บาปและคอสคืออะไร อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน

จะหาไซน์ได้อย่างไร?

การเรียนเรขาคณิตช่วยพัฒนาการคิด รายการนี้จะต้องรวมอยู่ใน การเตรียมโรงเรียน. ในชีวิตประจำวันความรู้ในเรื่องนี้อาจมีประโยชน์เช่นเมื่อวางแผนอพาร์ตเมนต์

จากประวัติศาสตร์

หลักสูตรเรขาคณิตยังรวมตรีโกณมิติซึ่งศึกษาฟังก์ชันตรีโกณมิติด้วย ในวิชาตรีโกณมิติ เราศึกษาไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุม

แต่สำหรับตอนนี้ มาเริ่มด้วยสิ่งที่ง่ายที่สุดก่อน - ไซน์ ลองมาดูแนวคิดแรกให้ละเอียดยิ่งขึ้น - ไซน์ของมุมในเรขาคณิต ไซน์คืออะไรและจะหาได้อย่างไร?

แนวคิดเรื่อง "มุมไซน์" และไซนัสอยด์

ไซน์ของมุมคืออัตราส่วนของค่าของด้านตรงข้ามและด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก นี่คือฟังก์ชันตรีโกณมิติโดยตรง ซึ่งเขียนว่า "sin (x)" โดยที่ (x) คือมุมของรูปสามเหลี่ยม

บนกราฟ ไซน์ของมุมจะแสดงด้วยคลื่นไซน์ที่มีลักษณะเฉพาะของตัวเอง คลื่นไซน์ดูเหมือนเป็นเส้นหยักต่อเนื่องซึ่งอยู่ภายในขอบเขตที่กำหนดบนระนาบพิกัด ฟังก์ชันนี้เป็นเลขคี่ ดังนั้นจึงมีความสมมาตรประมาณ 0 บนระนาบพิกัด (ซึ่งมาจากจุดกำเนิดของพิกัด)

โดเมนคำจำกัดความของฟังก์ชันนี้อยู่ในช่วงตั้งแต่ -1 ถึง +1 ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน คาบของฟังก์ชันมุมไซน์คือ 2 Pi ซึ่งหมายความว่าทุกๆ 2 Pi รูปแบบจะเกิดซ้ำและคลื่นไซน์จะผ่านวงจรเต็ม

สมการคลื่นไซน์

• บาป x = เครื่องปรับอากาศ
• โดยที่ a คือขาที่อยู่ตรงข้ามกับมุมของรูปสามเหลี่ยม
• c - ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก

คุณสมบัติของไซน์ของมุม

1. บาป(x) = - บาป(x) คุณลักษณะนี้แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันมีความสมมาตร และหากค่า x และ (-x) ถูกพล็อตบนระบบพิกัดทั้งสองทิศทาง พิกัดของจุดเหล่านี้จะตรงกันข้าม พวกเขาจะอยู่ห่างจากกันเท่ากัน
2. คุณลักษณะอีกประการหนึ่งของฟังก์ชันนี้คือกราฟของฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นในส่วน [- P/2 + 2 Pn]; [P/2 + 2Pn] โดยที่ n คือจำนวนเต็มใดๆ กราฟของไซน์ของมุมที่ลดลงจะสังเกตได้ในส่วน: [P/2 + 2Pn]; [3P/2 + 2Pn]
3. sin(x) > 0 เมื่อ x อยู่ในช่วง (2Пn, П + 2Пn)
4. (เอ็กซ์)< 0, когда х находится в диапазоне (-П+2Пn, 2Пn)

ค่าไซน์ของมุมถูกกำหนดโดยใช้ตารางพิเศษ ตารางดังกล่าวถูกสร้างขึ้นเพื่ออำนวยความสะดวกในกระบวนการคำนวณสูตรและสมการที่ซับซ้อน ใช้งานง่ายและไม่เพียงแต่มีค่าของฟังก์ชัน sin(x) เท่านั้น แต่ยังรวมถึงค่าของฟังก์ชันอื่นๆ ด้วย

นอกจากนี้ ตารางค่ามาตรฐานของฟังก์ชันเหล่านี้ยังรวมอยู่ในการศึกษาหน่วยความจำภาคบังคับ เช่น ตารางสูตรคูณ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับชั้นเรียนที่มีอคติทางกายภาพและทางคณิตศาสตร์ ในตารางคุณสามารถดูค่าของมุมหลักที่ใช้ในตรีโกณมิติ: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 120, 135, 150, 180, 270 และ 360 องศา

นอกจากนี้ยังมีตารางที่กำหนดค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมที่ไม่ได้มาตรฐาน เมื่อใช้ตารางที่แตกต่างกัน คุณสามารถคำนวณไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของบางมุมได้อย่างง่ายดาย

สมการถูกสร้างขึ้นด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติ การแก้สมการเหล่านี้เป็นเรื่องง่ายถ้าคุณรู้จักสมการง่ายๆ อัตลักษณ์ตรีโกณมิติและการลดฟังก์ชัน เช่น sin (P/2 + x) = cos (x) และอื่นๆ มีการรวบรวมตารางแยกต่างหากสำหรับการลดลงดังกล่าวด้วย

วิธีหาไซน์ของมุม

เมื่องานคือการหาไซน์ของมุม และตามเงื่อนไขที่เรามีเพียงโคไซน์ แทนเจนต์ หรือโคแทนเจนต์ของมุม เราสามารถคำนวณสิ่งที่เราต้องการได้อย่างง่ายดายโดยใช้อัตลักษณ์ตรีโกณมิติ

• บาป 2 x + cos 2 x = 1

จากสมการนี้ เราสามารถหาทั้งไซน์และโคไซน์ได้ ขึ้นอยู่กับว่าไม่ทราบค่าใด เราได้สมการตรีโกณมิติโดยไม่ทราบค่าหนึ่ง:

• บาป 2 x = 1 - cos 2 x
• บาป x = ± √ 1 - cos 2 x
• เปล 2 x + 1 = 1 / บาป 2 x

จากสมการนี้ คุณสามารถหาค่าของไซน์ โดยรู้ค่าโคแทนเจนต์ของมุม เพื่อให้ง่ายขึ้น ให้แทนที่ sin 2 x = y แล้วคุณจะได้สมการง่ายๆ ตัวอย่างเช่น ค่าโคแทนเจนต์คือ 1 ดังนั้น:

• 1 + 1 = 1/ปี
• 2 = 1/ปี
• 2у = 1
• ย = 1/2

ตอนนี้เราทำการเปลี่ยนผู้เล่นแบบย้อนกลับ:

• บาป 2 x = ½
• บาป x = 1 / √2

เนื่องจากเราใช้ค่าโคแทนเจนต์สำหรับมุมมาตรฐาน (45 0) จึงสามารถตรวจสอบค่าที่ได้รับในตารางได้

หากคุณมีค่าแทนเจนต์และจำเป็นต้องค้นหาไซน์ ข้อมูลประจำตัวตรีโกณมิติอื่นจะช่วยได้:

• tg x * ctg x = 1

เป็นไปตามนั้น:

• เปล x = 1 / ตาล x

หากต้องการค้นหาไซน์ของมุมที่ไม่เป็นมาตรฐาน เช่น 240 0 คุณต้องใช้สูตรการลดมุม เรารู้ว่า π สอดคล้องกับ 180 0 ดังนั้นเราจึงแสดงความเท่าเทียมกันโดยใช้มุมมาตรฐานโดยการขยาย

• 240 0 = 180 0 + 60 0

เราจำเป็นต้องค้นหาสิ่งต่อไปนี้: บาป (180 0 + 60 0) ตรีโกณมิติมีสูตรการหักล้างที่เป็นประโยชน์ในกรณีนี้ นี่คือสูตร:

• บาป (π + x) = - บาป (x)

ดังนั้น ไซน์ของมุม 240 องศา เท่ากับ:

• บาป (180 0 + 60 0) = - บาป (60 0) = - √3/2

ในกรณีของเรา x = 60 และ P ตามลำดับ คือ 180 องศา เราพบค่า (-√3/2) จากตารางค่าฟังก์ชันของมุมมาตรฐาน

ด้วยวิธีนี้ มุมที่ไม่เป็นมาตรฐานจึงสามารถขยายได้ เช่น 210 = 180 + 30

คำแนะนำ

ใช้ฟังก์ชันอาร์กไซน์เพื่อคำนวณค่าของมุมเป็นองศา หากคุณทราบค่าของมุม ถ้า มุมเขียนแทนด้วยตัวอักษร α ใน ปริทัศน์วิธีแก้ปัญหาสามารถเขียนได้ดังนี้: α = arcsin(sin(α))

หากคุณมีโอกาสใช้คอมพิวเตอร์ วิธีที่ง่ายที่สุดในการคำนวณเชิงปฏิบัติคือการใช้ระบบปฏิบัติการในตัว ใน Windows OS สองเวอร์ชันล่าสุด คุณสามารถเปิดใช้งานได้ดังนี้: กดปุ่ม Win พิมพ์ "ka" แล้วกด Enter ในระบบปฏิบัติการรุ่นก่อนหน้านี้ ให้มองหาลิงก์ "เครื่องคิดเลข" ในส่วนย่อย "มาตรฐาน" ของส่วน "โปรแกรมทั้งหมด" ของเมนูหลักของระบบ

หลังจากเปิดแอปพลิเคชันแล้ว ให้สลับไปที่โหมดที่ให้คุณทำงานกับฟังก์ชันตรีโกณมิติได้ ซึ่งสามารถทำได้โดยเลือกบรรทัด "วิศวกรรม" ในส่วน "มุมมอง" ของเมนูเครื่องคิดเลข หรือกด Alt + 2

ป้อนค่าไซน์ ตามค่าเริ่มต้น อินเทอร์เฟซเครื่องคิดเลขจะไม่มีปุ่มสำหรับคำนวณอาร์กไซน์ เพื่อให้สามารถใช้ฟังก์ชันนี้ได้ คุณจะต้องกลับค่าปุ่มเริ่มต้น - คลิกที่ปุ่ม Inv ในหน้าต่างโปรแกรม มากขึ้น รุ่นก่อนหน้าปุ่มนี้จะถูกแทนที่ด้วยช่องทำเครื่องหมายที่มีชื่อเหมือนกัน - ทำเครื่องหมายไว้

คุณยังสามารถใช้บริการต่างๆ ในการคำนวณซึ่งมีมากเกินพอบนอินเทอร์เน็ต ตัวอย่างเช่น ไปที่ http://planetcalc.com/326/ เลื่อนลงไปเล็กน้อยแล้วป้อนค่าไซน์ในช่องอินพุต เพื่อเริ่มขั้นตอนการคำนวณ จะมีปุ่มที่มีข้อความว่า คำนวณ - คลิกที่มัน คุณจะพบผลการคำนวณในแถวแรกของตารางใต้ปุ่มนี้ นอกจากส่วนโค้งไซน์แล้ว ยังแสดงทั้งขนาดและส่วนโค้งแทนเจนต์ของค่าที่ป้อน

ค่าผกผันของไซน์เรียกว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ อาร์คซีน. สามารถรับค่าได้ภายในครึ่งหนึ่งของ Pi ทั้งบวกและลบเมื่อวัดเป็นเรเดียน เมื่อวัดเป็นองศาค่าเหล่านี้จะอยู่ในช่วงตั้งแต่ -90° ถึง +90° ตามลำดับ

คำแนะนำ

ไม่จำเป็นต้องคำนวณค่า "กลม" บางค่า เพราะง่ายต่อการจดจำ ตัวอย่างเช่น: - หากอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันเป็นศูนย์ ส่วนโค้งของฟังก์ชันจะเป็นศูนย์ด้วย - ของ 1/2 เท่ากับ 30° หรือ 1/6 Pi หากวัด - ส่วนโค้งของ -1/2 คือ -30° หรือ -1/ 6 จากตัวเลข Pi ในหน่วยเรเดียน - ส่วนโค้งของ 1 เท่ากับ 90° หรือ 1/2 ของตัวเลข Pi เป็นเรเดียน - ส่วนโค้งของ -1 เท่ากับ -90° หรือ -1/2 ของ จำนวน Pi เป็นเรเดียน

หากต้องการวัดค่าของฟังก์ชันนี้จากอาร์กิวเมนต์อื่น ๆ วิธีที่ง่ายที่สุดคือการใช้เครื่องคิดเลข Windows มาตรฐานหากคุณมีอยู่ ในการเริ่มต้นให้เปิดเมนูหลักบนปุ่ม "เริ่ม" (หรือโดยการกดปุ่ม WIN) ไปที่ส่วน "โปรแกรมทั้งหมด" จากนั้นไปที่ส่วนย่อย "อุปกรณ์เสริม" แล้วคลิก "เครื่องคิดเลข"

สลับอินเทอร์เฟซเครื่องคิดเลขเป็นโหมดการทำงานที่ให้คุณคำนวณฟังก์ชันตรีโกณมิติได้ ในการดำเนินการนี้ให้เปิดส่วน "มุมมอง" ในเมนูแล้วเลือก "วิศวกรรม" หรือ "วิทยาศาสตร์" (ขึ้นอยู่กับระบบปฏิบัติการที่ใช้)

ป้อนค่าของอาร์กิวเมนต์ที่ควรคำนวณอาร์กแทนเจนต์ ซึ่งสามารถทำได้โดยการคลิกปุ่มบนอินเทอร์เฟซเครื่องคิดเลขด้วยเมาส์ หรือโดยการกดปุ่มบน หรือโดยการคัดลอกค่า (CTRL + C) แล้ววาง (CTRL + V) ลงในช่องป้อนข้อมูลของเครื่องคิดเลข

เลือกหน่วยการวัดที่คุณต้องการเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ของการคำนวณฟังก์ชัน ด้านล่างช่องป้อนข้อมูลมีสามตัวเลือกซึ่งคุณต้องเลือก (โดยคลิกด้วยเมาส์) หนึ่ง - , เรเดียนหรือ rads

ทำเครื่องหมายในช่องที่กลับฟังก์ชั่นที่ระบุไว้บนปุ่มอินเทอร์เฟซเครื่องคิดเลข ถัดจากนั้นคือข้อความจารึกสั้นๆ Inv.

คลิกปุ่มบาป เครื่องคิดเลขจะกลับฟังก์ชันที่เกี่ยวข้อง ทำการคำนวณ และนำเสนอผลลัพธ์ในหน่วยที่ระบุ

วิดีโอในหัวข้อ

บน สามเหลี่ยมมุมฉากในฐานะที่เป็นรูปหลายเหลี่ยมที่ง่ายที่สุดผู้เรียนหลายคนได้ฝึกฝนความรู้ในสาขาตรีโกณมิติในสมัยที่ไม่มีใครเรียกคณิตศาสตร์บริเวณนี้ด้วยคำนั้นด้วยซ้ำ ดังนั้นให้ระบุผู้เขียนที่เปิดเผยรูปแบบในอัตราส่วนความยาวด้านและค่ามุมในระนาบนี้ รูปทรงเรขาคณิต, วันนี้เป็นไปไม่ได้ ความสัมพันธ์ดังกล่าวเรียกว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติและแบ่งออกเป็นหลายกลุ่ม ซึ่งหลักๆ แล้วถือว่าเป็นฟังก์ชัน "โดยตรง" ตามอัตภาพ กลุ่มนี้มีเพียงสองฟังก์ชันเท่านั้น และหนึ่งในนั้นคือไซน์

คำแนะนำ

ตามคำจำกัดความ ในสามเหลี่ยมมุมฉาก มุมหนึ่งจะเท่ากับ 90° และเนื่องจากผลรวมของมุมในเรขาคณิตแบบยุคลิดจะต้องเท่ากับ 180° อีกสองมุมจึงเท่ากับ (เช่น 90°) รูปแบบของความสัมพันธ์ระหว่างมุมเหล่านี้กับความยาวด้านอย่างแม่นยำจะอธิบายฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ฟังก์ชันที่เรียกว่าไซน์ของมุมแหลมจะกำหนดอัตราส่วนระหว่างความยาวของด้านสองด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งด้านหนึ่งอยู่ตรงข้ามกับมุมแหลมนี้ และอีกด้านอยู่ติดกับมุมแหลมและอยู่ตรงข้ามกัน มุมฉาก. เนื่องจากด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมขวาในสามเหลี่ยมดังกล่าวเรียกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก และอีกสองด้านเรียกว่าขา ฟังก์ชันไซน์จึงสามารถกำหนดเป็นอัตราส่วนระหว่างความยาวของขาและด้านตรงข้ามมุมฉากได้

นอกจากคำจำกัดความที่ง่ายที่สุดของฟังก์ชันตรีโกณมิติแล้ว ยังมีคำที่ซับซ้อนกว่านี้อีก เช่น ผ่านวงกลมในพิกัดคาร์ทีเซียน ผ่านอนุกรม ผ่านสมการเชิงอนุพันธ์และเชิงฟังก์ชัน ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง กล่าวคือ อาร์กิวเมนต์ (“โดเมน”) อาจเป็นตัวเลขใดก็ได้ ตั้งแต่ค่าลบอนันต์ไปจนถึงค่าบวกอนันต์ และค่าสูงสุดของฟังก์ชันนี้จำกัดอยู่ที่ช่วงตั้งแต่ -1 ถึง +1 - นี่คือ "ช่วงของค่า" ไซน์ใช้ค่าต่ำสุดที่มุม 270° ซึ่งสอดคล้องกับ 3/Pi และค่าสูงสุดจะได้ที่ 90° (½ของ Pi) ค่าฟังก์ชันจะกลายเป็นศูนย์ที่ 0°, 180°, 360° ฯลฯ จากทั้งหมดนี้ ไซน์จึงเป็นฟังก์ชันคาบและคาบของมันจะเท่ากับ 360° หรือสองเท่าของจำนวนพาย

สำหรับการคำนวณเชิงปฏิบัติของค่าของฟังก์ชันนี้จากอาร์กิวเมนต์ที่กำหนดคุณสามารถใช้ค่าส่วนใหญ่ได้ (รวมถึงเครื่องคิดเลขซอฟต์แวร์ในตัว ระบบปฏิบัติการคอมพิวเตอร์ของคุณ) มีตัวเลือกที่เหมาะสม

วิดีโอในหัวข้อ

ไซนัสและ โคไซน์- สิ่งเหล่านี้เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติโดยตรงซึ่งมีคำจำกัดความหลายประการ - ผ่านวงกลมในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนผ่านวิธีแก้ปัญหา สมการเชิงอนุพันธ์ผ่านมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก แต่ละคำจำกัดความเหล่านี้ช่วยให้เราได้รับความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันทั้งสองนี้ ด้านล่างนี้อาจเป็นวิธีที่ง่ายที่สุดในการแสดงออก โคไซน์ผ่านไซน์ - ผ่านคำจำกัดความของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉาก

คำแนะนำ

แสดงไซน์ของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากในรูปของความยาวของด้านข้างของรูปนี้ ตามคำจำกัดความ ไซน์ของมุม (α) จะต้องเป็นอัตราส่วนของความยาวของด้าน (a) ที่วางตรงข้าม - ขา - ต่อความยาวของด้าน (c) ตรงข้ามมุมฉาก - ด้านตรงข้ามมุมฉาก: บาป(α) = a/c

ค้นหาสูตรที่คล้ายกันสำหรับ โคไซน์แต่มุมเดียวกัน ตามคำนิยาม ค่านี้ควรแสดงเป็นอัตราส่วนของความยาวของด้าน (b) ที่อยู่ติดกับมุมนี้ (ขาที่สอง) ต่อความยาวของด้าน (c) ที่อยู่ตรงข้ามมุมขวา: cos(a) = a /ค.

เขียนความเท่าเทียมกันตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสใหม่ เพื่อให้ความสัมพันธ์ระหว่างขากับด้านตรงข้ามมุมฉากที่ได้มาจากสองขั้นตอนก่อนหน้านี้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ขั้นแรกให้หารทฤษฎีบทดั้งเดิมทั้งสอง (a² + b² = c²) ด้วยกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก (a²/c² + b²/c² = 1) จากนั้นจึงเขียนผลลัพธ์ที่เท่ากันใหม่ในรูปแบบนี้: (a/c )² + (b/c )² = 1

ในนิพจน์ผลลัพธ์ ให้แทนที่อัตราส่วนของความยาวของขาและด้านตรงข้ามมุมฉากด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติตามสูตรของขั้นตอนที่หนึ่งและขั้นตอนที่สอง: sin²(a) + cos²(a) = 1 โคไซน์จากผลลัพธ์ความเท่าเทียมกัน: cos(a) = √(1 - sin²(a)) ด้วยเหตุนี้จึงสามารถแก้ไขปัญหาได้ในรูปแบบทั่วไป

หากคุณต้องการผลลัพธ์ที่เป็นตัวเลขนอกเหนือจากแบบทั่วไปให้ใช้เช่นเครื่องคิดเลขที่ติดตั้งอยู่ในห้องผ่าตัด ระบบวินโดวส์. ลิงก์สำหรับเปิดใช้งานในส่วนย่อย "มาตรฐาน" ของส่วน "โปรแกรมทั้งหมด" ของเมนู OS ลิงค์นี้จัดทำขึ้นโดยย่อ - "เครื่องคิดเลข" เพื่อให้สามารถคำนวณฟังก์ชันตรีโกณมิติด้วยโปรแกรมนี้ได้ ให้เปิดใช้งานอินเทอร์เฟซ "วิศวกรรม" - กดคีย์ผสม Alt + 2

ป้อนค่าไซน์ของมุมในเงื่อนไขแล้วคลิกที่ปุ่มอินเทอร์เฟซที่มีเครื่องหมาย x² - นี่จะทำให้ค่าเดิมยกกำลังสอง จากนั้นพิมพ์ *-1 บนแป้นพิมพ์กด Enter ป้อน +1 แล้วกด Enter อีกครั้ง - ด้วยวิธีนี้คุณจะลบกำลังสองของไซน์ออกจากหนึ่ง คลิกที่ปุ่มรากเพื่อแยกสี่เหลี่ยมและรับผลลัพธ์สุดท้าย

การศึกษารูปสามเหลี่ยมดำเนินการโดยนักคณิตศาสตร์มาเป็นเวลาหลายพันปี ศาสตร์แห่งสามเหลี่ยม - ตรีโกณมิติ - ใช้ปริมาณพิเศษ: ไซน์และโคไซน์

สามเหลี่ยมมุมฉาก

ไซน์และโคไซน์เดิมทีเกิดขึ้นจากความจำเป็นในการคำนวณปริมาณในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก สังเกตว่าถ้าการวัดองศาของมุมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากไม่เปลี่ยนแปลง อัตราส่วนภาพไม่ว่าด้านเหล่านี้จะเปลี่ยนไปเท่าใด ก็ยังคงเท่าเดิมเสมอ

นี่คือวิธีการนำเสนอแนวคิดของไซน์และโคไซน์ ไซน์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก และโคไซน์คืออัตราส่วนของด้านที่อยู่ติดกับด้านตรงข้ามมุมฉาก

ทฤษฎีบทของโคไซน์และไซน์

แต่โคไซน์และไซน์สามารถใช้ได้มากกว่าสามเหลี่ยมมุมฉาก ในการค้นหาค่าของมุมป้านหรือมุมแหลมหรือด้านข้างของสามเหลี่ยมใดๆ ก็เพียงพอที่จะใช้ทฤษฎีบทของโคไซน์และไซน์

ทฤษฎีบทโคไซน์ค่อนข้างง่าย: “กำลังสองของด้านของสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของกำลังสองของอีกสองด้านลบด้วยสองเท่าของผลคูณของด้านเหล่านั้นและโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน”

ทฤษฎีบทไซน์มีการตีความสองแบบ: เล็กและขยาย ผู้เยาว์กล่าวว่า “ในรูปสามเหลี่ยม มุมต่างๆ จะเป็นสัดส่วนกับด้านตรงข้าม” ทฤษฎีบทนี้มักถูกขยายออกไปเนื่องจากสมบัติของวงกลมที่ล้อมรอบของรูปสามเหลี่ยม: "ในรูปสามเหลี่ยม มุมต่างๆ จะเป็นสัดส่วนกับด้านตรงข้าม และอัตราส่วนของพวกมันจะเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบ"

อนุพันธ์

อนุพันธ์เป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันเปลี่ยนแปลงได้เร็วเพียงใดเมื่อเทียบกับการเปลี่ยนแปลงในอาร์กิวเมนต์ อนุพันธ์ถูกนำมาใช้ในเรขาคณิต และในสาขาวิชาทางเทคนิคจำนวนหนึ่ง

เมื่อแก้ปัญหาคุณจำเป็นต้องทราบค่าตารางของอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ: ไซน์และโคไซน์ อนุพันธ์ของไซน์คือโคไซน์ และโคไซน์คือไซน์ แต่มีเครื่องหมายลบ

การประยุกต์ทางคณิตศาสตร์

ไซน์และโคไซน์มักใช้ในการแก้สามเหลี่ยมมุมฉากและปัญหาที่เกี่ยวข้องกับพวกมัน

ความสะดวกสบายของไซน์และโคไซน์ก็สะท้อนให้เห็นในเทคโนโลยีเช่นกัน มุมและด้านประเมินได้ง่ายโดยใช้ทฤษฎีบทโคไซน์และไซน์ โดยแบ่งรูปร่างและวัตถุที่ซับซ้อนออกเป็นสามเหลี่ยม "เรียบง่าย" วิศวกรที่มักจะจัดการกับการคำนวณอัตราส่วนภาพและการวัดระดับจะใช้เวลาและความพยายามอย่างมากในการคำนวณโคไซน์และไซน์ของมุมที่ไม่ใช่ตาราง

จากนั้นตาราง Bradis ก็เข้ามาช่วยเหลือโดยมีค่าไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ในมุมที่ต่างกันหลายพันค่า ในสมัยโซเวียต ครูบางคนบังคับให้นักเรียนจำหน้าตาราง Bradis

เรเดียนคือค่าเชิงมุมของส่วนโค้งที่มีความยาวเท่ากับรัศมีหรือ 57.295779513° องศา

องศา (ในเรขาคณิต) - ส่วนที่ 1/360 ของวงกลม หรือ ส่วนที่ 1/90 ของมุมฉาก

π = 3.141592653589793238462… (ค่าประมาณของ Pi)

ตารางโคไซน์สำหรับมุม: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

หนึ่งในสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่นักเรียนประสบปัญหามากที่สุดคือวิชาตรีโกณมิติ ไม่น่าแปลกใจ: เพื่อที่จะเชี่ยวชาญความรู้ด้านนี้ได้อย่างอิสระคุณต้องมีความคิดเชิงพื้นที่ความสามารถในการค้นหาไซน์โคไซน์แทนเจนต์โคแทนเจนต์โดยใช้สูตรลดความซับซ้อนของนิพจน์และสามารถใช้ตัวเลข pi ได้ การคำนวณ นอกจากนี้ คุณต้องสามารถใช้ตรีโกณมิติในการพิสูจน์ทฤษฎีบทได้ และต้องใช้หน่วยความจำทางคณิตศาสตร์ที่พัฒนาแล้วหรือความสามารถในการหาลูกโซ่เชิงตรรกะที่ซับซ้อน

ต้นกำเนิดของตรีโกณมิติ

การทำความคุ้นเคยกับวิทยาศาสตร์นี้ควรเริ่มต้นด้วยคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ของมุม แต่ก่อนอื่นคุณต้องเข้าใจว่าโดยทั่วไปตรีโกณมิติทำอะไรได้บ้าง

ในอดีต วัตถุประสงค์หลักของการศึกษาในสาขาวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์นี้คือสามเหลี่ยมมุมฉาก การมีมุม 90 องศาทำให้สามารถดำเนินการต่างๆได้ซึ่งช่วยให้สามารถกำหนดค่าของพารามิเตอร์ทั้งหมดของภาพที่เป็นปัญหาได้โดยใช้สองด้านและหนึ่งมุมหรือสองมุมและด้านเดียว ในอดีต ผู้คนสังเกตเห็นรูปแบบนี้และเริ่มนำไปใช้อย่างจริงจังในการก่อสร้างอาคาร การนำทาง ดาราศาสตร์ และแม้กระทั่งในงานศิลปะ

ขั้นแรก

ในตอนแรก ผู้คนพูดถึงความสัมพันธ์ระหว่างมุมและด้านโดยใช้ตัวอย่างของสามเหลี่ยมมุมฉากโดยเฉพาะ จากนั้นจึงค้นพบสูตรพิเศษที่ทำให้สามารถขยายขอบเขตการใช้งานได้ ชีวิตประจำวันคณิตศาสตร์สาขานี้

การศึกษาวิชาตรีโกณมิติในโรงเรียนในปัจจุบันเริ่มต้นด้วยสามเหลี่ยมมุมฉาก หลังจากนั้นนักเรียนจะใช้ความรู้ที่ได้รับในวิชาฟิสิกส์และการแก้สมการตรีโกณมิติเชิงนามธรรมซึ่งเริ่มต้นในโรงเรียนมัธยมปลาย

ตรีโกณมิติทรงกลม

ต่อมา เมื่อวิทยาศาสตร์ก้าวไปสู่การพัฒนาขั้นต่อไป สูตรที่มีไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ก็เริ่มถูกนำมาใช้ในเรขาคณิตทรงกลม ซึ่งใช้กฎที่แตกต่างกัน และผลรวมของมุมในรูปสามเหลี่ยมจะมากกว่า 180 องศาเสมอ ส่วนนี้ไม่ได้เรียนในโรงเรียน แต่จำเป็นต้องรู้เกี่ยวกับการมีอยู่ของมัน อย่างน้อยก็เพราะพื้นผิวโลกและพื้นผิวของดาวเคราะห์ดวงอื่นมีส่วนนูน ซึ่งหมายความว่าเครื่องหมายบนพื้นผิวใด ๆ จะเป็น "รูปทรงโค้ง" ในสามมิติ ช่องว่าง.

เอาลูกโลกและด้าย แนบด้ายเข้ากับจุดสองจุดบนโลกเพื่อให้ตึง โปรดทราบ - มันมีรูปร่างโค้ง เรขาคณิตทรงกลมเกี่ยวข้องกับรูปแบบดังกล่าว ซึ่งใช้ในธรณีวิทยา ดาราศาสตร์ และสาขาทางทฤษฎีและประยุกต์อื่นๆ

สามเหลี่ยมมุมฉาก

เมื่อได้เรียนรู้เกี่ยวกับวิธีการใช้ตรีโกณมิติมาบ้างแล้ว เรากลับมาที่ตรีโกณมิติพื้นฐานเพื่อทำความเข้าใจเพิ่มเติมว่าไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์คืออะไร การคำนวณใดที่สามารถทำได้ด้วยความช่วยเหลือ และสูตรที่จะใช้

ขั้นตอนแรกคือการทำความเข้าใจแนวคิดที่เกี่ยวข้องกับรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ประการแรก ด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้านที่อยู่ตรงข้ามมุม 90 องศา มันยาวที่สุด เราจำได้ว่าตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ค่าตัวเลขของมันจะเท่ากับรากของผลรวมของกำลังสองของอีกสองด้านที่เหลือ

ตัวอย่างเช่น หากด้านทั้งสองยาว 3 และ 4 เซนติเมตรตามลำดับ ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับ 5 เซนติเมตร อย่างไรก็ตามชาวอียิปต์โบราณรู้เรื่องนี้เมื่อประมาณสี่พันห้าพันปีที่แล้ว

ด้านที่เหลือทั้งสองซึ่งประกอบเป็นมุมฉากเรียกว่าขา นอกจากนี้ เราต้องจำไว้ว่าผลรวมของมุมในรูปสามเหลี่ยมในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมเท่ากับ 180 องศา

คำนิยาม

ในที่สุด ด้วยความเข้าใจพื้นฐานทางเรขาคณิตอย่างมั่นคงแล้ว เราจึงสามารถหันไปหาคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ของมุมได้

ไซน์ของมุมคืออัตราส่วนของด้านตรงข้าม (เช่น ด้านที่อยู่ตรงข้าม มุมที่ต้องการ) ถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก โคไซน์ของมุมคืออัตราส่วนของด้านประชิดกับด้านตรงข้ามมุมฉาก

โปรดจำไว้ว่าไซน์หรือโคไซน์ไม่สามารถมีค่ามากกว่าหนึ่งได้! ทำไม เพราะโดยค่าเริ่มต้นด้านตรงข้ามมุมฉากจะยาวที่สุด ไม่ว่าขาจะยาวแค่ไหน ก็จะสั้นกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก ซึ่งหมายความว่าอัตราส่วนจะน้อยกว่าหนึ่งเสมอ ดังนั้น หากในการตอบปัญหา คุณได้ไซน์หรือโคไซน์ที่มีค่ามากกว่า 1 ให้มองหาข้อผิดพลาดในการคำนวณหรือการให้เหตุผล คำตอบนี้ไม่ถูกต้องอย่างชัดเจน

สุดท้าย ค่าแทนเจนต์ของมุมคืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านประชิด การหารไซน์ด้วยโคไซน์จะให้ผลลัพธ์เดียวกัน ดู: ตามสูตร เราหารความยาวของด้านด้วยด้านตรงข้ามมุมฉาก จากนั้นหารด้วยความยาวของด้านที่สองแล้วคูณด้วยด้านตรงข้ามมุมฉาก ดังนั้นเราจึงได้ความสัมพันธ์แบบเดียวกับในคำจำกัดความของแทนเจนต์

โคแทนเจนต์คืออัตราส่วนของด้านที่อยู่ติดกับมุมต่อด้านตรงข้าม เราได้ผลลัพธ์เดียวกันโดยการหารหนึ่งด้วยแทนเจนต์

เราได้ดูคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์แล้ว และมาดูสูตรกันต่อ

สูตรที่ง่ายที่สุด

ในตรีโกณมิติคุณไม่สามารถทำได้หากไม่มีสูตร - จะหาไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์, โคแทนเจนต์โดยไม่มีสูตรได้อย่างไร แต่นี่คือสิ่งที่จำเป็นสำหรับการแก้ปัญหา

สูตรแรกที่คุณต้องรู้เมื่อเริ่มศึกษาตรีโกณมิติบอกว่าผลรวมของกำลังสองของไซน์และโคไซน์ของมุมเท่ากับหนึ่ง สูตรนี้เป็นผลโดยตรงจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส แต่จะช่วยประหยัดเวลาหากคุณต้องการทราบขนาดของมุมมากกว่าด้านข้าง

นักเรียนหลายคนจำสูตรที่สองไม่ได้ ซึ่งเป็นที่นิยมอย่างมากในการแก้ปัญหาในโรงเรียนเช่นกัน ผลรวมของ 1 กับกำลังสองของแทนเจนต์ของมุมจะเท่ากับ 1 หารด้วยกำลังสองของโคไซน์ของมุม ลองดูให้ละเอียดยิ่งขึ้น: นี่เป็นข้อความเดียวกับในสูตรแรก มีเพียงทั้งสองด้านของเอกลักษณ์เท่านั้นที่ถูกหารด้วยกำลังสองของโคไซน์ ปรากฎว่าการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างง่ายทำได้ สูตรตรีโกณมิติไม่สามารถจดจำได้อย่างสมบูรณ์ ข้อควรจำ: เมื่อรู้ว่าไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์คืออะไร กฎการแปลง และสูตรพื้นฐานหลายประการ คุณสามารถรับค่าที่ต้องการเพิ่มเติมได้อย่างอิสระเมื่อใดก็ได้ สูตรที่ซับซ้อนบนแผ่นกระดาษ

สูตรสำหรับมุมคู่และการบวกอาร์กิวเมนต์

อีกสองสูตรที่คุณต้องเรียนรู้เกี่ยวข้องกับค่าของไซน์และโคไซน์สำหรับผลรวมและผลต่างของมุม พวกเขาจะนำเสนอในรูปด้านล่าง โปรดทราบว่าในกรณีแรก ไซน์และโคไซน์จะถูกคูณทั้งสองครั้ง และในกรณีที่สอง จะมีการเพิ่มผลคูณของไซน์และโคไซน์ตามคู่

นอกจากนี้ยังมีสูตรที่เกี่ยวข้องกับอาร์กิวเมนต์มุมคู่ด้วย พวกมันได้มาจากอันก่อนหน้าโดยสมบูรณ์ - ในทางปฏิบัติให้ลองหามันด้วยตัวเองโดยใช้มุมอัลฟ่าเท่ากับมุมเบตา

สุดท้าย โปรดทราบว่าสามารถจัดเรียงสูตรมุมคู่ได้ใหม่เพื่อลดกำลังของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์อัลฟา

ทฤษฎีบท

ทฤษฎีบทหลักสองทฤษฎีในตรีโกณมิติพื้นฐานคือทฤษฎีบทไซน์และทฤษฎีบทโคไซน์ ด้วยความช่วยเหลือของทฤษฎีบทเหล่านี้ คุณสามารถเข้าใจวิธีการค้นหาไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ รวมถึงพื้นที่ของรูปและขนาดของแต่ละด้าน ฯลฯ ได้อย่างง่ายดาย

ทฤษฎีบทไซน์ระบุว่าการหารความยาวของแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยมด้วยมุมตรงข้ามจะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเดียวกัน ยิ่งกว่านั้น จำนวนนี้จะเท่ากับสองรัศมีของวงกลมที่จำกัดขอบเขต ซึ่งก็คือวงกลมที่มีจุดทั้งหมดของรูปสามเหลี่ยมที่กำหนด

ทฤษฎีบทโคไซน์เป็นการสรุปทฤษฎีบทพีทาโกรัสโดยฉายลงบนรูปสามเหลี่ยมใดๆ ปรากฎว่าจากผลรวมของกำลังสองของทั้งสองด้าน ลบผลคูณของพวกมันคูณด้วยโคไซน์คู่ของมุมที่อยู่ติดกัน - ค่าผลลัพธ์จะเท่ากับกำลังสองของด้านที่สาม ดังนั้น ทฤษฎีบทพีทาโกรัสจึงกลายเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทโคไซน์

ความผิดพลาดที่ไม่ระมัดระวัง

แม้จะรู้ว่าไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์คืออะไร ก็เป็นเรื่องง่ายที่จะทำผิดพลาดเนื่องจากขาดสติหรือเกิดข้อผิดพลาดในการคำนวณที่ง่ายที่สุด เพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาด เรามาดูข้อผิดพลาดที่ได้รับความนิยมมากที่สุดกัน

ประการแรก คุณไม่ควรแปลงเศษส่วนเป็นทศนิยมจนกว่าคุณจะได้ผลลัพธ์สุดท้าย คุณสามารถทิ้งคำตอบไว้เป็น เศษส่วนทั่วไปเว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่นในเงื่อนไข การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวไม่สามารถเรียกได้ว่าเป็นความผิดพลาด แต่ควรจำไว้ว่าในแต่ละขั้นตอนของปัญหาอาจเกิดรากใหม่ซึ่งควรลดลงตามความคิดของผู้เขียน ในกรณีนี้ คุณจะเสียเวลากับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่ไม่จำเป็น โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับค่าต่างๆ เช่น รากของสามหรือรากของสอง เนื่องจากพบปัญหาในทุกขั้นตอน เช่นเดียวกับการปัดเศษตัวเลขที่ "น่าเกลียด"

นอกจากนี้ โปรดทราบว่าทฤษฎีบทโคไซน์ใช้กับสามเหลี่ยมใดๆ ได้ แต่ไม่ใช่ทฤษฎีบทพีทาโกรัส! หากคุณลืมลบผลคูณของด้านคูณด้วยโคไซน์ของมุมระหว่างทั้งสองโดยไม่ตั้งใจ คุณจะไม่เพียงแต่ได้ผลลัพธ์ที่ผิดโดยสิ้นเชิง แต่ยังแสดงให้เห็นว่าคุณยังขาดความเข้าใจในเรื่องนั้นโดยสิ้นเชิงอีกด้วย นี่เลวร้ายยิ่งกว่าความผิดพลาดที่ไม่ระมัดระวัง

ประการที่สามอย่าสับสนค่าสำหรับมุม 30 และ 60 องศาสำหรับไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์, โคแทนเจนต์ จำค่าเหล่านี้ไว้ เนื่องจากไซน์ของ 30 องศาเท่ากับโคไซน์ของ 60 และในทางกลับกัน มันง่ายที่จะสร้างความสับสนซึ่งส่งผลให้คุณได้รับผลลัพธ์ที่ผิดพลาดอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้

แอปพลิเคชัน

นักเรียนหลายคนไม่รีบร้อนที่จะเริ่มเรียนวิชาตรีโกณมิติเพราะพวกเขาไม่เข้าใจความหมายเชิงปฏิบัติของวิชาตรีโกณมิติ ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์สำหรับวิศวกรหรือนักดาราศาสตร์คืออะไร? แนวคิดเหล่านี้เป็นแนวคิดที่คุณสามารถคำนวณระยะทางไปยังดาวฤกษ์ที่อยู่ห่างไกล ทำนายการตกของอุกกาบาต หรือส่งยานวิจัยไปยังดาวเคราะห์ดวงอื่นได้ หากไม่มีสิ่งเหล่านี้ ก็เป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างอาคาร ออกแบบรถยนต์ คำนวณน้ำหนักบนพื้นผิวหรือวิถีของวัตถุ และนี่เป็นเพียงตัวอย่างที่ชัดเจนที่สุด! ท้ายที่สุดแล้วมีการใช้ตรีโกณมิติในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งตั้งแต่ดนตรีไปจนถึงการแพทย์

ในที่สุด

คุณก็คือไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์ คุณสามารถใช้มันในการคำนวณและแก้ปัญหาของโรงเรียนได้สำเร็จ

จุดรวมของตรีโกณมิติมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าการใช้พารามิเตอร์ที่ทราบของรูปสามเหลี่ยมนั้น คุณจำเป็นต้องคำนวณสิ่งที่ไม่ทราบ มีทั้งหมดหกพารามิเตอร์: ความยาว สามด้านและขนาดของมุมทั้งสาม ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวในงานอยู่ที่การให้ข้อมูลอินพุตที่แตกต่างกัน

ตอนนี้คุณรู้วิธีหาไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์โดยพิจารณาจากความยาวของขาหรือด้านตรงข้ามมุมฉากที่ทราบแล้ว เนื่องจากคำเหล่านี้ไม่ได้มีความหมายอะไรมากไปกว่าอัตราส่วน และอัตราส่วนก็คือเศษส่วน เป้าหมายหลักของปัญหาตรีโกณมิติคือการหารากของสมการหรือระบบสมการปกติ และที่นี่คณิตศาสตร์ของโรงเรียนปกติจะช่วยคุณได้

ตารางค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ

บันทึก. ตารางค่าฟังก์ชันตรีโกณมิตินี้ใช้เครื่องหมาย √ เพื่อระบุ รากที่สอง. หากต้องการระบุเศษส่วน ให้ใช้สัญลักษณ์ "/"

ดูสิ่งนี้ด้วยวัสดุที่มีประโยชน์:

สำหรับ การกำหนดค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติให้ค้นหาที่จุดตัดของเส้นที่แสดงฟังก์ชันตรีโกณมิติ ตัวอย่างเช่น ไซน์ 30 องศา - เรามองหาคอลัมน์ที่มีส่วนหัวของไซน์ (ไซน์) และค้นหาจุดตัดของคอลัมน์ตารางนี้มีแถว "30 องศา" ที่จุดตัดของพวกเขาเราจะอ่านผลลัพธ์ - ครึ่งหนึ่ง ในทำนองเดียวกันเราก็พบ โคไซน์ 60องศา ไซน์ 60องศา (อีกครั้งที่จุดตัดของคอลัมน์ sin และเส้น 60 องศา เราจะพบค่า sin 60 = √3/2) เป็นต้น ค่าของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ของมุม "ยอดนิยม" อื่น ๆ ก็พบในลักษณะเดียวกัน

ไซน์พาย โคไซน์พาย แทนเจนต์พาย และมุมอื่นๆ ในหน่วยเรเดียน

ตารางด้านล่างของโคไซน์ ไซน์ และแทนเจนต์ยังเหมาะสำหรับการหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่มีการโต้แย้งเป็น ให้ไว้เป็นเรเดียน. เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้คอลัมน์ที่สองของค่ามุม ด้วยเหตุนี้ คุณจึงสามารถแปลงค่าของมุมยอดนิยมจากองศาเป็นเรเดียนได้ ตัวอย่างเช่น ลองหามุม 60 องศาในบรรทัดแรกแล้วอ่านค่าเป็นเรเดียนข้างใต้ 60 องศา เท่ากับ π/3 เรเดียน

ตัวเลขพายแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงการพึ่งพาเส้นรอบวงกับการวัดระดับของมุม ดังนั้น ไพ เรเดียน จึงเท่ากับ 180 องศา

จำนวนใดๆ ที่แสดงเป็นรูปพาย (เรเดียน) สามารถแปลงเป็นองศาได้ง่ายๆ โดยการแทนที่ pi (π) ด้วย 180.

ตัวอย่าง:
1. ไซน์ปี่.
บาป π = บาป 180 = 0
ดังนั้นไซน์ของพายจึงเหมือนกับไซน์ของ 180 องศาและเท่ากับศูนย์

2. โคไซน์ ไพ.
คอส π = คอส 180 = -1
ดังนั้นโคไซน์ของพายจึงเหมือนกับโคไซน์ของ 180 องศา และเท่ากับลบหนึ่ง

3. แทนเจนต์ pi
tg π = tg 180 = 0
ดังนั้น แทนเจนต์ pi จึงเหมือนกับแทนเจนต์ 180 องศา และมีค่าเท่ากับศูนย์

ตารางไซน์ โคไซน์ ค่าแทนเจนต์สำหรับมุม 0 - 360 องศา (ค่าทั่วไป)

หากในตารางค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติมีการระบุเส้นประแทนค่าฟังก์ชัน (แทนเจนต์ (tg) 90 องศา, โคแทนเจนต์ (ctg) 180 องศา) ดังนั้นสำหรับค่าที่กำหนดของการวัดระดับของมุมฟังก์ชัน ไม่มีค่าเฉพาะ หากไม่มีเส้นประ แสดงว่าเซลล์ว่างเปล่า ซึ่งหมายความว่าเรายังไม่ได้ป้อนค่าที่ต้องการ เราสนใจในสิ่งที่ผู้ใช้สอบถามเข้ามาหาเราและเสริมตารางด้วยค่าใหม่ แม้ว่าข้อมูลปัจจุบันเกี่ยวกับค่าของโคไซน์ ไซน์ และแทนเจนต์ของค่ามุมที่พบบ่อยที่สุดก็เพียงพอที่จะแก้ปัญหาส่วนใหญ่ได้ ปัญหา.

ตารางค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ sin, cos, tg สำหรับมุมยอดนิยม
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 องศา
(ค่าตัวเลข “ตามตาราง Bradis”)

ตรีโกณมิติเป็นสาขาหนึ่งของวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ที่ศึกษาฟังก์ชันตรีโกณมิติและการใช้ในเรขาคณิต การพัฒนาตรีโกณมิติเริ่มขึ้นในสมัยกรีกโบราณ ในช่วงยุคกลาง นักวิทยาศาสตร์จากตะวันออกกลางและอินเดียมีส่วนสำคัญในการพัฒนาวิทยาศาสตร์นี้

บทความนี้เกี่ยวข้องกับแนวคิดพื้นฐานและคำจำกัดความของตรีโกณมิติ โดยจะกล่าวถึงคำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐาน ได้แก่ ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ ความหมายของพวกเขาได้รับการอธิบายและแสดงไว้ในบริบทของเรขาคณิต

ยานเดกซ์RTB R-A-339285-1

ในตอนแรก คำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่มีการโต้แย้งเป็นมุมจะแสดงเป็นอัตราส่วนของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก

คำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ไซน์ของมุม (sin α) คืออัตราส่วนของขาที่อยู่ตรงข้ามมุมนี้ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

โคไซน์ของมุม (cos α) - อัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

แทนเจนต์มุม (t g α) - อัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านที่อยู่ติดกัน

โคแทนเจนต์มุม (c t g α) - อัตราส่วนของด้านที่อยู่ติดกันกับด้านตรงข้าม

คำจำกัดความเหล่านี้ให้ไว้สำหรับมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉาก!

เรามายกตัวอย่างกัน

ในรูปสามเหลี่ยม ABC ที่มีมุมฉาก C ไซน์ของมุม A เท่ากับอัตราส่วนของขา BC ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก AB

คำจำกัดความของไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ช่วยให้คุณสามารถคำนวณค่าของฟังก์ชันเหล่านี้จากความยาวที่ทราบของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม

สิ่งสำคัญที่ต้องจำ!

ช่วงของค่าของไซน์และโคไซน์คือตั้งแต่ -1 ถึง 1 กล่าวอีกนัยหนึ่งไซน์และโคไซน์รับค่าตั้งแต่ -1 ถึง 1 ช่วงของค่าของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์คือเส้นจำนวนทั้งหมด นั่นคือฟังก์ชันเหล่านี้สามารถรับค่าใดๆ ก็ได้

คำจำกัดความที่ให้ไว้ข้างต้นใช้กับมุมแหลม ในตรีโกณมิติจะมีการนำแนวคิดของมุมการหมุนมาใช้ซึ่งค่าดังกล่าวไม่เหมือนกับมุมเฉียบพลันซึ่งไม่ได้จำกัดอยู่ที่ 0 ถึง 90 องศา มุมการหมุนในหน่วยองศาหรือเรเดียนแสดงด้วยจำนวนจริงใด ๆ ตั้งแต่ - ∞ถึง + ∞ .

ในบริบทนี้ เราสามารถนิยามไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมขนาดใดก็ได้ ลองจินตนาการถึงวงกลมหนึ่งหน่วยที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดของระบบพิกัดคาร์ทีเซียน

จุดเริ่มต้น A ที่มีพิกัด (1, 0) หมุนรอบจุดศูนย์กลางของวงกลมหน่วยผ่านมุมที่กำหนด α และไปที่จุด A 1 คำจำกัดความได้รับในแง่ของพิกัดของจุด A 1 (x, y)

ไซน์ (บาป) ของมุมการหมุน

ไซน์ของมุมการหมุน α คือพิกัดของจุด A 1 (x, y) บาป α = y

โคไซน์ (cos) ของมุมการหมุน

โคไซน์ของมุมการหมุน α คือค่าแอบซิสซาของจุด A 1 (x, y) คอส α = x

แทนเจนต์ (tg) ของมุมการหมุน

แทนเจนต์ของมุมการหมุน α คืออัตราส่วนของพิกัดของจุด A 1 (x, y) ต่อการตัดทอนของมัน เสื้อ ก α = y x

โคแทนเจนต์ (ctg) ของมุมการหมุน

โคแทนเจนต์ของมุมการหมุน α คืออัตราส่วนของ abscissa ของจุด A 1 (x, y) ต่อพิกัด c t g α = x y

ไซน์และโคไซน์ถูกกำหนดไว้สำหรับมุมการหมุนใดๆ นี่เป็นตรรกะ เนื่องจากสามารถกำหนดจุดหักมุมและพิกัดของจุดหลังการหมุนได้ทุกมุม สถานการณ์แตกต่างกับแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ ค่าแทนเจนต์ไม่ได้ถูกกำหนดไว้เมื่อจุดหลังการหมุนไปยังจุดที่มีจุดหักมุมเป็นศูนย์ (0, 1) และ (0, - 1) ในกรณีเช่นนี้ นิพจน์สำหรับแทนเจนต์ t g α = y x นั้นไม่สมเหตุสมผล เนื่องจากประกอบด้วยการหารด้วยศูนย์ สถานการณ์คล้ายกับโคแทนเจนต์ ข้อแตกต่างก็คือโคแทนเจนต์ไม่ได้ถูกกำหนดไว้ในกรณีที่พิกัดของจุดไปที่ศูนย์

สิ่งสำคัญที่ต้องจำ!

ไซน์และโคไซน์ถูกกำหนดไว้สำหรับมุมใดๆ α

แทนเจนต์ถูกกำหนดไว้สำหรับทุกมุม ยกเว้น α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

โคแทนเจนต์ถูกกำหนดไว้สำหรับทุกมุม ยกเว้น α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

เมื่อตัดสินใจ ตัวอย่างการปฏิบัติอย่าพูดว่า "ไซน์ของมุมการหมุน α" คำว่า "มุมการหมุน" ถูกตัดออกไป หมายความว่าสิ่งที่กำลังพูดคุยกันนั้นชัดเจนอยู่แล้วจากบริบท

ตัวเลข

แล้วคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของตัวเลข ไม่ใช่มุมการหมุนล่ะ?

ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ของจำนวน

ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของจำนวน ทีคือจำนวนที่เท่ากับไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ตามลำดับ ทีเรเดียน.

ตัวอย่างเช่น ไซน์ของเลข 10 π เท่ากับไซน์ของมุมการหมุนของ 10 π rad

มีอีกวิธีหนึ่งในการกำหนดไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของตัวเลข เรามาดูกันดีกว่า

จำนวนจริงใดๆ ทีจุดบนวงกลมหน่วยสัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิดของระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ถูกกำหนดผ่านพิกัดของจุดนี้

จุดเริ่มต้นบนวงกลมคือจุด A ที่มีพิกัด (1, 0)

จำนวนบวก ที

จำนวนลบ ทีสอดคล้องกับจุดที่จุดเริ่มต้นจะไปถ้ามันเคลื่อนที่รอบวงกลมทวนเข็มนาฬิกาและผ่านเส้นทาง t

ตอนนี้ความสัมพันธ์ระหว่างตัวเลขกับจุดบนวงกลมได้ถูกสร้างขึ้นแล้ว เราจะมาดูคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์

ไซน์ (บาป) ของ t

ไซน์ของจำนวน ที- พิกัดของจุดบนวงกลมหน่วยที่สอดคล้องกับตัวเลข ที บาป t = y

โคไซน์ (cos) ของ t

โคไซน์ของจำนวน ที- การแยกจุดของวงกลมหน่วยที่สอดคล้องกับตัวเลข ที เพราะ เสื้อ = x

แทนเจนต์ (tg) ของ t

แทนเจนต์ของตัวเลข ที- อัตราส่วนของพิกัดต่อจุดขาดของจุดบนวงกลมหน่วยที่สอดคล้องกับตัวเลข ที t g t = y x = sin t เพราะ t

คำจำกัดความล่าสุดเป็นไปตามและไม่ขัดแย้งกับคำจำกัดความที่ให้ไว้ตอนต้นของย่อหน้านี้ ชี้ไปที่วงกลมที่ตรงกับตัวเลข ทีเกิดขึ้นพร้อมกับจุดที่จุดเริ่มต้นไปหลังจากเลี้ยวเป็นมุม ทีเรเดียน.

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของอาร์กิวเมนต์เชิงมุมและตัวเลข

แต่ละค่าของมุม α สอดคล้องกับค่าหนึ่งของไซน์และโคไซน์ของมุมนี้ เช่นเดียวกับทุกมุม α นอกเหนือจาก α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) สอดคล้องกับค่าแทนเจนต์ที่แน่นอน โคแทนเจนต์ตามที่ระบุไว้ข้างต้น ถูกกำหนดให้กับ α ทั้งหมด ยกเว้น α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

เราสามารถพูดได้ว่า sin α, cos α, t g α, c t g α เป็นฟังก์ชันของมุมอัลฟา หรือฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์เชิงมุม

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถพูดถึงไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ที่เป็นฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์เชิงตัวเลขได้ ทุกจำนวนจริง ทีสอดคล้องกับค่าหนึ่งของไซน์หรือโคไซน์ของตัวเลข ที. จำนวนทั้งหมดที่ไม่ใช่ π 2 + π · k, k ∈ Z สอดคล้องกับค่าแทนเจนต์ โคแทนเจนต์ในทำนองเดียวกันถูกกำหนดไว้สำหรับตัวเลขทั้งหมด ยกเว้น π · k, k ∈ Z

ฟังก์ชันพื้นฐานของตรีโกณมิติ

ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐาน

โดยปกติแล้วจะชัดเจนจากบริบทว่าเรากำลังเผชิญกับอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติใด (อาร์กิวเมนต์เชิงมุมหรืออาร์กิวเมนต์ตัวเลข)

กลับไปที่คำจำกัดความที่ให้ไว้ที่จุดเริ่มต้นและมุมอัลฟ่าซึ่งอยู่ในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศา คำจำกัดความตรีโกณมิติของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์มีความสอดคล้องกับคำจำกัดความทางเรขาคณิตที่กำหนดโดยอัตราส่วนกว้างยาวของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากโดยสิ้นเชิง มาแสดงกันเถอะ

ลองใช้วงกลมหน่วยที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม ลองหมุนจุดเริ่มต้น A (1, 0) เป็นมุมสูงถึง 90 องศาแล้ววาดตั้งฉากกับแกน abscissa จากจุดผลลัพธ์ A 1 (x, y) ในผลลัพธ์ของสามเหลี่ยมมุมฉาก มุม A 1 O H เท่ากับมุมเลี้ยวαความยาวของขา O H เท่ากับจุดขาดของจุด A 1 (x, y) ความยาวของขาที่อยู่ตรงข้ามมุมจะเท่ากับพิกัดของจุด A 1 (x, y) และความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับ 1 เนื่องจากเป็นรัศมีของวงกลมหนึ่งหน่วย

ตามคำนิยามจากเรขาคณิต ไซน์ของมุม α เท่ากับอัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก

บาป α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

ซึ่งหมายความว่าการหาไซน์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากผ่านอัตราส่วนกว้างยาวจะเทียบเท่ากับการหาไซน์ของมุมการหมุน α โดยที่อัลฟาอยู่ในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศา

ในทำนองเดียวกัน ความสอดคล้องของคำจำกัดความสามารถแสดงสำหรับโคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ได้

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter