วิธีกำจัดลอการิทึม สมการลอการิทึม วิธีการแก้สมการลอการิทึม

ในบทนี้ เราจะทบทวนข้อเท็จจริงทางทฤษฎีพื้นฐานเกี่ยวกับลอการิทึม และพิจารณาการแก้สมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุด

ให้เราจำคำจำกัดความกลาง - คำจำกัดความของลอการิทึม มันเกี่ยวข้องกับการแก้สมการเลขชี้กำลัง สมการนี้มีรากเดียว เรียกว่าลอการิทึมของ b ถึงฐาน a:

คำนิยาม:

ลอการิทึมของ b ถึงฐาน a คือเลขชี้กำลังที่ต้องยกฐาน a เพื่อให้ได้ b

ให้เราเตือนคุณ เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน.

นิพจน์ (นิพจน์ 1) คือรากของสมการ (นิพจน์ 2) แทนที่ค่า x จากนิพจน์ 1 แทน x ลงในนิพจน์ 2 และรับค่าเอกลักษณ์ลอการิทึมหลัก:

ดังนั้นเราจึงเห็นว่าแต่ละค่าเชื่อมโยงกับค่าหนึ่งๆ เราแทน b ด้วย x(), c โดย y และด้วยเหตุนี้จึงได้ฟังก์ชันลอการิทึม:

ตัวอย่างเช่น:

ให้เรานึกถึงคุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชันลอการิทึม

ให้เราสนใจอีกครั้งตรงนี้ เนื่องจากภายใต้ลอการิทึม อาจมีนิพจน์เชิงบวกอย่างเคร่งครัดเป็นฐานของลอการิทึม

ข้าว. 1. กราฟของฟังก์ชันลอการิทึมที่มีฐานต่างกัน

กราฟของฟังก์ชันที่จะแสดงเป็นสีดำ ข้าว. 1. ถ้าอาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้นจากศูนย์เป็นอนันต์ ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นจากลบเป็นบวกอนันต์

กราฟของฟังก์ชันที่จะแสดงเป็นสีแดง ข้าว. 1.

คุณสมบัติของฟังก์ชันนี้:

โดเมน: ;

ช่วงของค่า: ;

ฟังก์ชันเป็นแบบโมโนโทนิกตลอดทั้งขอบเขตคำจำกัดความ เมื่อเพิ่มขึ้นแบบซ้ำซากจำเจ (อย่างเคร่งครัด) ค่าอาร์กิวเมนต์ที่มากขึ้นจะสอดคล้องกับค่าที่มากขึ้นของฟังก์ชัน เมื่อลดความซ้ำซากจำเจ (อย่างเคร่งครัด) ค่าอาร์กิวเมนต์ที่มากขึ้นจะสอดคล้องกับค่าที่น้อยลงของฟังก์ชัน

คุณสมบัติของฟังก์ชันลอการิทึมเป็นกุญแจสำคัญในการแก้สมการลอการิทึมต่างๆ

ลองพิจารณาสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุด ตามกฎแล้ว สมการลอการิทึมอื่นๆ ทั้งหมดจะถูกลดทอนลงเป็นรูปแบบนี้

เนื่องจากฐานของลอการิทึมและลอการิทึมมีค่าเท่ากัน ฟังก์ชันภายใต้ลอการิทึมจึงเท่ากัน แต่เราต้องไม่พลาดขอบเขตของคำจำกัดความ มีเพียงจำนวนบวกเท่านั้นที่สามารถปรากฏใต้ลอการิทึม เรามี:

เราพบว่าฟังก์ชัน f และ g เท่ากัน ดังนั้นจึงเพียงพอที่จะเลือกความไม่เท่าเทียมกันอย่างใดอย่างหนึ่งเพื่อให้สอดคล้องกับ ODZ

ดังนั้นเราจึงได้ ระบบผสมซึ่งมีสมการและอสมการดังนี้

ตามกฎแล้ว ไม่จำเป็นต้องแก้อสมการ เพียงแก้สมการและแทนที่รากที่พบเป็นอสมการก็เพียงพอแล้ว จึงทำการตรวจสอบ

ให้เรากำหนดวิธีการแก้สมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุด:

ปรับฐานลอการิทึมให้เท่ากัน

ฟังก์ชันซับลอการิทึมที่เท่ากัน

ดำเนินการตรวจสอบ

ลองดูตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง

ตัวอย่างที่ 1 - แก้สมการ:

ฐานของลอการิทึมมีค่าเท่ากันตั้งแต่แรก เรามีสิทธิ์ที่จะเท่ากัน นิพจน์ลอการิทึมอย่าลืมเกี่ยวกับ ODZ มาเลือกลอการิทึมแรกเพื่อรวบรวมความไม่เท่าเทียมกัน:

ตัวอย่างที่ 2 - แก้สมการ:

สมการนี้แตกต่างจากสมการก่อนหน้าตรงที่ฐานของลอการิทึมมีค่าน้อยกว่า 1 แต่ไม่ส่งผลต่อคำตอบแต่อย่างใด:

ลองหารากและแทนที่มันลงในอสมการ:

เราได้รับความไม่เท่าเทียมกันที่ไม่ถูกต้อง ซึ่งหมายความว่ารูทที่พบไม่เป็นไปตาม ODZ

ตัวอย่างที่ 3 - แก้สมการ:

ฐานของลอการิทึมมีค่าเท่ากันในตอนแรก เรามีสิทธิ์ที่จะถือเอานิพจน์ย่อยลอการิทึม อย่าลืมเกี่ยวกับ ODZ เราเลือกลอการิทึมตัวที่สองเพื่อประกอบความไม่เท่าเทียมกัน:

ลองหารากและแทนที่มันลงในอสมการ:

แน่นอนว่ามีเพียงรูทแรกเท่านั้นที่ตรงตาม ODZ

คำแนะนำ

เขียนนิพจน์ลอการิทึมที่กำหนด ถ้านิพจน์ใช้ลอการิทึมเป็น 10 สัญกรณ์ของมันจะสั้นลงและมีลักษณะดังนี้: lg b คือลอการิทึมทศนิยม หากลอการิทึมมีตัวเลข e เป็นฐาน ให้เขียนนิพจน์: ln b – ลอการิทึมธรรมชาติ เป็นที่เข้าใจกันว่าผลลัพธ์ของค่าใดๆ คือกำลังที่ต้องยกเลขฐานขึ้นเพื่อให้ได้เลข b

เมื่อค้นหาผลรวมของสองฟังก์ชัน คุณเพียงแค่ต้องแยกความแตกต่างทีละฟังก์ชันแล้วบวกผลลัพธ์: (u+v)" = u"+v";

เมื่อค้นหาอนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชันทั้งสอง จำเป็นต้องคูณอนุพันธ์ของฟังก์ชันแรกด้วยฟังก์ชันที่สอง แล้วบวกอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่สองคูณด้วยฟังก์ชันแรก: (u*v)" = u"*v +วี"*คุณ;

ในการที่จะหาอนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชันนั้น จำเป็นต้องลบผลคูณของอนุพันธ์ของเงินปันผลคูณด้วยฟังก์ชันตัวหารด้วยผลคูณของอนุพันธ์ของตัวหารคูณด้วยฟังก์ชันของเงินปันผล แล้วหาร ทั้งหมดนี้ด้วยฟังก์ชันตัวหารกำลังสอง (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

หากได้รับ ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนแล้วจึงจำเป็นต้องคูณอนุพันธ์ของ ฟังก์ชั่นภายในและอนุพันธ์ของสิ่งภายนอก ให้ y=u(v(x)) แล้วก็ y"(x)=y"(u)*v"(x)

ด้วยการใช้ผลลัพธ์ที่ได้ข้างต้น คุณสามารถแยกแยะฟังก์ชันได้เกือบทุกฟังก์ชัน ลองดูตัวอย่างบางส่วน:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
นอกจากนี้ยังมีปัญหาเกี่ยวกับการคำนวณอนุพันธ์ ณ จุดหนึ่งด้วย ปล่อยให้ฟังก์ชัน y=e^(x^2+6x+5) ถูกกำหนดไว้ คุณจะต้องค้นหาค่าของฟังก์ชันที่จุด x=1
1) ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6)

2) คำนวณค่าของฟังก์ชันเป็น จุดที่กำหนดให้ย"(1)=8*อี^0=8

วิดีโอในหัวข้อ

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

เรียนรู้ตารางอนุพันธ์เบื้องต้น ซึ่งจะช่วยประหยัดเวลาได้อย่างมาก

แหล่งที่มา:

• อนุพันธ์ของค่าคงที่

ดังนั้นความแตกต่างระหว่างคืออะไร สมการตรรกยะจากเหตุผลเหรอ? หากตัวแปรที่ไม่รู้จักอยู่ใต้เครื่องหมาย รากที่สองจากนั้นสมการจะถือว่าไม่มีเหตุผล

คำแนะนำ

วิธีการหลักในการแก้สมการดังกล่าวคือวิธีสร้างทั้งสองด้าน สมการเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส อย่างไรก็ตาม. นี่เป็นเรื่องธรรมชาติ สิ่งแรกที่คุณต้องทำคือกำจัดป้ายนั้นออก วิธีนี้ไม่ใช่เรื่องยากในทางเทคนิค แต่บางครั้งอาจทำให้เกิดปัญหาได้ ตัวอย่างเช่น สมการคือ v(2x-5)=v(4x-7) ยกกำลังสองทั้งสองข้างจะได้ 2x-5=4x-7 การแก้สมการดังกล่าวไม่ใช่เรื่องยาก x=1. แต่จะไม่ให้หมายเลข 1 สมการ. ทำไม แทนค่าหนึ่งในสมการแทนค่า x และด้านขวาและด้านซ้ายจะมีนิพจน์ที่ไม่สมเหตุสมผล กล่าวคือ ค่านี้ไม่ถูกต้องสำหรับรากที่สอง ดังนั้น 1 จึงเป็นรากที่ไม่เกี่ยวข้อง ดังนั้นสมการนี้จึงไม่มีราก

ดังนั้นสมการไร้เหตุผลจึงถูกแก้โดยใช้วิธีการยกกำลังสองทั้งสองข้าง และเมื่อแก้สมการได้แล้วจำเป็นต้องตัดรากที่ไม่เกี่ยวข้องออก เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แทนที่รากที่พบลงในสมการดั้งเดิม

พิจารณาอีกอันหนึ่ง
2х+vх-3=0
แน่นอนว่าสมการนี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้สมการเดียวกับสมการก่อนหน้า ย้ายสารประกอบ สมการซึ่งไม่มีรากที่สอง ให้ไปทางด้านขวาแล้วใช้วิธียกกำลังสอง แก้สมการตรรกยะและรากที่เกิดขึ้น แต่ยังอีกอันที่หรูหรากว่าอีกด้วย ป้อนตัวแปรใหม่ vх=y. ดังนั้น คุณจะได้สมการในรูปแบบ 2y2+y-3=0 นั่นก็คือ ตามปกติ สมการกำลังสอง. ค้นหารากของมัน y1=1 และ y2=-3/2 ต่อไปแก้สอง สมการ vх=1; วх=-3/2. สมการที่สองไม่มีราก จากสมการแรกเราจะพบว่า x=1 อย่าลืมตรวจสอบรากด้วย

การแก้ไขตัวตนนั้นค่อนข้างง่าย ในการทำเช่นนี้จำเป็นต้องทำการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันจนกว่าจะบรรลุเป้าหมายที่ตั้งไว้ ดังนั้นด้วยความช่วยเหลือที่ง่ายที่สุด การดำเนินการทางคณิตศาสตร์งานที่ทำอยู่จะได้รับการแก้ไข

คุณจะต้องการ

• - กระดาษ;
• - ปากกา.

คำแนะนำ

การแปลงที่ง่ายที่สุดคือการคูณพีชคณิตแบบย่อ (เช่น กำลังสองของผลรวม (ผลต่าง) ผลต่างของกำลังสอง ผลรวม (ผลต่าง) ลูกบาศก์ของผลรวม (ผลต่าง) นอกจากนี้ยังมีสูตรตรีโกณมิติอีกมากมายซึ่งโดยพื้นฐานแล้วมีเอกลักษณ์ที่เหมือนกัน

ที่จริงแล้ว กำลังสองของผลรวมของสองเทอมจะเท่ากับกำลังสองของเทอมแรกบวกสองเท่าของผลคูณของเทอมแรกคูณวินาที และบวกด้วยกำลังสองของเทอมที่สอง นั่นคือ (a+b)^2= (a+ ข)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2

ลดความซับซ้อนทั้งสองอย่าง

หลักการทั่วไปของการแก้ปัญหา

วิธีการเปลี่ยนตัวแปร

การแก้อินทิกรัลชนิดที่สอง

การทดแทนขีดจำกัดการรวม

ดังที่คุณทราบ เมื่อคูณนิพจน์ด้วยกำลัง เลขยกกำลังจะรวมกันเสมอ (a b *a c = a b+c) กฎทางคณิตศาสตร์นี้ได้รับมาจากอาร์คิมิดีส และต่อมาในศตวรรษที่ 8 นักคณิตศาสตร์วีราเซนได้สร้างตารางเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม พวกเขาเป็นผู้ทำหน้าที่ในการค้นพบลอการิทึมเพิ่มเติม ตัวอย่างการใช้ฟังก์ชันนี้สามารถพบได้เกือบทุกที่ที่คุณต้องการลดความซับซ้อนของการคูณที่ยุ่งยากด้วยการบวกง่ายๆ หากคุณใช้เวลา 10 นาทีในการอ่านบทความนี้ เราจะอธิบายว่าลอการิทึมคืออะไรและจะทำงานร่วมกับลอการิทึมได้อย่างไร ในภาษาที่ง่ายและเข้าถึงได้

ความหมายในวิชาคณิตศาสตร์

ลอการิทึมคือนิพจน์ในรูปแบบต่อไปนี้: log a b=c นั่นคือลอการิทึมของจำนวนที่ไม่เป็นลบ (นั่นคือบวกใดๆ) “b” ไปยังฐาน “a” ถือเป็นกำลัง “c ” ซึ่งต้องยกฐาน “a” ขึ้นเพื่อให้ได้ค่า “b” ในท้ายที่สุด ลองวิเคราะห์ลอการิทึมโดยใช้ตัวอย่างสมมติว่ามีบันทึกนิพจน์ 2 8 จะหาคำตอบได้อย่างไร? ง่ายมาก คุณต้องค้นหาเลขยกกำลังตั้งแต่ 2 ถึงเลขยกกำลังที่ต้องการ คุณจะได้ 8 หลังจากคำนวณในหัวแล้ว เราก็ได้เลข 3! และนั่นก็จริง เพราะ 2 ยกกำลัง 3 ให้คำตอบเป็น 8

ประเภทของลอการิทึม

สำหรับนักเรียนและนักเรียนหลายคนหัวข้อนี้ดูซับซ้อนและเข้าใจยาก แต่จริงๆ แล้วลอการิทึมไม่ได้น่ากลัวนัก สิ่งสำคัญคือการเข้าใจความหมายทั่วไปและจดจำคุณสมบัติและกฎบางอย่าง มีสาม แต่ละสายพันธุ์นิพจน์ลอการิทึม:

1. ลอการิทึมธรรมชาติ ln a โดยที่ฐานคือเลขออยเลอร์ (e = 2.7)
2. ทศนิยม a โดยที่ฐานคือ 10
3. ลอการิทึมของจำนวนใดๆ b ถึงฐาน a>1

แต่ละรายการได้รับการแก้ไขด้วยวิธีมาตรฐาน รวมถึงการลดความซับซ้อน การลดลง และการลดลงตามมาเป็นลอการิทึมเดียวโดยใช้ทฤษฎีบทลอการิทึม เพื่อให้ได้ค่าลอการิทึมที่ถูกต้องคุณควรจำคุณสมบัติของลอการิทึมและลำดับของการกระทำเมื่อทำการแก้ไข

กฎและข้อจำกัดบางประการ

ในทางคณิตศาสตร์ มีกฎ-ข้อจำกัดหลายประการที่ได้รับการยอมรับว่าเป็นสัจพจน์ กล่าวคือ กฎเหล่านั้นไม่อยู่ภายใต้การอภิปรายและเป็นความจริง ตัวอย่างเช่น เป็นไปไม่ได้ที่จะหารตัวเลขด้วยศูนย์ และไม่สามารถแยกรากเลขคู่ออกมาได้ ตัวเลขติดลบ. ลอการิทึมยังมีกฎของตัวเอง ซึ่งคุณสามารถเรียนรู้การทำงานได้อย่างง่ายดาย แม้จะมีนิพจน์ลอการิทึมที่ยาวและมีความจุมาก:

• ฐาน "a" จะต้องมากกว่าศูนย์เสมอและไม่เท่ากับ 1 มิฉะนั้นนิพจน์จะสูญเสียความหมายเนื่องจาก "1" และ "0" ในระดับใดก็ตามจะเท่ากับค่าของพวกเขาเสมอ
• ถ้า a > 0 แล้วก็ b >0 ปรากฎว่า “c” ต้องมากกว่าศูนย์ด้วย

วิธีการแก้ลอการิทึม?

ตัวอย่างเช่น มอบหมายงานให้ค้นหาคำตอบของสมการ 10 x = 100 ซึ่งง่ายมาก คุณต้องเลือกยกกำลังโดยเพิ่มเลขสิบที่เราได้ 100 ซึ่งแน่นอนว่าคือ 10 2 = 100.

ทีนี้ลองแสดงนิพจน์นี้ในรูปแบบลอการิทึม เราได้บันทึก 10 100 = 2 เมื่อแก้ลอการิทึม การกระทำทั้งหมดจะมาบรรจบกันจริงเพื่อค้นหาพลังที่จำเป็นในการเข้าสู่ฐานของลอการิทึมเพื่อให้ได้ตัวเลขที่กำหนด

ในการกำหนดค่าของระดับที่ไม่รู้จักอย่างแม่นยำ คุณต้องเรียนรู้วิธีทำงานกับตารางองศา ดูเหมือนว่านี้:

อย่างที่คุณเห็น เลขยกกำลังบางตัวสามารถเดาได้โดยสังหรณ์ใจ หากคุณมีความคิดทางเทคนิคและความรู้เกี่ยวกับตารางสูตรคูณ อย่างไรก็ตามสำหรับค่าที่มากขึ้นคุณจะต้องมีตารางกำลัง มันสามารถใช้ได้แม้กับผู้ที่ไม่รู้อะไรเลยเกี่ยวกับความซับซ้อนเลย หัวข้อทางคณิตศาสตร์. คอลัมน์ด้านซ้ายประกอบด้วยตัวเลข (ฐาน a) แถวบนสุดตัวเลขคือค่าของกำลัง c ที่ทำให้ตัวเลข a เพิ่มขึ้น ที่ทางแยก เซลล์จะมีค่าตัวเลขที่เป็นคำตอบ (ac =b) ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเซลล์แรกสุดที่มีหมายเลข 10 แล้วยกกำลังสอง เราจะได้ค่า 100 ซึ่งระบุไว้ที่จุดตัดของทั้งสองเซลล์ของเรา ทุกอย่างเรียบง่ายจนแม้แต่นักมนุษยนิยมที่แท้จริงที่สุดก็ยังเข้าใจ!

สมการและอสมการ

ปรากฎว่าภายใต้เงื่อนไขบางประการ เลขชี้กำลังคือลอการิทึม ดังนั้น นิพจน์ตัวเลขทางคณิตศาสตร์ใดๆ จึงสามารถเขียนเป็นความเท่าเทียมกันของลอการิทึมได้ ตัวอย่างเช่น 3 4 =81 สามารถเขียนเป็นลอการิทึมฐาน 3 ของ 81 เท่ากับสี่ (บันทึก 3 81 = 4) สำหรับ พลังเชิงลบกฎเหมือนกัน: 2 -5 = 1/32 เราเขียนเป็นลอการิทึม เราได้บันทึก 2 (1/32) = -5 ส่วนที่น่าสนใจที่สุดส่วนหนึ่งของคณิตศาสตร์คือหัวข้อ "ลอการิทึม" เราจะดูตัวอย่างและคำตอบของสมการด้านล่างทันทีหลังจากศึกษาคุณสมบัติของพวกมัน ตอนนี้เรามาดูกันว่าอสมการมีลักษณะอย่างไรและจะแยกแยะพวกมันออกจากสมการได้อย่างไร

ได้รับนิพจน์ต่อไปนี้: log 2 (x-1) > 3 - เป็นอสมการลอการิทึมเนื่องจากค่าที่ไม่รู้จัก "x" อยู่ภายใต้เครื่องหมายลอการิทึม และในนิพจน์จะมีการเปรียบเทียบปริมาณสองปริมาณ: ลอการิทึมของจำนวนที่ต้องการถึงฐานสองมากกว่าจำนวนสาม

ความแตกต่างที่สำคัญที่สุดระหว่างสมการลอการิทึมและอสมการคือสมการที่มีลอการิทึม (ตัวอย่าง - ลอการิทึม 2 x = √9) แสดงถึงค่าตัวเลขเฉพาะหนึ่งค่าขึ้นไปในคำตอบ ในขณะที่เมื่อแก้อสมการจะถูกกำหนดให้เป็นขอบเขต ค่าที่ยอมรับได้และจุดพักของฟังก์ชันนี้ ด้วยเหตุนี้ คำตอบจึงไม่ใช่ชุดตัวเลขธรรมดาๆ ดังเช่นในคำตอบของสมการ แต่เป็นชุดต่อเนื่องหรือชุดตัวเลข

ทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับลอการิทึม

เมื่อแก้ไขงานดั้งเดิมในการค้นหาค่าลอการิทึมอาจไม่ทราบคุณสมบัติของมัน อย่างไรก็ตาม เมื่อพูดถึงสมการลอการิทึมหรืออสมการ ก่อนอื่น จำเป็นต้องเข้าใจอย่างชัดเจนและนำไปใช้ในทางปฏิบัติเกี่ยวกับคุณสมบัติพื้นฐานทั้งหมดของลอการิทึม เราจะดูตัวอย่างสมการในภายหลัง ก่อนอื่นมาดูรายละเอียดคุณสมบัติแต่ละอย่างกันก่อน

1. ข้อมูลประจำตัวหลักมีลักษณะดังนี้: a logaB =B ใช้เฉพาะเมื่อ a มากกว่า 0 ไม่เท่ากับ 1 และ B มากกว่าศูนย์
2. ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์สามารถแสดงได้ในสูตรต่อไปนี้: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2 ในกรณีนี้ ข้อกำหนดเบื้องต้นคือ: d, s 1 และ s 2 > 0; ก≠1. คุณสามารถพิสูจน์สูตรลอการิทึมนี้พร้อมตัวอย่างและวิธีแก้ได้ ให้บันทึก a s 1 = f 1 และบันทึก a s 2 = f 2 จากนั้น a f1 = s 1, a f2 = s 2 เราจะได้ว่า s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (คุณสมบัติของ องศา ) จากนั้นตามคำจำกัดความ: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2 ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์
3. ลอการิทึมของผลหารมีลักษณะดังนี้: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2
4. ทฤษฎีบทในรูปแบบของสูตรจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้: log a q b n = n/q log a b

สูตรนี้เรียกว่า “คุณสมบัติของระดับลอการิทึม” มันคล้ายกับคุณสมบัติขององศาธรรมดา และไม่น่าแปลกใจเลย เพราะคณิตศาสตร์ทั้งหมดมีพื้นฐานมาจากสมมุติฐานตามธรรมชาติ มาดูหลักฐานกัน

ให้บันทึก a b = t จะได้ว่า t =b ถ้าเรายกกำลังทั้งสองส่วน m: a tn = bn ;

แต่เนื่องจาก tn = (a q) nt/q = bn ดังนั้น ให้บันทึก a q bn = (n*t)/t จากนั้นให้บันทึก a q bn = n/q บันทึก a b ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่างปัญหาและความไม่เท่าเทียมกัน

ประเภทปัญหาที่พบบ่อยที่สุดในลอการิทึมคือตัวอย่างของสมการและอสมการ มีอยู่ในหนังสือโจทย์ปัญหาเกือบทั้งหมด และยังเป็นส่วนบังคับของการสอบคณิตศาสตร์ด้วย หากต้องการเข้ามหาวิทยาลัยหรือสอบเข้าวิชาคณิตศาสตร์ คุณจำเป็นต้องรู้วิธีการแก้ปัญหาดังกล่าวอย่างถูกต้อง

น่าเสียดายที่ไม่มีแผนหรือแผนงานเดียวในการแก้ไขและกำหนดค่าลอการิทึมที่ไม่ทราบ แต่กฎบางอย่างสามารถนำไปใช้กับอสมการทางคณิตศาสตร์หรือสมการลอการิทึมแต่ละรายการได้ ก่อนอื่น คุณควรค้นหาว่านิพจน์นั้นสามารถทำให้ง่ายขึ้นหรือนำไปสู่ได้หรือไม่ ลักษณะทั่วไป. คุณสามารถลดความซับซ้อนของนิพจน์ลอการิทึมแบบยาวได้หากคุณใช้คุณสมบัติอย่างถูกต้อง มาทำความรู้จักกับพวกเขาได้อย่างรวดเร็ว

เมื่อแก้สมการลอการิทึม เราต้องพิจารณาว่าเรามีลอการิทึมประเภทใด: นิพจน์ตัวอย่างอาจมีลอการิทึมธรรมชาติหรือทศนิยม

นี่คือตัวอย่าง ln100, ln1026 วิธีแก้ปัญหาขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่ว่าพวกเขาจำเป็นต้องกำหนดกำลังที่ฐาน 10 จะเท่ากับ 100 และ 1,026 ตามลำดับ สำหรับการแก้ปัญหา ลอการิทึมธรรมชาติจำเป็นต้องสมัคร อัตลักษณ์ลอการิทึมหรือคุณสมบัติของพวกเขา ลองดูตัวอย่างการแก้ปัญหาลอการิทึมประเภทต่างๆ

วิธีใช้สูตรลอการิทึม: พร้อมตัวอย่างและวิธีแก้ไข

ลองมาดูตัวอย่างการใช้ทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับลอการิทึมกัน

1. คุณสมบัติของลอการิทึมของผลิตภัณฑ์สามารถใช้ในงานที่จำเป็นต้องขยายได้ ความสำคัญอย่างยิ่งตัวเลข b เป็นปัจจัยที่ง่ายกว่า เช่น log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512 คำตอบคือ 9
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - อย่างที่คุณเห็น การใช้คุณสมบัติที่สี่ของกำลังลอการิทึม เราจัดการเพื่อแก้นิพจน์ที่ดูเหมือนซับซ้อนและแก้ไขไม่ได้ คุณเพียงแค่ต้องแยกตัวประกอบฐานแล้วนำค่าเลขชี้กำลังออกจากเครื่องหมายของลอการิทึม

งานที่ได้รับมอบหมายจากการสอบ Unified State

ลอการิทึมมักพบใน การสอบเข้าโดยเฉพาะปัญหาลอการิทึมมากมายในการสอบ Unified State (การสอบสถานะสำหรับผู้สำเร็จการศึกษาระดับโรงเรียนทุกคน) โดยปกติแล้วงานเหล่านี้ไม่เพียงมีอยู่ในส่วน A เท่านั้น (งานที่ง่ายที่สุด ส่วนทดสอบการสอบ) แต่ยังอยู่ในส่วน C (งานที่ซับซ้อนและใหญ่โตที่สุด) การสอบต้องใช้ความรู้ที่ถูกต้องและครบถ้วนในหัวข้อ “ลอการิทึมธรรมชาติ”

ตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหานำมาจากทางการ ตัวเลือกการสอบ Unified State. มาดูกันว่างานดังกล่าวจะแก้ไขอย่างไร

ให้บันทึก 2 (2x-1) = 4 วิธีแก้ไข:
ลองเขียนนิพจน์ใหม่ โดยลดความซับซ้อนของลอการิทึมเล็กๆ น้อยๆ 2 (2x-1) = 2 2 โดยนิยามของลอการิทึม เราจะได้ 2x-1 = 2 4 ดังนั้น 2x = 17; x = 8.5

• วิธีที่ดีที่สุดคือลดลอการิทึมทั้งหมดให้เป็นฐานเดียวกันเพื่อไม่ให้โจทย์ยุ่งยากและสับสน
• นิพจน์ทั้งหมดภายใต้เครื่องหมายลอการิทึมจะแสดงเป็นค่าบวก ดังนั้น เมื่อเลขชี้กำลังของนิพจน์ที่อยู่ใต้เครื่องหมายลอการิทึมและเมื่อฐานถูกนำออกมาเป็นตัวคูณ นิพจน์ที่เหลืออยู่ภายใต้ลอการิทึมจะต้องเป็นค่าบวก

การแนะนำ

ภาระทางจิตที่เพิ่มขึ้นในบทเรียนคณิตศาสตร์ทำให้เราคิดถึงวิธีรักษาความสนใจของนักเรียนในเนื้อหาที่กำลังศึกษาและกิจกรรมของพวกเขาตลอดบทเรียน ในเรื่องนี้ อยู่ระหว่างการค้นหาวิธีการสอนและเทคนิคระเบียบวิธีใหม่ๆ ที่มีประสิทธิภาพ ที่จะกระตุ้นความคิดของนักเรียนและกระตุ้นให้พวกเขาได้รับความรู้อย่างอิสระ

การเกิดขึ้นของความสนใจในวิชาคณิตศาสตร์ในหมู่นักเรียนจำนวนมากขึ้นอยู่กับวิธีการสอนในระดับสูงว่างานด้านการศึกษาจะมีความชำนาญเพียงใด ดึงความสนใจของนักเรียนไปยังสิ่งที่กำลังเรียนคณิตศาสตร์อย่างทันท่วงที คุณสมบัติทั่วไปวัตถุและปรากฏการณ์ของโลกโดยรอบไม่เกี่ยวข้องกับวัตถุ แต่ด้วยแนวคิดเชิงนามธรรมเชิงนามธรรมเราสามารถบรรลุความเข้าใจได้ว่าคณิตศาสตร์ไม่ได้ละเมิดการเชื่อมต่อกับความเป็นจริง แต่ในทางกลับกันทำให้สามารถศึกษาได้ลึกซึ้งยิ่งขึ้น จัดทำข้อสรุปเชิงทฤษฎีทั่วไปที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในทางปฏิบัติ

ในการเข้าร่วมเทศกาลแนวคิดการสอน "บทเรียนเปิด" ในปีการศึกษา 2547-2548 ฉันได้นำเสนอบทเรียน-บรรยายในหัวข้อ "ฟังก์ชันลอการิทึม" (ประกาศนียบัตรหมายเลข 204044) ฉันถือว่าวิธีนี้ประสบความสำเร็จมากที่สุดในกรณีนี้ ผลจากการเรียน นักเรียนจะมีโครงร่างโดยละเอียดและโครงร่างหัวข้อโดยย่อ ซึ่งจะทำให้นักเรียนเตรียมตัวสำหรับบทเรียนต่อไปได้ง่ายขึ้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งในหัวข้อ "การแก้สมการลอการิทึม" ซึ่งมีพื้นฐานมาจากการศึกษาฟังก์ชันลอการิทึมและคุณสมบัติของมันทั้งหมด

เมื่อสร้างแนวคิดทางคณิตศาสตร์พื้นฐานสิ่งสำคัญคือต้องสร้างแนวคิดเกี่ยวกับความเหมาะสมในการแนะนำแต่ละแนวคิดและความเป็นไปได้ในการประยุกต์ใช้ให้นักเรียน ในการทำเช่นนี้จำเป็นที่เมื่อกำหนดคำจำกัดความของแนวคิดบางอย่างการทำงานเกี่ยวกับโครงสร้างเชิงตรรกะจะต้องพิจารณาคำถามเกี่ยวกับประวัติความเป็นมาของแนวคิดนี้ แนวทางนี้จะช่วยให้นักเรียนตระหนักว่าแนวคิดใหม่นี้ทำหน้าที่เป็นภาพรวมของข้อเท็จจริงของความเป็นจริง

ประวัติความเป็นมาของการเกิดขึ้นของลอการิทึมถูกนำเสนอโดยละเอียดในงานของปีที่แล้ว

เมื่อพิจารณาถึงความสำคัญของความต่อเนื่องในการสอนคณิตศาสตร์ในสถาบันการศึกษาเฉพาะทางระดับมัธยมศึกษาและในมหาวิทยาลัย และความจำเป็นในการปฏิบัติตามข้อกำหนดเครื่องแบบสำหรับนักเรียน ฉันคิดว่าเป็นการเหมาะสมที่จะใช้วิธีการต่อไปนี้เพื่อแนะนำนักเรียนให้รู้จักการแก้สมการลอการิทึม

สมการที่มีตัวแปรอยู่ใต้เครื่องหมายลอการิทึม (โดยเฉพาะในฐานของลอการิทึม) เรียกว่า ลอการิทึม พิจารณาสมการลอการิทึมของแบบฟอร์ม:

การแก้สมการเหล่านี้ขึ้นอยู่กับทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท 1สมการนี้เทียบเท่ากับระบบ

(2)

ในการแก้สมการ (1) ก็เพียงพอแล้วที่จะแก้สมการ

และนำวิธีแก้ปัญหาของเขามาแทนที่ในระบบอสมการ

การกำหนดโดเมนของคำจำกัดความของสมการ (1)

รากของสมการ (1) จะเป็นเพียงคำตอบของสมการ (3) ที่เป็นไปตามระบบ (4) เท่านั้น เช่น อยู่ในขอบเขตของคำจำกัดความของสมการ (1)

เมื่อแก้สมการลอการิทึม อาจเกิดการขยายขอบเขตของคำจำกัดความ (การได้มาซึ่งรากภายนอก) หรือการแคบลง (การสูญเสียราก) ดังนั้นการแทนที่รากของสมการ (3) เป็นระบบ (4) เช่น จำเป็นต้องมีการตรวจสอบโซลูชัน

ตัวอย่างที่ 1:แก้สมการ

สารละลาย:

ทั้งสองความหมาย เอ็กซ์เป็นไปตามเงื่อนไขของระบบ

คำตอบ:

พิจารณาสมการของแบบฟอร์ม:

วิธีแก้ปัญหาของพวกเขาขึ้นอยู่กับทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท 2:สมการ (5) เทียบเท่ากับระบบ

(6)

รากของสมการ (5) จะเป็นเพียงรากของสมการนั้นเท่านั้น

อยู่ในขอบเขตของคำจำกัดความที่ระบุตามเงื่อนไข

สมการลอการิทึมของรูปแบบ (5) สามารถแก้ไขได้หลายวิธี ลองดูที่หลัก

1. การเพิ่มศักยภาพ (การประยุกต์ใช้คุณสมบัติของลอการิทึม)

ตัวอย่างที่ 2:แก้สมการ

สารละลาย:โดยอาศัยทฤษฎีบทที่ 2 สมการนี้เทียบเท่ากับระบบ:

มาแก้สมการกัน:

มีเพียงรูทเดียวเท่านั้นที่ตรงตามเงื่อนไขทั้งหมดของระบบ คำตอบ:

2. การใช้คำจำกัดความของลอการิทึม .

ตัวอย่างที่ 3:หา เอ็กซ์, ถ้า

สารละลาย:

ความหมาย เอ็กซ์= 3 อยู่ในโดเมนของคำจำกัดความของสมการ คำตอบ เอ็กซ์ = 3

3. การลดสมการกำลังสอง

ตัวอย่างที่ 4:แก้สมการ

ทั้งสองความหมาย เอ็กซ์คือรากของสมการ

คำตอบ:

4. การลอการิฟท์

ตัวอย่างที่ 5:แก้สมการ

สารละลาย:ลองใช้ลอการิทึมของทั้งสองข้างของสมการไปที่ฐาน 10 แล้วใช้คุณสมบัติ "ลอการิทึมของกำลัง"

รากทั้งสองอยู่ในช่วงของค่าที่อนุญาตของฟังก์ชันลอการิทึม

คำตอบ: เอ็กซ์ = 0,1; เอ็กซ์ = 100

5. การลดเหลือเพียงเกณฑ์เดียว

ตัวอย่างที่ 6:แก้สมการ

ลองใช้สูตรกัน และไปที่ลอการิทึมฐาน 2 ในทุกเทอม:

จากนั้นสมการนี้จะอยู่ในรูปแบบ:

เนื่องจาก นี่คือรากของสมการ

คำตอบ: เอ็กซ์ = 16