ฟังก์ชันใดเรียกว่ากำลังสอง? ฟังก์ชันกำลังสอง

ที่ วัสดุวิธีการมีไว้เพื่อการอ้างอิงเท่านั้นและใช้กับหัวข้อที่หลากหลาย บทความนี้นำเสนอภาพรวมของกราฟของฟังก์ชันพื้นฐานเบื้องต้นและข้ออภิปรายต่างๆ คำถามที่สำคัญที่สุด – วิธีสร้างกราฟอย่างถูกต้องและรวดเร็ว. ในระหว่างการศึกษาคณิตศาสตร์ขั้นสูงโดยไม่มีความรู้กราฟของฟังก์ชันพื้นฐานขั้นพื้นฐาน มันจะเป็นเรื่องยาก ดังนั้นจึงเป็นเรื่องสำคัญมากที่จะต้องจำไว้ว่ากราฟของพาราโบลา ไฮเปอร์โบลา ไซน์ โคไซน์ ฯลฯ มีลักษณะอย่างไร และจำไว้บ้าง ความหมายของฟังก์ชันต่างๆ เราจะพูดถึงคุณสมบัติบางอย่างของฟังก์ชันหลักด้วย

ฉันไม่ได้อ้างว่าเนื้อหามีความสมบูรณ์และละเอียดถี่ถ้วนทางวิทยาศาสตร์ ก่อนอื่นจะเน้นที่การปฏิบัติ - สิ่งเหล่านั้นที่ เราเผชิญหน้าอย่างแท้จริงในทุกขั้นตอนในหัวข้อทางคณิตศาสตร์ขั้นสูง. แผนภูมิสำหรับหุ่น? ใครๆ ก็พูดแบบนั้นได้

เนื่องจากมีการร้องขอจากผู้อ่านเป็นจำนวนมาก สารบัญที่คลิกได้:

นอกจากนี้ยังมีเรื่องย่อที่สั้นเป็นพิเศษในหัวข้อนี้
– เชี่ยวชาญแผนภูมิ 16 ประเภทโดยศึกษาหกหน้า!

จริงๆ นะ หก แม้แต่ฉันก็แปลกใจด้วยซ้ำ ข้อมูลสรุปนี้มีกราฟิกที่ได้รับการปรับปรุงและพร้อมใช้งานโดยเสียค่าธรรมเนียมเล็กน้อย สามารถดูเวอร์ชันสาธิตได้ สะดวกในการพิมพ์ไฟล์เพื่อให้กราฟอยู่ใกล้แค่เอื้อม ขอบคุณสำหรับการสนับสนุนโครงการ!

และเริ่มกันเลย:

จะสร้างแกนพิกัดอย่างถูกต้องได้อย่างไร?

ในทางปฏิบัติ นักเรียนมักจะทำแบบทดสอบในสมุดบันทึกแยกกันโดยเรียงเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ทำไมคุณถึงต้องมีเครื่องหมายตาหมากรุก? โดยหลักการแล้วงานนี้สามารถทำได้บนแผ่น A4 และกรงจำเป็นสำหรับการออกแบบภาพวาดคุณภาพสูงและแม่นยำเท่านั้น

การวาดกราฟฟังก์ชันใดๆ จะเริ่มต้นด้วยแกนพิกัด.

การวาดภาพอาจเป็นแบบสองมิติหรือสามมิติ

ก่อนอื่นมาพิจารณากรณีสองมิติก่อน ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน:

1) วาดแกนพิกัด แกนนั้นเรียกว่า แกน x และแกนก็คือ แกน y . เราพยายามวาดมันอยู่เสมอ เรียบร้อยและไม่คดเคี้ยว. ลูกศรไม่ควรมีลักษณะคล้ายกับเคราของ Papa Carlo

2) เราเซ็นชื่อแกนด้วยตัวอักษรขนาดใหญ่ "X" และ "Y" อย่าลืมติดป้ายแกนด้วย.

3) ตั้งค่าสเกลตามแกน: วาดศูนย์และสองอัน. เมื่อวาดภาพ สเกลที่สะดวกและใช้บ่อยที่สุดคือ 1 หน่วย = 2 เซลล์ (รูปวาดทางด้านซ้าย) - หากเป็นไปได้ ให้ติดไว้ อย่างไรก็ตามในบางครั้งอาจเกิดขึ้นว่าภาพวาดไม่พอดีกับแผ่นสมุดบันทึก - จากนั้นเราจะลดขนาดลง: 1 หน่วย = 1 เซลล์ (รูปวาดทางด้านขวา) เป็นเรื่องยาก แต่บังเอิญว่าขนาดของภาพวาดต้องลดลง (หรือเพิ่มขึ้น) มากยิ่งขึ้น

