สร้างเส้นสัมผัสกันของกราฟของฟังก์ชัน เครื่องคิดเลขออนไลน์ สมการของเส้นแทนเจนต์ตรงกับกราฟของฟังก์ชันที่จุดที่กำหนด

สมการของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน

พี. โรมานอฟ, ต. โรมาโนวา,
แมกนิโตกอร์สค์
ภูมิภาคเชเลียบินสค์

สมการของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน

บทความนี้ได้รับการตีพิมพ์โดยได้รับการสนับสนุนจาก ITAKA+ Hotel Complex เมื่ออยู่ในเมืองของช่างต่อเรือ Severodvinsk คุณจะไม่พบปัญหาในการหาที่อยู่อาศัยชั่วคราว บนเว็บไซต์ของโรงแรมคอมเพล็กซ์ “ITHAKA+” http://itakaplus.ru คุณสามารถเช่าอพาร์ทเมนต์ในเมืองได้อย่างง่ายดายและรวดเร็วทุกช่วงเวลาโดยชำระเงินรายวัน

บน เวทีที่ทันสมัยการพัฒนาการศึกษางานหลักประการหนึ่งคือการสร้างบุคลิกภาพที่มีความคิดสร้างสรรค์ ความสามารถในการสร้างสรรค์ของนักเรียนสามารถพัฒนาได้ก็ต่อเมื่อพวกเขามีส่วนร่วมอย่างเป็นระบบในพื้นฐานของกิจกรรมการวิจัย รากฐานสำหรับนักเรียนในการใช้พลังสร้างสรรค์ ความสามารถ และพรสวรรค์ของตนเองนั้นถูกสร้างขึ้นด้วยความรู้และทักษะที่เต็มเปี่ยม ในเรื่องนี้ปัญหาของการสร้างระบบความรู้และทักษะพื้นฐานสำหรับแต่ละหัวข้อของหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนก็มีความสำคัญไม่น้อย ในเวลาเดียวกันทักษะที่ครบถ้วนควรเป็นเป้าหมายการสอนไม่ใช่ของงานแต่ละงาน แต่เป็นระบบที่คิดอย่างรอบคอบ ในความหมายที่กว้างที่สุด ระบบถูกเข้าใจว่าเป็นชุดขององค์ประกอบการโต้ตอบที่เชื่อมโยงถึงกันซึ่งมีความสมบูรณ์และโครงสร้างที่มั่นคง

ลองพิจารณาเทคนิคในการสอนนักเรียนว่าจะเขียนสมการแทนเจนต์ให้กับกราฟของฟังก์ชันได้อย่างไร โดยพื้นฐานแล้ว ปัญหาทั้งหมดในการค้นหาสมการแทนเจนต์ขึ้นอยู่กับความจำเป็นในการเลือกจากชุด (บันเดิล ตระกูล) ของเส้นตรงที่ตรงตามข้อกำหนด - เส้นเหล่านั้นสัมผัสกับกราฟของฟังก์ชันบางอย่าง ในกรณีนี้ ชุดของบรรทัดที่ใช้เลือกสามารถระบุได้สองวิธี:

ก) จุดที่วางอยู่บนระนาบ xOy (ดินสอเส้นกลาง)
b) ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม (ลำแสงขนานของเส้นตรง)

ในเรื่องนี้ เมื่อศึกษาหัวข้อ “แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน” เพื่อแยกองค์ประกอบของระบบ เราได้ระบุปัญหาไว้ 2 ประเภท คือ

1) ปัญหาเกี่ยวกับแทนเจนต์ที่กำหนดโดยจุดที่มันผ่านไป
2) ปัญหาเกี่ยวกับแทนเจนต์ที่กำหนดโดยความชัน

การฝึกอบรมการแก้ปัญหาแทนเจนต์ดำเนินการโดยใช้อัลกอริทึมที่เสนอโดย A.G. มอร์ดโควิช. ของเขา ความแตกต่างพื้นฐานจากสิ่งที่ทราบอยู่แล้วก็คือว่า abscissa ของจุดแทนเจนต์แสดงด้วยตัวอักษร a (แทนที่จะเป็น x0) ดังนั้นสมการของแทนเจนต์จึงอยู่ในรูปแบบ

y = ฉ(ก) + ฉ "(ก)(x – ก)

(เปรียบเทียบกับ y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)) ในความคิดของเรา เทคนิคระเบียบวิธีนี้ช่วยให้นักเรียนเข้าใจได้อย่างรวดเร็วและง่ายดายว่าพิกัดของจุดปัจจุบันเขียนไว้ที่ใดอย่างรวดเร็วและง่ายดาย สมการแทนเจนต์ทั่วไป และจุดสัมผัสอยู่ที่ไหน

อัลกอริทึมในการเขียนสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y = f(x)

1. กำหนด abscissa ของจุดสัมผัสกันด้วยตัวอักษร a
2. หา f(a)
3. ค้นหา f "(x) และ f "(a)
4. แทนตัวเลขที่พบ a, f(a), f "(a) ลงในสมการแทนเจนต์ทั่วไป y = f(a) = f "(a)(x – a)

อัลกอริทึมนี้สามารถรวบรวมได้บนพื้นฐานของการระบุการปฏิบัติงานโดยอิสระของนักเรียนและลำดับของการนำไปปฏิบัติ

การปฏิบัติแสดงให้เห็นว่าการแก้ปัญหาตามลำดับของแต่ละปัญหาสำคัญโดยใช้อัลกอริทึมช่วยให้คุณพัฒนาทักษะในการเขียนสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันเป็นระยะและขั้นตอนของอัลกอริทึมทำหน้าที่เป็นจุดอ้างอิงสำหรับการดำเนินการ . แนวทางนี้สอดคล้องกับทฤษฎีการก่อตัวของการกระทำทางจิตอย่างค่อยเป็นค่อยไปซึ่งพัฒนาโดย P.Ya Galperin และ N.F. ทาลิซินา.

ในงานประเภทแรก มีการระบุงานหลักสองงาน:

• แทนเจนต์ผ่านจุดที่วางอยู่บนเส้นโค้ง (ปัญหาที่ 1)
• แทนเจนต์ผ่านจุดที่ไม่อยู่บนเส้นโค้ง (ปัญหาที่ 2)

ภารกิจที่ 1. เขียนสมการแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน ที่จุด M(3; – 2)

สารละลาย. จุด M(3; – 2) เป็นจุดสัมผัส เนื่องจาก

1. a = 3 – abscissa ของจุดสัมผัสกัน
2. ฉ(3) = – 2.
3. ฉ "(x) = x 2 – 4, ฉ "(3) = 5
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – สมการแทนเจนต์

ปัญหาที่ 2 เขียนสมการแทนเจนต์ทั้งหมดลงในกราฟของฟังก์ชัน y = – x 2 – 4x + 2 ที่ผ่านจุด M(– 3; 6)

สารละลาย. จุด M(– 3; 6) ไม่ใช่จุดสัมผัส เนื่องจาก f(– 3) 6 (รูปที่ 2)

2. ฉ(ก) = – ก 2 – 4a + 2
3. ฉ "(x) = – 2x – 4, ฉ "(ก) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – สมการแทนเจนต์

แทนเจนต์ผ่านจุด M(– 3; 6) ดังนั้นพิกัดของมันจึงเป็นไปตามสมการแทนเจนต์

6 = – ก 2 – 4ก + 2 – 2(ก + 2)(– 3 – ก)
2 + 6a + 8 = 0↑ ก 1 = – 4, ก 2 = – 2.

ถ้า a = – 4 แล้วสมการแทนเจนต์จะเป็น y = 4x + 18

ถ้า a = – 2 สมการแทนเจนต์จะมีรูปแบบ y = 6

ในประเภทที่สอง งานหลักจะเป็นดังนี้:

• แทนเจนต์ขนานกับเส้นบางเส้น (ปัญหา 3)
• แทนเจนต์ผ่านมุมหนึ่งไปยังเส้นที่กำหนด (ปัญหาที่ 4)

ปัญหาที่ 3 เขียนสมการแทนเจนต์ทั้งหมดลงในกราฟของฟังก์ชัน y = x 3 – 3x 2 + 3 ขนานกับเส้นตรง y = 9x + 1

สารละลาย.

1. a – abscissa ของจุดสัมผัสกัน
2. ฉ(ก) = ก 3 – 3a 2 + 3
3. ฉ "(x) = 3x 2 – 6x, ฉ "(a) = 3a 2 – 6a

แต่ในทางกลับกัน f "(a) = 9 (เงื่อนไขความขนาน) ซึ่งหมายความว่าเราต้องแก้สมการ 3a 2 – 6a = 9 รากของมันคือ a = – 1, a = 3 (รูปที่ 3 ).

4. 1) ก = – 1;
2) ฉ(– 1) = – 1;
3) ฉ "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – สมการแทนเจนต์;

1) ก = 3;
2) ฉ(3) = 3;
3) ฉ "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – สมการแทนเจนต์

ปัญหาที่ 4 เขียนสมการแทนเจนต์ลงในกราฟของฟังก์ชัน y = 0.5x 2 – 3x + 1 โดยส่งผ่านมุม 45° ไปยังเส้นตรง y = 0 (รูปที่ 4)

สารละลาย. จากเงื่อนไข f "(a) = tan 45° เราพบว่า a: a – 3 = 1^a = 4.

1. a = 4 – abscissa ของจุดสัมผัสกัน
2. ฉ(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. ฉ "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4)

y = x – 7 – สมการแทนเจนต์

เป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่าการแก้ปัญหาอื่น ๆ ขึ้นอยู่กับการแก้ปัญหาสำคัญอย่างน้อยหนึ่งปัญหา ลองพิจารณาปัญหาสองข้อต่อไปนี้เป็นตัวอย่าง

1. เขียนสมการของแทนเจนต์ลงในพาราโบลา y = 2x 2 – 5x – 2 หากแทนเจนต์ตัดกันที่มุมขวาและมีอันใดอันหนึ่งแตะพาราโบลาที่จุดด้วย abscissa 3 (รูปที่ 5)

สารละลาย. เนื่องจากให้ค่า abscissa ของจุดสัมผัส ส่วนแรกของการแก้ปัญหาจึงลดลงเป็นปัญหาหลัก 1

1. a = 3 – abscissa ของจุดสัมผัสของด้านใดด้านหนึ่งของมุมฉาก
2. ฉ(3) = 1.
3. ฉ "(x) = 4x – 5, ฉ "(3) = 7
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – สมการของแทนเจนต์แรก

ให้ก – มุมเอียงของแทนเจนต์แรก เนื่องจากแทนเจนต์ตั้งฉากกัน มุมเอียงของแทนเจนต์ที่สองจึงเป็นมุมเอียง จากสมการ y = 7x – 20 ของแทนเจนต์แรก เรามี tg a = 7 มาหากัน

ซึ่งหมายความว่าความชันของแทนเจนต์ที่สองเท่ากับ

แนวทางแก้ไขเพิ่มเติมอยู่ที่งานหลัก 3

ให้ B(c; f(c)) เป็นจุดสัมผัสของเส้นที่สอง

1. – ละทิ้งจุดสัมผัสที่สอง
2.
3.
4.
– สมการของแทนเจนต์ที่สอง

บันทึก. ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นสัมผัสกันจะหาได้ง่ายขึ้นถ้านักเรียนรู้อัตราส่วนของค่าสัมประสิทธิ์ของเส้นตั้งฉาก k 1 k 2 = – 1

2. เขียนสมการของแทนเจนต์ร่วมทั้งหมดลงในกราฟของฟังก์ชัน

สารละลาย. ภารกิจอยู่ที่การค้นหา abscissa ของจุดแทนเจนต์ของแทนเจนต์ทั่วไปนั่นคือการแก้ปัญหาสำคัญ 1 ในรูปแบบทั่วไป จัดทำระบบสมการแล้วแก้ไข (รูปที่ 6)

1. ให้ a เป็น abscissa ของจุดแทนเจนต์ที่วางอยู่บนกราฟของฟังก์ชัน y = x 2 + x + 1
2. ฉ(ก) = ก 2 + ก + 1
3. ฉ "(ก) = 2a + 1
4. y = ก 2 + ก + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2

1. ให้ c เป็น abscissa ของจุดแทนเจนต์ที่วางอยู่บนกราฟของฟังก์ชัน
2.
3. ฉ "(ค) = ค.
4.

เนื่องจากแทนเจนต์เป็นเรื่องทั่วไปแล้ว

ดังนั้น y = x + 1 และ y = – 3x – 3 จึงเป็นเส้นสัมผัสกันทั่วไป

เป้าหมายหลักของงานที่พิจารณาคือการเตรียมนักเรียนให้รับรู้ประเภทของปัญหาหลักอย่างอิสระเมื่อแก้ไขปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้นซึ่งต้องใช้ทักษะการวิจัยบางอย่าง (ความสามารถในการวิเคราะห์ เปรียบเทียบ สรุป สรุป ตั้งสมมติฐาน ฯลฯ ) งานดังกล่าวรวมถึงงานใดๆ ที่งานหลักถูกรวมไว้เป็นส่วนประกอบ ให้เราพิจารณาเป็นตัวอย่างปัญหา (ตรงกันข้ามกับปัญหา 1) ในการค้นหาฟังก์ชันจากตระกูลแทนเจนต์ของมัน

3. เส้นตรง y = x และ y = – 2x แทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน y = x 2 + bx + c สำหรับ b และ c คืออะไร?

สารละลาย.

ให้ t เป็น abscissa ของจุดสัมผัสของเส้นตรง y = x โดยมีพาราโบลา y = x 2 + bx + c; p คือจุดหักล้างของจุดสัมผัสของเส้นตรง y = – 2x โดยมีพาราโบลา y = x 2 + bx + c จากนั้นสมการแทนเจนต์ y = x จะอยู่ในรูปแบบ y = (2t + b)x + c – t 2 และสมการแทนเจนต์ y = – 2x จะอยู่ในรูปแบบ y = (2p + b)x + c – p 2 .

มาเขียนและแก้ระบบสมการกัน

คำตอบ:

ปัญหาที่ต้องแก้ไขอย่างอิสระ

1. เขียนสมการของแทนเจนต์ที่วาดลงบนกราฟของฟังก์ชัน y = 2x 2 – 4x + 3 ที่จุดตัดของกราฟด้วยเส้น y = x + 3

คำตอบ: y = – 4x + 3, y = 6x – 9.5

2. ค่าใดที่แทนเจนต์ดึงไปยังกราฟของฟังก์ชัน y = x 2 – ax ที่จุดของกราฟโดยมี abscissa x 0 = 1 ผ่านจุด M(2; 3)?

คำตอบ: ก = 0.5

3. เส้นตรง y = px – 5 แตะเส้นโค้ง y = 3x 2 – 4x – 2 มีค่าเท่าใด

คำตอบ: หน้า 1 = – 10, หน้า 2 = 2

4. ค้นหาจุดร่วมทั้งหมดของกราฟของฟังก์ชัน y = 3x – x 3 และแทนเจนต์ที่วาดมายังกราฟนี้ผ่านจุด P(0; 16)

คำตอบ: ก(2; – 2), ข(– 4; 52)

5. จงหาระยะห่างที่สั้นที่สุดระหว่างพาราโบลา y = x 2 + 6x + 10 กับเส้นตรง

คำตอบ:

6. บนเส้นโค้ง y = x 2 – x + 1 ให้หาจุดที่เส้นสัมผัสของกราฟขนานกับเส้นตรง y – 3x + 1 = 0

คำตอบ: ม(2; 3)

7. เขียนสมการแทนเจนต์ลงในกราฟของฟังก์ชัน y = x 2 + 2x – | 4x | ซึ่งแตะจุดสองจุด วาดรูป.

คำตอบ: y = 2x – 4

8. พิสูจน์ว่าเส้นตรง y = 2x – 1 ไม่ได้ตัดกับเส้นโค้ง y = x 4 + 3x 2 + 2x ค้นหาระยะห่างระหว่างจุดที่ใกล้เคียงที่สุด

คำตอบ:

9. บนพาราโบลา y = x 2 จุดสองจุดจะถูกลากโดยมีจุดหักมุม x 1 = 1, x 2 = 3 เส้นตัดจะถูกลากผ่านจุดเหล่านี้ เส้นสัมผัสกันของพาราโบลาจะขนานกับเส้นตัดที่จุดใดของพาราโบลา? เขียนสมการซีแคนต์และแทนเจนต์

คำตอบ: y = 4x – 3 – สมการซีแคนต์; y = 4x – 4 – สมการแทนเจนต์

10. ค้นหามุม q ระหว่างแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1 วาดที่จุดด้วย abscissas 0 และ 1

คำตอบ: q = 45°

11. แทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันมีมุม 135° กับแกน Ox ที่จุดใด

คำตอบ: ก(0; – 1), ข(4; 3)

12. ที่จุด A(1; 8) ถึงเส้นโค้ง แทนเจนต์ถูกดึงออกมา ค้นหาความยาวของส่วนแทนเจนต์ระหว่างแกนพิกัด

คำตอบ:

13. เขียนสมการแทนเจนต์ร่วมทั้งหมดลงในกราฟของฟังก์ชัน y = x 2 – x + 1 และ y = 2x 2 – x + 0.5

คำตอบ: y = – 3x และ y = x

14. ค้นหาระยะห่างระหว่างเส้นสัมผัสกันกับกราฟของฟังก์ชัน ขนานกับแกน x

คำตอบ:

15. จงพิจารณาว่าพาราโบลา y = x 2 + 2x – 8 มีมุมตัดกับแกน x อยู่ที่มุมใด

คำตอบ: q 1 = อาร์กแทน 6, q 2 = อาร์กแทน (– 6)

16. กราฟฟังก์ชัน ค้นหาจุดทั้งหมด โดยค่าแทนเจนต์ของแต่ละจุดของกราฟจะตัดกับครึ่งแกนบวกของพิกัด โดยตัดส่วนที่เท่ากันออกจากจุดเหล่านั้น

คำตอบ: ก(– 3; 11)

17. เส้นตรง y = 2x + 7 และพาราโบลา y = x 2 – 1 ตัดกันที่จุด M และ N จงหาจุด K ของจุดตัดของเส้นตรงที่สัมผัสกับพาราโบลาที่จุด M และ N

คำตอบ: K(1; – 9)

18. เส้น y = 9x + b แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y = x 3 – 3x + 15 เป็นค่าใดของ b

คำตอบ: – 1; 31.

19. เส้นตรง y = kx – 10 มีจุดร่วมเพียงจุดเดียวกับกราฟของฟังก์ชัน y = 2x 2 + 3x – 2 สำหรับค่า k ใด สำหรับค่า k ที่พบ ให้กำหนดพิกัดของจุด

คำตอบ: k 1 = – 5, A(– 2; 0); k 2 = 11, B(2; 12)

20. ค่าของ b ที่แทนเจนต์วาดไปที่กราฟของฟังก์ชัน y = bx 3 – 2x 2 – 4 ที่จุดที่มี abscissa x 0 = 2 ผ่านจุด M(1; 8)?

คำตอบ: ข = – 3

21. พาราโบลาที่มีจุดยอดบนแกน Ox แตะเส้นที่ผ่านจุด A(1; 2) และ B(2; 4) ที่จุด B จงหาสมการของพาราโบลา

คำตอบ:

22. พาราโบลา y = x 2 + kx + 1 สัมผัสกับแกน Ox ที่มีค่าสัมประสิทธิ์ k เท่ากับเท่าใด

คำตอบ: k = d 2

23. จงหามุมระหว่างเส้นตรง y = x + 2 และเส้นโค้ง y = 2x 2 + 4x – 3

29. จงหาระยะห่างระหว่างแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันกับตัวกำเนิดด้วยทิศทางบวกของแกน Ox ที่มุม 45°

คำตอบ:

30. จงหาตำแหน่งของจุดยอดของพาราโบลาทั้งหมดในรูปแบบ y = x 2 + ax + b สัมผัสกันกับเส้นตรง y = 4x – 1

คำตอบ: เส้นตรง y = 4x + 3

วรรณกรรม

1. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina M.V. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: 3,600 ปัญหาสำหรับเด็กนักเรียนและผู้เข้ามหาวิทยาลัย – ม., บัสตาร์ด, 1999.
2. Mordkovich A. สัมมนา 4 สำหรับครูรุ่นเยาว์ หัวข้อ: การประยุกต์อนุพันธ์ – ม., “คณิตศาสตร์”, เลขที่ 21/94.
3. การสร้างความรู้และทักษะตามทฤษฎีการดูดซึมการกระทำทางจิตอย่างค่อยเป็นค่อยไป / เอ็ด. พ.ย. กัลเปรินา, N.F. ทาลิซินา. – ม., มหาวิทยาลัยแห่งรัฐมอสโก, 2511

แทนเจนต์เป็นเส้นตรงที่ลากผ่านจุดบนเส้นโค้งและขนานกัน ณ จุดนี้จนถึงลำดับแรก (รูปที่ 1)

ความหมายอื่น: นี่คือตำแหน่งจำกัดของเส้นตัดที่ Δ x→0.

คำอธิบาย: ใช้เส้นตรงตัดเส้นโค้งที่จุดสองจุด: กและ ข(ดูภาพ) นี่คือซีแคนต์ เราจะหมุนตามเข็มนาฬิกาจนกว่าจะพบจุดร่วมเพียงจุดเดียวที่มีเส้นโค้ง นี่จะให้เส้นสัมผัสกัน

คำจำกัดความที่เข้มงวดของแทนเจนต์:

แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน ฉ, หาอนุพันธ์ได้ตรงจุด xโอ, เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด ( xโอ; ฉ(xโอ)) และมีความชัน ฉ′( xโอ).

ความชันมีเส้นตรงตามรูปทรง ย =เคเอ็กซ์ +ข. ค่าสัมประสิทธิ์ เคและคือ ความลาดชันเส้นตรงนี้

ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมเท่ากับค่าแทนเจนต์ของมุมแหลมที่เกิดจากเส้นตรงนี้กับแกนแอบซิสซา:

โดยที่มุม α คือมุมระหว่างเส้นตรง ย =เคเอ็กซ์ +ขและทิศทางบวก (ทวนเข็มนาฬิกา) ของแกน x มันถูกเรียกว่า มุมเอียงของเส้นตรง(รูปที่ 1 และ 2)

ถ้ามุมเอียงเป็นเส้นตรง ย =เคเอ็กซ์ +ขเฉียบพลัน แล้วความชันเป็นจำนวนบวก กราฟกำลังเพิ่มขึ้น (รูปที่ 1)

ถ้ามุมเอียงเป็นเส้นตรง ย =เคเอ็กซ์ +ขเป็นรูปป้าน แล้วความชันเป็นจำนวนลบ กราฟกำลังลดลง (รูปที่ 2)

ถ้าเส้นตรงขนานกับแกน x มุมเอียงของเส้นตรงจะเป็นศูนย์ ในกรณีนี้ ความชันของเส้นจะเป็นศูนย์ด้วย (เนื่องจากแทนเจนต์ของศูนย์คือศูนย์) สมการของเส้นตรงจะมีลักษณะดังนี้ y = b (รูปที่ 3)

ถ้ามุมเอียงของเส้นตรงคือ 90° (π/2) นั่นคือ มุมเอียงของเส้นตรงจะตั้งฉากกับแกนแอบซิสซา ดังนั้นเส้นตรงจะได้รับจากความเท่าเทียมกัน x=ค, ที่ไหน ค– จำนวนจริงบางส่วน (รูปที่ 4)

สมการของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันย = ฉ(x) ณ จุดนั้น xโอ:

ตัวอย่าง: ค้นหาสมการของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน ฉ(x) = x 3 – 2x 2 + 1 ที่จุดที่มีแอบซิสซา 2

สารละลาย .

เราปฏิบัติตามอัลกอริทึม

1) จุดสัมผัส xโอเท่ากับ 2. คำนวณ ฉ(xโอ):

ฉ(xโอ) = ฉ(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) ค้นหา ฉ′( x). ในการดำเนินการนี้ เราใช้สูตรการสร้างความแตกต่างที่ระบุไว้ในส่วนที่แล้ว ตามสูตรเหล่านี้ เอ็กซ์ 2 = 2เอ็กซ์, ก เอ็กซ์ 3 = 3เอ็กซ์ 2. วิธี:

ฉ′( x) = 3เอ็กซ์ 2 – 2 ∙ 2เอ็กซ์ = 3เอ็กซ์ 2 – 4เอ็กซ์.

ตอนนี้ใช้ค่าผลลัพธ์ ฉ′( x) คำนวณ ฉ′( xโอ):

ฉ′( xโอ) = ฉ′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4

3) ดังนั้นเราจึงมีข้อมูลที่จำเป็นทั้งหมด: xโอ = 2, ฉ(xโอ) = 1, ฉ ′( xโอ) = 4 แทนตัวเลขเหล่านี้ลงในสมการแทนเจนต์แล้วหาคำตอบสุดท้าย:

ย = ฉ(xโอ) + ฉ′( xโอ) (x – xo) = 1 + 4 ∙ (x – 2) = 1 + 4x – 8 = –7 + 4x = 4x – 7

คำตอบ: y = 4x – 7

ในบทความนี้เราจะวิเคราะห์ปัญหาทุกประเภทเพื่อค้นหา

มาจำกัน ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์: ถ้าวาดแทนเจนต์ไปที่กราฟของฟังก์ชันที่จุดหนึ่ง ค่าสัมประสิทธิ์ความชันของแทนเจนต์ (เท่ากับแทนเจนต์ของมุมระหว่างแทนเจนต์กับทิศทางบวกของแกน) จะเท่ากับอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ตรงจุด

ลองใช้จุดใดก็ได้บนแทนเจนต์ด้วยพิกัด:

และพิจารณาด้วย สามเหลี่ยมมุมฉาก :

ในรูปสามเหลี่ยมนี้

จากที่นี่

นี่คือสมการของแทนเจนต์ที่ลากไปยังกราฟของฟังก์ชันที่จุดนั้น

ในการเขียนสมการแทนเจนต์ เราเพียงแต่ต้องรู้สมการของฟังก์ชันและจุดที่วาดแทนเจนต์เท่านั้น จากนั้นเราจะสามารถค้นหา และ .

โจทย์สมการแทนเจนต์มีสามประเภทหลักๆ

1. มีจุดติดต่อ

2. ให้ค่าสัมประสิทธิ์ความชันแทนเจนต์ นั่นคือค่าของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุด

3. กำหนดให้คือพิกัดของจุดที่วาดแทนเจนต์ แต่ไม่ใช่จุดสัมผัส

มาดูงานแต่ละประเภทกันดีกว่า

1. เขียนสมการแทนเจนต์ลงในกราฟของฟังก์ชัน ตรงจุด .

.

b) ค้นหามูลค่าของอนุพันธ์ ณ จุด . ก่อนอื่น มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกันก่อน

แทนที่ค่าที่พบลงในสมการแทนเจนต์:

ลองเปิดวงเล็บทางด้านขวาของสมการกัน เราได้รับ:

คำตอบ: .

2. ค้นหาจุดแอบซิสซาของจุดที่ฟังก์ชันสัมผัสกันกับกราฟ ขนานกับแกน x

ถ้าแทนเจนต์ขนานกับแกน x มุมระหว่างแทนเจนต์กับทิศทางบวกของแกนจึงเป็นศูนย์ ดังนั้นแทนเจนต์ของมุมแทนเจนต์จึงเป็นศูนย์ ซึ่งหมายความว่าค่าของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ที่จุดสัมผัสเป็นศูนย์

ก) ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน .

b) ลองเทียบอนุพันธ์ให้เป็นศูนย์แล้วค้นหาค่าที่แทนเจนต์ขนานกับแกน:

เมื่อเทียบแต่ละปัจจัยให้เป็นศูนย์ เราจะได้:

คำตอบ: 0;3;5

3. เขียนสมการแทนเจนต์ลงในกราฟของฟังก์ชัน , ขนาน ตรง .

แทนเจนต์ขนานกับเส้นตรง ความชันของเส้นนี้คือ -1 เนื่องจากแทนเจนต์ขนานกับเส้นนี้ ดังนั้น ความชันของแทนเจนต์จึงเป็น -1 ด้วย นั่นคือ เรารู้ความชันของแทนเจนต์และด้วยเหตุนี้ มูลค่าอนุพันธ์ ณ จุดสัมผัส.

นี่เป็นปัญหาประเภทที่สองในการค้นหาสมการแทนเจนต์

ดังนั้นเราจึงได้ฟังก์ชันและค่าของอนุพันธ์ ณ จุดสัมผัสกัน

ก) ค้นหาจุดที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันเท่ากับ -1

ก่อนอื่น มาหาสมการอนุพันธ์กันก่อน

ลองเทียบอนุพันธ์กับเลข -1 กัน

ลองหาค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนั้นกัน

(ตามเงื่อนไข)

.

b) ค้นหาสมการของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันที่จุด .

ลองหาค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนั้นกัน

(ตามเงื่อนไข)

ลองแทนค่าเหล่านี้ลงในสมการแทนเจนต์:

.

คำตอบ:

4. เขียนสมการแทนเจนต์ให้กับเส้นโค้ง , ผ่านจุดหนึ่ง

ขั้นแรก ลองตรวจสอบว่าจุดนั้นเป็นจุดสัมผัสกันหรือไม่ หากจุดหนึ่งเป็นจุดสัมผัสกัน จุดนั้นจะอยู่ในกราฟของฟังก์ชัน และพิกัดของจุดนั้นต้องเป็นไปตามสมการของฟังก์ชัน ลองแทนพิกัดของจุดลงในสมการของฟังก์ชันกัน

Title="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем !} จำนวนลบความเท่าเทียมกันไม่เป็นความจริง และจุดไม่อยู่ในกราฟของฟังก์ชัน และ ไม่ใช่จุดติดต่อ

นี่เป็นปัญหาประเภทสุดท้ายในการค้นหาสมการแทนเจนต์ สิ่งแรก เราจำเป็นต้องหาแอบซิสซาของจุดสัมผัสกัน.

มาหาค่ากัน.

ให้เป็นจุดติดต่อ จุดนั้นเป็นของแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน หากเราแทนพิกัดของจุดนี้ลงในสมการแทนเจนต์ เราจะได้ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง:

.

ค่าของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งคือ .

ลองหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดนั้นกัน

ก่อนอื่น มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกันก่อน นี้ .

อนุพันธ์ ณ จุดหนึ่งเท่ากับ .

ลองแทนนิพจน์ของ และ เข้าไปในสมการแทนเจนต์กัน เราได้รับสมการสำหรับ:

เรามาแก้สมการนี้กัน

ลดตัวเศษและส่วนของเศษส่วนลง 2:

ให้เราลดด้านขวาของสมการลง ตัวส่วนร่วม. เราได้รับ:

ลองลดความซับซ้อนของเศษของเศษส่วนแล้วคูณทั้งสองข้างด้วย - นิพจน์นี้มากกว่าศูนย์อย่างเคร่งครัด

เราได้สมการ

มาแก้กันเถอะ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เรามายกกำลังทั้งสองส่วนแล้วไปที่ระบบกัน

Title="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0 ) ))( )">!}

มาแก้สมการแรกกัน

มาตัดสินใจกัน สมการกำลังสอง, เราได้รับ

รูทที่สองไม่ตรงตามเงื่อนไข title="8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

ลองเขียนสมการแทนเจนต์ของเส้นโค้งที่จุดนั้น เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แทนค่าลงในสมการ - เราบันทึกไว้แล้ว

คำตอบ:
.

หมายเหตุสำคัญ!
1. หากคุณเห็น gobbledygook แทนที่จะเป็นสูตร ให้ล้างแคชของคุณ วิธีการทำเช่นนี้ในเบราว์เซอร์ของคุณเขียนไว้ที่นี่:
2. ก่อนที่คุณจะเริ่มอ่านบทความ โปรดใส่ใจกับเนวิเกเตอร์ของเราให้มากที่สุด ทรัพยากรที่เป็นประโยชน์สำหรับ

คุณรู้อยู่แล้วว่าอนุพันธ์คืออะไร? ถ้าไม่ก็อ่านหัวข้อก่อน แล้วคุณบอกว่าคุณรู้อนุพันธ์ มาตรวจสอบกันตอนนี้เลย ค้นหาส่วนเพิ่มของฟังก์ชันเมื่อส่วนเพิ่มของอาร์กิวเมนต์เท่ากับ คุณจัดการหรือไม่? มันควรจะทำงาน ตอนนี้หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่ง คำตอบ: . เกิดขึ้น? หากคุณประสบปัญหากับตัวอย่างเหล่านี้ ฉันขอแนะนำให้คุณกลับไปที่หัวข้อและศึกษาอีกครั้ง ฉันรู้ว่าหัวข้อนี้ใหญ่มาก แต่อย่างอื่นก็ไม่มีประโยชน์ที่จะไปต่อ พิจารณากราฟของฟังก์ชันบางอย่าง:

ลองเลือกจุดใดจุดหนึ่งบนเส้นกราฟ ปล่อยให้มันเป็น Abscissa แล้วเลขลำดับก็เท่ากัน จากนั้นเราเลือกจุดที่มี abscissa ใกล้กับจุดนั้น ลำดับของมันคือ:

ลองวาดเส้นตรงผ่านจุดเหล่านี้กัน มันถูกเรียกว่าซีแคนต์ (เช่นเดียวกับในเรขาคณิต) ให้เราแสดงมุมเอียงของเส้นตรงกับแกนดังนี้ เช่นเดียวกับวิชาตรีโกณมิติ มุมนี้จะวัดจากทิศทางบวกของแกน x ทวนเข็มนาฬิกา มุมสามารถรับค่าอะไรได้บ้าง? ไม่ว่าคุณจะเอียงเส้นตรงนี้อย่างไร ครึ่งหนึ่งก็จะยังคงอยู่ ดังนั้น มุมที่เป็นไปได้สูงสุดคือ และมุมต่ำสุดที่เป็นไปได้คือ วิธี, . ไม่รวมมุมเนื่องจากตำแหน่งของเส้นตรงในกรณีนี้เกิดขึ้นพร้อมกันทุกประการและมีเหตุผลมากกว่าที่จะเลือกมุมที่เล็กกว่า ลองพิจารณาจุดในรูปว่าเส้นตรงขนานกับแกนแอบซิสซาและ a คือแกนพิกัด:

จากรูปจะเห็นได้ว่า ก. ดังนั้นอัตราส่วนที่เพิ่มขึ้นคือ:

(เนื่องจากเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า)

ตอนนี้มาลดกันเถอะ แล้วจุดจะเข้าใกล้จุด เมื่อมีค่าน้อยที่สุด อัตราส่วนจะเท่ากับอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดนั้น จะเกิดอะไรขึ้นกับซีแคนต์? จุดจะอยู่ใกล้กับจุดนั้นอย่างไม่สิ้นสุดจึงถือว่าจุดเดียวกันได้ แต่เส้นตรงที่มีจุดร่วมเพียงจุดเดียวและเส้นโค้งนั้นไม่มีอะไรมากไปกว่า แทนเจนต์(ในกรณีนี้จะตรงตามเงื่อนไขนี้เท่านั้น พื้นที่ขนาดเล็ก- ใกล้ตรงประเด็นแต่แค่นี้ก็เพียงพอแล้ว) พวกเขาบอกว่าในกรณีนี้ผู้ตัดออกจะใช้เวลา ตำแหน่งจำกัด.

ลองเรียกมุมเอียงของเส้นตัดกับแกนกัน แล้วปรากฎว่าเป็นอนุพันธ์

นั่นคือ อนุพันธ์จะเท่ากับแทนเจนต์ของมุมเอียงของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันที่จุดที่กำหนด

เนื่องจากแทนเจนต์คือเส้นตรง ตอนนี้เรามาจำสมการของเส้นกัน:

ค่าสัมประสิทธิ์รับผิดชอบคืออะไร? เพื่อความชันของเส้นตรง นี่คือสิ่งที่เรียกว่า: ความลาดชัน. มันหมายความว่าอะไร? และความจริงที่ว่ามันเท่ากับแทนเจนต์ของมุมระหว่างเส้นตรงกับแกน! นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้น:

แต่เราได้กฎนี้มาจากการพิจารณาฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น จะเกิดอะไรขึ้นถ้าฟังก์ชั่นลดลง? มาดูกัน:
ตอนนี้มุมป้าน และการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันเป็นลบ ลองพิจารณาอีกครั้ง: . อีกด้านหนึ่ง.. เราได้รับ: นั่นคือทุกอย่างเหมือนกับครั้งที่แล้ว ให้เรากำหนดทิศทางของจุดไปยังจุดนั้นอีกครั้ง และเส้นตัดของเส้นตัดจะเข้าสู่ตำแหน่งที่จำกัด นั่นคือ มันจะเปลี่ยนเป็นเส้นสัมผัสของกราฟของฟังก์ชันที่จุดนั้น ดังนั้น เรามากำหนดกฎข้อสุดท้ายกัน:
อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดที่กำหนดจะเท่ากับแทนเจนต์ของมุมเอียงของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดนี้ หรือ (ซึ่งเหมือนกัน) ความชันของแทนเจนต์นี้:

นั่นคือสิ่งที่มันเป็น ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์โอเค ทั้งหมดนี้น่าสนใจ แต่ทำไมเราถึงต้องการมัน? ที่นี่ ตัวอย่าง:
รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชันและค่าแทนเจนต์ของฟังก์ชันที่จุดแอบซิสซา ค้นหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดนั้น
สารละลาย.
ดังที่เราค้นพบเมื่อเร็ว ๆ นี้ ค่าของอนุพันธ์ ณ จุดแทนเจนต์จะเท่ากับความชันของแทนเจนต์ ซึ่งจะเท่ากับแทนเจนต์ของมุมเอียงของแทนเจนต์นี้กับแกน abscissa: . ซึ่งหมายความว่าในการหาค่าของอนุพันธ์ เราจำเป็นต้องหาค่าแทนเจนต์ของมุมแทนเจนต์ ในรูปเราได้ทำเครื่องหมายจุดสองจุดที่วางอยู่บนเส้นสัมผัสกันซึ่งเราทราบพิกัดแล้ว เรามาสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากที่ผ่านจุดเหล่านี้แล้วหาแทนเจนต์ของมุมแทนเจนต์กันดีกว่า!

มุมเอียงของเส้นสัมผัสกันกับแกนคือ ลองหาแทนเจนต์ของมุมนี้: . ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งจะเท่ากับ
คำตอบ:. ตอนนี้ลองด้วยตัวคุณเอง:

คำตอบ:

รู้ ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์เราสามารถอธิบายกฎได้ง่ายๆ ว่าอนุพันธ์ ณ จุดสูงสุดหรือต่ำสุดในพื้นที่นั้นเท่ากับศูนย์ อันที่จริง ค่าแทนเจนต์ของกราฟที่จุดเหล่านี้คือ “แนวนอน” ซึ่งก็คือ ขนานกับแกน x:

ทำไม เท่ากับมุมระหว่างเส้นคู่ขนาน? แน่นอนศูนย์! และแทนเจนต์ของศูนย์ก็เป็นศูนย์ด้วย ดังนั้นอนุพันธ์จึงเท่ากับศูนย์:

อ่านเพิ่มเติมเกี่ยวกับสิ่งนี้ในหัวข้อ “ความน่าเบื่อหน่ายของฟังก์ชัน จุดสุดยอด”

ทีนี้มาเน้นที่แทนเจนต์ตามอำเภอใจกัน สมมติว่าเรามีฟังก์ชันบางอย่าง เช่น . เราได้วาดกราฟของมันแล้วและต้องการวาดแทนเจนต์ ณ จุดใดจุดหนึ่ง เช่น ณ จุดหนึ่ง เราใช้ไม้บรรทัดแนบไปกับกราฟแล้ววาด:

เรารู้อะไรเกี่ยวกับบรรทัดนี้? สิ่งสำคัญที่สุดที่ต้องรู้เกี่ยวกับเส้นบนระนาบพิกัดคืออะไร? เนื่องจากเส้นตรงเป็นภาพของฟังก์ชันเชิงเส้น จึงสะดวกมากที่จะรู้สมการของมัน นั่นคือสัมประสิทธิ์ในสมการ

แต่เรารู้แล้ว! นี่คือความชันของแทนเจนต์ ซึ่งเท่ากับอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดนั้น:

ในตัวอย่างของเรามันจะเป็นดังนี้:

ตอนนี้สิ่งที่เหลืออยู่ก็คือการค้นหามัน มันง่ายเหมือนปลอกลูกแพร์: ท้ายที่สุดแล้ว - คุณค่าของ ในเชิงกราฟิก นี่คือพิกัดของจุดตัดของเส้นกับแกนกำหนด (ท้ายที่สุดคือที่ทุกจุดของแกน):

มาวาดมันกัน (เพื่อให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า) จากนั้น (ไปยังมุมเดียวกันระหว่างแทนเจนต์กับแกน x) คืออะไรและเท่ากับ? ตัวเลขแสดงให้เห็นชัดเจนว่า ก. จากนั้นเราจะได้รับ:

เรารวมสูตรที่ได้รับทั้งหมดเข้ากับสมการของเส้นตรง:

ตอนนี้ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

1. หา สมการแทนเจนต์ไปยังฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง
2. เส้นสัมผัสของพาราโบลาตัดแกนเป็นมุม ค้นหาสมการของแทนเจนต์นี้
3. เส้นตรงขนานกับเส้นสัมผัสกันของกราฟของฟังก์ชัน ค้นหาแอบซิสซาของจุดสัมผัสกัน
4. เส้นตรงขนานกับเส้นสัมผัสกันของกราฟของฟังก์ชัน ค้นหาแอบซิสซาของจุดสัมผัสกัน

แนวทางแก้ไขและคำตอบ:

สมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน คำอธิบายโดยย่อและสูตรพื้นฐาน

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดใดจุดหนึ่งจะเท่ากับแทนเจนต์ของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดนี้ หรือความชันของแทนเจนต์นี้:

สมการของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันที่จุดหนึ่ง:

อัลกอริทึมในการค้นหาสมการแทนเจนต์:

เอาล่ะ หัวข้อมันจบลงแล้ว หากคุณกำลังอ่านบรรทัดเหล่านี้แสดงว่าคุณเจ๋งมาก

เพราะมีคนเพียง 5% เท่านั้นที่สามารถเชี่ยวชาญบางสิ่งได้ด้วยตัวเอง และถ้าคุณอ่านจนจบแสดงว่าคุณอยู่ใน 5% นี้!

ตอนนี้สิ่งที่สำคัญที่สุด

คุณเข้าใจทฤษฎีในหัวข้อนี้แล้ว และขอย้ำอีกครั้งว่า...นี่มันสุดยอดมาก! คุณเก่งกว่าคนรอบข้างส่วนใหญ่อยู่แล้ว

ปัญหาคือว่านี่อาจไม่เพียงพอ...

เพื่ออะไร?

เพื่อความสำเร็จ ผ่านการสอบ Unified Stateสำหรับการเข้าศึกษาในวิทยาลัยด้วยงบประมาณและที่สำคัญที่สุดคือตลอดชีวิต

ฉันจะไม่โน้มน้าวคุณในสิ่งใด ฉันจะพูดสิ่งเดียวเท่านั้น...

คนที่ได้รับ การศึกษาที่ดีมีรายได้มากกว่าผู้ที่ไม่ได้รับมันมาก นี่คือสถิติ

แต่นี่ไม่ใช่สิ่งสำคัญ

สิ่งสำคัญคือพวกเขามีความสุขมากขึ้น (มีการศึกษาเช่นนี้) อาจเป็นเพราะโอกาสมากมายเปิดกว้างต่อหน้าพวกเขาและชีวิตก็สดใสขึ้น? ไม่รู้...

แต่คิดเอาเองนะ...

ต้องใช้อะไรบ้างเพื่อให้แน่ใจว่าจะดีกว่าคนอื่นๆ ในการสอบ Unified State และสุดท้ายจะ... มีความสุขมากขึ้น?

ช่วยคุณโดยการแก้ปัญหาในหัวข้อนี้

คุณจะไม่ถูกถามถึงทฤษฎีในระหว่างการสอบ

คุณจะต้องการ แก้ปัญหากับเวลา.

และถ้าคุณยังไม่ได้แก้ไขมัน (มาก!) คุณจะทำผิดพลาดโง่ ๆ อย่างแน่นอนหรือไม่มีเวลาเลย

มันก็เหมือนกับกีฬา - คุณต้องทำซ้ำหลาย ๆ ครั้งจึงจะชนะอย่างแน่นอน

ค้นหาคอลเลกชันทุกที่ที่คุณต้องการ จำเป็นต้องมีวิธีแก้ปัญหา การวิเคราะห์โดยละเอียด และตัดสินใจ ตัดสินใจ ตัดสินใจ!

คุณสามารถใช้งานของเรา (ไม่จำเป็น) และแน่นอนว่าเราแนะนำพวกเขา

เพื่อให้ใช้งานของเราได้ดียิ่งขึ้น คุณต้องช่วยยืดอายุหนังสือเรียน YouClever ที่คุณกำลังอ่านอยู่

ยังไง? มีสองตัวเลือก:

1. ปลดล็อคงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความนี้ -
2. ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความทั้ง 99 บทของหนังสือเรียน - ซื้อหนังสือเรียน - 499 RUR

ใช่ เรามีบทความดังกล่าว 99 บทความในหนังสือเรียนของเราและเข้าถึงงานทั้งหมดได้ และสามารถเปิดข้อความที่ซ่อนอยู่ในนั้นได้ทันที

การเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดมีให้ตลอดอายุการใช้งานของไซต์

สรุปแล้ว...

หากคุณไม่ชอบงานของเราก็หาคนอื่น อย่าหยุดแค่ทฤษฎี

“เข้าใจแล้ว” และ “ฉันแก้ได้” เป็นทักษะที่แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง คุณต้องการทั้งสองอย่าง

ค้นหาปัญหาและแก้ไข!

บทความให้ คำอธิบายโดยละเอียดคำจำกัดความ ความหมายทางเรขาคณิตอนุพันธ์ที่มีสัญกรณ์กราฟิก เราจะพิจารณาสมการของเส้นสัมผัสกันด้วยตัวอย่าง โดยจะพบสมการของเส้นโค้งสัมผัสถึงลำดับที่ 2

Yandex.RTB R-A-339285-1 คำจำกัดความ 1

มุมเอียงของเส้นตรง y = k x + b เรียกว่ามุม α ซึ่งวัดจากทิศทางบวกของแกน x ไปยังเส้นตรง y = k x + b ในทิศทางบวก

ในภาพ ทิศทาง x ระบุด้วยลูกศรสีเขียวและส่วนโค้งสีเขียว และมุมเอียงระบุด้วยส่วนโค้งสีแดง เส้นสีน้ำเงินหมายถึงเส้นตรง

คำจำกัดความ 2

ความชันของเส้นตรง y = k x + b เรียกว่าสัมประสิทธิ์ตัวเลข k

ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมเท่ากับแทนเจนต์ของเส้นตรง หรืออีกนัยหนึ่งคือ k = t g α

• มุมเอียงของเส้นตรงจะเท่ากับ 0 ก็ต่อเมื่อมันขนานกันประมาณ x และความชันเท่ากับศูนย์ เพราะแทนเจนต์ของศูนย์เท่ากับ 0 ซึ่งหมายความว่ารูปแบบของสมการจะเป็น y = b
• หากมุมเอียงของเส้นตรง y = k x + b เป็นแบบเฉียบพลันแสดงว่าเงื่อนไข 0 เป็นไปตามนั้น< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0 และกราฟเพิ่มขึ้น
• ถ้า α = π 2 ตำแหน่งของเส้นตรงจะตั้งฉากกับ x ความเท่าเทียมกันระบุโดย x = c โดยค่า c เป็นจำนวนจริง
• ถ้ามุมเอียงของเส้นตรง y = k x + b ป้าน มันจะสอดคล้องกับเงื่อนไข π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

เส้นตัดคือเส้นที่ลากผ่าน 2 จุดของฟังก์ชัน f (x) กล่าวอีกนัยหนึ่ง เส้นตัดเป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุดใดๆ บนกราฟของฟังก์ชันที่กำหนด

รูปนี้แสดงว่า A B คือเส้นตัดมุม และ f (x) คือเส้นโค้งสีดำ ส่วน α คือเส้นโค้งสีแดง ซึ่งแสดงถึงมุมเอียงของเส้นตัด

เมื่อค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรงเท่ากับแทนเจนต์ของมุมเอียง จะเห็นได้ชัดว่าสามารถหาแทนเจนต์ของสามเหลี่ยมมุมฉาก A B C ได้จากอัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านที่อยู่ติดกัน

คำจำกัดความที่ 4

เราได้รับสูตรสำหรับค้นหาซีแคนต์ของแบบฟอร์ม:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A โดยที่ abscissas ของจุด A และ B คือค่า x A, x B และ f (x A), f (x B) คือฟังก์ชันค่าที่จุดเหล่านี้

แน่นอนว่าค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตัดถูกกำหนดโดยใช้ความเท่าเทียมกัน k = f (x B) - f (x A) x B - x A หรือ k = f (x A) - f (x B) x A - x B และต้องเขียนสมการเป็น y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) หรือ
y = ฉ (x A) - ฉ (x B) x A - x B x - x B + ฉ (x B) .

เส้นตัดจะแบ่งกราฟออกเป็น 3 ส่วนทางสายตา: ทางด้านซ้ายของจุด A จาก A ถึง B และทางด้านขวาของ B รูปด้านล่างแสดงให้เห็นว่ามีเส้นตัด 3 เส้นที่ถือว่าบังเอิญ นั่นคือ พวกมันถูกกำหนดโดยใช้ สมการที่คล้ายกัน

ตามคำจำกัดความ เป็นที่ชัดเจนว่าเส้นตรงและเส้นตัดในกรณีนี้ตรงกัน

เส้นตัดสามารถตัดกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดได้หลายครั้ง หากมีสมการในรูปแบบ y = 0 สำหรับเส้นตัดมุม จำนวนจุดตัดกับไซนัสอยด์จะไม่มีที่สิ้นสุด

คำจำกัดความที่ 5

แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน f (x) ที่จุด x 0 ; f (x 0) เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนด x 0; f (x 0) โดยมีส่วนที่มีค่า x หลายค่าใกล้กับ x 0

ตัวอย่างที่ 1

เรามาดูตัวอย่างด้านล่างนี้กันดีกว่า เป็นที่ชัดเจนว่าเส้นที่กำหนดโดยฟังก์ชัน y = x + 1 ถือเป็นเส้นสัมผัสของ y = 2 x ที่จุดที่มีพิกัด (1; 2) เพื่อความชัดเจนจำเป็นต้องพิจารณากราฟที่มีค่าใกล้เคียงกับ (1; 2) ฟังก์ชัน y = 2 x จะแสดงเป็นสีดำ เส้นสีน้ำเงินคือเส้นสัมผัสกัน และจุดสีแดงคือจุดตัดกัน

แน่นอนว่า y = 2 x รวมเข้ากับเส้นตรง y = x + 1

ในการหาค่าแทนเจนต์เราควรพิจารณาพฤติกรรมของแทนเจนต์ A B เมื่อจุด B เข้าใกล้จุด A อย่างไม่สิ้นสุด เราจะนำเสนอรูปวาดเพื่อความชัดเจน

เส้นตัด A B ซึ่งระบุด้วยเส้นสีน้ำเงิน มีแนวโน้มไปที่ตำแหน่งของเส้นสัมผัสกันเอง และมุมเอียงของเส้นตัด α จะเริ่มมีแนวโน้มที่จะทำมุมเอียงของเส้นสัมผัสกัน α x

คำนิยาม 6

เส้นสัมผัสกันของกราฟของฟังก์ชัน y = f (x) ที่จุด A ถือเป็นตำแหน่งจำกัดของเส้นตัดขวาง A B เนื่องจาก B มีแนวโน้มไปทาง A นั่นคือ B → A

ตอนนี้เรามาดูความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งกันดีกว่า

มาดูการพิจารณาเซแคนต์ A B สำหรับฟังก์ชัน f (x) โดยที่ A และ B ที่มีพิกัด x 0, f (x 0) และ x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x) และ ∆ x คือ แสดงว่าเป็นการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ ตอนนี้ฟังก์ชันจะอยู่ในรูปแบบ ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . เพื่อความชัดเจน เรามายกตัวอย่างการวาดภาพกัน

พิจารณาผลลัพธ์ของสามเหลี่ยมมุมฉาก A B C เราใช้คำจำกัดความของแทนเจนต์ในการแก้ นั่นคือ เราได้ความสัมพันธ์ ∆ y ∆ x = t g α . จากนิยามของแทนเจนต์ จะได้ว่า lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x ตามกฎของอนุพันธ์ ณ จุดหนึ่ง เรามีอนุพันธ์ f (x) ที่จุด x 0 เรียกว่าขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ โดยที่ ∆ x → 0 จากนั้นเราแสดงว่ามันเป็น f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x

ตามมาว่า f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x โดยที่ k x แสดงเป็นความชันของแทนเจนต์

นั่นคือเราพบว่า f ' (x) สามารถมีอยู่ได้ที่จุด x 0 และเหมือนกับค่าแทนเจนต์ของกราฟที่กำหนดของฟังก์ชันที่จุดแทนเจนต์เท่ากับ x 0, f 0 (x 0) โดยที่ค่าของ ความชันของแทนเจนต์ที่จุดเท่ากับอนุพันธ์ที่จุด x 0 . จากนั้นเราจะได้ k x = f " (x 0)

ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งคือ ให้แนวคิดเรื่องการมีอยู่ของเส้นสัมผัสกันกับกราฟที่จุดเดียวกัน

ในการเขียนสมการของเส้นตรงใดๆ บนระนาบ จำเป็นต้องมีสัมประสิทธิ์เชิงมุมกับจุดที่มันผ่านไป สัญกรณ์ของมันคือ x 0 ที่จุดตัด

สมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y = f (x) ที่จุด x 0, f 0 (x 0) ใช้รูปแบบ y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0)

ซึ่งหมายความว่าค่าสุดท้ายของอนุพันธ์ f "(x 0) สามารถกำหนดตำแหน่งของแทนเจนต์นั่นคือในแนวตั้งที่ให้ไว้ lim x → x 0 + 0 f "(x) = ∞ และ lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞หรือไม่มีเลยภายใต้เงื่อนไข lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) .

ตำแหน่งของแทนเจนต์ขึ้นอยู่กับค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม k x = f "(x 0) เมื่อขนานกับแกน o x เราจะได้ k k = 0 เมื่อขนานกับ o y - k x = ∞ และรูปแบบของ สมการแทนเจนต์ x = x 0 เพิ่มขึ้นเมื่อ k x > 0 ลดลงเมื่อ k x< 0 .

ตัวอย่างที่ 2

รวบรวมสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 ณ จุดที่มีพิกัด (1; 3) และกำหนดมุมเอียง

สารละลาย

โดยเงื่อนไข เรามีฟังก์ชันที่นิยามไว้สำหรับจำนวนจริงทั้งหมด เราพบว่าจุดที่มีพิกัดที่ระบุตามเงื่อนไข (1; 3) คือจุดสัมผัส จากนั้น x 0 = - 1, f (x 0) = - 3

จำเป็นต้องค้นหาอนุพันธ์ ณ จุดที่มีค่า - 1 เราเข้าใจแล้ว

y " = อี x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = อี x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = อี x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 ปี " (x 0) = y " (- 1) = อี - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

ค่าของ f' (x) ที่จุดแทนเจนต์คือความชันของแทนเจนต์ ซึ่งเท่ากับค่าแทนเจนต์ของความชัน

จากนั้น k x = t ก α x = y " (x 0) = 3 3

ตามมาว่า α x = a rc t g 3 3 = π 6

คำตอบ:สมการแทนเจนต์จะอยู่ในรูปแบบ

y = ฉ " (x 0) x - x 0 + ฉ (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

เพื่อความชัดเจน เราจะยกตัวอย่างเป็นภาพประกอบกราฟิก

สีดำใช้สำหรับกราฟของฟังก์ชันดั้งเดิม สีฟ้า– ภาพแทนเจนต์ จุดสีแดง – จุดแทนเจนต์ รูปภาพทางด้านขวาแสดงมุมมองที่ขยายใหญ่ขึ้น

ตัวอย่างที่ 3

พิจารณาการมีอยู่ของเส้นสัมผัสกราฟของฟังก์ชันที่กำหนด
y = 3 · x - 1 5 + 1 ณ จุดพิกัด (1 ; 1) เขียนสมการและหามุมเอียง

สารละลาย

ตามเงื่อนไขแล้ว โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันที่กำหนดถือเป็นเซตของจำนวนจริงทั้งหมด

มาดูการหาอนุพันธ์กันดีกว่า

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

ถ้า x 0 = 1 แสดงว่า f' (x) ไม่ได้ถูกกำหนดไว้ แต่ลิมิตจะเขียนเป็น lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ และ lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ ซึ่งหมายถึง การดำรงอยู่ของเส้นสัมผัสแนวตั้งที่จุด (1; 1)

คำตอบ:สมการจะอยู่ในรูปแบบ x = 1 โดยที่มุมเอียงจะเท่ากับ π 2

เพื่อความชัดเจน เรามาอธิบายเป็นภาพกราฟิกกันดีกว่า

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาจุดบนกราฟของฟังก์ชัน y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 โดยที่

1. ไม่มีแทนเจนต์
2. แทนเจนต์ขนานกับ x;
3. เส้นสัมผัสขนานกับเส้นตรง y = 8 5 x + 4

สารละลาย

จำเป็นต้องคำนึงถึงขอบเขตของคำจำกัดความ โดยเงื่อนไข เรามีฟังก์ชันที่นิยามไว้บนเซตของจำนวนจริงทั้งหมด เราขยายโมดูลและแก้ไขระบบด้วยช่วงเวลา x ∈ - ∞ ; 2 และ [ - 2 ; + ∞) . เราเข้าใจแล้ว

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

จำเป็นต้องแยกแยะฟังก์ชั่น เรามีสิ่งนั้น

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

เมื่อ x = − 2 อนุพันธ์จะไม่มีอยู่เนื่องจากขีดจำกัดด้านเดียวไม่เท่ากัน ณ จุดนั้น:

ลิม x → - 2 - 0 y " (x) = ลิม x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 ลิม x → - 2 + 0 y " (x) = ลิม x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

เราคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุด x = - 2 โดยที่เราได้รับค่านั้น

1. y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2 นั่นคือแทนเจนต์ที่จุด ( - 2; - 2) จะไม่มีอยู่
2. แทนเจนต์จะขนานกับ x เมื่อความชันเป็นศูนย์ จากนั้น k x = t g α x = f "(x 0) นั่นคือจำเป็นต้องค้นหาค่าของ x ดังกล่าวเมื่ออนุพันธ์ของฟังก์ชันเปลี่ยนเป็นศูนย์ นั่นคือค่าของ f ' (x) จะเป็นจุดสัมผัสกัน โดยที่แทนเจนต์ขนานกับ x

เมื่อ x ∈ - ∞ ; - 2 จากนั้น - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 และสำหรับ x ∈ (- 2; + ∞) เราจะได้ 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

คำนวณค่าฟังก์ชันที่สอดคล้องกัน

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 ปี 3 = ปี (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 ปี 4 = ปี (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

ดังนั้น - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 ถือเป็นจุดที่ต้องการของกราฟฟังก์ชัน

ลองพิจารณาดู ภาพกราฟิกโซลูชั่น

เส้นสีดำคือกราฟของฟังก์ชัน จุดสีแดงคือจุดสัมผัส

1. เมื่อเส้นขนานกัน ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมจะเท่ากัน จากนั้นจำเป็นต้องค้นหาจุดบนกราฟฟังก์ชันโดยที่ความชันจะเท่ากับค่า 8 5 ในการทำเช่นนี้คุณต้องแก้สมการในรูปแบบ y "(x) = 8 5 จากนั้นถ้า x ∈ - ∞; - 2 เราจะได้สิ่งนั้น - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5 และถ้า x ∈ ( - 2 ; + ∞) ดังนั้น 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5

สมการแรกไม่มีรากเนื่องจากตัวจำแนกมีค่าน้อยกว่าศูนย์ ลองเขียนลงไปดู

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

อีกสมการหนึ่งมีรากจริงสองอัน

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

มาดูการหาค่าของฟังก์ชันกันดีกว่า เราเข้าใจแล้ว

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

คะแนนที่มีค่า - 1; 4 15, 5; 8 3 คือจุดที่แทนเจนต์ขนานกับเส้นตรง y = 8 5 x + 4

คำตอบ:เส้นสีดำ – กราฟของฟังก์ชัน เส้นสีแดง – กราฟของ y = 8 5 x + 4 เส้นสีน้ำเงิน – แทนเจนต์ที่จุด - 1; 4 15, 5; 8 3.

อาจมีจำนวนแทนเจนต์เป็นจำนวนอนันต์สำหรับฟังก์ชันที่กำหนด

ตัวอย่างที่ 5

เขียนสมการแทนเจนต์ที่มีอยู่ทั้งหมดของฟังก์ชัน y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 ซึ่งตั้งฉากกับเส้นตรง y = - 2 x + 1 2

สารละลาย

ในการรวบรวมสมการแทนเจนต์ จำเป็นต้องค้นหาค่าสัมประสิทธิ์และพิกัดของจุดแทนเจนต์ตามเงื่อนไขของการตั้งฉากของเส้น คำจำกัดความมีดังต่อไปนี้ ผลคูณของสัมประสิทธิ์เชิงมุมที่ตั้งฉากกับเส้นตรงเท่ากับ - 1 กล่าวคือ เขียนเป็น k x · k ⊥ = - 1 จากเงื่อนไขที่เรามีว่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมตั้งฉากกับเส้นตรงและเท่ากับ k ⊥ = - 2 จากนั้น k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2

ตอนนี้คุณต้องค้นหาพิกัดของจุดสัมผัส คุณต้องค้นหา x แล้วตามด้วยค่าของมันสำหรับฟังก์ชันที่กำหนด โปรดทราบว่าจากความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ ณ จุดนั้น
x 0 เราได้รับว่า k x = y "(x 0) จากความเท่าเทียมกันนี้เราจะพบค่าของ x สำหรับจุดสัมผัส

เราเข้าใจแล้ว

y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - บาป 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 บาป 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 บาป 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 บาป 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ บาป 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

นี้ สมการตรีโกณมิติจะถูกใช้ในการคำนวณพิกัดของจุดสัมผัสกัน

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk หรือ 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk หรือ 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a rc sin 1 9 + 2 πk หรือ x 0 = 2 3 5 π 4 + a rc sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z คือเซตของจำนวนเต็ม

พบจุดติดต่อ x แล้ว ตอนนี้คุณต้องดำเนินการค้นหาค่าของ y:

y 0 = 3 เพราะ 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - บาป 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 หรือ y 0 = 3 - 1 - บาป 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 หรือ y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 หรือ y 0 = - 4 5 + 1 3

จากนี้เราจะได้ว่า 2 3 π 4 - a rc sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a rc บาป 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 คือจุดสัมผัส

คำตอบ:สมการที่จำเป็นจะเขียนเป็น

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

หากต้องการแสดงภาพ ให้พิจารณาฟังก์ชันและเส้นสัมผัสกันบนเส้นพิกัด

รูปแสดงว่าฟังก์ชันนั้นอยู่ที่ช่วง [ - 10 ; 10 ] โดยที่เส้นสีดำคือกราฟของฟังก์ชัน เส้นสีน้ำเงินคือเส้นสัมผัสกัน ซึ่งตั้งฉากกับเส้นที่กำหนดในรูปแบบ y = - 2 x + 1 2 จุดสีแดงคือจุดสัมผัส

สมการมาตรฐานของเส้นโค้งลำดับที่ 2 ไม่ใช่ฟังก์ชันค่าเดียว สมการแทนเจนต์สำหรับพวกมันถูกรวบรวมตามรูปแบบที่ทราบ

สัมผัสกันเป็นวงกลม

กำหนดวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด x c e n t e r ; y c e n t e r และรัศมี R ใช้สูตร x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2

ความเท่าเทียมกันนี้สามารถเขียนเป็นการรวมกันของสองฟังก์ชัน:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

ฟังก์ชันแรกจะอยู่ที่ด้านบน และฟังก์ชันที่สองจะอยู่ที่ด้านล่าง ดังแสดงในรูป

เพื่อรวบรวมสมการของวงกลมที่จุด x 0; y 0 ซึ่งอยู่ในครึ่งวงกลมบนหรือล่างคุณควรค้นหาสมการของกราฟของฟังก์ชันในรูปแบบ y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r หรือ y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + ได้ตามจุดที่กำหนด

เมื่อถึงจุด x c e n t e r ; y c e n t e r + R และ x c e n t r ; y c e n t e r - R แทนเจนต์สามารถกำหนดได้จากสมการ y = y c e n t e r + R และ y = y c e n t e r - R และที่จุด x c e n t e r + R ; ใช่แล้ว และ
x c e n t e r - R ; y c e n t e r จะขนานกับ o y จากนั้นเราจะได้สมการในรูปแบบ x = x c e n t e r + R และ x = x c e n t e r - R

แทนเจนต์กับวงรี

เมื่อวงรีมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ x c e n t e r ; y c e n t e r ด้วยครึ่งแกน a และ b จากนั้นสามารถระบุได้โดยใช้สมการ x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1

วงรีและวงกลมสามารถแสดงได้โดยการรวมสองฟังก์ชันเข้าด้วยกัน ได้แก่ วงรีครึ่งบนและครึ่งล่าง แล้วเราจะได้รับสิ่งนั้น

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

ถ้าแทนเจนต์อยู่ที่จุดยอดของวงรี พวกมันจะขนานกันประมาณ x หรือประมาณ y ด้านล่างเพื่อความชัดเจนให้พิจารณารูป

ตัวอย่างที่ 6

เขียนสมการแทนเจนต์ให้กับวงรี x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 ที่จุดที่มีค่า x เท่ากับ x = 2

สารละลาย

จำเป็นต้องค้นหาจุดสัมผัสที่สอดคล้องกับค่า x = 2 เราแทนสมการที่มีอยู่ของวงรีแล้วพบว่า

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

จากนั้น 2 ; 5 3 2 + 5 และ 2; - 5 3 2 + 5 คือจุดสัมผัสที่อยู่ในครึ่งวงรีบนและล่าง

มาดูการค้นหาและแก้สมการของวงรีเทียบกับ y กันดีกว่า เราเข้าใจแล้ว

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 ปี = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

เห็นได้ชัดว่าวงรีครึ่งบนถูกกำหนดโดยใช้ฟังก์ชันในรูปแบบ y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 และวงรีครึ่งล่าง y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2

ลองใช้อัลกอริธึมมาตรฐานเพื่อสร้างสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันที่จุดหนึ่ง ให้เราเขียนสมการของแทนเจนต์แรกที่จุดที่ 2; 5 3 2 + 5 จะเป็นเช่นนี้

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2" = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

เราพบว่าสมการของแทนเจนต์ที่สองที่มีค่า ณ จุดนั้น
2 ; - 5 3 2 + 5 ขึ้นรูปแบบ

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

กราฟิกแทนเจนต์ถูกกำหนดดังนี้:

แทนเจนต์ถึงอติพจน์

เมื่อไฮเปอร์โบลามีจุดศูนย์กลางที่ x c e n t e r ; y c e n t e r และจุดยอด x c e n t e r + α ; ใช่ และ x c e n t e r - α ; y c e n t e r ความไม่เท่าเทียมกัน x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 เกิดขึ้น หากมีจุดยอด x c e n t e r ; ใช่ c e n t e r + b และ x c e n t e r ; y c e n t e r - b จากนั้นระบุโดยใช้ความไม่เท่าเทียมกัน x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1

ไฮเปอร์โบลาสามารถแสดงเป็นฟังก์ชันสองฟังก์ชันรวมกันของแบบฟอร์มได้

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r หรือ y = b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r

ในกรณีแรก เราพบว่าแทนเจนต์ขนานกับ y และส่วนที่สองขนานกับ x

ตามมาว่าในการหาสมการของแทนเจนต์กับไฮเปอร์โบลา จำเป็นต้องค้นหาว่าจุดสัมผัสของฟังก์ชันใดเป็นของฟังก์ชันใด เพื่อระบุสิ่งนี้ จำเป็นต้องแทนที่สมการและตรวจสอบตัวตน

ตัวอย่างที่ 7

เขียนสมการแทนเจนต์ของไฮเปอร์โบลา x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ที่จุดที่ 7; - 3 3 - 3 .

สารละลาย

จำเป็นต้องแปลงบันทึกคำตอบสำหรับการค้นหาไฮเปอร์โบลาโดยใช้ 2 ฟังก์ชัน เราเข้าใจแล้ว

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 และ y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

มีความจำเป็นต้องระบุว่าจุดที่กำหนดด้วยพิกัด 7 เป็นของฟังก์ชันใด - 3 3 - 3 .

เห็นได้ชัดว่าในการตรวจสอบฟังก์ชันแรกจำเป็นต้องมี y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 จากนั้นจุดไม่อยู่ในกราฟ เพราะความเท่าเทียมกันไม่คงอยู่

สำหรับฟังก์ชันที่สอง เรามี y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 ซึ่งหมายความว่าจุดนั้นอยู่ในกราฟที่กำหนด จากที่นี่คุณจะพบความชัน

เราเข้าใจแล้ว

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

คำตอบ:สมการแทนเจนต์สามารถแสดงเป็น

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

อธิบายไว้ชัดเจนดังนี้

แทนเจนต์กับพาราโบลา

ในการสร้างสมการแทนเจนต์ของพาราโบลา y = a x 2 + b x + c ที่จุด x 0, y (x 0) คุณต้องใช้อัลกอริทึมมาตรฐาน จากนั้นสมการจะอยู่ในรูปแบบ y = y "(x 0) x - x 0 + y ( x 0).แทนเจนต์ดังกล่าวที่จุดยอดขนานกับ x

คุณควรนิยามพาราโบลา x = a y 2 + by y + c เป็นผลรวมของสองฟังก์ชัน ดังนั้นเราจึงต้องแก้สมการของ y เราเข้าใจแล้ว

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - ข - ข 2 - 4 ก (ค - x) 2 ก

แสดงภาพกราฟิกเป็น:

หากต้องการทราบว่าจุด x 0, y (x 0) เป็นของฟังก์ชันหรือไม่ ให้ดำเนินการเบาๆ ตามอัลกอริทึมมาตรฐาน แทนเจนต์ดังกล่าวจะขนานกับ y สัมพันธ์กับพาราโบลา

ตัวอย่างที่ 8

เขียนสมการแทนเจนต์ลงในกราฟ x - 2 y 2 - 5 y + 3 เมื่อเรามีมุมแทนเจนต์ 150 °

สารละลาย

เราเริ่มหาคำตอบโดยแทนพาราโบลาเป็นฟังก์ชัน 2 ฟังก์ชัน เราเข้าใจแล้ว

2 ปี 2 - 5 ปี + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 ปี = 5 - 49 - 8 x - 4

ค่าของความชันเท่ากับค่าของอนุพันธ์ที่จุด x 0 ของฟังก์ชันนี้ และเท่ากับค่าแทนเจนต์ของมุมเอียง

เราได้รับ:

k x = y "(x 0) = เสื้อ ก α x = เสื้อ ก 150 ° = - 1 3

จากที่นี่ เราจะกำหนดค่า x สำหรับจุดสัมผัส

ฟังก์ชันแรกจะถูกเขียนเป็น

y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

แน่นอน ไม่มีรากที่แท้จริง เนื่องจากเราได้ค่าลบ เราสรุปได้ว่าไม่มีเส้นสัมผัสกันที่มีมุม 150° สำหรับฟังก์ชันดังกล่าว

ฟังก์ชันที่สองจะถูกเขียนเป็น

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

เรามีจุดติดต่อคือ 23 4 ; - 5 + 3 4 .

คำตอบ:สมการแทนเจนต์จะอยู่ในรูปแบบ

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

ลองพรรณนามันแบบกราฟิกด้วยวิธีนี้:

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter