การยกกำลังสองเศษส่วนออนไลน์ การยกเศษส่วนพีชคณิตให้เป็นกำลัง

เมื่อแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์และพีชคณิต บางครั้งจำเป็นต้องสร้าง เศษส่วนวี สี่เหลี่ยม. วิธีที่ง่ายที่สุดในการทำเช่นนี้คือเมื่อใด เศษส่วนทศนิยม - เครื่องคิดเลขธรรมดาก็เพียงพอแล้ว อย่างไรก็ตามหาก เศษส่วนธรรมดาหรือผสมแล้วเมื่อเพิ่มจำนวนดังกล่าวเป็น สี่เหลี่ยมความยากลำบากบางอย่างอาจเกิดขึ้น

คุณจะต้องการ

• เครื่องคิดเลข คอมพิวเตอร์ โปรแกรม Excel

คำแนะนำ

เพื่อเพิ่มทศนิยม เศษส่วนวี สี่เหลี่ยมเลือกวิชาวิศวกรรม แล้วพิมพ์ว่ามีอะไรในตัว สี่เหลี่ยม เศษส่วนแล้วกดปุ่มเพิ่มไปที่ปุ่มเปิด/ปิดอันที่สอง ในเครื่องคิดเลขส่วนใหญ่ ปุ่มนี้จะมีป้ายกำกับว่า "x²" บนเครื่องคิดเลข Windows มาตรฐาน ฟังก์ชั่นการเพิ่มเป็น สี่เหลี่ยมดูเหมือน "x^2" ตัวอย่างเช่น, สี่เหลี่ยมเศษส่วนทศนิยม 3.14 จะเท่ากับ: 3.14² = 9.8596

เพื่อสร้างเป็น สี่เหลี่ยมทศนิยม เศษส่วนในเครื่องคิดเลขทั่วไป (การบัญชี) ให้คูณตัวเลขนี้ด้วยตัวมันเอง อย่างไรก็ตาม เครื่องคิดเลขบางรุ่นมีความสามารถในการเพิ่มจำนวนได้ สี่เหลี่ยมแม้ว่าจะไม่มีปุ่มพิเศษก็ตาม ดังนั้น ขั้นแรกให้อ่านคำแนะนำสำหรับเครื่องคิดเลขเฉพาะของคุณ บางครั้งมีการให้เลขยกกำลัง "ยุ่งยาก" ไว้บนปกหลังหรือบนเครื่องคิดเลข ตัวอย่างเช่น ในเครื่องคิดเลขหลายเครื่อง ให้เพิ่มตัวเลขเป็น สี่เหลี่ยมเพียงกดปุ่ม "x" และ "="

สำหรับการก่อสร้างใน สี่เหลี่ยมเศษส่วนร่วม (ประกอบด้วยทั้งเศษและส่วน) ยกให้เป็น สี่เหลี่ยมแยกตัวเศษและส่วนของเศษส่วนนี้ออกจากกัน นั่นคือ ใช้กฎต่อไปนี้: (h / z)² = h² / z² โดยที่ h คือตัวเศษของเศษส่วน และ z คือตัวส่วนของเศษส่วน ตัวอย่าง: (3/4)² = 3²/4² = 9 /16.

หากถูกสร้างมา. สี่เหลี่ยม เศษส่วน– คละ (ประกอบด้วยส่วนจำนวนเต็มและเศษส่วนสามัญ) แล้วลดให้เหลือก่อน ลักษณะธรรมดา. นั่นคือ ให้ใช้สูตรต่อไปนี้: (c h/z)² = ((c*z+ch) / z)² = (c*z+ch)² / z² โดยที่ c คือส่วนจำนวนเต็มของเศษส่วนคละ ตัวอย่าง: (3 2/5)² = ((3*5+2) / 5)² = (3*5+2)² / 5² = 17² / 5² = 289/25 = 11 14/25

ถ้าเข้า. สี่เหลี่ยม(ไม่ใช่ ) เศษส่วนเกิดขึ้นตลอดเวลา จากนั้นใช้ MS Excel ในการดำเนินการนี้ ให้ป้อนสูตรต่อไปนี้ลงในตารางใดตารางหนึ่ง: = DEGREE (A2;2) โดยที่ A2 คือที่อยู่ของเซลล์ที่จะป้อนค่าที่เพิ่มขึ้น สี่เหลี่ยม เศษส่วนเพื่อบอกโปรแกรมว่าควรถือว่าหมายเลขอินพุตเป็น เศษส่วน yu (เช่น อย่าแปลงเป็นทศนิยม) ให้พิมพ์ก่อน เศษส่วนฉันมีเลข “0” และเครื่องหมาย “เว้นวรรค” นั่นคือในการป้อนเศษส่วน 2/3 คุณต้องป้อน: "0 2/3" (และกด Enter) ในกรณีนี้ การแสดงทศนิยมของเศษส่วนที่ป้อนจะแสดงในบรรทัดอินพุต ค่าและการแทนเศษส่วนจะถูกบันทึกในรูปแบบดั้งเดิม นอกจากนี้ เมื่อใช้ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ซึ่งมีอาร์กิวเมนต์เป็นเศษส่วนธรรมดา ผลลัพธ์จะแสดงเป็นเศษส่วนสามัญด้วย เพราะฉะนั้น สี่เหลี่ยมเศษส่วน 2/3 จะแสดงเป็น 4/9

เศษส่วนคืออัตราส่วนของตัวเศษต่อตัวส่วน และตัวส่วนต้องไม่เท่ากับศูนย์ และตัวเศษสามารถเป็นอะไรก็ได้

เมื่อเพิ่มเศษส่วนใดๆ ให้เป็นกำลังตามอำเภอใจ เราต้องแยกตัวเศษและส่วนของเศษส่วนให้เป็นกำลังนี้ จากนั้นเราจะต้องนับกำลังเหล่านี้จึงจะได้เศษส่วนที่ยกกำลัง

ตัวอย่างเช่น:

(2/7)^2 = 2^2/7^2 = 4/49

(2 / 3)^3 = (2 / 3) · (2 ​​/ 3) · (2 ​​/ 3) = 2^3 / 3^3

ระดับลบ

หากเรากำลังเผชิญกับ ระดับลบจากนั้นเราต้อง "กลับเศษส่วน" ก่อน จากนั้นจึงยกกำลังตามกฎที่เขียนไว้ด้านบนเท่านั้น

(2/7)^(-2) = (7/2)^2 = 7^2/2^2

ปริญญาจดหมาย

เมื่อทำงานกับค่าตัวอักษรเช่น "x" และ "y" การยกกำลังจะเป็นไปตามกฎเดียวกันกับเมื่อก่อน

เรายังทดสอบตัวเองได้ด้วยการเพิ่มเศษส่วน ½ ยกกำลัง 3 ซึ่งผลลัพธ์ที่ได้คือ ½ * ½ * ½ = 1/8 ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วจะเหมือนกับ

การยกกำลังตามตัวอักษร x^y

การคูณและหารเศษส่วนด้วยยกกำลัง

ถ้าเราคูณเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน ฐานนั้นจะยังคงเหมือนเดิม และเราบวกเลขยกกำลัง หากเราหารองศาด้วยฐานเดียวกัน ฐานขององศาจะยังคงเหมือนเดิม และเลขชี้กำลังขององศาจะถูกลบออก

สิ่งนี้สามารถแสดงได้อย่างง่ายดายด้วยตัวอย่าง:

(3^23)*(3^8)=3^(23+8) = 3^31

(2^4)/(2^3) = 2^(4-3) = 2^1 = 2

เราก็จะได้สิ่งเดียวกันถ้าเราแค่ยกส่วนและเศษเป็นกำลัง 3 และ 4 แยกกัน ตามลำดับ.

การยกเศษส่วนด้วยกำลังหนึ่งไปสู่อีกกำลังหนึ่ง

เมื่อเพิ่มเศษส่วนที่มีอยู่แล้วเป็นยกกำลังอีกครั้ง เราต้องทำการยกกำลังภายในก่อน จากนั้นจึงย้ายไปยังส่วนนอกของการยกกำลัง กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราสามารถคูณกำลังเหล่านี้และเพิ่มเศษส่วนให้เป็นกำลังผลลัพธ์ได้

ตัวอย่างเช่น:

(2^4)^2 = 2^ 4 2 = 2^8

ยกให้เป็นหนึ่ง, รากที่สอง

เราต้องไม่ลืมด้วยว่าการเพิ่มเศษส่วนใดๆ ให้เป็นศูนย์จะทำให้เราได้ 1 เช่นเดียวกับตัวเลขอื่นๆ เมื่อยกกำลังเท่ากับศูนย์ เราก็จะได้ 1

รากที่สองธรรมดาสามารถแสดงเป็นกำลังของเศษส่วนได้

รากที่สอง 3 = 3^(1/2)

หากเรากำลังเผชิญกับ รากที่สองภายใต้ตำแหน่งเศษส่วนนั้นเราสามารถจินตนาการถึงเศษส่วนนี้ในตัวเศษซึ่งจะมีรากที่สองของระดับที่ 2 (เนื่องจากเป็นรากที่สอง)

และตัวส่วนก็จะมีรากที่สองด้วย เช่น กล่าวอีกนัยหนึ่งเราจะเห็นความสัมพันธ์ของรากทั้งสองซึ่งอาจเป็นประโยชน์ในการแก้ปัญหาและตัวอย่างบางส่วน

ถ้าเรายกเศษส่วนที่อยู่ใต้รากที่สองยกกำลัง 2 เราก็จะได้เศษส่วนเท่ากัน

ผลคูณของเศษส่วนทั้งสองที่มีกำลังเท่ากันจะเท่ากับผลคูณของเศษส่วนทั้งสองนี้ ซึ่งแต่ละเศษส่วนจะแยกกันจะอยู่ภายใต้กำลังของมันเอง

ข้อควรจำ: คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้!

นอกจากนี้อย่าลืมโน้ตที่สำคัญมากสำหรับเศษส่วน เช่น ตัวส่วนไม่ควรเท่ากับศูนย์ ในอนาคต ในหลายสมการ เราจะใช้ข้อจำกัดนี้ที่เรียกว่า ODZ ซึ่งเป็นช่วงของค่าที่อนุญาต

เมื่อเปรียบเทียบเศษส่วนสองตัวที่มีฐานเดียวกันแต่ องศาที่แตกต่างกันยิ่งมากเท่าไรก็จะเป็นเศษส่วนที่มีดีกรีมากกว่า และยิ่งน้อยก็คือเศษส่วนที่มีดีกรีน้อยกว่า ถ้าไม่เพียงแต่ฐานเท่านั้น แต่ยังมีดีกรีเท่ากันด้วย เศษส่วนก็ถือว่าเท่ากัน

บทเรียนจะพิจารณาการคูณเศษส่วนในรูปแบบทั่วไปมากขึ้น - การยกกำลัง ก่อนอื่น เราจะพูดถึงพลังธรรมชาติของเศษส่วนและตัวอย่างที่แสดงให้เห็นการดำเนินการที่คล้ายกันกับเศษส่วน ในตอนต้นของบทเรียน เราจะทบทวนการเพิ่มการแสดงออกทั้งหมดสู่พลังธรรมชาติ และดูว่าสิ่งนี้จะมีประโยชน์ในการแก้ตัวอย่างเพิ่มเติมอย่างไร

หัวข้อ: เศษส่วนพีชคณิต. การดำเนินการทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับเศษส่วนพีชคณิต

บทเรียน: การก่อสร้าง เศษส่วนพีชคณิตในระดับ

1. กฎสำหรับการยกเศษส่วนและสำนวนทั้งหมดให้เป็นพลังธรรมชาติพร้อมตัวอย่างเบื้องต้น

กฎสำหรับการเพิ่มเศษส่วนสามัญและพีชคณิตให้เป็นพลังธรรมชาติ:

คุณสามารถวาดความคล้ายคลึงกับระดับของการแสดงออกทั้งหมดและจดจำความหมายของการยกกำลัง:

ตัวอย่างที่ 1 .

ดังที่เห็นได้จากตัวอย่าง การยกเศษส่วนเป็นกำลังคือ กรณีพิเศษการคูณเศษส่วนซึ่งศึกษาในบทเรียนที่แล้ว

ตัวอย่างที่ 2. ก) , ข) - เครื่องหมายลบหายไปเพราะเรายกระดับการแสดงออกให้มีพลังสม่ำเสมอ

เพื่อความสะดวกในการทำงานกับองศา ให้เรานึกถึงกฎพื้นฐานสำหรับการยกระดับเป็นระดับธรรมชาติ:

- ผลิตภัณฑ์แห่งอำนาจ

- การแบ่งองศา

การยกระดับขึ้นสู่ระดับ;

ระดับของผลิตภัณฑ์

ตัวอย่างที่ 3 - เรารู้สิ่งนี้จากหัวข้อ "การยกกำลังของนิพจน์ทั้งหมด" ยกเว้นกรณีเดียว: ไม่มีอยู่จริง

2. ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดในการยกเศษส่วนพีชคณิตให้เป็นพลังธรรมชาติ

ตัวอย่างที่ 4 ยกเศษส่วนเป็นยกกำลัง

สารละลาย. เมื่อยกกำลังให้เท่ากัน เครื่องหมายลบจะหายไป:

ตัวอย่างที่ 5 ยกเศษส่วนเป็นกำลัง

สารละลาย. ตอนนี้เราใช้กฎเพื่อเพิ่มระดับเป็นพลังทันทีโดยไม่มีกำหนดการแยกต่างหาก:

.

ตอนนี้เรามาดูปัญหารวมกันซึ่งเราจะต้องยกเศษส่วนยกกำลัง คูณและหารมัน

ตัวอย่างที่ 6 ดำเนินการ

สารละลาย. . ต่อไปคุณจะต้องลดขนาดลง ให้เราอธิบายรายละเอียดอีกครั้งว่าเราจะทำอย่างไร จากนั้นเราจะระบุผลลัพธ์ทันทีโดยการเปรียบเทียบ: . ในทำนองเดียวกัน (หรือตามหลักการแบ่งอำนาจ) เรามี: .

ตัวอย่างที่ 7 ดำเนินการ

สารละลาย. . การลดลงนี้ดำเนินการโดยการเปรียบเทียบกับตัวอย่างที่กล่าวถึงข้างต้น

ตัวอย่างที่ 8 ดำเนินการ

สารละลาย. . ใน ในตัวอย่างนี้เราได้อธิบายรายละเอียดเพิ่มเติมอีกครั้งเกี่ยวกับกระบวนการลดกำลังเป็นเศษส่วนเพื่อรวมวิธีนี้

3. ตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้นในการยกเศษส่วนพีชคณิตเป็นพลังธรรมชาติ (โดยคำนึงถึงเครื่องหมายบัญชีและเงื่อนไขในวงเล็บ)

ตัวอย่างที่ 9: ดำเนินการ .

สารละลาย. ในตัวอย่างนี้ เราจะข้ามการคูณเศษส่วนที่แยกจากกันไปแล้ว และใช้กฎในการคูณเศษส่วนทันทีและเขียนไว้ด้วยตัวส่วนเดียว ในเวลาเดียวกันเราปฏิบัติตามสัญญาณ - ในกรณีนี้เศษส่วนจะถูกยกกำลังให้เป็นเลขคู่ดังนั้นเครื่องหมายลบจึงหายไป ในตอนท้ายเราจะดำเนินการลดขนาด

ตัวอย่างที่ 10: ดำเนินการ .

สารละลาย. ในตัวอย่างนี้ มีการหารเศษส่วน โปรดจำไว้ว่าในกรณีนี้เศษส่วนแรกจะคูณด้วยเศษส่วนที่สอง แต่จะกลับด้าน

ถึงเวลาทำความคุ้นเคยแล้ว การยกเศษส่วนพีชคณิตให้เป็นกำลัง. การดำเนินการกับเศษส่วนพีชคณิตในแง่ของระดับจะลดลงเป็นการคูณเศษส่วนที่เหมือนกัน ในบทความนี้ เราจะให้กฎที่เกี่ยวข้องและดูตัวอย่างการเพิ่มเศษส่วนพีชคณิตให้เป็นพลังธรรมชาติ

การนำทางหน้า

กฎสำหรับการยกเศษส่วนพีชคณิตยกกำลัง เป็นข้อพิสูจน์

ก่อนที่จะพูดถึงการเพิ่มเศษส่วนพีชคณิตเป็นยกกำลัง ไม่ใช่เรื่องเสียหายที่จะจำไว้ว่าผลคูณของตัวประกอบที่เหมือนกันที่ฐานของกำลังคืออะไร และจำนวนของมันถูกกำหนดโดยเลขชี้กำลัง เช่น 2 3 =2·2·2=8

ตอนนี้เรามาจำกฎสำหรับการเพิ่มเศษส่วนธรรมดาเป็นกำลัง - ในการทำเช่นนี้คุณต้องเพิ่มตัวเศษแยกกันเป็นกำลังที่ระบุและแยกตัวส่วนออกจากกัน เช่น, . กฎข้อนี้ใช้กับการเพิ่มเศษส่วนพีชคณิตให้เป็นพลังธรรมชาติ

การยกเศษส่วนพีชคณิตให้เป็นพลังธรรมชาติให้เศษส่วนใหม่ตัวเศษซึ่งมีระดับของตัวเศษที่ระบุของเศษส่วนดั้งเดิมและตัวส่วน - ระดับของตัวส่วน ในรูปแบบตัวอักษร กฎนี้สอดคล้องกับความเท่าเทียมกัน โดยที่ a และ b เป็นพหุนามตามอำเภอใจ (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เอกนามหรือตัวเลข) และ b เป็นพหุนามที่ไม่ใช่ศูนย์ และ n คือ

การพิสูจน์กฎที่ระบุไว้ในการเพิ่มเศษส่วนพีชคณิตให้เป็นกำลังนั้นขึ้นอยู่กับคำจำกัดความของยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังธรรมชาติ และวิธีที่เรานิยามการคูณเศษส่วนพีชคณิต: .

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

กฎที่ได้รับในย่อหน้าก่อนหน้านี้จะช่วยลดการเพิ่มเศษส่วนพีชคณิตเป็นยกกำลังจนถึงการเพิ่มตัวเศษและส่วนของเศษส่วนเดิมเป็นกำลังนี้ และเนื่องจากตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนพีชคณิตดั้งเดิมนั้นเป็นพหุนาม (ในบางกรณี คือ เอกนามหรือตัวเลข) ดังนั้นงานดั้งเดิมจึงต้องเพิ่มพหุนามให้เป็นกำลัง หลังจากดำเนินการนี้ จะได้เศษส่วนพีชคณิตใหม่ ซึ่งเท่ากับระดับที่ระบุของเศษส่วนพีชคณิตดั้งเดิม

ลองดูวิธีแก้ปัญหาสำหรับตัวอย่างต่างๆ

ตัวอย่าง.

ยกกำลังสองเศษส่วนพีชคณิต.

สารละลาย.

มาเขียนปริญญากันเถอะ ตอนนี้เรามาดูกฎการเพิ่มเศษส่วนพีชคณิตเป็นกำลัง มันทำให้เรามีความเท่าเทียมกัน . มันยังคงเปลี่ยนเศษส่วนผลลัพธ์ให้อยู่ในรูปของเศษส่วนพีชคณิตโดยการเพิ่ม monomials ให้เป็นกำลัง ดังนั้น .

โดยปกติแล้ว เมื่อเพิ่มเศษส่วนพีชคณิตเป็นยกกำลัง จะไม่มีการอธิบายคำตอบ แต่จะเขียนคำตอบไว้สั้นๆ ตัวอย่างของเราสอดคล้องกับรายการ .

คำตอบ:

.

เมื่อตัวเศษและ/หรือส่วนของเศษส่วนพีชคณิตมีพหุนาม โดยเฉพาะทวินาม ดังนั้นเมื่อยกกำลัง ขอแนะนำให้ใช้สูตรการคูณแบบย่อที่เหมาะสม

ตัวอย่าง.

สร้างเศษส่วนพีชคณิต ถึงระดับที่สอง

สารละลาย.

ตามกฎในการยกเศษส่วนเป็นยกกำลัง เราก็ได้ .

เราใช้การแปลงนิพจน์ผลลัพธ์เป็นตัวเศษ สูตรผลต่างกำลังสองและในตัวส่วน - สูตรสำหรับกำลังสองของผลรวมของสามเทอม:

คำตอบ:

โดยสรุป เราสังเกตว่าถ้าเรายกเศษส่วนพีชคณิตที่ลดไม่ได้ให้เป็นพลังธรรมชาติ ผลลัพธ์ที่ได้ก็จะเป็นเศษส่วนที่ลดไม่ได้เช่นกัน หากเศษส่วนดั้งเดิมสามารถลดได้ก่อนที่จะเพิ่มกำลังแนะนำให้ทำการลดเศษส่วนพีชคณิตเพื่อไม่ให้ทำการลดลงหลังจากเพิ่มกำลังแล้ว

บรรณานุกรม.

• พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับเกรด 8 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / [ย. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; แก้ไขโดย เอส.เอ. เทลยาคอฟสกี้ - ฉบับที่ 16 - อ.: การศึกษา, 2551. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019243-9.
• มอร์ดโควิช เอ.จี.พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ใน 2 ชั่วโมง ตอนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับนักศึกษาสถาบันการศึกษาทั่วไป / A. G. Mordkovich - ฉบับที่ 11 ลบแล้ว. - อ.: Mnemosyne, 2552. - 215 น.: ป่วย ไอ 978-5-346-01155-2.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G.คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้เข้าโรงเรียนเทคนิค) พรบ. เบี้ยเลี้ยง.- ม.; สูงกว่า โรงเรียน พ.ศ. 2527-351 น. ป่วย

ลิขสิทธิ์โดยนักเรียนที่ฉลาด

สงวนลิขสิทธิ์.
ได้รับการคุ้มครองตามกฎหมายลิขสิทธิ์ ไม่มีส่วนใดส่วนหนึ่งของ www.site ได้แก่ วัสดุภายในและลักษณะที่ปรากฏจะต้องไม่ทำซ้ำในรูปแบบใด ๆ หรือใช้โดยไม่ได้รับอนุญาตล่วงหน้า ได้รับอนุญาตเป็นลายลักษณ์อักษรผู้ถือลิขสิทธิ์

เราหาได้ว่าจริงๆ แล้วกำลังของจำนวนคืออะไร ตอนนี้เราต้องเข้าใจวิธีคำนวณให้ถูกต้องเช่น ยกตัวเลขขึ้นสู่อำนาจ ในเนื้อหานี้ เราจะวิเคราะห์กฎพื้นฐานสำหรับการคำนวณองศาในกรณีของเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม ธรรมชาติ เศษส่วน ตรรกยะ และอตรรกยะ คำจำกัดความทั้งหมดจะแสดงพร้อมตัวอย่าง

ยานเดกซ์RTB R-A-339285-1

แนวคิดเรื่องการยกกำลัง

เริ่มต้นด้วยการกำหนดคำจำกัดความพื้นฐาน

คำจำกัดความ 1

การยกกำลัง- นี่คือการคำนวณค่ากำลังของจำนวนหนึ่ง

นั่นคือคำว่า “การคำนวณมูลค่าของพลัง” และ “การเพิ่มพลัง” มีความหมายเดียวกัน ดังนั้น หากปัญหาบอกว่า “ยกเลข 0, 5 ให้เป็นกำลังที่ห้า” ควรเข้าใจว่าเป็น “การคำนวณค่าของกำลัง (0, 5) 5

ตอนนี้เรานำเสนอกฎพื้นฐานที่ต้องปฏิบัติตามเมื่อทำการคำนวณดังกล่าว

จำไว้ว่ากำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติเป็นเท่าใด สำหรับกำลังที่มีฐาน a และเลขชี้กำลัง n นี่จะเป็นผลคูณของตัวประกอบจำนวนที่ n ซึ่งแต่ละตัวจะเท่ากับ a สิ่งนี้สามารถเขียนได้ดังนี้:

ในการคำนวณค่าของดีกรี คุณต้องทำการคูณ นั่นคือ คูณฐานของดีกรีด้วยจำนวนครั้งที่ระบุ แนวคิดเรื่องปริญญาที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาตินั้นขึ้นอยู่กับความสามารถในการคูณอย่างรวดเร็ว ลองยกตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1

เงื่อนไข: เพิ่ม - 2 ยกกำลัง 4

สารละลาย

จากนิยามข้างต้น เราเขียนว่า: (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) ต่อไปเราแค่ต้องทำตามขั้นตอนเหล่านี้และรับ 16

ลองยกตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้น

ตัวอย่างที่ 2

คำนวณค่า 3 2 7 2

สารละลาย

รายการนี้สามารถเขียนใหม่เป็น 3 2 7 · 3 2 7 ก่อนหน้านี้ เราดูวิธีการคูณตัวเลขคละที่กล่าวถึงในเงื่อนไขอย่างถูกต้อง

มาทำตามขั้นตอนเหล่านี้แล้วได้คำตอบ: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

หากปัญหาบ่งชี้ถึงความจำเป็นในการยกจำนวนอตรรกยะให้เป็นกำลังธรรมชาติ เราจะต้องปัดฐานของพวกมันให้เป็นตัวเลขที่จะทำให้เราได้คำตอบที่มีความแม่นยำที่ต้องการ ลองดูตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 3

ดำเนินการกำลังสองของ π

สารละลาย

ก่อนอื่น ปัดให้เป็นร้อยก่อน จากนั้น π 2 data (3, 14) 2 = 9, 8596 ถ้า π γ 3 14159 เราจะได้ผลลัพธ์ที่แม่นยำยิ่งขึ้น: π 2 data (3, 14159) 2 = 9, 8695877281

โปรดทราบว่าความจำเป็นในการคำนวณกำลังของจำนวนอตรรกยะนั้นเกิดขึ้นได้ยากในทางปฏิบัติ จากนั้นเราสามารถเขียนคำตอบเป็นกำลัง (ln 6) 3 เอง หรือแปลงถ้าเป็นไปได้: 5 7 = 125 5

ควรระบุแยกกันว่ากำลังแรกของตัวเลขคืออะไร ที่นี่คุณเพียงจำไว้ว่าตัวเลขใดๆ ที่ถูกยกกำลัง 1 จะยังคงอยู่โดยตัวมันเอง:

ชัดเจนจากบันทึกนี้ .

มันไม่ได้ขึ้นอยู่กับพื้นฐานของปริญญา

ตัวอย่างที่ 4

ดังนั้น (− 9) 1 = − 9 และ 7 3 ยกกำลังแรกจะยังคงเท่ากับ 7 3

เพื่อความสะดวก เราจะพิจารณาสามกรณีแยกกัน: ถ้าเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก ถ้าเป็นศูนย์ และถ้าเป็นจำนวนเต็มลบ

ในกรณีแรก ก็เหมือนกับการเพิ่มกำลังธรรมชาติ เพราะท้ายที่สุดแล้ว จำนวนเต็มบวกจะอยู่ในเซตของจำนวนธรรมชาติ เราได้พูดคุยไปแล้วข้างต้นเกี่ยวกับวิธีการทำงานกับระดับดังกล่าว

ตอนนี้เรามาดูวิธีการเพิ่มกำลังเป็นศูนย์อย่างถูกต้อง สำหรับฐานอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์ การคำนวณนี้จะให้ผลลัพธ์เป็น 1 เสมอ ก่อนหน้านี้เราได้อธิบายไปแล้วว่ากำลัง 0 ของ a สามารถกำหนดให้กับจำนวนจริงใดๆ ที่ไม่เท่ากับ 0 และ 0 = 1

ตัวอย่างที่ 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - ไม่ได้กำหนดไว้

เหลือเพียงกรณีของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังลบจำนวนเต็ม เราได้คุยกันไปแล้วว่าองศาดังกล่าวสามารถเขียนเป็นเศษส่วน 1 az โดยที่ a คือตัวเลขใดๆ และ z เป็นจำนวนเต็มลบ เราจะเห็นว่าตัวส่วนของเศษส่วนนี้ไม่มีอะไรมากไปกว่ากำลังธรรมดาที่มีจำนวนเต็ม ตัวบ่งชี้ที่เป็นบวกและเราได้เรียนรู้วิธีการคำนวณแล้ว เรามายกตัวอย่างงานกัน

ตัวอย่างที่ 6

ยก 3 ยกกำลัง - 2

สารละลาย

จากคำจำกัดความข้างต้น เราเขียนว่า 2 - 3 = 1 2 3

ลองคำนวณตัวส่วนของเศษส่วนนี้แล้วได้ 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8

ดังนั้นคำตอบคือ: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

ตัวอย่างที่ 7

เพิ่ม 1.43 ยกกำลัง -2

สารละลาย

มาจัดรูปแบบใหม่: 1, 43 - 2 = 1 (1, 43) 2

เราคำนวณกำลังสองในตัวส่วน: 1.43·1.43 ทศนิยมสามารถคูณได้ดังนี้:

ผลลัพธ์ที่ได้คือ (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449 สิ่งที่เราต้องทำคือเขียนผลลัพธ์นี้ให้อยู่ในรูปเศษส่วนธรรมดา ซึ่งเราต้องคูณด้วย 10,000 (ดูเนื้อหาเกี่ยวกับการแปลงเศษส่วน)

คำตอบ: (1, 43) - 2 = 10,000 20449

กรณีพิเศษคือการยกตัวเลขขึ้นเป็นลบยกกำลังหนึ่ง ค่าของระดับนี้เท่ากับส่วนกลับของค่าเดิมของฐาน: a - 1 = 1 a 1 = 1 a

ตัวอย่างที่ 8

ตัวอย่าง: 3 − 1 = 1/3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

วิธีเพิ่มจำนวนให้เป็นเศษส่วน

ในการดำเนินการดังกล่าว เราต้องจำคำจำกัดความพื้นฐานของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน: a m n = a m n สำหรับค่าบวก a จำนวนเต็ม m และ n ธรรมชาติใดๆ

คำจำกัดความ 2

ดังนั้น การคำนวณกำลังเศษส่วนจะต้องดำเนินการในสองขั้นตอน: การยกกำลังเป็นจำนวนเต็มและการค้นหารากของกำลังที่ n

เรามีความเท่าเทียมกัน a m n = a m n ซึ่งเมื่อคำนึงถึงคุณสมบัติของรากแล้วมักจะใช้ในการแก้ปัญหาในรูปแบบ a m n = a n m ซึ่งหมายความว่าถ้าเราเพิ่มจำนวน a ถึง พลังเศษส่วน m / n จากนั้นก่อนอื่นเราแยกรากที่ n ของ a จากนั้นเราเพิ่มผลลัพธ์เป็นกำลังที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม m

ลองอธิบายด้วยตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 9

คำนวณ 8 - 2 3 .

