แยกตัวประกอบพหุนามผ่านการแบ่งแยก วิธีแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง

ลองหาผลรวมและผลคูณของรากของสมการกำลังสองกัน เราได้โดยใช้สูตร (59.8) สำหรับรากของสมการข้างต้น

(ความเท่าเทียมกันแรกชัดเจนส่วนที่สองได้มาหลังจากการคำนวณอย่างง่ายซึ่งผู้อ่านจะดำเนินการอย่างอิสระสะดวกที่จะใช้สูตรในการคูณผลรวมของตัวเลขสองตัวด้วยผลต่าง)

ต่อไปนี้ได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบทของเวียตตา ผลรวมของรากของสมการกำลังสองข้างต้นเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สองที่มีเครื่องหมายตรงข้าม และผลิตภัณฑ์ของพวกมันเท่ากับเทอมอิสระ

ในกรณีของสมการกำลังสองที่ไม่ได้ลดลง ควรแทนที่นิพจน์ของสูตร (60.1) ลงในสูตร (60.1) แล้วอยู่ในรูปแบบ

ตัวอย่างที่ 1 เขียนสมการกำลังสองโดยใช้รากของมัน:

วิธีแก้ปัญหา ก) เราพบว่าสมการมีรูปแบบ

ตัวอย่างที่ 2 ค้นหาผลรวมของกำลังสองของรากของสมการโดยไม่ต้องแก้สมการเอง

สารละลาย. ทราบผลรวมและผลคูณของราก ให้เราแทนผลรวมของรากกำลังสองในรูปแบบ

และเราได้รับ

จากสูตรของ Vieta ทำให้ได้สูตรได้ง่าย

แสดงกฎการสลายตัว ตรีโกณมิติกำลังสองโดยตัวคูณ

จริงๆ แล้ว เรามาเขียนสูตร (60.2) ในรูปแบบกันดีกว่า

ตอนนี้เรามี

ซึ่งเป็นสิ่งที่เราจำเป็นต้องได้รับ

ที่มาของสูตรของ Vieta ข้างต้นเป็นที่คุ้นเคยสำหรับผู้อ่านจากหลักสูตรพีชคณิต มัธยม. ข้อสรุปอีกประการหนึ่งสามารถให้ได้โดยใช้ทฤษฎีบทของเบซูต์และการแยกตัวประกอบของพหุนาม (ย่อหน้า 51, 52)

ให้รากของสมการเป็นอย่างนั้น กฎทั่วไป(52.2) แยกตัวประกอบตรีโกณมิติทางด้านซ้ายของสมการ:

เราได้รับการเปิดวงเล็บทางด้านขวาของความเท่าเทียมกันที่เหมือนกันนี้

และการเปรียบเทียบสัมประสิทธิ์ที่กำลังเท่ากันจะได้สูตรเวียตต้า (60.1)

ข้อดีของการได้มานี้คือสามารถนำไปใช้กับสมการที่มีระดับสูงกว่าเพื่อให้ได้นิพจน์สำหรับสัมประสิทธิ์ของสมการในแง่ของรากของมัน (โดยไม่ต้องค้นหารากด้วยตนเอง!) เช่น ถ้ารากของสมการลูกบาศก์ที่กำหนด

สาระสำคัญคือเราพบตามความเท่าเทียมกัน (52.2)

(ในกรณีของเรา เมื่อเปิดวงเล็บทางด้านขวาของความเท่าเทียมกันแล้วรวบรวมค่าสัมประสิทธิ์ในระดับต่างๆ เราจะได้

สี่เหลี่ยมจัตุรัสตรีโกณมิติเรียกว่าพหุนามของรูป ขวาน 2 +บีเอ็กซ์ +ค, ที่ไหน x- ตัวแปร, ก,ขค– ตัวเลขบางตัว และ ≠ 0

ค่าสัมประสิทธิ์ กเรียกว่า ค่าสัมประสิทธิ์อาวุโส, ค – สมาชิกฟรีสี่เหลี่ยมตรีโกณมิติ

ตัวอย่างของตรีโกณมิติกำลังสอง:

2 x 2 + 5x+4(ที่นี่ ก = 2, ข = 5, ค = 4)

x 2 – 7x + 5(ที่นี่ ก = 1, ข = -7, ค = 5)

9x 2 + 9x – 9(ที่นี่ ก = 9, ข = 9, ค = -9)

ค่าสัมประสิทธิ์ ขหรือค่าสัมประสิทธิ์ คหรือสัมประสิทธิ์ทั้งสองสามารถเท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกันได้ ตัวอย่างเช่น:

5 x 2 + 3x(ที่นี่ก = 5,ข = 3,c = 0 ดังนั้นจึงไม่มีค่าของ c ในสมการ)

6x 2 – 8 (ที่นี่ก = 6, ข = 0, ค = -8)

2x2(ที่นี่ก = 2, ข = 0, ค = 0)

ค่าของตัวแปรที่เรียกพหุนามหายไป รากของพหุนาม.

เพื่อหารากของตรีโกณมิติกำลังสองขวาน 2 + บีเอ็กซ์ + คเราต้องทำให้มันเท่ากับศูนย์ -
นั่นคือแก้สมการกำลังสองขวาน 2 + บีเอ็กซ์ + ค = 0 (ดูหัวข้อ "สมการกำลังสอง")

แยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง

ตัวอย่าง:

ลองแยกตัวประกอบตรีโกณมิติ 2 กัน x 2 + 7x – 4.

เราเห็น: สัมประสิทธิ์ ก = 2.

ทีนี้ลองหารากของตรีโกณมิติกัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราทำให้มันเท่ากับศูนย์และแก้สมการ

2x 2 + 7x – 4 = 0

วิธีแก้สมการดังกล่าว - ดูในส่วน “สูตรรากของสมการกำลังสอง เลือกปฏิบัติ” ที่นี่เราจะระบุผลการคำนวณทันที ตรีโกณมิติของเรามีสองราก:

x 1 = 1/2, x 2 = –4

ลองแทนค่ารากลงในสูตรของเรา โดยนำค่าสัมประสิทธิ์ออกจากวงเล็บ กและเราได้รับ:

2x 2 + 7x – 4 = 2(x – 1/2) (x + 4)

ผลลัพธ์ที่ได้สามารถเขียนให้แตกต่างออกไปได้โดยการคูณสัมประสิทธิ์ 2 ด้วยทวินาม x – 1/2:

2x 2 + 7x – 4 = (2x – 1) (x + 4)

ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว: ตรีโกณมิติถูกแยกตัวประกอบแล้ว

การขยายตัวดังกล่าวสามารถหาได้จากตรีโกณมิติกำลังสองใดๆ ที่มีราก

ความสนใจ!

หากการแบ่งแยกของตรีโกณมิติกำลังสองเป็นศูนย์ แสดงว่าตรีโกณมิตินี้มีหนึ่งรูต แต่เมื่อแยกย่อยตรีโนเมียล รูตนี้จะถือเป็นค่าของสองราก - นั่นคือเป็นค่าเดียวกัน x 1 และx 2 .

ตัวอย่างเช่น ตรีโกณมิติมีหนึ่งรากเท่ากับ 3 จากนั้น x 1 = 3, x 2 = 3

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:

• เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่ของคุณ อีเมลฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณเพื่อรับข้อเสนอ โปรโมชั่น และกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้น
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
• เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การดำเนินการตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• หากจำเป็น - ตามกฎหมาย ขั้นตอนการพิจารณาคดี ในการดำเนินการทางกฎหมาย และ/หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจากหน่วยงานของรัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - ให้เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงการบริหารจัดการ ทางเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

ตรีโกณมิติกำลังสองคือพหุนามที่อยู่ในรูปแบบ ax^2+bx+c โดยที่ x เป็นตัวแปร a, b และ c เป็นตัวเลขจำนวนหนึ่ง และ a ไม่เท่ากับศูนย์
จริงๆ แล้ว สิ่งแรกที่เราต้องรู้เพื่อแยกตัวประกอบตรีโกณมิติที่โชคร้ายคือทฤษฎีบท ดูเหมือนว่า: “ถ้า x1 และ x2 เป็นรากของขวานตรีโกณมิติกำลังสอง^2+bx+c แล้ว ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)” แน่นอนว่า มีการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ด้วย แต่ต้องใช้ความรู้ทางทฤษฎีอยู่บ้าง (เมื่อเราแยกตัวประกอบ a ในพหุนาม ax^2+bx+c เราจะได้ ax^2+bx+c=a(x^2 +(b/a) x + c/a).ตามทฤษฎีบทของเวียตต์ x1+x2=-(b/a), x1*x2=c/a ดังนั้น b/a=-(x1+x2), c/ a=x1*x2. หมายถึง , x^2+ (b/a)x+c/a= x^2- (x1+x2)x+ x1x2=x^2-x1x-x2x+x1x2=x(x-x1 )-x2(x-x1 )= (x-x1)(x-x2) ดังนั้น ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) บางครั้งครูบังคับให้คุณเรียนรู้การพิสูจน์ แต่ถ้าไม่จำเป็นแนะนำให้จำสูตรสุดท้ายไว้เลย

ขั้นตอนที่ 2

ลองยกตัวอย่างตรีโกณมิติ 3x^2-24x+21 กัน สิ่งแรกที่เราต้องทำคือทำให้ตรีโกณมิติเท่ากับศูนย์: 3x^2-24x+21=0 รากของสมการกำลังสองที่ได้จะเป็นรากของตรีโกณมิติตามลำดับ

ขั้นตอนที่ 3

ลองแก้สมการ 3x^2-24x+21=0 กัน ก=3, ข=-24, ค=21 ดังนั้นเรามาตัดสินใจกัน ใครไม่รู้จะตัดสินใจยังไง. สมการกำลังสองดูคำแนะนำของฉันซึ่งมี 2 วิธีในการแก้โดยใช้สมการเดียวกันเป็นตัวอย่าง ผลลัพธ์ที่ได้คือ x1=7, x2=1

ขั้นตอนที่ 4

ตอนนี้เรามีรากของตรีโกณมิติแล้ว เราก็สามารถแทนที่มันลงในสูตร =) ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) ได้อย่างปลอดภัย
เราได้: 3x^2-24x+21=3(x-7)(x-1)
คุณสามารถกำจัดคำนั้นออกไปได้โดยใส่ไว้ในวงเล็บ: 3x^2-24x+21=(x-7)(x*3-1*3)
ผลลัพธ์ที่ได้คือ: 3x^2-24x+21=(x-7)(3x-3) หมายเหตุ: ตัวประกอบผลลัพธ์แต่ละตัว ((x-7), (3x-3) เป็นพหุนามของดีกรีแรก นั่นคือส่วนขยายทั้งหมด =) หากคุณสงสัยว่าคำตอบที่ได้รับ คุณสามารถตรวจสอบได้เสมอด้วยการคูณวงเล็บ

ขั้นตอนที่ 5

การตรวจสอบวิธีแก้ปัญหา 3x^2-24x+21=3(x-7)(x-3)
(x-7)(3x-3)=3x^2-3x-21x+21=3x^2-24x+21. ตอนนี้เรารู้แล้วว่าการตัดสินใจของเราถูกต้อง! ฉันหวังว่าคำแนะนำของฉันจะช่วยใครสักคนได้ =) ขอให้โชคดีกับการเรียนของคุณ!

• ในกรณีของเรา ในสมการ D > 0 และเราได้ 2 รูท ถ้ามี D<0, то уравнение, как и многочлен, соответственно, корней бы не имело.
• ถ้าตรีโกณมิติกำลังสองไม่มีราก ก็ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ ซึ่งเป็นพหุนามของดีกรีแรก

ในบทนี้ เราจะได้เรียนรู้วิธีแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสองเป็นปัจจัยเชิงเส้น ในการทำเช่นนี้ เราต้องจำทฤษฎีบทของเวียตต้าและข้อกลับกันของมัน ทักษะนี้จะช่วยให้เราขยายตรีโกณมิติกำลังสองเป็นปัจจัยเชิงเส้นได้อย่างรวดเร็วและสะดวก และยังช่วยลดความซับซ้อนของเศษส่วนที่ประกอบด้วยนิพจน์อีกด้วย

ลองกลับไปที่สมการกำลังสองโดยที่

สิ่งที่เรามีทางด้านซ้ายเรียกว่าตรีโกณมิติกำลังสอง

ทฤษฎีบทเป็นจริง:ถ้า เป็นรากของตรีโกณมิติกำลังสอง ก็จะถือว่าอัตลักษณ์ยังคงอยู่

โดยที่สัมประสิทธิ์นำคือรากของสมการ

ดังนั้นเราจึงมีสมการกำลังสอง - ตรีโกณมิติกำลังสอง โดยที่รากของสมการกำลังสองเรียกอีกอย่างว่ารากของตรีโกณมิติกำลังสอง ดังนั้น หากเรามีรากของตรีโกณมิติกำลังสองแล้ว ตรีโกณมิตินี้สามารถแยกย่อยเป็นตัวประกอบเชิงเส้นได้

การพิสูจน์:

การพิสูจน์ข้อเท็จจริงนี้ดำเนินการโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta ซึ่งเราได้พูดคุยไปแล้วในบทเรียนที่แล้ว

โปรดจำไว้ว่าทฤษฎีบทของ Vieta บอกเราว่า:

ถ้า เป็นรากของตรีโกณมิติกำลังสองซึ่ง แล้ว .

ข้อความต่อไปนี้ตามมาจากทฤษฎีบทนี้:

เราจะเห็นว่าตามทฤษฎีบทของ Vieta กล่าวคือ โดยการแทนที่ค่าเหล่านี้ลงในสูตรด้านบน เราจะได้นิพจน์ต่อไปนี้

Q.E.D.

จำได้ว่าเราได้พิสูจน์ทฤษฎีบทว่า ถ้าเป็นรากของตรีโกณมิติกำลังสอง การขยายตัวนั้นใช้ได้

ตอนนี้ เรามาจำตัวอย่างของสมการกำลังสอง ซึ่งเราเลือกรากโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม จากข้อเท็จจริงนี้เราสามารถได้รับความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้ด้วยทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้ว:

ตอนนี้เรามาตรวจสอบความถูกต้องของข้อเท็จจริงนี้โดยเพียงแค่เปิดวงเล็บ:

เราเห็นว่าเราแยกตัวประกอบอย่างถูกต้อง และตรีโกณมิติใดๆ หากมีราก ก็สามารถแยกตัวประกอบตามทฤษฎีบทนี้เป็นตัวประกอบเชิงเส้นตามสูตรได้

อย่างไรก็ตาม ลองตรวจสอบว่าการแยกตัวประกอบดังกล่าวเป็นไปได้สำหรับสมการใดๆ หรือไม่:

ยกตัวอย่างสมการ ก่อนอื่น เรามาตรวจสอบเครื่องหมายแยกแยะกันก่อน

และเราจำได้ว่าเพื่อที่จะบรรลุทฤษฎีบทที่เราเรียนรู้ D จะต้องมากกว่า 0 ดังนั้นในกรณีนี้ การแยกตัวประกอบตามทฤษฎีบทที่เราเรียนรู้จึงเป็นไปไม่ได้

ดังนั้นเราจึงกำหนดทฤษฎีบทใหม่: หากตรีโกณมิติกำลังสองไม่มีราก ก็ไม่สามารถแยกย่อยเป็นตัวประกอบเชิงเส้นได้

เราได้ดูทฤษฎีบทของเวียตาแล้ว ความเป็นไปได้ในการสลายตัวตรีโนเมียลกำลังสองให้เป็นตัวประกอบเชิงเส้น และตอนนี้เราจะแก้ปัญหาต่างๆ กัน

ภารกิจที่ 1

ในกลุ่มนี้ เราจะแก้ปัญหาผกผันกับปัญหาที่ตั้งไว้ เรามีสมการ และเราพบรากของมันโดยการแยกตัวประกอบมัน ที่นี่เราจะทำสิ่งที่ตรงกันข้าม สมมติว่าเรามีรากของสมการกำลังสอง

ปัญหาผกผันคือ เขียนสมการกำลังสองโดยใช้รากของมัน

มี 2 ​​วิธีในการแก้ปัญหานี้

เนื่องจากเป็นรากของสมการแล้ว คือสมการกำลังสองซึ่งมีรากเป็นตัวเลข ตอนนี้เรามาเปิดวงเล็บแล้วตรวจสอบ:

นี่เป็นวิธีแรกที่เราสร้างสมการกำลังสองด้วยรากที่กำหนด ซึ่งไม่มีรากอื่น เนื่องจากสมการกำลังสองใดๆ มีรากได้ไม่เกิน 2 ราก

วิธีนี้เกี่ยวข้องกับการใช้ทฤษฎีบทเวียตาผกผัน

ถ้า เป็นรากของสมการ ก็จะเป็นไปตามเงื่อนไขที่ว่า

สำหรับสมการกำลังสองลดลง , , นั่นคือ ในกรณีนี้ และ

ดังนั้นเราจึงสร้างสมการกำลังสองที่มีรากที่กำหนด

ภารกิจที่ 2

จำเป็นต้องลดเศษส่วนลง

เรามีตรีโกณมิติในตัวเศษและมีตรีโกณมิติในตัวส่วน และตรีนามจะแยกตัวประกอบหรือไม่ก็ได้ ถ้าทั้งตัวเศษและตัวส่วนถูกแยกตัวประกอบแล้ว ในจำนวนนั้นอาจมีตัวประกอบที่เท่ากันซึ่งสามารถลดลงได้

ก่อนอื่น คุณต้องแยกตัวประกอบตัวเศษก่อน

ก่อนอื่น คุณต้องตรวจสอบว่าสมการนี้สามารถแยกตัวประกอบได้หรือไม่ ลองหาตัวจำแนกดูก่อน เนื่องจาก เครื่องหมายขึ้นอยู่กับผลคูณ (ต้องน้อยกว่า 0) ในตัวอย่างนี้ กล่าวคือ สมการที่กำหนดมีราก

ในการแก้ปัญหา เราใช้ทฤษฎีบทของ Vieta:

ในกรณีนี้ เนื่องจากเรากำลังจัดการกับราก การเลือกรากจึงค่อนข้างยาก แต่เราเห็นว่าค่าสัมประสิทธิ์มีความสมดุล กล่าวคือ ถ้าเราสมมุติว่า และแทนที่ค่านี้ลงในสมการ เราจะได้ระบบต่อไปนี้: เช่น 5-5=0 ดังนั้นเราจึงเลือกรากหนึ่งของสมการกำลังสองนี้

เราจะค้นหารากที่สองโดยการแทนที่สิ่งที่ทราบอยู่แล้วในระบบสมการ เช่น เช่น .

ดังนั้นเราจึงพบรากทั้งสองของสมการกำลังสองแล้วและสามารถแทนที่ค่าของมันลงในสมการดั้งเดิมเพื่อแยกตัวประกอบได้:

จำปัญหาเดิมไว้ เราต้องลดเศษส่วนลง.

ลองแก้ปัญหาด้วยการแทนที่ .

จำเป็นต้องอย่าลืมว่าในกรณีนี้ตัวส่วนไม่สามารถเท่ากับ 0 ได้นั่นคือ , .

หากตรงตามเงื่อนไขเหล่านี้ เราจะลดเศษส่วนเดิมให้อยู่ในรูปแบบ .

ปัญหาหมายเลข 3 (งานที่มีพารามิเตอร์)

ค่าของพารามิเตอร์ใดคือผลรวมของรากของสมการกำลังสอง

ถ้ารากของสมการนี้มีอยู่แล้ว , คำถาม: เมื่อไหร่.