สมการเชิงเส้น การแก้ระบบสมการเชิงเส้น วิธีการบวก ตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้น: วิธีการแก้

คุณสามารถแก้ระบบสมการโดยไม่ทราบค่าสองตัวได้ วิธีทางที่แตกต่าง- วิธีการแบบกราฟิกหรือวิธีการเปลี่ยนตัวแปร

ในบทนี้ เราจะมาทำความรู้จักกับวิธีการแก้ระบบอื่นที่คุณอาจจะชอบ - นี่คือวิธีการบวกพีชคณิต

ความคิดในการใส่อะไรบางอย่างในระบบมาจากไหน? เมื่อทำการแก้ระบบ ปัญหาหลักคือการมีอยู่ของตัวแปรสองตัว เพราะเราไม่ทราบวิธีแก้สมการด้วยตัวแปรสองตัว ซึ่งหมายความว่าหนึ่งในนั้นจะต้องได้รับการยกเว้นตามกฎหมาย และวิธีการที่ถูกต้องตามกฎหมายนั้นเป็นกฎและคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์

คุณสมบัติประการหนึ่งคือ: ผลรวมของจำนวนตรงข้ามเป็นศูนย์ ซึ่งหมายความว่าหากตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งมีค่าสัมประสิทธิ์ตรงกันข้าม ผลรวมของตัวแปรนั้นจะเท่ากับศูนย์และเราจะสามารถแยกตัวแปรนี้ออกจากสมการได้ เห็นได้ชัดว่าเราไม่มีสิทธิ์เพิ่มเฉพาะพจน์ที่มีตัวแปรที่เราต้องการ คุณต้องเพิ่มสมการทั้งหมด เช่น แยกเพิ่มคำที่คล้ายกันทางด้านซ้ายจากนั้นทางด้านขวา เป็นผลให้เราได้สมการใหม่ที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียว เรามาดูสิ่งที่กล่าวไว้พร้อมกับตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจงกัน

เราจะเห็นว่าในสมการแรกมีตัวแปร y และสมการที่สองคือจำนวนตรงข้าม -y ซึ่งหมายความว่าสมการนี้สามารถแก้ไขได้ด้วยการบวก

สมการหนึ่งยังคงเหมือนเดิม คนใดคนหนึ่งที่คุณชอบที่สุด

แต่สมการที่สองจะได้มาจากการเพิ่มสมการทั้งสองนี้ทีละเทอม เหล่านั้น. เราบวก 3x ด้วย 2x, เราบวก y ด้วย -y, เราบวก 8 ด้วย 7

เราได้รับระบบสมการ

สมการที่สองของระบบนี้เป็นสมการอย่างง่ายที่มีตัวแปรตัวเดียว จากนั้นเราจะพบ x = 3 เมื่อแทนค่าที่พบลงในสมการแรก เราจะพบ y = -1

คำตอบ: (3; - 1)

การออกแบบตัวอย่าง:

แก้ระบบสมการโดยใช้วิธีบวกพีชคณิต

ไม่มีตัวแปรที่มีค่าสัมประสิทธิ์ตรงกันข้ามในระบบนี้ แต่เรารู้ว่าทั้งสองด้านของสมการสามารถคูณด้วยจำนวนเดียวกันได้ ลองคูณสมการแรกของระบบด้วย 2

จากนั้นสมการแรกจะอยู่ในรูปแบบ:

ตอนนี้เราเห็นแล้วว่าตัวแปร x มีค่าสัมประสิทธิ์ตรงกันข้าม ซึ่งหมายความว่าเราจะทำเช่นเดียวกับในตัวอย่างแรก: เราจะปล่อยให้สมการใดสมการหนึ่งไม่เปลี่ยนแปลง ตัวอย่างเช่น 2y + 2x = 10 และเราจะได้อันที่สองจากการบวก

ตอนนี้เรามีระบบสมการ:

เราหาได้ง่ายจากสมการที่สอง y = 1 และจากสมการแรก x = 4

การออกแบบตัวอย่าง:

สรุป:

เราเรียนรู้ที่จะแก้ระบบสองระบบ สมการเชิงเส้นโดยไม่ทราบค่าสองตัวโดยใช้วิธีบวกพีชคณิต ดังนั้น ตอนนี้เรารู้วิธีการหลักสามวิธีในการแก้ปัญหาระบบดังกล่าว: แบบกราฟิก วิธีการแทนที่ตัวแปร และวิธีการบวก เกือบทุกระบบสามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีการเหล่านี้ มากขึ้น กรณีที่ยากลำบากมีการใช้เทคนิคเหล่านี้ผสมผสานกัน

รายชื่อวรรณกรรมที่ใช้:

Mordkovich A.G. พีชคณิตเกรด 7 ใน 2 ส่วนตอนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับสถาบันการศึกษาทั่วไป / A.G. มอร์ดโควิช. – ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 10 ปรับปรุง – มอสโก, “Mnemosyne”, 2007
Mordkovich A.G. พีชคณิตเกรด 7 ใน 2 ส่วนตอนที่ 2 หนังสือปัญหาสำหรับสถาบันการศึกษา / [A.G. มอร์ดโควิชและคนอื่น ๆ]; เรียบเรียงโดย A.G. Mordkovich - ฉบับที่ 10 แก้ไข - มอสโก "Mnemosyne", 2550
ของเธอ. Tulchinskaya พีชคณิตชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 การสำรวจแบบสายฟ้าแลบ: คู่มือสำหรับนักเรียนของสถาบันการศึกษาทั่วไป ฉบับที่ 4 แก้ไขและขยาย มอสโก Mnemosyne 2551
Alexandrova L.A. พีชคณิตเกรด 7 ใจความ งานทดสอบในรูปแบบใหม่สำหรับนักศึกษาสถาบันการศึกษาทั่วไป เรียบเรียงโดย A.G. Mordkovich, มอสโก, “Mnemosyne”, 2011
อเล็กซานโดรวา แอล.เอ. พีชคณิตเกรด 7 ทำงานอิสระสำหรับนักศึกษาสถาบันการศึกษาทั่วไป เรียบเรียงโดย A.G. Mordkovich - ฉบับที่ 6, โปรเฟสเซอร์, มอสโก, “ Mnemosyne”, 2010

ระบบสมการเชิงเส้นที่ไม่ทราบค่าสองตัวคือสมการเชิงเส้นตั้งแต่สองตัวขึ้นไปซึ่งจำเป็นต้องค้นหาคำตอบร่วมทั้งหมด เราจะพิจารณาระบบของสมการเชิงเส้นสองสมการโดยไม่ทราบค่าสองตัว แบบฟอร์มทั่วไประบบสมการเชิงเส้นสองสมการที่มีไม่ทราบค่าสองตัวแสดงอยู่ในภาพด้านล่าง:

( a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2

โดยที่ x และ y เป็นตัวแปรที่ไม่รู้จัก a1, a2, b1, b2, c1, c2 เป็นจำนวนจริงบางตัว วิธีแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองสมการโดยไม่ทราบค่าสองตัวคือคู่ของตัวเลข (x,y) โดยที่ถ้าเราแทนตัวเลขเหล่านี้เป็นสมการของระบบ แต่ละสมการของระบบจะกลายเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริง มีหลายวิธีในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น ลองพิจารณาวิธีหนึ่งในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น กล่าวคือ วิธีการบวก

อัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหาโดยวิธีบวก

อัลกอริทึมสำหรับการแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยไม่ทราบค่าสองตัวโดยใช้วิธีการบวก

1. หากจำเป็น โดยใช้การแปลงที่เท่ากัน ทำให้ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรที่ไม่รู้จักตัวใดตัวหนึ่งในทั้งสองสมการเท่ากัน

2. โดยการบวกหรือลบสมการผลลัพธ์ จะได้สมการเชิงเส้นที่ไม่ทราบค่า

3. แก้สมการผลลัพธ์ด้วยค่าที่ไม่รู้จักและค้นหาตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง

4. แทนนิพจน์ผลลัพธ์ลงในสมการใดก็ได้จากสองสมการของระบบแล้วแก้สมการนี้ จะได้ตัวแปรตัวที่สอง

5. ตรวจสอบวิธีแก้ปัญหา

ตัวอย่างวิธีแก้ปัญหาโดยใช้วิธีการบวก

เพื่อความชัดเจนยิ่งขึ้น ให้เราแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่ไม่ทราบค่าสองตัวต่อไปนี้โดยใช้วิธีบวก:

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

เนื่องจากไม่มีตัวแปรใดที่มีค่าสัมประสิทธิ์เหมือนกัน เราจึงทำให้ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร y เท่ากัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณสมการแรกด้วยสาม และสมการที่สองคูณสอง

(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2

เราได้รับ ระบบสมการต่อไปนี้:

(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;

ตอนนี้เราลบอันแรกออกจากสมการที่สอง เรานำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกันและแก้สมการเชิงเส้นที่ได้

10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;

เราแทนค่าผลลัพธ์ลงในสมการแรกจากระบบดั้งเดิมของเรา และแก้สมการผลลัพธ์

(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y =14;

ผลลัพธ์คือตัวเลขคู่ x=6 และ y=14 เรากำลังตรวจสอบ. มาทำการทดแทนกันเถอะ

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

อย่างที่คุณเห็น เรามีค่าเท่ากันที่ถูกต้องสองค่า ดังนั้นเราจึงพบวิธีแก้ที่ถูกต้อง

ในวิดีโอนี้ ฉันจะเริ่มชุดบทเรียนเกี่ยวกับระบบสมการโดยเฉพาะ วันนี้เราจะมาพูดถึงการแก้ระบบสมการเชิงเส้น วิธีการบวก- นี่คือหนึ่งในมากที่สุด วิธีง่ายๆแต่ในขณะเดียวกันก็มีประสิทธิภาพมากที่สุดอย่างหนึ่ง

วิธีการบวกประกอบด้วยสามขั้นตอนง่ายๆ:

ดูที่ระบบและเลือกตัวแปรที่มีค่าสัมประสิทธิ์เท่ากัน (หรือตรงกันข้าม) ในแต่ละสมการ
ดำเนินการลบพีชคณิต (สำหรับจำนวนตรงข้าม - การบวก) ของสมการจากกัน จากนั้นนำพจน์ที่คล้ายกันมา
แก้สมการใหม่ที่ได้รับหลังจากขั้นตอนที่สอง

หากทุกอย่างถูกต้องเราจะได้สมการเดียวที่เอาต์พุต ด้วยตัวแปรตัวหนึ่ง— การแก้ไขมันไม่ใช่เรื่องยาก สิ่งที่เหลืออยู่คือการแทนที่รูทที่พบลงในระบบดั้งเดิมและรับคำตอบสุดท้าย

อย่างไรก็ตามในทางปฏิบัติทุกอย่างไม่ง่ายนัก มีหลายสาเหตุนี้:

การแก้สมการโดยใช้วิธีการบวกหมายความว่าทุกบรรทัดต้องมีตัวแปรที่มีค่าสัมประสิทธิ์เท่ากันหรือตรงกันข้าม จะทำอย่างไรหากไม่เป็นไปตามข้อกำหนดนี้?
ไม่เสมอไป หลังจากบวก/ลบสมการตามวิธีที่ระบุ เราจะได้โครงสร้างที่สวยงามซึ่งสามารถแก้ได้อย่างง่ายดาย เป็นไปได้หรือไม่ที่จะทำให้การคำนวณง่ายขึ้นและเพิ่มความเร็วในการคำนวณ?

หากต้องการทราบคำตอบสำหรับคำถามเหล่านี้ และในขณะเดียวกันก็เข้าใจรายละเอียดปลีกย่อยเพิ่มเติมบางประการที่นักเรียนหลายคนล้มเหลว โปรดดูบทเรียนวิดีโอของฉัน:

ในบทเรียนนี้ เราจะเริ่มการบรรยายเกี่ยวกับระบบสมการ และเราจะเริ่มจากสิ่งที่ง่ายที่สุด ได้แก่ สมการที่มีสองสมการและตัวแปรสองตัว แต่ละตัวจะเป็นเส้นตรง

ระบบเป็นเนื้อหาเกรด 7 แต่บทเรียนนี้จะเป็นประโยชน์สำหรับนักเรียนมัธยมปลายที่ต้องการทบทวนความรู้ในหัวข้อนี้ด้วย

โดยทั่วไปมีสองวิธีในการแก้ปัญหาระบบดังกล่าว:

วิธีการบวก
วิธีการแสดงตัวแปรหนึ่งในแง่ของอีกตัวแปรหนึ่ง

วันนี้เราจะมาจัดการกับวิธีแรก - เราจะใช้วิธีการลบและการบวก แต่เพื่อทำสิ่งนี้ คุณต้องเข้าใจข้อเท็จจริงต่อไปนี้: เมื่อคุณมีสมการสองสมการขึ้นไปแล้ว คุณสามารถนำสมการสองสมการมาบวกกัน พวกเขาจะถูกเพิ่มสมาชิกโดยสมาชิกเช่น มีการเพิ่ม "X's" ใน "X's" และให้สิ่งที่คล้ายกัน "Y's" กับ "Y's" จะคล้ายกันอีกครั้ง และสิ่งที่อยู่ทางด้านขวาของเครื่องหมายเท่ากับก็จะถูกเพิ่มซึ่งกันและกันด้วย และให้สิ่งที่คล้ายกันที่นั่นด้วย .

ผลลัพธ์ของการใช้เครื่องจักรดังกล่าวจะเป็นสมการใหม่ ซึ่งหากมีราก ก็จะอยู่ในหมู่รากของสมการดั้งเดิมอย่างแน่นอน ดังนั้น งานของเราคือลบหรือบวกในลักษณะที่ $x$ หรือ $y$ หายไป

วิธีบรรลุเป้าหมายนี้และเครื่องมือใดที่จะใช้สำหรับสิ่งนี้ - เราจะพูดถึงเรื่องนี้ตอนนี้

การแก้ปัญหาง่ายๆ โดยใช้การบวก

ดังนั้นเราจึงเรียนรู้ที่จะใช้วิธีการบวกโดยใช้ตัวอย่างนิพจน์ง่ายๆ สองนิพจน์

ภารกิจที่ 1

\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]

โปรดทราบว่า $y$ มีค่าสัมประสิทธิ์ $-4$ ในสมการแรก และ $+4$ ในสมการที่สอง พวกมันตรงกันข้ามกัน ดังนั้นจึงมีเหตุผลที่จะสรุปได้ว่าหากเรารวมมันเข้าด้วยกัน ผลลัพธ์ที่ได้คือ "เกม" จะถูกทำลายร่วมกัน เพิ่มและรับ:

มาแก้การก่อสร้างที่ง่ายที่สุด:

เยี่ยมเลย เราเจอ "x" แล้ว เราควรทำอย่างไรกับมันตอนนี้? เรามีสิทธิ์แทนที่มันลงในสมการใดๆ ได้ มาแทนที่ในอันแรก:

\[-4y=12\ซ้าย| :\left(-4 \right) \right.\]

คำตอบ: $\left(2;-3 \right)$.

ปัญหาหมายเลข 2

\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]

สถานการณ์ที่นี่คล้ายกันมาก เฉพาะกับ "X's" เท่านั้น มาเพิ่มกัน:

เรามีสมการเชิงเส้นที่ง่ายที่สุด มาแก้กัน:

ตอนนี้เรามาหา $x$:

คำตอบ: $\left(-3;3 \right)$.

จุดสำคัญ

ดังนั้นเราจึงเพิ่งแก้สมการเชิงเส้นอย่างง่ายสองระบบโดยใช้วิธีการบวก ประเด็นสำคัญอีกครั้ง:

หากตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งมีค่าสัมประสิทธิ์ตรงกันข้าม จำเป็นต้องบวกตัวแปรทั้งหมดในสมการ ในกรณีนี้หนึ่งในนั้นจะถูกทำลาย
เราแทนตัวแปรที่พบลงในสมการของระบบใดๆ เพื่อหาค่าที่สอง
บันทึกการตอบกลับขั้นสุดท้ายสามารถนำเสนอได้หลายวิธี ตัวอย่างเช่น - $x=...,y=...$ หรือในรูปแบบของพิกัดจุด - $\left(...;... \right)$ ตัวเลือกที่สองจะดีกว่า สิ่งสำคัญที่ต้องจำคือพิกัดแรกคือ $x$ และพิกัดที่สองคือ $y$
กฎการเขียนคำตอบในรูปแบบพิกัดจุดไม่สามารถใช้ได้เสมอไป ตัวอย่างเช่น ไม่สามารถใช้เมื่อตัวแปรไม่ใช่ $x$ และ $y$ แต่ ตัวอย่างเช่น $a$ และ $b$

ในปัญหาต่อไปนี้ เราจะพิจารณาเทคนิคการลบเมื่อค่าสัมประสิทธิ์ไม่ตรงกันข้าม

การแก้ปัญหาง่าย ๆ โดยใช้วิธีลบ

ภารกิจที่ 1

\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]

โปรดทราบว่าไม่มีสัมประสิทธิ์ที่ตรงกันข้ามตรงนี้ แต่มีค่าสัมประสิทธิ์ที่เหมือนกัน ดังนั้นเราจึงลบอันที่สองออกจากสมการแรก:

ตอนนี้เราแทนค่า $x$ ลงในสมการของระบบใดๆ ไปก่อน:

คำตอบ: $\left(2;5\right)$.

ปัญหาหมายเลข 2

\[\left\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]

เราเห็นค่าสัมประสิทธิ์เดียวกันอีกครั้งที่ $5$ สำหรับ $x$ ในสมการที่หนึ่งและที่สอง ดังนั้นจึงมีเหตุผลที่จะถือว่าคุณต้องลบตัวที่สองออกจากสมการแรก:

เราได้คำนวณตัวแปรหนึ่งตัวแล้ว ทีนี้ เรามาค้นหาอันที่สองกันดีกว่า โดยการแทนที่ค่า $y$ ลงในโครงสร้างที่สอง:

คำตอบ: $\left(-3;-2 \right)$.

ความแตกต่างของการแก้ปัญหา

แล้วเราเห็นอะไร? โดยพื้นฐานแล้ว โครงการนี้ไม่แตกต่างจากโซลูชันของระบบก่อนหน้านี้ ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือเราไม่ได้เพิ่มสมการ แต่ลบออก เรากำลังลบพีชคณิต.

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ทันทีที่คุณเห็นระบบที่ประกอบด้วยสมการสองสมการในค่าไม่ทราบค่าสองตัว สิ่งแรกที่คุณต้องดูคือค่าสัมประสิทธิ์ หากเท่ากันทุกจุด สมการจะถูกลบออก และหากอยู่ตรงข้ามกัน จะใช้วิธีบวก สิ่งนี้จะทำเสมอเพื่อให้หนึ่งในนั้นหายไป และในสมการสุดท้ายซึ่งยังคงอยู่หลังจากการลบ จะเหลือเพียงตัวแปรเดียวเท่านั้น

แน่นอนว่านั่นไม่ใช่ทั้งหมด ตอนนี้เราจะพิจารณาระบบที่สมการโดยทั่วไปไม่สอดคล้องกัน เหล่านั้น. ไม่มีตัวแปรในตัวแปรที่เหมือนหรือตรงกันข้าม ในกรณีนี้ มีการใช้เทคนิคเพิ่มเติมในการแก้ระบบดังกล่าว กล่าวคือ การคูณแต่ละสมการด้วยสัมประสิทธิ์พิเศษ วิธีค้นหาและวิธีแก้ไขระบบดังกล่าวโดยทั่วไป เราจะพูดถึงเรื่องนี้ตอนนี้

การแก้ปัญหาด้วยการคูณด้วยสัมประสิทธิ์

ตัวอย่างหมายเลข 1

\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]

เราเห็นว่าทั้ง $x$ และ $y$ สัมประสิทธิ์ไม่เพียงแต่ตรงกันข้ามกันเท่านั้น แต่ยังไม่มีความสัมพันธ์กับสมการอื่นด้วย ค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้จะไม่หายไป แต่อย่างใดแม้ว่าเราจะบวกหรือลบสมการออกจากกันก็ตาม ดังนั้นจึงจำเป็นต้องใช้การคูณ ลองกำจัดตัวแปร $y$ ออกไป เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะคูณสมการแรกด้วยสัมประสิทธิ์ของ $y$ จากสมการที่สอง และสมการที่สองด้วยสัมประสิทธิ์ $y$ จากสมการแรก โดยไม่ต้องแตะเครื่องหมาย เราคูณและรับระบบใหม่:

\[\left\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]

ลองดูที่: ที่ $y$ ค่าสัมประสิทธิ์อยู่ตรงข้าม ในสถานการณ์เช่นนี้จำเป็นต้องใช้วิธีบวก มาเพิ่ม:

ตอนนี้เราต้องค้นหา $y$ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แทนที่ $x$ ในนิพจน์แรก:

\[-9y=18\ซ้าย| :\left(-9 \right) \right.\]

คำตอบ: $\left(4;-2 \right)$.

ตัวอย่างหมายเลข 2

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]

ขอย้ำอีกครั้งว่าค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรใดไม่สอดคล้องกัน ลองคูณด้วยสัมประสิทธิ์ของ $y$:

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]

\[\left\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]

ของเรา ระบบใหม่เทียบเท่ากับอันก่อนหน้า อย่างไรก็ตาม ค่าสัมประสิทธิ์ของ $y$ นั้นตรงกันข้ามกัน ดังนั้นจึงง่ายต่อการใช้วิธีการบวกที่นี่:

ทีนี้ มาหา $y$ โดยการแทนที่ $x$ ลงในสมการแรก:

คำตอบ: $\left(-2;1 \right)$.

ความแตกต่างของการแก้ปัญหา

กฎสำคัญมีดังนี้: เราคูณด้วยจำนวนบวกเท่านั้นซึ่งจะช่วยคุณจากข้อผิดพลาดที่โง่เขลาและน่ารังเกียจที่เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนสัญญาณ โดยทั่วไป รูปแบบการแก้ปัญหาค่อนข้างง่าย:

เราดูที่ระบบและวิเคราะห์แต่ละสมการ
หากเราเห็นว่าทั้ง $y$ และ $x$ สัมประสิทธิ์ไม่สอดคล้องกัน กล่าวคือ มันไม่เท่ากันหรือตรงกันข้าม จากนั้นเราจะทำดังต่อไปนี้: เราเลือกตัวแปรที่ต้องการกำจัดออก จากนั้นจึงดูค่าสัมประสิทธิ์ของสมการเหล่านี้ หากเราคูณสมการแรกด้วยสัมประสิทธิ์จากสมการที่สองและสมการที่สองคูณด้วยสัมประสิทธิ์จากสมการแรกตามลำดับในที่สุดเราจะได้ระบบที่เทียบเท่ากับสมการก่อนหน้าอย่างสมบูรณ์และค่าสัมประสิทธิ์ $ y$ จะสอดคล้องกัน การกระทำหรือการแปลงทั้งหมดของเรามุ่งเป้าไปที่การรับตัวแปรเพียงตัวเดียวในสมการเดียวเท่านั้น
เราพบตัวแปรหนึ่งตัว
เราแทนที่ตัวแปรที่พบเป็นสมการหนึ่งในสองสมการของระบบและค้นหาสมการที่สอง
เราเขียนคำตอบในรูปแบบของพิกัดจุดถ้าเรามีตัวแปร $x$ และ $y$

แต่แม้แต่อัลกอริธึมง่ายๆ ก็ยังมีรายละเอียดปลีกย่อยของตัวเอง เช่น ค่าสัมประสิทธิ์ของ $x$ หรือ $y$ อาจเป็นเศษส่วนและตัวเลขที่ "น่าเกลียด" อื่นๆ ได้ ตอนนี้เราจะพิจารณากรณีเหล่านี้แยกกันเนื่องจากในกรณีเหล่านี้คุณสามารถดำเนินการแตกต่างไปจากอัลกอริทึมมาตรฐานได้เล็กน้อย

การแก้ปัญหาเรื่องเศษส่วน

ตัวอย่างหมายเลข 1

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0.8m+2.5n=-6 \\\end(align) \right.\]

ขั้นแรก สังเกตว่าสมการที่สองมีเศษส่วน แต่โปรดทราบว่าคุณสามารถหาร $4$ ด้วย $0.8$ ได้ เราจะได้รับ $5$. ลองคูณสมการที่สองด้วย $5$:

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12.5m=-30 \\\end(align) \right.\]

เราลบสมการออกจากกัน:

เราพบ $n$ แล้ว ทีนี้มานับ $m$ กัน:

คำตอบ: $n=-4;m=5$

ตัวอย่างหมายเลข 2

\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ ขวา.\]

เช่นเดียวกับในระบบก่อนหน้านี้ มีค่าสัมประสิทธิ์เศษส่วน แต่ไม่มีตัวแปรใดเลยที่ค่าสัมประสิทธิ์จะเข้ากันเป็นจำนวนเต็มครั้ง ดังนั้นเราจึงใช้อัลกอริธึมมาตรฐาน กำจัด $p$:

\[\left\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12.5k=5 \\\end(align) \right.\]

เราใช้วิธีลบ:

มาหา $p$ โดยการแทนที่ $k$ ลงในโครงสร้างที่สอง:

คำตอบ: $p=-4;k=-2$.

ความแตกต่างของการแก้ปัญหา

นั่นคือการเพิ่มประสิทธิภาพทั้งหมด ในสมการแรก เราไม่ได้คูณสิ่งใดเลย แต่คูณสมการที่สองด้วย $5$ เป็นผลให้เราได้รับสมการที่สม่ำเสมอและเหมือนกันสำหรับตัวแปรแรก ในระบบที่สอง เราปฏิบัติตามอัลกอริธึมมาตรฐาน

แต่คุณจะพบตัวเลขที่ใช้คูณสมการได้อย่างไร? ท้ายที่สุดถ้าคุณคูณด้วย ตัวเลขเศษส่วนเราจะได้เศษส่วนใหม่ ดังนั้นเศษส่วนจะต้องคูณด้วยตัวเลขที่จะให้จำนวนเต็มใหม่ และหลังจากนั้นตัวแปรจะต้องคูณด้วยสัมประสิทธิ์ตามอัลกอริทึมมาตรฐาน

โดยสรุปฉันต้องการดึงความสนใจของคุณไปที่รูปแบบการบันทึกการตอบกลับ อย่างที่ผมบอกไปแล้ว เนื่องจากที่นี่เราไม่มี $x$ และ $y$ แต่มีค่าอื่นๆ เราจึงใช้รูปแบบที่ไม่เป็นมาตรฐาน:

การแก้ระบบสมการที่ซับซ้อน

เพื่อเป็นบันทึกสุดท้ายของวิดีโอบทช่วยสอนของวันนี้ เรามาดูจริงๆ กันสองสามเรื่องกันดีกว่า ระบบที่ซับซ้อน. ความซับซ้อนจะประกอบด้วยความจริงที่ว่าพวกมันจะมีตัวแปรทั้งซ้ายและขวา ดังนั้นเพื่อแก้ปัญหาเหล่านี้เราจะต้องใช้การประมวลผลล่วงหน้า

ระบบหมายเลข 1

\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y \right)+4 \\& 6\left(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(align) \right.\]

แต่ละสมการมีความซับซ้อนบางอย่าง ดังนั้น เราจะถือว่าแต่ละนิพจน์เหมือนกับการสร้างเชิงเส้นปกติ

โดยรวมแล้วเราได้ระบบสุดท้ายซึ่งเทียบเท่ากับระบบดั้งเดิม:

\[\left\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

ลองดูค่าสัมประสิทธิ์ของ $y$: $3$ พอดีกับ $6$ สองครั้ง ดังนั้นลองคูณสมการแรกด้วย $2$:

\[\left\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

ตอนนี้ค่าสัมประสิทธิ์ของ $y$ เท่ากัน ดังนั้นเราจึงลบค่าที่สองออกจากสมการแรก: $$

ตอนนี้เรามาหา $y$:

คำตอบ: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

ระบบหมายเลข 2

\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(align) \right.\]

มาแปลงนิพจน์แรกกัน:

มาจัดการกับอันที่สองกันดีกว่า:

\[-3\left(b-2a \right)-12=2\left(a-5 \right)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

โดยรวมแล้ว ระบบเริ่มต้นของเราจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:

\[\left\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

เมื่อดูค่าสัมประสิทธิ์ของ $a$ เราจะเห็นว่าสมการแรกต้องคูณด้วย $2$:

\[\left\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

ลบวินาทีจากการก่อสร้างครั้งแรก:

ตอนนี้เรามาหา $a$:

คำตอบ: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

นั่นคือทั้งหมดที่ ฉันหวังว่าวิดีโอบทช่วยสอนนี้จะช่วยให้คุณเข้าใจหัวข้อยากๆ นี้ ซึ่งก็คือการแก้ระบบสมการเชิงเส้นอย่างง่าย จะมีบทเรียนอีกมากมายในหัวข้อนี้: เราจะดูเพิ่มเติม ตัวอย่างที่ซับซ้อนโดยที่จะมีตัวแปรมากกว่านี้ และสมการเองก็จะไม่เป็นเชิงเส้นอยู่แล้ว แล้วพบกันอีก!

บ่อยครั้งที่นักเรียนพบว่าเป็นการยากที่จะเลือกวิธีการแก้ระบบสมการ

ในบทความนี้เราจะดูวิธีแก้ไขระบบวิธีใดวิธีหนึ่ง - วิธีการทดแทน

หากพบ การตัดสินใจร่วมกันสองสมการ แล้วสมการเหล่านี้เรียกว่าสร้างระบบ ในระบบสมการ แต่ละค่าที่ไม่รู้จักแทนจำนวนเดียวกันในทุกสมการ เพื่อแสดงว่าสมการที่กำหนดก่อให้เกิดระบบ โดยปกติสมการจะเขียนไว้ข้างใต้อีกสมการหนึ่งและต่อกันด้วยเครื่องหมายปีกกา เป็นต้น

เราสังเกตว่าสำหรับ x = 15 และ y = 5 สมการทั้งสองของระบบนั้นถูกต้อง ตัวเลขคู่นี้เป็นคำตอบของระบบสมการ ค่าที่ไม่รู้จักแต่ละคู่ที่ตรงกับสมการของระบบทั้งสองพร้อมกันเรียกว่าคำตอบของระบบ

ระบบสามารถมีวิธีแก้ปัญหาได้เพียงวิธีเดียว (ดังตัวอย่างของเรา) มีวิธีแก้ปัญหามากมายไม่สิ้นสุด หรือไม่มีวิธีแก้ปัญหาเลย

จะแก้ระบบด้วยวิธีทดแทนได้อย่างไร? หากค่าสัมประสิทธิ์ของค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ทราบค่าในสมการทั้งสองเท่ากันในค่าสัมบูรณ์ (หากไม่เท่ากัน เราจะเท่ากัน) จากนั้นด้วยการเพิ่มสมการทั้งสอง (หรือลบสมการหนึ่งออกจากสมการอื่น) คุณจะได้สมการที่มีสมการที่ไม่ทราบค่าหนึ่ง จากนั้นเราก็แก้สมการนี้ เรากำหนดหนึ่งที่ไม่รู้จัก เราแทนที่ค่าผลลัพธ์ของค่าที่ไม่รู้จักลงในสมการของระบบอันใดอันหนึ่ง (อันแรกหรืออันที่สอง) เราพบอีกคนหนึ่งที่ไม่รู้จัก ลองดูตัวอย่างการประยุกต์ใช้วิธีนี้

ตัวอย่างที่ 1แก้ระบบสมการ

นี่คือค่าสัมประสิทธิ์สำหรับ y ค่าสัมบูรณ์เท่ากันแต่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม ลองบวกสมการของเทอมของระบบทีละเทอม

เราแทนที่ค่าผลลัพธ์ x = 4 ลงในสมการของระบบ (ตัวอย่างเช่นในสมการแรก) และค้นหาค่า y:

2 *4 +y = 11, y = 11 – 8, y = 3

ระบบของเรามีคำตอบ x = 4, y = 3 หรือคำตอบสามารถเขียนในวงเล็บเป็นพิกัดของจุด x ในตำแหน่งแรก y ในตำแหน่งที่สอง

คำตอบ: (4; 3)

ตัวอย่างที่ 2. แก้ระบบสมการ

ลองทำให้ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร x เท่ากัน โดยเราจะคูณสมการแรกด้วย 3 และสมการที่สองด้วย (-2) เราจะได้

ระมัดระวังในการบวกสมการ

จากนั้น y = - 2 นำตัวเลข (-2) แทน y ลงในสมการแรก แล้วเราจะได้

4x + 3(-2) = - 4 แก้สมการนี้ 4x = - 4 + 6, 4x = 2, x = ½

คำตอบ: (1/2; - 2)

ตัวอย่างที่ 3แก้ระบบสมการ

คูณสมการแรกด้วย (-2)

การแก้ปัญหาระบบ

เราได้ 0 = - 13

ระบบไม่มีคำตอบ เนื่องจาก 0 ไม่เท่ากับ (-13)

คำตอบ: ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 4แก้ระบบสมการ

เราสังเกตว่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของสมการที่สองหารด้วย 3 ลงตัว

ลองหารสมการที่สองด้วยสามแล้วเราจะได้ระบบที่ประกอบด้วยสมการที่เหมือนกันสองสมการ

ระบบนี้มีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน เนื่องจากสมการแรกและสมการที่สองเหมือนกัน (เรามีสมการเดียวที่มีตัวแปรสองตัวเท่านั้น) เราจะจินตนาการถึงวิธีแก้ปัญหาของระบบนี้ได้อย่างไร? ลองแสดงตัวแปร y จากสมการ x + y = 5 เราจะได้ y = 5 – x

แล้ว คำตอบจะเขียนดังนี้: (x; 5-x), x – ตัวเลขใดๆ

เราดูการแก้ระบบสมการโดยใช้วิธีบวก หากคุณมีคำถามหรือบางอย่างไม่ชัดเจน ลงทะเบียนเพื่อรับบทเรียน แล้วเราจะแก้ปัญหาทั้งหมดกับคุณ

เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

เมื่อใช้วิธีการบวก สมการของระบบจะถูกบวกทีละเทอม และสมการหนึ่งหรือทั้งสอง (หลายสมการ) สามารถคูณด้วยจำนวนเท่าใดก็ได้ ผลลัพธ์ที่ได้คือ SLE ที่เทียบเท่ากัน โดยในสมการหนึ่งจะมีตัวแปรเพียงตัวเดียว

เพื่อแก้ปัญหาระบบ วิธีการบวกแบบทีละเทอม (ลบ)ทำตามขั้นตอนเหล่านี้:

1. เลือกตัวแปรที่จะสร้างค่าสัมประสิทธิ์เดียวกัน

2. ตอนนี้คุณต้องเพิ่มหรือลบสมการและรับสมการที่มีตัวแปรตัวเดียว

โซลูชั่นระบบ- นี่คือจุดตัดของกราฟฟังก์ชัน

ลองดูตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1

ระบบที่กำหนด:

เมื่อวิเคราะห์ระบบนี้แล้ว คุณจะสังเกตได้ว่าค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรมีขนาดเท่ากันและมีเครื่องหมายต่างกัน (-1 และ 1) ในกรณีนี้ สมการสามารถบวกทีละเทอมได้อย่างง่ายดาย:

เราทำการกระทำที่วงกลมสีแดงในใจของเรา

ผลของการบวกทีละเทอมทำให้ตัวแปรหายไป ย. นี่คือความหมายของวิธีการอย่างแม่นยำ - เพื่อกำจัดตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง

-4 - ย + 5 = 0 → ย = 1,

ในรูปแบบระบบ โซลูชันจะมีลักษณะดังนี้:

คำตอบ: x = -4 , ย = 1.

ตัวอย่างที่ 2

ระบบที่กำหนด:

ในตัวอย่างนี้ คุณสามารถใช้วิธี "โรงเรียน" ได้ แต่มีข้อเสียค่อนข้างมาก เมื่อคุณแสดงตัวแปรจากสมการใดๆ คุณจะได้คำตอบเป็นเศษส่วนสามัญ แต่การแก้เศษส่วนนั้นใช้เวลานานและโอกาสในการทำผิดพลาดก็เพิ่มขึ้น

ดังนั้นจึงเป็นการดีกว่าถ้าใช้การบวก (ลบ) สมการทีละเทอม มาวิเคราะห์ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรที่เกี่ยวข้องกัน:

คุณต้องหาจำนวนที่สามารถหารได้ 3 และต่อไป 4 และจำเป็นที่จำนวนนี้จะเป็นจำนวนขั้นต่ำที่เป็นไปได้ นี้ ตัวคูณร่วมน้อย. ถ้ามันยากสำหรับคุณที่จะเลือก จำนวนที่เหมาะสมจากนั้นคุณสามารถคูณสัมประสิทธิ์ได้:

ขั้นตอนต่อไป:

เราคูณสมการที่ 1 ด้วย

เราคูณสมการที่ 3 ด้วย