หนึ่งในรูปหลายเหลี่ยมปกติ คุณสมบัติของรูปหลายเหลี่ยมปกติ
คำนิยาม รูปหลายเหลี่ยมปกติอาจขึ้นอยู่กับคำจำกัดความของรูปหลายเหลี่ยม: หากถูกกำหนดให้เป็นโพลีไลน์ปิดแบบเรียบ คำจำกัดความนั้นจะปรากฏขึ้น รูปหลายเหลี่ยมรูปดาวปกติยังไง ไม่นูนรูปหลายเหลี่ยมที่ทุกด้านเท่ากันและทุกมุมเท่ากัน
คุณสมบัติ
พิกัด
อนุญาต x C (\รูปแบบการแสดงผล x_(C))และ y C (\displaystyle y_(C))- พิกัดของศูนย์ และ R (\รูปแบบการแสดงผล R)- รัศมีของวงกลม ϕ 0 (\displaystyle (\phi )_(0))คือพิกัดเชิงมุมของจุดยอดแรก จากนั้นพิกัดคาร์ทีเซียนของจุดยอดของ n-gon ปกติจะถูกกำหนดโดยสูตร:
x i = x C + R cos (ϕ 0 + 2 π i n) (\displaystyle x_(i)=x_(C)+R\cos \left((\phi )_(0)+(\frac (2\ พี่ ฉัน)(n))\right)) y i = y C + R sin (ϕ 0 + 2 π i n) (\displaystyle y_(i)=y_(C)+R\sin \left((\phi )_(0)+(\frac (2\ พี่ ฉัน)(n))\right))ที่ไหน i = 0 … n − 1 (\displaystyle i=0\dots n-1)
ขนาด
อนุญาต R (\รูปแบบการแสดงผล R)- รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบรูปหลายเหลี่ยมปกติ แล้วรัศมีของวงกลมที่อยู่ภายในจะเท่ากับ
r = R cos π n (\displaystyle r=R\cos (\frac (\pi )(n))),และความยาวด้านของรูปหลายเหลี่ยมคือ
a = 2 R sin π n = 2 r t g π n (\displaystyle a=2R\sin (\frac (\pi )(n))=2r\mathop (\mathrm (tg) ) \,(\frac (\ เข็มหมุด)))สี่เหลี่ยม
ยังไม่มีข้อความ (\displaystyle n)และความยาวด้านข้าง ก (\displaystyle ก)เป็น:
S = n 4 a 2 ctg π n (\displaystyle S=(\frac (n)(4))\ a^(2)\mathop (\mathrm () ) \,\ชื่อตัวดำเนินการ (ctg) (\frac ( \เข็มหมุด))).พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมปกติที่มีจำนวนด้าน n (\displaystyle n)จารึกไว้เป็นวงกลมรัศมี R (\รูปแบบการแสดงผล R), เป็น:
S = n 2 R 2 sin 2 π n (\displaystyle S=(\frac (n)(2))R^(2)\sin (\frac (2\pi )(n))).พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมปกติที่มีจำนวนด้าน n (\displaystyle n)ล้อมรอบวงกลมรัศมี r (\displaystyle r), เป็น:
S = n r 2 t g π n (\displaystyle S=nr^(2)\mathop (\mathrm (tg) ) \,(\frac (\pi )(n)))(พื้นที่ฐานของ n-gonal ปริซึมที่ถูกต้อง)พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมปกติที่มีจำนวนด้าน n (\displaystyle n)เท่ากับ
S = n r a 2 (\displaystyle S=(\frac (nra)(2))),ที่ไหน r (\displaystyle r)- ระยะห่างจากกึ่งกลางด้านข้างถึงกึ่งกลาง ก (\displaystyle ก)- ความยาวด้าน
พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมปกติผ่านเส้นรอบวง ( P (\displaystyle P)) และรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ ( r (\displaystyle r)) เป็น:
S = 1 2 P r (\displaystyle S=(\frac (1)(2))Pr).ปริมณฑล
หากคุณต้องการคำนวณความยาวด้านของเอ็นกอนปกติที่จารึกไว้ในวงกลม โดยรู้เส้นรอบวง L (\displaystyle L)คุณสามารถคำนวณความยาวของด้านหนึ่งของรูปหลายเหลี่ยมได้:
n (\displaystyle a_(n))- ความยาวด้านของ n-gon ปกติ a n = sin 180 n ⋅ L π (\displaystyle a_(n)=\sin (\frac (180)(n))\cdot (\frac (L)(\pi )))ปริมณฑล P n (\displaystyle P_(n))เท่ากับ
P n = a n ⋅ n (\displaystyle P_(n)=a_(n)\cdot n)ที่ไหน n (\displaystyle n)- จำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยม
แอปพลิเคชัน
ตามคำนิยามแล้ว รูปหลายเหลี่ยมปกติคือใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ
นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณ (แอนติฟอน, บริสันแห่งเฮราเคลีย, อาร์คิมีดีส ฯลฯ) ใช้รูปหลายเหลี่ยมปกติในการคำนวณตัวเลข พวกเขาคำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่จารึกไว้ในวงกลมและล้อมรอบมัน ค่อยๆ เพิ่มจำนวนด้านของมัน และได้ค่าประมาณของพื้นที่ของวงกลม.
เรื่องราว
การสร้างรูปหลายเหลี่ยมปกติด้วย nด้านข้างยังคงเป็นปัญหาสำหรับนักคณิตศาสตร์จนถึงศตวรรษที่ 19 โครงสร้างนี้เหมือนกับการแบ่งวงกลมออกเป็น n ส่วนที่เท่ากันเนื่องจากการเชื่อมต่อจุดที่แบ่งวงกลมออกเป็นส่วน ๆ คุณจะได้รูปหลายเหลี่ยมที่ต้องการ
ตั้งแต่นั้นมาก็ถือว่าปัญหาได้รับการแก้ไขอย่างสมบูรณ์แล้ว
ทฤษฎีบท 1 วงกลมสามารถอธิบายรอบๆ รูปหลายเหลี่ยมปกติได้
ให้ ABCDEF (รูปที่ 419) เป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ มีความจำเป็นต้องพิสูจน์ว่าสามารถอธิบายวงกลมรอบ ๆ ได้
เรารู้ว่าเป็นไปได้ที่จะวาดวงกลมผ่านจุดสามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นเดียวกันเสมอ ซึ่งหมายความว่า เป็นไปได้เสมอที่จะวาดวงกลมที่จะผ่านจุดยอดสามจุดใดๆ ของรูปหลายเหลี่ยมปกติ เช่น ผ่านจุดยอด E, D และ C โดยให้จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมนี้
ขอให้เราพิสูจน์ว่าวงกลมนี้จะผ่านจุดยอดที่สี่ของรูปหลายเหลี่ยมด้วย เช่น ผ่านจุดยอด B
เซ็กเมนต์ OE, OD และ OS มีค่าเท่ากัน และแต่ละส่วนจะเท่ากับรัศมีของวงกลม เรามาดำเนินการ OB อีกส่วนหนึ่งกัน เกี่ยวกับส่วนนี้เราไม่สามารถพูดได้ทันทีว่ามันเท่ากับรัศมีของวงกลมด้วยสิ่งนี้ต้องพิสูจน์ พิจารณาสามเหลี่ยม OED และ ODC ซึ่งเป็นหน้าจั่วและเท่ากัน ดังนั้น ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4
ถ้า มุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมที่กำหนดจะเท่ากับ α จากนั้น ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4 = α / 2; แต่ถ้า ∠4= α / 2 ดังนั้น ∠5 = α / 2 เช่น ∠4 = ∠5.
จากที่นี่เราสรุปได้ว่า (Delta)OSD = (Delta)OSV และดังนั้น OB = OS นั่นคือ ส่วน OB เท่ากับรัศมีของวงกลมที่วาด จากนี้ไปวงกลมก็จะผ่านจุดยอด B ของรูปหลายเหลี่ยมปกติด้วย
เมื่อใช้เทคนิคเดียวกัน เราจะพิสูจน์ว่าวงกลมที่สร้างขึ้นจะผ่านจุดยอดอื่นๆ ของรูปหลายเหลี่ยม ซึ่งหมายความว่าวงกลมนี้จะถูกจำกัดรอบรูปหลายเหลี่ยมปกตินี้ ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว
ทฤษฎีบท 2 วงกลมสามารถเขียนไว้เป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติใดๆ ก็ได้
ให้ ABCDEF เป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ (รูปที่ 420) เราต้องพิสูจน์ว่าวงกลมนั้นสามารถเขียนไว้ในนั้นได้
จากทฤษฎีบทที่แล้ว เป็นที่ทราบกันว่าวงกลมสามารถอธิบายรอบรูปหลายเหลี่ยมปกติได้ ให้จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมนี้
ลองเชื่อมต่อจุด Oc กับจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมกัน ผลลัพธ์ของสามเหลี่ยม OED, ODC ฯลฯ จะเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าความสูงของสามเหลี่ยมที่ดึงจากจุด O ก็เท่ากันเช่นกัน เช่น OK = OL = OM = ON = OP = OQ
ดังนั้น วงกลมที่อธิบายจากจุด O ว่ามาจากจุดศูนย์กลางที่มีรัศมีเท่ากับส่วน OK จะผ่านจุด K, L, M, N, P และ Q และความสูงของรูปสามเหลี่ยมจะเป็นรัศมีของวงกลม ด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยมตั้งฉากกับรัศมีที่จุดเหล่านี้ ดังนั้นจึงสัมผัสกันกับวงกลมนี้ ซึ่งหมายความว่าวงกลมที่สร้างขึ้นนั้นถูกจารึกไว้ในรูปหลายเหลี่ยมปกตินี้
การสร้างแบบเดียวกันนี้สามารถทำได้กับรูปหลายเหลี่ยมปกติใดๆ ก็ตาม ดังนั้น วงกลมจึงสามารถเขียนไว้เป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติรูปใดก็ได้
ผลที่ตามมา วงกลมที่ล้อมรอบรูปหลายเหลี่ยมปกติและถูกจารึกไว้นั้นมีศูนย์กลางร่วมกัน
คำจำกัดความ.
