สัดส่วนโดยตรง สัดส่วนตรงและผกผัน

ทั้งสองปริมาณเรียกว่า สัดส่วนโดยตรงถ้าอันใดอันหนึ่งเพิ่มขึ้นหลายครั้ง อีกอันก็เพิ่มขึ้นด้วยจำนวนที่เท่ากัน ดังนั้นเมื่อหนึ่งในนั้นลดลงหลายครั้ง อีกอันก็ลดลงด้วยจำนวนที่เท่ากัน

ความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณดังกล่าวเป็นความสัมพันธ์แบบสัดส่วนโดยตรง ตัวอย่างตรง การพึ่งพาอาศัยกันตามสัดส่วน:

1) ด้วยความเร็วคงที่ ระยะทางที่เดินทางจะเป็นสัดส่วนโดยตรงกับเวลา

2) เส้นรอบวงของสี่เหลี่ยมจัตุรัสและด้านข้างเป็นปริมาณสัดส่วนโดยตรง

3) ต้นทุนของผลิตภัณฑ์ที่ซื้อในราคาเดียวเป็นสัดส่วนโดยตรงกับปริมาณของผลิตภัณฑ์

หากต้องการแยกความสัมพันธ์แบบสัดส่วนโดยตรงจากความสัมพันธ์แบบผกผัน คุณสามารถใช้สุภาษิต: "ยิ่งเข้าไปในป่ามากเท่าใด ฟืนก็ยิ่งมากขึ้นเท่านั้น"

สะดวกในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับปริมาณตามสัดส่วนโดยตรงโดยใช้สัดส่วน

1) ในการทำ 10 ชิ้นส่วนคุณต้องใช้โลหะ 3.5 กิโลกรัม ต้องใช้โลหะเท่าไหร่ในการผลิตชิ้นส่วนทั้ง 12 ชิ้นนี้?

(เราให้เหตุผลดังนี้:

1. ในคอลัมน์ที่กรอกข้อมูล ให้วางลูกศรในทิศทางจาก มากกว่าให้น้อยลง

2. ยิ่งมีชิ้นส่วนมากเท่าไรก็ยิ่งต้องใช้โลหะมากขึ้นเท่านั้น ซึ่งหมายความว่านี่คือความสัมพันธ์ตามสัดส่วนโดยตรง

ให้โลหะ x กิโลกรัม เพื่อสร้าง 12 ส่วน เราสร้างสัดส่วน (ในทิศทางจากจุดเริ่มต้นของลูกศรถึงจุดสิ้นสุด):

12:10=x:3.5

ในการค้นหา คุณต้องหารผลคูณของพจน์สุดขั้วด้วยพจน์กลางที่ทราบ:

ซึ่งหมายความว่าจะต้องใช้โลหะ 4.2 กิโลกรัม

ตอบ 4.2 กก.

2) จ่ายผ้า 15 เมตร 1,680 รูเบิล ผ้าดังกล่าว12เมตรราคาเท่าไหร่?

(1. ในคอลัมน์ที่เติม ให้วางลูกศรในทิศทางจากจำนวนที่มากที่สุดไปหาค่าที่น้อยที่สุด

2. ยิ่งซื้อผ้าน้อยก็ยิ่งต้องเสียเงินซื้อน้อย ซึ่งหมายความว่านี่คือความสัมพันธ์ตามสัดส่วนโดยตรง

3. ดังนั้นลูกศรอันที่สองจึงอยู่ในทิศทางเดียวกับลูกศรอันแรก)

ให้ x รูเบิลราคาผ้า 12 เมตร เราสร้างสัดส่วน (จากจุดเริ่มต้นของลูกศรไปสิ้นสุด):

15:12=1680:x

ในการหาค่าสุดโต่งที่ไม่ทราบของสัดส่วน ให้หารผลคูณของเทอมกลางด้วยเทอมค่าสุดโต่งที่ทราบของสัดส่วน:

ซึ่งหมายความว่า 12 เมตรมีราคา 1,344 รูเบิล

คำตอบ: 1,344 รูเบิล

วันนี้เราจะมาดูกันว่าปริมาณใดที่เรียกว่าสัดส่วนผกผัน กราฟสัดส่วนผกผันมีลักษณะอย่างไร และทั้งหมดนี้มีประโยชน์กับคุณอย่างไรไม่เพียงแต่ในบทเรียนคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังรวมถึงนอกโรงเรียนด้วย

สัดส่วนที่แตกต่างกันขนาดนี้

สัดส่วนบอกชื่อปริมาณสองปริมาณที่พึ่งพาซึ่งกันและกัน

การพึ่งพาสามารถเป็นได้ทั้งแบบตรงและแบบผกผัน ดังนั้น ความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณจึงถูกอธิบายด้วยสัดส่วนโดยตรงและผกผัน

สัดส่วนโดยตรง– นี่คือความสัมพันธ์ระหว่างสองปริมาณซึ่งการเพิ่มขึ้นหรือลดลงของปริมาณหนึ่งในนั้นนำไปสู่การเพิ่มขึ้นหรือลดลงของอีกปริมาณหนึ่ง เหล่านั้น. ทัศนคติของพวกเขาไม่เปลี่ยนแปลง

ตัวอย่างเช่นกว่า ความพยายามมากขึ้นความพยายามที่คุณทุ่มเทในการเตรียมสอบ ยิ่งเกรดของคุณสูงขึ้น หรือยิ่งคุณนำสิ่งของติดตัวไปด้วยในการเดินป่ามากเท่าไร กระเป๋าเป้ของคุณก็จะหนักมากขึ้นเท่านั้น เหล่านั้น. จำนวนความพยายามที่ใช้ในการเตรียมตัวสอบจะแปรผันโดยตรงกับเกรดที่ได้รับ และจำนวนสิ่งของที่บรรจุในกระเป๋าเป้นั้นแปรผันตรงกับน้ำหนักของมันโดยตรง

สัดส่วนผกผัน– นี่คือการพึ่งพาฟังก์ชันซึ่งการลดลงหรือเพิ่มขึ้นหลายครั้งในค่าอิสระ (เรียกว่าอาร์กิวเมนต์) ทำให้เกิดการเพิ่มขึ้นหรือลดลงตามสัดส่วน (เช่นจำนวนครั้งเท่ากัน) ในค่าที่ขึ้นอยู่กับ (เรียกว่า a การทำงาน).

มาอธิบายกันดีกว่า ตัวอย่างง่ายๆ. คุณต้องการซื้อแอปเปิ้ลที่ตลาด แอปเปิ้ลบนเคาน์เตอร์และจำนวนเงินในกระเป๋าสตางค์ของคุณเป็นสัดส่วนผกผัน เหล่านั้น. ยิ่งคุณซื้อแอปเปิ้ลมากเท่าไหร่ เงินก็จะเหลือน้อยลงเท่านั้น

ฟังก์ชันและกราฟของมัน

ฟังก์ชันสัดส่วนผกผันสามารถอธิบายได้ดังนี้ y = k/x. ซึ่งใน x≠ 0 และ เค≠ 0.

ฟังก์ชันนี้มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

1. โดเมนของคำจำกัดความคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมดยกเว้น x = 0. ดี(ย): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. พิสัยเป็นจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้น ย= 0. จ(ป): (-∞; 0) ยู (0; +∞) .
3. ไม่มีค่าสูงสุดหรือต่ำสุด
4. มันแปลกและกราฟของมันก็สมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด
5. ไม่ใช่เป็นระยะๆ
6. กราฟของมันไม่ตัดแกนพิกัด
7. ไม่มีศูนย์
8. ถ้า เค> 0 (เช่น อาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้น) ฟังก์ชันจะลดลงตามสัดส่วนในแต่ละช่วงเวลา ถ้า เค< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. เมื่ออาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้น ( เค> 0) ค่าลบของฟังก์ชันอยู่ในช่วงเวลา (-∞; 0) และค่าบวกอยู่ในช่วงเวลา (0; +∞) เมื่ออาร์กิวเมนต์ลดลง ( เค< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

กราฟของฟังก์ชันสัดส่วนผกผันเรียกว่าไฮเปอร์โบลา แสดงดังต่อไปนี้:

ปัญหาสัดส่วนผกผัน

เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้น เรามาดูงานต่างๆ กัน มันไม่ซับซ้อนเกินไปและการแก้มันจะช่วยให้คุณเห็นภาพว่าสัดส่วนผกผันคืออะไรและความรู้นี้จะมีประโยชน์ในชีวิตประจำวันของคุณอย่างไร

ภารกิจที่ 1 รถยนต์คันหนึ่งเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 60 กม./ชม. เขาใช้เวลา 6 ชั่วโมงก็ถึงที่หมาย จะต้องใช้เวลานานเท่าใดในการครอบคลุมระยะทางเดียวกันหากเขาเคลื่อนที่ด้วยความเร็วสองเท่า?

เราสามารถเริ่มต้นด้วยการเขียนสูตรที่อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างเวลา ระยะทาง และความเร็ว: t = S/V เห็นด้วย มันทำให้เรานึกถึงฟังก์ชันสัดส่วนผกผันเป็นอย่างมาก และบ่งชี้ว่าเวลาที่รถอยู่บนถนนและความเร็วที่รถเคลื่อนที่นั้นเป็นสัดส่วนผกผัน

เพื่อยืนยันสิ่งนี้ ให้หา V 2 ซึ่งตามเงื่อนไขจะสูงกว่า 2 เท่า: V 2 = 60 * 2 = 120 กม./ชม. จากนั้นเราคำนวณระยะทางโดยใช้สูตร S = V * t = 60 * 6 = 360 กม. ตอนนี้การหาเวลา t 2 ที่ต้องการจากเราตามเงื่อนไขของปัญหาไม่ใช่เรื่องยาก: t 2 = 360/120 = 3 ชั่วโมง

อย่างที่คุณเห็น เวลาในการเดินทางและความเร็วนั้นแปรผกผันกันจริงๆ ด้วยความเร็วที่สูงกว่าความเร็วเดิม 2 เท่า รถจะใช้เวลาอยู่บนถนนน้อยลง 2 เท่า

วิธีแก้ไขปัญหานี้สามารถเขียนเป็นสัดส่วนได้ เรามาสร้างไดอะแกรมนี้กันก่อน:

↓ 60 กม./ชม. – 6 ชม

↓120 กม./ชม. – x ส

ลูกศรบ่งบอกถึงความสัมพันธ์ตามสัดส่วนผกผัน พวกเขายังแนะนำว่าเมื่อวาดสัดส่วน จะต้องพลิกด้านขวาของบันทึก: 60/120 = x/6 เราจะได้ x = 60 * 6/120 = 3 ชั่วโมงจากไหน

ภารกิจที่ 2 เวิร์กช็อปจ้างพนักงาน 6 คนซึ่งสามารถทำงานให้เสร็จตามจำนวนที่กำหนดได้ภายใน 4 ชั่วโมง หากจำนวนคนงานลดลงครึ่งหนึ่ง คนงานที่เหลือจะใช้เวลานานแค่ไหนจึงจะทำงานให้เสร็จในจำนวนเท่าเดิม?

ให้เราเขียนเงื่อนไขของปัญหาลงในแบบฟอร์ม แผนภาพภาพ:

↓ คนงาน 6 คน – 4 ชั่วโมง

↓ 3 คน – x ชม

ลองเขียนสิ่งนี้เป็นสัดส่วน: 6/3 = x/4 และเราจะได้ x = 6 * 4/3 = 8 ชั่วโมง หากมีคนงานน้อยลง 2 เท่า คนที่เหลือจะใช้เวลาทำงานทั้งหมดเพิ่มขึ้น 2 เท่า

ภารกิจที่ 3 มีท่อสองท่อที่ทอดลงสู่สระน้ำ น้ำจะไหลผ่านท่อเดียวด้วยความเร็ว 2 ลิตร/วินาที และเต็มสระภายใน 45 นาที ผ่านท่ออีกเส้นสระจะเต็มใน 75 นาที น้ำเข้าสระผ่านท่อนี้ด้วยความเร็วเท่าใด?

ขั้นแรก ให้เราลดปริมาณทั้งหมดที่มอบให้ตามเงื่อนไขของปัญหาให้เป็นหน่วยวัดเดียวกัน โดยแสดงความเร็วในการเติมน้ำในสระเป็นลิตรต่อนาที: 2 ลิตร/วินาที = 2 * 60 = 120 ลิตร/นาที

เนื่องจากเป็นไปตามเงื่อนไขที่สระเติมช้ากว่าผ่านท่อที่ 2 ส่งผลให้อัตราการไหลของน้ำลดลง สัดส่วนจะผกผัน ให้เราแสดงความเร็วที่ไม่รู้จักผ่าน x และวาดแผนภาพต่อไปนี้:

↓ 120 ลิตร/นาที – 45 นาที

↓ x ลิตร/นาที – 75 นาที

จากนั้นเราก็สร้างสัดส่วน: 120/x = 75/45 โดยที่ x = 120 * 45/75 = 72 ลิตร/นาที

ในปัญหานี้ อัตราการเติมน้ำในสระแสดงเป็นลิตรต่อวินาที ลองลดคำตอบที่เราได้รับให้อยู่ในรูปแบบเดียวกัน: 72/60 = 1.2 ลิตร/วินาที

ภารกิจที่ 4 โรงพิมพ์ส่วนตัวขนาดเล็กจะพิมพ์นามบัตร พนักงานโรงพิมพ์ทำงานด้วยความเร็ว 42 นามบัตรต่อชั่วโมง และทำงานเต็มวัน - 8 ชั่วโมง ถ้าเขาทำงานเร็วขึ้นและพิมพ์นามบัตรได้ 48 ใบในหนึ่งชั่วโมง เขาจะกลับบ้านได้เร็วแค่ไหน?

เราปฏิบัติตามเส้นทางที่พิสูจน์แล้วและจัดทำไดอะแกรมตามเงื่อนไขของปัญหาโดยกำหนดค่าที่ต้องการเป็น x:

↓ 42 นามบัตร/ชั่วโมง – 8 ชั่วโมง

↓ นามบัตร 48 ใบ/ชม. – x ชม

เรามีความสัมพันธ์แบบแปรผกผัน: จำนวนครั้งที่พนักงานโรงพิมพ์พิมพ์นามบัตรมากขึ้นต่อชั่วโมง จำนวนครั้งที่เท่ากันคือเวลาที่น้อยกว่าที่เขาจะต้องทำงานเดิมให้เสร็จ เมื่อรู้อย่างนี้แล้ว เรามาสร้างสัดส่วนกันดีกว่า:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 ชั่วโมง

ดังนั้นเมื่อทำงานเสร็จภายใน 7 ชั่วโมง พนักงานโรงพิมพ์ก็สามารถกลับบ้านเร็วขึ้นหนึ่งชั่วโมงได้

บทสรุป

สำหรับเราดูเหมือนว่าปัญหาสัดส่วนผกผันเหล่านี้ง่ายมาก เราหวังว่าตอนนี้คุณก็คิดแบบนั้นเช่นกัน และสิ่งสำคัญคือความรู้เกี่ยวกับการพึ่งพาปริมาณตามสัดส่วนผกผันจะมีประโยชน์กับคุณมากกว่าหนึ่งครั้ง

ไม่ใช่แค่ในบทเรียนคณิตศาสตร์และการสอบเท่านั้น แต่ถึงอย่างนั้นเมื่อคุณเตรียมตัวไปเที่ยว ช้อปปิ้ง ตัดสินใจหารายได้เสริมเล็กน้อยในช่วงวันหยุด ฯลฯ

บอกเราในความคิดเห็นว่าคุณสังเกตเห็นตัวอย่างความสัมพันธ์แบบผกผันและแบบสัดส่วนตรงรอบตัวคุณอย่างไร ปล่อยให้มันเป็นเกมแบบนั้น คุณจะเห็นว่ามันน่าตื่นเต้นแค่ไหน อย่าลืมแบ่งปันบทความนี้ใน ในเครือข่ายโซเชียลเพื่อให้เพื่อนและเพื่อนร่วมชั้นของคุณสามารถเล่นได้

เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

สัดส่วนคือความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณสองปริมาณ ซึ่งการเปลี่ยนแปลงในปริมาณหนึ่งจะทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงในปริมาณอีกปริมาณหนึ่งด้วยจำนวนที่เท่ากัน

สัดส่วนอาจเป็นแบบตรงหรือแบบผกผันก็ได้ ในบทนี้เราจะดูแต่ละรายการ

สัดส่วนโดยตรง

สมมติว่ารถเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 50 กม./ชม. เราจำได้ว่าความเร็วคือระยะทางที่เดินทางต่อหน่วยเวลา (1 ชั่วโมง 1 นาที หรือ 1 วินาที) ในตัวอย่างของเรา รถกำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 50 กม./ชม. กล่าวคือ ภายในหนึ่งชั่วโมงจะครอบคลุมระยะทางห้าสิบกิโลเมตร

ให้เราแสดงในรูประยะทางที่รถยนต์เดินทางใน 1 ชั่วโมง

ปล่อยให้รถขับต่อไปอีกหนึ่งชั่วโมงด้วยความเร็วเท่าเดิมห้าสิบกิโลเมตรต่อชั่วโมง ปรากฎว่ารถจะวิ่งได้ 100 กม

ดังที่เห็นได้จากตัวอย่าง การเพิ่มเวลาเป็นสองเท่าส่งผลให้ระยะทางเดินทางเพิ่มขึ้นด้วยจำนวนที่เท่ากัน นั่นคือ สองเท่า

ปริมาณเช่นเวลาและระยะทางเรียกว่าสัดส่วนโดยตรง และความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณดังกล่าวเรียกว่า สัดส่วนโดยตรง.

สัดส่วนโดยตรงคือความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณสองปริมาณ โดยการเพิ่มขึ้นของปริมาณหนึ่งจะทำให้ปริมาณอีกปริมาณหนึ่งเพิ่มขึ้นด้วยจำนวนที่เท่ากัน

และในทางกลับกัน หากปริมาณหนึ่งลดลงตามจำนวนครั้งที่กำหนด ปริมาณอีกจำนวนหนึ่งก็จะลดลงตามจำนวนครั้งเท่ากัน

สมมติว่าแผนเดิมคือการขับรถ 100 กม. ใน 2 ชั่วโมง แต่หลังจากขับไปได้ 50 กม. คนขับก็ตัดสินใจพักผ่อน ปรากฎว่าเมื่อลดระยะทางลงครึ่งหนึ่ง เวลาก็จะลดลงด้วยจำนวนที่เท่ากัน กล่าวอีกนัยหนึ่งการลดระยะทางที่เดินทางจะทำให้เวลาลดลงด้วยจำนวนที่เท่ากัน

คุณลักษณะที่น่าสนใจของปริมาณที่เป็นสัดส่วนโดยตรงคืออัตราส่วนของพวกมันจะคงที่เสมอ นั่นคือเมื่อค่าของปริมาณตามสัดส่วนโดยตรงเปลี่ยนไป อัตราส่วนของมันยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

จากตัวอย่างที่พิจารณา ระยะทางเริ่มแรกคือ 50 กม. และเวลาคือหนึ่งชั่วโมง อัตราส่วนระยะทางต่อเวลาคือตัวเลข 50

แต่เราเพิ่มเวลาเดินทางขึ้น 2 เท่า ทำให้เท่ากับสองชั่วโมง เป็นผลให้ระยะทางที่เดินทางเพิ่มขึ้นด้วยจำนวนเท่าเดิมนั่นคือเท่ากับ 100 กม. อัตราส่วนหนึ่งร้อยกิโลเมตรต่อสองชั่วโมงเป็นตัวเลข 50 อีกครั้ง

หมายเลข 50 เรียกว่า ค่าสัมประสิทธิ์ของสัดส่วนโดยตรง. มันแสดงระยะทางการเคลื่อนไหวต่อชั่วโมง ในกรณีนี้ ค่าสัมประสิทธิ์มีบทบาทต่อความเร็วในการเคลื่อนที่ เนื่องจากความเร็วคืออัตราส่วนของระยะทางที่เดินทางต่อเวลา

สัดส่วนสามารถสร้างได้จากปริมาณที่เป็นสัดส่วนโดยตรง ตัวอย่างเช่น อัตราส่วนประกอบขึ้นเป็นสัดส่วน:

ห้าสิบกิโลเมตรเป็นหนึ่งชั่วโมง และหนึ่งร้อยกิโลเมตรเป็นสองชั่วโมง

ตัวอย่างที่ 2. ต้นทุนและปริมาณของสินค้าที่ซื้อเป็นสัดส่วนโดยตรง หากขนม 1 กิโลกรัมมีราคา 30 รูเบิล ขนมหวานชนิดเดียวกัน 2 กิโลกรัมจะมีราคา 60 รูเบิล 3 กิโลกรัม 90 รูเบิล เมื่อต้นทุนของผลิตภัณฑ์ที่ซื้อเพิ่มขึ้น ปริมาณของมันจะเพิ่มขึ้นตามจำนวนที่เท่ากัน

เนื่องจากต้นทุนของผลิตภัณฑ์และปริมาณเป็นปริมาณที่เป็นสัดส่วนโดยตรง อัตราส่วนจึงคงที่เสมอ

ลองเขียนอัตราส่วนสามสิบรูเบิลต่อหนึ่งกิโลกรัมเป็นเท่าใด

ทีนี้มาเขียนว่าอัตราส่วนหกสิบรูเบิลต่อสองกิโลกรัมเป็นเท่าใด อัตราส่วนนี้จะเท่ากับสามสิบอีกครั้ง:

ที่นี่ค่าสัมประสิทธิ์ของสัดส่วนโดยตรงคือหมายเลข 30 ค่าสัมประสิทธิ์นี้แสดงจำนวนรูเบิลต่อขนมหนึ่งกิโลกรัม ใน ในตัวอย่างนี้ค่าสัมประสิทธิ์มีบทบาทต่อราคาสินค้าหนึ่งกิโลกรัม เนื่องจากราคาคืออัตราส่วนของต้นทุนของสินค้าต่อปริมาณ

สัดส่วนผกผัน

ลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้ ระยะทางระหว่างสองเมืองคือ 80 กม. นักขี่มอเตอร์ไซค์ออกจากเมืองแรกและด้วยความเร็ว 20 กม./ชม. ก็ไปถึงเมืองที่สองใน 4 ชั่วโมง

หากความเร็วของผู้ขับขี่รถจักรยานยนต์คือ 20 กม./ชม. หมายความว่าทุกๆ ชั่วโมงเขาจะเดินทางได้ระยะทาง 20 กิโลเมตร ให้เราพรรณนาในรูประยะทางที่ผู้ขับขี่รถจักรยานยนต์เดินทางและเวลาการเคลื่อนไหวของเขา:

ขากลับคนขับมอเตอร์ไซค์มีความเร็ว 40 กม./ชม. และใช้เวลาเดินทาง 2 ชั่วโมงในเส้นทางเดียวกัน

สังเกตได้ง่ายว่าเมื่อความเร็วเปลี่ยนแปลง เวลาในการเคลื่อนที่จะเปลี่ยนไปตามปริมาณที่เท่ากัน อีกทั้งมีการเปลี่ยนแปลงใน ด้านหลัง- นั่นคือความเร็วเพิ่มขึ้น แต่เวลากลับลดลง

ปริมาณเช่นความเร็วและเวลาเรียกว่าสัดส่วนผกผัน และความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณดังกล่าวเรียกว่า สัดส่วนผกผัน.

สัดส่วนผกผันคือความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณสองปริมาณ ซึ่งการเพิ่มขึ้นของปริมาณหนึ่งจะทำให้ปริมาณอีกปริมาณหนึ่งลดลงด้วยจำนวนที่เท่ากัน

และในทางกลับกัน ถ้าปริมาณหนึ่งลดลงตามจำนวนครั้งที่กำหนด ปริมาณอีกจำนวนหนึ่งก็จะเพิ่มขึ้นตามจำนวนครั้งเท่ากัน

ตัวอย่างเช่น หากในทางกลับผู้ขับขี่รถจักรยานยนต์มีความเร็ว 10 กม./ชม. เขาจะขับได้ 80 กม. เท่าเดิมใน 8 ชั่วโมง:

ดังที่เห็นได้จากตัวอย่าง ความเร็วที่ลดลงทำให้เวลาในการเคลื่อนที่เพิ่มขึ้นในจำนวนที่เท่ากัน

ลักษณะเฉพาะของปริมาณตามสัดส่วนผกผันคือผลคูณของพวกมันคงที่เสมอ นั่นคือเมื่อค่าของปริมาณตามสัดส่วนผกผันเปลี่ยนแปลงผลคูณของมันยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

จากตัวอย่างที่พิจารณา ระยะทางระหว่างเมืองคือ 80 กม. เมื่อความเร็วและเวลาในการเคลื่อนที่ของผู้ขับขี่รถจักรยานยนต์เปลี่ยนไป ระยะห่างนี้ยังคงไม่เปลี่ยนแปลงเสมอ

นักบิดสามารถเดินทางระยะทางนี้ได้ที่ความเร็ว 20 กม./ชม. ใน 4 ชั่วโมง และด้วยความเร็ว 40 กม./ชม. ใน 2 ชั่วโมง และด้วยความเร็ว 10 กม./ชม. ใน 8 ชั่วโมง ในทุกกรณี ผลคูณของความเร็วและเวลาเท่ากับ 80 กม

คุณชอบบทเรียนหรือไม่?
เข้าร่วมกลุ่ม VKontakte ใหม่ของเราและเริ่มรับการแจ้งเตือนเกี่ยวกับบทเรียนใหม่

ในเกรด 7 และ 8 จะศึกษากราฟของสัดส่วนโดยตรง

จะสร้างกราฟสัดส่วนโดยตรงได้อย่างไร?

ลองดูกราฟสัดส่วนโดยตรงโดยใช้ตัวอย่าง

สูตรกราฟสัดส่วนตรง

กราฟสัดส่วนตรงแสดงถึงฟังก์ชัน

ใน ปริทัศน์สัดส่วนโดยตรงมีสูตร

มุมเอียงของกราฟสัดส่วนตรงสัมพันธ์กับแกน x ขึ้นอยู่กับขนาดและเครื่องหมายของสัมประสิทธิ์ของสัดส่วนโดยตรง

กราฟสัดส่วนตรงผ่านไป

กราฟสัดส่วนตรงจะผ่านจุดกำเนิด

กราฟสัดส่วนตรงเป็นเส้นตรง เส้นตรงถูกกำหนดโดยจุดสองจุด

ดังนั้น เมื่อสร้างกราฟที่มีสัดส่วนโดยตรง ก็เพียงพอที่จะกำหนดตำแหน่งของจุดสองจุดได้

แต่เรารู้หนึ่งในนั้นเสมอ - นี่คือที่มาของพิกัด

สิ่งที่เหลืออยู่คือการหาอันที่สอง ลองดูตัวอย่างการสร้างกราฟที่มีสัดส่วนโดยตรง

สัดส่วนตรงของกราฟ y = 2x

งาน .

พล็อตกราฟของสัดส่วนโดยตรงที่กำหนดโดยสูตร

สารละลาย .

มีเลขทั้งหมดอยู่ครับ

นำจำนวนใดๆ จากโดเมนของสัดส่วนโดยตรง ให้เป็น 1

ค้นหาค่าของฟังก์ชันเมื่อ x เท่ากับ 1

ย=2x=
2 * 1 = 2

นั่นคือสำหรับ x = 1 เราจะได้ y = 2 จุดที่มีพิกัดเหล่านี้เป็นของกราฟของฟังก์ชัน y = 2x

เรารู้ว่ากราฟของสัดส่วนโดยตรงเป็นเส้นตรง และเส้นตรงถูกกำหนดด้วยจุดสองจุด

สัดส่วนตรงและผกผัน

ถ้า t คือเวลาเคลื่อนที่ของคนเดินเท้า (เป็นชั่วโมง) s คือระยะทางที่เดินทางได้ (เป็นกิโลเมตร) และเขาเคลื่อนที่สม่ำเสมอด้วยความเร็ว 4 กม./ชม. ดังนั้น ความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณเหล่านี้สามารถแสดงได้ด้วยสูตร s = 4ต. เนื่องจากแต่ละค่า t สอดคล้องกับค่า s เดียว เราจึงสามารถพูดได้ว่าฟังก์ชันถูกกำหนดโดยใช้สูตร s = 4t เรียกว่าสัดส่วนตรงและมีการกำหนดไว้ดังนี้

คำนิยาม. สัดส่วนโดยตรงคือฟังก์ชันที่สามารถระบุได้โดยใช้สูตร y=kx โดยที่ k คือจำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์

ชื่อของฟังก์ชัน y = k x เกิดจากการที่ในสูตร y = k x มีตัวแปร x และ y ซึ่งสามารถเป็นค่าของปริมาณได้ และถ้าอัตราส่วนของปริมาณสองจำนวนเท่ากับจำนวนบางตัวที่แตกต่างจากศูนย์ ก็จะถูกเรียก สัดส่วนโดยตรง . ในกรณีของเรา = k (k≠0) เบอร์นี้มีชื่อว่า สัมประสิทธิ์สัดส่วน

ฟังก์ชัน y = k x เป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของสถานการณ์จริงหลายๆ สถานการณ์ที่พิจารณาแล้วในหลักสูตรคณิตศาสตร์เบื้องต้น หนึ่งในนั้นอธิบายไว้ข้างต้น อีกตัวอย่างหนึ่ง: หากแป้งหนึ่งถุงบรรจุ 2 กิโลกรัมและซื้อ x ถุงดังกล่าว มวลแป้งที่ซื้อทั้งหมด (แสดงด้วย y) ก็สามารถแสดงเป็นสูตร y = 2x ได้ เช่น ความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนถุงกับมวลรวมของแป้งที่ซื้อมาจะเป็นสัดส่วนโดยตรงกับค่าสัมประสิทธิ์ k=2

ให้เรานึกถึงคุณสมบัติบางประการของสัดส่วนโดยตรงที่เรียนในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน

1. โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน y = k x และช่วงของค่าคือเซตของจำนวนจริง

2. กราฟสัดส่วนตรงเป็นเส้นตรงที่ลากผ่านจุดกำเนิด ดังนั้นในการสร้างกราฟที่เป็นสัดส่วนโดยตรงก็เพียงพอที่จะค้นหาจุดเดียวที่เป็นของมันและไม่ตรงกับที่มาของพิกัดแล้วลากเส้นตรงผ่านจุดนี้และที่มาของพิกัด

ตัวอย่างเช่นในการสร้างกราฟของฟังก์ชัน y = 2x ก็เพียงพอแล้วที่จะมีจุดที่มีพิกัด (1, 2) จากนั้นลากเส้นตรงผ่านจุดนั้นและที่มาของพิกัด (รูปที่ 7)

3. สำหรับ k > 0 ฟังก์ชัน y = khx จะเพิ่มขึ้นตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด ที่เค< 0 - убывает на всей области определения.

4. หากฟังก์ชัน f เป็นสัดส่วนโดยตรงและ (x 1, y 1), (x 2, y 2) เป็นคู่ของค่าที่สอดคล้องกันของตัวแปร x และ y และ x 2 ≠0 แล้ว

อันที่จริงหากฟังก์ชัน f เป็นสัดส่วนโดยตรงก็สามารถกำหนดได้จากสูตร y = khx จากนั้น y 1 = kh 1, y 2 = kh 2 เนื่องจากที่ x 2 ≠0 และ k≠0 ดังนั้น y 2 ≠0 นั่นเป็นเหตุผล และนั่นหมายความว่า

หากค่าของตัวแปร x และ y เป็นจำนวนจริงบวก จากนั้นสามารถกำหนดคุณสมบัติที่พิสูจน์แล้วของสัดส่วนโดยตรงได้ดังนี้: เมื่อค่าของตัวแปร x เพิ่มขึ้น (ลดลง) หลายครั้ง ค่าที่สอดคล้องกันของตัวแปร y จะเพิ่มขึ้น (ลดลง) ด้วยจำนวนที่เท่ากัน

คุณสมบัตินี้มีอยู่ในสัดส่วนโดยตรงเท่านั้น และสามารถใช้เมื่อแก้ปัญหาคำโดยพิจารณาปริมาณตามสัดส่วนโดยตรง

ปัญหาที่ 1 ภายใน 8 ชั่วโมง ช่างกลึงผลิตชิ้นส่วนได้ 16 ชิ้น ผู้ควบคุมเครื่องกลึงจะใช้เวลากี่ชั่วโมงในการผลิตชิ้นส่วน 48 ชิ้นหากเขาทำงานด้วยประสิทธิภาพการผลิตเท่ากัน

สารละลาย. ปัญหาจะพิจารณาถึงปริมาณ - เวลาทำงานของช่างกลึง จำนวนชิ้นส่วนที่ทำโดยเขาและประสิทธิภาพการทำงาน (เช่น จำนวนชิ้นส่วนที่ทำโดยช่างกลึงใน 1 ชั่วโมง) และค่าสุดท้ายคือค่าคงที่ และอีกสองค่าใช้ ความหมายที่แตกต่างกัน. นอกจากนี้จำนวนชิ้นส่วนที่ทำและเวลาทำงานเป็นปริมาณสัดส่วนโดยตรงเนื่องจากอัตราส่วนของชิ้นส่วนจะเท่ากับจำนวนที่แน่นอนซึ่งไม่เท่ากับศูนย์คือจำนวนชิ้นส่วนที่ทำโดยช่างกลึงใน 1 ชั่วโมง ถ้าตัวเลข ของชิ้นส่วนที่ทำจะแสดงด้วยตัวอักษร y เวลาทำงานคือ x และประสิทธิภาพคือ k จากนั้นเราจะได้ = k หรือ y = khx เช่น แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของสถานการณ์ที่นำเสนอในปัญหาคือสัดส่วนโดยตรง

ปัญหาสามารถแก้ไขได้ด้วยสองวิธีทางคณิตศาสตร์:

วิธีที่ 1: วิธีที่ 2:

1) 16:8 = 2 (ลูก) 1) 48:16 = 3 (ครั้ง)

2) 48:2 = 24 (ซ) 2) 8-3 = 24 (ซ)

การแก้ปัญหาด้วยวิธีแรก ก่อนอื่นเราพบสัมประสิทธิ์ของสัดส่วน k ซึ่งเท่ากับ 2 จากนั้นเมื่อรู้ว่า y = 2x เราก็พบค่าของ x โดยมีเงื่อนไขว่า y = 48

เมื่อแก้ไขปัญหาด้วยวิธีที่สอง เราใช้คุณสมบัติของสัดส่วนโดยตรง: หลายครั้งที่จำนวนชิ้นส่วนที่ทำโดยช่างกลึงเพิ่มขึ้น ระยะเวลาในการผลิตก็จะเพิ่มขึ้นตามจำนวนที่เท่ากัน

ให้เราพิจารณาฟังก์ชันที่เรียกว่าสัดส่วนผกผันกันต่อไป

ถ้า t คือเวลาเคลื่อนที่ของคนเดินเท้า (เป็นชั่วโมง) v คือความเร็ว (เป็น กม./ชม.) และเขาเดินเป็นระยะทาง 12 กม. ดังนั้น ความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณเหล่านี้สามารถแสดงได้ด้วยสูตร v∙t = 20 หรือ v =

เนื่องจากแต่ละค่า t (t ≠ 0) สอดคล้องกับค่าความเร็วเดียว v เราจึงสามารถบอกได้ว่ามีการระบุฟังก์ชันโดยใช้สูตร v = เรียกว่าสัดส่วนผกผันและมีการกำหนดไว้ดังนี้

คำนิยาม. สัดส่วนผกผันเป็นฟังก์ชันที่สามารถระบุได้โดยใช้สูตร y = โดยที่ k คือจำนวนจริงที่ไม่เท่ากับศูนย์

ชื่อของฟังก์ชันนี้เกิดจากการที่ ย = มีตัวแปร x และ y ซึ่งสามารถเป็นค่าของปริมาณได้ และถ้าผลคูณของสองปริมาณเท่ากับจำนวนบางตัวที่แตกต่างจากศูนย์ ก็จะเรียกว่าสัดส่วนผกผัน ในกรณีของเรา xy = k(k ≠0) จำนวน k นี้เรียกว่าสัมประสิทธิ์สัดส่วน

การทำงาน ย = เป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของสถานการณ์จริงหลายอย่างที่พิจารณาแล้วในหลักสูตรคณิตศาสตร์เบื้องต้น หนึ่งในนั้นอธิบายไว้ก่อนคำจำกัดความของสัดส่วนผกผัน อีกตัวอย่างหนึ่ง: หากคุณซื้อแป้ง 12 กิโลกรัมมาใส่ในกระป๋อง l: y กิโลกรัมต่อกระป๋อง ความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณเหล่านี้จะแสดงเป็น ในรูปแบบ x-y= 12 เช่น มันเป็นสัดส่วนผกผันกับสัมประสิทธิ์ k=12

ให้เรานึกถึงคุณสมบัติบางอย่างของสัดส่วนผกผันที่รู้จัก หลักสูตรของโรงเรียนคณิตศาสตร์.

1.โดเมนของนิยามฟังก์ชัน ย = และช่วงของค่า x คือเซตของจำนวนจริงอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์

2. กราฟของสัดส่วนผกผันคือไฮเปอร์โบลา

3. สำหรับ k > 0 กิ่งของไฮเปอร์โบลาจะอยู่ในควอเตอร์ที่ 1 และ 3 และฟังก์ชัน ย = กำลังลดลงทั่วทั้งโดเมนของคำจำกัดความของ x (รูปที่ 8)

ข้าว. 8 รูปที่ 9

ที่เค< 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях и функция ย = กำลังเพิ่มขึ้นทั่วทั้งโดเมนของคำจำกัดความของ x (รูปที่ 9)

4. หากฟังก์ชัน f เป็นสัดส่วนผกผันและ (x 1, y 1), (x 2, y 2) เป็นคู่ของค่าที่สอดคล้องกันของตัวแปร x และ y ดังนั้น

อันที่จริงถ้าฟังก์ชัน f เป็นสัดส่วนผกผัน ก็จะสามารถกำหนดได้จากสูตร ย = และจากนั้น . เนื่องจาก x 1 ≠0, x 2 ≠0, x 3 ≠0 แล้ว

หากค่าของตัวแปร x และ y เป็นจำนวนจริงบวก คุณสมบัติของสัดส่วนผกผันนี้สามารถกำหนดได้ดังนี้: เมื่อค่าของตัวแปร x เพิ่มขึ้น (ลดลง) หลายครั้ง ค่าที่สอดคล้องกันของตัวแปร y ลดลง (เพิ่มขึ้น) ด้วยจำนวนที่เท่ากัน

คุณสมบัตินี้มีอยู่ในสัดส่วนผกผันเท่านั้น และสามารถใช้เมื่อแก้ปัญหาคำโดยพิจารณาปริมาณตามสัดส่วนผกผัน

ปัญหาที่ 2 นักปั่นจักรยานที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 10 กม./ชม. พิชิตระยะทางจาก A ถึง B ได้ภายใน 6 ชั่วโมง หากเดินทางกลับด้วยความเร็ว 20 กม./ชม. นักปั่นจักรยานจะใช้เวลาเท่าไรในการเดินทางกลับ?

สารละลาย. ปัญหาจะพิจารณาปริมาณต่อไปนี้: ความเร็วของนักปั่นจักรยาน เวลาที่เคลื่อนที่และระยะทางจาก A ถึง B ปริมาณสุดท้ายเป็นค่าคงที่ ในขณะที่อีกสองค่าที่เหลือใช้ค่าที่แตกต่างกัน นอกจากนี้ ความเร็วและเวลาในการเคลื่อนที่ยังเป็นปริมาณแปรผกผัน เนื่องจากผลคูณของพวกมันเท่ากับจำนวนที่กำหนด ซึ่งก็คือระยะทางที่เดินทาง หากเวลาการเคลื่อนที่ของนักปั่นแสดงด้วยตัวอักษร y ความเร็วของ x และระยะทาง AB ด้วย k เราจะได้ xy = k หรือ y = นั่นคือ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของสถานการณ์ที่นำเสนอในปัญหาคือสัดส่วนผกผัน

มีสองวิธีในการแก้ปัญหา:

วิธีที่ 1: วิธีที่ 2:

1) 10-6 = 60 (กม.) 1) 20:10 = 2 (เท่า)

2) 60:20 = 3(4) 2) 6:2 = 3(ซ)

การแก้ปัญหาด้วยวิธีแรก ก่อนอื่นเราพบสัมประสิทธิ์ของสัดส่วน k ซึ่งเท่ากับ 60 จากนั้นเมื่อรู้ว่า y = เราก็พบค่าของ y โดยมีเงื่อนไขว่า x = 20

เมื่อแก้ไขปัญหาด้วยวิธีที่สอง เราใช้คุณสมบัติของสัดส่วนผกผัน: จำนวนครั้งที่ความเร็วของการเคลื่อนที่เพิ่มขึ้น เวลาในการครอบคลุมระยะทางเดียวกันจะลดลงตามจำนวนเดียวกัน

โปรดทราบว่าเมื่อแก้ไขปัญหาเฉพาะด้วยปริมาณที่เป็นสัดส่วนผกผันหรือเป็นสัดส่วนโดยตรง จะมีการกำหนดข้อจำกัดบางประการสำหรับ x และ y โดยเฉพาะอย่างยิ่ง พิจารณาไม่ได้กับชุดจำนวนจริงทั้งชุด แต่พิจารณาชุดย่อยด้วย

ปัญหาที่ 3 ลีนาซื้อดินสอ x แท่ง และคัทย่าซื้อเพิ่มอีก 2 เท่า แทนจำนวนดินสอที่คัทย่าซื้อด้วย y แสดง y ด้วย x และสร้างกราฟของความสอดคล้องที่กำหนดโดยมีเงื่อนไขว่า x≤5 การติดต่อนี้เป็นฟังก์ชันหรือไม่? ขอบเขตของคำจำกัดความและช่วงของค่าคืออะไร?

สารละลาย. คัทย่าซื้อ = ดินสอ 2 แท่ง เมื่อพล็อตฟังก์ชัน y=2x จำเป็นต้องคำนึงว่าตัวแปร x หมายถึงจำนวนดินสอและ x≤5 ซึ่งหมายความว่าสามารถรับได้เฉพาะค่า 0, 1, 2, 3, 4, 5. นี่จะเป็นโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันนี้ เพื่อให้ได้ช่วงของค่าของฟังก์ชันนี้ คุณต้องคูณค่า x แต่ละค่าจากช่วงคำจำกัดความด้วย 2 นั่นคือ นี่จะเป็นเซต (0, 2, 4, 6, 8, 10) ดังนั้นกราฟของฟังก์ชัน y = 2x ที่มีโดเมนคำจำกัดความ (0, 1, 2, 3, 4, 5) จะเป็นเซตของจุดที่แสดงในรูปที่ 10 จุดทั้งหมดเหล่านี้เป็นของเส้นตรง y = 2x .