ปริซึมพร้อมฐาน พื้นที่ฐานปริซึม: จากสามเหลี่ยมถึงเหลี่ยม

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:

• เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่ของคุณ อีเมลฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณเพื่อรับข้อเสนอ โปรโมชั่น และกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้น
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
• เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การดำเนินการตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• หากจำเป็น - ตามกฎหมาย ขั้นตอนการพิจารณาคดี ในการดำเนินการทางกฎหมาย และ/หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจากหน่วยงานของรัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - ให้เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงการบริหารจัดการ ทางเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

รูปทรงหลายเหลี่ยม

วัตถุประสงค์หลักของการศึกษา Stereometry คือวัตถุเชิงพื้นที่ ร่างกายหมายถึงส่วนหนึ่งของพื้นที่ที่ถูกจำกัดด้วยพื้นผิวบางอย่าง

รูปทรงหลายเหลี่ยมคือวัตถุที่มีพื้นผิวประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมแบนจำนวนจำกัด รูปทรงหลายเหลี่ยมจะเรียกว่านูนหากมันอยู่บนด้านหนึ่งของระนาบของรูปหลายเหลี่ยมระนาบทุกอันบนพื้นผิว ส่วนทั่วไปของระนาบดังกล่าวและพื้นผิวของรูปทรงหลายเหลี่ยมเรียกว่า ขอบ. ใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนเป็นรูปหลายเหลี่ยมนูนแบน ด้านข้างของใบหน้าเรียกว่า ขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยมและจุดยอดคือ จุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยม.

ตัวอย่างเช่น ลูกบาศก์ประกอบด้วยสี่เหลี่ยมจตุรัสหกอันซึ่งเป็นหน้าของมัน ประกอบด้วยขอบ 12 อัน (ด้านข้างของสี่เหลี่ยม) และ 8 จุดยอด (ด้านบนของสี่เหลี่ยม)

รูปทรงหลายเหลี่ยมที่ง่ายที่สุดคือปริซึมและปิรามิดซึ่งเราจะศึกษาเพิ่มเติม

ปริซึม

ความหมายและคุณสมบัติของปริซึม

ปริซึมคือรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมแบนสองรูปที่วางอยู่ในระนาบขนานกันรวมกันด้วยการแปลแบบขนาน และทุกส่วนเชื่อมต่อจุดที่สอดคล้องกันของรูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้ รูปหลายเหลี่ยมเรียกว่า ฐานปริซึมและส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดที่สอดคล้องกันของรูปหลายเหลี่ยมคือ ขอบด้านข้างของปริซึม.

ความสูงของปริซึมเรียกว่าระยะห่างระหว่างระนาบของฐาน () ส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดสองจุดของปริซึมที่ไม่อยู่ในหน้าเดียวกันเรียกว่าส่วนที่เชื่อมต่อกัน ปริซึมในแนวทแยง() เรียกว่าปริซึม n-คาร์บอนถ้าฐานมี n-gon

ปริซึมใดๆ มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้ ซึ่งเป็นผลมาจากการที่ฐานของปริซึมถูกรวมเข้าด้วยกันโดยการแปลแบบขนาน:

1. ฐานของปริซึมเท่ากัน

2. ขอบด้านข้างของปริซึมขนานและเท่ากัน

พื้นผิวของปริซึมประกอบด้วยฐานและ พื้นผิวด้านข้าง. พื้นผิวด้านข้างของปริซึมประกอบด้วยสี่เหลี่ยมด้านขนาน (ตามมาจากคุณสมบัติของปริซึม) พื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึมคือผลรวมของพื้นที่ผิวด้านข้าง

ปริซึมตรง

เรียกว่าปริซึม ตรงถ้าขอบด้านข้างตั้งฉากกับฐาน มิฉะนั้นจะเรียกว่าปริซึม โน้มเอียง.

ใบหน้าของปริซึมด้านขวาเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ความสูงของปริซึมตรงเท่ากับหน้าด้านข้าง

พื้นผิวปริซึมเต็มเรียกว่าผลรวมของพื้นที่ผิวข้างและพื้นที่ฐาน

ด้วยปริซึมที่ถูกต้องเรียกว่าปริซึมตรงด้วย รูปหลายเหลี่ยมปกติที่ฐาน

ทฤษฎีบท 13.1. พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปริซึมตรงเท่ากับผลคูณของเส้นรอบวงและความสูงของปริซึม (หรือซึ่งเท่ากันโดยขอบด้านข้าง)

การพิสูจน์. ใบหน้าด้านข้างของปริซึมด้านขวาคือสี่เหลี่ยม โดยมีฐานเป็นด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยมที่ฐานของปริซึม และความสูงคือขอบด้านข้างของปริซึม ตามคำนิยาม พื้นที่ผิวด้านข้างคือ:

,

เส้นรอบวงฐานของปริซึมตรงอยู่ที่ไหน

ขนานกัน

ถ้ารูปสี่เหลี่ยมด้านขนานวางอยู่ที่ฐานของปริซึม ก็จะเรียกว่ารูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ขนานกัน. ใบหน้าของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานทั้งหมดเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ในกรณีนี้ ใบหน้าด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจะขนานและเท่ากัน

ทฤษฎีบท 13.2. เส้นทแยงมุมของจุดตัดขนานที่จุดหนึ่งและแบ่งครึ่งด้วยจุดตัด

การพิสูจน์. พิจารณาเส้นทแยงมุมสองเส้นตามอำเภอใจ ตัวอย่างเช่น และ เพราะ ใบหน้าของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้นเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน จากนั้น และ ซึ่งหมายความว่าตาม ถึง มีเส้นตรงสองเส้นขนานกับเส้นที่สาม นอกจากนี้ยังหมายถึงเส้นตรงและนอนอยู่ในระนาบเดียวกัน (ระนาบ) ระนาบนี้ตัดระนาบขนานและตามเส้นขนานและ ดังนั้น รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจึงเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน และด้วยคุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เส้นทแยงมุมของมันจะตัดกันและถูกแบ่งครึ่งด้วยจุดตัด ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานขวาซึ่งมีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเรียกว่า เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนานกัน. ใบหน้าของสี่เหลี่ยมด้านขนานทุกด้านเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ความยาวของขอบที่ไม่ขนานกันของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเรียกว่ามิติเชิงเส้น (มิติ) มีสามขนาดดังกล่าว (กว้าง สูง ยาว)

ทฤษฎีบท 13.3. ในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านขนาน กำลังสองของเส้นทแยงมุมใดๆ จะเท่ากับผลรวมของกำลังสองในสามมิติ (พิสูจน์โดยทา Pythagorean T สองครั้ง)

เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนานกันซึ่งมีขอบเท่ากันทุกด้าน เรียกว่า ลูกบาศก์.

งาน

13.1 มีเส้นทแยงมุมกี่เส้น? n-ปริซึมคาร์บอน

13.2 ในปริซึมสามเหลี่ยมเอียง ระยะห่างระหว่างขอบข้างคือ 37, 13 และ 40 จงหาระยะห่างระหว่างขอบด้านที่ใหญ่กว่ากับขอบด้านตรงข้าม

13.3 ระนาบถูกลากผ่านด้านข้างของฐานล่างของปริซึมสามเหลี่ยมปกติ โดยตัดหน้าด้านข้างตามส่วนต่างๆ ด้วยมุมระหว่างปริซึมเหล่านั้น จงหามุมเอียงของระนาบนี้ถึงฐานของปริซึม

ปริซึม. ขนานกัน

ปริซึมคือรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีใบหน้าสองหน้ามี n-gons เท่ากัน (ฐาน) นอนอยู่ในระนาบขนาน และใบหน้าที่เหลืออีก n หน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน (หน้าด้านข้าง) . ซี่โครงด้านข้าง ด้านของปริซึมที่ไม่อยู่ในฐานเรียกว่าด้านของปริซึม

ปริซึมที่มีขอบด้านข้างตั้งฉากกับระนาบของฐานเรียกว่าปริซึม ตรง ปริซึม (รูปที่ 1) ถ้าขอบด้านข้างไม่ตั้งฉากกับระนาบของฐาน ปริซึมจะถูกเรียก โน้มเอียง . ถูกต้อง ปริซึมคือปริซึมตรงที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ

ความสูงปริซึมคือระยะห่างระหว่างระนาบของฐาน เส้นทแยงมุม ปริซึมคือส่วนที่เชื่อมระหว่างจุดยอดสองจุดซึ่งไม่อยู่ในด้านเดียวกัน ส่วนแนวทแยง เรียกว่าส่วนของปริซึมโดยระนาบที่ผ่านขอบด้านข้างทั้งสองซึ่งไม่อยู่ในหน้าเดียวกัน ส่วนตั้งฉาก หน้าตัดของปริซึมเรียกว่าระนาบที่ตั้งฉากกับ ซี่โครงด้านข้างปริซึม

พื้นที่ผิวด้านข้าง ของปริซึมคือผลรวมของพื้นที่ของหน้าด้านข้างทั้งหมด พื้นที่ เต็มพื้นผิว เรียกว่า ผลรวมของพื้นที่หน้าทั้งหมดของปริซึม (ได้แก่ ผลรวมของพื้นที่หน้าข้างและพื้นที่ฐาน)

สำหรับปริซึมตามอำเภอใจ สูตรต่อไปนี้จะเป็นจริง::

ที่ไหน ล– ความยาวของซี่โครงด้านข้าง

ชม- ความสูง;

ป

ถาม

ด้านเอส

สเต็มเลย

ฐานเอส– พื้นที่ฐาน;

วี– ปริมาตรของปริซึม

สำหรับปริซึมตรง สูตรต่อไปนี้ถูกต้อง:

ที่ไหน พี– เส้นรอบฐานฐาน

ล– ความยาวของซี่โครงด้านข้าง

ชม- ความสูง.

ขนานกันเรียกว่าปริซึมซึ่งมีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ขนานที่มีขอบด้านข้างตั้งฉากกับฐานเรียกว่า โดยตรง (รูปที่ 2) หากขอบด้านข้างไม่ตั้งฉากกับฐานแสดงว่าขนานกัน โน้มเอียง . รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานขวาซึ่งมีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเรียกว่า สี่เหลี่ยม เรียกว่าสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีขอบเท่ากันทุกด้าน ลูกบาศก์

ใบหน้าของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ไม่มีจุดยอดร่วมกันเรียกว่า ตรงข้าม . ความยาวของขอบที่เล็ดลอดออกมาจากจุดยอดหนึ่งเรียกว่า การวัด ขนานกัน เนื่องจากรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้นเป็นปริซึม องค์ประกอบหลักของมันจึงถูกกำหนดในลักษณะเดียวกับที่นิยามไว้สำหรับปริซึม

ทฤษฎีบท

1. เส้นทแยงมุมของเส้นขนานที่ตัดกันที่จุดหนึ่งแล้วแบ่งออกเป็นสองส่วน

2. ในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านขนาน กำลังสองของความยาวของเส้นทแยงมุมจะเท่ากับผลรวมของกำลังสองในสามมิติ:

3. เส้นทแยงมุมทั้งสี่เส้นของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะมีขนาดเท่ากัน

สำหรับเส้นขนานโดยพลการ สูตรต่อไปนี้ใช้ได้:

ที่ไหน ล– ความยาวของซี่โครงด้านข้าง

ชม- ความสูง;

ป– เส้นรอบวงของส่วนตั้งฉาก

ถาม– พื้นที่หน้าตัดตั้งฉาก

ด้านเอส– พื้นที่ผิวด้านข้าง

สเต็มเลย– พื้นที่ผิวทั้งหมด

ฐานเอส– พื้นที่ฐาน;

วี– ปริมาตรของปริซึม

สำหรับเส้นขนานที่ถูกต้อง สูตรต่อไปนี้ถูกต้อง:

ที่ไหน พี– เส้นรอบฐานฐาน

ล– ความยาวของซี่โครงด้านข้าง

ชม– ความสูงของเส้นขนานด้านขวา

สำหรับรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน สูตรต่อไปนี้ถูกต้อง:

(3)

ที่ไหน พี– เส้นรอบฐานฐาน

ชม- ความสูง;

ง– เส้นทแยงมุม;

ก,ข,ค– การวัดเส้นขนาน

สูตรต่อไปนี้ถูกต้องสำหรับคิวบ์:

ที่ไหน ก– ความยาวซี่โครง;

ง- เส้นทแยงมุมของลูกบาศก์

ตัวอย่างที่ 1เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ 33 dm และขนาดของมันอยู่ในอัตราส่วน 2: 6: 9 ค้นหาขนาดของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

สารละลาย.ในการค้นหาขนาดของเส้นขนานเราใช้สูตร (3) เช่น โดยข้อเท็จจริงที่ว่ากำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากของทรงลูกบาศก์เท่ากับผลรวมของกำลังสองของมิติของมัน ให้เราแสดงโดย เคปัจจัยสัดส่วน จากนั้นขนาดของเส้นขนานจะเท่ากับ 2 เค, 6เคและ 9 เค. ให้เราเขียนสูตร (3) สำหรับข้อมูลที่เป็นปัญหา:

การแก้สมการนี้เพื่อ เค, เราได้รับ:

ซึ่งหมายความว่าขนาดของเส้นขนานคือ 6 dm, 18 dm และ 27 dm

คำตอบ: 6 นาที 18 นาที 27 นาที

ตัวอย่างที่ 2จงหาปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมมุมเอียง ซึ่งมีฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีด้านยาว 8 ซม. ถ้าขอบด้านข้างเท่ากับด้านข้างของฐานและเอียงเป็นมุม 60 องศากับฐาน

สารละลาย . มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 3)

เพื่อที่จะหาปริมาตรของปริซึมที่มีความเอียง คุณจำเป็นต้องรู้พื้นที่ฐานและความสูงของปริซึมนั้น พื้นที่ฐานของปริซึมนี้คือพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีด้านยาว 8 ซม. ลองคำนวณดู:

ความสูงของปริซึมคือระยะห่างระหว่างฐาน จากด้านบน ก 1 ของฐานบน ลดตั้งฉากกับระนาบของฐานล่าง ก 1 ดี. ความยาวจะเป็นความสูงของปริซึม พิจารณา D ก 1 ค.ศ: เนื่องจากนี่คือมุมเอียงของขอบด้านข้าง ก 1 กไปยังระนาบฐาน ก 1 ก= 8 ซม. จากสามเหลี่ยมนี้เราพบ ก 1 ดี:

ตอนนี้เราคำนวณปริมาตรโดยใช้สูตร (1):

คำตอบ: 192 ซม.3.

ตัวอย่างที่ 3ขอบด้านข้างของปริซึมหกเหลี่ยมปกติคือ 14 ซม. พื้นที่ของส่วนเส้นทแยงมุมที่ใหญ่ที่สุดคือ 168 ซม. 2 หาพื้นที่ผิวรวมของปริซึม

สารละลาย.มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 4)

ส่วนเส้นทแยงมุมที่ใหญ่ที่สุดคือสี่เหลี่ยมผืนผ้า เอเอ 1 วว 1 ตั้งแต่เส้นทแยงมุม ค.ศหกเหลี่ยมปกติ เอบีซีดีเอฟมีขนาดใหญ่ที่สุด ในการคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึมจำเป็นต้องทราบด้านข้างของฐานและความยาวของขอบด้านข้าง

เมื่อทราบพื้นที่ของส่วนทแยง (สี่เหลี่ยม) เราจะพบเส้นทแยงมุมของฐาน

ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา

ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา เอบี= 6 ซม.

จากนั้นเส้นรอบวงของฐานคือ:

ให้เราหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึม:

พื้นที่ของรูปหกเหลี่ยมปกติด้าน 6 ซม. คือ:

ค้นหาพื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึม:

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 4ฐานของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนด้านขวาเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน พื้นที่หน้าตัดในแนวทแยงคือ 300 ตารางเซนติเมตร และ 875 ตารางเซนติเมตร ค้นหาพื้นที่ผิวด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

สารละลาย.มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 5)

ให้เราแสดงด้านของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนด้วย กเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ง 1 และ ง 2 ความสูงขนาน ชม.. ในการหาพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานด้านขวา จำเป็นต้องคูณเส้นรอบวงของฐานด้วยความสูง: (สูตร (2)) เส้นรอบฐานฐาน p = AB + BC + ซีดี + DA = 4AB = 4a, เพราะ เอบีซีดี- รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน เอช = เอเอ 1 = ชม.. ที่. จำเป็นต้องค้นหา กและ ชม..

ลองพิจารณาดู ส่วนในแนวทแยง. เอเอ 1 เอสเอส 1 – สี่เหลี่ยมผืนผ้า ด้านหนึ่งเป็นเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน เครื่องปรับอากาศ = ง 1, ที่สอง – ขอบด้าน เอเอ 1 = ชม., แล้ว

ในทำนองเดียวกันสำหรับส่วน BB 1 วว 1 เราได้รับ:

การใช้คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนานโดยที่ผลรวมของกำลังสองของเส้นทแยงมุมเท่ากับผลรวมของกำลังสองของทุกด้าน เราจะได้ค่าความเท่าเทียมกันที่เราได้รับดังต่อไปนี้

ปริซึมที่แตกต่างกันจะแตกต่างกัน ในขณะเดียวกันก็มีอะไรที่เหมือนกันหลายอย่าง หากต้องการหาพื้นที่ฐานของปริซึมคุณจะต้องเข้าใจว่าปริซึมนั้นมีประเภทใด

ทฤษฎีทั่วไป

ปริซึมคือรูปทรงหลายเหลี่ยมใดๆ ที่ด้านข้างมีรูปร่างเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ยิ่งไปกว่านั้นฐานของมันสามารถเป็นรูปหลายเหลี่ยมใดก็ได้ตั้งแต่รูปสามเหลี่ยมไปจนถึงรูป n-gon ยิ่งไปกว่านั้น ฐานของปริซึมจะเท่ากันเสมอ สิ่งที่ใช้ไม่ได้กับใบหน้าด้านข้างคือขนาดอาจแตกต่างกันอย่างมาก

เมื่อแก้ไขปัญหาไม่เพียงแต่จะพบพื้นที่ฐานปริซึมเท่านั้น อาจต้องอาศัยความรู้พื้นผิวด้านข้าง กล่าวคือ ใบหน้าทั้งหมดที่ไม่ใช่ฐาน พื้นผิวที่สมบูรณ์จะเป็นการรวมกันของใบหน้าทั้งหมดที่ประกอบกันเป็นปริซึม

บางครั้งปัญหาก็เกี่ยวข้องกับความสูง มันตั้งฉากกับฐาน เส้นทแยงมุมของรูปทรงหลายเหลี่ยมคือส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดสองจุดใดๆ ที่ไม่อยู่ในหน้าเดียวกันเป็นคู่กัน

ควรสังเกตว่าพื้นที่ฐานของปริซึมตรงหรือเอียงไม่ได้ขึ้นอยู่กับมุมระหว่างปริซึมกับใบหน้าด้านข้าง หากพวกมันมีรูปร่างเหมือนกันทั้งด้านบนและด้านล่าง พื้นที่ของพวกมันก็จะเท่ากัน

ปริซึมสามเหลี่ยม

ที่ฐานจะมีจุดยอดสามจุดคือรูปสามเหลี่ยม อย่างที่คุณทราบมันอาจจะแตกต่างออกไป ถ้าเป็นเช่นนั้น ก็เพียงพอที่จะจำไว้ว่าพื้นที่ของมันถูกกำหนดโดยครึ่งหนึ่งของผลคูณของขา

สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์มีลักษณะดังนี้: S = ½ av

เพื่อหาพื้นที่ฐานใน ปริทัศน์สูตรจะมีประโยชน์: นกกระสาและสูตรที่ดึงด้านครึ่งหนึ่งขึ้นไปตามความสูงที่ดึงมา

ควรเขียนสูตรแรกดังนี้: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)) สัญกรณ์นี้ประกอบด้วยกึ่งเส้นรอบรูป (p) นั่นคือผลรวมของด้านทั้งสามหารด้วยสอง

ประการที่สอง: S = ½ n a * a

หากคุณต้องการหาพื้นที่ฐานของปริซึมสามเหลี่ยมซึ่งเป็นปริซึมสม่ำเสมอ สามเหลี่ยมนั้นจะกลายเป็นด้านเท่ากันหมด มีสูตรดังนี้: S = ¼ a 2 * √3

ปริซึมสี่เหลี่ยม

ฐานของมันคือจตุรัสใดๆ ที่รู้จัก อาจเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือสี่เหลี่ยมจัตุรัส สี่เหลี่ยมด้านขนานหรือสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนก็ได้ ในแต่ละกรณีในการคำนวณพื้นที่ฐานของปริซึม คุณจะต้องมีสูตรของคุณเอง

หากฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า พื้นที่จะถูกกำหนดดังนี้ S = ab โดยที่ a, b คือด้านของสี่เหลี่ยม

เมื่อพูดถึงปริซึมสี่เหลี่ยมจัตุรัส พื้นที่ฐาน ปริซึมที่ถูกต้องคำนวณโดยใช้สูตรสี่เหลี่ยมจัตุรัส เพราะเขาคือผู้ที่นอนอยู่ที่รากฐาน ส = ก 2

ในกรณีที่ฐานเป็นรูปขนาน จะต้องมีความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: S = a * n a มันเกิดขึ้นที่ด้านของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานและมุมใดมุมหนึ่งได้รับมา จากนั้น ในการคำนวณความสูง คุณจะต้องใช้สูตรเพิ่มเติม: n a = b * sin A ยิ่งไปกว่านั้น มุม A อยู่ติดกับด้าน "b" และความสูง n อยู่ตรงข้ามกับมุมนี้

หากมีรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนอยู่ที่ฐานของปริซึม คุณจะต้องใช้สูตรเดียวกันกับรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานในการกำหนดพื้นที่ (เนื่องจากเป็นกรณีพิเศษ) แต่คุณสามารถใช้สิ่งนี้ได้: S = ½ d 1 d 2 โดยที่ d 1 และ d 2 คือเส้นทแยงมุมสองเส้นของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

ปริซึมห้าเหลี่ยมปกติ

กรณีนี้เกี่ยวข้องกับการแบ่งรูปหลายเหลี่ยมออกเป็นรูปสามเหลี่ยม ซึ่งเป็นบริเวณที่หาได้ง่ายกว่า แม้ว่ามันจะเกิดขึ้นที่ตัวเลขสามารถมีจำนวนจุดยอดที่แตกต่างกันได้

เนื่องจากฐานของปริซึมเป็นรูปห้าเหลี่ยมปกติ จึงสามารถแบ่งรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าได้ห้ารูป จากนั้นพื้นที่ฐานของปริซึมจะเท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยมดังกล่าวหนึ่งอัน (ดูสูตรด้านบน) คูณด้วย 5

ปริซึมหกเหลี่ยมปกติ

การใช้หลักการที่อธิบายไว้สำหรับปริซึมห้าเหลี่ยม ทำให้สามารถแบ่งรูปหกเหลี่ยมของฐานออกเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าได้ 6 รูป สูตรสำหรับพื้นที่ฐานของปริซึมนั้นคล้ายกับสูตรก่อนหน้า ควรคูณด้วยหกเท่านั้น

สูตรจะมีลักษณะดังนี้: S = 3/2 a 2 * √3

งาน

ลำดับที่ 1 เมื่อพิจารณาจากเส้นตรงปกติ เส้นทแยงมุมของมันคือ 22 ซม. ความสูงของรูปทรงหลายเหลี่ยมคือ 14 ซม. คำนวณพื้นที่ฐานของปริซึมและพื้นผิวทั้งหมด

สารละลาย.ฐานของปริซึมเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส แต่ไม่ทราบด้านข้าง คุณสามารถหาค่าได้จากเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัส (x) ซึ่งสัมพันธ์กับเส้นทแยงมุมของปริซึม (d) และความสูง (h) x 2 = ง 2 - n 2 ในทางกลับกัน ส่วน “x” นี้ก็คือด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมซึ่งมีขาเท่ากับด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัส นั่นคือ x 2 = a 2 + a 2 ปรากฎว่า a 2 = (d 2 - n 2)/2

แทนที่ตัวเลข 22 แทน d และแทนที่ "n" ด้วยค่าของมัน - 14 ปรากฎว่าด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ 12 ซม. ตอนนี้แค่หาพื้นที่ของฐาน: 12 * 12 = 144 ซม. 2.

หากต้องการทราบพื้นที่ของพื้นผิวทั้งหมด คุณต้องเพิ่มพื้นที่ฐานสองเท่าและเพิ่มพื้นที่ด้านข้างเป็นสี่เท่า อย่างหลังสามารถพบได้ง่ายโดยใช้สูตรสำหรับสี่เหลี่ยมผืนผ้า: คูณความสูงของรูปทรงหลายเหลี่ยมและด้านข้างของฐาน นั่นคือ 14 และ 12 ตัวเลขนี้จะเท่ากับ 168 ซม. 2 พื้นที่ทั้งหมดพื้นผิวของปริซึมกลายเป็น 960 ซม. 2

คำตอบ.พื้นที่ฐานปริซึม 144 ซม. 2 พื้นผิวทั้งหมดคือ 960 ซม. 2

ลำดับที่ 2. ให้ไว้ที่ฐานมีรูปสามเหลี่ยมด้านหนึ่งยาว 6 ซม. ในกรณีนี้เส้นทแยงมุมของหน้าด้านข้างคือ 10 ซม. ให้คำนวณพื้นที่: ฐานและพื้นผิวด้านข้าง

สารละลาย.เนื่องจากปริซึมเป็นแบบปกติ ฐานจึงเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า ดังนั้น พื้นที่ของมันจะเท่ากับ 6 กำลังสอง คูณด้วย ¼ และรากที่สองของ 3 การคำนวณอย่างง่ายนำไปสู่ผลลัพธ์: 9√3 ซม. 2 นี่คือพื้นที่ฐานหนึ่งของปริซึม

ใบหน้าด้านข้างทั้งหมดเหมือนกันและเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านขนาด 6 และ 10 ซม. หากต้องการคำนวณพื้นที่ ให้คูณตัวเลขเหล่านี้ แล้วคูณด้วยสาม เพราะปริซึมมีด้านหลายด้านพอดี จากนั้นพื้นที่ผิวด้านข้างของแผลจะเท่ากับ 180 ซม. 2

คำตอบ.พื้นที่: ฐาน - 9√3 ซม. 2, พื้นผิวด้านข้างของปริซึม - 180 ซม. 2

คำนิยาม. ปริซึมเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยม ซึ่งจุดยอดทั้งหมดอยู่ในระนาบขนานกันสองระนาบ และในระนาบเดียวกันทั้งสองนี้วางหน้าสองหน้าของปริซึม ซึ่งก็คือ รูปหลายเหลี่ยมที่เท่ากันและมีด้านที่ขนานกันตามลำดับ และขอบทั้งหมดที่ไม่อยู่ในระนาบเหล่านี้จะขนานกัน

เรียกว่ามีหน้าเท่ากันสองหน้า ฐานปริซึม(เอบีซี ก 1 บี 1 ซี 1 ง 1 อี 1).

เรียกว่าหน้าอื่นๆ ของปริซึม ใบหน้าด้านข้าง(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A)

ใบหน้าด้านข้างทั้งหมดเกิดขึ้น พื้นผิวด้านข้างปริซึม .

ใบหน้าด้านข้างของปริซึมทั้งหมดเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน .

ขอบที่ไม่อยู่ที่ฐานเรียกว่าขอบด้านข้างของปริซึม ( เอเอ 1, บีบี 1, ซีซี 1, ดีดี 1, อีอี 1).

ปริซึมในแนวทแยง คือ ส่วนที่มีปลายเป็นยอดปริซึม 2 จุดซึ่งไม่ได้อยู่หน้าเดียวกัน (ค.ศ. 1)

ความยาวของส่วนที่ต่อฐานของปริซึมและตั้งฉากกับฐานทั้งสองพร้อมกัน เรียกว่า ความสูงของปริซึม .

การกำหนด:ABCDE ก 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (ขั้นแรกในลำดับการเคลื่อนที่ จุดยอดของฐานหนึ่งจะถูกระบุ และจากนั้นในลำดับเดียวกัน จุดยอดของอีกฐานหนึ่ง ปลายของขอบแต่ละด้านถูกกำหนดด้วยตัวอักษรเดียวกัน กำหนดเฉพาะจุดยอดที่อยู่ในฐานเดียวเท่านั้นที่กำหนด ด้วยตัวอักษรที่ไม่มีดัชนีและอีกอัน - มีดัชนี)

ชื่อของปริซึมสัมพันธ์กับจำนวนมุมในรูปที่วางอยู่ที่ฐาน เช่น รูปที่ 1 มีรูปห้าเหลี่ยมอยู่ที่ฐาน จึงเรียกว่าปริซึม ปริซึมห้าเหลี่ยม. แต่เพราะว่า ปริซึมดังกล่าวมี 7 หน้าแล้วนั่นเอง เฮปตาเฮดรอน(2 หน้า - ฐานของปริซึม, 5 หน้า - สี่เหลี่ยมด้านขนาน - หน้าด้านข้าง)

ในบรรดาปริซึมตรงนั้นมีความโดดเด่น มุมมองส่วนตัว: ปริซึมที่ถูกต้อง

เรียกว่าปริซึมตรง ถูกต้อง,ถ้าฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ

ปริซึมปกติจะมีด้านข้างทุกด้านมีสี่เหลี่ยมเท่ากัน กรณีพิเศษของปริซึมคือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ขนานกัน

ขนานกันคือปริซึมรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ซึ่งมีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน (ด้านลาดเอียงด้านขนาน) ขนานกันทางขวา- รูปขนานที่มีขอบด้านข้างตั้งฉากกับระนาบของฐาน

เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนานกัน- รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

คุณสมบัติและทฤษฎีบท:

คุณสมบัติบางประการของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้นคล้ายคลึงกับคุณสมบัติที่ทราบของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เรียกว่า รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีขนาดเท่ากัน เรียกว่า ลูกบาศก์ หน้าทั้งหมดของลูกบาศก์มีสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากัน สี่เหลี่ยมจัตุรัสของเส้นทแยงมุมเท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสในสามมิติ

,

โดยที่ d คือเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัส
a คือด้านข้างของสี่เหลี่ยม

แนวคิดของปริซึมได้รับจาก:

• โครงสร้างทางสถาปัตยกรรมต่างๆ
• ของเล่นเด็ก;
• กล่องบรรจุภัณฑ์
• สินค้าของนักออกแบบ ฯลฯ

พื้นที่ผิวรวมและด้านข้างของปริซึม

พื้นที่ผิวรวมของปริซึมคือผลรวมของพื้นที่หน้าทั้งหมด พื้นที่ผิวด้านข้างเรียกว่าผลรวมของพื้นที่หน้าด้านข้าง ฐานของปริซึมเป็นรูปหลายเหลี่ยมเท่ากัน จากนั้นพื้นที่จะเท่ากัน นั่นเป็นเหตุผล

S เต็ม = ฝั่ง S + 2S หลัก,

ที่ไหน สเต็มเลย- พื้นที่ผิวทั้งหมด ด้านเอส- พื้นที่ผิวด้านข้าง ฐานเอส- พื้นที่ฐาน

พื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึมตรงเท่ากับผลคูณของเส้นรอบวงฐานและความสูงของปริซึม.

ด้านเอส= P พื้นฐาน * h,

ที่ไหน ด้านเอส-พื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึมตรง

P main - เส้นรอบวงของฐานของปริซึมตรง

h คือความสูงของปริซึมตรง เท่ากับขอบข้าง

ปริมาตรปริซึม

ปริมาตรของปริซึมเท่ากับผลคูณของพื้นที่ฐานและความสูง