินถนน หลังจากทางเดินเท้าออกไปกี่ชั่วโมงนักปั่นจักรยานจะแซงเขา?

2) รถไฟเร็วเดินทาง 187 1/2 กม. ใน 3 ชั่วโมง และรถไฟบรรทุกสินค้าเดินทาง 288 กม. ใน 6 ชั่วโมง 7 1/4 ชั่วโมงหลังจากรถไฟบรรทุกสินค้าออก รถพยาบาลจะออกเดินทางในทิศทางเดียวกัน รถไฟด่วนจะใช้เวลานานเท่าใดจึงจะทันรถไฟบรรทุกสินค้า?

551. 1) จากฟาร์มรวมสองแห่งที่มีถนนไปยังศูนย์กลางภูมิภาค เกษตรกรกลุ่มสองคนขี่ม้าไปที่เขตพร้อมกัน ครั้งแรกเดินทาง 8 3/4 กม. ต่อชั่วโมง และครั้งที่สองมากกว่าครั้งแรก 1 1/7 เท่า ชาวนากลุ่มที่สองตามทันคนแรกหลังจาก 3 4/5 ชั่วโมง กำหนดระยะห่างระหว่างฟาร์มรวม

2) 26 1/3 ชั่วโมงหลังจากการออกเดินทางของรถไฟมอสโก-วลาดิวอสต็อก ความเร็วเฉลี่ย 60 กม. ต่อชั่วโมง เครื่องบิน TU-104 บินไปในทิศทางเดียวกันด้วยความเร็ว 14 1/6 เท่าของความเร็ว ของรถไฟ หลังจากเครื่องออกกี่ชั่วโมงเครื่องบินจะตามรถไฟทัน?

552. 1) ระยะทางระหว่างเมืองริมแม่น้ำคือ 264 กม. เรือกลไฟแล่นครอบคลุมระยะทางท้ายน้ำใน 18 ชั่วโมง โดยใช้เวลา 1/12 ของการหยุดครั้งนี้ ความเร็วของแม่น้ำคือ 1 1/2 กม. ต่อชั่วโมง เรือกลไฟจะใช้เวลานานแค่ไหนในการเดินทาง 87 กม. โดยไม่หยุดนิ่งในน้ำนิ่ง?

2) เรือยนต์เดินเลียบแม่น้ำ 207 กม. ใน 13 1/2 ชั่วโมงโดยใช้เวลา 1/9 ของเวลานี้ในการแวะจอด ความเร็วของแม่น้ำคือ 1 3/4 กม. ต่อชั่วโมง เรือลำนี้สามารถเดินทางในน้ำนิ่งได้ภายใน 2 1/2 ชั่วโมงได้กี่กิโลเมตร?

553. เรือแล่นข้ามอ่างเก็บน้ำระยะทาง 52 กม. โดยไม่หยุดใน 3 ชั่วโมง 15 นาที นอกจากนี้ เมื่อแล่นไปตามแม่น้ำทวนกระแสน้ำด้วยความเร็ว 1 3/4 กม. ต่อชั่วโมง เรือลำนี้แล่นได้ 28 1/2 กม. ในเวลา 2 1/4 ชั่วโมง โดยหยุด 3 ครั้งในระยะเวลาเท่ากัน เรือแต่ละลำจอดรอกี่นาที?

554. จากเลนินกราดถึงครอนสตัดท์เวลา 12.00 น. เรือกลไฟออกเดินทางในช่วงบ่ายและครอบคลุมระยะทางทั้งหมดระหว่างเมืองเหล่านี้ภายใน 1 1/2 ชั่วโมง ระหว่างทางเขาพบเรืออีกลำหนึ่งที่ออกจากครอนสตัดท์ไปยังเลนินกราดเมื่อเวลา 12:18 น. และเดินด้วยความเร็ว 1 1/4 เท่าของครั้งแรก เรือทั้งสองลำพบกันเมื่อใด?

555. รถไฟต้องครอบคลุมระยะทาง 630 กม. ใน 14 ชั่วโมง เมื่อครอบคลุมระยะทางนี้แล้ว 2/3 จึงถูกควบคุมตัวเป็นเวลา 1 ชั่วโมง 10 นาที เขาควรเดินทางต่อไปด้วยความเร็วเท่าใดจึงจะถึงจุดหมายโดยไม่ชักช้า?

556. เวลา 04.20 น. ในตอนเช้า รถไฟบรรทุกสินค้าออกจากเคียฟไปยังโอเดสซาด้วยความเร็วเฉลี่ย 31 1/5 กม. ต่อชั่วโมง หลังจากนั้นไม่นาน รถไฟไปรษณีย์ขบวนหนึ่งก็ออกมาจากโอเดสซาเพื่อมาพบเขา ซึ่งมีความเร็วสูงกว่ารถไฟบรรทุกสินค้า 1 17/39 เท่า และพบกับรถไฟบรรทุกสินค้า 6 1/2 ชั่วโมงหลังจากการออกเดินทาง รถไฟไปรษณีย์ออกจากโอเดสซากี่โมง ถ้าระยะทางระหว่าง เคียฟ และ โอเดสซา คือ 663 กม.?

557*. นาฬิกาบอกเวลาเที่ยงวัน เข็มชั่วโมงและเข็มนาทีจะตรงกันใช้เวลานานเท่าใด?

558. 1) โรงงานมีการประชุมเชิงปฏิบัติการ 3 แห่ง จำนวนคนงานในการประชุมเชิงปฏิบัติการครั้งแรกคือ 9/20 ของคนงานทั้งหมดของโรงงาน ในการประชุมเชิงปฏิบัติการครั้งที่สอง มีคนงานน้อยกว่าในการประชุมเชิงปฏิบัติการครั้งแรก 1 1/2 เท่า และในการประชุมเชิงปฏิบัติการครั้งที่สาม มีคนงานน้อยกว่าในโรงงาน 300 คน ที่สอง. มีคนงานในโรงงานกี่คน?

2) มีโรงเรียนมัธยมสามแห่งในเมือง จำนวนนักเรียนในโรงเรียนแห่งแรกคือ 3/10 ของนักเรียนทั้งหมดในสามโรงเรียนนี้ ในโรงเรียนที่สองมีนักเรียนมากกว่าโรงเรียนแรก 1 1/2 เท่า และในโรงเรียนที่สามมีนักเรียนน้อยกว่าโรงเรียนที่สอง 420 คน ในสามโรงเรียนมีนักเรียนกี่คน?

559. 1) ผู้ดำเนินการรวมสองคนทำงานในพื้นที่เดียวกัน หลังจากที่เครื่องผสมผสานหนึ่งเก็บเกี่ยว 9/16 ของพื้นที่ทั้งหมด และ 3/8 ที่สองของแปลงเดียวกัน ปรากฎว่าเครื่องผสมผสานเครื่องแรกเก็บเกี่ยว 97 1/2 เฮกตาร์มากกว่าครั้งที่สอง โดยเฉลี่ยแล้ว มีการนวดเมล็ดพืช 32 1/2 ควินตาลจากแต่ละเฮกตาร์ พนักงานนวดข้าวแต่ละคนรวมกันได้กี่เซ็นต์เนอร์?

2) พี่ชายสองคนซื้อกล้อง อันหนึ่งมีราคา 5/8 และอันที่สองคือ 4/7 ของราคากล้อง และอันแรกมีมูลค่า 2 รูเบิล 25 โคเปค มากกว่าอันที่สอง ทุกคนจ่ายครึ่งหนึ่งของอุปกรณ์ ทุกคนมีเงินเหลือเท่าไหร่?

560. 1) รถยนต์โดยสารออกจากเมือง A ไปยังเมือง B ระยะทางระหว่างพวกเขาคือ 215 กม. ด้วยความเร็ว 50 กม. ต่อชั่วโมง ขณะเดียวกันเขาก็ออกจากเมือง B ไปยังเมือง A รถขนส่งสินค้า. รถยนต์โดยสารหนึ่งคันเดินทางได้กี่กิโลเมตรก่อนจะพบกับรถบรรทุก ถ้าความเร็วของรถบรรทุกต่อชั่วโมงคือ 18/25 ความเร็ว? รถยนต์นั่งส่วนบุคคล?

2) ระหว่างเมือง A และ B 210 กม. รถยนต์นั่งส่วนบุคคลออกจากเมือง A ไปยังเมือง B ในเวลาเดียวกัน รถบรรทุกคันหนึ่งออกจากเมือง B ไปยังเมือง A รถบรรทุกเดินทางก่อนถึงรถโดยสารกี่กิโลเมตร ถ้ารถโดยสารเดินทางด้วยความเร็ว 48 กิโลเมตรต่อชั่วโมง และความเร็วรถบรรทุกต่อชั่วโมงเท่ากับ 3/4 ของความเร็วรถโดยสาร?

561. ฟาร์มรวมเก็บเกี่ยวข้าวสาลีและข้าวไรย์ หว่านข้าวสาลีด้วยข้าวสาลีมากกว่าข้าวไรย์ถึง 20 เฮกตาร์ การเก็บเกี่ยวข้าวไรย์ทั้งหมดคิดเป็น 5/6 ของการเก็บเกี่ยวข้าวสาลีทั้งหมด โดยให้ผลผลิต 20 c ต่อ 1 เฮกตาร์สำหรับทั้งข้าวสาลีและข้าวไรย์ ฟาร์มรวมขายข้าวสาลีและข้าวไรย์ที่เก็บเกี่ยวได้ทั้งหมด 7/11 ให้กับรัฐ และทิ้งเมล็ดพืชที่เหลือไว้เพื่อตอบสนองความต้องการ รถบรรทุกขนาด 2 ตันต้องเดินทางกี่ครั้งเพื่อขนขนมปังที่ขายให้กับรัฐออกไป

562. นำแป้งไรย์และแป้งสาลีไปที่ร้านเบเกอรี่ น้ำหนัก แป้งสาลีคิดเป็น 3/5 ของน้ำหนัก แป้งข้าวไรและนำแป้งไรย์มามากกว่าแป้งสาลีถึง 4 ตัน ข้าวสาลีเท่าไหร่และเท่าไหร่ ขนมปังข้าวไรย์เบเกอรี่จะอบจากแป้งนี้ถ้าขนมอบคิดเป็น 2/5 ของแป้งทั้งหมด?

563. ภายในสามวัน ทีมงานได้เสร็จสิ้นงาน 3/4 ของงานซ่อมแซมทางหลวงระหว่างฟาร์มทั้งสองแห่ง ในวันแรก มีการซ่อมแซมทางหลวงสายนี้เป็นระยะทาง 2 2/5 กม. ในวันที่สองมากกว่าวันแรก 1 1/2 เท่า และในวันที่สาม 5/8 ของสิ่งที่ซ่อมแซมในสองวันแรกด้วยกัน ค้นหาความยาวของทางหลวงระหว่างฟาร์มรวม

564. เติม สถานที่ฟรีในตาราง โดยที่ S คือพื้นที่ของสี่เหลี่ยม ก- ฐานของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ก ชม.-ความสูง (กว้าง) ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

565. 1) ความยาวของที่ดินรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าคือ 120 ม. และความกว้างของแปลงคือ 2/5 ของความยาว ค้นหาปริมณฑลและพื้นที่ของไซต์

2) ความกว้างของส่วนสี่เหลี่ยมคือ 250 ม. และความยาวคือ 1 1/2 เท่าของความกว้าง ค้นหาปริมณฑลและพื้นที่ของไซต์

566. 1) เส้นรอบวงของสี่เหลี่ยมผืนผ้าคือ 6 1/2 นิ้ว ฐานยาวกว่าความสูง 1/4 นิ้ว หาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมนี้

2) เส้นรอบวงของสี่เหลี่ยมผืนผ้าคือ 18 ซม. ความสูงน้อยกว่าฐาน 2 1/2 ซม. ค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยม

567. คำนวณพื้นที่ของรูปภาพที่แสดงในรูปที่ 30 โดยแบ่งออกเป็นสี่เหลี่ยมและค้นหาขนาดของสี่เหลี่ยมด้วยการวัด

568. 1) ต้องใช้ปูนแห้งกี่แผ่นในการปิดเพดานห้องที่มีความยาว 4 1/2 ม. กว้าง 4 ม. ถ้าขนาดของแผ่นปูนคือ 2 ม. x ล. 1/2 ม.

2) ต้องใช้ไม้กระดานยาว 4 1/2 ม. กว้าง 1/4 ม. จำนวนเท่าใดในการวางพื้นยาว 4 1/2 ม. และกว้าง 3 1/2 ม.

569. 1) แปลงสี่เหลี่ยมยาว 560 ม. กว้าง 3/4 ของความยาวหว่านด้วยถั่ว ต้องใช้เมล็ดกี่เมล็ดในการหว่านแปลงหากหว่าน 1 เซ็นต์ต่อ 1 เฮกตาร์?

2) เก็บเกี่ยวข้าวสาลี 25 ควินตาลต่อเฮกตาร์จากทุ่งสี่เหลี่ยม ข้าวสาลีสามารถเก็บเกี่ยวได้จากทั้งทุ่งเท่าไรหากความยาวของทุ่งคือ 800 ม. และความกว้างคือ 3/8 ของความยาว

570 . 1) ที่ดินแปลงสี่เหลี่ยมผืนผ้ายาว 78 3/4 ม. กว้าง 56 4/5 ม. ถูกสร้างขึ้นเพื่อให้พื้นที่ 4/5 มีอาคารครอบครอง กำหนดพื้นที่ที่ดินใต้อาคาร

2) บนที่ดินรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งมีความยาว 9/20 กม. และกว้าง 4/9 ของความยาว ฟาร์มส่วนรวมวางแผนที่จะจัดสวน สวนนี้จะปลูกต้นไม้ได้กี่ต้นหากแต่ละต้นต้องการพื้นที่เฉลี่ย 36 ตร.ม.

571. 1) สำหรับแสงปกติ เวลากลางวันในห้องจำเป็นต้องมีพื้นที่หน้าต่างทุกบานอย่างน้อย 1/5 ของพื้นที่พื้น ตรวจสอบว่าในห้องที่มีความยาว 5 1/2 ม. และกว้าง 4 ม. มีแสงสว่างเพียงพอหรือไม่ ในห้องมีหน้าต่างขนาด 1 1/2 ม. x 2 ม. จำนวน 1 บานหรือไม่

2) ใช้สภาพของปัญหาก่อนหน้านี้ ค้นหาว่ามีแสงสว่างเพียงพอในห้องเรียนของคุณหรือไม่

572. 1) โรงนามีขนาด 5 1/2 ม. x 4 1/2 ม. x 2 1/2 ม. หญ้าแห้ง (โดยน้ำหนัก) จะพอดีกับโรงนานี้หากเติมให้สูงถึง 3/4 ของความสูงและถ้า 1 ลูกบาศ์ก . หญ้าแห้งเมตรหนัก 82 กิโลกรัม?

2) กองไม้มีรูปร่าง เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนานกันมีขนาด 2 1/2 ม. x 3 1/2 ม. x 1 1/2 ม. กองฟืนจะมีน้ำหนักเท่าใด ถ้า 1 ลูกบาศก์เมตร ฟืนเมตรหนัก 600 กิโลกรัม?

573. 1) ตู้ปลารูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเต็มไปด้วยน้ำสูงถึง 3/5 ของความสูง ความยาวของตู้ปลาคือ 1 1/2 ม. กว้าง 4/5 ม. สูง 3/4 ม. เทน้ำลงในตู้ปลาได้กี่ลิตร?

2) สระน้ำที่มีรูปร่างเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนานกันมีความยาว 6 1/2 ม. กว้าง 4 ม. และสูง 2 ม. สระน้ำเต็มไปด้วยน้ำสูงถึง 3/4 ของความสูง คำนวณปริมาณน้ำที่เทลงในสระ

574. จำเป็นต้องสร้างรั้วรอบที่ดินรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ยาว 75 ม. กว้าง 45 ม. ควรมีบอร์ดกี่ลูกบาศก์เมตรในการก่อสร้างหากความหนาของบอร์ดคือ 2 1/2 ซม. และความสูงของรั้วควรเป็น 2 1/4 ม.

575. 1) มุมใดคือนาทีและ เข็มชั่วโมงเวลา 13.00 น? ตอน 15 โมง? เวลา 17 โมง? เวลา 21 โมง? เวลา 23:30 น.?

2) เข็มชั่วโมงจะหมุนกี่องศาใน 2 ชั่วโมง? 5 โมง? 8 โมง? 30 นาที?

3) ส่วนโค้งเท่ากับครึ่งวงกลมมีกี่องศา? 1/4 วงกลม? 1/24 ของวงกลม? 5/24 วงกลม?

576. 1) ใช้ไม้โปรแทรกเตอร์วาด: ก) มุมขวา; b) มุม 30°; ค) มุม 60°; ง) มุม 150°; จ) มุม 55°

2) ใช้ไม้โปรแทรกเตอร์วัดมุมของรูปแล้วหาผลรวมของมุมทั้งหมดของแต่ละรูป (รูปที่ 31)

577. ทำตามขั้นตอนเหล่านี้:

578. 1) ครึ่งวงกลมแบ่งออกเป็นสองส่วนโค้ง โดยส่วนโค้งหนึ่งมีขนาดใหญ่กว่าส่วนโค้งอีก 100° ค้นหาขนาดของแต่ละส่วนโค้ง

2) ครึ่งวงกลมแบ่งออกเป็นสองส่วนโค้ง โดยส่วนโค้งหนึ่งมีขนาดเล็กกว่าส่วนโค้งอีก 15° ค้นหาขนาดของแต่ละส่วนโค้ง

3) ครึ่งวงกลมแบ่งออกเป็นสองส่วนโค้ง โดยส่วนโค้งหนึ่งมีขนาดใหญ่กว่าส่วนโค้งอีกสองเท่า ค้นหาขนาดของแต่ละส่วนโค้ง

4) ครึ่งวงกลมแบ่งออกเป็นสองส่วนโค้ง โดยส่วนโค้งหนึ่งมีขนาดเล็กกว่าส่วนโค้งอีก 5 เท่า ค้นหาขนาดของแต่ละส่วนโค้ง

579. 1) แผนภาพ "การรู้หนังสือของประชากรในสหภาพโซเวียต" (รูปที่ 32) แสดงจำนวนผู้รู้หนังสือต่อประชากรร้อยคน จากข้อมูลในแผนภาพและขนาด ให้กำหนดจำนวนชายและหญิงที่รู้หนังสือในแต่ละปีที่ระบุ

เขียนผลลัพธ์ลงในตาราง:

2) การใช้ข้อมูลจากแผนภาพ "ทูตโซเวียตสู่อวกาศ" (รูปที่ 33) สร้างงาน

580. 1) ตามแผนภูมิวงกลม“ กิจวัตรประจำวันสำหรับนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 5” (รูปที่ 34) กรอกตารางและตอบคำถาม: จัดสรรส่วนใดของวันให้นอนหลับ? สำหรับการบ้านเหรอ? ไปโรงเรียน?