สารละลาย

วิธีที่ 1: ตามคำจำกัดความพื้นฐาน เราสามารถแสดงค่านี้ได้ดังนี้: 8 - 2 3 = 8 - 2 3

ทีนี้มาคำนวณดีกรีใต้รูทแล้วแยกรูทที่สามออกจากผลลัพธ์: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

วิธีที่ 2 แปลงความเท่าเทียมกันพื้นฐาน: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2

หลังจากนั้นเราแยกราก 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 และยกกำลังสองผลลัพธ์: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

เราเห็นว่าวิธีแก้ปัญหาเหมือนกัน คุณสามารถใช้มันตามที่คุณต้องการ

มีหลายกรณีที่ระดับมีตัวบ่งชี้แสดงอยู่ หมายเลขผสมหรือทศนิยม เพื่อให้การคำนวณง่ายขึ้น ควรแทนที่ด้วยเศษส่วนธรรมดาแล้วคำนวณตามที่ระบุไว้ข้างต้น

ตัวอย่างที่ 10

ยก 44, 89 ยกกำลัง 2, 5

สารละลาย

มาแปลงค่าของตัวบ่งชี้ให้เป็น เศษส่วนทั่วไป - 44 , 89 2 , 5 = 49 , 89 5 2 .

ตอนนี้เราดำเนินการตามลำดับการกระทำทั้งหมดที่ระบุไว้ข้างต้น: 44, 89 5 2 = 44, 89 5 = 44, 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501, 25107

คำตอบ: 13 501, 25107.

ถ้าตัวเศษและส่วนของเลขชี้กำลังเศษส่วนประกอบด้วย ตัวเลขใหญ่แล้วจึงคำนวณหากำลังดังกล่าวด้วย ตัวชี้วัดที่มีเหตุผล- เพียงพอ การทำงานอย่างหนัก. มักจะต้องใช้เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์

ให้เราแยกกันพิจารณาเรื่องกำลังที่มีฐานเป็นศูนย์และเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน การแสดงออกของรูปแบบ 0 m n สามารถให้ความหมายต่อไปนี้: ถ้า m n > 0 ดังนั้น 0 m n = 0 m n = 0; ถ้าม< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

วิธีเพิ่มจำนวนให้เป็นกำลังอตรรกยะ

ความจำเป็นในการคำนวณค่าของกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนอตรรกยะไม่ได้เกิดขึ้นบ่อยนัก ในทางปฏิบัติ งานมักจะจำกัดอยู่ที่การคำนวณค่าโดยประมาณ (ไม่เกินจำนวนตำแหน่งทศนิยมที่กำหนด) โดยปกติจะคำนวณบนคอมพิวเตอร์เนื่องจากความซับซ้อนของการคำนวณดังนั้นเราจะไม่เน้นรายละเอียดนี้เราจะระบุเฉพาะบทบัญญัติหลักเท่านั้น

หากเราจำเป็นต้องคำนวณค่าของยกกำลัง a ด้วยเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว a เราจะหาค่าประมาณทศนิยมของเลขชี้กำลังแล้วนับจากนั้น ผลลัพธ์จะเป็นคำตอบโดยประมาณ ยิ่งการประมาณทศนิยมแม่นยำมากเท่าใด คำตอบก็ยิ่งแม่นยำมากขึ้นเท่านั้น มาแสดงด้วยตัวอย่าง:

ตัวอย่างที่ 11

คำนวณค่าประมาณ 21, 174367....

สารละลาย

ให้เราจำกัดตัวเองให้มีค่าประมาณทศนิยม a n = 1, 17 เรามาคำนวณโดยใช้ตัวเลขนี้: 2 1, 17 data 2, 250116 ตัวอย่างเช่น หากเราใช้การประมาณ a n = 1, 1743 คำตอบก็จะแม่นยำมากขึ้นอีกหน่อย: 2 1, 174367 . . 2 1, 1743 2, 256833

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter