ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง – คุณสมบัติ กราฟ สูตร ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ให้ข้อมูลอ้างอิงเกี่ยวกับฟังก์ชันเลขชี้กำลัง - คุณสมบัติพื้นฐาน กราฟ และสูตร ประเด็นต่อไปนี้ได้รับการพิจารณา: โดเมนของคำจำกัดความ ชุดของค่า ความซ้ำซ้อน ฟังก์ชันผกผัน, อนุพันธ์, อินทิกรัล, การขยายตัวเข้า ซีรีย์พาวเวอร์และการแทนโดยใช้จำนวนเชิงซ้อน

คำนิยาม

ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง เป็นลักษณะทั่วไปของผลิตภัณฑ์ของจำนวน n เท่ากับ:
ย (n) = n = a·a·a···a,
ถึงเซตของจำนวนจริง x:
ย (x) = ขวาน.
โดยที่ a เป็นจำนวนจริงคงที่ ซึ่งเรียกว่า พื้นฐานของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง.
ฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐาน a ก็เรียกอีกอย่างหนึ่งว่า เลขชี้กำลังของฐาน a.

ลักษณะทั่วไปดำเนินการดังนี้
สำหรับธรรมชาติ x = 1, 2, 3,... ฟังก์ชันเลขชี้กำลังคือผลคูณของตัวประกอบ x:
.
นอกจากนี้ยังมีคุณสมบัติ (1.5-8) () ซึ่งเป็นไปตามกฎการคูณตัวเลข สำหรับค่าศูนย์และค่าลบของจำนวนเต็ม ฟังก์ชันเลขชี้กำลังถูกกำหนดโดยใช้สูตร (1.9-10) สำหรับค่าเศษส่วน x = m/n จำนวนตรรกยะ จะถูกกำหนดโดยสูตร (1.11) สำหรับค่าจริง ฟังก์ชันเลขชี้กำลังถูกกำหนดให้เป็นขีดจำกัดของลำดับ:
,
โดยที่ลำดับของจำนวนตรรกยะมาบรรจบกันเป็น x:
ด้วยคำจำกัดความนี้ ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลถูกกำหนดไว้สำหรับ all และเป็นไปตามคุณสมบัติ (1.5-8) เช่นเดียวกับค่า x ตามธรรมชาติ

สูตรทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวดของคำจำกัดความของฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลและการพิสูจน์คุณสมบัติของฟังก์ชันมีให้ในหน้า “คำจำกัดความและการพิสูจน์คุณสมบัติของฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียล”

คุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง y = a x มีคุณสมบัติต่อไปนี้บนเซตของจำนวนจริง ():
(1.1) กำหนดและต่อเนื่อง สำหรับ , สำหรับทั้งหมด ;
(1.2) สำหรับ ≠ 1 มีหลายความหมาย
(1.3) เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดที่ , ลดลงอย่างเคร่งครัดที่ ,
คงที่ที่ ;
(1.4) ที่ ;
ที่ ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

สูตรที่มีประโยชน์อื่นๆ
.
สูตรการแปลงเป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐานเลขชี้กำลังต่างกัน:

เมื่อ b = e เราได้นิพจน์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังผ่านเลขชี้กำลัง:

ค่านิยมส่วนตัว

, , , , .

รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ย (x) = ขวาน
สำหรับสี่ค่า ฐานระดับ:ก= 2 , ก = 8 , ก = 1/2 และ ก = 1/8 . จะเห็นได้ว่าสำหรับ > 1 ฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลจะเพิ่มขึ้นแบบซ้ำซากจำเจ ยิ่งฐานของระดับ a มีขนาดใหญ่เท่าใด การเติบโตก็จะยิ่งแข็งแกร่งขึ้นเท่านั้น ที่ 0 < a < 1 ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลจะลดลงแบบซ้ำซากจำเจ ยิ่งเลขชี้กำลัง a น้อย ค่าการลดลงก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น

จากน้อยไปมากจากมากไปน้อย

ฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลสำหรับเป็นแบบโมโนโทนิกอย่างเคร่งครัด ดังนั้นจึงไม่มีเอ็กซ์ตรีม คุณสมบัติหลักแสดงไว้ในตาราง

ฟังก์ชันผกผัน

ค่าผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐาน a คือลอการิทึมของฐาน a

ถ้าอย่างนั้น
.
ถ้าอย่างนั้น
.

การหาความแตกต่างของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

หากต้องการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียล ฐานจะต้องลดลงเหลือจำนวน e ใช้ตารางอนุพันธ์และกฎการหาอนุพันธ์ ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน.

ในการทำเช่นนี้ คุณต้องใช้คุณสมบัติของลอการิทึม
และสูตรจากตารางอนุพันธ์คือ
.

ให้ฟังก์ชันเลขชี้กำลังได้รับ:
.
เรานำมันไปที่ฐาน e:

ลองใช้กฎการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนกันดีกว่า เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แนะนำตัวแปร

แล้ว

จากตารางอนุพันธ์ที่เรามี (แทนที่ตัวแปร x ด้วย z):
.
เนื่องจากเป็นค่าคงที่ อนุพันธ์ของ z เทียบกับ x จะเท่ากับ
.
ตามกฎการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:
.

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

.
อนุพันธ์ของลำดับที่ n:
.
การหาสูตร > > >

ตัวอย่างการสร้างความแตกต่างของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ย = 3 5 x

สารละลาย

ลองแสดงฐานของฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลผ่านตัวเลข e กัน
3 = อี อิน 3
แล้ว
.
ป้อนตัวแปร
.
แล้ว

จากตารางอนุพันธ์เราพบว่า:
.
เพราะว่า 5อิน3เป็นค่าคงที่ ดังนั้นอนุพันธ์ของ z เทียบกับ x จะเท่ากับ:
.
ตามกฎการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน เราจะได้:
.

คำตอบ

บูรณาการ

นิพจน์ที่ใช้จำนวนเชิงซ้อน

พิจารณาฟังก์ชันจำนวนเชิงซ้อน z:
ฉ (z) = ก
โดยที่ z = x + iy; ฉัน 2 = - 1 .
ให้เราแสดงค่าคงที่เชิงซ้อน a ในรูปของโมดูลัส r และอาร์กิวเมนต์ φ:
a = r e ฉัน φ
แล้ว


.
อาร์กิวเมนต์ φ ไม่ได้ถูกกำหนดไว้โดยเฉพาะ ใน ปริทัศน์
φ = φ 0 + 2 πn,
โดยที่ n คือจำนวนเต็ม ดังนั้นฟังก์ชัน f (ซ)ยังไม่ชัดเจน ความสำคัญหลักมักได้รับการพิจารณา
.

การขยายซีรีส์

.

อ้างอิง:
ใน. บรอนสไตน์, เค.เอ. Semendyaev คู่มือคณิตศาสตร์สำหรับวิศวกรและนักศึกษา "Lan", 2552

ไฮเปอร์มาร์เก็ตแห่งความรู้ >>คณิตศาสตร์ >>คณิตศาสตร์ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 >>

ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง คุณสมบัติ และกราฟ

ลองพิจารณานิพจน์ 2x และค้นหาค่าของมันสำหรับค่าตรรกยะต่างๆ ของตัวแปร x เช่นสำหรับ x = 2;

โดยทั่วไป ไม่ว่าเราจะกำหนดความหมายเชิงตรรกยะให้กับตัวแปร x ก็ตาม เราก็สามารถคำนวณค่าตัวเลขที่สอดคล้องกันของนิพจน์ 2 x ได้เสมอ ดังนั้นเราจึงสามารถพูดคุยเกี่ยวกับเลขชี้กำลังได้ ฟังก์ชั่น y=2 x กำหนดบนเซต Q ของจำนวนตรรกยะ:

มาดูคุณสมบัติบางอย่างของฟังก์ชันนี้กัน

คุณสมบัติ 1.- ฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้น เราดำเนินการพิสูจน์ในสองขั้นตอน
ขั้นแรก.ลองพิสูจน์ว่าถ้า r เป็นบวก จำนวนตรรกยะจากนั้น 2 r >1
เป็นไปได้สองกรณี: 1) r - จำนวนธรรมชาติ, r = n; 2) ลดหย่อนสามัญไม่ได้ เศษส่วน,

ทางด้านซ้ายของอสมการสุดท้ายที่เรามี และทางด้านขวา 1 ซึ่งหมายความว่าสามารถเขียนอสมการสุดท้ายได้ในรูปแบบใหม่

ดังนั้น ไม่ว่าในกรณีใด อสมการ 2 r > 1 ยังคงอยู่ ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

ระยะที่สองให้ x 1 และ x 2 เป็นตัวเลข และ x 1 และ x 2< х2. Составим разность 2 х2 -2 х1 и выполним некоторые ее преобразования:

(เราแทนความแตกต่าง x 2 - x 1 ด้วยตัวอักษร r)

เนื่องจาก r เป็นจำนวนตรรกยะบวก ดังนั้นสิ่งที่พิสูจน์แล้วในระยะแรก 2 r > 1 นั่นคือ 2 อาร์ -1 >0 จำนวน 2x" ก็เป็นค่าบวกเช่นกัน ซึ่งหมายความว่าผลคูณ 2 x-1 (2 Г -1) ก็เป็นค่าบวกเช่นกัน ดังนั้นเราจึงได้พิสูจน์แล้วว่า ความไม่เท่าเทียมกัน 2 Xg -2x">0

ดังนั้น จากอสมการ x 1< х 2 следует, что 2х" <2 x2 , а это и означает, что функция у -2х - возрастающая.

คุณสมบัติ 2.จำกัดจากด้านล่างและไม่จำกัดจากด้านบน
ขอบเขตของฟังก์ชันจากด้านล่างตามมาจากความไม่เท่าเทียมกัน 2 x >0 ซึ่งใช้ได้กับค่าใดๆ ของ x จากโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน ในเวลาเดียวกัน ไม่ว่าคุณจะหาจำนวนบวก M ใดก็ตาม คุณสามารถเลือกเลขยกกำลัง x เพื่อให้สมการของอสมการ 2 x >M ได้เสมอ ซึ่งแสดงถึงความไม่มีขอบเขตของฟังก์ชันจากด้านบน ให้เรายกตัวอย่างจำนวนหนึ่ง

คุณสมบัติ 3.ไม่มีค่าที่เล็กที่สุดหรือใหญ่ที่สุด

สิ่งที่ฟังก์ชั่นนี้ไม่มี มูลค่าสูงสุดเห็นได้ชัดว่าเนื่องจากที่เราเพิ่งเห็นไม่มีขอบเขตด้านบน แต่จำกัดจากด้านล่างทำไมไม่มีค่าขั้นต่ำ?

สมมติว่า 2 r เป็นค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน (r คือค่าบางส่วน ตัวบ่งชี้ที่มีเหตุผล). ลองหาจำนวนตรรกยะ q กัน<г. Тогда в силу возрастания функции у=2 х будем иметь 2 x <2г. А это значит, что 2 r не может служить наименьшим значением функции.

คุณว่าทั้งหมดนี้เป็นสิ่งที่ดี แต่ทำไมเราถึงพิจารณาฟังก์ชัน y-2 x เฉพาะกับเซตของจำนวนตรรกยะ ทำไมเราไม่คิดว่ามันเหมือนกับฟังก์ชันอื่นๆ ที่รู้จักบนเส้นจำนวนทั้งหมด หรือในช่วงเวลาต่อเนื่องกันของ เส้นจำนวน? อะไรหยุดเรา? ลองคิดถึงสถานการณ์กัน

เส้นจำนวนไม่เพียงแต่ประกอบด้วยจำนวนตรรกยะเท่านั้น แต่ยังมีจำนวนอตรรกยะด้วย สำหรับฟังก์ชั่นที่ศึกษาก่อนหน้านี้สิ่งนี้ไม่ได้รบกวนเรา ตัวอย่างเช่น เราพบค่าของฟังก์ชัน y = x2 เท่าๆ กันอย่างง่ายดายสำหรับทั้งค่าตรรกยะและอตรรกยะของ x: ก็เพียงพอแล้วที่จะยกกำลังสองค่าที่กำหนดของ x

แต่ด้วยฟังก์ชัน y=2 x สถานการณ์จะซับซ้อนมากขึ้น หากอาร์กิวเมนต์ x ได้รับความหมายที่สมเหตุสมผลตามหลักการแล้ว x ก็สามารถคำนวณได้ (กลับไปที่จุดเริ่มต้นของย่อหน้าอีกครั้งซึ่งเราทำสิ่งนี้ทุกประการ) จะเกิดอะไรขึ้นถ้าอาร์กิวเมนต์ x ได้รับความหมายที่ไม่ลงตัว? เช่น จะคำนวณอย่างไร? เรายังไม่รู้เรื่องนี้
นักคณิตศาสตร์ได้ค้นพบทางออกแล้ว นั่นคือวิธีที่พวกเขาให้เหตุผล

เป็นที่ทราบกันว่า พิจารณาลำดับของจำนวนตรรกยะ - การประมาณทศนิยมของตัวเลขโดยข้อเสีย:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508;... .

เป็นที่ชัดเจนว่า 1.732 = 1.7320 และ 1.732050 = 1.73205 เพื่อหลีกเลี่ยงการซ้ำซ้อน เราจะละทิ้งสมาชิกของลำดับที่ลงท้ายด้วยเลข 0

จากนั้นเราจะได้ลำดับที่เพิ่มขึ้น:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508;... .

ดังนั้นลำดับจึงเพิ่มขึ้น

เงื่อนไขทั้งหมดของลำดับนี้เป็นจำนวนบวกที่น้อยกว่า 22 กล่าวคือ ลำดับนี้มีจำกัด ตามทฤษฎีบทของไวเออร์ชตราส (ดูมาตรา 30) ถ้าลำดับเพิ่มขึ้นและมีขอบเขต ลำดับนั้นก็จะมาบรรจบกัน นอกจากนี้ จากมาตรา 30 เรารู้ว่าถ้าลำดับมาบรรจบกัน มันจะมาบรรจบกันเพียงขีดจำกัดเดียวเท่านั้น มีการตกลงกันว่าขีดจำกัดเดียวนี้ควรถือเป็นค่าของนิพจน์ตัวเลข และไม่สำคัญว่าจะหาค่าโดยประมาณของนิพจน์ตัวเลข 2 ได้ยากมาก สิ่งสำคัญคือนี่คือจำนวนเฉพาะ (ท้ายที่สุดเราไม่กลัวที่จะบอกว่ามันเป็นรากของสมการตรรกยะ รากของสมการตรีโกณมิติ โดยไม่ได้พิจารณาว่าตัวเลขเหล่านี้คืออะไร:
ดังนั้นเราจึงได้ค้นพบความหมายของนักคณิตศาสตร์ที่ใส่ไว้ในสัญลักษณ์ 2^ ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถระบุได้ว่า a คืออะไร และโดยทั่วไปแล้ว a คืออะไร โดยที่ a เป็นจำนวนอตรรกยะ และ a > 1
แต่ถ้าเป็น 0 ล่ะ<а <1? Как вычислить, например, ? Самым естественным способом: считать, что свести вычисления к случаю, когда основание степени больше 1.
ตอนนี้เราไม่เพียงแต่สามารถพูดคุยเรื่องกำลังที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกศาสตร์ตามอำเภอใจเท่านั้น แต่ยังรวมถึงเรื่องกำลังที่มีเลขชี้กำลังจริงตามอำเภอใจด้วย ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าองศาที่มีเลขชี้กำลังจริงมีคุณสมบัติปกติขององศาทั้งหมด: เมื่อคูณยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน เลขยกกำลังจะถูกบวก เมื่อหาร พวกมันจะถูกลบออก เมื่อเพิ่มดีกรีเป็นกำลัง พวกมันจะถูกคูณ ฯลฯ แต่สิ่งที่สำคัญที่สุดคือตอนนี้เราสามารถพูดถึงฟังก์ชัน y-ax ที่กำหนดบนเซตของจำนวนจริงทั้งหมดได้แล้ว
ลองกลับไปที่ฟังก์ชัน y = 2 x และสร้างกราฟของมัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เรามาสร้างตารางค่าฟังก์ชัน y=2x กัน:

มาทำเครื่องหมายจุดบนระนาบพิกัด (รูปที่ 194) โดยทำเครื่องหมายเส้นบางเส้นมาวาดกัน (รูปที่ 195)

คุณสมบัติของฟังก์ชัน y - 2 x:
1)
2) ไม่เป็นคู่หรือคี่; 248
3) เพิ่มขึ้น;

5) ไม่มีค่าที่ใหญ่ที่สุดหรือเล็กที่สุด
6) ต่อเนื่อง;
7)
8) นูนลง

การพิสูจน์อย่างเข้มงวดของคุณสมบัติที่ระบุไว้ของฟังก์ชัน y-2 x จะได้รับในวิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูง เราได้กล่าวถึงคุณสมบัติเหล่านี้บางส่วนในระดับหนึ่งหรืออย่างอื่นก่อนหน้านี้ บางส่วนแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนโดยกราฟที่สร้างขึ้น (ดูรูปที่ 195) ตัวอย่างเช่น การขาดความเท่าเทียมกันหรือความคี่ของฟังก์ชันมีความสัมพันธ์ทางเรขาคณิตกับการขาดความสมมาตรของกราฟ ตามลำดับ สัมพันธ์กับแกน y หรือสัมพันธ์กับจุดกำเนิด

ฟังก์ชันใดๆ ที่อยู่ในรูปแบบ y = a x โดยที่ a > 1 มีคุณสมบัติคล้ายกัน ในรูป 196 ในระบบพิกัดเดียวถูกสร้างขึ้น กราฟของฟังก์ชัน y=2 x, y=3 x, y=5 x

ตอนนี้เรามาพิจารณาฟังก์ชันและสร้างตารางค่าของมัน:

มาทำเครื่องหมายจุดบนระนาบพิกัด (รูปที่ 197) โดยทำเครื่องหมายเส้นบางเส้นมาวาดกัน (รูปที่ 198)

คุณสมบัติฟังก์ชัน

1)
2) ไม่เป็นคู่หรือคี่;
3) ลดลง;
4) ไม่จำกัดจากด้านบน จำกัดจากด้านล่าง
5) ไม่มีค่าที่ใหญ่ที่สุดหรือน้อยที่สุด
6) ต่อเนื่อง;
7)
8) นูนลง
ฟังก์ชันใดๆ ที่อยู่ในรูป y = a x มีคุณสมบัติคล้ายกัน โดยที่ O<а <1. На рис. 200 в одной системе координат построены графики функций
โปรดทราบ: กราฟฟังก์ชัน เหล่านั้น. y=2 x สมมาตรเกี่ยวกับแกน y (รูปที่ 201) นี่เป็นผลมาจากข้อความทั่วไป (ดูมาตรา 13): กราฟของฟังก์ชัน y = f(x) และ y = f(-x) มีความสมมาตรเกี่ยวกับแกน y ในทำนองเดียวกัน กราฟของฟังก์ชัน y = 3 x และ

เพื่อสรุปสิ่งที่กล่าวไว้ เราจะให้คำจำกัดความของฟังก์ชันเลขชี้กำลังและเน้นคุณสมบัติที่สำคัญที่สุดของฟังก์ชันนี้

คำนิยาม.ฟังก์ชันของแบบฟอร์มเรียกว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
คุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง y = a x

กราฟของฟังก์ชัน y=a x สำหรับ a> 1 แสดงในรูปที่ 1 201 และสำหรับ 0<а < 1 - на рис. 202.

เส้นโค้งที่แสดงในรูปที่. 201 หรือ 202 เรียกว่าเลขยกกำลัง ที่จริงแล้ว นักคณิตศาสตร์มักจะเรียกฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลว่า y = a x ดังนั้นคำว่า "เลขชี้กำลัง" จึงถูกใช้ในสองความหมาย คือ ทั้งเพื่อตั้งชื่อฟังก์ชันเลขชี้กำลัง และเพื่อตั้งชื่อกราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง โดยปกติแล้วความหมายจะชัดเจนว่าเรากำลังพูดถึงฟังก์ชันเลขชี้กำลังหรือกราฟของมัน

ให้ความสนใจกับคุณลักษณะทางเรขาคณิตของกราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง y=ax: แกน x คือเส้นกำกับแนวนอนของกราฟ จริงอยู่คำสั่งนี้มักจะชี้แจงดังนี้
แกน x คือเส้นกำกับแนวนอนของกราฟของฟังก์ชัน

กล่าวอีกนัยหนึ่ง

หมายเหตุสำคัญประการแรก เด็กนักเรียนมักสับสนคำศัพท์: ฟังก์ชันกำลัง, ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง เปรียบเทียบ:

นี่คือตัวอย่างของฟังก์ชันกำลัง

นี่คือตัวอย่างของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

โดยทั่วไป y = x r โดยที่ r เป็นตัวเลขเฉพาะ เป็นฟังก์ชันยกกำลัง (อาร์กิวเมนต์ x อยู่ในฐานของดีกรี)
y = a" โดยที่ a เป็นจำนวนเฉพาะ (บวกและแตกต่างจาก 1) เป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลัง (อาร์กิวเมนต์ x อยู่ในเลขชี้กำลัง)

ฟังก์ชัน "แปลกใหม่" เช่น y = x" ไม่ถือว่าเป็นเลขยกกำลังหรือกำลัง (บางครั้งเรียกว่าเลขชี้กำลัง)

หมายเหตุสำคัญประการที่สอง โดยปกติแล้วจะไม่พิจารณาฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลที่มีฐาน a = 1 หรือฐาน a ที่เป็นไปตามอสมการ a<0 (вы, конечно, помните, что выше, в определении показательной функции, оговорены условия: а >0 และ a ความจริงก็คือถ้า a = 1 ดังนั้นสำหรับค่าใด ๆ ของ x ความเท่าเทียมกัน Ix = 1 ยังคงอยู่ ดังนั้นฟังก์ชันเลขชี้กำลัง y = a" ที่มี a = 1 "เสื่อมลง" เป็นฟังก์ชันคงที่ y = 1 - นี่ ไม่น่าสนใจ ถ้า a = 0 ดังนั้น 0x = 0 สำหรับค่าบวกใดๆ ของ x นั่นคือ เราได้ฟังก์ชัน y = 0 ซึ่งกำหนดไว้สำหรับ x > 0 - นี่ก็ไม่น่าสนใจเช่นกัน หากในที่สุด a<0, то выражение а" имеет смысл лишь при целых значениях х, а мы все-таки предпочитаем рассматривать функции, определенные на сплошных промежутках.

ก่อนจะไปแก้ตัวอย่างต่อ โปรดทราบว่าฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลแตกต่างอย่างมากจากฟังก์ชันทั้งหมดที่คุณศึกษามาจนถึงตอนนี้ หากต้องการศึกษาวัตถุใหม่อย่างละเอียด คุณต้องพิจารณาจากมุมที่ต่างกัน ในสถานการณ์ที่ต่างกัน จึงจะมีตัวอย่างมากมาย
ตัวอย่างที่ 1

สารละลาย, a) เมื่อสร้างกราฟของฟังก์ชัน y = 2 x และ y = 1 ในระบบพิกัดเดียวแล้ว เราจะสังเกตเห็น (รูปที่ 203) ว่ากราฟทั้งสองมีจุดร่วมหนึ่งจุด (0; 1) ซึ่งหมายความว่าสมการ 2x = 1 มีรากเดียว x =0

ดังนั้น จากสมการ 2x = 2° เราจะได้ x = 0

b) เมื่อสร้างกราฟของฟังก์ชัน y = 2 x และ y = 4 ในระบบพิกัดเดียว เราจะสังเกตเห็น (รูปที่ 203) ว่ากราฟทั้งสองมีจุดร่วมหนึ่งจุด (2; 4) ซึ่งหมายความว่าสมการ 2x = 4 มีรากเดียว x = 2

ดังนั้น จากสมการ 2 x = 2 2 เราจะได้ x = 2

c) และ d) จากการพิจารณาแบบเดียวกัน เราสรุปได้ว่าสมการ 2 x = 8 มีรากเดียว และในการค้นหา ไม่จำเป็นต้องสร้างกราฟของฟังก์ชันที่เกี่ยวข้อง

เห็นได้ชัดว่า x = 3 เนื่องจาก 2 3 = 8 ในทำนองเดียวกัน เราก็พบรากเพียงอันเดียวของสมการ

ดังนั้น จากสมการ 2x = 2 3 เราได้ x = 3 และจากสมการ 2 x = 2 x เราได้ x = -4
e) กราฟของฟังก์ชัน y = 2 x ตั้งอยู่เหนือกราฟของฟังก์ชัน y = 1 สำหรับ x > 0 - สามารถอ่านได้ชัดเจนในรูป 203 ซึ่งหมายความว่าผลเฉลยของอสมการ 2x > 1 คือค่าช่วง
f) กราฟของฟังก์ชัน y = 2 x อยู่ใต้กราฟของฟังก์ชัน y = 4 ที่ x<2 - это хорошо читается по рис. 203. Значит, решением неравенства 2х <4служит промежуток
คุณอาจสังเกตเห็นว่าพื้นฐานสำหรับข้อสรุปทั้งหมดที่เกิดขึ้นเมื่อแก้ไขตัวอย่างที่ 1 คือคุณสมบัติของความซ้ำซ้อน (เพิ่มขึ้น) ของฟังก์ชัน y = 2 x การใช้เหตุผลที่คล้ายกันช่วยให้เราสามารถตรวจสอบความถูกต้องของทฤษฎีบทสองข้อต่อไปนี้ได้

สารละลาย.คุณสามารถดำเนินการดังนี้: สร้างกราฟของฟังก์ชัน y-3 x จากนั้นยืดออกจากแกน x ด้วยปัจจัย 3 จากนั้นยกกราฟผลลัพธ์ขึ้น 2 หน่วยมาตราส่วน แต่จะสะดวกกว่าถ้าใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า 3- 3* = 3 * + 1 ดังนั้นให้สร้างกราฟของฟังก์ชัน y = 3 x * 1 + 2

มาดูกันว่าระบบพิกัดเสริมที่มีจุดกำเนิดอยู่ที่จุด (-1; 2) ดังที่เราเคยทำมาหลายครั้งในกรณีเช่นนี้ - เส้นประ x = - 1 และ 1x = 2 ในรูปที่ 1 207. มา “เชื่อมโยง” ฟังก์ชัน y=3* กับระบบพิกัดใหม่กันดีกว่า เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เลือกจุดควบคุมสำหรับฟังก์ชัน แต่เราจะสร้างมันขึ้นมาไม่ใช่แบบเก่า แต่ในระบบพิกัดใหม่ (จุดเหล่านี้ถูกทำเครื่องหมายไว้ในรูปที่ 207) จากนั้นเราจะสร้างเลขชี้กำลังจากจุด - นี่จะเป็นกราฟที่ต้องการ (ดูรูปที่ 207)
ในการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันที่กำหนดในส่วน [-2, 2] เราใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงที่ว่าฟังก์ชันที่กำหนดกำลังเพิ่มขึ้น ดังนั้นจึงใช้ค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดตามลำดับที่ ปลายด้านซ้ายและขวาของเซ็กเมนต์
ดังนั้น:

ตัวอย่างที่ 4แก้สมการและอสมการ:

สารละลาย, a) ขอให้เราสร้างกราฟของฟังก์ชัน y=5* และ y=6-x ในระบบพิกัดเดียว (รูปที่ 208) พวกมันตัดกันที่จุดหนึ่ง ตัดสินจากภาพวาดนี่คือจุด (1; 5) การตรวจสอบแสดงให้เห็นว่าในความเป็นจริงแล้วจุด (1; 5) เป็นไปตามทั้งสมการ y = 5* และสมการ y = 6-x แอบซิสซาของจุดนี้ทำหน้าที่เป็นรากเดียวของสมการที่กำหนด

ดังนั้น สมการ 5 x = 6 - x มีรากเดียว x = 1

b) และ c) เลขชี้กำลัง y-5x อยู่เหนือเส้นตรง y=6-x ถ้า x>1 จะมองเห็นได้ชัดเจนในรูปที่ 1 208 ซึ่งหมายความว่าสามารถเขียนคำตอบของอสมการ 5*>6 ได้ดังนี้: x>1 และคำตอบของอสมการ 5x<6 - х можно записать так: х < 1.
คำตอบ: ก)x = 1; ข)x>1; ค)x<1.

ตัวอย่างที่ 5กำหนดให้มีฟังก์ชัน พิสูจน์ว่า
สารละลาย.ตามเงื่อนไขที่เรามี

ความเข้มข้นของความสนใจ:

คำนิยาม. การทำงาน เรียกว่าชนิด ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง .

ความคิดเห็น การยกเว้นจากค่าฐาน กหมายเลข 0; 1 และค่าลบ กอธิบายได้จากสถานการณ์ต่อไปนี้:

การแสดงออกเชิงวิเคราะห์นั้นเอง เอ็กซ์ในกรณีเหล่านี้ก็ยังคงมีความหมายและสามารถนำมาใช้ในการแก้ปัญหาได้ ตัวอย่างเช่น สำหรับการแสดงออก xyจุด x = 1; ย = 1 อยู่ในช่วงค่าที่ยอมรับได้

สร้างกราฟของฟังก์ชัน: และ

กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ย =ก x, ก > 1	ย =ก x , 0< a < 1

คุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

คุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง	ย =ก x, ก > 1	ย =ก x , 0< a < 1
โดเมนฟังก์ชัน
2. ช่วงฟังก์ชัน
3. ช่วงเวลาของการเปรียบเทียบกับหน่วย	ที่ x> 0, ก x > 1	ที่ x > 0, 0< a x < 1
	ที่ x < 0, 0< a x < 1	ที่ x < 0, a x > 1
4. คู่, คี่.	ฟังก์ชันไม่เป็นคู่หรือคี่ (ฟังก์ชันที่มีรูปแบบทั่วไป)
5.ความซ้ำซากจำเจ	เพิ่มขึ้นอย่างน่าเบื่อหน่ายด้วย ร	ลดลงอย่างน่าเบื่อโดย ร
6. สุดขั้ว	ฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลไม่มีค่าเอ็กซ์ตรีม
7.เส้นกำกับ	แกน O xเป็นเส้นกำกับแนวนอน
8. สำหรับมูลค่าที่แท้จริงใดๆ xและ ย;

เมื่อตารางเต็ม งานจะได้รับการแก้ไขควบคู่ไปกับการเติม

ภารกิจที่ 1 (เพื่อค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน)

ค่าอาร์กิวเมนต์ใดที่ถูกต้องสำหรับฟังก์ชัน:

ภารกิจที่ 2 (เพื่อค้นหาช่วงของค่าของฟังก์ชัน)

รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน ระบุโดเมนของคำจำกัดความและช่วงของค่าของฟังก์ชัน:

ภารกิจที่ 3 (เพื่อระบุช่วงเวลาของการเปรียบเทียบกับหนึ่ง)

เปรียบเทียบแต่ละพลังต่อไปนี้กับหนึ่ง:

ภารกิจที่ 4 (เพื่อศึกษาฟังก์ชันของความซ้ำซากจำเจ)

เปรียบเทียบจำนวนจริงตามขนาด มและ nถ้า:

ภารกิจที่ 5 (เพื่อศึกษาฟังก์ชันของความซ้ำซากจำเจ)

ทำการสรุปเกี่ยวกับพื้นฐาน ก, ถ้า:

ย(x) = 10 x ; ฉ(x) = 6 x ; ซี(x) - 4 x

กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังสัมพันธ์กันสำหรับ x > 0, x = 0, x อย่างไร< 0?

กราฟฟังก์ชันต่อไปนี้ถูกลงจุดในระนาบพิกัดเดียว:

ย(x) = (0,1) x ; ฉ(x) = (0.5) x ; ส(x) = (0.8) x .

กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังสัมพันธ์กันสำหรับ x > 0, x = 0, x อย่างไร< 0?

ตัวเลข ค่าคงที่ที่สำคัญที่สุดอย่างหนึ่งในวิชาคณิตศาสตร์ โดยนิยามแล้วก็คือ เท่ากับขีดจำกัดของลำดับ ได้อย่างไม่จำกัด เพิ่มขึ้น . การกำหนด จเข้ามา ลีโอนาร์ด ออยเลอร์ ในปี 1736 เขาคำนวณ 23 หลักแรกของตัวเลขนี้ในรูปแบบทศนิยม และตัวเลขนั้นได้รับการตั้งชื่อเพื่อเป็นเกียรติแก่เนเปียร์ว่าเป็น "หมายเลขที่ไม่ใช่ปิแอร์" ตัวเลข จมีบทบาทพิเศษในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง มีฐาน จ, เรียกว่าเลขชี้กำลัง และถูกกำหนดไว้ y = อีเอ็กซ์. สัญญาณแรก ตัวเลข จจำง่าย: สอง, ลูกน้ำ, เจ็ด, ปีเกิดของ Leo Tolstoy - สองครั้ง, สี่สิบห้า, เก้าสิบ, สี่สิบห้า

การบ้าน:

โคลโมโกรอฟ ย่อหน้าที่ 35; ลำดับที่ 445-447; 451; 453.

ทำซ้ำอัลกอริทึมเพื่อสร้างกราฟของฟังก์ชันที่มีตัวแปรอยู่ใต้เครื่องหมายโมดูลัส

1. ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นฟังก์ชันที่อยู่ในรูปแบบ y(x) = a x ขึ้นอยู่กับเลขชี้กำลัง x โดยมีค่าคงที่ฐานของระดับ a โดยที่ a > 0, a ≠ 0, xϵR (R คือ เซตของจำนวนจริง)

ลองพิจารณาดู กราฟของฟังก์ชันหากฐานไม่ตรงตามเงื่อนไข: a>0
ก)ก< 0
ถ้าก< 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
ก = -2

ถ้า a = 0 แสดงว่าฟังก์ชัน y = ถูกกำหนดไว้และมีค่าคงที่เป็น 0

ค) ก =1
ถ้า a = 1 แสดงว่าฟังก์ชัน y = ถูกกำหนดไว้และมีค่าคงที่เป็น 1

2. มาดูฟังก์ชันเลขชี้กำลังให้ละเอียดยิ่งขึ้น:

0

โดเมนฟังก์ชัน (DOF)

ช่วงของค่าฟังก์ชันที่อนุญาต (APV)

3. ค่าศูนย์ของฟังก์ชัน (y = 0)

4. จุดตัดกับแกนพิกัด oy (x = 0)

5.เพิ่มลดฟังก์ชัน

ถ้า แล้วฟังก์ชัน f(x) จะเพิ่มขึ้น
ถ้า ฟังก์ชัน f(x) จะลดลง
ฟังก์ชัน y= ที่ 0 ฟังก์ชัน y = สำหรับ a> 1 จะเพิ่มขึ้นแบบซ้ำซากจำเจ
สิ่งนี้ตามมาจากคุณสมบัติของความน่าเบื่อของกำลังที่มีเลขชี้กำลังจริง

6. คู่ ฟังก์ชันคี่

ฟังก์ชัน y = ไม่สมมาตรเมื่อเทียบกับแกน 0y และเทียบกับที่มาของพิกัด ดังนั้นจึงไม่เป็นคู่หรือคี่ (ฟังก์ชั่นทั่วไป)

7. ฟังก์ชัน y = ไม่มีสุดขั้ว

8. คุณสมบัติของปริญญาที่มีเลขชี้กำลังจริง:

ให้ > 0; ก≠1
ข> 0; ข≠1

จากนั้นสำหรับ xϵR; คุณ:

คุณสมบัติของระดับความน่าเบื่อ:

ถ้าอย่างนั้น
ตัวอย่างเช่น:

ถ้า a> 0 แล้ว
ฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีความต่อเนื่อง ณ จุดใดๆ ϵ R

9. ตำแหน่งสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน

ยิ่งฐาน a ใหญ่เท่าใด ก็จะยิ่งอยู่ใกล้แกน x และ oy มากขึ้นเท่านั้น

ก > 1, ก = 20

ถ้า a0 ฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะมีรูปแบบใกล้เคียงกับ y = 0
ถ้า a1 ดังนั้นให้ห่างจากแกน ox และ oy และกราฟจะอยู่ในรูปแบบที่ใกล้เคียงกับฟังก์ชัน y = 1

ตัวอย่างที่ 1
สร้างกราฟของ y =