พื้นที่ผิวรวมของส่วนที่ถูกตัดทอน ปริมาตรและพื้นที่ผิวของปิรามิดและกรวยที่ถูกตัดทอน

กรวย กรวยที่ถูกตัดทอน

พื้นผิวทรงกรวยคือ พื้นผิวที่เกิดจากเส้นตรงทั้งหมดที่ผ่านแต่ละจุดของเส้นโค้งที่กำหนดและจุดนอกเส้นโค้ง (รูปที่ 32)

เส้นโค้งนี้เรียกว่า แนะนำ , ตรง - การขึ้นรูป , จุด - สูงสุด พื้นผิวทรงกรวย

พื้นผิวทรงกรวยกลมตรงคือ พื้นผิวที่เกิดจากเส้นตรงทั้งหมดที่ผ่านแต่ละจุดของวงกลมที่กำหนด และจุดบนเส้นตรงที่ตั้งฉากกับระนาบของวงกลมแล้วผ่านจุดศูนย์กลาง ต่อไปนี้เราจะเรียกพื้นผิวนี้ว่าสั้นๆ พื้นผิวทรงกรวย (รูปที่ 33)

กรวย (โดยตรง กรวยกลม ) เป็นวัตถุรูปทรงเรขาคณิตที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิวทรงกรวยและระนาบที่ขนานกับระนาบของวงกลมนำ (รูปที่ 34)

ข้าว. รูปที่ 32 รูปที่ 33 34

กรวยถือได้ว่าเป็นวัตถุที่ได้จากการหมุนสามเหลี่ยมมุมฉากรอบแกนที่มีขาข้างหนึ่งของรูปสามเหลี่ยม

วงกลมที่ล้อมรอบกรวยเรียกว่ามัน พื้นฐาน - เรียกว่าจุดยอดของพื้นผิวทรงกรวย สูงสุด กรวย ส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดของกรวยกับศูนย์กลางของฐานเรียกว่า ความสูง กรวย เรียกว่าส่วนที่สร้างพื้นผิวทรงกรวย การขึ้นรูป กรวย แกน ของกรวยคือเส้นตรงที่ลากผ่านส่วนบนของกรวยและจุดศูนย์กลางของฐาน ส่วนตามแนวแกน เรียกว่าส่วนที่ผ่านแกนของกรวย การพัฒนาพื้นผิวด้านข้าง ของกรวยคือเซกเตอร์ที่มีรัศมี เท่ากับความยาวเจเนราทริกซ์ของกรวย และความยาวของส่วนโค้งของเซกเตอร์เท่ากับเส้นรอบวงของฐานของกรวย

สูตรที่ถูกต้องสำหรับกรวยคือ:

ที่ไหน ร– รัศมีของฐาน

ชม- ความสูง;

ล– ความยาวของเจเนราทริกซ์

ฐานเอส– พื้นที่ฐาน

ด้านเอส

สเต็มเลย

วี– ปริมาตรของกรวย

กรวยที่ถูกตัดทอนเรียกว่าส่วนของกรวยที่อยู่ระหว่างฐานกับระนาบการตัดขนานกับฐานของกรวย (รูปที่ 35)

กรวยที่ถูกตัดทอนถือได้ว่าเป็นวัตถุที่ได้จากการหมุน สี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยมรอบแกนที่มีด้านของสี่เหลี่ยมคางหมูตั้งฉากกับฐาน

วงกลมสองวงที่ล้อมรอบกรวยเรียกว่ามัน เหตุผล . ความสูง ของกรวยที่ถูกตัดทอนคือระยะห่างระหว่างฐาน ส่วนที่สร้างพื้นผิวทรงกรวยของกรวยที่ถูกตัดทอนเรียกว่า การขึ้นรูป - เรียกว่าเส้นตรงที่ผ่านศูนย์กลางฐาน แกน กรวยที่ถูกตัดทอน ส่วนตามแนวแกน เรียกว่าส่วนที่ผ่านแกนของกรวยที่ถูกตัดทอน

