วิธีคำนวณขีดจำกัดของฟังก์ชัน คำนวณขีดจำกัดฟังก์ชันออนไลน์

ทฤษฎีขีดจำกัดเป็นหนึ่งในสาขาหนึ่งของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ คำถามในการแก้ไขขีดจำกัดนั้นค่อนข้างกว้างขวาง เนื่องจากมีหลายวิธีในการแก้ไขขีดจำกัด หลากหลายชนิด. มีความแตกต่างและลูกเล่นมากมายที่ช่วยให้คุณสามารถแก้ไขข้อ จำกัด นี้หรือข้อนั้นได้ อย่างไรก็ตาม เราจะยังคงพยายามทำความเข้าใจข้อจำกัดประเภทหลักๆ ที่พบบ่อยที่สุดในทางปฏิบัติ

เริ่มจากแนวคิดเรื่องขีดจำกัดกันก่อน แต่ขอสั้นไว้ก่อน การอ้างอิงทางประวัติศาสตร์. มีชาวฝรั่งเศสคนหนึ่งชื่อ Augustin Louis Cauchy อาศัยอยู่ในศตวรรษที่ 19 ซึ่งให้คำจำกัดความที่เข้มงวดกับแนวคิดหลายประการเกี่ยวกับ Matan และวางรากฐานของมัน ต้องบอกว่านักคณิตศาสตร์ผู้น่านับถือคนนี้เคยเป็นและจะต้องอยู่ในฝันร้ายของนักศึกษาภาควิชาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ทุกคน เนื่องจากเขาได้พิสูจน์ทฤษฎีบทการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์จำนวนมาก และทฤษฎีบทหนึ่งมีอันตรายถึงชีวิตมากกว่าอีกทฤษฎีหนึ่ง ในเรื่องนี้เราจะยังไม่พิจารณา การกำหนดขีดจำกัดของ Cauchyแต่เรามาลองทำสองสิ่งกัน:

1. ทำความเข้าใจว่าขีดจำกัดคืออะไร
2. เรียนรู้ที่จะแก้ไขขีดจำกัดประเภทหลักๆ

ฉันขอโทษสำหรับคำอธิบายที่ไม่เป็นไปตามหลักวิทยาศาสตร์ สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจวัสดุได้แม้กระทั่งกาน้ำชา ซึ่งอันที่จริงแล้วเป็นงานของโครงการ

แล้วขีดจำกัดคืออะไรล่ะ?

และเป็นเพียงตัวอย่างว่าทำไมคุณย่าขนดก....

ขีดจำกัดใด ๆ ประกอบด้วยสามส่วน:

1) ไอคอนขีดจำกัดที่รู้จักกันดี
2) รายการภายใต้ไอคอนขีดจำกัด ในกรณีนี้ ข้อความเขียนว่า “X มีแนวโน้มเป็นหนึ่ง” บ่อยที่สุด - แน่นอนแม้ว่าในทางปฏิบัติแทนที่จะเป็น "X" จะมีตัวแปรอื่นอยู่ก็ตาม ในทางปฏิบัติ สถานที่หนึ่งสามารถเป็นตัวเลขใดๆ ก็ได้ รวมถึงค่าอนันต์ ()
3) ฟังก์ชั่นภายใต้เครื่องหมายจำกัด ในกรณีนี้

การบันทึกนั้นเอง อ่านได้ดังนี้: “ขีดจำกัดของฟังก์ชันเมื่อ x มีแนวโน้มที่จะรวมเป็นหนึ่งเดียว”

มาดูอันถัดไปกัน คำถามสำคัญ– สำนวน “x” หมายถึงอะไร? มุ่งมั่นถึงหนึ่ง"? และคำว่า “มุ่งมั่น” หมายความว่าอย่างไร?
แนวคิดเรื่องขีดจำกัดก็คือแนวคิด กล่าวคือ พลวัต. มาสร้างลำดับกัน: อันดับแรก จากนั้น , , …, , ….
นั่นก็คือ สำนวน “x” มุ่งมั่นหนึ่ง” ควรเข้าใจดังนี้: “x” รับค่าอย่างสม่ำเสมอ ซึ่งเข้าใกล้ความสามัคคีอย่างไม่สิ้นสุดและเกือบจะเกิดขึ้นพร้อมๆ กัน.

จะแก้ตัวอย่างข้างต้นได้อย่างไร? จากที่กล่าวมาข้างต้น คุณเพียงแค่ต้องแทนที่อันใดอันหนึ่งลงในฟังก์ชันใต้เครื่องหมายจำกัด:

ดังนั้นกฎข้อแรก: เมื่อได้รับขีดจำกัดใดๆ ขั้นแรกเราเพียงพยายามแทนตัวเลขเข้ากับฟังก์ชัน.

เราได้พิจารณาขีดจำกัดที่ง่ายที่สุดแล้ว แต่สิ่งเหล่านี้ก็เกิดขึ้นในทางปฏิบัติเช่นกัน และไม่บ่อยนัก!

ตัวอย่างที่มีอนันต์:

ลองคิดดูว่ามันคืออะไร? นี่เป็นกรณีที่มันเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขีดจำกัด กล่าวคือ อันดับแรก จากนั้น จากนั้น ต่อไป และอื่นๆ ไม่มีที่สิ้นสุด

เกิดอะไรขึ้นกับฟังก์ชั่นในเวลานี้?
, , , …

ดังนั้น: ถ้า ฟังก์ชันนี้มีแนวโน้มที่จะลบอนันต์:

พูดคร่าวๆ ตามกฎข้อแรกของเรา แทนที่จะเป็น "X" เราจะแทนที่ค่าอนันต์ในฟังก์ชันแล้วได้คำตอบ

อีกตัวอย่างหนึ่งที่มีอนันต์:

อีกครั้งที่เราเริ่มเพิ่มเป็นอนันต์และพิจารณาพฤติกรรมของฟังก์ชัน:

สรุป: เมื่อฟังก์ชันเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขีดจำกัด:

และอีกตัวอย่างหนึ่ง:

โปรดลองวิเคราะห์สิ่งต่อไปนี้ด้วยตนเองและจดจำประเภทขีดจำกัดที่ง่ายที่สุด:

, , , , , , , , ,
หากมีข้อสงสัยตรงไหนก็สามารถหยิบเครื่องคิดเลขมาฝึกเล่นได้นิดหน่อย
ในกรณีที่ ให้ลองสร้างลำดับ , , . ถ้า แล้ว , , .

! บันทึก: พูดอย่างเคร่งครัด วิธีการสร้างลำดับของตัวเลขหลายจำนวนนี้ไม่ถูกต้อง แต่สำหรับการทำความเข้าใจตัวอย่างที่ง่ายที่สุด มันค่อนข้างเหมาะสม

ให้ความสนใจกับสิ่งต่อไปนี้ด้วย แม้ว่าจะได้รับขีดจำกัดด้วยก็ตาม จำนวนมากที่ด้านบนแม้จะมีเป็นล้าน: มันก็เหมือนกันหมด เนื่องจากไม่ช้าก็เร็ว "X" จะเริ่มรับค่าขนาดมหึมาซึ่งเมื่อเปรียบเทียบกับล้านแล้วจะเป็นจุลินทรีย์จริง

สิ่งที่คุณต้องจำและทำความเข้าใจจากข้างต้น?

1) เมื่อกำหนดขีดจำกัดใดๆ ขั้นแรกเราเพียงพยายามแทนที่ตัวเลขลงในฟังก์ชัน

2) คุณต้องเข้าใจและแก้ไขขีดจำกัดที่ง่ายที่สุดทันที เช่น , , ฯลฯ

อีกทั้งมีขีดจำกัดที่ดีมาก ความหมายทางเรขาคณิต. เพื่อความเข้าใจที่ดีขึ้นในหัวข้อนี้ฉันขอแนะนำให้คุณอ่าน วัสดุวิธีการ กราฟและคุณสมบัติของฟังก์ชันเบื้องต้น. หลังจากอ่านบทความนี้แล้ว คุณจะไม่เพียงแต่เข้าใจในที่สุดว่าขีดจำกัดคืออะไร แต่ยังทำความคุ้นเคยกับกรณีที่น่าสนใจเมื่อขีดจำกัดของฟังก์ชันโดยทั่วไป ไม่ได้อยู่!

