กำลังตัวเลข: คำจำกัดความ การกำหนด ตัวอย่าง ระดับลบ

ในบทความนี้เราจะมาดูกันว่ามันคืออะไร ยกกำลังของตัวเลข- ที่นี่เราจะให้คำจำกัดความของกำลังของตัวเลข ในขณะที่เราจะพิจารณารายละเอียดเลขชี้กำลังที่เป็นไปได้ทั้งหมด โดยเริ่มจากเลขชี้กำลังธรรมชาติและลงท้ายด้วยเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว ในเนื้อหาคุณจะพบตัวอย่างองศามากมายซึ่งครอบคลุมรายละเอียดปลีกย่อยทั้งหมดที่เกิดขึ้น

การนำทางหน้า

ยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังธรรมชาติ, กำลังสองของตัวเลข, ยกกำลังสามของตัวเลข

เรามาเริ่มกันที่ เมื่อมองไปข้างหน้า สมมติว่านิยามกำลังของจำนวน a ที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ n ให้ไว้สำหรับ a ซึ่งเราจะเรียกว่า พื้นฐานการศึกษาระดับปริญญาและ n ซึ่งเราจะเรียกว่า เลขชี้กำลัง- นอกจากนี้ เรายังสังเกตด้วยว่าระดับที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาตินั้นถูกกำหนดผ่านผลคูณ ดังนั้นเพื่อที่จะเข้าใจเนื้อหาด้านล่าง คุณจะต้องมีความเข้าใจเรื่องการคูณตัวเลข

คำนิยาม.

กำลังของจำนวนที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ nคือนิพจน์ที่อยู่ในรูปแบบ a n ซึ่งมีค่าเท่ากับผลคูณของตัวประกอบ n ซึ่งแต่ละตัวจะเท่ากับ a นั่นคือ
โดยเฉพาะอย่างยิ่ง กำลังของตัวเลข a ที่มีเลขชี้กำลัง 1 ก็คือตัวเลข a ซึ่งก็คือ a 1 =a

เป็นเรื่องที่ควรพูดถึงทันทีเกี่ยวกับกฎการอ่านองศา วิธีการสากลการอ่านค่า a n คือ: “a ยกกำลัง n” ในบางกรณี สามารถใช้ตัวเลือกต่อไปนี้ได้: “a กำลัง n” และ “กำลัง n ของ a” ตัวอย่างเช่น ลองยกกำลัง 8 12 ซึ่งก็คือ "แปดยกกำลังสิบสอง" หรือ "แปดยกกำลังสิบสอง" หรือ "ยกกำลังสิบสองของแปด"

กำลังสองของตัวเลข เช่นเดียวกับกำลังสามของตัวเลข มีชื่อเป็นของตัวเอง เรียกว่ากำลังสองของตัวเลข ยกกำลังสองจำนวนเช่น 7 2 อ่านว่า “เจ็ดกำลังสอง” หรือ “กำลังสองของเลขเจ็ด” เรียกว่ากำลังสามของจำนวน ตัวเลขกำลังสามเช่น 5 3 อ่านว่า "ห้าลูกบาศก์" หรืออาจพูดว่า "ลูกบาศก์ของเลข 5" ก็ได้

ถึงเวลาที่ต้องนำมา ตัวอย่างองศาที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ- เริ่มจากดีกรี 5 7 โดยที่ 5 คือฐานของดีกรี และ 7 เป็นเลขชี้กำลัง อีกตัวอย่างหนึ่ง: 4.32 คือฐาน และ จำนวนธรรมชาติ 9 – เลขชี้กำลัง (4.32) 9 .

โปรดทราบว่าในตัวอย่างสุดท้าย ฐานของกำลัง 4.32 จะเขียนอยู่ในวงเล็บ: เพื่อหลีกเลี่ยงความคลาดเคลื่อน เราจะใส่ฐานทั้งหมดของกำลังที่แตกต่างจากจำนวนธรรมชาติในวงเล็บ ตามตัวอย่าง เราให้องศาต่อไปนี้กับเลขชี้กำลังธรรมชาติ ฐานของพวกมันไม่ใช่ตัวเลขธรรมชาติ จึงเขียนอยู่ในวงเล็บ เพื่อความชัดเจนโดยสมบูรณ์ ณ จุดนี้เราจะแสดงความแตกต่างที่มีอยู่ในบันทึกของรูปแบบ (−2) 3 และ −2 3 นิพจน์ (−2) 3 คือกำลังของ −2 โดยมีเลขชี้กำลังธรรมชาติเป็น 3 และนิพจน์ −2 3 (เขียนได้เป็น −(2 3) ) สอดคล้องกับตัวเลข ค่าของกำลัง 2 3 .

โปรดทราบว่ามีสัญลักษณ์ยกกำลังของตัวเลข a โดยมีเลขชี้กำลัง n อยู่ในรูป a^n ยิ่งไปกว่านั้น ถ้า n เป็นจำนวนธรรมชาติที่มีหลายค่า เลขยกกำลังจะอยู่ในวงเล็บ ตัวอย่างเช่น 4^9 เป็นอีกสัญลักษณ์หนึ่งสำหรับยกกำลังของ 4 9 และนี่คือตัวอย่างเพิ่มเติมของการเขียนองศาโดยใช้สัญลักษณ์ “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . ต่อไปนี้ เราจะใช้สัญลักษณ์ระดับในรูปแบบ a n เป็นหลัก

ปัญหาหนึ่งที่ตรงกันข้ามกับการยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังตามธรรมชาติคือปัญหาการหาฐานของกำลังโดย คุณค่าที่ทราบองศาและตัวบ่งชี้ที่ทราบ ภารกิจนี้นำไปสู่.

เป็นที่ทราบกันว่าชุดของจำนวนตรรกยะประกอบด้วยจำนวนเต็มและเศษส่วน และจำนวนเศษส่วนแต่ละจำนวนสามารถแสดงเป็นบวกหรือลบได้ เศษส่วนทั่วไป- เรากำหนดระดับด้วยเลขชี้กำลังจำนวนเต็มในย่อหน้าก่อนหน้า ดังนั้น เพื่อให้คำจำกัดความของระดับสมบูรณ์ด้วย ตัวบ่งชี้ที่มีเหตุผลคุณต้องให้ความหมายแก่กำลังของจำนวน a ด้วยเลขชี้กำลังเศษส่วน m/n โดยที่ m คือจำนวนเต็ม และ n คือจำนวนธรรมชาติ มาทำสิ่งนี้กันเถอะ

ลองพิจารณาระดับด้วยเลขชี้กำลังเศษส่วนของแบบฟอร์ม เพื่อให้คุณสมบัติการแปลงพลังงานยังคงใช้ได้ ความเท่าเทียมกันจะต้องคงไว้ - หากเราคำนึงถึงผลลัพธ์ที่เท่าเทียมกันและวิธีการกำหนด ก็มีเหตุผลที่จะยอมรับมัน โดยมีเงื่อนไขว่าเมื่อให้ m, n และ a นิพจน์นั้นสมเหตุสมผล

เป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่าคุณสมบัติทั้งหมดของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มนั้นถูกต้อง (ซึ่งทำในคุณสมบัติส่วนของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ)

การให้เหตุผลข้างต้นช่วยให้เราสามารถทำสิ่งต่อไปนี้ได้ บทสรุป: หากกำหนดให้ m, n และนิพจน์นั้นสมเหตุสมผลแล้ว กำลังของ a ที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน m/n จะเรียกว่ารากที่ n ของ a ยกกำลัง m

ข้อความนี้ทำให้เราเข้าใกล้คำจำกัดความของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน สิ่งที่เหลืออยู่คือการอธิบายว่า m, n และนิพจน์ใดที่สมเหตุสมผล ขึ้นอยู่กับข้อจำกัดของ m, n และ a มีสองแนวทางหลัก

วิธีที่ง่ายที่สุดคือกำหนดข้อจำกัดให้กับ a โดยการใช้ a≥0 สำหรับค่าบวก m และ a>0 สำหรับค่าลบ m (เนื่องจากสำหรับ m≤0 ระดับ 0 ของ m ไม่ได้ถูกกำหนดไว้) จากนั้นเราจะได้คำจำกัดความของระดับที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนดังนี้

คำนิยาม.

กำลังของจำนวนบวก a ที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน m/nโดยที่ m เป็นจำนวนเต็มและ n เป็นจำนวนธรรมชาติ เรียกว่ารากที่ n ของตัวเลข a ยกกำลัง m นั่นคือ

กำลังเศษส่วนของศูนย์จะถูกกำหนดด้วยข้อแม้เดียวที่ตัวบ่งชี้จะต้องเป็นค่าบวก

คำนิยาม.

กำลังของศูนย์กับเศษส่วน ตัวบ่งชี้ที่เป็นบวกม./นโดยที่ m เป็นจำนวนเต็มบวก และ n เป็นจำนวนธรรมชาติ จึงนิยามได้ว่า .
เมื่อไม่ได้กำหนดดีกรี นั่นคือดีกรีของเลขศูนย์ที่มีเลขชี้กำลังลบแบบเศษส่วนไม่สมเหตุสมผล

ควรสังเกตว่าด้วยคำจำกัดความของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน มีข้อแม้ประการหนึ่ง: สำหรับลบ a และ m และ n บางค่า นิพจน์นี้สมเหตุสมผล และเราละทิ้งกรณีเหล่านี้โดยนำเงื่อนไข a≥0 มาใช้ ตัวอย่างเช่น รายการมีความสมเหตุสมผล หรือ และคำจำกัดความที่ให้ไว้ข้างต้นบังคับให้เราบอกว่ากำลังที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนของรูปแบบ ไม่สมเหตุสมผล เนื่องจากฐานไม่ควรเป็นลบ

อีกวิธีหนึ่งในการกำหนดระดับด้วยเลขชี้กำลังเศษส่วน m/n คือการพิจารณาเลขชี้กำลังเลขยกกำลังเลขคู่และเลขคี่ของรากแยกกัน วิธีการนี้ต้องมีเงื่อนไขเพิ่มเติม: กำลังของตัวเลข a ซึ่งเลขชี้กำลังคือ ถือเป็นกำลังของตัวเลข a ซึ่งเลขชี้กำลังคือเศษส่วนที่ลดไม่ได้ที่สอดคล้องกัน (เราจะอธิบายความสำคัญของเงื่อนไขนี้ด้านล่าง ). นั่นคือ ถ้า m/n เป็นเศษส่วนที่ลดไม่ได้ ดังนั้นสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ k ระดับจะถูกแทนที่ด้วย

สำหรับเลขคู่ n และค่าบวก m นิพจน์นี้สมเหตุสมผลสำหรับค่า a ใดๆ ที่ไม่ใช่ค่าลบ (รากคู่ของ จำนวนลบไม่สมเหตุสมผล) สำหรับค่าลบ m ตัวเลข a จะต้องแตกต่างจากศูนย์ (ไม่เช่นนั้นจะมีการหารด้วยศูนย์) และสำหรับเลขคี่ n และบวก m จำนวน a สามารถเป็นค่าใดก็ได้ (รากของดีกรีคี่ถูกกำหนดไว้สำหรับจำนวนจริงใดๆ) และสำหรับลบ m จำนวน a จะต้องไม่เป็นศูนย์ (เพื่อไม่ให้หารด้วย ศูนย์).

การให้เหตุผลข้างต้นนำเราไปสู่คำจำกัดความของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน

คำนิยาม.

ให้ m/n เป็นเศษส่วนลดไม่ได้ m เป็นจำนวนเต็ม และ n เป็นจำนวนธรรมชาติ สำหรับเศษส่วนที่ลดลงใดๆ ระดับจะถูกแทนที่ด้วย กำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนที่ลดไม่ได้ m/n นั้นใช้สำหรับ



ให้เราอธิบายว่าทำไมดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนที่ลดได้จึงถูกแทนที่ด้วยดีกรีที่มีเลขชี้กำลังที่ลดไม่ได้ หากเรากำหนดระดับเป็น และไม่ได้สำรองไว้เกี่ยวกับการลดทอนไม่ได้ของเศษส่วน m/n เราก็จะต้องเผชิญกับสถานการณ์ที่คล้ายกับต่อไปนี้: เนื่องจาก 6/10 = 3/5 ดังนั้นความเท่าเทียมกันจึงต้องคงอยู่ , แต่ , ก.

ระดับรายการ

ปริญญาและคุณสมบัติของมัน คู่มือที่ครอบคลุม (2019)

เหตุใดจึงต้องมีวุฒิการศึกษา? คุณต้องการมันที่ไหน? เหตุใดคุณจึงควรสละเวลาศึกษาสิ่งเหล่านี้?

เพื่อเรียนรู้ทุกอย่างเกี่ยวกับปริญญา มีไว้เพื่ออะไร วิธีใช้ความรู้ของคุณ ชีวิตประจำวันอ่านบทความนี้

และแน่นอนว่าความรู้ด้านปริญญาจะทำให้คุณเข้าใกล้ความสำเร็จในการผ่านการสอบ Unified State หรือ Unified State และการเข้ามหาวิทยาลัยในฝันของคุณ

ไปกันเถอะ... (ไปกันเถอะ!)

หมายเหตุสำคัญ! หากคุณเห็น gobbledygook แทนที่จะเป็นสูตร ให้ล้างแคชของคุณ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้กด CTRL+F5 (บน Windows) หรือ Cmd+R (บน Mac)

ระดับเริ่มต้น

การยกกำลังเป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เช่นเดียวกับการบวก ลบ การคูณ หรือการหาร

ตอนนี้ฉันจะอธิบายทุกอย่างเป็นภาษามนุษย์อย่างมาก ตัวอย่างง่ายๆ- ระวัง. ตัวอย่างเป็นเพียงเรื่องเบื้องต้นแต่อธิบายเรื่องสำคัญได้

เริ่มต้นด้วยการเพิ่ม

ไม่มีอะไรจะอธิบายที่นี่ คุณรู้ทุกอย่างแล้ว: มีพวกเราแปดคน ทุกคนมีโคล่าสองขวด โคล่ามีเท่าไหร่? ถูกต้อง - 16 ขวด

ตอนนี้การคูณ

ตัวอย่างเดียวกันกับ cola สามารถเขียนได้แตกต่างกัน: . นักคณิตศาสตร์เป็นคนเจ้าเล่ห์และเกียจคร้าน ก่อนอื่นพวกเขาจะสังเกตเห็นรูปแบบบางอย่าง จากนั้นจึงหาวิธี "นับ" พวกมันให้เร็วขึ้น ในกรณีของเรา พวกเขาสังเกตเห็นว่าคนทั้งแปดคนมีจำนวนขวดโคล่าเท่ากัน จึงเกิดเทคนิคที่เรียกว่าการคูณ เห็นด้วยถือว่าง่ายและเร็วกว่า

ดังนั้นหากต้องการนับเร็วขึ้น ง่ายขึ้น และไม่มีข้อผิดพลาด คุณเพียงแค่ต้องจำไว้ ตารางสูตรคูณ- แน่นอนว่าคุณสามารถทำทุกอย่างให้ช้าลง ยากขึ้น และมีข้อผิดพลาดได้! แต่…

นี่คือตารางสูตรคูณ ทำซ้ำ.

และอีกอย่างที่สวยงามกว่า:

นักคณิตศาสตร์ขี้เกียจมีเคล็ดลับการนับอันชาญฉลาดอะไรอีกบ้าง? ขวา - การยกจำนวนให้เป็นกำลัง.

การยกจำนวนให้เป็นกำลัง

หากคุณต้องการคูณตัวเลขด้วยตัวมันเองห้าครั้ง นักคณิตศาสตร์บอกว่าคุณต้องเพิ่มจำนวนนั้นให้เป็นกำลังห้า ตัวอย่างเช่น, . นักคณิตศาสตร์จำได้ว่ากำลังสองยกกำลังห้าคือ... และพวกเขาก็แก้ไขปัญหาในหัวได้ - เร็วขึ้น ง่ายขึ้น และไม่มีข้อผิดพลาด

สิ่งที่คุณต้องทำคือ จำสิ่งที่เน้นด้วยสีในตารางยกกำลังตัวเลข- เชื่อฉันสิสิ่งนี้จะทำให้ชีวิตของคุณง่ายขึ้นมาก

เหตุใดจึงเรียกว่าระดับที่สอง? สี่เหลี่ยมตัวเลขและอันที่สาม - ลูกบาศก์- มันหมายความว่าอะไร? มาก คำถามที่ดี- ตอนนี้คุณจะมีทั้งสี่เหลี่ยมและลูกบาศก์

ตัวอย่างชีวิตจริง #1

เริ่มจากกำลังสองหรือกำลังสองของตัวเลขกันก่อน

ลองนึกภาพสระน้ำสี่เหลี่ยมขนาดหนึ่งเมตรคูณหนึ่งเมตร สระว่ายน้ำอยู่ที่เดชาของคุณ ร้อนแล้วอยากเล่นน้ำจังเลย แต่... สระไม่มีก้น! คุณต้องปูกระเบื้องด้านล่างของสระ คุณต้องการกระเบื้องกี่แผ่น? เพื่อระบุสิ่งนี้คุณจำเป็นต้องทราบพื้นที่ด้านล่างของสระ

คุณสามารถคำนวณได้ง่ายๆ ด้วยการชี้นิ้วว่าก้นสระประกอบด้วยลูกบาศก์เมตรต่อลูกบาศก์เมตร หากคุณมีกระเบื้องขนาด 1 เมตร x 1 เมตร คุณจะต้องใช้กระเบื้องเป็นชิ้นๆ ง่ายนิดเดียว...แต่เคยเห็นกระเบื้องแบบนี้ที่ไหน? กระเบื้องน่าจะเป็นซม. ต่อซม. แล้วคุณจะถูกทรมานด้วยการ "นับนิ้ว" จากนั้นคุณต้องคูณ ดังนั้นด้านหนึ่งของก้นสระเราจะใส่กระเบื้อง (ชิ้น) และอีกด้านหนึ่งก็ใส่กระเบื้องด้วย คูณด้วยแล้วคุณจะได้ไทล์ ()

คุณสังเกตไหมว่าในการกำหนดพื้นที่ก้นสระเราคูณจำนวนเดียวกันด้วยตัวมันเอง? มันหมายความว่าอะไร? เนื่องจากเรากำลังคูณจำนวนเดียวกัน เราจึงใช้เทคนิค "การยกกำลัง" ได้ (แน่นอนว่าเมื่อคุณมีตัวเลขเพียงสองตัว คุณยังต้องคูณหรือยกกำลัง แต่ถ้าคุณมีจำนวนมาก การยกกำลังจะง่ายกว่ามากและยังมีข้อผิดพลาดในการคำนวณน้อยกว่าด้วย . สำหรับการสอบ Unified State สิ่งนี้สำคัญมาก)
ดังนั้น ยกกำลังสามสิบสองจะเป็น () หรือเราบอกได้ว่า 30 กำลังสองจะเป็น. กล่าวอีกนัยหนึ่ง กำลังสองของตัวเลขสามารถแสดงเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้เสมอ และในทางกลับกัน หากคุณเห็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส มันจะเป็นกำลังสองของจำนวนใดจำนวนหนึ่งเสมอ สี่เหลี่ยมจัตุรัสคือภาพกำลังสองของตัวเลข

ตัวอย่างชีวิตจริง #2

นี่คืองานสำหรับคุณ: นับจำนวนสี่เหลี่ยมบนกระดานหมากรุกโดยใช้กำลังสองของตัวเลข... ที่ด้านหนึ่งของเซลล์และอีกด้านหนึ่งด้วย ในการคำนวณจำนวนนั้น คุณต้องคูณแปดด้วยแปด หรือ... ถ้าคุณสังเกตเห็นว่ากระดานหมากรุกเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน คุณก็ยกกำลังสองได้แปด คุณจะได้รับเซลล์ () ดังนั้น?

ตัวอย่างชีวิตจริง #3

ทีนี้ลูกบาศก์หรือกำลังสามของตัวเลข สระเดียวกัน. แต่ตอนนี้คุณต้องค้นหาว่าจะต้องเทน้ำลงในสระนี้มากแค่ไหน คุณต้องคำนวณปริมาตร (โดยวิธีการวัดปริมาตรและของเหลว ลูกบาศก์เมตร- ไม่คาดคิดใช่ไหม?) วาดสระน้ำ: ก้นวัดหนึ่งเมตรและลึกหนึ่งเมตรแล้วลองนับจำนวนลูกบาศก์ที่วัดหนึ่งเมตรต่อหนึ่งเมตรจะพอดีกับสระของคุณ

เพียงชี้นิ้วของคุณแล้วนับ! หนึ่ง สอง สาม สี่...ยี่สิบสอง ยี่สิบสาม...คุณได้มากี่อัน? ไม่หาย? นิ้วนับยากไหม? แค่นั้นแหละ! นำตัวอย่างจากนักคณิตศาสตร์ พวกเขาขี้เกียจ ดังนั้นพวกเขาจึงสังเกตว่าในการคำนวณปริมาตรของสระ คุณต้องคูณความยาว ความกว้าง และความสูงเข้าด้วยกัน ในกรณีของเรา ปริมาตรสระจะเท่ากับลูกบาศก์... ง่ายกว่าใช่ไหม?

ลองจินตนาการดูว่านักคณิตศาสตร์ที่ขี้เกียจและมีไหวพริบจะเป็นอย่างไรหากพวกเขาทำให้สิ่งนี้ง่ายขึ้น เราลดทุกอย่างลงเป็นการกระทำเดียว พวกเขาสังเกตเห็นว่าความยาว ความกว้าง และความสูงเท่ากัน และจำนวนเท่ากันก็คูณด้วยตัวมันเอง... หมายความว่าอย่างไร? ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถใช้ประโยชน์จากปริญญาได้ ดังนั้น สิ่งที่คุณเคยนับด้วยนิ้วของคุณ มันทำในการกระทำเดียว: สามลูกบาศก์มีค่าเท่ากัน มันเขียนไว้แบบนี้: .

สิ่งที่เหลืออยู่ก็คือ จำตารางองศา- เว้นแต่คุณจะขี้เกียจและมีไหวพริบเหมือนนักคณิตศาสตร์ หากคุณชอบทำงานหนักและทำผิดพลาด คุณสามารถนับนิ้วต่อไปได้

ในที่สุดเพื่อโน้มน้าวคุณว่าปริญญานั้นถูกคิดค้นโดยผู้เลิกบุหรี่และคนที่มีไหวพริบเพื่อแก้ไขปัญหาของตนเอง ปัญหาชีวิตและไม่สร้างปัญหาให้กับคุณ นี่คือตัวอย่างเพิ่มเติมจากชีวิต

ตัวอย่างชีวิตจริง #4

คุณมีเงินหนึ่งล้านรูเบิล ในช่วงต้นปี ทุก ๆ ล้านที่คุณทำได้ คุณก็ทำได้อีกล้าน นั่นคือทุก ๆ ล้านที่คุณมีสองเท่าในช่วงต้นปี คุณจะมีเงินเท่าไหร่ในปี? หากคุณกำลังนั่ง "นับนิ้ว" อยู่ตอนนี้ แสดงว่าคุณเป็นคนที่ทำงานหนักมากและ... โง่เขลา แต่ส่วนใหญ่แล้วคุณจะให้คำตอบภายในไม่กี่วินาทีเพราะคุณฉลาด! ดังนั้น ในปีแรก - สองคูณสอง... ในปีที่สอง - เกิดอะไรขึ้น อีกสองในปีที่สาม... หยุด! คุณสังเกตเห็นว่าจำนวนนั้นคูณด้วยตัวมันเองคูณด้วยตัวมันเอง ดังนั้นสองยกกำลังห้าจึงเป็นล้าน! ทีนี้ลองจินตนาการว่าคุณมีการแข่งขันและคนที่นับได้เร็วที่สุดก็จะได้รับเงินล้านเหล่านี้... มันคุ้มค่าที่จะจดจำพลังของตัวเลขใช่ไหม?

ตัวอย่างชีวิตจริง #5

คุณมีเงินเป็นล้าน ทุกต้นปี คุณจะได้รับเพิ่มอีกสองต่อหนึ่งล้าน เยี่ยมมากใช่มั้ย? ทุกล้านเป็นสามเท่า คุณจะมีเงินเท่าไหร่ในหนึ่งปี? มานับกัน ปีแรก - คูณด้วยแล้วผลลัพธ์ด้วยอีกปี... มันน่าเบื่ออยู่แล้วเพราะคุณเข้าใจทุกอย่างแล้ว: สามคูณด้วยตัวมันเองคูณด้วยตัวมันเอง ดังนั้นยกกำลังสี่จึงเท่ากับหนึ่งล้าน. คุณแค่ต้องจำไว้ว่าสามยกกำลังสี่คือหรือ

ตอนนี้คุณรู้แล้วว่าการเพิ่มตัวเลขให้มีพลังจะทำให้ชีวิตของคุณง่ายขึ้นมาก เรามาดูกันดีกว่าว่าคุณสามารถทำอะไรได้บ้างกับปริญญาและสิ่งที่คุณต้องรู้เกี่ยวกับปริญญาเหล่านั้น

เงื่อนไขและแนวคิด...เพื่อไม่ให้สับสน

ก่อนอื่น เรามากำหนดแนวคิดกันก่อน คุณคิดว่า เลขชี้กำลังคืออะไร- ง่ายมาก - มันคือตัวเลขที่ "อยู่ด้านบน" ของเลขยกกำลัง ไม่ใช่วิทยาศาสตร์ แต่ชัดเจนและจำง่าย...

ในเวลาเดียวกันอะไร พื้นฐานการศึกษาระดับปริญญาดังกล่าว- ง่ายกว่านั้นคือตัวเลขที่อยู่ด้านล่างที่ฐาน

นี่คือภาพวาดเพื่อการวัดที่ดี

โดยทั่วไปแล้ว เพื่อที่จะสรุปและจดจำได้ดีขึ้น... ระดับที่มีฐาน “ ” และเลขชี้กำลัง “ ” จะอ่านว่า “ถึงระดับ” และเขียนดังนี้:

กำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ

คุณคงเดาได้แล้ว: เพราะเลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ ใช่ แต่มันคืออะไร จำนวนธรรมชาติ- ประถมศึกษา! ตัวเลขธรรมชาติคือตัวเลขที่ใช้ในการนับเมื่อแสดงรายการวัตถุ: หนึ่ง สอง สาม... เมื่อเรานับวัตถุ เราจะไม่พูดว่า: "ลบห้า" "ลบหก" "ลบเจ็ด" เราไม่พูดว่า: "หนึ่งในสาม" หรือ "ศูนย์จุดห้า" พวกนี้ไม่ใช่จำนวนธรรมชาติ คุณคิดว่านี่คือตัวเลขอะไร?

ตัวเลขเช่น "ลบห้า", "ลบหก", "ลบเจ็ด" หมายถึง จำนวนเต็มโดยทั่วไป จำนวนเต็มประกอบด้วยจำนวนธรรมชาติทั้งหมด จำนวนที่อยู่ตรงข้ามกับจำนวนธรรมชาติ (นั่นคือ ใช้เครื่องหมายลบ) และจำนวน Zero เป็นเรื่องง่ายที่จะเข้าใจ - คือเมื่อไม่มีอะไรเลย ตัวเลขติดลบ (“ลบ”) หมายถึงอะไร? แต่พวกเขาถูกประดิษฐ์ขึ้นเพื่อระบุหนี้เป็นหลัก: หากคุณมียอดคงเหลือในโทรศัพท์เป็นรูเบิลแสดงว่าคุณเป็นหนี้รูเบิลของผู้ให้บริการ

เศษส่วนทั้งหมดเป็น จำนวนตรรกยะ- คุณคิดว่าพวกเขาเกิดขึ้นได้อย่างไร? ง่ายมาก เมื่อหลายพันปีก่อน บรรพบุรุษของเราค้นพบว่าพวกเขาขาดตัวเลขธรรมชาติในการวัดความยาว น้ำหนัก พื้นที่ ฯลฯ และพวกเขาก็คิดขึ้นมาด้วย จำนวนตรรกยะ... น่าสนใจใช่ไหมล่ะ?

นอกจากนี้ยังมีจำนวนอตรรกยะ ตัวเลขเหล่านี้คืออะไร? กล่าวโดยสรุป มันคือเศษส่วนทศนิยมอนันต์ ตัวอย่างเช่น หากคุณหารเส้นรอบวงของวงกลมด้วยเส้นผ่านศูนย์กลาง คุณจะได้จำนวนอตรรกยะ

ประวัติย่อ:

ให้เรานิยามแนวคิดของระดับที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ (เช่น จำนวนเต็มและบวก)

1. จำนวนใดๆ ที่กำลังยกกำลังแรกจะเท่ากับตัวมันเอง:
2. การยกกำลังสองหมายถึงการคูณด้วยตัวมันเอง:
3. การยกกำลังสามหมายถึงการคูณด้วยตัวมันเองสามครั้ง:

คำนิยาม.การเพิ่มจำนวนให้เป็นพลังธรรมชาติหมายถึงการคูณจำนวนด้วยตัวมันเองด้วย:
.

คุณสมบัติขององศา

คุณสมบัติเหล่านี้มาจากไหน? ฉันจะแสดงให้คุณดูตอนนี้

มาดูกันว่ามันคืออะไร และ ?

ตามคำจำกัดความ:

มีตัวคูณทั้งหมดกี่ตัว?

ง่ายมาก: เราบวกตัวคูณเข้ากับปัจจัย และผลลัพธ์ก็คือตัวคูณ

แต่ตามคำจำกัดความแล้ว นี่คือกำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลัง ซึ่งก็คือ: ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

ตัวอย่าง: ลดความซับซ้อนของนิพจน์

สารละลาย:

ตัวอย่าง:ลดความซับซ้อนของนิพจน์

สารละลาย:สิ่งสำคัญคือต้องทราบว่าในกฎของเรา จำเป็นมันคงจะมีเหตุผลเดียวกันสิ!
ดังนั้นเราจึงรวมพลังเข้ากับฐาน แต่ยังคงเป็นปัจจัยที่แยกจากกัน:

เพื่อผลผลิตแห่งพลังเท่านั้น!

คุณไม่สามารถเขียนสิ่งนั้นได้ไม่ว่าในกรณีใด

2. แค่นั้นแหละ กำลังของตัวเลข

เช่นเดียวกับคุณสมบัติก่อนหน้านี้ ให้เรามาดูคำจำกัดความของระดับ:

ปรากฎว่านิพจน์นั้นคูณด้วยตัวมันเองด้วยตัวมันเอง นั่นคือตามคำจำกัดความ นี่คือกำลังที่ th ของตัวเลข:

โดยพื้นฐานแล้ว สิ่งนี้สามารถเรียกได้ว่าเป็น "การเอาตัวบ่งชี้ออกจากวงเล็บ" แต่คุณไม่สามารถทำเช่นนี้ได้ทั้งหมด:

จำสูตรคูณแบบย่อ: เราต้องการเขียนกี่ครั้ง?

แต่นี่ไม่เป็นความจริงเลย

กำลังที่มีฐานลบ

ถึงจุดนี้ เราได้พูดคุยกันเพียงว่าเลขชี้กำลังควรเป็นเช่นไร

แต่อะไรควรเป็นพื้นฐาน?

อยู่ในอำนาจของ ตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติพื้นฐานอาจเป็นได้ หมายเลขใดก็ได้- อันที่จริง เราสามารถคูณตัวเลขใดๆ เข้าด้วยกันได้ ไม่ว่าจะเป็นค่าบวก ลบ หรือเลขคู่

ลองคิดดูว่าเครื่องหมายใด ("" หรือ "") จะมีระดับของจำนวนบวกและลบ?

เช่น จำนวนเป็นบวกหรือลบ? เอ? - อย่างแรกทุกอย่างชัดเจน: ไม่ว่าเราจะคูณจำนวนบวกจำนวนเท่าใดผลลัพธ์ก็จะเป็นบวก

แต่สิ่งที่เป็นลบนั้นน่าสนใจกว่าเล็กน้อย เราจำกฎง่ายๆ จากชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 ได้: “ลบสำหรับลบให้บวก” นั่นก็คือหรือ. แต่ถ้าเราคูณด้วย มันก็ได้ผล.

พิจารณาด้วยตัวคุณเองว่าสำนวนต่อไปนี้จะมีเครื่องหมายอะไร:

คุณจัดการหรือไม่?

นี่คือคำตอบ: ในสี่ตัวอย่างแรก ฉันหวังว่าทุกอย่างชัดเจน? เราเพียงแค่ดูที่ฐานและเลขชี้กำลังแล้วใช้กฎที่เหมาะสม

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

ในตัวอย่างที่ 5) ทุกอย่างก็ไม่น่ากลัวเท่าที่ควร: ท้ายที่สุดแล้วไม่สำคัญว่าฐานจะเท่ากับอะไร - ระดับเป็นเลขคู่ซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์จะเป็นค่าบวกเสมอ

ยกเว้นเมื่อฐานเป็นศูนย์ ฐานไม่เท่ากันใช่ไหม? ไม่แน่นอน เนื่องจาก (เพราะ)

ตัวอย่างที่ 6) ไม่ง่ายอีกต่อไป!

6 ตัวอย่างที่ต้องฝึกฝน

การวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหา 6 ตัวอย่าง

ถ้าเราละเลยยกกำลังที่แปด เราเห็นอะไรตรงนี้? เรามาจำโปรแกรมชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 กันเถอะ แล้วคุณจำได้ไหม? นี่คือสูตรการคูณแบบย่อ นั่นคือผลต่างของกำลังสอง! เราได้รับ:

ลองดูตัวส่วนอย่างละเอียด มันดูเหมือนตัวเศษตัวหนึ่งมาก แต่เกิดอะไรขึ้น? ลำดับของเงื่อนไขไม่ถูกต้อง หากกลับรายการกฎก็สามารถนำไปใช้ได้

แต่จะทำอย่างไร? ปรากฎว่ามันง่ายมาก: ระดับเลขคู่ของตัวส่วนช่วยเราได้

เงื่อนไขเปลี่ยนสถานที่อย่างน่าอัศจรรย์ “ปรากฏการณ์” นี้ใช้กับการแสดงออกใดๆ ในระดับที่เท่ากัน: เราสามารถเปลี่ยนเครื่องหมายในวงเล็บได้อย่างง่ายดาย

แต่สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่า: สัญญาณทั้งหมดเปลี่ยนแปลงไปพร้อมๆ กัน!

กลับไปที่ตัวอย่าง:

และอีกครั้งด้วยสูตร:

ทั้งหมดเราเรียกจำนวนธรรมชาติ จำนวนตรงข้าม (นั่นคือ ใช้เครื่องหมาย " ") และจำนวน

จำนวนเต็มบวกและไม่ต่างจากธรรมชาติเลยทุกอย่างก็ดูเหมือนในส่วนที่แล้วทุกประการ

ตอนนี้เรามาดูกรณีใหม่กัน เริ่มจากตัวบ่งชี้ที่เท่ากับ

จำนวนใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากับหนึ่ง:

เช่นเคยให้เราถามตัวเองว่า: ทำไมจึงเป็นเช่นนี้?

พิจารณาระดับหนึ่งด้วยฐาน ยกตัวอย่างและคูณด้วย:

ดังนั้นเราจึงคูณตัวเลขด้วย และเราได้เหมือนเดิม - . คุณควรคูณเลขอะไรเพื่อไม่ให้มีการเปลี่ยนแปลง? ถูกต้องแล้ว วิธี.

เราสามารถทำเช่นเดียวกันกับหมายเลขใดก็ได้:

ทำซ้ำกฎ:

จำนวนใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากับหนึ่ง

แต่มีข้อยกเว้นสำหรับกฎหลายข้อ และนี่ก็อยู่ตรงนั้นด้วย - นี่คือตัวเลข (เป็นฐาน)

ในด้านหนึ่ง มันจะต้องเท่ากับระดับใดๆ ก็ตาม ไม่ว่าคุณจะคูณศูนย์ด้วยตัวมันเองมากแค่ไหน คุณก็ยังจะได้ศูนย์ นี่ก็ชัดเจน แต่ในทางกลับกัน เช่นเดียวกับเลขใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์ ก็ต้องเท่ากัน แล้วเรื่องนี้จริงมากแค่ไหน? นักคณิตศาสตร์ตัดสินใจว่าจะไม่เข้าไปยุ่งและปฏิเสธที่จะเพิ่มศูนย์เป็นศูนย์ นั่นคือตอนนี้เราไม่สามารถหารด้วยศูนย์เท่านั้น แต่ยังเพิ่มเป็นศูนย์ด้วย

เดินหน้าต่อไป นอกจากจำนวนธรรมชาติและตัวเลขแล้ว จำนวนเต็มยังรวมถึงจำนวนลบด้วย เพื่อให้เข้าใจว่ากำลังลบคืออะไร เรามาทำเหมือนครั้งก่อน: คูณจำนวนปกติด้วยจำนวนเดียวกันให้เป็นกำลังลบ:

จากที่นี่ การแสดงสิ่งที่คุณกำลังมองหาเป็นเรื่องง่าย:

ทีนี้ลองขยายกฎผลลัพธ์ไปสู่ระดับที่ต้องการ:

เรามาตั้งกฎกัน:

จำนวนที่มีกำลังเป็นลบคือส่วนกลับของจำนวนเดียวกันที่มีกำลังเป็นบวก แต่ในขณะเดียวกัน ฐานต้องไม่เป็นค่าว่าง:(เพราะคุณไม่สามารถหารด้วย)

สรุป:

I. สำนวนไม่ได้ถูกกำหนดไว้ในกรณีนี้ ถ้าอย่างนั้น.

ครั้งที่สอง จำนวนใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากับหนึ่ง:

ที่สาม จำนวนที่ไม่เท่ากับศูนย์ยกกำลังลบ คือค่าผกผันของจำนวนเดียวกันยกกำลังบวก:

งานสำหรับโซลูชันอิสระ:

ตามปกติแล้ว ตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ:

การวิเคราะห์ปัญหาเพื่อการแก้ปัญหาอย่างอิสระ:

ฉันรู้ ฉันรู้ว่าตัวเลขนั้นน่ากลัว แต่ในการสอบ Unified State คุณต้องเตรียมพร้อมสำหรับทุกสิ่ง! แก้ไขตัวอย่างเหล่านี้หรือวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาหากคุณแก้ไม่ได้ แล้วคุณจะได้เรียนรู้ที่จะรับมือกับตัวอย่างเหล่านี้ได้อย่างง่ายดายในการสอบ!

มาขยายขอบเขตของตัวเลขที่ “เหมาะสม” เป็นเลขชี้กำลังต่อไป

ทีนี้ลองมาพิจารณากัน จำนวนตรรกยะตัวเลขใดที่เรียกว่าตรรกยะ?

คำตอบ: ทุกอย่างที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วน โดยที่ และ เป็นจำนวนเต็ม และ

เพื่อทำความเข้าใจว่ามันคืออะไร "ระดับเศษส่วน"ให้พิจารณาเศษส่วน:

ลองยกสมการทั้งสองข้างให้เป็นกำลัง:

ตอนนี้เรามาจำกฎเกี่ยวกับ "ระดับต่อระดับ":

ต้องยกเลขอะไรถึงยกกำลังถึงจะได้?

สูตรนี้เป็นคำจำกัดความของรากของระดับที่

ฉันขอเตือนคุณว่า รากของเลขยกกำลัง th () คือตัวเลขที่เมื่อยกกำลังแล้วจะเท่ากับ

นั่นคือรากของกำลัง th คือการดำเนินการผกผันของการยกกำลัง:

ปรากฎว่า เห็นได้ชัดว่าสิ่งนี้ กรณีพิเศษสามารถขยายได้: .

ตอนนี้เราเพิ่มตัวเศษ: มันคืออะไร? คำตอบนั้นหาได้ง่ายโดยใช้กฎกำลังต่อกำลัง:

แต่ฐานสามารถเป็นตัวเลขใดๆ ได้หรือไม่? ท้ายที่สุดแล้ว ไม่สามารถแยกรูทออกจากตัวเลขทั้งหมดได้

ไม่มี!

ขอให้เราจำกฎนี้ไว้: จำนวนใดๆ ที่ถูกยกกำลังเป็นคู่จะเป็นจำนวนบวก นั่นคือมันเป็นไปไม่ได้ที่จะแยกรากออกจากจำนวนลบ!

ซึ่งหมายความว่าตัวเลขดังกล่าวไม่สามารถยกกำลังเศษส่วนโดยมีตัวส่วนเป็นคู่ได้ กล่าวคือ นิพจน์นี้ไม่สมเหตุสมผล

แล้วการแสดงออกล่ะ?

แต่ที่นี่มีปัญหาเกิดขึ้น

ตัวเลขสามารถแสดงในรูปของเศษส่วนอื่นๆ ที่ลดได้ เช่น หรือ

และปรากฎว่ามันมีอยู่ แต่ไม่มีอยู่จริง แต่นี่เป็นเพียงสองเท่านั้น รายการที่แตกต่างกันหมายเลขเดียวกัน

หรืออีกตัวอย่างหนึ่ง: ครั้งหนึ่ง คุณก็สามารถจดมันลงไปได้ แต่ถ้าเราเขียนตัวบ่งชี้ต่างออกไป เราก็จะประสบปัญหาอีกครั้ง: (นั่นคือ เราได้ผลลัพธ์ที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง!)

เพื่อหลีกเลี่ยงความขัดแย้งดังกล่าว เราจึงพิจารณา เลขชี้กำลังฐานบวกเท่านั้นที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน.

ดังนั้นหาก:

• — จำนวนธรรมชาติ
• - จำนวนเต็ม;

ตัวอย่าง:

เลขชี้กำลังแบบตรรกยะมีประโยชน์มากในการแปลงนิพจน์ด้วยราก ตัวอย่างเช่น

5 ตัวอย่างที่ต้องฝึกฝน

วิเคราะห์ 5 ตัวอย่างเพื่อการฝึกอบรม

ตอนนี้มาถึงส่วนที่ยากที่สุดแล้ว ตอนนี้เราจะคิดออก องศาที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว.

กฎและคุณสมบัติทั้งหมดขององศาในที่นี้เหมือนกับองศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะทุกประการ ยกเว้น

ตามคำจำกัดความแล้ว จำนวนอตรรกยะคือตัวเลขที่ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ โดยที่ และ เป็นจำนวนเต็ม (นั่นคือ จำนวนอตรรกยะคือจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้นจำนวนตรรกยะ)

เมื่อศึกษาระดับปริญญาด้วยเลขชี้กำลังธรรมชาติ จำนวนเต็ม และตรรกยะ ทุกครั้งที่เราสร้าง "ภาพ" "การเปรียบเทียบ" หรือคำอธิบายบางอย่างในรูปแบบที่คุ้นเคยมากขึ้น

ตัวอย่างเช่น ระดับที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติคือตัวเลขคูณด้วยตัวมันเองหลายครั้ง

...ตัวเลขยกกำลังศูนย์- นี่คือจำนวนที่คูณด้วยตัวมันเองครั้งหนึ่งนั่นคือยังไม่ได้เริ่มคูณซึ่งหมายความว่าจำนวนนั้นยังไม่ปรากฏด้วยซ้ำ - ดังนั้นผลลัพธ์จึงเป็นเพียง "ตัวเลขว่าง" บางตัวเท่านั้น คือตัวเลข

...ระดับจำนวนเต็มลบ- ราวกับว่ามี "กระบวนการย้อนกลับ" เกิดขึ้นนั่นคือจำนวนไม่ได้คูณด้วยตัวมันเอง แต่ถูกหาร

อย่างไรก็ตามในทางวิทยาศาสตร์มักใช้ระดับที่มีเลขชี้กำลังเชิงซ้อนนั่นคือเลขชี้กำลังไม่ใช่จำนวนจริงด้วยซ้ำ

แต่ที่โรงเรียนเราไม่ได้คิดถึงความยากลำบากดังกล่าว คุณจะมีโอกาสเข้าใจแนวคิดใหม่เหล่านี้ที่สถาบัน

เรามั่นใจว่าคุณจะไปที่ไหน! (ถ้าคุณเรียนรู้ที่จะแก้ตัวอย่างดังกล่าว :))

ตัวอย่างเช่น:

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

การวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหา:

1. เริ่มจากกฎการเพิ่มพลังเป็นพลังซึ่งเป็นเรื่องปกติสำหรับเราอยู่แล้ว:

ตอนนี้ดูที่ตัวบ่งชี้ เขาไม่เตือนคุณถึงอะไรเลยเหรอ? ให้เรานึกถึงสูตรการคูณผลต่างกำลังสองแบบย่อ:

ในกรณีนี้

ปรากฎว่า:

คำตอบ: .

2. เราลดเศษส่วนในเลขชี้กำลังให้อยู่ในรูปแบบเดียวกัน: ทั้งทศนิยมหรือทั้งสองสามัญ เราได้รับตัวอย่าง:

คำตอบ: 16

3. ไม่มีอะไรพิเศษ เราใช้คุณสมบัติปกติขององศา:

ระดับขั้นสูง

การกำหนดระดับ

ปริญญาคือการแสดงออกของรูปแบบ: โดยที่:

• — ฐานระดับ;
• - เลขยกกำลัง

องศาที่มีตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติ (n = 1, 2, 3,...)

การเพิ่มจำนวนให้เป็นพลังธรรมชาติ n หมายถึงการคูณจำนวนด้วยตัวมันเองด้วย:

องศาที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม (0, ±1, ±2,...)

หากเป็นเลขชี้กำลัง จำนวนเต็มบวกตัวเลข:

การก่อสร้าง ถึงระดับศูนย์:

สำนวนนี้ไม่มีกำหนด เพราะในด้านหนึ่ง ระดับใดๆ ก็เป็นเช่นนี้ และอีกด้านหนึ่ง จำนวนใดๆ ที่อยู่ในระดับ th ก็เป็นเช่นนี้

หากเป็นเลขชี้กำลัง จำนวนเต็มลบตัวเลข:

(เพราะคุณไม่สามารถหารด้วย)

อีกครั้งเกี่ยวกับศูนย์: นิพจน์ไม่ได้ถูกกำหนดไว้ในกรณีนี้ ถ้าอย่างนั้น.

ตัวอย่าง:

กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ

• — จำนวนธรรมชาติ
• - จำนวนเต็ม;

ตัวอย่าง:

คุณสมบัติขององศา

เพื่อให้ง่ายต่อการแก้ปัญหา เรามาลองทำความเข้าใจกันดีกว่าว่าคุณสมบัติเหล่านี้มาจากไหน? มาพิสูจน์กันเถอะ

มาดูกันว่าคืออะไรและ?

ตามคำจำกัดความ:

ทางด้านขวาของนิพจน์นี้ เราจะได้ผลลัพธ์ดังนี้:

แต่ตามคำจำกัดความแล้ว มันคือกำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลัง นั่นคือ:

Q.E.D.

ตัวอย่าง : ลดความซับซ้อนของนิพจน์

สารละลาย : .

ตัวอย่าง : ลดความซับซ้อนของนิพจน์

สารละลาย : สิ่งสำคัญคือต้องทราบว่าในกฎของเรา จำเป็นจะต้องมีเหตุผลเดียวกัน ดังนั้นเราจึงรวมพลังเข้ากับฐาน แต่ยังคงเป็นปัจจัยที่แยกจากกัน:

หมายเหตุสำคัญอีกประการหนึ่ง: กฎนี้ - เพื่อผลิตผลแห่งอำนาจเท่านั้น!

คุณไม่สามารถเขียนสิ่งนั้นได้ไม่ว่าในกรณีใด

เช่นเดียวกับคุณสมบัติก่อนหน้านี้ ให้เรามาดูคำจำกัดความของระดับ:

มาจัดกลุ่มงานนี้ใหม่ดังนี้:

ปรากฎว่านิพจน์นั้นคูณด้วยตัวมันเองด้วยตัวมันเอง นั่นคือตามคำจำกัดความ นี่คือกำลังที่ th ของตัวเลข:

โดยพื้นฐานแล้ว สิ่งนี้สามารถเรียกได้ว่าเป็น "การเอาตัวบ่งชี้ออกจากวงเล็บ" แต่คุณไม่สามารถทำเช่นนี้ได้ทั้งหมด: !

จำสูตรคูณแบบย่อ: เราต้องการเขียนกี่ครั้ง? แต่นี่ไม่เป็นความจริงเลย

กำลังที่มีฐานเป็นลบ

ถึงจุดนี้เราได้พูดคุยกันเพียงว่าควรเป็นอย่างไร ตัวบ่งชี้องศา แต่อะไรควรเป็นพื้นฐาน? อยู่ในอำนาจของ เป็นธรรมชาติ ตัวบ่งชี้ พื้นฐานอาจเป็นได้ หมายเลขใดก็ได้ .

อันที่จริง เราสามารถคูณตัวเลขใดๆ เข้าด้วยกันได้ ไม่ว่าจะเป็นค่าบวก ลบ หรือเลขคู่ ลองคิดดูว่าเครื่องหมายใด ("" หรือ "") จะมีระดับของจำนวนบวกและลบ?

เช่น จำนวนเป็นบวกหรือลบ? เอ? -

อย่างแรกทุกอย่างชัดเจน: ไม่ว่าเราจะคูณจำนวนบวกจำนวนเท่าใดผลลัพธ์ก็จะเป็นบวก

แต่สิ่งที่เป็นลบนั้นน่าสนใจกว่าเล็กน้อย เราจำกฎง่ายๆ จากชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 ได้: “ลบสำหรับลบให้บวก” นั่นก็คือหรือ. แต่ถ้าเราคูณด้วย () เราจะได้ -

และไม่มีที่สิ้นสุด: ด้วยการคูณแต่ละครั้งเครื่องหมายจะเปลี่ยนไป เราสามารถกำหนดได้ดังต่อไปนี้ กฎง่ายๆ:

1. สม่ำเสมอองศา - หมายเลข เชิงบวก.
2. จำนวนลบยกเป็น แปลกองศา - หมายเลข เชิงลบ.
3. จำนวนบวกทุกระดับคือจำนวนบวก
4. ศูนย์กำลังใดๆ มีค่าเท่ากับศูนย์

พิจารณาด้วยตัวคุณเองว่าสำนวนต่อไปนี้จะมีเครื่องหมายอะไร:

คุณจัดการหรือไม่? นี่คือคำตอบ:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

ในสี่ตัวอย่างแรกฉันหวังว่าทุกอย่างชัดเจน? เราเพียงแค่ดูที่ฐานและเลขชี้กำลังแล้วใช้กฎที่เหมาะสม

ในตัวอย่างที่ 5) ทุกอย่างก็ไม่น่ากลัวเท่าที่ควร: ท้ายที่สุดแล้วไม่สำคัญว่าฐานจะเท่ากับอะไร - ระดับเป็นเลขคู่ซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์จะเป็นค่าบวกเสมอ ยกเว้นเมื่อฐานเป็นศูนย์ ฐานไม่เท่ากันใช่ไหม? ไม่แน่นอน เนื่องจาก (เพราะ)

ตัวอย่างที่ 6) ไม่ใช่เรื่องง่ายอีกต่อไป ที่นี่คุณต้องค้นหาว่าอันไหนน้อยกว่า: หรือ? ถ้าเราจำได้ ก็จะชัดเจนว่า ซึ่งหมายความว่าฐานมีค่าน้อยกว่าศูนย์ นั่นคือเราใช้กฎข้อที่ 2: ผลลัพธ์จะเป็นลบ

และอีกครั้งที่เราใช้คำจำกัดความของระดับ:

ทุกอย่างเป็นไปตามปกติ - เราเขียนคำจำกัดความขององศาแล้วหารซึ่งกันและกันแบ่งเป็นคู่แล้วรับ:

ก่อนที่เราจะดูกฎข้อสุดท้าย เรามาแก้ตัวอย่างกันก่อน

คำนวณนิพจน์:

โซลูชั่น :

ถ้าเราละเลยยกกำลังที่แปด เราเห็นอะไรตรงนี้? เรามาจำโปรแกรมชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 กันเถอะ แล้วคุณจำได้ไหม? นี่คือสูตรการคูณแบบย่อ นั่นคือผลต่างของกำลังสอง!

เราได้รับ:

ลองดูตัวส่วนอย่างละเอียด มันดูเหมือนตัวเศษตัวหนึ่งมาก แต่เกิดอะไรขึ้น? ลำดับของเงื่อนไขไม่ถูกต้อง หากกลับกัน สามารถใช้กฎข้อ 3 ได้ แต่จะทำอย่างไร ปรากฎว่ามันง่ายมาก: ระดับเลขคู่ของตัวส่วนช่วยเราได้

ถ้าคูณมันไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลงใช่ไหม? แต่ตอนนี้ปรากฎดังนี้:

เงื่อนไขเปลี่ยนสถานที่อย่างน่าอัศจรรย์ “ปรากฏการณ์” นี้ใช้กับการแสดงออกใดๆ ในระดับที่เท่ากัน: เราสามารถเปลี่ยนเครื่องหมายในวงเล็บได้อย่างง่ายดาย แต่สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่า: สัญญาณทั้งหมดเปลี่ยนพร้อมกัน!คุณไม่สามารถแทนที่ด้วยการเปลี่ยนข้อเสียเดียวที่เราไม่ชอบได้!

กลับไปที่ตัวอย่าง:

และอีกครั้งด้วยสูตร:

ตอนนี้กฎข้อสุดท้าย:

เราจะพิสูจน์ได้อย่างไร? แน่นอน เหมือนเช่นเคย มาขยายแนวคิดเรื่องปริญญาและทำให้ง่ายขึ้น:

ทีนี้มาเปิดวงเล็บกันดีกว่า มีตัวอักษรทั้งหมดกี่ตัว? คูณด้วยคูณ - สิ่งนี้ทำให้คุณนึกถึงอะไร? นี่ไม่ใช่อะไรมากไปกว่าคำจำกัดความของการดำเนินการ การคูณ: ที่นั่นมีแต่ตัวคูณเท่านั้น ตามคำจำกัดความแล้ว นั่นคือกำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลัง:

ตัวอย่าง:

องศาที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว

นอกจากข้อมูลเกี่ยวกับองศาสำหรับระดับเฉลี่ยแล้ว เราจะวิเคราะห์ระดับด้วยเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว กฎและคุณสมบัติทั้งหมดขององศาในที่นี้เหมือนกันทุกประการกับดีกรีที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ ยกเว้นว่า ตามคำจำกัดความแล้ว จำนวนอตรรกยะคือตัวเลขที่ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ โดยที่ และ เป็นจำนวนเต็ม (นั่นคือ จำนวนอตรรกยะคือจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้นจำนวนตรรกยะ)

เมื่อศึกษาระดับปริญญาด้วยเลขชี้กำลังธรรมชาติ จำนวนเต็ม และตรรกยะ ทุกครั้งที่เราสร้าง "ภาพ" "การเปรียบเทียบ" หรือคำอธิบายบางอย่างในรูปแบบที่คุ้นเคยมากขึ้น ตัวอย่างเช่น ระดับที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติคือตัวเลขคูณด้วยตัวมันเองหลายครั้ง จำนวนที่กำลังเป็นศูนย์คือจำนวนคูณด้วยตัวมันเองคูณด้วยตัวมันเองนั่นคือยังไม่ได้เริ่มคูณซึ่งหมายความว่าจำนวนนั้นยังไม่ปรากฏด้วยซ้ำ - ดังนั้นผลลัพธ์จึงเป็นเพียงความแน่นอนเท่านั้น “หมายเลขว่าง” คือตัวเลข ระดับที่มีเลขชี้กำลังลบจำนวนเต็ม - ราวกับว่ามี "กระบวนการย้อนกลับ" เกิดขึ้นนั่นคือจำนวนนั้นไม่ได้คูณด้วยตัวมันเอง แต่ถูกหาร

เป็นเรื่องยากมากที่จะจินตนาการถึงระดับหนึ่งด้วยเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว (เช่นเดียวกับที่เป็นการยากที่จะจินตนาการถึงปริภูมิ 4 มิติ) มันค่อนข้างเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ล้วนๆ ที่นักคณิตศาสตร์สร้างขึ้นเพื่อขยายแนวคิดเรื่องระดับให้ครอบคลุมพื้นที่ทั้งหมดของตัวเลข

อย่างไรก็ตามในทางวิทยาศาสตร์มักใช้ระดับที่มีเลขชี้กำลังเชิงซ้อนนั่นคือเลขชี้กำลังไม่ใช่จำนวนจริงด้วยซ้ำ แต่ที่โรงเรียนเราไม่ได้คิดถึงความยากลำบากดังกล่าว คุณจะมีโอกาสเข้าใจแนวคิดใหม่เหล่านี้ที่สถาบัน

แล้วเราจะทำอย่างไรถ้าเราเห็นเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว? เราพยายามอย่างดีที่สุดเพื่อกำจัดมัน! :)

ตัวอย่างเช่น:

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

คำตอบ:

1. มาจำความแตกต่างของสูตรกำลังสองกันดีกว่า คำตอบ: .
2. เราลดเศษส่วนให้อยู่ในรูปแบบเดียวกัน: ทั้งทศนิยมหรือทั้งสองสามัญ เราได้รับตัวอย่าง: .
3. ไม่มีอะไรพิเศษ เราใช้คุณสมบัติปกติขององศา:

สรุปส่วนและสูตรพื้นฐาน

ระดับเรียกว่าการแสดงออกของแบบฟอร์ม: โดยที่:

ปริญญาที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม

ระดับที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ (เช่น จำนวนเต็มและบวก)

กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ

องศา ซึ่งมีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนลบและเศษส่วน

องศาที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว

ระดับที่เลขชี้กำลังเป็นเศษส่วนหรือรากทศนิยมอนันต์

คุณสมบัติขององศา

คุณสมบัติขององศา

• จำนวนลบยกเป็น สม่ำเสมอองศา - หมายเลข เชิงบวก.
• จำนวนลบยกเป็น แปลกองศา - หมายเลข เชิงลบ.
• จำนวนบวกทุกระดับคือจำนวนบวก
• ศูนย์เท่ากับกำลังใดๆ
• จำนวนใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากัน

ตอนนี้คุณมีคำว่า...

คุณชอบบทความนี้อย่างไร? เขียนความคิดเห็นด้านล่างไม่ว่าคุณจะชอบหรือไม่

บอกเราเกี่ยวกับประสบการณ์ของคุณในการใช้คุณสมบัติระดับ

บางทีคุณอาจมีคำถาม หรือข้อเสนอแนะ

เขียนในความคิดเห็น

และขอให้โชคดีในการสอบ!

จากโรงเรียน เราทุกคนรู้กฎเกี่ยวกับการยกกำลัง: จำนวนใดๆ ที่มีเลขยกกำลัง N จะเท่ากับผลลัพธ์ของการคูณจำนวนนี้ด้วยตัวมันเอง N จำนวนครั้ง กล่าวอีกนัยหนึ่ง 7 ยกกำลัง 3 คือ 7 คูณด้วยตัวมันเอง 3 ครั้ง นั่นคือ 343 กฎอีกข้อหนึ่งก็คือ การเพิ่มปริมาณใดๆ ให้เป็นกำลัง 0 จะให้ 1 และการเพิ่มปริมาณที่เป็นลบเป็นผลมาจากการบวกแบบธรรมดาเป็น กำลังถ้าเป็นเลขคู่ และผลลัพธ์เดียวกันจะมีเครื่องหมายลบถ้าเป็นเลขคี่

กฎนี้ยังให้คำตอบเกี่ยวกับวิธีการเพิ่มจำนวนให้เป็นค่าลบอีกด้วย ในการทำเช่นนี้คุณต้องสร้าง ตามปกติค่าที่ต้องการต่อโมดูลของตัวบ่งชี้ จากนั้นหารหน่วยด้วยผลลัพธ์

จากกฎเหล่านี้ เป็นที่ชัดเจนว่าการปฏิบัติงานจริงที่เกี่ยวข้องกับปริมาณมากจะต้องมีการมีอยู่ วิธีการทางเทคนิค- ด้วยตนเอง คุณสามารถคูณช่วงตัวเลขสูงสุดด้วยตัวเองได้สูงสุดถึง 20 ถึง 30 ครั้ง จากนั้นจึงไม่เกิน 3 หรือ 4 ครั้ง นี่ไม่ต้องพูดถึงแล้วหารหนึ่งด้วยผลลัพธ์ ดังนั้นสำหรับผู้ที่ไม่มีความพิเศษอยู่ในมือ เครื่องคิดเลขทางวิศวกรรมเราจะแสดงวิธีเพิ่มตัวเลขให้เป็นค่าลบใน Excel

การแก้ปัญหาใน Excel

ในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการยกกำลัง Excel อนุญาตให้คุณใช้หนึ่งในสองตัวเลือก

อย่างแรกคือการใช้สูตรที่มีเครื่องหมาย "ฝา" มาตรฐาน ป้อนข้อมูลต่อไปนี้ลงในเซลล์แผ่นงาน:

ในทำนองเดียวกันคุณสามารถเพิ่มค่าที่ต้องการเป็นกำลังใดก็ได้ - ลบ, เศษส่วน มาทำกัน ขั้นตอนต่อไปและตอบคำถามวิธีเพิ่มจำนวนให้เป็นลบ ตัวอย่าง:

คุณสามารถแก้ไข =B2^-C2 ได้โดยตรงในสูตร

ตัวเลือกที่สองคือการใช้ฟังก์ชัน "ปริญญา" สำเร็จรูปซึ่งรับอาร์กิวเมนต์ที่จำเป็นสองตัว - ตัวเลขและเลขชี้กำลัง หากต้องการเริ่มใช้งาน เพียงใส่เครื่องหมายเท่ากับ (=) ลงในเซลล์ว่างใดๆ ที่ระบุจุดเริ่มต้นของสูตร และป้อนคำด้านบน สิ่งที่เหลืออยู่คือเลือกสองเซลล์ที่จะเข้าร่วมในการดำเนินการ (หรือระบุหมายเลขเฉพาะด้วยตนเอง) แล้วกดปุ่ม Enter ลองดูตัวอย่างง่ายๆ

อย่างที่คุณเห็น ไม่มีอะไรซับซ้อนเกี่ยวกับวิธีการเพิ่มตัวเลขเป็นค่าลบและค่ายกกำลังปกติโดยใช้ Excel ท้ายที่สุด เพื่อแก้ไขปัญหานี้ คุณสามารถใช้ทั้งสัญลักษณ์ "ฝาปิด" ที่คุ้นเคยและฟังก์ชันในตัวของโปรแกรมซึ่งง่ายต่อการจดจำ นี่เป็นข้อดีอย่างแน่นอน!

เรามาดูกันดีกว่า ตัวอย่างที่ซับซ้อน- จำกฎเกี่ยวกับวิธีเพิ่มจำนวนเป็นเศษส่วนลบแล้วเราจะเห็นว่าปัญหานี้แก้ไขได้ง่ายมากใน Excel

ตัวชี้วัดเศษส่วน

กล่าวโดยสรุป อัลกอริธึมสำหรับการคำนวณตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนมีดังนี้

1. แปลงเศษส่วนให้เป็นเศษส่วนที่ถูกต้องหรือ เศษส่วนเกิน.
2. เพิ่มจำนวนของเราให้เป็นเศษของเศษส่วนที่แปลงแล้ว
3. จากจำนวนที่ได้รับในย่อหน้าก่อนหน้า ให้คำนวณรากโดยมีเงื่อนไขว่าเลขชี้กำลังของรากจะเป็นตัวส่วนของเศษส่วนที่ได้รับในระยะแรก

ยอมรับว่าแม้จะดำเนินการด้วยจำนวนน้อยและเศษส่วนที่เหมาะสม การคำนวณดังกล่าวอาจใช้เวลานาน เป็นเรื่องดีที่ตัวประมวลผลสเปรดชีต Excel ไม่สนใจว่าตัวเลขจะเพิ่มขึ้นเป็นเท่าใด ลองไปแก้ที่งานดูครับ แผ่นงาน Excelตัวอย่างต่อไปนี้:

เมื่อใช้กฎข้างต้น คุณสามารถตรวจสอบและตรวจสอบให้แน่ใจว่าการคำนวณทำอย่างถูกต้อง

ในตอนท้ายของบทความ เราจะนำเสนอในรูปแบบของตารางพร้อมสูตรและผลลัพธ์หลายตัวอย่างวิธีเพิ่มจำนวนเป็นค่าลบ รวมถึงตัวอย่างการดำเนินการกับจำนวนเศษส่วนและค่ายกกำลัง

ตารางตัวอย่าง

ดูตัวอย่างต่อไปนี้ในแผ่นงาน Excel ของคุณ เพื่อให้ทุกอย่างทำงานได้อย่างถูกต้อง คุณต้องใช้การอ้างอิงแบบผสมเมื่อคัดลอกสูตร แก้ไขหมายเลขของคอลัมน์ที่มีหมายเลขที่กำลังยกขึ้นและหมายเลขของแถวที่มีตัวบ่งชี้ สูตรของคุณควรมีลักษณะดังนี้: “=$B4^C$3”

โปรดทราบว่าจำนวนบวก (แม้จะไม่ใช่จำนวนเต็ม) สามารถคำนวณได้โดยไม่มีปัญหาสำหรับเลขชี้กำลังใดๆ ไม่มีปัญหาในการบวกเลขใดๆ ให้เป็นจำนวนเต็ม แต่การเพิ่มจำนวนลบเป็นเศษส่วนจะกลายเป็นความผิดพลาดสำหรับคุณ เนื่องจากเป็นไปไม่ได้ที่จะปฏิบัติตามกฎที่ระบุไว้ในตอนต้นของบทความของเราเกี่ยวกับการบวกจำนวนลบ เนื่องจากความเท่าเทียมกันเป็นลักษณะเฉพาะของจำนวนทั้งหมด

กำลังนี้ใช้เพื่อทำให้การดำเนินการคูณตัวเลขง่ายขึ้น ตัวอย่างเช่น แทนที่จะเขียน คุณสามารถเขียนได้ 4 5 (\displaystyle 4^(5))(คำอธิบายสำหรับการเปลี่ยนแปลงนี้มีให้ไว้ในส่วนแรกของบทความนี้) องศาช่วยให้เขียนนิพจน์หรือสมการที่ยาวหรือซับซ้อนได้ง่ายขึ้น เลขยกกำลังยังง่ายต่อการบวกและลบ ส่งผลให้ได้นิพจน์หรือสมการที่ง่ายขึ้น (เช่น 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

บันทึก:หากคุณต้องการแก้สมการเลขชี้กำลัง (ในสมการที่ไม่ทราบค่าอยู่ในเลขชี้กำลัง) ให้อ่าน

ขั้นตอน

การแก้ปัญหาง่ายๆด้วยองศา

คูณฐานของเลขชี้กำลังด้วยตัวมันเองหลายๆ ครั้งเท่ากับเลขชี้กำลังหากคุณต้องการแก้ปัญหาเรื่องกำลังด้วยมือ ให้เขียนกำลังใหม่เป็นการคูณ โดยฐานของกำลังจะคูณด้วยตัวมันเอง เช่น ได้รับปริญญา 3 4 (\displaystyle 3^(4))- ในกรณีนี้ฐานของกำลัง 3 ต้องคูณด้วยตัวมันเอง 4 ครั้ง: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3)- นี่คือตัวอย่างอื่นๆ:

ขั้นแรก ให้คูณตัวเลขสองตัวแรกตัวอย่างเช่น, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4)- ไม่ต้องกังวล - กระบวนการคำนวณไม่ซับซ้อนเท่าที่เห็นในครั้งแรก ขั้นแรกให้คูณสองสี่ตัวแรกแล้วแทนที่ด้วยผลลัพธ์ แบบนี้:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. คูณผลลัพธ์ (16 ในตัวอย่างของเรา) ด้วยตัวเลขถัดไปแต่ละผลลัพธ์ที่ตามมาจะเพิ่มขึ้นตามสัดส่วน ในตัวอย่างของเรา คูณ 16 ด้วย 4 แบบนี้:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • คูณผลลัพธ์ของตัวเลขสองตัวแรกต่อด้วยตัวเลขถัดไปจนกว่าคุณจะได้คำตอบสุดท้าย เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณตัวเลขสองตัวแรก แล้วคูณผลลัพธ์ผลลัพธ์ด้วยตัวเลขถัดไปในลำดับ วิธีนี้ใช้ได้กับทุกระดับ ในตัวอย่างของเรา คุณควรได้รับ: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. แก้ไขปัญหาต่อไปนี้ตรวจสอบคำตอบของคุณโดยใช้เครื่องคิดเลข

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. บนเครื่องคิดเลข ให้มองหาปุ่มที่มีข้อความว่า "exp" หรือ " xn (\รูปแบบการแสดงผล x^(n))" หรือ "^"การใช้คีย์นี้ คุณจะเพิ่มตัวเลขเป็นกำลัง แทบจะเป็นไปไม่ได้เลยที่จะคำนวณระดับด้วยตัวบ่งชี้ขนาดใหญ่ด้วยตนเอง (เช่น องศา 9 15 (\displaystyle 9^(15))) แต่เครื่องคิดเลขสามารถรับมือกับงานนี้ได้อย่างง่ายดาย ใน Windows 7 เครื่องคิดเลขมาตรฐานสามารถเปลี่ยนเป็นโหมดวิศวกรรมได้ โดยคลิก "ดู" -> "วิศวกรรม" หากต้องการเปลี่ยนเป็นโหมดปกติ คลิก "ดู" -> "ปกติ"

   • ตรวจสอบคำตอบของคุณโดยใช้ เครื่องมือค้นหา(Google หรือยานเดกซ์)- ใช้ปุ่ม "^" บนแป้นพิมพ์คอมพิวเตอร์ของคุณ ป้อนนิพจน์ลงในเครื่องมือค้นหา ซึ่งจะแสดงคำตอบที่ถูกต้องทันที (และอาจแนะนำนิพจน์ที่คล้ายกันเพื่อให้คุณศึกษา)

   การบวก ลบ คูณ ยกกำลัง

   1. คุณสามารถเพิ่มและลบเลขยกกำลังได้ก็ต่อเมื่อมีฐานเท่ากันเท่านั้นหากคุณต้องการเพิ่มกำลังด้วยฐานและเลขชี้กำลังเดียวกัน คุณสามารถแทนที่การดำเนินการบวกด้วยการดำเนินการคูณได้ ตัวอย่างเช่นเมื่อกำหนดนิพจน์ 4 5 + 4 5 (\รูปแบบการแสดงผล 4^(5)+4^(5))- จำไว้ว่าปริญญา 4 5 (\displaystyle 4^(5))สามารถแสดงเป็นแบบฟอร์มได้ 1 ∗ 4 5 (\รูปแบบการแสดงผล 1*4^(5))- ดังนั้น, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(โดยที่ 1 +1 =2) นั่นคือนับจำนวนองศาที่คล้ายกันแล้วคูณระดับนั้นกับจำนวนนี้ ในตัวอย่างของเรา ให้ยก 4 ยกกำลัง 5 แล้วคูณผลลัพธ์ที่ได้ด้วย 2 โปรดจำไว้ว่าการดำเนินการบวกสามารถแทนที่ได้ด้วยการดำเนินการคูณ ตัวอย่างเช่น 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3)- นี่คือตัวอย่างอื่นๆ:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. เมื่อคูณเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน เลขชี้กำลังของมันจะถูกบวกเข้าไป (ฐานไม่เปลี่ยนแปลง)ตัวอย่างเช่นเมื่อกำหนดนิพจน์ x 2 ∗ x 5 (\รูปแบบการแสดงผล x^(2)*x^(5))- ในกรณีนี้ คุณเพียงแค่ต้องเพิ่มตัวบ่งชี้ โดยไม่เปลี่ยนแปลงฐาน ดังนั้น, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7))- นี่คือคำอธิบายภาพของกฎนี้:

      เมื่อยกกำลังเป็นยกกำลัง เลขชี้กำลังจะถูกคูณเช่น ได้รับปริญญา. เนื่องจากเลขชี้กำลังถูกคูณแล้ว (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10))- ประเด็นของกฎข้อนี้คือคุณต้องคูณด้วยกำลัง (x 2) (\displaystyle (x^(2)))ด้วยตัวเองห้าครั้ง แบบนี้:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • เนื่องจากฐานเท่ากัน เลขชี้กำลังจึงรวมกันได้: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบควรแปลงเป็นเศษส่วน (กำลังย้อนกลับ)มันไม่สำคัญหรอกถ้าคุณไม่รู้ว่าปริญญาตอบแทนคืออะไร หากคุณได้รับปริญญาที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบ เช่น 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2))เขียนระดับนี้ในตัวส่วนของเศษส่วน (ใส่ 1 ในตัวเศษ) แล้วทำให้เลขชี้กำลังเป็นบวก ในตัวอย่างของเรา: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2))))- นี่คือตัวอย่างอื่นๆ:

      เมื่อหารองศาด้วยฐานเดียวกัน เลขยกกำลังจะถูกลบออก (ฐานไม่เปลี่ยนแปลง)การดำเนินการหารจะตรงกันข้ามกับการคูณ ตัวอย่างเช่นเมื่อกำหนดนิพจน์ 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2))))- ลบเลขชี้กำลังในตัวส่วนออกจากเลขชี้กำลังในตัวเศษ (อย่าเปลี่ยนฐาน) ดังนั้น, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • ยกกำลังในตัวส่วนสามารถเขียนได้ดังนี้: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\รูปแบบการแสดงผล 4^(-2))- โปรดจำไว้ว่าเศษส่วนคือตัวเลข (ยกกำลัง นิพจน์) ที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบ

   4. ด้านล่างนี้คือสำนวนบางส่วนที่จะช่วยให้คุณเรียนรู้วิธีการแก้ปัญหาเลขชี้กำลังสำนวนที่ให้ครอบคลุมเนื้อหาที่นำเสนอในส่วนนี้ หากต้องการดูคำตอบ เพียงเลือกช่องว่างหลังเครื่องหมายเท่ากับ

   การแก้ปัญหาด้วยเลขชี้กำลังเศษส่วน

   กำลังที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน (เช่น ) จะถูกแปลงเป็นการดำเนินการรูทในตัวอย่างของเรา: x 1 2 (\รูปแบบการแสดงผล x^(\frac (1)(2))) = x (\displaystyle (\sqrt (x)))- ในที่นี้ไม่สำคัญว่าจำนวนใดในตัวส่วนของเลขชี้กำลังเศษส่วน ตัวอย่างเช่น, x 1 4 (\รูปแบบการแสดงผล x^(\frac (1)(4)))- คือรากที่สี่ของ "x" นั่นก็คือ x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. ถ้าเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วนเกิน เลขชี้กำลังนั้นสามารถแบ่งออกเป็นสองกำลังเพื่อทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้น ไม่มีอะไรซับซ้อนเกี่ยวกับเรื่องนี้ - เพียงจำกฎแห่งการคูณพลัง เช่น ได้รับปริญญา. แปลงกำลังดังกล่าวให้เป็นรากที่มีกำลังเท่ากับตัวส่วนของเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน แล้วยกกำลังนี้ให้เป็นกำลังเท่ากับตัวเศษของเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ จำไว้ว่า = 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3)))(1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5)

      • - ในตัวอย่างของเรา:
      • x 5 3 (\รูปแบบการแสดงผล x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\รูปแบบการแสดงผล x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x))) = x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3)))
   2. (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   3. จำไว้ว่าจำนวนใดๆ ยกกำลัง 1 จะเท่ากับตัวมันเอง เช่น 4 1 = 4 (\displaystyle 4^(1)=4.)ยิ่งไปกว่านั้น จำนวนใดๆ ที่ถูกคูณหรือหารด้วยหนึ่งจะเท่ากับตัวมันเอง เช่น 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5)และ 5 / 1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
   4. รู้ว่าไม่มีกำลัง 0 0 (กำลังดังกล่าวไม่มีวิธีแก้ปัญหา) หากคุณพยายามแก้ปริญญาดังกล่าวด้วยเครื่องคิดเลขหรือคอมพิวเตอร์ คุณจะได้รับข้อผิดพลาด แต่จำไว้ว่าจำนวนใดๆ ที่กำลังเป็น 0 คือ 1 เป็นต้น 4 0 = 1 (\displaystyle 4^(0)=1.)
   5. ในคณิตศาสตร์ชั้นสูง ซึ่งดำเนินการกับจำนวนจินตภาพ: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), ที่ไหน i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1))- e เป็นค่าคงที่ประมาณเท่ากับ 2.7; a เป็นค่าคงที่ตามใจชอบ การพิสูจน์ความเท่าเทียมกันนี้สามารถพบได้ในหนังสือเรียนเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ชั้นสูงทุกเล่ม

   คำเตือน

   • เมื่อเลขชี้กำลังเพิ่มขึ้น มูลค่าของมันจะเพิ่มขึ้นอย่างมาก ดังนั้นหากคำตอบดูเหมือนผิดสำหรับคุณ คำตอบนั้นก็อาจจะถูกต้องจริงๆ คุณสามารถตรวจสอบสิ่งนี้ได้โดยการวางแผนใดๆ ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเช่น 2 x

การเพิ่มขึ้นเป็นลบเป็นหนึ่งในองค์ประกอบพื้นฐานของคณิตศาสตร์ ซึ่งมักพบเมื่อแก้ปัญหาพีชคณิต ด้านล่างนี้เป็นคำแนะนำโดยละเอียด

วิธียกพลังลบ-ทฤษฎี

เมื่อเรายกจำนวนขึ้นเป็นกำลังธรรมดา เราจะคูณค่าของมันหลายครั้ง เช่น 3 3 = 3×3×3 = 27. ค เศษส่วนติดลบมันกลับกัน มุมมองทั่วไปตามสูตรจะมีลักษณะดังนี้: a -n = 1/a n ดังนั้น หากต้องการเพิ่มจำนวนเป็นลบ คุณต้องหารหนึ่งด้วย หมายเลขที่กำหนดแต่ในระดับบวก

วิธียกกำลังเป็นลบ - ตัวอย่างเลขธรรมดา

โปรดคำนึงถึงกฎข้างต้น เรามาแก้ตัวอย่างกัน

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
คำตอบ: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
ตอบ -4 -2 = 1/16

แต่ทำไมคำตอบในตัวอย่างแรกและตัวอย่างที่สองถึงเหมือนกัน? ความจริงก็คือเมื่อจำนวนลบยกกำลังเป็นคู่ (2, 4, 6 ฯลฯ) เครื่องหมายจะกลายเป็นบวก ถ้าดีกรีเป็นเลขคู่ ค่าลบจะคงอยู่:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

วิธีเพิ่มตัวเลขจาก 0 ถึง 1 ให้เป็นกำลังลบ

โปรดจำไว้ว่าเมื่อตัวเลขระหว่าง 0 ถึง 1 เพิ่มขึ้นเป็นกำลังบวก ค่าจะลดลงเมื่อกำลังเพิ่มขึ้น ตัวอย่างเช่น 0.5 2 = 0.25 0.25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

ตัวอย่างที่ 3: คำนวณ 0.5 -2
วิธีแก้: 0.5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4
คำตอบ: 0.5 -2 = 4

การวิเคราะห์ (ลำดับของการกระทำ):

• แปลงเศษส่วนทศนิยม 0.5 เป็นเศษส่วน 1/2 แบบนั้นง่ายกว่า
  เพิ่ม 1/2 ให้เป็นพลังลบ 1/(2) -2 . หาร 1 ด้วย 1/(2) 2 เราจะได้ 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

ตัวอย่างที่ 4: คำนวณ 0.5 -3
วิธีแก้: 0.5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

ตัวอย่างที่ 5: คำนวณ -0.5 -3
วิธีแก้: -0.5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
คำตอบ: -0.5 -3 = -8

จากตัวอย่างที่ 4 และ 5 เราสามารถสรุปได้หลายประการ:

• สำหรับจำนวนบวกในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 1 (ตัวอย่าง 4) เมื่อยกกำลังเป็นลบ ไม่ว่ากำลังเป็นคู่หรือคี่ไม่สำคัญก็ตาม ค่าของนิพจน์จะเป็นค่าบวก ยิ่งไปกว่านั้น ยิ่งระดับสูง มูลค่าก็จะยิ่งมากขึ้นตามไปด้วย
• สำหรับจำนวนลบในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 1 (ตัวอย่าง 5) เมื่อยกกำลังเป็นลบ ไม่ว่ากำลังเป็นคู่หรือคี่ไม่สำคัญก็ตาม ค่าของนิพจน์จะเป็นลบ ในกรณีนี้ ยิ่งระดับสูง ค่าก็จะยิ่งต่ำลง

วิธียกกำลังเป็นลบ - ยกกำลังในรูปของเลขเศษส่วน

นิพจน์ประเภทนี้มีรูปแบบดังนี้: a -m/n โดยที่ a คือตัวเลขปกติ m คือตัวเศษของดีกรี และ n คือตัวส่วนของดีกรี

ลองดูตัวอย่าง:
คำนวณ: 8 -1/3

วิธีแก้ปัญหา (ลำดับของการกระทำ):

• เรามาจำกฎการเพิ่มจำนวนให้เป็นลบกัน เราได้: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3
• สังเกตว่าตัวส่วนคือ 8 นิ้ว พลังเศษส่วน- รูปแบบทั่วไปในการคำนวณกำลังเศษส่วนมีดังนี้: a m/n = n √8 m
• ดังนั้น 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1) เราได้รับ รากที่สามจากแปดซึ่งเท่ากับ 2 จากตรงนี้ 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2
• คำตอบ: 8 -1/3 = 2