ตัวเลือกสมการตรรกยะ 2 สมการตรรกยะ

ตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุดจะใช้เพื่อทำให้สมการนี้ง่ายขึ้นวิธีการนี้ใช้เมื่อคุณไม่สามารถเขียนสมการที่กำหนดด้วยนิพจน์ตรรกยะหนึ่งนิพจน์ในแต่ละด้านของสมการได้ (และใช้วิธีการคูณแบบกากบาด) วิธีการนี้ใช้เมื่อคุณได้รับสมการตรรกยะที่มีเศษส่วนตั้งแต่ 3 ตัวขึ้นไป (ในกรณีที่มีเศษส่วนสองส่วน ควรใช้การคูณแบบไขว้จะดีกว่า)

§ 1 สมการจำนวนเต็มและเศษส่วน

ในบทนี้เราจะดูแนวคิดต่างๆ เช่น สมการตรรกยะ นิพจน์ตรรกยะ นิพจน์ทั้งหมด นิพจน์เศษส่วน ลองพิจารณาแก้สมการตรรกยะกัน

สมการตรรกยะคือสมการที่ด้านซ้ายและด้านขวาเป็นนิพจน์ตรรกยะ

นิพจน์เหตุผลคือ:

เศษส่วน

นิพจน์จำนวนเต็มประกอบด้วยตัวเลข ตัวแปร กำลังจำนวนเต็มโดยใช้การดำเนินการบวก ลบ คูณ และหารด้วยตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์

ตัวอย่างเช่น:

นิพจน์เศษส่วนเกี่ยวข้องกับการหารด้วยตัวแปรหรือนิพจน์ที่มีตัวแปร ตัวอย่างเช่น:

นิพจน์เศษส่วนไม่สมเหตุสมผลสำหรับค่าทั้งหมดของตัวแปรที่รวมอยู่ในนั้น ตัวอย่างเช่น การแสดงออก

ที่ x = -9 มันไม่สมเหตุสมผลเลย เนื่องจากที่ x = -9 ตัวส่วนจะเป็นศูนย์

ซึ่งหมายความว่าสมการตรรกยะสามารถเป็นจำนวนเต็มหรือเศษส่วนได้

สมการตรรกยะทั้งหมดคือสมการตรรกยะซึ่งด้านซ้ายและด้านขวาเป็นนิพจน์ทั้งหมด

ตัวอย่างเช่น:

สมการตรรกยะเศษส่วนคือสมการตรรกยะที่ด้านซ้ายหรือด้านขวาเป็นนิพจน์เศษส่วน

ตัวอย่างเช่น:

§ 2 การแก้สมการตรรกยะทั้งหมด

ลองพิจารณาคำตอบของสมการตรรกยะทั้งหมดกัน

ตัวอย่างเช่น:

ลองคูณทั้งสองข้างของสมการด้วยตัวส่วนร่วมที่น้อยที่สุดของตัวส่วนของเศษส่วนที่อยู่ในนั้น

สำหรับสิ่งนี้:

1. ค้นหาตัวส่วนร่วมของตัวส่วน 2, 3, 6 เท่ากับ 6

2. หาตัวประกอบเพิ่มเติมสำหรับแต่ละเศษส่วน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้หารตัวส่วนร่วม 6 ด้วยตัวส่วนแต่ละตัว

ตัวประกอบเพิ่มเติมสำหรับเศษส่วน

ตัวประกอบเพิ่มเติมสำหรับเศษส่วน

3. คูณตัวเศษของเศษส่วนด้วยตัวประกอบเพิ่มเติมที่เกี่ยวข้อง ดังนั้นเราจึงได้สมการ

ซึ่งเท่ากับสมการที่กำหนด

ลองเปิดวงเล็บทางด้านซ้าย เลื่อนส่วนขวาไปทางซ้าย เปลี่ยนเครื่องหมายของคำเมื่อโอนไปยังส่วนตรงกันข้าม

ขอให้เรานำพจน์ที่คล้ายกันของพหุนามมาด้วย

เราจะเห็นว่าสมการนั้นเป็นเส้นตรง

เมื่อแก้ได้แล้วเราจะพบว่า x = 0.5

§ 3 การแก้สมการตรรกยะเศษส่วน

ลองพิจารณาแก้สมการตรรกยะเศษส่วน

ตัวอย่างเช่น:

1. คูณทั้งสองข้างของสมการด้วยตัวส่วนร่วมต่ำสุดของตัวส่วนที่อยู่ในนั้น เศษส่วนตรรกยะ.

ลองหาตัวส่วนร่วมของตัวส่วน x + 7 และ x - 1 กัน

มันเท่ากับผลคูณของมัน (x + 7)(x - 1)

2. ลองหาตัวประกอบเพิ่มเติมสำหรับเศษส่วนตรรกยะแต่ละส่วนกัน

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้หารตัวส่วนร่วม (x + 7)(x - 1) ด้วยตัวส่วนแต่ละตัว ตัวประกอบเพิ่มเติมสำหรับเศษส่วน

เท่ากับ x - 1,

ตัวประกอบเพิ่มเติมสำหรับเศษส่วน

เท่ากับ x+7

3.คูณตัวเศษของเศษส่วนด้วยตัวประกอบเพิ่มเติมที่เกี่ยวข้อง

เราได้สมการ (2x - 1)(x - 1) = (3x + 4)(x + 7) ซึ่งเทียบเท่ากับสมการนี้

4. คูณทวินามด้วยทวินามทางซ้ายและขวา แล้วได้สมการต่อไปนี้

5. เราเลื่อนด้านขวาไปทางซ้ายโดยเปลี่ยนเครื่องหมายของแต่ละเทอมเมื่อถ่ายโอนไปยังฝั่งตรงข้าม:

6. ให้เรานำเสนอพจน์ที่คล้ายกันของพหุนาม:

7. ทั้งสองด้านสามารถหารด้วย -1 ได้ เราได้สมการกำลังสอง:

8.เมื่อแก้ได้แล้วเราก็จะพบราก

เนื่องจากในสมการ

ด้านซ้ายและด้านขวาเป็นนิพจน์เศษส่วนและในนิพจน์เศษส่วนสำหรับค่าบางค่าของตัวแปรตัวส่วนสามารถกลายเป็นศูนย์ได้จากนั้นจึงจำเป็นต้องตรวจสอบว่าตัวส่วนร่วมไม่เป็นศูนย์เมื่อพบ x1 และ x2 หรือไม่ .

ที่ x = -27 ตัวส่วนร่วม (x + 7)(x - 1) จะไม่หายไป ที่ x = -1 ตัวส่วนร่วมก็ไม่ใช่ศูนย์เช่นกัน

ดังนั้นทั้งราก -27 และ -1 จึงเป็นรากของสมการ

เมื่อแก้สมการตรรกยะเศษส่วน ควรระบุช่วงของค่าที่ยอมรับได้ในทันที กำจัดค่าเหล่านั้นที่ตัวส่วนร่วมมีค่าเป็นศูนย์

ลองพิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่งของการแก้สมการตรรกยะเศษส่วน

ตัวอย่างเช่น ลองแก้สมการกัน

เราแยกตัวส่วนของเศษส่วนทางด้านขวาของสมการ

เราได้สมการ

ลองหาตัวส่วนร่วมของตัวส่วน (x - 5), x, x(x - 5) กัน

มันจะเป็นนิพจน์ x(x - 5)

ตอนนี้เรามาดูช่วงของค่าที่ยอมรับได้ของสมการกัน

เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ เราให้ตัวส่วนร่วมเท่ากับศูนย์ x(x - 5) = 0

เราได้สมการมา โดยแก้โจทย์โดยพบว่าเมื่อ x = 0 หรือที่ x = 5 ตัวส่วนร่วมจะเป็นศูนย์

ซึ่งหมายความว่า x = 0 หรือ x = 5 ไม่สามารถเป็นรากของสมการได้

คุณสามารถหาตัวคูณเพิ่มเติมได้แล้ว

ตัวประกอบเพิ่มเติมสำหรับเศษส่วนตรรกยะ

ตัวประกอบเพิ่มเติมสำหรับเศษส่วน

จะเป็น (x - 5)

และตัวประกอบเพิ่มเติมของเศษส่วน

เราคูณตัวเศษด้วยปัจจัยเพิ่มเติมที่เกี่ยวข้อง

เราได้สมการ x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5)

ลองเปิดวงเล็บด้านซ้ายและขวา x2 - 3x + x - 5 = x + 5

ย้ายเงื่อนไขจากขวาไปซ้ายโดยเปลี่ยนเครื่องหมายของเงื่อนไขที่ถ่ายโอน:

X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

และหลังจากนำพจน์ที่คล้ายกันมา เราจะได้สมการกำลังสอง x2 - 3x - 10 = 0 เมื่อแก้ได้แล้ว เราจะพบราก x1 = -2; x2 = 5.

แต่เราพบแล้วว่าที่ x = 5 ตัวส่วนร่วม x(x - 5) จะเป็นศูนย์ ดังนั้นรากของสมการของเรา

จะเป็น x = -2

§ 4 สรุปสั้นๆบทเรียน

สิ่งสำคัญที่ต้องจำ:

เมื่อแก้สมการตรรกยะเศษส่วน ให้ดำเนินการดังนี้:

1. ค้นหาตัวส่วนร่วมของเศษส่วนที่อยู่ในสมการ นอกจากนี้ หากสามารถแยกตัวส่วนของเศษส่วนได้ ให้แยกตัวประกอบแล้วหาตัวส่วนร่วม

2. คูณทั้งสองข้างของสมการด้วยตัวส่วนร่วม: หาตัวประกอบเพิ่มเติม คูณตัวเศษด้วยตัวประกอบเพิ่มเติม

3. แก้สมการผลลัพธ์ทั้งหมด

4. กำจัดสิ่งที่ทำให้ตัวส่วนร่วมหายไปจากรากของมัน

รายชื่อวรรณกรรมที่ใช้:

1. Makarychev Yu.N., N.G. Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / เรียบเรียงโดย Telyakovsky S.A. พีชคณิต: หนังสือเรียน. สำหรับเกรด 8 การศึกษาทั่วไป สถาบัน - อ.: การศึกษา, 2556.
2. มอร์ดโควิช เอ.จี. พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8: ในสองส่วน ส่วนที่ 1: หนังสือเรียน เพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบัน - ม.: นีโมซิน.
3. รุรุคิน เอ.เอ็น. การพัฒนาตามบทเรียนในพีชคณิต: ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 - อ.: VAKO, 2010.
4. พีชคณิตเกรด 8: แผนการสอนตามตำราของ Yu.N. มาคารีเชวา, N.G. มินดุ๊ก, K.I. Neshkova, S.B. Suvorova / Auth.-comp. ที.แอล. อาฟานาซิวา แอล.เอ. ตาปิลิน่า. -โวลโกกราด: อาจารย์, 2548.

การแก้สมการด้วยเศษส่วนลองดูตัวอย่าง ตัวอย่างนั้นเรียบง่ายและมีภาพประกอบ ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา คุณจะสามารถเข้าใจได้อย่างเข้าใจมากที่สุด
ตัวอย่างเช่น คุณต้องแก้สมการง่ายๆ x/b + c = d

สมการประเภทนี้เรียกว่าเชิงเส้นเพราะว่า ตัวส่วนประกอบด้วยตัวเลขเท่านั้น

การแก้ปัญหาทำได้โดยการคูณทั้งสองข้างของสมการด้วย b จากนั้นสมการจะอยู่ในรูปแบบ x = b*(d – c) กล่าวคือ ตัวส่วนของเศษส่วนทางด้านซ้ายจะหักล้าง

ตัวอย่างเช่น วิธีแก้สมการเศษส่วน:
x/5+4=9
เราคูณทั้งสองข้างด้วย 5 เราได้:
x+20=45
x=45-20=25

อีกตัวอย่างหนึ่งเมื่อไม่ทราบอยู่ในตัวส่วน:

สมการประเภทนี้เรียกว่าเศษส่วน-ตรรกยะหรือเศษส่วนอย่างง่าย

เราจะแก้สมการเศษส่วนด้วยการกำจัดเศษส่วน หลังจากนั้นสมการนี้ซึ่งส่วนใหญ่มักจะกลายเป็นสมการเชิงเส้นหรือสมการกำลังสองซึ่งสามารถแก้ไขได้ ตามปกติ. คุณเพียงแค่ต้องพิจารณาประเด็นต่อไปนี้:

• ค่าของตัวแปรที่เปลี่ยนตัวส่วนเป็น 0 ไม่สามารถเป็นรากได้
• คุณไม่สามารถหารหรือคูณสมการด้วยนิพจน์ =0 ได้

นี่คือจุดที่แนวคิดของขอบเขตของค่าที่อนุญาต (ADV) มีผลบังคับใช้ - นี่คือค่าของรากของสมการที่สมการสมเหตุสมผล

ดังนั้นเมื่อแก้สมการ จำเป็นต้องค้นหาราก จากนั้นตรวจสอบว่าสอดคล้องกับ ODZ หรือไม่ รากที่ไม่สอดคล้องกับ ODZ ของเราจะถูกแยกออกจากคำตอบ

ตัวอย่างเช่น คุณต้องแก้สมการเศษส่วน:

ตามกฎข้างต้น x ไม่สามารถเป็น = 0 ได้ กล่าวคือ ODZ ในกรณีนี้: x – ค่าใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์

เรากำจัดตัวส่วนโดยการคูณเงื่อนไขทั้งหมดของสมการด้วย x

และเราแก้สมการปกติ

5x – 2x = 1
3x = 1
x = 1/3

คำตอบ: x = 1/3

มาแก้สมการที่ซับซ้อนกว่านี้กันดีกว่า:

ODZ ก็ปรากฏที่นี่เช่นกัน: x -2

เมื่อแก้สมการนี้ เราจะไม่ย้ายทุกอย่างไปด้านใดด้านหนึ่งและนำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วม เราจะคูณทั้งสองข้างของสมการทันทีด้วยนิพจน์ที่จะหักล้างตัวส่วนทั้งหมดพร้อมกัน

หากต้องการลดตัวส่วน คุณต้องคูณด้านซ้ายด้วย x+2 และด้านขวาคูณด้วย 2 ซึ่งหมายความว่าทั้งสองด้านของสมการจะต้องคูณด้วย 2(x+2):

นี่คือการคูณเศษส่วนที่พบบ่อยที่สุด ซึ่งเราได้กล่าวไปแล้วข้างต้น

ลองเขียนสมการเดียวกันแต่ต่างกันเล็กน้อย

ด้านซ้ายลดลง (x+2) และด้านขวา 2 หลังจากการลดลง เราจะได้ค่าปกติ สมการเชิงเส้น:

x = 4 – 2 = 2 ซึ่งสอดคล้องกับ ODZ ของเรา

คำตอบ: x = 2

การแก้สมการด้วยเศษส่วนไม่ยากอย่างที่คิด ในบทความนี้เราได้แสดงสิ่งนี้พร้อมตัวอย่าง หากคุณมีปัญหาใดๆกับ วิธีแก้สมการด้วยเศษส่วนจากนั้นยกเลิกการสมัครในความคิดเห็น

เรามาพูดถึงกันต่อ การแก้สมการ. ในบทความนี้เราจะลงรายละเอียดเกี่ยวกับ สมการตรรกยะและหลักการแก้สมการตรรกยะด้วยตัวแปรตัวเดียว ขั้นแรก เรามาดูกันว่าสมการประเภทใดที่เรียกว่าตรรกยะ ให้คำจำกัดความของสมการตรรกยะตรรกยะทั้งหมดและสมการตรรกยะเศษส่วน และยกตัวอย่าง ต่อไป เราจะได้อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการตรรกยะ และแน่นอน เราจะพิจารณาคำตอบของตัวอย่างทั่วไปพร้อมคำอธิบายที่จำเป็นทั้งหมด

การนำทางหน้า

จากคำจำกัดความที่ระบุไว้ เราจะยกตัวอย่างสมการตรรกยะหลายตัวอย่าง ตัวอย่างเช่น x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, ล้วนเป็นสมการตรรกยะทั้งหมด

จากตัวอย่างที่แสดง เห็นได้ชัดว่าสมการตรรกยะและสมการประเภทอื่นสามารถมีตัวแปรตัวเดียวหรือสอง สาม ฯลฯ ได้ ตัวแปร ในย่อหน้าต่อไปนี้ เราจะพูดถึงการแก้สมการตรรกยะด้วยตัวแปรตัวเดียว การแก้สมการในสองตัวแปรและพวกเขา จำนวนมากสมควรได้รับความสนใจเป็นพิเศษ

นอกจากการหารสมการตรรกยะด้วยจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จักแล้ว ยังแบ่งออกเป็นจำนวนเต็มและเศษส่วนอีกด้วย ให้เราให้คำจำกัดความที่เกี่ยวข้อง

คำนิยาม.

สมการตรรกยะเรียกว่า ทั้งหมดถ้าทั้งด้านซ้ายและด้านขวาเป็นนิพจน์ตรรกยะจำนวนเต็ม

คำนิยาม.

ถ้าอย่างน้อยส่วนหนึ่งของสมการตรรกยะเป็นนิพจน์เศษส่วน สมการดังกล่าวจะถูกเรียก มีเหตุผลเป็นเศษส่วน(หรือตรรกยะเศษส่วน)

เห็นได้ชัดว่าสมการทั้งหมดไม่มีการหารด้วยตัวแปร ในทางกลับกัน สมการตรรกยะเศษส่วนจำเป็นต้องมีการหารด้วยตัวแปร (หรือตัวแปรในตัวส่วน) ดังนั้น 3 x+2=0 และ (x+y)·(3·x 2 −1)+x=−y+0.5– นี่คือสมการตรรกยะทั้งหมด ทั้งสองส่วนเป็นนิพจน์ทั้งหมด A และ x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 เป็นตัวอย่างของสมการตรรกยะเศษส่วน

เมื่อสรุปประเด็นนี้ ให้เราใส่ใจกับข้อเท็จจริงที่ว่าสมการเชิงเส้นและสมการกำลังสองที่ทราบจนถึงจุดนี้เป็นสมการตรรกยะทั้งหมด

การแก้สมการทั้งหมด

วิธีหลักวิธีหนึ่งในการแก้สมการทั้งหมดคือการลดสมการให้เท่ากัน สมการพีชคณิต. ซึ่งสามารถทำได้เสมอโดยทำการแปลงสมการที่เทียบเท่าต่อไปนี้:

• ขั้นแรก นิพจน์จากด้านขวาของสมการจำนวนเต็มดั้งเดิมจะถูกถ่ายโอนไปยังด้านซ้ายโดยมีเครื่องหมายตรงข้ามเพื่อให้ได้ศูนย์ทางด้านขวา
• หลังจากนั้นทางด้านซ้ายของสมการจะได้ผลลัพธ์ มุมมองมาตรฐาน.

ผลลัพธ์ก็คือ สมการพีชคณิตซึ่งเทียบเท่ากับสมการจำนวนเต็มดั้งเดิม ดังนั้นอย่างมากที่สุด กรณีง่ายๆการแก้สมการทั้งหมดช่วยลดการแก้สมการเชิงเส้นหรือสมการกำลังสอง และในกรณีทั่วไปคือการแก้สมการพีชคณิตระดับ n เพื่อความชัดเจน มาดูวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างกัน

ตัวอย่าง.

ค้นหารากของสมการทั้งหมด 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.

สารละลาย.

ให้เราลดคำตอบของสมการทั้งหมดนี้ลงเหลือเพียงคำตอบของสมการพีชคณิตที่เทียบเท่ากัน ในการทำสิ่งนี้ ประการแรก เราถ่ายโอนนิพจน์จากด้านขวาไปด้านซ้าย ด้วยเหตุนี้เราจึงได้สมการ 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. และประการที่สอง เราแปลงนิพจน์ที่เกิดขึ้นทางด้านซ้ายให้เป็นพหุนามรูปแบบมาตรฐานโดยกรอกสิ่งที่จำเป็น: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. ดังนั้นการแก้สมการจำนวนเต็มดั้งเดิมจึงลดลงเหลือคำตอบ สมการกำลังสอง x 2 −5 x−6=0 .

เราคำนวณการเลือกปฏิบัติ D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49มันเป็นค่าบวก ซึ่งหมายความว่าสมการนั้นมีรากจำนวนจริงสองตัว ซึ่งเราพบโดยใช้สูตรสำหรับรากของสมการกำลังสอง:

เพื่อความแน่ใจ เรามาทำกันเลย ตรวจสอบรากที่พบของสมการ. ขั้นแรกเราตรวจสอบรูท 6 แล้วแทนที่มันแทนตัวแปร x ในสมการจำนวนเต็มดั้งเดิม: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3ซึ่งก็เหมือนกัน 63=63 นี่คือสมการตัวเลขที่ถูกต้อง ดังนั้น x=6 จึงเป็นรากของสมการ ตอนนี้เราตรวจสอบรูต −1 แล้ว เรามี 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3จากที่ไหน 0=0 . เมื่อ x=−1 สมการดั้งเดิมจะเปลี่ยนเป็นความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่ถูกต้อง ดังนั้น x=−1 จึงเป็นรากของสมการด้วย

คำตอบ:

6 , −1 .

ควรสังเกตด้วยว่าคำว่า "ระดับของสมการทั้งหมด" มีความเกี่ยวข้องกับการเป็นตัวแทนของสมการทั้งหมดในรูปแบบของสมการพีชคณิต ให้เราให้คำจำกัดความที่เกี่ยวข้อง:

คำนิยาม.

พลังของสมการทั้งหมดเรียกว่าดีกรีของสมการพีชคณิตที่เทียบเท่า

ตามคำจำกัดความนี้ สมการทั้งหมดจากตัวอย่างที่แล้วมีดีกรีที่สอง

นี่อาจเป็นจุดสิ้นสุดของการแก้สมการตรรกยะทั้งหมด หากไม่ใช่เพื่อสิ่งเดียว…. ดังที่ทราบกันดีว่าการแก้สมการพีชคณิตระดับที่สูงกว่าระดับที่สองนั้นสัมพันธ์กับปัญหาที่สำคัญและสำหรับสมการระดับที่สูงกว่าระดับที่สี่นั้นไม่มี สูตรทั่วไปราก. ดังนั้น ในการแก้สมการทั้งหมดขององศาที่ 3, 4 และสูงกว่า จึงมักจำเป็นต้องใช้วิธีการแก้ปัญหาอื่น

ในกรณีเช่นนี้เป็นแนวทางในการแก้สมการตรรกยะทั้งหมดโดยยึดตาม วิธีการแยกตัวประกอบ. ในกรณีนี้ จะปฏิบัติตามอัลกอริทึมต่อไปนี้:

• ขั้นแรก ต้องแน่ใจว่ามีศูนย์ทางด้านขวาของสมการ โดยจะย้ายนิพจน์จากด้านขวาของสมการทั้งหมดไปทางซ้าย
• จากนั้น นิพจน์ผลลัพธ์ทางด้านซ้ายจะแสดงเป็นผลคูณของปัจจัยหลายประการ ซึ่งช่วยให้เราสามารถไปยังชุดสมการที่ง่ายกว่าหลายชุดได้

อัลกอริธึมที่กำหนดสำหรับการแก้สมการทั้งหมดผ่านการแยกตัวประกอบจำเป็นต้องมีคำอธิบายโดยละเอียดโดยใช้ตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

แก้สมการทั้งหมด (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

สารละลาย.

ขั้นแรก ตามปกติ เราถ่ายโอนนิพจน์จากด้านขวาไปด้านซ้ายของสมการ โดยไม่ลืมเปลี่ยนเครื่องหมาย เราได้ (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . เห็นได้ชัดว่าไม่แนะนำให้แปลงด้านซ้ายมือของสมการผลลัพธ์ให้เป็นพหุนามของรูปแบบมาตรฐาน เนื่องจากจะให้สมการพีชคณิตระดับที่สี่ของรูปแบบ x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0ซึ่งทางแก้ไขก็ยาก

ในทางกลับกัน เห็นได้ชัดว่าทางด้านซ้ายของสมการผลลัพธ์ที่เราสามารถทำได้ x 2 −10 x+13 ดังนั้นจึงนำเสนอเป็นผลิตภัณฑ์ เรามี (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. สมการที่ได้จะเทียบเท่ากับสมการทั้งหมดดั้งเดิม และในทางกลับกัน สามารถถูกแทนที่ด้วยชุดสมการกำลังสองสองตัว x 2 −10·x+13=0 และ x 2 −2·x−1=0 การค้นหารากโดยใช้สูตรรากที่รู้จักผ่านการแยกแยะนั้นไม่ใช่เรื่องยาก รากนั้นเท่ากัน พวกมันคือรากที่ต้องการของสมการดั้งเดิม

คำตอบ:

ยังมีประโยชน์สำหรับการแก้สมการตรรกยะทั้งหมดอีกด้วย วิธีการแนะนำตัวแปรใหม่. ในบางกรณี ช่วยให้คุณสามารถย้ายไปยังสมการที่มีดีกรีต่ำกว่าดีกรีของสมการทั้งหมดเดิมได้

ตัวอย่าง.

ค้นหารากที่แท้จริงของสมการตรรกยะ (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

สารละลาย.

การลดสมการตรรกยะทั้งหมดนี้ให้เป็นสมการพีชคณิต หากพูดแบบเบาๆ ไม่ใช่ความคิดที่ดี เนื่องจากในกรณีนี้ เราจะต้องแก้สมการระดับที่ 4 ที่ไม่มีรากที่เป็นตรรกยะ ดังนั้นคุณจะต้องมองหาวิธีแก้ปัญหาอื่น

จะเห็นได้ง่ายว่าคุณสามารถแนะนำตัวแปรใหม่ y และแทนที่นิพจน์ x 2 +3·x ด้วยตัวแปรนั้น การแทนที่นี้นำเราไปสู่สมการทั้งหมด (y+1) 2 +10=−2·(y−4) ซึ่งหลังจากย้ายนิพจน์ −2·(y−4) ไปทางซ้ายและการเปลี่ยนแปลงนิพจน์ในภายหลัง ที่เกิดขึ้นตรงนั้น ลดลงเหลือสมการกำลังสอง y 2 +4·y+3=0 รากของสมการนี้ y=−1 และ y=−3 หาได้ง่าย เช่น สามารถเลือกได้โดยอิงตามทฤษฎีบทที่ผกผันกับทฤษฎีบทของเวียตา

ตอนนี้เราไปยังส่วนที่สองของวิธีการแนะนำตัวแปรใหม่ ซึ่งก็คือ การดำเนินการแทนที่แบบย้อนกลับ หลังจากดำเนินการทดแทนแบบย้อนกลับ เราจะได้สมการสองสมการ x 2 +3 x=−1 และ x 2 +3 x=−3 ซึ่งสามารถเขียนใหม่เป็น x 2 +3 x+1=0 และ x 2 +3 x+3 =0 . เมื่อใช้สูตรหารากของสมการกำลังสอง เราจะหารากของสมการแรกได้ และสมการกำลังสองที่สองไม่มีรากที่แท้จริง เนื่องจากการแบ่งแยกของมันคือลบ (D=3 2 −4·3=9−12=−3 )

คำตอบ:

โดยทั่วไป เมื่อเราจัดการกับสมการระดับสูงทั้งหมด เราต้องเตรียมพร้อมเสมอที่จะค้นหาวิธีการที่ไม่ได้มาตรฐานหรือเทคนิคเทียมในการแก้ปัญหาเหล่านั้น

การแก้สมการตรรกยะเศษส่วน

ประการแรก มันจะมีประโยชน์ที่จะเข้าใจวิธีการแก้สมการตรรกยะเศษส่วนของรูปแบบ โดยที่ p(x) และ q(x) เป็นนิพจน์ตรรกศาสตร์จำนวนเต็ม จากนั้นเราจะแสดงวิธีลดคำตอบของสมการตรรกยะเศษส่วนอื่น ๆ ให้เป็นคำตอบของสมการประเภทที่ระบุ

วิธีหนึ่งในการแก้สมการขึ้นอยู่กับข้อความต่อไปนี้: เศษส่วนที่เป็นตัวเลข u/v โดยที่ v เป็นจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ (ไม่เช่นนั้นเราจะพบ ซึ่งไม่ได้กำหนดไว้) จะเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อตัวเศษของมันคือ เท่ากับศูนย์ ถ้าเช่นนั้น u=0 ก็คือเท่านั้น จากข้อความนี้ การแก้สมการจะลดลงจนเป็นไปตามเงื่อนไขสองข้อ p(x)=0 และ q(x)≠0

ข้อสรุปนี้สอดคล้องกับสิ่งต่อไปนี้ อัลกอริธึมสำหรับการแก้สมการตรรกยะเศษส่วน. ในการแก้สมการตรรกยะเศษส่วนของแบบฟอร์ม คุณต้องมี

• แก้สมการตรรกยะทั้งหมด p(x)=0 ;
• และตรวจสอบว่าเงื่อนไข q(x)≠0 เป็นไปตามแต่ละรูทที่พบหรือไม่
• ถ้าเป็นจริง รากนี้ก็คือรากของสมการดั้งเดิม
• หากไม่พอใจแสดงว่ารากนี้ไม่เกี่ยวข้องนั่นคือไม่ใช่รากของสมการดั้งเดิม

ลองดูตัวอย่างการใช้อัลกอริธึมที่ประกาศเมื่อแก้สมการตรรกยะเศษส่วน

ตัวอย่าง.

ค้นหารากของสมการ

สารละลาย.

นี่คือสมการตรรกยะเศษส่วนในรูปแบบ โดยที่ p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0

ตามอัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการตรรกยะเศษส่วนประเภทนี้ เราต้องแก้สมการ 3 x−2=0 ก่อน นี่คือสมการเชิงเส้นที่มีรากเป็น x=2/3

ยังคงต้องตรวจสอบรูทนี้นั่นคือตรวจสอบว่าเป็นไปตามเงื่อนไข 5 x 2 −2≠0 หรือไม่ เราแทนตัวเลข 2/3 ลงในนิพจน์ 5 x 2 −2 แทน x และเราได้ เป็นไปตามเงื่อนไข ดังนั้น x=2/3 จึงเป็นรากของสมการดั้งเดิม

คำตอบ:

2/3 .

คุณสามารถแก้สมการตรรกยะเศษส่วนได้จากตำแหน่งที่ต่างออกไปเล็กน้อย สมการนี้เทียบเท่ากับสมการจำนวนเต็ม p(x)=0 บนตัวแปร x ของสมการดั้งเดิม นั่นคือคุณสามารถยึดติดกับสิ่งนี้ได้ อัลกอริธึมสำหรับการแก้สมการตรรกยะเศษส่วน :

• แก้สมการ p(x)=0 ;
• ค้นหา ODZ ของตัวแปร x;
• หารากที่อยู่ในขอบเขตของค่าที่ยอมรับได้ - เป็นรากที่ต้องการของสมการตรรกยะเศษส่วนดั้งเดิม

ตัวอย่างเช่น ลองแก้สมการเศษส่วนโดยใช้อัลกอริทึมนี้

ตัวอย่าง.

แก้สมการ

สารละลาย.

ขั้นแรก เราแก้สมการกำลังสอง x 2 −2·x−11=0 รากของมันสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรรากสำหรับสัมประสิทธิ์ที่สองคู่ที่เรามี ง 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12, และ .

ประการที่สอง เราค้นหา ODZ ของตัวแปร x สำหรับสมการดั้งเดิม ประกอบด้วยตัวเลขทั้งหมดที่ x 2 +3·x≠0 ซึ่งเหมือนกับ x·(x+3)≠0 โดยที่ x≠0, x≠−3

ยังคงต้องตรวจสอบว่ารากที่พบในขั้นตอนแรกรวมอยู่ใน ODZ หรือไม่ เห็นได้ชัดว่าใช่ ดังนั้น สมการเศษส่วนดั้งเดิมจึงมีรากอยู่ 2 ราก

คำตอบ:

โปรดทราบว่าแนวทางนี้จะทำกำไรได้มากกว่าวิธีแรกหาก ODZ หาได้ง่าย และมีประโยชน์อย่างยิ่งหากรากของสมการ p(x) = 0 นั้นไม่มีเหตุผล เช่น หรือเป็นตรรกยะ แต่มีตัวเศษค่อนข้างมากและ /หรือตัวส่วน เช่น 127/1101 และ −31/59 เนื่องจากในกรณีดังกล่าว การตรวจสอบเงื่อนไข q(x)≠0 จะต้องใช้ความพยายามในการคำนวณอย่างมาก และเป็นการง่ายกว่าที่จะแยกรากที่ไม่เกี่ยวข้องโดยใช้ ODZ

ในกรณีอื่นๆ เมื่อแก้สมการ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อรากของสมการ p(x) = 0 เป็นจำนวนเต็ม จะมีประโยชน์มากกว่าหากใช้อัลกอริธึมตัวแรกที่ให้มา นั่นคือขอแนะนำให้ค้นหารากของสมการทั้งหมดทันที p(x)=0 จากนั้นตรวจสอบว่าเงื่อนไข q(x)≠0 เป็นไปตามเงื่อนไขหรือไม่ แทนที่จะค้นหา ODZ แล้วจึงแก้สมการ p(x)=0 บน ODZ นี้ เนื่องจากในกรณีเช่นนี้ โดยปกติแล้วการตรวจสอบจะง่ายกว่าการค้นหา DZ

ให้เราพิจารณาวิธีแก้ปัญหาของสองตัวอย่างเพื่อแสดงให้เห็นความแตกต่างที่ระบุ

ตัวอย่าง.

ค้นหารากของสมการ

สารละลาย.

ก่อนอื่น มาหารากของสมการทั้งหมดกันก่อน (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0แต่งโดยใช้ตัวเศษของเศษส่วน ด้านซ้ายของสมการนี้คือผลคูณ และด้านขวาเป็นศูนย์ ดังนั้น ตามวิธีการแก้สมการผ่านการแยกตัวประกอบ สมการนี้จะเทียบเท่ากับชุดของสมการสี่ตัว 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . สมการทั้งสามนี้เป็นสมการเชิงเส้นและอีกสมการหนึ่งเป็นกำลังสอง เราแก้มันได้ จากสมการแรกเราพบ x=1/2 จากสมการที่สอง - x=6 จากสมการที่สาม - x=7, x=−2 จากสมการที่สี่ - x=−1

เมื่อค้นพบรากแล้ว มันค่อนข้างง่ายที่จะตรวจสอบว่าตัวหารของเศษส่วนทางด้านซ้ายของสมการดั้งเดิมหายไปหรือไม่ แต่การกำหนด ODZ ตรงกันข้ามนั้นไม่ใช่เรื่องง่าย เพราะสำหรับสิ่งนี้ คุณจะต้องแก้ สมการพีชคณิตระดับที่ห้า ดังนั้นเราจะละทิ้งการค้นหา ODZ เพื่อไปตรวจสอบราก ในการดำเนินการนี้ เราจะแทนที่ทีละรายการแทนตัวแปร x ในนิพจน์ x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112ได้รับหลังจากการแทนที่ และเปรียบเทียบกับศูนย์: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

ดังนั้น 1/2, 6 และ −2 จึงเป็นรากที่ต้องการของสมการตรรกยะเศษส่วนดั้งเดิม และ 7 และ −1 จึงเป็นรากที่ไม่เกี่ยวข้อง

คำตอบ:

1/2 , 6 , −2 .

ตัวอย่าง.

ค้นหารากของสมการตรรกยะเศษส่วน

สารละลาย.

ก่อนอื่น เรามาค้นหารากของสมการกันก่อน (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. สมการนี้เทียบเท่ากับชุดของสมการสองชุด: กำลังสอง 5 x 2 −7 x−1=0 และเชิงเส้น x−2=0 เมื่อใช้สูตรหารากของสมการกำลังสอง เราจะพบราก 2 อัน และจากสมการที่สองเราจะได้ x=2

การตรวจสอบว่าตัวส่วนไปที่ศูนย์ที่ค่าที่พบของ x หรือไม่นั้นค่อนข้างไม่เป็นที่พอใจ และการกำหนดช่วงของค่าที่อนุญาตของตัวแปร x ในสมการดั้งเดิมนั้นค่อนข้างง่าย ดังนั้นเราจะดำเนินการผ่าน ODZ

ในกรณีของเรา ODZ ของตัวแปร x ของสมการเศษส่วนดั้งเดิมประกอบด้วยตัวเลขทั้งหมด ยกเว้นจำนวนที่ตรงตามเงื่อนไข x 2 +5·x−14=0 รากของสมการกำลังสองนี้คือ x=−7 และ x=2 ซึ่งเราได้ข้อสรุปเกี่ยวกับ ODZ: ประกอบด้วย x ทั้งหมดในลักษณะที่

ยังคงต้องตรวจสอบว่ารากที่พบและ x=2 อยู่ในช่วงของค่าที่ยอมรับได้หรือไม่ รากจึงอยู่ในสมการเดิม ดังนั้น x=2 จึงไม่อยู่ในสมการเดิม ดังนั้น รากจึงเป็นรากที่ไม่เกี่ยวข้อง

คำตอบ:

นอกจากนี้ยังจะมีประโยชน์หากแยกกันในกรณีที่เมื่อตัวเลขอยู่ในตัวเศษในสมการเศษส่วนของรูปแบบนั่นคือเมื่อ p(x) แทนด้วยตัวเลขบางตัว โดยที่

• ถ้าจำนวนนี้ไม่ใช่ศูนย์ สมการก็ไม่มีราก เนื่องจากเศษส่วนเท่ากับศูนย์ ถ้าหากตัวเศษเท่ากับศูนย์เท่านั้น
• ถ้าตัวเลขนี้เป็นศูนย์ รากของสมการจะเป็นตัวเลขใดๆ จาก ODZ

ตัวอย่าง.

สารละลาย.

เนื่องจากตัวเศษของเศษส่วนทางด้านซ้ายของสมการมีจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นค่า x ใดๆ ของเศษส่วนนี้จึงไม่สามารถเท่ากับศูนย์ได้ ดังนั้นสมการนี้จึงไม่มีราก

คำตอบ:

ไม่มีราก

ตัวอย่าง.

แก้สมการ

สารละลาย.

ตัวเศษของเศษส่วนทางด้านซ้ายของสมการเศษส่วนนี้มีศูนย์ ดังนั้นค่าของเศษส่วนนี้จึงเป็นศูนย์สำหรับค่า x ใดๆ ที่สมเหตุสมผล กล่าวอีกนัยหนึ่ง การแก้สมการนี้คือค่า x ใดๆ จาก ODZ ของตัวแปรนี้

ยังคงต้องกำหนดช่วงของค่าที่ยอมรับได้นี้ รวมค่าทั้งหมดของ x ซึ่ง x 4 +5 x 3 ≠0 ผลเฉลยของสมการ x 4 +5 x 3 =0 คือ 0 และ −5 เนื่องจากสมการนี้เทียบเท่ากับสมการ x 3 (x+5)=0 และในทางกลับกัน จะเท่ากับการรวมกันของสองสมการ x 3 =0 และ x +5=0 จากจุดที่มองเห็นรากเหล่านี้ได้ ดังนั้นช่วงของค่าที่ยอมรับได้ที่ต้องการคือ x ใดๆ ยกเว้น x=0 และ x=−5

ดังนั้น สมการตรรกยะเศษส่วนจึงมีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน ซึ่งเป็นตัวเลขใดๆ ก็ได้ยกเว้นศูนย์และลบห้า

คำตอบ:

ในที่สุดก็ถึงเวลาพูดคุยเกี่ยวกับการแก้สมการตรรกยะเศษส่วนในรูปแบบใดก็ได้ สามารถเขียนเป็น r(x)=s(x) โดยที่ r(x) และ s(x) เป็นนิพจน์ที่เป็นตรรกยะ และอย่างน้อยหนึ่งในนั้นเป็นนิพจน์ที่เป็นเศษส่วน เมื่อมองไปข้างหน้า สมมติว่าวิธีแก้ปัญหามาจากการแก้สมการในรูปแบบที่เราคุ้นเคยอยู่แล้ว

เป็นที่ทราบกันดีว่าการถ่ายโอนพจน์จากส่วนหนึ่งของสมการไปยังอีกส่วนหนึ่งที่มีเครื่องหมายตรงกันข้ามจะทำให้เกิดสมการที่เท่ากัน ดังนั้นสมการ r(x)=s(x) จึงเทียบเท่ากับสมการ r(x)−s(x )=0.

เรายังรู้ด้วยว่าค่าใดๆ ที่เท่ากับนิพจน์นี้เป็นไปได้ ดังนั้น เราจึงสามารถแปลงนิพจน์ตรรกยะทางด้านซ้ายของสมการ r(x)−s(x)=0 ให้เป็นเศษส่วนตรรกยะที่เท่ากันของรูปแบบได้เสมอ

ดังนั้นเราจึงย้ายจากสมการตรรกยะเศษส่วนแบบเดิม r(x)=s(x) ไปเป็นสมการ และผลเฉลยของสมการดังที่เราพบข้างต้น จะลดลงเป็นการแก้สมการ p(x)=0

แต่ที่นี่มีความจำเป็นต้องคำนึงถึงความจริงที่ว่าเมื่อแทนที่ r(x)−s(x)=0 ด้วย และจากนั้นด้วย p(x)=0 ช่วงของค่าที่อนุญาตของตัวแปร x อาจขยายได้ .

ด้วยเหตุนี้ สมการดั้งเดิม r(x)=s(x) และสมการ p(x)=0 ที่เรามาถึงอาจไม่เท่ากัน และโดยการแก้สมการ p(x)=0 เราก็สามารถหารากได้ นั่นจะเป็นรากที่ไม่เกี่ยวข้องของสมการดั้งเดิม r(x)=s(x) คุณสามารถระบุและไม่รวมรากที่ไม่เกี่ยวข้องในคำตอบได้โดยการตรวจสอบหรือตรวจสอบว่ารากเหล่านั้นเป็นของ ODZ ของสมการดั้งเดิม

มาสรุปข้อมูลนี้ใน อัลกอริธึมสำหรับการแก้สมการตรรกยะเศษส่วน r(x)=s(x). ในการแก้สมการตรรกยะเศษส่วน r(x)=s(x) คุณจำเป็นต้อง

• รับศูนย์ทางด้านขวาโดยย้ายนิพจน์จากด้านขวาด้วยเครื่องหมายตรงข้าม
• ดำเนินการกับเศษส่วนและพหุนามทางด้านซ้ายของสมการ เพื่อแปลงให้เป็นเศษส่วนตรรกยะของรูปแบบ
• แก้สมการ p(x)=0
• ระบุและกำจัดรากที่ไม่เกี่ยวข้อง ซึ่งทำได้โดยการแทนที่รากเหล่านั้นลงในสมการดั้งเดิม หรือโดยการตรวจสอบว่าเป็นของ ODZ ของสมการดั้งเดิม

เพื่อความชัดเจนยิ่งขึ้น เราจะแสดงห่วงโซ่การแก้สมการตรรกยะเศษส่วนทั้งหมด:
.

เรามาดูวิธีแก้ปัญหาหลาย ๆ ตัวอย่างด้วย คำอธิบายโดยละเอียดความคืบหน้าของการแก้ปัญหาเพื่อชี้แจงกลุ่มข้อมูลที่กำหนด

ตัวอย่าง.

แก้สมการตรรกยะเศษส่วน

สารละลาย.

เราจะดำเนินการตามอัลกอริทึมการแก้ปัญหาที่เพิ่งได้รับ ก่อนอื่น เราย้ายเทอมจากด้านขวาของสมการไปทางซ้าย แล้วจึงไปที่สมการ

ในขั้นตอนที่สอง เราต้องแปลงนิพจน์เศษส่วนทางด้านซ้ายของสมการที่ได้ให้อยู่ในรูปเศษส่วน ในการทำเช่นนี้ เราจะลดเศษส่วนที่เป็นตรรกยะให้เป็นตัวส่วนร่วมและลดความซับซ้อนของนิพจน์ผลลัพธ์: . เราก็เลยมาถึงสมการ

ในขั้นตอนถัดไป เราต้องแก้สมการ −2·x−1=0 เราพบ x=−1/2

ยังคงต้องตรวจสอบว่าตัวเลขที่พบ −1/2 ไม่ใช่รากที่ไม่เกี่ยวข้องของสมการดั้งเดิมหรือไม่ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณสามารถตรวจสอบหรือค้นหา VA ของตัวแปร x ของสมการดั้งเดิมได้ เรามาสาธิตทั้งสองแนวทางกัน

เริ่มต้นด้วยการตรวจสอบ เราแทนตัวเลข −1/2 ลงในสมการดั้งเดิมแทนที่จะเป็นตัวแปร x และเราได้สิ่งเดียวกันคือ −1=−1 การทดแทนให้ความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง ดังนั้น x=−1/2 จึงเป็นรากของสมการดั้งเดิม

ตอนนี้เราจะแสดงให้เห็นว่าจุดสุดท้ายของอัลกอริทึมดำเนินการผ่าน ODZ อย่างไร ช่วงของค่าที่อนุญาตของสมการดั้งเดิมคือเซตของตัวเลขทั้งหมดยกเว้น −1 และ 0 (ที่ x=−1 และ x=0 ตัวส่วนของเศษส่วนจะหายไป) ราก x=−1/2 ที่พบในขั้นตอนก่อนหน้าเป็นของ ODZ ดังนั้น x=−1/2 จึงเป็นรากของสมการดั้งเดิม

คำตอบ:

−1/2 .

ลองดูอีกตัวอย่างหนึ่ง

ตัวอย่าง.

ค้นหารากของสมการ

สารละลาย.

เราจำเป็นต้องแก้สมการเศษส่วน มาดูขั้นตอนทั้งหมดของอัลกอริทึมกันดีกว่า

ขั้นแรก เราย้ายเทอมจากด้านขวาไปทางซ้าย เราจะได้

ประการที่สอง เราแปลงนิพจน์ที่เกิดขึ้นทางด้านซ้าย: . ผลลัพธ์ที่ได้คือสมการ x=0

รากของมันชัดเจน - เป็นศูนย์

ในขั้นตอนที่สี่ ยังคงต้องค้นหาว่ารากที่พบนั้นไม่เกี่ยวข้องกับสมการตรรกยะเศษส่วนดั้งเดิมหรือไม่ เมื่อแทนค่าลงในสมการเดิม จะได้นิพจน์ออกมา แน่นอนว่ามันไม่สมเหตุสมผลเพราะมันมีการหารด้วยศูนย์ เมื่อเราสรุปได้ว่า 0 เป็นรากที่ไม่เกี่ยวข้อง ดังนั้นสมการดั้งเดิมจึงไม่มีราก

7 ซึ่งนำไปสู่สมการ จากนี้เราสามารถสรุปได้ว่าการแสดงออกในตัวส่วนของด้านซ้ายจะต้องเท่ากับของด้านขวานั่นคือ . ตอนนี้เราลบออกจากทั้งสองด้านของสาม: . โดยการเปรียบเทียบจากที่ไหนและต่อไป

การตรวจสอบแสดงให้เห็นว่ารากทั้งสองที่พบเป็นรากของสมการตรรกยะเศษส่วนดั้งเดิม

คำตอบ:

บรรณานุกรม.

• พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับเกรด 8 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / [ย. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; แก้ไขโดย เอส.เอ. เทลยาคอฟสกี้ - ฉบับที่ 16 - อ.: การศึกษา, 2551. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019243-9.
• มอร์ดโควิช เอ.จี.พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ใน 2 ชั่วโมง ตอนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับนักศึกษาสถาบันการศึกษาทั่วไป / A. G. Mordkovich - ฉบับที่ 11 ลบแล้ว. - อ.: Mnemosyne, 2552. - 215 น.: ป่วย ไอ 978-5-346-01155-2.
• พีชคณิต:ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9: การศึกษา เพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบัน / [ย. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; แก้ไขโดย เอส.เอ. เทลยาคอฟสกี้ - ฉบับที่ 16 - อ.: การศึกษา, 2552. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-021134-5.

« สมการตรรกยะที่มีพหุนาม" เป็นหนึ่งในหัวข้อที่พบบ่อยที่สุดในการทดสอบ งานสอบ Unified Stateคณิตศาสตร์. ด้วยเหตุนี้จึงคุ้มค่าที่จะทำซ้ำ เอาใจใส่เป็นพิเศษ. นักเรียนหลายคนต้องเผชิญกับปัญหาในการค้นหาการเลือกปฏิบัติ การโอนตัวบ่งชี้จากด้านขวาไปด้านซ้าย และนำสมการมาสู่ตัวส่วนร่วม ซึ่งเป็นสาเหตุที่ทำให้งานดังกล่าวเสร็จสมบูรณ์ทำให้เกิดปัญหา การแก้สมการตรรกยะเพื่อเตรียมสอบ Unified State บนเว็บไซต์ของเราจะช่วยให้คุณรับมือกับปัญหาที่ซับซ้อนได้อย่างรวดเร็วและผ่านการทดสอบด้วยสีที่บินได้

เลือกพอร์ทัลการศึกษา Shkolkovo เพื่อเตรียมความพร้อมสำหรับการสอบคณิตศาสตร์แบบครบวงจร!

เพื่อทราบกฎเกณฑ์ในการคำนวณสิ่งแปลกปลอมและรับได้ง่าย ผลลัพธ์ที่ถูกต้องใช้บริการออนไลน์ของเรา พอร์ทัล Shkolkovo เป็นแพลตฟอร์มที่ไม่เหมือนใครซึ่งมีทุกสิ่งที่จำเป็นในการเตรียมตัว สื่อการสอบ Unified State. ครูของเราจัดระบบและนำเสนอกฎทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดในรูปแบบที่เข้าใจได้ นอกจากนี้เรายังเชิญชวนให้เด็กนักเรียนลองใช้มือของพวกเขาในการแก้สมการตรรกยะมาตรฐานซึ่งเป็นพื้นฐานที่ได้รับการปรับปรุงและขยายอย่างต่อเนื่อง

เพื่อการเตรียมการทดสอบที่มีประสิทธิภาพยิ่งขึ้น เราขอแนะนำให้ปฏิบัติตามวิธีการพิเศษของเรา และเริ่มต้นด้วยการทำซ้ำกฎและวิธีแก้ปัญหา งานง่ายๆค่อย ๆ ไปสู่สิ่งที่ซับซ้อนมากขึ้น ดังนั้นผู้สำเร็จการศึกษาจะสามารถโดดเด่นให้กับตัวเองได้มากที่สุด หัวข้อที่ยากลำบากและมุ่งความสนใจไปที่การศึกษาสิ่งเหล่านั้น

เริ่มเตรียมตัวสำหรับการทดสอบครั้งสุดท้ายกับ Shkolkovo วันนี้ แล้วผลลัพธ์จะมาในอีกไม่นาน! เลือกตัวอย่างที่ง่ายที่สุดจากตัวอย่างที่ให้มา หากคุณเชี่ยวชาญสำนวนนี้อย่างรวดเร็ว ให้ทำต่อเพิ่มเติม งานที่ยากลำบาก. วิธีนี้จะทำให้คุณสามารถพัฒนาความรู้ของคุณจนถึงขั้นแก้ไขงาน USE ในวิชาคณิตศาสตร์ในระดับเฉพาะทางได้

การฝึกอบรมไม่เพียงมีให้สำหรับผู้สำเร็จการศึกษาจากมอสโกเท่านั้น แต่ยังรวมถึงเด็กนักเรียนจากเมืองอื่นด้วย ใช้เวลาสองสามชั่วโมงต่อวันศึกษาบนพอร์ทัลของเรา และในไม่ช้าคุณจะสามารถรับมือกับสมการที่ซับซ้อนได้!