2) สร้างแผนภูมิวงกลมเกี่ยวกับกิจวัตรประจำวันของคุณ

ตัวอย่างที่มีเศษส่วนเป็นหนึ่งในองค์ประกอบพื้นฐานของคณิตศาสตร์ มีมากมาย ประเภทต่างๆสมการกับเศษส่วน ด้านล่างคือ คำแนะนำโดยละเอียดเพื่อแก้ตัวอย่างประเภทนี้

วิธีแก้ตัวอย่างด้วยเศษส่วน - กฎทั่วไป

ในการแก้ตัวอย่างเศษส่วนประเภทใดก็ตาม ไม่ว่าจะเป็นการบวก ลบ คูณ หาร คุณจำเป็นต้องรู้กฎพื้นฐาน:

• ในการบวกนิพจน์เศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน (ตัวส่วนคือตัวเลขที่อยู่ด้านล่างของเศษส่วน และตัวเศษอยู่ด้านบน) คุณต้องเพิ่มตัวเศษและปล่อยให้ตัวส่วนเท่าเดิม
• หากต้องการลบนิพจน์เศษส่วนตัวที่สอง (ที่มีตัวส่วนเท่ากัน) ออกจากเศษส่วนหนึ่ง คุณต้องลบตัวเศษและปล่อยให้ตัวส่วนเท่าเดิม
• หากต้องการบวกหรือลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน คุณต้องหาตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุด
• หากต้องการหาผลคูณเศษส่วน คุณต้องคูณทั้งเศษและส่วน และถ้าเป็นไปได้ให้ลด
• หากต้องการหารเศษส่วนด้วยเศษส่วน คุณต้องคูณเศษส่วนแรกด้วยเศษส่วนที่สองโดยกลับด้าน

วิธีแก้ตัวอย่างด้วยเศษส่วน - ฝึกฝน

กฎข้อ 1 ตัวอย่างที่ 1:

คำนวณ 3/4 +1/4

ตามกฎข้อที่ 1 หากเศษส่วนสองตัว (หรือมากกว่า) มีตัวส่วนเท่ากัน คุณก็แค่บวกตัวเศษเท่านั้น เราได้: 3/4 + 1/4 = 4/4 ถ้าเศษส่วนมีตัวเศษและส่วนเท่ากัน เศษส่วนจะเท่ากับ 1

คำตอบ: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1

กฎข้อ 2 ตัวอย่างที่ 1:

คำนวณ: 3/4 – 1/4

เมื่อใช้กฎข้อ 2 ในการแก้สมการนี้ คุณต้องลบ 1 จาก 3 และปล่อยให้ตัวส่วนเท่าเดิม เราได้ 2/4. เนื่องจาก 2 กับ 4 ลดได้ 2 ตัว เราจึงลดแล้วได้ 1/2

คำตอบ: 3/4 – 1/4 = 2/4 = 1/2

กฎข้อ 3 ตัวอย่างที่ 1

คำนวณ: 3/4 + 1/6

วิธีแก้: จากกฎข้อที่ 3 เราจะหาตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุดได้ ตัวส่วนร่วมที่น้อยที่สุดคือจำนวนที่หารด้วยตัวส่วนของนิพจน์เศษส่วนทั้งหมดในตัวอย่างได้ ดังนั้นเราจึงต้องหาจำนวนขั้นต่ำที่จะหารด้วยทั้ง 4 และ 6 ลงตัว. จำนวนนี้คือ 12. เราเขียน 12 เป็นตัวส่วน. หาร 12 ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนแรกเราจะได้ 3, คูณด้วย 3, เขียน. 3 ในตัวเศษ *3 และเครื่องหมาย + หาร 12 ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนที่สอง เราได้ 2 คูณ 2 ด้วย 1 เขียน 2*1 ในตัวเศษ ดังนั้นเราจึงได้เศษส่วนใหม่ที่มีตัวส่วนเท่ากับ 12 และตัวเศษเท่ากับ 3*3+2*1=11 11/12.

คำตอบ: 11/12

กฎข้อ 3 ตัวอย่างที่ 2:

คำนวณ 3/4 – 1/6 ตัวอย่างนี้คล้ายกับตัวอย่างก่อนหน้ามาก เราทำขั้นตอนเดียวกันทั้งหมด แต่ในตัวเศษ แทนที่จะเป็นเครื่องหมาย + เราเขียนเครื่องหมายลบ. เราได้: 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12

คำตอบ: 7/12

กฎข้อที่ 4 ตัวอย่างที่ 1:

คำนวณ: 3/4 * 1/4

โดยใช้กฎข้อที่สี่ เราจะคูณตัวส่วนของเศษส่วนแรกด้วยตัวส่วนของวินาที และตัวเศษของเศษส่วนแรกด้วยตัวเศษของวินาที 3*1/4*4 = 3/16

คำตอบ: 3/16

กฎข้อที่ 4 ตัวอย่างที่ 2:

คำนวณ 2/5 * 10/4

เศษส่วนนี้สามารถลดลงได้ ในกรณีของผลิตภัณฑ์ ตัวเศษของเศษส่วนแรกและส่วนของเศษส่วนที่สองและเศษของเศษส่วนที่สองและส่วนของเศษส่วนแรกจะถูกยกเลิก

2 ยกเลิกจาก 4 10 ยกเลิกจาก 5 เราได้ 1 * 2/2 = 1*1 = 1

คำตอบ: 2/5 * 10/4 = 1

กฎข้อที่ 5 ตัวอย่างที่ 1:

คำนวณ: 3/4: 5/6

เมื่อใช้กฎข้อที่ 5 เราได้: 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5 เราลดเศษส่วนตามหลักการของตัวอย่างที่แล้วแล้วได้ 9/10

คำตอบ: 9/10.

วิธีแก้ตัวอย่างเศษส่วน - สมการเศษส่วน

สมการเศษส่วนคือตัวอย่างที่ตัวส่วนประกอบด้วยค่าที่ไม่ทราบ ในการแก้สมการดังกล่าว คุณต้องใช้กฎบางอย่าง

ลองดูตัวอย่าง:

แก้สมการ 15/3x+5 = 3

ให้เราจำไว้ว่าคุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้ เช่น ค่าตัวส่วนต้องไม่เป็นศูนย์ เมื่อแก้ไขตัวอย่างดังกล่าวจะต้องระบุสิ่งนี้ เพื่อจุดประสงค์นี้จึงมี OA (ช่วงค่าที่อนุญาต)

ได้ 3x+5 ≠ 0
ดังนั้น: 3x ≠ 5
x ≠ 5/3

ที่ x = 5/3 สมการก็ไม่มีคำตอบ

เมื่อระบุ ODZ แล้ว ในวิธีที่ดีที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้การแก้สมการนี้จะกำจัดเศษส่วนออกไป ในการทำเช่นนี้ ขั้นแรกเราจะนำเสนอค่าที่ไม่ใช่เศษส่วนทั้งหมดเป็นเศษส่วน ในกรณีนี้คือเลข 3 เราได้: 15/(3x+5) = 3/1 ในการกำจัดเศษส่วน คุณต้องคูณเศษส่วนแต่ละส่วนด้วยตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุด ในกรณีนี้ มันจะเป็น (3x+5)*1 ลำดับ:

1. คูณ 15/(3x+5) ด้วย (3x+5)*1 = 15*(3x+5)
2. เปิดวงเล็บ: 15*(3x+5) = 45x + 75
3. เราทำเช่นเดียวกันกับด้านขวาของสมการ: 3*(3x+5) = 9x + 15
4. เท่ากันด้านซ้ายและขวา: 45x + 75 = 9x +15
5. เลื่อน X ไปทางซ้าย ตัวเลขไปทางขวา: 36x = – 50
6. ค้นหา x: x = -50/36
7. เราลด: -50/36 = -25/18

คำตอบ: ODZ x ≠ 5/3 x = -25/18.

วิธีแก้ตัวอย่างเศษส่วน - อสมการเศษส่วน

อสมการเศษส่วนของประเภท (3x-5)/(2-x)≥0 ได้รับการแก้ไขโดยใช้แกนตัวเลข ลองดูตัวอย่างนี้

ลำดับ:

• เราถือว่าตัวเศษและส่วนเป็นศูนย์: 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
  2. 2-x=0 => x=2
• เราวาดแกนตัวเลขโดยเขียนค่าผลลัพธ์ลงไป
• วาดวงกลมใต้ค่า วงกลมมีสองประเภท - เติมแล้วและว่างเปล่า วงกลมที่เต็มแล้วหมายความว่าค่าที่กำหนดอยู่ภายในช่วงการแก้ปัญหา วงกลมว่างแสดงว่าค่านี้ไม่รวมอยู่ในกลุ่มโซลูชัน
• เนื่องจากตัวส่วนไม่สามารถเท่ากับศูนย์ได้ จึงจะมีวงกลมว่างอยู่ใต้ตำแหน่งที่ 2

• ในการหาเครื่องหมาย เราจะแทนจำนวนใดๆ ที่มากกว่า 2 ลงในสมการ เช่น 3 (3*3-5)/(2-3)= -4 ค่าเป็นลบ ซึ่งหมายความว่าเราเขียนลบไว้เหนือพื้นที่หลังทั้งสอง จากนั้นแทนที่ค่า X ใดๆ ของช่วงตั้งแต่ 5/3 ถึง 2 เช่น 1 ค่าจะเป็นลบอีกครั้ง เราเขียนลบ. เราทำซ้ำเช่นเดียวกันกับพื้นที่ที่อยู่สูงถึง 5/3 เราแทนจำนวนใดๆ ที่น้อยกว่า 5/3 เช่น 1 ลบอีกครั้ง

• เนื่องจากเราสนใจค่าของ x ที่นิพจน์จะมากกว่าหรือเท่ากับ 0 และไม่มีค่าดังกล่าว (มีเครื่องหมายลบอยู่ทุกหนทุกแห่ง) ความไม่เท่าเทียมกันนี้จึงไม่มีวิธีแก้ปัญหานั่นคือ x = Ø (ชุดว่าง)

คำตอบ: x = Ø

เรามาดูกันว่า “การกระทำที่มีเศษส่วน” ในบทเรียนของเราจะหมายถึงการกระทำที่มีเศษส่วนสามัญ เศษส่วนร่วมคือเศษส่วนที่มีคุณสมบัติต่างๆ เช่น ตัวเศษ เส้นเศษส่วน และตัวส่วน วิธีนี้จะแยกแยะเศษส่วนสามัญออกจากทศนิยม ซึ่งได้มาจากเศษส่วนสามัญโดยการลดตัวส่วนให้เป็นผลคูณของ 10 ทศนิยมจะเขียนด้วยเครื่องหมายจุลภาคเพื่อแยกเศษส่วนทั้งหมดออกจากเศษส่วน เราจะพูดถึงการดำเนินการกับเศษส่วนสามัญ เนื่องจากเป็นสิ่งที่ทำให้เกิดปัญหามากที่สุดสำหรับนักเรียนที่ลืมพื้นฐานของหัวข้อนี้ ซึ่งครอบคลุมในครึ่งแรกของหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน ในเวลาเดียวกัน เมื่อแปลงนิพจน์ในคณิตศาสตร์ชั้นสูง จะใช้การดำเนินการกับเศษส่วนธรรมดาเป็นหลัก แค่ตัวย่อเศษส่วนอย่างเดียวก็คุ้มแล้ว! เศษส่วนทศนิยมไม่ทำให้เกิดปัญหาใดๆ เป็นพิเศษ ดังนั้นไปข้างหน้า!

เศษส่วนสองจำนวนจะเท่ากันถ้า

ตัวอย่างเช่นตั้งแต่

เศษส่วนและ (ตั้งแต่) และ (ตั้งแต่) ก็เท่ากันเช่นกัน

แน่นอนทั้งเศษส่วนและเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าหากตัวเศษและส่วนของเศษส่วนที่กำหนดคูณหรือหารด้วยจำนวนธรรมชาติเท่ากัน คุณจะได้เศษส่วนเท่ากับเศษส่วนที่กำหนด:

คุณสมบัตินี้เรียกว่าคุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน

คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วนสามารถใช้เพื่อเปลี่ยนเครื่องหมายของตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนได้ ถ้าตัวเศษและส่วนของเศษส่วนคูณด้วย -1 เราจะได้ ซึ่งหมายความว่าค่าของเศษส่วนจะไม่เปลี่ยนแปลงหากเครื่องหมายของตัวเศษและตัวส่วนมีการเปลี่ยนแปลงในเวลาเดียวกัน หากคุณเปลี่ยนเครื่องหมายเฉพาะตัวเศษหรือตัวส่วนเท่านั้น เศษส่วนจะเปลี่ยนเครื่องหมาย:

การลดเศษส่วน

เมื่อใช้คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน คุณสามารถแทนที่เศษส่วนที่กำหนดด้วยเศษส่วนอีกอันที่เท่ากับเศษส่วนที่กำหนดได้ แต่มีตัวเศษและส่วนน้อยกว่า การทดแทนนี้เรียกว่าการลดเศษส่วน

ตัวอย่างเช่น ให้เศษส่วนมา ตัวเลข 36 และ 48 มีตัวหารร่วมมากเท่ากับ 12 จากนั้น

.

โดยทั่วไป การลดเศษส่วนสามารถทำได้เสมอถ้าตัวเศษและตัวส่วนไม่ใช่จำนวนเฉพาะร่วมกัน ถ้าตัวเศษและตัวส่วนเท่ากัน จำนวนเฉพาะแล้วเศษส่วนนี้เรียกว่าลดไม่ได้

ดังนั้น การลดเศษส่วนหมายถึงการหารตัวเศษและส่วนของเศษส่วนด้วยตัวประกอบร่วม สิ่งที่กล่าวมาทั้งหมดยังใช้กับนิพจน์เศษส่วนที่มีตัวแปรด้วย

ตัวอย่างที่ 1ลดเศษส่วน

สารละลาย. หากต้องการแยกตัวประกอบของตัวเศษ ให้แสดง monomial - 5 ก่อน เอ็กซ์ซีเป็นผลรวม - 2 เอ็กซ์ซี - 3เอ็กซ์ซี, เราได้รับ

ในการแยกตัวประกอบของตัวส่วน เราใช้สูตรผลต่างของกำลังสอง:

ผลที่ตามมา

.

การลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วม

ให้เศษส่วนสองตัว และ . พวกมันมีตัวส่วนต่างกัน: 5 และ 7 การใช้คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน คุณสามารถแทนที่เศษส่วนเหล่านี้ด้วยเศษส่วนอื่นที่เท่ากันได้ และเพื่อให้เศษส่วนที่ได้ออกมาจะมีตัวส่วนเท่ากัน เมื่อคูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนด้วย 7 เราก็จะได้

เมื่อคูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนด้วย 5 เราก็จะได้

ดังนั้นเศษส่วนจะถูกลดให้เป็นตัวส่วนร่วม:

.

แต่นี่ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาเดียวเท่านั้น เช่น เศษส่วนเหล่านี้สามารถลดให้เหลือตัวส่วนร่วมที่ 70 ได้:

,

และโดยทั่วไปเป็นตัวส่วนใดๆ ที่หารด้วย 5 และ 7 ลงตัว

ลองพิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่ง: ลองนำเศษส่วนและตัวส่วนร่วมมากัน เราได้รับข้อโต้แย้งเหมือนในตัวอย่างก่อนหน้านี้

,

.

แต่ในกรณีนี้ คุณสามารถลดเศษส่วนให้เหลือตัวส่วนร่วมที่น้อยกว่าผลคูณของตัวส่วนของเศษส่วนเหล่านี้ได้ ลองหาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข 24 และ 30: LCM(24, 30) = 120

เนื่องจาก 120:4 = 5 หากต้องการเขียนเศษส่วนด้วยตัวส่วนของ 120 คุณต้องคูณทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วย 5 จำนวนนี้จึงเรียกว่าตัวประกอบเพิ่มเติม วิธี .

ต่อไปเราจะได้ 120:30=4 เราจะได้การคูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนด้วยตัวประกอบเพิ่มเติมของ 4 .

ดังนั้นเศษส่วนเหล่านี้จึงถูกลดให้เป็นตัวส่วนร่วม

ตัวคูณร่วมน้อยของตัวส่วนของเศษส่วนเหล่านี้คือตัวส่วนร่วมที่เล็กที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้

สำหรับนิพจน์เศษส่วนที่เกี่ยวข้องกับตัวแปร ตัวส่วนร่วมคือพหุนามที่หารด้วยตัวส่วนของเศษส่วนแต่ละส่วน

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาตัวส่วนร่วมของเศษส่วนและ

สารละลาย. ตัวส่วนร่วมของเศษส่วนเหล่านี้เป็นพหุนาม เนื่องจากหารด้วยทั้งสอง และ ลงตัว อย่างไรก็ตาม พหุนามนี้ไม่ใช่เพียงตัวเดียวที่สามารถเป็นตัวส่วนร่วมของเศษส่วนเหล่านี้ได้ มันอาจเป็นพหุนามก็ได้ และพหุนาม และพหุนาม ฯลฯ โดยปกติแล้วจะใช้ตัวส่วนร่วมจนตัวส่วนร่วมอื่นๆ จะถูกหารด้วยตัวที่เลือกโดยไม่มีเศษ ตัวส่วนนี้เรียกว่าตัวส่วนร่วมต่ำสุด.

ในตัวอย่างของเรา ตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุดคือ ได้รับ:

;

.

เราสามารถลดเศษส่วนให้เหลือตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุดได้ สิ่งนี้เกิดขึ้นโดยการคูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนแรกด้วย และตัวเศษและส่วนของเศษส่วนที่สองด้วย พหุนามเรียกว่าตัวประกอบเพิ่มเติมตามลำดับสำหรับเศษส่วนตัวแรกและตัวที่สอง

การบวกและการลบเศษส่วน

การบวกเศษส่วนมีการกำหนดดังนี้:

.

ตัวอย่างเช่น,

.

ถ้า ข = ง, ที่

.

ซึ่งหมายความว่าในการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน ก็เพียงพอแล้วที่จะบวกตัวเศษและปล่อยให้ตัวส่วนเท่าเดิม ตัวอย่างเช่น,

.

หากคุณบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน คุณจะลดเศษส่วนให้เหลือตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุด แล้วจึงบวกตัวเศษ ตัวอย่างเช่น,

.

ตอนนี้เรามาดูตัวอย่างของการเพิ่มนิพจน์เศษส่วนด้วยตัวแปร

ตัวอย่างที่ 3แปลงนิพจน์ให้เป็นเศษส่วนหนึ่งส่วน

.

สารละลาย. ลองหาตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุดกัน. เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ขั้นแรกเราต้องแยกตัวประกอบตัวส่วน