สำหรับกรวยที่ถูกตัดทอน สูตรที่ถูกต้องคือ:

(8)

ที่ไหน ร– รัศมีของฐานล่าง

ร– รัศมีของฐานบน

ชม– ความสูง, l – ความยาวของเจเนราทริกซ์

ด้านเอส– พื้นที่ผิวด้านข้าง

สเต็มเลย– พื้นที่ผิวทั้งหมด

วี– ปริมาตรของกรวยที่ถูกตัดทอน

ตัวอย่างที่ 1ภาพตัดขวางของกรวยขนานกับฐานแบ่งความสูงเป็นอัตราส่วน 1:3 นับจากยอด ค้นหาพื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดทอนหากรัศมีของฐานและความสูงของกรวยเท่ากับ 9 ซม. และ 12 ซม.

สารละลาย.มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 36)

ในการคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดทอน เราใช้สูตร (8) ลองหารัศมีของฐานกัน ประมาณ 1 กและ ประมาณ 1 โวลต์และการขึ้นรูป เอบี

พิจารณารูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน SO2Bและ ดังนั้น 1 ก, ค่าสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงแล้ว

จากที่นี่

ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา

พื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดทอนเท่ากับ:

คำตอบ: .

ตัวอย่างที่ 2รัศมีหนึ่งในสี่ของวงกลมพับเป็นพื้นผิวทรงกรวย หารัศมีของฐานและความสูงของกรวย

สารละลาย.ควอแดรนท์ของวงกลมคือการพัฒนาพื้นผิวด้านข้างของกรวย มาแสดงกันเถอะ ร– รัศมีของฐาน ชม -ความสูง. ลองคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างโดยใช้สูตร: . เท่ากับพื้นที่วงกลมหนึ่งในสี่: . เราได้สมการที่มีไม่ทราบค่าสองตัว รและ ล(เป็นรูปกรวย) ในกรณีนี้ เจเนราทริกซ์จะเท่ากับรัศมีของวงกลมควอเตอร์ รซึ่งหมายความว่าเราได้สมการต่อไปนี้: โดยที่เมื่อทราบรัศมีของฐานและเครื่องกำเนิดเราจะพบความสูงของกรวย:

คำตอบ: 2 ซม.

ตัวอย่างที่ 3สี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยมที่มีมุมแหลม 45 O ฐานเล็กกว่า 3 ซม. และด้านเอียงเท่ากับ หมุนรอบด้านที่ตั้งฉากกับฐาน ค้นหาปริมาตรของผลลัพธ์ของการปฏิวัติ

สารละลาย.มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 37)

จากการหมุน เราได้กรวยที่ถูกตัดทอน เพื่อหาปริมาตร เราจะคำนวณรัศมีของฐานและความสูงที่ใหญ่กว่า ในราวสำหรับออกกำลังกาย โอ 1 โอ 2 เอบีเราจะดำเนินการ เอซี^โอ 1 บ- B เรามี: หมายความว่าสามเหลี่ยมนี้เป็นหน้าจั่ว เอ.ซี.=บี.ซี.=3 ซม.

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 4สามเหลี่ยมที่มีด้าน 13 ซม., 37 ซม. และ 40 ซม. หมุนรอบแกนภายนอกซึ่งขนานกับด้านที่ใหญ่กว่าและอยู่ห่างจากแกนนั้น 3 ซม. (แกนจะอยู่ในระนาบของรูปสามเหลี่ยม) ค้นหาพื้นที่ผิวของผลลัพธ์ของการปฏิวัติ

สารละลาย . มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 38)

พื้นผิวของวัตถุที่เกิดการปฏิวัติประกอบด้วยพื้นผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดทอนสองอันและพื้นผิวด้านข้างของทรงกระบอก ในการคำนวณพื้นที่เหล่านี้ จำเป็นต้องทราบรัศมีของฐานของกรวยและทรงกระบอก ( เป็นและ โอ.ซี.) ขึ้นรูปกรวย ( บี.ซี.และ เอ.ซี.) และความสูงของกระบอกสูบ ( เอบี- สิ่งเดียวที่ไม่รู้จักคือ บจก. นี่คือระยะห่างจากด้านข้างของสามเหลี่ยมถึงแกนการหมุน เราจะพบ ดี.ซี- พื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC ด้านหนึ่งเท่ากับผลคูณของครึ่งหนึ่งของด้าน AB และระดับความสูงที่วาดลงไป ดี.ซีในทางกลับกัน เมื่อรู้ทุกด้านของสามเหลี่ยมแล้ว เราก็คำนวณพื้นที่ของมันโดยใช้สูตรของนกกระสา

สูตรปริมาตร

ปิรามิดที่ถูกตัดทอนหรือ กรวย -เป็นส่วนที่เหลืออยู่หลังจากยอดถูกตัดออกด้วยระนาบขนานกับฐาน

ปริมาตรของปิรามิดที่ถูกตัดทอนหรือ กรวยเท่ากับปริมาตรของพีระมิดหรือกรวยทั้งหมด ลบด้วยปริมาตรของจุดยอดที่ตัดออก

พื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดที่ถูกตัดทอนหรือ กรวยเท่ากับพื้นที่ผิวของพีระมิดหรือกรวยทั้งหมด ลบพื้นที่ผิวด้านข้างของจุดยอดที่ถูกตัดออก หากจำเป็นต้องค้นหา พื้นที่ทั้งหมดรูปที่ถูกตัดทอนจากนั้นพื้นที่ของฐานขนานทั้งสองจะถูกบวกเข้ากับพื้นที่ผิวด้านข้าง

มีอีกวิธีหนึ่งในการกำหนดปริมาตรและพื้นที่ผิวของกรวยที่ถูกตัดทอน:

V=1/3 π ชั่วโมง(R 2 +Rr+r 2),

พื้นที่ผิวด้านข้างของกรวย S=π ลิตร(R+r),

พื้นที่ผิวทั้งหมด S o =π l(R+r)+πr 2 +πR 2

ตัวอย่างที่ 1 การกำหนดพื้นที่ที่จำเป็นสำหรับการผลิตวัสดุสำหรับโป๊ะโคม (การคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของกรวย)

โป๊ะโคมมีรูปทรงกรวยตัดปลาย ความสูงของโป๊ะโคมคือ 50 ซม. เส้นผ่านศูนย์กลางด้านล่างและด้านบนคือ 40 และ 20 ซม. ตามลำดับ

กำหนดพื้นที่ของวัสดุที่จำเป็นในการทำโป๊ะโคมโดยใช้ตัวเลขสำคัญ 3 ตัวที่ใกล้ที่สุด

ตามที่กำหนดไว้ข้างต้นพื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดทอน S=π ลิตร(R+r).

เนื่องจากเส้นผ่านศูนย์กลางด้านบนและด้านล่างของกรวยที่ถูกตัดทอนคือ 40 และ 20 ซม. จากรูปที่ 1 ด้านบนเราพบ r=10 cm, R=20 cm และ

l=(50 2 +10 2) 1/2 =50.99 ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ดังนั้นพื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยจึงเท่ากับ ส=π 50.99(20+10)=4803.258 ซม. 2, เช่น. พื้นที่วัสดุที่จำเป็นสำหรับทำโป๊ะโคมเท่ากับ 4800 ซม.2แม่นยำถึง 3 หลักที่สำคัญ แต่แน่นอนว่าปริมาณวัสดุที่จะใช้จริงนั้นขึ้นอยู่กับการตัด

ตัวอย่างที่ 2 การหาปริมาตรของทรงกระบอกที่มีกรวยที่ถูกตัดทอนอยู่ด้านบน

หอทำความเย็นมีรูปทรงทรงกระบอกและมีกรวยที่ถูกตัดทอน ดังแสดงในรูป ด้านล่าง. กำหนดปริมาตรของช่องว่างอากาศในหอคอยหาก 40% ของปริมาตรถูกครอบครองโดยท่อและโครงสร้างอื่น ๆ

ปริมาตรของชิ้นส่วนทรงกระบอก

V=π R 2 ชม=π(27/2) 2 *14=8011.71 ม.3

ปริมาตรของกรวยที่ถูกตัดทอน

V=1/3 π ชั่วโมง(R 2 +Rr+r 2), ที่ไหน

h=34-14=20 ม., R=27/2=13.5 ม. และ r=14/2=7 ม.

เพราะ R=27/2=13.5 ม. และ r=14/2=7 ม.

ดังนั้นปริมาตรของกรวยที่ถูกตัดทอน

V=1/3 π 20(13.5 2 +13.5*7+7 2)=6819.03 ม.3

ปริมาตรรวมของหอทำความเย็น วีรวม =6819.03+8011.71=14830.74 ลบ.ม.

หากครอบครอง 40% ของปริมาตร ปริมาตรอากาศ V=0.6*14830.74=8898.44 m 3

- นี่เป็นส่วนหนึ่งของกรวยที่ล้อมรอบด้วยฐานสองฐานขนานกันตั้งฉากกับแกนสมมาตร ฐานของกรวยเป็นวงกลมเรขาคณิต

กรวยที่ถูกตัดทอนสามารถหาได้โดยการหมุนสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยมรอบด้านซึ่งเป็นความสูง ขอบเขตของกรวยคือวงกลมรัศมี R วงกลมรัศมี r และพื้นผิวด้านข้างของกรวย พื้นผิวด้านข้างของกรวยอธิบายได้จากด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมูในระหว่างการหมุน

พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดทอนผ่านไกด์และรัศมีของฐาน

เมื่อพบพื้นที่ พื้นผิวด้านข้างเหมาะสมกว่าที่จะพิจารณากรวยที่ถูกตัดทอนว่าเป็นความแตกต่างระหว่างพื้นผิวด้านข้างของกรวยและพื้นผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดออก

ให้กรวย A`MB` ถูกตัดออกจากกรวย AMB ที่กำหนดให้ จำเป็นต้องคำนวณ พื้นที่ด้านข้างกรวยที่ถูกตัดทอน AA`B`B เป็นที่ทราบกันว่ารัศมีของฐานคือ AO=R, A`O` =r ตัวกำเนิดเท่ากับ L ให้เราแสดงว่า MB` เป็น x จากนั้นพื้นผิวด้านข้างของกรวย A`MB` จะเท่ากับ πrx และพื้นผิวข้างของกรวย AMB จะเท่ากับ πR(L+x)
จากนั้น พื้นผิวด้านข้างของกรวย AA`B`B ที่ถูกตัดทอนสามารถแสดงออกผ่านความแตกต่างระหว่างพื้นผิวด้านข้างของกรวย AMB และกรวย A`MB`:

สามเหลี่ยม OMB และ O`MB` มีความคล้ายคลึงกันในแง่ของความเท่าเทียมกันของมุม ∠(MOB) = ∠(MO`B`) และ ∠(OMB) = ∠(O`MB`) จากความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยมเหล่านี้มีดังนี้:
ลองใช้อนุพันธ์ของสัดส่วนกัน. เรามี:
จากที่นี่เราจะพบ x:
เมื่อแทนนิพจน์นี้ลงในสูตรพื้นที่ผิวด้านข้าง เราจะได้:
ดังนั้น พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดทอนจะเท่ากับผลคูณของตัวเลข π ตามคำแนะนำและผลรวมของรัศมีของฐาน

ตัวอย่างการคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดทอนหากทราบรัศมีและเจเนราทริกซ์
รัศมีของฐานที่ใหญ่กว่า ตัวกำเนิด และความสูงของกรวยที่ถูกตัดทอนคือ 7, 5 และ 4 ซม. ตามลำดับ ค้นหาพื้นที่ผิวด้านข้างของกรวย
ส่วนตามแนวแกนของกรวยที่ถูกตัดทอนคือ สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วโดยมีฐาน 2R และ 2r เจเนราทริกซ์ของกรวยที่ถูกตัดทอนซึ่งอยู่ด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมู ความสูงมีขนบนฐานขนาดใหญ่ และค่าความแตกต่างในรัศมีของฐานของกรวยที่ถูกตัดทอนทำให้เกิดรูปสามเหลี่ยมอียิปต์ นี้ สามเหลี่ยมมุมฉากด้วยอัตราส่วนภาพ 3:4:5 ตามเงื่อนไขของปัญหา generatrix เท่ากับ 5 และความสูงคือ 4 ดังนั้นความแตกต่างในรัศมีของฐานของกรวยที่ถูกตัดทอนจะเท่ากับ 3
เรามี:
ล=5
ร=7
ร=4
สูตรพื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดทอนมีดังนี้:

แทนค่าเรามี:

พื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดทอนผ่านไกด์และรัศมีเฉลี่ย

รัศมีเฉลี่ยของกรวยที่ถูกตัดทอนเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของรัศมีของฐาน:


จากนั้นสามารถนำเสนอสูตรสำหรับพื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดทอนได้ดังนี้:

พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดทอนจะเท่ากับผลคูณของเส้นรอบวงของส่วนตรงกลางและเจเนราทริกซ์

พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดทอนผ่านรัศมีของฐานและมุมเอียงของเจเนราทริกซ์กับระนาบของฐาน

หากฐานที่เล็กกว่าถูกฉายในมุมฉากบนฐานที่ใหญ่กว่า การฉายภาพของพื้นผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดทอนจะมีรูปแบบของวงแหวน พื้นที่ซึ่งคำนวณโดยสูตร:

แล้ว:

พื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดทอนตามแนวคิดของอาร์คิมิดีส

พื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดทอนจะเท่ากับพื้นที่ของวงกลมที่มีรัศมีเป็นสัดส่วนเฉลี่ยระหว่างเจเนราทริกซ์กับผลรวมของรัศมีของฐาน

พื้นผิวเต็มของกรวยที่ถูกตัดทอน

พื้นผิวทั้งหมดของกรวยคือผลรวมของพื้นที่พื้นผิวด้านข้างและพื้นที่ฐานของกรวย:

ฐานของกรวยเป็นวงกลมที่มีรัศมี R และ r พื้นที่ของมันเท่ากับผลคูณของจำนวนคูณกับรัศมีกำลังสอง:


พื้นที่ผิวด้านข้างคำนวณโดยสูตร:

ดังนั้นพื้นที่ผิวทั้งหมดของกรวยที่ถูกตัดทอนคือ:

สูตรมีลักษณะดังนี้:

ตัวอย่างการคำนวณพื้นที่ผิวรวมของกรวยที่ถูกตัดทอนหากทราบรัศมีและเจเนราทริกซ์
รัศมีของฐานของกรวยที่ถูกตัดทอนคือ 1 และ 7 dm และเส้นทแยงมุมของส่วนตามแนวแกนจะตั้งฉากกัน ค้นหาพื้นที่ เต็มพื้นที่กรวยที่ถูกตัดทอน
ส่วนตามแนวแกนของกรวยที่ถูกตัดปลายเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว โดยมีฐาน 2R และ 2r นั่นคือฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูคือ 2 และ 14 dm ตามลำดับ เนื่องจากเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูตั้งฉากกัน ความสูงจึงเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของฐาน แล้ว:

เจเนราทริกซ์ของกรวยที่ถูกตัดทอนซึ่งอยู่ด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมู ความสูงมีขนบนฐานขนาดใหญ่ และค่าความแตกต่างในรัศมีของฐานของกรวยที่ถูกตัดทอนทำให้เกิดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
เมื่อใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราจะพบเจเนราทริกซ์ของกรวยที่ถูกตัดทอน:

สูตรสำหรับพื้นที่ผิวรวมของกรวยที่ถูกตัดทอนมีดังนี้:

แทนค่าจากเงื่อนไขปัญหาและค่าที่พบเรามี: