1 คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น วิธีการคำนวณพื้นที่ของรูปเครื่องบินโดยใช้อินทิกรัลสองเท่า

เราเริ่มพิจารณากระบวนการจริงในการคำนวณอินทิกรัลสองเท่าและทำความคุ้นเคยกับความหมายทางเรขาคณิตของมัน

อินทิกรัลสองเท่าเป็นตัวเลข เท่ากับพื้นที่ รูปร่างแบน(ภูมิภาคของการบูรณาการ) นี้ รูปแบบที่ง่ายที่สุดอินทิกรัลสองเท่า เมื่อฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวมีค่าเท่ากับหนึ่ง:

ก่อนอื่นให้เราพิจารณาปัญหาใน ปริทัศน์. ตอนนี้คุณจะแปลกใจมากที่ทุกอย่างเรียบง่ายจริงๆ! ลองคำนวณพื้นที่ของรูปทรงแบน จำกัดด้วยเส้น. เพื่อความชัดเจน เราถือว่าในส่วนนั้น พื้นที่ของรูปนี้เท่ากับตัวเลข:

ลองพรรณนาพื้นที่ในรูปวาด:

เรามาเลือกวิธีแรกในการสำรวจพื้นที่:

ดังนั้น:

และเคล็ดลับทางเทคนิคที่สำคัญในทันที: สามารถคำนวณอินทิกรัลซ้ำแยกกันได้ ขั้นแรกอินทิกรัลด้านใน จากนั้นอินทิกรัลภายนอก ฉันขอแนะนำวิธีนี้ให้กับผู้เริ่มต้นในวิชานี้

1) มาคำนวณอินทิกรัลภายในแล้วทำการอินทิเกรตกับตัวแปร "y":

อินทิกรัลไม่จำกัดในที่นี้เป็นวิธีที่ง่ายที่สุด จากนั้นจึงใช้สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซแบบเดิม โดยมีข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือขีดจำกัดของอินทิเกรตไม่ใช่ตัวเลข แต่เป็นฟังก์ชัน ขั้นแรก เราแทนที่ขีดจำกัดบนลงใน “y” (ฟังก์ชันต้านอนุพันธ์) จากนั้นแทนที่ขีดจำกัดล่าง

2) ผลลัพธ์ที่ได้รับในย่อหน้าแรกจะต้องถูกแทนที่ด้วยอินทิกรัลภายนอก:

การแสดงโซลูชันทั้งหมดที่มีขนาดกะทัดรัดมากขึ้นมีลักษณะดังนี้:

สูตรผลลัพธ์ที่ได้ เป็นสูตรการทำงานในการคำนวณพื้นที่ของรูปเครื่องบินโดยใช้อินทิกรัลจำกัดขอบเขต "ธรรมดา" อย่างแน่นอน! ชมบทเรียนการคำนวณพื้นที่โดยใช้ อินทิกรัลที่แน่นอนเธออยู่ที่นั่นทุกย่างก้าว!

นั่นคือปัญหาในการคำนวณพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลสองเท่า ไม่แตกต่างกันมากนักจากปัญหาการหาพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขต! อันที่จริงก็เป็นสิ่งเดียวกัน!

ดังนั้นจึงไม่ควรเกิดปัญหาใด ๆ เกิดขึ้น! ฉันจะไม่ดูตัวอย่างมากนักเนื่องจากในความเป็นจริงคุณต้องเผชิญกับงานนี้ซ้ำแล้วซ้ำเล่า

ตัวอย่างที่ 9

วิธีแก้ไข: ลองพรรณนาพื้นที่ในรูปวาด:

ให้เราเลือกลำดับการเคลื่อนที่ของพื้นที่ดังต่อไปนี้:

ฉันจะไม่ขอกล่าวถึงวิธีสำรวจพื้นที่นี้อีกต่อไป เนื่องจากมีคำอธิบายโดยละเอียดอยู่ในย่อหน้าแรก

ดังนั้น:

ดังที่ฉันได้กล่าวไปแล้ว เป็นการดีกว่าสำหรับผู้เริ่มต้นในการคำนวณอินทิกรัลแบบวนซ้ำแยกกัน และฉันจะยึดวิธีเดิม:

1) ขั้นแรก โดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ เราจะจัดการกับอินทิกรัลภายใน:

2) ผลลัพธ์ที่ได้รับในขั้นตอนแรกจะถูกแทนที่ด้วยอินทิกรัลภายนอก:

จุดที่ 2 คือการหาพื้นที่ของรูประนาบโดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขต

คำตอบ:

นี่เป็นงานที่โง่และไร้เดียงสา

ตัวอย่างที่น่าสนใจสำหรับ การตัดสินใจที่เป็นอิสระ:

ตัวอย่างที่ 10

ใช้อินทิกรัลคู่คำนวณพื้นที่ของรูประนาบที่ล้อมรอบด้วยเส้น , ,

ตัวอย่างโดยประมาณ จบงานวิธีแก้ปัญหาในตอนท้ายของบทเรียน

ในตัวอย่างที่ 9-10 การใช้วิธีแรกในการสำรวจพื้นที่จะทำกำไรได้มากกว่ามาก อย่างไรก็ตาม ผู้อ่านที่อยากรู้อยากเห็นสามารถเปลี่ยนลำดับการสำรวจและคำนวณพื้นที่โดยใช้วิธีที่สองได้ หากคุณไม่ทำผิดพลาด คุณจะได้รับค่าพื้นที่เท่ากันโดยธรรมชาติ

แต่ในบางกรณี วิธีที่สองในการสำรวจพื้นที่นั้นมีประสิทธิภาพมากกว่า และเมื่อจบหลักสูตรของเด็กเนิร์ดแล้ว เรามาดูตัวอย่างเพิ่มเติมในหัวข้อนี้กัน:

ตัวอย่างที่ 11

ใช้อินทิกรัลคู่คำนวณพื้นที่ของรูประนาบที่ล้อมรอบด้วยเส้น

วิธีแก้ไข: เรากำลังรอคอยพาราโบลาสองอันที่มีนิสัยแปลกๆ อยู่ข้างๆ ไม่จำเป็นต้องยิ้ม สิ่งที่คล้ายกันมักเกิดขึ้นบ่อยครั้งในปริพันธ์หลายรายการ

วิธีที่ง่ายที่สุดในการวาดภาพคืออะไร?

ลองจินตนาการถึงพาราโบลาที่อยู่ในรูปของฟังก์ชัน 2 ฟังก์ชัน:
– สาขาบนและ – สาขาล่าง

ในทำนองเดียวกัน ลองจินตนาการถึงพาราโบลาที่อยู่ในรูปบนและล่าง สาขา

ต่อไปคือการวางแผนกฎกราฟแบบ point-wise ส่งผลให้เกิดตัวเลขที่แปลกประหลาด:

เราคำนวณพื้นที่ของรูปโดยใช้อินทิกรัลสองเท่าตามสูตร:

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราเลือกวิธีแรกในการสำรวจพื้นที่? ประการแรก พื้นที่นี้จะต้องแบ่งออกเป็นสองส่วน และประการที่สอง เราจะสังเกตเห็นภาพที่น่าเศร้านี้: . แน่นอนว่าอินทิกรัลไม่ได้อยู่ในระดับที่ซับซ้อนมากนัก แต่... มีคำพูดทางคณิตศาสตร์เก่าๆ ที่ว่า ผู้ที่อยู่ใกล้รากเหง้าของตัวเองไม่จำเป็นต้องมีการทดสอบ

ดังนั้น จากความเข้าใจผิดที่ให้ไว้ในเงื่อนไข เราจึงแสดงฟังก์ชันผกผันได้:

ฟังก์ชันผกผันใน ในตัวอย่างนี้มีข้อดีคือระบุพาราโบลาทั้งหมดได้ในคราวเดียวโดยไม่มีใบ ลูกโอ๊ก กิ่งก้าน และรากใดๆ

ตามวิธีที่ 2 การเคลื่อนที่ผ่านพื้นที่จะเป็นดังนี้

ดังนั้น:

อย่างที่พวกเขาพูดรู้สึกถึงความแตกต่าง

1) เราจัดการกับอินทิกรัลภายใน:

เราแทนที่ผลลัพธ์เป็นอินทิกรัลภายนอก:

การบูรณาการเหนือตัวแปร “y” ไม่ควรทำให้เกิดความสับสน หากมีตัวอักษร “zy” การบูรณาการเข้ากับตัวแปรดังกล่าวจะดีมาก แม้ว่าใครก็ตามที่ได้อ่านย่อหน้าที่สองของบทเรียนวิธีคำนวณปริมาตรของตัวการหมุนจะไม่ประสบกับความอึดอัดใจแม้แต่น้อยเมื่อบูรณาการโดยใช้วิธี "Y" อีกต่อไป

ให้ความสนใจกับขั้นตอนแรกด้วย: อินทิแกรนด์เป็นเลขคู่ และช่วงของอินทิเกรตมีความสมมาตรประมาณศูนย์ ดังนั้นส่วนสามารถลดลงครึ่งหนึ่งและผลลัพธ์สามารถเพิ่มเป็นสองเท่าได้ เทคนิคนี้มีความคิดเห็นโดยละเอียดในบทเรียน วิธีการที่มีประสิทธิภาพการคำนวณอินทิกรัลจำกัดจำนวน

จะเพิ่มอะไร…. ทั้งหมด!

คำตอบ:

หากต้องการทดสอบเทคนิคการรวมระบบ คุณสามารถลองคำนวณได้ . คำตอบควรจะเหมือนกันทุกประการ

ตัวอย่างที่ 12

ใช้อินทิกรัลคู่เพื่อคำนวณพื้นที่ของรูประนาบที่ล้อมรอบด้วยเส้น

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง เป็นที่น่าสนใจที่จะทราบว่าหากคุณพยายามใช้วิธีแรกในการสำรวจพื้นที่ ตัวเลขจะไม่ต้องแบ่งออกเป็นสองอีกต่อไป แต่แบ่งออกเป็นสามส่วน! และด้วยเหตุนี้ เราได้อินทิกรัลซ้ำสามคู่ บางครั้งมันก็เกิดขึ้น

คลาสมาสเตอร์สิ้นสุดลงแล้วและถึงเวลาที่ต้องก้าวไปสู่ระดับปรมาจารย์ - จะคำนวณอินทิกรัลสองเท่าได้อย่างไร? ตัวอย่างการแก้ปัญหา ฉันจะพยายามไม่คลั่งไคล้ในบทความที่สอง =)

ฉันขอให้คุณประสบความสำเร็จ!

แนวทางแก้ไขและคำตอบ:

ตัวอย่างที่ 2:สารละลาย: ลองพรรณนาถึงพื้นที่ บนภาพวาด:

ให้เราเลือกลำดับการเคลื่อนที่ของพื้นที่ดังต่อไปนี้:

ดังนั้น:
มาดูฟังก์ชันผกผันกัน:

ดังนั้น:
คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 4:สารละลาย: มาดูฟังก์ชั่นโดยตรงกัน:

มาวาดรูปกันเถอะ:

มาเปลี่ยนลำดับการสำรวจพื้นที่กัน:

คำตอบ:

อินทิกรัลที่แน่นอน วิธีการคำนวณพื้นที่ของรูป

มาดูการประยุกต์ใช้แคลคูลัสอินทิกรัลกันต่อ ในบทนี้เราจะวิเคราะห์ปัญหาทั่วไปและปัญหาที่พบบ่อยที่สุด - วิธีคำนวณพื้นที่ของรูปเครื่องบินโดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขต สุดท้ายนี้ ผู้ที่กำลังมองหาความหมายในคณิตศาสตร์ชั้นสูง ขอให้พวกเขาค้นพบมัน คุณไม่เคยรู้. เราจะต้องนำมันเข้ามาใกล้ในชีวิตมากขึ้น พื้นที่กระท่อมในชนบทฟังก์ชันเบื้องต้นและหาพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขต

หากต้องการเชี่ยวชาญเนื้อหาให้สำเร็จ คุณต้อง:

1) ทำความเข้าใจอินทิกรัลไม่ จำกัด อย่างน้อยในระดับกลาง ดังนั้นหุ่นควรทำความคุ้นเคยกับบทเรียนไม่ใช่ก่อน

ที่จริงแล้ว เพื่อที่จะหาพื้นที่ของรูป คุณไม่จำเป็นต้องมีความรู้เรื่องอินทิกรัลไม่แน่นอนและอินทิกรัลจำกัดมากนัก งาน "คำนวณพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลจำกัด" เกี่ยวข้องกับการสร้างภาพวาดเสมอ ดังนั้นความรู้และทักษะของคุณในการสร้างภาพวาดจึงเป็นคำถามเร่งด่วนกว่ามาก ในเรื่องนี้ จะมีประโยชน์ในการรีเฟรชหน่วยความจำกราฟของฟังก์ชันพื้นฐานพื้นฐาน และอย่างน้อยที่สุดก็สามารถสร้างเส้นตรง พาราโบลา และไฮเปอร์โบลาได้ ซึ่งสามารถทำได้ (สำหรับหลายๆ คนก็จำเป็น) โดยใช้ วัสดุวิธีการและบทความเกี่ยวกับการแปลงเรขาคณิตของกราฟ

จริงๆ แล้ว ทุกคนคงคุ้นเคยกับภารกิจในการหาพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลจำกัดจำนวนตั้งแต่สมัยเรียน และเราจะไม่ไปไกลกว่านั้นมากนัก หลักสูตรของโรงเรียน. บทความนี้อาจไม่มีอยู่เลย แต่ความจริงก็คือปัญหาเกิดขึ้นใน 99 กรณีจาก 100 กรณี เมื่อนักเรียนคนหนึ่งต้องทนทุกข์ทรมานจากโรงเรียนที่เกลียดชังและเชี่ยวชาญหลักสูตรคณิตศาสตร์ระดับสูงอย่างกระตือรือร้น

เนื้อหาในการประชุมเชิงปฏิบัติการนี้นำเสนออย่างเรียบง่าย มีรายละเอียด และมีทฤษฎีขั้นต่ำ

เริ่มจากสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งกันก่อน

สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งคือรูปทรงแบนที่ล้อมรอบด้วยแกน เส้นตรง และกราฟของฟังก์ชันที่ต่อเนื่องกันบนส่วนที่ไม่เปลี่ยนเครื่องหมายในช่วงเวลานี้ ให้รูปนี้ตั้งอยู่ ไม่น้อยแกน x:

จากนั้นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งจะเท่ากับตัวเลขกับอินทิกรัลจำกัดเขต อินทิกรัลจำกัดจำนวนใดๆ (ที่มีอยู่) มีความหมายทางเรขาคณิตที่ดีมาก ในบทเรียนปริพันธ์กำหนด ตัวอย่างวิธีแก้ปัญหา ผมบอกว่าอินทิกรัลจำกัดจำนวนคือตัวเลข และตอนนี้ก็ถึงเวลาที่จะกล่าวอีกครั้ง ข้อเท็จจริงที่เป็นประโยชน์. จากมุมมองของเรขาคณิต อินทิกรัลจำกัดเขตคือ AREA

นั่นคืออินทิกรัลบางอย่าง (ถ้ามี) สอดคล้องกับพื้นที่ของรูปหนึ่งทางเรขาคณิต ตัวอย่างเช่น พิจารณาอินทิกรัลจำกัดเขต อินทิกรัลกำหนดเส้นโค้งบนระนาบที่อยู่เหนือแกน (ผู้ที่ต้องการวาดภาพได้) และอินทิกรัลที่แน่นอนนั้นมีตัวเลขเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่สอดคล้องกัน

ตัวอย่างที่ 1

นี่คือคำสั่งมอบหมายงานทั่วไป จุดแรกและสำคัญที่สุดในการตัดสินใจคือการวาด นอกจากนี้ภาพวาดจะต้องถูกสร้างขึ้นอย่างถูกต้อง

เมื่อสร้างภาพวาด ฉันขอแนะนำลำดับต่อไปนี้ อันดับแรก ควรสร้างเส้นตรงทั้งหมด (ถ้ามี) จะดีกว่า จากนั้นจึงสร้างพาราโบลา ไฮเปอร์โบลา และกราฟของฟังก์ชันอื่นๆ เท่านั้น การสร้างกราฟของฟังก์ชันตามจุดจะทำกำไรได้มากกว่า โดยสามารถดูเทคนิคการสร้างกราฟตามจุดได้ใน วัสดุอ้างอิงกราฟและคุณสมบัติของฟังก์ชันเบื้องต้น ที่นั่นคุณยังสามารถค้นหาสื่อที่มีประโยชน์มากสำหรับบทเรียนของเรา - วิธีสร้างพาราโบลาอย่างรวดเร็ว

ในปัญหานี้ วิธีแก้ไขอาจมีลักษณะเช่นนี้
มาวาดรูปกัน (โปรดทราบว่าสมการกำหนดแกน):

ฉันจะไม่แรเงาสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งเห็นได้ชัดว่าเรากำลังพูดถึงบริเวณใด การแก้ปัญหายังคงดำเนินต่อไปเช่นนี้:

ในส่วนนั้น กราฟของฟังก์ชันจะอยู่เหนือแกน ดังนั้น:

คำตอบ:

ใครมีปัญหาในการคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขตและประยุกต์สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ โปรดดูการบรรยาย Definite Integral ตัวอย่างการแก้ปัญหา

หลังจากงานเสร็จสิ้น จะเป็นประโยชน์เสมอที่จะดูภาพวาดและพิจารณาว่าคำตอบนั้นเป็นเรื่องจริงหรือไม่ ในกรณีนี้เรานับจำนวนเซลล์ในภาพวาด "ด้วยตา" - จะมีประมาณ 9 เซลล์ดูเหมือนว่าจะเป็นจริง เป็นที่ชัดเจนอย่างยิ่งว่าหากเราได้รับคำตอบคือ: 20 หน่วยตารางเห็นได้ชัดว่ามีข้อผิดพลาดเกิดขึ้นที่ไหนสักแห่ง - 20 เซลล์ไม่พอดีกับตัวเลขที่เป็นปัญหาอย่างชัดเจนอย่างน้อยที่สุดหนึ่งโหล หากคำตอบเป็นลบ แสดงว่างานนั้นได้รับการแก้ไขอย่างไม่ถูกต้องเช่นกัน

ตัวอย่างที่ 2

คำนวณพื้นที่ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้น , และแกน

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง โซลูชั่นที่สมบูรณ์และคำตอบท้ายบทเรียน

จะทำอย่างไรถ้ามีสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งอยู่ใต้แกน?

ตัวอย่างที่ 3

คำนวณพื้นที่ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้นและพิกัดแกน

วิธีแก้ปัญหา: มาวาดรูปกันเถอะ:

หากสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งอยู่ใต้แกน (หรืออย่างน้อย ไม่สูงกว่าแกนที่กำหนด) จากนั้นสามารถหาพื้นที่ได้โดยใช้สูตร:
ในกรณีนี้:

ความสนใจ! ไม่ควรสับสนงานทั้งสองประเภท:

1) หากคุณถูกขอให้แก้แค่อินทิกรัลจำกัดเขตโดยไม่มีค่าใดๆ ความหมายทางเรขาคณิตแล้วมันก็อาจเป็นลบได้

2) หากคุณถูกขอให้ค้นหาพื้นที่ของรูปโดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขต พื้นที่นั้นจะเป็นบวกเสมอ! นั่นคือสาเหตุที่เครื่องหมายลบปรากฏในสูตรที่เพิ่งกล่าวถึง

ในทางปฏิบัติ ตัวเลขส่วนใหญ่มักจะอยู่ในระนาบครึ่งบนและล่าง ดังนั้น จากปัญหาที่ง่ายที่สุดของโรงเรียน เราจึงไปยังตัวอย่างที่มีความหมายมากขึ้น

ตัวอย่างที่ 4

หาพื้นที่ของรูปเครื่องบินที่ล้อมรอบด้วยเส้น , .

วิธีแก้ปัญหา: ก่อนอื่นคุณต้องวาดรูป โดยทั่วไปแล้ว เมื่อสร้างภาพวาดในปัญหาพื้นที่ เราจะสนใจจุดตัดกันของเส้นมากที่สุด ลองหาจุดตัดของพาราโบลากับเส้นตรงกัน ซึ่งสามารถทำได้สองวิธี วิธีแรกคือการวิเคราะห์ เราแก้สมการ:

ซึ่งหมายความว่าขีดจำกัดล่างของการรวมคือ ขีดจำกัดบนของการรวมคือ
จะดีกว่าถ้าเป็นไปได้อย่าใช้วิธีนี้

การสร้างบรรทัดทีละจุดจะทำกำไรได้มากกว่าและรวดเร็วกว่ามาก และขีดจำกัดของการรวมระบบก็ชัดเจน "ด้วยตัวเอง" เทคนิคการสร้างกราฟแบบ pointwise สำหรับกราฟต่างๆ จะมีการกล่าวถึงโดยละเอียดใน Help Graph และคุณสมบัติของฟังก์ชันพื้นฐาน อย่างไรก็ตาม บางครั้งยังต้องใช้วิธีการวิเคราะห์ในการค้นหาขีดจำกัด ตัวอย่างเช่น กราฟมีขนาดใหญ่เพียงพอ หรือโครงสร้างโดยละเอียดไม่ได้เปิดเผยขีดจำกัดของการอินทิเกรต (อาจเป็นแบบเศษส่วนหรือไม่มีเหตุผล) และเราจะพิจารณาตัวอย่างดังกล่าวด้วย

กลับมาที่งานของเราดีกว่า การสร้างเส้นตรงก่อนแล้วจึงสร้างพาราโบลาจะมีเหตุผลมากกว่า มาวาดรูปกันเถอะ:

ฉันขอย้ำอีกครั้งว่าเมื่อสร้างตามจุด ขีดจำกัดของการบูรณาการมักจะถูกค้นพบ "โดยอัตโนมัติ"

และตอนนี้สูตรการทำงาน: หากฟังก์ชันต่อเนื่องบางส่วนมากกว่าหรือเท่ากับฟังก์ชันต่อเนื่องบางฟังก์ชันในส่วนใดส่วนหนึ่ง ก็สามารถหาพื้นที่ของรูปที่จำกัดด้วยกราฟของฟังก์ชันเหล่านี้และเส้นตรงได้โดยใช้สูตร:

ที่นี่คุณไม่จำเป็นต้องคิดว่ารูปนั้นอยู่ที่ตำแหน่งใดอีกต่อไป - เหนือแกนหรือใต้แกน และพูดโดยคร่าวๆ สิ่งสำคัญคือกราฟใดสูงกว่า (สัมพันธ์กับกราฟอื่น) และกราฟใดอยู่ต่ำกว่า

ในตัวอย่างที่กำลังพิจารณา เห็นได้ชัดว่าพาราโบลาอยู่เหนือเส้นตรงบนส่วน ดังนั้น จึงจำเป็นต้องลบออกจาก

โซลูชันที่สมบูรณ์อาจมีลักษณะดังนี้:

รูปที่ต้องการถูกจำกัดด้วยพาราโบลาด้านบนและเส้นตรงด้านล่าง
ในส่วนของตามสูตรที่เกี่ยวข้อง:

คำตอบ:

ที่จริงแล้ว สูตรของโรงเรียนสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งในระนาบครึ่งล่าง (ดูตัวอย่างง่ายๆ หมายเลข 3) คือ กรณีพิเศษสูตร . เนื่องจากสมการระบุแกนและกราฟของฟังก์ชันจึงอยู่ ไม่สูงกว่าขวานแล้ว

และตอนนี้มีตัวอย่างบางส่วนสำหรับโซลูชันของคุณเอง

ตัวอย่างที่ 5

ตัวอย่างที่ 6

หาพื้นที่ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้น , .

เมื่อแก้ไขปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขต บางครั้งเหตุการณ์ตลกๆ ก็เกิดขึ้น การวาดภาพทำอย่างถูกต้อง การคำนวณถูกต้อง แต่เนื่องจากความประมาท... พบพื้นที่ของร่างที่ไม่ถูกต้อง นี่คือสิ่งที่ผู้รับใช้ผู้ต่ำต้อยของคุณผิดพลาดหลายครั้ง ที่นี่ กรณีจริงจากชีวิต:

ตัวอย่างที่ 7

คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น , , , .

วิธีแก้ไข: ก่อนอื่น มาวาดรูปกันก่อน:

...เอ๊ะ ภาพวาดออกมาห่วย แต่ทุกอย่างดูเหมือนจะอ่านออก

ร่างที่เราต้องหาพื้นที่นั้นแรเงาด้วยสีน้ำเงิน (ดูสภาพอย่างละเอียด - ร่างนั้นมีจำนวนจำกัดแค่ไหน!) แต่ในทางปฏิบัติเนื่องจากการไม่ตั้งใจมักมี "ข้อผิดพลาด" เกิดขึ้นซึ่งคุณต้องค้นหาพื้นที่ของร่างที่เป็นสีเทา สีเขียว!

ตัวอย่างนี้ยังมีประโยชน์ในการคำนวณพื้นที่ของรูปโดยใช้อินทิกรัลจำกัดจำนวนสองตัว จริงหรือ:

1) บนส่วนที่อยู่เหนือแกนจะมีกราฟเป็นเส้นตรง

2) บนส่วนที่อยู่เหนือแกนจะมีกราฟของไฮเปอร์โบลา

เห็นได้ชัดว่าสามารถ (และควร) เพิ่มพื้นที่ได้ ดังนั้น:

คำตอบ:

เรามาดูงานที่มีความหมายอื่นกันดีกว่า

ตัวอย่างที่ 8

คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น
นำเสนอสมการในรูปแบบ "โรงเรียน" และวาดภาพแบบจุดต่อจุด:

จากรูปวาดชัดเจนว่าขีดจำกัดบนของเรานั้น “ดี”: .
แต่ขีดจำกัดล่างคืออะไรล่ะ! เห็นได้ชัดว่านี่ไม่ใช่จำนวนเต็ม แต่คืออะไร? อาจจะ ? แต่ที่รับประกันว่าการวาดแบบจะแม่นยำสมบูรณ์แบบกลับกลายเป็นว่า... หรือราก. จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราสร้างกราฟไม่ถูกต้อง?

ในกรณีเช่นนี้ คุณต้องใช้เวลาเพิ่มเติมและชี้แจงขีดจำกัดของการผสานรวมเชิงวิเคราะห์

ลองหาจุดตัดของเส้นตรงและพาราโบลากัน
เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะแก้สมการ:

,

จริงหรือ, .

วิธีแก้ปัญหาเพิ่มเติมนั้นไม่สำคัญสิ่งสำคัญคืออย่าสับสนในการทดแทนและเครื่องหมายการคำนวณที่นี่ไม่ใช่วิธีที่ง่ายที่สุด

บนส่วน ตามสูตรที่สอดคล้องกัน:

คำตอบ:

เพื่อสรุปบทเรียน เรามาดูงานที่ยากอีกสองงานกัน

ตัวอย่างที่ 9

คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น , ,

วิธีแก้ไข: ลองพรรณนารูปนี้ในภาพวาด

ให้ตายเถอะ ฉันลืมเซ็นกำหนดการ และขอโทษด้วย ฉันไม่ต้องการทำภาพซ้ำ ไม่ใช่วันจับฉลาก สรุปคือ วันนี้คือวัน =)

สำหรับการก่อสร้างแบบจุดต่อจุดคุณจำเป็นต้องรู้ รูปร่างไซนัสอยด์ (และโดยทั่วไปแล้วการรู้กราฟของฟังก์ชันพื้นฐานทั้งหมดจะมีประโยชน์) รวมถึงค่าไซน์บางส่วนซึ่งสามารถพบได้ในตารางตรีโกณมิติ ในบางกรณี (เช่นในกรณีนี้) เป็นไปได้ที่จะสร้างแผนผังซึ่งควรแสดงกราฟและขีดจำกัดของการรวมอย่างถูกต้องโดยพื้นฐาน

ไม่มีปัญหากับข้อ จำกัด ของการรวมที่นี่ พวกเขาปฏิบัติตามโดยตรงจากเงื่อนไข: "x" เปลี่ยนจากศูนย์เป็น "pi" มาตัดสินใจเพิ่มเติมกัน:

ในส่วนนั้น กราฟของฟังก์ชันจะอยู่เหนือแกน ดังนั้น:

มาดูการประยุกต์ใช้แคลคูลัสอินทิกรัลกันต่อ ในบทนี้เราจะดูปัญหาทั่วไปและปัญหาที่พบบ่อยที่สุดในการคำนวณพื้นที่ของรูปเครื่องบินโดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขต ในที่สุด ให้ทุกคนที่แสวงหาความหมายในคณิตศาสตร์ชั้นสูงค้นพบมัน คุณไม่เคยรู้. ในชีวิตจริง คุณจะต้องประมาณพล็อตเดชาโดยใช้ฟังก์ชันพื้นฐาน และค้นหาพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลจำกัดจำนวน

หากต้องการเชี่ยวชาญเนื้อหาให้สำเร็จ คุณต้อง:

1) ทำความเข้าใจอินทิกรัลไม่ จำกัด อย่างน้อยในระดับกลาง ดังนั้น พวกหุ่นควรจะทำความคุ้นเคยกับบทเรียนของพระองค์ก่อน

2) สามารถใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซและคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขตได้ คุณสามารถสร้างความสัมพันธ์ฉันมิตรอันอบอุ่นกับอินทิกรัลชี้ขาดได้ในหน้าอินทิกรัลชี้ขาด ตัวอย่างการแก้ปัญหา งาน "คำนวณพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลจำกัด" เกี่ยวข้องกับการสร้างภาพวาดเสมอ ดังนั้นความรู้และทักษะการวาดภาพของคุณจะเป็นประเด็นสำคัญเช่นกัน อย่างน้อยที่สุด คุณจะต้องสามารถสร้างเส้นตรง พาราโบลา และไฮเปอร์โบลาได้

เริ่มจากสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งกันก่อน สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งเป็นรูปแบนที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชันบางอย่าง ย = ฉ(x) แกน วัวและเส้น x = ก; x = ข.

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งเป็นตัวเลขเท่ากับอินทิกรัลที่แน่นอน

อินทิกรัลจำกัดจำนวนใดๆ (ที่มีอยู่) มีความหมายทางเรขาคณิตที่ดีมาก ในบทเรียนปริพันธ์กำหนด ตัวอย่างการแก้ปัญหา เราบอกว่าอินทิกรัลจำกัดจำนวนคือตัวเลข และตอนนี้ก็ถึงเวลาที่จะกล่าวถึงข้อเท็จจริงที่เป็นประโยชน์อีกประการหนึ่ง จากมุมมองของเรขาคณิต อินทิกรัลจำกัดเขตคือ AREA นั่นคืออินทิกรัลบางอย่าง (ถ้ามี) สอดคล้องกับพื้นที่ของรูปหนึ่งทางเรขาคณิต พิจารณาอินทิกรัลจำกัดเขต

ปริพันธ์

กำหนดเส้นโค้งบนระนาบ (สามารถวาดได้หากต้องการ) และอินทิกรัลที่แน่นอนนั้นมีค่าเท่ากับตัวเลขกับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่สอดคล้องกัน

ตัวอย่างที่ 1

, , , .

นี่คือคำสั่งมอบหมายงานทั่วไป จุดที่สำคัญที่สุดโซลูชั่น - การวาดภาพ นอกจากนี้ภาพวาดจะต้องถูกสร้างขึ้นอย่างถูกต้อง

เมื่อสร้างภาพวาด ฉันขอแนะนำลำดับต่อไปนี้ อันดับแรก ควรสร้างเส้นตรงทั้งหมด (ถ้ามี) จะดีกว่า จากนั้นจึงสร้างพาราโบลา ไฮเปอร์โบลา และกราฟของฟังก์ชันอื่นๆ เท่านั้น เทคนิคของการสร้างแบบ pointwise สามารถพบได้ในกราฟวัสดุอ้างอิงและคุณสมบัติของฟังก์ชันพื้นฐาน ที่นั่นคุณยังสามารถค้นหาสื่อที่มีประโยชน์มากสำหรับบทเรียนของเรา - วิธีสร้างพาราโบลาอย่างรวดเร็ว

ในปัญหานี้ วิธีแก้ไขอาจมีลักษณะเช่นนี้

มาวาดรูปกันดีกว่า (โปรดสังเกตว่าสมการ ย= 0 ระบุแกน วัว):

เราจะไม่แรเงาสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งในที่นี้ชัดเจนว่าเรากำลังพูดถึงบริเวณใด การแก้ปัญหายังคงดำเนินต่อไปเช่นนี้:

ในส่วน [-2; 1] กราฟฟังก์ชัน ย = x 2 + 2 อยู่เหนือแกน วัวนั่นเป็นเหตุผล:

คำตอบ: .

ใครมีปัญหาในการคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขตและประยุกต์สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ

อ้างถึงการบรรยาย Definite Integral ตัวอย่างการแก้ปัญหา หลังจากงานเสร็จสิ้น จะเป็นประโยชน์เสมอที่จะดูภาพวาดและพิจารณาว่าคำตอบนั้นเป็นเรื่องจริงหรือไม่ ในกรณีนี้เรานับจำนวนเซลล์ในภาพวาด "ด้วยตา" - จะมีประมาณ 9 เซลล์ดูเหมือนว่าจะเป็นจริง ชัดเจนอย่างยิ่งว่าหากเราได้รับคำตอบ: 20 ตารางหน่วยก็ชัดเจนว่ามีข้อผิดพลาดเกิดขึ้นที่ไหนสักแห่ง - เห็นได้ชัดว่า 20 เซลล์ไม่พอดีกับตัวเลขที่เป็นปัญหา อย่างน้อยที่สุดก็หนึ่งโหล หากคำตอบเป็นลบ แสดงว่างานนั้นได้รับการแก้ไขอย่างไม่ถูกต้องเช่นกัน

ตัวอย่างที่ 2

คำนวณพื้นที่ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้น เอ็กซ์ซี = 4, x = 2, x= 4 และแกน วัว.

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน

จะทำอย่างไรถ้ามีสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งอยู่ใต้แกน วัว?

ตัวอย่างที่ 3

คำนวณพื้นที่ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้น ย = อดีต, x= 1 และแกนพิกัด

วิธีแก้ปัญหา: มาวาดรูปกันเถอะ:

หากสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งอยู่ใต้แกนจนสุด วัวจากนั้นสามารถหาพื้นที่ได้โดยใช้สูตร:

ในกรณีนี้:

ความสนใจ! ไม่ควรสับสนงานทั้งสองประเภท:

1) หากคุณถูกขอให้แก้แค่อินทิกรัลจำกัดจำนวนโดยไม่มีความหมายทางเรขาคณิต ค่านั้นอาจเป็นค่าลบ

ตัวอย่างที่ 4

หาพื้นที่ของรูปเครื่องบินที่ล้อมรอบด้วยเส้น ย = 2x – x 2 , ย = -x.

วิธีแก้ปัญหา: ก่อนอื่นคุณต้องวาดรูป เมื่อสร้างภาพวาดในปัญหาพื้นที่ เราสนใจจุดตัดกันของเส้นมากที่สุด ลองหาจุดตัดของพาราโบลากัน ย = 2x – x 2 และตรง ย = -x. ซึ่งสามารถทำได้สองวิธี วิธีแรกคือการวิเคราะห์ เราแก้สมการ:

ซึ่งหมายความว่าขีดจำกัดล่างของการบูรณาการ ก= 0 ขีดจำกัดบนของการรวม ข= 3. มักจะสร้างผลกำไรได้มากกว่าและเร็วกว่าในการสร้างบรรทัดทีละจุด และขีดจำกัดของการบูรณาการจะชัดเจน "ด้วยตัวเอง" อย่างไรก็ตาม บางครั้งยังต้องใช้วิธีการวิเคราะห์ในการค้นหาขีดจำกัด ตัวอย่างเช่น กราฟมีขนาดใหญ่เพียงพอ หรือโครงสร้างโดยละเอียดไม่ได้เปิดเผยขีดจำกัดของการอินทิเกรต (อาจเป็นแบบเศษส่วนหรือไม่มีเหตุผล) กลับมาที่งานของเราดีกว่า การสร้างเส้นตรงก่อนแล้วจึงสร้างพาราโบลาจะมีเหตุผลมากกว่า มาวาดรูปกันเถอะ:

ขอย้ำอีกครั้งว่าเมื่อสร้างตามจุด ขีดจำกัดของการบูรณาการมักถูกกำหนด "โดยอัตโนมัติ"

และตอนนี้สูตรการทำงาน:

หากอยู่ในส่วน [ ก; ข] ฟังก์ชันต่อเนื่องบางอย่าง ฉ(x) มากกว่าหรือเท่ากับฟังก์ชันต่อเนื่องบางฟังก์ชัน ก(x) จากนั้นสามารถหาพื้นที่ของตัวเลขที่เกี่ยวข้องได้โดยใช้สูตร:

ที่นี่คุณไม่จำเป็นต้องคิดว่ารูปนั้นอยู่ที่ตำแหน่งใด - เหนือแกนหรือใต้แกนอีกต่อไป แต่สิ่งสำคัญคือกราฟใดสูงกว่า (สัมพันธ์กับกราฟอื่น) และกราฟใดอยู่ด้านล่าง

ในตัวอย่างที่กำลังพิจารณา เห็นได้ชัดว่าบนส่วนพาราโบลาอยู่เหนือเส้นตรง ดังนั้นจาก 2 x – x 2 ต้องถูกลบ – x.

โซลูชันที่สมบูรณ์อาจมีลักษณะดังนี้:

รูปที่ต้องการถูกจำกัดด้วยพาราโบลา ย = 2x – x 2 ด้านบนและตรง ย = -xด้านล่าง.

ในส่วนที่ 2 x – x 2 ≥ -x. ตามสูตรที่เกี่ยวข้อง:

คำตอบ: .

ที่จริงแล้วสูตรของโรงเรียนสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งในระนาบครึ่งล่าง (ดูตัวอย่างที่ 3) เป็นกรณีพิเศษของสูตร

เพราะว่าแกน วัวกำหนดโดยสมการ ย= 0 และกราฟของฟังก์ชัน ก(x) ซึ่งอยู่ใต้แกน วัว, ที่

และตอนนี้มีตัวอย่างบางส่วนสำหรับโซลูชันของคุณเอง

ตัวอย่างที่ 5

ตัวอย่างที่ 6

หาพื้นที่ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้น

เมื่อแก้ไขปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขต บางครั้งเหตุการณ์ตลกๆ ก็เกิดขึ้น วาดเสร็จถูกต้อง คำนวณถูก แต่เนื่องจากความประมาท...จึงพบพื้นที่ผิดรูป

ตัวอย่างที่ 7

ก่อนอื่นมาวาดรูปกันก่อน:

ร่างที่เราต้องหาพื้นที่นั้นแรเงาด้วยสีน้ำเงิน (ดูสภาพอย่างละเอียด - ร่างนั้นมีจำนวนจำกัดแค่ไหน!) แต่ในทางปฏิบัติเนื่องจากการไม่ตั้งใจผู้คนมักตัดสินใจว่าจำเป็นต้องหาพื้นที่ของร่างที่แรเงาเป็นสีเขียว!

1) ในส่วน [-1; 1] เหนือแกน วัวกราฟจะอยู่ตรง ย = x+1;

2) บนส่วนที่อยู่เหนือแกน วัวกราฟของไฮเปอร์โบลาตั้งอยู่ ย = (2/x).

เห็นได้ชัดว่าสามารถ (และควร) เพิ่มพื้นที่ได้ ดังนั้น:

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 8

คำนวณพื้นที่ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้น

นำเสนอสมการในรูปแบบ "โรงเรียน"

และทำการวาดภาพแบบจุดต่อจุด:

จากรูปวาด ชัดเจนว่าขีดจำกัดบนของเราคือ “ดี”: ข = 1.

แต่ขีดจำกัดล่างคืออะไรล่ะ! เห็นได้ชัดว่านี่ไม่ใช่จำนวนเต็ม แต่คืออะไร?

อาจจะ, ก=(-1/3)? แต่การรับประกันว่าการวาดภาพนั้นทำขึ้นด้วยความแม่นยำสมบูรณ์แบบอยู่ที่ไหนก็อาจกลายเป็นอย่างนั้นได้ ก=(-1/4) =(-1/4) จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราสร้างกราฟไม่ถูกต้อง?

ลองหาจุดตัดกันของกราฟกัน

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะแก้สมการ:

เพราะฉะนั้น, ก=(-1/3).

วิธีแก้ปัญหาเพิ่มเติมนั้นไม่สำคัญ สิ่งสำคัญคืออย่าสับสนในการทดแทนและสัญญาณ การคำนวณที่นี่ไม่ใช่วิธีที่ง่ายที่สุด บนส่วน

, ,

ตามสูตรที่เหมาะสม:

คำตอบ:

เพื่อสรุปบทเรียน มาดูงานที่ยากอีกสองงานกัน

ตัวอย่างที่ 9

คำนวณพื้นที่ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้น

วิธีแก้ไข: ลองพรรณนารูปนี้ในภาพวาด

หากต้องการสร้างภาพวาดแบบจุดต่อจุด คุณจำเป็นต้องทราบลักษณะของไซนัสอยด์ โดยทั่วไป การรู้กราฟของฟังก์ชันพื้นฐานทั้งหมด รวมถึงค่าไซน์บางค่าจะเป็นประโยชน์ สามารถพบได้ในตารางค่า ฟังก์ชันตรีโกณมิติ. ในบางกรณี (เช่น ในกรณีนี้) สามารถสร้างแผนผังได้ ซึ่งกราฟและขีดจำกัดของการรวมควรแสดงอย่างถูกต้องโดยพื้นฐาน

ไม่มีปัญหากับข้อจำกัดของการผสานรวมที่นี่ ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขโดยตรงจาก:

– “x” เปลี่ยนจากศูนย์เป็น “pi” มาตัดสินใจเพิ่มเติมกัน:

ในส่วนของกราฟของฟังก์ชัน ย= บาป 3 xซึ่งอยู่เหนือแกน วัวนั่นเป็นเหตุผล:

(1) คุณสามารถดูว่าไซน์และโคไซน์ถูกรวมเข้ากับเลขยกกำลังคี่ได้อย่างไรในบทเรียนปริพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ เราบีบไซนัสหนึ่งอัน

(2) เราใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติหลักในรูปแบบ

(3) มาเปลี่ยนตัวแปรกันเถอะ ที=คอส xดังนั้น: อยู่เหนือแกน ดังนั้น:

หมายเหตุ: ให้ความสนใจกับวิธีการหาอินทิกรัลของแทนเจนต์ในลูกบาศก์ ข้อพิสูจน์ของอันหลักถูกใช้ที่นี่ เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

ในส่วนก่อนหน้านี้ ที่เกี่ยวข้องกับการวิเคราะห์ความหมายทางเรขาคณิตของอินทิกรัลจำกัด เราได้รับสูตรจำนวนหนึ่งสำหรับการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง:

ยานเดกซ์RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x สำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องและไม่เป็นลบ y = f (x) ในช่วงเวลา [ a ; ข ] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x สำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องและไม่เป็นบวก y = f (x) ในช่วงเวลา [ a ; ข ] .

สูตรเหล่านี้ใช้แก้โจทย์หาได้ งานง่ายๆ. ในความเป็นจริง เรามักจะต้องทำงานกับตัวเลขที่ซับซ้อนมากขึ้น ในเรื่องนี้เราจะอุทิศส่วนนี้เพื่อวิเคราะห์อัลกอริธึมสำหรับการคำนวณพื้นที่ของตัวเลขที่ถูกจำกัดโดยฟังก์ชันในรูปแบบที่ชัดเจน เช่น เช่น y = f(x) หรือ x = g(y)

ทฤษฎีบท

ปล่อยให้ฟังก์ชัน y = f 1 (x) และ y = f 2 (x) ถูกกำหนดและต่อเนื่องกันในช่วงเวลา [ a ; b ] และ f 1 (x) ≤ f 2 (x) สำหรับค่าใดๆ ก็ตาม x จาก [ a ; ข ] . จากนั้นสูตรคำนวณพื้นที่ของรูป G ที่ล้อมรอบด้วยเส้น x = a, x = b, y = f 1 (x) และ y = f 2 (x) จะมีลักษณะดังนี้ S (G) = ∫ ข ฉ 2 (x) - ฉ 1 (x) ง x .

สูตรที่คล้ายกันจะใช้ได้กับพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น y = c, y = d, x = g 1 (y) และ x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( ก 2 (y) - ก 1 (y) ได .

การพิสูจน์

ลองดูสามกรณีที่สูตรจะใช้ได้

ในกรณีแรก เมื่อคำนึงถึงคุณสมบัติของการเพิ่มพื้นที่ ผลรวมของพื้นที่ของรูป G ดั้งเดิมและรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง G 1 เท่ากับพื้นที่ของรูป G 2 มันหมายความว่าอย่างนั้น

ดังนั้น S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) ดีเอ็กซ์

เราสามารถดำเนินการเปลี่ยนผ่านครั้งล่าสุดได้โดยใช้คุณสมบัติที่สามของอินทิกรัลจำกัดเขต

ในกรณีที่สอง ความเท่าเทียมกันเป็นจริง: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - ฉ 1 (x)) ง x

ภาพประกอบกราฟิกจะมีลักษณะดังนี้:

หากฟังก์ชันทั้งสองไม่เป็นค่าบวก เราจะได้: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - ฉ 1 (x)) ง x . ภาพประกอบกราฟิกจะมีลักษณะดังนี้:

มาดูกรณีทั่วไปกันต่อเมื่อ y = f 1 (x) และ y = f 2 (x) ตัดกับแกน O x

เราแสดงจุดตัดกันเป็น x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . จุดเหล่านี้แบ่งส่วน [a; b ] เป็น n ส่วน x i - 1 ; x ผม, ผม = 1, 2, . . . , n โดยที่ α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

เพราะฉะนั้น,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ ข ฉ 2 (x) - ฉ 1 (x) d x

เราสามารถทำการเปลี่ยนแปลงครั้งล่าสุดได้โดยใช้คุณสมบัติที่ห้าของอินทิกรัลจำกัดเขต

ให้เราอธิบายกรณีทั่วไปบนกราฟ

สูตร S (G) = ∫ ab f 2 (x) - f 1 (x) d x ถือได้ว่าพิสูจน์แล้ว

ตอนนี้เรามาดูการวิเคราะห์ตัวอย่างการคำนวณพื้นที่ของตัวเลขที่ถูกจำกัดด้วยเส้น y = f (x) และ x = g (y)

เราจะเริ่มพิจารณาตัวอย่างใดๆ ด้วยการสร้างกราฟ รูปภาพจะทำให้เราสามารถเป็นตัวแทนได้ ตัวเลขที่ซับซ้อนวิธีรวมเพิ่มเติม ตัวเลขง่ายๆ. หากการสร้างกราฟและตัวเลขบนกราฟเหล่านั้นเป็นเรื่องยากสำหรับคุณ คุณสามารถศึกษาหัวข้อเกี่ยวกับฟังก์ชันพื้นฐานเบื้องต้น การเปลี่ยนแปลงทางเรขาคณิตของกราฟของฟังก์ชัน ตลอดจนการสร้างกราฟไปพร้อมกับการศึกษาฟังก์ชันได้

ตัวอย่างที่ 1

มีความจำเป็นต้องกำหนดพื้นที่ของรูปซึ่งถูกจำกัดด้วยพาราโบลา y = - x 2 + 6 x - 5 และเส้นตรง y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4

สารละลาย

ลองวาดเส้นบนกราฟในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนกัน

ในส่วน [ 1 ; 4 ] กราฟของพาราโบลา y = - x 2 + 6 x - 5 อยู่เหนือเส้นตรง y = - 1 3 x - 1 2 ในเรื่องนี้เพื่อให้ได้คำตอบเราใช้สูตรที่ได้รับมาก่อนหน้านี้ตลอดจนวิธีคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขตโดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

คำตอบ: S(G) = 13

ลองดูตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่านี้

ตัวอย่างที่ 2

จำเป็นต้องคำนวณพื้นที่ของรูปซึ่งถูกจำกัดด้วยเส้น y = x + 2, y = x, x = 7

สารละลาย

ในกรณีนี้ เรามีเส้นตรงเพียงเส้นเดียวที่ขนานกับแกน x นี่คือ x = 7 สิ่งนี้ทำให้เราต้องค้นหาขีดจำกัดที่สองของการบูรณาการด้วยตัวเราเอง

มาสร้างกราฟและพลอตเส้นที่กำหนดในคำสั่งปัญหากันดีกว่า

เมื่อกราฟปรากฏต่อหน้าต่อตา เราจะระบุได้อย่างง่ายดายว่าขีดจำกัดล่างของการอินทิเกรตจะเป็นจุดตัดของกราฟของเส้นตรง y = x และกึ่งพาราโบลา y = x + 2 ในการค้นหา abscissa เราใช้ความเท่าเทียมกัน:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

ปรากฎว่า abscissa ของจุดตัดคือ x = 2

เราดึงความสนใจของคุณไปที่ความจริงที่ว่าใน ตัวอย่างทั่วไปในภาพวาด เส้น y = x + 2, y = x ตัดกันที่จุด (2; 2) ดังนั้นการคำนวณโดยละเอียดอาจดูเหมือนไม่จำเป็น เรานำสิ่งนี้มาที่นี่ วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดเพียงเพราะมีมากกว่านี้ กรณีที่ยากลำบากวิธีแก้ปัญหาอาจไม่ชัดเจนนัก ซึ่งหมายความว่าจะเป็นการดีกว่าเสมอที่จะคำนวณพิกัดของจุดตัดของเส้นในเชิงวิเคราะห์

ในช่วงเวลา [ 2 ; 7] กราฟของฟังก์ชัน y = x อยู่เหนือกราฟของฟังก์ชัน y = x + 2 ลองใช้สูตรคำนวณพื้นที่:

ส (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

ตอบ ส(ก) = 59 6

ตัวอย่างที่ 3

จำเป็นต้องคำนวณพื้นที่ของรูปซึ่งถูกจำกัดด้วยกราฟของฟังก์ชัน y = 1 x และ y = - x 2 + 4 x - 2

สารละลาย

เรามาพลอตเส้นบนกราฟกัน

เรามากำหนดขอบเขตของการบูรณาการกันดีกว่า ในการทำเช่นนี้เรากำหนดพิกัดของจุดตัดของเส้นโดยจัดให้นิพจน์ 1 x และ - x 2 + 4 x - 2 เท่ากัน โดยมีเงื่อนไขว่า x ไม่เป็นศูนย์ ความเท่าเทียมกัน 1 x = - x 2 + 4 x - 2 จะเทียบเท่ากับสมการระดับที่สาม - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 พร้อมสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม หากต้องการรีเฟรชหน่วยความจำเกี่ยวกับอัลกอริทึมในการแก้สมการดังกล่าว โปรดดูหัวข้อ "การแก้สมการกำลังสาม"

รากของสมการนี้คือ x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0

เมื่อหารนิพจน์ - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ด้วยทวินาม x - 1 เราจะได้: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

เราสามารถหารากที่เหลือได้จากสมการ x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 หยาบคาย 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 µ - 0 . 3

เราพบช่วงเวลา x ∈ 1; 3 + 13 2 โดยรูป G อยู่เหนือเส้นสีน้ำเงินและใต้เส้นสีแดง สิ่งนี้ช่วยให้เรากำหนดพื้นที่ของรูปได้:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - อิน 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - อิน 1 = 7 + 13 3 - อิน 3 + 13 2

คำตอบ: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

ตัวอย่างที่ 4

จำเป็นต้องคำนวณพื้นที่ของรูปซึ่งถูกจำกัดด้วยเส้นโค้ง y = x 3, y = - log 2 x + 1 และแกน abscissa

สารละลาย

ลองพลอตเส้นทั้งหมดบนกราฟกัน เราจะได้กราฟของฟังก์ชัน y = - log 2 x + 1 จากกราฟ y = log 2 x ถ้าเราวางตำแหน่งมันไว้รอบแกน x แบบสมมาตรแล้วเลื่อนขึ้นไปหนึ่งหน่วย สมการของแกน x คือ y = 0

ให้เราทำเครื่องหมายจุดตัดของเส้น

ดังที่เห็นได้จากรูป กราฟของฟังก์ชัน y = x 3 และ y = 0 ตัดกันที่จุด (0; 0) สิ่งนี้เกิดขึ้นเพราะ x = 0 เป็นรากที่แท้จริงเพียงรากเดียวของสมการ x 3 = 0

x = 2 เป็นรากเดียวของสมการ - log 2 x + 1 = 0 ดังนั้นกราฟของฟังก์ชัน y = - log 2 x + 1 และ y = 0 ตัดกันที่จุด (2; 0)

x = 1 เป็นรากเดียวของสมการ x 3 = - log 2 x + 1 ในเรื่องนี้กราฟของฟังก์ชัน y = x 3 และ y = - log 2 x + 1 ตัดกันที่จุด (1; 1) ข้อความสุดท้ายอาจไม่ชัดเจน แต่สมการ x 3 = - log 2 x + 1 ไม่สามารถมีมากกว่าหนึ่งรูทได้เนื่องจากฟังก์ชัน y = x 3 เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดและฟังก์ชัน y = - log 2 x + 1 คือ ลดลงอย่างเคร่งครัด

แนวทางแก้ไขเพิ่มเติมเกี่ยวข้องกับหลายตัวเลือก

ตัวเลือกที่ 1

เราสามารถจินตนาการได้ว่ารูป G เป็นผลรวมของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งสองอันที่อยู่เหนือแกน x โดยอันแรกอยู่ใต้เส้นกึ่งกลางของส่วน x ∈ 0; 1 และอันที่สองอยู่ใต้เส้นสีแดงบนส่วน x ∈ 1; 2. ซึ่งหมายความว่าพื้นที่จะเท่ากับ S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x

ตัวเลือกหมายเลข 2

รูปที่ G สามารถแสดงเป็นผลต่างของตัวเลขสองตัว โดยตัวแรกจะอยู่เหนือแกน x และต่ำกว่าเส้นสีน้ำเงินบนส่วน x ∈ 0; 2 และเส้นที่สองระหว่างเส้นสีแดงและสีน้ำเงินบนส่วน x ∈ 1; 2. ทำให้เราสามารถหาพื้นที่ได้ดังนี้

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- บันทึก 2 x + 1) d x

ในกรณีนี้หากต้องการค้นหาพื้นที่คุณจะต้องใช้สูตรในรูปแบบ S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y ในความเป็นจริง เส้นที่ผูกรูปสามารถแสดงเป็นฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์ y ได้

มาแก้สมการ y = x 3 และ - log 2 x + 1 เทียบกับ x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - บันทึก 2 x + 1 ⇒ บันทึก 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

เราได้รับพื้นที่ที่ต้องการ:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 อิน 2 - 0 4 4 = - 1 อิน 2 - 1 4 + 2 อิน 2 = 1 อิน 2 - 1 4

คำตอบ: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

ตัวอย่างที่ 5

จำเป็นต้องคำนวณพื้นที่ของรูปซึ่งถูกจำกัดด้วยเส้น y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4

สารละลาย

เราจะวาดเส้นบนกราฟด้วยเส้นสีแดง กำหนดโดยฟังก์ชันย = x เราวาดเส้น y = - 1 2 x + 4 เป็นสีน้ำเงิน และเส้น y = 2 3 x - 3 เป็นสีดำ

ลองทำเครื่องหมายจุดตัดกัน

มาหาจุดตัดของกราฟของฟังก์ชัน y = x และ y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 ตรวจสอบ: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 ไม่ใช่ คือคำตอบของสมการ x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 คือคำตอบของสมการ ⇒ (4; 2) จุดตัดกัน i y = x และ y = - 1 2 x + 4

มาหาจุดตัดของกราฟของฟังก์ชัน y = x และ y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 ตรวจสอบ: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 คือคำตอบของสมการ ⇒ (9 ; 3) ชี้ a s y = x และ y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 ไม่มีคำตอบของสมการ

มาหาจุดตัดของเส้นตรง y = - 1 2 x + 4 และ y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) จุดตัดกัน y = - 1 2 x + 4 และ y = 2 3 x - 3

วิธีที่ 1

ลองจินตนาการถึงพื้นที่ของรูปที่ต้องการเป็นผลรวมของพื้นที่ของรูปแต่ละรูป

จากนั้นพื้นที่ของรูปคือ:

เอส (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

วิธีที่ 2

พื้นที่ของรูปเดิมสามารถแสดงเป็นผลรวมของรูปอีกสองรูปได้

จากนั้นเราจะแก้สมการของเส้นตรงที่สัมพันธ์กับ x และหลังจากนั้นเราก็ใช้สูตรในการคำนวณพื้นที่ของรูป

y = x ⇒ x = y 2 เส้นสีแดง y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 เส้นสีดำ y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

ดังนั้นพื้นที่คือ:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 ปี + 9 2 - - 2 ปี + 8 วัน + ∫ 2 3 3 2 ปี + 9 2 - ปี 2 วัน y = = ∫ 1 2 7 2 ปี - 7 2 วัน + ∫ 2 3 3 2 ปี + 9 2 - ปี 2 วัน = = 7 4 ปี 2 - 7 4 ปี 1 2 + - ปี 3 3 + 3 ปี 2 4 + 9 2 ปี 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

อย่างที่คุณเห็นค่าจะเท่ากัน

คำตอบ: S (G) = 11 3

ผลลัพธ์

ในการหาพื้นที่ของรูปที่ถูกจำกัดด้วยเส้นที่กำหนด เราจำเป็นต้องสร้างเส้นบนระนาบ ค้นหาจุดตัดของมัน และใช้สูตรเพื่อค้นหาพื้นที่ ใน ส่วนนี้เราพิจารณาปัญหาต่างๆ ที่พบบ่อยที่สุด

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

จะแทรกสูตรทางคณิตศาสตร์บนเว็บไซต์ได้อย่างไร?

หากคุณต้องการเพิ่มสูตรทางคณิตศาสตร์หนึ่งหรือสองสูตรลงในหน้าเว็บวิธีที่ง่ายที่สุดในการทำเช่นนี้คือตามที่อธิบายไว้ในบทความ: สูตรทางคณิตศาสตร์จะถูกแทรกลงบนไซต์ได้อย่างง่ายดายในรูปแบบของรูปภาพที่สร้างโดย Wolfram Alpha โดยอัตโนมัติ . นอกจากความเรียบง่ายแล้วสิ่งนี้ วิธีการสากลจะช่วยปรับปรุงการมองเห็นเว็บไซต์ เครื่องมือค้นหา. มันใช้งานได้มาเป็นเวลานาน (และฉันคิดว่าจะใช้ได้ตลอดไป) แต่ก็ล้าสมัยไปแล้ว

หากคุณใช้สูตรทางคณิตศาสตร์บนไซต์ของคุณเป็นประจำ ฉันขอแนะนำให้คุณใช้ MathJax ซึ่งเป็นไลบรารี JavaScript พิเศษที่แสดงสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ในเว็บเบราว์เซอร์โดยใช้มาร์กอัป MathML, LaTeX หรือ ASCIIMathML

มีสองวิธีในการเริ่มใช้ MathJax: (1) การใช้โค้ดง่ายๆ คุณสามารถเชื่อมต่อสคริปต์ MathJax กับเว็บไซต์ของคุณได้อย่างรวดเร็ว ซึ่งจะถูกโหลดโดยอัตโนมัติจากเซิร์ฟเวอร์ระยะไกลในเวลาที่เหมาะสม (รายชื่อเซิร์ฟเวอร์); (2) ดาวน์โหลดสคริปต์ MathJax จากเซิร์ฟเวอร์ระยะไกลไปยังเซิร์ฟเวอร์ของคุณและเชื่อมต่อกับทุกหน้าในเว็บไซต์ของคุณ วิธีที่สอง - ซับซ้อนกว่าและใช้เวลานาน - จะทำให้การโหลดหน้าเว็บไซต์ของคุณเร็วขึ้น และหากเซิร์ฟเวอร์ MathJax หลักไม่สามารถใช้งานได้ชั่วคราวด้วยเหตุผลบางประการ สิ่งนี้จะไม่ส่งผลกระทบต่อไซต์ของคุณในทางใดทางหนึ่ง แม้จะมีข้อดีเหล่านี้ แต่ฉันเลือกวิธีแรกเนื่องจากง่ายกว่า เร็วกว่า และไม่ต้องใช้ทักษะทางเทคนิค ทำตามตัวอย่างของฉัน และในเวลาเพียง 5 นาที คุณจะสามารถใช้ฟีเจอร์ทั้งหมดของ MathJax บนไซต์ของคุณได้

คุณสามารถเชื่อมต่อสคริปต์ไลบรารี MathJax จากเซิร์ฟเวอร์ระยะไกลได้โดยใช้ตัวเลือกโค้ดสองตัวที่นำมาจากเว็บไซต์ MathJax หลักหรือบนหน้าเอกสารประกอบ:

หนึ่งในตัวเลือกโค้ดเหล่านี้จำเป็นต้องคัดลอกและวางลงในโค้ดของหน้าเว็บของคุณ โดยควรอยู่ระหว่างแท็กและหรืออยู่หลังแท็ก ตามตัวเลือกแรก MathJax จะโหลดเร็วขึ้นและทำให้หน้าช้าลง แต่ตัวเลือกที่สองจะตรวจสอบและโหลด MathJax เวอร์ชันล่าสุดโดยอัตโนมัติ หากคุณใส่รหัสแรก จะต้องได้รับการอัปเดตเป็นระยะ หากคุณใส่โค้ดที่สอง หน้าเว็บจะโหลดช้าลง แต่คุณไม่จำเป็นต้องติดตามการอัปเดต MathJax อย่างต่อเนื่อง

วิธีที่ง่ายที่สุดในการเชื่อมต่อ MathJax คือใน Blogger หรือ WordPress: ในแผงควบคุมไซต์ ให้เพิ่มวิดเจ็ตที่ออกแบบมาเพื่อแทรกโค้ด JavaScript บุคคลที่สาม คัดลอกโค้ดดาวน์โหลดเวอร์ชันแรกหรือเวอร์ชันที่สองที่แสดงด้านบนลงไป และวางวิดเจ็ตไว้ใกล้ยิ่งขึ้น ไปที่จุดเริ่มต้นของเทมเพลต (โดยวิธีนี้ไม่จำเป็นเลย เนื่องจากสคริปต์ MathJax ถูกโหลดแบบอะซิงโครนัส) นั่นคือทั้งหมดที่ ตอนนี้เรียนรู้ไวยากรณ์มาร์กอัปของ MathML, LaTeX และ ASCIIMathML แล้วคุณก็พร้อมที่จะแทรกสูตรทางคณิตศาสตร์ลงในหน้าเว็บของเว็บไซต์ของคุณแล้ว

แฟร็กทัลใดๆ ก็ตามจะถูกสร้างขึ้นตามกฎเกณฑ์หนึ่ง ซึ่งใช้อย่างสม่ำเสมอโดยไม่จำกัดจำนวนครั้ง แต่ละครั้งดังกล่าวเรียกว่าการวนซ้ำ

อัลกอริธึมการวนซ้ำสำหรับการสร้างฟองน้ำ Menger นั้นค่อนข้างง่าย: ลูกบาศก์ดั้งเดิมที่มีด้าน 1 จะถูกแบ่งด้วยระนาบที่ขนานกับใบหน้าออกเป็น 27 ลูกบาศก์เท่า ๆ กัน ลูกบาศก์กลางหนึ่งลูกบาศก์และลูกบาศก์ 6 ก้อนที่อยู่ติดกันตามใบหน้าจะถูกลบออกจากมัน ผลลัพธ์ที่ได้คือชุดที่ประกอบด้วยลูกบาศก์ขนาดเล็กกว่า 20 ลูกบาศก์ที่เหลือ เมื่อทำเช่นเดียวกันกับแต่ละลูกบาศก์ เราจะได้ชุดที่ประกอบด้วยลูกบาศก์ขนาดเล็กกว่า 400 ลูกบาศก์ ดำเนินกระบวนการนี้ต่อไปอย่างไม่สิ้นสุดเราจะได้ฟองน้ำ Menger