ในทางปฏิบัติ น่าเสียดายที่ของขวัญมีน้อย ดังนั้นเราจึงพิจารณาขีดจำกัดที่ซับซ้อนมากขึ้นต่อไป โดยวิธีการในหัวข้อนี้มีอยู่ หลักสูตรเข้มข้นในรูปแบบ pdf ซึ่งมีประโยชน์อย่างยิ่งหากคุณมีเวลาเตรียมตัวน้อยมาก แต่แน่นอนว่าเนื้อหาของเว็บไซต์ก็ไม่ได้แย่ไปกว่านั้น:

ตอนนี้เราจะพิจารณากลุ่มของขีดจำกัดเมื่อ และฟังก์ชันเป็นเศษส่วนที่ตัวเศษและตัวส่วนประกอบด้วยพหุนาม

ตัวอย่าง:

คำนวณขีดจำกัด

ตามกฎของเรา เราจะพยายามแทนที่ค่าอนันต์ในฟังก์ชัน เราได้อะไรจากด้านบน? อินฟินิตี้. และเกิดอะไรขึ้นด้านล่าง? อนันต์อีกด้วย ดังนั้นเราจึงมีสิ่งที่เรียกว่าความไม่แน่นอนของสายพันธุ์ บางคนอาจคิดว่า และคำตอบก็พร้อมแล้ว แต่ในกรณีทั่วไป มันไม่ได้เป็นเช่นนั้นเลย และจำเป็นต้องใช้เทคนิคการแก้ปัญหาบางอย่าง ซึ่งเราจะพิจารณาในตอนนี้

จะแก้ข้อจำกัดประเภทนี้ได้อย่างไร?

ขั้นแรกเราดูที่ตัวเศษและค้นหากำลังสูงสุด:

กำลังนำในตัวเศษคือสอง

ตอนนี้เราดูที่ตัวส่วนและพบว่ามันมีพลังสูงสุดด้วย:

ระดับสูงสุดของตัวส่วนคือสอง

จากนั้นเราเลือกกำลังสูงสุดของตัวเศษและส่วน: เข้า ในตัวอย่างนี้มันตรงกันและเท่ากับสอง

ดังนั้น วิธีการแก้มีดังนี้ เพื่อที่จะเปิดเผยความไม่แน่นอนจึงจำเป็นต้องหารทั้งเศษและส่วนด้วยกำลังสูงสุด

นี่คือคำตอบ ไม่ใช่อนันต์เลย

อะไรคือสิ่งสำคัญขั้นพื้นฐานในการออกแบบการตัดสินใจ?

ขั้นแรก เราระบุถึงความไม่แน่นอน (ถ้ามี)

ประการที่สอง ขอแนะนำให้ขัดจังหวะการแก้ปัญหาเพื่อขอคำอธิบายระดับกลาง ฉันมักจะใช้เครื่องหมายนี้ มันไม่มีความหมายทางคณิตศาสตร์ แต่หมายความว่าการแก้ปัญหาถูกขัดจังหวะเพื่อขอคำอธิบายระดับกลาง

ประการที่สาม แนะนำให้ทำเครื่องหมายสิ่งที่กำลังดำเนินไปในขอบเขตจำกัด เมื่อวาดรูปด้วยมือจะสะดวกกว่าถ้าทำเช่นนี้:

ควรใช้ดินสอธรรมดาสำหรับจดบันทึก

แน่นอนว่าคุณไม่จำเป็นต้องทำอะไรเลย แต่บางทีครูอาจชี้ให้เห็นข้อบกพร่องในการแก้ปัญหาหรือเริ่มถาม คำถามเพิ่มเติมในการมอบหมายงาน คุณต้องการมันไหม?

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาขีดจำกัด
อีกครั้งในตัวเศษและส่วนที่เราพบในระดับสูงสุด:

ระดับสูงสุดในตัวเศษ: 3
ระดับสูงสุดในตัวส่วน: 4
เลือก ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดค่าในกรณีนี้คือสี่
ตามอัลกอริทึมของเรา เพื่อเปิดเผยความไม่แน่นอน เราจะหารทั้งเศษและส่วนด้วย
งานที่สมบูรณ์อาจมีลักษณะดังนี้:

หารทั้งเศษและส่วนด้วย

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาขีดจำกัด
ระดับสูงสุดของ “X” ในตัวเศษ: 2
ระดับสูงสุดของ “X” ในตัวส่วน: 1 (เขียนเป็นได้)
เพื่อเปิดเผยความไม่แน่นอน จำเป็นต้องหารทั้งเศษและส่วนด้วย วิธีแก้ปัญหาสุดท้ายอาจมีลักษณะดังนี้:

หารทั้งเศษและส่วนด้วย

สัญกรณ์ไม่ได้หมายถึงการหารด้วยศูนย์ (คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้) แต่เป็นการหารด้วยจำนวนที่น้อยมาก

ดังนั้นด้วยการเปิดเผยความไม่แน่นอนของสายพันธุ์ เราอาจสามารถทำได้ หมายเลขสุดท้าย, ศูนย์หรืออนันต์

ขีดจำกัดด้วยความไม่แน่นอนของประเภทและวิธีการแก้ไข

ขีดจำกัดกลุ่มถัดไปค่อนข้างคล้ายกับขีดจำกัดที่เพิ่งพิจารณา: ตัวเศษและตัวส่วนประกอบด้วยพหุนาม แต่ "x" ไม่มีแนวโน้มที่จะเป็นอนันต์อีกต่อไป แต่ จำนวนจำกัด.

ตัวอย่างที่ 4

แก้ขีดจำกัด
ก่อนอื่น เรามาลองแทน -1 ลงในเศษส่วนกันก่อน:

ในกรณีนี้จะได้รับสิ่งที่เรียกว่าความไม่แน่นอน

กฎทั่วไป : ถ้าตัวเศษและส่วนมีพหุนามและมีรูปแบบไม่แน่นอนก็ให้เปิดเผย คุณต้องแยกตัวประกอบทั้งเศษและส่วน.

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ บ่อยครั้งคุณจำเป็นต้องแก้สมการกำลังสองและ/หรือใช้สูตรการคูณแบบย่อ หากสิ่งเหล่านี้ถูกลืมไปเยี่ยมชมเพจ สูตรทางคณิตศาสตร์และตารางและอ่านสื่อการสอน สูตรร้อน หลักสูตรของโรงเรียนนักคณิตศาสตร์. อย่างไรก็ตาม วิธีที่ดีที่สุดคือพิมพ์ออกมาซึ่งต้องใช้บ่อยมากและข้อมูลจะถูกดูดซึมจากกระดาษได้ดีกว่า

เอาล่ะ มาแก้ขีดจำกัดของเรากันดีกว่า

แยกตัวประกอบทั้งเศษและส่วน

ในการที่จะแยกตัวเศษออกจากตัวเศษ คุณต้องแก้สมการกำลังสอง:

ขั้นแรกเราค้นหาผู้เลือกปฏิบัติ:

และ รากที่สองออกจากเขา: .

ถ้าค่าการแบ่งแยกมีขนาดใหญ่ เช่น 361 เราจะใช้เครื่องคิดเลข ฟังก์ชันการแยกรากที่สองจะอยู่บนเครื่องคิดเลขที่ง่ายที่สุด

! หากถอนรากไม่หมด (ปรากฎว่า จำนวนเศษส่วนด้วยเครื่องหมายจุลภาค) มีโอกาสมากที่การคำนวณการเลือกปฏิบัติไม่ถูกต้องหรือมีการพิมพ์ผิดในงาน

ต่อไปเราจะค้นหาราก:

ดังนั้น:

ทั้งหมด. ตัวเศษจะถูกแยกตัวประกอบ

ตัวส่วน ตัวส่วนเป็นปัจจัยที่ง่ายที่สุดอยู่แล้ว และไม่มีวิธีใดที่จะทำให้มันง่ายขึ้นได้

เห็นได้ชัดว่าสามารถย่อเป็น:

ตอนนี้เราแทน -1 ลงในนิพจน์ที่ยังอยู่ใต้เครื่องหมายจำกัด:

โดยธรรมชาติแล้วใน ทดสอบงานในระหว่างการทดสอบหรือการสอบ วิธีแก้ปัญหาจะไม่ถูกเขียนรายละเอียดดังกล่าว ในเวอร์ชันสุดท้าย การออกแบบควรมีลักษณะดังนี้:

ลองแยกตัวประกอบตัวเศษ.

ตัวอย่างที่ 5

คำนวณขีดจำกัด

ขั้นแรก เวอร์ชัน "เสร็จสิ้น" ของโซลูชัน

ลองแยกตัวเศษและส่วนออก.

เศษ:
ตัวส่วน:



,

สิ่งสำคัญในตัวอย่างนี้คืออะไร?
ประการแรก คุณต้องมีความเข้าใจเป็นอย่างดีว่าตัวเศษถูกเปิดเผยได้อย่างไร ขั้นแรกเราเอา 2 ตัวออกจากวงเล็บ แล้วจึงใช้สูตรสำหรับผลต่างของกำลังสอง นี่คือสูตรที่คุณต้องรู้และดู

คำแนะนำ: หากอยู่ในขีดจำกัด (เกือบทุกประเภท) คุณสามารถนำตัวเลขออกจากวงเล็บได้ เราก็จะทำเช่นนั้นเสมอ
นอกจากนี้ ขอแนะนำให้ย้ายตัวเลขดังกล่าวเกินไอคอนขีดจำกัด. เพื่ออะไร? ใช่เพียงเพื่อไม่ให้พวกเขาขวางทาง สิ่งสำคัญคืออย่าสูญเสียตัวเลขเหล่านี้ในภายหลังระหว่างการแก้ปัญหา

โปรดทราบว่าเมื่อ ขั้นตอนสุดท้ายฉันตัดสินใจเกินเครื่องหมายจำกัดเป็นสอง แล้วจึงตัดสินใจเป็นลบ

! สำคัญ
ในระหว่างการแก้ปัญหา ส่วนของประเภทจะเกิดขึ้นบ่อยมาก ลดเศษส่วนนี้มันเป็นสิ่งต้องห้าม . ก่อนอื่น คุณต้องเปลี่ยนเครื่องหมายของตัวเศษหรือตัวส่วน (ใส่ -1 ออกจากวงเล็บ)
นั่นคือเครื่องหมายลบจะปรากฏขึ้นซึ่งจะนำมาพิจารณาเมื่อคำนวณขีด จำกัด และไม่จำเป็นต้องสูญเสียเลย

โดยทั่วไป ฉันสังเกตเห็นว่าบ่อยครั้งที่สุดในการค้นหาขีดจำกัดประเภทนี้ คุณจะต้องแก้สมการกำลังสองสองตัว กล่าวคือ ทั้งตัวเศษและตัวส่วนต่างก็มีตรีโกณมิติกำลังสอง

วิธีการคูณตัวเศษและส่วนด้วยนิพจน์คอนจูเกต

เรายังคงคำนึงถึงความไม่แน่นอนของฟอร์มต่อไป

ขีดจำกัดประเภทถัดไปจะคล้ายกับประเภทก่อนหน้า สิ่งเดียวที่นอกเหนือจากพหุนาม เราจะเพิ่มรากด้วย

ตัวอย่างที่ 6

ค้นหาขีดจำกัด

มาเริ่มตัดสินใจกันเลย

ขั้นแรกเราพยายามแทนที่ 3 ลงในนิพจน์ใต้เครื่องหมายจำกัด
ฉันขอย้ำอีกครั้ง - นี่คือสิ่งแรกที่คุณต้องทำโดยไม่มีขีดจำกัด. การกระทำนี้มักจะดำเนินการทางจิตใจหรือในรูปแบบร่าง

ได้รับความไม่แน่นอนของแบบฟอร์มซึ่งจำเป็นต้องกำจัดออก

ดังที่คุณคงสังเกตเห็นแล้วว่า ตัวเศษของเรามีส่วนต่างของราก และในทางคณิตศาสตร์ เป็นเรื่องปกติที่จะต้องกำจัดรากถ้าเป็นไปได้ เพื่ออะไร? และชีวิตจะง่ายขึ้นหากไม่มีพวกเขา

ฟังก์ชันเบื้องต้นและกราฟ

หน้าที่เบื้องต้นหลักคือ: ฟังก์ชั่นพลังงาน, ฟังก์ชันเลขชี้กำลังฟังก์ชันลอการิทึม ฟังก์ชันตรีโกณมิติ และฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน ตลอดจนฟังก์ชันพหุนามและฟังก์ชันตรรกยะ ซึ่งเป็นอัตราส่วนของพหุนามสองตัว

ฟังก์ชันเบื้องต้นยังรวมถึงฟังก์ชันที่ได้รับจากฟังก์ชันพื้นฐานโดยใช้ฟังก์ชันสี่พื้นฐานด้วย การดำเนินการทางคณิตศาสตร์และการเกิดฟังก์ชันที่ซับซ้อน

กราฟของฟังก์ชันเบื้องต้น

	เส้นตรง- กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้น y = ขวาน + ข. ฟังก์ชั่น y จะเพิ่มขึ้นแบบซ้ำซากสำหรับ a > 0 และลดลงสำหรับ a< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т. 0 (y = ax - прямая пропорциональность)
	พาราโบลา- กราฟฟังก์ชัน ตรีโกณมิติกำลังสอง y = ขวาน 2 + bx + c. มีแกนตั้งสมมาตร ถ้า a > 0 จะมีค่าต่ำสุดถ้า a< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего สมการกำลังสอง ขวาน 2 + bx +c =0
	ไฮเปอร์โบลา- กราฟของฟังก์ชัน เมื่อ a > O จะอยู่ในควอเตอร์ I และ III เมื่อ a< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х(а >0) หรือ y - - x(a< 0).
	ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ผู้แสดงสินค้า(ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นฐาน e) y = อีเอ็กซ์. (สะกดอีก. y = ประสบการณ์(x)). เส้นกำกับคือแกนแอบซิสซา
	ฟังก์ชันลอการิทึม y = บันทึก a x(ก > 0)
	y = บาปx คลื่นไซน์- ฟังก์ชันคาบที่มีคาบ T = 2π

ขีดจำกัดของฟังก์ชัน

ฟังก์ชัน y=f(x) มีตัวเลข A เป็นขีดจำกัดเมื่อ x มีแนวโน้มไปที่ a ถ้าสำหรับตัวเลขใดๆ ε › 0 จะมีตัวเลข δ › 0 โดยที่ | y – ก | ‹ ε ถ้า |x - a| ‹ δ,

หรือ ลิม y = A

ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน

ฟังก์ชัน y=f(x) ต่อเนื่องกันที่จุด x = a ถ้า lim f(x) = f(a) กล่าวคือ

ลิมิตของฟังก์ชันที่จุด x = a เท่ากับมูลค่าทำหน้าที่ ณ จุดที่กำหนด

การหาขีดจำกัดของฟังก์ชัน

ทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับขีดจำกัดของฟังก์ชัน

1. ขีดจำกัดของค่าคงที่เท่ากับค่าคงที่นี้:

2. ขีดจำกัดของผลรวมพีชคณิตเท่ากับผลรวมพีชคณิตของขีดจำกัดของฟังก์ชันเหล่านี้:

ลิม (f + g - h) = lim f + lim g - lim h

3. ขีดจำกัดของผลคูณของฟังก์ชันต่างๆ เท่ากับผลคูณของขีดจำกัดของฟังก์ชันเหล่านี้:

ลิม (f * g* h) = lim f * lim g * lim h

4. ขีดจำกัดของผลหารของสองฟังก์ชันจะเท่ากับผลหารของขีดจำกัดของฟังก์ชันเหล่านี้ ถ้าขีดจำกัดของตัวส่วนไม่เท่ากับ 0:

ลิม------- = ----------

ขีดจำกัดแรกที่น่าทึ่ง: lim --------- = 1

ขีดจำกัดที่น่าทึ่งอันที่สอง: lim (1 + 1/x) x = e (e = 2, 718281..)

ตัวอย่างการหาขีดจำกัดของฟังก์ชัน

5.1. ตัวอย่าง:

ขีดจำกัดใดๆ ประกอบด้วยสามส่วน:

1) ไอคอนขีดจำกัดที่รู้จักกันดี

2) รายการภายใต้ไอคอนขีดจำกัด ข้อความเขียนว่า “X มีแนวโน้มเป็นหนึ่ง” ส่วนใหญ่มักจะเป็น x แม้ว่าแทนที่จะเป็น "x" ก็อาจมีตัวแปรอื่นแทนได้ แทนที่หนึ่งสามารถเป็นตัวเลขใดๆ ก็ได้ เช่นเดียวกับค่าอนันต์ 0 หรือ

3) ฟังก์ชั่นภายใต้เครื่องหมายจำกัด ในกรณีนี้

การบันทึกนั้นเอง อ่านได้ดังนี้: “ขีดจำกัดของฟังก์ชันเมื่อ x มีแนวโน้มที่จะรวมเป็นหนึ่งเดียว”

คำถามที่สำคัญมาก - นิพจน์ "x" หมายถึงอะไร? มุ่งมั่นถึงหนึ่ง"? นิพจน์ "เอ็กซ์" มุ่งมั่นหนึ่ง” ควรเข้าใจดังนี้: “x” รับค่าอย่างสม่ำเสมอ ซึ่งเข้าใกล้ความสามัคคีอย่างไม่สิ้นสุดและเกือบจะเกิดขึ้นพร้อมๆ กัน

จะแก้ตัวอย่างข้างต้นได้อย่างไร? จากที่กล่าวมาข้างต้น คุณเพียงแค่ต้องแทนที่อันใดอันหนึ่งลงในฟังก์ชันใต้เครื่องหมายจำกัด:

ดังนั้นกฎข้อแรก : เมื่อได้รับขีดจำกัด คุณเพียงเสียบตัวเลขเข้ากับฟังก์ชันก่อน

5.2. ตัวอย่างที่มีอนันต์:

ลองคิดดูว่ามันคืออะไร? นี่เป็นกรณีที่เพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขีดจำกัด

ดังนั้น: ถ้า จากนั้นฟังก์ชัน มีแนวโน้มที่จะลบอนันต์:

ตามกฎข้อแรกของเรา เราจะแทนที่ "X" ในฟังก์ชัน อนันต์แล้วเราก็ได้คำตอบ

5.3. อีกตัวอย่างหนึ่งที่มีอนันต์:

อีกครั้งที่เราเริ่มเพิ่มขึ้นเป็นอนันต์ และดูที่พฤติกรรมของฟังก์ชัน
สรุป: ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นไม่จำกัด

5.4. ชุดตัวอย่าง:

พยายามวิเคราะห์ตัวอย่างต่อไปนี้ด้วยใจตัวเองและแก้ไขข้อ จำกัด ที่ง่ายที่สุด:

, , , , , , , , ,

สิ่งที่คุณต้องจำและทำความเข้าใจจากข้างต้น?

เมื่อกำหนดขีดจำกัดใดๆ ให้เสียบตัวเลขเข้ากับฟังก์ชันก่อน ในขณะเดียวกันคุณต้องเข้าใจและแก้ไขขีดจำกัดที่ง่ายที่สุดในทันทีเช่น , , ฯลฯ

6. ข้อจำกัดเกี่ยวกับความไม่แน่นอนของประเภท และวิธีการแก้ไข

ตอนนี้เราจะพิจารณากลุ่มของขีดจำกัดเมื่อ และฟังก์ชันคือเศษส่วนที่ตัวเศษและส่วนประกอบด้วยพหุนาม

6.1. ตัวอย่าง:

คำนวณขีดจำกัด

ตามกฎของเรา เราพยายามแทนที่ค่าอนันต์ในฟังก์ชัน เราได้อะไรจากด้านบน? อินฟินิตี้. และเกิดอะไรขึ้นด้านล่าง? อนันต์อีกด้วย ดังนั้นเราจึงมีสิ่งที่เรียกว่าความไม่แน่นอนของสายพันธุ์ บางคนอาจคิดว่า = 1 และคำตอบก็พร้อมแล้ว แต่ในกรณีทั่วไป นี่ไม่ได้เป็นเช่นนั้นเลย และคุณต้องใช้เทคนิคการแก้ปัญหาบางอย่าง ซึ่งเราจะพิจารณาในตอนนี้

จะแก้ข้อจำกัดประเภทนี้ได้อย่างไร?

ขั้นแรกเราดูที่ตัวเศษและค้นหากำลังสูงสุด:

กำลังนำในตัวเศษคือสอง

ตอนนี้เราดูที่ตัวส่วนและพบว่ามันมีพลังสูงสุดด้วย:

ระดับสูงสุดของตัวส่วนคือสอง

จากนั้นเราเลือกกำลังสูงสุดของทั้งเศษและส่วน: ในตัวอย่างนี้ พวกมันเท่ากันและเท่ากับสอง

ดังนั้น วิธีการแก้ไขจึงเป็นดังนี้: เพื่อเผยให้เห็นความไม่แน่นอน คุณต้องหารทั้งเศษและส่วนด้วย ในระดับอาวุโส

ดังนั้นคำตอบจึงไม่ใช่ 1

ตัวอย่าง

ค้นหาขีดจำกัด

อีกครั้งในตัวเศษและส่วนที่เราพบในระดับสูงสุด:

ระดับสูงสุดในตัวเศษ: 3

ระดับสูงสุดในตัวส่วน: 4

เลือก ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดค่าในกรณีนี้คือสี่
ตามอัลกอริทึมของเรา เพื่อเปิดเผยความไม่แน่นอน เราจะหารทั้งเศษและส่วนด้วย

ตัวอย่าง

ค้นหาขีดจำกัด

ระดับสูงสุดของ “X” ในตัวเศษ: 2

ระดับสูงสุดของ “X” ในตัวส่วน: 1 (เขียนเป็นได้)
เพื่อเปิดเผยความไม่แน่นอน จำเป็นต้องหารทั้งเศษและส่วนด้วย วิธีแก้ปัญหาสุดท้ายอาจมีลักษณะดังนี้:

หารทั้งเศษและส่วนด้วย

จำนวนคงที่ กเรียกว่า ขีด จำกัด ลำดับ(x n ) หากเป็นจำนวนบวกจำนวนน้อยตามอำเภอใจε > 0 มีตัวเลข N ที่มีค่าทั้งหมด เอ็กซ์เอ็นโดยที่ n>N ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน

|x n - ก|< ε. (6.1)

เขียนลงไปดังนี้: หรือ xn →ก.

อสมการ (6.1) เทียบเท่ากับอสมการสองเท่า

เอ-ε< x n < a + ε, (6.2)

ซึ่งหมายถึงจุดนั้น เอ็กซ์เอ็นโดยเริ่มจากเลขจำนวนหนึ่ง n>N อยู่ภายในช่วง (a-ε, เอ+ ε ), เช่น. ตกอยู่ในสิ่งเล็กๆε -บริเวณใกล้เคียงของจุด ก.

ลำดับที่มีขีดจำกัดเรียกว่า มาบรรจบกัน, มิฉะนั้น - แตกต่าง.

แนวคิดเรื่องขีดจำกัดของฟังก์ชันเป็นการสรุปแนวคิดเรื่องขีดจำกัดของลำดับ เนื่องจากขีดจำกัดของลำดับถือได้ว่าเป็นขีดจำกัดของฟังก์ชัน x n = f(n) ของอาร์กิวเมนต์จำนวนเต็ม n.

กำหนดให้ฟังก์ชัน f(x) และปล่อยให้ ก - จุดจำกัดโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันนี้ D(f) เช่น จุดดังกล่าว พื้นที่ใกล้เคียงใดๆ ที่มีจุดของเซต D(f) นอกเหนือจากนั้น ก. จุด กอาจเป็นหรืออาจจะไม่อยู่ในเซต D(f)

คำจำกัดความ 1.เรียกค่าคงที่ A ขีด จำกัด ฟังก์ชั่นฉ(x) ที่ x→ก ถ้าสำหรับลำดับใด ๆ (x n ) ของค่าอาร์กิวเมนต์ที่มีแนวโน้ม กลำดับที่สอดคล้องกัน (f(x n)) มีขีดจำกัด A เท่ากัน

คำจำกัดความนี้เรียกว่า โดยการกำหนดขีดจำกัดของฟังก์ชันตาม Heineหรือ " ในภาษาลำดับ”.

คำจำกัดความ 2. เรียกค่าคงที่ A ขีด จำกัด ฟังก์ชั่นฉ(x) ที่ x→a ถ้า โดยการระบุจำนวนบวกจำนวนน้อยตามอำเภอใจ εเราสามารถหาδดังกล่าวได้>0 (ขึ้นอยู่กับ ε) ซึ่งเหมาะสำหรับทุกคน xนอนอยู่ε-บริเวณใกล้เคียงของตัวเลข ก, เช่น. สำหรับ x, สนองความเหลื่อมล้ำ
0 < เอ็กซ์เอ< ε ค่าของฟังก์ชัน f(x) จะอยู่ในนั้นε-บริเวณใกล้เคียงของหมายเลข A เช่น|ฉ(x)-A|< ε.

คำจำกัดความนี้เรียกว่า โดยการกำหนดขีดจำกัดของฟังก์ชันตาม Cauchyหรือ “ ในภาษาε - δ “.

คำจำกัดความ 1 และ 2 เทียบเท่ากัน ถ้าฟังก์ชัน f(x) เป็น x →มี ขีด จำกัดเท่ากับ A ซึ่งเขียนอยู่ในรูปแบบ

. (6.3)

ในกรณีที่ลำดับ (f(x n)) เพิ่มขึ้น (หรือลดลง) โดยไม่มีขีดจำกัดสำหรับวิธีการประมาณค่าใดๆ xถึงขีดจำกัดของคุณ กแล้วเราจะบอกว่าฟังก์ชัน f(x) มี ขีดจำกัดอนันต์และเขียนไว้ในรูปแบบ:

เรียกตัวแปร (เช่น ลำดับหรือฟังก์ชัน) ซึ่งมีขีดจำกัดเป็นศูนย์ เล็กอนันต์

ตัวแปรที่มีขีดจำกัดเท่ากับอนันต์เรียกว่า ใหญ่อนันต์.

เพื่อหาขีดจำกัดในทางปฏิบัติ จะใช้ทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท 1 . หากทุกขีดจำกัดมีอยู่

(6.4)

(6.5)

(6.6)

ความคิดเห็น. นิพจน์เช่น 0/0 ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - มีความไม่แน่นอน เช่น อัตราส่วนของปริมาณที่มีขนาดเล็กเป็นอนันต์หรือเป็นปริมาณมากเป็นอนันต์ และการค้นหาขีดจำกัดประเภทนี้เรียกว่า "การเปิดเผยความไม่แน่นอน"

ทฤษฎีบท 2 (6.7)

เหล่านั้น. เราสามารถไปถึงขีดจำกัดตามกำลังด้วยเลขชี้กำลังคงที่ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ;

(6.8)

(6.9)

ทฤษฎีบท 3

(6.10)

(6.11)

ที่ไหน จ » 2.7 - ฐานของลอการิทึมธรรมชาติ สูตร (6.10) และ (6.11) เรียกว่าสูตรแรก ขีด จำกัด ที่ยอดเยี่ยมและขีดจำกัดอันน่าทึ่งประการที่สอง

ผลที่ตามมาจากสูตร (6.11) ก็ใช้ในทางปฏิบัติเช่นกัน:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

โดยเฉพาะขีดจำกัด

ถ้า x → a และในเวลาเดียวกัน x > a แล้วเขียน x→a + 0 โดยเฉพาะอย่างยิ่งหาก a = 0 ดังนั้นแทนที่จะเป็นสัญลักษณ์ 0+0 ให้เขียน +0 ในทำนองเดียวกันถ้า x→a และในเวลาเดียวกัน x เอ-0 ตัวเลข และถูกเรียกตามนั้น ขีดจำกัดที่ถูกต้องและ ขีดจำกัดด้านซ้าย ฟังก์ชั่นฉ(x) ตรงจุด ก. เพื่อให้ฟังก์ชัน f(x) มีขีดจำกัดเท่ากับ x→a มีความจำเป็นและเพียงพอเช่นนั้น . ฟังก์ชัน f(x) ถูกเรียก อย่างต่อเนื่อง ตรงจุด x 0 ถ้าเป็นขีดจำกัด

. (6.15)

เงื่อนไข (6.15) สามารถเขียนใหม่ได้เป็น:

,

นั่นคือ การผ่านไปยังลิมิตภายใต้เครื่องหมายของฟังก์ชันนั้นเป็นไปได้ ถ้ามันต่อเนื่องกัน ณ จุดที่กำหนด

หากมีการละเมิดความเท่าเทียมกัน (6.15) เราจะพูดอย่างนั้น ที่ x = xo การทำงานฉ(x) มันมี ช่องว่างพิจารณาฟังก์ชัน y = 1/x โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันนี้คือเซต รยกเว้น x = 0 จุด x = 0 เป็นจุดจำกัดของเซต D(f) เนื่องจากอยู่ในย่านใกล้เคียงใดๆ ของเซตนั้น กล่าวคือ ในช่วงเปิดใดๆ ที่มีจุด 0 จะมีจุดจาก D(f) แต่ตัวมันเองไม่อยู่ในเซตนี้ ค่า f(x o)= f(0) ไม่ได้ถูกกำหนดไว้ ดังนั้น ณ จุด x o = 0 ฟังก์ชันจึงมีความไม่ต่อเนื่องกัน

ฟังก์ชัน f(x) ถูกเรียก ต่อเนื่องไปทางขวาตรงจุด x o ถ้าถึงขีดจำกัด

,

และ ต่อเนื่องทางซ้ายตรงจุด x o ถ้าถึงขีดจำกัด

.

ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง xoเท่ากับความต่อเนื่อง ณ จุดนี้ทั้งทางขวาและทางซ้าย

เพื่อให้ฟังก์ชันมีความต่อเนื่องตรงจุด xoตัวอย่างเช่น ทางด้านขวา ประการแรก ต้องมีขีดจำกัดจำกัด และประการที่สอง ขีดจำกัดนี้เท่ากับ f(x o) ดังนั้น หากไม่ตรงตามเงื่อนไขอย่างน้อยหนึ่งข้อจากสองเงื่อนไขนี้ ฟังก์ชันก็จะมีความต่อเนื่องกัน

1. ถ้าลิมิตมีอยู่และไม่เท่ากับ f(x o) แสดงว่าเป็นเช่นนั้น การทำงานฉ(x) ตรงจุด xo มี การแตกร้าวแบบแรกหรือ เผ่น.

2.หากถึงขีดจำกัดแล้ว+∞ หรือ -∞ หรือไม่มีอยู่ก็ว่าอิน จุด xo ฟังก์ชั่นมีความไม่ต่อเนื่อง ประเภทที่สอง.

ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน y = cot x ที่ x→ +0 มีขีดจำกัดเท่ากับ +∞ซึ่งหมายความว่า ณ จุด x=0 มันมีความไม่ต่อเนื่องของประเภทที่สอง ฟังก์ชัน y = E(x) (ส่วนของจำนวนเต็มของ x) ที่จุดที่มีฝีทั้งหมดมีความไม่ต่อเนื่องแบบที่ 1 หรือการกระโดด

ฟังก์ชันที่ต่อเนื่องกันทุกจุดในช่วงเวลาจะถูกเรียก อย่างต่อเนื่องวี ฟังก์ชันต่อเนื่องจะแสดงด้วยเส้นโค้งทึบ

ปัญหามากมายที่เกี่ยวข้องกับการเติบโตอย่างต่อเนื่องของปริมาณบางอย่างนำไปสู่ขีดจำกัดที่น่าทึ่งประการที่สอง ตัวอย่างเช่นงานดังกล่าว ได้แก่ การเติบโตของเงินฝากตามกฎหมายว่าด้วยดอกเบี้ยทบต้น การเติบโตของประชากรของประเทศ การสลายตัวของสารกัมมันตภาพรังสี การแพร่กระจายของแบคทีเรีย เป็นต้น

ลองพิจารณาดู ตัวอย่างของ Ya. I. Perelmanโดยให้การตีความตัวเลข จในปัญหาดอกเบี้ยทบต้น ตัวเลข จมีขีดจำกัด . ในธนาคารออมสิน เงินดอกเบี้ยจะถูกเพิ่มเข้าไปในทุนคงที่ทุกปี หากภาคยานุวัติเกิดขึ้นบ่อยขึ้น เงินทุนก็จะเติบโตเร็วขึ้น เนื่องจากมีส่วนร่วมในการสร้างผลประโยชน์ เงินก้อนใหญ่. ลองใช้ตัวอย่างเชิงทฤษฎีล้วนๆ และเรียบง่ายมาก ให้ผู้ปฏิเสธ 100 คนฝากเข้าธนาคาร หน่วย ขึ้นอยู่กับ 100% ต่อปี หากเงินดอกเบี้ยถูกเพิ่มเข้าไปในทุนคงที่หลังจากผ่านไปหนึ่งปีเท่านั้น ภายในช่วงเวลานี้ 100 เด็น หน่วย จะกลายเป็น 200 หน่วยการเงิน มาดูกันว่า 100 เดนิซจะกลายเป็นอะไร หน่วยหากเพิ่มดอกเบี้ยเข้าไปในทุนถาวรทุก ๆ หกเดือน หลังจากหกเดือน 100 ถ้ำ หน่วย จะเติบโตเป็น 100× 1.5 = 150 และหลังจากนั้นอีกหกเดือน - ที่ 150× 1.5 = 225 (หน่วยละ) หากภาคยานุวัติทำทุกๆ 1/3 ของปี จากนั้นอีก 100 ถ้ำหลังจากหนึ่งปี หน่วย จะกลายเป็น 100× (1 +1/3) 3" 237 (จำนวนหน่วย) เราจะเพิ่มเงื่อนไขในการบวกดอกเบี้ยเป็น 0.1 ปี, เป็น 0.01 ปี, เป็น 0.001 ปี เป็นต้น จากนั้นหมด 100 ถ้ำ หน่วย หลังจากผ่านไปหนึ่งปีจะเป็น:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (จำนวนหน่วย)

100 × (1+1/100) 100 » 270 (จำนวนหน่วย)

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (หน่วยหน่วย)

ด้วยการลดเงื่อนไขการเพิ่มดอกเบี้ยไม่จำกัด ทุนสะสมจะไม่เติบโตอย่างไม่มีกำหนด แต่เข้าใกล้ขีดจำกัดที่แน่นอนเท่ากับประมาณ 271 ทุนที่ฝาก 100% ต่อปีไม่สามารถเพิ่มขึ้นเกิน 2.71 เท่า แม้ว่าดอกเบี้ยค้างรับก็ตาม ถูกเพิ่มเข้าเมืองหลวงทุกวินาทีเพราะมีขีดจำกัด

ตัวอย่างที่ 3.1ใช้คำจำกัดความของขีดจำกัดของลำดับตัวเลข พิสูจน์ว่าลำดับ x n =(n-1)/n มีลิมิตเท่ากับ 1

สารละลาย.เราต้องพิสูจน์ให้ได้ ไม่ว่าจะยังไงก็ตามε >0ไม่ว่าเราจะเอาอะไรไปก็มีบางอย่างให้เขา จำนวนธรรมชาติ N ดังนั้นสำหรับ n N ทั้งหมดจะมีความไม่เท่าเทียมกัน|x n -1|< ε.

ลองหาค่า e > 0 กัน เนื่องจาก ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n จากนั้นหา N ก็เพียงพอที่จะแก้อสมการ 1/n< จ. ดังนั้น n>1/ e ดังนั้นจึงสามารถหา N เป็นส่วนจำนวนเต็มของ 1/อี , ยังไม่มีข้อความ = E(1/ จ ). เราจึงได้พิสูจน์ให้เห็นแล้วว่าขีดจำกัด

ตัวอย่างที่ 3.2 . ค้นหาขีดจำกัดของลำดับที่กำหนดโดยคำศัพท์ทั่วไป .

สารละลาย.ลองใช้ลิมิตของทฤษฎีบทผลรวมแล้วหาลิมิตของแต่ละเทอม เมื่อใด→ ∞ ตัวเศษและส่วนของแต่ละเทอมมีแนวโน้มเป็นอนันต์ และเราไม่สามารถใช้ทฤษฎีบทขีดจำกัดผลหารโดยตรงได้ ดังนั้นก่อนอื่นเราจึงเปลี่ยนแปลง เอ็กซ์เอ็นโดยหารตัวเศษและส่วนของเทอมแรกด้วย หมายเลข 2และครั้งที่สอง n. จากนั้น เมื่อใช้ลิมิตของผลหารและลิมิตของทฤษฎีบทผลรวม เราจะพบว่า:

.

ตัวอย่างที่ 3.3. . หา .

สารละลาย. .

ในที่นี้เราใช้ทฤษฎีบทลิมิต: ลิมิตของดีกรีเท่ากับดีกรีของลิมิตของฐาน

ตัวอย่างที่ 3.4 . หา ( ).

สารละลาย.เป็นไปไม่ได้ที่จะใช้ลิมิตของทฤษฎีบทผลต่าง เนื่องจากเรามีรูปแบบที่ไม่แน่นอน ∞-∞ . มาแปลงสูตรคำศัพท์ทั่วไปกัน:

.

ตัวอย่างที่ 3.5 . กำหนดให้ฟังก์ชัน f(x)=2 1/x พิสูจน์ว่าไม่มีขีดจำกัด

สารละลาย.ลองใช้คำจำกัดความ 1 ของขีดจำกัดของฟังก์ชันผ่านลำดับกัน ให้เราใช้ลำดับ ( x n ) มาบรรจบกันเป็น 0 เช่น ให้เราแสดงว่าค่า f(x n)= มีพฤติกรรมแตกต่างกันสำหรับลำดับที่ต่างกัน ให้ xn = 1/n แน่นอนว่ามีขีดจำกัดแล้ว ตอนนี้ให้เราเลือกเป็น เอ็กซ์เอ็นลำดับที่มีพจน์ทั่วไป x n = -1/n และมีแนวโน้มเป็นศูนย์เช่นกัน ดังนั้นจึงไม่มีขีดจำกัด

ตัวอย่างที่ 3.6 . พิสูจน์ว่าไม่มีขีดจำกัด

สารละลาย.ให้ x 1 , x 2 ,..., xn ,... เป็นลำดับที่
. ลำดับ (f(x n)) = (sin x n) มีพฤติกรรมอย่างไรสำหรับ x n → ∞

ถ้า x n = p n ดังนั้น sin x n = sin p n = 0 สำหรับทุกคน nและขีดจำกัดถ้า
x n = 2 p n+ p /2 จากนั้น sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 สำหรับทั้งหมด nและด้วยเหตุนี้จึงมีขีดจำกัด มันจึงไม่มีอยู่จริง

วิดเจ็ตสำหรับการคำนวณขีดจำกัดออนไลน์

ในหน้าต่างด้านบน แทนที่จะป้อน sin(x)/x ให้ป้อนฟังก์ชันที่คุณต้องการค้นหาขีดจำกัด ในหน้าต่างด้านล่าง ให้ป้อนตัวเลขที่ x มีแนวโน้มว่าจะเป็น และคลิกปุ่มคำนวณ รับขีดจำกัดที่ต้องการ และหากในหน้าต่างผลลัพธ์คุณคลิกแสดงขั้นตอนที่มุมขวาบน คุณจะได้รับวิธีแก้ไขโดยละเอียด

กฎสำหรับการป้อนฟังก์ชัน: sqrt(x) - รากที่สอง, cbrt(x) - รากที่สาม, exp(x) - เลขชี้กำลัง, ln(x) - ลอการิทึมธรรมชาติ, sin(x) - ไซน์, cos(x) - โคไซน์, tan(x) - แทนเจนต์, cot(x) - โคแทนเจนต์, อาร์คซิน(x) - อาร์คไซน์, อาร์คคอส(x) - อาร์คโคไซน์, อาร์กแทน(x) - อาร์กแทนเจนต์ เครื่องหมาย: * การคูณ / การหาร ^ การยกกำลังแทน อนันต์อินฟินิตี้. ตัวอย่าง: ป้อนฟังก์ชันเป็น sqrt(tan(x/2))

เมื่อคำนวณขีด จำกัด ควรคำนึงถึงด้วย กฎพื้นฐานต่อไปนี้:

1. ขีดจำกัดของผลรวม (ผลต่าง) ของฟังก์ชันเท่ากับผลรวม (ผลต่าง) ของขีดจำกัดของเงื่อนไข:

2. ขีดจำกัดของผลคูณของฟังก์ชันเท่ากับผลคูณของขีดจำกัดของปัจจัย:

3. ขีดจำกัดของอัตราส่วนของสองฟังก์ชันเท่ากับอัตราส่วนของขีดจำกัดของฟังก์ชันเหล่านี้:

.

4. ค่าคงที่สามารถนำไปเกินเครื่องหมายจำกัดได้:

.

5. ขีดจำกัดของค่าคงที่เท่ากับค่าคงที่นั้นเอง:

6. สำหรับฟังก์ชันต่อเนื่อง สามารถสลับสัญลักษณ์ขีดจำกัดและฟังก์ชันได้:

.

การค้นหาขีดจำกัดของฟังก์ชันควรเริ่มต้นด้วยการแทนที่ค่าลงในนิพจน์ของฟังก์ชัน ยิ่งไปกว่านั้น หากได้รับค่าตัวเลข 0 หรือ ¥ แสดงว่าพบขีดจำกัดที่ต้องการแล้ว

ตัวอย่างที่ 2.1คำนวณขีดจำกัด

สารละลาย.

.

นิพจน์ของรูปแบบ , , , , เรียกว่า ความไม่แน่นอน.

หากคุณได้รับความไม่แน่นอนของแบบฟอร์ม เพื่อหาขีดจำกัดที่คุณต้องแปลงฟังก์ชันเพื่อเปิดเผยความไม่แน่นอนนี้

โดยทั่วไปความไม่แน่นอนของรูปแบบจะเกิดขึ้นได้เมื่อให้ขีดจำกัดของอัตราส่วนของพหุนามสองตัว ในกรณีนี้ ในการคำนวณขีดจำกัด แนะนำให้แยกตัวประกอบพหุนามและลดด้วยตัวประกอบร่วม ตัวคูณนี้เป็นศูนย์ที่ค่าจำกัด เอ็กซ์ .

ตัวอย่างที่ 2.2คำนวณขีดจำกัด

สารละลาย.

การทดแทน เราได้รับความไม่แน่นอน:

.

ลองแยกตัวประกอบทั้งเศษและส่วน:

;

ลองลดด้วยตัวประกอบร่วมแล้วได้

จะได้ความไม่แน่นอนของรูปแบบเมื่อให้ขีดจำกัดของอัตราส่วนของพหุนามสองตัวที่ ในกรณีนี้ ในการคำนวณ แนะนำให้หารพหุนามทั้งสองด้วย เอ็กซ์ ในระดับอาวุโส

ตัวอย่างที่ 2.3คำนวณขีดจำกัด

สารละลาย.เมื่อแทน ∞ เราจะได้ความไม่แน่นอนของรูปแบบ ดังนั้นเราจึงหารพจน์ทั้งหมดของนิพจน์ด้วย x3.

.

นำมาพิจารณา ณ ที่นี้ว่า

เมื่อคำนวณขีดจำกัดของฟังก์ชันที่มีรูต แนะนำให้คูณและหารฟังก์ชันด้วยคอนจูเกต

ตัวอย่างที่ 2.4คำนวณขีดจำกัด

สารละลาย.

เมื่อคำนวณขีดจำกัดเพื่อแสดงความไม่แน่นอนของรูปแบบหรือ (1) ∞ มักใช้ขีดจำกัดที่น่าทึ่งที่หนึ่งและที่สอง:

ปัญหามากมายที่เกี่ยวข้องกับการเติบโตอย่างต่อเนื่องของปริมาณบางอย่างนำไปสู่ขีดจำกัดที่น่าทึ่งประการที่สอง

ลองพิจารณาตัวอย่างของ Ya. I. Perelman โดยให้การตีความตัวเลข จในปัญหาดอกเบี้ยทบต้น ในธนาคารออมสิน เงินดอกเบี้ยจะถูกเพิ่มเข้าไปในทุนคงที่ทุกปี หากมีการภาคยานุวัติบ่อยขึ้น ทุนก็จะเติบโตเร็วขึ้น เนื่องจากจำนวนเงินที่มากขึ้นจะเกี่ยวข้องกับการก่อตัวของดอกเบี้ย ลองใช้ตัวอย่างเชิงทฤษฎีล้วนๆ และเรียบง่ายมาก

ให้ผู้ปฏิเสธ 100 คนฝากเข้าธนาคาร หน่วย ขึ้นอยู่กับ 100% ต่อปี หากเงินดอกเบี้ยถูกเพิ่มเข้าไปในทุนคงที่หลังจากผ่านไปหนึ่งปีเท่านั้น ภายในช่วงเวลานี้ 100 เด็น หน่วย จะกลายเป็น 200 หน่วยการเงิน

มาดูกันว่า 100 เดนิซจะกลายเป็นอะไร หน่วยหากเพิ่มดอกเบี้ยเข้าไปในทุนถาวรทุก ๆ หกเดือน หลังจากหกเดือน 100 ถ้ำ หน่วย จะเติบโต 100 × 1.5 = 150 และหลังจากนั้นอีกหกเดือน - 150 × 1.5 = 225 (หน่วยหน่วย) หากภาคยานุวัติทำทุกๆ 1/3 ของปี จากนั้นอีก 100 ถ้ำหลังจากหนึ่งปี หน่วย จะกลายเป็น 100 × (1 +1/3) 3 "237 (หน่วยหน่วย)

เราจะเพิ่มเงื่อนไขในการบวกดอกเบี้ยเป็น 0.1 ปี, เป็น 0.01 ปี, เป็น 0.001 ปี เป็นต้น จากนั้นหมด 100 ถ้ำ หน่วย หลังจากผ่านไปหนึ่งปีจะเป็น:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (จำนวนหน่วย)

100 × (1+1/100) 100 » 270 (จำนวนหน่วย)

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (หน่วยหน่วย)

ด้วยการลดเงื่อนไขการเพิ่มดอกเบี้ยไม่จำกัด ทุนสะสมจะไม่เติบโตอย่างไม่มีกำหนด แต่เข้าใกล้ขีดจำกัดที่แน่นอนเท่ากับประมาณ 271 ทุนที่ฝาก 100% ต่อปีไม่สามารถเพิ่มขึ้นเกิน 2.71 เท่า แม้ว่าดอกเบี้ยค้างรับก็ตาม ถูกเพิ่มเข้าไปในเมืองหลวงทุกวินาทีเพราะว่า

ตัวอย่างที่ 2.5คำนวณขีดจำกัดของฟังก์ชัน

สารละลาย.

ตัวอย่างที่ 2.6คำนวณขีดจำกัดของฟังก์ชัน .

สารละลาย.แทนที่เราได้รับความไม่แน่นอน:

.

โดยใช้ สูตรตรีโกณมิติ, แปลงตัวเศษให้เป็นผลิตภัณฑ์:

เป็นผลให้เราได้รับ

ที่นี่คำนึงถึงขีดจำกัดที่น่าทึ่งประการที่สองด้วย

ตัวอย่างที่ 2.7คำนวณขีดจำกัดของฟังก์ชัน

สารละลาย.

.

หากต้องการเปิดเผยความไม่แน่นอนของแบบฟอร์ม หรือใช้กฎของโลปิตาลซึ่งมีพื้นฐานมาจากทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท.ขีดจำกัดของอัตราส่วนของฟังก์ชันที่เล็กหรือใหญ่ไม่สิ้นสุดสองตัวจะเท่ากับขีดจำกัดของอัตราส่วนของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านั้น

โปรดทราบว่ากฎนี้สามารถใช้ได้หลายครั้งติดต่อกัน

ตัวอย่างที่ 2.8หา

สารละลาย.เมื่อทำการทดแทนเราจะมีความไม่แน่นอนของรูปทรง เมื่อใช้กฎของโลปิตาล เราก็จะได้

ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน

คุณสมบัติที่สำคัญของฟังก์ชันคือความต่อเนื่อง

คำนิยาม.ถือเป็นฟังก์ชัน อย่างต่อเนื่องหากการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในค่าของอาร์กิวเมนต์จะทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในค่าของฟังก์ชัน

ในทางคณิตศาสตร์สิ่งนี้เขียนดังนี้: เมื่อไร

โดย และ หมายถึง การเพิ่มขึ้นของตัวแปร กล่าวคือ ความแตกต่างระหว่างค่าที่ตามมาและค่าก่อนหน้า: , (รูปที่ 2.3)

รูปที่ 2.3 – การเพิ่มขึ้นของตัวแปร

จากนิยามของฟังก์ชันต่อเนื่อง ณ จุดนั้นเป็นไปตามนั้น . ความเท่าเทียมกันนี้หมายความว่าเป็นไปตามเงื่อนไขสามประการ:

สารละลาย.สำหรับฟังก์ชั่น ประเด็นที่น่าสงสัยคือความไม่ต่อเนื่อง ลองตรวจสอบและค้นหาขีดจำกัดด้านเดียว

เพราะฉะนั้น, , วิธี - จุดพัก

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน

หัวข้อ 4.6 การคำนวณขีด จำกัด

ขีดจำกัดของฟังก์ชันไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่ามีการกำหนดไว้ที่จุดจำกัดหรือไม่ แต่ในทางปฏิบัติในการคำนวณขีดจำกัดของฟังก์ชันพื้นฐาน สถานการณ์นี้มีความสำคัญอย่างยิ่ง

1. หากฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันพื้นฐานและหากค่าจำกัดของอาร์กิวเมนต์เป็นของโดเมนคำจำกัดความ การคำนวณขีดจำกัดของฟังก์ชันจะลดลงเป็นการทดแทนค่าจำกัดของอาร์กิวเมนต์อย่างง่าย เพราะ ขีด จำกัด ของฟังก์ชันพื้นฐาน f (x) ใน x มุ่งมั่นเพื่อก ซึ่งรวมอยู่ในโดเมนของคำจำกัดความ เท่ากับค่าบางส่วนของฟังก์ชันที่ x = ก, เช่น. ลิม f(x)=f( ก) .

2. ถ้า x มีแนวโน้มเป็นอนันต์หรือการโต้แย้งมีแนวโน้มที่จะเป็นตัวเลขที่ไม่อยู่ในขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชัน ดังนั้น ในแต่ละกรณี การค้นหาขีดจำกัดของฟังก์ชันจำเป็นต้องมีการวิจัยพิเศษ

ด้านล่างนี้คือขีดจำกัดที่ง่ายที่สุดโดยยึดตามคุณสมบัติของขีดจำกัดที่สามารถใช้เป็นสูตรได้:

มากกว่า กรณีที่ซับซ้อนค้นหาขีดจำกัดของฟังก์ชัน:

แต่ละรายการจะพิจารณาแยกกัน

ในส่วนนี้จะสรุปวิธีการหลักในการเปิดเผยความไม่แน่นอน

1. กรณีเมื่อ x มุ่งมั่นเพื่อก ฟังก์ชัน f(x) แสดงถึงอัตราส่วนของปริมาณที่น้อยที่สุดสองปริมาณ

ก) ขั้นแรก คุณต้องแน่ใจว่าไม่สามารถหาขีดจำกัดของฟังก์ชันได้โดยการทดแทนโดยตรง และด้วยการเปลี่ยนแปลงที่ระบุในอาร์กิวเมนต์ จะแสดงอัตราส่วนของปริมาณที่น้อยที่สุดสองปริมาณ การแปลงมีขึ้นเพื่อลดเศษส่วนด้วยปัจจัยที่มีแนวโน้มเป็น 0 ตามคำจำกัดความของขีดจำกัดของฟังก์ชัน อาร์กิวเมนต์ x มีแนวโน้มที่จะมีค่าขีดจำกัดของมัน โดยไม่เคยเกิดขึ้นพร้อมกัน

โดยทั่วไปหากเรากำลังมองหาลิมิตของฟังก์ชันที่ x มุ่งมั่นเพื่อก คุณต้องจำไว้ว่า x ไม่ได้รับค่า ก, เช่น. x ไม่เท่ากับ a

b) ใช้ทฤษฎีบทของเบซูต์ หากคุณกำลังมองหาลิมิตของเศษส่วนที่มีทั้งเศษและส่วนเป็นพหุนามที่หายไปที่จุดลิมิต x = กจากนั้นตามทฤษฎีบทข้างต้น พหุนามทั้งสองหารด้วย x- ก.

c) ความไร้เหตุผลในตัวเศษหรือส่วนจะถูกทำลายโดยการคูณตัวเศษหรือส่วนด้วยคอนจูเกตกับนิพจน์ที่ไม่ลงตัว จากนั้นหลังจากทำให้เศษส่วนง่ายขึ้นแล้วจะลดลง

d) ใช้ขีดจำกัดที่น่าทึ่งประการที่ 1 (4.1)

จ) ใช้ทฤษฎีบทเรื่องความเท่าเทียมกันของสิ่งจิ๋วและหลักการต่อไปนี้:

2.กรณีเมื่อ x มุ่งมั่นเพื่อก ฟังก์ชัน f(x) แทนอัตราส่วนของปริมาณสองปริมาณที่มากอย่างไม่สิ้นสุด

ก) การหารทั้งเศษและส่วนของเศษส่วนด้วยกำลังสูงสุดของค่าที่ไม่ทราบ

b) โดยทั่วไป คุณสามารถใช้กฎได้

3.กรณีเมื่อ x มุ่งมั่นเพื่อก ฟังก์ชัน f (x) แทนผลคูณของปริมาณที่น้อยที่สุดและปริมาณที่มากอย่างไม่สิ้นสุด

เศษส่วนจะถูกแปลงเป็นรูปแบบที่ทั้งเศษและส่วนมีแนวโน้มเป็น 0 หรืออนันต์พร้อมกัน เช่น กรณีที่ 3 ลดเหลือกรณีที่ 1 หรือกรณีที่ 2

4.กรณีเมื่อ x มุ่งมั่นเพื่อก ฟังก์ชัน f (x) แสดงถึงผลต่างของปริมาณเชิงบวกที่มีปริมาณมากเป็นอนันต์สองค่า

กรณีนี้จะลดลงเหลือประเภท 1 หรือ 2 ด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งต่อไปนี้:

ก) นำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วม

b) การแปลงฟังก์ชันเป็นเศษส่วน

c) กำจัดความไร้เหตุผล

5. กรณีเมื่อ x มุ่งมั่นเพื่อก ฟังก์ชัน f(x) แทนกำลังซึ่งมีฐานมีแนวโน้มเป็น 1 และเลขชี้กำลังเป็นอนันต์

ฟังก์ชันถูกแปลงในลักษณะที่จะใช้ลิมิตที่น่าทึ่งตัวที่ 2 (4.2)

ตัวอย่าง.หา .

เพราะ x มีแนวโน้มไปที่ 3แล้วตัวเศษมีแนวโน้มไปที่เลข 3 2 +3 *3+4=22 และตัวส่วนมีแนวโน้มไปที่เลข 3+8=11 เพราะฉะนั้น,

ตัวอย่าง

ในที่นี้ตัวเศษและส่วนของเศษส่วนคือ x พุ่งไปที่ 2มีแนวโน้มเป็น 0 (ความไม่แน่นอนของประเภท) เราแยกตัวประกอบทั้งเศษและส่วน เราจะได้ lim(x-2)(x+2)/(x-2)(x-5)

ตัวอย่าง

การคูณตัวเศษและส่วนด้วยนิพจน์คอนจูเกตกับตัวเศษ เราได้

เราจะได้การเปิดวงเล็บในตัวเศษ

ตัวอย่าง

ระดับ 2. ตัวอย่าง. ให้เรายกตัวอย่างการประยุกต์ใช้แนวคิดเรื่องขีด จำกัด ของฟังก์ชันในการคำนวณทางเศรษฐศาสตร์ พิจารณาธุรกรรมทางการเงินทั่วไป: การให้ยืมจำนวนเงิน ส 0 โดยมีเงื่อนไขว่าหลังจากช่วงระยะเวลาหนึ่ง ตจำนวนเงินจะได้รับคืน เซนต์. เรามากำหนดค่ากัน ร การเจริญเติบโตสัมพัทธ์สูตร

r=(ส ต -ส 0)/ส 0 (1)

การเติบโตสัมพัทธ์สามารถแสดงเป็นเปอร์เซ็นต์ได้โดยการคูณค่าผลลัพธ์ รคูณ 100

จากสูตร (1) ง่ายต่อการกำหนดค่า เซนต์:

เซนต์= ส 0 (1 + ร)

เมื่อคำนวณสินเชื่อระยะยาวครอบคลุมหลายด้าน เต็มปีให้ใช้โครงการดอกเบี้ยทบต้น ประกอบด้วยความจริงที่ว่าหากเป็นจำนวนเงินในปีที่ 1 ส 0 เพิ่มขึ้นเป็น (1 + ร) ครั้ง จากนั้นเป็นปีที่สองใน (1 + ร) คูณผลรวมเพิ่มขึ้น ส 1 = ส 0 (1 + ร), นั่นคือ ส 2 = ส 0 (1 + ร) 2 . ปรากฎว่าคล้ายกัน ส 3 = ส 0 (1 + ร) 3 . จากตัวอย่างข้างต้นเราสามารถอนุมานได้ สูตรทั่วไปเพื่อคำนวณการเพิ่มจำนวนเงินสำหรับ nปีเมื่อคำนวณตามโครงการดอกเบี้ยทบต้น:

ส= ส 0 (1 + ร) n.

ในการคำนวณทางการเงิน จะใช้แผนการที่มีการคำนวณดอกเบี้ยทบต้นหลายครั้งต่อปี ในกรณีนี้จะมีการกำหนดไว้ อัตรารายปี รและ จำนวนคงค้างต่อปี เค. ตามกฎแล้ว จะมีการสร้างยอดคงค้างในช่วงเวลาที่เท่ากัน นั่นคือความยาวของแต่ละช่วงเวลา ทีเคเป็นส่วนหนึ่งของปี แล้วสำหรับงวดนี้. ตปี (ที่นี่ ตไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเต็ม) เซนต์คำนวณโดยสูตร

(2)

โดยที่ส่วนจำนวนเต็มของตัวเลขซึ่งตรงกับตัวเลขนั้นอยู่ที่ไหน ตัวอย่างเช่น ถ้า ต? จำนวนเต็ม.

ให้อัตรารายปีเป็น รและถูกผลิตขึ้น nเงินคงค้างต่อปีในช่วงเวลาปกติ จากนั้นสำหรับปีจำนวนเงิน ส 0 เพิ่มขึ้นเป็นค่าที่กำหนดโดยสูตร

(3)

ในการวิเคราะห์ทางทฤษฎีและในทางปฏิบัติกิจกรรมทางการเงิน มักพบแนวคิดเรื่อง "ดอกเบี้ยค้างรับอย่างต่อเนื่อง" หากต้องการย้ายไปยังดอกเบี้ยสะสมอย่างต่อเนื่อง คุณต้องเพิ่มตัวเลขในสูตร (2) และ (3) ตามลำดับอย่างไม่มีกำหนด เคและ n(นั่นคือเพื่อชี้นำ เคและ nถึงอนันต์) และคำนวณว่าฟังก์ชันจะมีแนวโน้มที่จะมีขีดจำกัดเท่าใด เซนต์และ ส 1. ลองใช้ขั้นตอนนี้กับสูตร (3):

โปรดทราบว่าขีดจำกัดในวงเล็บปีกกาเกิดขึ้นพร้อมกับเครื่องหมายที่สอง ขีด จำกัด ที่น่าทึ่ง. ตามมาในอัตรารายปี รโดยมีดอกเบี้ยค้างจ่ายต่อเนื่องเป็นจำนวนเงิน ส 0 ใน 1 ปี เพิ่มมูลค่า ส 1 * ซึ่งกำหนดจากสูตร

ส 1 * = ส 0 เอ่อ (4)

ตอนนี้ให้ผลรวม ส 0 จัดทำเป็นเงินกู้พร้อมดอกเบี้ยค้างรับ nปีละครั้งเป็นระยะๆ มาแสดงกันเถอะ อีกครั้งอัตรารายปีซึ่ง ณ สิ้นปีจำนวนเงิน ส 0 เพิ่มขึ้นเป็นค่า ส 1 * จากสูตร (4) ในกรณีนี้เราจะบอกว่า อีกครั้ง- นี้ อัตราดอกเบี้ยรายปี nปีละครั้งเท่ากับดอกเบี้ยรายปี รโดยมีการสะสมอย่างต่อเนื่องจากสูตร (3) ที่เราได้รับ

S* 1 =S 0 (1+r อี /n) n

เท่ากับด้านขวามือของสูตรสุดท้ายและสูตร (4) โดยสมมติว่าเป็นสูตรหลัง ต= 1 เราสามารถหาความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณได้ รและ อีกครั้ง:

สูตรเหล่านี้ใช้กันอย่างแพร่หลายในการคำนวณทางการเงิน