X 2 แม้จะแปลกก็ตาม ฟังก์ชันคู่และคี่

การทำงานเป็นหนึ่งในแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญที่สุด ฟังก์ชั่น - การพึ่งพาตัวแปร ที่จากตัวแปร xถ้าแต่ละค่า เอ็กซ์ตรงกับค่าเดียว ที่. ตัวแปร เอ็กซ์เรียกว่าตัวแปรอิสระหรืออาร์กิวเมนต์ ตัวแปร ที่เรียกว่าตัวแปรตาม ค่าทั้งหมดของตัวแปรอิสระ (variable x) สร้างโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน ค่าทั้งหมดที่ตัวแปรตามใช้ (variable ย) สร้างช่วงของค่าของฟังก์ชัน

กราฟฟังก์ชันเรียกเซตของจุดทั้งหมดของระนาบพิกัดซึ่ง abscissas นั้นเท่ากับค่าของอาร์กิวเมนต์และพิกัดนั้นเท่ากับค่าที่สอดคล้องกันของฟังก์ชันนั่นคือค่าของ ตัวแปรจะถูกพล็อตไปตามแกนแอบซิสซา xและค่าของตัวแปรจะถูกพล็อตไปตามแกนพิกัด ย. หากต้องการสร้างกราฟฟังก์ชัน คุณจำเป็นต้องทราบคุณสมบัติของฟังก์ชันนั้น คุณสมบัติหลักของฟังก์ชันจะกล่าวถึงด้านล่าง!

ในการสร้างกราฟของฟังก์ชัน เราขอแนะนำให้ใช้โปรแกรมของเรา - ฟังก์ชันกราฟแบบออนไลน์ หากคุณมีคำถามใดๆ ในขณะที่ศึกษาเนื้อหาในหน้านี้ คุณสามารถถามพวกเขาในฟอรัมของเราได้ตลอดเวลา นอกจากนี้ในฟอรั่มยังจะช่วยคุณแก้ปัญหาในวิชาคณิตศาสตร์ เคมี เรขาคณิต ทฤษฎีความน่าจะเป็น และวิชาอื่นๆ อีกมากมาย!

คุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชัน

1) โดเมนฟังก์ชันและช่วงฟังก์ชัน.

โดเมนของฟังก์ชันคือชุดของค่าอาร์กิวเมนต์ที่ถูกต้องทั้งหมด x(ตัวแปร x) ซึ่งฟังก์ชัน ย = ฉ(x)มุ่งมั่น.
พิสัยของฟังก์ชันคือเซตของค่าจริงทั้งหมด ยซึ่งฟังก์ชันยอมรับ

ใน คณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษาฟังก์ชันจะศึกษาเฉพาะเซตของจำนวนจริงเท่านั้น

2) ฟังก์ชั่นศูนย์.

ค่านิยม เอ็กซ์ซึ่ง ย=0, เรียกว่า ฟังก์ชันศูนย์. สิ่งเหล่านี้คือจุดตัดของจุดตัดของกราฟฟังก์ชันกับแกน Ox

3) ช่วงเวลาของเครื่องหมายคงที่ของฟังก์ชัน.

ช่วงของเครื่องหมายคงที่ของฟังก์ชันคือช่วงของค่าดังกล่าว xซึ่งค่าฟังก์ชัน ยเรียกเฉพาะค่าบวกหรือค่าลบเท่านั้น ช่วงเวลาของเครื่องหมายคงที่ของฟังก์ชัน

4) ความน่าเบื่อหน่ายของฟังก์ชัน.

ฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น (ในช่วงเวลาหนึ่ง) คือฟังก์ชันที่มีค่าอาร์กิวเมนต์ที่มากขึ้นจากช่วงเวลานี้สอดคล้องกับค่าที่มากขึ้นของฟังก์ชัน

ฟังก์ชันที่ลดลง (ในช่วงเวลาหนึ่ง) คือฟังก์ชันที่มีค่าอาร์กิวเมนต์ที่มากกว่าจากช่วงเวลานี้สอดคล้องกับค่าที่น้อยกว่าของฟังก์ชัน

5) ฟังก์ชันคู่ (คี่).

ฟังก์ชันคู่คือฟังก์ชันที่มีโดเมนของคำจำกัดความสมมาตรโดยคำนึงถึงจุดกำเนิดและสำหรับจุดใดๆ เอ็กซ์ ฉ(-x) = ฉ(x). กราฟของฟังก์ชันคู่มีความสมมาตรเกี่ยวกับพิกัด

ฟังก์ชันคี่คือฟังก์ชันที่มีโดเมนของคำจำกัดความสมมาตรโดยคำนึงถึงจุดกำเนิดและสำหรับค่าใดๆ เอ็กซ์จากขอบเขตของคำจำกัดความ ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง ฉ(-x) = - ฉ(x). กราฟของฟังก์ชันคี่มีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด

ฟังก์ชั่นสม่ำเสมอ
1) ขอบเขตของคำจำกัดความมีความสมมาตรเทียบกับจุด (0; 0) นั่นคือถ้าจุดนั้น กอยู่ในขอบเขตของคำจำกัดความ แล้วจึงเป็นจุด -กยังอยู่ในขอบเขตของคำจำกัดความด้วย
2) สำหรับค่าใดๆ x ฉ(-x)=ฉ(x)
3) กราฟของฟังก์ชันคู่มีความสมมาตรเกี่ยวกับแกน Oy

ฟังก์ชั่นแปลก ๆมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:
1) โดเมนของคำจำกัดความมีความสมมาตรเกี่ยวกับจุด (0; 0)
2) สำหรับค่าใดๆ xที่อยู่ในขอบเขตของคำจำกัดความความเท่าเทียมกัน ฉ(-x)=-ฉ(x)
3) กราฟของฟังก์ชันคี่มีความสมมาตรเทียบกับจุดกำเนิด (0; 0)

ไม่ใช่ทุกฟังก์ชันที่เป็นคู่หรือคี่ ฟังก์ชั่น ปริทัศน์ ไม่เป็นคู่หรือคี่

6) ฟังก์ชั่นที่จำกัดและไม่ จำกัด.

ฟังก์ชันจะเรียกว่ามีขอบเขตถ้ามีจำนวนบวก M โดยที่ |f(x)| ≤ M สำหรับค่าทั้งหมดของ x หากไม่มีตัวเลขดังกล่าว แสดงว่าฟังก์ชันนั้นไม่จำกัด

7) ช่วงเวลาของฟังก์ชัน.

ฟังก์ชัน f(x) จะเป็นคาบถ้ามีตัวเลข T ที่ไม่ใช่ศูนย์ ดังนั้นสำหรับ x ใดๆ จากโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน จะคงค่าไว้ดังนี้: f(x+T) = f(x) นี้ จำนวนที่น้อยที่สุดเรียกว่าคาบของฟังก์ชัน ทั้งหมด ฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นช่วงๆ (สูตรตรีโกณมิติ)

การทำงาน ฉเรียกว่าคาบหากมีตัวเลขเช่นนั้นสำหรับค่าใดๆ xจากขอบเขตของคำจำกัดความคือความเท่าเทียมกัน ฉ(x)=ฉ(x-T)=ฉ(x+T). ตคือคาบของฟังก์ชัน

ทุกฟังก์ชันคาบมี ชุดอนันต์ช่วงเวลา ในทางปฏิบัติมักจะพิจารณาช่วงเวลาที่เป็นบวกน้อยที่สุด

ค่าของฟังก์ชันคาบจะถูกทำซ้ำหลังจากช่วงเวลาเท่ากับคาบ ใช้เมื่อสร้างกราฟ

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้กระดาษกราฟหรือเครื่องคิดเลขกราฟ เลือกค่าตัวแปรอิสระจำนวนเท่าใดก็ได้ x (\รูปแบบการแสดงผล x)และเสียบเข้ากับฟังก์ชันเพื่อคำนวณค่าของตัวแปรตาม y (\displaystyle y). พล็อตพิกัดที่พบของจุดบนระนาบพิกัด จากนั้นเชื่อมต่อจุดเหล่านี้เพื่อสร้างกราฟของฟังก์ชัน

แทนค่าตัวเลขบวกลงในฟังก์ชัน x (\รูปแบบการแสดงผล x)และค่าตัวเลขลบที่สอดคล้องกัน ตัวอย่างเช่น เมื่อกำหนดฟังก์ชัน แทนค่าต่อไปนี้ลงไป x (\รูปแบบการแสดงผล x):
- f (1) = 2 (1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(1)=2(1)^(2)+1=2+1=3) (1 , 3) (\displaystyle (1,3)).
- f (2) = 2 (2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(2)=2(2)^(2)+1=2(4)+1 =8+1=9). เราได้จุดที่มีพิกัดแล้ว (2 , 9) (\displaystyle (2,9)).
- f (− 1) = 2 (− 1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(-1)=2(-1)^(2)+1=2+1=3). เราได้จุดที่มีพิกัดแล้ว (− 1 , 3) (\displaystyle (-1,3)).
- f (− 2) = 2 (− 2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(-2)=2(-2)^(2)+1=2( 4)+1=8+1=9). เราได้จุดที่มีพิกัดแล้ว (− 2 , 9) (\displaystyle (-2,9)).

ตรวจสอบว่ากราฟของฟังก์ชันมีความสมมาตรเกี่ยวกับแกน Y หรือไม่สมมาตรหมายถึงภาพสะท้อนของกราฟที่สัมพันธ์กับแกนพิกัด หากส่วนของกราฟทางขวาของแกน Y (ค่าบวกของตัวแปรอิสระ) เท่ากับส่วนของกราฟทางด้านซ้ายของแกน Y (ค่าลบของตัวแปรอิสระ) ) กราฟจะสมมาตรเกี่ยวกับแกน Y ถ้าฟังก์ชันสมมาตรเกี่ยวกับแกน y ฟังก์ชันก็จะเท่ากัน

คุณสามารถตรวจสอบความสมมาตรของกราฟได้โดยใช้แต่ละจุด หากมีค่า y (\displaystyle y) x (\รูปแบบการแสดงผล x), ตรงกับค่า y (\displaystyle y)ซึ่งสอดคล้องกับค่า − x (\displaystyle -x), ฟังก์ชันจะเป็นเลขคู่ ในตัวอย่างของเราที่มีฟังก์ชัน f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1)เราได้รับพิกัดของจุดต่อไปนี้:
- (1.3) และ (-1.3)
- (2.9) และ (-2.9)
โปรดทราบว่าสำหรับ x=1 และ x=-1 ตัวแปรตามคือ y=3 และสำหรับ x=2 และ x=-2 ตัวแปรตามคือ y=9 ฟังก์ชันจึงเป็นเลขคู่ ในความเป็นจริง เพื่อกำหนดรูปแบบของฟังก์ชันได้อย่างแม่นยำ คุณต้องพิจารณามากกว่าสองจุด แต่วิธีที่อธิบายไว้เป็นการประมาณที่ดี

ตรวจสอบว่ากราฟของฟังก์ชันมีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิดหรือไม่จุดเริ่มต้นคือจุดที่มีพิกัด (0,0) ความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิดหมายความว่ามีค่าบวก y (\displaystyle y)(ที่ ค่าบวก x (\รูปแบบการแสดงผล x)) สอดคล้องกับค่าลบ y (\displaystyle y)(โดยมีค่าเป็นลบ x (\รูปแบบการแสดงผล x)), และในทางกลับกัน. ฟังก์ชันคี่มีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด

หากคุณแทนที่ค่าบวกและค่าลบที่สอดคล้องกันหลายค่าลงในฟังก์ชัน x (\รูปแบบการแสดงผล x), ค่านิยม y (\displaystyle y)จะแตกต่างกันเป็นเครื่องหมาย ตัวอย่างเช่น เมื่อกำหนดฟังก์ชันแล้ว f (x) = x 3 + x (\รูปแบบการแสดงผล f(x)=x^(3)+x). แทนที่ค่าหลายค่าลงไป x (\รูปแบบการแสดงผล x):
- f (1) = 1 3 + 1 = 1 + 1 = 2 (\displaystyle f(1)=1^(3)+1=1+1=2). เราได้จุดที่มีพิกัด (1,2)
- f (− 1) = (− 1) 3 + (− 1) = − 1 − 1 = − 2 (\displaystyle f(-1)=(-1)^(3)+(-1)=-1- 1=-2)
- f (2) = 2 3 + 2 = 8 + 2 = 10 (\displaystyle f(2)=2^(3)+2=8+2=10)
- f (− 2) = (− 2) 3 + (− 2) = − 8 − 2 = − 10 (\displaystyle f(-2)=(-2)^(3)+(-2)=-8- 2=-10). เราได้รับจุดที่มีพิกัด (-2,-10)
ดังนั้น f(x) = -f(-x) กล่าวคือ ฟังก์ชันนี้เป็นเลขคี่

ตรวจสอบว่ากราฟของฟังก์ชันมีความสมมาตรหรือไม่ฟังก์ชันประเภทสุดท้ายคือฟังก์ชันที่กราฟไม่มีความสมมาตร กล่าวคือ ไม่มีภาพสะท้อนในกระจกทั้งที่สัมพันธ์กับแกนพิกัดและสัมพันธ์กับจุดกำเนิด ตัวอย่างเช่น เมื่อกำหนดฟังก์ชัน

แทนที่ค่าบวกและค่าลบที่สอดคล้องกันหลายค่าลงในฟังก์ชัน x (\รูปแบบการแสดงผล x):
- f (1) = 1 2 + 2 (1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 (\displaystyle f(1)=1^(2)+2(1)+1=1+2+1=4 ). เราได้จุดที่มีพิกัด (1,4)
- f (− 1) = (− 1) 2 + 2 (− 1) + (− 1) = 1 − 2 − 1 = − 2 (\displaystyle f(-1)=(-1)^(2)+2 (-1)+(-1)=1-2-1=-2). เราได้จุดที่มีพิกัด (-1,-2)
- f (2) = 2 2 + 2 (2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10 (\displaystyle f(2)=2^(2)+2(2)+2=4+4+2=10 ). เราได้จุดที่มีพิกัด (2,10)
- f (− 2) = (− 2) 2 + 2 (− 2) + (− 2) = 4 − 4 − 2 = − 2 (\displaystyle f(-2)=(-2)^(2)+2 (-2)+(-2)=4-4-2=-2). เราได้จุดที่มีพิกัด (2,-2)
จากผลที่ได้พบว่าไม่มีความสมมาตร ค่านิยม y (\displaystyle y)สำหรับค่าที่ตรงกันข้าม x (\รูปแบบการแสดงผล x)ไม่ตรงกันและไม่ตรงกันข้าม ดังนั้นฟังก์ชันจึงไม่เป็นคู่หรือคี่
โปรดทราบว่าฟังก์ชั่น f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\รูปแบบการแสดงผล f(x)=x^(2)+2x+1)สามารถเขียนได้ดังนี้: f (x) = (x + 1) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)). เมื่อเขียนในรูปแบบนี้ ฟังก์ชันจะปรากฏเป็นเลขคู่เนื่องจากมีเลขชี้กำลังเป็นเลขคู่ แต่ตัวอย่างนี้พิสูจน์ว่าประเภทของฟังก์ชันไม่สามารถระบุได้อย่างรวดเร็วหากตัวแปรอิสระอยู่ในวงเล็บ ในกรณีนี้ คุณต้องเปิดวงเล็บและวิเคราะห์เลขชี้กำลังที่ได้รับ

การศึกษาฟังก์ชั่น

1) D(y) – โดเมนคำจำกัดความ: เซตของค่าเหล่านั้นทั้งหมดของตัวแปร x ซึ่งนิพจน์พีชคณิต f(x) และ g(x) สมเหตุสมผล

หากสูตรกำหนดฟังก์ชันโดเมนของคำจำกัดความจะประกอบด้วยค่าทั้งหมดของตัวแปรอิสระที่สูตรเหมาะสม

2) คุณสมบัติของฟังก์ชัน: คู่/คี่, ช่วงเวลา:

แปลกและ สม่ำเสมอเรียกว่าฟังก์ชันซึ่งกราฟมีความสมมาตรโดยสัมพันธ์กับการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายของอาร์กิวเมนต์

ฟังก์ชั่นแปลก ๆ- ฟังก์ชั่นที่เปลี่ยนค่าไปในทางตรงกันข้ามเมื่อเครื่องหมายของตัวแปรอิสระเปลี่ยนแปลง (สมมาตรสัมพันธ์กับศูนย์กลางของพิกัด)

ฟังก์ชั่นสม่ำเสมอ- ฟังก์ชั่นที่ไม่เปลี่ยนค่าเมื่อเครื่องหมายของตัวแปรอิสระเปลี่ยนแปลง (สมมาตรเกี่ยวกับลำดับ)

ฟังก์ชันคู่หรือคี่ (ฟังก์ชั่นทั่วไป)- ฟังก์ชันที่ไม่มีความสมมาตร หมวดหมู่นี้รวมฟังก์ชันที่ไม่อยู่ใน 2 หมวดหมู่ก่อนหน้า

ฟังก์ชันที่ไม่อยู่ในหมวดหมู่ใดๆ ข้างต้นจะถูกเรียกว่า แม้แต่หรือคี่(หรือฟังก์ชั่นทั่วไป)

ฟังก์ชั่นแปลก ๆ

กำลังคี่ โดยที่จำนวนเต็มใดก็ได้

ฟังก์ชั่นแม้กระทั่ง

กำลังเลขคู่โดยที่จำนวนเต็มใดก็ได้

ฟังก์ชันคาบ- ฟังก์ชั่นที่ทำซ้ำค่าของมันในช่วงเวลาอาร์กิวเมนต์ปกตินั่นคือมันไม่เปลี่ยนค่าเมื่อเพิ่มตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์คงที่ให้กับอาร์กิวเมนต์ ( ระยะเวลาฟังก์ชั่น) ตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด

3) ศูนย์ (ราก) ของฟังก์ชันคือจุดที่กลายเป็นศูนย์

การหาจุดตัดของกราฟกับแกน เฮ้ย. เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณต้องคำนวณค่า ฉ(0) ค้นหาจุดตัดกันของกราฟกับแกนด้วย วัวเหตุใดจึงต้องหารากของสมการ ฉ(x) = 0 (หรือตรวจสอบให้แน่ใจว่าไม่มีราก)

จุดที่กราฟตัดกับแกนเรียกว่า ฟังก์ชันศูนย์. ในการค้นหาค่าศูนย์ของฟังก์ชัน คุณต้องแก้สมการ กล่าวคือ หา ความหมายของ "x" เหล่านั้นซึ่งฟังก์ชันจะกลายเป็นศูนย์

4) ช่วงเวลาของความสม่ำเสมอของสัญญาณสัญญาณในนั้น

ช่วงเวลาที่ฟังก์ชัน f(x) คงเครื่องหมายไว้

ช่วงความคงตัวของเครื่องหมายคือช่วง ในทุกจุดนั้นฟังก์ชั่นเป็นบวกหรือลบ

เหนือแกน x

ด้านล่างเพลา

5) ความต่อเนื่อง (จุดไม่ต่อเนื่อง, ลักษณะของความไม่ต่อเนื่อง, เส้นกำกับ)

ฟังก์ชั่นต่อเนื่อง- ฟังก์ชั่นที่ไม่มี "การกระโดด" นั่นคือสิ่งหนึ่งที่การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในการโต้แย้งนำไปสู่การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในค่าของฟังก์ชัน

จุดพักที่ถอดออกได้

ถ้าขีดจำกัดของฟังก์ชัน มีอยู่จริงแต่ฟังก์ชันไม่ได้ถูกกำหนด ณ จุดนี้ หรือขีดจำกัดไม่ตรงกับค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนี้:

แล้วจุดนั้นก็ถูกเรียก จุดพักที่ถอดออกได้ฟังก์ชั่น (ในการวิเคราะห์ที่ซับซ้อน จุดเอกพจน์ที่ถอดออกได้)

หากเรา "แก้ไข" ฟังก์ชั่น ณ จุดที่ไม่ต่อเนื่องที่ถอดออกได้และใส่ จากนั้นเราจะได้ฟังก์ชันที่ต่อเนื่อง ณ จุดที่กำหนด การดำเนินการนี้กับฟังก์ชันเรียกว่า ขยายฟังก์ชันให้ต่อเนื่องหรือ นิยามใหม่ของฟังก์ชันด้วยความต่อเนื่องซึ่งปรับชื่อของจุดเป็นจุด ถอดออกได้การแตกร้าว

จุดไม่ต่อเนื่องของประเภทที่หนึ่งและสอง

หากฟังก์ชันมีความไม่ต่อเนื่องที่จุดที่กำหนด (นั่นคือ ขีดจำกัดของฟังก์ชันที่จุดที่กำหนดขาดหายไปหรือไม่ตรงกับค่าของฟังก์ชันที่จุดที่กำหนด) ดังนั้นสำหรับฟังก์ชันตัวเลขจะมีสองตัวเลือกที่เป็นไปได้ เกี่ยวข้องกับการมีอยู่ของฟังก์ชันตัวเลข ข้อจำกัดฝ่ายเดียว:

ถ้ามีขีดจำกัดด้านเดียวทั้งสองและมีจำกัด จุดดังกล่าวจะถูกเรียก จุดไม่ต่อเนื่องของชนิดแรก. จุดไม่ต่อเนื่องแบบถอดได้คือจุดไม่ต่อเนื่องประเภทแรก

ถ้าอย่างน้อยหนึ่งขีดจำกัดด้านเดียวไม่มีอยู่หรือไม่ใช่ค่าจำกัด ดังนั้นจุดดังกล่าวจะเรียกว่า จุดไม่ต่อเนื่องของประเภทที่สอง.

เส้นกำกับ - ตรงซึ่งมีคุณสมบัติว่าระยะห่างจากจุดบนเส้นโค้งถึงจุดนี้ ตรงมีแนวโน้มเป็นศูนย์เมื่อจุดเคลื่อนที่ไปตามกิ่งก้านไปจนถึงระยะอนันต์

แนวตั้ง

เส้นกำกับแนวตั้ง - เส้นจำกัด .

ตามกฎแล้วเมื่อพิจารณาเส้นกำกับแนวตั้งพวกเขาจะมองหาไม่ใช่ขีด จำกัด เดียว แต่จะมีด้านเดียวสองอัน (ซ้ายและขวา) ซึ่งทำเพื่อพิจารณาว่าฟังก์ชันทำงานอย่างไรเมื่อเข้าใกล้เส้นกำกับแนวตั้งจากทิศทางที่ต่างกัน ตัวอย่างเช่น:

แนวนอน

เส้นกำกับแนวนอน - ตรงชนิดต่างๆ แล้วแต่ความมีอยู่ ขีด จำกัด

เอียง

เส้นกำกับเฉียง - ตรงชนิดต่างๆ แล้วแต่ความมีอยู่ ขีดจำกัด

หมายเหตุ: ฟังก์ชันหนึ่งๆ สามารถมีเส้นกำกับเฉียง (แนวนอน) ได้ไม่เกินสองตัว

หมายเหตุ: ถ้าอย่างน้อยหนึ่งในสองขีดจำกัดที่กล่าวถึงข้างต้นไม่มีอยู่ (หรือเท่ากับ ) ก็จะไม่มีเส้นกำกับเฉียงที่ (หรือ )

ถ้าอยู่ในข้อ 2.) แล้ว และพบขีด จำกัด โดยใช้สูตรเส้นกำกับแนวนอน .

6) การหาช่วงเวลาของความซ้ำซากจำเจค้นหาช่วงเวลาของความน่าเบื่อของฟังก์ชัน ฉ(x)(นั่นคือ ช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลง) ทำได้โดยการตรวจสอบเครื่องหมายของอนุพันธ์ ฉ(x). เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ค้นหาอนุพันธ์ ฉ(x) และแก้ความไม่เท่าเทียมกัน ฉ(x)0. ในช่วงเวลาที่ความไม่เท่าเทียมกันนี้คงอยู่ ฟังก์ชัน ฉ(x) เพิ่มขึ้น ในกรณีที่ความไม่เท่าเทียมกันแบบย้อนกลับเกิดขึ้น ฉ(x)0, ฟังก์ชัน ฉ(x) กำลังลดลง

การค้นหาจุดสุดยอดในท้องถิ่นเมื่อพบช่วงเวลาของความซ้ำซากจำเจแล้ว เราสามารถกำหนดจุดสุดขั้วเฉพาะจุดได้ทันทีโดยแทนที่การเพิ่มขึ้นด้วยการลดลง ตำแหน่งสูงสุดเฉพาะที่ และตำแหน่งที่การลดลงถูกแทนที่ด้วยการเพิ่มขึ้น ตำแหน่งจุดต่ำสุดในพื้นที่ คำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดเหล่านี้ หากฟังก์ชันมีจุดวิกฤตที่ไม่ใช่จุดสุดขั้วเฉพาะจุด การคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดเหล่านี้ก็มีประโยชน์เช่นกัน

ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชัน y = f(x) บนเซ็กเมนต์(ต่อ)

1. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน: ฉ(x).

2. ค้นหาจุดที่อนุพันธ์เป็นศูนย์: ฉ(x)=0x 1, x 2 ,...

3. กำหนดความเกี่ยวข้องของคะแนน เอ็กซ์ 1 ,เอ็กซ์ 2 , … ส่วน [ ก; ข]: อนุญาต x 1ก;ข, ก x 2ก;ข .

ซึ่งคุ้นเคยกับคุณในระดับหนึ่งหรืออย่างอื่น มีการบันทึกไว้ด้วยว่าสต็อกของคุณสมบัติฟังก์ชันจะค่อยๆ เติมเต็ม เราจะกล่าวถึงคุณสมบัติใหม่สองประการในส่วนนี้

คำจำกัดความ 1.

ฟังก์ชัน y = f(x), x є X ถูกเรียกแม้ว่าค่า x ใดๆ จากเซต X จะมีความเท่าเทียมกัน f (-x) = f (x) ก็ตาม

คำจำกัดความ 2

ฟังก์ชัน y = f(x), x є X เรียกว่าคี่ ถ้าค่าใด ๆ จากเซต X ความเท่าเทียมกัน f (-x) = -f (x) ยังคงอยู่

พิสูจน์ว่า y = x 4 เป็นฟังก์ชันคู่

สารละลาย. เรามี: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4 แต่(-x) 4 = x 4 ซึ่งหมายความว่าสำหรับ x ใดๆ ความเท่าเทียมกัน f(-x) = f(x) ยังคงอยู่ นั่นคือ ฟังก์ชั่นคือเท่ากัน

ในทำนองเดียวกัน สามารถพิสูจน์ได้ว่าฟังก์ชัน y - x 2, y = x 6, y - x 8 เป็นเลขคู่

พิสูจน์ว่า y = x 3 ~ เป็นฟังก์ชันคี่

สารละลาย. เรามี: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3 แต่ (-x) 3 = -x 3 ซึ่งหมายความว่าสำหรับ x ใด ๆ ความเท่าเทียมกัน f (-x) = -f (x) ถืออยู่นั่นคือ ฟังก์ชั่นแปลก

ในทำนองเดียวกัน สามารถพิสูจน์ได้ว่าฟังก์ชัน y = x, y = x 5, y = x 7 เป็นเลขคี่

คุณและฉันเชื่อมากกว่าหนึ่งครั้งว่าคำศัพท์ใหม่ในคณิตศาสตร์มักมีต้นกำเนิด "ทางโลก" เช่น พวกเขาสามารถอธิบายได้ เป็นกรณีที่มีทั้งฟังก์ชันคู่และคี่ โปรดดู: y - x 3, y = x 5, y = x 7 เป็นฟังก์ชันคี่ ในขณะที่ y = x 2, y = x 4, y = x 6 เป็นฟังก์ชันคู่ และโดยทั่วไป สำหรับฟังก์ชันใดๆ ที่อยู่ในรูปแบบ y = x" (ด้านล่างเราจะศึกษาฟังก์ชันเหล่านี้โดยเฉพาะ) โดยที่ n คือจำนวนธรรมชาติ เราก็สรุปได้ว่า ถ้า n ไม่ใช่ เลขคู่แล้วฟังก์ชัน y = x" จะเป็นเลขคี่ ถ้า n เป็นเลขคู่ ฟังก์ชัน y = xn จะเป็นเลขคู่

นอกจากนี้ยังมีฟังก์ชันที่ไม่เป็นคู่หรือคี่อีกด้วย ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน y = 2x + 3 แท้จริงแล้ว f(1) = 5 และ f (-1) = 1 ดังที่คุณเห็นในที่นี้ ไม่มีตัวตน f(-x) = f ( x) หรือเอกลักษณ์ f(-x) = -f(x)

ดังนั้น ฟังก์ชันอาจเป็นเลขคู่ คี่ หรือเป็นค่าทั้งสองก็ได้

กำลังศึกษาคำถามว่า. ฟังก์ชันที่กำหนดคู่หรือคี่มักเรียกว่าการศึกษาฟังก์ชันเพื่อความเท่าเทียมกัน

คำจำกัดความ 1 และ 2 หมายถึงค่าของฟังก์ชันที่จุด x และ -x นี่ถือว่าฟังก์ชันถูกกำหนดไว้ที่ทั้งจุด x และจุด -x ซึ่งหมายความว่าจุด -x อยู่ในโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันพร้อมกับจุด x หากเซตตัวเลข X พร้อมด้วยสมาชิก x แต่ละตัว มีสมาชิกตรงข้าม -x ด้วยเช่นกัน X จะเรียกว่าเซตสมมาตร สมมติว่า (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) เป็นเซตสมมาตร ในขณะที่ )