วิธีแก้สมการกำลังสองที่มีจำนวนมาก สมการกำลังสอง - ตัวอย่างพร้อมคำตอบ คุณลักษณะ และสูตร

ระดับแรก

สมการกำลังสอง คู่มือที่ครอบคลุม (2019)

ในคำว่า "สมการกำลังสอง" คำสำคัญคือ "กำลังสอง" ซึ่งหมายความว่าสมการจะต้องมีตัวแปร (x เดียวกันนั้น) กำลังสอง และไม่ควรมี xes ยกกำลังสาม (หรือมากกว่า)

การแก้สมการหลายสมการขึ้นอยู่กับการแก้สมการกำลังสอง

มาเรียนรู้กันว่านี่คือสมการกำลังสองไม่ใช่สมการอื่น

ตัวอย่างที่ 1

ลองกำจัดตัวส่วนแล้วคูณแต่ละเทอมของสมการด้วย

ลองย้ายทุกอย่างไปทางซ้ายแล้วจัดเรียงเงื่อนไขตามลำดับเลขยกกำลังของ X จากมากไปหาน้อย

ตอนนี้เราสามารถพูดได้อย่างมั่นใจว่าสมการนี้เป็นกำลังสอง!

ตัวอย่างที่ 2

คูณด้านซ้ายและขวาด้วย:

สมการนี้ แม้จะเดิมอยู่ในสมการนี้ แต่ก็ไม่ใช่สมการกำลังสอง!

ตัวอย่างที่ 3

ลองคูณทุกอย่างด้วย:

น่ากลัว? องศาที่สี่และสอง... อย่างไรก็ตาม ถ้าเราทำการแทนที่ เราจะเห็นว่าเรามีสมการกำลังสองง่ายๆ:

ตัวอย่างที่ 4

ดูเหมือนว่าจะอยู่ที่นั่น แต่ลองมาดูให้ละเอียดยิ่งขึ้น ย้ายทุกอย่างไปทางซ้าย:

ดูสิ มันลดลง - และตอนนี้มันเป็นสมการเชิงเส้นธรรมดา!

ทีนี้ลองพิจารณาด้วยตัวเองว่าสมการใดต่อไปนี้เป็นสมการกำลังสองและสมการใดที่ไม่ใช่:

ตัวอย่าง:

คำตอบ:

1. สี่เหลี่ยม;
2. สี่เหลี่ยม;
3. ไม่เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
4. ไม่เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
5. ไม่เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
6. สี่เหลี่ยม;
7. ไม่เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
8. สี่เหลี่ยม.

นักคณิตศาสตร์แบ่งสมการกำลังสองทั้งหมดตามอัตภาพออกเป็นประเภทต่างๆ ดังต่อไปนี้:

• สมการกำลังสองที่สมบูรณ์- สมการที่ค่าสัมประสิทธิ์และเทอมอิสระ c ไม่เท่ากับศูนย์ (ดังตัวอย่าง) นอกจากนี้ ยังมีสมการกำลังสองที่สมบูรณ์อีกด้วย ที่ให้ไว้- นี่คือสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์ (สมการจากตัวอย่างที่หนึ่งไม่เพียงสมบูรณ์ แต่ยังลดลงด้วย!)

• สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์- สมการที่สัมประสิทธิ์และหรือพจน์อิสระ c เท่ากับศูนย์:

  ไม่สมบูรณ์เนื่องจากขาดองค์ประกอบบางอย่าง แต่สมการจะต้องมี x กำลังสองเสมอ!!! มิฉะนั้น มันจะไม่ใช่สมการกำลังสองอีกต่อไป แต่เป็นสมการอื่น

ทำไมพวกเขาถึงเกิดการแบ่งแยกเช่นนี้? ดูเหมือนว่ามี X กำลังสอง โอเค การแบ่งส่วนนี้ถูกกำหนดโดยวิธีการแก้ปัญหา มาดูรายละเอียดเพิ่มเติมกัน

การแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

ก่อนอื่น เรามาเน้นที่การแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ - มันง่ายกว่ามาก!

สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์มีหลายประเภท:

1. ในสมการนี้สัมประสิทธิ์จะเท่ากัน
2. ในสมการนี้ เทอมอิสระจะเท่ากับ
3. ในสมการนี้สัมประสิทธิ์และเทอมอิสระจะเท่ากัน

1. ฉัน. เพราะเรารู้วิธีสกัด รากที่สองแล้วลองเขียนจากสมการนี้ดู

นิพจน์อาจเป็นค่าลบหรือค่าบวกก็ได้ จำนวนยกกำลังสองไม่สามารถเป็นลบได้ เพราะเมื่อคูณจำนวนลบสองตัวหรือจำนวนบวกสองตัว ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนบวกเสมอ ดังนั้น ถ้าสมการนั้นไม่มีคำตอบ

และถ้า, เราได้สองราก. ไม่จำเป็นต้องจำสูตรเหล่านี้ สิ่งสำคัญคือคุณต้องรู้และจำไว้เสมอว่าต้องไม่น้อยไปกว่านี้

เรามาลองแก้ตัวอย่างกัน

ตัวอย่างที่ 5:

แก้สมการ

ตอนนี้สิ่งที่เหลืออยู่คือการแยกรากออกจากด้านซ้ายและด้านขวา ท้ายที่สุดคุณจำวิธีแยกรากออกได้ไหม?

คำตอบ:

อย่าลืมรากที่มีเครื่องหมายลบ!!!

ตัวอย่างที่ 6:

แก้สมการ

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 7:

แก้สมการ

โอ้! กำลังสองของตัวเลขไม่สามารถเป็นลบได้ ซึ่งหมายความว่าสมการ

ไม่มีราก!

สำหรับสมการที่ไม่มีราก นักคณิตศาสตร์จะมีไอคอนพิเศษขึ้นมา - (เซตว่าง) และคำตอบสามารถเขียนได้ดังนี้:

คำตอบ:

ดังนั้นสมการกำลังสองนี้จึงมีรากสองอัน ที่นี่ไม่มีข้อจำกัด เนื่องจากเราไม่ได้แยกราก
ตัวอย่างที่ 8:

แก้สมการ

นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ:

ดังนั้น,

สมการนี้มีสองราก

คำตอบ:

สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ชนิดที่ง่ายที่สุด (ถึงแม้จะง่ายทั้งหมดเลยใช่ไหม?) แน่นอนว่าสมการนี้มีรากเดียวเสมอ:

เราจะแจกตัวอย่างที่นี่

การแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์

เราเตือนคุณว่าสมการกำลังสองที่สมบูรณ์คือสมการของสมการรูปแบบโดยที่

การแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์นั้นยากกว่าเล็กน้อย (เพียงเล็กน้อย)

จดจำ, สมการกำลังสองใดๆ ก็สามารถแก้ได้โดยใช้การแบ่งแยก! แม้จะไม่สมบูรณ์ก็ตาม

วิธีอื่นๆ จะช่วยให้คุณทำได้เร็วขึ้น แต่หากคุณมีปัญหากับสมการกำลังสอง ให้เชี่ยวชาญวิธีแก้ปัญหาโดยใช้ตัวแบ่งแยกก่อน

1. การแก้สมการกำลังสองโดยใช้เครื่องจำแนก

การแก้สมการกำลังสองโดยใช้วิธีนี้นั้นง่ายมาก สิ่งสำคัญคือการจำลำดับของการกระทำและสูตรสองสามสูตร

ถ้าสมการนั้นมีราก ความสนใจเป็นพิเศษก้าวไป Discriminant () บอกเราถึงจำนวนรากของสมการ

• หากแล้วสูตรในขั้นตอนจะลดลงเหลือ ดังนั้นสมการจะมีเพียงรากเท่านั้น
• หากแล้วเราจะไม่สามารถแยกรากของการแบ่งแยกในขั้นตอนนั้นได้ นี่แสดงว่าสมการไม่มีราก

กลับไปที่สมการของเราแล้วดูตัวอย่างบางส่วน

ตัวอย่างที่ 9:

แก้สมการ

ขั้นตอนที่ 1เราข้ามไป

ขั้นตอนที่ 2.

เราพบการเลือกปฏิบัติ:

ซึ่งหมายความว่าสมการมีสองราก

ขั้นตอนที่ 3

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 10:

แก้สมการ

สมการนี้แสดงอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน ดังนั้น ขั้นตอนที่ 1เราข้ามไป

ขั้นตอนที่ 2.

เราพบการเลือกปฏิบัติ:

ซึ่งหมายความว่าสมการนั้นมีรากเดียว

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 11:

แก้สมการ

สมการนี้แสดงอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน ดังนั้น ขั้นตอนที่ 1เราข้ามไป

ขั้นตอนที่ 2.

เราพบการเลือกปฏิบัติ:

ซึ่งหมายความว่าเราจะไม่สามารถแยกรากของการแบ่งแยกได้ ไม่มีรากของสมการ

ตอนนี้เรารู้วิธีเขียนคำตอบดังกล่าวอย่างถูกต้องแล้ว

คำตอบ:ไม่มีราก

2. การแก้สมการกำลังสองโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม

หากคุณจำได้ว่ามีสมการประเภทหนึ่งที่เรียกว่าการลดลง (เมื่อค่าสัมประสิทธิ์ a เท่ากับ):

สมการดังกล่าวแก้ได้ง่ายมากโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta:

ผลรวมของราก ที่ให้ไว้สมการกำลังสองเท่ากัน และผลิตภัณฑ์ของรากเท่ากัน

ตัวอย่างที่ 12:

แก้สมการ

สมการนี้สามารถแก้ได้โดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม เพราะว่า .

ผลรวมของรากของสมการเท่ากันนั่นคือ เราได้สมการแรก:

และผลิตภัณฑ์มีค่าเท่ากับ:

มาเขียนและแก้ไขระบบกัน:

• และ. จำนวนเงินเท่ากับ;
• และ. จำนวนเงินเท่ากับ;
• และ. จำนวนเงินเท่ากัน

และเป็นแนวทางแก้ไขของระบบ:

คำตอบ: ; .

ตัวอย่างที่ 13:

แก้สมการ

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 14:

แก้สมการ

ให้สมการซึ่งหมายความว่า:

คำตอบ:

สมการกำลังสอง ระดับเฉลี่ย

สมการกำลังสองคืออะไร?

กล่าวอีกนัยหนึ่ง สมการกำลังสองคือสมการของรูปแบบ โดยที่ - ไม่ทราบ - ตัวเลขบางตัว และ

ตัวเลขนี้เรียกว่าสูงสุดหรือ ค่าสัมประสิทธิ์แรกสมการกำลังสอง, - สัมประสิทธิ์ที่สอง, เอ - สมาชิกฟรี.

ทำไม เพราะถ้าสมการกลายเป็นเส้นตรงทันที เพราะ จะหายไป.

ในกรณีนี้และสามารถเท่ากับศูนย์ได้ ในสมการเก้าอี้นี้เรียกว่าไม่สมบูรณ์ หากเงื่อนไขทั้งหมดเข้าที่ นั่นคือ สมการเสร็จสมบูรณ์

คำตอบของสมการกำลังสองประเภทต่างๆ

วิธีการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์:

ขั้นแรก เรามาดูวิธีการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ซึ่งง่ายกว่า

เราสามารถแยกแยะประเภทของสมการได้ดังต่อไปนี้:

I. ในสมการนี้สัมประสิทธิ์และเทอมอิสระเท่ากัน

ครั้งที่สอง ในสมการนี้สัมประสิทธิ์จะเท่ากัน

สาม. ในสมการนี้ เทอมอิสระจะเท่ากับ

ตอนนี้เรามาดูวิธีแก้ปัญหาของแต่ละประเภทย่อยเหล่านี้กัน

แน่นอนว่าสมการนี้มีรากเดียวเสมอ:

จำนวนยกกำลังสองไม่สามารถเป็นค่าลบได้ เพราะเมื่อคุณคูณจำนวนลบสองตัวหรือจำนวนบวกสองตัว ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนบวกเสมอ นั่นเป็นเหตุผล:

ถ้าสมการนั้นไม่มีคำตอบ

ถ้าเรามีสองราก

ไม่จำเป็นต้องจำสูตรเหล่านี้ สิ่งสำคัญที่ต้องจำคือต้องไม่น้อยไปกว่านี้

ตัวอย่าง:

โซลูชั่น:

คำตอบ:

อย่าลืมรากที่มีเครื่องหมายลบ!

กำลังสองของตัวเลขไม่สามารถเป็นลบได้ ซึ่งหมายความว่าสมการ

ไม่มีราก

หากต้องการเขียนสั้นๆ ว่าปัญหาไม่มีทางแก้ไข เราใช้ไอคอนชุดว่างเปล่า

คำตอบ:

ดังนั้น สมการนี้จึงมีราก 2 อัน คือ และ

คำตอบ:

นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ:

ผลคูณจะเท่ากับศูนย์ถ้ามีตัวประกอบอย่างน้อยหนึ่งตัวเท่ากับศูนย์ ซึ่งหมายความว่าสมการจะมีคำตอบเมื่อ:

ดังนั้น สมการกำลังสองนี้มีสองราก: และ

ตัวอย่าง:

แก้สมการ

สารละลาย:

ลองแยกตัวประกอบทางด้านซ้ายของสมการแล้วหาราก:

คำตอบ:

วิธีการแก้สมการกำลังสองสมบูรณ์:

1. การเลือกปฏิบัติ

การแก้สมการกำลังสองด้วยวิธีนี้เป็นเรื่องง่าย สิ่งสำคัญคือการจำลำดับของการกระทำและสูตรสองสามสูตร จำไว้ว่าสมการกำลังสองใดๆ ก็สามารถแก้ได้โดยใช้การแบ่งแยก! แม้จะไม่สมบูรณ์ก็ตาม

คุณสังเกตเห็นรากจากการแยกแยะในสูตรหารากหรือไม่? แต่การเลือกปฏิบัติอาจเป็นผลลบได้ จะทำอย่างไร? เราต้องให้ความสนใจเป็นพิเศษกับขั้นตอนที่ 2 ผู้แยกแยะบอกเราถึงจำนวนรากของสมการ

• ถ้าสมการนั้นมีราก:
• ถ้าสมการนั้นมีรากเหมือนกัน แต่จริงๆ แล้วมีรากเดียว:

  รากดังกล่าวเรียกว่ารากคู่

• ถ้าเช่นนั้นรากของการแบ่งแยกจะไม่ถูกแยกออก นี่แสดงว่าสมการไม่มีราก

เหตุใดจึงมีจำนวนรากต่างกันได้ หันมากันดีกว่า ความรู้สึกทางเรขาคณิตสมการกำลังสอง. กราฟของฟังก์ชันเป็นรูปพาราโบลา:

ในกรณีพิเศษ ซึ่งเป็นสมการกำลังสอง ซึ่งหมายความว่ารากของสมการกำลังสองคือจุดตัดกับแกนแอบซิสซา (แกน) พาราโบลาไม่สามารถตัดแกนได้เลย หรืออาจตัดกันที่จุดเดียว (เมื่อจุดยอดของพาราโบลาอยู่บนแกน) หรือสองจุด

นอกจากนี้ ค่าสัมประสิทธิ์ยังรับผิดชอบต่อทิศทางของกิ่งก้านของพาราโบลาอีกด้วย ถ้า แล้วกิ่งก้านของพาราโบลาชี้ขึ้น และถ้า ชี้ลง

ตัวอย่าง:

โซลูชั่น:

คำตอบ:

คำตอบ: .

คำตอบ:

ซึ่งหมายความว่าไม่มีวิธีแก้ไข

คำตอบ: .

2. ทฤษฎีบทของเวียตตา

การใช้ทฤษฎีบทของ Vieta นั้นง่ายมาก คุณเพียงแค่ต้องเลือกตัวเลขคู่หนึ่งซึ่งมีผลคูณเท่ากับเทอมอิสระของสมการ และผลรวมเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ที่สองที่มาจากเครื่องหมายตรงข้าม

สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่าทฤษฎีบทของเวียตต้าสามารถใช้ได้เฉพาะในนั้นเท่านั้น สมการกำลังสองลดลง ()

ลองดูตัวอย่างบางส่วน:

ตัวอย่าง #1:

แก้สมการ

สารละลาย:

สมการนี้สามารถแก้ได้โดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม เพราะว่า . ค่าสัมประสิทธิ์อื่นๆ: ; .

ผลรวมของรากของสมการคือ:

และผลิตภัณฑ์มีค่าเท่ากับ:

เรามาเลือกคู่ของตัวเลขที่มีผลคูณเท่ากันและตรวจสอบว่าผลรวมเท่ากันหรือไม่:

• และ. จำนวนเงินเท่ากับ;
• และ. จำนวนเงินเท่ากับ;
• และ. จำนวนเงินเท่ากัน

และเป็นแนวทางแก้ไขของระบบ:

ดังนั้น และ คือรากของสมการของเรา

คำตอบ: ; .

ตัวอย่าง #2:

สารละลาย:

เรามาเลือกคู่ของตัวเลขที่ให้ไว้ในผลคูณ แล้วตรวจสอบว่าผลรวมเท่ากันหรือไม่:

และ: พวกเขาให้ทั้งหมด

และ: พวกเขาให้ทั้งหมด เพื่อให้ได้มาก็เพียงพอแล้วที่จะเปลี่ยนสัญญาณของรากที่ควรจะเป็น: และท้ายที่สุดก็คือผลิตภัณฑ์

คำตอบ:

ตัวอย่าง #3:

สารละลาย:

เทอมอิสระของสมการเป็นลบ ดังนั้นผลคูณของรากจึงเป็น จำนวนลบ. สิ่งนี้จะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อรากอันใดอันหนึ่งเป็นลบและอีกอันเป็นค่าบวก ดังนั้นผลรวมของรากจึงเท่ากับ ความแตกต่างของโมดูล.

ให้เราเลือกคู่ของตัวเลขที่ให้ไว้ในผลคูณและมีผลต่างเท่ากับ:

และ: ความแตกต่างเท่ากัน - ไม่พอดี

และ: - ไม่เหมาะสม;

และ: - ไม่เหมาะสม;

และ: - เหมาะสม สิ่งที่เหลืออยู่ก็คือจำไว้ว่าหนึ่งในรากนั้นเป็นลบ เนื่องจากผลรวมต้องเท่ากัน รากที่มีโมดูลัสน้อยกว่าจึงต้องเป็นลบ: เราตรวจสอบ:

คำตอบ:

ตัวอย่าง #4:

แก้สมการ

สารละลาย:

ให้สมการซึ่งหมายความว่า:

พจน์อิสระเป็นลบ ดังนั้นผลคูณของรากจึงเป็นลบ และสิ่งนี้จะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อรากหนึ่งของสมการเป็นลบ และอีกรากหนึ่งเป็นค่าบวก

เรามาเลือกคู่ของตัวเลขที่มีผลคูณเท่ากัน แล้วพิจารณาว่ารากใดควรมีเครื่องหมายลบ:

เห็นได้ชัดว่ามีเพียงรากเท่านั้นและเหมาะสำหรับเงื่อนไขแรก:

คำตอบ:

ตัวอย่าง #5:

แก้สมการ

สารละลาย:

ให้สมการซึ่งหมายความว่า:

ผลรวมของรากเป็นลบ ซึ่งหมายความว่ามีรากอย่างน้อยหนึ่งตัวที่เป็นลบ แต่เนื่องจากผลคูณของมันเป็นบวก มันหมายความว่ารากทั้งสองมีเครื่องหมายลบ

ให้เราเลือกคู่ของตัวเลขที่มีผลคูณเท่ากับ:

แน่นอนว่ารากคือตัวเลขและ

คำตอบ:

เห็นด้วย มันสะดวกมากที่จะหารากด้วยวาจา แทนที่จะนับการเลือกปฏิบัติที่น่ารังเกียจนี้ พยายามใช้ทฤษฎีบทของเวียตต้าให้บ่อยที่สุด

แต่ทฤษฎีบทของ Vieta นั้นมีความจำเป็นเพื่ออำนวยความสะดวกและเร่งการค้นหารากเหง้า เพื่อให้คุณได้รับประโยชน์จากการใช้งาน คุณจะต้องดำเนินการต่างๆ ให้เป็นไปโดยอัตโนมัติ และสำหรับสิ่งนี้ ให้แก้ตัวอย่างอีกห้าตัวอย่าง แต่อย่าโกง: คุณไม่สามารถใช้การเลือกปฏิบัติได้! เฉพาะทฤษฎีบทของ Vieta เท่านั้น:

โซลูชั่นสำหรับงานสำหรับงานอิสระ:

ภารกิจที่ 1 ((x)^(2))-8x+12=0

ตามทฤษฎีบทของ Vieta:

ตามปกติเราจะเริ่มการเลือกด้วยชิ้นส่วน:

ไม่เหมาะสมเพราะปริมาณ;

: จำนวนเป็นเพียงสิ่งที่คุณต้องการ

คำตอบ: ; .

ภารกิจที่ 2

และทฤษฎีบทเวียต้าที่เราชื่นชอบอีกครั้ง ผลรวมต้องเท่ากัน และผลิตภัณฑ์ต้องเท่ากัน

แต่เนื่องจากมันจะต้องไม่ใช่ แต่เราเปลี่ยนสัญญาณของราก: และ (ทั้งหมด)

คำตอบ: ; .

ภารกิจที่ 3

อืม... ที่ไหนล่ะ?

คุณต้องย้ายข้อกำหนดทั้งหมดไปเป็นส่วนเดียว:

ผลรวมของรากเท่ากับผลคูณ

โอเค หยุด! ไม่ได้ให้สมการ แต่ทฤษฎีบทของเวียตต้าใช้ได้เฉพาะในสมการที่กำหนดเท่านั้น ก่อนอื่นคุณต้องให้สมการก่อน หากคุณไม่สามารถเป็นผู้นำได้ ให้ละทิ้งแนวคิดนี้และแก้ไขด้วยวิธีอื่น (เช่น ผ่านการเลือกปฏิบัติ) ฉันขอเตือนคุณว่าการให้สมการกำลังสองหมายถึงการทำให้สัมประสิทธิ์นำหน้าเท่ากัน:

ยอดเยี่ยม. แล้วผลรวมของรากเท่ากับ และผลคูณ.

ที่นี่มันง่ายพอๆ กับการเลือกปลอกลูกแพร์ เพราะมันเป็นจำนวนเฉพาะ (ขออภัยที่ซ้ำซาก)

คำตอบ: ; .

ภารกิจที่ 4

สมาชิกแบบฟรีเป็นค่าลบ มีอะไรพิเศษเกี่ยวกับเรื่องนี้? และความจริงก็คือรากจะมีอาการต่างกัน และตอนนี้ในระหว่างการเลือก เราไม่ได้ตรวจสอบผลรวมของราก แต่ตรวจสอบความแตกต่างในโมดูล: ความแตกต่างนี้เท่ากัน แต่เป็นผลิตภัณฑ์

ดังนั้นรากจึงเท่ากับและ แต่หนึ่งในนั้นคือลบ ทฤษฎีบทของเวียตาบอกเราว่าผลรวมของรากเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สองที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม นั่นคือ ซึ่งหมายความว่ารากที่เล็กกว่าจะมีเครื่องหมายลบ: และเนื่องจาก

คำตอบ: ; .

ภารกิจที่ 5

คุณควรทำอะไรก่อน? ถูกต้อง ให้สมการ:

อีกครั้ง: เราเลือกปัจจัยของตัวเลขและผลต่างควรเท่ากับ:

รากเท่ากับและ แต่อันหนึ่งคือลบ ที่? ผลรวมควรเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าลบจะมีรากที่ใหญ่กว่า

คำตอบ: ; .

ให้ฉันสรุป:

1. ทฤษฎีบทของเวียตต้าใช้ในสมการกำลังสองที่กำหนดเท่านั้น
2. เมื่อใช้ทฤษฎีบทของเวียตา คุณสามารถค้นหารากได้โดยการเลือกด้วยปากเปล่า
3. หากไม่ได้ให้สมการหรือไม่พบสมการ คู่ที่เหมาะสมตัวคูณของพจน์อิสระ ซึ่งหมายความว่าไม่มีรากทั้งหมด และคุณต้องแก้มันด้วยวิธีอื่น (เช่น ผ่านการเลือกปฏิบัติ)

3. วิธีการเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์

หากคำศัพท์ทั้งหมดที่มีสิ่งที่ไม่ทราบถูกแสดงในรูปแบบของคำศัพท์จากสูตรการคูณแบบย่อ - กำลังสองของผลรวมหรือผลต่าง - จากนั้นหลังจากแทนที่ตัวแปรแล้ว สมการสามารถนำเสนอในรูปแบบของสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของประเภทนั้น

ตัวอย่างเช่น:

ตัวอย่างที่ 1:

แก้สมการ: .

สารละลาย:

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 2:

แก้สมการ: .

สารละลาย:

คำตอบ:

ใน ปริทัศน์การเปลี่ยนแปลงจะมีลักษณะดังนี้:

นี่หมายถึง: .

ไม่เตือนคุณถึงอะไรเลยเหรอ? นี่คือสิ่งที่เลือกปฏิบัติ! นั่นคือวิธีที่เราได้สูตรจำแนกมา

สมการกำลังสอง สั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งสำคัญ

สมการกำลังสอง- นี่คือสมการของรูปแบบ โดยที่ - ไม่ทราบ - ค่าสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง - เทอมอิสระ

สมการกำลังสองที่สมบูรณ์- สมการที่สัมประสิทธิ์ไม่เท่ากับศูนย์

สมการกำลังสองลดลง- สมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์นั่นคือ: .

สมการกำลังสองไม่สมบูรณ์- สมการที่สัมประสิทธิ์และหรือพจน์อิสระ c เท่ากับศูนย์:

• หากเป็นสัมประสิทธิ์สมการจะมีลักษณะดังนี้: ,
• ถ้ามีพจน์อิสระ สมการจะมีรูปแบบ: ,
• ถ้า และ สมการจะมีลักษณะดังนี้:

1. อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

1.1. สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ โดยที่ :

1) มาแสดงสิ่งที่ไม่รู้จักกันเถอะ: ,

2) ตรวจสอบเครื่องหมายของนิพจน์:

• ถ้าสมการไม่มีคำตอบ
• ถ้าสมการนั้นมีรากสองอัน

1.2. สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ โดยที่ :

1) นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ: ,

2) ผลคูณจะเท่ากับศูนย์ถ้ามีปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งตัวเท่ากับศูนย์ ดังนั้นสมการจึงมีรากสองอัน:

1.3. สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ โดยที่:

สมการนี้มีรากเดียวเสมอ:

2. อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์ของรูปแบบโดยที่

2.1. วิธีแก้ปัญหาโดยใช้การแบ่งแยก

1) ลองลดสมการลงเป็น มุมมองมาตรฐาน: ,

2) มาคำนวณการแบ่งแยกโดยใช้สูตร: ซึ่งระบุจำนวนรากของสมการ:

3) ค้นหารากของสมการ:

• ถ้าสมการนั้นมีรากซึ่งพบได้จากสูตร:
• ถ้าสมการนั้นมีรากซึ่งพบได้จากสูตร:
• ถ้าสมการนั้นไม่มีราก

2.2. คำตอบโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตตา

ผลรวมของรากของสมการกำลังสองลดลง (สมการของรูปแบบ โดยที่) เท่ากัน และผลิตภัณฑ์ของรากเท่ากัน นั่นคือ , ก.

2.3. วิธีแก้โดยวิธีเลือกกำลังสองสมบูรณ์

หากสมการกำลังสองของรูปแบบมีราก ก็สามารถเขียนได้ในรูปแบบ: .

เอาล่ะ หัวข้อมันจบลงแล้ว หากคุณกำลังอ่านบรรทัดเหล่านี้แสดงว่าคุณเจ๋งมาก

เพราะมีคนเพียง 5% เท่านั้นที่สามารถเชี่ยวชาญบางสิ่งได้ด้วยตัวเอง และถ้าคุณอ่านจนจบแสดงว่าคุณอยู่ใน 5% นี้!

ตอนนี้สิ่งที่สำคัญที่สุด

คุณเข้าใจทฤษฎีในหัวข้อนี้แล้ว และขอย้ำอีกครั้งว่า...นี่มันสุดยอดมาก! คุณเก่งกว่าคนรอบข้างส่วนใหญ่อยู่แล้ว

ปัญหาคือว่านี่อาจไม่เพียงพอ...

เพื่ออะไร?

เพื่อความสำเร็จ ผ่านการสอบ Unified Stateสำหรับการเข้าศึกษาในวิทยาลัยด้วยงบประมาณและที่สำคัญที่สุดคือตลอดชีวิต

ฉันจะไม่โน้มน้าวคุณในสิ่งใด ฉันจะพูดสิ่งเดียวเท่านั้น...

คนที่ได้รับ การศึกษาที่ดีมีรายได้มากกว่าผู้ที่ไม่ได้รับมันมาก นี่คือสถิติ

แต่นี่ไม่ใช่สิ่งสำคัญ

สิ่งสำคัญคือพวกเขามีความสุขมากขึ้น (มีการศึกษาเช่นนี้) อาจเป็นเพราะโอกาสมากมายเปิดกว้างต่อหน้าพวกเขาและชีวิตก็สดใสขึ้น? ไม่รู้...

แต่คิดเอาเองนะ...

ต้องใช้อะไรบ้างเพื่อให้แน่ใจว่าจะดีกว่าคนอื่นๆ ในการสอบ Unified State และสุดท้ายจะ... มีความสุขมากขึ้น?

ช่วยคุณโดยการแก้ปัญหาในหัวข้อนี้

คุณจะไม่ถูกถามถึงทฤษฎีในระหว่างการสอบ

คุณจะต้องการ แก้ปัญหากับเวลา.

และถ้าคุณยังไม่ได้แก้ไขมัน (มาก!) คุณจะทำผิดพลาดโง่ ๆ อย่างแน่นอนหรือไม่มีเวลาเลย

มันก็เหมือนกับกีฬา - คุณต้องทำซ้ำหลาย ๆ ครั้งจึงจะชนะอย่างแน่นอน

ค้นหาคอลเลกชันทุกที่ที่คุณต้องการ จำเป็นต้องมีวิธีแก้ปัญหา การวิเคราะห์โดยละเอียด และตัดสินใจ ตัดสินใจ ตัดสินใจ!

คุณสามารถใช้งานของเรา (ไม่จำเป็น) และแน่นอนว่าเราแนะนำพวกเขา

เพื่อให้ใช้งานของเราได้ดียิ่งขึ้น คุณต้องช่วยยืดอายุหนังสือเรียน YouClever ที่คุณกำลังอ่านอยู่

ยังไง? มีสองตัวเลือก:

1. ปลดล็อคงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความนี้ - 299 ถู
2. ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความทั้ง 99 บทของหนังสือเรียน - 499 ถู

ใช่ เรามีบทความดังกล่าว 99 บทความในหนังสือเรียนของเราและเข้าถึงงานทั้งหมดได้ และสามารถเปิดข้อความที่ซ่อนอยู่ในนั้นได้ทันที

การเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดมีให้ตลอดทั้งชีวิตของไซต์

สรุปแล้ว...

หากคุณไม่ชอบงานของเราก็หาคนอื่น อย่าหยุดแค่ทฤษฎี

“เข้าใจแล้ว” และ “ฉันแก้ได้” เป็นทักษะที่แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง คุณต้องการทั้งสองอย่าง

ค้นหาปัญหาและแก้ไข!

แค่. ตามสูตรและกติกาง่ายๆชัดเจน ในระยะแรก

จำเป็นต้องนำสมการที่กำหนดมาสู่รูปแบบมาตรฐานเช่น ไปที่แบบฟอร์ม:

หากคุณให้สมการในรูปแบบนี้แล้ว คุณไม่จำเป็นต้องดำเนินการขั้นแรก สิ่งที่สำคัญที่สุดคือการทำให้ถูกต้อง

กำหนดค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมด ก, ขและ ค.

สูตรการหารากของสมการกำลังสอง

เรียกว่านิพจน์ภายใต้เครื่องหมายรูท เลือกปฏิบัติ . อย่างที่คุณเห็นเพื่อค้นหา X เรา

เราใช้ เฉพาะ a, b และ c. เหล่านั้น. ค่าสัมประสิทธิ์จาก สมการกำลังสอง. แค่ใส่มันอย่างระมัดระวัง

ค่านิยม ก ข และคเราคำนวณเป็นสูตรนี้ เราแทนด้วย ของพวกเขาสัญญาณ!

ตัวอย่างเช่นในสมการ:

ก =1; ข = 3; ค = -4.

เราแทนค่าและเขียน:

ตัวอย่างนี้เกือบจะได้รับการแก้ไขแล้ว:

นี่คือคำตอบ

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดคือความสับสนกับค่าสัญญาณ ก, ขและ กับ. หรือมากกว่าด้วยการทดแทน

ค่าลบลงในสูตรคำนวณหาราก การบันทึกสูตรอย่างละเอียดช่วยได้ที่นี่

พร้อมหมายเลขเฉพาะ มีปัญหาเรื่องการคำนวณ จัดให้เลย!

สมมติว่าเราจำเป็นต้องแก้ตัวอย่างต่อไปนี้:

ที่นี่ ก = -6; ข = -5; ค = -1

เราอธิบายทุกอย่างโดยละเอียดอย่างระมัดระวัง โดยไม่ขาดสิ่งใดเลยโดยมีป้ายและวงเล็บทั้งหมด:

สมการกำลังสองมักจะดูแตกต่างออกไปเล็กน้อย ตัวอย่างเช่นเช่นนี้:

ตอนนี้ให้สังเกตเทคนิคเชิงปฏิบัติที่ช่วยลดจำนวนข้อผิดพลาดได้อย่างมาก

นัดแรก. อย่าขี้เกียจไปก่อน การแก้สมการกำลังสองนำมาสู่รูปแบบมาตรฐาน

สิ่งนี้หมายความว่า?

สมมติว่าหลังจากการแปลงทั้งหมดคุณจะได้สมการต่อไปนี้:

อย่ารีบเขียนสูตรรูท! คุณเกือบจะได้รับโอกาสปะปนกันอย่างแน่นอน ก ข และค

สร้างตัวอย่างอย่างถูกต้อง อย่างแรก X กำลังสอง จากนั้นไม่มีกำลังสอง ตามด้วยพจน์อิสระ แบบนี้:

กำจัดเครื่องหมายลบ ยังไง? เราจำเป็นต้องคูณสมการทั้งหมดด้วย -1 เราได้รับ:

แต่ตอนนี้คุณสามารถเขียนสูตรสำหรับรากได้อย่างปลอดภัย คำนวณการแบ่งแยก และแก้ไขตัวอย่างให้เสร็จสิ้น

ตัดสินใจด้วยตัวเอง ตอนนี้คุณควรมีรูต 2 และ -1

แผนกต้อนรับที่สองเช็คต้นตอ! โดย ทฤษฎีบทของเวียตตา.

เพื่อแก้สมการกำลังสองที่ให้มา เช่น ถ้าเป็นค่าสัมประสิทธิ์

x 2 +bx+c=0,

แล้วx 1 x 2 =ค

x 1 +x 2 =−ข

สำหรับสมการกำลังสองที่สมบูรณ์นั้น ก≠1:

x2+ขx+ค=0,

หารสมการทั้งหมดด้วย ตอบ:

→ →

ที่ไหน x1และ x 2 - รากของสมการ

แผนกต้อนรับที่สาม. หากสมการของคุณมีค่าสัมประสิทธิ์เศษส่วน ให้กำจัดเศษส่วนออก! คูณ

สมการที่มีตัวส่วนร่วม

บทสรุป. คำแนะนำการปฏิบัติ:

1. ก่อนที่จะแก้โจทย์ เรานำสมการกำลังสองมาอยู่ในรูปแบบมาตรฐานและสร้างมันขึ้นมา ขวา.

2. หากมีสัมประสิทธิ์ลบอยู่หน้า X กำลังสอง เราจะกำจัดมันด้วยการคูณทุกอย่าง

สมการด้วย -1

3. ถ้าสัมประสิทธิ์เป็นเศษส่วน เราจะกำจัดเศษส่วนโดยการคูณสมการทั้งหมดด้วยค่าที่สอดคล้องกัน

ปัจจัย.

4. ถ้า x กำลังสองบริสุทธิ์ ค่าสัมประสิทธิ์ของมันจะเท่ากับ 1 คุณสามารถตรวจสอบคำตอบได้อย่างง่ายดาย

ใน สังคมสมัยใหม่ความสามารถในการดำเนินการด้วยสมการที่มีตัวแปรกำลังสองจะมีประโยชน์ในหลาย ๆ ด้านของกิจกรรมและมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในการปฏิบัติทางวิทยาศาสตร์และ การพัฒนาทางเทคนิค. หลักฐานนี้สามารถพบได้ในการออกแบบเรือเดินทะเลและแม่น้ำ เครื่องบิน และขีปนาวุธ การใช้การคำนวณดังกล่าวจะกำหนดวิถีการเคลื่อนที่ของวัตถุที่หลากหลายรวมถึงวัตถุอวกาศ ตัวอย่างที่มีการแก้สมการกำลังสองไม่เพียงแต่ใช้ในการพยากรณ์ทางเศรษฐกิจ ในการออกแบบและการก่อสร้างอาคารเท่านั้น แต่ยังใช้ในสถานการณ์ปกติในชีวิตประจำวันด้วย พวกเขาอาจจะจำเป็นใน ทริปเดินป่าในงานกีฬา ในร้านค้าขณะช้อปปิ้ง และในสถานการณ์ทั่วไปอื่นๆ

ลองแบ่งนิพจน์ออกเป็นปัจจัยส่วนประกอบกัน

ระดับของสมการจะถูกกำหนด ค่าสูงสุดระดับของตัวแปรที่มีอยู่ในนิพจน์นี้ ถ้ามันเท่ากับ 2 สมการดังกล่าวจะเรียกว่ากำลังสอง

หากเราพูดในภาษาของสูตร นิพจน์ที่ระบุไม่ว่าจะดูเป็นอย่างไร ก็สามารถนำมาอยู่ในรูปแบบได้เสมอเมื่อด้านซ้ายของนิพจน์ประกอบด้วยคำศัพท์สามคำ ในหมู่พวกเขา: ax 2 (นั่นคือตัวแปรกำลังสองด้วยสัมประสิทธิ์ของมัน), bx (ไม่ทราบค่าที่ไม่มีกำลังสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์ของมัน) และ c (องค์ประกอบอิสระนั่นคือตัวเลขธรรมดา) ทั้งหมดนี้อยู่ทางด้านขวาจะเท่ากับ 0 ในกรณีที่พหุนามดังกล่าวไม่มีเงื่อนไขที่เป็นส่วนประกอบข้อใดข้อหนึ่ง ยกเว้นขวาน 2 จะเรียกว่าสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ตัวอย่างการแก้ปัญหาดังกล่าวควรพิจารณาค่าของตัวแปรที่หาได้ง่ายก่อน

หากนิพจน์ดูเหมือนมีพจน์สองพจน์ทางด้านขวา กล่าวคือ ax 2 และ bx อย่างแม่นยำ วิธีที่ง่ายที่สุดในการค้นหา x คือการใส่ตัวแปรออกจากวงเล็บ ตอนนี้สมการของเราจะมีลักษณะดังนี้: x(ax+b) ต่อไป จะเห็นได้ชัดว่า x=0 หรือปัญหาอยู่ที่การค้นหาตัวแปรจากนิพจน์ต่อไปนี้: ax+b=0 สิ่งนี้ถูกกำหนดโดยคุณสมบัติข้อใดข้อหนึ่งของการคูณ กฎระบุว่าผลคูณของตัวประกอบสองตัวจะให้ผลลัพธ์เป็น 0 ก็ต่อเมื่อตัวใดตัวหนึ่งเป็นศูนย์

ตัวอย่าง

x=0 หรือ 8x - 3 = 0

เป็นผลให้เราได้รากของสมการสองอัน: 0 และ 0.375

สมการประเภทนี้สามารถอธิบายการเคลื่อนที่ของวัตถุภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วงซึ่งเริ่มเคลื่อนที่จากจุดหนึ่งซึ่งถือเป็นที่มาของพิกัด สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์มีรูปแบบดังนี้: y = v 0 t + gt 2 /2 ด้วยการแทนที่ค่าที่จำเป็น โดยให้ด้านขวาเท่ากับ 0 และค้นหาสิ่งที่ไม่ทราบที่เป็นไปได้ คุณจะสามารถทราบเวลาที่ผ่านไปตั้งแต่ช่วงเวลาที่ร่างกายลอยขึ้นไปจนถึงช่วงเวลาที่ร่างกายตกลงมา รวมถึงปริมาณอื่นๆ อีกมากมาย แต่เราจะพูดถึงเรื่องนี้ในภายหลัง

แยกตัวประกอบนิพจน์

กฎที่อธิบายไว้ข้างต้นทำให้สามารถแก้ไขปัญหาเหล่านี้ได้มากขึ้น กรณีที่ยากลำบาก. ลองดูตัวอย่างการแก้สมการกำลังสองประเภทนี้

X 2 - 33x + 200 = 0

นี้ ตรีโกณมิติกำลังสองเสร็จสมบูรณ์ ก่อนอื่น มาแปลงนิพจน์และแยกตัวประกอบกันก่อน มีสองตัว: (x-8) และ (x-25) = 0 ด้วยเหตุนี้เราจึงมีราก 8 และ 25 สองอัน

ตัวอย่างการแก้สมการกำลังสองในชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 ช่วยให้วิธีนี้สามารถค้นหาตัวแปรในนิพจน์ได้ ไม่เพียงแต่ในลำดับที่สองเท่านั้น แต่ยังรวมถึงลำดับที่สามและสี่ด้วย

ตัวอย่างเช่น: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0 เมื่อแยกตัวประกอบทางด้านขวาเป็นปัจจัยด้วยตัวแปร จะมีสามตัวในนั้น นั่นคือ (x+1), (x-3) และ (x+ 3).

เป็นผลให้เห็นได้ชัดว่าสมการนี้มีสามราก: -3; -1; 3.

รากที่สอง

อีกกรณีหนึ่ง สมการที่ไม่สมบูรณ์ลำดับที่สองคือนิพจน์ที่แสดงในภาษาของตัวอักษรในลักษณะที่สร้างด้านขวาจากส่วนประกอบ ax 2 และ c ที่นี่เพื่อให้ได้ค่าของตัวแปร เทอมอิสระจะถูกโอนไป ด้านขวาและหลังจากนั้นรากที่สองจะถูกนำมาจากทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกัน ควรสังเกตว่าในกรณีนี้มักจะมีรากสองอันของสมการ ข้อยกเว้นเพียงอย่างเดียวอาจเป็นความเท่าเทียมกันที่ไม่มีคำศัพท์เลย โดยที่ตัวแปรมีค่าเท่ากับศูนย์ รวมถึงตัวแปรของนิพจน์เมื่อด้านขวากลายเป็นลบ ในกรณีหลังนี้ไม่มีวิธีแก้ปัญหาเลย เนื่องจากการดำเนินการข้างต้นไม่สามารถทำได้โดยใช้รูท ควรพิจารณาตัวอย่างการแก้สมการกำลังสองประเภทนี้

ในกรณีนี้ รากของสมการจะเป็นตัวเลข -4 และ 4

การคำนวณพื้นที่ที่ดิน

ต้องเข้า ชนิดนี้การคำนวณปรากฏในสมัยโบราณเนื่องจากการพัฒนาทางคณิตศาสตร์ในหลาย ๆ ด้านในช่วงเวลาอันห่างไกลนั้นถูกกำหนดโดยความจำเป็นในการกำหนดพื้นที่และปริมณฑลของที่ดินด้วยความแม่นยำสูงสุด

เราควรพิจารณาตัวอย่างการแก้สมการกำลังสองโดยอิงจากปัญหาประเภทนี้ด้วย

สมมติว่ามีที่ดินผืนหนึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ซึ่งมีความยาวมากกว่าความกว้าง 16 เมตร คุณควรหาความยาว ความกว้าง และเส้นรอบวงของไซต์หากคุณรู้ว่าพื้นที่คือ 612 ตร.ม.

ในการเริ่มต้น เรามาสร้างสมการที่จำเป็นกันก่อน ให้เราแสดงด้วย x ความกว้างของพื้นที่ แล้วความยาวของมันจะเป็น (x+16) จากสิ่งที่เขียนไป พื้นที่ถูกกำหนดโดยนิพจน์ x(x+16) ซึ่งตามเงื่อนไขของปัญหาของเราคือ 612 ซึ่งหมายความว่า x(x+16) = 612

การแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์ และนิพจน์นี้ก็เป็นเช่นนั้น ไม่สามารถทำด้วยวิธีเดียวกันได้ ทำไม แม้ว่าทางด้านซ้ายยังคงมีปัจจัยอยู่ 2 ตัว แต่ผลคูณของพวกมันไม่เท่ากับ 0 เลย ดังนั้นจึงใช้วิธีที่แตกต่างกันที่นี่

เลือกปฏิบัติ

ก่อนอื่น เรามาทำการแปลงที่จำเป็นกันก่อน รูปร่างของนิพจน์นี้จะมีลักษณะดังนี้: x 2 + 16x - 612 = 0 ซึ่งหมายความว่าเราได้รับนิพจน์ในรูปแบบที่สอดคล้องกับมาตรฐานที่ระบุไว้ก่อนหน้านี้ โดยที่ a=1, b=16, c=-612

นี่อาจเป็นตัวอย่างของการแก้สมการกำลังสองโดยใช้การแบ่งแยก ที่นี่ การคำนวณที่จำเป็นผลิตตามรูปแบบ: D = b 2 - 4ac ปริมาณเสริมนี้ไม่เพียงทำให้สามารถค้นหาปริมาณที่ต้องการในสมการลำดับที่สองได้ แต่ยังเป็นตัวกำหนดปริมาณ ตัวเลือกที่เป็นไปได้. ถ้า D>0 มีสองตัว; สำหรับ D=0 มีหนึ่งรูท ในกรณีที่ D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

เกี่ยวกับรากและสูตรของมัน

ในกรณีของเรา ค่าจำแนกเท่ากับ: 256 - 4(-612) = 2704 นี่แสดงว่าปัญหาของเรามีคำตอบ ถ้าคุณรู้ k จะต้องแก้สมการกำลังสองต่อโดยใช้สูตรด้านล่าง ช่วยให้คุณสามารถคำนวณรากได้

ซึ่งหมายความว่าในกรณีที่นำเสนอ: x 1 =18, x 2 =-34 ตัวเลือกที่สองในภาวะที่กลืนไม่เข้าคายไม่ออกนี้ไม่สามารถแก้ปัญหาได้เนื่องจากขนาดของที่ดินไม่สามารถวัดได้ในปริมาณที่เป็นลบซึ่งหมายความว่า x (นั่นคือความกว้างของแปลง) คือ 18 ม. จากที่นี่เราคำนวณความยาว: 18 +16=34 และเส้นรอบวง 2(34+ 18)=104(m2)

ตัวอย่างและงาน

เราศึกษาสมการกำลังสองต่อไป ตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดของหลาย ๆ วิธีจะมีดังต่อไปนี้

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

ลองย้ายทุกอย่างไปทางซ้ายของความเท่าเทียมกัน ทำการแปลง นั่นคือ เราจะได้ประเภทของสมการที่มักเรียกว่ามาตรฐาน และจัดให้เป็นศูนย์

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

เมื่อบวกค่าที่คล้ายกันเข้าไป เราจะหาค่าจำแนก: D = 49 - 48 = 1 ซึ่งหมายความว่าสมการของเราจะมีรากสองค่า ลองคำนวณตามสูตรข้างต้น ซึ่งหมายความว่าอันแรกจะเท่ากับ 4/3 และอันที่สองเป็น 1

2) ทีนี้มาไขปริศนาที่แตกต่างออกไปกันดีกว่า

ลองดูว่ามีรากใดๆ ตรงนี้ x 2 - 4x + 5 = 1 หรือไม่? เพื่อให้ได้คำตอบที่ครอบคลุม ลองลดพหุนามให้อยู่ในรูปแบบปกติที่สอดคล้องกันแล้วคำนวณการแบ่งแยก ในตัวอย่างข้างต้น ไม่จำเป็นต้องแก้สมการกำลังสอง เพราะนี่ไม่ใช่แก่นแท้ของปัญหาเลย ในกรณีนี้ D = 16 - 20 = -4 ซึ่งหมายความว่าไม่มีรากจริงๆ

ทฤษฎีบทของเวียตตา

สะดวกในการแก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตรข้างต้นและค่าจำแนก เมื่อนำรากที่สองมาจากค่าของค่าหลัง แต่สิ่งนี้ไม่ได้เกิดขึ้นเสมอไป อย่างไรก็ตาม มีหลายวิธีในการรับค่าของตัวแปรในกรณีนี้ ตัวอย่าง: การแก้สมการกำลังสองโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม เธอได้รับการตั้งชื่อตามผู้ที่อาศัยอยู่ในฝรั่งเศสในศตวรรษที่ 16 และมีอาชีพการงานที่ยอดเยี่ยมด้วยความสามารถทางคณิตศาสตร์และความเชื่อมโยงในศาล ภาพของเขาสามารถเห็นได้ในบทความ

รูปแบบที่ชาวฝรั่งเศสผู้โด่งดังสังเกตเห็นมีดังนี้ เขาพิสูจน์ว่ารากของสมการรวมกันเป็นตัวเลขได้เป็น -p=b/a และผลคูณของสมการนั้นสอดคล้องกับ q=c/a

ตอนนี้เรามาดูงานเฉพาะกัน

3x 2 + 21x - 54 = 0

เพื่อความง่าย เรามาแปลงนิพจน์กัน:

x 2 + 7x - 18 = 0

ลองใช้ทฤษฎีบทของเวียตา ซึ่งจะได้ผลลัพธ์ดังนี้ ผลรวมของรากคือ -7 และผลิตภัณฑ์ของมันคือ -18 จากตรงนี้เราจะได้รากของสมการคือตัวเลข -9 และ 2 หลังจากตรวจสอบแล้ว เราจะตรวจสอบให้แน่ใจว่าค่าตัวแปรเหล่านี้พอดีกับนิพจน์จริงๆ

กราฟพาราโบลาและสมการ

แนวคิดเรื่องฟังก์ชันกำลังสองและสมการกำลังสองมีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิด ตัวอย่างนี้ได้ถูกให้ไว้ก่อนหน้านี้แล้ว ตอนนี้เรามาดูปริศนาทางคณิตศาสตร์ในรายละเอียดอีกเล็กน้อย สมการประเภทที่อธิบายไว้สามารถแสดงได้ด้วยสายตา ความสัมพันธ์ดังกล่าวที่วาดเป็นกราฟเรียกว่าพาราโบลา ประเภทต่างๆ ดังแสดงในรูปด้านล่าง

พาราโบลาใดๆ มีจุดยอด นั่นคือจุดที่กิ่งก้านของพาราโบลาโผล่ออกมา ถ้า a>0 มันจะไปสูงจนถึงอนันต์ และเมื่อ a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

การแสดงฟังก์ชันด้วยภาพช่วยแก้สมการต่างๆ รวมถึงสมการกำลังสองด้วย วิธีการนี้เรียกว่าแบบกราฟิก และค่าของตัวแปร x คือพิกัดแอบซิสซาที่จุดที่เส้นกราฟตัดกับ 0x พิกัดของจุดยอดสามารถพบได้โดยใช้สูตรที่เพิ่งให้ x 0 = -b/2a และโดยการแทนที่ค่าผลลัพธ์ลงในสมการดั้งเดิมของฟังก์ชัน คุณจะพบ y 0 นั่นคือพิกัดที่สองของจุดยอดของพาราโบลาซึ่งอยู่ในแกนพิกัด

จุดตัดของกิ่งก้านของพาราโบลากับแกนแอบซิสซา

มีตัวอย่างการแก้สมการกำลังสองมากมาย แต่ก็มีรูปแบบทั่วไปเช่นกัน มาดูพวกเขากันดีกว่า เห็นได้ชัดว่าจุดตัดของกราฟที่มีแกน 0x สำหรับ a>0 เป็นไปได้ก็ต่อเมื่อ 0 รับค่าลบเท่านั้น และสำหรับก<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. มิฉะนั้น D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

จากกราฟของพาราโบลา คุณสามารถระบุรากได้ด้วย ตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน นั่นคือ ถ้ามันไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะได้การแสดงฟังก์ชันกำลังสองด้วยภาพของฟังก์ชันกำลังสอง คุณสามารถจัดด้านขวาของนิพจน์ให้เป็น 0 แล้วแก้สมการผลลัพธ์ได้ และการรู้จุดตัดกับแกน 0x ทำให้สร้างกราฟได้ง่ายกว่า

จากประวัติศาสตร์

การใช้สมการที่มีตัวแปรกำลังสองในสมัยก่อนไม่เพียงแต่ทำการคำนวณทางคณิตศาสตร์และกำหนดพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตเท่านั้น คนสมัยโบราณจำเป็นต้องมีการคำนวณเช่นนี้เพื่อการค้นพบครั้งยิ่งใหญ่ในสาขาฟิสิกส์และดาราศาสตร์ รวมถึงการพยากรณ์ทางโหราศาสตร์ด้วย

ตามที่นักวิทยาศาสตร์สมัยใหม่แนะนำ ชาวบาบิโลนเป็นหนึ่งในคนกลุ่มแรกๆ ที่แก้สมการกำลังสองได้ เรื่องนี้เกิดขึ้นเมื่อสี่ศตวรรษก่อนยุคของเรา แน่นอนว่าการคำนวณของพวกเขาแตกต่างอย่างสิ้นเชิงจากที่ยอมรับในปัจจุบันและกลายเป็นแบบดั้งเดิมมากกว่ามาก ตัวอย่างเช่น นักคณิตศาสตร์ชาวเมโสโปเตเมียไม่มีความคิดเกี่ยวกับการมีอยู่ของจำนวนลบ พวกเขายังไม่คุ้นเคยกับรายละเอียดปลีกย่อยอื่น ๆ ที่เด็กนักเรียนยุคใหม่รู้

บางทีอาจเร็วกว่านักวิทยาศาสตร์แห่งบาบิโลน ปราชญ์จากอินเดีย Baudhayama เริ่มแก้สมการกำลังสอง สิ่งนี้เกิดขึ้นประมาณแปดศตวรรษก่อนยุคของพระคริสต์ จริงอยู่ที่สมการอันดับสองซึ่งเป็นวิธีการแก้ที่เขาให้ไว้นั้นเป็นวิธีที่ง่ายที่สุด นอกจากเขาแล้ว นักคณิตศาสตร์ชาวจีนยังสนใจคำถามที่คล้ายกันในสมัยก่อนอีกด้วย ในยุโรปสมการกำลังสองเริ่มได้รับการแก้ไขในช่วงต้นศตวรรษที่ 13 เท่านั้น แต่ต่อมานักวิทยาศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่เช่นนิวตันเดส์การตส์และคนอื่น ๆ อีกมากมายก็นำไปใช้ในงานของพวกเขา

"นั่นคือสมการของดีกรีที่หนึ่ง ในบทเรียนนี้เราจะดู สิ่งที่เรียกว่าสมการกำลังสองและวิธีแก้ปัญหา

สมการกำลังสองคืออะไร?

สำคัญ!

ระดับของสมการถูกกำหนดโดยระดับสูงสุดที่ไม่ทราบค่า

หากค่ากำลังสูงสุดที่ไม่ทราบค่าคือ “2” แสดงว่าคุณมีสมการกำลังสอง

ตัวอย่างสมการกำลังสอง

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0.25x = 0
• x 2 - 8 = 0

สำคัญ! รูปแบบทั่วไปของสมการกำลังสองมีลักษณะดังนี้:

ก x 2 + ข x + ค = 0

• “a” คือค่าสัมประสิทธิ์แรกหรือค่าสูงสุด
• “b” คือสัมประสิทธิ์ที่สอง
• “c” เป็นคำเสรี

หากต้องการค้นหา "a", "b" และ "c" คุณต้องเปรียบเทียบสมการของคุณกับรูปแบบทั่วไปของสมการกำลังสอง "ax 2 + bx + c = 0"

มาฝึกกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ "a", "b" และ "c" ในสมการกำลังสองกันดีกว่า

• ก = −1
• ข = 1
• ค =

  1

  3

• ก = 1
• ข = 0.25
• ค = 0

• ก = 1
• ข = 0
• ค = −8

วิธีแก้สมการกำลังสอง

ต่างจากสมการเชิงเส้นตรงที่มีการใช้วิธีการพิเศษในการแก้สมการกำลังสอง สูตรการหาราก.

จดจำ!

ในการแก้สมการกำลังสองคุณต้องมี:

• นำสมการกำลังสองมาอยู่ในรูปแบบทั่วไป “ax 2 + bx + c = 0” นั่นคือควรเหลือเพียง "0" ทางด้านขวา
• ใช้สูตรสำหรับราก:

มาดูตัวอย่างวิธีใช้สูตรเพื่อหารากของสมการกำลังสองกัน มาแก้สมการกำลังสองกัน

X 2 − 3x − 4 = 0

สมการ “x 2 − 3x − 4 = 0” ได้ลดลงเป็นรูปแบบทั่วไป “ax 2 + bx + c = 0” แล้ว และไม่จำเป็นต้องทำให้ง่ายขึ้นอีก เพื่อแก้ปัญหาเราเพียงแค่ต้องสมัคร สูตรการหารากของสมการกำลังสอง.

ให้เรากำหนดค่าสัมประสิทธิ์ "a", "b" และ "c" สำหรับสมการนี้

สามารถใช้แก้สมการกำลังสองใดก็ได้

ในสูตร "x 1;2 = " มักจะแทนที่นิพจน์ที่รุนแรง
“b 2 − 4ac” สำหรับตัวอักษร “D” และเรียกว่า discriminant แนวคิดของการเลือกปฏิบัติจะถูกกล่าวถึงโดยละเอียดในบทเรียน "อะไรคือการเลือกปฏิบัติ"

ลองดูอีกตัวอย่างหนึ่งของสมการกำลังสอง

x 2 + 9 + x = 7x

ในรูปแบบนี้ การกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ "a", "b" และ "c" ค่อนข้างยาก ขั้นแรกให้ลดสมการให้อยู่ในรูปแบบทั่วไป “ax 2 + bx + c = 0”

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

ตอนนี้คุณสามารถใช้สูตรสำหรับรากได้

เอ็กซ์ 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x=

มีบางครั้งที่สมการกำลังสองไม่มีราก สถานการณ์นี้เกิดขึ้นเมื่อสูตรมีจำนวนลบอยู่ใต้ราก

ด้วยวิธีที่ง่ายกว่า เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใส่ z ออกจากวงเล็บ คุณจะได้รับ: z(аz + b) = 0 สามารถเขียนตัวประกอบได้: z=0 และ аz + b = 0 เนื่องจากทั้งสองค่าสามารถให้ผลลัพธ์เป็นศูนย์ได้ ในสัญกรณ์ az + b = 0 เราเลื่อนอันที่สองไปทางขวาด้วยเครื่องหมายอื่น จากตรงนี้ เราจะได้ z1 = 0 และ z2 = -b/a เหล่านี้คือรากเหง้าของต้นฉบับ

หากมีสมการที่ไม่สมบูรณ์ในรูปแบบ az² + c = 0 ในกรณีนี้จะพบสมการได้โดยการย้ายพจน์อิสระไปทางด้านขวาของสมการ เปลี่ยนเครื่องหมายด้วย ผลลัพธ์จะเป็น az² = -с ด่วน z² = -c/a หารากแล้วเขียนคำตอบสองวิธี - รากที่สองที่เป็นบวกและลบ

บันทึก

ถ้ามีค่าสัมประสิทธิ์เศษส่วนในสมการ ให้คูณสมการทั้งหมดด้วยตัวประกอบที่เหมาะสมเพื่อกำจัดเศษส่วนออก

ความรู้เกี่ยวกับการแก้สมการกำลังสองเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับทั้งเด็กนักเรียนและนักเรียน บางครั้งสิ่งนี้สามารถช่วยผู้ใหญ่ในชีวิตประจำวันได้เช่นกัน มีวิธีการแก้ปัญหาเฉพาะหลายประการ

การแก้สมการกำลังสอง

ในการแก้สมการนี้ จำเป็นต้องใช้ทฤษฎีบทของเวียตาหรือค้นหาตัวจำแนก วิธีที่พบบ่อยที่สุดคือการค้นหาการแบ่งแยกเนื่องจากค่าบางค่าของ a, b, c ไม่สามารถใช้ทฤษฎีบทของ Vieta ได้

ในการค้นหาการแบ่งแยก (D) คุณต้องเขียนสูตร D=b^2 - 4*a*c ค่า D สามารถมากกว่า น้อยกว่า หรือเท่ากับศูนย์ได้ ถ้า D มากกว่าหรือน้อยกว่าศูนย์ ก็จะมีสองราก ถ้า D = 0 ก็จะเหลือเพียงรากเดียวเท่านั้น หรือพูดให้ละเอียดกว่านั้นคือเราสามารถพูดได้ว่า D ในกรณีนี้มีรากที่เท่ากันสองอัน แทนค่าสัมประสิทธิ์ที่ทราบ a, b, c ลงในสูตรแล้วคำนวณค่า

หลังจากที่คุณพบการแบ่งประเภทแล้ว ให้ใช้สูตรเพื่อค้นหา x: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a โดยที่ sqrt คือฟังก์ชันที่หมายถึงการหารากที่สองของจำนวนที่กำหนด หลังจากคำนวณนิพจน์เหล่านี้แล้ว คุณจะพบรากสองอันของสมการของคุณ หลังจากนั้นจึงถือว่าสมการได้รับการแก้ไขแล้ว

ถ้า D น้อยกว่าศูนย์ แสดงว่ายังมีรากอยู่ ส่วนนี้ไม่ได้เรียนที่โรงเรียนในทางปฏิบัติ นักศึกษามหาวิทยาลัยควรทราบว่าตัวเลขติดลบปรากฏอยู่ใต้ราก พวกเขากำจัดมันโดยการเน้นส่วนจินตภาพนั่นคือ -1 ใต้รูทจะเท่ากับองค์ประกอบจินตภาพ "i" เสมอซึ่งคูณด้วยรูทด้วยจำนวนบวกเท่ากัน ตัวอย่างเช่น ถ้า D=sqrt(-20) หลังจากการแปลง เราจะได้ D=sqrt(20)*i หลังจากการเปลี่ยนแปลงนี้ การแก้สมการจะลดลงเหลือเพียงการค้นหารากตามที่อธิบายไว้ข้างต้น

ทฤษฎีบทของ Vieta ประกอบด้วยการเลือกค่าของ x(1) และ x(2) มีการใช้สมการที่เหมือนกันสองสมการ: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с. นอกจากนี้ จุดที่สำคัญมากคือเครื่องหมายที่อยู่หน้าสัมประสิทธิ์ b โปรดจำไว้ว่าเครื่องหมายนี้อยู่ตรงข้ามกับเครื่องหมายในสมการ เมื่อมองแวบแรก ดูเหมือนว่าการคำนวณ x(1) และ x(2) นั้นง่ายมาก แต่เมื่อแก้โจทย์แล้ว คุณจะต้องเลือกตัวเลข

องค์ประกอบของการแก้สมการกำลังสอง

นอกจากนี้อย่าลืมเกี่ยวกับสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ คุณอาจขาดคำศัพท์บางคำไป หากเป็นเช่นนั้น สัมประสิทธิ์ทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์ หากไม่มีสิ่งใดอยู่ข้างหน้า x^2 หรือ x สัมประสิทธิ์ a และ b จะเท่ากับ 1