กำลังลบของจำนวน: กฎการสร้างและตัวอย่าง ปริญญาและคุณสมบัติของมัน คู่มือฉบับสมบูรณ์ (2019)
ก่อสร้างใน ระดับลบ- หนึ่งในองค์ประกอบพื้นฐานของคณิตศาสตร์ซึ่งมักพบเมื่อแก้ปัญหาพีชคณิต ด้านล่างนี้เป็นคำแนะนำโดยละเอียด
วิธียกพลังลบ-ทฤษฎี
เมื่อเรายกจำนวนขึ้นเป็นกำลังธรรมดา เราจะคูณค่าของมันหลายครั้ง เช่น 3 3 = 3×3×3 = 27. C เศษส่วนติดลบมันกลับกัน รูปแบบทั่วไปของสูตรจะเป็นดังนี้: a -n = 1/a n ดังนั้น หากต้องการเพิ่มจำนวนเป็นค่าลบ คุณต้องหารหนึ่งด้วยจำนวนที่กำหนด แต่จะหารด้วยค่าบวก
วิธียกกำลังเป็นลบ - ตัวอย่างเลขธรรมดา
โปรดคำนึงถึงกฎข้างต้น เรามาแก้ตัวอย่างกัน
4 -2 = 1/4 2 = 1/16
คำตอบ: 4 -2 = 1/16
4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
ตอบ -4 -2 = 1/16
แต่ทำไมคำตอบในตัวอย่างแรกและตัวอย่างที่สองถึงเหมือนกัน? ความจริงก็คือเมื่อจำนวนลบยกกำลังเป็นคู่ (2, 4, 6 ฯลฯ) เครื่องหมายจะกลายเป็นบวก ถ้าดีกรีเป็นเลขคู่ ค่าลบจะคงอยู่:
4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)
วิธียกกำลังเป็นลบ - ตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 1
โปรดจำไว้ว่าเมื่อตัวเลขระหว่าง 0 ถึง 1 เพิ่มขึ้นเป็นกำลังบวก ค่าจะลดลงเมื่อกำลังเพิ่มขึ้น ตัวอย่างเช่น 0.5 2 = 0.25 0.25
ตัวอย่างที่ 3: คำนวณ 0.5 -2
วิธีแก้: 0.5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4
คำตอบ: 0.5 -2 = 4
การวิเคราะห์ (ลำดับของการกระทำ):
- แปลงเศษส่วนทศนิยม 0.5 เป็นเศษส่วน 1/2 แบบนั้นง่ายกว่า
เพิ่ม 1/2 ให้เป็นพลังลบ 1/(2) -2 . หาร 1 ด้วย 1/(2) 2 เราจะได้ 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4
ตัวอย่างที่ 4: คำนวณ 0.5 -3
วิธีแก้: 0.5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8
ตัวอย่างที่ 5: คำนวณ -0.5 -3
วิธีแก้: -0.5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
คำตอบ: -0.5 -3 = -8
จากตัวอย่างที่ 4 และ 5 เราสามารถสรุปได้หลายประการ:
- สำหรับจำนวนบวกในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 1 (ตัวอย่าง 4) เมื่อยกกำลังเป็นลบ ไม่ว่ากำลังเป็นคู่หรือคี่ไม่สำคัญก็ตาม ค่าของนิพจน์จะเป็นค่าบวก ยิ่งกว่านั้นยิ่งระดับมากเท่าไรก็ยิ่งมีมูลค่ามากขึ้นเท่านั้น
- สำหรับจำนวนลบในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 1 (ตัวอย่าง 5) เมื่อยกกำลังเป็นลบ ไม่ว่ากำลังเป็นคู่หรือคี่ไม่สำคัญก็ตาม ค่าของนิพจน์จะเป็นลบ ในกรณีนี้ ยิ่งระดับสูง ค่าก็จะยิ่งต่ำลง
วิธียกกำลังเป็นลบ - ยกกำลังในรูปของเลขเศษส่วน
นิพจน์ประเภทนี้มีรูปแบบดังนี้: a -m/n โดยที่ a คือตัวเลขปกติ m คือตัวเศษของดีกรี และ n คือตัวส่วนของดีกรี
ลองดูตัวอย่าง:
คำนวณ: 8 -1/3
วิธีแก้ปัญหา (ลำดับของการกระทำ):
- เรามาจำกฎการเพิ่มจำนวนให้เป็นลบกัน เราได้: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3
- โปรดสังเกตว่าตัวส่วนมีเลข 8 อยู่ในกำลังเศษส่วน รูปแบบทั่วไปในการคำนวณกำลังเศษส่วนมีดังนี้: a m/n = n √8 m
- ดังนั้น 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1) เราได้รับ รากที่สามจากแปดซึ่งเท่ากับ 2 จากตรงนี้ 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2
- คำตอบ: 8 -1/3 = 2
จากโรงเรียนเราทุกคนรู้กฎเกี่ยวกับการยกกำลัง: จำนวนใดๆ ที่มีเลขชี้กำลัง N จะเท่ากับผลลัพธ์ของการคูณ หมายเลขที่กำหนดด้วยตัวคุณเอง N จำนวนครั้ง กล่าวอีกนัยหนึ่ง 7 ยกกำลัง 3 คือ 7 คูณด้วยตัวมันเอง 3 ครั้ง นั่นคือ 343 กฎอีกข้อหนึ่งก็คือ การเพิ่มปริมาณใดๆ ให้เป็นกำลัง 0 จะให้ 1 และการเพิ่มปริมาณที่เป็นลบเป็นผลมาจากการบวกแบบธรรมดาเป็น กำลังถ้าเป็นเลขคู่ และผลลัพธ์เดียวกันจะมีเครื่องหมายลบถ้าเป็นเลขคี่
กฎนี้ยังให้คำตอบเกี่ยวกับวิธีการเพิ่มจำนวนให้เป็นค่าลบอีกด้วย ในการทำเช่นนี้คุณต้องสร้าง ตามปกติค่าที่ต้องการต่อโมดูลของตัวบ่งชี้ จากนั้นหารหน่วยด้วยผลลัพธ์
จากกฎเหล่านี้ เป็นที่ชัดเจนว่าการปฏิบัติงานจริงที่เกี่ยวข้องกับปริมาณมากจะต้องมีการมีอยู่ วิธีการทางเทคนิค. ด้วยตนเอง คุณสามารถคูณช่วงตัวเลขสูงสุดด้วยตัวเองได้สูงสุดถึง 20 ถึง 30 ครั้ง จากนั้นจึงไม่เกิน 3 หรือ 4 ครั้ง นี่ไม่ต้องพูดถึงแล้วหารหนึ่งด้วยผลลัพธ์ ดังนั้นสำหรับผู้ที่ไม่มีความพิเศษอยู่ในมือ เครื่องคิดเลขทางวิศวกรรมเราจะแสดงวิธีเพิ่มตัวเลขให้เป็นค่าลบใน Excel
การแก้ปัญหาใน Excel
ในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการยกกำลัง Excel อนุญาตให้คุณใช้หนึ่งในสองตัวเลือก
อย่างแรกคือการใช้สูตรที่มีเครื่องหมาย "ฝา" มาตรฐาน ป้อนข้อมูลต่อไปนี้ลงในเซลล์แผ่นงาน:
ในทำนองเดียวกันคุณสามารถเพิ่มค่าที่ต้องการเป็นกำลังใดก็ได้ - ลบ, เศษส่วน มาทำกัน การกระทำต่อไปนี้และตอบคำถามวิธีเพิ่มจำนวนให้เป็นลบ ตัวอย่าง:
คุณสามารถแก้ไข =B2^-C2 ได้โดยตรงในสูตร
ตัวเลือกที่สองคือการใช้ฟังก์ชัน "ปริญญา" สำเร็จรูปซึ่งรับอาร์กิวเมนต์ที่จำเป็นสองตัว - ตัวเลขและเลขชี้กำลัง หากต้องการเริ่มใช้งาน เพียงใส่เครื่องหมายเท่ากับ (=) ลงในเซลล์ว่างใดๆ ที่ระบุจุดเริ่มต้นของสูตร และป้อนคำข้างต้น สิ่งที่เหลืออยู่คือเลือกสองเซลล์ที่จะเข้าร่วมในการดำเนินการ (หรือระบุหมายเลขเฉพาะด้วยตนเอง) แล้วกดปุ่ม Enter ลองดูบางส่วน ตัวอย่างง่ายๆ.
สูตร | ผลลัพธ์ |
||||
องศา(B2;C2) | |||||
องศา(B3;C3) |
|
อย่างที่คุณเห็น ไม่มีอะไรซับซ้อนเกี่ยวกับวิธีการเพิ่มตัวเลขเป็นค่าลบและค่ายกกำลังปกติโดยใช้ Excel ท้ายที่สุด เพื่อแก้ไขปัญหานี้ คุณสามารถใช้ทั้งสัญลักษณ์ "ฝาปิด" ที่คุ้นเคยและฟังก์ชันในตัวของโปรแกรมซึ่งง่ายต่อการจดจำ นี่เป็นข้อดีอย่างแน่นอน!
เรามาดูกันดีกว่า ตัวอย่างที่ซับซ้อน. จำกฎเกี่ยวกับวิธีเพิ่มจำนวนเป็นเศษส่วนลบแล้วเราจะเห็นว่าปัญหานี้แก้ไขได้ง่ายมากใน Excel
ตัวชี้วัดเศษส่วน
กล่าวโดยสรุป อัลกอริธึมสำหรับการคำนวณตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนมีดังนี้
- แปลงเศษส่วนให้เป็นเศษส่วนที่ถูกต้องหรือ เศษส่วนเกิน.
- เพิ่มจำนวนของเราให้เป็นเศษของเศษส่วนที่แปลงแล้ว
- จากจำนวนที่ได้รับในย่อหน้าก่อนหน้า ให้คำนวณรากโดยมีเงื่อนไขว่าเลขชี้กำลังของรากจะเป็นตัวส่วนของเศษส่วนที่ได้รับในระยะแรก
ยอมรับว่าแม้จะดำเนินการด้วยจำนวนน้อยและเศษส่วนที่เหมาะสม การคำนวณดังกล่าวอาจใช้เวลานาน เป็นเรื่องดีที่ตัวประมวลผลสเปรดชีต Excel ไม่สนใจว่าตัวเลขจะเพิ่มขึ้นเป็นเท่าใด ลองไปแก้ที่งานดูครับ แผ่นงาน Excelตัวอย่างต่อไปนี้:
เมื่อใช้กฎข้างต้น คุณสามารถตรวจสอบและตรวจสอบให้แน่ใจว่าการคำนวณทำอย่างถูกต้อง
ในตอนท้ายของบทความเราจะนำเสนอในรูปแบบของตารางพร้อมสูตรและผลลัพธ์หลายตัวอย่างวิธีการเพิ่มตัวเลขให้เป็นค่าลบรวมถึงตัวอย่างการดำเนินงานหลายตัวอย่าง ตัวเลขเศษส่วนและองศา
ตารางตัวอย่าง
ดูตัวอย่างต่อไปนี้ในแผ่นงาน Excel ของคุณ เพื่อให้ทุกอย่างทำงานได้อย่างถูกต้อง คุณต้องใช้การอ้างอิงแบบผสมเมื่อคัดลอกสูตร แก้ไขหมายเลขของคอลัมน์ที่มีหมายเลขที่กำลังยกขึ้นและหมายเลขของแถวที่มีตัวบ่งชี้ สูตรของคุณควรมีลักษณะดังนี้: “=$B4^C$3”
หมายเลข/ปริญญา | |||||
โปรดทราบว่าจำนวนบวก (แม้จะไม่ใช่จำนวนเต็ม) สามารถคำนวณได้โดยไม่มีปัญหาสำหรับเลขชี้กำลังใดๆ ไม่มีปัญหาในการบวกเลขใดๆ ให้เป็นจำนวนเต็ม แต่กลับกลายเป็นจำนวนติดลบ พลังเศษส่วนจะกลายเป็นข้อผิดพลาดสำหรับคุณเนื่องจากเป็นไปไม่ได้ที่จะปฏิบัติตามกฎที่ระบุไว้ในตอนต้นของบทความของเราเกี่ยวกับการสร้างจำนวนลบเนื่องจากความเท่าเทียมกันเป็นคุณลักษณะเฉพาะของจำนวนเต็ม
ตัวเลขยกกำลังพวกเขาเรียกตัวเลขที่คูณด้วยตัวมันเองหลายครั้ง
กำลังของตัวเลขที่มีค่าเป็นลบ (หนึ่ง) สามารถกำหนดได้ในลักษณะเดียวกับวิธีหากำลังของจำนวนเดียวกัน ตัวบ่งชี้ที่เป็นบวก (หนึ่ง) . อย่างไรก็ตาม ยังต้องมีคำจำกัดความเพิ่มเติมด้วย สูตรถูกกำหนดเป็น:
หนึ่ง = (1/น)
คุณสมบัติของกำลังลบของตัวเลขนั้นคล้ายคลึงกับยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นบวก สมการที่นำเสนอ ก ม/ก น= ม-น อาจจะยุติธรรมก็ได้
« ไม่มีที่ไหนในคณิตศาสตร์ที่ความชัดเจนและความถูกต้องของข้อสรุปทำให้บุคคลสามารถดิ้นออกจากคำตอบโดยการพูดถึงคำถาม».
อ.ดี. อเล็กซานดรอฟ
ที่ n มากกว่า ม และด้วย ม มากกว่า n . ลองดูตัวอย่าง: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .
ขั้นแรกคุณต้องกำหนดหมายเลขที่ทำหน้าที่เป็นคำจำกัดความของปริญญา ข=ก(-n) . ในตัวอย่างนี้ -n เป็นเลขชี้กำลัง ข - ค่าตัวเลขที่ต้องการ ก - ฐานของดีกรีในรูปของค่าตัวเลขธรรมชาติ จากนั้นจึงกำหนดโมดูล ซึ่งก็คือค่าสัมบูรณ์ของจำนวนลบซึ่งทำหน้าที่เป็นเลขชี้กำลัง คำนวณระดับของตัวเลขที่กำหนดเทียบกับจำนวนสัมบูรณ์เพื่อเป็นตัวบ่งชี้ ค่าของดีกรีหาได้โดยการหารหนึ่งด้วยตัวเลขผลลัพธ์
ข้าว. 1
พิจารณากำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนเป็นลบ สมมุติว่าเลข a เป็นจำนวนบวกใดๆ ก็ตาม n และ ม - จำนวนเต็ม ตามคำนิยาม ก ซึ่งถูกยกขึ้นสู่อำนาจ - เท่ากับ 1 หารด้วยจำนวนเดียวกันที่มีกำลังบวก (รูปที่ 1) เมื่อเลขยกกำลังเป็นเศษส่วน ในกรณีนี้จะใช้เฉพาะตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังบวกเท่านั้น
น่าจดจำศูนย์นั้นไม่สามารถเป็นเลขชี้กำลังของตัวเลขได้ (กฎการหารด้วยศูนย์)
การแพร่กระจายของแนวคิดดังกล่าวเป็นตัวเลขกลายเป็นกิจวัตรเช่นการคำนวณการวัดรวมถึงการพัฒนาคณิตศาสตร์ในฐานะวิทยาศาสตร์ การแนะนำค่าลบนั้นเกิดจากการพัฒนาพีชคณิตซึ่งทำให้ โซลูชั่นทั่วไปปัญหาทางคณิตศาสตร์โดยไม่คำนึงถึงความหมายเฉพาะและข้อมูลตัวเลขเริ่มต้น ในอินเดีย ย้อนกลับไปในศตวรรษที่ 6-11 มีการใช้ตัวเลขติดลบอย่างเป็นระบบในการแก้ปัญหา และตีความไปในลักษณะเดียวกับในปัจจุบัน ในวิทยาศาสตร์ยุโรป จำนวนลบเริ่มมีการใช้กันอย่างแพร่หลาย ต้องขอบคุณ R. Descartes ผู้ให้การตีความทางเรขาคณิตของจำนวนลบเป็นทิศทางของเซ็กเมนต์ เดการ์ตเป็นผู้เสนอการกำหนดตัวเลขยกกำลังเพื่อแสดงเป็นสูตรสองชั้น หนึ่ง .
ระดับแรก
ปริญญาและคุณสมบัติของมัน คู่มือฉบับสมบูรณ์ (2019)
เหตุใดจึงต้องมีวุฒิการศึกษา? คุณต้องการมันที่ไหน? เหตุใดคุณจึงควรสละเวลาศึกษาสิ่งเหล่านี้?
เพื่อเรียนรู้ทุกอย่างเกี่ยวกับปริญญา มีไว้เพื่ออะไร วิธีใช้ความรู้ของคุณ ชีวิตประจำวันอ่านบทความนี้
และแน่นอนว่าความรู้ด้านปริญญาจะทำให้คุณเข้าใกล้ความสำเร็จในการผ่านการสอบ Unified State หรือ Unified State และการเข้ามหาวิทยาลัยในฝันของคุณ
ไปกันเถอะ... (ไปกันเถอะ!)
โน๊ตสำคัญ! หากคุณเห็น gobbledygook แทนที่จะเป็นสูตร ให้ล้างแคชของคุณ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้กด CTRL+F5 (บน Windows) หรือ Cmd+R (บน Mac)
ระดับแรก
การยกกำลังเป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เหมือนกับการบวก ลบ คูณ หาร
ตอนนี้ฉันจะอธิบายทุกอย่างเป็นภาษามนุษย์โดยใช้ตัวอย่างง่ายๆ ระวัง. ตัวอย่างเป็นเพียงเรื่องเบื้องต้นแต่อธิบายเรื่องสำคัญได้
เริ่มต้นด้วยการเพิ่ม
ไม่มีอะไรจะอธิบายที่นี่ คุณรู้ทุกอย่างแล้ว: มีพวกเราแปดคน ทุกคนมีโคล่าสองขวด โคล่ามีเท่าไหร่? ถูกต้อง - 16 ขวด
ตอนนี้การคูณ
ตัวอย่างเดียวกันกับ cola สามารถเขียนได้แตกต่างกัน: . นักคณิตศาสตร์เป็นคนฉลาดและขี้เกียจ ก่อนอื่นพวกเขาจะสังเกตเห็นรูปแบบบางอย่าง จากนั้นจึงหาวิธี "นับ" พวกมันให้เร็วขึ้น ในกรณีของเรา พวกเขาสังเกตเห็นว่าคนทั้งแปดคนมีจำนวนขวดโคล่าเท่ากัน จึงเกิดเทคนิคที่เรียกว่าการคูณ เห็นด้วยถือว่าง่ายและเร็วกว่า
ดังนั้นหากต้องการนับเร็วขึ้น ง่ายขึ้น และไม่มีข้อผิดพลาด คุณเพียงแค่ต้องจำไว้ ตารางสูตรคูณ. แน่นอนว่าคุณสามารถทำทุกอย่างให้ช้าลง ยากขึ้น และมีข้อผิดพลาดได้! แต่…
นี่คือตารางสูตรคูณ ทำซ้ำ.
และอีกอย่างที่สวยงามกว่า:
นักคณิตศาสตร์ขี้เกียจมีเทคนิคการนับอันชาญฉลาดอะไรอีกบ้าง? ขวา - การยกจำนวนให้เป็นกำลัง.
การยกจำนวนให้เป็นกำลัง
หากคุณต้องการคูณตัวเลขด้วยตัวมันเองห้าครั้ง นักคณิตศาสตร์บอกว่าคุณต้องเพิ่มจำนวนนั้นให้เป็นกำลังห้า ตัวอย่างเช่น, . นักคณิตศาสตร์จำได้ว่ากำลังสองกำลังห้าคือ... และพวกเขาก็แก้ไขปัญหาในหัวได้ - เร็วขึ้น ง่ายขึ้น และไม่มีข้อผิดพลาด
สิ่งที่คุณต้องทำคือ จำสิ่งที่เน้นด้วยสีในตารางเลขยกกำลัง. เชื่อฉันสิสิ่งนี้จะทำให้ชีวิตของคุณง่ายขึ้นมาก
เหตุใดจึงเรียกว่าระดับที่สอง? สี่เหลี่ยมตัวเลขและอันที่สาม - ลูกบาศก์? มันหมายความว่าอะไร? มาก คำถามที่ดี. ตอนนี้คุณจะมีทั้งสี่เหลี่ยมและลูกบาศก์
ตัวอย่างชีวิตจริง #1
เริ่มจากกำลังสองหรือกำลังสองของตัวเลขกันก่อน
ลองนึกภาพสระน้ำสี่เหลี่ยมขนาดหนึ่งเมตรคูณหนึ่งเมตร สระว่ายน้ำอยู่ที่เดชาของคุณ ร้อนแล้วอยากเล่นน้ำจังเลย แต่... สระไม่มีก้น! คุณต้องปูกระเบื้องด้านล่างของสระ คุณต้องการกระเบื้องกี่แผ่น? เพื่อระบุสิ่งนี้คุณจำเป็นต้องทราบพื้นที่ด้านล่างของสระ
คุณสามารถคำนวณได้ง่ายๆ ด้วยการชี้นิ้วว่าก้นสระประกอบด้วยลูกบาศก์เมตรต่อลูกบาศก์เมตร หากคุณมีกระเบื้องขนาด 1 เมตร x 1 เมตร คุณจะต้องใช้กระเบื้องเป็นชิ้นๆ ง่ายนิดเดียว...แต่เคยเห็นกระเบื้องแบบนี้ที่ไหน? กระเบื้องน่าจะเป็นซม. ต่อซม. แล้วคุณจะถูกทรมานด้วยการ "นับนิ้ว" จากนั้นคุณต้องคูณ ดังนั้นด้านหนึ่งของก้นสระเราจะใส่กระเบื้อง (ชิ้น) และอีกด้านหนึ่งก็ใส่กระเบื้องด้วย คูณด้วยแล้วคุณจะได้ไทล์ ()
คุณสังเกตไหมว่าในการกำหนดพื้นที่ก้นสระเราคูณจำนวนเดียวกันด้วยตัวมันเอง? มันหมายความว่าอะไร? เนื่องจากเรากำลังคูณจำนวนเดียวกัน เราจึงใช้เทคนิค "การยกกำลัง" ได้ (แน่นอนว่าเมื่อคุณมีตัวเลขเพียงสองตัวคุณยังต้องคูณหรือยกกำลัง แต่ถ้าคุณมีจำนวนมาก การยกกำลังจะง่ายกว่ามากและยังมีข้อผิดพลาดในการคำนวณน้อยกว่าด้วย . สำหรับการสอบ Unified State นี่สำคัญมาก)
ดังนั้น ยกกำลังสามสิบสองจะเป็น () หรือเราบอกได้ว่า 30 กำลังสองจะเป็น. กล่าวอีกนัยหนึ่ง กำลังสองของตัวเลขสามารถแสดงเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้เสมอ และในทางกลับกัน หากคุณเห็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส มันจะเป็นกำลังสองของจำนวนใดจำนวนหนึ่งเสมอ สี่เหลี่ยมจัตุรัสคือภาพกำลังสองของตัวเลข
ตัวอย่างชีวิตจริง #2
นี่คืองานสำหรับคุณ: นับจำนวนสี่เหลี่ยมบนกระดานหมากรุกโดยใช้กำลังสองของตัวเลข... ที่ด้านหนึ่งของเซลล์และอีกด้านหนึ่งด้วย ในการคำนวณจำนวนนั้น คุณต้องคูณแปดด้วยแปด หรือ... หากคุณสังเกตเห็นว่ากระดานหมากรุกเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน คุณก็ยกกำลังสองได้แปด คุณจะได้รับเซลล์ () ดังนั้น?
ตัวอย่างชีวิตจริง #3
ทีนี้ลูกบาศก์หรือกำลังสามของตัวเลข สระเดียวกัน. แต่ตอนนี้คุณต้องค้นหาว่าจะต้องเทน้ำลงในสระนี้มากแค่ไหน คุณต้องคำนวณปริมาตร (โดยวิธีการวัดปริมาตรและของเหลว ลูกบาศก์เมตร. ไม่คาดคิดใช่ไหม?) วาดสระน้ำ: ก้นวัดหนึ่งเมตรและลึกหนึ่งเมตรแล้วลองนับจำนวนลูกบาศก์ที่วัดหนึ่งเมตรต่อหนึ่งเมตรจะพอดีกับสระของคุณ
เพียงชี้นิ้วของคุณแล้วนับ! หนึ่ง สอง สาม สี่...ยี่สิบสอง ยี่สิบสาม...คุณได้มากี่อัน? ไม่หาย? นิ้วนับยากไหม? ดังนั้น! นำตัวอย่างจากนักคณิตศาสตร์ พวกเขาขี้เกียจ ดังนั้นพวกเขาจึงสังเกตว่าในการคำนวณปริมาตรของสระ คุณต้องคูณความยาว ความกว้าง และความสูงเข้าด้วยกัน ในกรณีของเรา ปริมาตรสระจะเท่ากับลูกบาศก์... ง่ายกว่าใช่ไหม?
ลองจินตนาการดูว่านักคณิตศาสตร์ที่ขี้เกียจและมีไหวพริบจะเป็นอย่างไรหากพวกเขาทำให้มันง่ายขึ้นเช่นกัน เราลดทุกอย่างลงเป็นการกระทำเดียว พวกเขาสังเกตเห็นว่าความยาว ความกว้าง และความสูงเท่ากัน และจำนวนเท่ากันก็คูณด้วยตัวมันเอง... หมายความว่าอย่างไร? ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถใช้ประโยชน์จากปริญญาได้ ดังนั้น สิ่งที่คุณเคยนับด้วยนิ้วของคุณ มันทำในการกระทำเดียว: สามลูกบาศก์มีค่าเท่ากัน มันเขียนไว้แบบนี้: .
สิ่งที่เหลืออยู่ก็คือ จำตารางองศา. เว้นแต่คุณจะขี้เกียจและมีไหวพริบเหมือนนักคณิตศาสตร์ หากคุณชอบทำงานหนักและทำผิดพลาด คุณสามารถนับนิ้วต่อไปได้
ในที่สุดเพื่อโน้มน้าวคุณว่าปริญญานั้นถูกคิดค้นโดยผู้เลิกบุหรี่และคนที่มีไหวพริบเพื่อแก้ไขปัญหาของตนเอง ปัญหาชีวิตและไม่สร้างปัญหาให้กับคุณ นี่คือตัวอย่างเพิ่มเติมจากชีวิต
ตัวอย่างชีวิตจริง #4
คุณมีเงินหนึ่งล้านรูเบิล ในช่วงต้นปี ทุก ๆ ล้านที่คุณทำได้ คุณก็ทำได้อีกล้าน นั่นคือทุก ๆ ล้านที่คุณมีสองเท่าในช่วงต้นปี คุณจะมีเงินเท่าไหร่ในปี? หากคุณกำลังนั่ง "นับนิ้ว" อยู่ตอนนี้ แสดงว่าคุณเป็นคนที่ทำงานหนักมากและ... โง่เขลา แต่ส่วนใหญ่แล้วคุณจะให้คำตอบภายในไม่กี่วินาทีเพราะคุณฉลาด! ดังนั้น ในปีแรก - สองคูณสอง... ในปีที่สอง - เกิดอะไรขึ้น อีกสองในปีที่สาม... หยุด! คุณสังเกตเห็นว่าจำนวนนั้นคูณด้วยตัวมันเองคูณด้วยตัวมันเอง ดังนั้นสองยกกำลังห้าจึงเป็นล้าน! ทีนี้ลองจินตนาการว่าคุณมีการแข่งขันและคนที่นับได้เร็วที่สุดก็จะได้รับเงินล้านเหล่านี้... มันคุ้มค่าที่จะจดจำพลังของตัวเลขใช่ไหม?
ตัวอย่างชีวิตจริง #5
คุณมีเงินเป็นล้าน ในช่วงต้นปี ทุก ๆ 1 ล้านที่คุณทำ คุณจะได้รับเพิ่มอีก 2 เท่า เยี่ยมมากใช่ไหม? ทุกล้านเป็นสามเท่า คุณจะมีเงินเท่าไหร่ในหนึ่งปี? มานับกัน ปีแรก - คูณด้วยแล้วผลลัพธ์ด้วยอีกปี... มันน่าเบื่ออยู่แล้วเพราะคุณเข้าใจทุกอย่างแล้ว: สามคูณด้วยตัวมันเองคูณด้วยตัวมันเอง ดังนั้นยกกำลังสี่จึงเท่ากับหนึ่งล้าน. คุณแค่ต้องจำไว้ว่าสามยกกำลังสี่คือหรือ
ตอนนี้คุณรู้แล้วว่าการเพิ่มตัวเลขให้มีพลังจะทำให้ชีวิตของคุณง่ายขึ้นมาก เรามาดูกันดีกว่าว่าคุณสามารถทำอะไรได้บ้างกับปริญญาและสิ่งที่คุณต้องรู้เกี่ยวกับปริญญาเหล่านั้น
เงื่อนไขและแนวคิด...เพื่อไม่ให้สับสน
ก่อนอื่น เรามากำหนดแนวคิดกันก่อน คุณคิดอย่างไร, เลขชี้กำลังคืออะไร? ง่ายมาก - มันคือตัวเลขที่ "อยู่ด้านบน" ของเลขยกกำลัง ไม่ใช่วิทยาศาสตร์ แต่ชัดเจนและจำง่าย...
ในขณะเดียวกันอะไร พื้นฐานการศึกษาระดับปริญญาดังกล่าว? ง่ายกว่านั้นคือตัวเลขที่อยู่ด้านล่างที่ฐาน
นี่คือภาพวาดเพื่อการวัดที่ดี
ก็เข้า. ปริทัศน์เพื่อเป็นการสรุปและจดจำได้ดีขึ้น... ดีกรีที่มีฐาน “ ” และเลขชี้กำลัง “ ” อ่านว่า “ถึงดีกรี” และเขียนได้ดังนี้
กำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ
คุณอาจเดาได้แล้ว: เพราะเลขชี้กำลังคือ จำนวนธรรมชาติ. ใช่ แต่มันคืออะไร จำนวนธรรมชาติ? ประถมศึกษา! ตัวเลขธรรมชาติคือตัวเลขที่ใช้ในการนับเมื่อแสดงรายการวัตถุ: หนึ่ง สอง สาม... เมื่อเรานับวัตถุ เราจะไม่พูดว่า: "ลบห้า" "ลบหก" "ลบเจ็ด" เราไม่พูดว่า: "หนึ่งในสาม" หรือ "ศูนย์จุดห้า" พวกนี้ไม่ใช่จำนวนธรรมชาติ คุณคิดว่านี่คือตัวเลขอะไร?
ตัวเลขเช่น "ลบห้า", "ลบหก", "ลบเจ็ด" หมายถึง จำนวนทั้งหมด.โดยทั่วไป จำนวนเต็มประกอบด้วยจำนวนธรรมชาติทั้งหมด จำนวนที่อยู่ตรงข้ามกับจำนวนธรรมชาติ (นั่นคือ ใช้เครื่องหมายลบ) และจำนวน Zero เป็นเรื่องง่ายที่จะเข้าใจ - คือเมื่อไม่มีอะไรเลย ตัวเลขติดลบ (“ลบ”) หมายถึงอะไร? แต่พวกเขาถูกประดิษฐ์ขึ้นเพื่อระบุหนี้เป็นหลัก: หากคุณมียอดคงเหลือในโทรศัพท์เป็นรูเบิลแสดงว่าคุณเป็นหนี้รูเบิลของผู้ให้บริการ
เศษส่วนทั้งหมดเป็น สรุปตัวเลข. คุณคิดว่าพวกเขาเกิดขึ้นได้อย่างไร? ง่ายมาก. เมื่อหลายพันปีก่อน บรรพบุรุษของเราค้นพบว่าพวกเขาขาดตัวเลขธรรมชาติในการวัดความยาว น้ำหนัก พื้นที่ ฯลฯ และพวกเขาก็คิดขึ้นมาด้วย สรุปตัวเลข... น่าสนใจใช่ไหมล่ะ?
นอกจากนี้ยังมีจำนวนอตรรกยะ ตัวเลขเหล่านี้คืออะไร? กล่าวโดยสรุป มันคือเศษส่วนทศนิยมอนันต์ ตัวอย่างเช่น หากคุณหารเส้นรอบวงของวงกลมด้วยเส้นผ่านศูนย์กลาง คุณจะได้จำนวนอตรรกยะ
สรุป:
ให้เรานิยามแนวคิดของระดับที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ (เช่น จำนวนเต็มและบวก)
- จำนวนใดๆ ที่กำลังยกกำลังแรกจะเท่ากับตัวมันเอง:
- การยกกำลังสองหมายถึงการคูณด้วยตัวมันเอง:
- การยกกำลังสามหมายถึงการคูณด้วยตัวมันเองสามครั้ง:
คำนิยาม.การเพิ่มจำนวนให้เป็นพลังธรรมชาติหมายถึงการคูณจำนวนด้วยตัวมันเองด้วย:
.
คุณสมบัติขององศา
คุณสมบัติเหล่านี้มาจากไหน? ฉันจะแสดงให้คุณดูตอนนี้
มาดูกันว่ามันคืออะไร และ ?
A-ไพรเออรี่:
มีตัวคูณทั้งหมดกี่ตัว?
ง่ายมาก: เราบวกตัวคูณเข้ากับปัจจัย และผลลัพธ์ก็คือตัวคูณ
แต่ตามคำจำกัดความแล้ว นี่คือกำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลัง ซึ่งก็คือ: ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์
ตัวอย่าง: ลดความซับซ้อนของนิพจน์
สารละลาย:
ตัวอย่าง:ลดความซับซ้อนของนิพจน์
สารละลาย:สิ่งสำคัญคือต้องทราบว่าในกฎของเรา อย่างจำเป็นมันคงจะมีเหตุผลเดียวกันสิ!
ดังนั้นเราจึงรวมพลังเข้ากับฐาน แต่ยังคงเป็นปัจจัยที่แยกจากกัน:
เพื่อผลผลิตแห่งพลังเท่านั้น!
คุณไม่สามารถเขียนสิ่งนั้นได้ไม่ว่าในกรณีใด
2. แค่นั้นแหละ กำลังของตัวเลข
เช่นเดียวกับคุณสมบัติก่อนหน้านี้ ให้เรามาดูคำจำกัดความของระดับ:
ปรากฎว่านิพจน์นั้นคูณด้วยตัวมันเองด้วยตัวมันเอง นั่นคือตามคำจำกัดความ นี่คือกำลังที่ th ของตัวเลข:
โดยพื้นฐานแล้ว สิ่งนี้สามารถเรียกได้ว่าเป็น "การเอาตัวบ่งชี้ออกจากวงเล็บ" แต่คุณไม่สามารถทำสิ่งนี้ได้ทั้งหมด:
จำสูตรคูณแบบย่อ: เราต้องการเขียนกี่ครั้ง?
แต่นี่ไม่เป็นความจริงเลย
กำลังที่มีฐานลบ
ถึงจุดนี้ เราได้พูดคุยกันเพียงว่าเลขชี้กำลังควรเป็นเท่าใด
แต่อะไรควรเป็นพื้นฐาน?
อยู่ในอำนาจของ ตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติพื้นฐานอาจเป็นได้ หมายเลขใดก็ได้. อันที่จริง เราสามารถคูณตัวเลขใดๆ เข้าด้วยกันได้ ไม่ว่าจะเป็นค่าบวก ลบ หรือเลขคู่
ลองคิดดูว่าเครื่องหมายใด ("" หรือ "") จะมีระดับของจำนวนบวกและลบ?
เช่น จำนวนเป็นค่าบวกหรือค่าลบ? เอ? ? อย่างแรกทุกอย่างชัดเจน: ไม่ว่าเราจะคูณจำนวนบวกจำนวนเท่าใดผลลัพธ์ก็จะเป็นบวก
แต่สิ่งที่เป็นลบนั้นน่าสนใจกว่าเล็กน้อย เราจำกฎง่ายๆ จากชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 ได้: “ลบสำหรับลบให้บวก” นั่นก็คือหรือ. แต่ถ้าเราคูณด้วย มันก็ได้ผล.
พิจารณาด้วยตัวคุณเองว่าสำนวนต่อไปนี้จะมีเครื่องหมายอะไร:
1) | 2) | 3) |
4) | 5) | 6) |
คุณจัดการหรือไม่?
นี่คือคำตอบ: ในสี่ตัวอย่างแรก ฉันหวังว่าทุกอย่างชัดเจน? เราเพียงแค่ดูที่ฐานและเลขชี้กำลังแล้วใช้กฎที่เหมาะสม
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
ในตัวอย่างที่ 5) ทุกอย่างก็ไม่น่ากลัวเท่าที่ควร: ท้ายที่สุดแล้วไม่สำคัญว่าฐานจะเท่ากับอะไร - ระดับเป็นเลขคู่ซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์จะเป็นค่าบวกเสมอ
ยกเว้นเมื่อฐานเป็นศูนย์ ฐานไม่เท่ากันใช่ไหม? ไม่แน่นอน เนื่องจาก (เพราะ)
ตัวอย่างที่ 6) ไม่ง่ายอีกต่อไป!
6 ตัวอย่างที่ต้องฝึกฝน
การวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหา 6 ตัวอย่าง
ถ้าเราละเลยยกกำลังที่แปด เราเห็นอะไรตรงนี้? เรามาจำโปรแกรมชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 กันเถอะ แล้วคุณจำได้ไหม? นี่คือสูตรการคูณแบบย่อ นั่นคือผลต่างของกำลังสอง! เราได้รับ:
ลองดูตัวส่วนอย่างละเอียด มันดูเหมือนตัวเศษตัวหนึ่งมาก แต่เกิดอะไรขึ้น? ลำดับของเงื่อนไขไม่ถูกต้อง หากกลับรายการ กฎก็สามารถนำไปใช้ได้
แต่จะทำอย่างไร? ปรากฎว่ามันง่ายมาก: ระดับเลขคู่ของตัวส่วนช่วยเราได้
เงื่อนไขเปลี่ยนสถานที่อย่างน่าอัศจรรย์ “ปรากฏการณ์” นี้ใช้กับการแสดงออกใดๆ ในระดับที่เท่ากัน: เราสามารถเปลี่ยนเครื่องหมายในวงเล็บได้อย่างง่ายดาย
แต่สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่า: สัญญาณทั้งหมดเปลี่ยนแปลงไปพร้อมๆ กัน!
กลับไปที่ตัวอย่าง:
และอีกครั้งด้วยสูตร:
ทั้งหมดเราเรียกจำนวนธรรมชาติ จำนวนตรงข้าม (นั่นคือ ใช้เครื่องหมาย " ") และจำนวน
จำนวนเต็มบวกและไม่ต่างจากธรรมชาติเลยทุกอย่างก็ดูเหมือนในส่วนที่แล้วทุกประการ
ตอนนี้เรามาดูกรณีใหม่กัน เริ่มจากตัวบ่งชี้ที่เท่ากับ
จำนวนใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากับหนึ่ง:
เช่นเคย ขอให้เราถามตัวเองว่า ทำไมจึงเป็นเช่นนั้น?
พิจารณาระดับหนึ่งด้วยฐาน ยกตัวอย่างและคูณด้วย:
เราก็คูณตัวเลขด้วย เราก็ได้เหมือนเดิม - . คุณควรคูณเลขอะไรเพื่อไม่ให้มีการเปลี่ยนแปลง? ถูกต้องแล้ว วิธี.
เราสามารถทำเช่นเดียวกันกับหมายเลขใดก็ได้:
ทำซ้ำกฎ:
จำนวนใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากับหนึ่ง
แต่มีข้อยกเว้นสำหรับกฎหลายข้อ และนี่ก็อยู่ตรงนั้นด้วย - นี่คือตัวเลข (เป็นฐาน)
ในด้านหนึ่ง มันจะต้องเท่ากับระดับใดๆ ก็ตาม ไม่ว่าคุณจะคูณศูนย์ด้วยตัวมันเองมากแค่ไหน คุณก็ยังจะได้ศูนย์ นี่ก็ชัดเจน แต่ในทางกลับกัน เช่นเดียวกับเลขยกกำลังศูนย์ ก็ต้องเท่ากัน แล้วเรื่องนี้จริงมากแค่ไหน? นักคณิตศาสตร์ตัดสินใจว่าจะไม่เข้าไปยุ่งและปฏิเสธที่จะเพิ่มศูนย์เป็นศูนย์ นั่นคือตอนนี้เราไม่สามารถหารด้วยศูนย์เท่านั้น แต่ยังเพิ่มเป็นศูนย์ด้วย
เดินหน้าต่อไป นอกจากจำนวนธรรมชาติและตัวเลขแล้ว จำนวนเต็มยังรวมถึงจำนวนลบด้วย เพื่อให้เข้าใจว่ากำลังลบคืออะไร เรามาทำเหมือนครั้งก่อน: คูณจำนวนปกติด้วยจำนวนเดียวกันให้เป็นกำลังลบ:
จากที่นี่ การแสดงสิ่งที่คุณกำลังมองหาเป็นเรื่องง่าย:
ทีนี้ลองขยายกฎผลลัพธ์ไปสู่ระดับที่ต้องการ:
เรามาตั้งกฎกัน:
จำนวนที่มีกำลังเป็นลบคือส่วนกลับของจำนวนเดียวกันที่มีกำลังเป็นบวก แต่ในขณะเดียวกัน ฐานต้องไม่เป็นค่าว่าง:(เพราะคุณไม่สามารถหารด้วย)
สรุป:
I. สำนวนไม่ได้ถูกกำหนดไว้ในกรณีนี้ ถ้าอย่างนั้น.
ครั้งที่สอง จำนวนใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากับหนึ่ง:
สาม. จำนวนที่ไม่เท่ากับศูนย์ยกกำลังลบ คือค่าผกผันของจำนวนเดียวกันยกกำลังบวก:
งานสำหรับโซลูชันอิสระ:
ตามปกติแล้ว ตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ:
การวิเคราะห์ปัญหาเพื่อการแก้ปัญหาอย่างอิสระ:
ฉันรู้ ฉันรู้ว่าตัวเลขนั้นน่ากลัว แต่ในการสอบ Unified State คุณต้องเตรียมตัวให้พร้อมสำหรับทุกสิ่ง! แก้ไขตัวอย่างเหล่านี้หรือวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาหากคุณแก้ไม่ได้ แล้วคุณจะได้เรียนรู้ที่จะรับมือกับตัวอย่างเหล่านี้ได้อย่างง่ายดายในการสอบ!
มาขยายขอบเขตของตัวเลขที่ “เหมาะสม” เป็นเลขชี้กำลังต่อไป
ทีนี้ลองมาพิจารณากัน สรุปตัวเลข.ตัวเลขใดเรียกว่าตรรกยะ?
คำตอบ: ทุกอย่างที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วน โดยที่ และ เป็นจำนวนเต็ม และ
เพื่อทำความเข้าใจว่ามันคืออะไร "ระดับเศษส่วน"ให้พิจารณาเศษส่วน:
ลองยกสมการทั้งสองข้างให้เป็นกำลัง:
ตอนนี้เรามาจำกฎเกี่ยวกับ "ระดับต่อระดับ":
ต้องยกเลขอะไรถึงยกกำลังถึงจะได้?
สูตรนี้เป็นคำจำกัดความของรากของระดับที่
ฉันขอเตือนคุณว่า รากของเลขยกกำลัง th () คือตัวเลขที่เมื่อยกกำลังแล้วจะเท่ากับ
นั่นคือรากของกำลัง th คือการดำเนินการผกผันของการยกกำลัง:
ปรากฎว่า เห็นได้ชัดว่าสิ่งนี้ กรณีพิเศษสามารถขยายได้: .
ตอนนี้เราเพิ่มตัวเศษ: มันคืออะไร? คำตอบนั้นหาได้ง่ายโดยใช้กฎกำลังต่อกำลัง:
แต่ฐานสามารถเป็นตัวเลขใดๆ ได้หรือไม่? ท้ายที่สุดแล้ว ไม่สามารถแยกรูทออกจากตัวเลขทั้งหมดได้
ไม่มี!
ขอให้เราจำกฎนี้ไว้: จำนวนใดๆ ที่ถูกยกกำลังเป็นคู่จะเป็นจำนวนบวก นั่นคือมันเป็นไปไม่ได้ที่จะแยกรากออกจากจำนวนลบ!
ซึ่งหมายความว่าตัวเลขดังกล่าวไม่สามารถยกกำลังเศษส่วนโดยมีตัวส่วนเป็นคู่ได้ กล่าวคือ นิพจน์นี้ไม่สมเหตุสมผล
แล้วการแสดงออกล่ะ?
แต่ที่นี่มีปัญหาเกิดขึ้น
ตัวเลขสามารถแสดงในรูปของเศษส่วนอื่นๆ ที่ลดได้ เช่น หรือ
และปรากฎว่ามันมีอยู่ แต่ไม่มีอยู่จริง แต่นี่เป็นเพียงสองเท่านั้น รายการที่แตกต่างกันหมายเลขเดียวกัน
หรืออีกตัวอย่างหนึ่ง: ครั้งหนึ่ง คุณก็สามารถจดมันลงไปได้ แต่ถ้าเราเขียนตัวบ่งชี้ต่างออกไป เราก็จะประสบปัญหาอีกครั้ง: (นั่นคือ เราได้ผลลัพธ์ที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง!)
เพื่อหลีกเลี่ยงความขัดแย้งดังกล่าว เราจึงพิจารณา เลขชี้กำลังฐานบวกเท่านั้นที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน.
ดังนั้นหาก:
- - จำนวนธรรมชาติ
- - จำนวนเต็ม;
ตัวอย่าง:
องศาด้วย ตัวบ่งชี้ที่มีเหตุผลมีประโยชน์มากสำหรับการแปลงนิพจน์ด้วยราก เช่น:
5 ตัวอย่างที่ต้องฝึกฝน
วิเคราะห์ 5 ตัวอย่างสำหรับการฝึกอบรม
ตอนนี้มาถึงส่วนที่ยากที่สุดแล้ว ตอนนี้เราจะคิดออก องศาที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว.
กฎและคุณสมบัติทั้งหมดขององศาในที่นี้เหมือนกับองศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะทุกประการ ยกเว้น
ตามคำจำกัดความแล้ว จำนวนอตรรกยะคือตัวเลขที่ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ โดยที่ และ เป็นจำนวนเต็ม (นั่นคือ จำนวนอตรรกยะคือจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้นจำนวนตรรกยะ)
เมื่อศึกษาระดับปริญญาด้วยเลขชี้กำลังธรรมชาติ จำนวนเต็ม และตรรกยะ ทุกครั้งที่เราสร้าง "ภาพ" "การเปรียบเทียบ" หรือคำอธิบายบางอย่างในรูปแบบที่คุ้นเคยมากขึ้น
ตัวอย่างเช่น ระดับที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติคือตัวเลขคูณด้วยตัวมันเองหลายครั้ง
...ตัวเลขยกกำลังศูนย์- นี่คือจำนวนที่คูณด้วยตัวมันเองครั้งหนึ่งนั่นคือยังไม่ได้เริ่มคูณซึ่งหมายความว่าจำนวนนั้นยังไม่ปรากฏด้วยซ้ำ - ดังนั้นผลลัพธ์จึงเป็นเพียง "ตัวเลขว่าง" บางตัวเท่านั้น คือตัวเลข
...ระดับจำนวนเต็มลบ- ราวกับว่ามี "กระบวนการย้อนกลับ" เกิดขึ้นนั่นคือจำนวนนั้นไม่ได้คูณด้วยตัวมันเอง แต่ถูกหาร
อย่างไรก็ตามในทางวิทยาศาสตร์มักใช้ระดับที่มีเลขชี้กำลังเชิงซ้อนนั่นคือเลขชี้กำลังไม่ใช่จำนวนจริงด้วยซ้ำ
แต่ที่โรงเรียน เราไม่คิดถึงความยากลำบากดังกล่าว คุณจะมีโอกาสเข้าใจแนวคิดใหม่เหล่านี้ที่สถาบัน
เรามั่นใจว่าคุณจะไปที่ไหน! (ถ้าคุณเรียนรู้ที่จะแก้ตัวอย่างดังกล่าว :))
ตัวอย่างเช่น:
ตัดสินใจด้วยตัวเอง:
การวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหา:
1. เริ่มจากกฎปกติในการเพิ่มพลังเป็นพลัง:
ตอนนี้ดูที่ตัวบ่งชี้ เขาไม่เตือนคุณถึงอะไรเลยเหรอ? ให้เรานึกถึงสูตรการคูณผลต่างกำลังสองแบบย่อ:
ในกรณีนี้,
ปรากฎว่า:
คำตอบ: .
2. เราลดเศษส่วนในเลขชี้กำลังให้อยู่ในรูปแบบเดียวกัน: ทั้งทศนิยมหรือทั้งสองสามัญ เราได้รับตัวอย่าง:
คำตอบ: 16
3. ไม่มีอะไรพิเศษ เราใช้คุณสมบัติปกติขององศา:
ระดับสูง
การกำหนดระดับ
ปริญญาคือการแสดงออกของรูปแบบ: โดยที่:
- — ฐานระดับ;
- - เลขชี้กำลัง
องศาที่มีตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติ (n = 1, 2, 3,...)
การเพิ่มจำนวนให้เป็นพลังธรรมชาติ n หมายถึงการคูณจำนวนด้วยตัวมันเองด้วย:
องศาที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม (0, ±1, ±2,...)
หากเป็นเลขชี้กำลัง จำนวนเต็มบวกตัวเลข:
การก่อสร้าง ถึงระดับศูนย์:
สำนวนนี้ไม่มีกำหนด เพราะในด้านหนึ่ง ระดับใดๆ ก็เป็นเช่นนี้ และอีกด้านหนึ่ง จำนวนใดๆ ที่อยู่ในระดับ th ก็เป็นเช่นนี้
หากเป็นเลขชี้กำลัง จำนวนเต็มลบตัวเลข:
(เพราะคุณไม่สามารถหารด้วย)
อีกครั้งเกี่ยวกับศูนย์: นิพจน์ไม่ได้ถูกกำหนดไว้ในกรณีนี้ ถ้าอย่างนั้น.
ตัวอย่าง:
กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ
- - จำนวนธรรมชาติ
- - จำนวนเต็ม;
ตัวอย่าง:
คุณสมบัติขององศา
เพื่อให้ง่ายต่อการแก้ปัญหา เรามาลองทำความเข้าใจกันดีกว่าว่าคุณสมบัติเหล่านี้มาจากไหน? มาพิสูจน์กันเถอะ
มาดูกันว่าคืออะไรและ?
A-ไพรเออรี่:
ทางด้านขวาของนิพจน์นี้ เราจะได้ผลลัพธ์ดังนี้:
แต่ตามคำจำกัดความแล้ว มันคือกำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลัง นั่นคือ:
Q.E.D.
ตัวอย่าง : ลดความซับซ้อนของนิพจน์
สารละลาย : .
ตัวอย่าง : ลดความซับซ้อนของนิพจน์
สารละลาย : สิ่งสำคัญคือต้องทราบว่าในกฎของเรา อย่างจำเป็นจะต้องมีเหตุผลเดียวกัน ดังนั้นเราจึงรวมพลังเข้ากับฐาน แต่ยังคงเป็นปัจจัยที่แยกจากกัน:
หมายเหตุสำคัญอีกประการหนึ่ง: กฎนี้ - เพื่อผลผลิตแห่งอำนาจเท่านั้น!
คุณไม่สามารถเขียนสิ่งนั้นได้ไม่ว่าในกรณีใด
เช่นเดียวกับคุณสมบัติก่อนหน้านี้ ให้เรามาดูคำจำกัดความของระดับ:
มาจัดกลุ่มงานนี้ใหม่ดังนี้:
ปรากฎว่านิพจน์นั้นคูณด้วยตัวมันเองด้วยตัวมันเอง นั่นคือตามคำจำกัดความ นี่คือกำลังที่ th ของตัวเลข:
โดยพื้นฐานแล้ว สิ่งนี้สามารถเรียกได้ว่าเป็น "การเอาตัวบ่งชี้ออกจากวงเล็บ" แต่คุณไม่สามารถทำสิ่งนี้ได้ทั้งหมด: !
จำสูตรคูณแบบย่อ: เราต้องการเขียนกี่ครั้ง? แต่นี่ไม่เป็นความจริงเลย
กำลังที่มีฐานเป็นลบ
ถึงจุดนี้เราได้พูดคุยกันเพียงว่าควรเป็นอย่างไร ดัชนีองศา แต่อะไรควรเป็นพื้นฐาน? อยู่ในอำนาจของ เป็นธรรมชาติ ตัวบ่งชี้ พื้นฐานอาจเป็นได้ หมายเลขใดก็ได้ .
อันที่จริง เราสามารถคูณตัวเลขใดๆ เข้าด้วยกันได้ ไม่ว่าจะเป็นค่าบวก ลบ หรือเลขคู่ ลองคิดดูว่าเครื่องหมายใด ("" หรือ "") จะมีระดับของจำนวนบวกและลบ?
เช่น จำนวนเป็นค่าบวกหรือค่าลบ? เอ? ?
อย่างแรกทุกอย่างชัดเจน: ไม่ว่าเราจะคูณจำนวนบวกจำนวนเท่าใดผลลัพธ์ก็จะเป็นบวก
แต่สิ่งที่เป็นลบนั้นน่าสนใจกว่าเล็กน้อย เราจำกฎง่ายๆ จากชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 ได้: “ลบสำหรับลบให้บวก” นั่นก็คือหรือ. แต่ถ้าเราคูณด้วย () เราจะได้ -
และไม่มีที่สิ้นสุด: ด้วยการคูณแต่ละครั้งเครื่องหมายจะเปลี่ยนไป เราสามารถกำหนดได้ดังต่อไปนี้ กฎง่ายๆ:
- สม่ำเสมอองศา - หมายเลข เชิงบวก.
- จำนวนลบ, สร้างขึ้นใน แปลกองศา - หมายเลข เชิงลบ.
- จำนวนบวกทุกระดับจะเป็นจำนวนบวก
- ศูนย์กำลังใดๆ มีค่าเท่ากับศูนย์
พิจารณาด้วยตัวคุณเองว่าสำนวนต่อไปนี้จะมีเครื่องหมายอะไร:
1. | 2. | 3. |
4. | 5. | 6. |
คุณจัดการหรือไม่? นี่คือคำตอบ:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
ในสี่ตัวอย่างแรกฉันหวังว่าทุกอย่างชัดเจน? เราเพียงแค่ดูที่ฐานและเลขชี้กำลังแล้วใช้กฎที่เหมาะสม
ในตัวอย่างที่ 5) ทุกอย่างก็ไม่น่ากลัวเท่าที่ควร: ท้ายที่สุดแล้วไม่สำคัญว่าฐานจะเท่ากับอะไร - ระดับเป็นเลขคู่ซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์จะเป็นค่าบวกเสมอ ยกเว้นเมื่อฐานเป็นศูนย์ ฐานไม่เท่ากันใช่ไหม? ไม่แน่นอน เนื่องจาก (เพราะ)
ตัวอย่างที่ 6) ไม่ใช่เรื่องง่ายอีกต่อไป ที่นี่คุณต้องค้นหาว่าอันไหนน้อยกว่า: หรือ? ถ้าเราจำได้ ก็จะชัดเจนว่า ซึ่งหมายความว่าฐานมีค่าน้อยกว่าศูนย์ นั่นคือเราใช้กฎข้อที่ 2: ผลลัพธ์จะเป็นลบ
และอีกครั้งที่เราใช้คำจำกัดความของระดับ:
ทุกอย่างเป็นไปตามปกติ - เราเขียนคำจำกัดความขององศาแล้วหารซึ่งกันและกันแบ่งเป็นคู่แล้วรับ:
ก่อนที่เราจะดูกฎข้อสุดท้าย เรามาแก้ตัวอย่างกันก่อน
คำนวณนิพจน์:
โซลูชั่น :
ถ้าเราละเลยยกกำลังที่แปด เราเห็นอะไรตรงนี้? เรามาจำโปรแกรมชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 กันเถอะ แล้วคุณจำได้ไหม? นี่คือสูตรการคูณแบบย่อ นั่นคือผลต่างของกำลังสอง!
เราได้รับ:
ลองดูตัวส่วนอย่างละเอียด มันดูเหมือนตัวเศษตัวหนึ่งมาก แต่เกิดอะไรขึ้น? ลำดับของเงื่อนไขไม่ถูกต้อง หากกลับกันก็สามารถใช้กฎข้อ 3 ได้ แต่อย่างไร? ปรากฎว่ามันง่ายมาก: ระดับเลขคู่ของตัวส่วนช่วยเราได้
ถ้าคูณมันไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลงใช่ไหม? แต่ตอนนี้ปรากฎดังนี้:
เงื่อนไขเปลี่ยนสถานที่อย่างน่าอัศจรรย์ “ปรากฏการณ์” นี้ใช้กับการแสดงออกใดๆ ในระดับที่เท่ากัน: เราสามารถเปลี่ยนเครื่องหมายในวงเล็บได้อย่างง่ายดาย แต่สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่า: สัญญาณทั้งหมดเปลี่ยนไปพร้อมๆ กัน!คุณไม่สามารถแทนที่ด้วยการเปลี่ยนข้อเสียเดียวที่เราไม่ชอบได้!
กลับไปที่ตัวอย่าง:
และอีกครั้งด้วยสูตร:
ตอนนี้กฎข้อสุดท้าย:
เราจะพิสูจน์ได้อย่างไร? แน่นอน เหมือนเช่นเคย มาขยายแนวคิดเรื่องปริญญาและทำให้ง่ายขึ้น:
ทีนี้มาเปิดวงเล็บกันดีกว่า มีตัวอักษรทั้งหมดกี่ตัว? คูณด้วยคูณ - สิ่งนี้ทำให้คุณนึกถึงอะไร? นี่ไม่ใช่อะไรมากไปกว่าคำจำกัดความของการดำเนินการ การคูณ: ที่นั่นมีแต่ตัวคูณเท่านั้น ตามคำจำกัดความแล้ว นั่นคือกำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลัง:
ตัวอย่าง:
องศาที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว
นอกจากข้อมูลเกี่ยวกับองศาสำหรับระดับเฉลี่ยแล้ว เราจะวิเคราะห์ระดับด้วยเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว กฎและคุณสมบัติทั้งหมดขององศาในที่นี้เหมือนกันทุกประการกับดีกรีที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ ยกเว้นว่า ตามคำจำกัดความแล้ว จำนวนอตรรกยะคือตัวเลขที่ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ โดยที่ และ เป็นจำนวนเต็ม (นั่นคือ จำนวนอตรรกยะคือจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้นจำนวนตรรกยะ)
เมื่อศึกษาระดับปริญญาด้วยเลขชี้กำลังธรรมชาติ จำนวนเต็ม และตรรกยะ ทุกครั้งที่เราสร้าง "ภาพ" "การเปรียบเทียบ" หรือคำอธิบายบางอย่างในรูปแบบที่คุ้นเคยมากขึ้น ตัวอย่างเช่น ระดับที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติคือตัวเลขคูณด้วยตัวมันเองหลายครั้ง จำนวนยกกำลัง 0 เหมือนเดิมคือจำนวนคูณด้วยตัวมันเองหนึ่งครั้ง นั่นคือ ยังไม่ได้เริ่มคูณ ซึ่งหมายความว่าจำนวนนั้นยังไม่ปรากฏด้วยซ้ำ ดังนั้น ผลลัพธ์จึงเป็นเพียงค่าที่แน่นอนเท่านั้น “หมายเลขว่าง” คือตัวเลข ระดับที่มีเลขชี้กำลังลบจำนวนเต็ม - ราวกับว่ามี "กระบวนการย้อนกลับ" เกิดขึ้นนั่นคือจำนวนนั้นไม่ได้คูณด้วยตัวมันเอง แต่ถูกหาร
เป็นเรื่องยากมากที่จะจินตนาการถึงระดับหนึ่งด้วยเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว (เช่นเดียวกับที่เป็นการยากที่จะจินตนาการถึงปริภูมิ 4 มิติ) มันค่อนข้างเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ล้วนๆ ที่นักคณิตศาสตร์สร้างขึ้นเพื่อขยายแนวคิดเรื่ององศาให้ครอบคลุมพื้นที่ทั้งหมดของตัวเลข
อย่างไรก็ตามในทางวิทยาศาสตร์มักใช้ระดับที่มีเลขชี้กำลังเชิงซ้อนนั่นคือเลขชี้กำลังไม่ใช่จำนวนจริงด้วยซ้ำ แต่ที่โรงเรียน เราไม่คิดถึงความยากลำบากดังกล่าว คุณจะมีโอกาสเข้าใจแนวคิดใหม่เหล่านี้ที่สถาบัน
แล้วเราจะทำอย่างไรถ้าเราเห็นเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว? เราพยายามอย่างดีที่สุดเพื่อกำจัดมัน! :)
ตัวอย่างเช่น:
ตัดสินใจด้วยตัวเอง:
1) | 2) | 3) |
คำตอบ:
- มาจำความแตกต่างของสูตรกำลังสองกันดีกว่า คำตอบ: .
- เราลดเศษส่วนให้อยู่ในรูปแบบเดียวกัน: ทั้งทศนิยมหรือทั้งสองสามัญ เราได้รับตัวอย่าง: .
- ไม่มีอะไรพิเศษ เราใช้คุณสมบัติปกติขององศา:
สรุปส่วนและสูตรพื้นฐาน
ระดับเรียกว่าการแสดงออกของแบบฟอร์ม: โดยที่:
ปริญญาที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม
ระดับที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ (เช่น จำนวนเต็มและบวก)
กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ
องศา ซึ่งมีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนลบและเศษส่วน
องศาที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว
ระดับที่เลขชี้กำลังเป็นเศษส่วนหรือรากทศนิยมอนันต์
คุณสมบัติขององศา
คุณสมบัติขององศา
- จำนวนลบยกขึ้นเป็น สม่ำเสมอองศา - หมายเลข เชิงบวก.
- จำนวนลบยกขึ้นเป็น แปลกองศา - หมายเลข เชิงลบ.
- จำนวนบวกทุกระดับจะเป็นจำนวนบวก
- ศูนย์เท่ากับกำลังใดๆ
- จำนวนใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากัน
ตอนนี้คุณมีคำว่า...
คุณชอบบทความนี้อย่างไร? เขียนความคิดเห็นด้านล่างไม่ว่าคุณจะชอบหรือไม่
บอกเราเกี่ยวกับประสบการณ์ของคุณในการใช้คุณสมบัติระดับ
บางทีคุณอาจมีคำถาม หรือข้อเสนอแนะ
เขียนในความคิดเห็น
และขอให้โชคดีในการสอบ!
ระดับแรก
ปริญญาและคุณสมบัติของมัน คู่มือฉบับสมบูรณ์ (2019)
เหตุใดจึงต้องมีวุฒิการศึกษา? คุณต้องการมันที่ไหน? เหตุใดคุณจึงควรสละเวลาศึกษาสิ่งเหล่านี้?
หากต้องการเรียนรู้ทุกอย่างเกี่ยวกับปริญญา สิ่งที่จำเป็นสำหรับปริญญา และวิธีใช้ความรู้ในชีวิตประจำวัน โปรดอ่านบทความนี้
และแน่นอนว่าความรู้ด้านปริญญาจะทำให้คุณเข้าใกล้ความสำเร็จในการผ่านการสอบ Unified State หรือ Unified State และการเข้ามหาวิทยาลัยในฝันของคุณ
ไปกันเถอะ... (ไปกันเถอะ!)
โน๊ตสำคัญ! หากคุณเห็น gobbledygook แทนที่จะเป็นสูตร ให้ล้างแคชของคุณ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้กด CTRL+F5 (บน Windows) หรือ Cmd+R (บน Mac)
ระดับแรก
การยกกำลังเป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เหมือนกับการบวก ลบ คูณ หาร
ตอนนี้ฉันจะอธิบายทุกอย่างเป็นภาษามนุษย์โดยใช้ตัวอย่างง่ายๆ ระวัง. ตัวอย่างเป็นเพียงเรื่องเบื้องต้นแต่อธิบายเรื่องสำคัญได้
เริ่มต้นด้วยการเพิ่ม
ไม่มีอะไรจะอธิบายที่นี่ คุณรู้ทุกอย่างแล้ว: มีพวกเราแปดคน ทุกคนมีโคล่าสองขวด โคล่ามีเท่าไหร่? ถูกต้อง - 16 ขวด
ตอนนี้การคูณ
ตัวอย่างเดียวกันกับ cola สามารถเขียนได้แตกต่างกัน: . นักคณิตศาสตร์เป็นคนฉลาดและขี้เกียจ ก่อนอื่นพวกเขาจะสังเกตเห็นรูปแบบบางอย่าง จากนั้นจึงหาวิธี "นับ" พวกมันให้เร็วขึ้น ในกรณีของเรา พวกเขาสังเกตเห็นว่าคนทั้งแปดคนมีจำนวนขวดโคล่าเท่ากัน จึงเกิดเทคนิคที่เรียกว่าการคูณ เห็นด้วยถือว่าง่ายและเร็วกว่า
ดังนั้นหากต้องการนับเร็วขึ้น ง่ายขึ้น และไม่มีข้อผิดพลาด คุณเพียงแค่ต้องจำไว้ ตารางสูตรคูณ. แน่นอนว่าคุณสามารถทำทุกอย่างให้ช้าลง ยากขึ้น และมีข้อผิดพลาดได้! แต่…
นี่คือตารางสูตรคูณ ทำซ้ำ.
และอีกอย่างที่สวยงามกว่า:
นักคณิตศาสตร์ขี้เกียจมีเทคนิคการนับอันชาญฉลาดอะไรอีกบ้าง? ขวา - การยกจำนวนให้เป็นกำลัง.
การยกจำนวนให้เป็นกำลัง
หากคุณต้องการคูณตัวเลขด้วยตัวมันเองห้าครั้ง นักคณิตศาสตร์บอกว่าคุณต้องเพิ่มจำนวนนั้นให้เป็นกำลังห้า ตัวอย่างเช่น, . นักคณิตศาสตร์จำได้ว่ากำลังสองกำลังห้าคือ... และพวกเขาก็แก้ไขปัญหาในหัวได้ - เร็วขึ้น ง่ายขึ้น และไม่มีข้อผิดพลาด
สิ่งที่คุณต้องทำคือ จำสิ่งที่เน้นด้วยสีในตารางเลขยกกำลัง. เชื่อฉันสิสิ่งนี้จะทำให้ชีวิตของคุณง่ายขึ้นมาก
เหตุใดจึงเรียกว่าระดับที่สอง? สี่เหลี่ยมตัวเลขและอันที่สาม - ลูกบาศก์? มันหมายความว่าอะไร? คำถามที่ดีมาก ตอนนี้คุณจะมีทั้งสี่เหลี่ยมและลูกบาศก์
ตัวอย่างชีวิตจริง #1
เริ่มจากกำลังสองหรือกำลังสองของตัวเลขกันก่อน
ลองนึกภาพสระน้ำสี่เหลี่ยมขนาดหนึ่งเมตรคูณหนึ่งเมตร สระว่ายน้ำอยู่ที่เดชาของคุณ ร้อนแล้วอยากเล่นน้ำจังเลย แต่... สระไม่มีก้น! คุณต้องปูกระเบื้องด้านล่างของสระ คุณต้องการกระเบื้องกี่แผ่น? เพื่อระบุสิ่งนี้คุณจำเป็นต้องทราบพื้นที่ด้านล่างของสระ
คุณสามารถคำนวณได้ง่ายๆ ด้วยการชี้นิ้วว่าก้นสระประกอบด้วยลูกบาศก์เมตรต่อลูกบาศก์เมตร หากคุณมีกระเบื้องขนาด 1 เมตร x 1 เมตร คุณจะต้องใช้กระเบื้องเป็นชิ้นๆ ง่ายนิดเดียว...แต่เคยเห็นกระเบื้องแบบนี้ที่ไหน? กระเบื้องน่าจะเป็นซม. ต่อซม. แล้วคุณจะถูกทรมานด้วยการ "นับนิ้ว" จากนั้นคุณต้องคูณ ดังนั้นด้านหนึ่งของก้นสระเราจะใส่กระเบื้อง (ชิ้น) และอีกด้านหนึ่งก็ใส่กระเบื้องด้วย คูณด้วยแล้วคุณจะได้ไทล์ ()
คุณสังเกตไหมว่าในการกำหนดพื้นที่ก้นสระเราคูณจำนวนเดียวกันด้วยตัวมันเอง? มันหมายความว่าอะไร? เนื่องจากเรากำลังคูณจำนวนเดียวกัน เราจึงใช้เทคนิค "การยกกำลัง" ได้ (แน่นอนว่าเมื่อคุณมีตัวเลขเพียงสองตัวคุณยังต้องคูณหรือยกกำลัง แต่ถ้าคุณมีจำนวนมาก การยกกำลังจะง่ายกว่ามากและยังมีข้อผิดพลาดในการคำนวณน้อยกว่าด้วย . สำหรับการสอบ Unified State นี่สำคัญมาก)
ดังนั้น ยกกำลังสามสิบสองจะเป็น () หรือเราบอกได้ว่า 30 กำลังสองจะเป็น. กล่าวอีกนัยหนึ่ง กำลังสองของตัวเลขสามารถแสดงเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้เสมอ และในทางกลับกัน หากคุณเห็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส มันจะเป็นกำลังสองของจำนวนใดจำนวนหนึ่งเสมอ สี่เหลี่ยมจัตุรัสคือภาพกำลังสองของตัวเลข
ตัวอย่างชีวิตจริง #2
นี่คืองานสำหรับคุณ: นับจำนวนสี่เหลี่ยมบนกระดานหมากรุกโดยใช้กำลังสองของตัวเลข... ที่ด้านหนึ่งของเซลล์และอีกด้านหนึ่งด้วย ในการคำนวณจำนวนนั้น คุณต้องคูณแปดด้วยแปด หรือ... หากคุณสังเกตเห็นว่ากระดานหมากรุกเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน คุณก็ยกกำลังสองได้แปด คุณจะได้รับเซลล์ () ดังนั้น?
ตัวอย่างชีวิตจริง #3
ทีนี้ลูกบาศก์หรือกำลังสามของตัวเลข สระเดียวกัน. แต่ตอนนี้คุณต้องค้นหาว่าจะต้องเทน้ำลงในสระนี้มากแค่ไหน คุณต้องคำนวณปริมาตร (ปริมาตรและของเหลววัดเป็นลูกบาศก์เมตร ไม่คาดคิดใช่ไหม?) วาดสระ: ด้านล่างมีขนาด 1 เมตร ลึก 1 เมตร แล้วลองคำนวณดูว่าลูกบาศก์จะวัดได้ 1 เมตรต่อเมตรกี่ลูกบาศก์เมตร พอดีกับสระน้ำของคุณ
เพียงชี้นิ้วของคุณแล้วนับ! หนึ่ง สอง สาม สี่...ยี่สิบสอง ยี่สิบสาม...คุณได้มากี่อัน? ไม่หาย? นิ้วนับยากไหม? ดังนั้น! นำตัวอย่างจากนักคณิตศาสตร์ พวกเขาขี้เกียจ ดังนั้นพวกเขาจึงสังเกตว่าในการคำนวณปริมาตรของสระ คุณต้องคูณความยาว ความกว้าง และความสูงเข้าด้วยกัน ในกรณีของเรา ปริมาตรสระจะเท่ากับลูกบาศก์... ง่ายกว่าใช่ไหม?
ลองจินตนาการดูว่านักคณิตศาสตร์ที่ขี้เกียจและมีไหวพริบจะเป็นอย่างไรหากพวกเขาทำให้มันง่ายขึ้นเช่นกัน เราลดทุกอย่างลงเป็นการกระทำเดียว พวกเขาสังเกตเห็นว่าความยาว ความกว้าง และความสูงเท่ากัน และจำนวนเท่ากันก็คูณด้วยตัวมันเอง... หมายความว่าอย่างไร? ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถใช้ประโยชน์จากปริญญาได้ ดังนั้น สิ่งที่คุณเคยนับด้วยนิ้วของคุณ มันทำในการกระทำเดียว: สามลูกบาศก์มีค่าเท่ากัน มันเขียนไว้แบบนี้: .
สิ่งที่เหลืออยู่ก็คือ จำตารางองศา. เว้นแต่คุณจะขี้เกียจและมีไหวพริบเหมือนนักคณิตศาสตร์ หากคุณชอบทำงานหนักและทำผิดพลาด คุณสามารถนับนิ้วต่อไปได้
ในที่สุด เพื่อโน้มน้าวคุณว่าปริญญาถูกประดิษฐ์ขึ้นโดยผู้เลิกบุหรี่และคนที่มีไหวพริบเพื่อแก้ไขปัญหาชีวิตของพวกเขา และไม่สร้างปัญหาให้กับคุณ นี่คือตัวอย่างเพิ่มเติมจากชีวิต
ตัวอย่างชีวิตจริง #4
คุณมีเงินหนึ่งล้านรูเบิล ในช่วงต้นปี ทุก ๆ ล้านที่คุณทำได้ คุณก็ทำได้อีกล้าน นั่นคือทุก ๆ ล้านที่คุณมีสองเท่าในช่วงต้นปี คุณจะมีเงินเท่าไหร่ในปี? หากคุณกำลังนั่ง "นับนิ้ว" อยู่ตอนนี้ แสดงว่าคุณเป็นคนที่ทำงานหนักมากและ... โง่เขลา แต่ส่วนใหญ่แล้วคุณจะให้คำตอบภายในไม่กี่วินาทีเพราะคุณฉลาด! ดังนั้น ในปีแรก - สองคูณสอง... ในปีที่สอง - เกิดอะไรขึ้น อีกสองในปีที่สาม... หยุด! คุณสังเกตเห็นว่าจำนวนนั้นคูณด้วยตัวมันเองคูณด้วยตัวมันเอง ดังนั้นสองยกกำลังห้าจึงเป็นล้าน! ทีนี้ลองจินตนาการว่าคุณมีการแข่งขันและคนที่นับได้เร็วที่สุดก็จะได้รับเงินล้านเหล่านี้... มันคุ้มค่าที่จะจดจำพลังของตัวเลขใช่ไหม?
ตัวอย่างชีวิตจริง #5
คุณมีเงินเป็นล้าน ในช่วงต้นปี ทุก ๆ 1 ล้านที่คุณทำ คุณจะได้รับเพิ่มอีก 2 เท่า เยี่ยมมากใช่ไหม? ทุกล้านเป็นสามเท่า คุณจะมีเงินเท่าไหร่ในหนึ่งปี? มานับกัน ปีแรก - คูณด้วยแล้วผลลัพธ์ด้วยอีกปี... มันน่าเบื่ออยู่แล้วเพราะคุณเข้าใจทุกอย่างแล้ว: สามคูณด้วยตัวมันเองคูณด้วยตัวมันเอง ดังนั้นยกกำลังสี่จึงเท่ากับหนึ่งล้าน. คุณแค่ต้องจำไว้ว่าสามยกกำลังสี่คือหรือ
ตอนนี้คุณรู้แล้วว่าการเพิ่มตัวเลขให้มีพลังจะทำให้ชีวิตของคุณง่ายขึ้นมาก เรามาดูกันดีกว่าว่าคุณสามารถทำอะไรได้บ้างกับปริญญาและสิ่งที่คุณต้องรู้เกี่ยวกับปริญญาเหล่านั้น
เงื่อนไขและแนวคิด...เพื่อไม่ให้สับสน
ก่อนอื่น เรามากำหนดแนวคิดกันก่อน คุณคิดอย่างไร, เลขชี้กำลังคืออะไร? ง่ายมาก - มันคือตัวเลขที่ "อยู่ด้านบน" ของเลขยกกำลัง ไม่ใช่วิทยาศาสตร์ แต่ชัดเจนและจำง่าย...
ในขณะเดียวกันอะไร พื้นฐานการศึกษาระดับปริญญาดังกล่าว? ง่ายกว่านั้นคือตัวเลขที่อยู่ด้านล่างที่ฐาน
นี่คือภาพวาดเพื่อการวัดที่ดี
โดยทั่วไปแล้ว เพื่อที่จะสรุปและจดจำได้ดีขึ้น... ระดับที่มีฐาน “ ” และเลขชี้กำลัง “ ” จะอ่านว่า “ถึงระดับ” และเขียนดังนี้:
กำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ
คุณคงเดาได้แล้ว: เพราะเลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ ใช่ แต่มันคืออะไร จำนวนธรรมชาติ? ประถมศึกษา! ตัวเลขธรรมชาติคือตัวเลขที่ใช้ในการนับเมื่อแสดงรายการวัตถุ: หนึ่ง สอง สาม... เมื่อเรานับวัตถุ เราจะไม่พูดว่า: "ลบห้า" "ลบหก" "ลบเจ็ด" เราไม่พูดว่า: "หนึ่งในสาม" หรือ "ศูนย์จุดห้า" พวกนี้ไม่ใช่จำนวนธรรมชาติ คุณคิดว่านี่คือตัวเลขอะไร?
ตัวเลขเช่น "ลบห้า", "ลบหก", "ลบเจ็ด" หมายถึง จำนวนทั้งหมด.โดยทั่วไป จำนวนเต็มประกอบด้วยจำนวนธรรมชาติทั้งหมด จำนวนที่อยู่ตรงข้ามกับจำนวนธรรมชาติ (นั่นคือ ใช้เครื่องหมายลบ) และจำนวน Zero เป็นเรื่องง่ายที่จะเข้าใจ - คือเมื่อไม่มีอะไรเลย ตัวเลขติดลบ (“ลบ”) หมายถึงอะไร? แต่พวกเขาถูกประดิษฐ์ขึ้นเพื่อระบุหนี้เป็นหลัก: หากคุณมียอดคงเหลือในโทรศัพท์เป็นรูเบิลแสดงว่าคุณเป็นหนี้รูเบิลของผู้ให้บริการ
เศษส่วนทั้งหมดเป็นจำนวนตรรกยะ คุณคิดว่าพวกเขาเกิดขึ้นได้อย่างไร? ง่ายมาก. เมื่อหลายพันปีก่อน บรรพบุรุษของเราค้นพบว่าพวกเขาขาดตัวเลขธรรมชาติในการวัดความยาว น้ำหนัก พื้นที่ ฯลฯ และพวกเขาก็คิดขึ้นมาด้วย สรุปตัวเลข... น่าสนใจใช่ไหมล่ะ?
นอกจากนี้ยังมีจำนวนอตรรกยะ ตัวเลขเหล่านี้คืออะไร? กล่าวโดยสรุป มันคือเศษส่วนทศนิยมอนันต์ ตัวอย่างเช่น หากคุณหารเส้นรอบวงของวงกลมด้วยเส้นผ่านศูนย์กลาง คุณจะได้จำนวนอตรรกยะ
สรุป:
ให้เรานิยามแนวคิดของระดับที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ (เช่น จำนวนเต็มและบวก)
- จำนวนใดๆ ที่กำลังยกกำลังแรกจะเท่ากับตัวมันเอง:
- การยกกำลังสองหมายถึงการคูณด้วยตัวมันเอง:
- การยกกำลังสามหมายถึงการคูณด้วยตัวมันเองสามครั้ง:
คำนิยาม.การเพิ่มจำนวนให้เป็นพลังธรรมชาติหมายถึงการคูณจำนวนด้วยตัวมันเองด้วย:
.
คุณสมบัติขององศา
คุณสมบัติเหล่านี้มาจากไหน? ฉันจะแสดงให้คุณดูตอนนี้
มาดูกันว่ามันคืออะไร และ ?
A-ไพรเออรี่:
มีตัวคูณทั้งหมดกี่ตัว?
ง่ายมาก: เราบวกตัวคูณเข้ากับปัจจัย และผลลัพธ์ก็คือตัวคูณ
แต่ตามคำจำกัดความแล้ว นี่คือกำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลัง ซึ่งก็คือ: ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์
ตัวอย่าง: ลดความซับซ้อนของนิพจน์
สารละลาย:
ตัวอย่าง:ลดความซับซ้อนของนิพจน์
สารละลาย:สิ่งสำคัญคือต้องทราบว่าในกฎของเรา อย่างจำเป็นมันคงจะมีเหตุผลเดียวกันสิ!
ดังนั้นเราจึงรวมพลังเข้ากับฐาน แต่ยังคงเป็นปัจจัยที่แยกจากกัน:
เพื่อผลผลิตแห่งพลังเท่านั้น!
คุณไม่สามารถเขียนสิ่งนั้นได้ไม่ว่าในกรณีใด
2. แค่นั้นแหละ กำลังของตัวเลข
เช่นเดียวกับคุณสมบัติก่อนหน้านี้ ให้เรามาดูคำจำกัดความของระดับ:
ปรากฎว่านิพจน์นั้นคูณด้วยตัวมันเองด้วยตัวมันเอง นั่นคือตามคำจำกัดความ นี่คือกำลังที่ th ของตัวเลข:
โดยพื้นฐานแล้ว สิ่งนี้สามารถเรียกได้ว่าเป็น "การเอาตัวบ่งชี้ออกจากวงเล็บ" แต่คุณไม่สามารถทำสิ่งนี้ได้ทั้งหมด:
จำสูตรคูณแบบย่อ: เราต้องการเขียนกี่ครั้ง?
แต่นี่ไม่เป็นความจริงเลย
กำลังที่มีฐานลบ
ถึงจุดนี้ เราได้พูดคุยกันเพียงว่าเลขชี้กำลังควรเป็นเท่าใด
แต่อะไรควรเป็นพื้นฐาน?
อยู่ในอำนาจของ ตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติพื้นฐานอาจเป็นได้ หมายเลขใดก็ได้. อันที่จริง เราสามารถคูณตัวเลขใดๆ เข้าด้วยกันได้ ไม่ว่าจะเป็นค่าบวก ลบ หรือเลขคู่
ลองคิดดูว่าเครื่องหมายใด ("" หรือ "") จะมีระดับของจำนวนบวกและลบ?
เช่น จำนวนเป็นค่าบวกหรือค่าลบ? เอ? ? อย่างแรกทุกอย่างชัดเจน: ไม่ว่าเราจะคูณจำนวนบวกจำนวนเท่าใดผลลัพธ์ก็จะเป็นบวก
แต่สิ่งที่เป็นลบนั้นน่าสนใจกว่าเล็กน้อย เราจำกฎง่ายๆ จากชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 ได้: “ลบสำหรับลบให้บวก” นั่นก็คือหรือ. แต่ถ้าเราคูณด้วย มันก็ได้ผล.
พิจารณาด้วยตัวคุณเองว่าสำนวนต่อไปนี้จะมีเครื่องหมายอะไร:
1) | 2) | 3) |
4) | 5) | 6) |
คุณจัดการหรือไม่?
นี่คือคำตอบ: ในสี่ตัวอย่างแรก ฉันหวังว่าทุกอย่างชัดเจน? เราเพียงแค่ดูที่ฐานและเลขชี้กำลังแล้วใช้กฎที่เหมาะสม
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
ในตัวอย่างที่ 5) ทุกอย่างก็ไม่น่ากลัวเท่าที่ควร: ท้ายที่สุดแล้วไม่สำคัญว่าฐานจะเท่ากับอะไร - ระดับเป็นเลขคู่ซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์จะเป็นค่าบวกเสมอ
ยกเว้นเมื่อฐานเป็นศูนย์ ฐานไม่เท่ากันใช่ไหม? ไม่แน่นอน เนื่องจาก (เพราะ)
ตัวอย่างที่ 6) ไม่ง่ายอีกต่อไป!
6 ตัวอย่างที่ต้องฝึกฝน
การวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหา 6 ตัวอย่าง
ถ้าเราละเลยยกกำลังที่แปด เราเห็นอะไรตรงนี้? เรามาจำโปรแกรมชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 กันเถอะ แล้วคุณจำได้ไหม? นี่คือสูตรการคูณแบบย่อ นั่นคือผลต่างของกำลังสอง! เราได้รับ:
ลองดูตัวส่วนอย่างละเอียด มันดูเหมือนตัวเศษตัวหนึ่งมาก แต่เกิดอะไรขึ้น? ลำดับของเงื่อนไขไม่ถูกต้อง หากกลับรายการ กฎก็สามารถนำไปใช้ได้
แต่จะทำอย่างไร? ปรากฎว่ามันง่ายมาก: ระดับเลขคู่ของตัวส่วนช่วยเราได้
เงื่อนไขเปลี่ยนสถานที่อย่างน่าอัศจรรย์ “ปรากฏการณ์” นี้ใช้กับการแสดงออกใดๆ ในระดับที่เท่ากัน: เราสามารถเปลี่ยนเครื่องหมายในวงเล็บได้อย่างง่ายดาย
แต่สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่า: สัญญาณทั้งหมดเปลี่ยนแปลงไปพร้อมๆ กัน!
กลับไปที่ตัวอย่าง:
และอีกครั้งด้วยสูตร:
ทั้งหมดเราเรียกจำนวนธรรมชาติ จำนวนตรงข้าม (นั่นคือ ใช้เครื่องหมาย " ") และจำนวน
จำนวนเต็มบวกและไม่ต่างจากธรรมชาติเลยทุกอย่างก็ดูเหมือนในส่วนที่แล้วทุกประการ
ตอนนี้เรามาดูกรณีใหม่กัน เริ่มจากตัวบ่งชี้ที่เท่ากับ
จำนวนใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากับหนึ่ง:
เช่นเคย ขอให้เราถามตัวเองว่า ทำไมจึงเป็นเช่นนั้น?
พิจารณาระดับหนึ่งด้วยฐาน ยกตัวอย่างและคูณด้วย:
เราก็คูณตัวเลขด้วย เราก็ได้เหมือนเดิม - . คุณควรคูณเลขอะไรเพื่อไม่ให้มีการเปลี่ยนแปลง? ถูกต้องแล้ว วิธี.
เราสามารถทำเช่นเดียวกันกับหมายเลขใดก็ได้:
ทำซ้ำกฎ:
จำนวนใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากับหนึ่ง
แต่มีข้อยกเว้นสำหรับกฎหลายข้อ และนี่ก็อยู่ตรงนั้นด้วย - นี่คือตัวเลข (เป็นฐาน)
ในด้านหนึ่ง มันจะต้องเท่ากับระดับใดๆ ก็ตาม ไม่ว่าคุณจะคูณศูนย์ด้วยตัวมันเองมากแค่ไหน คุณก็ยังจะได้ศูนย์ นี่ก็ชัดเจน แต่ในทางกลับกัน เช่นเดียวกับเลขยกกำลังศูนย์ ก็ต้องเท่ากัน แล้วเรื่องนี้จริงมากแค่ไหน? นักคณิตศาสตร์ตัดสินใจว่าจะไม่เข้าไปยุ่งและปฏิเสธที่จะเพิ่มศูนย์เป็นศูนย์ นั่นคือตอนนี้เราไม่สามารถหารด้วยศูนย์เท่านั้น แต่ยังเพิ่มเป็นศูนย์ด้วย
เดินหน้าต่อไป นอกจากจำนวนธรรมชาติและตัวเลขแล้ว จำนวนเต็มยังรวมถึงจำนวนลบด้วย เพื่อให้เข้าใจว่ากำลังลบคืออะไร เรามาทำเหมือนครั้งก่อน: คูณจำนวนปกติด้วยจำนวนเดียวกันให้เป็นกำลังลบ:
จากที่นี่ การแสดงสิ่งที่คุณกำลังมองหาเป็นเรื่องง่าย:
ทีนี้ลองขยายกฎผลลัพธ์ไปสู่ระดับที่ต้องการ:
เรามาตั้งกฎกัน:
จำนวนที่มีกำลังเป็นลบคือส่วนกลับของจำนวนเดียวกันที่มีกำลังเป็นบวก แต่ในขณะเดียวกัน ฐานต้องไม่เป็นค่าว่าง:(เพราะคุณไม่สามารถหารด้วย)
สรุป:
I. สำนวนไม่ได้ถูกกำหนดไว้ในกรณีนี้ ถ้าอย่างนั้น.
ครั้งที่สอง จำนวนใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากับหนึ่ง:
สาม. จำนวนที่ไม่เท่ากับศูนย์ยกกำลังลบ คือค่าผกผันของจำนวนเดียวกันยกกำลังบวก:
งานสำหรับโซลูชันอิสระ:
ตามปกติแล้ว ตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ:
การวิเคราะห์ปัญหาเพื่อการแก้ปัญหาอย่างอิสระ:
ฉันรู้ ฉันรู้ว่าตัวเลขนั้นน่ากลัว แต่ในการสอบ Unified State คุณต้องเตรียมตัวให้พร้อมสำหรับทุกสิ่ง! แก้ไขตัวอย่างเหล่านี้หรือวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาหากคุณแก้ไม่ได้ แล้วคุณจะได้เรียนรู้ที่จะรับมือกับตัวอย่างเหล่านี้ได้อย่างง่ายดายในการสอบ!
มาขยายขอบเขตของตัวเลขที่ “เหมาะสม” เป็นเลขชี้กำลังต่อไป
ทีนี้ลองมาพิจารณากัน สรุปตัวเลข.ตัวเลขใดเรียกว่าตรรกยะ?
คำตอบ: ทุกอย่างที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วน โดยที่ และ เป็นจำนวนเต็ม และ
เพื่อทำความเข้าใจว่ามันคืออะไร "ระดับเศษส่วน"ให้พิจารณาเศษส่วน:
ลองยกสมการทั้งสองข้างให้เป็นกำลัง:
ตอนนี้เรามาจำกฎเกี่ยวกับ "ระดับต่อระดับ":
ต้องยกเลขอะไรถึงยกกำลังถึงจะได้?
สูตรนี้เป็นคำจำกัดความของรากของระดับที่
ฉันขอเตือนคุณว่า รากของเลขยกกำลัง th () คือตัวเลขที่เมื่อยกกำลังแล้วจะเท่ากับ
นั่นคือรากของกำลัง th คือการดำเนินการผกผันของการยกกำลัง:
ปรากฎว่า แน่นอนว่ากรณีพิเศษนี้สามารถขยายความได้: .
ตอนนี้เราเพิ่มตัวเศษ: มันคืออะไร? คำตอบนั้นหาได้ง่ายโดยใช้กฎกำลังต่อกำลัง:
แต่ฐานสามารถเป็นตัวเลขใดๆ ได้หรือไม่? ท้ายที่สุดแล้ว ไม่สามารถแยกรูทออกจากตัวเลขทั้งหมดได้
ไม่มี!
ขอให้เราจำกฎนี้ไว้: จำนวนใดๆ ที่ถูกยกกำลังเป็นคู่จะเป็นจำนวนบวก นั่นคือมันเป็นไปไม่ได้ที่จะแยกรากออกจากจำนวนลบ!
ซึ่งหมายความว่าตัวเลขดังกล่าวไม่สามารถยกกำลังเศษส่วนโดยมีตัวส่วนเป็นคู่ได้ กล่าวคือ นิพจน์นี้ไม่สมเหตุสมผล
แล้วการแสดงออกล่ะ?
แต่ที่นี่มีปัญหาเกิดขึ้น
ตัวเลขสามารถแสดงในรูปของเศษส่วนอื่นๆ ที่ลดได้ เช่น หรือ
และปรากฎว่ามันมีอยู่ แต่ไม่มีอยู่จริง แต่นี่เป็นเพียงสองบันทึกที่แตกต่างกันที่มีจำนวนเท่ากัน
หรืออีกตัวอย่างหนึ่ง: ครั้งหนึ่ง คุณก็สามารถจดมันลงไปได้ แต่ถ้าเราเขียนตัวบ่งชี้ต่างออกไป เราก็จะประสบปัญหาอีกครั้ง: (นั่นคือ เราได้ผลลัพธ์ที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง!)
เพื่อหลีกเลี่ยงความขัดแย้งดังกล่าว เราจึงพิจารณา เลขชี้กำลังฐานบวกเท่านั้นที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน.
ดังนั้นหาก:
- - จำนวนธรรมชาติ
- - จำนวนเต็ม;
ตัวอย่าง:
เลขชี้กำลังแบบตรรกยะมีประโยชน์มากในการแปลงนิพจน์ด้วยราก ตัวอย่างเช่น
5 ตัวอย่างที่ต้องฝึกฝน
วิเคราะห์ 5 ตัวอย่างสำหรับการฝึกอบรม
ตอนนี้มาถึงส่วนที่ยากที่สุดแล้ว ตอนนี้เราจะคิดออก องศาที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว.
กฎและคุณสมบัติทั้งหมดขององศาในที่นี้เหมือนกับองศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะทุกประการ ยกเว้น
ตามคำจำกัดความแล้ว จำนวนอตรรกยะคือตัวเลขที่ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ โดยที่ และ เป็นจำนวนเต็ม (นั่นคือ จำนวนอตรรกยะคือจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้นจำนวนตรรกยะ)
เมื่อศึกษาระดับปริญญาด้วยเลขชี้กำลังธรรมชาติ จำนวนเต็ม และตรรกยะ ทุกครั้งที่เราสร้าง "ภาพ" "การเปรียบเทียบ" หรือคำอธิบายบางอย่างในรูปแบบที่คุ้นเคยมากขึ้น
ตัวอย่างเช่น ระดับที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติคือตัวเลขคูณด้วยตัวมันเองหลายครั้ง
...ตัวเลขยกกำลังศูนย์- นี่คือจำนวนที่คูณด้วยตัวมันเองครั้งหนึ่งนั่นคือยังไม่ได้เริ่มคูณซึ่งหมายความว่าจำนวนนั้นยังไม่ปรากฏด้วยซ้ำ - ดังนั้นผลลัพธ์จึงเป็นเพียง "ตัวเลขว่าง" บางตัวเท่านั้น คือตัวเลข
...ระดับจำนวนเต็มลบ- ราวกับว่ามี "กระบวนการย้อนกลับ" เกิดขึ้นนั่นคือจำนวนนั้นไม่ได้คูณด้วยตัวมันเอง แต่ถูกหาร
อย่างไรก็ตามในทางวิทยาศาสตร์มักใช้ระดับที่มีเลขชี้กำลังเชิงซ้อนนั่นคือเลขชี้กำลังไม่ใช่จำนวนจริงด้วยซ้ำ
แต่ที่โรงเรียน เราไม่คิดถึงความยากลำบากดังกล่าว คุณจะมีโอกาสเข้าใจแนวคิดใหม่เหล่านี้ที่สถาบัน
เรามั่นใจว่าคุณจะไปที่ไหน! (ถ้าคุณเรียนรู้ที่จะแก้ตัวอย่างดังกล่าว :))
ตัวอย่างเช่น:
ตัดสินใจด้วยตัวเอง:
การวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหา:
1. เริ่มจากกฎปกติในการเพิ่มพลังเป็นพลัง:
ตอนนี้ดูที่ตัวบ่งชี้ เขาไม่เตือนคุณถึงอะไรเลยเหรอ? ให้เรานึกถึงสูตรการคูณผลต่างกำลังสองแบบย่อ:
ในกรณีนี้,
ปรากฎว่า:
คำตอบ: .
2. เราลดเศษส่วนในเลขชี้กำลังให้อยู่ในรูปแบบเดียวกัน: ทั้งทศนิยมหรือทั้งสองสามัญ เราได้รับตัวอย่าง:
คำตอบ: 16
3. ไม่มีอะไรพิเศษ เราใช้คุณสมบัติปกติขององศา:
ระดับสูง
การกำหนดระดับ
ปริญญาคือการแสดงออกของรูปแบบ: โดยที่:
- — ฐานระดับ;
- - เลขชี้กำลัง
องศาที่มีตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติ (n = 1, 2, 3,...)
การเพิ่มจำนวนให้เป็นพลังธรรมชาติ n หมายถึงการคูณจำนวนด้วยตัวมันเองด้วย:
องศาที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม (0, ±1, ±2,...)
หากเป็นเลขชี้กำลัง จำนวนเต็มบวกตัวเลข:
การก่อสร้าง ถึงระดับศูนย์:
สำนวนนี้ไม่มีกำหนด เพราะในด้านหนึ่ง ระดับใดๆ ก็เป็นเช่นนี้ และอีกด้านหนึ่ง จำนวนใดๆ ที่อยู่ในระดับ th ก็เป็นเช่นนี้
หากเป็นเลขชี้กำลัง จำนวนเต็มลบตัวเลข:
(เพราะคุณไม่สามารถหารด้วย)
อีกครั้งเกี่ยวกับศูนย์: นิพจน์ไม่ได้ถูกกำหนดไว้ในกรณีนี้ ถ้าอย่างนั้น.
ตัวอย่าง:
กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ
- - จำนวนธรรมชาติ
- - จำนวนเต็ม;
ตัวอย่าง:
คุณสมบัติขององศา
เพื่อให้ง่ายต่อการแก้ปัญหา เรามาลองทำความเข้าใจกันดีกว่าว่าคุณสมบัติเหล่านี้มาจากไหน? มาพิสูจน์กันเถอะ
มาดูกันว่าคืออะไรและ?
A-ไพรเออรี่:
ทางด้านขวาของนิพจน์นี้ เราจะได้ผลลัพธ์ดังนี้:
แต่ตามคำจำกัดความแล้ว มันคือกำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลัง นั่นคือ:
Q.E.D.
ตัวอย่าง : ลดความซับซ้อนของนิพจน์
สารละลาย : .
ตัวอย่าง : ลดความซับซ้อนของนิพจน์
สารละลาย : สิ่งสำคัญคือต้องทราบว่าในกฎของเรา อย่างจำเป็นจะต้องมีเหตุผลเดียวกัน ดังนั้นเราจึงรวมพลังเข้ากับฐาน แต่ยังคงเป็นปัจจัยที่แยกจากกัน:
หมายเหตุสำคัญอีกประการหนึ่ง: กฎนี้ - เพื่อผลผลิตแห่งอำนาจเท่านั้น!
คุณไม่สามารถเขียนสิ่งนั้นได้ไม่ว่าในกรณีใด
เช่นเดียวกับคุณสมบัติก่อนหน้านี้ ให้เรามาดูคำจำกัดความของระดับ:
มาจัดกลุ่มงานนี้ใหม่ดังนี้:
ปรากฎว่านิพจน์นั้นคูณด้วยตัวมันเองด้วยตัวมันเอง นั่นคือตามคำจำกัดความ นี่คือกำลังที่ th ของตัวเลข:
โดยพื้นฐานแล้ว สิ่งนี้สามารถเรียกได้ว่าเป็น "การเอาตัวบ่งชี้ออกจากวงเล็บ" แต่คุณไม่สามารถทำสิ่งนี้ได้ทั้งหมด: !
จำสูตรคูณแบบย่อ: เราต้องการเขียนกี่ครั้ง? แต่นี่ไม่เป็นความจริงเลย
กำลังที่มีฐานเป็นลบ
ถึงจุดนี้เราได้พูดคุยกันเพียงว่าควรเป็นอย่างไร ดัชนีองศา แต่อะไรควรเป็นพื้นฐาน? อยู่ในอำนาจของ เป็นธรรมชาติ ตัวบ่งชี้ พื้นฐานอาจเป็นได้ หมายเลขใดก็ได้ .
อันที่จริง เราสามารถคูณตัวเลขใดๆ เข้าด้วยกันได้ ไม่ว่าจะเป็นค่าบวก ลบ หรือเลขคู่ ลองคิดดูว่าเครื่องหมายใด ("" หรือ "") จะมีระดับของจำนวนบวกและลบ?
เช่น จำนวนเป็นค่าบวกหรือค่าลบ? เอ? ?
อย่างแรกทุกอย่างชัดเจน: ไม่ว่าเราจะคูณจำนวนบวกจำนวนเท่าใดผลลัพธ์ก็จะเป็นบวก
แต่สิ่งที่เป็นลบนั้นน่าสนใจกว่าเล็กน้อย เราจำกฎง่ายๆ จากชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 ได้: “ลบสำหรับลบให้บวก” นั่นก็คือหรือ. แต่ถ้าเราคูณด้วย () เราจะได้ -
และไม่มีที่สิ้นสุด: ด้วยการคูณแต่ละครั้งเครื่องหมายจะเปลี่ยนไป สามารถกำหนดกฎง่าย ๆ ต่อไปนี้ได้:
- สม่ำเสมอองศา - หมายเลข เชิงบวก.
- จำนวนลบยกขึ้นเป็น แปลกองศา - หมายเลข เชิงลบ.
- จำนวนบวกทุกระดับจะเป็นจำนวนบวก
- ศูนย์กำลังใดๆ มีค่าเท่ากับศูนย์
พิจารณาด้วยตัวคุณเองว่าสำนวนต่อไปนี้จะมีเครื่องหมายอะไร:
1. | 2. | 3. |
4. | 5. | 6. |
คุณจัดการหรือไม่? นี่คือคำตอบ:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
ในสี่ตัวอย่างแรกฉันหวังว่าทุกอย่างชัดเจน? เราเพียงแค่ดูที่ฐานและเลขชี้กำลังแล้วใช้กฎที่เหมาะสม
ในตัวอย่างที่ 5) ทุกอย่างก็ไม่น่ากลัวเท่าที่ควร: ท้ายที่สุดแล้วไม่สำคัญว่าฐานจะเท่ากับอะไร - ระดับเป็นเลขคู่ซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์จะเป็นค่าบวกเสมอ ยกเว้นเมื่อฐานเป็นศูนย์ ฐานไม่เท่ากันใช่ไหม? ไม่แน่นอน เนื่องจาก (เพราะ)
ตัวอย่างที่ 6) ไม่ใช่เรื่องง่ายอีกต่อไป ที่นี่คุณต้องค้นหาว่าอันไหนน้อยกว่า: หรือ? ถ้าเราจำได้ ก็จะชัดเจนว่า ซึ่งหมายความว่าฐานมีค่าน้อยกว่าศูนย์ นั่นคือเราใช้กฎข้อที่ 2: ผลลัพธ์จะเป็นลบ
และอีกครั้งที่เราใช้คำจำกัดความของระดับ:
ทุกอย่างเป็นไปตามปกติ - เราเขียนคำจำกัดความขององศาแล้วหารซึ่งกันและกันแบ่งเป็นคู่แล้วรับ:
ก่อนที่เราจะดูกฎข้อสุดท้าย เรามาแก้ตัวอย่างกันก่อน
คำนวณนิพจน์:
โซลูชั่น :
ถ้าเราละเลยยกกำลังที่แปด เราเห็นอะไรตรงนี้? เรามาจำโปรแกรมชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 กันเถอะ แล้วคุณจำได้ไหม? นี่คือสูตรการคูณแบบย่อ นั่นคือผลต่างของกำลังสอง!
เราได้รับ:
ลองดูตัวส่วนอย่างละเอียด มันดูเหมือนตัวเศษตัวหนึ่งมาก แต่เกิดอะไรขึ้น? ลำดับของเงื่อนไขไม่ถูกต้อง หากกลับกันก็สามารถใช้กฎข้อ 3 ได้ แต่อย่างไร? ปรากฎว่ามันง่ายมาก: ระดับเลขคู่ของตัวส่วนช่วยเราได้
ถ้าคูณมันไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลงใช่ไหม? แต่ตอนนี้ปรากฎดังนี้:
เงื่อนไขเปลี่ยนสถานที่อย่างน่าอัศจรรย์ “ปรากฏการณ์” นี้ใช้กับการแสดงออกใดๆ ในระดับที่เท่ากัน: เราสามารถเปลี่ยนเครื่องหมายในวงเล็บได้อย่างง่ายดาย แต่สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่า: สัญญาณทั้งหมดเปลี่ยนไปพร้อมๆ กัน!คุณไม่สามารถแทนที่ด้วยการเปลี่ยนข้อเสียเดียวที่เราไม่ชอบได้!
กลับไปที่ตัวอย่าง:
และอีกครั้งด้วยสูตร:
ตอนนี้กฎข้อสุดท้าย:
เราจะพิสูจน์ได้อย่างไร? แน่นอน เหมือนเช่นเคย มาขยายแนวคิดเรื่องปริญญาและทำให้ง่ายขึ้น:
ทีนี้มาเปิดวงเล็บกันดีกว่า มีตัวอักษรทั้งหมดกี่ตัว? คูณด้วยคูณ - สิ่งนี้ทำให้คุณนึกถึงอะไร? นี่ไม่ใช่อะไรมากไปกว่าคำจำกัดความของการดำเนินการ การคูณ: ที่นั่นมีแต่ตัวคูณเท่านั้น ตามคำจำกัดความแล้ว นั่นคือกำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลัง:
ตัวอย่าง:
องศาที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว
นอกจากข้อมูลเกี่ยวกับองศาสำหรับระดับเฉลี่ยแล้ว เราจะวิเคราะห์ระดับด้วยเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว กฎและคุณสมบัติทั้งหมดขององศาในที่นี้เหมือนกันทุกประการกับดีกรีที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ ยกเว้นว่า ตามคำจำกัดความแล้ว จำนวนอตรรกยะคือตัวเลขที่ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ โดยที่ และ เป็นจำนวนเต็ม (นั่นคือ จำนวนอตรรกยะคือจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้นจำนวนตรรกยะ)
เมื่อศึกษาระดับปริญญาด้วยเลขชี้กำลังธรรมชาติ จำนวนเต็ม และตรรกยะ ทุกครั้งที่เราสร้าง "ภาพ" "การเปรียบเทียบ" หรือคำอธิบายบางอย่างในรูปแบบที่คุ้นเคยมากขึ้น ตัวอย่างเช่น ระดับที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติคือตัวเลขคูณด้วยตัวมันเองหลายครั้ง จำนวนยกกำลัง 0 เหมือนเดิมคือจำนวนคูณด้วยตัวมันเองหนึ่งครั้ง นั่นคือ ยังไม่ได้เริ่มคูณ ซึ่งหมายความว่าจำนวนนั้นยังไม่ปรากฏด้วยซ้ำ ดังนั้น ผลลัพธ์จึงเป็นเพียงค่าที่แน่นอนเท่านั้น “หมายเลขว่าง” คือตัวเลข ระดับที่มีเลขชี้กำลังลบจำนวนเต็ม - ราวกับว่ามี "กระบวนการย้อนกลับ" เกิดขึ้นนั่นคือจำนวนนั้นไม่ได้คูณด้วยตัวมันเอง แต่ถูกหาร
เป็นเรื่องยากมากที่จะจินตนาการถึงระดับหนึ่งด้วยเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว (เช่นเดียวกับที่เป็นการยากที่จะจินตนาการถึงปริภูมิ 4 มิติ) มันค่อนข้างเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ล้วนๆ ที่นักคณิตศาสตร์สร้างขึ้นเพื่อขยายแนวคิดเรื่ององศาให้ครอบคลุมพื้นที่ทั้งหมดของตัวเลข
อย่างไรก็ตามในทางวิทยาศาสตร์มักใช้ระดับที่มีเลขชี้กำลังเชิงซ้อนนั่นคือเลขชี้กำลังไม่ใช่จำนวนจริงด้วยซ้ำ แต่ที่โรงเรียน เราไม่คิดถึงความยากลำบากดังกล่าว คุณจะมีโอกาสเข้าใจแนวคิดใหม่เหล่านี้ที่สถาบัน
แล้วเราจะทำอย่างไรถ้าเราเห็นเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว? เราพยายามอย่างดีที่สุดเพื่อกำจัดมัน! :)
ตัวอย่างเช่น:
ตัดสินใจด้วยตัวเอง:
1) | 2) | 3) |
คำตอบ:
- มาจำความแตกต่างของสูตรกำลังสองกันดีกว่า คำตอบ: .
- เราลดเศษส่วนให้อยู่ในรูปแบบเดียวกัน: ทั้งทศนิยมหรือทั้งสองสามัญ เราได้รับตัวอย่าง: .
- ไม่มีอะไรพิเศษ เราใช้คุณสมบัติปกติขององศา:
สรุปส่วนและสูตรพื้นฐาน
ระดับเรียกว่าการแสดงออกของแบบฟอร์ม: โดยที่:
ปริญญาที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม
ระดับที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ (เช่น จำนวนเต็มและบวก)
กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ
องศา ซึ่งมีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนลบและเศษส่วน
องศาที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว
ระดับที่เลขชี้กำลังเป็นเศษส่วนหรือรากทศนิยมอนันต์
คุณสมบัติขององศา
คุณสมบัติขององศา
- จำนวนลบยกขึ้นเป็น สม่ำเสมอองศา - หมายเลข เชิงบวก.
- จำนวนลบยกขึ้นเป็น แปลกองศา - หมายเลข เชิงลบ.
- จำนวนบวกทุกระดับจะเป็นจำนวนบวก
- ศูนย์เท่ากับกำลังใดๆ
- จำนวนใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากัน
ตอนนี้คุณมีคำว่า...
คุณชอบบทความนี้อย่างไร? เขียนความคิดเห็นด้านล่างไม่ว่าคุณจะชอบหรือไม่
บอกเราเกี่ยวกับประสบการณ์ของคุณในการใช้คุณสมบัติระดับ
บางทีคุณอาจมีคำถาม หรือข้อเสนอแนะ
เขียนในความคิดเห็น
และขอให้โชคดีในการสอบ!
บทเรียนและการนำเสนอในหัวข้อ: "เลขชี้กำลังที่มีเลขชี้กำลังลบ ความหมายและตัวอย่างการแก้ปัญหา"
วัสดุเพิ่มเติม
เรียนผู้ใช้ อย่าลืมแสดงความคิดเห็น บทวิจารณ์ และความปรารถนาของคุณ วัสดุทั้งหมดได้รับการตรวจสอบโดยโปรแกรมป้องกันไวรัส
เครื่องช่วยการศึกษาและเครื่องจำลองในร้านค้าออนไลน์ Integral สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 8
คู่มือตำราเรียน Muravin G.K. คู่มือตำราเรียนโดย Alimov Sh.A.
การหาระดับด้วยเลขชี้กำลังเป็นลบ
พวกเราเก่งเรื่องการเพิ่มตัวเลขให้มีพลังตัวอย่างเช่น: $2^4=2*2*2*2=16$ $((-3))^3=(-3)*(-3)*(-3)=27$.
เรารู้ดีว่าจำนวนใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากับหนึ่ง $a^0=1$, $a≠0$.
คำถามเกิดขึ้น จะเกิดอะไรขึ้นถ้าคุณยกจำนวนขึ้นเป็นลบ? ตัวอย่างเช่น ตัวเลข $2^(-2)$ จะเท่ากับเท่าใด
นักคณิตศาสตร์กลุ่มแรกที่ถามคำถามนี้ตัดสินใจว่ามันไม่คุ้มที่จะประดิษฐ์วงล้อขึ้นมาใหม่ และเป็นการดีที่คุณสมบัติขององศาทั้งหมดยังคงเหมือนเดิม นั่นคือเมื่อคูณเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน เลขยกกำลังจะรวมกัน
ลองพิจารณากรณีนี้: $2^3*2^(-3)=2^(3-3)=2^0=1$
เราพบว่าผลคูณของตัวเลขดังกล่าวควรให้หนึ่ง หน่วยในผลคูณได้จากการคูณตัวเลขส่วนกลับ ซึ่งก็คือ $2^(-3)=\frac(1)(2^3)$
การให้เหตุผลดังกล่าวนำไปสู่คำจำกัดความต่อไปนี้
คำนิยาม. หาก $n$ เป็นจำนวนธรรมชาติและ $a≠0$ ความเท่าเทียมกันก็จะคงอยู่: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$
ข้อมูลระบุตัวตนที่สำคัญที่มักใช้คือ: $(\frac(a)(b))^(-n)=(\frac(b)(a))^n$
โดยเฉพาะอย่างยิ่ง $(\frac(1)(a))^(-n)=a^n$
ตัวอย่างการแก้ปัญหา
ตัวอย่างที่ 1คำนวณ: $2^(-3)+(\frac(2)(5))^(-2)-8^(-1)$
สารละลาย.
ลองพิจารณาแต่ละเทอมแยกกัน
1. $2^(-3)=\frac(1)(2^3)=\frac(1)(2*2*2)=\frac(1)(8)$
2. $(\frac(2)(5))^(-2)=(\frac(5)(2))^2=\frac(5^2)(2^2)=\frac(25) (4)$.
3. $8^(-1)=\frac(1)(8)$.
ยังคงต้องดำเนินการบวกและลบ: $\frac(1)(8)+\frac(25)(4)-\frac(1)(8)=\frac(25)(4)=6\frac( 1) (4)$.
คำตอบ: $6\frac(1)(4)$
ตัวอย่างที่ 2
แทนตัวเลขที่กำหนดเป็นกำลัง จำนวนเฉพาะ$\frac(1)(729)$.
สารละลาย.
แน่นอนว่า $\frac(1)(729)=729^(-1)$
แต่ 729 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะที่ลงท้ายด้วย 9 สันนิษฐานได้ว่าจำนวนนี้เป็นกำลังของสาม หาร 729 ด้วย 3 อย่างสม่ำเสมอ
1) $\frac(729)(3)=243$;
2) $\frac(243)(3)=81$;
3) $\frac(81)(3)=27$;
4) $\frac(27)(3)=9$;
5) $\frac(9)(3)=3$;
6) $\frac(3)(3)=1$.
มีการดำเนินการหกครั้ง และนั่นหมายความว่า: $729=3^6$
สำหรับงานของเรา:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
คำตอบ: $3^(-6)$.
ตัวอย่างที่ 3 แสดงนิพจน์เป็นการยกกำลัง: $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))$
สารละลาย. การกระทำแรกจะดำเนินการในวงเล็บเสมอ จากนั้นจึงคูณ $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))= \frac (a^6*a^(-10))((a^5)^(-1))=\frac(a^((-4)))(a^((-5)))= ก^ (-4-(-5))=a^(-4+5)=a$
คำตอบ: $a$.
ตัวอย่างที่ 4 พิสูจน์ตัวตน:
$(\frac(y^2 (xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)*\frac(y^2(x^(-2) )+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y)):\frac(1-x^(-1) y)(xy^(-1 ) +1)=\frac(x-y)(x+y)$
สารละลาย.
ทางด้านซ้าย เราจะพิจารณาแต่ละปัจจัยในวงเล็บแยกกัน
1. $\frac(y^2(xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)=\frac(y^2(\frac(x )(y)-1)^2)(x(1+\frac(y)(x))^2) =\frac(y^2(\frac(x^2)(y^2)-2\ frac(x)(y)+1))(x(1+2\frac(y)(x)+\frac(y^2)(x^2)))=\frac(x^2-2xy+ y ^2)(x+2y+\frac(y^2)(x))=\frac(x^2-2xy+y^2)(\frac(x^2+2xy+y^2)(x) ) =\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))$
2. $\frac(y^2(x^(-2)+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))=\frac(y^ 2(\frac(1)(x^2)+\frac(1)(y^2)))(x(\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac (\frac(y^2)(x^2)+1)(\frac(x^2)(y)+y)=\frac(\frac(y^2+x^2)(x^2) )((\frac(x^2+y^2)(y)))=\frac(y^2+x^2)(x^2) *\frac(y)(x^2+y^2 )=\frac(y)(x^2)$.
3. $\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))*\frac(y)(x^2)=\frac(y(x ^2-2xy+y^2))(x(x^2+2xy+y^2))=\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2)$
4. มาดูเศษส่วนที่เราหารด้วยกันดีกว่า.
$\frac(1-x^(-1)y)(xy^(-1)+1)=\frac(1-\frac(y)(x))(\frac(x)(y)+1 )=\frac(\frac(x-y)(x))(\frac(x+y)(y))=\frac(x-y)(x)*\frac(y)(x+y)=\frac( y(x-y))(x(x+y))$.
5. มาทำการแบ่งกัน
$\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2):\frac(y(x-y))(x(x+y))=\frac(y(x-y)^2)( x(x+y)^2)*\frac(x(x+y))(y(x-y))=\frac(x-y)(x+y)$.
เราได้รับตัวตนที่ถูกต้อง ซึ่งเป็นสิ่งที่เราจำเป็นต้องพิสูจน์
ในตอนท้ายของบทเรียน เราจะเขียนกฎสำหรับการทำงานกับกำลังอีกครั้ง โดยที่เลขชี้กำลังคือจำนวนเต็ม
$a^s*a^t=a^(s+t)$.
$\frac(a^s)(a^t)=a^(s-t)$.
$(a^s)^t=a^(st)$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\frac(a)(b))^s=\frac(a^s)(b^s)$.
ปัญหาที่ต้องแก้ไขอย่างอิสระ
1. คำนวณ: $3^(-2)+(\frac(3)(4))^(-3)+9^(-1)$2. แสดงจำนวนที่กำหนดเป็นกำลังของจำนวนเฉพาะ $\frac(1)(16384)$
3. แสดงการแสดงออกที่เป็นพลัง:
$\frac(b^(-8)*(b^3)^(-4))((b^2*b^(-7))^3)$.
4. พิสูจน์ตัวตน:
$(\frac(b^(-ม.)-c^(-ม.))(b^(-ม.)+c^(-ม.))+\frac(b^(-ม.)+c^(-ม. ))(c^(-m)-b^(-m)))=\frac(4)(b^m c^(-m)-b^(-m)c^m) $.
กำลังนี้ใช้เพื่อทำให้การดำเนินการคูณตัวเลขง่ายขึ้น ตัวอย่างเช่น แทนที่จะเขียน คุณสามารถเขียนได้ 4 5 (\displaystyle 4^(5))(คำอธิบายสำหรับการเปลี่ยนแปลงนี้มีให้ไว้ในส่วนแรกของบทความนี้) องศาช่วยให้เขียนนิพจน์หรือสมการที่ยาวหรือซับซ้อนได้ง่ายขึ้น เลขยกกำลังยังง่ายต่อการบวกและลบ ส่งผลให้นิพจน์หรือสมการง่ายขึ้น (เช่น 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).
บันทึก:หากคุณต้องการแก้สมการเลขชี้กำลัง (ในสมการที่ไม่ทราบค่าอยู่ในเลขชี้กำลัง) ให้อ่าน
ขั้นตอน
การแก้ปัญหาง่ายๆด้วยองศา
- 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
- 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)
-
คูณผลลัพธ์ (16 ในตัวอย่างของเรา) ด้วยตัวเลขถัดไปแต่ละผลลัพธ์ที่ตามมาจะเพิ่มขึ้นตามสัดส่วน ในตัวอย่างของเรา คูณ 16 ด้วย 4 แบบนี้:
- 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
- 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
- 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
- 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
- 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
- 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
- คูณผลลัพธ์ของตัวเลขสองตัวแรกด้วยตัวเลขถัดไปจนกว่าคุณจะได้คำตอบสุดท้าย เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณตัวเลขสองตัวแรก แล้วคูณผลลัพธ์ที่ได้ด้วยตัวเลขถัดไปในลำดับ วิธีนี้ใช้ได้กับทุกระดับ ในตัวอย่างของเรา คุณควรได้รับ: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .
- 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
-
แก้ไขปัญหาต่อไปนี้ตรวจสอบคำตอบของคุณโดยใช้เครื่องคิดเลข
- 8 2 (\displaystyle 8^(2))
- 3 4 (\displaystyle 3^(4))
- 10 7 (\displaystyle 10^(7))
-
บนเครื่องคิดเลข ให้มองหาปุ่มที่มีข้อความว่า "exp" หรือ " xn (\รูปแบบการแสดงผล x^(n))" หรือ "^"การใช้คีย์นี้ คุณจะเพิ่มตัวเลขเป็นกำลัง แทบจะเป็นไปไม่ได้เลยที่จะคำนวณระดับด้วยตัวบ่งชี้ขนาดใหญ่ด้วยตนเอง (เช่น องศา 9 15 (\displaystyle 9^(15))) แต่เครื่องคิดเลขสามารถรับมือกับงานนี้ได้อย่างง่ายดาย ใน Windows 7 เครื่องคิดเลขมาตรฐานสามารถเปลี่ยนเป็นโหมดวิศวกรรมได้ โดยคลิก "ดู" -> "วิศวกรรม" หากต้องการเปลี่ยนเป็นโหมดปกติ คลิก "ดู" -> "ปกติ"
- ตรวจสอบคำตอบของคุณโดยใช้ เครื่องมือค้นหา(Google หรือยานเดกซ์). ใช้ปุ่ม "^" บนแป้นพิมพ์คอมพิวเตอร์ของคุณ ป้อนนิพจน์ลงในเครื่องมือค้นหา ซึ่งจะแสดงคำตอบที่ถูกต้องทันที (และอาจแนะนำนิพจน์ที่คล้ายกันเพื่อให้คุณศึกษา)
การบวก ลบ คูณ ยกกำลัง
-
คุณสามารถเพิ่มและลบองศาได้ก็ต่อเมื่อมีฐานเท่ากันเท่านั้นหากคุณต้องการเพิ่มกำลังด้วยฐานและเลขชี้กำลังเดียวกัน คุณสามารถแทนที่การดำเนินการบวกด้วยการดำเนินการคูณได้ ตัวอย่างเช่นเมื่อกำหนดนิพจน์ 4 5 + 4 5 (\รูปแบบการแสดงผล 4^(5)+4^(5)). จำไว้ว่าปริญญา 4 5 (\displaystyle 4^(5))สามารถแสดงเป็นแบบฟอร์มได้ 1 ∗ 4 5 (\รูปแบบการแสดงผล 1*4^(5)); ดังนั้น, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(โดยที่ 1 +1 =2) นั่นคือ นับจำนวนองศาที่คล้ายกัน แล้วคูณองศานั้นกับจำนวนนี้ ในตัวอย่างของเรา ให้ยก 4 ยกกำลัง 5 แล้วคูณผลลัพธ์ที่ได้ด้วย 2 โปรดจำไว้ว่าการดำเนินการบวกสามารถแทนที่ได้ด้วยการดำเนินการคูณ ตัวอย่างเช่น 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). นี่คือตัวอย่างอื่นๆ:
- 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
- 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
- 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
- 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))
-
เมื่อคูณเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน เลขชี้กำลังของมันจะถูกบวกเข้าไป (ฐานไม่เปลี่ยนแปลง)ตัวอย่างเช่นเมื่อกำหนดนิพจน์ x 2 ∗ x 5 (\รูปแบบการแสดงผล x^(2)*x^(5)). ในกรณีนี้ คุณเพียงแค่ต้องเพิ่มตัวบ่งชี้ โดยไม่เปลี่ยนแปลงฐาน ดังนั้น, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). นี่คือคำอธิบายภาพของกฎนี้:
เมื่อยกกำลังเป็นยกกำลัง เลขชี้กำลังจะถูกคูณเช่น ได้รับปริญญา. เนื่องจากเลขชี้กำลังถูกคูณแล้ว (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). ประเด็นของกฎข้อนี้คือคุณต้องคูณด้วยกำลัง (x 2) (\displaystyle (x^(2)))ด้วยตัวเองห้าครั้ง แบบนี้:
- (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
- (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
- เนื่องจากฐานเท่ากัน เลขชี้กำลังจึงรวมกันได้: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))
-
กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบควรแปลงเป็นเศษส่วน (กำลังย้อนกลับ)มันไม่สำคัญหรอกถ้าคุณไม่รู้ว่าปริญญาตอบแทนคืออะไร หากคุณได้รับปริญญาที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบ เช่น 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2))เขียนระดับนี้ในตัวส่วนของเศษส่วน (ใส่ 1 ในตัวเศษ) แล้วทำให้เลขชี้กำลังเป็นบวก ในตัวอย่างของเรา: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). นี่คือตัวอย่างอื่นๆ:
เมื่อหารองศาด้วยฐานเดียวกัน เลขยกกำลังจะถูกลบออก (ฐานไม่เปลี่ยนแปลง)การดำเนินการหารจะตรงกันข้ามกับการคูณ ตัวอย่างเช่นเมื่อกำหนดนิพจน์ 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). ลบเลขชี้กำลังในตัวส่วนออกจากเลขชี้กำลังในตัวเศษ (อย่าเปลี่ยนฐาน) ดังนั้น, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .
- ยกกำลังในตัวส่วนสามารถเขียนได้ดังนี้: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). โปรดจำไว้ว่าเศษส่วนคือตัวเลข (ยกกำลัง นิพจน์) ที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบ
-
ด้านล่างนี้คือสำนวนบางส่วนที่จะช่วยให้คุณเรียนรู้วิธีแก้ปัญหาเกี่ยวกับเลขชี้กำลังสำนวนที่ให้ครอบคลุมเนื้อหาที่นำเสนอในส่วนนี้ หากต้องการดูคำตอบ เพียงเลือกช่องว่างหลังเครื่องหมายเท่ากับ
การแก้ปัญหาด้วยเลขชี้กำลังเศษส่วน
-
ถ้าเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วนเกิน เลขชี้กำลังนั้นสามารถแบ่งออกเป็นสองกำลังเพื่อทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้น ไม่มีอะไรซับซ้อนเกี่ยวกับเรื่องนี้ - เพียงจำกฎแห่งการคูณพลัง เช่น ได้รับปริญญา. แปลงกำลังดังกล่าวเป็นรากที่มีกำลังเท่ากับตัวส่วนของเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน แล้วยกกำลังนี้ให้เป็นกำลังเท่ากับตัวเศษของเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ จำไว้ว่า 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). ในตัวอย่างของเรา:
- x 5 3 (\รูปแบบการแสดงผล x^(\frac (5)(3)))
- x 1 3 = x 3 (\รูปแบบการแสดงผล x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
- x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
- เครื่องคิดเลขบางเครื่องมีปุ่มสำหรับคำนวณเลขยกกำลัง (คุณต้องป้อนเลขฐานก่อน จากนั้นจึงกดปุ่ม จากนั้นจึงป้อนเลขยกกำลัง) มันเขียนแทนด้วย ^ หรือ x^y
- จำไว้ว่าจำนวนใดๆ ยกกำลัง 1 จะเท่ากับตัวมันเอง เช่น 4 1 = 4 (\displaystyle 4^(1)=4.)ยิ่งไปกว่านั้น จำนวนใดๆ ที่ถูกคูณหรือหารด้วยหนึ่งจะเท่ากับตัวมันเอง เช่น 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5)และ 5 / 1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
- รู้ว่าไม่มีกำลัง 0 0 (กำลังดังกล่าวไม่มีวิธีแก้ปัญหา) หากคุณพยายามแก้ปริญญาดังกล่าวด้วยเครื่องคิดเลขหรือคอมพิวเตอร์ คุณจะได้รับข้อผิดพลาด แต่จำไว้ว่าจำนวนใดๆ ที่กำลังเป็น 0 คือ 1 เป็นต้น 4 0 = 1 (\displaystyle 4^(0)=1.)
- ในคณิตศาสตร์ชั้นสูง ซึ่งดำเนินการกับจำนวนจินตภาพ: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), ที่ไหน i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e เป็นค่าคงที่ประมาณเท่ากับ 2.7; a เป็นค่าคงที่ตามใจชอบ การพิสูจน์ความเท่าเทียมกันนี้สามารถพบได้ในหนังสือเรียนเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ชั้นสูงทุกเล่ม
กำลังที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน (เช่น ) จะถูกแปลงเป็นการดำเนินการรูตในตัวอย่างของเรา: x 1 2 (\รูปแบบการแสดงผล x^(\frac (1)(2))) = x (\displaystyle (\sqrt (x))). ในที่นี้ไม่สำคัญว่าจำนวนใดในตัวส่วนของเลขชี้กำลังเศษส่วน ตัวอย่างเช่น, x 1 4 (\รูปแบบการแสดงผล x^(\frac (1)(4)))- คือรากที่สี่ของ "x" นั่นคือ x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .
คำเตือน
- เมื่อเลขชี้กำลังเพิ่มขึ้น มูลค่าของมันจะเพิ่มขึ้นอย่างมาก ดังนั้นหากคำตอบดูเหมือนผิดสำหรับคุณ คำตอบนั้นก็อาจจะถูกต้องจริงๆ คุณสามารถตรวจสอบสิ่งนี้ได้โดยการวางแผนใดๆ ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเช่น 2 x
คูณฐานของเลขชี้กำลังด้วยตัวมันเองหลายๆ ครั้งเท่ากับเลขชี้กำลังหากคุณต้องการแก้ปัญหาเรื่องกำลังด้วยมือ ให้เขียนกำลังใหม่เป็นการคูณ โดยฐานของกำลังจะคูณด้วยตัวมันเอง เช่น ได้รับปริญญา 3 4 (\displaystyle 3^(4)). ในกรณีนี้ฐานของกำลัง 3 ต้องคูณด้วยตัวมันเอง 4 ครั้ง: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). นี่คือตัวอย่างอื่นๆ:
ขั้นแรก ให้คูณตัวเลขสองตัวแรกตัวอย่างเช่น, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). ไม่ต้องกังวล - กระบวนการคำนวณไม่ซับซ้อนเท่าที่เห็นในครั้งแรก ขั้นแรกให้คูณสองสี่ตัวแรกแล้วแทนที่ด้วยผลลัพธ์ แบบนี้: