คุณสมบัติของการบวก การคูณ การลบ และการหารจำนวนเต็ม สรุปบทเรียน "คุณสมบัติการคูณและการแจกแจงของการคูณ"

กลับไปข้างหน้า

ความสนใจ! การแสดงตัวอย่างสไลด์มีวัตถุประสงค์เพื่อให้ข้อมูลเท่านั้น และอาจไม่ได้แสดงถึงคุณลักษณะทั้งหมดของการนำเสนอ ถ้าคุณสนใจ งานนี้กรุณาดาวน์โหลดเวอร์ชันเต็ม

เป้า:เรียนรู้ที่จะทำให้นิพจน์ที่มีเพียงการดำเนินการคูณเท่านั้น

งาน(สไลด์ 2):

• แนะนำคุณสมบัติการเชื่อมโยงของการคูณ
• เพื่อสร้างแนวคิดเกี่ยวกับความเป็นไปได้ในการใช้คุณสมบัติที่ศึกษาเพื่อหาเหตุผลเข้าข้างตนเองในการคำนวณ
• เพื่อพัฒนาแนวคิดเกี่ยวกับความเป็นไปได้ในการแก้ปัญหา "ชีวิต" โดยใช้วิชา "คณิตศาสตร์"
• พัฒนาทักษะการศึกษาทั่วไปทางปัญญาและการสื่อสาร
• พัฒนาทักษะการศึกษาทั่วไปขององค์กร รวมถึงความสามารถในการประเมินผลการกระทำ ควบคุมตนเอง ค้นหาและแก้ไขข้อผิดพลาดของตนเองได้อย่างอิสระ

ประเภทบทเรียน:การเรียนรู้เนื้อหาใหม่

แผนการเรียน:

1. ช่วงเวลาขององค์กร
2. การนับช่องปาก การอุ่นเครื่องทางคณิตศาสตร์
เส้นลายมือ.
3. รายงานหัวข้อและวัตถุประสงค์ของบทเรียน
4. การเตรียมตัวศึกษาเนื้อหาใหม่
5. ศึกษาเนื้อหาใหม่
6. นาทีพลศึกษา
7. งานเกี่ยวกับการรวมบัญชี n. ง. การแก้ปัญหา
8. การทำซ้ำเนื้อหาที่ครอบคลุม
9. สรุปบทเรียน
10. การสะท้อนกลับ
11. การบ้าน.

อุปกรณ์:บัตรงาน วัสดุภาพ (ตาราง) การนำเสนอ

ระหว่างชั้นเรียน

I. ช่วงเวลาขององค์กร

เสียงระฆังดังขึ้นและหยุดลง
บทเรียนเริ่มต้นขึ้น
คุณนั่งลงเงียบ ๆ ที่โต๊ะของคุณ
ทุกคนมองมาที่ฉัน

ครั้งที่สอง การนับวาจา

– ลองนับปากเปล่า:

1) “ ดอกเดซี่ตลก” (ตารางสูตรคูณ 3-7 ของสไลด์)

2) การอุ่นเครื่องทางคณิตศาสตร์ เกม "ค้นหาสิ่งที่แปลก" (สไลด์ 8)

• 485 45 864 947 670 134 (จำแนกออกเป็นกลุ่ม EXTRA 45 - สองหลัก, 670 - ไม่มีเลข 4 ในบันทึกตัวเลข)
• 9 45 72 90 54 81 27 22 18 (9 เป็นเลขหลักเดียว 22 หารด้วย 9 ไม่ลงตัว)

เส้นลายมือ. เขียนตัวเลขลงในสมุดบันทึกของคุณ สลับกัน: 45 22 670 9
– ขีดเส้นใต้สัญลักษณ์ที่เรียบร้อยที่สุดของตัวเลข

สาม. รายงานหัวข้อและวัตถุประสงค์ของบทเรียน(สไลด์ 9)

– จดวันที่และหัวข้อของบทเรียน
– อ่านวัตถุประสงค์ของบทเรียนของเรา

IV. การเตรียมตัวศึกษาเนื้อหาใหม่

ก) สำนวนถูกต้องหรือไม่?

เขียนบนกระดาน:

(23 + 490 + 17) + (13 + 44 + 7) = 23 + 490 + 17 + 13 + 44 + 7

– ตั้งชื่อคุณสมบัติของการบวกที่ใช้ (ความร่วมมือ)
– ทรัพย์สินแบบผสมผสานให้โอกาสอะไรบ้าง?

คุณสมบัติเชิงผสมทำให้สามารถเขียนนิพจน์ที่มีเฉพาะการบวกเท่านั้น โดยไม่มีวงเล็บ

43 + 17 + (45 + 65 + 91) = 91 + 65 + 45 + 43 + 17

– ในกรณีนี้ เราจะใช้คุณสมบัติการบวกอะไรบ้าง?

คุณสมบัติเชิงผสมทำให้สามารถเขียนนิพจน์ที่มีเฉพาะการบวกเท่านั้น โดยไม่มีวงเล็บ ในกรณีนี้ การคำนวณสามารถทำได้ในลำดับใดก็ได้

– ในกรณีนี้ คุณสมบัติอื่นของการบวกเรียกว่าอะไร? (สับเปลี่ยน)

– สำนวนนี้ทำให้เกิดปัญหาหรือไม่? ทำไม (เราไม่รู้วิธีคูณเลขสองหลักด้วยเลขหนึ่งหลัก)

V. ศึกษาเนื้อหาใหม่

1) หากเราคูณตามลำดับที่เขียนนิพจน์ ปัญหาจะเกิดขึ้น อะไรจะช่วยเราเอาชนะความยากลำบากเหล่านี้?

(2 * 6) * 3 = 2 * 3 * 6

2) ทำงานตามตำราเรียนหน้า 70, หมายเลข 305 (ลองทายผลที่หมาป่ากับกระต่ายจะได้รับ ทดสอบตัวเองด้วยการคำนวณ)

3) หมายเลข 305 ตรวจสอบว่าค่าของนิพจน์เท่ากันหรือไม่ ปากเปล่า

เขียนบนกระดาน:

(5 2) 3 และ 5 (2 3)
(4 7) 5 และ 4 (7 5)

4) วาดข้อสรุป กฎ.

หากต้องการคูณผลคูณของตัวเลขสองตัวด้วยตัวเลขที่สาม คุณสามารถคูณตัวเลขแรกด้วยผลคูณของตัวเลขที่สองและสามได้
– อธิบายสมบัติการเชื่อมโยงของการคูณ
– อธิบายสมบัติการเชื่อมโยงของการคูณพร้อมตัวอย่าง

5) การทำงานเป็นทีม

บนกระดาน: (8 3) 2, (6 3) 3, 2 (4 7)

วี. ฟิซมินุตกา

1) เกม "กระจกเงา" (สไลด์ 10)

กระจกของฉันบอกฉันหน่อยสิ
บอกความจริงทั้งหมดมาให้ฉันฟัง
เราฉลาดกว่าใครๆ ในโลกหรือเปล่า?
สนุกที่สุดและสนุกที่สุด?
พูดตามฉัน
การเคลื่อนไหวที่สนุกสนานนาทีทางกายภาพซน

2) การออกกำลังกายเพื่อดวงตา “Keen Eyes”

– หลับตาเป็นเวลา 7 วินาที มองไปทางขวา จากนั้นซ้าย ขึ้น ลง จากนั้นทำวงกลม 6 วงตามเข็มนาฬิกา และ 6 วงกลมทวนเข็มนาฬิกาด้วยตาของคุณ

ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว รวบรวมสิ่งที่ได้เรียนรู้มา

1) ทำงานตามตำราเรียน การแก้ปัญหา (สไลด์ 11)

(หน้า 71 หมายเลข 308) อ่านข้อความ. พิสูจน์ว่านี่คืองาน (มีเงื่อนไขมีคำถาม)
– เลือกเงื่อนไขคำถาม
– ตั้งชื่อข้อมูลตัวเลข (สาม, 6, สามลิตร)
- พวกเขาหมายถึงอะไร? (สามกล่อง 6 กระป๋อง แต่ละกระป๋องบรรจุน้ำผลไม้ได้ 3 ลิตร)
– งานนี้ในแง่ของโครงสร้างคืออะไร? (ปัญหาเชิงซ้อนเนื่องจากไม่สามารถตอบคำถามของปัญหาได้ทันทีหรือวิธีแก้ไขต้องใช้การเขียนนิพจน์)
– ประเภทของงาน? (งานผสมสำหรับการดำเนินการตามลำดับ))
– แก้ปัญหาโดยไม่ต้องจดบันทึกสั้นๆ ด้วยการเขียนนิพจน์ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้การ์ดต่อไปนี้:

การ์ดช่วยเหลือ

– ในสมุดบันทึก สามารถเขียนวิธีแก้ไขปัญหาได้ดังนี้ (3 6) 3

– เราสามารถแก้ไขปัญหาตามลำดับนี้ได้หรือไม่?

(3 6) 3 = (3 3) 6 = 9 6 = 54 (ล.)
3 (3 6) = (3 3) 6 = 9 6 = 54 (ล.)

คำตอบ: น้ำผลไม้ 54 ลิตรทุกกล่อง

2) ทำงานเป็นคู่ (ใช้การ์ด): (สไลด์ 12)

– วางป้ายโดยไม่ต้องคำนวณ:

(15 * 2) *4 15 * (2 * 4) (–คุณสมบัติอะไร?)
(8 * 9) * 6 7 * (9 * 6)
(428 * 2) * 0 1 * (2 * 3)
(3 * 4) * 2 3 + 4 + 2
(2 * 3) * 4 (4 * 2) * 3

ตรวจสอบ: (สไลด์ 13)

(15 * 2) * 4 = 15 * (2 * 4)
(8 * 9) * 6 > 7 * (9 * 6)
(428 * 2) * 0 < 1 * (2 * 3)
(3 * 4) * 2 > 3 + 4 + 2
(2 * 3) * 4 = (4 * 2) * 3

3) ทำงานอิสระ(ตามตำราเรียน)

(หน้า 71 หมายเลข 307 – ตามตัวเลือก)

ศตวรรษที่ 1 (8 2) 2 = (6 2) 3 = (19 1) 0 =
ศตวรรษที่ 2 (7 3) 3 = (9 2) 4 = (12 9) 0 =

การตรวจสอบ:

ศตวรรษที่ 1 (8 2) 2 = 32 (6 2) 3 = 36 (19 1) 0 = 0
ศตวรรษที่ 2 (7 3) 3 = 63 (9 2) 4 = 72 (12 9) 0 = 0

คุณสมบัติของการคูณ:(สไลด์ 14)

• ทรัพย์สินแลกเปลี่ยน
• คุณสมบัติที่ตรงกัน

– ทำไมต้องรู้คุณสมบัติของการคูณ? (สไลด์ 15)

• เพื่อนับอย่างรวดเร็ว
• เลือกวิธีการนับอย่างมีเหตุผล
• เพื่อแก้ไขปัญหา

8. การทำซ้ำของวัสดุที่ครอบคลุม "กังหันลม".(สไลด์ 16, 17)

• เพิ่มตัวเลข 485, 583 และ 681 ด้วย 38 และจดนิพจน์ตัวเลขสามตัว (ตัวเลือก 1)
• ลดตัวเลข 583, 545 และ 507 ลง 38 และเขียนนิพจน์ตัวเลข 3 ตัว (ตัวเลือก 2)

485 + 38 523		583 + 38 621		681 + 38 719
583 – 38 545		545 – 38 507		507 – 38 469

นักเรียนทำงานมอบหมายตามตัวเลือก (นักเรียนสองคนทำงานมอบหมายบนกระดานเพิ่มเติม)

เพียร์รีวิว

ทรงเครื่อง สรุปบทเรียน

– วันนี้คุณเรียนรู้อะไรในชั้นเรียน?
– สมบัติการเชื่อมโยงของการคูณ มีความหมายว่าอย่างไร?

X. การสะท้อนกลับ

– ใครคิดว่าพวกเขาเข้าใจความหมายของสมบัติการเชื่อมโยงของการคูณ? ใครพอใจกับผลงานในชั้นเรียนบ้าง? ทำไม
– ใครจะรู้ว่าเขายังต้องทำงานอะไรอีก?
- พวกคุณถ้าคุณชอบบทเรียนถ้าคุณพอใจกับงานของคุณก็เอามือวางบนข้อศอกแล้วแสดงฝ่ามือของคุณให้ฉันดู และถ้าคุณรู้สึกไม่สบายใจเกี่ยวกับบางสิ่งบางอย่างก็แสดงหลังฝ่ามือของคุณให้ฉันดู

จิน ข้อมูลการบ้าน

- ที่ การบ้านคุณอยากจะรับไหม?

ทางเลือก:

1. เรียนรู้กฎข้อ p 70
2. คิดและจดสำนวนในหัวข้อใหม่พร้อมวิธีแก้ไข

เราได้กำหนดการบวก การคูณ การลบ และการหารจำนวนเต็มแล้ว การกระทำ (การดำเนินการ) เหล่านี้มีผลลัพธ์ลักษณะเฉพาะหลายประการ ซึ่งเรียกว่าคุณสมบัติ ในบทความนี้ เราจะดูคุณสมบัติพื้นฐานของการบวกและการคูณจำนวนเต็ม ซึ่งเป็นไปตามคุณสมบัติอื่นๆ ทั้งหมดของการกระทำเหล่านี้ รวมถึงคุณสมบัติของการลบและการหารจำนวนเต็ม

การนำทางหน้า

การบวกจำนวนเต็มมีคุณสมบัติที่สำคัญมากหลายประการ

หนึ่งในนั้นเกี่ยวข้องกับการมีอยู่ของศูนย์ คุณสมบัติของการบวกจำนวนเต็มนี้ระบุว่า การบวกศูนย์เข้ากับจำนวนเต็มใดๆ จะไม่เปลี่ยนตัวเลขนั้น. ลองเขียนคุณสมบัติของการบวกโดยใช้ตัวอักษร: a+0=a และ 0+a=a (ความเท่าเทียมกันนี้เป็นจริงเนื่องจากคุณสมบัติการสับเปลี่ยนของการบวก) a คือจำนวนเต็มใดๆ คุณอาจได้ยินว่าเลขศูนย์เต็มเรียกว่าองค์ประกอบที่เป็นกลางนอกจากนี้ ลองยกตัวอย่างสักสองสามตัวอย่าง ผลรวมของจำนวนเต็ม −78 และศูนย์คือ −78 ถ้าคุณบวกจำนวนเต็มบวก 999 เข้ากับศูนย์ ผลลัพธ์จะเป็น 999

ตอนนี้เราจะให้สูตรคุณสมบัติอื่นของการบวกจำนวนเต็มซึ่งสัมพันธ์กับการมีอยู่ของจำนวนตรงข้ามสำหรับจำนวนเต็มใดๆ ผลรวมของจำนวนเต็มใดๆ ที่มีจำนวนตรงข้ามกันจะเป็นศูนย์. ลองเขียนรูปแบบตามตัวอักษรของคุณสมบัตินี้: a+(−a)=0 โดยที่ a และ −a เป็นจำนวนเต็มตรงข้าม ตัวอย่างเช่น ผลรวม 901+(−901) เป็นศูนย์ ในทำนองเดียวกัน ผลรวมของจำนวนเต็มตรงข้าม −97 และ 97 จะเป็นศูนย์

คุณสมบัติพื้นฐานของการคูณจำนวนเต็ม

การคูณจำนวนเต็มมีคุณสมบัติของการคูณจำนวนธรรมชาติทั้งหมด ให้เราแสดงรายการคุณสมบัติหลักของคุณสมบัติเหล่านี้

เช่นเดียวกับที่ศูนย์เป็นจำนวนเต็มเป็นกลางเทียบกับการบวก หนึ่งก็คือจำนวนเต็มเป็นกลางเทียบกับการคูณจำนวนเต็ม นั่นคือ, การคูณจำนวนเต็มด้วยหนึ่งจะไม่เปลี่ยนจำนวนที่กำลังคูณ. ดังนั้น 1·a=a โดยที่ a เป็นจำนวนเต็มใดๆ ความเสมอภาคสุดท้ายสามารถเขียนใหม่เป็น a·1=a ได้ ซึ่งทำให้เราสร้างสมบัติการสับเปลี่ยนของการคูณได้ ลองยกตัวอย่างสองตัวอย่าง ผลคูณของจำนวนเต็ม 556 คูณ 1 คือ 556 ผลิตภัณฑ์ของหนึ่งและทั้งหมด จำนวนลบ−78 เท่ากับ −78

คุณสมบัติถัดไปของการคูณจำนวนเต็มเกี่ยวข้องกับการคูณด้วยศูนย์ ผลลัพธ์ของการคูณจำนวนเต็ม a ด้วยศูนย์จะเป็นศูนย์นั่นคือ a·0=0 ความเท่าเทียมกัน 0·a=0 ก็เป็นจริงเช่นกัน เนื่องจากสมบัติการสับเปลี่ยนของการคูณจำนวนเต็ม ในกรณีพิเศษ เมื่อ a=0 ผลคูณของศูนย์และศูนย์จะเท่ากับศูนย์

สำหรับการคูณจำนวนเต็ม คุณสมบัติผกผันกับค่าก่อนหน้าจะเป็นจริงเช่นกัน มันอ้างว่า ผลคูณของจำนวนเต็มสองตัวจะเท่ากับศูนย์ถ้าตัวประกอบอย่างน้อยหนึ่งตัวมีค่าเท่ากับศูนย์. ในรูปแบบตัวอักษร คุณสมบัตินี้สามารถเขียนได้ดังนี้: a·b=0 ถ้า a=0 หรือ b=0 หรือทั้ง a และ b เท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกัน

คุณสมบัติการกระจายของการคูณจำนวนเต็มสัมพันธ์กับการบวก

การบวกและการคูณจำนวนเต็มร่วมช่วยให้เราพิจารณาคุณสมบัติการกระจายของการคูณที่สัมพันธ์กับการบวก ซึ่งเชื่อมโยงการกระทำทั้งสองที่ระบุไว้ การใช้การบวกและการคูณร่วมกันจะทำให้เกิดความเป็นไปได้เพิ่มเติมที่เราอาจพลาดหากเราพิจารณาการบวกแยกกันจากการคูณ

ดังนั้น สมบัติการกระจายของการคูณเทียบกับการบวกระบุว่าผลคูณของจำนวนเต็ม a และผลรวมของจำนวนเต็มสองตัว a และ b เท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ a b และ a c นั่นคือ ก·(ข+ค)=ก·ข+ก·ค. คุณสมบัติเดียวกันสามารถเขียนได้ในรูปแบบอื่น: (ก+ข)ค=เอซี+บีซี .

สมบัติการแจกแจงของการคูณจำนวนเต็มสัมพันธ์กับการบวก ร่วมกับคุณสมบัติการบวกของการบวกช่วยให้เราระบุการคูณของจำนวนเต็มด้วยผลรวมของจำนวนเต็มตั้งแต่สามจำนวนขึ้นไป จากนั้นจึงคูณผลรวมของจำนวนเต็มด้วยผลรวม

โปรดทราบด้วยว่าคุณสมบัติอื่นๆ ของการบวกและการคูณจำนวนเต็มสามารถรับได้จากคุณสมบัติที่เราระบุไว้ นั่นคือเป็นผลที่ตามมาของคุณสมบัติที่ระบุไว้ข้างต้น

คุณสมบัติของการลบจำนวนเต็ม

จากความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้น รวมถึงคุณสมบัติของการบวกและการคูณจำนวนเต็ม คุณสมบัติของการลบจำนวนเต็มดังต่อไปนี้ (a, b และ c เป็นจำนวนเต็มตามอำเภอใจ):

• การลบจำนวนเต็มโดยทั่วไปไม่มีสมบัติการสับเปลี่ยน: a−b≠b−a
• ผลต่างของจำนวนเต็มเท่ากันคือศูนย์: a−a=0
• คุณสมบัติของการลบผลรวมของจำนวนเต็มสองตัวจากจำนวนเต็มที่กำหนด: a−(b+c)=(a−b)−c
• คุณสมบัติของการลบจำนวนเต็มจากผลรวมของจำนวนเต็มสองตัว: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c) .
• คุณสมบัติการกระจายของการคูณสัมพันธ์กับการลบ: a·(b−c)=a·b−a·c และ (a−b)·c=a·c−b·c.
• และคุณสมบัติอื่นๆ ทั้งหมดของการลบจำนวนเต็ม

คุณสมบัติของการหารจำนวนเต็ม

ขณะคุยกันถึงความหมายของการหารจำนวนเต็ม เราพบว่าการหารจำนวนเต็มนั้นเป็นการกระทำผกผันของการคูณ เราให้คำจำกัดความต่อไปนี้: การหารจำนวนเต็มคือการค้นหาปัจจัยที่ไม่ทราบจากผลิตภัณฑ์ที่รู้จักและปัจจัยที่ทราบ นั่นคือ เราเรียกจำนวนเต็ม c ว่าเป็นผลหารของการหารจำนวนเต็ม a ด้วยจำนวนเต็ม b เมื่อผลคูณ c·b เท่ากับ a

คำจำกัดความนี้ ตลอดจนคุณสมบัติทั้งหมดของการดำเนินการกับจำนวนเต็มตามที่กล่าวไว้ข้างต้น ทำให้สามารถสร้างความถูกต้องของคุณสมบัติการหารจำนวนเต็มต่อไปนี้ได้:

• จำนวนเต็มไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้
• คุณสมบัติของการหารศูนย์ด้วยจำนวนเต็มใดก็ได้ที่ไม่ใช่ศูนย์: 0:a=0
• คุณสมบัติของการหารจำนวนเต็มเท่ากัน: a:a=1 โดยที่ a คือจำนวนเต็มใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์
• คุณสมบัติของการหารจำนวนเต็มตามอำเภอใจ a ด้วยหนึ่ง: a:1=a
• โดยทั่วไป การหารจำนวนเต็มไม่มีคุณสมบัติการสับเปลี่ยน: a:b≠b:a
• คุณสมบัติของการหารผลรวมและผลต่างของจำนวนเต็มสองตัวด้วยจำนวนเต็ม: (a+b):c=a:c+b:c และ (a−b):c=a:c−b:c โดยที่ a, b และ c เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ a และ b หารด้วย c และ c ลงตัวไม่เป็นศูนย์
• คุณสมบัติของการหารผลคูณของจำนวนเต็ม a และ b ด้วยจำนวนเต็ม c ที่ไม่ใช่ศูนย์: (a·b):c=(a:c)·b ถ้า a หารด้วย c ลงตัว; (a·b):c=a·(b:c) ถ้า b หารด้วย c ; (a·b):c=(a:c)·b=a·(b:c) ถ้าทั้งสอง a และ b หารด้วย c ลงตัว
• คุณสมบัติของการหารจำนวนเต็ม a ด้วยผลคูณของจำนวนเต็มสองตัว b และ c (ตัวเลข a , b และ c ทำให้สามารถหาร a ด้วย b c ได้): a:(b c)=(a:b)c=(a :ค)·ข .
• คุณสมบัติอื่นใดของการหารจำนวนเต็ม

ลองพิจารณาตัวอย่างที่ยืนยันความถูกต้องของสมบัติการสับเปลี่ยนของการคูณสอง ตัวเลขธรรมชาติ. เริ่มต้นจากความหมายของการคูณจำนวนธรรมชาติสองตัว มาคำนวณผลคูณของเลข 2 และ 6 รวมทั้งผลคูณของเลข 6 และ 2 และตรวจสอบความเท่าเทียมกันของผลการคูณกัน ผลคูณของตัวเลข 6 และ 2 เท่ากับผลรวม 6+6 จากตารางบวกเราจะพบว่า 6+6=12 และผลคูณของเลข 2 และ 6 เท่ากับผลรวม 2+2+2+2+2+2 ซึ่งเท่ากับ 12 (หากจำเป็น ดูบทความเรื่องการบวกเลขสามตัวขึ้นไปหากจำเป็น) ดังนั้น 6·2=2·6

นี่คือรูปภาพที่แสดงสมบัติการสับเปลี่ยนของการคูณจำนวนธรรมชาติสองตัว

สมบัติเชิงรวมของการคูณจำนวนธรรมชาติ

เรามาพูดถึงคุณสมบัติการรวมกันของการคูณจำนวนธรรมชาติกัน การคูณตัวเลขที่กำหนดด้วยผลคูณของตัวเลขสองตัวจะเหมือนกับการคูณตัวเลขที่กำหนดด้วยตัวประกอบแรก และการคูณผลลัพธ์ผลลัพธ์ด้วยตัวประกอบที่สอง นั่นคือ, มี·(ข·ค)=(ก·ข)·คโดยที่ a , b และ c สามารถเป็นตัวเลขธรรมชาติใดก็ได้ (นิพจน์ที่มีการคำนวณค่าก่อนจะอยู่ในวงเล็บ)

ขอให้เรายกตัวอย่างเพื่อยืนยันคุณสมบัติการเชื่อมโยงของการคูณจำนวนธรรมชาติ ลองคำนวณผลคูณกัน 4·(3·2) . ตามความหมายของการคูณ เราจะได้ 3·2=3+3=6 จากนั้น 4·(3·2)=4·6=4+4+4+4+4+4=24 ทีนี้ลองคูณ (4·3)·2 กัน เนื่องจาก 4·3=4+4+4=12 จากนั้น (4·3)·2=12·2=12+12=24 ดังนั้น ความเท่าเทียมกัน 4·(3·2)=(4·3)·2 เป็นจริง ซึ่งเป็นการยืนยันความถูกต้องของคุณสมบัติที่เป็นปัญหา

ให้เราแสดงภาพวาดที่แสดงคุณสมบัติการเชื่อมโยงของการคูณจำนวนธรรมชาติ

โดยสรุปของย่อหน้านี้ เราสังเกตว่าสมบัติการเชื่อมโยงของการคูณทำให้สามารถระบุการคูณของจำนวนธรรมชาติตั้งแต่สามจำนวนขึ้นไปได้โดยไม่ซ้ำกัน

สมบัติการกระจายของการคูณสัมพันธ์กับการบวก

คุณสมบัติต่อไปนี้เชื่อมโยงการบวกและการคูณ มีสูตรดังนี้ การคูณผลรวมที่กำหนดของตัวเลขสองตัวด้วยจำนวนที่กำหนดจะเหมือนกับการบวกผลคูณของเทอมแรก และ หมายเลขที่กำหนดด้วยผลคูณของเทอมที่สองและจำนวนที่กำหนด นี่คือสิ่งที่เรียกว่าคุณสมบัติการกระจายของการคูณเทียบกับการบวก

เมื่อใช้ตัวอักษร สมบัติการกระจายของการคูณเทียบกับการบวกจะเขียนเป็น (ก+ข)ค=เอซี+บีซี(ในนิพจน์ a·c+b·c จะมีการคูณก่อน หลังจากนั้นจึงทำการบวก รายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้เขียนไว้ในบทความ) โดยที่ a, b และ c เป็นจำนวนธรรมชาติตามอำเภอใจ โปรดทราบว่าแรงของสมบัติการสับเปลี่ยนของการคูณ สมบัติการแจกแจงของการคูณสามารถเขียนได้ในรูปแบบต่อไปนี้: ก·(ข+ค)=ก·ข+ก·ค.

ขอให้เรายกตัวอย่างเพื่อยืนยันคุณสมบัติการกระจายของการคูณจำนวนธรรมชาติ มาตรวจสอบความถูกต้องของความเท่าเทียมกันกัน (3+4)·2=3·2+4·2 เรามี (3+4) 2=7 2=7+7=14 และ 3 2+4 2=(3+3)+(4+4)=6+8=14 ดังนั้น ความเท่าเทียมกัน ( 3+ 4) 2=3 2+4 2 ถูกต้อง

ให้เราแสดงรูปที่สอดคล้องกับคุณสมบัติการกระจายของการคูณเทียบกับการบวก

คุณสมบัติการกระจายของการคูณสัมพันธ์กับการลบ

หากเรายึดถือความหมายของการคูณ ผลคูณ 0·n โดยที่ n เป็นจำนวนธรรมชาติใดๆ ที่มากกว่า 1 คือผลรวมของพจน์ n ซึ่งแต่ละพจน์มีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น, . คุณสมบัติของการบวกทำให้เราบอกได้ว่าผลรวมสุดท้ายเป็นศูนย์

ดังนั้น สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n จะมีความเสมอภาค 0·n=0 อยู่

เพื่อให้สมบัติการสับเปลี่ยนของการคูณยังคงใช้ได้ เรายังยอมรับความถูกต้องของความเสมอภาค n·0=0 สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n อีกด้วย

ดังนั้น, ผลคูณของศูนย์และจำนวนธรรมชาติคือศูนย์, นั่นคือ 0 น=0และ n·0=0โดยที่ n คือจำนวนธรรมชาติใดๆ ก็ตาม ข้อความสุดท้ายคือการกำหนดคุณสมบัติของการคูณจำนวนธรรมชาติและศูนย์

โดยสรุป เราจะยกตัวอย่างสองสามตัวอย่างที่เกี่ยวข้องกับคุณสมบัติของการคูณที่กล่าวถึงในย่อหน้านี้ ผลคูณของตัวเลข 45 และ 0 เท่ากับศูนย์ ถ้าเราคูณ 0 ด้วย 45,970 เราก็จะได้ศูนย์เช่นกัน

ตอนนี้คุณสามารถเริ่มศึกษากฎที่ใช้การคูณจำนวนธรรมชาติได้อย่างปลอดภัย

บรรณานุกรม.

• คณิตศาสตร์. หนังสือเรียนใด ๆ สำหรับสถาบันการศึกษาทั่วไปชั้นประถมศึกษาปีที่ 1, 2, 3, 4
• คณิตศาสตร์. หนังสือเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 ของสถานศึกษาทั่วไป

(4 บทเรียน ข้อ 113–135)

บทที่ 1 (113–118)

เป้า– แนะนำนักเรียนให้รู้จักการผสมผสานของ_

ความสามารถในการคูณ

ในบทเรียนแรกจะมีประโยชน์ในการจำคุณสมบัติต่างๆ

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์เด็กๆ รู้จักอยู่แล้ว สำหรับสิ่งนี้

แบบฝึกหัดที่เด็กนักเรียนจะทำ

ใช้สิ่งนี้หรือคุณสมบัตินั้น ตัวอย่างเช่นคุณสามารถ

เป็นไปได้ไหมที่จะยืนยันว่าค่าของนิพจน์ในคอลัมน์ที่กำหนด_

เหมือนกัน:

875 + (78 + 284)

(875 + 78) + 284

875 + (284 + 78)

(875 + 284) + 78

มันสมเหตุสมผลแล้วที่จะนำเสนอสำนวนที่มีความหมาย

เด็กไม่สามารถคำนวณได้ ในกรณีนี้พวกเขาจะเป็น_

จำเป็นต้องสรุปโดยอาศัยเหตุผล

ตัวอย่างเช่นการเปรียบเทียบนิพจน์ที่หนึ่งและที่สอง

สังเกตความเหมือนและความแตกต่าง จำคนจับคู่_

คุณสมบัติใหม่ของการบวก (สามารถมีเงื่อนไขสองคำที่อยู่ติดกัน)

แทนที่ด้วยผลรวม) ซึ่งหมายความว่าค่าจะแสดงออกมา

การแต่งงานจะเหมือนกัน นิพจน์ที่สามมีความเหมาะสม

เปรียบเทียบแตกต่างกับอันแรกและใช้การสับเปลี่ยน

คุณสมบัติของการบวกจึงได้ข้อสรุป การแสดงออกที่สี่

สามารถเปรียบเทียบกับวินาทีได้

– คุณสมบัติใดของการบวกที่ใช้ในการคำนวณ?

เปลี่ยนความหมายของสำนวนเหล่านี้? (สับเปลี่ยน

และสมาคม)

- การคูณมีคุณสมบัติอะไรบ้าง?

พวกจำไว้ว่าพวกเขารู้จักสับเปลี่ยน

คุณสมบัติของการคูณ (สะท้อนอยู่ในหนังสือเรียนหน้า 34

ชื่อเล่น “พยายามจำ!”)

- วันนี้ในชั้นเรียนเราจะพบกับอีกหนึ่งของเรา_

การคูณ!

บนกระดานมีภาพวาดที่ให้ไว้ภารกิจที่ 113 . ครู

หนูในรูปแบบต่างๆ หารือเกี่ยวกับข้อเสนอของเด็ก_

จะได้รับ หากเกิดปัญหาสามารถติดต่อได้

เพื่อวิเคราะห์วิธีการที่ Misha และ Masha เสนอ

(6 · 4) · 2: มี 6 สี่เหลี่ยมในหนึ่งสี่เหลี่ยมผืนผ้า, smart_

เมื่อกด 6 คูณ 4 Masha จะพบว่ามีสี่เหลี่ยมจำนวนเท่าใด

สี่เหลี่ยมในหนึ่งแถว การคูณผลลัพธ์ที่ได้ re_

ผลลัพธ์คือ 2 เธอพบว่ามีสี่เหลี่ยมจำนวนเท่าใด

สี่เหลี่ยมสองแถวคือ มีอันเล็กกี่อัน?

จำนวนสี่เหลี่ยมในภาพ

จากนั้นเราจะพูดถึงวิธีการของ Misha: 6 · (4 · 2) คุณก่อน_

เราดำเนินการในวงเล็บให้เสร็จสิ้น - 4 2 เช่น เราค้นหาว่ามีกี่อัน

รวมสี่เหลี่ยมสองแถว ในหนึ่งสี่เหลี่ยม_

นิค 6 สี่เหลี่ยม คูณ 6 ด้วยผลลัพธ์ที่ได้

เราตอบคำถามที่ถูกวาง ดังนั้นทั้งสองอย่าง

อีกสำนวนหนึ่งระบุว่ามีกี่ชิ้นเล็ก

สี่เหลี่ยมในภาพ

ซึ่งหมายความว่า (6 · 4) · 2 = 6 · (4 · 2)

งานที่คล้ายกันกำลังดำเนินการอยู่ภารกิจที่ 114 . ตำแหน่ง_

หลังจากนี้เด็กๆ จะได้คุ้นเคยกับการกำหนดรูปแบบการเชื่อมโยง

คุณสมบัติของการคูณและเปรียบเทียบกับสูตร

คุณสมบัติเชื่อมโยงของการบวก

เป้างาน 115–117 - ค้นหาว่าเด็กเข้าใจหรือไม่

การกำหนดคุณสมบัติการเชื่อมโยงของการคูณ

จากการทำงาน 116 เราแนะนำให้ใช้_

รับเครื่องคิดเลข ซึ่งจะช่วยให้นักเรียนสามารถทำซ้ำได้ดี_

การวัดตัวเลขสามหลัก

ปัญหาที่ 118ตัดสินใจในชั้นเรียนดีกว่า

หากเด็กๆ พบว่าเป็นการยากที่จะตัดสินใจอย่างอิสระ_

สถาบันวิจัยงาน 118 แล้วครูก็สามารถใช้เทคนิคการ

การตัดสิน โซลูชั่นสำเร็จรูปหรือการอธิบายสำนวน

เขียนไว้ตามเงื่อนไขของปัญหานี้ ตัวอย่างเช่น:

10 5 8 10 8 5

(8 10) 5 8 (10 5)

(2_คอลัมน์)เช่นเดียวกับงานต่างๆ48, 54, 55 อปท. ครั้งที่ 1

บทที่ 2 (119–125)

เป้า

การคูณในการคำนวณ ได้มาซึ่งกฎการคูณ

เลขคูณ 10

ทำงานกับภารกิจที่ 119 จัดขึ้นตาม

คำแนะนำที่ให้ไว้ในตำราเรียน:

ก) เด็กใช้สมบัติการสับเปลี่ยนของการคูณ

tion, จัดเรียงปัจจัยในผลิตภัณฑ์ใหม่ 4 10 = 10 4,

หามูลค่าผลคูณ 10 · 4 โดยบวกหลักสิบ

รายการต่อไปนี้จัดทำขึ้นในสมุดบันทึก:

4 10 = 40;

6 10 = 60 เป็นต้น

b) เด็ก ๆ กระทำในลักษณะเดียวกับเมื่อทำงานเสร็จ_

เนีย ก) ในสมุดบันทึกให้จดความเท่าเทียมกันที่ไม่มีอยู่

ในงาน a): 5 10 = 50; 7 10 = 70; 9 10 = 90;

c) วิเคราะห์และเปรียบเทียบความเท่าเทียมกันที่เป็นลายลักษณ์อักษร

สรุป (เมื่อคูณตัวเลขด้วย 10 คุณต้องกำหนด

ไปที่ตัวประกอบตัวแรกเป็นศูนย์แล้วเขียนตัวเลขผลลัพธ์ลงไป

ผลลัพธ์);

d) ตรวจสอบกฎที่กำหนดโดยใช้การคำนวณ_

ฉีก

การประยุกต์คุณสมบัติการรวมของการคูณและ pr_

การคูณด้วย 10 ช่วยให้นักเรียนคูณได้

"รอบ" นับสิบ ตัวเลขหลักเดียวใช้ on_

ทักษะการคูณตาราง (90 · 3, 70 · 4 เป็นต้น)

เพื่อจุดประสงค์นี้จึงดำเนินการงาน 120, 121, 123, 124.

จากการทำงาน 120 เด็ก ๆ จัดครั้งแรก_

วาดวงเล็บในหนังสือเรียนด้วยดินสอแล้วแสดงความคิดเห็น

การกระทำของคุณ ตัวอย่างเช่น: (5 · 7) · 10 = 35 · 10 – สร้างที่นี่

การรักษาปัจจัยที่หนึ่งและสองไว้จะแทนที่ค่าของมัน

การอ่าน. การค้นหาทันทีว่าค่าของ pro_ คืออะไรมีประโยชน์

การผลิต 35 10; 5 · (7 · 10) = 5 · 70 – นี่คือผลิตภัณฑ์

ปัจจัยที่สองและสามถูกแทนที่ด้วยค่าของมัน

เมื่อคำนวณมูลค่าของผลิตภัณฑ์ 5 70 ลูก

ให้เหตุผลดังนี้: ลองใช้สับเปลี่ยนกัน

คุณสมบัติการคูณ - 5 · 70 = 70 · 5. ตอนนี้ 7 ธ.ค. สามารถ

ทำซ้ำ 5 ครั้ง เราได้ 35 des.; หมายเลขนี้คือ 350.

เมื่ออธิบายความเท่าเทียมกันบางประการแล้วภารกิจที่ 121

เด็กนักเรียนใช้การสับเปลี่ยน their_ ก่อน

การคูณ แล้วก็การเชื่อมโยง ตัวอย่างเช่น:

4 6 10 = 40 6

(4 10) 6 = 40 6

แต่ละความเท่าเทียมกันทางซ้ายและขวา

โดยการคำนวณค่าของนิพจน์ที่เขียนทางด้านซ้าย

พวกเขาหันไปที่ตารางสูตรคูณแล้วเอาไป_

คำนวณผลลัพธ์ที่ได้รับ 10 ครั้ง:

(4 6) 10 = 24 10

ในภารกิจที่ 123 การพิจารณาวิธีต่างๆ

จะพิสูจน์คำตอบ ตัวอย่างเช่น คุณสามารถอยู่ในนิพจน์ที่สอง

เราสามารถแทนที่ผลิตภัณฑ์ด้วยมูลค่าของมัน และเราได้รับ_

สำนวนแรกคืออะไร:

4 (7 10) = 4 70

ในนิพจน์ที่สามที่คุณต้องการในกรณีนี้ก่อน

ใช้คุณสมบัติการเชื่อมโยงของการคูณ:

(4 7) 10 = 4 (7 10) แล้วเปลี่ยนผลคูณของมัน

ความหมาย.

แต่คุณสามารถทำสิ่งที่แตกต่างออกไปได้ โดยไม่ต้องมุ่งความสนใจไปที่

การแสดงออกครั้งแรกและครั้งที่สอง ในกรณีนี้คือเลข 70 ใน per_

ในนิพจน์นี้ คุณต้องแสดงเป็นผลิตภัณฑ์:

4 70 = 4 (7 10)

และในนิพจน์ที่ 3 ให้ใช้คำว่า Transformer_

การเรียกโดยการรวมทรัพย์สิน:

(4 7) 10 = 4 (7 10)

การจัดเสวนา ในรูปแบบต่างๆการกระทำ

วีภารกิจที่ 123 ครูสามารถมุ่งความสนใจไปที่บทสนทนาได้

Misha และ Masha ที่ถูกพาเข้ามาภารกิจที่ 124 .

ตำแหน่งที่จะระบุบนไดอะแกรมค่าที่รู้จักและไม่รู้จัก_

อันดับ ด้วยเหตุนี้ แผนภาพจึงมีลักษณะดังนี้:

สำหรับแบบฝึกหัดการคำนวณในชั้นเรียน เราขอแนะนำ

เป่าภารกิจที่ 125, และงาน 59, 60 จาก TVET หมายเลข 1 .

บทที่ 3 (126–132)

เป้า– เรียนรู้การใช้ทรัพย์สินเชื่อมโยง

การคูณเพื่อการคำนวณ พัฒนาทักษะ

เพื่อแก้ไขปัญหา

ภารกิจที่ 126ดำเนินการด้วยวาจา เป้าหมายของเขาคือความสมบูรณ์แบบ

การพัฒนาทักษะการคำนวณและความสามารถในการประยุกต์

สมบัติการเชื่อมโยงของการคูณ เช่น การเปรียบเทียบ

นิพจน์ ก) 45 10 และ 9 50 เหตุผลของนักเรียน: หมายเลข

45 สามารถแสดงเป็นผลคูณของ 9 5 ได้ จากนั้น

แทนที่ผลคูณของตัวเลข 5 10 ด้วยค่าของมัน

ภารกิจที่ 128นำไปใช้กับการคำนวณด้วย

แบบฝึกหัดที่ต้องใช้อย่างแข็งขัน

การวิเคราะห์และการสังเคราะห์ การเปรียบเทียบ ลักษณะทั่วไป การกำหนดสิทธิ

เมื่อสร้างแต่ละแถว เด็กส่วนใหญ่จะใช้_

พวกเขาใช้แนวคิด "เพิ่มขึ้นโดย..." ตัวอย่างเช่น: สำหรับแถว – 6,

12, 18, ... – “ทุก หมายเลขถัดไปเพิ่มขึ้น 6";

สำหรับชุด – 4, 8, 12, ... – “แต่ละหมายเลขถัดไปเพิ่มขึ้น_

สิ้นสุดที่ 4” เป็นต้น

แต่ตัวเลือกต่อไปนี้ก็เป็นไปได้เช่นกัน: “เพื่อรับเงินกู้_

ตัวเลขแรกในแต่ละแถวจะเพิ่มขึ้น

2 ครั้งจะได้ตัวที่สามในชุดแรก

จำนวนแถวเพิ่มขึ้น 3 เท่าแถวที่สี่เพิ่มขึ้น 4 เท่า

ห้า - 5 ครั้ง ฯลฯ

โดยเข้าแถวตามระเบียบนี้ นักเรียนจริงๆ_

พวกเขาทำซ้ำทุกกรณีของการคูณตารางอย่างแท้จริง

การอ่านนักเรียนสามารถวาดภาพได้

โครงการหรือ “ฟื้น” โครงการที่ครูเตรียมไว้ล่วงหน้า

จะพรรณนามันไว้บนกระดาน

เด็กๆ จะจดวิธีแก้ไขปัญหาลงในสมุดบันทึกด้วยตนเอง

ในกรณีที่เกิดปัญหาในการแก้ไขงาน 129 เรโกะ_

เราแนะนำให้ใช้เทคนิคการปรึกษาหารือวิธีแก้ปัญหาสำเร็จรูป_

คำอธิบายหรือคำอธิบายสำนวนที่เขียนตามเงื่อนไข

ของงานนี้:

10 · 3 3 · 4 10 · 4 (10 · 3) · 4 10 · (3 · 4)

ปัญหา 133ขอแนะนำให้อภิปรายเรื่องนี้ในชั้นเรียนด้วย

(1) 14 + 7 = 21 (วัน) 2) 21 2 = 42 (วัน))

งาน 61, 62 TPO หมายเลข 1.

บทที่ 4 (134–135)

เป้า– ตรวจสอบความเชี่ยวชาญของทักษะบนโต๊ะ

ความรู้และทักษะการแก้ปัญหา

134, 135 .

เป้างาน 134 – สรุปความรู้ของเด็กเกี่ยวกับตาราง

การคูณซึ่งสามารถแสดงเป็นตารางได้

พีทาโกรัส ดังนั้นหลังจากภารกิจเสร็จสิ้น_

ไม่ การค้นหาข้อมูลต่อไปนี้มีประโยชน์

ก) สามารถแทรกเซลล์เดียวกันลงในเซลล์ใดของตารางได้?

ตัวเลขอะไรและทำไม? (เซลล์เหล่านี้อยู่ในแถวล่างสุด_

ke และในคอลัมน์ทางขวา ซึ่งเกิดจากการสับเปลี่ยน

คุณสมบัติของการคูณ)

b) เป็นไปได้ไหมที่จะพูดโดยไม่ต้องคำนวณ

จำนวนถัดไปจะมากกว่าจำนวนก่อนหน้าในแต่ละจำนวนเท่าใด

แถว (คอลัมน์) ของตาราง? (ในบรรทัดบนสุด (แรก) –

คูณ 1 ในวินาที - คูณ 2 ในสาม - คูณ 3 เป็นต้น) นี่คือเงื่อนไข _

กำหนดโดยคำจำกัดความ: “การคูณคือการบวกของ one_

เงื่อนไขคอฟ"

นักเรียนควรได้รับการเตือนด้วยว่า

ทั้งตารางมี 81 เซลล์ ซึ่งตรงกับจำนวนนี้

ซึ่งควรเขียนไว้ในเซลล์ขวาล่าง

เพื่อทดสอบความรู้ ทักษะ และความสามารถของนักเรียน

ชมีเรวา จี.จี. เอกสารทดสอบ. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 3 – สโมเลนสค์

สมาคมศตวรรษที่ XXI, 2547