ปิรามิดจัตุรมุขปกติ ปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมในโจทย์ C2

คุณจะพบข้อมูลพื้นฐานเกี่ยวกับปิรามิด รวมถึงสูตรและแนวคิดที่เกี่ยวข้องได้ที่นี่ ทั้งหมดเรียนกับครูสอนคณิตศาสตร์เพื่อเตรียมพร้อมสำหรับการสอบ Unified State

พิจารณาระนาบหรือรูปหลายเหลี่ยม นอนอยู่ในนั้นและมีจุด S ไม่ใช่นอนอยู่ในนั้น ลองเชื่อมต่อ S กับจุดยอดทั้งหมดของรูปหลายเหลี่ยม รูปทรงหลายเหลี่ยมที่เกิดขึ้นเรียกว่าปิรามิด ส่วนนี้เรียกว่าซี่โครงด้านข้าง รูปหลายเหลี่ยมเรียกว่าฐาน และจุด S คือจุดยอดของปิรามิด พีระมิดนี้เรียกว่าสามเหลี่ยม (n=3) รูปสี่เหลี่ยม (n=4) รูปห้าเหลี่ยม (n=5) และอื่นๆ ขึ้นอยู่กับจำนวน n ชื่อทางเลือก ปิรามิดสามเหลี่ยม – จัตุรมุข. ความสูงของปิรามิดนั้นตั้งฉากจากบนลงล่างถึงระนาบของฐาน

ปิรามิดเรียกว่าปกติถ้า รูปหลายเหลี่ยมปกติและฐานของความสูงของปิระมิด (ฐานตั้งฉาก) เป็นจุดศูนย์กลาง

ความเห็นของอาจารย์:
อย่าสับสนระหว่างแนวคิดของ "ปิรามิดปกติ" และ "จัตุรมุขปกติ" ในปิรามิดปกติ ขอบด้านข้างไม่จำเป็นต้องเท่ากับขอบของฐาน แต่ในพีระมิดทรงสี่หน้าปกติ ขอบทั้ง 6 ด้านจะเท่ากัน นี่คือคำจำกัดความของเขา เป็นเรื่องง่ายที่จะพิสูจน์ว่าความเท่าเทียมกันบ่งบอกว่าจุดศูนย์กลาง P ของรูปหลายเหลี่ยมเกิดขึ้นพร้อมกัน ด้วยความสูงฐาน ดังนั้นจัตุรมุขปกติจึงเป็นปิรามิดปกติ

ระยะกึ่งกลางคืออะไร?
เส้นกึ่งกลางของพีระมิดคือความสูงของหน้าด้านข้าง ถ้าปิรามิดเป็นแบบปกติ เส้นตั้งฉากทุกด้านจะเท่ากัน กลับไม่เป็นความจริง

ครูสอนคณิตศาสตร์เกี่ยวกับคำศัพท์ของเขา: 80% ของงานเกี่ยวกับปิรามิดถูกสร้างขึ้นจากสามเหลี่ยมสองประเภท:
1) ประกอบด้วยอะโพเทม SK และส่วนสูง SP
2) บรรจุ ซี่โครงด้านข้าง SA และการฉายภาพ PA

เพื่อให้การอ้างอิงถึงสามเหลี่ยมเหล่านี้ง่ายขึ้น จะสะดวกกว่าสำหรับครูสอนคณิตศาสตร์ที่จะเรียกรูปสามเหลี่ยมอันแรก ไม่ดีเลยและประการที่สอง กระดูกซี่โครง. น่าเสียดายที่คุณจะไม่พบคำศัพท์นี้ในตำราเรียนเล่มใด และครูต้องแนะนำคำศัพท์เพียงฝ่ายเดียว

สูตรปริมาตรของปิรามิด:
1) โดยที่คือพื้นที่ฐานของปิรามิดและความสูงของปิรามิด
2) โดยที่ คือรัศมีของทรงกลมที่ถูกจารึกไว้ และเป็นพื้นที่ เต็มพื้นผิวปิรามิด
3) โดยที่ MN คือระยะห่างระหว่างขอบตัดสองอันใดๆ และเป็นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากจุดกึ่งกลางของขอบทั้งสี่ที่เหลือ

คุณสมบัติของฐานความสูงของปิรามิด:

จุด P (ดูรูป) เกิดขึ้นพร้อมกับจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ที่ฐานของปิรามิด หากตรงตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้:
1) เส้นตั้งฉากทุกด้านเท่ากัน
2) ใบหน้าด้านข้างทั้งหมดเอียงไปที่ฐานเท่ากัน
3) เส้นตั้งฉากทั้งหมดมีความโน้มเอียงเท่ากันกับความสูงของปิรามิด
4) ความสูงของปิรามิดมีความโน้มเอียงเท่ากันกับใบหน้าทุกด้าน

ความเห็นของครูสอนคณิต: โปรดทราบว่าทุกจุดมีสิ่งหนึ่งที่เหมือนกัน ทรัพย์สินทั่วไป: ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง ใบหน้าด้านข้างมีส่วนเกี่ยวข้องทุกแห่ง (องค์ประกอบที่แยกออกจากกัน) ดังนั้นครูสอนพิเศษสามารถเสนอสูตรที่แม่นยำน้อยกว่า แต่สะดวกกว่าสำหรับการเรียนรู้: จุด P เกิดขึ้นพร้อมกับจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ซึ่งเป็นฐานของปิรามิดหากมีข้อมูลที่เท่าเทียมกันเกี่ยวกับใบหน้าด้านข้างของมัน เพื่อพิสูจน์ ก็เพียงพอที่จะแสดงว่าสามเหลี่ยมด้านตรงข้ามมุมฉากทั้งหมดเท่ากัน

จุด P เกิดขึ้นพร้อมกับจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบฐานของพีระมิด หากเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งเป็นจริง:
1) ขอบด้านข้างทั้งหมดเท่ากัน
2) ซี่โครงด้านข้างทั้งหมดเอียงไปที่ฐานเท่ากัน
3) ซี่โครงด้านข้างทั้งหมดมีความโน้มเอียงไปทางความสูงเท่ากัน

ระดับแรก

พีระมิด คู่มือภาพ (2019)

ปิรามิดคืออะไร?

เธอดูเป็นยังไงบ้าง?

คุณเห็น: ที่ด้านล่างของปิรามิด (พวกเขาพูดว่า " ที่ฐาน") รูปหลายเหลี่ยมจำนวนหนึ่ง และจุดยอดทั้งหมดของรูปหลายเหลี่ยมนี้เชื่อมต่อกับจุดใดจุดหนึ่งในอวกาศ (จุดนี้เรียกว่า " จุดยอด»).

โครงสร้างทั้งหมดนี้ยังคงมีอยู่ ใบหน้าด้านข้าง, ซี่โครงด้านข้างและ ซี่โครงฐาน. มาวาดปิรามิดพร้อมกับชื่อเหล่านี้อีกครั้ง:

ปิรามิดบางแห่งอาจดูแปลกมาก แต่ก็ยังเป็นปิรามิดอยู่

ตัวอย่างเช่นที่นี่ "เฉียง" โดยสิ้นเชิง ปิรามิด.

และข้อมูลเพิ่มเติมเล็กน้อยเกี่ยวกับชื่อ: หากมีสามเหลี่ยมที่ฐานของปิรามิด ปิรามิดนั้นจะถูกเรียกว่าสามเหลี่ยม ถ้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสก็เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส และถ้าเป็นรูปห้าเหลี่ยมก็... เดาเอาเอง .

ขณะเดียวกันก็ถึงจุดที่มันล้มลง ความสูง, เรียกว่า ฐานความสูง. โปรดทราบว่าในปิรามิด "คดเคี้ยว" ความสูงอาจจะไปจบลงนอกปิรามิดก็ได้ แบบนี้:

และไม่มีอะไรผิดปกติกับสิ่งนั้น ดูเหมือนสามเหลี่ยมป้าน

ปิรามิดที่ถูกต้อง

มาก คำที่ซับซ้อน? มาถอดรหัสกันดีกว่า: “ ที่ฐาน - ถูกต้อง” - เป็นที่เข้าใจได้ ตอนนี้ให้เราจำไว้ว่ารูปหลายเหลี่ยมปกติมีจุดศูนย์กลาง - จุดที่เป็นศูนย์กลางของ และ และ

คำว่า "ด้านบนยื่นออกมาตรงกลางฐาน" หมายความว่าฐานของส่วนสูงตกลงไปตรงกลางฐานพอดี ดูสิว่าจะดูเนียนและน่ารักขนาดไหน ปิรามิดปกติ.

หกเหลี่ยม: ที่ฐานจะมีรูปหกเหลี่ยมปกติ จุดยอดจะฉายไปที่กึ่งกลางฐาน

รูปสี่เหลี่ยม: ฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ด้านบนฉายถึงจุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้

สามเหลี่ยม: ที่ฐานจะมีรูปสามเหลี่ยมปกติ จุดยอดจะถูกฉายไปที่จุดตัดของความสูง (ซึ่งก็คือค่ามัธยฐานและเส้นแบ่งครึ่งด้วย) ของสามเหลี่ยมนี้

มาก คุณสมบัติที่สำคัญของปิรามิดปกติ:

ในปิรามิดด้านขวา

• ขอบด้านข้างทั้งหมดเท่ากัน
• ใบหน้าด้านข้างทั้งหมด - สามเหลี่ยมหน้าจั่วและสามเหลี่ยมทั้งหมดนี้เท่ากัน

ปริมาตรของปิรามิด

สูตรหลักสำหรับปริมาตรของปิรามิด:

มันมาจากไหนกันแน่? นี่ไม่ใช่เรื่องง่ายนักและในตอนแรกคุณต้องจำไว้ว่าปิรามิดและกรวยมีปริมาตรในสูตร แต่ทรงกระบอกไม่มี

ตอนนี้เรามาคำนวณปริมาตรของปิรามิดที่ได้รับความนิยมมากที่สุดกัน

ให้ด้านข้างของฐานเท่ากันและขอบด้านข้างเท่ากัน เราจำเป็นต้องค้นหาและ

นี่คือพื้นที่ของสามเหลี่ยมปกติ

จำไว้ว่าจะมองหาบริเวณนี้อย่างไร เราใช้สูตรพื้นที่:

สำหรับเรา “ ” ก็อันนี้ และ “ ” ก็อันนี้ด้วยเอ๊ะ

ตอนนี้เรามาหามันกันเถอะ

ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับ

ความแตกต่างคืออะไร? นี่คือเส้นรอบวงเพราะว่า ปิรามิดถูกต้องและด้วยเหตุนี้จึงเป็นศูนย์กลาง

เนื่องจาก - จุดตัดของค่ามัธยฐานด้วย

(ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับ)

ลองแทนมันเป็นสูตรสำหรับ

และแทนที่ทุกอย่างลงในสูตรปริมาตร:

ความสนใจ:หากคุณมีจัตุรมุขปกติ (เช่น) สูตรจะเป็นดังนี้:

ให้ด้านข้างของฐานเท่ากันและขอบด้านข้างเท่ากัน

ไม่จำเป็นต้องดูที่นี่ ท้ายที่สุดแล้วฐานก็เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสดังนั้น

เราจะพบมัน ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับ

เรารู้หรือไม่? เกือบ. ดู:

(เราเห็นสิ่งนี้จากการมองดู)

แทนลงในสูตรสำหรับ:

และตอนนี้เราแทน และ เข้าไปในสูตรปริมาตร.

ให้ด้านข้างของฐานเท่ากันและขอบด้านข้าง

จะหาได้อย่างไร? ดูสิ รูปหกเหลี่ยมประกอบด้วยสามเหลี่ยมปกติที่เหมือนกันหกรูปพอดี เราได้มองหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมปกติแล้วเมื่อคำนวณปริมาตรของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติที่นี่เราใช้สูตรที่เราพบ

ตอนนี้เรามาค้นหา (มัน) กัน

ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับ

แต่มันสำคัญอะไรล่ะ? ง่ายมากเพราะ (และคนอื่นๆ ด้วย) ก็ถูกต้อง

มาทดแทนกัน:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

ปิรามิด สั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งสำคัญ

ปิระมิดคือรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมแบนใดๆ () ซึ่งเป็นจุดที่ไม่อยู่ในระนาบของฐาน (ด้านบนของปิรามิด) และทุกส่วนที่เชื่อมต่อด้านบนของปิรามิดด้วยจุดของฐาน (ขอบด้านข้าง)

เส้นตั้งฉากตกลงจากด้านบนของปิรามิดไปยังระนาบของฐาน

ปิรามิดที่ถูกต้อง- ปิรามิดที่มีรูปหลายเหลี่ยมปกติอยู่ที่ฐาน และด้านบนของปิรามิดยื่นออกมาตรงกลางฐาน

คุณสมบัติของปิรามิดปกติ:

• ในพีระมิดปกติ ขอบด้านข้างทุกด้านจะเท่ากัน
• ใบหน้าด้านข้างทั้งหมดเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว และสามเหลี่ยมทั้งหมดนี้เท่ากัน

วิดีโอสอนนี้จะช่วยให้ผู้ใช้เข้าใจแนวคิดเกี่ยวกับธีมพีระมิด ปิรามิดที่ถูกต้อง ในบทนี้ เราจะทำความคุ้นเคยกับแนวคิดของปิรามิดและให้คำจำกัดความแก่มัน ลองพิจารณาว่าปิรามิดปกติคืออะไรและมีคุณสมบัติอะไรบ้าง จากนั้นเราจะพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดปกติ

ในบทนี้ เราจะทำความคุ้นเคยกับแนวคิดของปิรามิดและให้คำจำกัดความแก่มัน

พิจารณารูปหลายเหลี่ยม เอ 1 เอ 2...หนึ่งซึ่งอยู่ในระนาบ α และจุด ปซึ่งไม่อยู่ในระนาบ α (รูปที่ 1) มาเชื่อมต่อจุดต่างๆ ปมียอดเขา ก 1, 2, 3, … หนึ่ง. เราได้รับ nสามเหลี่ยม: ก 1 ก 2 อาร์, ก 2 ก 3 อาร์และอื่น ๆ

คำนิยาม. รูปทรงหลายเหลี่ยม RA 1 A 2 ...กประกอบด้วย n-สี่เหลี่ยม เอ 1 เอ 2...หนึ่งและ nสามเหลี่ยม RA 1 A 2, RA 2 ก 3 …RA n A n-1 เรียกว่า n-ปิรามิดถ่านหิน ข้าว. 1.

ข้าว. 1

พิจารณาปิรามิดรูปสี่เหลี่ยม PABCD(รูปที่ 2)

ร- ด้านบนของปิรามิด

เอบีซีดี- ฐานของปิรามิด

ร- ซี่โครงด้านข้าง.

เอบี- ซี่โครงฐาน

จากจุด รลองวางตั้งฉากกัน ร.นไปยังระนาบฐาน เอบีซีดี. เส้นตั้งฉากที่วาดคือความสูงของปิรามิด

ข้าว. 2

พื้นผิวทั้งหมดของปิรามิดประกอบด้วยพื้นผิวด้านข้างนั่นคือพื้นที่ของใบหน้าด้านข้างทั้งหมดและพื้นที่ฐาน:

S เต็ม = ด้าน S + S หลัก

ปิรามิดจะเรียกว่าถูกต้องหาก:

• ฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ
• ส่วนที่เชื่อมต่อยอดปิรามิดเข้ากับศูนย์กลางฐานคือความสูง

คำอธิบายโดยใช้ตัวอย่างของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติ

พิจารณาปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสปกติ PABCD(รูปที่ 3)

ร- ด้านบนของปิรามิด ฐานของปิรามิด เอบีซีดี- รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนปกติ นั่นคือ สี่เหลี่ยมจัตุรัส จุด เกี่ยวกับ, จุดตัดของเส้นทแยงมุมคือจุดศูนย์กลางของสี่เหลี่ยมจัตุรัส วิธี, รคือความสูงของปิรามิด

ข้าว. 3

คำอธิบาย: ถูกต้อง nในรูปสามเหลี่ยม จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้และจุดศูนย์กลางของวงกลมนั้นตรงกัน จุดศูนย์กลางนี้เรียกว่าจุดศูนย์กลางของรูปหลายเหลี่ยม บางครั้งพวกเขาบอกว่าจุดยอดถูกฉายเข้าตรงกลาง

เรียกว่าความสูงของใบหน้าด้านข้างของปิรามิดปกติที่ดึงมาจากจุดยอด ระยะกึ่งกลางของตำแหน่งและถูกกำหนดไว้ ฮา.

1. ขอบด้านข้างทั้งหมดของปิรามิดปกติเท่ากัน

2. ใบหน้าด้านข้างเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน

เราจะพิสูจน์คุณสมบัติเหล่านี้โดยใช้ตัวอย่างของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติ

ที่ให้ไว้: PABCD- ปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติ

เอบีซีดี- สี่เหลี่ยม,

ร- ความสูงของปิรามิด

พิสูจน์:

1. RA = PB = อาร์เอส = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP ดูภาพประกอบ 4.

ข้าว. 4

การพิสูจน์.

ร- ความสูงของปิรามิด นั่นก็คือ ตรง รตั้งฉากกับเครื่องบิน เอบีซีและดังนั้นจึงตรง JSC, VO, ดังนั้นและ ทำนอนอยู่ในนั้น สามเหลี่ยมดังนั้น ROA, ROV, ROS, รด- สี่เหลี่ยม

พิจารณารูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส เอบีซีดี. จากคุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะได้ดังนี้ AO = VO = CO = ทำ.

แล้วก็สามเหลี่ยมมุมฉาก ROA, ROV, ROS, รดขา ร- ทั่วไปและขา JSC, VO, ดังนั้นและ ทำเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าสามเหลี่ยมเหล่านี้เท่ากันทั้งสองด้าน จากความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมตามความเท่าเทียมกันของส่วนต่างๆ RA = PB = อาร์เอส = PDจุดที่ 1 ได้รับการพิสูจน์แล้ว

เซ็กเมนต์ เอบีและ ดวงอาทิตย์เท่ากันเพราะเป็นด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเดียวกัน RA = PB = อาร์เอส. สามเหลี่ยมดังนั้น เอวีอาร์และ วีเอสอาร์ -หน้าจั่วและเท่ากันทั้งสามด้าน

ในทำนองเดียวกัน เราพบสามเหลี่ยมนั้น ABP, VCP, CDP, DAPเป็นหน้าจั่วและเท่ากัน ตามที่ต้องพิสูจน์ในวรรค 2

พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดปกติเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของเส้นรอบวงของฐานและเส้นตั้งฉากในฐาน:

เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ เรามาเลือกปิรามิดสามเหลี่ยมปกติกัน

ที่ให้ไว้: RAVS- ปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ

AB = BC = เอซี

ร- ความสูง.

พิสูจน์: . ดูภาพประกอบ 5.

ข้าว. 5

การพิสูจน์.

RAVS- ปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ นั่นคือ เอบี= เอซี = พ.ศ. อนุญาต เกี่ยวกับ- ศูนย์กลางของสามเหลี่ยม เอบีซี, แล้ว รคือความสูงของปิรามิด ที่ฐานของปิรามิดมีรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าอยู่ เอบีซี. สังเกตว่า .

สามเหลี่ยม อาร์เอวี อาร์วีเอส อาร์เอสเอ- สามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน (ตามคุณสมบัติ) ปิรามิดรูปสามเหลี่ยมมีด้าน 3 ด้าน คือ อาร์เอวี อาร์วีเอส อาร์เอสเอ. ซึ่งหมายความว่าพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดคือ:

ด้าน S = 3S RAW

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ที่ฐานของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติคือ 3 ม. ความสูงของปิรามิดคือ 4 ม. ค้นหาพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปิรามิด

ที่ให้ไว้: พีระมิดรูปสี่เหลี่ยมปกติ เอบีซีดี,

เอบีซีดี- สี่เหลี่ยม,

ร= 3 ม.

ร- ความสูงของปิรามิด

ร= 4 ม.

หา: ฝั่งเอส ดูภาพประกอบ 6.

ข้าว. 6

สารละลาย.

ตามทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้ว .

ขั้นแรกให้หาด้านข้างของฐานก่อน เอบี. เรารู้ว่ารัศมีของวงกลมที่ฐานของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติคือ 3 เมตร

จากนั้น ม.

หาเส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมจัตุรัส เอบีซีดีด้านข้าง 6 ม.:

พิจารณารูปสามเหลี่ยม บีซีดี. อนุญาต ม- ตรงกลางด้านข้าง กระแสตรง. เพราะ เกี่ยวกับ- กลาง บีดี, ที่ (ม.)

สามเหลี่ยม ดีพีซี- หน้าจั่ว ม- กลาง กระแสตรง. นั่นคือ, RM- ค่ามัธยฐาน ดังนั้น ความสูงในรูปสามเหลี่ยม ดีพีซี. แล้ว RM- แนวกึ่งกลางของปิรามิด

ร- ความสูงของปิรามิด แล้วตรง รตั้งฉากกับเครื่องบิน เอบีซีและดังนั้นจึงตรง โอมนอนอยู่ในนั้น ลองหาระยะกึ่งกลางฐาน RMจาก สามเหลี่ยมมุมฉาก รอม.

ตอนนี้เราก็หาได้แล้ว พื้นผิวด้านข้างปิรามิด:

คำตอบ: 60 ตร.ม.

รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบฐานของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติเท่ากับ m พื้นที่ผิวด้านข้างคือ 18 m 2 หาความยาวของระยะแนบใน.

ที่ให้ไว้: เอบีซีพี- ปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ

AB = BC = SA

ร= ม.

ด้าน S = 18 ตร.ม.

หา: . ดูภาพประกอบ 7.

ข้าว. 7

สารละลาย.

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เอบีซีจะได้รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบไว้ มาหาข้างกันเถอะ เอบีสามเหลี่ยมนี้ใช้กฎของไซน์

เมื่อทราบด้านของสามเหลี่ยมปกติ (m) เราจะพบเส้นรอบรูปของมัน

ตามทฤษฎีบทเรื่องพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดปกติโดยที่ ฮา- แนวกึ่งกลางของปิรามิด แล้ว:

คำตอบ: 4 ม.

ดังนั้นเราจึงดูว่าพีระมิดคืออะไร พีระมิดปกติคืออะไร และเราได้พิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดปกติแล้ว ในบทต่อไป เราจะมาทำความรู้จักกับปิรามิดที่ถูกตัดทอน

บรรณานุกรม

1. เรขาคณิต. เกรด 10-11: หนังสือเรียนสำหรับนักเรียนสถาบันการศึกษาทั่วไป (ขั้นพื้นฐานและ ระดับโปรไฟล์) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov - ฉบับที่ 5, ว. และเพิ่มเติม - อ.: Mnemosyne, 2551. - 288 หน้า: ป่วย.
2. เรขาคณิต. เกรด 10-11: หนังสือเรียนเพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบันการศึกษา/ Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 p.: ป่วย
3. เรขาคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10: หนังสือเรียนสำหรับสถาบันการศึกษาทั่วไปที่มีการศึกษาคณิตศาสตร์เชิงลึกและเฉพาะทาง /E วี. โปโตสคูเยฟ, แอล. ไอ. ซวาลิช. - ฉบับที่ 6 แบบเหมารวม. - อ.: อีแร้ง, 008. - 233 น.: ป่วย

1. พอร์ทัลอินเทอร์เน็ต "Yaklass" ()
2. พอร์ทัลอินเทอร์เน็ต "เทศกาลแนวคิดการสอน" วันที่ 1 กันยายน" ()
3. พอร์ทัลอินเทอร์เน็ต “Slideshare.net” ()

การบ้าน

1. รูปหลายเหลี่ยมปกติสามารถเป็นฐานของปิรามิดที่ไม่ปกติได้หรือไม่
2. พิสูจน์ว่าขอบที่แยกจากกันของปิรามิดปกตินั้นตั้งฉากกัน
3. หาค่าของมุมไดฮีดรัลที่ด้านข้างของฐานของพีระมิดรูปสี่เหลี่ยมปกติ ถ้าระยะกึ่งกลางของพีระมิดเท่ากับด้านข้างของฐาน
4. RAVS- ปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ สร้างมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลที่ฐานของปิรามิด

คำนิยาม

พีระมิดคือรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยม \(A_1A_2...A_n\) และ \(n\) สามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วม \(P\) (ไม่อยู่ในระนาบของรูปหลายเหลี่ยม) และมีด้านตรงข้ามกัน ซึ่งประจวบกับ ด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยม
การกำหนด: \(PA_1A_2...A_n\) .
ตัวอย่าง: พีระมิดห้าเหลี่ยม \(PA_1A_2A_3A_4A_5\)

สามเหลี่ยม \(PA_1A_2, \PA_2A_3\) ฯลฯ ถูกเรียกว่า ใบหน้าด้านข้างปิรามิด เซ็กเมนต์ \(PA_1, PA_2\) ฯลฯ – ซี่โครงด้านข้าง, รูปหลายเหลี่ยม \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – พื้นฐาน, จุด \(P\) – สูงสุด.

ความสูงปิรามิดเป็นปิรามิดที่ตั้งฉากลงจากด้านบนของปิรามิดถึงระนาบของฐาน

ปิรามิดที่มีฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมเรียกว่า จัตุรมุข.

ปิรามิดมีชื่อว่า ถูกต้องหากฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติและตรงตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้:

\((a)\) ขอบด้านข้างของพีระมิดเท่ากัน

\((b)\) ความสูงของปิรามิดลากผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบฐานไว้

\((c)\) ซี่โครงด้านข้างเอียงกับระนาบของฐานในมุมเดียวกัน

\((d)\) ใบหน้าด้านข้างเอียงกับระนาบของฐานในมุมเดียวกัน

จัตุรมุขปกติเป็นปิระมิดสามเหลี่ยม ซึ่งใบหน้าทั้งหมดมีรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเท่ากัน

ทฤษฎีบท

เงื่อนไข \((a), (b), (c), (d)\) เทียบเท่ากัน

การพิสูจน์

ลองหาความสูงของพีระมิด \(PH\) กัน ให้ \(\alpha\) เป็นระนาบของฐานของพีระมิด

1) ให้เราพิสูจน์ว่าจาก \((a)\) ตามนั้น \((b)\) ให้ \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

เพราะ \(PH\perp \alpha\) ดังนั้น \(PH\) จะตั้งฉากกับเส้นใดๆ ที่อยู่ในระนาบนี้ ซึ่งหมายความว่ารูปสามเหลี่ยมนั้นมีมุมฉาก ซึ่งหมายความว่ารูปสามเหลี่ยมเหล่านี้จะเท่ากันในขาทั่วไป \(PH\) และด้านตรงข้ามมุมฉาก \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) ซึ่งหมายความว่า ซึ่งหมายความว่าจุด \(A_1, A_2, ..., A_n\) อยู่ในระยะห่างเท่ากันจากจุด \(H\) ดังนั้นจุดเหล่านั้นจึงอยู่บนวงกลมเดียวกันกับรัศมี \(A_1H\) ตามคำจำกัดความ วงกลมนี้ล้อมรอบรูปหลายเหลี่ยม \(A_1A_2...A_n\)

2) ให้เราพิสูจน์ว่า \((b)\) หมายถึง \((c)\)

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าและเท่ากันทั้งสองขา ซึ่งหมายความว่ามุมของพวกมันก็เท่ากัน ดังนั้น \(\มุม PA_1H=\มุม PA_2H=...=\มุม PA_nH\).

3) ให้เราพิสูจน์ว่า \((c)\) หมายถึง \((a)\)

คล้ายกับจุดแรก สามเหลี่ยม \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าทั้งตามขาและมุมแหลม ซึ่งหมายความว่าด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากัน นั่นคือ \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\)

4) ให้เราพิสูจน์ว่า \((b)\) หมายถึง \((d)\)

เพราะ ในรูปหลายเหลี่ยมปกติ ศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจำกัดขอบเขตและวงกลมที่ถูกจารึกไว้นั้นตรงกัน (โดยทั่วไป จุดนี้เรียกว่าจุดศูนย์กลางของรูปหลายเหลี่ยมปกติ) ดังนั้น \(H\) คือศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ ลองวาดเส้นตั้งฉากจากจุด \(H\) ไปยังด้านข้างของฐาน: \(HK_1, HK_2\) ฯลฯ นี่คือรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ (ตามคำจำกัดความ) จากนั้น ตาม TTP (\(PH\) เป็นเส้นตั้งฉากกับระนาบ \(HK_1, HK_2\) ฯลฯ เป็นเส้นโครงตั้งฉากกับด้านข้าง) เอียง \(PK_1, PK_2\) ฯลฯ ตั้งฉากกับด้านข้าง \(A_1A_2, A_2A_3\) ฯลฯ ตามลำดับ ดังนั้นตามคำนิยาม \(\มุม PK_1H, \มุม PK_2H\)เท่ากับมุมระหว่างหน้าด้านข้างกับฐาน เพราะ สามเหลี่ยม \(PK_1H, PK_2H, ...\) เท่ากัน (เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าทั้งสองด้าน) จากนั้นมุม \(\มุม PK_1H, \มุม PK_2H, ...\)มีความเท่าเทียมกัน

5) ให้เราพิสูจน์ว่า \((d)\) หมายถึง \((b)\)

เช่นเดียวกับจุดที่สี่ สามเหลี่ยม \(PK_1H, PK_2H, ...\) เท่ากัน (เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าตามขาและมุมแหลม) ซึ่งหมายความว่าส่วน \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) เท่ากับ เท่ากัน. ซึ่งหมายความว่า ตามคำจำกัดความแล้ว \(H\) เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ที่ฐาน แต่เพราะว่า สำหรับรูปหลายเหลี่ยมปกติ จุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีเส้นกำกับและวงกลมมีเส้นรอบวงตรงกัน ดังนั้น \(H\) คือจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีเส้นล้อมรอบ ชต.

ผลที่ตามมา

ใบหน้าด้านข้างของปิรามิดปกติจะมีสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน

คำนิยาม

เรียกว่าความสูงของใบหน้าด้านข้างของปิรามิดปกติที่ดึงมาจากจุดยอด ระยะกึ่งกลางของตำแหน่ง.
เส้นตั้งฉากกลางของหน้าด้านข้างทั้งหมดของปิรามิดปกติจะเท่ากันและยังเป็นค่ามัธยฐานและเส้นแบ่งครึ่งด้วย

หมายเหตุสำคัญ

1. ความสูงของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติอยู่ที่จุดตัดของความสูง (หรือเส้นแบ่งครึ่ง หรือค่ามัธยฐาน) ของฐาน (ฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ)

2. ความสูงของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติจะอยู่ที่จุดตัดของเส้นทแยงมุมของฐาน (ฐานเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส)

3. ความสูงถูกต้อง ปิรามิดหกเหลี่ยมตกอยู่ที่จุดตัดของเส้นทแยงมุมของฐาน (ฐานเป็นรูปหกเหลี่ยมปกติ)

4. ความสูงของปิระมิดตั้งฉากกับเส้นตรงใดๆ ที่วางอยู่ที่ฐาน

คำนิยาม

ปิรามิดมีชื่อว่า สี่เหลี่ยมถ้าขอบด้านข้างด้านใดด้านหนึ่งตั้งฉากกับระนาบของฐาน

หมายเหตุสำคัญ

1. ในพีระมิดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ขอบที่ตั้งฉากกับฐานคือความสูงของพีระมิด นั่นคือ \(SR\) คือความสูง

2. เพราะ \(SR\) ตั้งฉากกับเส้นใดๆ จากฐาน ดังนั้น \(\สามเหลี่ยม SRM, \สามเหลี่ยม SRP\)– สามเหลี่ยมมุมฉาก.

3. สามเหลี่ยม \(\สามเหลี่ยม SRN, \สามเหลี่ยม SRK\)- เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้วย
นั่นคือ สามเหลี่ยมใดๆ ที่เกิดจากขอบนี้และเส้นทแยงมุมที่โผล่ออกมาจากจุดยอดของขอบนี้ซึ่งอยู่ที่ฐานจะเป็นสี่เหลี่ยม

\[(\Large(\text(ปริมาตรและพื้นที่ผิวของปิรามิด)))\]

ทฤษฎีบท

ปริมาตรของปิรามิดเท่ากับหนึ่งในสามของผลคูณของพื้นที่ฐานและความสูงของปิรามิด: \

ผลที่ตามมา

ให้ \(a\) เป็นด้านของฐาน \(h\) เป็นความสูงของปิรามิด

1. ปริมาตรของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติคือ \(V_(\text(right Triangle.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. ปริมาตรของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติคือ \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).

3. ปริมาตรของปิรามิดหกเหลี่ยมปกติคือ \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. ปริมาตรของจัตุรมุขปกติคือ \(V_(\text(right tetr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

ทฤษฎีบท

พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดปกติเท่ากับผลคูณครึ่งหนึ่งของเส้นรอบวงของฐานและจุดกึ่งกลางของฐาน

\[(\Large(\text(Frustum)))\]

คำนิยาม

พิจารณาปิรามิดตามอำเภอใจ \(PA_1A_2A_3...A_n\) ให้เราวาดระนาบขนานกับฐานของปิรามิดผ่านจุดหนึ่งซึ่งอยู่บนขอบด้านข้างของปิรามิด เครื่องบินนี้จะแยกปิรามิดออกเป็นสองรูปทรงหลายเหลี่ยม หนึ่งในนั้นคือปิรามิด (\(PB_1B_2...B_n\)) และอีกอันเรียกว่าปิรามิด ปิรามิดที่ถูกตัดทอน(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) )

ปิรามิดที่ถูกตัดปลายมีสองฐาน - รูปหลายเหลี่ยม \(A_1A_2...A_n\) และ \(B_1B_2...B_n\) ซึ่งคล้ายกัน

ความสูงของปิรามิดที่ถูกตัดทอนนั้นตั้งฉากจากจุดใดจุดหนึ่งของฐานบนไปยังระนาบของฐานล่าง

หมายเหตุสำคัญ

1. ใบหน้าด้านข้างของปิรามิดที่ถูกตัดทอนทั้งหมดเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู

2. ส่วนที่เชื่อมต่อศูนย์กลางของฐานของปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติ (นั่นคือปิรามิดที่ได้จากหน้าตัดของปิรามิดปกติ) คือความสูง

การแนะนำ

เมื่อเราเริ่มศึกษาตัวเลขสามมิติ เราได้พูดถึงหัวข้อ “ปิรามิด” เราชอบหัวข้อนี้เพราะปิรามิดมักใช้ในสถาปัตยกรรมมาก และเนื่องจากเรา อาชีพในอนาคตสถาปนิกที่ได้รับแรงบันดาลใจจากตัวเลขนี้ เราคิดว่าเธอสามารถผลักดันเราไปสู่โครงการที่ยิ่งใหญ่ได้

ความแข็งแกร่งของโครงสร้างทางสถาปัตยกรรมคือคุณภาพที่สำคัญที่สุด การเชื่อมโยงความแข็งแกร่ง ประการแรกกับวัสดุที่ใช้สร้างขึ้น และประการที่สอง ด้วยคุณสมบัติของโซลูชันการออกแบบ ปรากฎว่าความแข็งแกร่งของโครงสร้างเกี่ยวข้องโดยตรงกับรูปทรงเรขาคณิตที่เป็นพื้นฐานของมัน

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เรากำลังพูดถึงรูปทรงเรขาคณิตที่ถือได้ว่าเป็นแบบจำลองที่สอดคล้องกัน รูปแบบสถาปัตยกรรม. ปรากฎว่ารูปทรงเรขาคณิตยังกำหนดความแข็งแกร่งของโครงสร้างทางสถาปัตยกรรมด้วย

ตั้งแต่สมัยโบราณ ปิรามิดของอียิปต์ถือเป็นโครงสร้างทางสถาปัตยกรรมที่แข็งแกร่งที่สุด ดังที่คุณทราบพวกมันมีรูปร่างของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติ

รูปทรงเรขาคณิตนี้ให้ความมั่นคงสูงสุดเนื่องจากพื้นที่ฐานขนาดใหญ่ ในทางกลับกัน รูปร่างปิระมิดทำให้มวลลดลงเมื่อความสูงเหนือพื้นดินเพิ่มขึ้น คุณสมบัติทั้งสองนี้เองที่ทำให้ปิรามิดมีความเสถียรและแข็งแกร่งภายใต้สภาวะแรงโน้มถ่วง

วัตถุประสงค์ของโครงการ: เรียนรู้สิ่งใหม่เกี่ยวกับปิรามิด เพิ่มพูนความรู้ให้ลึกซึ้งยิ่งขึ้น และค้นหาการนำไปประยุกต์ใช้จริง

เพื่อให้บรรลุเป้าหมายนี้ จำเป็นต้องแก้ไขงานต่อไปนี้:

·เรียนรู้ข้อมูลทางประวัติศาสตร์เกี่ยวกับปิรามิด

· พิจารณาปิระมิดเป็น รูปทรงเรขาคณิต

· ค้นหาการประยุกต์ใช้ในชีวิตและสถาปัตยกรรม

·ค้นหาความเหมือนและความแตกต่างระหว่างปิรามิดที่ตั้งอยู่ ส่วนต่างๆสเวต้า

ส่วนทางทฤษฎี

ข้อมูลทางประวัติศาสตร์

จุดเริ่มต้นของเรขาคณิตของปิรามิดถูกวางไว้ในอียิปต์โบราณและบาบิโลน แต่ได้รับการพัฒนาอย่างแข็งขันมา กรีกโบราณ. คนแรกที่สร้างปริมาตรของปิรามิดคือเดโมคริตุส และ Eudoxus แห่ง Cnidus พิสูจน์แล้ว ยูคลิด นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณจัดระบบความรู้เกี่ยวกับพีระมิดในนั้น เล่มที่ 12ของ "หลักการ" ของเขา และยังได้รับคำจำกัดความแรกของปิรามิด: รูปร่างของร่างกายที่ล้อมรอบด้วยระนาบที่บรรจบกันจากระนาบหนึ่งไปยังจุดหนึ่ง

สุสานของฟาโรห์อียิปต์ ที่ใหญ่ที่สุด - ปิรามิดแห่ง Cheops, Khafre และ Mikerin ใน El Giza - ถือเป็นหนึ่งในเจ็ดสิ่งมหัศจรรย์ของโลกในสมัยโบราณ การก่อสร้างปิรามิดซึ่งชาวกรีกและโรมันได้เห็นอนุสาวรีย์ที่แสดงถึงความภาคภูมิใจของกษัตริย์และความโหดร้ายที่ไม่เคยมีมาก่อนซึ่งทำให้ชาวอียิปต์ทั้งมวลต้องก่อสร้างอย่างไร้ความหมายถือเป็นการกระทำทางศาสนาที่สำคัญที่สุดและควรจะแสดงออกอย่างชัดเจน เอกลักษณ์อันลึกลับของประเทศและผู้ปกครอง ประชากรของประเทศทำงานเกี่ยวกับการก่อสร้างสุสานในช่วงเวลาหนึ่งของปีที่ปลอดจากงานเกษตรกรรม ข้อความจำนวนหนึ่งเป็นพยานถึงความเอาใจใส่และความเอาใจใส่ที่กษัตริย์เอง (แม้ว่าจะในภายหลัง) จ่ายให้กับการก่อสร้างหลุมฝังศพและผู้สร้าง เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วเกี่ยวกับลัทธิพิเศษที่มอบให้กับปิรามิดนั่นเอง

แนวคิดพื้นฐาน

พีระมิดเรียกว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมซึ่งมีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยม และใบหน้าที่เหลือเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วม

ระยะกึ่งกลางของตำแหน่ง- ความสูงของด้านข้างของปิรามิดปกติซึ่งดึงมาจากจุดยอด

หน้าด้านข้าง- รูปสามเหลี่ยมมาบรรจบกันที่จุดยอด

ซี่โครงด้านข้าง- ด้านทั่วไปของใบหน้าด้านข้าง

ด้านบนของปิรามิด- จุดเชื่อมต่อซี่โครงด้านข้างและไม่นอนอยู่ในระนาบของฐาน

ความสูง- ส่วนตั้งฉากที่ลากผ่านด้านบนของปิรามิดไปยังระนาบของฐาน (ปลายของส่วนนี้คือด้านบนของปิรามิดและฐานของตั้งฉาก)

ส่วนทแยงของปิรามิด- ส่วนของปิรามิดที่ผ่านด้านบนและแนวทแยงของฐาน

ฐาน- รูปหลายเหลี่ยมที่ไม่อยู่ในจุดยอดของปิรามิด

คุณสมบัติพื้นฐานของปิรามิดปกติ

ขอบด้านข้าง ใบหน้าด้านข้าง และเส้นตั้งฉากเท่ากันตามลำดับ

มุมไดฮีดรัลที่ฐานจะเท่ากัน

มุมไดฮีดรัลที่ขอบด้านข้างเท่ากัน

ความสูงแต่ละจุดมีระยะห่างเท่ากันจากจุดยอดทั้งหมดของฐาน

ความสูงแต่ละจุดมีระยะห่างเท่ากันจากใบหน้าด้านข้างทั้งหมด

สูตรปิรามิดพื้นฐาน

พื้นที่ผิวด้านข้างและพื้นผิวทั้งหมดของปิรามิด

พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปิรามิด (เต็มและตัดทอน) คือผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าด้านข้างทั้งหมด พื้นที่ผิวทั้งหมดคือผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าทั้งหมด

ทฤษฎีบท: พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดปกติเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของเส้นรอบวงของฐานและเส้นตั้งฉากของปิรามิด

พี- เส้นรอบวงฐาน

ชม.- ระยะกึ่งกลาง

พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างและเต็มของปิรามิดที่ถูกตัดทอน

หน้า 1,หน้า 2 - เส้นรอบวงฐาน

ชม.- ระยะกึ่งกลาง

ร- พื้นที่ผิวรวมของปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติ

ด้านเอส- พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติ

ส 1 + ส 2- พื้นที่ฐาน

ปริมาตรของปิรามิด

รูปร่าง ปริมาตร ula ใช้สำหรับปิรามิดทุกชนิด

ชม- ความสูงของปิรามิด

มุมพีระมิด

มุมที่เกิดขึ้นจากด้านด้านข้างและฐานของปิรามิด เรียกว่า มุมไดฮีดรัลที่ฐานของปิรามิด

มุมไดฮีดรัลเกิดขึ้นจากสองเส้นตั้งฉาก

ในการหามุมนี้ คุณมักจะต้องใช้ทฤษฎีบทสามตั้งฉาก.

มุมที่เกิดจากขอบด้านข้างและการฉายภาพบนระนาบฐานเรียกว่า มุมระหว่างขอบด้านข้างกับระนาบของฐาน.

มุมที่เกิดจากขอบด้านข้างทั้งสองข้างเรียกว่า มุมไดฮีดรัลที่ขอบด้านข้างของปิรามิด

มุมที่เกิดจากขอบด้านข้างสองด้านของด้านหนึ่งของพีระมิดเรียกว่า มุมบนยอดปิรามิด.

ส่วนพีระมิด

พื้นผิวของปิรามิดคือพื้นผิวของรูปทรงหลายเหลี่ยม ใบหน้าแต่ละหน้าเป็นระนาบ ดังนั้นส่วนของปิรามิดที่กำหนดโดยระนาบการตัดจึงเท่ากับ เส้นขาดประกอบด้วยเส้นตรงแต่ละเส้น

ส่วนแนวทแยง

ส่วนของปิรามิดโดยระนาบที่ผ่านขอบด้านข้างทั้งสองซึ่งไม่ได้อยู่บนใบหน้าเดียวกันเรียกว่า ส่วนแนวทแยง ปิรามิด

ส่วนขนาน

ทฤษฎีบท:

หากปิรามิดถูกตัดกันด้วยระนาบขนานกับฐาน ขอบด้านข้างและความสูงของปิรามิดจะถูกแบ่งโดยระนาบนี้ออกเป็นส่วนตามสัดส่วน

ส่วนของระนาบนี้เป็นรูปหลายเหลี่ยมคล้ายกับฐาน

พื้นที่ของหน้าตัดและฐานสัมพันธ์กันเป็นกำลังสองของระยะห่างจากจุดยอด

ประเภทของปิรามิด

ปิรามิดที่ถูกต้อง– พีระมิดที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ และด้านบนของปิรามิดยื่นออกมาตรงกลางฐาน

สำหรับปิรามิดปกติ:

1.ซี่โครงข้างเท่ากัน

2.หน้าด้านข้างเท่ากัน

3. เส้นตั้งฉากเท่ากัน

4. มุมไดฮีดรัลที่ฐานเท่ากัน

5. มุมไดฮีดรัลที่ขอบด้านข้างเท่ากัน

6. ความสูงแต่ละจุดมีระยะห่างจากจุดยอดทั้งหมดของฐานเท่ากัน

7. ความสูงแต่ละจุดมีระยะห่างเท่ากันจากขอบด้านข้างทั้งหมด

ปิรามิดที่ถูกตัดทอน- ส่วนหนึ่งของปิรามิดที่อยู่ระหว่างฐานกับระนาบตัดขนานกับฐาน

เรียกว่าฐานและส่วนที่สอดคล้องกันของปิรามิดที่ถูกตัดทอน ฐานของปิรามิดที่ถูกตัดทอน.

เส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดใด ๆ ของฐานหนึ่งไปยังระนาบของอีกฐานหนึ่งเรียกว่า ความสูงของปิรามิดที่ถูกตัดทอน

งาน

ลำดับที่ 1. ในพีระมิดรูปสี่เหลี่ยมปกติ จุด O คือจุดศูนย์กลางของฐาน SO=8 ซม. BD=30 ซม. ค้นหาขอบด้านข้าง SA

การแก้ปัญหา

ลำดับที่ 1. ในพีระมิดปกติ ใบหน้าและขอบทั้งหมดจะเท่ากัน

พิจารณา OSB: OSB เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเพราะว่า

เอสบี 2 =เอสโอ 2 +โอบี 2

เอสบี 2 =64+225=289

ปิรามิดในสถาปัตยกรรม

ปิรามิดเป็นโครงสร้างที่ยิ่งใหญ่ในรูปแบบของปิรามิดเรขาคณิตปกติซึ่งด้านต่างๆมาบรรจบกันที่จุดหนึ่ง ตามวัตถุประสงค์การใช้งาน ปิรามิดในสมัยโบราณเป็นสถานที่ฝังศพหรือบูชาลัทธิ ฐานของปิรามิดอาจเป็นรูปสามเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยม หรือเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่มีจุดยอดเท่าใดก็ได้ แต่รูปแบบที่พบบ่อยที่สุดคือฐานรูปสี่เหลี่ยม

เป็นที่รู้จัก เป็นจำนวนมากปิรามิดที่สร้างขึ้นโดยวัฒนธรรมที่แตกต่างกัน โลกโบราณส่วนใหญ่เป็นวัดหรืออนุสาวรีย์ ปิรามิดขนาดใหญ่ ได้แก่ ปิรามิดแห่งอียิปต์

คุณสามารถเห็นโครงสร้างทางสถาปัตยกรรมในรูปแบบของปิรามิดได้ทั่วโลก อาคารพีระมิดชวนให้นึกถึงสมัยโบราณและดูสวยงามมาก

ปิรามิดอียิปต์อนุสรณ์สถานทางสถาปัตยกรรมที่ยิ่งใหญ่ที่สุด อียิปต์โบราณซึ่งหนึ่งใน "เจ็ดสิ่งมหัศจรรย์ของโลก" คือพีระมิดแห่ง Cheops จากเท้าถึงยอดสูงถึง 137.3 ม. และก่อนที่จะสูญเสียยอด ความสูงอยู่ที่ 146.7 ม.

อาคารสถานีวิทยุในเมืองหลวงของสโลวาเกียซึ่งมีลักษณะคล้ายปิรามิดคว่ำถูกสร้างขึ้นในปี 2526 นอกจากสำนักงานและสถานที่ให้บริการแล้วภายในเล่มยังมีพื้นที่กว้างขวางพอสมควร ห้องคอนเสิร์ตซึ่งมีอวัยวะที่ใหญ่ที่สุดแห่งหนึ่งในสโลวาเกีย

พิพิธภัณฑ์ลูฟร์ ซึ่ง "เงียบ ไม่เปลี่ยนแปลง และสง่างามราวกับปิรามิด" มีการเปลี่ยนแปลงมากมายตลอดหลายศตวรรษก่อนที่จะกลายเป็นพิพิธภัณฑ์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในโลก สร้างขึ้นเพื่อเป็นป้อมปราการ สร้างขึ้นโดยฟิลิป ออกัสตัสในปี 1190 ซึ่งต่อมาได้กลายเป็นที่ประทับของราชวงศ์ ในปี พ.ศ. 2336 พระราชวังแห่งนี้ได้กลายมาเป็นพิพิธภัณฑ์ คอลเลกชันได้รับการเสริมคุณค่าด้วยการได้รับมรดกหรือการซื้อ