ในสี่เหลี่ยมด้านขนานทุกด้านจะเท่ากัน สี่เหลี่ยมด้านขนาน

สี่เหลี่ยมด้านขนานคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีด้านตรงข้ามขนานกัน กล่าวคือ นอนอยู่บนเส้นคู่ขนาน

คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน:
ทฤษฎีบท 22 ด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากัน
การพิสูจน์. ในสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD เราวาดเส้นทแยงมุม AC สามเหลี่ยม ACD และ ACB เท่ากัน เนื่องจากมีด้าน AC ร่วมและมีคู่สองคู่ มุมเท่ากัน. ที่อยู่ติดกัน: ∠ CAB=∠ ACD, ∠ ACB=∠ DAC (เป็นมุมขวางที่มีเส้นขนาน AD และ BC) ซึ่งหมายความว่า AB = CD และ BC = AD ซึ่งเป็นด้านที่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยมเท่ากัน เป็นต้น จากความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมเหล่านี้ มุมที่สอดคล้องกันของรูปสามเหลี่ยมจะเท่ากัน:
ทฤษฎีบท 23 มุมตรงข้ามของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะเท่ากัน: ∠ A=∠ C และ ∠ B=∠ D
ความเท่าเทียมกันของคู่แรกมาจากความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม ABD และ CBD และคู่ที่สอง - ABC และ ACD
ทฤษฎีบท 24 มุมที่อยู่ติดกันของสี่เหลี่ยมด้านขนาน เช่น มุมที่อยู่ติดกันด้านหนึ่งรวมกันได้ 180 องศา
ที่เป็นเช่นนี้เพราะมันเป็นมุมด้านเดียวภายใน
ทฤษฎีบท 25 เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะแบ่งครึ่งกันที่จุดตัดกัน
การพิสูจน์. พิจารณาสามเหลี่ยม BOC และ AOD ตามคุณสมบัติแรก AD=BC ∠ OAD=∠ OCB และ ∠ ODA=∠ OBC ที่วางขวางสำหรับเส้นขนาน AD และ BC ดังนั้น สามเหลี่ยม BOC และ AOD จึงมีด้านเท่ากันและมุมประชิดกัน ซึ่งหมายความว่า BO=OD และ AO=OS เช่น ด้านที่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยมเท่ากัน เป็นต้น

สัญญาณของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ทฤษฎีบท 26 ถ้าด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากันเป็นคู่ๆ ก็จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
การพิสูจน์. ให้รูปสี่เหลี่ยม ABCD มีด้าน AD และ BC, AB และ CD เท่ากันตามลำดับ (รูปที่ 2) ลองวาดเส้นทแยงมุม AC กัน สามเหลี่ยม ABC และ ACD เท่ากันทั้งสามด้าน แล้วมุม BAC และ DCA เท่ากัน ดังนั้น AB จึงขนานกับ CD ความขนานกันของด้าน BC และ AD ตามมาจากความเท่ากันของมุม CAD และ ACB
ทฤษฎีบท 27 ถ้ามุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากันเป็นคู่ ก็จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ให้ ∠ A=∠ C และ ∠ B=∠ D เพราะ ∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=360 o จากนั้น ∠ A+∠ B=180 o และด้าน AD และ BC ขนานกัน (ขึ้นอยู่กับความขนานของเส้นตรง) เราจะพิสูจน์ความขนานของด้าน AB และ CD และสรุปว่า ABCD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานตามคำจำกัดความ
ทฤษฎีบท 28 หากมุมที่อยู่ติดกันของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเช่น มุมที่อยู่ประชิดด้านหนึ่งรวมกันได้ 180 องศา จึงเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน
หากมุมด้านเดียวภายในรวมกันได้ 180 องศา แสดงว่าเส้นตรงนั้นขนานกัน ดังนั้น AB ขนานกับ CD และ BC ขนานกับ AD รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนกลายเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานตามคำจำกัดความ
ทฤษฎีบท 29 ถ้าเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมตัดกันที่จุดตัด รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนั้นจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
การพิสูจน์. ถ้า AO = OC, BO = OD สามเหลี่ยม AOD และ BOC จะเท่ากัน เนื่องจากมีมุม (แนวตั้ง) เท่ากันที่จุดยอด O ซึ่งอยู่ระหว่างคู่ที่มีด้านเท่ากัน จากความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม เราสรุปได้ว่า AD และ BC เท่ากัน ด้าน AB และ CD ก็เท่ากัน และรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานกลายเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานตามเกณฑ์ที่ 1
ทฤษฎีบท 30 ถ้ารูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมีด้านคู่ขนานกันเท่ากัน แสดงว่าเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ให้ด้าน AB และ CD ของรูปสี่เหลี่ยม ABCD ขนานกันและเท่ากัน ลองวาดเส้นทแยงมุม AC และ BD กัน จากความขนานของเส้นเหล่านี้ จะได้ว่ามุมขวาง ABO = CDO และ BAO = OCD เท่ากัน สามเหลี่ยม ABO และ CDO เท่ากันทั้งด้านและมุมประชิด ดังนั้น AO=OS, VO=ОD เช่น เส้นทแยงมุมจะถูกแบ่งครึ่งด้วยจุดตัด และรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจะกลายเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานตามเกณฑ์ที่ 4

ในเรขาคณิต จะพิจารณากรณีพิเศษของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การพิสูจน์

ก่อนอื่น ลองวาดเส้นทแยงมุม AC ก่อน เราได้สามเหลี่ยมสองอัน: ABC และ ADC

เนื่องจาก ABCD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน จึงเป็นจริงดังนี้:

โฆษณา || BC \ลูกศรขวา \มุม 1 = \มุม 2เหมือนนอนขวางทาง

เอบี || ซีดี\ลูกศรขวา\angle3 =\มุม 4เหมือนนอนขวางทาง

ดังนั้น \triangle ABC = \triangle ADC (ตามเกณฑ์ที่สอง: และ AC เป็นเรื่องปกติ)

ดังนั้น \triangle ABC = \triangle ADC แล้ว AB = CD และ AD = BC

พิสูจน์แล้ว!

2. มุมตรงข้ามเหมือนกัน

การพิสูจน์

ตามหลักฐาน คุณสมบัติ 1เรารู้ว่า \มุม 1 = \มุม 2, \มุม 3 = \มุม 4. ดังนั้นผลรวมของมุมตรงข้ามคือ: \มุม 1 + \มุม 3 = \มุม 2 + \มุม 4. เมื่อพิจารณาว่า \triangle ABC = \triangle ADC เราจะได้ \angle A = \angle C , \angle B = \angle D

พิสูจน์แล้ว!

3. เส้นทแยงมุมแบ่งครึ่งโดยจุดตัด

การพิสูจน์

ลองวาดเส้นทแยงมุมอีกอันหนึ่ง

โดย ทรัพย์สิน 1เรารู้ว่าด้านตรงข้ามเหมือนกัน: AB = CD สังเกตอีกครั้งว่าเส้นขวางที่วางเป็นมุมเท่ากัน

ดังนั้น จึงชัดเจนว่า \triangle AOB = \triangle COD ตามเกณฑ์ที่สองสำหรับความเท่ากันของรูปสามเหลี่ยม (มุมสองมุมและด้านระหว่างมุมทั้งสอง) นั่นคือ BO = OD (ตรงข้ามมุม \มุม 2 และ \มุม 1) และ AO = OC (ตรงข้ามมุม \มุม 3 และ \มุม 4 ตามลำดับ)

พิสูจน์แล้ว!

สัญญาณของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

หากมีปัญหาเพียงจุดเดียว รูปนั้นจะเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน และคุณสามารถใช้คุณสมบัติทั้งหมดของรูปนี้ได้

เพื่อการท่องจำที่ดีขึ้น โปรดทราบว่าเครื่องหมายสี่เหลี่ยมด้านขนานจะตอบคำถามต่อไปนี้ - "จะหาได้อย่างไร?". นั่นคือจะทราบได้อย่างไรว่าตัวเลขที่กำหนดนั้นเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

1. สี่เหลี่ยมด้านขนานคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีด้านทั้งสองเท่ากันและขนานกัน

AB = ซีดี ; เอบี || CD\ลูกศรขวา ABCD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การพิสูจน์

มาดูกันดีกว่า ทำไมต้องโฆษณา || พ.ศ.?

\triangle ABC = \triangle ADC โดย ทรัพย์สิน 1: AB = CD, AC - จุดร่วม และ \angle 1 = \มุม 2 วางขวางโดยขนาน AB และ CD และเส้นตัด AC

แต่ถ้า \triangle ABC = \triangle ADC แล้ว \angle 3 = \angle 4 (อยู่ตรงข้าม AB และ CD ตามลำดับ) และด้วยเหตุนี้ AD || BC (\angle 3 และ \angle 4 - เส้นที่วางขวางก็เท่ากัน)

สัญญาณแรกถูกต้อง

2. สี่เหลี่ยมด้านขนานคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีด้านตรงข้ามเท่ากัน

AB = CD, AD = BC \ลูกศรขวา ABCD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การพิสูจน์

ลองพิจารณาสัญลักษณ์นี้ ลองวาดเส้นทแยงมุม AC อีกครั้ง

โดย ทรัพย์สิน 1\สามเหลี่ยม ABC = \สามเหลี่ยม ACD

เป็นไปตามนั้น: \angle 1 = \angle 2 \โฆษณาลูกศรขวา || บี.ซี.และ \angle 3 = \angle 4 \ลูกศรขวา AB || ซีดีนั่นคือ ABCD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

สัญญาณที่สองถูกต้อง

3. สี่เหลี่ยมด้านขนานคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีมุมตรงข้ามกันเท่ากัน

\มุม A = \มุม C , \angle B = \มุม D \ลูกศรขวา ABCD- สี่เหลี่ยมด้านขนาน

การพิสูจน์

2 \อัลฟา + 2 \เบต้า = 360^(\circ)(เนื่องจาก ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน และ \angle A = \angle C , \angle B = \angle D ตามเงื่อนไข)

ปรากฎว่า \alpha + \beta = 180^(\circ) แต่ \alpha และ \beta เป็นด้านเดียวภายในที่เส้นตัด AB

และความจริงที่ว่า \alpha + \beta = 180^(\circ) ก็หมายความว่า AD || ด้วย บี.ซี.

ยิ่งไปกว่านั้น \alpha และ \beta มีด้านเดียวภายในที่เส้นตัด AD และนั่นหมายความว่า AB || ซีดี.

สัญญาณที่สามถูกต้อง

4. สี่เหลี่ยมด้านขนานคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนซึ่งมีเส้นทแยงมุมถูกแบ่งครึ่งตามจุดตัด

เอโอ = โอซี ; BO = OD\สี่เหลี่ยมด้านขนานลูกศรขวา

การพิสูจน์

บีโอ = OD; AO = OC , \angle 1 = \angle 2 เป็นแนวตั้ง \ลูกศรขวา \สามเหลี่ยม AOB = \สามเหลี่ยม COD, \ลูกศรขวา \มุม 3 = \มุม 4และ \ลูกศรขวา AB || ซีดี.

ในทำนองเดียวกัน BO = OD; เอโอ = โอซี \angle 5 = \angle 6 \ลูกศรขวา \triangle AOD = \triangle BOC \ลูกศรขวา \angle 7 = \angle 8และ \โฆษณาลูกศรขวา || บี.ซี.

สัญญาณที่สี่ถูกต้อง

แนวคิดเรื่องสี่เหลี่ยมด้านขนาน

คำจำกัดความ 1

สี่เหลี่ยมด้านขนานคือรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนานกัน (รูปที่ 1)

ภาพที่ 1.

สี่เหลี่ยมด้านขนานมีคุณสมบัติหลักสองประการ ลองพิจารณาโดยไม่มีข้อพิสูจน์

คุณสมบัติ 1: ด้านตรงข้ามและมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะเท่ากันตามลำดับ

คุณสมบัติ 2: เส้นทแยงมุมที่วาดในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจะถูกแบ่งครึ่งตามจุดตัด

สัญญาณของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ลองพิจารณาคุณลักษณะสามประการของสี่เหลี่ยมด้านขนานแล้วนำเสนอในรูปแบบของทฤษฎีบท

ทฤษฎีบท 1

ถ้าด้านสองด้านของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากันและขนานกัน รูปสี่เหลี่ยมด้านนี้ก็จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การพิสูจน์.

ให้เราได้รับรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน $ABCD$ โดยที่ $AB||CD$ และ $AB=CD$ ให้เราวาดเส้นทแยงมุม $AC$ ในนั้น (รูปที่ 2)

รูปที่ 2.

พิจารณาเส้นคู่ขนาน $AB$ และ $CD$ และเส้นตัดกัน $AC$ แล้ว

\[\มุม CAB=\มุม DCA\]

เหมือนมุมที่ไขว้กัน

ตามเกณฑ์ $I$ ของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม

เนื่องจาก $AC$ เป็นด้านร่วม และ $AB=CD$ ตามเงื่อนไข วิธี

\[\มุม DAC=\มุม ACB\]

พิจารณาเส้นตรง $AD$ และ $CB$ และเส้นตัดขวาง $AC$ โดยความเท่ากันสุดท้ายของมุมนอนเราจะได้ $AD||CB$.) ดังนั้น ตามคำจำกัดความ $1$ รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนี้จึงเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบท 2

ถ้าด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากัน แสดงว่าเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การพิสูจน์.

ให้เราได้รับรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน $ABCD$ โดยที่ $AD=BC$ และ $AB=CD$ ให้เราวาดเส้นทแยงมุม $AC$ ไว้ข้างใน (รูปที่ 3)

รูปที่ 3.

เนื่องจาก $AD=BC$, $AB=CD$ และ $AC$ เป็นด้านร่วม ดังนั้นตามเกณฑ์ $III$ สำหรับความเท่ากันของรูปสามเหลี่ยม

\[\สามเหลี่ยม DAC=\สามเหลี่ยม ACB\]

\[\มุม DAC=\มุม ACB\]

ลองพิจารณาเส้น $AD$ และ $CB$ และเส้นตัดขวาง $AC$ ของเส้นเหล่านั้น โดยความเสมอภาคสุดท้ายข้ามมุมโกหก เราจะได้ $AD||CB$ ดังนั้น ตามคำนิยาม $1$ รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้จึงเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

\[\มุม DCA=\มุม CAB\]

ลองพิจารณาเส้น $AB$ และ $CD$ และเส้นตัดขวาง $AC$ ของเส้นเหล่านั้น โดยความเสมอภาคสุดท้ายข้ามมุมนอน เราจะได้ $AB||CD$ ดังนั้น ตามคำจำกัดความที่ 1 รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนี้จึงเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบท 3

หากเส้นทแยงมุมที่วาดเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนถูกแบ่งออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กันด้วยจุดตัดกัน รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้ก็จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การพิสูจน์.

ให้เราได้รับรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน $ABCD$ ให้เราวาดเส้นทแยงมุม $AC$ และ $BD$ ลงไป ปล่อยให้พวกมันตัดกันที่จุด $O$ (รูปที่ 4)

รูปที่ 4.

เนื่องจากตามเงื่อนไข $BO=OD,\ AO=OC$ และมุม $\angle COB=\angle DOA$ นั้นเป็นแนวตั้ง ดังนั้น ด้วยเกณฑ์ $I$ สำหรับความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม

\[\สามเหลี่ยม BOC=\สามเหลี่ยม AOD\]

\[\มุม DBC=\มุม BDA\]

พิจารณาเส้น $BC$ และ $AD$ และเส้นตัดขวาง $BD$ โดยความเสมอภาคสุดท้ายของมุมนอนเราจะได้ $BC||AD$ $BC=AD$ เช่นกัน ดังนั้น ตามทฤษฎีบท $1$ รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนี้จึงเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ในการพิจารณาว่ารูปที่กำหนดเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานหรือไม่นั้น จะต้องมีสัญญาณจำนวนหนึ่ง มาดูคุณสมบัติหลักสามประการของสี่เหลี่ยมด้านขนานกัน

เครื่องหมายสี่เหลี่ยมด้านขนาน 1 อัน

ถ้าด้านสองด้านของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากันและขนานกัน รูปสี่เหลี่ยมด้านนี้ก็จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การพิสูจน์:

พิจารณารูปสี่เหลี่ยม ABCD ให้ด้าน AB และ CD ขนานกัน และให้ AB=CD ลองวาดเส้นทแยงมุม BD ลงไป มันจะแบ่งรูปสี่เหลี่ยมนี้ออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูปเท่าๆ กัน: ABD และ CBD

สามเหลี่ยมเหล่านี้จะเท่ากันตลอดทั้ง 2 ด้านและมีมุมระหว่างกัน (BD คือด้านร่วม, AB = CD โดยเงื่อนไข, มุม 1 = มุม 2 เป็นมุมขวางโดยมี BD ตามขวางของเส้นคู่ขนาน AB และ CD) ดังนั้นมุม 3 = มุม 4

และมุมเหล่านี้จะนอนขวางเมื่อเส้น BC และ AD ตัดกับเส้นตัด BD จากนี้ไป BC และ AD ขนานกัน เรามีว่าในรูปสี่เหลี่ยม ABCD ด้านตรงข้ามขนานกันเป็นคู่ ดังนั้นรูปสี่เหลี่ยม ABCD จึงเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

เครื่องหมายสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ 2

ถ้าในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานด้านตรงข้ามเท่ากันเป็นคู่ รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้จะเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การพิสูจน์:

พิจารณารูปสี่เหลี่ยม ABCD ลองวาดเส้นทแยงมุม BD ลงไป มันจะแบ่งรูปสี่เหลี่ยมนี้ออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูปเท่าๆ กัน: ABD และ CBD

สามเหลี่ยมทั้งสองนี้จะเท่ากันทั้งสามด้าน (BD คือด้านร่วม, AB = CD และ BC = AD ตามเงื่อนไข) จากนี้เราสามารถสรุปได้ว่ามุม 1 = มุม 2 ตามมาว่า AB ขนานกับ CD และเนื่องจาก AB = CD และ AB ขนานกับ CD ดังนั้นตามเกณฑ์แรกของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจึงเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

3 เครื่องหมายสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ถ้าเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมตัดกันและถูกแบ่งครึ่งด้วยจุดตัด รูปสี่เหลี่ยมนี้จะเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

พิจารณารูปสี่เหลี่ยม ABCD ลองวาดเส้นทแยงมุม AC และ BD สองเส้นในนั้น ซึ่งจะตัดกันที่จุด O และถูกแบ่งออกเป็นสองส่วนโดยจุดนี้

สามเหลี่ยม AOB และ COD จะเท่ากันตามเครื่องหมายแรกของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม (AO = OC, BO = OD โดยเงื่อนไข มุม AOB = มุม COD เป็นมุมแนวตั้ง) ดังนั้น AB = CD และมุม 1 = มุม 2 จากความเท่ากันของมุม 1 และ 2 เราจะได้ว่า AB ขนานกับ CD จากนั้นเราได้ว่าใน ABCD ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ด้าน AB เท่ากับ CD และขนานกัน และตามเกณฑ์แรกของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

หลักสูตรวิดีโอ "Get an A" มีหัวข้อทั้งหมดที่จำเป็นสำหรับความสำเร็จ ผ่านการสอบ Unified Stateในวิชาคณิตศาสตร์ได้ 60-65 คะแนน ครบทุกปัญหา 1-13 การตรวจสอบโปรไฟล์ Unified Stateคณิตศาสตร์. ยังเหมาะสำหรับการผ่านการสอบ Basic Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์อีกด้วย หากคุณต้องการผ่านการสอบ Unified State ด้วยคะแนน 90-100 คุณต้องแก้ส่วนที่ 1 ใน 30 นาทีโดยไม่มีข้อผิดพลาด!

หลักสูตรเตรียมความพร้อมสำหรับการสอบ Unified State สำหรับเกรด 10-11 รวมถึงสำหรับครูผู้สอน ทุกสิ่งที่คุณต้องการเพื่อแก้ส่วนที่ 1 ของการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ (ปัญหา 12 ข้อแรก) และปัญหา 13 (ตรีโกณมิติ) และนี่คือมากกว่า 70 คะแนนในการสอบ Unified State และทั้งนักเรียน 100 คะแนนและนักศึกษามนุษยศาสตร์ก็สามารถทำได้หากไม่มีพวกเขา

ทฤษฎีที่จำเป็นทั้งหมด วิธีที่รวดเร็วแนวทางแก้ไข ข้อผิดพลาด และความลับของการสอบ Unified State งานปัจจุบันทั้งหมดของส่วนที่ 1 จาก FIPI Task Bank ได้รับการวิเคราะห์แล้ว หลักสูตรนี้สอดคล้องกับข้อกำหนดของ Unified State Exam 2018 อย่างสมบูรณ์

หลักสูตรประกอบด้วย 5 หัวข้อใหญ่ หัวข้อละ 2.5 ชั่วโมง แต่ละหัวข้อได้รับตั้งแต่เริ่มต้น เรียบง่ายและชัดเจน

งานสอบ Unified State หลายร้อยรายการ ปัญหาคำศัพท์และทฤษฎีความน่าจะเป็น อัลกอริทึมที่ง่ายและง่ายต่อการจดจำสำหรับการแก้ปัญหา เรขาคณิต. ทฤษฎี, วัสดุอ้างอิง, วิเคราะห์งาน Unified State Examination ทุกประเภท สเตอริโอเมทรี วิธีแก้ปัญหาที่ยุ่งยาก เอกสารโกงที่มีประโยชน์ การพัฒนาจินตนาการเชิงพื้นที่ ตรีโกณมิติตั้งแต่เริ่มต้นจนถึงปัญหา 13 ทำความเข้าใจแทนการยัดเยียด คำอธิบายด้วยภาพ แนวคิดที่ซับซ้อน. พีชคณิต. ราก กำลังและลอการิทึม ฟังก์ชันและอนุพันธ์ พื้นฐานสำหรับการแก้ปัญหา งานที่ซับซ้อน 2 ส่วนของการสอบ Unified State