1. จุดศูนย์กลางของรูปหลายเหลี่ยมปกติคือจุดศูนย์กลางร่วมของวงกลมที่ล้อมรอบรูปหลายเหลี่ยมนี้และจารึกไว้ในนั้น
2. เส้นตั้งฉากที่ลากจากศูนย์กลางของรูปหลายเหลี่ยมปกติไปด้านข้างเรียกว่าจุดกึ่งกลางของรูปหลายเหลี่ยมปกติ
การแสดงด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยมปกติในรูปของเส้นรอบวง
โดยใช้ ฟังก์ชันตรีโกณมิติคุณสามารถแสดงด้านของรูปหลายเหลี่ยมปกติในรูปของรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบรูปหลายเหลี่ยมนั้นได้
ให้ AB อยู่ฝั่งขวา n-gon จารึกไว้ในวงกลมรัศมี OA = R (รูป)
ให้เราวาดเส้นตั้งฉากใน OD ของรูปหลายเหลี่ยมปกติแล้วพิจารณา AOD สามเหลี่ยมมุมฉาก ในรูปสามเหลี่ยมนี้
∠AOD = 1 / 2 ∠AOB = 1 / 2 360° / n= 180° / n
AD = AO บาป ∠AOD = R บาป 180° / n ;
แต่ AB = 2AD ดังนั้น AB = 2R บาป 180° / n .
ความยาวด้านที่ถูกต้อง n-gon ที่เขียนไว้ในวงกลมมักจะเขียนแทนด้วย และ nดังนั้นจึงสามารถเขียนสูตรผลลัพธ์ได้ดังนี้
และ n= 2R บาป 180° / n .
ผลที่ตามมา:
1. ความยาวด้านของรูปหกเหลี่ยมปกติจารึกไว้ในรัศมีวงกลมร , แสดงได้โดยสูตร ก 6 = อาร์, เพราะ
ก 6 = 2R บาป 180° / 6 = 2R บาป 30° = 2R 1/2 = R
2. ความยาวของด้านของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน (สี่เหลี่ยมจัตุรัส) ปกติที่จารึกไว้ในรัศมีวงกลมร , แสดงได้โดยสูตร ก 4 = ร√2 , เพราะ
ก 4 = 2R บาป 180° / 4 = 2R บาป 45° = 2R √ 2/2 = R√2
3. ความยาวด้านของสามเหลี่ยมปกติจารึกไว้ในวงกลมรัศมีร , แสดงได้โดยสูตร ก 3 = ร√3 , เพราะ.
ก 3 = 2R บาป 180° / 3 = 2R บาป 60° = 2R √ 3/2 = R√3
พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมปกติ
ให้สิ่งที่ถูกต้อง n-gon (รูป) จำเป็นต้องกำหนดพื้นที่ ให้เราแสดงด้านของรูปหลายเหลี่ยมด้วย กและจุดศูนย์กลางผ่าน O เราเชื่อมต่อจุดศูนย์กลางกับปลายด้านใดด้านหนึ่งของรูปหลายเหลี่ยมด้วยส่วนต่างๆ เราจะได้รูปสามเหลี่ยมที่เราวาดเส้นตั้งฉากในของรูปหลายเหลี่ยม
พื้นที่ของสามเหลี่ยมนี้คือ อา / 2. ในการกำหนดพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมทั้งหมด คุณต้องคูณพื้นที่ของสามเหลี่ยมหนึ่งรูปด้วยจำนวนรูปสามเหลี่ยม เช่น โดย n. เราได้รับ: S = อา / 2 n = อ่าห์ / 2 แต่ หนึ่งเท่ากับเส้นรอบรูปของรูปหลายเหลี่ยม ลองเขียนแทนด้วย R
ในที่สุดเราก็ได้: S = P ชม. / 2. โดยที่ S คือพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมปกติ P คือเส้นรอบวง ชม.- ระยะกึ่งกลาง
พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมปกติเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของเส้นรอบวงและระยะกึ่งกลางของรูปหลายเหลี่ยม
วัสดุอื่นๆการรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ
การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล
ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ
คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา
ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว
เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:
- เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่ของคุณ อีเมลฯลฯ
เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:
- ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณเพื่อรับข้อเสนอ โปรโมชั่น และกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้น
- ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
- เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การดำเนินการตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
- หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว
การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม
เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม
ข้อยกเว้น:
- หากจำเป็น - ตามกฎหมาย ขั้นตอนการพิจารณาคดี ในการดำเนินการทางกฎหมาย และ/หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจากหน่วยงานของรัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - ให้เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
- ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง
การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล
เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงการบริหารจัดการ ทางเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต
การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท
เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด
ตรวจสอบเนื้อหา
รูปหลายเหลี่ยมปกติ เรียกว่ารูปหลายเหลี่ยมนูนที่มีด้านเท่ากันและมุมเท่ากันa คือด้านของแปดเหลี่ยม
R - รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ
r คือรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้
ผลรวมของมุมภายในของ n-gon ปกติ
180(n-2).
การวัดองศาของมุมภายในของ n-gon
180(น-2) : น.
ด้านขวานะค๊ะ
รัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ในรูปหลายเหลี่ยมปกติ
พื้นที่ที่ถูกต้อง n
การออกกำลังกาย
1. ก) ผลรวมของมุมภายในของรูปหกเหลี่ยมเท่ากับ:
1) 360°; 2) 180°; 3) 720°; 4) 540°
b) ผลรวมของมุมภายในของแปดเหลี่ยมเท่ากับ:
1) 360°; 2) 180°; 3) 720°; 4) 1,080°
สารละลาย:
ก) ตามสูตร ผลรวมของมุมของรูปหกเหลี่ยมคือ: 180(6-2)=180*4=720
°
.
คำตอบ: 720
°
.
2. ก) ด้านของรูปหลายเหลี่ยมปกติคือ 5 ซม. มุมภายในคือ 144°
ก) ด้านของรูปหลายเหลี่ยมปกติคือ 7 ซม. มุมภายในคือ 150°
. หาเส้นรอบรูปของรูปหลายเหลี่ยม.
สารละลาย:
ก) 1) ค้นหาจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยม:
144=180(n - 2):n;
144n=180n-360;
36n=360;
n=10.
2) ค้นหาเส้นรอบวงของสิบเหลี่ยม: P=5*10=50 ซม.
คำตอบ: 50 ซม.
3. ก) เส้นรอบวงของรูปห้าเหลี่ยมปกติคือ 30 ซม. จงหาเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบรูปห้าเหลี่ยมนั้น
b) เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมคือ 10 ซม. ให้หาเส้นรอบวงของรูปห้าเหลี่ยมที่จารึกไว้
สารละลาย:
ก) 1) หาด้านของห้าเหลี่ยม: 30:5=6 ซม.
2) ค้นหารัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ:
a=2R*ซิน(180
°
:n);
6=2R*ซิน (180
°
:5);
R=3:ซิน 36
°
=3:0.588=5.1 ซม
คำตอบ: 5.1 ซม.
4. ก) ผลรวมของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมปกติคือ 2520°
b) ผลรวมของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมปกติคือ 1800°
. ค้นหาจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยม
สารละลาย:
ก) ค้นหาจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยม:
2520
°
= 180
°
(n-2);
2520
°
+360
°
=180
°
ไม่มี;
2880
°
=180
°
ไม่มี;
n=16.
คำตอบ: 16 ด้าน
5. ก) รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบรูปสิบสองเหลี่ยมปกติคือ 5 ซม. จงหาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม
b) รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบแปดเหลี่ยมปกติคือ 6 ซม. จงหาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม
สารละลาย:
ก) ค้นหาพื้นที่ของสิบสองเหลี่ยม:
ส=0.5*
R 2 *n*บาป(360°
:n)=0.5*25*12*sin30°
=75 ซม 2
.
คำตอบ: 75 ซม 2
.
6. ค้นหาพื้นที่ของรูปหกเหลี่ยมหากทราบพื้นที่ของส่วนที่แรเงา:
ก) 1) จงหาความยาวของด้าน AB ของรูปหกเหลี่ยม พิจารณาสามเหลี่ยม ABC - หน้าจั่ว (AB=BC)
∠เอบีซี=180 ° (6-2):6=120 ° .
พื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC คือ 0.5*AB*BC*sin120° และเท่ากับตามเงื่อนไข 48
3) ค้นหาพื้นที่ของรูปหกเหลี่ยม:
คำตอบ: 288 ซม 2 .
7. a) จงหาจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมปกติ ถ้ามุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยมที่จุดยอดเท่ากับ 18°
.
b) จงหาจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมปกติถ้ามุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยมที่จุดยอดเท่ากับ 45°
.
สารละลาย:
ก) ผลรวมของมุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยมปกติคือ 360
°
.
ลองหาจำนวนด้าน: 360
°
:18
°
=20.
คำตอบ: 20 ด้าน
8. คำนวณพื้นที่วงแหวนถ้าคอร์ด AB เท่ากับ:
ก) 8 ซม. ข) 10 ซม.
ก)
1) OV - รัศมีของวงกลมรอบนอก OH - รัศมีของวงกลมด้านใน หาพื้นที่ของวงแหวนได้จากสูตร: S ring = S วงกลมรอบนอก - S วงกลมใน
ส= π *อ 2 - π *โอ้ 2 = π(อ 2 -โอ้ 2 ).
2) พิจารณาสามเหลี่ยม ABO - หน้าจั่ว (OA = OB เป็นรัศมี) OH คือความสูงและค่ามัธยฐานในรูปสามเหลี่ยม ABO ดังนั้น AN=HB=8:2= 4 ซม.
3) พิจารณาสามเหลี่ยม ONB - สี่เหลี่ยม: HB 2 =อ 2 -เขา 2 , เพราะฉะนั้น
อ.บ 2 -เขา 2 =16.
4) ค้นหาพื้นที่ของวงแหวน:
ส=π(อ 2 -โอ้ 2 )=16 π ซม 2 .
คำตอบ:16 π ซม 2 .
9.ก) จงหาเส้นรอบรูปของรูปหกเหลี่ยมปกติถ้า AC = 9 ซม.
ข) จงหาพื้นที่ของรูปหกเหลี่ยมปกติ ถ้า FA=6 ซม.
ก) 1) หามุม ABC: 180 ° (6-4):6=120 ° .
2) พิจารณาสามเหลี่ยม ABC - หน้าจั่ว (AB = BC เป็นด้านของรูปหกเหลี่ยมปกติ)
∠ คุณ= ∠ บีซีเอ=(180° -120 ° ):2=30 ° .
ตามทฤษฎีบทไซน์: AC: sin ∠ ABC = AB: บาป∠ บีซีเอ;
AB=เอซี*ซิน30 ° :sin120;
P=6*เอบี;
10. พิสูจน์ว่าในรูปแปดเหลี่ยมปกติพื้นที่ของส่วนที่แรเงาเท่ากับ:
ก) หนึ่งในสี่ของพื้นที่แปดเหลี่ยม b) ครึ่งหนึ่งของพื้นที่แปดเหลี่ยม:
ก)
1) ให้เราวาดเส้นแบ่งครึ่งของมุมของแปดเหลี่ยม พวกมันจะตัดกันที่จุด O พื้นที่ของแปดเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของผลลัพธ์แปดเหลี่ยม สามเหลี่ยมเท่ากัน, เช่น. S (เอบีซี DEFKM) =8* ส (OEF)
2) ABEF รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน (AB//EF และ AB=EF) เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานมีค่าเท่ากัน: AE=BF (เนื่องจากเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบแปดเหลี่ยม) ดังนั้น ABEF จึงเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมสี่รูปเท่าๆ กัน
3) ค้นหาพื้นที่ของ AFKM รูปสี่เหลี่ยม:
S (เอบีอีเอฟ)= 4* ส (OEF)
2*S (AFKM)=S (ABCDEFKM) - S (ABEF) =8* S (OEF)-4* S (OEF)=4* S (OEF)
S (AFKM)=2* ส (OEF)
4) ค้นหาอัตราส่วนของพื้นที่แปดเหลี่ยมต่อพื้นที่ของส่วนที่แรเงา:
ส (ABCDEFKM) : ส (AFKM) = 8* ส (OEF) : (2* ส (OEF))=4.
Q.E.D.
11. จงหาอัตราส่วนของพื้นที่ภาค BAC ต่อพื้นที่ของรูปที่แรเงา ถ้า BA=AC และพื้นที่ของภาค BAC เท่ากับหนึ่งในสี่ของพื้นที่วงกลม : :
ก)
1) AB=เอซี=2อาร์. มุม BAC เป็นเส้นตรง เพราะ พื้นที่ภาค BAC เท่ากับหนึ่งในสี่ของพื้นที่วงกลม .
2) พิจารณา AO รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน 2 มอ 1 . มันเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเพราะว่า ทุกด้านมีรัศมีเท่ากันและเนื่องจาก มุมหนึ่งของมันคือ 90° แล้วก็ AO 2 มอ 1 - สี่เหลี่ยม.
สามเหลี่ยม S = 0.5 ร 2 ซม 2 .ส่วน S = (0.25 π - 0.5)R 2 ซม. 2.
S ของส่วนที่แรเงา = 2* ส่วน S = 2*(0.25 π - 0.5)ร 2 =(0,5 พาย -1)ร 2 วิม. 2
4) ค้นหาพื้นที่ของเซกเตอร์ BAC:
สภาค =พาย *(2R) 2 *90:360= π ร 2 กับม. 2
5) ลองหาอัตราส่วนของพื้นที่ภาค BAC ต่อพื้นที่ส่วนที่แรเงา:
π ร 2 :(0,5 พาย -1)ร2= 2 π : (π-2)
คำตอบ: 2 π : (π-2)
ภารกิจสำหรับการแก้ปัญหาอย่างอิสระ
1. ผลรวมของมุมภายนอกของรูปห้าเหลี่ยมเป็นเท่าใด?
2. พื้นที่ของรูปแปดเหลี่ยมจะเป็นเท่าใด หากพื้นที่ของพื้นที่แรเงาคือ 20
4. ด้าน AB ของรูปหลายเหลี่ยมปกติคือ 8 ซม. O เป็นจุดศูนย์กลางของรูปหลายเหลี่ยม มุม AOB คือ 36° . หาเส้นรอบรูปของรูปหลายเหลี่ยม.
5. เส้นรอบวงของรูปแปดเหลี่ยมปกติคือ 80 ซม. ให้หาเส้นทแยงมุมที่เล็กกว่า
6. วงกลมถูกจารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยมปกติและมีวงกลมล้อมรอบไว้ จงหาพื้นที่ของวงแหวนที่เกิดจากวงกลมถ้าด้านของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับ 8 ซม.
7. ค้นหามุมระหว่างเส้นทแยงมุมเล็กๆ สองเส้นที่โผล่ออกมาจากจุดยอดเดียวกันของรูปเจ็ดเหลี่ยมปกติ
8. มีการอธิบายรูปสามเหลี่ยมปกติรอบวงกลม และมีรูปหกเหลี่ยมปกติเขียนไว้ด้วย ค้นหาอัตราส่วนของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมและรูปหกเหลี่ยม
9. รูปหลายเหลี่ยมนูนมี 48 ด้าน ค้นหาจำนวนเส้นทแยงมุมของมัน
10. ABCD เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส วงกลมรัศมี AB ลากมาจากจุดยอด B และ C ค้นหาอัตราส่วนของพื้นที่ของรูปที่แรเงาต่อพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส:
สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมจัตุรัส หกเหลี่ยม - ตัวเลขเหล่านี้เกือบทุกคนรู้จัก แต่ไม่ใช่ทุกคนที่รู้ว่ารูปหลายเหลี่ยมปกติคืออะไร แต่สิ่งเหล่านี้ล้วนเหมือนกัน รูปหลายเหลี่ยมปกติคือรูปหลายเหลี่ยมที่มีมุมและด้านเท่ากัน มีตัวเลขดังกล่าวอยู่มากมาย แต่ทั้งหมดก็มีคุณสมบัติเหมือนกัน และใช้สูตรเดียวกันกับตัวเลขเหล่านี้
คุณสมบัติของรูปหลายเหลี่ยมปกติ
รูปหลายเหลี่ยมปกติใดๆ ก็ได้ ไม่ว่าจะเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือแปดเหลี่ยม สามารถเขียนลงในวงกลมได้ คุณสมบัติพื้นฐานนี้มักใช้เมื่อสร้างรูป นอกจากนี้ ยังสามารถเขียนวงกลมเป็นรูปหลายเหลี่ยมได้ ในกรณีนี้จำนวนจุดสัมผัสจะเท่ากับจำนวนด้านข้าง สิ่งสำคัญคือวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในรูปหลายเหลี่ยมปกติจะต้องมีจุดศูนย์กลางร่วมด้วย เหล่านี้ รูปทรงเรขาคณิตอยู่ภายใต้ทฤษฎีบทเดียวกัน ด้านใดๆ ของ n-gon ปกติจะสัมพันธ์กับรัศมีของวงกลม R ที่อยู่รอบๆ ดังนั้นจึงสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้: a = 2R ∙ sin180° คุณจะพบไม่เพียงแต่ด้านข้างเท่านั้น แต่ยังรวมถึงเส้นรอบวงของรูปหลายเหลี่ยมด้วย
วิธีค้นหาจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมปกติ
อันใดอันหนึ่งประกอบด้วยเซ็กเมนต์จำนวนหนึ่งซึ่งเท่ากันซึ่งเมื่อเชื่อมต่อกันจะก่อให้เกิดเส้นปิด ในกรณีนี้ ทุกมุมของผลลัพธ์ที่ได้จะมีค่าเท่ากัน รูปหลายเหลี่ยมแบ่งออกเป็นแบบง่ายและซับซ้อน กลุ่มแรกประกอบด้วยสามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยมจัตุรัส รูปหลายเหลี่ยมเชิงซ้อนมี จำนวนที่มากขึ้นด้านข้าง รวมถึงรูปดาวด้วย ในรูปแบบที่ซับซ้อน รูปหลายเหลี่ยมปกติด้านข้างพบได้โดยการจารึกไว้ในวงกลม เรามาแสดงหลักฐานกัน วาดรูปหลายเหลี่ยมปกติโดยมีจำนวนด้าน n เท่าใดก็ได้ วาดวงกลมรอบๆมัน กำหนดรัศมี R ทีนี้ลองจินตนาการว่าคุณได้ค่า n-gon มาบ้าง หากจุดของมุมของมันอยู่บนวงกลมและเท่ากัน ก็สามารถหาด้านต่างๆ ได้โดยใช้สูตร: a = 2R ∙ sinα: 2
การหาจำนวนด้านของสามเหลี่ยมปกติที่เขียนไว้
สามเหลี่ยมด้านเท่าเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ ใช้สูตรเดียวกันกับรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและรูป n-gon สามเหลี่ยมจะถือว่าสม่ำเสมอถ้าด้านยาวเท่ากัน ในกรณีนี้มุมคือ60⁰ ลองสร้างสามเหลี่ยมโดยให้ความยาวด้าน a กำหนดไว้ เมื่อทราบค่ามัธยฐานและส่วนสูงแล้ว คุณสามารถหาค่าของด้านต่างๆ ได้ ในการทำเช่นนี้ เราจะใช้วิธีการค้นหาผ่านสูตร a = x: cosα โดยที่ x คือค่ามัธยฐานหรือความสูง เนื่องจากทุกด้านของสามเหลี่ยมเท่ากัน เราจึงได้ a = b = c จากนั้นข้อความต่อไปนี้จะเป็นจริง: a = b = c = x: cosα ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถหาค่าของด้านต่างๆ ในสามเหลี่ยมหน้าจั่วได้ แต่ x จะเป็นความสูงที่กำหนด ในกรณีนี้ควรฉายลงบนฐานของภาพอย่างเคร่งครัด เมื่อรู้ความสูง x เราจะหาด้าน a ได้ สามเหลี่ยมหน้าจั่วตามสูตร a = b = x: cosα หลังจากหาค่า a แล้ว คุณก็สามารถคำนวณความยาวของฐาน c ได้ ลองใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกัน เราจะหาค่าของครึ่งหนึ่งของฐาน c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tanα จากนั้น c = 2xtanα แบบนี้ ด้วยวิธีง่ายๆคุณสามารถค้นหาจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมที่ถูกจารึกไว้ได้
การคำนวณด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่จารึกไว้ในวงกลม
เช่นเดียวกับรูปหลายเหลี่ยมปกติอื่นๆ ที่จารึกไว้ สี่เหลี่ยมจัตุรัสก็มี ด้านที่เท่ากันและมุม ใช้สูตรเดียวกันกับรูปสามเหลี่ยม คุณสามารถคำนวณด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสโดยใช้ค่าแนวทแยง พิจารณาวิธีนี้โดยละเอียด เป็นที่รู้กันว่าเส้นทแยงมุมแบ่งมุมออกเป็นสองส่วน ตอนแรกมีค่าอยู่ที่ 90 องศา ดังนั้น หลังจากการหาร จะเกิด 2 อัน มุมที่ฐานจะเท่ากับ 45 องศา ดังนั้น แต่ละด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะเท่ากัน นั่นคือ: a = b = c = d = e ∙ cosα = e√2: 2 โดยที่ e คือเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัส หรือฐานของสามเหลี่ยมมุมฉากที่เกิดขึ้นภายหลัง แผนก. นี่ไม่ใช่วิธีเดียวที่จะหาด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้ ลองเขียนรูปนี้ลงในวงกลม เมื่อทราบรัศมีของวงกลม R เราจะพบด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส เราจะคำนวณดังนี้: a4 = R√2 รัศมีของรูปหลายเหลี่ยมปกติคำนวณโดยใช้สูตร R = a: 2tg (360 o: 2n) โดยที่ a คือความยาวของด้าน
วิธีการคำนวณเส้นรอบวงของ n-gon
เส้นรอบรูปของ n-gon คือผลรวมของด้านทั้งหมด มันง่ายที่จะคำนวณ การทำเช่นนี้คุณต้องรู้ความหมายของทุกด้าน สำหรับรูปหลายเหลี่ยมบางประเภทจะมีสูตรพิเศษ ช่วยให้คุณค้นหาเส้นรอบวงได้เร็วยิ่งขึ้น เป็นที่ทราบกันว่ารูปหลายเหลี่ยมปกติใดๆ มีด้านเท่ากัน ดังนั้นเพื่อที่จะคำนวณปริมณฑลก็เพียงพอที่จะรู้อย่างน้อยหนึ่งอัน สูตรจะขึ้นอยู่กับจำนวนด้านของรูป โดยทั่วไปจะมีลักษณะดังนี้: P = an โดยที่ a คือค่าด้าน และ n คือจำนวนมุม ตัวอย่างเช่น หากต้องการค้นหาเส้นรอบวงของแปดเหลี่ยมปกติที่มีด้าน 3 ซม. คุณต้องคูณด้วย 8 นั่นคือ P = 3 ∙ 8 = 24 ซม. สำหรับรูปหกเหลี่ยมที่มีด้าน 5 ซม. เราจะคำนวณ ดังนี้: P = 5 ∙ 6 = 30 ซม. และสำหรับแต่ละรูปหลายเหลี่ยม
การหาเส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมด้านขนาน สี่เหลี่ยมจัตุรัส และสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
เส้นรอบรูปของรูปหลายเหลี่ยมปกติมีกี่ด้าน ขึ้นอยู่กับว่ารูปหลายเหลี่ยมปกติมีกี่ด้าน ทำให้งานง่ายขึ้นมาก แน่นอนว่าไม่เหมือนกับตัวเลขอื่น ๆ ในกรณีนี้คุณไม่จำเป็นต้องมองหาทุกด้าน แค่อันเดียวก็เพียงพอแล้ว โดยใช้หลักการเดียวกัน เราจะหาเส้นรอบวงของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ซึ่งก็คือ สี่เหลี่ยมจัตุรัสและสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน แม้ว่าตัวเลขเหล่านี้จะต่างกัน แต่สูตรสำหรับพวกมันก็เหมือนกัน: P = 4a โดยที่ a คือด้าน ลองยกตัวอย่าง ถ้าด้านของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนหรือสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาว 6 ซม. เราจะหาเส้นรอบรูปได้ดังนี้: P = 4 ∙ 6 = 24 ซม. สำหรับสี่เหลี่ยมด้านขนานจะมีเพียงด้านตรงข้ามเท่านั้นที่เท่ากัน ดังนั้นจึงพบเส้นรอบวงโดยใช้วิธีอื่น ดังนั้น เราต้องรู้ความยาว a และความกว้าง b ของรูปนี้ จากนั้นเราใช้สูตร P = (a + b) ∙ 2 สี่เหลี่ยมด้านขนานที่ด้านและมุมทั้งหมดเท่ากันเรียกว่ารูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
การหาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมด้านเท่าและสามเหลี่ยมมุมฉาก
เส้นรอบวงของเส้นรอบวงที่ถูกต้องสามารถพบได้โดยใช้สูตร P = 3a โดยที่ a คือความยาวของด้าน หากไม่ทราบก็หาได้จากค่ามัธยฐาน ใน สามเหลี่ยมมุมฉาก มูลค่าเท่ากันมีเพียงสองด้านเท่านั้น สามารถหาพื้นฐานได้จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส เมื่อทราบค่าของทั้งสามด้านแล้ว เราจะคำนวณเส้นรอบวง หาได้จากสูตร P = a + b + c โดยที่ a และ b เป็นด้านเท่ากัน และ c เป็นฐาน จำได้ว่าในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว a = b = a ซึ่งหมายถึง a + b = 2a จากนั้น P = 2a + c ตัวอย่างเช่น ด้านของสามเหลี่ยมหน้าจั่วคือ 4 ซม. ลองหาฐานและเส้นรอบรูปของมัน เราคำนวณค่าของด้านตรงข้ามมุมฉากโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสโดย = √a 2 + b 2 = √16+16 = √32 = 5.65 ซม. ตอนนี้ให้คำนวณเส้นรอบวง P = 2 ∙ 4 + 5.65 = 13.65 ซม.
วิธีค้นหามุมของรูปหลายเหลี่ยมปกติ
รูปหลายเหลี่ยมปกติเกิดขึ้นในชีวิตของเราทุกวัน เช่น สี่เหลี่ยมจัตุรัส สามเหลี่ยม หรือแปดเหลี่ยม ดูเหมือนว่าไม่มีอะไรง่ายไปกว่าการสร้างร่างนี้ด้วยตัวเอง แต่นี่เป็นเรื่องง่ายเพียงแวบแรกเท่านั้น ในการสร้าง n-gon ใดๆ คุณจำเป็นต้องรู้ค่าของมุมของมัน แต่จะหาพวกเขาได้อย่างไร? แม้แต่นักวิทยาศาสตร์โบราณก็ยังพยายามสร้างรูปหลายเหลี่ยมปกติ พวกเขาคิดหาวิธีที่จะจัดพวกมันให้เป็นวงกลม จากนั้นจึงทำเครื่องหมายจุดที่จำเป็นและเชื่อมต่อกับเส้นตรง สำหรับ ตัวเลขง่ายๆปัญหาการก่อสร้างได้รับการแก้ไขแล้ว ได้สูตรและทฤษฎีบทมา ตัวอย่างเช่น Euclid ในงานชื่อดังของเขา "Inception" จัดการกับการแก้ปัญหาสำหรับ 3-, 4-, 5-, 6- และ 15-gons เขาพบวิธีที่จะสร้างมันขึ้นมาและหามุมต่างๆ มาดูวิธีทำ 15 เหลี่ยมกัน ก่อนอื่นคุณต้องคำนวณผลรวมของมุมภายใน จำเป็นต้องใช้สูตร S = 180⁰(n-2) ดังนั้น เราจะได้ 15 เหลี่ยม ซึ่งหมายความว่าตัวเลข n คือ 15 เราแทนที่ข้อมูลที่เรารู้ลงในสูตรแล้วได้ S = 180⁰(15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰ เราพบผลรวมของมุมภายในทั้งหมดของ 15 เหลี่ยม ตอนนี้คุณต้องได้รับคุณค่าของแต่ละรายการ มีทั้งหมด 15 มุม เราทำการคำนวณ2340⁰: 15 = 156⁰ ซึ่งหมายความว่ามุมภายในแต่ละมุมเท่ากับ 156⁰ ตอนนี้คุณสามารถสร้าง 15 เหลี่ยมปกติโดยใช้ไม้บรรทัดและเข็มทิศได้ แต่แล้ว n-gons ที่ซับซ้อนกว่านี้ล่ะ? เป็นเวลาหลายศตวรรษแล้วที่นักวิทยาศาสตร์พยายามดิ้นรนเพื่อแก้ไขปัญหานี้ มันถูกค้นพบในศตวรรษที่ 18 โดย Carl Friedrich Gauss เท่านั้น เขาสามารถสร้าง 65537-gon ได้ ตั้งแต่นั้นมาปัญหาก็ได้รับการพิจารณาแก้ไขอย่างเป็นทางการอย่างสมบูรณ์
การคำนวณมุมของ n-gons เป็นเรเดียน
แน่นอนว่ามีหลายวิธีในการค้นหามุมของรูปหลายเหลี่ยม ส่วนใหญ่มักคำนวณเป็นองศา แต่สามารถแสดงเป็นเรเดียนได้เช่นกัน ทำอย่างไร? คุณต้องดำเนินการดังนี้ ขั้นแรก เราค้นหาจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมปกติ จากนั้นลบ 2 จากรูปนั้น ซึ่งหมายความว่าเราได้รับค่า: n - 2 คูณผลต่างที่พบด้วยตัวเลข n (“pi” = 3.14) ตอนนี้สิ่งที่เหลืออยู่คือหารผลคูณผลลัพธ์ด้วยจำนวนมุมใน n-gon ลองพิจารณาการคำนวณเหล่านี้โดยใช้รูปสิบเหลี่ยมเดียวกันเป็นตัวอย่าง ดังนั้น จำนวน n คือ 15 เราใช้สูตร S = n(n - 2) : n = 3.14(15 - 2) : 15 = 3.14 ∙ 13: 15 = 2.72 แน่นอนว่านี่ไม่ใช่วิธีเดียวในการคำนวณมุมเป็นเรเดียน คุณสามารถหารมุมเป็นองศาด้วย 57.3 ท้ายที่สุด นี่คือกี่องศาที่เทียบเท่ากับหนึ่งเรเดียน
การคำนวณมุมเป็นองศา
นอกจากองศาและเรเดียนแล้ว คุณยังสามารถลองหามุมของรูปหลายเหลี่ยมปกติในหน่วยองศาได้ ทำได้ดังนี้ จาก จำนวนทั้งหมดมุม ลบ 2 หารผลต่างผลลัพธ์ด้วยจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมปกติ เราคูณผลลัพธ์ที่พบด้วย 200 อย่างไรก็ตามหน่วยวัดมุมเช่นองศานั้นไม่ได้ใช้จริง
การคำนวณมุมภายนอกของ n-gons
สำหรับรูปหลายเหลี่ยมปกติใดๆ นอกเหนือจากรูปหลายเหลี่ยมภายในแล้ว คุณยังสามารถคำนวณมุมภายนอกได้ด้วย มูลค่าของมันก็พบในลักษณะเดียวกับตัวเลขอื่นๆ ดังนั้น หากต้องการหามุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยมปกติ คุณจำเป็นต้องทราบค่าของมุมภายใน นอกจากนี้ เรารู้ว่าผลรวมของมุมทั้งสองนี้จะเท่ากับ 180 องศาเสมอ ดังนั้นเราจึงคำนวณดังนี้: 180⁰ ลบด้วยค่าของมุมภายใน เราพบความแตกต่าง มันจะเท่ากับค่าของมุมที่อยู่ติดกัน ตัวอย่างเช่น มุมภายในของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ 90 องศา ซึ่งหมายความว่ามุมภายนอกจะเป็น 180⁰ - 90⁰ = 90⁰ อย่างที่เราเห็นมันหาได้ไม่ยาก มุมภายนอกสามารถรับค่าได้ตั้งแต่ +180⁰ ถึง -180⁰ ตามลำดับ
