จำนวนที่มากที่สุดในระบบทศนิยม ฉันเขียนเกี่ยวกับสิ่งที่ดึงดูดฉัน

วันนี้เด็กถาม: “ตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดในโลกชื่ออะไร?” คำถามที่น่าสนใจ ฉันออนไลน์และพบบทความโดยละเอียดใน LiveJournal ในบรรทัดแรกของ Yandex ทุกอย่างอธิบายไว้โดยละเอียด ปรากฎว่ามีสองระบบในการตั้งชื่อตัวเลข: ภาษาอังกฤษและอเมริกัน และตัวอย่างเช่น สี่ล้านล้านตามระบบอังกฤษและอเมริกันเป็นตัวเลขที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง! จำนวนที่ไม่ใช่คอมโพสิตที่ใหญ่ที่สุดคือ ล้าน = 10 ยกกำลัง 3003
เป็นผลให้ลูกชายได้ข้อสรุปที่สมเหตุสมผลอย่างยิ่งว่าสามารถนับได้ไม่รู้จบ

ต้นฉบับนำมาจาก แคตแทค ในจำนวนที่มากที่สุดในโลก

ตอนเป็นเด็กฉันรู้สึกทรมานกับคำถามแบบไหน
จำนวนมากที่สุดและฉันก็ทรมานกับคนโง่คนนี้
คำถามสำหรับเกือบทุกคน หลังจากเรียนเลขแล้ว
ล้านผมถามว่ามีจำนวนสูงกว่านี้หรือไม่
ล้าน. พันล้าน? เกินพันล้านแล้วไง? ล้านล้าน?
เกินล้านล้านแล้วไง? ในที่สุดก็พบคนฉลาดแล้ว
ที่อธิบายให้ฉันฟังว่าคำถามนั้นโง่เพราะว่า
แค่เพิ่มเข้าไปในตัวมันเองก็พอแล้ว
จำนวนมากคือหนึ่ง และปรากฎว่าเป็นเช่นนั้น
ไม่เคยใหญ่ที่สุดนับตั้งแต่มี
จำนวนนั้นยิ่งใหญ่กว่านั้นอีก

หลายปีต่อมา ฉันจึงตัดสินใจถามตัวเองเรื่องอื่น
คำถามคือ: อะไรมากที่สุด
จำนวนมากที่มีตัวมันเอง
ชื่อ?โชคดีที่ตอนนี้มีอินเทอร์เน็ตแล้วและยังน่าสงสัยอยู่
พวกเขาสามารถค้นหาผู้ป่วยที่ไม่ทำ
พวกเขาจะเรียกคำถามของฉันว่างี่เง่า ;-)
ที่จริงแล้วนั่นคือสิ่งที่ฉันทำ และนี่คือผลลัพธ์
พบว่า.

มีสองระบบสำหรับการตั้งชื่อตัวเลข -
อเมริกันและอังกฤษ

ระบบอเมริกันถูกสร้างขึ้นค่อนข้างมาก
แค่. ชื่อจำนวนมากทั้งหมดมีโครงสร้างดังนี้:
ที่จุดเริ่มต้นจะมีเลขลำดับละติน
และต่อท้ายคำต่อท้าย -million จะถูกเพิ่มเข้าไป
ข้อยกเว้นคือชื่อ "ล้าน"
ซึ่งเป็นชื่อเลขพัน (lat. มิลล์)
และคำต่อท้ายขยาย -illion (ดูตาราง)
นี่คือวิธีที่ตัวเลขออกมา - ล้านล้าน, สี่ล้านล้าน,
หนึ่งล้านล้าน, หนึ่งพันล้าน, หนึ่งพันล้าน, หนึ่งล้านแปดล้าน,
ไม่ล้านและเดล้าน ระบบอเมริกัน
ใช้ในสหรัฐอเมริกา แคนาดา ฝรั่งเศส และรัสเซีย
ค้นหาจำนวนศูนย์ในตัวเลขที่เขียนโดย
ระบบอเมริกันใช้สูตรง่ายๆ
3 x+3 (โดยที่ x คือเลขละติน)

ระบบการตั้งชื่อภาษาอังกฤษมากที่สุด
แพร่หลายไปทั่วโลก มันถูกใช้เช่นใน
สหราชอาณาจักร และสเปน รวมไปถึงส่วนใหญ่
อดีตอาณานิคมของอังกฤษและสเปน ชื่อเรื่อง
ตัวเลขในระบบนี้ถูกสร้างขึ้นดังนี้: ถึง
ส่วนต่อท้ายจะถูกเพิ่มเข้าไปในเลขละติน
-ล้าน เลขถัดไป (มากกว่า 1,000 เท่า)
ถูกสร้างขึ้นบนหลักการเดียวกัน
เลขละติน แต่คำต่อท้ายคือ -พันล้าน
นั่นคือหลังจากล้านล้านในระบบอังกฤษ
มีหนึ่งล้านล้าน และหลังจากนั้นก็มีเพียงสี่ล้านล้านเท่านั้น
ตามด้วยสี่ล้านล้าน เป็นต้น ดังนั้น
ดังนั้น quadrillion ในภาษาอังกฤษและ
ระบบของอเมริกาแตกต่างอย่างสิ้นเชิง
ตัวเลข! ค้นหาจำนวนศูนย์ในตัวเลข
เขียนตามระบบภาษาอังกฤษและ
ที่ลงท้ายด้วยคำต่อท้าย -illion ได้
สูตร 6 x+3 (โดยที่ x คือเลขละติน) และ
ใช้สูตร 6 x + 6 สำหรับตัวเลขที่ลงท้ายด้วย
-พันล้าน

ผ่านจากระบบภาษาอังกฤษเป็นภาษารัสเซีย
มีเพียงจำนวนพันล้าน (10 9) เท่านั้นที่ยังคงอยู่
มันจะถูกต้องกว่าถ้าเรียกมันว่าอะไร
คนอเมริกัน - หนึ่งพันล้านคนตามที่เรายอมรับ
คือระบบของอเมริกา แต่ใครอยู่ในของเรา
ประเทศกำลังทำอะไรตามกฎ! ;-) อนึ่ง,
บางครั้งในภาษารัสเซียก็ใช้คำนี้
ล้านล้าน (คุณสามารถเห็นสิ่งนี้ด้วยตัวคุณเอง
โดยดำเนินการค้นหาใน Googleหรือยานเดกซ์) และมันหมายถึงตัดสินโดย
รวม 1,000 ล้านล้านนั่นคือ สี่ล้านล้าน

นอกจากตัวเลขที่เขียนด้วยภาษาละตินแล้ว
คำนำหน้าตามระบบอเมริกันหรืออังกฤษ
เรียกอีกอย่างว่าหมายเลขที่ไม่ใช่ระบบ
เหล่านั้น. ตัวเลขที่มีเป็นของตัวเอง
ชื่อที่ไม่มีคำนำหน้าภาษาละติน เช่น
มีหลายตัวเลข แต่ฉันจะบอกคุณเพิ่มเติมเกี่ยวกับตัวเลขเหล่านี้
ฉันจะบอกคุณในภายหลังเล็กน้อย

กลับไปที่การบันทึกโดยใช้ภาษาละติน
ตัวเลข ดูเหมือนว่าพวกเขาจะทำได้
เขียนตัวเลขให้เป็นอนันต์ แต่นี่ไม่ใช่
ค่อนข้างแบบนั้น ตอนนี้ฉันจะอธิบายว่าทำไม มาดูกันเพื่อ
จุดเริ่มต้นของสิ่งที่เรียกว่าตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 10 33:

และตอนนี้คำถามก็เกิดขึ้น อะไรต่อไป อะไร
ข้างหลังล้านล้านเหรอ? โดยหลักการแล้ว คุณสามารถ
โดยการรวมคำนำหน้าเพื่อสร้างเช่นนั้น
สัตว์ประหลาดที่ชอบ: แอนเดซิลเลียน, ดูโอเดซิลเลียน,
พันเดซิล้าน, ควอตเตอร์เดซิล้าน, ควินเดซิล้าน,
เลขเดซิล้าน, เลขเซปเตมเดซิล้าน, เลขแปดล้านแปด และ
ใหม่ล้านล้าน แต่สิ่งเหล่านี้จะประกอบกันแล้ว
ชื่อ แต่เราสนใจเป็นพิเศษ
ชื่อที่ถูกต้องสำหรับตัวเลข ดังนั้นเอง
ชื่อตามระบบนี้ นอกเหนือจากที่ระบุไว้ข้างต้น และอื่นๆ อีกมากมาย
คุณสามารถได้เพียงสามเท่านั้น
- vigintillion (จาก lat. viginti —
ยี่สิบ), ร้อยล้าน (จาก lat. เซ็นตัม- หนึ่งร้อย) และ
ล้านล้าน (จาก lat. มิลล์- พัน) มากกว่า
ชื่อที่ถูกต้องสำหรับตัวเลขของชาวโรมันนับพัน
ไม่มี (มีทุกจำนวนเกินพันคน)
สารประกอบ). ตัวอย่างเช่น ชาวโรมันหนึ่งล้าน (1,000,000) คน
เรียกว่า เดซีส เซนเทนา มิเลียคือ "สิบร้อย
พัน" และตอนนี้ตารางจริง:

ดังนั้นตามระบบตัวเลขที่คล้ายกัน
มากกว่า 10 3003 ซึ่งก็จะมี
รับชื่อของคุณเองที่ไม่ซับซ้อน
เป็นไปไม่ได้! แต่ตัวเลขก็ยังสูงกว่า
มีคนรู้จักเป็นล้าน - สิ่งเหล่านี้ก็เหมือนกัน
หมายเลขที่ไม่ใช่ระบบ ในที่สุดเรามาพูดถึงพวกเขากัน

จำนวนที่น้อยที่สุดคือ มากมาย
(มีอยู่ในพจนานุกรมของ Dahl ด้วยซ้ำ) ซึ่งหมายความว่า
ร้อยร้อยคือ 10,000 แต่คำนี้
ล้าสมัยและไม่ได้ใช้จริง แต่
น่าสนใจตรงที่มีการใช้คำนี้กันอย่างแพร่หลาย
"มากมาย" ซึ่งไม่ได้หมายความว่าเลย
เป็นจำนวนหนึ่งแต่นับไม่ถ้วนนับไม่ได้
บางสิ่งบางอย่างมากมาย เชื่อกันว่าคำว่ามากมายมหาศาล
(อังกฤษมากมาย) มาถึงภาษายุโรปตั้งแต่สมัยโบราณ
อียิปต์.

Google(จากภาษาอังกฤษ googol) คือเลขสิบใน
ยกกำลังร้อย คือ หนึ่งตามด้วยศูนย์หนึ่งร้อย เกี่ยวกับ
"googole" เขียนขึ้นครั้งแรกในปี 1938 ในบทความ
"ชื่อใหม่ในวิชาคณิตศาสตร์" ในนิตยสารฉบับเดือนมกราคม
Scripta Mathematica นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน เอ็ดเวิร์ด แคสเนอร์
(เอ็ดเวิร์ด แคสเนอร์). ตามเขาเรียกว่า "googol"
เด็กอายุเก้าขวบของเขาแนะนำจำนวนมาก
หลานชาย มิลตัน ซิรอตต้า
หมายเลขนี้กลายเป็นที่รู้จักโดยทั่วไปต้องขอบคุณ
เครื่องมือค้นหาที่ตั้งชื่อตามเขา Google. โปรดทราบว่า
Google นั่นเอง เครื่องหมายการค้าและ googol คือตัวเลข

ในคัมภีร์พระพุทธศาสนาอันโด่งดังเรื่อง Jaina Sutra กล่าวไว้ว่า
ย้อนกลับไปถึง 100 ปีก่อนคริสตกาล มีตัวเลขอยู่ อาสนะเขยา
(จากประเทศจีน อาเซนซี- นับไม่ได้) เท่ากับ 10 140
เชื่อกันว่าจำนวนนี้เท่ากับจำนวน
วัฏจักรจักรวาลที่จำเป็นเพื่อให้ได้มา
นิพพาน.

กูเกิลเพล็กซ์(ภาษาอังกฤษ) กูเกิลเพล็กซ์) - หมายเลขด้วย
คิดค้นโดย Kasner กับหลานชายของเขาและ
หมายถึงหนึ่งตามด้วย googol ที่เป็นศูนย์ นั่นคือ 10 10 100
นี่คือวิธีที่ Kasner อธิบาย "การค้นพบ" นี้:

เด็กๆ พูดถ้อยคำแห่งปัญญาอย่างน้อยบ่อยเท่ากับที่นักวิทยาศาสตร์ ชื่อ
“googol” ถูกประดิษฐ์ขึ้นโดยเด็กคนหนึ่ง (หลานชายวัย 9 ขวบของดร.แคสเนอร์) ซึ่งเป็น
ขอให้คิดชื่อจำนวนที่มากคือ 1 โดยมีศูนย์เป็นร้อยตามหลัง
เขามั่นใจมากว่าจำนวนนี้ไม่ใช่จำนวนอนันต์ ดังนั้นจึงมั่นใจพอๆ กัน
มันต้องมีชื่อ ขณะเดียวกันเขาก็แนะนำ "กูเกิล" เขาก็ให้
ชื่อของจำนวนที่มากขึ้น: "Googolplex" googolplex มีขนาดใหญ่กว่า a มาก
googol แต่ก็ยังมีจำกัด เนื่องจากผู้ประดิษฐ์ชื่อนี้ได้ชี้ให้เห็นอย่างรวดเร็ว

คณิตศาสตร์และจินตนาการ(1940) โดย Kasner และ James R.
ผู้ชายคนใหม่.

จำนวนที่มากกว่า googolplex ก็คือตัวเลข
Skewes "หมายเลข" ถูกเสนอโดย Skewes ในปี 1933
ปี (เสียบ. เจ. ลอนดอนคณิตศาสตร์ สังคมสงเคราะห์ 8 , 277-283, 1933.) กับ
การพิสูจน์สมมติฐาน
รีมันน์ เกี่ยวกับจำนวนเฉพาะ มัน
วิธี จในระดับหนึ่ง จในระดับหนึ่ง จวี
องศา 79 นั่นคือ e e e 79 ภายหลัง,
Riele (te Riele, H. J. J. "บนสัญลักษณ์ของความแตกต่าง" ป(x)-หลี่(x)"
คณิตศาสตร์. คอมพิวเตอร์ 48 , 323-328, 1987) ลดหมายเลข Skuse ลงเป็น e e 27/4
ซึ่งมีค่าประมาณเท่ากับ 8.185 10 370 เข้าใจได้
ประเด็นก็คือเนื่องจากค่าของตัวเลข Skewes ขึ้นอยู่กับ
ตัวเลข จมันก็เลยไม่ครบถ้วน
เราจะไม่พิจารณา ไม่เช่นนั้นเราจะต้องพิจารณา
จำตัวเลขที่ไม่ใช่ธรรมชาติอื่น ๆ - ตัวเลข
pi, เลข e, เลขอาโวกาโดร ฯลฯ

แต่ควรสังเกตว่ามีตัวเลขที่สอง
Skuse ซึ่งในทางคณิตศาสตร์แสดงเป็น Sk 2
ซึ่งมากกว่าเลข Skuse ตัวแรก (Sk 1)
หมายเลข Skewes ที่สองได้รับการแนะนำโดย J.
Skuse ในบทความเดียวกันเพื่อแสดงถึงตัวเลขสูงสุด
ซึ่งสมมติฐานของรีมันน์เป็นจริง เอสเค 2
เท่ากับ 10 10 10 10 3 นั่นคือ 10 10 10 1,000
.

ดังที่คุณเข้าใจ ยิ่งจำนวนองศามากเท่าไร
ยิ่งยากที่จะเข้าใจว่าจำนวนใดจะมากกว่า
เช่น ดูเลข Skewes โดยไม่มี
การคำนวณพิเศษแทบจะเป็นไปไม่ได้เลย
ทำความเข้าใจว่าตัวเลขสองตัวนี้ตัวใดมากกว่า ดังนั้น
ดังนั้นสำหรับการใช้ตัวเลขที่มากเป็นพิเศษ
องศาเริ่มไม่สบาย นอกจากนี้คุณยังสามารถ
เกิดขึ้นกับตัวเลขดังกล่าว (และได้มีการประดิษฐ์ขึ้นแล้ว) เมื่อใด
องศาก็ไม่พอดีกับหน้า
ใช่แล้ว นั่นมันหน้าเพจ! มันจะไม่พอดีแม้แต่ในหนังสือ
ขนาดของจักรวาลทั้งหมด! ในกรณีนี้มันลุกขึ้น
คำถามคือจะเขียนมันลงไปอย่างไร ปัญหาอยู่ที่ว่าคุณเป็นอย่างไร
คุณเข้าใจ มันแก้ได้ และนักคณิตศาสตร์ก็พัฒนาขึ้น
หลักการเขียนตัวเลขดังกล่าวหลายประการ
จริงอยู่ที่นักคณิตศาสตร์ทุกคนที่ถามคำถามนี้
ปัญหา ฉันคิดวิธีบันทึกแบบนั้นขึ้นมาเอง
นำไปสู่การมีอยู่หลายอย่างที่ไม่เกี่ยวข้องกัน
ด้วยกันวิธีการเขียนตัวเลขคือ
สัญลักษณ์ของ Knuth, Conway, Steinhouse ฯลฯ

พิจารณาสัญกรณ์ของ Hugo Stenhouse (H. Steinhaus. คณิตศาสตร์
สแนปชอต, ฉบับที่ 3 2526) ซึ่งค่อนข้างเรียบง่าย สไตน์
เฮาส์แนะนำให้เขียนตัวเลขขนาดใหญ่ไว้ข้างใน
รูปทรงเรขาคณิต - สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม และ
วงกลม:

Steinhouse มาพร้อมกับขนาดใหญ่พิเศษใหม่สองรายการ
ตัวเลข เขาตั้งชื่อหมายเลข - เมก้าและหมายเลขนั้นก็คือ เมจิสตัน.

นักคณิตศาสตร์ ลีโอ โมเซอร์ ปรับปรุงสัญกรณ์
สเตนเฮาส์ซึ่งถูกจำกัดอยู่เพียงไรถ้า
จำเป็นต้องเขียนตัวเลขที่ใหญ่กว่ามาก
เมจิสตัน ความยากลำบากและความไม่สะดวกก็บังเกิดขึ้น
ฉันต้องวาดวงกลมหลายวงเพียงลำพังได้อย่างไร
ภายในอีกอัน โมเซอร์แนะนำหลังสี่เหลี่ยม
วาดรูปห้าเหลี่ยมแทนวงกลม
หกเหลี่ยมและอื่น ๆ เขายังแนะนำ
สัญกรณ์อย่างเป็นทางการสำหรับรูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้
จึงสามารถเขียนตัวเลขได้โดยไม่ต้องวาดรูป
ภาพวาดที่ซับซ้อน สัญกรณ์โมเซอร์มีลักษณะดังนี้:

ดังนั้นตามสัญกรณ์ของโมเซอร์
เมกะของสไตน์เฮาส์เขียนเป็น 2 และ
เมจิสตันเท่ากับ 10 นอกจากนี้ ลีโอ โมเซอร์ยังแนะนำอีกด้วย
เรียกรูปหลายเหลี่ยมที่มีจำนวนด้านเท่ากัน
เมกะ - เมกะกอน และแนะนำหมายเลข "2 นิ้ว"
Megagone" นั่นคือ 2 ตัวเลขนี้กลายเป็น
รู้จักกันในชื่อเลขของโมเซอร์หรือเรียกง่ายๆ
ยังไง โมเซอร์.

แต่โมเซอร์ไม่ใช่จำนวนที่มากที่สุด ใหญ่ที่สุด
เบอร์ที่เคยใช้.
การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ก็คือ
ค่าจำกัดที่เรียกว่า หมายเลขเกรแฮม
(เลขเกรแฮม) ใช้ครั้งแรกเมื่อปี พ.ศ. 2520
หลักฐานการประมาณค่าเดียวในทฤษฎีแรมซีย์ มัน
เกี่ยวข้องกับไฮเปอร์คิวบ์แบบสองสี ไม่ใช่
สามารถแสดงได้โดยไม่ต้องมีระดับ 64 พิเศษ
ระบบสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์พิเศษ
เปิดตัวโดย Knuth ในปี 1976

น่าเสียดายที่ตัวเลขเขียนด้วยสัญกรณ์ Knuth
ไม่สามารถแปลงเป็นรายการ Moser ได้
เราจึงต้องอธิบายระบบนี้ด้วย ใน
โดยหลักการแล้วก็ไม่มีอะไรซับซ้อนเช่นกัน โดนัลด์
คนุต (ใช่แล้ว คนุตคนเขียนนี่แหละ
“ศิลปะแห่งการเขียนโปรแกรม” และสร้างสรรค์ขึ้น
TeX editor) เกิดแนวคิดเรื่องมหาอำนาจ
โดยทรงเสนอให้เขียนลูกศรลงไปว่า
ขึ้นไป:

ใน ปริทัศน์ดูเหมือนว่านี้:

ฉันคิดว่าทุกอย่างชัดเจนแล้วเรากลับมาที่ตัวเลขกันดีกว่า
เกรแฮม. Graham เสนอสิ่งที่เรียกว่า G-number:

หมายเลข G 63 กลายเป็นที่รู้จักในชื่อ ตัวเลข
เกรแฮม(มักเรียกง่ายๆ ว่า G)
หมายเลขนี้เป็นหมายเลขที่ใหญ่ที่สุดที่ทราบ
จำนวนมากที่สุดในโลกและยังรวมอยู่ใน Book of Records ด้วย
กินเนสส์" โอ้ นั่นคือเบอร์ของเกรแฮม จำนวนมากขึ้น
โมเซอร์.

ป.ล.เพื่อนำมาซึ่งประโยชน์อันมหาศาล
แก่มวลมนุษยชาติและจะได้รับเกียรติตลอดทุกยุคทุกสมัย ข้าพเจ้า
ฉันตัดสินใจที่จะคิดและตั้งชื่อที่ใหญ่ที่สุด
ตัวเลข. เบอร์นี้จะโทรไป สตาเพล็กซ์และ
มีค่าเท่ากับเลข G 100 จำมันและเมื่อไหร่
ลูกของคุณจะถามว่าอะไรใหญ่ที่สุด
เลขในโลกบอกเขาว่าเลขนี้เรียกว่าอะไร สตาเพล็กซ์.

“ฉันเห็นกลุ่มตัวเลขคลุมเครือที่ซ่อนอยู่ในความมืด ด้านหลังจุดเล็กๆ แห่งแสงสว่างที่เทียนแห่งเหตุผลให้ไว้ พวกเขากระซิบกัน สมรู้ร่วมคิดเกี่ยวกับใครจะรู้อะไร บางทีพวกเขาอาจไม่ชอบเรามากนักที่นึกถึงน้องชายคนเล็กของพวกเขาในใจเรา หรือบางทีพวกเขาก็แค่ใช้ชีวิตหลักเดียว นอกนั้น เกินกว่าความเข้าใจของเรา
ดักลาส เรย์

ไม่ช้าก็เร็วทุกคนจะต้องถูกทรมานด้วยคำถามที่ว่าจำนวนใดมากที่สุด คำถามของเด็กมีคำตอบเป็นล้านคำตอบ อะไรต่อไป? ล้านล้าน. และยิ่งกว่านั้น? ที่จริงแล้ว คำตอบสำหรับคำถามที่ว่าจำนวนใดมากที่สุดนั้นเป็นเรื่องง่าย เพียงบวกหนึ่งเข้ากับจำนวนที่มากที่สุด และมันจะไม่เป็นจำนวนที่มากที่สุดอีกต่อไป ขั้นตอนนี้สามารถดำเนินการต่อไปได้อย่างไม่มีกำหนด

แต่ถ้าคุณถามคำถาม: จำนวนที่มากที่สุดที่มีอยู่คืออะไร และชื่อเฉพาะของมันคืออะไร?

ตอนนี้เราจะค้นหาทุกสิ่ง ...

การตั้งชื่อตัวเลขมีสองระบบ - อเมริกันและอังกฤษ

ระบบอเมริกันถูกสร้างขึ้นค่อนข้างเรียบง่าย ชื่อจำนวนมากทั้งหมดถูกสร้างขึ้นดังนี้: ที่จุดเริ่มต้นจะมีเลขลำดับละตินและในตอนท้ายจะมีการเพิ่มส่วนต่อท้าย -million ข้อยกเว้นคือชื่อ "ล้าน" ซึ่งเป็นชื่อหลักพัน (lat. มิลล์) และส่วนต่อท้ายแบบขยาย -illion (ดูตาราง) นี่คือวิธีที่เราได้ตัวเลข ล้านล้าน, สี่ล้านล้าน, ควินทิลเลียน, เซ็กส์ทิลเลียน, เซทิลเลียน, ออคทิลเลียน, โนล้านล้าน และเดซิล้าน ระบบอเมริกันใช้ในสหรัฐอเมริกา แคนาดา ฝรั่งเศส และรัสเซีย คุณสามารถค้นหาจำนวนศูนย์ในตัวเลขที่เขียนตามระบบอเมริกันโดยใช้สูตรง่ายๆ 3 x + 3 (โดยที่ x คือเลขละติน)

ระบบการตั้งชื่อภาษาอังกฤษเป็นระบบที่ใช้กันมากที่สุดในโลก ตัวอย่างเช่น มีการใช้ในสหราชอาณาจักรและสเปน รวมถึงในอดีตอาณานิคมของอังกฤษและสเปนส่วนใหญ่ ชื่อของตัวเลขในระบบนี้ถูกสร้างขึ้นดังนี้: เช่นนี้: เพิ่มส่วนต่อท้าย -million เข้ากับเลขละติน, หมายเลขถัดไป (ใหญ่กว่า 1,000 เท่า) ถูกสร้างขึ้นตามหลักการ - เลขละตินเดียวกัน แต่ส่วนต่อท้าย - พันล้าน. นั่นคือ หลังจากหนึ่งล้านล้านในระบบอังกฤษ จะมีหนึ่งล้านล้าน และตามด้วยสี่ล้านล้านเท่านั้น ตามด้วยสี่ล้านล้าน เป็นต้น ดังนั้น หนึ่งพันล้านล้านตามระบบของอังกฤษและอเมริกันจึงเป็นอย่างแน่นอน ตัวเลขที่แตกต่างกัน! คุณสามารถค้นหาจำนวนศูนย์ในตัวเลขที่เขียนตามระบบภาษาอังกฤษและลงท้ายด้วยคำต่อท้าย - ล้าน โดยใช้สูตร 6 x + 3 (โดยที่ x เป็นเลขละติน) และใช้สูตร 6 x + 6 สำหรับตัวเลข ลงท้ายด้วย - พันล้าน

มีเพียงจำนวนพันล้าน (10 9) เท่านั้นที่ส่งผ่านจากระบบภาษาอังกฤษเป็นภาษารัสเซียซึ่งยังคงถูกต้องมากกว่าที่จะเรียกว่าอย่างที่คนอเมริกันเรียกว่า - พันล้านเนื่องจากเราได้นำระบบอเมริกันมาใช้ แต่ใครในประเทศเราทำอะไรตามกฎ! ;-) อย่างไรก็ตามบางครั้งคำว่าล้านล้านก็ใช้ในภาษารัสเซีย (คุณสามารถดูสิ่งนี้ได้ด้วยตัวเองโดยทำการค้นหาใน Google หรือ Yandex) และเห็นได้ชัดว่ามันหมายถึง 1,000 ล้านล้านนั่นคือ สี่ล้านล้าน

นอกจากตัวเลขที่เขียนโดยใช้คำนำหน้าภาษาละตินตามระบบอเมริกันหรืออังกฤษแล้ว ยังรู้จักสิ่งที่เรียกว่าตัวเลขที่ไม่ใช่ระบบอีกด้วย เช่น ตัวเลขที่มีชื่อเป็นของตัวเองโดยไม่มีคำนำหน้าภาษาละติน มีตัวเลขดังกล่าวอยู่หลายตัว แต่ฉันจะบอกคุณเพิ่มเติมเกี่ยวกับพวกเขาในภายหลัง

กลับไปเขียนโดยใช้เลขละตินกันดีกว่า ดูเหมือนว่าพวกเขาสามารถเขียนตัวเลขจนถึงอนันต์ได้ แต่นี่ไม่เป็นความจริงทั้งหมด ตอนนี้ฉันจะอธิบายว่าทำไม ก่อนอื่นเรามาดูกันว่าตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 10 33 เรียกว่าอะไร:

และตอนนี้คำถามก็เกิดขึ้น อะไรต่อไป อะไรอยู่เบื้องหลังล้าน? โดยหลักการแล้ว แน่นอนว่าเป็นไปได้โดยการรวมคำนำหน้าเข้าด้วยกันเพื่อสร้างสัตว์ประหลาดเช่น: แอนเดซิล้าน, ดูโอเดซิลเลียน, เทรเดซิลเลียน, ควอทอร์เดซิล้าน, ควินเดซิล้าน, เซ็กส์เดซิล้าน, เซปเทมเดซิล้าน, ออคโตเดซิล้าน และโนเวมเดซิลเลียน แต่สิ่งเหล่านี้จะเป็นชื่อผสมอยู่แล้ว และเราก็ สนใจเลขชื่อเราเอง ดังนั้นตามระบบนี้ นอกเหนือจากที่ระบุไว้ข้างต้น คุณยังสามารถได้รับชื่อที่ถูกต้องเพียงสามชื่อเท่านั้น - vigintillion (จาก Lat.viginti- ยี่สิบ) ร้อยล้าน (จาก lat.เซ็นตัม- หนึ่งร้อย) และล้าน (จาก lat.มิลล์- พัน) ชาวโรมันไม่มีชื่อที่ถูกต้องสำหรับตัวเลขมากกว่าหนึ่งพันชื่อ (ตัวเลขทั้งหมดที่มากกว่าหนึ่งพันนั้นเป็นจำนวนประกอบ) เช่น ชาวโรมันเรียกเงินล้าน (1,000,000)เดซีส เซนเทนา มิเลียคือ "หนึ่งแสน" และตอนนี้จริง ๆ แล้วตาราง:

ดังนั้น ตามระบบดังกล่าว ตัวเลขจึงมากกว่า 10 3003 ซึ่งจะมีชื่อเป็นของตัวเองและไม่มีสารประกอบซึ่งเป็นไปไม่ได้ที่จะรับ! แต่ถึงกระนั้นก็ทราบตัวเลขที่มากกว่าหนึ่งล้านซึ่งเป็นตัวเลขที่ไม่เป็นระบบเหมือนกัน ในที่สุดเรามาพูดถึงพวกเขากัน

จำนวนที่น้อยที่สุดคือจำนวนมากมาย (อยู่ในพจนานุกรมของ Dahl ด้วยซ้ำ) ซึ่งหมายถึงร้อยร้อยนั่นคือ 10,000 อย่างไรก็ตามคำนี้ล้าสมัยและไม่ได้ใช้จริง แต่เป็นที่น่าสงสัยว่าคำว่า "มากมาย" นั้น ใช้กันอย่างแพร่หลายไม่ได้หมายถึงจำนวนที่แน่นอน แต่เป็นจำนวนมากมายนับไม่ถ้วน เชื่อกันว่าคำว่ามากมายเข้ามาในภาษายุโรปตั้งแต่สมัยอียิปต์โบราณ

มีความคิดเห็นที่แตกต่างกันเกี่ยวกับที่มาของตัวเลขนี้ บางคนเชื่อว่ามีต้นกำเนิดในอียิปต์ ในขณะที่บางคนเชื่อว่ามีต้นกำเนิดในกรีกโบราณเท่านั้น อาจเป็นไปได้ว่าในความเป็นจริงแล้ว คนจำนวนมากมายได้รับชื่อเสียงอย่างแม่นยำต้องขอบคุณชาวกรีก มากมายเป็นชื่อของคนหมื่นคน แต่ไม่มีชื่อตัวเลขที่มากกว่าหมื่นคน อย่างไรก็ตาม ในบันทึกของเขา “สมมิต” (นั่นคือ แคลคูลัสของทราย) อาร์คิมิดีสได้แสดงให้เห็นวิธีการสร้างและตั้งชื่อตัวเลขจำนวนมากอย่างเป็นระบบ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมื่อใส่เม็ดทราย 10,000 เม็ด (นับไม่ถ้วน) ลงในเมล็ดฝิ่น เขาพบว่าในจักรวาล (ลูกบอลที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของโลกจำนวนนับไม่ถ้วน) จะมีขนาดพอดี (ตามสัญกรณ์ของเรา) ไม่เกิน 10 เม็ด 63 เม็ดทราย เป็นที่น่าแปลกใจที่การคำนวณสมัยใหม่เกี่ยวกับจำนวนอะตอมในจักรวาลที่มองเห็นได้นำไปสู่หมายเลข 10 67 (รวมเป็นจำนวนมากกว่าหลายเท่า) อาร์คิมิดีสเสนอชื่อตัวเลขดังต่อไปนี้:
1 มากมาย = 10 4 .
1 ได-จำนวนมหาศาล = จำนวนมากมายมหาศาล = 10 8 .
1 ไตรหมื่น = ได-หมื่น ได-หมื่น = 10 16 .
1 เตตระ-หมื่น = สามหมื่น สามหมื่น = 10 32 .
ฯลฯ

Google(จากภาษาอังกฤษ googol) คือเลขสิบถึงกำลังร้อย กล่าวคือ หนึ่งตามด้วยศูนย์หนึ่งร้อย “googol” เขียนครั้งแรกในปี 1938 ในบทความ “ชื่อใหม่ในคณิตศาสตร์” ในวารสาร Scripta Mathematica ฉบับเดือนมกราคม โดย Edward Kasner นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน ตามที่เขาพูด Milton Sirotta หลานชายวัย 9 ขวบของเขาแนะนำให้เรียกคนจำนวนมากว่า "googol" หมายเลขนี้กลายเป็นที่รู้จักโดยทั่วไปเนื่องจากเครื่องมือค้นหาที่ตั้งชื่อตามหมายเลขนี้ Google. โปรดทราบว่า "Google" คือชื่อแบรนด์ และ googol คือตัวเลข

เอ็ดเวิร์ด แคสเนอร์.

บนอินเทอร์เน็ตคุณมักจะพบข้อความดังกล่าว - แต่นี่ไม่เป็นความจริง...

ในตำราทางพุทธศาสนาอันโด่งดัง Jaina Sutra ซึ่งมีอายุย้อนกลับไปถึง 100 ปีก่อนคริสตกาล มีตัวเลขดังกล่าวปรากฏอยู่ อาสนะเขยา(จากประเทศจีน อาเซนซี- นับไม่ได้) เท่ากับ 10 140 เชื่อกันว่าจำนวนนี้เท่ากับจำนวนรอบจักรวาลที่ต้องใช้เพื่อบรรลุนิพพาน

กูเกิลเพล็กซ์(ภาษาอังกฤษ) กูเกิลเพล็กซ์) - ตัวเลขที่คิดค้นโดย Kasner และหลานชายของเขาและหมายถึงตัวเลขที่มี googol เป็นศูนย์นั่นคือ 10 10100 . นี่คือวิธีที่ Kasner อธิบาย "การค้นพบ" นี้:

เด็กๆ พูดถ้อยคำแห่งปัญญาอย่างน้อยบ่อยเท่ากับที่นักวิทยาศาสตร์ ชื่อ "googol" ประดิษฐ์ขึ้นโดยเด็กคนหนึ่ง (หลานชายวัย 9 ขวบของ ดร.แคสเนอร์) ที่ถูกขอให้คิดชื่อให้กับตัวเลขจำนวนมหาศาล คือ 1 โดยมีศูนย์อยู่ด้านหลัง 100 ตัว เขามั่นใจมากว่า จำนวนนี้ไม่ใช่จำนวนอนันต์ดังนั้นจึงแน่ใจพอๆ กันว่ามันต้องมีชื่อ ขณะเดียวกัน ที่แนะนำ "googol" เขาก็ตั้งชื่อให้กับจำนวนที่มากกว่านั้น: "Googolplex" googolplex มีขนาดใหญ่กว่า googol มาก แต่ยังคงมีจำกัด เนื่องจากผู้ประดิษฐ์ชื่อนี้ได้ชี้ให้เห็นอย่างรวดเร็ว

คณิตศาสตร์และจินตนาการ(1940) โดย Kasner และ James R. Newman

จำนวนที่มากกว่า googolplex - ตัวเลขสกิว (หมายเลข Skewes) ถูกเสนอโดย Skewes ในปี 1933 (Skewes. เจ. ลอนดอนคณิตศาสตร์ สังคมสงเคราะห์ 8, 277-283, 1933.) ในการพิสูจน์สมมติฐานของรีมันน์เกี่ยวกับจำนวนเฉพาะ มันหมายถึง จในระดับหนึ่ง จในระดับหนึ่ง จยกกำลัง 79 นั่นคือ จ จ 79 . ต่อมา เต เรียลเล เอช.เจ.เจ. "บนสัญลักษณ์แห่งความแตกต่าง" ป(x)-หลี่(x)" คณิตศาสตร์. คอมพิวเตอร์ 48, 323-328, 1987) ลดจำนวน Skuse ลงเป็น ee 27/4 ซึ่งมีค่าประมาณเท่ากับ 8.185·10 370 เป็นที่ชัดเจนว่าเนื่องจากค่าของหมายเลข Skuse ขึ้นอยู่กับตัวเลข จถ้าอย่างนั้น มันก็ไม่ใช่จำนวนเต็ม ดังนั้นเราจะไม่พิจารณามัน ไม่เช่นนั้นเราจะต้องจำจำนวนที่ไม่เป็นธรรมชาติอื่นๆ เช่น ตัวเลข pi ตัวเลข e เป็นต้น

แต่ควรสังเกตว่ามีหมายเลข Skuse ที่สองซึ่งในทางคณิตศาสตร์เรียกว่า Sk2 ซึ่งมากกว่าหมายเลข Skuse แรก (Sk1) หมายเลข Skewes ที่สอง, ได้รับการแนะนำโดย J. Skuse ในบทความเดียวกันเพื่อแสดงถึงตัวเลขซึ่งสมมติฐานของรีมันน์ไม่มีอยู่ Sk2 เท่ากับ 1,010 10103 นั่นคือ 1010 101000 .

ดังที่คุณเข้าใจ ยิ่งมีองศามากเท่าไรก็ยิ่งยากที่จะเข้าใจว่าจำนวนใดจะมากกว่ากัน ตัวอย่างเช่น เมื่อดูตัวเลข Skewes โดยไม่มีการคำนวณพิเศษ แทบจะเป็นไปไม่ได้เลยที่จะเข้าใจว่าตัวเลขใดในสองตัวนี้ใหญ่กว่า ดังนั้นสำหรับตัวเลขที่มากเป็นพิเศษ การใช้พลังจึงไม่สะดวก ยิ่งกว่านั้นคุณสามารถสร้างตัวเลขดังกล่าวได้ (และได้ถูกประดิษฐ์ขึ้นแล้ว) เมื่อระดับองศาไม่พอดีกับหน้า ใช่แล้ว นั่นมันหน้าเพจ! มันไม่เหมาะกับหนังสือขนาดเท่าจักรวาลเลยด้วยซ้ำ! ในกรณีนี้ คำถามเกิดขึ้นว่าจะเขียนอย่างไร ตามที่คุณเข้าใจ ปัญหานั้นสามารถแก้ไขได้ และนักคณิตศาสตร์ได้พัฒนาหลักการหลายประการในการเขียนตัวเลขดังกล่าว จริงอยู่ที่นักคณิตศาสตร์ทุกคนที่ถามเกี่ยวกับปัญหานี้มีวิธีการเขียนของตัวเองซึ่งนำไปสู่การมีวิธีการเขียนตัวเลขหลายวิธีที่ไม่เกี่ยวข้องกัน - นี่คือสัญลักษณ์ของ Knuth, Conway, Steinhouse เป็นต้น

พิจารณาสัญกรณ์ของ Hugo Stenhouse (H. Steinhaus. สแน็ปช็อตทางคณิตศาสตร์, ฉบับที่ 3 2526) ซึ่งค่อนข้างเรียบง่าย Stein House แนะนำให้เขียนตัวเลขจำนวนมากภายในรูปทรงเรขาคณิต - สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม และวงกลม:

Steinhouse มีตัวเลขขนาดใหญ่พิเศษสองตัวขึ้นมาใหม่ เขาตั้งชื่อหมายเลข - เมก้าและหมายเลขนั้นก็คือ เมจิสตัน.

นักคณิตศาสตร์ ลีโอ โมเซอร์ ปรับปรุงสัญกรณ์ของสเตนเฮาส์ ซึ่งถูกจำกัดด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าหากจำเป็นต้องเขียนตัวเลขที่ใหญ่กว่าเมจิสตันมาก ปัญหาและความไม่สะดวกก็เกิดขึ้น เนื่องจากต้องวาดวงกลมหลายวงข้างในอีกวงหนึ่ง โมเซอร์แนะนำว่าหลังจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสแล้ว อย่าวาดวงกลม แต่วาดเป็นรูปห้าเหลี่ยม จากนั้นก็เป็นรูปหกเหลี่ยม และอื่นๆ นอกจากนี้เขายังเสนอสัญลักษณ์อย่างเป็นทางการสำหรับรูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้เพื่อให้สามารถเขียนตัวเลขได้โดยไม่ต้องวาดภาพที่ซับซ้อน สัญกรณ์โมเซอร์ดูเหมือนว่า:

ดังนั้น ตามสัญกรณ์ของโมเซอร์ เมกะของสไตน์เฮาส์จึงเขียนเป็น 2 และเมจิสตันเป็น 10 นอกจากนี้ ลีโอ โมเซอร์เสนอให้เรียกรูปหลายเหลี่ยมโดยมีจำนวนด้านเท่ากับเมกะ - เมกะกอน และเขาเสนอหมายเลข "2 ในเมกะกอน" นั่นคือ 2 หมายเลขนี้กลายเป็นที่รู้จักในนามหมายเลขของโมเซอร์หรือเรียกง่ายๆว่า โมเซอร์

แต่โมเซอร์ไม่ใช่จำนวนที่มากที่สุด จำนวนที่มากที่สุดที่เคยใช้ในการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์คือขีดจำกัดที่เรียกว่า หมายเลขเกรแฮม(เลขเกรแฮม) ใช้ครั้งแรกในปี พ.ศ. 2520 ในการพิสูจน์การประมาณการหนึ่งครั้งในทฤษฎีแรมซีย์ มีความเกี่ยวข้องกับไฮเปอร์คิวบ์แบบสองสีและไม่สามารถแสดงได้หากไม่มีระบบพิเศษ 64 ระดับของสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์พิเศษที่ Knuth นำมาใช้ในปี พ.ศ. 2519

น่าเสียดายที่ตัวเลขที่เขียนด้วยสัญกรณ์ของ Knuth ไม่สามารถแปลงเป็นสัญกรณ์ในระบบโมเซอร์ได้ เราจึงต้องอธิบายระบบนี้ด้วย โดยหลักการแล้วก็ไม่มีอะไรซับซ้อนเช่นกัน Donald Knuth (ใช่ ใช่ นี่คือ Knuth คนเดียวกับที่เขียน "The Art of Programming" และสร้างโปรแกรมแก้ไข TeX) เกิดแนวคิดเรื่องมหาอำนาจซึ่งเขาเสนอให้เขียนโดยมีลูกศรชี้ขึ้น:

โดยทั่วไปจะมีลักษณะดังนี้:

ฉันคิดว่าทุกอย่างชัดเจนแล้ว กลับไปที่หมายเลขของเกรแฮมกันดีกว่า Graham เสนอสิ่งที่เรียกว่า G-number:

เริ่มมีผู้เรียกหมายเลข G63 แล้ว หมายเลขเกรแฮม(มักเรียกง่ายๆ ว่า G) หมายเลขนี้เป็นหมายเลขที่รู้จักมากที่สุดในโลกและยังได้รับการจดทะเบียนใน Guinness Book of Records อีกด้วย เลขเกรแฮมมากกว่าเลขโมเซอร์

ป.ล.เพื่อที่จะนำผลประโยชน์อันใหญ่หลวงมาสู่มวลมนุษยชาติและมีชื่อเสียงตลอดหลายศตวรรษ ฉันจึงตัดสินใจตั้งชื่อตัวเลขที่ยิ่งใหญ่ที่สุดด้วยตัวเอง เบอร์นี้จะโทรไป สตาเพล็กซ์และมีค่าเท่ากับเลข G100 จำไว้ให้ดี และเมื่อลูกของคุณถามว่าอะไรคือตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดในโลก บอกพวกเขาว่าชื่อหมายเลขนี้ สตาเพล็กซ์

แล้วมีจำนวนมากกว่าเลขของเกรแฮมหรือเปล่า? แน่นอนว่าสำหรับผู้เริ่มต้น จะต้องมีหมายเลขของเกรแฮม. สำหรับจำนวนนัยสำคัญ... ก็มีบางสาขาคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนอย่างร้ายกาจ (โดยเฉพาะอย่างยิ่งพื้นที่ที่เรียกว่าเชิงคณิตศาสตร์) และวิทยาการคอมพิวเตอร์ซึ่งมีตัวเลขมากกว่าเลขเกรแฮมเกิดขึ้นด้วยซ้ำ แต่เราเกือบจะถึงขีดจำกัดของสิ่งที่สามารถอธิบายได้อย่างมีเหตุผลและชัดเจนแล้ว

มีตัวเลขจำนวนมากมายมหาศาลอย่างไม่น่าเชื่อ จนต้องใช้ทั้งจักรวาลในการเขียนลงไป แต่นี่คือสิ่งที่บ้าจริงๆ... จำนวนมหาศาลที่ไม่อาจหยั่งรู้เหล่านี้บางส่วนมีความสำคัญต่อการทำความเข้าใจโลก

เมื่อฉันพูดว่า "จำนวนที่ใหญ่ที่สุดในจักรวาล" ฉันหมายถึงจำนวนที่ใหญ่ที่สุดจริงๆ สำคัญ number คือจำนวนสูงสุดที่เป็นไปได้ซึ่งมีประโยชน์ในทางใดทางหนึ่ง มีผู้เข้าแข่งขันหลายคนสำหรับชื่อนี้ แต่ฉันจะเตือนคุณทันที: มีความเสี่ยงจริงๆ ที่การพยายามทำความเข้าใจมันจะทำให้คุณทึ่ง และยิ่งไปกว่านั้น ถ้าคณิตมากเกินไป คุณจะไม่สนุกเลย

กูกอล และกูกอลเพล็กซ์

เอ็ดเวิร์ด แคสเนอร์

เราอาจเริ่มต้นด้วยตัวเลขที่น่าจะเป็นตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดสองตัวที่คุณเคยได้ยินมา และนี่คือตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดสองตัวที่เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไปในคำจำกัดความ ภาษาอังกฤษ. (มีการใช้ระบบการตั้งชื่อที่ค่อนข้างแม่นยำเพื่อระบุตัวเลขที่มีขนาดใหญ่เท่าที่คุณต้องการ แต่ในปัจจุบันนี้คุณจะไม่พบตัวเลขสองตัวนี้ในพจนานุกรม) Googol เนื่องจากมันโด่งดังไปทั่วโลก (ถึงแม้จะมีข้อผิดพลาด โปรดทราบว่าจริงๆ แล้วมันคือ googol) มุมมองกูเกิล, เกิดในปี 1920 เพื่อให้เด็กๆ สนใจเรื่องจำนวนมหาศาล

ด้วยเหตุนี้ Edward Kasner (ในภาพ) จึงพาหลานชายสองคนของเขา Milton และ Edwin Sirott เดินเล่นใน New Jersey Palisades เขาเชิญชวนให้พวกเขาเสนอไอเดีย จากนั้นมิลตันวัย 9 ขวบก็เสนอชื่อ "googol" ไม่ทราบที่มาที่เขาได้รับคำนี้ แต่แคสเนอร์ตัดสินใจอย่างนั้น หรือตัวเลขที่มีศูนย์หนึ่งร้อยตามหลังหน่วยจะเรียกว่า googol

แต่มิลตันในวัยเยาว์ไม่ได้หยุดอยู่แค่นั้น เขาเสนอ googolplex จำนวนที่มากกว่านั้น ตามข้อมูลของมิลตัน นี่คือตัวเลข โดยที่อันดับแรกคือ 1 แล้วตามด้วยเลขศูนย์มากเท่าที่คุณสามารถเขียนได้ก่อนที่คุณจะรู้สึกเหนื่อย แม้ว่าแนวคิดนี้จะน่าสนใจ แต่ Kasner ก็ตัดสินใจว่าจำเป็นต้องมีคำจำกัดความที่เป็นทางการกว่านี้ ดังที่เขาอธิบายไว้ในหนังสือ Mathematics and the Imagination เมื่อปี 1940 คำจำกัดความของมิลตันเปิดโอกาสเสี่ยงที่ตัวตลกโดยบังเอิญอาจกลายเป็นนักคณิตศาสตร์ที่เหนือกว่าอัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ เพียงเพราะเขามีความแข็งแกร่งมากกว่า

Kasner จึงตัดสินใจว่า googolplex จะเป็น หรือ 1 แล้วก็ googol ที่เป็นศูนย์ มิฉะนั้น และในรูปแบบที่คล้ายกับที่เราจะจัดการกับตัวเลขอื่นๆ เราจะบอกว่า googolplex คือ เพื่อแสดงให้เห็นว่าสิ่งนี้น่าหลงใหลเพียงใด คาร์ล เซแกนเคยตั้งข้อสังเกตว่าเป็นไปไม่ได้ทางกายภาพที่จะเขียนเลขศูนย์ทั้งหมดของ googolplex เนื่องจากมีพื้นที่ในจักรวาลไม่เพียงพอ หากเราเติมฝุ่นขนาดเล็กขนาดประมาณ 1.5 ไมครอนเข้าไปเต็มปริมาตรของเอกภพที่สังเกตได้ แล้วจำนวนนั้น ในรูปแบบต่างๆตำแหน่งของอนุภาคเหล่านี้จะเท่ากับหนึ่ง googolplex โดยประมาณ

ในทางภาษาศาสตร์ googol และ googolplex อาจเป็นตัวเลขนัยสำคัญสองตัวที่ใหญ่ที่สุด (อย่างน้อยก็ในภาษาอังกฤษ) แต่ดังที่เราจะพิสูจน์กันในตอนนี้ มีหลายวิธีในการนิยาม "ความสำคัญ" อย่างไม่สิ้นสุด

โลกแห่งความจริง

หากเราพูดถึงจำนวนนัยสำคัญที่มากที่สุด ก็มีข้อโต้แย้งที่สมเหตุสมผลว่านั่นหมายความว่าเราต้องค้นหาจำนวนที่มากที่สุดโดยมีค่าที่มีอยู่จริงในโลก เราสามารถเริ่มจากจำนวนประชากรมนุษย์ในปัจจุบันซึ่งปัจจุบันมีอยู่ประมาณ 6920 ล้านคน GDP โลกในปี 2010 คาดว่าจะอยู่ที่ประมาณ 61,960 พันล้านดอลลาร์ แต่ตัวเลขทั้งสองนี้ไม่มีนัยสำคัญเลยเมื่อเทียบกับเซลล์ประมาณ 100 ล้านล้านเซลล์ที่ประกอบเป็นร่างกายมนุษย์ แน่นอนว่าไม่มีตัวเลขใดที่สามารถเปรียบเทียบกับจำนวนอนุภาคทั้งหมดในจักรวาลซึ่งโดยทั่วไปถือว่ามีค่าประมาณ และจำนวนนี้มีขนาดใหญ่มากจนภาษาของเราไม่มีคำอธิบาย

เราสามารถเล่นกับระบบการวัดได้นิดหน่อย ทำให้ตัวเลขมีขนาดใหญ่ขึ้นเรื่อยๆ ดังนั้น มวลของดวงอาทิตย์มีหน่วยเป็นตันจะน้อยกว่าหน่วยปอนด์ วิธีที่ดีในการทำเช่นนี้คือการใช้ระบบหน่วยพลังค์ ซึ่งเป็นมาตรการที่เล็กที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ซึ่งยังคงใช้กฎของฟิสิกส์อยู่ ตัวอย่างเช่น อายุของจักรวาลในเวลาพลังค์คือประมาณ หากเราย้อนกลับไปที่หน่วยเวลาพลังค์แรกหลังบิกแบง เราจะเห็นว่าตอนนั้นความหนาแน่นของจักรวาลอยู่ที่ เราได้รับมากขึ้นเรื่อยๆ แต่เรายังไปไม่ถึง googol ด้วยซ้ำ

จำนวนที่มากที่สุดที่มีการประยุกต์ในโลกแห่งความเป็นจริง - หรือในกรณีนี้คือการประยุกต์ใช้ในโลกแห่งความเป็นจริง - อาจเป็นหนึ่งในการประมาณการล่าสุดของจำนวนจักรวาลในลิขสิทธิ์ ตัวเลขนี้มีขนาดใหญ่มากจนสมองของมนุษย์ไม่สามารถรับรู้จักรวาลต่างๆ เหล่านี้ได้ เนื่องจากสมองมีความสามารถในการกำหนดค่าโดยประมาณเท่านั้น อันที่จริงแล้ว ตัวเลขนี้น่าจะเป็นตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดที่สมเหตุสมผลในทางปฏิบัติ เว้นแต่คุณจะคำนึงถึงแนวคิดเรื่องลิขสิทธิ์โดยรวมด้วย อย่างไรก็ตาม ยังมีตัวเลขอีกมากมายที่ซุ่มซ่อนอยู่ที่นั่น แต่เพื่อที่จะค้นหาพวกมัน เราต้องเข้าไปในขอบเขตของคณิตศาสตร์ล้วนๆ และไม่มีที่ใดที่จะดีไปกว่าการเริ่มต้นจำนวนเฉพาะ

ไพรม์เมอร์แซนน์

ส่วนหนึ่งของความท้าทายคือการให้คำจำกัดความที่ดีว่าตัวเลขที่ “มีนัยสำคัญ” คืออะไร วิธีหนึ่งคือการคิดในแง่ของจำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบ จำนวนเฉพาะอย่างที่คุณคงจำได้จากคณิตศาสตร์ของโรงเรียนคือจำนวนใดๆ จำนวนธรรมชาติ(หมายเหตุไม่เท่ากับหนึ่ง) ซึ่งหารด้วยตัวมันเองเท่านั้น ดังนั้น และ เป็นจำนวนเฉพาะ และเป็นจำนวนประกอบ ซึ่งหมายความว่าจำนวนประกอบใดๆ ก็สามารถแทนได้ด้วยตัวประกอบเฉพาะของมันในที่สุด ในบางแง่ ตัวเลขมีความสำคัญมากกว่า เช่น เนื่องจากไม่มีทางจะแสดงมันในรูปผลคูณของจำนวนที่น้อยกว่าได้

แน่นอนว่าเราสามารถไปได้ไกลกว่านี้อีกสักหน่อย ตัวอย่างเช่น จริงๆ แล้วเป็นเพียง ซึ่งหมายความว่าในโลกสมมติที่ความรู้เกี่ยวกับตัวเลขของเราถูกจำกัดอยู่เพียงเท่านั้น นักคณิตศาสตร์ยังคงสามารถแสดงจำนวนได้ แต่แล้ว หมายเลขถัดไปเรียบง่าย ซึ่งหมายความว่าวิธีเดียวที่จะแสดงออกได้คือการรู้โดยตรงเกี่ยวกับการมีอยู่ของมัน ซึ่งหมายความว่าจำนวนเฉพาะที่รู้จักมากที่สุดมีบทบาทสำคัญ แต่จริงๆ แล้ว Googol ซึ่งท้ายที่สุดแล้วเป็นเพียงชุดของตัวเลขและ คูณเข้าด้วยกัน กลับไม่ได้เป็นเช่นนั้น และเนื่องจากโดยพื้นฐานแล้วจำนวนเฉพาะจะเป็นแบบสุ่ม จึงไม่มีทางทราบได้ว่าจำนวนเฉพาะจำนวนมากนั้นจะเป็นจำนวนเฉพาะจริงๆ จนถึงทุกวันนี้ การค้นพบจำนวนเฉพาะใหม่ๆ เป็นเรื่องยาก

นักคณิตศาสตร์ กรีกโบราณมีความคิดเกี่ยวกับ จำนวนเฉพาะอย่างน้อยที่สุดในช่วง 500 ปีก่อนคริสตกาล และ 2,000 ปีต่อมา ผู้คนยังคงรู้ว่าตัวเลขใดเป็นจำนวนเฉพาะมากถึงประมาณ 750 เท่านั้น นักคิดในสมัยยุคลิดมองเห็นความเป็นไปได้ที่จะทำให้ง่ายขึ้น แต่จนกระทั่งนักคณิตศาสตร์ยุคเรอเนซองส์ไม่สามารถนำสิ่งนี้ไปปฏิบัติได้จริงๆ ตัวเลขเหล่านี้เรียกว่าตัวเลข Mersenne ซึ่งตั้งชื่อตาม Marin Mersenne นักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศสในศตวรรษที่ 17 แนวคิดนี้ค่อนข้างง่าย: หมายเลข Mersenne คือตัวเลขใดๆ ก็ตามที่อยู่ในรูปแบบ ตัวอย่างเช่น และจำนวนนี้เป็นจำนวนเฉพาะ ก็เป็นจริงสำหรับ เช่นกัน

การระบุจำนวนเฉพาะของ Mersenne ได้เร็วและง่ายกว่ามากเมื่อเทียบกับจำนวนเฉพาะประเภทอื่นๆ และคอมพิวเตอร์ก็ทำงานหนักในการค้นหาจำนวนเฉพาะเหล่านี้มาตลอดหกทศวรรษที่ผ่านมา จนถึงปี 1952 จำนวนเฉพาะที่รู้จักมากที่สุดคือตัวเลข ซึ่งเป็นตัวเลขที่มีตัวเลข ในปีเดียวกันนั้น คอมพิวเตอร์คำนวณว่าตัวเลขนั้นเป็นจำนวนเฉพาะ และตัวเลขนี้ประกอบด้วยตัวเลข ซึ่งทำให้มีขนาดใหญ่กว่า googol มาก

ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา คอมพิวเตอร์ก็ถูกตามล่า และในปัจจุบัน หมายเลข Mersenne ถือเป็นจำนวนเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดที่มนุษย์รู้จัก ค้นพบในปี พ.ศ. 2551 มีจำนวนเกือบล้านหลัก เป็นตัวเลขที่ทราบมากที่สุดซึ่งไม่สามารถแสดงเป็นตัวเลขที่น้อยกว่าได้ และหากคุณต้องการความช่วยเหลือในการค้นหาหมายเลข Mersenne ที่ใหญ่กว่า คุณ (และคอมพิวเตอร์ของคุณ) สามารถเข้าร่วมการค้นหาได้ตลอดเวลาที่ http://www.mersenne.org /.

ตัวเลขสกิว

สแตนลีย์ สกิวส์

มาดูเลขเด่นกันอีกครั้ง อย่างที่ผมบอกไป พวกมันมีพฤติกรรมผิดขั้นพื้นฐาน ซึ่งหมายความว่าไม่มีทางที่จะคาดเดาได้ว่าจำนวนเฉพาะตัวต่อไปจะเป็นเท่าใด นักคณิตศาสตร์ถูกบังคับให้หันไปใช้การวัดที่น่าอัศจรรย์บางอย่างเพื่อหาวิธีทำนายจำนวนเฉพาะในอนาคต แม้จะคลุมเครือก็ตาม ความพยายามที่ประสบความสำเร็จมากที่สุดน่าจะเป็นฟังก์ชันการนับจำนวนเฉพาะ ซึ่งคิดค้นขึ้นในช่วงปลายศตวรรษที่ 18 โดยนักคณิตศาสตร์ในตำนาน คาร์ล ฟรีดริช เกาส์

ผมจะแบ่งคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนกว่านี้ให้คุณ - เรายังมีอะไรอีกมากมายรออยู่ - แต่สาระสำคัญของฟังก์ชันคือ: สำหรับจำนวนเต็มใดๆ คุณสามารถประมาณได้ว่ามีจำนวนเฉพาะจำนวนเท่าใดที่น้อยกว่า ตัวอย่างเช่น ถ้า ฟังก์ชันคาดการณ์ว่าควรมีจำนวนเฉพาะ ควรมีจำนวนเฉพาะน้อยกว่า และถ้า แสดงว่าต้องเป็นจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่า

การจัดเรียงจำนวนเฉพาะนั้นไม่ปกติและเป็นเพียงการประมาณจำนวนจริงของจำนวนเฉพาะเท่านั้น อันที่จริง เรารู้ว่ามีจำนวนเฉพาะน้อยกว่า จำนวนเฉพาะน้อยกว่า และจำนวนเฉพาะน้อยกว่า แน่นอนว่านี่เป็นการประมาณการที่ดีเยี่ยม แต่จะเป็นเพียงการประมาณการเสมอ... และที่เจาะจงกว่านั้นคือการประมาณการจากด้านบน

ทั้งหมด กรณีที่ทราบถึง ฟังก์ชันที่ค้นหาจำนวนเฉพาะจะประมาณค่าจำนวนเฉพาะจริงที่น้อยกว่าเล็กน้อยสูงเกินไป นักคณิตศาสตร์เคยคิดว่าจะเป็นเช่นนี้ตลอดไป และแน่นอนว่าสิ่งนี้ใช้ได้กับจำนวนมหาศาลอย่างเหลือเชื่อ แต่ในปี 1914 จอห์น เอเดนเซอร์ ลิตเติลวูด พิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนมหาศาลที่ไม่รู้จักจำนวนหนึ่ง ฟังก์ชันนี้จะเริ่มสร้างจำนวนเฉพาะน้อยลง จากนั้นจะสลับระหว่างค่าประมาณด้านบนและค่าประมาณด้านล่างเป็นจำนวนไม่จำกัด

การตามล่าเป็นจุดเริ่มต้นของการแข่งขัน และจากนั้น Stanley Skewes ก็ปรากฏตัวขึ้น (ดูรูป) ในปีพ.ศ. 2476 เขาพิสูจน์ว่าขีดจำกัดบนเมื่อฟังก์ชันประมาณจำนวนเฉพาะจะสร้างค่าที่น้อยกว่าได้ก่อนคือตัวเลข เป็นเรื่องยากที่จะเข้าใจอย่างแท้จริงแม้ในแง่นามธรรมที่สุดว่าตัวเลขนี้แสดงถึงอะไร และจากมุมมองนี้ ตัวเลขดังกล่าวเป็นตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดที่เคยใช้ในการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์อย่างจริงจัง นับแต่นั้นมานักคณิตศาสตร์สามารถลดขอบเขตบนให้เหลือจำนวนที่ค่อนข้างน้อยได้ แต่จำนวนเดิมยังคงเรียกว่าหมายเลข Skewes

แล้วจำนวนคนแคระแม้แต่ googolplex อันยิ่งใหญ่นั้นใหญ่แค่ไหน? ใน The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers David Wells เล่าถึงวิธีหนึ่งที่นักคณิตศาสตร์ Hardy สามารถกำหนดแนวคิดเกี่ยวกับขนาดของตัวเลข Skuse ได้:

“ฮาร์ดีคิดว่ามันเป็น “จำนวนที่มากที่สุดเท่าที่เคยมีมา วัตถุประสงค์เฉพาะในทางคณิตศาสตร์'' และแนะนำว่าหากเล่นเกมหมากรุกโดยให้อนุภาคทั้งหมดของจักรวาลเป็นชิ้น การเคลื่อนไหวหนึ่งครั้งจะประกอบด้วยการสลับอนุภาคสองตัว และเกมจะหยุดเมื่อตำแหน่งเดิมถูกทำซ้ำเป็นครั้งที่สาม จากนั้น จำนวนฝ่ายที่เป็นไปได้ทั้งหมดจะประมาณเท่ากับจำนวน Skuse''

สิ่งสุดท้ายก่อนที่เราจะไปต่อ: เราได้พูดถึงตัวเลข Skewes ที่เล็กกว่าสองตัวแล้ว มีหมายเลข Skuse อีกหมายเลขหนึ่ง ซึ่งนักคณิตศาสตร์ค้นพบในปี 1955 จำนวนแรกได้มาจากข้อเท็จจริงที่ว่าสิ่งที่เรียกว่าสมมติฐานรีมันน์เป็นจริง ซึ่งเป็นสมมติฐานที่ยากเป็นพิเศษในวิชาคณิตศาสตร์ที่ยังไม่ได้รับการพิสูจน์ และมีประโยชน์มากเมื่อพูดถึงจำนวนเฉพาะ อย่างไรก็ตาม หากสมมติฐานของรีมันน์เป็นเท็จ Skuse พบว่าจุดเริ่มต้นของการกระโดดเพิ่มขึ้นเป็น

ปัญหาขนาด

ก่อนที่เราจะไปถึงตัวเลขที่ทำให้แม้แต่ตัวเลข Skewes ดูเล็ก เราต้องคุยกันเรื่องมาตราส่วนสักหน่อย เพราะไม่เช่นนั้น เราจะไม่มีทางประเมินได้ว่าเรากำลังจะไปที่ไหน ก่อนอื่น เรามาพิจารณาตัวเลขกันก่อน มันเป็นตัวเลขเล็กๆ น้อยๆ มากจนผู้คนสามารถเข้าใจความหมายได้โดยสัญชาตญาณ มีตัวเลขน้อยมากที่ตรงกับคำอธิบายนี้ เนื่องจากตัวเลขที่มากกว่า 6 จะไม่แยกจากกันและกลายเป็น "หลาย" "หลาย" ฯลฯ

ทีนี้มาใช้เวลากัน นั่นคือ . แม้ว่าจริงๆ แล้วเราไม่สามารถเข้าใจได้โดยสัญชาตญาณ เช่นเดียวกับที่เราทำกับจำนวน แต่เข้าใจว่ามันคืออะไร มันง่ายมากที่จะจินตนาการว่ามันคืออะไร จนถึงตอนนี้ดีมาก แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราย้ายไป? นี่เท่ากับ หรือ เราไม่สามารถจินตนาการถึงปริมาณนี้ได้มากนัก เช่นเดียวกับปริมาณที่ใหญ่มากอื่นๆ เราสูญเสียความสามารถในการเข้าใจแต่ละส่วนประมาณล้านส่วน (ยอมรับว่าอาจใช้เวลานานมากในการนับสิ่งใดๆ ให้เป็นล้านสิ่งจริงๆ แต่ประเด็นก็คือเรายังคงสามารถรับรู้จำนวนนั้นได้)

อย่างไรก็ตาม ถึงแม้เราจะจินตนาการไม่ออก แต่อย่างน้อยเราก็สามารถเข้าใจได้ โครงร่างทั่วไปเท่ากับ 7600 พันล้าน อาจเทียบกับ GDP ของสหรัฐฯ เราได้ย้ายจากสัญชาตญาณไปสู่การเป็นตัวแทนไปสู่ความเข้าใจที่เรียบง่าย แต่อย่างน้อยเราก็ยังคงมีช่องว่างในการทำความเข้าใจว่าตัวเลขคืออะไร นั่นกำลังจะเปลี่ยนไปเมื่อเราขยับอีกขั้นขึ้นบันได

ในการดำเนินการนี้ เราต้องย้ายไปยังสัญลักษณ์ที่ Donald Knuth แนะนำ หรือที่เรียกว่าสัญลักษณ์ลูกศร สัญกรณ์นี้สามารถเขียนเป็น . เมื่อเราไปแล้วเราจะได้ตัวเลขเป็น นี่เท่ากับจำนวนรวมของสามคือ ขณะนี้เราได้เหนือกว่าตัวเลขอื่นๆ ทั้งหมดที่เราได้พูดถึงไปแล้วอย่างแท้จริง ท้ายที่สุดแล้ว แม้แต่ตัวที่ใหญ่ที่สุดก็มีเพียงสามหรือสี่พจน์ในชุดตัวบ่งชี้ ตัวอย่างเช่น แม้แต่หมายเลข super-Skuse ก็ยัง "เท่านั้น" - แม้ว่าทั้งฐานและเลขชี้กำลังจะมีขนาดใหญ่กว่ามาก แต่ก็ยังไม่มีอะไรเลยเมื่อเทียบกับขนาดของหอคอยตัวเลขที่มีสมาชิกนับพันล้านคน .

แน่นอนว่าไม่มีทางที่จะเข้าใจจำนวนมหาศาลเช่นนี้ได้... แต่ถึงกระนั้น กระบวนการที่พวกมันถูกสร้างขึ้นก็ยังสามารถเข้าใจได้ เราไม่สามารถเข้าใจปริมาณที่แท้จริงที่ได้รับจากหอคอยแห่งพลังที่มีแฝดสามพันล้าน แต่โดยพื้นฐานแล้วเราสามารถจินตนาการถึงหอคอยที่มีเงื่อนไขหลายเงื่อนไขได้ และซูเปอร์คอมพิวเตอร์ที่ดีจริงๆ จะสามารถจัดเก็บหอคอยดังกล่าวไว้ในหน่วยความจำได้ แม้ว่าจะ ไม่สามารถคำนวณมูลค่าที่แท้จริงได้

สิ่งนี้กำลังกลายเป็นนามธรรมมากขึ้นเรื่อยๆ แต่จะแย่ลงเท่านั้น คุณอาจคิดว่าหอคอยแห่งองศาที่มีความยาวเลขชี้กำลังเท่ากัน (อันที่จริง ในเวอร์ชันก่อนหน้าของโพสต์นี้ ฉันทำผิดข้อนี้จริงๆ) แต่มันง่ายมาก กล่าวอีกนัยหนึ่ง ลองจินตนาการถึงความสามารถในการคำนวณค่าที่แน่นอนของหอคอยพลังของแฝดสามที่ประกอบด้วยองค์ประกอบต่างๆ จากนั้นคุณก็นำค่านั้นมาสร้างหอคอยใหม่ที่มีจำนวนมากในนั้นเท่ากับ... ที่ให้

ทำซ้ำขั้นตอนนี้กับแต่ละหมายเลขถัดไป ( บันทึกเริ่มจากทางขวา) จนกระทั่งคุณทำครั้ง และสุดท้ายคุณก็จะได้ . นี่เป็นตัวเลขที่มีขนาดใหญ่มาก แต่อย่างน้อยขั้นตอนในการทำให้มันดูเหมือนเข้าใจได้ถ้าคุณทำทุกอย่างช้าๆ เราไม่สามารถเข้าใจตัวเลขหรือจินตนาการถึงขั้นตอนที่ได้รับอีกต่อไป แต่อย่างน้อยเราก็สามารถเข้าใจอัลกอริธึมพื้นฐานได้ในเวลานานพอสมควรเท่านั้น

ทีนี้เรามาเตรียมใจให้ระเบิดจริงๆกันดีกว่า

หมายเลขเกรแฮม (เกรแฮม)

โรนัลด์ เกรแฮม

นี่คือวิธีที่คุณจะได้หมายเลขของ Graham ซึ่งถูกบันทึกลงใน Guinness Book of World Records ว่าเป็นจำนวนที่มากที่สุดเท่าที่เคยใช้ในการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ เป็นไปไม่ได้เลยที่จะจินตนาการว่ามันใหญ่แค่ไหน และยากพอๆ กันที่จะอธิบายว่ามันคืออะไร โดยพื้นฐานแล้ว หมายเลขของ Graham จะปรากฏขึ้นเมื่อต้องรับมือกับไฮเปอร์คิวบ์ ซึ่งเป็นรูปทรงเรขาคณิตทางทฤษฎีที่มีมากกว่าสามมิติ นักคณิตศาสตร์ Ronald Graham (ดูรูป) ต้องการทราบว่าอะไร จำนวนน้อยที่สุดเมื่อวัดค่าแล้ว คุณสมบัติบางอย่างของไฮเปอร์คิวบ์จะยังคงเสถียร (ขออภัยสำหรับคำอธิบายที่คลุมเครือ แต่ฉันแน่ใจว่าเราทุกคนจำเป็นต้องได้รับปริญญาทางคณิตศาสตร์อย่างน้อยสององศาเพื่อให้แม่นยำยิ่งขึ้น)

ไม่ว่าในกรณีใด จำนวนของเกรแฮมจะเป็นค่าประมาณด้านบนของจำนวนมิติขั้นต่ำนี้ แล้วขอบบนนี่ใหญ่แค่ไหน? กลับไปที่ตัวเลขที่มีขนาดใหญ่มากจนเราสามารถเข้าใจอัลกอริธึมในการรับมันได้อย่างคลุมเครือเท่านั้น ตอนนี้ แทนที่จะกระโดดขึ้นไปอีกระดับหนึ่งเป็น เราจะนับจำนวนที่มีลูกศรอยู่ระหว่างสามตัวแรกและตัวสุดท้าย ตอนนี้เราอยู่ไกลเกินความเข้าใจแม้แต่น้อยว่าตัวเลขนี้คืออะไร หรือแม้แต่สิ่งที่เราต้องทำเพื่อคำนวณมัน

ตอนนี้เรามาทำซ้ำขั้นตอนนี้อีกครั้งหนึ่ง ( บันทึกในแต่ละขั้นตอนถัดไปเราเขียนจำนวนลูกศร เท่ากับจำนวนได้รับในขั้นตอนก่อนหน้า)

ท่านสุภาพสตรีและสุภาพบุรุษ นี่คือตัวเลขของเกรแฮม ซึ่งเป็นลำดับความสำคัญที่สูงกว่าความเข้าใจของมนุษย์ มันคือจำนวนที่มากกว่าจำนวนใดๆ ที่คุณสามารถจินตนาการได้—มันมากกว่าค่าอนันต์ใดๆ ที่คุณเคยหวังที่จะจินตนาการ—มันท้าทายแม้แต่คำอธิบายที่เป็นนามธรรมที่สุด

แต่นี่คือสิ่งที่แปลก เนื่องจากโดยพื้นฐานแล้วเลขเกรแฮมเป็นเพียงแฝดสามคูณกัน เราจึงทราบคุณสมบัติบางอย่างของมันโดยไม่ต้องคำนวณจริงๆ เราไม่สามารถแสดงเลขเกรแฮมโดยใช้สัญกรณ์ที่คุ้นเคยได้ แม้ว่าเราจะใช้จักรวาลทั้งหมดเขียนลงไปก็ตาม แต่ฉันสามารถบอกคุณได้ว่าเลขสิบสองหลักสุดท้ายของเลขเกรแฮมในขณะนี้: และนั่นไม่ใช่ทั้งหมด อย่างน้อยเราก็รู้เลขหลักสุดท้ายของเลขเกรแฮม

แน่นอนว่า ควรจำไว้ว่าตัวเลขนี้เป็นเพียงขอบเขตบนของปัญหาเดิมของเกรแฮม เป็นไปได้ว่าต้องวัดจำนวนจริงในการดำเนินการ คุณสมบัติที่ต้องการมากน้อยกว่ามาก ตามข้อมูลของผู้เชี่ยวชาญส่วนใหญ่ในสาขานี้ เชื่อกันมาตั้งแต่ปี 1980 ว่าแท้จริงแล้วมีเพียงหกมิติ ซึ่งเป็นจำนวนที่น้อยมากจนเราสามารถเข้าใจได้โดยสัญชาตญาณ ขอบเขตล่างถูกยกขึ้นเป็น แต่ยังคงมีโอกาสที่ดีที่วิธีแก้ปัญหาของเกรแฮมไม่ได้อยู่ใกล้ตัวเลขที่มีขนาดใหญ่เท่ากับจำนวนของเกรแฮม

ไปสู่ความไม่มีที่สิ้นสุด

แล้วมีจำนวนมากกว่าเลขของเกรแฮมหรือเปล่า? แน่นอนว่าสำหรับผู้เริ่มต้น จะต้องมีหมายเลขเกรแฮมด้วย สำหรับจำนวนนัยสำคัญ... ก็มีบางสาขาคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนอย่างร้ายกาจ (โดยเฉพาะอย่างยิ่งพื้นที่ที่เรียกว่าเชิงคณิตศาสตร์) และวิทยาการคอมพิวเตอร์ซึ่งมีตัวเลขมากกว่าเลขเกรแฮมเกิดขึ้นด้วยซ้ำ แต่เราเกือบจะถึงขีดจำกัดของสิ่งที่ฉันหวังว่าจะได้รับการอธิบายอย่างมีเหตุผลแล้ว สำหรับผู้ที่โง่เขลาพอที่จะไปไกลกว่านี้ แนะนำให้อ่านเพิ่มเติมโดยยอมรับความเสี่ยงเอง

ตอนนี้เป็นคำพูดที่น่าทึ่งซึ่งมาจาก Douglas Ray ( บันทึกจริงๆ แล้วฟังดูตลกดี:

“ฉันเห็นกลุ่มตัวเลขคลุมเครือที่ซ่อนอยู่ในความมืด ด้านหลังจุดเล็กๆ แห่งแสงสว่างที่เทียนแห่งเหตุผลให้ไว้ พวกเขากระซิบกัน สมรู้ร่วมคิดเกี่ยวกับใครจะรู้อะไร บางทีพวกเขาอาจไม่ชอบเรามากนักที่นึกถึงน้องชายคนเล็กของพวกเขาในใจเรา หรือบางทีพวกเขาก็แค่ใช้ชีวิตหลักเดียว นอกนั้น เกินกว่าความเข้าใจของเรา

ครั้งหนึ่งฉันเคยอ่านเรื่องราวโศกนาฏกรรมเกี่ยวกับชุคชีคนหนึ่งซึ่งนักสำรวจขั้วโลกสอนให้นับและจดตัวเลข ความมหัศจรรย์ของตัวเลขทำให้เขาประหลาดใจมากจนเขาตัดสินใจจดตัวเลขทั้งหมดในโลกติดต่อกันโดยเริ่มจากหนึ่งตัวในสมุดบันทึกที่บริจาคโดยนักสำรวจขั้วโลก ชาวชุคชีละทิ้งกิจการทั้งหมดของเขา หยุดการติดต่อสื่อสารกับภรรยาของเขาเอง ไม่ล่าแมวน้ำและแมวน้ำที่มีวงแหวนอีกต่อไป แต่ยังคงเขียนและเขียนตัวเลขลงในสมุดบันทึก…. หนึ่งปีผ่านไปเช่นนี้ ในท้ายที่สุด สมุดบันทึกหมด และชุคชีก็ตระหนักว่าเขาสามารถเขียนตัวเลขได้เพียงส่วนเล็กๆ เท่านั้น เขาร้องไห้อย่างขมขื่นและสิ้นหวังก็เผาสมุดบันทึกที่เขียนไว้ของเขาเพื่อเริ่มต้นชีวิตที่เรียบง่ายของชาวประมงอีกครั้ง โดยไม่คิดถึงความลึกลับอันไม่มีที่สิ้นสุดของตัวเลขอีกต่อไป...

อย่าทำซ้ำความสำเร็จของชุคชีนี้แล้วลองหาจำนวนที่มากที่สุด เนื่องจากตัวเลขใดๆ จะต้องบวกหนึ่งตัวเท่านั้นเพื่อให้ได้จำนวนที่มากขึ้น ให้เราถามตัวเองด้วยคำถามที่คล้ายกันแต่แตกต่าง: ตัวเลขใดที่มีชื่อของตัวเองมากที่สุด?

เห็นได้ชัดว่าแม้ว่าตัวเลขเหล่านั้นจะไม่มีที่สิ้นสุด แต่ก็ไม่ได้มีชื่อที่ถูกต้องมากนัก เนื่องจากส่วนใหญ่จะพอใจกับชื่อที่ประกอบด้วยตัวเลขที่น้อยกว่า ตัวอย่างเช่น ตัวเลข 1 และ 100 มีชื่อเป็นของตัวเองว่า "หนึ่ง" และ "หนึ่งร้อย" และชื่อของหมายเลข 101 นั้นประกอบขึ้นเป็นสารประกอบแล้ว ("หนึ่งร้อยหนึ่ง") เป็นที่ชัดเจนว่าในชุดตัวเลขอันจำกัดที่มนุษยชาติมอบให้ ชื่อของตัวเอง, จะต้องมีจำนวนมากที่สุดจำนวนหนึ่ง แต่มันเรียกว่าอะไรและมันเท่ากับอะไร? ลองหาคำตอบแล้วพบว่าสุดท้ายแล้ว นี่คือจำนวนที่มากที่สุด!

ระดับ "สั้น" และ "ยาว"

ประวัติความเป็นมาของระบบการตั้งชื่อจำนวนมากที่ทันสมัยนั้นย้อนกลับไปในช่วงกลางศตวรรษที่ 15 เมื่อในอิตาลีพวกเขาเริ่มใช้คำว่า "ล้าน" (ตัวอักษร - พันใหญ่) สำหรับหนึ่งพันกำลังสอง "สองล้าน" สำหรับหนึ่งล้านกำลังสอง และ "ล้านล้าน" สำหรับล้านลูกบาศก์ เรารู้เกี่ยวกับระบบนี้ต้องขอบคุณ Nicolas Chuquet นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส (ประมาณปี 1450 - ประมาณปี 1500) ในบทความเรื่อง "The Science of Numbers" (Triparty en la science des nombres, 1484) เขาได้พัฒนาแนวคิดนี้โดยเสนอให้ใช้ต่อไป เลขคาร์ดินัลละติน (ดูตาราง) โดยบวกเข้าที่ส่วนท้ายของ “-million” ดังนั้น "พันล้าน" สำหรับ Schuke กลายเป็นหนึ่งพันล้าน "trimillion" กลายเป็นล้านล้าน และล้านยกกำลังสี่กลายเป็น "quadrillion"

ในระบบ Schuquet หมายเลข 10 9 ซึ่งอยู่ระหว่างหนึ่งล้านถึงหนึ่งพันล้านไม่มีชื่อของตัวเองและเรียกง่ายๆว่า "พันล้าน" ในทำนองเดียวกัน 10 15 ถูกเรียกว่า "พันล้าน", 10 21 - "a พันล้านล้าน” เป็นต้น สิ่งนี้ไม่สะดวกนักและในปี 1549 นักเขียนและนักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Jacques Peletier du Mans (1517-1582) เสนอให้ตั้งชื่อตัวเลข "กลาง" ดังกล่าวโดยใช้คำนำหน้าภาษาละตินเดียวกัน แต่ลงท้ายด้วย "-billion" ดังนั้น 10 9 จึงถูกเรียกว่า "พันล้าน", 10 15 - "บิลเลียด", 10 21 - "ล้านล้าน" เป็นต้น

ระบบ Chuquet-Peletier ค่อยๆ ได้รับความนิยมและถูกใช้ทั่วยุโรป อย่างไรก็ตาม ในศตวรรษที่ 17 เกิดปัญหาที่ไม่คาดคิดเกิดขึ้น ปรากฎว่าด้วยเหตุผลบางอย่างนักวิทยาศาสตร์บางคนเริ่มสับสนและเรียกหมายเลข 10 9 ไม่ใช่ "พันล้าน" หรือ "พันล้าน" แต่เป็น "พันล้าน" ในไม่ช้าข้อผิดพลาดนี้ก็แพร่กระจายอย่างรวดเร็วและสถานการณ์ที่ขัดแย้งกันก็เกิดขึ้น - "พันล้าน" กลายเป็นคำพ้องความหมายกับ "พันล้าน" (10 9) และ "ล้านล้าน" พร้อม ๆ กัน (10 18)

ความสับสนนี้ดำเนินต่อไปเป็นเวลานานและนำไปสู่ความจริงที่ว่าสหรัฐอเมริกาสร้างระบบของตนเองในการตั้งชื่อตัวเลขจำนวนมาก ตามระบบอเมริกัน ชื่อของตัวเลขถูกสร้างขึ้นในลักษณะเดียวกับในระบบ Chuquet - คำนำหน้าภาษาละตินและคำลงท้าย "ล้าน" อย่างไรก็ตาม ขนาดของตัวเลขเหล่านี้แตกต่างกัน หากในระบบ Schuquet ชื่อที่ลงท้ายด้วย "illion" ได้รับเลขยกกำลังหนึ่งล้าน ในระบบอเมริกัน ชื่อที่ลงท้ายด้วย "-illion" จะได้รับเลขยกกำลังหนึ่งพัน นั่นคือหนึ่งพันล้าน (1,000 3 = 10 9) เริ่มถูกเรียกว่า "พันล้าน", 1,000 4 (10 12) - "ล้านล้าน", 1,000 5 (10 15) - "สี่ล้านล้าน" เป็นต้น

ระบบการตั้งชื่อตัวเลขแบบเก่ายังคงใช้กันในบริเตนใหญ่แบบอนุรักษ์นิยม และเริ่มถูกเรียกว่า "บริติช" ทั่วโลก แม้ว่าจะถูกประดิษฐ์ขึ้นโดย French Chuquet และ Peletier ก็ตาม อย่างไรก็ตาม ในช่วงทศวรรษ 1970 สหราชอาณาจักรได้เปลี่ยนมาใช้ " ระบบอเมริกัน” ซึ่งนำไปสู่ความจริงที่ว่าการเรียกระบบหนึ่งว่าอเมริกันและอีกระบบหนึ่งกลายเป็นเรื่องแปลกของอังกฤษ เป็นผลให้ระบบอเมริกันในปัจจุบันถูกเรียกว่า "มาตราส่วนสั้น" และระบบอังกฤษหรือชูเกต์-เปเลติเยร์เรียกว่า "มาตราส่วนยาว"

เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสน ให้สรุป:

ปัจจุบันมีการใช้มาตราส่วนการตั้งชื่อแบบสั้นในสหรัฐอเมริกา สหราชอาณาจักร แคนาดา ไอร์แลนด์ ออสเตรเลีย บราซิล และเปอร์โตริโก รัสเซีย เดนมาร์ก ตุรกี และบัลแกเรียก็ใช้มาตราส่วนสั้นเช่นกัน ยกเว้นเลข 10 9 เรียกว่า "พันล้าน" มากกว่า "พันล้าน" สเกลยาวยังคงใช้ในประเทศอื่นๆ ส่วนใหญ่

เป็นที่น่าสงสัยว่าในประเทศของเราการเปลี่ยนแปลงครั้งสุดท้ายไปสู่ระดับสั้นเกิดขึ้นเฉพาะในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 20 เท่านั้น ตัวอย่างเช่น Yakov Isidorovich Perelman (2425-2485) ใน "เลขคณิตบันเทิง" ของเขากล่าวถึงการดำรงอยู่คู่ขนานของสองระดับในสหภาพโซเวียต ตามข้อมูลของ Perelman มาตราส่วนสั้นถูกใช้ในชีวิตประจำวันและการคำนวณทางการเงิน และมาตราส่วนยาวถูกใช้ในหนังสือวิทยาศาสตร์เกี่ยวกับดาราศาสตร์และฟิสิกส์ อย่างไรก็ตาม ตอนนี้การใช้สเกลยาวในรัสเซียเป็นเรื่องผิด แม้ว่าจะมีจำนวนมากก็ตาม

แต่ลองกลับไปค้นหาหมายเลขที่ใหญ่ที่สุดกันดีกว่า หลังจากหน่วยล้าน ชื่อของตัวเลขจะได้มาจากการรวมคำนำหน้า สิ่งนี้ทำให้เกิดตัวเลขเช่น undecillion, duodecillion, tredecillion, quattordecillion, quindecillion, sexdecillion, septemdecillion, octodecillion, novemdecillion เป็นต้น อย่างไรก็ตาม ชื่อเหล่านี้ไม่น่าสนใจสำหรับเราอีกต่อไป เนื่องจากเราตกลงที่จะค้นหาจำนวนที่มากที่สุดด้วยชื่อที่ไม่ใช่ชื่อประกอบของมันเอง

หากเราหันไปใช้ไวยากรณ์ละตินเราจะพบว่าชาวโรมันมีชื่อที่ไม่ประสมเพียงสามชื่อสำหรับตัวเลขที่มากกว่าสิบ: viginti - "ยี่สิบ", centum - "ร้อย" และ mille - "พัน" ชาวโรมันไม่มีชื่อของตนเองสำหรับจำนวนที่มากกว่าหนึ่งพัน ตัวอย่างเช่น ชาวโรมันเรียกล้าน (1,000,000) ว่า "decies centena milia" ซึ่งก็คือ "สิบคูณแสน" ตามกฎของ Chuquet เลขละตินทั้งสามที่เหลือนี้ให้ชื่อตัวเลขเช่น "vigintillion", "centillion" และ "millillion"

เราจึงพบว่าใน "สเกลสั้น" จำนวนสูงสุดที่มีชื่อของตัวเองและไม่ได้ประกอบกับจำนวนที่น้อยกว่าคือ "ล้าน" (10 3003) หากรัสเซียใช้ "สเกลยาว" ในการตั้งชื่อตัวเลข จำนวนที่ใหญ่ที่สุดที่มีชื่อของตัวเองก็จะเป็น "พันล้าน" (10 6003)

อย่างไรก็ตาม มีชื่อสำหรับตัวเลขที่มากกว่านั้นอีก

ตัวเลขนอกระบบ

ตัวเลขบางตัวมีชื่อเป็นของตัวเอง โดยไม่เกี่ยวข้องกับระบบการตั้งชื่อโดยใช้คำนำหน้าภาษาละติน และมีตัวเลขดังกล่าวมากมาย ตัวอย่างเช่น คุณสามารถจำหมายเลขได้ จ, ตัวเลข “pi”, โหล, จำนวนของสัตว์ร้าย เป็นต้น อย่างไรก็ตาม เนื่องจากตอนนี้เราสนใจตัวเลขจำนวนมาก เราจะพิจารณาเฉพาะตัวเลขเหล่านั้นที่มีชื่อไม่ประกอบของตัวเองซึ่งมากกว่าล้าน

จนถึงศตวรรษที่ 17 รุสใช้ระบบของตัวเองในการตั้งชื่อตัวเลข นับหมื่นถูกเรียกว่า "ความมืด" หลายแสนถูกเรียกว่า "พยุหเสนา" หลายล้านถูกเรียกว่า "ลีโอเดอร์" หลายสิบล้านถูกเรียกว่า "อีกา" และหลายร้อยล้านถูกเรียกว่า "สำรับ" การนับจำนวนมากถึงหลายร้อยล้านนี้เรียกว่า "การนับน้อย" และในต้นฉบับบางฉบับผู้เขียนยังถือว่า "การนับมาก" ซึ่งใช้ชื่อเดียวกันสำหรับตัวเลขจำนวนมาก แต่มีความหมายต่างกัน ดังนั้น "ความมืด" ไม่ได้หมายถึงหมื่นอีกต่อไป แต่เป็นพัน (10 6) "กองพัน" - ความมืดของคนเหล่านั้น (10 12); “ leodr” - พยุหเสนาแห่งพยุหเสนา (10 24), “ กา” - เลโอโดรแห่งเลโอโดรฟ (10 48) ด้วยเหตุผลบางประการ "สำรับ" ในการนับสลาฟที่ยิ่งใหญ่ไม่ได้ถูกเรียกว่า "อีกาแห่งอีกา" (10 96) แต่มีเพียง "อีกา" สิบตัวเท่านั้นนั่นคือ 10 49 (ดูตาราง)

หมายเลข 10,100 ก็มีชื่อของตัวเองเช่นกัน และคิดค้นโดยเด็กชายวัย 9 ขวบ และมันก็เป็นเช่นนี้ ในปี 1938 นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน Edward Kasner (1878-1955) กำลังเดินเล่นในสวนสาธารณะกับหลานชายสองคนและพูดคุยกันเป็นจำนวนมาก ในระหว่างการสนทนา เราได้พูดคุยเกี่ยวกับตัวเลขที่มีศูนย์นับร้อยซึ่งไม่มีชื่อเป็นของตัวเอง มิลตัน ซิรอตต์ หลานชายคนหนึ่งวัย 9 ขวบ แนะนำให้เรียกหมายเลขนี้ว่า "googol" ในปี 1940 Edward Kasner ร่วมกับ James Newman เขียนหนังสือวิทยาศาสตร์ยอดนิยม Mathematics and the Imagination ซึ่งเขาเล่าให้คนรักคณิตศาสตร์ฟังเกี่ยวกับเลข googol Googol เป็นที่รู้จักอย่างกว้างขวางมากขึ้นในช่วงปลายทศวรรษ 1990 ต้องขอบคุณเครื่องมือค้นหาของ Google ที่ตั้งชื่อตามมัน

ชื่อของจำนวนที่มากกว่า googol เกิดขึ้นในปี 1950 ต้องขอบคุณบิดาแห่งวิทยาการคอมพิวเตอร์ Claude Elwood Shannon (1916-2001) ในบทความของเขาเรื่อง "การเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์เพื่อเล่นหมากรุก" เขาพยายามประมาณจำนวนรูปแบบที่เป็นไปได้ของเกมหมากรุก ตามที่ระบุไว้ แต่ละเกมใช้เวลาโดยเฉลี่ย 40 การเคลื่อนไหว และในแต่ละการเคลื่อนไหว ผู้เล่นจะเลือกจากตัวเลือกโดยเฉลี่ย 30 ตัวเลือก ซึ่งสอดคล้องกับตัวเลือกเกม 900 40 (ประมาณเท่ากับ 10,118) งานนี้เป็นที่รู้จักอย่างกว้างขวางและ หมายเลขที่กำหนดกลายเป็นที่รู้จักในชื่อหมายเลขแชนนอน

ในตำราทางพุทธศาสนาที่มีชื่อเสียงเรื่อง Jaina Sutra ย้อนหลังไปถึง 100 ปีก่อนคริสตกาล ตัวเลข “อสังเหยา” มีค่าเท่ากับ 10,140 เชื่อกันว่าจำนวนนี้เท่ากับจำนวนรอบจักรวาลที่ต้องใช้เพื่อบรรลุนิพพาน

Milton Sirotta วัย 9 ขวบลงไปในประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ ไม่เพียงเพราะเขาคิดค้นตัวเลข googol เท่านั้น แต่ยังเป็นเพราะในขณะเดียวกันเขาก็เสนอตัวเลขอีกจำนวนหนึ่ง - "googolplex" ซึ่งเท่ากับ 10 ยกกำลังของ " googol” ซึ่งก็คืออันหนึ่งที่มี googol เป็นศูนย์

Stanley Skewes นักคณิตศาสตร์ชาวแอฟริกาใต้ (พ.ศ. 2442-2531) เสนอตัวเลขที่ใหญ่กว่า googolplex อีกสองตัว เพื่อพิสูจน์สมมติฐานของรีมันน์ ตัวเลขตัวแรกซึ่งต่อมาเรียกว่า "หมายเลข Skuse" มีค่าเท่ากับ จในระดับหนึ่ง จในระดับหนึ่ง จยกกำลัง 79 นั่นก็คือ จ จ จ 79 = 10 10 8.85.10 33 . อย่างไรก็ตาม “หมายเลข Skewes ที่สอง” นั้นยิ่งใหญ่กว่าและเป็น 10 10 10 1,000

แน่นอนว่า ยิ่งมีพลังมากเท่าไร การเขียนตัวเลขและเข้าใจความหมายเมื่ออ่านก็จะยิ่งยากขึ้นเท่านั้น ยิ่งกว่านั้นเป็นไปได้ที่จะเกิดตัวเลขดังกล่าว (และโดยวิธีการนั้นพวกมันได้ถูกประดิษฐ์ขึ้นแล้ว) เมื่อระดับองศาไม่พอดีกับหน้า ใช่แล้ว นั่นมันหน้าเพจ! พวกมันไม่สามารถบรรจุลงในหนังสือที่มีขนาดเท่าจักรวาลได้เลยด้วยซ้ำ! ในกรณีนี้เกิดคำถามว่าจะเขียนตัวเลขดังกล่าวอย่างไร โชคดีที่ปัญหาสามารถแก้ไขได้ และนักคณิตศาสตร์ได้พัฒนาหลักการหลายประการในการเขียนตัวเลขดังกล่าว จริงอยู่ที่นักคณิตศาสตร์ทุกคนที่ถามเกี่ยวกับปัญหานี้มีวิธีการเขียนของตัวเองซึ่งนำไปสู่การมีวิธีการเขียนจำนวนมากที่ไม่เกี่ยวข้องกันหลายวิธี - นี่คือสัญลักษณ์ของ Knuth, Conway, Steinhaus เป็นต้น ตอนนี้เราต้องจัดการ กับบางส่วนของพวกเขา

สัญกรณ์อื่น ๆ

ในปี 1938 ซึ่งเป็นปีเดียวกับที่ Milton Sirotta วัย 9 ขวบคิดค้นตัวเลข googol และ googolplex ซึ่งเป็นหนังสือเกี่ยวกับคณิตศาสตร์เพื่อความบันเทิง A Mathematical Kaleidoscope ซึ่งเขียนโดย Hugo Dionizy Steinhaus (1887-1972) ได้รับการตีพิมพ์ในโปแลนด์ หนังสือเล่มนี้ได้รับความนิยมอย่างมาก ผ่านการพิมพ์หลายฉบับ และได้รับการแปลเป็นหลายภาษา รวมถึงภาษาอังกฤษและรัสเซีย ในนั้น ชไตน์เฮาส์กล่าวถึงตัวเลขจำนวนมาก เสนอวิธีง่ายๆ ในการเขียนโดยใช้สามตัว รูปทรงเรขาคณิต- สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม และวงกลม:

"นเป็นรูปสามเหลี่ยม" แปลว่า " ไม่»,
« nยกกำลังสอง" แปลว่า " nวี nสามเหลี่ยม",
« nเป็นวงกลม" แปลว่า " nวี nสี่เหลี่ยม"

อธิบายวิธีการบันทึกนี้ สไตน์เฮาส์คิดเลข "เมกะ" เท่ากับ 2 ในวงกลม และแสดงว่ามันเท่ากับ 256 ใน "สี่เหลี่ยมจัตุรัส" หรือ 256 ในสามเหลี่ยม 256 รูป ในการคำนวณคุณต้องเพิ่ม 256 ยกกำลัง 256 เพิ่มจำนวนผลลัพธ์ 3.2.10 616 ยกกำลัง 3.2.10 616 จากนั้นเพิ่มจำนวนผลลัพธ์เป็นยกกำลังของจำนวนผลลัพธ์และอื่น ๆ เพิ่ม ยกกำลัง 256 ครั้ง ตัวอย่างเช่น เครื่องคิดเลขใน MS Windows ไม่สามารถคำนวณได้เนื่องจากมีการล้นของ 256 แม้จะอยู่ในรูปสามเหลี่ยมสองรูปก็ตาม จำนวนมหาศาลนี้โดยประมาณคือ 10 10 2.10 619

เมื่อพิจารณาตัวเลข "เมกะ" แล้ว Steinhaus ขอเชิญชวนผู้อ่านให้ประมาณตัวเลขอื่นอย่างอิสระ - "เมดซอน" ซึ่งเท่ากับ 3 ในวงกลม ในหนังสือฉบับอื่น Steinhaus แทนที่จะใช้ medzone แนะนำให้ประมาณจำนวนที่มากกว่านั้น - "เมจิสตัน" ซึ่งเท่ากับ 10 ในวงกลม ตาม Steinhaus ฉันขอแนะนำให้ผู้อ่านแยกตัวออกจากข้อความนี้สักพักแล้วลองเขียนตัวเลขเหล่านี้ด้วยตนเองโดยใช้พลังธรรมดาเพื่อที่จะรู้สึกถึงขนาดมหึมา

อย่างไรก็ตาม มีชื่อสำหรับ b โอตัวเลขที่ใหญ่กว่า ดังนั้นนักคณิตศาสตร์ชาวแคนาดา Leo Moser (Leo Moser, 1921-1970) ได้แก้ไขสัญกรณ์ Steinhaus ซึ่งถูกจำกัดด้วยความจริงที่ว่าหากจำเป็นต้องเขียนตัวเลขที่ใหญ่กว่า megiston มาก ปัญหาและความไม่สะดวกก็จะเกิดขึ้นเนื่องจากมันจะเป็น จำเป็นต้องวาดวงกลมหลายวงเข้าหากัน โมเซอร์แนะนำว่าหลังจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสแล้ว อย่าวาดวงกลม แต่วาดเป็นรูปห้าเหลี่ยม จากนั้นก็เป็นรูปหกเหลี่ยม และอื่นๆ นอกจากนี้เขายังเสนอสัญลักษณ์อย่างเป็นทางการสำหรับรูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้เพื่อให้สามารถเขียนตัวเลขได้โดยไม่ต้องวาดภาพที่ซับซ้อน สัญกรณ์โมเซอร์มีลักษณะดังนี้:

« nสามเหลี่ยม" = ไม่ = n;
« nกำลังสอง" = n = « nวี nสามเหลี่ยม" = nn;
« nในรูปห้าเหลี่ยม" = n = « nวี nสี่เหลี่ยม" = nn;
« nวี เค+ 1 กอน" = n[เค+1] = " nวี n เค-กอนส์" = n[เค]n.

ดังนั้นตามสัญกรณ์ของโมเซอร์ "เมกะ" ของสไตน์เฮาส์เขียนเป็น 2 "เมดโซน" เป็น 3 และ "เมกิสตัน" เป็น 10 นอกจากนี้ ลีโอ โมเซอร์เสนอให้เรียกรูปหลายเหลี่ยมโดยมีจำนวนด้านเท่ากับเมกะ - "เมกะกอน" . และเขาเสนอหมายเลข "2 ในเมกะกอน" นั่นคือ 2 หมายเลขนี้กลายเป็นที่รู้จักในชื่อหมายเลขโมเซอร์หรือเรียกง่ายๆ ว่า "โมเซอร์"

แต่แม้แต่ “โมเซอร์” ก็ไม่ใช่จำนวนที่มากที่สุด ดังนั้น จำนวนที่มากที่สุดที่เคยใช้ในการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์คือ "จำนวนเกรแฮม" หมายเลขนี้ถูกใช้ครั้งแรกโดยนักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน โรนัลด์ เกรแฮม ในปี 1977 เพื่อพิสูจน์ค่าประมาณหนึ่งในทฤษฎีแรมซีย์ กล่าวคือ เมื่อคำนวณมิติของค่าที่แน่นอน n-ไฮเปอร์คิวบ์แบบสองสี หมายเลขของ Graham มีชื่อเสียงหลังจากที่มีการอธิบายไว้ในหนังสือของ Martin Gardner ในปี 1989 เรื่อง From Penrose Mosaics to Trust Ciphers

เพื่ออธิบายว่าจำนวนเกรแฮมมีขนาดใหญ่เพียงใด เราต้องอธิบายวิธีเขียนตัวเลขขนาดใหญ่อีกวิธีหนึ่ง ซึ่งริเริ่มโดยโดนัลด์ คนุธ ในปี 1976 ศาสตราจารย์ชาวอเมริกัน Donald Knuth เกิดแนวคิดเรื่องมหาอำนาจซึ่งเขาเสนอให้เขียนโดยมีลูกศรชี้ขึ้น:

ฉันคิดว่าทุกอย่างชัดเจนแล้ว กลับไปที่หมายเลขของเกรแฮมกันดีกว่า Ronald Graham เสนอสิ่งที่เรียกว่าเลข G:

เลข G 64 เรียกว่าเลขเกรแฮม (มักเรียกง่ายๆ ว่า G) หมายเลขนี้เป็นตัวเลขที่รู้จักมากที่สุดในโลกซึ่งใช้ในการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ และยังได้รับการบันทึกไว้ใน Guinness Book of Records อีกด้วย

และในที่สุดก็

เมื่อเขียนบทความนี้แล้ว ฉันอดไม่ได้ที่จะต่อต้านการล่อลวงให้คิดเลขของตัวเองขึ้นมา ให้เรียกหมายเลขนี้ว่า " สตาเพล็กซ์“และจะเท่ากับเลข G 100 จำไว้ให้ดี และเมื่อลูกของคุณถามว่าตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดในโลกคืออะไร ให้บอกพวกเขาว่าชื่อหมายเลขนี้ สตาเพล็กซ์.

ข่าวพันธมิตร

กาลครั้งหนึ่งในวัยเด็ก เราเรียนรู้ที่จะนับถึงสิบ ร้อย และถึงพัน แล้วคุณรู้เลขที่ใหญ่ที่สุดเท่าไหร่? หนึ่งพัน หนึ่งล้าน หนึ่งพันล้าน หนึ่งล้าน... แล้วไงล่ะ? Petallion มีคนพูดและเขาจะผิดเพราะเขาสร้างความสับสนให้กับคำนำหน้า SI ด้วยแนวคิดที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง

ที่จริงแล้วคำถามนั้นไม่ง่ายอย่างที่คิดเมื่อมองแวบแรก ประการแรก เรากำลังพูดถึงการตั้งชื่อชื่อผู้มีอำนาจเป็นพัน และตรงนี้ ข้อแตกต่างแรกที่หลายคนรู้จากภาพยนตร์อเมริกัน ก็คือพวกเขาเรียกเราว่าพันล้านหนึ่งพันล้าน

นอกจากนี้ยังมีเครื่องชั่งสองประเภท - ยาวและสั้น ในประเทศของเรามีการใช้มาตราส่วนสั้น ในระดับนี้ ในแต่ละขั้นตอน แมนทิสซาจะเพิ่มขึ้นสามลำดับความสำคัญ กล่าวคือ คูณด้วยหนึ่งพัน - พัน 10 3, ล้าน 10 6, พันล้าน/พันล้าน 10 9, ล้านล้าน (10 12) ในระยะยาว หลังจาก 1 พันล้าน 10 9 ก็จะมี 10 12 พันล้าน และต่อมาแมนทิสซาก็เพิ่มขึ้น 6 ลำดับขนาด และจำนวนถัดไปซึ่งเรียกว่าล้านล้านก็หมายถึง 10 18 อยู่แล้ว

แต่ขอกลับไปสู่ระดับพื้นเมืองของเรา ต้องการทราบว่าจะเกิดอะไรขึ้นหลังจากล้านล้าน? โปรด:

10 3 พัน
10 6 ล้าน
10 9 พันล้าน
10 12 ล้านล้าน
10 15 สี่ล้านล้าน
10 18 ล้านล้าน
10 21 หกล้านล้าน
10 24 เซทิลล้าน
10 27 ออคทิลเลียน
10 30 ล้านล้าน
10 33 ล้าน
10 36 ล้านล้าน
10 39 สิบล้านล้าน
10 42 ล้านล้าน
10 45 ควอตโตร์เดซิล้าน
10 48 ล้านล้าน
10 51 ล้านล้าน
10 54 กันยายน
10 57 ดูโอดีวิจินล้านล้าน
10 60 ล้านล้าน
10 63 viginillion
10 66 พันล้านล้าน
10 69 ดูโอวิจินล้านล้าน
10 72 ล้านล้าน
10 75 ควอเตอร์วิจินล้านล้าน
10 78 ล้านล้านล้าน
10 81 sexvigintillion
10 84 กันยายนล้านล้าน
10 87 ออคโตวิจินล้านล้าน
10 90 พ.ย.ล้านล้าน
10 93 ล้านล้าน
10 96 แอนติจินล้านล้าน

เมื่อถึงจำนวนนี้ ขนาดที่สั้นของเราไม่สามารถทนได้ และต่อมาตั๊กแตนตำข้าวก็จะเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ

10 100 กูเกิล
10,123 สี่ล้านล้าน
10,153 ล้านล้านล้าน
10,183 ล้านล้านเซ็ก
10,213 เจ็ดล้านล้าน
10,243 แปดล้านล้าน
10,273 ล้านล้าน
10,303 ล้านล้าน
10,306 ล้านล้าน
10,309 เซ็นต์ตัน
10,312 ล้านล้าน
10,315 เซ็นต์สี่ล้านล้าน
10,402 ล้านล้านล้านล้าน
10,603 ล้านล้าน
10,903 ล้านล้านล้าน
10 1203 สี่ล้านล้าน
10 1503 ล้านล้าน
10 1803 เซเซนล้าน
10 2103 กันยายนล้านล้าน
10 2403 oxtingentillion
10 2703 นอนเจนล้านล้าน
10 3003 ล้าน
10 6003 ดูโอล้าน
10 9003 สามล้าน
10 3000003 ล้านล้าน
10 6000003 duomimiliaillion
10 10 100 กูเกิลเพล็กซ์
10 3×n+3 ซิลเลียน

Google(จากภาษาอังกฤษ googol) - หมายเลข, นิ้ว ระบบทศนิยมสัญกรณ์แสดงด้วยหนึ่งตามด้วยศูนย์ 100 ตัว:
10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
ในปี 1938 นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน Edward Kasner (1878-1955) กำลังเดินเล่นในสวนสาธารณะกับหลานชายสองคนและพูดคุยกันเป็นจำนวนมาก ในระหว่างการสนทนา เราได้พูดคุยเกี่ยวกับตัวเลขที่มีศูนย์นับร้อยซึ่งไม่มีชื่อเป็นของตัวเอง Milton Sirotta หลานชายคนหนึ่งวัย 9 ขวบ แนะนำให้เรียกหมายเลขนี้ว่า "googol" ในปี 1940 Edward Kasner ร่วมกับ James Newman เขียนหนังสือวิทยาศาสตร์ยอดนิยมเรื่อง Mathematics and Imagination ("New Names in Mathematics") ซึ่งเขาเล่าให้คนรักคณิตศาสตร์ฟังเกี่ยวกับหมายเลข googol
คำว่า "googol" ไม่มีความหมายเชิงทฤษฎีหรือปฏิบัติที่จริงจัง แคสเนอร์เสนอให้อธิบายความแตกต่างระหว่างจำนวนมหาศาลกับอนันต์อย่างเหลือเชื่อ และบางครั้งคำนี้ใช้ในการสอนคณิตศาสตร์เพื่อจุดประสงค์นี้

กูเกิลเพล็กซ์(จากภาษาอังกฤษ googolplex) - ตัวเลขที่แสดงโดยหน่วยที่มี googol เป็นศูนย์ เช่นเดียวกับ googol คำว่า "googolplex" ได้รับการประกาศเกียรติคุณจากนักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน Edward Kasner และหลานชายของเขา Milton Sirotta
จำนวน googols นั้นมากกว่าจำนวนอนุภาคทั้งหมดในส่วนของจักรวาลที่เรารู้จัก ซึ่งมีตั้งแต่ 1,079 ถึง 1,081 ดังนั้น จำนวน googolplex ที่ประกอบด้วยตัวเลข (googol + 1) จึงไม่สามารถเขียนลงในรูปได้ รูปแบบ "ทศนิยม" แบบคลาสสิก แม้ว่าสสารในส่วนที่รู้จักของจักรวาลจะกลายเป็นกระดาษและหมึกหรือพื้นที่ดิสก์ของคอมพิวเตอร์ก็ตาม

ซิลเลี่ยน(อังกฤษ zillion) - ชื่อสามัญสำหรับจำนวนที่มาก

คำนี้ไม่มีคำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวด ในปี 1996 Conway (อังกฤษ J. H. Conway) และ Guy (eng. R. K. Guy) ในหนังสือภาษาอังกฤษของพวกเขา หนังสือแห่งตัวเลขกำหนด zillion ยกกำลัง n เป็น 10 3×n+3 สำหรับระบบการตั้งชื่อหมายเลขสเกลสั้น