ไม่จำเป็นต้อง "ปืนกล" …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ….เพราะระนาบพิกัดไม่ใช่อนุสาวรีย์ของเดการ์ต และนักเรียนก็ไม่ใช่นกพิราบ เราใส่ ศูนย์และ สองหน่วยตามแนวแกน. บางครั้ง แทนหน่วย จะสะดวกในการ "ทำเครื่องหมาย" ค่าอื่น ๆ เช่น "สอง" บนแกน Abscissa และ "สาม" บนแกนกำหนด - และระบบนี้ (0, 2 และ 3) จะกำหนดตารางพิกัดโดยไม่ซ้ำกันด้วย

ควรประมาณขนาดโดยประมาณของแบบร่างก่อนสร้างแบบร่าง. ตัวอย่างเช่น หากงานจำเป็นต้องวาดรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด , , แสดงว่ามาตราส่วนยอดนิยมของ 1 หน่วย = 2 เซลล์จะไม่ทำงาน ทำไม ลองดูที่ประเด็น - ที่นี่คุณจะต้องวัดลงไปสิบห้าเซนติเมตรและเห็นได้ชัดว่าภาพวาดจะไม่พอดี (หรือแทบจะไม่พอดี) บนแผ่นสมุดบันทึก ดังนั้นเราจึงเลือกสเกลที่เล็กกว่าทันที: 1 หน่วย = 1 เซลล์

โดยวิธีการประมาณเซนติเมตรและ เซลล์เตตราด. จริงหรือไม่ที่เซลล์โน้ตบุ๊ก 30 เซลล์มี 15 เซนติเมตร? เพื่อความสนุกสนาน ใช้ไม้บรรทัดวัดสมุดบันทึกของคุณให้มีความสูง 15 เซนติเมตร ในสหภาพโซเวียต สิ่งนี้อาจเป็นจริง... เป็นที่น่าสนใจที่จะทราบว่าหากคุณวัดเซนติเมตรเดียวกันนี้ในแนวนอนและแนวตั้ง ผลลัพธ์ (ในเซลล์) จะแตกต่างออกไป! พูดอย่างเคร่งครัด สมุดบันทึกสมัยใหม่ไม่ได้มีลักษณะเป็นตาหมากรุก แต่เป็นทรงสี่เหลี่ยมผืนผ้า สิ่งนี้อาจดูไร้สาระ แต่การวาดภาพวงกลมที่มีเข็มทิศในสถานการณ์เช่นนี้ไม่สะดวกอย่างยิ่ง พูดตามตรง ในช่วงเวลาดังกล่าวคุณเริ่มคิดถึงความถูกต้องของสหายสตาลินที่ถูกส่งไปยังค่ายเพื่อทำงานแฮ็กในการผลิต ไม่ต้องพูดถึงอุตสาหกรรมรถยนต์ในประเทศ เครื่องบินตก หรือโรงไฟฟ้าระเบิด

พูดถึงคุณภาพหรือคำแนะนำสั้นๆเกี่ยวกับเครื่องเขียน วันนี้โน้ตบุ๊กที่ขายส่วนใหญ่พูดน้อยที่สุดคือไร้สาระ ด้วยเหตุผลที่ทำให้เปียก ไม่ใช่แค่จากปากกาเจลเท่านั้น แต่ยังมาจากปากกาลูกลื่นด้วย! พวกเขาประหยัดเงินบนกระดาษ สำหรับการลงทะเบียน การทดสอบฉันแนะนำให้ใช้สมุดบันทึกจากโรงงานผลิตเยื่อและกระดาษ Arkhangelsk (18 แผ่น, ตาราง) หรือ "Pyaterochka" แม้ว่าจะมีราคาแพงกว่าก็ตาม ขอแนะนำให้เลือกปากกาเจลแม้แต่รีฟิลเจลจีนที่ถูกที่สุดก็ยังดีกว่าปากกาลูกลื่นซึ่งทำให้กระดาษเปื้อนหรือฉีกกระดาษได้มาก "การแข่งขัน" เท่านั้น ปากกาลูกลื่นในความทรงจำของฉันคือ "อีริช เคราส์" เธอเขียนได้ชัดเจน สวยงาม และสม่ำเสมอ ไม่ว่าจะเขียนเต็มแกนหรือแทบจะว่างเปล่าก็ตาม

นอกจากนี้: วิสัยทัศน์ของระบบพิกัดสี่เหลี่ยมผ่านสายตาของเรขาคณิตวิเคราะห์มีกล่าวถึงในบทความนี้ การพึ่งพาเชิงเส้น (ไม่) ของเวกเตอร์ พื้นฐานของเวกเตอร์, รายละเอียดข้อมูลเกี่ยวกับไตรมาสประสานงานสามารถพบได้ในย่อหน้าที่สองของบทเรียน อสมการเชิงเส้น.

เคสสามมิติ

มันเกือบจะเหมือนกันที่นี่

1) วาดแกนพิกัด มาตรฐาน: ใช้แกน – ชี้ขึ้น, แกน – ชี้ไปทางขวา, แกน – ชี้ลงไปทางซ้าย อย่างเคร่งครัดที่มุม 45 องศา

2) ติดป้ายกำกับแกน

3) ตั้งสเกลตามแกน สเกลตามแกนจะเล็กกว่าสเกลตามแกนอื่นๆ สองเท่า. โปรดทราบว่าในภาพวาดที่ถูกต้องฉันใช้ "รอยบาก" ที่ไม่ได้มาตรฐานตามแกน (ความเป็นไปได้นี้ได้ถูกกล่าวถึงข้างต้นแล้ว). จากมุมมองของฉัน สิ่งนี้แม่นยำกว่า เร็วกว่า และสวยงามกว่า - ไม่จำเป็นต้องมองหาจุดกึ่งกลางของเซลล์ใต้กล้องจุลทรรศน์และ "แกะสลัก" หน่วยที่อยู่ใกล้กับจุดกำเนิดของพิกัด

เมื่อทำการวาดภาพ 3 มิติ ให้ให้ความสำคัญกับขนาดอีกครั้ง
1 หน่วย = 2 เซลล์ (รูปวาดทางด้านซ้าย)

กฎทั้งหมดนี้มีไว้เพื่ออะไร? กฎเกณฑ์มีไว้ให้แหก นั่นคือสิ่งที่ฉันจะทำตอนนี้ ความจริงก็คือฉันจะวาดภาพบทความต่อ ๆ ไปใน Excel และแกนพิกัดจะดูไม่ถูกต้องจากมุมมอง การออกแบบที่ถูกต้อง. ฉันสามารถวาดกราฟทั้งหมดด้วยมือได้ แต่จริงๆ แล้วมันน่ากลัวที่จะวาดกราฟเหล่านี้ เนื่องจาก Excel ไม่เต็มใจที่จะวาดกราฟให้แม่นยำมากขึ้น

กราฟและคุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชันเบื้องต้น

ฟังก์ชันเชิงเส้นได้มาจากสมการ กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นคือ โดยตรง. ในการสร้างเส้นตรง การรู้จุดสองจุดก็เพียงพอแล้ว

ตัวอย่างที่ 1

สร้างกราฟของฟังก์ชัน มาหาสองประเด็นกัน การเลือกศูนย์เป็นจุดใดจุดหนึ่งจะเป็นประโยชน์

ถ้าอย่างนั้น

ลองพิจารณาอีกประเด็นหนึ่ง เช่น 1

ถ้าอย่างนั้น

เมื่อทำงานเสร็จมักจะสรุปพิกัดของจุดต่างๆ ไว้ในตาราง:

และค่าต่างๆ จะถูกคำนวณด้วยวาจาหรือแบบร่างซึ่งเป็นเครื่องคิดเลข

พบสองจุด มาวาดรูปกัน:

เมื่อเตรียมภาพวาด เราจะเซ็นชื่อกราฟิกเสมอ.

มันจะมีประโยชน์ในการจำกรณีพิเศษของฟังก์ชันเชิงเส้น:

สังเกตว่าฉันวางลายเซ็นอย่างไร ลายเซ็นไม่ควรทำให้เกิดความแตกต่างเมื่อศึกษาภาพวาด. ในกรณีนี้ การวางลายเซ็นไว้ข้างจุดตัดของเส้นหรือที่มุมขวาล่างระหว่างกราฟเป็นสิ่งที่ไม่พึงปรารถนาอย่างยิ่ง

1) ฟังก์ชันเชิงเส้นของรูปแบบ () เรียกว่า สัดส่วนโดยตรง ตัวอย่างเช่น, . กราฟสัดส่วนตรงจะผ่านจุดกำเนิดเสมอ ดังนั้นการสร้างเส้นตรงจึงง่ายขึ้น - การหาเพียงจุดเดียวก็เพียงพอแล้ว

2) สมการของแบบฟอร์มระบุเส้นตรงขนานกับแกน โดยเฉพาะแกนนั้นได้มาจากสมการ กราฟของฟังก์ชันจะถูกพล็อตทันทีโดยไม่พบจุดใดๆ นั่นคือ ควรเข้าใจรายการดังนี้: “ค่า y จะเท่ากับ –4 เสมอ สำหรับค่า x ใดๆ ก็ตาม”

3) สมการของแบบฟอร์มระบุเส้นตรงขนานกับแกน โดยเฉพาะแกนนั้นได้มาจากสมการ กราฟของฟังก์ชันก็จะถูกพล็อตทันทีเช่นกัน ควรทำความเข้าใจรายการดังนี้: “x เสมอ สำหรับค่า y ใดๆ เท่ากับ 1”

บางคนก็จะถามว่าทำไมถึงจำชั้น ป.6 ได้! มันก็เป็นเช่นนั้น บางทีก็เป็นเช่นนั้น แต่ตลอดหลายปีที่ผ่านมาของการฝึกฝน ฉันได้พบกับนักเรียนดีๆ หลายสิบคนที่รู้สึกงุนงงกับงานสร้างกราฟแบบ or

การสร้างเส้นตรงเป็นการกระทำที่พบบ่อยที่สุดเมื่อวาดภาพ

เส้นตรงจะถูกกล่าวถึงโดยละเอียดในหลักสูตรเรขาคณิตวิเคราะห์ และผู้ที่สนใจสามารถดูบทความได้ สมการของเส้นตรงบนระนาบ.

กราฟของกำลังสอง ฟังก์ชันลูกบาศก์ กราฟของพหุนาม

พาราโบลา กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง () แสดงถึงพาราโบลา พิจารณากรณีที่มีชื่อเสียง:

ลองนึกถึงคุณสมบัติบางอย่างของฟังก์ชันกัน

ดังนั้น วิธีแก้สมการของเรา: – ณ จุดนี้เองที่จุดยอดของพาราโบลาอยู่ เหตุใดจึงเป็นเช่นนั้น สามารถเรียนรู้ได้จากบทความเชิงทฤษฎีเกี่ยวกับอนุพันธ์และบทเรียนเรื่องสุดขีดของฟังก์ชัน ในระหว่างนี้ มาคำนวณค่า "Y" ที่เกี่ยวข้องกัน:

ดังนั้นจุดยอดจึงอยู่ที่จุดนั้น

ตอนนี้เราพบจุดอื่นๆ ในขณะที่ใช้ความสมมาตรของพาราโบลาอย่างโจ่งแจ้ง ควรสังเกตว่าฟังก์ชั่น – ไม่เท่ากันแต่ถึงกระนั้นก็ไม่มีใครยกเลิกสมมาตรของพาราโบลาได้

จะหาแต้มที่เหลือจะเป็นอย่างไรผมว่าน่าจะชัดเจนจากตารางสุดท้ายว่า

อัลกอริธึมการก่อสร้างนี้สามารถเรียกได้ว่าเป็นหลักการ "กระสวย" หรือ "ไปมา" โดย Anfisa Chekhova

มาวาดรูปกันเถอะ:

จากกราฟที่ตรวจสอบ คุณลักษณะที่มีประโยชน์อีกอย่างหนึ่งคือ:

สำหรับฟังก์ชันกำลังสอง () ต่อไปนี้เป็นจริง:

ถ้า แล้วกิ่งก้านของพาราโบลาจะชี้ขึ้น.

ถ้า แล้วกิ่งก้านของพาราโบลาจะชี้ลง.

ความรู้เชิงลึกเกี่ยวกับเส้นโค้งหาได้จากบทเรียนไฮเปอร์โบลาและพาราโบลา

ฟังก์ชันกำหนดพาราโบลาลูกบาศก์มาให้ นี่คือภาพวาดที่คุ้นเคยจากโรงเรียน:

ให้เราแสดงรายการคุณสมบัติหลักของฟังก์ชัน

กราฟของฟังก์ชัน

มันแสดงถึงกิ่งหนึ่งของพาราโบลา มาวาดรูปกันเถอะ:

คุณสมบัติหลักของฟังก์ชัน:

ในกรณีนี้แกนคือ เส้นกำกับแนวตั้ง สำหรับกราฟของไฮเปอร์โบลาที่

มันจะเป็นความผิดพลาดครั้งใหญ่หากเมื่อคุณวาดรูปวาด คุณปล่อยให้กราฟตัดกับเส้นกำกับอย่างไม่ระมัดระวัง

ลิมิตด้านเดียวบอกเราว่าไฮเปอร์โบลา ไม่จำกัดจากด้านบนและ ไม่จำกัดจากด้านล่าง.

ลองตรวจสอบฟังก์ชันที่ระยะอนันต์: นั่นคือถ้าเราเริ่มเคลื่อนที่ไปตามแกนไปทางซ้าย (หรือขวา) ไปจนถึงระยะอนันต์ "เกม" จะอยู่ในขั้นตอนที่เป็นระเบียบ ปิดอนันต์เข้าใกล้ศูนย์ และกิ่งก้านของไฮเปอร์โบลาก็ตามมาด้วย ปิดอนันต์เข้าใกล้แกน

แกนก็คือ เส้นกำกับแนวนอน สำหรับกราฟของฟังก์ชัน ถ้า "x" มีแนวโน้มบวกหรือลบอนันต์

ฟังก์ชั่นคือ แปลกดังนั้นไฮเพอร์โบลาจึงมีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด ข้อเท็จจริงนี้ชัดเจนจากภาพวาด นอกจากนี้ยังตรวจสอบเชิงวิเคราะห์ได้อย่างง่ายดาย: .

กราฟของฟังก์ชันในรูปแบบ () แสดงถึงสองกิ่งของไฮเปอร์โบลา.

ถ้า แล้วไฮเพอร์โบลาจะอยู่ในควอเตอร์พิกัดที่หนึ่งและสาม(ดูภาพด้านบน)

ถ้า แล้วไฮเปอร์โบลาจะอยู่ในควอเตอร์พิกัดที่สองและสี่.

รูปแบบที่ระบุของที่อยู่อาศัยไฮเปอร์โบลานั้นง่ายต่อการวิเคราะห์จากมุมมองของการเปลี่ยนแปลงทางเรขาคณิตของกราฟ

ตัวอย่างที่ 3

สร้างกิ่งด้านขวาของไฮเปอร์โบลา

เราใช้วิธีการก่อสร้างแบบ point-wise และมีข้อดีในการเลือกค่าเพื่อให้สามารถหารทั้งหมดได้:

มาวาดรูปกันเถอะ:

การสร้างกิ่งด้านซ้ายของไฮเปอร์โบลาจะไม่ยาก ความแปลกของฟังก์ชันจะช่วยได้ โดยคร่าวแล้ว ในตารางการสร้างแบบ pointwise เราบวกลบเข้ากับแต่ละตัวเลขในใจ ใส่จุดที่สอดคล้องกันแล้ววาดกิ่งที่สอง

ข้อมูลเรขาคณิตโดยละเอียดเกี่ยวกับเส้นที่พิจารณามีอยู่ในบทความไฮเปอร์โบลาและพาราโบลา

กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ในส่วนนี้ ฉันจะพิจารณาฟังก์ชันเลขชี้กำลังทันที เนื่องจากในปัญหาทางคณิตศาสตร์ขั้นสูงใน 95% ของกรณี เลขชี้กำลังจะปรากฏขึ้น

ฉันขอเตือนคุณว่านี่คือจำนวนอตรรกยะ: สิ่งนี้จะต้องใช้ในการสร้างกราฟซึ่งอันที่จริงฉันจะสร้างโดยไม่มีพิธีการ สามแต้มก็น่าจะเพียงพอแล้ว:

ปล่อยให้กราฟของฟังก์ชันอยู่คนเดียวก่อน แล้วเราจะอธิบายรายละเอียดเพิ่มเติมในภายหลัง

คุณสมบัติหลักของฟังก์ชัน:

กราฟฟังก์ชัน ฯลฯ โดยพื้นฐานแล้วมีลักษณะเหมือนกัน

ฉันต้องบอกว่ากรณีที่ 2 เกิดขึ้นไม่บ่อยนักในทางปฏิบัติ แต่ก็เกิดขึ้นจริง ดังนั้นฉันจึงถือว่าจำเป็นต้องรวมไว้ในบทความนี้

กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม

พิจารณาฟังก์ชันด้วย ลอการิทึมธรรมชาติ.
มาวาดภาพแบบจุดต่อจุดกัน:

หากคุณลืมว่าลอการิทึมคืออะไร โปรดดูหนังสือเรียนในโรงเรียนของคุณ

คุณสมบัติหลักของฟังก์ชัน:

โดเมน:

ช่วงของค่า: .

ฟังก์ชั่นไม่ได้ถูกจำกัดจากด้านบน: แม้ว่าจะช้า แต่สาขาของลอการิทึมขึ้นไปถึงอนันต์
ให้เราตรวจสอบพฤติกรรมของฟังก์ชันใกล้ศูนย์ทางด้านขวา: . แกนก็คือ เส้นกำกับแนวตั้ง สำหรับกราฟของฟังก์ชันที่ "x" มีแนวโน้มเป็นศูนย์จากด้านขวา

จำเป็นต้องรู้และจดจำค่าทั่วไปของลอการิทึม: .

โดยหลักการแล้ว กราฟของลอการิทึมถึงฐานจะมีลักษณะเหมือนกัน: , , (ลอการิทึมฐานสิบถึงฐาน 10) เป็นต้น ยิ่งไปกว่านั้น ยิ่งฐานมีขนาดใหญ่เท่าใด กราฟก็จะแบนราบมากขึ้นเท่านั้น

เราจะไม่พิจารณากรณีนี้ ฉันจำไม่ได้ว่าครั้งสุดท้ายที่ฉันสร้างกราฟด้วยพื้นฐานดังกล่าวเมื่อใด และลอการิทึมดูเหมือนจะพบได้น้อยมากในปัญหาทางคณิตศาสตร์ชั้นสูง

ในตอนท้ายของย่อหน้านี้ ฉันจะพูดข้อเท็จจริงอีกประการหนึ่ง: ฟังก์ชันเลขชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม- ทั้งสองมีกันและกัน ฟังก์ชันผกผัน . หากคุณดูกราฟของลอการิทึมอย่างใกล้ชิด คุณจะเห็นว่านี่คือเลขชี้กำลังเดียวกัน แต่มีความแตกต่างกันเล็กน้อย

กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

การทรมานตรีโกณมิติเริ่มต้นที่โรงเรียนที่ไหน? ขวา. จากไซน์

ลองพลอตฟังก์ชันกัน

เส้นนี้เรียกว่า ไซนัสอยด์.

ฉันขอเตือนคุณว่า "pi" เป็นจำนวนอตรรกยะ และในวิชาตรีโกณมิติ มันทำให้ดวงตาของคุณตาพร่า

คุณสมบัติหลักของฟังก์ชัน:

ฟังก์ชั่นนี้คือ เป็นระยะๆด้วยระยะเวลา มันหมายความว่าอะไร? มาดูส่วนกัน ทางด้านซ้ายและขวาของกราฟ ส่วนเดียวกันของกราฟจะถูกทำซ้ำอย่างไม่มีที่สิ้นสุด

โดเมน: นั่นคือ สำหรับค่าใดๆ ของ “x” จะมีค่าไซน์

ช่วงของค่า: . ฟังก์ชั่นคือ ถูก จำกัด: นั่นคือ "เกม" ทั้งหมดจะอยู่ในส่วนนี้อย่างเคร่งครัด
สิ่งนี้ไม่ได้เกิดขึ้น: หรือที่เจาะจงกว่านั้นคือมันเกิดขึ้น แต่สมการเหล่านี้ไม่มีคำตอบ

- — [] ฟังก์ชันกำลังสอง ฟังก์ชันในรูปแบบ y= ax2 + bx + c (a ? 0) กราฟ K.f. - พาราโบลาซึ่งมีจุดยอดที่มีพิกัด [ b/ 2a, (b2 4ac) / 4a] โดยมีพาราโบลา>0 สาขา ... ...

ฟังก์ชันกำลังสอง ซึ่งเป็นฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่มีค่าขึ้นอยู่กับกำลังสองของตัวแปรอิสระ x และถูกกำหนดตามลำดับด้วยพหุนามกำลังสอง ตัวอย่างเช่น f(x) = 4x2 + 17 หรือ f(x) = x2 + 3x + 2. ดูเพิ่มเติมที่ กำลังสองสมการ … พจนานุกรมสารานุกรมวิทยาศาสตร์และเทคนิค

ฟังก์ชันกำลังสอง - ฟังก์ชันกำลังสองเป็นฟังก์ชันที่อยู่ในรูปแบบ y= ax2 + bx + c (a ≠ 0) กราฟ K.f. - พาราโบลา ซึ่งมีจุดยอดมีพิกัด [ b/ 2a, (b2 4ac) / 4a] สำหรับ a> 0 กิ่งก้านของพาราโบลาจะชี้ขึ้นด้านบน สำหรับ a< 0 –вниз… …

- (กำลังสอง) ฟังก์ชันที่มีรูปแบบต่อไปนี้: y=ax2+bx+c โดยที่ a≠0 และระดับสูงสุดของ x คือสี่เหลี่ยมจัตุรัส สมการกำลังสอง y=ax2 +bx+c=0 สามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้: x= –b+ √ (b2–4ac) /2a รากเหล่านี้มีจริง... พจนานุกรมเศรษฐศาสตร์

ฟังก์ชันกำลังสองแบบอัฟฟินบนสเปซเลียนแบบ S คือฟังก์ชันใดๆ Q: S→K ที่มีรูปแบบ Q(x)=q(x)+l(x)+c ในรูปแบบเวกเตอร์ โดยที่ q คือฟังก์ชันกำลังสอง โดยที่ l คือ ฟังก์ชันเชิงเส้น c เป็นค่าคงที่ สารบัญ 1 การเปลี่ยนจุดอ้างอิง 2 ... ... Wikipedia

ฟังก์ชันกำลังสองแบบอัฟฟินบนปริภูมิอัฟฟินคือฟังก์ชันใดๆ ที่มีรูปแบบอยู่ในรูปแบบเวกเตอร์ โดยที่ คือเมทริกซ์สมมาตร ฟังก์ชันเชิงเส้น ค่าคงที่ เนื้อหา...วิกิพีเดีย

เปิดฟังก์ชัน พื้นที่เวกเตอร์ซึ่งกำหนดโดยพหุนามเอกพันธ์ของดีกรีที่สองในพิกัดของเวกเตอร์ สารบัญ 1 คำจำกัดความ 2 คำจำกัดความที่เกี่ยวข้อง... Wikipedia

- เป็นฟังก์ชันที่ในทฤษฎีการตัดสินใจทางสถิติ ระบุลักษณะการสูญเสียเนื่องจากการตัดสินใจที่ไม่ถูกต้องโดยอาศัยข้อมูลที่สังเกตได้ หากปัญหาในการประมาณค่าพารามิเตอร์สัญญาณเทียบกับพื้นหลังของสัญญาณรบกวนกำลังได้รับการแก้ไข ฟังก์ชันการสูญเสียจะเป็นการวัดความคลาดเคลื่อน... ... Wikipedia

ฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์- - [Ya.N.Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Yu.S.Kabirov พจนานุกรมภาษาอังกฤษเป็นภาษารัสเซียเกี่ยวกับวิศวกรรมไฟฟ้าและวิศวกรรมพลังงาน มอสโก พ.ศ. 2542] ฟังก์ชันวัตถุประสงค์ ในปัญหาขั้นรุนแรง ฟังก์ชันที่ต้องค้นหาค่าต่ำสุดหรือสูงสุด นี้… … คู่มือนักแปลทางเทคนิค

ฟังก์ชันวัตถุประสงค์- ในปัญหาขั้นรุนแรง หมายถึงฟังก์ชันที่ต้องการหาค่าต่ำสุดหรือสูงสุด นี่เป็นแนวคิดหลักในการเขียนโปรแกรมที่เหมาะสมที่สุด เมื่อพบจุดสุดยอดของ C.f. และด้วยเหตุนี้จึงได้กำหนดค่าของตัวแปรควบคุมที่เข้าไปนั้นแล้ว... ... พจนานุกรมเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์

หนังสือ

• ชุดโต๊ะ. คณิตศาสตร์. กราฟฟังก์ชัน (10 ตาราง) . อัลบั้มการศึกษา 10 แผ่น ฟังก์ชันเชิงเส้น การกำหนดฟังก์ชันเชิงกราฟิกและการวิเคราะห์ ฟังก์ชันกำลังสอง การแปลงกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง ฟังก์ชัน y=sinx ฟังก์ชัน y=cosx...
• หน้าที่ที่สำคัญที่สุดของคณิตศาสตร์ในโรงเรียนคือกำลังสอง - ในปัญหาและแนวทางแก้ไข Petrov N.N. ฟังก์ชันกำลังสองเป็นฟังก์ชันหลัก หลักสูตรของโรงเรียนคณิตศาสตร์. ไม่น่าแปลกใจเลย ในด้านหนึ่งคือความเรียบง่ายของฟังก์ชันนี้ และอีกด้านหนึ่งคือความหมายอันลึกซึ้ง ภารกิจมากมายของโรงเรียน...

จะสร้างพาราโบลาได้อย่างไร? มีหลายวิธีในการสร้างกราฟฟังก์ชันกำลังสอง แต่ละคนมีข้อดีและข้อเสีย ลองพิจารณาสองวิธี

เริ่มต้นด้วยการพลอตฟังก์ชันกำลังสองของรูปแบบ y=x²+bx+c และ y= -x²+bx+c

ตัวอย่าง.

สร้างกราฟฟังก์ชัน y=x²+2x-3

สารละลาย:

y=x²+2x-3 เป็นฟังก์ชันกำลังสอง กราฟเป็นรูปพาราโบลาที่มีกิ่งก้านขึ้น พิกัดจุดยอดพาราโบลา

จากจุดยอด (-1;-4) เราสร้างกราฟของพาราโบลา y=x² (จากจุดกำเนิดของพิกัด แทนที่จะเป็น (0;0) - จุดยอด (-1;-4) จาก (-1; -4) ไปทางขวา 1 หน่วยขึ้นไป 1 หน่วยจากนั้นซ้าย 1 และขึ้น 1; เพิ่มเติม: 2 - ขวา, 4 - ขึ้น, 2 - ซ้าย, 4 - ขึ้น; 3 - ขวา, 9 - ขึ้น, 3 - ซ้าย, 9 - ขึ้น ถ้า 7 แต้มนี้ไม่พอก็ให้ 4 แต้มทางขวา 16 แต้มบน เป็นต้น)

กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง y= -x²+bx+c คือพาราโบลา ซึ่งมีกิ่งก้านชี้ลง ในการสร้างกราฟ เราจะมองหาพิกัดของจุดยอด จากนั้นสร้างพาราโบลา y= -x²

ตัวอย่าง.

สร้างกราฟฟังก์ชัน y= -x²+2x+8

สารละลาย:

y= -x²+2x+8 เป็นฟังก์ชันกำลังสอง กราฟจะเป็นพาราโบลาที่มีกิ่งก้านลงมา พิกัดจุดยอดพาราโบลา

จากด้านบนเราสร้างพาราโบลา y= -x² (1 - ไปทางขวา, 1- ลง; 1 - ซ้าย, 1 - ลง; 2 - ขวา, 4 - ลง; 2 - ซ้าย, 4 - ลง ฯลฯ ):

วิธีนี้ช่วยให้คุณสร้างพาราโบลาได้อย่างรวดเร็วและไม่ทำให้เกิดปัญหาหากคุณรู้วิธีสร้างกราฟฟังก์ชัน y=x² และ y= -x² ข้อเสีย: ถ้าพิกัดจุดยอดอยู่ ตัวเลขเศษส่วนการสร้างกราฟไม่สะดวกมากนัก หากคุณต้องการทราบค่าที่แน่นอนของจุดตัดของกราฟด้วยแกน Ox คุณจะต้องแก้สมการเพิ่มเติม x²+bx+c=0 (หรือ -x²+bx+c=0) แม้ว่าจุดเหล่านี้สามารถกำหนดได้โดยตรงจากภาพวาดก็ตาม

อีกวิธีในการสร้างพาราโบลาคือการใช้จุด กล่าวคือ คุณสามารถหาจุดต่างๆ บนกราฟแล้ววาดพาราโบลาผ่านจุดเหล่านั้นได้ (โดยคำนึงว่าเส้นตรง x=xₒ คือแกนสมมาตร) โดยปกติแล้วจะใช้จุดยอดของพาราโบลาซึ่งเป็นจุดตัดของกราฟที่มีแกนพิกัดและจุดเพิ่มเติมอีก 1-2 จุด

วาดกราฟของฟังก์ชัน y=x²+5x+4

สารละลาย:

y=x²+5x+4 เป็นฟังก์ชันกำลังสอง กราฟเป็นรูปพาราโบลาที่มีกิ่งก้านขึ้น พิกัดจุดยอดพาราโบลา

นั่นคือจุดยอดของพาราโบลาคือจุด (-2.5; -2.25)

กำลังมองหา . ณ จุดตัดกับแกน Ox y=0: x²+5x+4=0 ราก สมการกำลังสอง x1=-1, x2=-4 นั่นคือเราได้สองจุดบนกราฟ (-1; 0) และ (-4; 0)

ที่จุดตัดของกราฟด้วยแกน Oy x=0: y=0²+5∙0+4=4 เราได้ประเด็นแล้ว (0; 4)

หากต้องการชี้แจงกราฟ คุณสามารถค้นหาจุดเพิ่มเติมได้ สมมติว่า x=1 จากนั้น y=1²+5∙1+4=10 นั่นคืออีกจุดบนกราฟคือ (1; 10) เราทำเครื่องหมายจุดเหล่านี้บนระนาบพิกัด เมื่อคำนึงถึงความสมมาตรของพาราโบลาที่สัมพันธ์กับเส้นที่ผ่านจุดยอดของมัน เราจะทำเครื่องหมายอีกสองจุด: (-5; 6) และ (-6; 10) และวาดพาราโบลาผ่านพวกมัน:

สร้างกราฟฟังก์ชัน y= -x²-3x

สารละลาย:

y= -x²-3x เป็นฟังก์ชันกำลังสอง กราฟจะเป็นพาราโบลาที่มีกิ่งก้านลงมา พิกัดจุดยอดพาราโบลา

จุดยอด (-1.5; 2.25) คือจุดแรกของพาราโบลา

ที่จุดตัดของกราฟกับแกน x y=0 นั่นคือ เราจะแก้สมการ -x²-3x=0 รากของมันคือ x=0 และ x=-3 นั่นคือ (0;0) และ (-3;0) - อีกสองจุดบนกราฟ จุด (o; 0) ยังเป็นจุดตัดของพาราโบลากับแกนพิกัดอีกด้วย

ที่ x=1 y=-1²-3∙1=-4 นั่นคือ (1; -4) เป็นจุดเพิ่มเติมสำหรับการวางแผน

การสร้างพาราโบลาจากจุดต่างๆ เป็นวิธีการที่ต้องใช้แรงงานมากกว่าเมื่อเทียบกับวิธีแรก หากพาราโบลาไม่ตัดกับแกน Ox จะต้องมีจุดเพิ่มเติม

ก่อนที่จะสร้างกราฟของฟังก์ชันกำลังสองในรูปแบบ y=ax²+bx+c ต่อไป ให้เราพิจารณาการสร้างกราฟของฟังก์ชันโดยใช้การแปลงทางเรขาคณิตก่อน วิธีที่สะดวกที่สุดในการสร้างกราฟของฟังก์ชันในรูปแบบ y=x²+c โดยใช้การแปลงแบบใดแบบหนึ่งคือการแปลแบบขนาน

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:

• เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่ของคุณ อีเมลฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณเพื่อรับข้อเสนอ โปรโมชั่น และกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้น
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
• เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การดำเนินการตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• หากจำเป็น - ตามกฎหมาย ขั้นตอนการพิจารณาคดี ในการดำเนินการทางกฎหมาย และ/หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจากหน่วยงานของรัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - ให้เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงการบริหารจัดการ ทางเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด